APUNTES: ESPACIOS MTRICOS Y ESPACIOS TOPOLGICOS

Escrito por Marcelo Chacn S. 2008

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Ingeniera Matemtica, Universidad de Santiago de Chile.

NDICE GENERAL

I Espacios mtricos1. Espacios mtricos

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1.1. Denicin y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Topologa de un e.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 8

1.2.2. Interior, exterior y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Adherencia o cerradura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5. Subespacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.6. Mtricas y normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Espacios mtricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Puntos de acumulacin de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Teorema de la interseccin de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Conjuntos conexos y compactos 29

2.1. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1. Conjuntos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1

2.2.1. Teorema de Weierstrass-Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343. Funciones entre espacios mtricos 38

3.1. Lmite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1. Caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2. Homeomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.3. Funciones continuas sobre conexos y compactos . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1. Teoremas de extensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. Convergencia uniforme y puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3. Teorema del punto jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1. Conjunto equicontinuo o familia equicontinua . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544. Espacios vectoriales normados 57

4.1. Espacios vectoriales normados: Un ejemplo de espacios mtricos . . . . . . . . . 57 4.2. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3. Series en un e.v.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4.1. Dual de un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.2. Conjuntos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

II Espacios topolgicos5. Espacios topolgicos y funciones continuas

6970

5.1. Espacios topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2. Bases para una topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3. Topologa del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4. Topologa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2

5.5. Topologas mtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6. Topologa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896. Conexidad y Compacidad 94

6.1. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.2. Conjuntos conexos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4. Producto de conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.5. Conjuntos compactos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.6. Compacidad punto lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.7. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087. Axiomas de numerabilidad y separacin 110

7.1. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.2. Axiomas de separacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Parte I

Espacios mtricos

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CAPTULO 1

ESPACIOS MTRICOS

1.1. Denicin y ejemplosDenicin 1.1.1.

Sea E un conjunto. Una mtrica o distancia es una funcind : E E R

tal que 1.d(x, y) > 0, si x = y d(x, y) = 0, si x = y

2. d(x, y) = d(y, x), x, y E 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z E Un espacio A veces se escribe (E, d).Denicin 1.1.2.

mtrico (e.m.)

es un conjunto E dotado de una d.

Ejemplo 1.1. (mtrica discreta)

Sea E un conjunto y sea d la mtrica discreta, es decird(x, y) = 1 x=y 0 x=y

con x, y E , entonces (E, d) es un espacio mtrico.5

Ejemplo 1.2.

E = R junto con d(x, y) = |x y|, x, y R. Es fcil probar que d es mtrica. Luego (R, | |) es un espacio mtrico. Adems d es llamada la mtrica usual de R.Ejemplo 1.3.

d(x, y) =

E = Rn , si x, y Rn tal que x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ), entonces (x1 y1 )2 + + (xn yn )2 es una mtrica. C con d(z, w) = |z w| es un espacio mtrico.

Ejemplo 1.4. Ejemplo 1.5.

En C = C {} denimosd(z, w) = 2|z w| 1 + |z|2 1 + |w|2 , ; d(z, ) = 2 1 + |z|2

entonces, (C, d) es un e.m.Si E es un conjunto y d1 y d2 son mtricas sobre E , con d1 = d2 , entonces (E, d1 ) y (E, d2 ) son e.m. distintos.Nota:

1.2. Topologa de un e.m.Denicin 1.2.1.

Sea x0 E y R 0. La esfera de centro x0 y radio R en E es el conjunto{x E : d(x, x0 ) = R}

Denicin 1.2.2.

Sea x0 E y R 0. La bola

abierta

de centro x0 y radio R es el conjunto

Bo (x0 , R) = {x E : d(x, x0 ) < R}

Denicin 1.2.3.

Sea x0 E y R 0. La bola cerrada de centro x0 y radio R es el conjuntoB(x0 , R) = {x E : d(x, x0 ) R}

Ejemplo 1.6.

Sea E un conjunto dotado de la mtrica discreta. Sea x0 E , R 0.

La esfera de centro x0 y radio R, es decir, el conjunto {x E : d(x, x0 ) = R} es: Caso 1 Si R {0, 1}, entonces la esfera de centro x0 y radio R es . /6

Caso 2 Si R = 1, entonces la esfera de centro x0 y radio R es E {x0 }. Caso 3 Si R = 0, entonces la esfera de centro x0 y radio R es {x0 }. La bola abierta Bo (x0 , R) = {x E : d(x, x0 ) < R} es: Caso 1 Si R > 1, entonces Bo (x0 , R) = E . Caso 2 Si 0 < R < 1, entonces Bo (x0 , R) = {x0 }. Caso 3 Si R = 0, entonces Bo (x0 , R) = . La bola cerrada B(x0 , R) = {x E : d(x, x0 ) R} es: Caso 1 Si R 1, entonces B(x0 , R) = E . Caso 2 Si 0 R < 1, entonces B(x0 , R) = {x0 }.Nota:

Hay e.m. donde hay bolas o esferas de centros distintos que coinciden. Hay e.m. donde ciertas bolas abiertas coinciden con las bolas cerradas.Denicin 1.2.4.

de A es el nmero

Sea (E, d) e.m. y sea A un subconjunto de E, es decir, A E . El dimetrodiam(A) = sup d(x, y)x,yA

Denicin 1.2.5.

Un subconjunto A de E es acotado si diam(A) es nito.

Sea A E . A es acotado existe 0 < R < + tal que A est contenido en una bola de radio R.Ejercicio:

Solucin.

= Supongamos A acotado. = diam(A) < = sup d(x, y) < +.

Sea R = diam(A)= x, y A, d(x, y) R = B(x, d(x, y)) B(x, R) x, y A = Supongamos A B(x, R) x A, 0 < R < + = diam(A) < diam(B(x, R)) = 2R

x,yA

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= diam(A) 2R < = A es acotado.

E = R, con la mtrica usual, a b R. (a, b), [a, b], (a, b] y [a, b) son acotados pues el dimetro de cualquiera de ellas es |b a| < Ejemplo 1.7. Ejemplo 1.8.

E = R con la mtrica discreta tiene dimetro igual a 1. Por lo tanto, con la mtrica discreta R es acotada.

1.2.1. Conjuntos abiertos y cerradosSea (E, d) e.m.Denicin 1.2.6.

Bo (x, R) A.Ejemplo 1.9.

Sea A E . Se dice que A es

abierto

si x A, R > 0 tal que

Solucin. Para probar que Bo (x0 , R) es abierto, hay que probar que x Bo (x0 , R), Rx > 0 tal queBo (x, Rx ) Bo (xo , R). Si x B(x0 , R) = d(x0 , x) < R. Luego Rx = R d(x0 , x) > 0. Sea y Bo (x, Rx ), por demostrar d(x0 , y) < R. En efecto d(x0 , y) d(x0 , x) + d(y, x) < d(x0 , x) + Rx = R = d(x0 , y) < R = y Bo (x0 , R) = Bo (x, Rx ) Bo (x0 , R) = Bolas abiertas siempre son conjuntos abiertos.

Sea x0 E y R > 0. La bola abierta Bo (x0 , R) es un conjunto abierto.

A E es abierto A es reunin de bolas abiertas, es decir, si existe una coleccin de bolas {Bo (xi , Ri )}iI tal queProposicin 1.2.1.

A=iI

Bo (xi , Ri )

Demostracin:

= Supongamos que A =iI

Bo (xi , Ri )

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Sea x A = i I tal que x Bo (xi , Ri ) Como Bo (xi , Ri ) es abierto, sabemos que R > 0 tal que Bo (x, R) Bo (xi , Ri ) A. = Bo (x, R) A x A, para algn R > 0. = A es abierto.= Supongamos que A es abierto. = x A, Rx > 0 tal que Bo (x, Rx ) A.

LuegoxA

Bo (x, Rx ) A. Por otro lado si tomamos x A Bo (x, Rx ) = A xA xA

= x

Bo (x, Rx ) = A =xA

Bo (x, Rx )

Proposicin 1.2.2.

Los conjuntos abiertos satisfacen las siguientes propiedadesAiiI

1) Unin arbitraria de abiertos es abierto, es decir, si {Ai }iI coleccin de abiertos =

es abierto. abiertos =n

2) Interseccin nita de abiertos es abierto, es decir, si {Ai }n , con n < , coleccin de i=1 Ai es abierto.i=1

3) E, son abiertos.

Demostracin:1) Sea {Ai }iI una coleccin de abiertos. Luego por la proposicin anterior existe una coleccin de Bo (xij , Rij ), entonces bolas abiertas Bo (xij , Rij )iIi tal que Ai =jIi

A=iI

Ai =iI jIi

Bo (xij , Rij )

= A es abierto, pues es reunin de bolas abiertas.n

2) Sea n < y

{Ai }n i=1

una coleccin de conjuntos abiertos. Si A =i=1

Ai , entonces si x A

= x Ai 1 i n. Como Ai abierto i = Ri > 0 tal que Bo (x, Ri ) Ai .

Tomando R = m Ri se tiene Bo (x, R) Bo (x, Ri ) Ai 1 i n ni=1,...,n n

= Bo (x, R) i=1 n

Ai = A

=i=1

Ai es abierta.

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3) Por demostrar es abierto. Sea x, y E y sean las bolas abiertas Bo (x, R/3) y Bo (y, R/3). Luego es claro que Bo (x, R/3) Bo (y, R/3) = , entonces es abierto pues es interseccin nita

de abiertos. Para mostrar que E es abierto solo basta ver que E se puede escribir como reunin de abiertos.

Ejemplo 1.10.

Sea la coleccin de abiertos An = ,

1 1 n n

, n1

An es una bola abierta en R con la mtrica usual, por lo tanto An es un abierto. pero 1 1 , = {0} no es abierto. n n n=1Nota:

El e.m. E es abierto, pues E =xE

B(x, R), R > 0

Como cualquier abierto en un e.m. se escribe como reunin de bolas abiertas, se dice que la coleccin de bolas abiertas de un e.m. es una base del e.m.Notacin:

Si A E , entonces el complemento1 de A en E es E A.A E es cerrado si A es el complemento de un conjunto abierto.

Denicin 1.2.7.

Proposicin 1.2.3.

Los conjuntos cerrados satisfacen las siguientes propiedades

1) Unin nita de cerrados es cerrado, es decir, si {Ai }n , con n < , coleccin nita de i=1

cerrados =

n

Ai es cerrado.

i=1

2) Interseccin arbitraria de cerrados es cerrado, es decir, si {Ai }iI coleccin arbitraria de cerrados = Ai es cerrado.iI

3) E, son cerrados.

Demostracin:3) Como es abierto, entonces E = E es cerrado. Por otra parte como E es abierto, entonces E E = es cerrado.1 Otranotacin sera

Ac

en

E.

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n

n

1) Sabemos que la interseccin nita de abiertos es abierto, entonces E i=1

Ai =

(E Ai ) esi=1

cerrada, con {E Ai }n coleccin nita de cerrados, pues {Ai }n coleccin nita de abiertos. i=1 i=12) Sabemos que la unin arbitraria de abiertos es abierto, entonces E iI

Ai =iI

(E Ai ) es

cerrada, con {E Ai }iI coleccin arbitraria de cerrados, pues {Ai }iI coleccin arbitraria de abiertos.Nota:

Una reunin innita de cerrados no necesariamente es cerrada.

Ejemplo 1.11.n=2

1 1 ,1 = (0, 1) donde (0, 1) es un abierto de R con la mtrica usual. n n

Ejemplo 1.12.

Sea E dotado con la mtrica discreta.d(x, y) = 1 x=y 0 x=y

Todos los subconjuntos de E , con la mtrica discreta son abiertos y cerrados a la vez. En efecto, {x} = Bo (x, 1/2) es un abierto. Luego Sea A E , donde A = {x} = A es abierto. PorxA

otra parte X A =x(XA)

{x} = (X A) es abierto = A es cerrado.vecindad

Denicin 1.2.8.

Sea x E . Una abierto A tal que x A.Ejemplo 1.13.

de x es un conjunto V E que contiene un

Los abiertos son vecindades de todos sus puntos.

Sea x E , R > 0. La bola cerrada B(x, R) es una vecindad de x pues contiene a la bola abierta Bo (x, R).Proposicin 1.2.4.

= Supongamos A E es abierto = x A, Rx > 0 tal que Bo (x, Rx ) A, donde Bo (x, Rx ) es un abierto para todo x. = A es vecindad de cada uno de sus puntos. = Supongamos que A es vecindad de cada uno de sus puntos. Entonces x A, existe un abierto Ox que contiene a x y est contenido en A.

Demostracin:

A E es abierto A es vecindad de cada uno de sus puntos.

Luego es fcil demostrar queaA

Ox = A, en efecto

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Es claro queaA

Ox A. Por otro lado si x A = existe un abierto Ox tal que x Ox A Ox = Ox = A = A es abierto.aA

= x aA

Denicin 1.2.9.

{Vi }iI

Sea x E . Un sistema fundamental de vecindades de x es una coleccin de vecindades de x tal que cualquier vecindad de x contiene a algn Vi . La interseccin de todas las vecindades de x es igual a {x}.

Proposicin 1.2.5.

1.2.2. Interior, exterior y frontera Sea A E . El interior de A, se escribe A, es la reunin de todos los abiertos que estn contenidos en A, es decir,Denicin 1.2.10.

A=

{O : O A, O abierto}

Proposicin 1.2.6.

1. A es abierto pues es reunin de abiertos.

2. A es el abierto ms grande contenido en A, es decir, si B es un abierto contenido en A = B A 3. Si A es abierto = A = A 4. A B = A B

Sea A E . El plemento de A, es decir, E ADenicin 1.2.11. Denicin 1.2.12.

exterior

de A, se escribe ext(A), es el interior del com-

Sea A E . La frontera de A, se anota f r(A), es el conjunto de puntos de E que no estn ni en A ni en ext(A), es decir f r(A) = E (A (E A))

Nota:

1. f r(A) = (A Ac )c .

2. f r(A) es cerrada, pues es el complemento de la unin de dos abiertos. 3. E = f r(A) A (E A).

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4. f r(A), A, E A son disjuntos entre si.Proposicin 1.2.7.

= Sea x f r(A). Sea R > 0. Como x A, la bola B(x, R) tiene al menos un elemento en E A, si no x A. / Luego como x E A, la bola B(x, R) tiene al menos un elemento en A, si no x E A / = B(x, R) A = y B(x, R) (E A) = . = Sea x E tal que R > 1 B(x, R) A = B(x, R) (E A) =

Sea A E y x E . x f r(A) toda bola centrada en x contiene elementos de A y E A. Demostracin:

(1.1) (1.2)

Por (1.1), x no puede estar en E A pues de lo contrario habra un R > 0 tal que B(x, R) (E A). Por (1.2), x no puede estar en A pues de lo contrario habra un R > 0 tal que B(x, R) A.= x f r(A)

Entoncesf r(A) = {x E : R > 0, B(x, R) A = , B(x, R) (E A) = } .

1.2.3. Adherencia o cerraduraDenicin 1.2.13.

Sea A E . La adherencia o clausura de A, se anota A, es la interseccin de todos los cerrados que contienen a A, es decir,A= {C : A C, C cerrado}

Cuando x A, se dice que x es adherente a A.Nota:

1. A es un conjunto cerrado. 2. A es el cerrado ms chico que contiene a A. Es decir, si C E es cerrado y A C , entonces A C . 3. Si A es cerrado, entonces A = A. 13

Proposicin 1.2.8.

Sea A E . Son equivalentes

1. B = A 2. B es la reunin del interior de A y la frontera de A, es decir, B = A f r(A)

3. B es el complemento del exterior de A, es decir, B = E (E A). 4. B es el conjunto de todos los puntos x E tal que toda bola cerrada centrada en x intersecta a A. Es decir B = {x E : R > 0, B(x, R) A = }

Demostracin:

Primero probaremos que B = f r(A) A = A. B = f r(A) A es cerrado pues B = E (E A). B contiene a A, pues A est contenido en E (E A) = B = B contiene a A, pues B es un cerrado que contiene a A. Es decir A B. Sea C un cerrado que contiene a A. A C E C E A, E C abierto = E C E A = C E (E A) = B = C B = A B = A = B = E (E A) = f r(A) A.

Falta probar que A = {x E : R > 0, B(x, R) A = } . Sea B = {x E : R > 0, B(x, R) A = }.

= E B = {x E : R > 0, B(x, R) E A} = E A. = B = E (E A) = A. = A = {x E : R > 0, B(x, R) A = } .Denicin 1.2.14.

Sea A E . Sea x E . LayA

distancia de x a A

es

d(x, A) = d(x, y) 0 nf

14

Proposicin 1.2.9.

Sea A E . EntoncesA = {x E : d(x, A) = 0}

Demostracin:Si x A, entonces R > 0, y A tal que y B(x, R) = R > 0, y A tal que d(x, y) < R= d(x, y) = d(x, A) = 0 nfyA

= A {x E : d(x, A) = 0}

Si x {x E : d(x, A) = 0}, entonces R > 0, y A tal que d(x, y) < R = R > 0, B(x, R) A = = x A.= A = {x E : d(x, A) = 0}Proposicin 1.2.10.

Si A, B E

1. A B = A B (Vlido solo para un nmero nito de conjuntos). 2. f r(A) = A E A.Ejemplo 1.14.

Si {Aq }qQ con Aq = {q}, entonces Aq = {q}. LuegoqQ

Aq = Q, pero

Aq = Q = R.qQ

1.2.4. Subconjuntos densosSea (E, d) e.m.Denicin 1.2.15.

Sea A, B E , entonces

1. A se dice denso si A = E . 2. A se dice densoDenicin 1.2.16.

en B

si A = B .separable

denso en E.Ejemplo 1.15.

Se dice que el e.m. E es

si existe un subconjunto numerable

1. E = R con la mtrica usual, A = Q es denso en E = R. Recordemos que si t R, entonces R > 0, (t R, t + R) contiene algn elemento de Q. Luego, R = Q Como Q es numerable, entonces R con la mtrica usual es separable. R Q tambin es denso en R, aunque no numerable.15

2. E = [0, 1] con la mtrica d(x, y) = |x y| y consideramos A = n : n 0, 0 k 2n 2 es denso en E . 3. E = Rn , con n 1, con cualquiera de las tres mtricas siguientes:n n 1/2

k

d1 (x, y) =i=1

|xi yi |, d2 (x, y) =i=1

(xi yi )

2

, d3 (x, y) = mx |xi yi |. ai=1,2,...,n

A = Qn es denso en Rn .Proposicin 1.2.11.

Sea A E . A es denso en E para todo abierto B E, B = , B A = . Demostracin:

= Supongamos A es denso en E . Si B = es abierto en E , entonces existe x B y R > 0 tal que B(x, R) B . Como A es denso, A = E , x est en A. Luego, B(x, R) A = . = B A = . = Si x E , entonces R > 0, Bo (x, R) A = = x A = E A = E = A = A es denso.Denicin 1.2.17.

A E es nunca denso si su exterior es denso en E.

Proposicin 1.2.12.

Sea A E . A es nunca denso el interior de A es vaco, es decir, A = . Demostracin: E = A f r(A) (E A).A

= Si A es nunca denso, entonces la adherencia de su exterior es todo el espacio E . Es decir, x E , R > 0 B(x, R) (E A) = Supongamos que el interior de A fuera no vaco, es decir A = , entonces existira x E y R > 0, B(x, R) A, lo que implicara que B(x, R) (E A) = == . = = . A = Si A = entonces x E , R > 0, B(x, R) (E A) = = E A es denso en E . = A es nunca denso.Nota:

A no necesariamente es igual a A.

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E = R, A = Q con la mtrica usual, entonces A=Q= R A==R

1.2.5. Subespacios mtricosSea (E, d) e.m. Si M E , entonces d sigue siendo mtrica en M .

Un subespacio mtrico de (E, d) es un espacio mtrico (M, d) con M E y d la misma mtrica denida en E pero restringido a los elementos de M.Denicin 1.2.18.

Cmo son los abiertos en el subespacio mtrico.?

Sea E = R con la mtrica usual, M = [0, 1] y A = [0, 1/2). Luego A no es abierto en R, pues cualquier bola con centro en cero, intersecta a R A. M En M , Bo (x, R) = {y M : d(x, y) < R}. AsEjemplo 1.16.M Bo (0, R) = {y [0, 1] : |y 0| < R}

= {y [0, 1] : |y| < R} = [0, R) A es abierto en M .Nota:

En general, si A es abierto en M , no necesariamente tiene que ser abierto en E .

Sea M E . A M es abierto existe O abierto en E tal que A = O M. Demostracin:Proposicin 1.2.13.

Para probar esto hay que considerar lo siguiente.

B M (x, y) = {y M : d(x, y) R} = M B E (x, R). = Supongamos que A M es abierto en M . Entonces A se escribe como reunin de bolas abiertas M en M . Es decir A = Bo (xi , Ri ). SeaiI

O=iI

Bo (xi , Ri )Bolas en E

= O es abierto en E , pues es reunin de bolas abiertas en E . OM =iI

Bo (xi , Ri ) M =iI

M Bo (xi , Ri ) = A

17

= Sea A M tal que A = M O, con O abierto de E . Sea x A = M O.

Como x est en O, que es abierto en E , existe R > 0 tal que Bo (x, R) O.= Bo (x, R) M O M = AM = Bo (x, R) A

= A es abierto en M .Proposicin 1.2.14.

Sea M E . Todo abierto en M es abierto en E M es abierto en E. Demostracin:

= Supongamos que M es abierto en E . Si A es abierto en M , entonces A = O M , con O algn abierto en E . = A es abierto en E , pues es la interseccin de dos abiertos en E . = Como el espacio mtrico es abierto, si todo abierto de M es abierto en E , en particular M es

abierto en M . Luego, M es abierto en E .Proposicin 1.2.15.

Sea (E, d) e.m.

1. C M es cerrado en M existe C E cerrado en E tal que C = C M . 2. M es cerrado en E todos los cerrados de M son cerrados en E.

= Si C es cerrado en M , entonces su complemento relativo a M es abierto en M . Entonces {x M : x C} = O M , con O abierto en E . / Como O es abierto en E , entonces E O es cerrado en E . Luego1.

Demostracin:

(E O) M = C. = Supongamos C = C M , con C cerrado en E . Como C es cerrado en E , E C es un abierto en E . Luego, (E C ) M es un abierto en M . Como C es el complemento de (E C ) M relativo a M , entonces C es cerrado en M .2.

Inmediata.

Sea M E . La adherencia de A M con respecto a M es igual a A M , con A la adherencia de A con respecto a E.Proposicin 1.2.16.

Sea M E . A M es una vecindad de x M existe una vecindad V de x en E tal que A = V M .Proposicin 1.2.17.

18

1.2.6. Mtricas y normas equivalentesSea E un espacio dotado de dos mtricas d1 y d2 . Los abiertos de (E, d1 ) no necesariamente son los mismos abiertos que los abiertos de (E, d2 ).Denicin 1.2.19.

Se dice que las mtricas d1 y d2 son equivalentes, si denen los mismos abiertos en E. Es decir, A es abierto en (E, d1 ) A es abierto en (E, d2 ).Denicin 1.2.20.

funcin tal que 1.

Sea E un espacio vectorial sobre K = R o C. Una norma sobre E es una :EK

x > 0, si x = 0 x = 0, si x = 0

2. x = || x , x E , K 3. x + y x + y , x, y EDenicin 1.2.21.

de una norma . A veces se escribe (E, ) para decir que E es un e.v. con la norma Nota:

Un espacio

vectorial normado2 (e.v.n.)

es un espacio vectorial dotado

Un e.v.n. es un e.m.

Denicin 1.2.22.

son

Sea E un e.v. y sean 1 y 2 dos normas de E. Las normas 1 y 2 equivalentes si las mtricas d1 (x, y) = x y 1 y d2 (x, y) = x y 2 son equivalentes.1

Sea E un e.v. y sean 1 y 2 dos normas de E. Las normas 1 y 2 son equivalentes existen K1 > 0 y K2 > 0 tal que x 2 K1 x y x 1 K2 x 2 , x E . Demostracin:Teorema 1.2.1.

Sean d1 (x, y) = x y 1 y d2 (x, y) = x y 2 . Vamos a llamar B 1 (x, R) bola en (E, d1 ) y B 2 (x, R) bola en (E, d2 ). = Supongamos que 1 y 2 son equivalentes. Es decir, que d1 y d2 son equivalentes. Sabemos que Bo (0, 1) B (0, 1). Como Bo (0, 1) es un abierto en (E, d1 ), tambin es un abierto en (E, d2 ) por la suposicin.2 Lose.v.n los estudiaremos con mucho ms detalle en el captulo 4

19

Al ser Bo (0, 1) un abierto en (E, d2 ), existe 1/K2 > 0 tal que B 1 (0, 1/K2 ) Bo (0, 1) B (0, 1). Esto signica que si x 2 1/K2 , entonces x 1 1.2 > 0, entonces 1 1 1 y= x = y 2 = x 2= K2 R K2 R K2 1 = y 1 = x 1 = x 1 K2 R = K2 x K2 R 11 K2 R

Sea x E y sea R = x

2

x

1

= Supongamos que existen K1 , K2 > 0 tal que x

1

K2 x

2

y x

2

K1 x 1 , x E .

(1) x E, R > 0, R > 0 tal que B (x, R ) B 2 (x, R). (2) R > 0, R > 0 tal que B 2 (x, R ) B (x, R ).

Supongamos que A es abierto en (E, d2 ).2 = x A, Rx > 0, Bo (x, Rx ) A 2 = A = Bo (x, Rx ) xA 2 De (1) se tiene que existe Rx > 0 tal que Bo (x, Rx ) Bo (x, Rx ) A

= A =xA

Bo (x, Rx )

= A es abierto en (E, d1 ).

Para probar que Si x1

1

y

2

son equivalentes, hay que probar que se tienen las armaciones (1) y (2).2

K2 x 2 , x E , entonces si x

R, entonces x2

1

K2 R.

B 2 (0, R) = {x E : x

R} = B 2 (0, R) B (0, K2 R)1

B (0, K2 R) = {x E : x

K2 R} = (2)

Si (E, d) es un e.m. cualquiera, siempre podemos encontrar una mtrica d equivalente a d que hace a E un e.m. acotado. Por ejemplo d (x, y) = m {1, d(x, y)}. El dimetro de E con d es 1. nNota:

20

1.3. Espacios mtricos completosSea (E, d) e.m.

Sea (xn )n0 una sucesin de elementos de E. Se dice que (xn )n0 si existe x E tal que > 0, n0 0 tal que n n0Denicin 1.3.1.

converge

d(x, xn ) <

Dicho de otro modo, (xn )n0 converge a x E si d(xn , x) 0. n

Denicin 1.3.2.n

l xn = x. m

Se dice que x es el

lmite

de (xn )n0 y se escribe xn x si n o

Nota:

Una sucesin puede no tener lmite. Cuando el lmite existe, es nico.E = R con la mtrica usual. Sea la sucesin xn = (1)n . Esta sucesin no

Ejemplo 1.17.

tiene lmite.Ejemplo 1.18.

Sea la sucesin (xn )n0 la cual tiene lmite. Ahora veamos que es nico. Supongamos que a y b son lmites de la sucesin (xn )n0 . Entonces (1) > 0, n0 > 0 tal que n n0 = d(xn , a) < /2 (2) > 0, n0 > 0 tal que n n0 = d(xn , b) < /2 De (1) y (2). Si n mx {n0 , n0 } a

Entonces el lmite es nico.Teorema 1.3.1.

= d(xn , a) < /2 y d(xn , b) < /2 = d(a, b) d(a, xn ) + d(xn , b) Como esto es vlido > 0 d(a, b) = 0 = a = b.

Sea A E .

1. x A existe una sucesin (xn )n0 de elementos de A que convergen a x. 2. A es cerrado el lmite de cualquier sucesin convergente (xn )n0 de elementos de A, est en A.

Demostracin:1.

= Supongamos que x A.

21

Entonces R > 0, B(x, R) A = . En particular, para R = 1/n, n N, existe xn B(x, 1/n) A. La sucesin (xn )n0 es una sucesin de elementos de A (cada xn A) que converge a x d(x, xn ) 1/n 0 . n

= Sea (xn )n0 una sucesin de elementos de A que converge a x. Esto signica que > 0, n0 0 tal que d(x, xn ) < , n n0 , es decir, xn B(x, ), n n0 . Como esto es cierto > 0 y cada xn A, se tiene que R > 0, B(x, R) A = = x A. = Si A es cerrado, entonces A = A. Entonces si (xn )n0 es una sucesin de elementos de A que converge a x E . Por parte 1., x A = A.2.

= Supongamos que el lmite de cualquier sucesin de elementos de A que converge, est en A.

Entonces, dado x A, por la parte 1. , (xn )n0 sucesin de elementos de A tal que xn x. n

= x A = A A. Como A A = A = A = A es cerrado.

1.3.1. Puntos de acumulacin de una sucesinDenicin 1.3.3.

punto de

(xn )n0 .

Sea (xn )n0 una sucesin de elementos de E. Un elementos x E es un acumulacin de (xn )n0 si > 0, B(x, ) contiene una innidad de elementos de

Sea E = R con la mtrica usual. Tomamos la sucesin (xn )n0 con xn = (1)n , entonces x = 1 y y = 1 son puntos de acumulacin de (xn )n0Ejemplo 1.19.

Supongamos que (xn )n0 es una sucesin que converge a x E . Primero veremos que el lmite es necesariamente un punto de acumulacin. Como x es el lmite de (xn )n0 , entonces > 0, n0 0 tal que n n0 , xn B(x, ). = xn0 , xn0 +1 , . . . estn en B(x, ). Luego, en B(x, ) hay una innidad de elementos de (xn )n0 . Como esto es vlido > 0, entonces x es un punto de acumulacin. Supongamos que y E es otro punto de acumulacin de (xn )n0 . Supongamos que x = y , entonces d(x, y) = > 0.

Si (xn )n0 es una sucesin de elementos de E que converge a x E , entonces x es el nico punto de acumulacin de la sucesin. Demostracin:Proposicin 1.3.1.

22

Luego, tomando R /3, B(x, R) B(y, R) = . Como xn x, entonces existe n0 0 tal que n n0 , xn B(x, R). n

Luego, como B(x, R) B(y, R) = , entonces los nicos elementos de (xn )n0 que pueden estar en B(y, R) son x0 , x1 , . . . , xn0 1 , que es un nmero nito de elementos. = y no es punto de acumulacin.Nota:

De la propiedad anterior, se concluye que si (xn )n0 es una sucesin que tiene dos puntos de acumulacin distintos, entonces (xn )n0 no converge.Denicin 1.3.4.

Sea (xn )n0 una sucesin en E. Si (kn )n0 es una sucesin en N tal que 0 k0 k1 , entonces (xkn )n0 es una subsucesin de (xn )n0 . Sea (xn )n0 una sucesin de E. x E es un punto de acumulacin de (xn )n0 existe una subsucesin (xkn )n0 de (xn )n0 que converge a x.Proposicin 1.3.2.

= Supongamos que existe una subsucesin (xkn )n0 de (xn )n0 que converge a x. = > 0, n0 0 tal que n n0 , xkn B(x, ) = hay una innidad de puntos de (xn )n0 que estn en B(x, ), los cuales son xkn0 , xkn0 +1 , . . . . = x es un punto de acumulacin. = Supongamos que x E es un punto de acumulacin de (xn )n0 , entonces > 0, hay una innidad de puntos de la sucesin en B(x, ).

Demostracin:

Como es > 0, tomamos = 1 (paso 1)xk1 B(x, 1), xk1 (xn )n0

Tomamos = 1/2 (paso 2) Como hay una innidad de elementos en la sucesin en B(x, 1/2), se puede tomarxk2 B(x, 1/2), con k2 > k1

As sucesivamente . . . Tomamos = 1/n (paso n) Tomamos xkn B(x, 1/n), con kn > kn1 . Luego, (xkn )n1 es una subsucesin de (xn )n0 . Adems, como d(x, xkn ) 1/n se tiene que xkn x. n

23

1.3.2. Sucesiones de CauchySea (xn )n0 una sucesin de elementos de E. Se dice que (xn )n0 es Cauchy si > 0, n0 0 tal que m, n n0Denicin 1.3.5.

de

d(xn , xm ) <

Si (xn )n0 es una sucesin convergente entonces (xn )n0 es de Cauchy. Al revs, no necesariamente es cierto. En efecto Si (xn )n0 converge a x, entonces > 0, n0 0 tal que n n0Nota:

d(x, xn ) < /2

para m, n n0d(xm , xn ) d(xm , x) + d(x, xn ) < /2 + /2 = = (xn )n0 es de Cauchy.Ejemplo 1.20.

Sea E = (0, 1) con la mtrica usualxn = 1 , n2 n

(xn )n2 es de Cauchy pero no converge.Denicin 1.3.6.

cios mtricosEjemplo 1.21.

Los e.m. donde todas las sucesiones de Cauchy convergen se llaman completos.E = R con la mtrica usual es completo.

espa-

Teorema 1.3.2.

tonces

Sea (E, d) e.m. cualquiera, y sea (xn )n0 una sucesin de Cauchy en E. En-

1. Toda subsucesin de (xn )n0 es de Cauchy. 2. (xn )n0 es acotada, es decir, existe R > 0 tal que (xn )n0 est contenida en una bola de radio R. 3. Si (xn )n0 tiene un punto de acumulacin x E , entonces (xn )n0 converge a x.24

Supongamos que (xn )n0 es una sucesin de Cauchy. Tomamos = 1. Entonces, existe n0 0 tal que m, n n0 con d(xm , xn ) 1 en particular, si tomamos n = n0 , = m n0 , d(xm , xn0 ) 1 = m n0 , xm B(xn0 , 1)2.

Demostracin:

Probamos que todos los xm B(xn0 , 1), pero con m n0 . Falta ver que pasa con todos los xm con m < n0 . Tomemos R = mx {d(xn0 , x0 ), d(xn0 , x1 ), . . . , d(xn0 , xn0 1 ), 1} a Se tiene que B(xn0 , R) contiene a todos los elementos de la sucesin.3.

Supongamos que x es un punto de acumulacin de Cauchy (xn )n0 . Entonces existe (xkn )n0 una subsucesin que converge a x = (1) > 0, n0 0 tal que n n0 , d(x, xkn ) < /2 (2) > 0, m0 0 tal que m, n m0 , d(xm , xn ) < /2 Sea > 0 y sea n0 y m0 como en (1) y (2) respectivamente. Sea r0 = mx {n0 , m0 } a Sea n r0d(x, xn ) d(x, xkn ) + d(xkn , xn ) < /2 + /2por (1) por (2)

= = d(x, xn ) 0. = (xn )n0 converge a x.Nota:n

1. Si una sucesin de Cauchy no converge, entonces, no

tiene

puntos de acumulacin.

2. Si (xn )n0 es una sucesin de Cauchy que tiene alguna subsucesin convergente, entonces (xn )n0 es convergente.

1.3.3. Teorema de la interseccin de CantorTeorema 1.3.3. (de la interseccin de Cantor)

Sea (E, d) e.m.25

(E, d) completo Si (Fn )n0 es una sucesin de conjuntos cerrados no vacos de E tales que F0 F1 F2 y diam(Fn ) 0, entonces Fn = n n0

Un e.m. (E, d) es completo para toda sucesin (Fn )n0 , con Fn = B(xn , Rn ) para algn xn E y Rn > 0 tal que Fn+1 Fn y Rn 0, se tiene que Teorema 1.3.4.n

Fn = n0

Supongamos que Fn = B(xn , Rn ) con Fn+1 Fn y Rn 0. n Primero, veamos que (xn )n0 es una sucesin de Cauchy. Sea > 0 Como Rn 0, entonces n0 0 tal que n n0 , 0 < Rn < . (1) n

. Demostracin:

Fn0 = B(xn0 , Rn0 ) n n0 , B(xn , Rn ) B(xn0 , Rn0 ). (2)

tomemos m, n n0 .d(xm , xn ) d(xm , xn0 ) + d(xn0 , xn ) 0 y Rn0 > 0 = d(x, xn0 ) d(xn , xn0 ) d(x, xn ) Rn0 Rn0 Rn0

= Rn0 d(x, xn ) ==

ya que xn x n

>0

0

= x n0

B(xn , Rn ) =n0

B(xn , Rn ) =

26

= Supongamos que se cumplen las hiptesis para la sucesin de bolas (Fn )n0 . Para probar que (E, d) es completo, hay que probar que cualquier sucesin de Cauchy converge.

Sea (xn )n0 una sucesin de Cauchy en E . 1 1 Sea = n+1 , existe kn 0 tal que m, k kn , d(xm , xk ) < = n+1 . 2 2 Vamos a tomar la subsucesin (xkn )n0 . Sea kn = B xkn ,1 . Veamos que (kn )n1 satisface las propiedades del teorema: 2n 1 0. Por otro lado 2n

Es directo que Rn = sea y B xkn+1 ,1

2n+1 d(y, xkn ) d(y, xkn+1 ) + d(xkn+1 , xkn ) 1 1 1 + = n 2n+1 2n+1 2

= B xkn+1 , = =n0

1 2n+1 1 2n 1 2n

B xkn ,

1 2n

B xkn ,

es una sucesin que cumple las hiptesis.n0

B xkn ,

= B xkn , 1 2n = d(x, xkn ) 1 , 2n n = d(x, xkn ) 0.n

Luego existe x n0

= xkn x n = xn x n = la sucesin de Cauchy converge. = (E, d) es completo.

En el teorema de la interseccin de Cantor es importante pedir que diam(Fn ) 0. n E = R con la mtrica usual. Fn = [n, +) es cerrado en R, diam(Fn ) 0, Fn+1 Fn , pero Fn = .Nota:n0

Sea (E, d) e.m. completo y sea (On )n0 una sucesin de abiertos densos en E. Entonces es un conjunto denso en E. Demostracin:n0 n0

Teorema 1.3.5. (de Baire)

On

Sea (On )n0 una sucesin de abiertos densos en E. Sea A = On E . Para probar que A es denso hay que ver que para todo abierto de E , A = .

27

Vamos a construir una sucesin (B(xn , n ))n0 tal que B(xn+1 , n+1 ) B(xn , n ) y n 0. Como el e.m. es completo se tendrn0

B(xn , n ) = . B(xn , n ) est en A.n0

n

Construiremos las bolas de manera que el elemento x

Paso 0 Como O0 es denso en E , x0 O0 . Como O0 es abierto, 0 > 0 tal que B(x0 , 0 ) O0 . Paso 1 Como O1 es denso en E , x1 O1 Bo (x0 , 0 ). Como O1 Bo (x0 , 0 ) es abierto, 1 > 0 tal que Bo (x1 , 1 ) O1 Bo (x0 , 0 ). . . . Paso n Como On es denso en E , xn On Bo (xn1 , n1 ) Como On Bo (xn1 , n1 ) es abierto, 1 n < n tal que Bo (xn , n ) On Bo (xn1 , n1 ).2abierto

La sucesin de bolas (B(xn , n ))n0 satisface:B(xn+1 , n+1 ) B(xn , n ), n 0. 1 n 0 ya que n 0. n 2 n

Por el teorema de la interseccin de Cantor, x n0

B(xn , n ).

= x n0

On = A.

Como B(xn , n ) , n = x = x A = . Como es cualquier abierto en E = A = On es denso en E .n0

Proposicin 1.3.3.

Teorema de Baire Sea (E, d) e.m. completo y sea (Fn )n0 una sucesin de cerrados con interior vaco. Entonces Fn tiene interior vaco.n0

Teorema 1.3.6.

Sea (E, d) e.m. (no necesariamente completo). Existe un e.m. (E , d ) completo y una funcin f : E E tal que: 1. d(x, y) = d (f (x), f (y)), x, y E . 2. f (E) es denso en E .

28

CAPTULO 2

CONJUNTOS CONEXOS Y COMPACTOS

2.1. Conjuntos conexosSea (E, d) e.m.

2.1.1. Conjuntos separadosDenicin 2.1.1.

Sean A, B E . Se dice que A y B son separados si AB = y AB = .

Nota:

1. Si A y B son separados entonces A B = , pues A B A B = . El recproco no es cierto. 2. Sabemos que d(A, B) = nf d(a, b). aA, bB Si d(A, B) = > 0, entonces A y B son separados. Si no fueran separados, se tendra A B = o A B = . Si A B = , entonces existira x A y x B . Como x B , entonces d(x, B) = 0, es decir, x A e d(x, y) = 0 ==. nf yB Sin embargo pueden haber conjuntos A, B E tales que d(A, B) = 0 y A y B separados.Ejemplo 2.1.

Sea A = (, 0) y B = (0, +). Luego A y B son separados y d(A, B) = 0.

Propiedades:

29

1. Si A y B son separados y A1 A y B1 B , entonces A1 y B1 son separados. 2. Si A y B son cerrados. A y B son separados A y B son disjuntos. 3. Si A y B son abiertos. A y B son separados A y B son disjuntos.

Demostracin:

= Sabemos que si A y B son separados, entonces A y B son disjuntos. = Supongamos que A y B son abiertos tales que A B = .

Supongamos que A y B no son separados, es decir, A B = o A B = . Supondremos A B = . Entonces existe x A y x B . Como x B , > 0, B(x, ) B = , pero x A implica que > 0 tal que B(x, ) A, es decir, B(x, ) B = ==. Luego A y B deben ser separados.

4. Si un conjunto abierto O es la unin de dos conjuntos separados O1 y O2 , es decir, O = O1 O2 , entonces O1 y O2 son abiertos. 5. Si un conjunto cerrado F es la unin de dos conjuntos separados F1 y F2 , es decir, F = F1 F2 , entonces F1 y F2 son cerrados.A E es disconexo si A se escribe como unin de dos conjuntos, no vacos, separados. Es decir, A = A1 A2 , con A1 y A2 separados y no vacos.Denicin 2.1.2. Denicin 2.1.3.

A es conexo si A no es disconexo E es conexo los nicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la

Proposicin 2.1.1.

vez, son y E.Proposicin 2.1.2.

Sea A E . A es conexo los nicos conjuntos abiertos y cerrados de A son el y A. Sea A, B E .

Proposicin 2.1.3.

1. Si A es conexo, entonces A es conexo. 2. Si A y B son conexos y no separados, entonces A B es conexo. 3. Si A y B son conexos y A B = , entonces A B es conexo. 4. Si (Ai )iI una coleccin de conjuntos conexos tal queiI

Ai = , entoncesiI

Ai es conexo.

30

5. Si x, y A existe un subconjunto conexo de A que contiene a x e y, entonces A es conexo.

Sea (E, d) e.m. En E se dene la siguiente relacin de equivalencia:x y existe A E conexo tal que x, y A. es una relacin de equivalencia.

Recordar que una clase de equivalencia de son los conjuntos[x] = {y E : x y}

La coleccin de clases de equivalencia de es una particin de E . Pero adems, cada clase de equivalencia es un conjunto conexo, y es el conjunto conexo ms grande que contiene a los puntos que estn en l. [x] es la unin de todos los conexos que contiene a x. Como [x] es la unin de conjuntos conexos cuya interseccin es no vaca (contiene al menos a x), necesariamente es conexo.Denicin 2.1.4.

Las clases de equivalencias de son las componentes Las componentes conexas son cerrados.

conexas

de E

Proposicin 2.1.4.

Nota:

Los nicos conjuntos conexos en Q son los singleton, es decir, los conjuntos {q}, con q Q.Denicin 2.1.5.

Q no es conexo.

A es totalmente disconexo si los nicos conjuntos conexos son los conjuntos que contienen un solo elemento (singleton).Teorema 2.1.1.

Sea O R un abierto. Existe una coleccin numerable de intervalos abiertos disjuntos {(ai , bi )}i0 tal que O =i0

(ai , bi ).

2.2. Conjuntos compactosSea (E, d) e.m. 31

Denicin 2.2.1.

de E tales que E =

1. Un

recubrimiento

O .abierto

de E es una coleccin {O } se subconjuntos

2. Se dice recubrimiento

si O es abierto, .

3. Un subrecubrimiento del recubrimiento {O } es una subcoleccin {O } con tal que E = O .

Un subrecubrimiento de un recubrimiento es una subcoleccin de elementos del recubrimiento que es recubrimiento.Nota: Ejemplo 2.2.

On =nZ nZ

R con la mtrica usual On = (n 1, n + 1) para n Z, entonces (n 1, n + 1) = R

= {On }nZ es un recubrimiento abierto de R, pero no tiene subrecubrimientos diferentes de {On Z}.Nota:

Del ejemplo anterior, R con la mtrica usual, no es compacto.compacto

Denicin 2.2.2.

El e.m. E es cubrimientos nitos.Denicin 2.2.3.

si todo recubrimiento abierto de E tiene subre-

1. A E es compacto si es compacto como subespacio mtrico de E.compacto

2. A E es relativamente pacto. Demostracin:Proposicin 2.2.1.

si A es compacto.

Si E es un e.m. compacto entonces los conjuntos cerrados en E son com-

Supongamos que E es compacto. Sea F E cerrado. Sea {O } un recubrimiento abierto (con respecto a F ) de F . Luego O = O F con O abierto en E , . O (E F ) = E . O (E F ) ,abierto en E recubrimiento abierto de contiene a

F n

E

Como E es compacto, existe n < y O1 , O2 , . . . , On , (E F ) {O } (E F ) tal que(E F ) = E . Oi = Oi F {O }n i=1

Oi

F =i=1

Oi

32

= {Oi }n es un subrecubrimiento nito de {O } i=1 = F es compacto.Proposicin 2.2.2.

Supongamos que A E es compacto. Probaremos que (E A) es abierto. Sea a (E A). Para todo x A, existe x > 0 y x > 0 tal que Bo (a, x ) Bo (x, x ) = Luego como (Bo (x, x ) A) = A = {Bo (x, x ) A}xA es un recubrimiento abierto de A.xA n

Sea E un e.m. (no necesariamente compacto). Si A E es compacto, entonces A es cerrado. Demostracin:

Como A es compacto, existe n < y x1 , x2 , . . . , xn A tal que A ={Bo (xi , xi ) A}n es un subrecubrimiento nito de {Bo (x, x ) A}xA . i=1n

(Bo (xi , xi ) A), asi=1

Sea V =A.i=1

Bo (a, xi ), entonces V es un abierto, pues es interseccin nita de abiertos, y contiene a

Si x A, existe 1 i n tal que x Bo (xi , xi ). Como Bo (xi , xi ) Bo (a, xi ) = , entonces x V . / Luego V (E A) = (E A) es abierto. = A es cerrado.Nota:

Los cerrados en un e.m. compacto son compactos. Los compactos en un e.m. son cerrados. Sin embargo, en un e.m. cualquiera no necesariamente cualquier cerrado es compacto. En un e.m. compacto, los cerrados y compactos coinciden (esto es cierto si el e.m. es compacto).Teorema 2.2.1.

E es un e.m. compacto si {F } es una familia de cerrados tal quen

F = , entonces existen n < y F1 , F2 , . . . , Fn {F } tal que

Fi = .i=1

Demostracin:

= Supongamos que E es compacto. Sea {F } una familia de cerrados tal que

F =

=

(E F ) = E .

= {E F } es un recubrimiento abierto de E .

Como E es compacto, existen n < con E F1 , E F2 , . . . , E Fn {E F } tales que

33

n

E=

(E Fi )i=1 n

= =i=1

Fi . F = posee una subcolec n

= Supongamos que toda coleccin {F } de cerrados tales que

cin nita {Fi }n tal que i=1i=1

Fi = .

Sea {O } un recubrimiento abierto de E . Tomando complemento y usando lo anterior, se prueba que {O } tiene subrecubrimiento nito y por lo tanto E es compacto.

Supongamos que E es compacto. Si (Fn )0 es una sucesin decreciente de cerrados no vacos, es decir, F1 F2 con Fn = n 0 = Fn = .Corolario:n0

Si un conjunto F es cerrado y es la unin de dos conjuntos separados A y B , entonces A y B son cerrados.Proposicin 2.2.3.

2.2.1. Teorema de Weierstrass-BolzanoDemostracin:Teorema 2.2.2.

Si E es compacto, entonces toda sucesin tiene puntos de acumulacin.

Supongamos que E es compacto. Sea (xn )n0 una sucesin en E . Sea An = {xk : k n} con Fn = An = {xk : k n} y An+1 An= An+1 An = Fn+1 Fn y adems, Fn = , pues contiene a xn .

Por el corolario anterior, como E es compacto,n0

Fn = .

Sea x n0

Fn . Entonces x Fn = An = {xk : k n}, n 0.

Sea = 1/n. Como x Amn , existe xmn Amn tal que xmn B(x, 1/n) Sea = 1/(n+1). Como x Amn+1 , existe xmn+1 Amn+1 tal que xmn+1 B(x, 1/(n+1)) B(x, 1/n) As sucesivamente, se obtiene la subsucesin (xmn )n0 tal que d(x, xmn ) < 1/n= xmn x = (xn )n0 tiene puntos de acumulacin.Nota:n

De lo anterior se deduce que si E es compacto, entonces es completo. 34

Proposicin 2.2.4.

Si E compacto, entonces E es acotado.

Lema 2.2.1. (del nmero de Lebesgue)

Supongamos que E es un e.m. donde todas las sucesiones tienen puntos de acumulacin (secuencialmente compacto). Entonces para todo recubrimiento abierto {O } de E existe > 0 tal que toda bola de radio est contenida en algn abierto del recubrimiento. Es decir,x E, tal que B(x, ) O .

A se llama el nmeroLema 2.2.2.

de Lebesgue

del recubrimiento.

Sea E un e.m. tal que toda sucesin en E tiene puntos de acumulacin > 0, existe un nmero nito de bolas de radio que recubre E. Es decir, existen x1 , x2 , . . . , xn E tal que E =n

B(xi , ).

i=1

Teorema 2.2.3. (Bolzano-Weierstrass)

E es compacto toda sucesin tiene puntos de acumulacin. Demostracin:= Ya lo probamos.

= Supongamos que E es un e.m. donde toda sucesin tiene puntos de acumulacin. Sea {O } un recubrimiento abierto de E .

Del primer lema = > 0 tal que toda bola de radio est contenida en algn conjunto del recubrimiento. (1)n

Del segundo lema = n < , y x1 , x2 , . . . , xn E tal que E = De (1), se tiene que i tal que B(xi , ) = O , 1 i nn n i=1

B(xi , ).

= E =i=1 n

B(xi , ) i=1

Oi E .

= E = =

Oi .

es un subrecubrimiento nito de {O } . = E es compacto.Ejemplo 2.3.t[0,1]

i=1 {Oi }n i=1

Sea E = C([0, 1], R) = {f : [0, 1] R, f continua} con la mtrica d(f, g) = sup |f (t) g(t)|.t[0,1]

Sea A = f E : sup 1 = B(f = 0, 1) E . Entonces A es cerrado y acotado.35

Probaremos que A no es acotado. Para esto construiremos una sucesin (fn )n1 A que no posee subsucesiones convergentes. Sea n 1 tal quefn (t) =1 1 nt 0 t n 1 0 t1 n

Sea m > n

fn (1/m) = 1 n/m y fm (1/m) = 0 = |fn (1/m) fm (1/m)| = 1 n/m entonces, d(fn , fm ) = sup |fn (t) fm (t)| 1 n/m ()

Si tuviramos una subsucesin convergente (fnl )l1 tal que fnl f , entonces > 0, l0 tal l que l l0 ,d(fnl , f )

t[0,1]

Luego, si l > l l0d(fnl , fnl ) d(fnl , f ) + d(f, fnl ) 2

lo que no puede ocurrir por ()De este ejemplo, se concluye que en ciertos e.m., no cualquier cerrado y acotado es compacto.Nota: Proposicin 2.2.5.

Cualquier cerrado y acotado en R (con la mtrica usual) es compacto. Demostracin:Corolario:

compactos.

En R con la mtrica usual todos los intervalos [a, b] con a b R son

Sea A R cerrado y acotado. Como A es acotado, existen a b R tal que A [a, b]. Como [a, b] es compacto y A [a, b] es cerrado, entonces A es compacto.Proposicin 2.2.6.

Considere Rn equipada con la cualquiera de las mtricas siguientes:n

d1 ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) =j=1

|xj yj |n

d2 ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) =j=1

(xj yj )2 mx |xj yj | a

d3 ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) =

1jn

36

los conjuntos de la forma [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ] son compactos. Donde aj bj R para 1 j n.Nota:

En un e.v. normado de dimensin nita, todos los cerrados y acotados son compactos. En un e.v. normado de dimensin innita, hay cerrados y acotados que no son compactos (espacio de funciones continuas).

37

CAPTULO 3

FUNCIONES ENTRE ESPACIOS MTRICOS

3.1. Lmite y continuidad de funciones3.1.1. CaracterizacionesSean E1 , E2 conjuntos y f : E1 E2 funcin. Sea A E1 y B E2 donde f (A) = {f (x) : x A} y f 1 (B) = {x E1 : f (x) B}.Nota:

Podemos hablar de inversa sin necesidad que f sea inyectiva.

Propiedades:

1. Si A B E1 = f (A) f (B). 2. f (A B) = f (A) f (B) 3. f (A B) f (A) f (B) (= si f es 1-1). 4. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). 5. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). 6. f 1 (E2 B) = E1 f 1 (B). 7. Si f (A) = B = A f 1 (B) (= si f es 1-1). 8. Si A = f 1 (B) = f (A) B (= si f es sobre). 38

Denicin 3.1.1.

que si

Una funcin f : E1 E2 es

continua en x0 E1 ,

si > 0, > 0 tal

d(x, x0 ) = d(f (x), f (x0 )) B(x0 ,)f 1 (B(f (x0 ),))

donde depende del punto.Denicin 3.1.2.

continua.Ejemplo 3.1.

Si f : E1 E2 es continua en todo x0 E1 , entonces se dice que f es

Sea (E, d) e.m. cualquiera. Consideremos R con la mtrica usual, A E no vacof : E R x d(x, A) = d(x, y) nfyA

f es continua. En efecto, sea > 0d(x, A) = d(x, y) nfyA

existe y A tal qued(x, y) d(x, A) + /2

Sea x B(x, /2)d(x , A) d(x , A) d(x , x) + d(x, y) /2 + d(x, A) + /2 = d(x, A) + /2 = d(x , A) d(x, A) (1)

Haciendo lo mismo, pero tomando x en el lugar de x y x en el lugar de x , se obtiene qued(x, A) d(x , A) (2) =(1), (2) |d(x, A) d(x , A)| , es decir, |f (x) f (x )|

Luego, para = /2 se tiened(x, x ) = d(f (x), f (x ))

39

Teorema 3.1.1.

O E2 .

f : E1 E2 es continua f 1 (O) es abierto en E1 para todo abierto

= Supongamos que f : E1 E2 es continua. Sea O E2 un abierto. Sea x0 f 1 (O), entonces f (x0 ) O. Como O es abierto, > 0 tal que Bo (f (x0 ), ) O. Como f es continua, > 0 tal que Bo (x0 , ) f 1 (Bo (f (x0 ), )) = Bo (x0 , ) f 1 (O) = f 1 (O) es abierto. = Supongamos que la preimagen de cualquier abierto es abierto.

Demostracin:

Sea x0 E1 . Sea > 0. Como Bo (f (x0 ), ) es un abierto en E2 , entonces f 1 (Bo (f (x0 ), )) es un abierto en E1 . Como x0 f 1 (Bo (f (x0 ), )), entonces > 0 tal que Bo (x0 , ) f 1 (Bo (f (x0 ), )).Teorema 3.1.2.

Demostracin:Teorema 3.1.3.

f : E1 E2 es continua la preimagen de cualquier cerrado es un cerrado

Usar complemento y f 1 (E2 A) = E1 f 1 (A)f : E1 E2 es continua en x0 E1 para toda sucesin (xn )n0 es E1 , que converge a x0 se tiene que (f (xn ))n0 converge a f (x0 ), es decir xn x0 = f (xn ) f (x0 ) n n

= Supongamos que f es continua en x0 E . Sea (xn )n una sucesin tal que xn x0

Demostracin:

Sea > 0. Como f es continua, > 0 tal que B(x0 , ) f 1 (B(f (x0 ), )). Como xn x0 , n0 0 tal que n n0 , entonces xn B(x0 , ) f 1 (B(f (x0 ), )) = f (xn ) B(f (x0 ), ) = f (xn ) f (x0 ). n n

n

= Supongamos que para toda sucesin (xn )n0 tal que xn x0 se tiene que f (xn ) f (x0 ) n n Suponiendo que f no es continua en x0 para llegar a una contradiccin. Si f no es continua > 0, tal que > 0, x en B(x0 , ) que verica f (x ) B(f (x0 ), ) /

Luego, para = 1/n, xn B(x0 , 1/n) tal que |f (xn ) f (x0 )| > = xn x0 y f (xn ) f (x0 ) == n = f debe ser continua.

40

3.1.2. HomeomorsmosSean (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) dos e.m.Denicin 3.1.3.

f : E1 E2 es un homeomorsmo si:

f es continua. f es biyectiva.f 1 es continua.Ejemplo 3.2.

1.id : (E1 , d1 ) (E1 , d1 ) x x

es biyectiva, continua y id1 = id es continua = id es un homeomorsmo. 2. Sean E1 = R, d1 la mtrica discreta y E2 = R, d2 la mtrica usual. Tomamosf : (E1 , d1 ) (E2 , d2 ) x x f es biyectiva, y es continua pues si A E2 es abierto, entonces f 1 (A) = A tambin es abierto en E , pero f 1 no es continua, pues {x} E1 es un abierto en E1 y f ({x}) = {x} no es abierto en E2 .Proposicin 3.1.1.

d1 y d2 son mtricas equivalentes de E id : (E, d1 ) (E, d2 ) x x

es un homeomorsmo. Sea f : E1 E2 continua y biyectiva. Entonces f es homeomorsmo la imagen de cualquier abierto en E1 es un abierto en E2 . Es decir, f (A) E2 es un abierto A E abierto.Teorema 3.1.4. Teorema 3.1.5.

f es un homeomorsmo la imagen de cualquier cerrado es un cerrado.

41

3.1.3. Funciones continuas sobre conexos y compactosSean (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) dos e.m.Proposicin 3.1.2.

f (A) es conexo.

Sea f : E1 E2 continua. Luego para todo conexo A E1 se tiene que

Demostracin:

Vamos a tomar la restriccin de f a A, es decir, f A : A f (A). Sea B f (A) tal que B es un abierto y cerrado en f (A). Para ver que f (A) es conexo, debemos probar que B = o B = f (A). Notar que, al ser f continua, se tiene que f 1 (B) es un abierto y cerrado en A. Como A es conexo, necesariamente se tiene f 1 (B) = o f 1 (B) = A. Luego, si f 1 (B) = , entonces B = , y si f 1 (B) = A, entonces f (A) B y, por lo tanto, B = f (A). = f (A) es conexo.

Una aplicacin del teorema anterior es lo siguiente.

Si (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) son conexos, entonces (E1 E2 , d) es conexo, donde: d= + , d = d1 + d2 o d = mx {d1 , d2 }. a Demostracin:Proposicin 3.1.3.

d2 1

d2 2

Para ver que E1 E2 es conexo, probaremos que posee una sola componente conexa. Sean (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) (E1 E2 ), probaremos que hay un conexo que contiene a (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ). Sean

f : E1 E1 E2 x (x, b2 ) f y g son continuas (probarlo).

g : E2 E1 E2 x (a1 , x)

Luego , f (E1 ) = E1 {b2 } es conexo, pues E1 es conexo (pues es homeomorfo a E1 ). Por otro lado g(E2 ) = {a2 } E2 es conexo, pues E2 es conexo. Como f (E1 ) g(E2 ) = , se tiene que f (E1 ) g(E2 ) es conexo.(E1 {b2 }) ({a1 } E2 ) = {(x, b2 ) : x E1 } {(a1 , x) : x E2 } (x, y) con x = a1 y y = b2 . (a1 , a2 ) (E1 {b2 }) ({a1 } E2 )

42

(b1 , b2 ) (E1 {b2 }) ({a1 } E2 ) = (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ) estn en la misma componente conexa = Como esto es vlido para todo par (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), entonces E1 E2 tiene una sola componente

conexa.= E1 E2 es conexo.Denicin 3.1.4.

Sea (E, d) e.m.. Un arco o camino que une los puntos a, b E es una funcin continua f : [, ] E , donde R y f () = a y f () = b.Denicin 3.1.5.

f que une a y b de manera que la imagen del camino est en A.Teorema 3.1.6.

A E es conexo por caminos o por arcos si a, b A, existe un camino

Demostracin:B=A = A =

Si A E es conexo por caminos = A es conexo.

Sea A E conexo por caminos. Supondremos que A no es conexo. Entonces, existe B A abierto y cerrado en A tal que B = yBabto-cerr

(A B), B = y (A B) = .abto-cerr

Luego, existen b B y a (A B). Como A es conexo por caminos, existe f : [, ] A continua tal que f () = a y f () = b. Como [, ] es conexo y f continua, entonces f ([, ]) es conexo. Luegof ([, ]) = (f ([, ]) B) (f ([, ]) (A B))

Como f ([, ]) es compacto, es cerrado = f ([, ]) B es cerrado y f ([, ]) (A B) es cerrado. = f ([, ]) es la unin de dos cerrados disjuntos no vacos ==. pues f ([, ]) es conexo. = A debe ser conexo.Proposicin 3.1.4. Proposicin 3.1.5.

A Rn es conexo es conexo por arcos.

Para probar que f (E1 ) es compacto, basta ver que cualquier sucesin en f (E1 ) tiene subsucesiones convergentes.

compacto. Demostracin:

Sea f : E1 E2 continua. Si E1 es compacto, entonces f (E1 ) E2 es

43

Sea (yn )n0 una sucesin en f (E1 ). Como yn f (E1 ), existe xn E tal que f (xn ) = yn , n 0. La sucesin (xn )n0 est en E1 . Como E1 es compacto, (xn )n0 tiene subsucesiones convergentes, es decir, existe xnk x E1k

Como f es continuaf (xnk ) f (x) f (E1 )y nk

= (ynk )k0 es una subsucesin convergente de (yn )n0 = f (E1 ) es compacto.Corolario:

Sea f : E1 E2 continua. Si A E1 es compacto, entonces f (A) es compacto.

Si f : E1 E2 es continua, no siempre es cierto que la preimagen de un compacto es un compacto.Nota: Ejemplo 3.3.

E1 = E2 = R, ambas con la mtrica usual. Sea la funcin f :R R x 0

Luego f es continua. Adems {0} es compacto en R, pero f 1 ({0}) = R no es compacto.Si f : E1 E2 es continua, la preimagen de un abierto es abierto, la preimagen de un cerrado es cerrado, la imagen de un compacto es compacto. Al revs, no necesariamente es cierto.Nota: Corolario:

morsmo. Demostracin:

Sea f : E1 E2 continua y biyectiva. Si E1 es compacto, entonces f es homeo-

Si f : E1 E2 es continua y biyectiva, para probar que f es un homeomorsmo basta ver que la imagen de un abierto es un abierto o que la imagen de un cerrado es un cerrado. Si A E es cerrado, entonces A es compacto, pues E1 es compacto, luego f (A) es compacto = f (A) es cerrado. = f es un homeomorsmo.

Sea f : E R una funcin continua. Si E es compacto, entonces f (E) tiene nmo y supremo y stos se alcanzan. Es decir, a = {f (E)} y b = sup {f (E)}, entonces nf existen xa , xb E tal que f (xa ) = a y f (xb ) = b. En este caso se dice que f tiene mximo y mnimo.Teorema 3.1.7.

44

Demostracin:Como E es compacto y f es continua, f (E) R es compacto. Esto implica que f (E) es acotado. Luego existen a = {f (E)} R y b = sup {f (E)} R. nf Como f (E) es compacto, entonces f (E) es cerrado. Luego, a y b estn en f (E) = {y R : x E, f (x) = y} = existen xa , xb E tal que f (xa ) = a y f (xb ) = b.Corolario:

A E es compacto no vaco, entonces x E , existe y A tal que d(x, y) = d(x, A) = d(x, z). nfzA

Demostracin:

Sea x E , entonces la funcinf :A R y d(x, y)

es continua (fcil de probar). Por teorema anterior, {f (E)} = d(x, y) = d(x, A) R y y0 A tal que f (y0 ) = d(x, y). nf nf nf Luego d(y0 , x) = f (y0 ) = d(x, y) = d(x, A). nfyA yA yA

3.2. Continuidad uniformeDenicin 3.2.1.

tal que donde Nota:

Una funcin f : E1 E2 es uniformemented(x, y) = d(f (x), f (y))

continua

si > 0, > 0

no depende

del punto.

Una funcin uniformemente continua es continua. Sin embargo, una funcin continua no necesariamente es uniformemente continua, pues depende de y del punto donde se est en E1 . Una clase particular de funciones uniformemente continuas son los Hlder.Denicin 3.2.2.

f : E1 E2 es Hlder de orden , con 0 1, si k 0 tal que d(f (x), f (y)) kd(x, y) , x, y E1 .

Cuando = 1, se dice que f es Lipschitz, es decird(f (x), f (y)) kd(x, y)

45

Proposicin 3.2.1.

Demostracin:

Las funciones Hlder son uniformemente continuas. k1 1

Si f : E1 E2 es Hlder de orden , dado > 0, para =d(x, y) = k

se tiene que si

entoncesd(f (x), f (y)) kd(x, y) k = k

Nota:

Lipschitz = Hlder = Uniformemente continua = Continua.

Teorema 3.2.1.

continua.

Sea f : E1 E2 continua. Si E1 es compacto, entonces f es uniformemente

Demostracin:

Sea f : E1 E2 continua. Para probar que es uniformemente continua, supondremos que no lo es y llegaremos a una contradiccin. Si f no es uniformemente continua, entonces ( > 0, > 0 tal que d(x, y) = d(f (x), f (y)) )

es decir

> 0, > 0, (x , y ) tal que d(x , y ) = d(f (x ), f (y )) >

Luego, para n > 1 y = 1/n, xn , yn tal que d(xn , yn ) 1/n y d(f (x), f (y)) < . Las sucesiones (xn )n1 e (yn )n1 estn en E1 . Como E1 es compacto, existe (xnk )k0 convergente. Como (ynk )k0 est en E1 y E1 es compacto, existe (ynkl )l0 convergente. Como (xnk )k0 converge y (xnkl )l0 es una subsucesin de (xnk )k0 , entonces (xnkl )l0 tambin converge al mismo lmite que (xnk )k0 . Luego tenemosxnkl x E1 l

ynkl y E1 l

46

Como f es continua, f (xnkl ) f (x) y f (ynkl ) f (y)l l

Como d(xnkl , ynkl ) 1/nkl , entoncesd(x, y) d(x, xnkl ) + d(xnkl , ynkl ) + d(ynkl , y) d(x, xnkl ) +1/nkl + d(ynkl , y)0 0

= > 0, l0 0 tal que d(f (xnkl ), z) y d(f (ynkl ), z) . = d(f (xnkl ), f (ynkl )) 2 (Desigualdad triangular).

= d(x, y) = 0 = x = y = f (x) = f (y) = z = f (xnkl ) z y f (ynkl ) zl l

Si tomamos = /3 (donde > 0 es el del comienzo), entonces d(f (xnkl ), f (ynkl )) 2 < == 3 = f debe ser uniformemente continua.Nota:

da es compacto.

{Funciones continuas} = {Funciones uniformemente continuas}, si el conjunto de parti-

3.2.1. Teoremas de extensinSean (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) dos e.m.

Sean f : E1 E2 y g : E1 E2 dos funciones continuas. El conjunto {x E1 : f (x) = g(x)} es cerrado. Demostracin:Lema 3.2.1.

Una forma de probar que {x E1 : f (x) = g(x)} = A es cerrado, es mostrando que E A es abierto. Sea E A = {x E1 : f (x) = g(x)}. Si x E A, entonces d(f (x), g(x)) = > 0 Como f es continua, para /3 existe 1 > 0 tal qued(x, y) 1 = d(f (x), f (y)) /3

Como g es continua , para /3 existe 2 > 0 tal qued(x, y) 2 = d(g(x), g(y)) /3

47

Tomando = m {1 , 2 }, se tiene nd(x, y) = d(f (x), f (y) /3 d(x, y) = d(g(x), g(y) /3

Luego, si y Bo (x, ) = d(f (x), g(x)) d(f (x), f (y)) +d(f (y), g(y)) + d(g(y), g(x))/3 /3

2 + d(f (y), g(y)) 3 d(f (y), g(y)) 3 = f (y) = g(y) = y E A = Bo (x, ) E A = E A es abierto = A es cerrado.Lema 3.2.2.

Sean f : E1 E2 y g : E1 E2 dos funciones continuas. Si existe A E1 denso tal que f (x) = g(x), x A, entonces f = g, es decir, f (x) = g(x), x E . Demostracin:Sea B = {x E1 : f (x) = g(x)}. Por el lema anterior, B es cerrado. AdemsA B = A B, = E1 B, = B = E1 = f (x) = g(x), x E1Teorema 3.2.2. (de extensin)

B = B, (B cerrado) A = E1 , (A denso)

Sea A E1 denso y sea f : A E2 uniformemente continua con E2 completo. Entonces existe una nica funcin continua g : E1 E2 tal que g A = f , es decir,g(x) = f (x), x A.

3.2.2. Convergencia uniforme y puntualSean (E1 , d1 ) y (E2 , d2 ) dos e.m. y sea (fn )n0 una sucesin de funciones tal que fn : E1 E2 .Denicin 3.2.3.n

Se dice que (fn )n0

converge puntualmente

a f : E1 E2 si x E1 ,

l fn (x) = f (x) m

48

Esto es equivalente a que x E1 , y > 0,n0 0 tal que n n0d(fn (x), f (x))

donde n0 depende del punto y de .Denicin 3.2.4.

0, n0 0 tal que n n0

Se dice que (fn )n0

converge uniformemente

a f : E1 E2 si >

d(fn (x), f (x)) , x E1 .

Esto es equivalente a que > 0, n0 0 tal que n n0sup {d(fn (x), f (x))} xE1

Es decir, es la convergencia puntual con la propiedad extra que n0 depende slo de y no de x.Nota:

Convergencia uniforme = convergencia puntual.

Si (fn )0 es una sucesin de funciones continuas que converge uniformemente a f, entonces f es continua. Demostracin:Teorema 3.2.3.

Como (fn )n0 converge uniformemente a f , entonces > 0, n0 0, tal que n n0d(fn (x), f (x)) /3, x E1

Sea x E1 . Hay que probar que f es continua en x. Sea > 0d(f (x), f (y)) d(f (x), fn (x)) + d(fn (x), fn (y)) + d(fn (y), f (y))

Si tomamos n n0 , se tiened(f (x), fn (x)) /3 d(fn (y), f (y)) /3 = d(f (x), f (y)) /3 + d(fn (x), fn (y)) + /3 Como fn es continua, > 0 tal que si d(x, y) , entonces d(fn (x), fn (y)) /3.

Luego, para y Bo (x, ) se tiene d(f (x), f (y)) /3 + /3 + /3 = = f es continua en x. Como es vlido para cualquier x. = f es continua.

Sea B(E1 , E2 ) = {f : E1 E2 : f acotada} y sea (f1 , f2 ) = sup {f1 (x), f2 (x)}.Denicin 3.2.5.xE1

Proposicin 3.2.2.

(B(E1 , E2 ), ) es un e.m.

49

3.2.3. Teorema del punto joDenicin 3.2.6.

Un

punto jo

de una funcin f : E E es un punto x E tal que

f (x) = xDenicin 3.2.7.

Una funcin f : E E es una contraccin si 0 k < 1 tal qued(f (x), f (y)) kd(x, y)

Nota:

Si f es contraccin, entonces es uniformemente continua.

Demostracin: Unicidad: Supongamos que x, y E . Sea la funcinx y

Teorema 3.2.4.

Si E es completo, entonces toda contraccin tiene un nico punto jo.

f : E E , con constante k < 1 tal que d(f (x), f (y)) kd(x, y) = d(x, y) kd(x, y) = d(x, y) = 0 = x = y

Existencia: Vamos a construir una sucesin (xn )n0 en E , de la manera siguiente:x0 cualquier punto en E x1 = f (x0 ) x2 = f (x1 )

. . .

xn = f (xn1 ), n > 0 d(x, xn+1 ) = d(f (xn1 ), f (xn )) kd(xn1 , xn ) k 2 d(xn2 , xn1 )

. . .

k n d(x0 , x1 ) = d(x, xn+1 ) k n d(x0 , x1 ) d(xn , xx+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xn+p1 , xn+p ) = (k n + k n+1 + + k n+p1 )d(x0 , x1 )

Para > 0, n0 > 0 tal que n n0 tenemos quej=n

kj <

= d(xn , xn+p ) d(x0 , x1 )

50

Como d(x0 , x1 ) es constante = (xn )n0 es de Cauchy. Como E es completo, xn x, donde x es algn elemento de E . n Como f es continua, f (xn ) f (x) y como f (xn ) = xn+1 , n 0 n = f (x) = x.Teorema 3.2.5. (Tietze y Urysohn)

Sea F E cerrado y sea f : F R continua y acotada. Entonces existe g : E R continua tal que g F = fLema 3.2.3.

Para cada par de subconjuntos cerrados A y B de E, existe una funcin continua g : E R tal que 1 si x A g(x) = 1 si x B (1, 1) si x E (A B) con A y B disjuntos.Lema 3.2.4.

Sea F E cerrado y f : F R continua tal que |f (x)| 3, entonces existe g : E R continua tal que:i) |g(x)| 1, x F ii) |f (x) g(x)| 2 iii) |g(x)| < 1, x (E F )Nota:

Si |f (x)| M , entonces la funcin g del lema anterior existe y satisface:

i) |g(x)| M/3, x F ii) |f (x) g(x)| 2M/3 iii) |g(x)| < M/3, x (E F )

Sea F E cerrado. Si f : F R es continua y acotada, entonces existe g : E R continua tal que f = g F .Teorema 3.2.6.

3.3. Espacios de funcionesSupongamos que E y F son dos e.m. 51

Denicin 3.3.1.

funcin}

El conjunto de las funciones que van de E a F se anota F E = {f : E F : f

Denimos la funcin: : F E F E R {+} (f, g) (f, g) = sup d(f (x), g(x))xE

que cumple que 1. (f, f ) = 0 2. Si f, g F E son tales que (f, g) = 0= sup d(f (x), g(x)) = 0xE

= d(f (x), g(x)) = 0, x E = f = g .

3. (f, g) = (g, f ), f, g F E . 4. (f, g) (f, h) + (h, g), g, h, f F E . Para asegurar que sea nita, podemos restringir al espacio de las funciones acotadas o tomar sobre F una mtrica equivalente a la original que sea acotada. Vamos a suponer que sobre F tenemos una mtrica acotada. Entonces (F E , ) es un e.m.Denicin 3.3.2.

El conjunto de las funciones continuas de E en F se escribe C(E, F ).C(E, F ) es cerrado en (F E , )

Proposicin 3.3.1.

C(E, F ) es cerrado si (fn )n0 es una sucesin en C(E, F ) convergente a f F E , entonces f C(E, F ).

Demostracin:

Como (fn )n0 converge uniformemente, f C(E, F ) = C(E, F ) es cerrado.Teorema 3.3.1.

Demostracin:xE

Si F es completo, entonces (F E , ) es completo.

Sea (fn )n0 una sucesin de Cauchy en F E . Entonces > 0, n0 0 tal que n, m n0 , (fn , fm ) < = sup d(fn (x), fm (x)) < = (fn (x))n0 es de Cauchy x E . Como F es completo, (fn (x))n0 converge en F .

52

Sea f (x) = l fn (x), entonces la funcin f est bien denida. Luego, f F E . m n Tenemos que dado > 0, n0 0 tal que n, m n0 , d(fn (x), fm (x)) , x. Fijando n n0 y tomando lmite sobre m, se obtiene:m

l d(fn (x), fm (x)) = d fn (x), l fm (x) = d(fn (x), f (x)) , x E. m mm

= (fn )n0 converge uniformemente a f = F E es completo.Corolario:

Si F es completo, entonces (C(E, F ), ) es completo. Demostracin:Esto es cierto, pues un cerrado de un e.m. completo es completo.

3.3.1. Conjunto equicontinuo o familia equicontinuaDenicin 3.3.3.

que

Un conjunto M F E es

equicontinuo en x0 E

si > 0, > 0 tal

d(x, x0 ) = d(f (x), f (x0 )) , f M.

Se dice que M es equicontinuo, si es equicontinuo en todo x0 E .Nota:

Si M es equicontinuo, entonces toda f M es continua. Es decir, M C(E, F ). Al revs no es cierto. Es decir, existen subconjuntos de C(E, F ) que no son equicontinuos. Por ejemplo, si E = F = R. M = {fn (x) = xn : n > 1} C(R, R), pero no es equicontinuo.

Sea (fn )n0 una sucesin en M equicontinuo que converge puntualmente a una funcin f. Si E es compacto, entonces (fn )n0 converge uniformemente a f, y por lo tanto, f es continua. Demostracin:Lema 3.3.1.

Sea M equicontinuo y (fn )n0 una sucesin que converge puntualmente a f F E . Esto signica que, fn (x) f (x), x E . Es decir, dado x E , > 0, n0 0 tal que n n0 , d(fn (x), f (x)) . n

Como (fn )n0 es un conjunto equicontinuo en x, para > 0, existe x > 0 tal que sid(x, y) x = d(fn (x), fn (y)) < , n 0

La coleccin {Bo (x, x )}xE es un recubrimiento abierto de E . Como E es compacto, existenk

x1 , x2 , . . . , xn E tal que E =i=1

Bo (xi , xi )

53

Sea x cualquier elemento en E . Existe un 1 i k tal que x Bo (xi , xi ). Luegod(fn (x), fn (xi )) , n 0n

(1)

Como fn (xi ) f (xi ), existe ni 0 tal que n ni , d(fn (xi ), f (xi )) Tomando no = mx {nj }, se tiene que n n0 aijk

d(fn (xj ), f (xj )) , 1 j k

(2)

Para n n0 ,d(fn (x), f (x)) d(fn (x), fn (xi )) + d(fn (xi ), f (xi )) + d(f (xi ), f (x))por (1) por (2) por (1)

3

Como esto es cierto para todo x E , se tiene que n n0 ,sup d(fn (x), f (x)) xE (fn ,f )

= fn f (uniformemente). n

Teorema 3.3.2. (Ascoli)

Supongamos que E es compacto. Sea M C(E, F ). Entonces M satisface las dos condiciones siguientes: 1. x E , Mx = {f (x) : f M } verica Mx es compacto. 2. M es equicontinuo M es un subconjunto compacto de C(E, F ) Sea E compacto, entonces M C(E, R o C) M es cerrado, acotado y equicontinuo.Corolario:

3.3.2. Teorema de Stone-WeierstrassComo aplicacin de este resultado se tiene que cualquier funcin en C([a, b], R) se puede aproximar por un polinomio.Teorema 3.3.3. (de Stone-Weierstrass)

Sea E un e.m. compacto, y sea A C(E, R) un conjunto que satisface:54

1. A es un lgebra. Es decir: R, f, g A = f A, f + g A, f g A 2. x E, f A tal que f (x) = 0 3. A separa puntos de E. Es decir, si x, y son dos puntos distintos en E, entonces f A tal que f (x) = f (y). Entonces A es denso en (C(E, R), ) (donde es la distancia de la convergencia uniforme.)Denicin 3.3.4.

Sean f, g C(E, R). Entonces

sup(f, g) es la funcin h que verica h(x) = nf(f, g) es la funcin h que verica h(x) = f (x) si f (x) g(x) g(x) si g(x) < f (x) f (x) si f (x) g(x) g(x) si g(x) > f (x)

f + g |f g| f + g |f g| + y nf(f, g) = . 2 2 2 2 Adems si f,g son continuas = nf(f, g) y sup(f, g) son continuas. sup(f, g) =Lema 3.3.2.

Sea E compacto y A C(E, R) con las propiedades siguientes:

1. f, g A, sup(f, g) e nf(f, g) estn en A. 2. x E , R, f A tal que f (x) = . 3. x, y E tal que x = y, y , R, f A tal que f (x) = y f (y) = . Entonces A es denso en (C(E, R), ).Denicin 3.3.5.

Se dice (fn )n0 es montono si se tiene (1) (2).

(1) fn (x) fn+1 (x), x. (2) fn (x) fn1 (x), x.

55

Sea > 0. Para n 0 denimos Fn = {x E : |fn (x) f (x)| < } es cerrado, pues fn , f y | | son funciones continuas. Como (fn )n0 es montona Fn+1 Fn , n =n0

Sea E compacto y (fn )n0 una sucesin de funciones en C(E, R) que converge puntualmente a una funcin continua f. Si (fn )n0 , entonces la convergencia es uniforme. Demostracin:

Teorema 3.3.4. (de Dini)

Fn = .

Como E es compacto, N0 > 0 tal que FN0 = .= n N0 , Fn = . = n N0 , |fn (x) f (x)| ., x E = sup |fn (x) f (x)| xE

= (fn , f ) = fn f (uniformemente). n

Lema 3.3.3.

Existe una sucesin (un )n0 de polinomios que restringidos a [0, 1] convergen uniformemente a la funcin f (t) = t. Sea E compacto, A C(E, R) un lgebra y A su adherencia en C(E, R). Si f, g A, entonces sup(f, g) e nf(f, g) estn en A.

Lema 3.3.4.

56

CAPTULO 4

ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS

4.1. Espacios vectoriales normados: Un ejemplo de espacios mtricosDenicin 4.1.1.

funcin tal que 1.

Sea E un espacio vectorial sobre K = R o C. Una norma sobre E es una :EK

x > 0, si x = 0 x = 0, si x = 0

2. x = || x , x E , K 3. x + y x + y , x, y EDenicin 4.1.2.

de una norma . A veces se escribe (E, ) para decir que E es un e.v. con la norma (Un e.v. es un e.m.).Proposicin 4.1.1.

Un

espacio vectorial normado (e.v.n.)

es un espacio vectorial dotado

Demostracin:Ejemplo 4.1.

Un e.v.n. (E, ) es un espacio mtrico con la mtrica d(x, y) = x y .

Usando las propiedades de mtrica.

e.v.n.

1. E = Rn . (x1 , . . . , xn )

2

=

x2 + x2 (norma usual) = (Rn , 1 n

2)

57

2. (x1 , . . . , xn )

= mx |xi | es un e.v.n. ai=1,...,n

3. E = {f : [0, 1] R | f continua} = C([0, 1], R). Con f(C([0, 1], R), d) es un e.v.n.Denicin 4.1.3. Nota:

= sup |f (x)|, entoncesx[0,1]

Un e.v.n. que es completo es un espacio Sean (E1 , 1 ), . . . , (En , n

de Banach.

E. fun. uniformemente continuas = E. fun. continuas = Banach = e.v.n. = e.m.n)

Proposicin 4.1.2.

e.v.n. con n < , entonces E =1/p p

n

Eii=1

es un e.v.n. con cualquiera de las normasn

x

1

=i=1

xi ,

x

= sup xi ,1in

x

p

=i=1

xi

.

Teorema 4.1.1.

Sobre un e.v. nito, todas las normas son equivalentes.

4.2. Aplicaciones continuasSean E y F dos e.v.Denicin 4.2.1.

Una funcin L : E F se dice lineal si:

L(x + y) = L(x) + L(y), x, y E . L(x) = L(x), K, x E .

Si F es un e.v.n. de dimensin nita, entonces toda funcin lineal L : E F , donde F es cualquier e.v.n., es continua. Ms an, L es Lipschitz y, por lo tanto, uniformemente continua. Demostracin:Teorema 4.2.1.

Sea E e.v.n. de dimensin nita. Sea {e1 , e2 , . . . , en } una base de E .n

Para x E , existen nicos x1 , x2 , . . . , xn K tal que x = Tomemos en E la normaxE i=1 n

xi e i .

=i=1

|xi |

58

Sea L : E F una funcin lineal, (F es un e.v.n. con la norma L(x) L(y)F

F ).

Sean x, y E

= =

L(x y)n

F n i

Li=1 n

x ei i=1 n

y i eiF n

=i=1 n

xi L(ei ) i=1

y i L(ei )F

=i=1

(xi y i )L(ei )F

i=1

|xi y i |L(ei )F n F

1in

mx L(ei ) ak

i=1

|xi y i | = k x ydE (x,y) xyE

E

= L es Lipschitz. = L es uniformemente continua.Nota:

El teorema anterior no es cierto si E es de dimensin innita.

Ejemplo 4.2.

E = {P (x) = a0 + a1 x + + an xn : a0 , a1 , . . . , an R, n N} es un e.v. sobre R, de dimensin . L:E R P P (3)

es lineal. Sea Pn E denido por Pn (x) =xn . Entonces (Pn )n0 es una sucesin en E . 2n 1

Sea P = 0, entonces d(P, Pn ) = P Pn = sup |Pn (x) P (x)| = sup |Pn (x)| = n 2 0x 0 tal que si x x0 E = f (x) f (x0 ) Sean x, y E .f (x) f (x0 )F

Demostracin:

F

= f (x y + x0 ) f (x0 )z

F

Si tomamosz x0 xyE E

= f (z) f (x0 ) = f (x) f (y)

F F

= f es uniformemente continua y por lo tanto continua. Entonces hemos probado 1. = 2. y 1. = 4. = 1., 2., 4. son equivalentes. Por otro lado 3. = 4. pues si f satisface

3.

, entonces f es Lipschitz.

Falta probar que 1.,2. o 4. = 3. Probaremos 2. = 3. Supongamos que f es continua. En particular, es continua en 0 E . Luego, dado > 0, > 0 tal quex0E

= f (x) f (0)E

F

x

= f (x) x = y x f x x x f (x)F

F E

= = f (y) f (x) xF

Sea x E , x = 0. Luego x = 0. Sea y =f (y)F

= =

=F

F

60

= f (x)

x E Tomando M = / , se tiene f (x)F

F

M x

E,

x E .

Denicin 4.2.2.

L(E, F ) el espacio de las funciones lineales continuas de E a F L(E, F ) = {L : E F : L lineal y continua}

es un e.v.n. sobre K.Sobre L(E, F ) se dene la siguiente norma:L =Proposicin 4.2.2.

supxE, x=0

L(x) F x E

Sea L L(E, F ), entonces= supxE, x=0

L

L(x) = sup L(x) = sup L(x) x xE, x 1 xE, x =1

= {M : M 0, x E, L(x) M x } nf

y x E , L(x)

F

L x

E

Denicin 4.2.3. Denicin 4.2.4.

Sea E e.v.n sobre K = C o R, entonces (K, | |) es un e.v.n Sea E e.v.n, entonces se dice dualalgebraico

de E al conjunto

E = {f : E K : f lineal}

Denicin 4.2.5.

Sea E e.v.n, entonces se dice dual

topolgico

de E al conjunto

L(E, K) = E = {f : E K : f lineal y continua}

Denicin 4.2.6.

1. A los f en E , se les llama formas

lineales.

2. A los f en E , se les llama formasNota:

lineales continuas.

E = L(E, K). Entonces E es un e.v.n. con la norma f = |f (x)|F x E xE, x=0 sup

61

Si dim(E) < , entonces E = E . En general E E

Sean E y F dos e.v.n. sobre K = C o R. Si F es completo, entonces f (x) F (L(E, F ), ) es completo f = sup .Proposicin 4.2.3.xE,x=0

x

E

Como (K, | |) es completo y E = L(E, K), entonces E es completo. Es decir, E es un espacio de Banach.Nota:

Sean E y F dos e.v.n. sobre K = C o R. Si F es completo, entonces (L(E, F ), L(E,F ) ) es completo.Proposicin 4.2.4.

Sean E,F y G tres e.v.n. Sean f L(E, F ) y g L(F, G), entonces g f est en L(E, G) yProposicin 4.2.5.

gfNota:

L(E,G)

g

L(F,G)

f

L(E,F )

Esto implica que g f es continua.

4.3. Series en un e.v.n.Denicin 4.3.1.

La serie

de

Sea E un e.v.n. y (xn )n0 una sucesin en E. trmino xn es la sucesin de sumasN

xnn=0 N 0 N

Se dice que la serie de trmino xn converge, si se le anota como

xnn=0 N 0

converge. En este caso, al lmite

xn .N

n=0

Denicin 4.3.2.

Se dice que

xnn=0 N 0

es

normalmente convergenteN

si la serie a

valores reales de trmino xn converge. Es decir, si gente. Demostracin:Proposicin 4.3.1.

xnn=0 N 0

converge.

En un espacio de Banach, toda serie normalmente convergente es conver-

Sea E un espacio de Banach.

62

N

Sean=0

xnN 0

una serie normalmente convergente.N

Como E es completo, basta ver quen=0

xnN 0

es de Cauchy.xn <

xn < = > 0, n0 tal quen=0 n=n0

Sean N > M > n0N M

N

N

xn n=0 N n=0

xn =n=M +1

xn n=M +1

xn n=M +1

xn <

=n=0

xnN 0

es de Cauchy.GL(E) = {f L(E, E) : f biyectiva y f 1 continua}

Denicin 4.3.3. Teorema 4.3.1.

Sea E un Banach

1. GL(E) es un abierto en L(E, E) 2. La funcing : GL(E) GL(E) f f 1

es biyectiva y continua.

4.4. Espacios de HilbertDenicin 4.4.1.

Se dice que una funcin f es antilineal si:

1. f (x + y) = f (x) + f (y), x, y E . 2. f (x) = f (x), x E, K.Denicin 4.4.2.

Sea E un e.v. sobre K = C o R. Una funcin f : E E K, que satisface 1.fx : E K

forma sesquilineal

sobre E es una

y f (x, y)

es antilineal x E63

2.fy : E K x f (x, y)

es lineal y EDenicin 4.4.3.

Una forma

Hermitiana

es una forma sesquilineal con la propiedad

f (x, y) = f (y, x), x, y E

Nota:

Si f es una forma Hermitiana, entoncesf (x, x) = f (x, x) = f (x, x) R

Denicin 4.4.4.

denida

Una forma Hermitiana f sobre E es positiva si f (x, x) > 0 si x = 0.

positiva

si f (x, x) 0, x E . Es

f (0, 0) = 0 cuando f es sesquilineal. Luego una forma Hermitiana es denida positiva si es positiva y f (x, x) = 0 x = 0.Nota: Denicin 4.4.5.

Un producto escalar en un e.v. E sobre K, es una funcin , : E E K, con , una forma Hermitiana denida positivaf (x, y) = x, y

Denicin 4.4.6.

Un espacio Pre-Hilbert sobre K = C o R es un e.v. E sobre K equipado con un producto interno , : E E K. Veremos que a partir de , se puede denir una norma sobre Ex = x, x

Proposicin 4.4.1. (Desigualdad de Schwartz)

Sea E un espacio Pre-Hilbert con producto escalar , . Entonces x, y E se tiene| x, y | x, x1/2

y, y

1/2

Adems, la igualdad se alcanza si, y slo si, x e y no son linealmente independiente. Demostracin:64

Si x = 0 la desigualdad se cumple. Ahora si x = 0 = x, x > 0. Sean , K= 0 = x + y, x + y = x, x + y + y, x + y x, x + x, y + y, x + y, y

= x, x + x, y + y, x + x, y

Para = y, x , = x, x se obtienex, x ( + x, y + y, x + y, y ) = = = x, x (| y, x |2 y, x x, y | y, x |2 + x, x y, y ) x, x (| y, x |2 | y, x |2 | y, x |2 + x, x y, y ) x, x ( x, x y, y | y, x |2 ) 0

como x, x > 0= x, x y, y | y, x |2 = | y, x | x, x 1/2 y, y1/2

Supongamos ahora que x e y no son l.i. Luego, y = xx, y = x, x = x, x y, y = x, x = x, x | x, y |2 = x, x ( x, x ) = x, x x, x = x, x x, xy,y

= = | x, y | = y, y1/2

y, y x, x

x, x

1/2

Corolario: (Desigualdad de Minkwoski)

Sea E un Pre-Hilbert con producto escalar , . Denimos x = Entonces x, y E se tienex+y x + y

x, x .

Demostracin:

65

x+y

2

= = = =

x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y x, x + x, x + x, y + y, y x, x + 2Re( x, y ) + y, y x x x2 2 2 2

+ 2Re( x, y ) + y + 2| x, y | + y +2 x y + y2 2

(P or Schwartz)

= ( x + y )2 = x + y x + yTeorema 4.4.1.

Sea E un Pre-Hilbert con producto escalar , : E E K. La funcinE R x x = x, x

es una norma. A se le llama norma asociada al producto escalar. Adems E con es un e.v.n. Un espacio de Hilbert es un e.v.n. con la norma asociada al producto escalar que es completo. Es decir, es un espacio de Banach con una norma que proviene de un producto escalar.Denicin 4.4.7. Proposicin 4.4.2.

Sea E un espacio Pre-Hilbert sobre K = C o R

1.

(Frmula del paralelgramo)

x, y E x+y2

+ xy

2

= 2( x

2

+ y 2)

2.

(Producto escalar a partir de la norma)

x, y E 1 x, y = ( x + y 42

xy

2

+ i x + iy

2

i x iy 2 )

Teorema 4.4.2. (Proyeccin en un Hilbert)

Sea E un Hilbert. Sea A E cerrado, conexo y no vaco. Entonces x E , ! PA (x) A tal qued(x, A) = d(x, PA (x)) PA (x) es la proyeccin de x sobre A.

66

Proposicin 4.4.3.

entonces

Sean E un Hilbert y A E un cerrado, conexo y no vaco. Sea y A,Re( z y, x y ) 0, z A y = PA (x)

Denicin 4.4.8.

Se dice que x, y E son ortogonales si x, y = 0.

Si A E , el ortogonal de A es el conjunto A = {x E : x, y = 0, y A}.Nota:

A es un subespacio vectorial de E . A es cerrado. En efecto si (xn )n0 es una sucesin de elementos de A que converge a x E , entonces si y A. = x, y = = x xn + xn , y x xn , y + x n , y = x xn , y=0

= | x, y | = | x xn , y | = | x, y | = 0 = x, y = 0 = x A .Teorema 4.4.3.

x xn

y 0 n

Sea E un Hilbert y A E un subespacio vectorial cerrado:

1. Sea x E . Sea y A, entoncesx y, z = 0, z A y = PA (x)

Es decir, y = PA (x) x y A Se dice que PA (x) es la proyeccin ortogonal de x sobre A. 2. La funcinPA (x) : E A x PA (x)

es lineal y continua. Adems, Ker(PA ) = A , y si A = {0}, entonces PA = 1.67

3. Todo x E se escribe de manera nica como x = x1 + x2 , con x1 A y x2 A . Se dice que E es suma directa topolgica se sus dos subespacios vectoriales cerrados A y A .Nota:

Sean E un Hilbert y A E

A (A )

Si A es un subespacio vectorial cerrado, A = (A )

4.4.1. Dual de un espacio de HilbertSea E un Hilbert. Si a E la funcinfa : E K x x, a x .

es lineal. Adems es continua pues |fa (x)| = | x, a | aaK

Veremos que todos los elementos del dual E = {f : E K : f lineal y continua} son de la forma fa , para algn a E .Teorema 4.4.4. (de la representacin de Riesz)

Sea E un Hilbert. Entonces f E , ! a E tal que f = fa . Adems:E E a fa

es antilineal, continua y biyectiva, con fa

E

= a

E

.

4.4.2. Conjuntos ortogonalesSea E un Pre-Hilbert con producto escalar , . Una familia (ai )iI es un conjunto ortogonal si ai , aj = 0, i, j, i = j y ai = 0, i I. Se dice que (ai )iI es un conjunto ortogonal si es un conjunto ortogonal tal que ai = 1, i I.Denicin 4.4.9. Nota:

Si (ai )iI es un conjunto ortogonal, entonces

ai ai

es un conjunto ortogonal.iI

Si (ai )iI es un conjunto ortogonal, entonces (ai )iI es l.i. 68

Parte II

Espacios topolgicos

69

CAPTULO 5

ESPACIOS TOPOLGICOS Y FUNCIONES CONTINUAS

5.1. Espacios topolgicosSea X conjunto no vaco. Una topologa sobre X es una familia I P(X) (P(X) = {A : A X}) que satisface:Denicin 5.1.1.

1. Uniones arbitrarias de elementos de I estn en I. U I Ej: {U }J I =J

2. Intersecciones nitas de elementos de I estn en I.Ej:n

U1 , U2 , . . . , Un I =i=1

Ui I

3. , X estn en I.Denicin 5.1.2.

X , se llama espacio topolgico

Un par (X, I) donde X es un conjunto no vaco y I es una topologa sobre

Sea (X, I) e.t.. Entonces los elementos de X los llamaremos puntos, los elementos de I los llamaremos conjuntos abiertos, dado x X , se llama vecindad de x a cualquier conjunto V abierto que contiene a x.Notacin:

V(x) = {V I : x V }.

70

Ejemplo 5.1.

Sea X conjunto no vaco.indiscreta. discreta.

1. II = {, X}. Entonces I es una topologa sobre X . Se llama topologa

2. ID = P(X) = {A : A X} es una topologa sobre X y se llama topologa 3. If = {A X : X A es un conjunto nito} {} es una topologa. 4. IW = {A X : X A es numerable} {} es topologa.Denicin 5.1.3.

na

que I2 si I2 I1 .

Sea X un conjunto y I1 , I2 topologas sobre X. Entonces I1 se dice

ms

5.2. Bases para una topologaSea (X, I) e.t. Una familia B I es llamada una base (para I) si todo conjunto abierto (es decir, cualquier elemento de I) es unin de elementos de B.Denicin 5.2.1. Teorema 5.2.1.

Sea (X, I) e.t. y B I son equivalentes

(i) B es base para I. (ii) Para cada G I y x G U B tal que x U G.

Demostracin:

Por demostrar (i) = (ii). Sea G I y x G, pero G I = G = A con A B, J . Adems como x G existe 0 J tal que x A0 . Luego x A0 G y A0 B. Por demostrar que (ii) = (i). Sea G I. Para cada x G, Ux B tal que x Ux G, entonces G =xG J

Ux y cada Ux B .

Sea (X, I) e.t. y B base para I, entonces A es abierto x A U B tal que x U A.Teorema 5.2.2.

71

Demostracin:

= Consecuencia de la equivalencia (ii). = Consecuencia de (ii) = (i).

Sea X conjunto y = , P(X). Problema:(i) Encontrar la topologa I menos na (ms pequea) que se puede denir sobre X tal que I . (ii) Caracterizar I .

Solucin.(i) Sea T = {I : I es topologa sobre X y I} por lo tanto T = ya que P(X) T y luego I =IT

I

(ii) Sea I la siguiente topologa sobre X : I = {, X, intersecciones nitas de elementos de y las uniones arbitrarias de estas intersecciones nitas}

Se puede demostrar que I es una topologa y que I = I .Denicin 5.2.2.

Sea (X, I) e.t. y I, entonces se dice una sub-base de I si I = I.

Nota:

para I.

Si es sub-base de I la familia de intersecciones nitas de elementos de es base

Sea B = {U : M} familia cualquiera de subconjuntos de X que verica que para cada (, ) M M y cada x U U tal que M tal que x U U U , entoncesTeorema 5.2.3.

(i) IB consiste de , X y todas las uniones de elementos de B . (ii) B {} {X} es una base para IB (iii) IB es la topologa ms pequea que contiene a B .

72

5.3. Topologa del ordenSea X conjunto. Una relacin < sobre X se dice un orden(i) x < y x = y (ii) x < y y < z x = z (iii) x < y x = y y = xsobre

X si:

Si ]a, b[= {x X : a < x < b} intervalo abierto. Entonces si a < b y ]a, b[= decimos que a : predecesor inmediato de b. b : antecesor inmediato de a.Denicin 5.3.1. Ejemplo 5.2.

1. X = R, 0 y luego Bd (x, r/3) Bd (y, r/3) = = (X, Id ) es Hausdor.Id Id

Nota:Todos los espacios con una mtrica son Hausdor. Todos los espacios Hausdor son metrizables. no es metrizable.

Ejercicio: Sea X conjunto innito y dene I = {A X : X A es nito}{}, entonces el e.t. (X, I)

86

Solucin. Sean x, y X , con x = y.

Suponga que U, V I, U V = tal que x U e y V . Luego X U y X V es nito = (X U ) (X V ) es nito, peroX = X = X (U V ) = (X U ) (X V ) es nito == (X, I) no es Hausdor. = (X, I) no es metrizable.

Lema 5.5.1.ms na que

Sea

d1 , d2

distancias sobre

= Tenemos Id1 Id2 . Sea x X y > 0. Pero Bd1 (x, ) Id1 = Bd2 (x, ) Id2 = > 0 tal que Bd2 (x, ) Bd1 (x, ), ya que Bd2 = {Bd2 (y, r) : y