Analisis numerico campo_de_direcciones_y_curvas_solucion_
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UNIVERSIDAD TÉCNICAPARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de Loja
Escuela de Ingeniería CivilÁrea de Física y Matemáticas
Campo de pendientes y Curvas solución
MATLAB 7.1.lnk
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Campo de direccionesSea n=1 y sea y'(x)=f(x,y(x))
Para construir el CAMPO DE DIRECCIONES de la ED, por cadapunto (x,y) de una red de puntos de R^2 se dibuja unsegmento o vector de pendiente f(x,y).
Para el estudio gráfico de las soluciones de una ED sinhaberla resuelto, usaremos un programa en el queintervienen los comandos
meshgrid y quiver,
que permite dibujar el campo de direcciones
Ing. Carmen Esparza V.Ing. Carmen Esparza V.
Análisis Numérico conAnálisis Numérico conMatlabMatlabMATLAB 7.1.lnk
Escuela de Ingeniería CivilEscuela de Ingeniería CivilÁrea de Física y MatemáticasÁrea de Física y Matemáticas
Sea n=1 y sea y'(x)=f(x,y(x))
Para construir el CAMPO DE DIRECCIONES de la ED, por cadapunto (x,y) de una red de puntos de R^2 se dibuja unsegmento o vector de pendiente f(x,y).
Para el estudio gráfico de las soluciones de una ED sinhaberla resuelto, usaremos un programa en el queintervienen los comandos
meshgrid y quiver,
que permite dibujar el campo de direcciones
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Campo de direccionesLos vectores a considerar para obtener el campo dedirecciones serán (1, y') .
Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=sin xy
>> f=inline('sin(x.*y)','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);
>> [n,m]=size(x);
>> dx=ones(n,m);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
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>> f=inline('sin(x.*y)','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);
>> [n,m]=size(x);
>> dx=ones(n,m);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
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Campo de direcciones
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Campo de direccionesRepresentar la solución de la ED que corresponde la CIy(0)=2
Ejemplo: Construir el campo de direcciones de ED y’=-2xy
>> f=inline('-2.*x.*y','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-3:0.2:3);
>> [n,m]=size(x);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
>> dsolve('Dy=-2*x*y','y(0)=2','x')
ezplot('2*exp(-x^2)',[-2,2]),hold on,plot(0,2,'*r')
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>> f=inline('-2.*x.*y','x','y');
>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-3:0.2:3);
>> [n,m]=size(x);
>> z=f(x,y);
>> dy=z;
>> hold on,quiver(x,y,dx,dy)
>> dsolve('Dy=-2*x*y','y(0)=2','x')
ezplot('2*exp(-x^2)',[-2,2]),hold on,plot(0,2,'*r')
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Campo de direcciones
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Campo de direcciones
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Trayectorias de las IsóclinasDada la ED y'=f(x,y), se llaman curvas de nivel o isóclinas alas obtenidas al imponer la condicióny'=k
Método de las isóclinas.
Es una variante de las ideas antes descritas. Los puntosdel plano por los que pasa una solución con pendiente k,son los puntos de la curva de ecuación f(x,y)=k (isóclinade pendiente k).
Dibujando las distintas isóclinas se obtiene unarepresentación similar a la del campo de direcciones
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Método de las isóclinas.
Es una variante de las ideas antes descritas. Los puntosdel plano por los que pasa una solución con pendiente k,son los puntos de la curva de ecuación f(x,y)=k (isóclinade pendiente k).
Dibujando las distintas isóclinas se obtiene unarepresentación similar a la del campo de direcciones
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Trayectorias de las Isóclinas
Puede tener interés identificar la isóclina para la pendiente0 pues las soluciones tendrán generalmente un máximo oun mínimo al pasar por esta isóclina
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Trayectorias de las Isóclinas
Ejercicio 1:
Representar las isóclinas de la ED y' = x^2+y^2
» [x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);
» z=x.^2+y.^2;
» isoclinas=contour(x,y,z,10)
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» [x,y]=meshgrid(-4:0.05:4);
» z=x.^2+y.^2;
» isoclinas=contour(x,y,z,10)
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Trayectorias de las Isóclinas
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Trayectorias de las Isóclinas
Ejercicio 2:
Representar las isóclinas de la ED y' = sin (xy)
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» [x,y]=meshgrid(0:0.5:7,-3:0.5:3);
» z=sin(x.*y);
» isoclinas=contour(x,y,z,5)
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Trayectorias de las Isóclinas
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Trayectorias de las IsóclinasEjercicio:
Construir el campo de direcciones y las curvas de nivel dela ED y'=2 – 3xy {-1≤x ≤4,-4 ≤y ≤4}
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>> f=inline('2-3.*x.*y','x','y');>> [x,y]=meshgrid(-1:0.2:4,-4:0.2:4);>> [n,m]=size(x);>> dx=ones(n,m);>> z=f(x,y);>> dy=z;>> hold on,contour(x,y,z,20),quiver(x,y,dx,dy)
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>> f=inline('2-3.*x.*y','x','y');>> [x,y]=meshgrid(-1:0.2:4,-4:0.2:4);>> [n,m]=size(x);>> dx=ones(n,m);>> z=f(x,y);>> dy=z;>> hold on,contour(x,y,z,20),quiver(x,y,dx,dy)
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Trayectorias de las Isóclinas
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