Analisis de Vibraciones Libro...

Vibraciones en Sistemas Mecanicos ME-754

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Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.Dpto. Ing. Mecanica, U. de Chile.

Beaucheff 850,Santiago, Chile.

Abril 2004 1

1Esta es una version preliminar, en constante evolucion, y con numerosas faltas de ortografıa y otros erroresno forzados. Agradezco sus aportes. La imagen corresponde a la deformada operacional a 1180 Hz de un paneldel proyecto GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) captada con la tecnica ESPI (Electronic SpecklePattern Interferometry). El nivel de claridad es proporcional a la velocidad instantanea.

Indice general

I Modelamiento numerico 7

1. Sistemas con un grado de libertad 91.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2. Sistemas modelizables con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3. Propiedades de un sistema con un grado de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Vibraciones libres f(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1. Respuesta libre sin amortiguamiento c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Masa-resorte en compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. Respuesta libre con amortiguamiento c > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Vibraciones forzadas con excitacion armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.2. Algebra compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3. Vibraciones debido a una masa excentrica rotando . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.4. Vibraciones forzadas por movimiento de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.5. Aislamiento de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. Funcion de Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6. Metodos de modelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1. Metodo de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.2. Metodo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.1. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.2. Espectro en frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.3. Metodo de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. Analisis de Fourier 472.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1. Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2. Paso frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3. Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.4. Efecto de rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.5. Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.6. Efecto de fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3. Ventanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4. Discretizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5. Componente DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6. Parametros de adquisicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7. Espectros usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

iii

iv INDICE GENERAL

2.7.1. Modulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.7.2. Ruido en la senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8. Unidades standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9. Tipo de valor mostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.10. Valor RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.11. Factor de Cresta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.12. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3. Cadena de medicion 713.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1. Transduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.2. Acondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.3. Digitalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.4. Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.5. Registro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.1. Sensores de desplazamiento sin contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.2. Sensores de desplazamiento con contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.3. Sensor de velocidad de bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.4. Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer) . . . . . . . . . . . . . 743.2.5. Acelerometro piezoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.6. Saturacion de acelerometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.7. Seleccion de acelerometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.8. Vibrometro Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.9. Filtros [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.10. Filtros pasa-bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.11. Colectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4. Metodos matriciales 834.1. Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2. Vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1. Vibraciones libres en sistemas no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3. Modos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.1. Normalizacion de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.2. Propiedades de los modos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.3. Analisis modal en sistemas amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4. Coordenadas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4.1. Ecuacion del movimiento en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5.1. Metodo directo para respuesta estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5.2. Metodos de Integracion directa en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.3. Metodo modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.4. Metodo de desplazamientos modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5.5. Metodo de aceleraciones modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.6. Expansiones espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.7. Absorbedor de Vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.8. Movimientos de cuerpo rıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.9. Modelos de Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.9.1. Amortiguamiento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.10. Obtencion de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.11. Fijacion de grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.12. Imposicion de restricciones al movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.12.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.13. Analisis de estabilidad de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.13.1. Amortiguamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

INDICE GENERAL v

4.14. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5. Sistemas excitados por movimiento de la base 1115.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Sistema con movimiento diferencial entre sus soportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3. Sistema sometido a aceleracion global de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4. Metodo de las masas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5. Masas modales efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.6. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.7. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6. Sistemas rıgidos con descansos elasticos 1256.1. Formulacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2. Propiedades modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.2.1. Un plano de simetrıa y soportes ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.2. Dos planos de simetrıa y soportes ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.3. Tres planos de simetrıa con soportes ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2.4. Dos planos de simetrıas con soportes inclinados solo en un plano . . . . . . . . . . 1376.2.5. Desacoplamiento de modos en un plano con descansos inclinados . . . . . . . . . . 1406.2.6. Desacoplamiento completo usando soportes inclinados radialmente . . . . . . . . . 140

6.3. Vibracion forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.1. Vibraciones forzadas por fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.2. Vibracion inducida por la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


7. Sistemas con n grados de libertad 1537.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2. Metodo de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.1. Barra empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3. Metodo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.3.1. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.3.2. Ensamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.3.3. Coordenadas locales y globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3.4. Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.4. Elemento 3D de viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4.1. Formulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


8. Analisis torsional 1838.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.1.1. Consideraciones de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.1.2. Objetivos del analisis torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.2. Formulacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.2.1. Considerando las diferentes velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.2.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.3. Condensacion de grados de libertad sin masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.3.1. Ecuacion del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.3.2. Amortiguamiento del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.3.3. Disipacion de energıa por la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.3.4. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.4. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.4.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.5. Respuesta transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.5.1. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

vi INDICE GENERAL

8.5.2. Modelo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.5.3. Analisis modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.6. Estabilidad en sistemas con control automatico de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.6.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.7. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.8. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9. Amortiguamiento 2219.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.1.1. Amortiguamiento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.1.2. Amortiguamiento estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

10.Sistemas continuos 22910.1. Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10.1.1. Barras en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.1.2. Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23210.1.3. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10.2. Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23410.2.1. Viga de Euler Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23410.2.2. Vibraciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11.Metodos directos de integracion temporal 23911.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.2. Estabilidad y exactitud de los operadores de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

11.2.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24011.3. Metodo de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24111.4. Metodo HHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

11.4.1. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24311.5. Metodo de la diferencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11.5.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511.6. Sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.6.1. Caso explıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611.6.2. Caso implıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611.6.3. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

11.7. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24711.8. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

II Estimacion de parametros experimentales 253

12.Estimacion de Funciones Respuesta en Frecuencia 25512.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25512.2. Autopotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25512.3. Autocorrelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25512.4. Potencia cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25612.5. Correlacion cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25612.6. Funcion respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

12.6.1. Una entrada, una salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25612.6.2. Multiples entradas, multiples salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


INDICE GENERAL vii

13.Analisis Modal Experimental 26113.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26113.2. La cadena de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26313.3. Excitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26413.4. Ecuaciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26613.5. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

13.5.1. Metodos con hipotesis de uno o mas grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . 26613.5.2. Single input vs Multiple input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26813.5.3. Modelo modal vs modelo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26813.5.4. Numero de modos vs numero de grados de libertad medidos . . . . . . . . . . . . . 269

13.6. Descripcion de algunos metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.6.1. Peak picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913.6.2. Mode picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27013.6.3. Ajuste de circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27013.6.4. Metodo LSFD (Least-squares Frequency Domain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27513.6.5. Metodo ISSPA (Identification of Structural System Parameters) . . . . . . . . . . 27513.6.6. Metodo de poli-referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27613.6.7. Metodo CMIF Complex Model Indicator Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

13.7. Ejemplo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27813.8. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27813.9. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.Metodos de Correlacion 28114.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.2. Correlacion en el dominio modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14.2.1. Modal Assurance Criterion (MAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.2.2. Modal Scale Factor (MSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

14.3. Correlacion en el dominio frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28214.3.1. Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28414.3.2. Frequency Response Scale Factor (FRSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

14.4. Correlacion en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28614.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

14.5.1. Viga empotrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28714.6. Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

15.Tecnicas de expansion/reduccion 29315.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29315.2. Reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29315.3. Metodos de Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

15.3.1. Metodo MECE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29515.3.2. Otras tecnicas de expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29515.3.3. Relajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29715.3.4. Expansion con restriccion de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29815.3.5. Comparacion de metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30015.3.6. Expansion usando restriccion de desigualdad cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . 304

III Aplicaciones especificas 307

16.Analisis de flexibilidad de tuberıas 30916.1. Intro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30916.2. Diseno de sistemas de tuberias con analisis dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

16.2.1. Masas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31016.2.2. Tuberias curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

16.3. Fuentes de vibracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

viii INDICE GENERAL

16.3.1. Valvulas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31116.3.2. Acoplamiento de fuerzas acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

16.4. Filosofia de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31116.5. Reglas generales de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31216.6. Vibraciones no lineales en tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

16.6.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31316.6.2. Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31616.6.3. Normalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31616.6.4. Paso de tiempo de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31716.6.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31816.6.6. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

17.Inestabilidad en sierras de banda 32517.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32517.2. Antecedentes bibliograficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32817.3. Analisis modal experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32917.4. Analisis del washboard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33617.5. Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

IV Anexos 343

Metodo de la matriz de transferencia 345.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

.2.1. Analisis modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

.2.2. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Sistemas de ecuaciones sobre-determinados 353.3. Algunas propiedades de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Mınimos cuadrados lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

.4.1. Ponderacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

.4.2. Descomposicion en valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

.4.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.5. Regularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.6. Total linear least squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Analisis modal numerico 359.7. Sistema conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.8. en sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Algunas formulas utiles 361

Deflexion en vigas 363.9. Vigas en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Metodo de aceleraciones modales 367

Elementos Finitos en Matlab 369

Prefacio

Vibracion es el termino que utilizamos para describir las oscilaciones de un sistema mecanico. Ellapuede ser descompuesta en componentes, cada una de las cuales tiene una magnitud y una frecuenciaasociadas. La frecuencia se define en termino de ciclos por unidad de tiempo. La magnitud se define enterminos de amplitud. Si la senal sigue un patron que se repite en el tiempo, hablamos de senal periodica.En caso contrario hablamos de senal compleja.

Las vibraciones pueden ser descritas como deterministas o como aleatorias. Las senales determin-istas permiten predecir con exactitud lo que pasara en el futuro proximo, a partir de lo que ha pasadoanteriormente. Si es aleatoria, su valor solo puede ser estimado en forma estadıstica.

Las vibraciones tambien pueden ser clasificadas como libres o forzadas. En el primer caso las vibra-ciones son causa de una perturbacion inicial, luego de la cual no entra energıa al sistema.

Veremos que podemos modelar un sistema como conservativo, vale decir en el cual no hay disipacionde energıa. Las estructuras reales siempre tienen algun nivel, a la cual llamaremos amortiguacion. Elloinduce respuestas transientes en el sistema, que desaparecen en el tiempo. Contrariamente, las vibracionesforzadas llegan a un estado estacionario (steady-state) debido a que entra tanta energıa al sistema comola que sale por efectos de la amortiguacion.

En general, la frecuencia a la cual la energıa es entregada al sistema aparece en las respuestas delmismo. La respuesta esta dada por la relacion que hay entre la excitacion y las propiedades del sistema.

Recordemos tambien que las vibraciones pueden ser deseables o no en el funcionamiento de unamaquina. Ejemplos de lo primero son los harneros. Sin embargo lo usual es lo contrario: las vibracionesimplican cargas dinamicas extras para un sistema ası como fatiga.

El control de las vibraciones puede ser categorizado en 3 grupos:

Reduccion en la fuente: donde esta el balanceamiento de masas en movimiento (ventiladores, mo-tores,..), balanceamiento de fuerzas magneticas (motores electricos), Reduccion de juegos (en des-cansos).

Aislacion: podemos aislar una maquina que genera excesivas vibraciones de modo que no afecte laoperacion de otras, podemos aislar una maquina sensible a las vibraciones de un ambiente pleno devibraciones.

Reduccion de la respuesta: alterando frecuencias naturales, incrementando la amortiguacion, oanadiendo absorbedores dinamicos.

Para poder analizar en profundidad es necesario conocer las caracterısticas modales del sistema. Estoes conocido como analisis modal experimental. Veremos que una vez identificadas las frecuencias naturalesy modos propios de una maquina o estructura esta informacion sera util para:

Diagnosticar situaciones de vibracion excesiva,

Redisenar componentes de estructuras,

Predecir respuestas a situaciones de carga extremas,

Estudiar efectos de modificaciones en el comportamiento dinamico de un sistema.

1

2 INDICE GENERAL

El aspecto mas importante del analisis de vibraciones es el calculo o la medicion de las frecuenciasnaturales de los sistemas mecanicos. Para sistemas simples es conveniente usar los resultados presentadosen referencias tales como Harris’96 [20] o Blevins’93 [7]. Para sistemas complejos es necesario recurrir alcalculo via tecnicas como los elementos finitos (que veremos mas adelante).

Ejemplos de proyectos

Absorbedor de vibraciones

La estructura de figura 1 esta vibrando a causa de las fuerzas transmitidas por las maquinas instaladassobre el. En este caso en particular c/u tiene un nivel de desbalanceamiento que es nominal en suoperacion. Se debe buscar una solucion que permita bajar significativamente el nivel de vibraciones, aniveles aceptables (establecer criterios). Se propone instalar absorbedores de vibracion.

Algunas condiciones presentes son:

La rigidez de las lozas es mucho mayor que la de las vigas. La masa de las vigas es despreciablefrente a la de las lozas junto con las maquinas,

La frecuencia de los motores es diferente y cada una esta muy cerca de una frecuencia natural delsistema en estudio. Se deben considerar constantes.

Aislamiento de vibraciones

Se sabe que los ventiladores tienden a desbalancearse con el tiempo debido al desgaste y a la acu-mulacion de partıculas sobre las aletas. Debido a la criticidad de la maquina puede ser muy costoso elparar el proceso para tomar medidas correctivas. Por otro lado, se debe asegurar la integridad de laestructura sobre la cual este montado el ventilador y de otras maquinas, por lo que se propone disenaruna fundacion que asegure que las vibraciones transmitidas por la maquina sean transmitidas en formamınima a la estructura (figura 2).

Estudio de diseno

Se ha disenado una estructura compleja de muchos grados de libertad. Uno de los puntos incluyeuna fuente de vibracion que posiblemente haga vibrar excesivamente algun componente electronico, porejemplo. Construya un modelo numerico del sistema y establezca si la frecuencia de excitacion (conocida yconstante) coincide con alguna frecuencia natural. Compare los resultados con mediciones experimentales.

Amortiguacion

Verifique el efecto de distintos medios de amortiguacion en la amplitud de las vibraciones. Realiceun estudio parametrico en funcion de la frecuencia de excitacion. Estime el factor de amortiguacion ycompare las vibraciones libres del sistema real con las respuestas entregadas por el modelo teorico.

Inestabilidad

Un ejemplo de vibraciones autoexcitadas ocurre en las lıneas electricas de transmision. Repita elejemplo de clase y el de Den Hartog [12] para verificarlo. Explique el fenomeno a traves de un analisis deestabilidad.

3

4 INDICE GENERAL

Figura 1: Estructura con dos grados de libertad

???

Figura 2: Aislamiento de vibraciones

Figura 3: Sistema con masa y rigidez distribuida

INDICE GENERAL 5

Figura 4: Barra

Efecto de precargas

Las cargas estaticas que se aplican sobre un sistema son capaces de cambiar sus propiedades modales.Realice un estudio modal para una viga simplemente apoyada que sufre traccion axial estatica (ver ref.[?]).

Analisis modal con arena

Una forma sencilla de obtener modos en placas delgadas (una tapa de violın por ejemplo) es el metodode Chladni con arena.

6 INDICE GENERAL

Figura 5: Analisis modal con arena

Parte I

Modelamiento numerico

7

Capıtulo 1

Sistemas con un grado de libertad

1.1. Introduccion

Una primera defincion fundamental en el analisis de vibraciones es la de grado de libertad:

Definicion 1 El numero de grados de libertad de un sistema es el mınimo numero de coordenadas nece-sarias para definir completamente las posiciones de los elementos de masa del sistema en el espacio.

1.1.1. Componentes

Un sistema mecanico con un grado de libertad se esquematiza usualmente como se muestra en figura1.1. Consta de los siguientes elementos:

Inercia o masa m, concentrada en un bloque rıgido

Elemento elastico o resorte k, que no tiene masa

Elemento disipador de energıa, usualmente un amortiguador viscoso con constante c,

Fuente de excitacion, puede tratarse de una fuerza o momento o de un movimiento conocido delextremo libre del resorte.

El resorte

La deformacion del resorte esta descrita por la ley:

k(x2 − x1) = f

(ver figura 1.2)

Figura 1.1: Sistema con un grado de libertad

9

10 CAPITULO 1. SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

f fx1 x2

Figura 1.2: Equilibrio del resorte

f

x

Figura 1.3: Barra sujeta a traccion/compresion

Ejemplo 1 La deformacion de la barra de seccion A y longitud l mostrada en figura 1.3 esta dada por:

σ = Eε

lo que puede ser re-escrito como:f

A= E

x

l

por lo tanto la constante del resorte equivalente esta dada por:

k =f

x=EA

l

Observacion 1 Notese como la rigidez puede ser considerada como la fuerza necesaria para lograr undesplazamiento unitario.

El amortiguador

El amortiguador viscoso mostrado en figura 1.4 sigue la siguiente ley:

f = c(x2 − x1)

1.1.2. Sistemas modelizables con un grado de libertad

Sistemas con cuerpos que pueden considerarse rıgidos y con elementos flexibles

En figura 1.5 se aprecia un sistema de tal tipo.

f fx1 x2

. .

Figura 1.4: Esquema de amortiguador viscoso

1.1. INTRODUCCION 11

Figura 1.5: Sistema con elementos rıgidos y flexibles

Sistema LinealExcitación Respuesta

Figura 1.6: Esquema de un sistema lineal

Sistemas flexibles donde predomina un modo

1.1.3. Propiedades de un sistema con un grado de libertad

Un balance de fuerzas del sistema de 1 g.d.l. (figura 1.1) resulta en la ecuacion

mx+ cx+ kx = f(t)

la que representa un sistema lineal. Ello implica que cumple las siguientes propiedades:

Principio de superposicion

αx (f) = x(αf)

x(f1 + f2) = x(f1) + x(f2)

La respuesta steady-state a una excitacion armonica de frecuencia ω, es a la misma frecuenciaω.Para:

f(t) = α sin(ωt)

la respuesta es de la forma:

x(t) = β sin(ωt+ φ)

donde φ es el angulo de desfase entre la excitacion f(t) y la respuesta x(t).

Ejemplo 2 Considere el sistema de figura 1.7. Su equilibrio esta descrito por:∑i

Mi = Iθ

Iθ +mgl

2sin θ = 0

El senθ se puede descomponer en la serie de Taylor:

sin θ = θ − θ3

3+θ5

5− θ7

7...


θθ

Figura 1.7: Sistema con un grado de libertad

Por lo que si los desplazamientos son pequenos se puede despreciar los terminos y asumir que:

sin θ ≈ θ

y queda la ecuacion linealizada del pendulo:

Iθ +(mg

l

2

)θ = 0

1.2. Vibraciones libres f(t) = 0

Se desea conocer la respuesta de un sistema ante un desplazamiento inicial

x(t = 0) = x(0) = x0 (1.1)

o ante una velocidad inicial:

x(0) = x0 (1.2)

1.2.1. Respuesta libre sin amortiguamiento c = 0

En este caso se tiene el problema de valores iniciales:

mx+ kx = 0

bajo las condiciones 1.1 y 1.2. La solucion general esta dada por:

x(t) = a cos(ωnt) + b sin(ωnt)

con

ωn =

√k

m(1.3)

Las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 1.1 y 1.2:

x(t) = xo cos(ωnt) +x0

ωnsin(ωnt)

que puede ser simplificada ax(t) = x

¯0 sin(ωnt+ ϕ) (1.4)

1.2. VIBRACIONES LIBRES F (T ) = 0 13

con

x¯0 =

√x2

0 +(x0

ωn

)2

tanϕ = ωnxo

x0

Al derivar la ecuacion 17.1 aparecen las expresiones para la velocidad y la aceleracion:

x(t) = ωnx0 sin(ωnt+ ϕ+

π

2

)x(t) = ω2

nx0 sin (ωnt+ ϕ+ π)

Observacion 2 La velocidad esta adelantada en 90o respecto del desplazamiento.

Observacion 3 La aceleracion esta adelantada en 180o respecto del desplazamiento

Observacion 4 |x(t)| = ωn |x(t)|

Observacion 5 |x(t)| = ω2n |x(t)|

Observacion 6 la frecuencia ωn solo depende del sistema (k,m). Al aumentar la rigidez k tambienaumenta la frecuencia natural; al aumentar la masa la frecuencia natural disminuye.

1.2.2. Masa-resorte en compresion

Retomando la solucion (1.3) para un sistema masa resorte (en posicion vertical) y recordando que ladeformacion estatica xst del resorte ante el peso de la masa es:

kxst = mg

Sustituyendo:

ωn =√

g

xst

Veremos mas tarde que esta formula tiene aplicacion practica en la base de maquinas que deben seraisladas.

1.2.3. Respuesta libre con amortiguamiento c > 0

En este caso el problema de valores iniciales es:

mx+ cx+ kx = 0 (1.5)

con las condiciones 1.1 y 1.2. La solucion general de 1.5 es de la forma:

x = ert (1.6)

Observacion 7 Notese que r puede ser un numero complejo. En tal caso x tambien lo sera. Fısicamentela parte real de la solucion x correspondera al desplazamiento medible.

Observacion 8 Recordemos queeiθ = cos θ + i sin θ

O sea, para que el sistema vibre debe tener raıces con parte compleja no nula.


Sustituyendo1.6 en 1.5: (mr2 + cr + k

)x = 0

La que tiene la solucion trivial x = 0. En otro caso:

mr2 + cr + k = 0 (1.7)

la que tiene la solucion:

r1 = − c

2m+

√( c

2m

)2

− k

m(1.8)

r2 = − c

2m−√( c

2m

)2

− k

m

Para que el sistema vibre, ri deben ser complejos. Ello implica:

k

m>( c

2m

)2

La situacion extrema ocurre cuando c = cc (amortiguamiento critico) donde

cc = 2mωn

con ωn definida en 1.3.A fin de normalizar las ecuaciones se define el factor de amortiguamiento como:

ξ =c

cc

con lo que 1.8 se re-escribe:

r1 = −ξωn + ωn

√ξ2 − 1

r2 = −ξωn − ωn

√ξ2 − 1

Vibraciones libres con amortiguamiento sub-critico ξ < 1

Dado que las raıces de la ecuacion caracterıstica 1.7 son complejas, las soluciones son del tipo:

x(t) = e−ξωnt (a cos(ωnt) + b sin(ωnt))

las constantes A y B se encuentran al aplicar las condiciones 1.1 y 1.2:

x(t) = e−ξωnt

(xo cos(ωdt) +

x0 + x0ξωn

ωdsin(ωdt)

)(1.9)

donde la frecuencia natural amortiguada ωd es definida por la frecuencia natural del sistema conservativoy la razon de amortiguamiento ξ:

ωd = ωn

√1− ξ2

que puede ser simplificada ax(t) = x0e

−ξωnt sin(ωdt+ ϕ) (1.10)

con

x0 =

√x2

0 +(x0 + x0ξωn

ωd

)2

tanϕ = ωdxo

x0 + x0ξωn

Observacion 9 El amortiguamiento implica que las vibraciones libres disminuyen exponencialmente a0 en el tiempo.

Observacion 10 La frecuencia de la vibracion libre ωd es menor que la del sistema conservativo asociado(ωn).

Observacion 11 En general, ξ es menor al 20%, por lo que ωd ≈ ωn.

1.2. VIBRACIONES LIBRES F (T ) = 0 15

0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo (s)

po

sici

ón

(m

m)

Xn + 1Xn

¶

Figura 1.8: Medicion del decremento logarıtmico

Estimacion rapida del amortiguamiento

Una forma sencilla de estimar el factor de amortiguamiento ξ es a traves del decremento logarıtmico,el cual se define como:

δ = ln(

xn

xn+1

)donde xn y xn+1 corresponden a las maximas amplitudes entre el inicio y el fin de un periodo cualquiera

(ver figura 1.8). Para tales instantessin(ωdt+ ϕ) = 1

entonces el factor de amortiguamiento es:

δ = ln(

e−ξωnt

e−ξωn(t+Td)

)= ξωnTd =

2πξ√1− ξ2

Observacion 12 Td corresponde al periodo de la vibracion:

Td =2πωd

Observacion 13 Para amortiguamiento bajo, δ ≈ 2πξ

Ejemplo 3 La rigidez de una viga empotrada a una carga aplicada en su extremo libre es

k =3EIl3

Para vigas rectangulares:

I =bh3

12el modulo de elasticidad del acero es

E = 207 · 109N/m2

ρ = 7850 Kg/m3


0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tiempo (s)

po

sici

ón

(mm

)

Figura 1.9: Respuesta tıpica de un sistema sobre-amortiguado

La viga del ejemplo tiene las siguientes dimensiones:

l = 0,28m

h = 1,6 · 10−3m

b = 2,6 · 10−2m

Las masa en el extremo (el sensor) es de 0.21 Kg, el cable, 0.12 Kg. Mida la frecuencia natural y eldecremento logarıtmico. Calcule el factor de amortiguamiento y compare con la frecuencia natural teorica.

Vibraciones libres con amortiguamiento critico ξ = 1

Dado que en este caso la raız r de la ecuacion caracterıstica 1.5 es real, no hay respuesta de tipovibratorio. Ella esta dada por:

r1 = r2 = −ξωn

x(t) = e−ξωnt (a+ bt)

e introduciendo las condiciones iniciales:

x(t) = [x0(1 + ωnt) + x0] e−ξωnt

Vibraciones libres con amortiguamiento supercrıtico

r1, r2 = −ξωn ± ωn

√ξ2 − 1

x(t) = e−ξωnt[a sinh

(ωn

√ξ2 − 1

)+ b cosh

(ωn

√ξ2 − 1

)]Observacion 14 El sistema tiende a su equilibrio.

Ejercicio 1 Un ejemplo clasico de un sistema super amortiguado son las puertas auto-cerrantes. Con-struya un modelo de una y mida el tiempo en que una puerta regresa a su equilibrio. Ajuste su modelohasta obtener una buena correlacion.

1.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 17

L/2

m

k k

Figura 1.10: Ejemplo de sistema condicionalmente estable

1.3. Analisis de estabilidad

La forma general de la respuesta de un sistema regido por la ecuacion:

mx+ cx+ kx = 0

esx(t) = aest

dondes = σ + jω

Para que el sistema sea inestable, basta con que la parte real de s sea positiva.

Ejemplo 4 Dado el sistema de la figura ??, analizar su estabilidad.Del equilibrio de momentos: ∑

M = Iθ

−k l2

sin θl

2cos θ +mgl sin θ = ml2θ

cuya version linealizada es:ml2θ + (kl − 2mg)θ = 0

entoncesr2 = − k∗

m∗= −kl − 2mg

2mlbasta con que kl − 2mg < 0 para que la raız r sea positiva lo que convierte al sistema en inestable.

Ejercicio 2 Construya un sistema similar al de la figura y verifique la conclusion anterior.

1.4. Vibraciones forzadas

1.4.1. Vibraciones forzadas con excitacion armonica

mx+ cx+ kx = fo sinωt

la respuesta del sistema esta dada por:

x(t) = ae−ξωnt sin(ωdt− ϕ) + x¯0 sin (ωt− φ)


f

Figura 1.11: Excitacion armonica

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

tiempo (s)

po

sici

ón

(m

m)

Figura 1.12: Respuesta total del sistema a una excitacion armonica

A y ϕ se determinan a partir de las condiciones iniciales. La respuesta estacionaria:

x¯0 =

f0k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.11)

tanφ =2ξ ω

ωn

1−(

ωωn

)2

Observacion 15 La respuesta transiente desaparece en el tiempo (e−ξωnt).

Observacion 16 La respuesta estacionaria tiene la misma frecuencia que la fuerza excitatriz (ω)

Observacion 17 El angulo de desfase cuando ω = ωn es de 90o. Esta condicion es frecuentementeutilizada para identificar frecuencias naturales.

Al derivar la ecuacion 1.11 con respecto a la frecuencia de excitacion se obtiene el valor maximo de

1.4. VIBRACIONES FORZADAS 19

0 1 2 3 4 510

-2

10-1

100

101

102

103

Frecuencia normalizada

Re

spu

est

a n

orm

aliz

ad

a

Figura 1.13: Amplitud de la respuesta estacionaria normalizada (c/r a Fo

k ) vs frecuencia normalizada (c/ra ωn)

la vibracion y la frecuencia a la que ello ocurre:

xomax =f0k

1

2ξ√

1− ξ2(1.12)

ωxomax= ωn

√1− 2ξ2

Si el factor de amortiguamiento ξ es pequeno:

xomax =f0k

12ξ

ωxomax≈ ωn

notese que f0k corresponde a la respuesta (estatica) a una fuerza estatica. Asi, es conveniente definir el

factor de amplificacion q como

q =12ξ

con lo que la ecuacion 1.12, es normaliza respecto de la respuesta estatica:

xomax = xω=0q

El grafico 1.13 muestra la amplitud de la respuesta estacionaria vs la frecuencia y para varios valoresde amortiguamiento.

Observacion 18 Se aprecia que cuando la frecuencia de la excitacion esta cercana al de la frecuencianatural la respuesta tiende a crecer bastante. A este fenomeno de amplicacion se le conoce como resonancia

Observacion 19 La condicion de resonancia es comunmente culpable de altas vibraciones en equipos yestructuras sujetas a cargas dinamicas.

Observacion 20 En el caso de un sistema conservativo (ξ = 0) si la frecuencia de excitacion coincidecon la frecuencia natural el desplazamiento tiende al infinito.

Observacion 21 Notese que si la frecuencia de excitacion es mucho mayor que la frecuencia natural delsistema la respuesta tiende a 0. Este es el principio de los sismografos, velocımetros de bobina, steady-cams, etc. Cabe la pregunta:¿Es la hipotesis de 1 grado de libertad aun valida?.


t=0

ωt

φx

Figura 1.14: Metodo del algebra compleja

1.4.2. Algebra compleja

Este metodo facilita el calculo de la respuesta forzada estacionaria. Como sabemos que la respuestaestacionaria a una fuerza sinusoidal es de la forma:

x(t) = x0 sin (ωt+ φx)

ella tambien podrıa ser expresada como la parte imaginaria de un vector complejo x que gira con frecuenciaω (ver figura 1.14):

x = x0 cos (ωt+ φx) + jx0 sin (ωt+ φx)

= x0ejωt+φx

Aplicando en mismo concepto a f = f0 sin (ωt+ φf ):

f = f0 cos (ωt+ φf ) + jf0 sin (ωt+ φf )

= f0ejωt+φf

y sustituyendo en la ecuacion del movimiento:(−ω2m+ jωc+ k

)x = f

y despejando:

x =1

−ω2m+ jωc+ kf (1.13)

Observacion 22 Notese que cuando ω << ωn la respuesta tiene aproximadamente la amplitud de larespuesta estacionario f0/k. Se habla entonces de la zona resorte; donde el efecto de la masa y el amor-tiguador son despreciables.

Observacion 23 Cuando ω >> ωn el termino ω2m domina el denominador en (1.13) y la respuesta esbasicamente la de una masa: f = mx con x = −ω2x. Hablamos entonces de la zona masica.

1.4.3. Vibraciones debido a una masa excentrica rotando

La figura (1.15) se observa una masa mu montada sobre un rotor que esta conectada a la masa mm. Lamasa mu sigue una trayectoria circular de radio e con respecto a los descansos del rotor. La componentede desplazamiento de la masa mu en la direccion y (relativa a mm) es

yu − ym = e sinωt (1.14)

donde yu y ym son los desplazamientos absolutos de mu y m respectivamente (en la direccion Y ); e es lalongitud del brazo soportando mu; y ω es la velocidad angular del brazo en rad/s. La ecuacion diferencialdel movimiento del sistema es

mmym +muyu + cym + kym = mueω2 sinωt


kc

mm

mu

e

ω

Figura 1.15: Sistema con un grado de libertad sujeto a vibracion forzada producto de una masa excentricarotando

xb

x

Figura 1.16: Sistema excitado por la base

Diferenciando (1.14) con respecto al tiempo, y resolviendo queda

(m1 +mu) y1 + cy1 + kym = mueω2 sinωt

donde reconocemos los terminos clasicos

m = mm +mu

f0(ω2) = mueω2

demy + cy + ky = f0(ω2) sinωt

con y = ym.

1.4.4. Vibraciones forzadas por movimiento de la base

Considerese el sistema de figura 1.16. En este caso no hay fuerzas externas pero se conoce el desplaza-miento de la base xb.

mx+ c(x− xb) + k(x− xb) = 0 (1.15)

O reordenando:mx+ cx+ kx = cxb + kxb︸︷︷︸

f∗


m=0,l,d

M

Figura 1.17: Ejemplo de sistema con excitacion en la base

Si la exictacion es de tipo armonico:xb(t) = xb sinωt (1.16)

Entonces

f∗(t) = cωxb cosωt+ kxb sinωt

= xb

√c2ω2 + k2︸︷︷︸

f∗0

sin (ωt+ φf∗)

y aplicando el resultado (1.11):

x0 =xb

√c2ω2 + k2

k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.17)

Los esfuerzos a que estan sometidos los elementos conectores a la base dependen del movimiento relativoentre la base y la maquina. Es por ello que es conveniente reescribir la ecuacion 1.15 como:

mxr + cxr + kxr = −mxb︸︷︷︸Carga efectiva

(1.18)

donde xr es el movimiento relativo entre base y maquina.

Ejemplo 5 Determine el esfuerzo a que esta sometida la viga circular de diametro d de la figura si labase se mueve segun la ley 1.16. Considere solo el movimiento estacionario.

La rigidez de una viga empotrada a una fuerza aplicada en su extremo esta dada por:

k = 3EI

l3

Para el caso estudiado la ecuacion del movimiento (1.18) es:

mxr + kxr = −mxb

= mω2xb sinωt


Entonces

xr = xb

(ωωn

)2

1−(

ωωn

)2 sinωt

Y el esfuerzo maximo que sufre la viga:

σ = kxrld/2I

=3Ed/2l2

(ωωn

)2

1−(

ωωn

)2xb

1.4.5. Aislamiento de vibraciones

El aislamiento de vibraciones puede tener 2 objetivos alternativos: aislar a la maquina de las vibra-ciones ambientales; o reducir las vibraciones que la misma maquina genera en su entorno.

Aislamiento del entorno

Sea una maquina que genera fuerzas de la forma:

f = f0 sinωt

Se desea que sus efectos sobre otras maquinas sean mınimos. Se requiere especificar un elemento de rigidezy amortiguamiento para tal fin. Sea fb la fuerza que aplica la maquina sobre su fundacion:

fb = kxr + cxr

fb = f0

√√√√√√√1 +

[2ξ ω

ωn

]2[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2︸︷︷︸

Tr

(1.19)

Observacion 24 La reduccion de fuerzas transmitidas a la fundacion se logra solo si ωωn

>√

2.

Observacion 25 Los elementos aislantes con poca amortiguacion son mas efectivos para aislar perodado que la frecuencia de excitacion es mayor que la frecuencia natural, ello implica que la maquinaatravesara la resonancia tanto al partir como al detenerse. Si la amortiguacion es insuficiente se puedenproducir resonancias importantes (y grandes esfuerzos).

Observacion 26 Mientras mayor sea la razon ωωn

menor es la transmisibilidad. Ello implica que eldisenador busca minimizar la frecuencia natural con elementos elasticos con menor rigidez. La limitanteaparece porque al ser baja la rigidez, la deflexion estatica puede ser demasiado importante.

Aislamiento de la maquina

Considerese la situacion descrita en la figura. Se desea que el movimiento de la maquina sea mınimo.Especifique las caracterısticas del elemento aislante.

x0 = xb

√√√√√√√1 +

[2ξ ω

ωn

]2[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.20)

Notese que la expresion es similar a la de la ecuacion 1.19.


10-1

100

101

10-1

100

101

Frecuencia normalizada

Tra

nsm

isib

ilid

ad

Figura 1.18: Transmisibilidad Ft

F0

1.5. Funcion de Respuesta en Frecuencia

Se define como la respuesta del sistema en el estado estacionario a una excitacion armonica:

H(ω) =x(jω)f(jω)

= |H(ω)| ejφ(ω)

Observacion 27 El uso de la transformada de Laplace permite localizar los polos y ceros del sistema afin de estudiar su estabilidad.

Observacion 28 La FRF es facilmente obtenible experimentalmente.

Las FRF son representadas usualmente en las siguientes formas:

Modulo vs frecuencia y fase vs frecuencias, conocidos como Diagramas de Bode.

Parte real vs parte imaginaria, conocido como Diagrama de Nyquist.

Parte real vs frecuencia y parte imaginaria vs frecuencia.

Usualmente los diagramas de Bode utilizan escalas logarıtmicas para las ordenadas. Ello facilita lavisulaizacion pues las FRFs usualmente incluyen varios ordenes de magnitud. Una forma standard deescala logarıtmica usa los decibeles (dB). Un dB se define como:

dB = 20 logx

xref

donde xref es un valor de referencia.

Ejercicio 3 Leer el articulo [13]. Elabore un programa que permita repetir los graficos incluidos en elarticulo. Conteste: Porque es util medir las FRF?

1.6. METODOS DE MODELAMIENTO 25

Figura 1.19: Viga con apoyos simples

Figura 1.20: Modo de deformacion asumido

1.6. Metodos de modelamiento

En caso de que un sistema tenga masa y rigidez distribuida en forma homogenea (lo que implica quetiene ∞ grados de libertad) y se desee modelar con un solo grado de libertad (asumiendo las limitacionesde tal modelo a priori), es necesario suponer la forma en que el sistema se deformara. Dicha forma o modode vibrar debe cumplir con las condiciones de admisibilidad, vale decir que las restricciones geometricasa las que esta sometido el sistema deben cumplirse.

Ejemplo 6 Se desea construir un modelo de la viga simplemente apoyada de la figura 1.19:Una forma compatible de deformacion es un semi-seno:

y(x) = y0 sin(πxl

)(1.21)

donde x es la posicion medida desde un extremo y l es la distancia entre apoyos. Tal deformada se muestraen figura 1.20:

Una forma alternativa es suponer una parabola:

y(x) = y0x

l

x− l

l(1.22)

la que a simple vista es muy similar a lo mostrado en la figura 1.20. Una forma incompatible se muestraen figura.

Al suponer una forma de vibrar, la deformacion del sistema puede ser expresada como el productoentre una funcion que depende de la posicion (la forma de vibrar) y otra que depende del tiempo:

y(x, t) = y(x)q(t)

Observacion 29 y(x) ha sido asumida; q(t) es incognita.

1.6.1. Metodo de Rayleigh

Para conseguir la frecuencia natural del sistema se aplica la igualdad:

Tmax= Vmax (1.23)

dondeTmax es la energıa cinetica maxima, yVmax corresponde a la energıa de deformacion maxima.

Figura 1.21: Violacion de condiciones de borde


Figura 1.22: Sistema masa resorte

Ejemplo 7 Determinar la frecuencia natural del sistema conservativo mostrado en figura 1.22:

y(t) = yo sinωnt

y(t) = yoωn cosωnt

Tmax =12my2

max =12my2

oω2n

Vmax =12ky2

o

Segun el metodo12my2

oω2n =

12ky2

o

por lo tanto

ω2n =

k

m(1.24)

Ejemplo 8 Conseguir la frecuencia natural de la viga de figura 1.19 asumiendo una deformacion deltipo definido en ecuacion 1.21. Tratandose de un sistema conservativo de un grado de libertad q(t) tomala forma:

q(t) = sinωnt

ver ecuacion 17.1. Entonces:

y(x, t) = y0 sin(πxl

)︸︷︷︸

y(x)

sinωnt

por lo que:y(x, t) = ωny(x) cosωnt

la energıa cinetica maxima esta dada por:

Tmax =12

M∫y2max∂m

=12

l∫y2(x)

m

l∂x

la energıa potencial maxima:

Vmax =12

l∫EI

(∂2y

∂x2

)2

∂x

1.6. METODOS DE MODELAMIENTO 27

Y usando la igualdad 1.23 resulta

ω2n =

l∫EI(

∂2y∂x2

)2

∂x

l∫y2(x)m

l ∂x

= π4 EI

ml3

≈ 97,4EI

ml3

En caso de utilizar la hipotesis de deformacion 1.22 el resultado es:

ω2n = 120

EI

ml3

lo que implica una estimacion de la frecuencia natural 11 % mayor que en el primer caso.

Observacion 30 Si la hipotesis de deformacion coincide con el modo de vibrar real, el metodo deRayleigh entrega el valor exacto de la frecuencia natural. Si no es el caso, la estimacion sera siem-pre mayor que el valor real. Ello se explica porque los errores de la hipotesis anaden restricciones almovimiento del sistema, rigidizandolo.

Ejemplo 9 1Estime la frecuencia natural del sistema mostrado en figura. Compare resultados si se con-sidera o no la masa m de la viga.

Datos:ancho b = 10cm, espesor h = 1cm, E = 2,1E11 Pa, ρ = 7800 Kg/m3, M = 20Kg, l1 = 1m, l2 = 1

2 l1(l = 3

2 l1).Usando el metodo de Lagrange y asumiendo una deformacion del tipo:

y(x, t) = sinωnt sinπx

l1para 0 < x <

32l1

Se tiene que:

ymax(x) = sinπx

l1

y2max(x) = ω2

n sin2 πx

l1

y

Vmax =12

∫ 32 l1

0

EI

(∂2ymax

∂x2

)2

dx

Tmax =12

∫ 32 l1

0

y2max

m

ldx+

12M y2

max

∣∣x= 3

2 l1

Derivando, (∂2y

∂x2

)2

=(π

l1

)4

sin2 πx

l1

entonces

Vmax =EI

2

(π

l1

)4 ∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx

pero ∫sin2 udu = −1

2cosu sinu+

12u

1Control I 2001


cambiando variables u = πxl1

, du = πdxl1, cos 3

2π = 0∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx =

l1π

∫ 32 π

0

sin2 udu

=l1π

12

32π

=34l1

entonces

Vmax =EI

2

(π

l1

)4 34l1

=12

3π4

4EI

l31y

Tmax

ω2n

=12m

l

∫ 32 l1

0

sin2 πx

l1dx+

12M sin2

(32π

)=

12m

l

34l1 +

12M

=12

(34l1lm+M

)igualando Vmax y Tmax :

ω2n =

3π4

4EIl31

34

l1l m+M

evaluando para los valores dados (considerando la masa m de la viga):

EI = 2,1 · 1011 ·10−1 ·

(10−2

)312

= 1750Nm2

m = 10−1 · 10−2 · 1,5 · 7800 = 11,7Kg

entonces

ω2n =

3π4

4 175034

11,511,7 + 20

= 4946rad2/s2

fn1= 11,19Hz

Si no se considera la masa de la viga:

ω2n =

3π4

4 175020

= 6393rad2/s2

fn2 = 12,72Hz

o sea un error

ε% =(fn2

fn1

− 1)

100 = +13,7 %

1.6.2. Metodo de Lagrange

Se tiene

d

dt

(∂T∂q

)+∂V∂q

= Qq (1.25)

donde T corresponde a la energıa cinetica y V a la energıa potencial. Qq es el trabajo realizado por lasfuerzas externas.


Ejemplo 10 Viga con apoyos simples

y(x, t) = y(x)q(t)y(x, t) = y(x)q(t)

y(x) = y0 sinπx

l

T (q(t)) =12

M∫y2∂m

=12

l∫y2(x)q(t)2

m

l∂x

=my2

0 q2

4

V(q(t)) =12

l∫EI

(∂2y(x, t)∂x2

)2

∂x

=12π4EI

l4q2

l∫ (y0 sin

πx

l

)2

∂x

=EIπ4q2y2

0

4l3

Aplicando la ecuacion 1.25 resulta:

mq +EIπ4

l3q = 0

m∗q + k∗q = 0

Y aprovechando el resultado 1.24:

ω2n = π4 EI

ml3


1.7.1. Caso general

Como se menciono anteriormente, el tener un sistema que sigue la ecuacion:

mx+ cx+ kx = f

es un sistema lineal. Ello permite explotar el principio de superposicion. Ası:

la fuerza f es descompuesta usando una serie de Fourier,

luego se considera cada componente separadamente para calcular la respuesta del sistema a ella(recordemos que cada componente es una excitacion armonica);

para finalmente sumar los aportes de cada componente.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

Figura 1.23: Senal temporal y su descomposicion espectral

1.7.2. Espectro en frecuencias

Una senal periodica, de periodo T0 puede ser expresada como:

x(t) = a0 +∞∑

i=1

xi sin (i2πf0t+ ϕi)

con

a0 =1T0

T0∫0

x(t)dt

xi =√a2

i + b2i

tanϕi =ai

bi

ai =2T0

T0∫0

x(t) cos (2πif0t) dt

bi =2T0

T0∫0

x(t) sin (2πif0t) dt

Una forma practica de analizar senales es provista por la representacion de su contenido en frecuencias.Vease figura 1.23.

Observacion 31 Notese que el espectro de una funcion periodica solo contiene ”rayas” a multiplos dela frecuencia f0 = 1

T0.

Observacion 32 Una funcion no periodica puede ser considerada como una funcion periodica de periodoinfinito T0 = ∞. En tal caso la separacion entre las rayas tiende a cero y se habla de un espectro continuo.

1.7.3. Metodo de Duhamel

Para determinar la respuesta de un sistema a una excitacion arbitraria, tambien se puede descomponerla fuerza excitante f(t) en una serie de impulsos seguidos, calcula respuesta a cada impulso y luego sumarcada respuesta parcial.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

f(t)

ε

Figura 1.24: Impulso

Una fuerza de tipo impulso es una fuerza que se aplica durante un instante muy pequeno. El impulsose define como:

I =∫f(t)dt

Considerando la conservacion del momentum:

m∆x =∫f(t)dt

La accion del impulso es comunicar una velocidad inicial

x(0+) =I

m

por lo que la respuesta del sistema sera de la forma:

x(t) =I

m

e−ξωnt

ωdsin(ωdt)

Respuesta impulsional

Se define como la respuesta a un impulso unitario:

h(t) =e−ξωnt

mωdsin(ωdt)

Convolucion

La contribucion de un impulso aplicado en el instante t = η a la respuesta en el tiempo t es:

x(t) = f(η)dηh(t− η)

Si usa el principio de superposicion, la respuesta total esta dada por:

x(t) =∫ t

0

f(η)h(t− η)dη = f(t) ∗ h(t) (1.26)

que es conocida como la integral de Duhamel. ∗ indica el producto de convolucion.


Observacion 33 La respuesta calculado con la ecuacion 1.26 corresponde a la transiente + la esta-cionaria.

Ejemplo 11 Calcule usando la convolucion la respuesta de un sistema conservativo, en reposo inicial, yexcitado por una fuerza f(t) = f0 sinωt

x(t) =∫ t

0

f(η)h(t− η)dη

=∫ t

0

f0 sinωη1

mωnsin(ωn (t− η))dη

Usando la identidad:

sinA sinB =12

[cos (A+B)− cos (A−B)]

tenemos

x(t) =f0

2mωn

(∫ t

0

cos (ωη + ωn(t− η)) dη +∫ t

0

cos (ωη − ωn(t− η)) dη)

=f0/k

1−(

ωωn

)2

(sinωt− ω

ωnsinωnt

)

Ejercicio 4 Demuestre este resultado usando las ecuaciones ya estudiadas.

Ejemplo 12 2Se tiene un motor de masa M montado en el extremo libre de una viga empotrada delongitud l, momento de inercia I y modulo de young E. El motor genera vibraciones a su frecuencia derotacion ω, la cual cumple la condicion

ω = ηω0

conη > 1

1. Estime la frecuencia natural si se asume un modo de deformar segun

y(x) = x2

Compare con la frecuencia natural si se desprecia la masa de la viga.

2. Calcule la amplitud de la respuesta estacionaria si el motor tiene un desbalance mdrd.

3. Dibuje el espectro de la respuesta obtenida en (2). Exprese la amplitud en peak-to-peak.

4. Se desea anadir un absorbedor de vibraciones. A fin de asegurar su eficiencia se requiere que laprimera frecuencia natural del sistema modificado (2) este alejada al menos

ω1 < εω

de la frecuencia de operacion ω. Ademas,

0 ≤ ε ≤ 1

Determine propiedades (la, Ea, Ia, Ma) del sistema auxiliar viga-masa. Desprecie la masa de lasvigas.

2de control 1, 2003.


1. Usando el metodo de Lagrange, asumimos un modo de deformacion de la forma

y(x, t) = y(x)q(t)

= x2 sinω0t

por lo que:y(x, t) = ω0x

2 cosω0t

yymax(x) = ω0x

2

la energıa cinetica maxima esta dada por:

Tmax =12

M∫y2maxdm+

12M(ω0l

2)2

=12

l∫ (ω0x

2)2 m

ldx+

12M(ω0l

2)2

=12ω2

0l4

(15ml +M

)donde m es la masa por unidad de longitud de la viga. La energıa potencial maxima:

Vmax =12

l∫EI

(∂2y

∂x2

)2

∂x

pero∂y(x)∂x

= 2x

y∂2y

∂x2= 2

luegoVmax = 2EIl

y usando la igualdad 1.23,12ω2

0l4

(15ml +M

)= 2EIl

entoncesω2

0 =4EI(

15ml +M

)l3

por otro lado sabemos que la rigidez de una viga empotrada es

k = 3EI

l3

si despreciamos la masa de la viga y solo consideramos la masa M,

ω20 = 3

EI

Ml3

en tal caso, la razon entre las frecuencias naturales estimada entre (i)asumir el modo (x2) y (ii)asumir insignificante la masa de la viga es

ω20,i

ω20,i′

=

√4EIMl3

3EIMl3

=

√43

= 1,15

o sea un 15 % de diferencia.


M

Ma

Figura 1.25: Sistema con absorbedor

2. La fuerza de desbalance genera una fuerza centrıfuga de amplitud mdrdω2 que gira con frecuencia

ω; o sea es expresable comof =mdrdω

2 (cosωtı+ sinωt)

Dado que la viga es muy rıgida en el eje axial, consideramos solo las vibraciones transversales. Setiene un sistema de un grado de libertad con rigidez

k = 3EI

l3

y masa M, excitado por una fuerzaf = mdrdω

2 cosωt

Segun ecuacion (1.11), sabemos que la respuesta estacionaria es de la forma

x(t) = x0 sin (ωt− φ)

donde:

x0 =mdrdω

2

k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.27)

tanφ =2ξ ω

ωn

1−(

ωωn

)2

3. El espectro de la respuesta estacionaria es una componente a la frecuencia ω, con amplitud 2x0,segun ecuacion 7.9.

4. Si consideramos el que sistema original es un sistema de un grado de libertad con contantes m, k.Luego,

ω0 =

√k

m

El sistema con absorbedor se muestra en figura 1.25. La FRF en el motor sin y con absorbedor semuestra en figura (1.26). Si la rigidez y la masa del sistema auxiliar se denotan ma, ka la matricesdel sistema acoplado toman la forma:

K=[

k −ka

−ka ka

]M=

[m

ma

]por conveniencia, normalizamos los valores del sistema absorbedor a

ka = αk

ma = βm


ω1

10-1

100

101

102

Frecuencia

Am

plitu

d

Inicialcon absorbedor

ω0 ω ω2

Figura 1.26: FRF con y sin absorbedor

luego

K=k[

1 + α −α−α α

]= kK∗

M=m[

1β

]= mM∗

Sabemos que el sistema auxiliar debe cumplir la siguiente ecuacion para anular las vibraciones a lafrecuencia de operacion λω0: √

ka

ma= λω0

oα

β

k

m= λ2ω2

0

oα

β= λ2 (1.28)

(13.1) entrega la primera ecuacion del problema de encontrar (ka,ma).Para usar la segunda condicion, calculamos las frecuencias naturales usamos la ecuacion de equilibrio,

Kqi = ω2i Mqi

que premultiplamos por la inversa de M para hallar el problema de valores propios standard

Ax = λx

luego

k

mM∗−1

K∗qi = ω2i qi

ω20M

∗−1K∗qi = ω2

i qi

o

M∗−1K∗qi =

(ωi

ω0

)2

qi


o sea

A = M∗−1K∗

λi =(ωi

ω0

)2

luego,

A =[

1 + α −α−α

βαβ

]aprovechando la condicion (13.1),

A =[

1 + α −α−η2 η2

]Resolviendo el problema de valores propios de A,

λ1,2 =1 + α+ η2 ∓

√(α+ (η + 1)2

)(α+ (η − 1)2

)2

Notese que el argumento de la raız es siempre positivo. Ahora aprovechamos la restriccion impuesta sobrela primera frecuencia natural con respecto a la frecuencia de operacion ηω0:(

ω1

ηω0

)2

< ε2

o seaλ1

η2< ε2

de la que despejamos α:

α(ε, η) <

(ε2 − 1

) ((εη)2 − 1

)ε2

(1.29)

Usando (13.1) se despeja β. Luegoma = βm

yka = αk

Recordando que para una viga empotrada con carga en el extremo libre se tiene

ka = 3EaIal3a

fijando el material y la longitud de la viga del absorbedor,

Ea = E∗

la = l∗

obtenemos finalmente el momento de inercia:

Ia =l∗

3E∗ka

Ejemplo 13 3Se ha detectado que las vibraciones de un ventilador sobrepasan los valores aconsejadospor la norma. Al balancear se reduce el problema pero aun ası los valores son excesivos. La frecuencia derotacion del motor-ventilador (acoplamiento directo) es 1490 RPM. Una prueba de impacto a reveladoque la primera frecuencia natural del sistema es 28 Hz. Por costos se descarta cambiar la velocidad derotacion. La vibracion principal ocurre en el plano vertical. la masa del sistema es m = 300 Kg.

3examen 2003.


La frecuencia de rotacion del sistema es de

1490160

= 24,8 Hz

como el desbalance es la causa mas comun de vibracion en equipos rotatorios y su frecuencia es tancercana a la frecuencia natural del sistema:

24,8− 2828

= −11,4 %

se diagnostica probable situacion de resonancia. Asumiendo que el sistema puede ser modelado como unocon 1 grado de libertad, estimamos la rigidez a partir de la frecuencia natural obtenida y la masa delsistema vibrando:

k = mω20

= 300 (28 · 2π)2

= 9,28 · 106 N/m

Retomando el ejemplo (12), y tomando valores arbitrarios para definir un amortiguador dinamico:

ε = 0,9η = 0,1

y usando (1.29), llegamos a

α =

(0,92 − 1

) ((0,9 · 0,1)2 − 1

)0,92

(1.30)

= 0,23

lo que define la rigidez normalizada del sistema absorbedor, luego

ka = 0,23k

= ,23 · 9,28 · 106 N/m

= 2,13 · 106 N/m

yma = ,1 · 300 = 30 Kg

Ejemplo 14 Considere 4 el sistema de figura 23. Consiste de una viga sujeta por una rotula, de masapor unidad de longitud ρl y con 2 masas M en sus extremos.Interesa estudiar el primer modo elasticoque se asumira de la forma

x = y2

El modulo de Young es E, el momento de inercia de la seccion es I. Se tiene

β =ρll

M

1. Estime la frecuencia natural en funcion de EI, β;

2. Describa en una ecuacion la respuesta total a una excitacion radial

f(t) = f0 sinωt

que actua en el extremo libre de la viga. Una respuesta transiente ha mostrado que las amplitudesmaximas entre dos ciclos consecutivos tienen una relacion constante

0 < α =xmax(i+ 1)xmax(i)

< 1 (1.31)


xy

Figura 1.27: pendulo elastico

3. Cual es la amplitud de la respuesta estacionaria?

Segun enunciado, nos damos una solucion de la forma

x(y, t) = x0y2 sinωnt

luegoxmax(y) = x0y

2

x(y, t) = x0y2ωn cosωnt

yxmax(y) = x0y

2ωn

la energıa cinetica maxima puede ser aproximada por:

Tmax =12

∫V

y2maxρ∂V +

12Mx2

max(l)

=12

l∫ l

0

x2max(y)ρl∂y +

12M(x0l

2ωn

)2=

12ρl

l∫ l

0

(x0y

2ωn

)2∂y +

12M(x0l

2ωn

)2=

12ρl (x0ωn)2

l5

5+

12M(x0l

2ωn

)2=

12Mx2

0ω2nl

4

[β

5+ 1]

La energıa cinetica de la masa M en la rotula es despreciable.Para la energıa potencial maxima, despreciamos la energıa potencial gravitatoria y solo tomamos en

cuenta la energıa de deformacion de la viga:

Vmax =12

∫ l

0

EI

(∂2xmax(y)

∂y2

)2

∂y

=12

∫ l

0

EI

(∂2(x0y

2)

∂y2

)2

∂y

=12

∫ l

0

EI (2x0)2∂y

=12EI (2x0)

2l

4control I, 2004


Y usando

Vmax = Tmax

12EI (2x0)

2l =

12Mx2

0ω2nl

4

[β

5+ 1]

queda

ω2n =

4[β5 + 1

] EIMl3

Para el calculo de la respuesta forzada podemos usar Lagrange. Si

x(y, t) = x(y)q(t)

=(yl

)2

q(t)

notese que q(t) puede ser interpretada como el desplazamiento en el extremo del pendulo. Se tiene

x(y, t) = x(y)q(t)

La energıa cinetica puede ser aproximada por:

T =12

∫V

y2ρ∂V +12Mx2(l)

=12

∫ l

0

x2ρldy +12M [x(l)]2

=12

∫ l

0

[(yl

)2

q(t)]2ρldy +

12M [q]2

=12

(ρll

5+M

)q2

=12M

(β

5+ 1)q2

=12mq2

luego

m = M

(β

5+ 1)

y la energıa potencial por

V =12

∫ l

0

EI

(∂2x

∂y2

)2

∂y

(∂2x

∂y2

)2

=(∂2

∂y2

[(yl

)2

q

])2

=(

2l2q

)2

V =12

∫ l

0

EI

(2l2q

)2

∂y

=12EI

(2l2q

)2

l

=12

(4EIl3

)q2

=12kq2


luego

k =4EIl3

el trabajo virtual realizado δW por la fuerza externa f = f(t) al realizar un desplazamiento virtual δx0

puede ser aproximado por

δW = fδxy=l

= f · 1 · δq

pero la fuerza generalizada fq es definida por

δW = fqδq

luegofq = f

lo que nos da la expresion del equilibrio dinamico del pendulo flexible:

mq + kq = f(t)

La expresion (1.31) nos entrega el decremento logarıtmico. La frecuencia natural no amortiguada es

ωn =

√k

m

luego el factor de amortiguamiento se puede despejar de

α =2πξ√1− ξ2

y la respuesta forzada es

x0 =f0k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]21.8. Comentarios finales

Hemos revisado los conceptos de frecuencia natural, respuesta transiente y respuesta estacionaria-entre otros- para sistemas que se comportan como uno de un grado de libertad.

Nos hemos limitado al estudio de sistemas lineales, o sea donde los coeficientes de masa, rigidez yamortiguamiento son constantes. En caso de no serlo, hemos aproximado para pequenos desplazamientosen torno al punto de equilibrio estatico.

1.9. Ejercicios propuestos

Ejercicio 5 Un instrumento de masa m es embalado y es soportado por un resorte de rigidez k. Se suponeque el paquete en su transporte podrıa caer desde una altura h. Asuma que el paquete cuando choca conel suelo queda en reposo instantaneamente. Si m = 15Kg y k = 0,5MN/m determine: i)Amplitud delas vibraciones de m. ii) Maxima fuerza a la cual queda sometido el resorte. iii) Maxima aceleracion delinstrumento. Respuesta: i) 5.4cm, ii)27kN,iii)183.5gr

Ejercicio 6 Sim = 12lb

k = 6lbf

pulg

1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS 41

Figura 1.28: Esquema de embalaje

Figura 1.29: Sistema de 1 gdl

f0 = 2lbf

c = 0,43lbf

pulg/s

Determine:

1. Frecuencia natural,

2. Amplitud para ω = ωn y amplitud de resonancia

3. Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia

4. Frecuencia de resonancia (peak de amplitud)

5. Velocidad y aceleracion maximas

Respuesta: i)13,9 rad/s;ii) 0.33”,0.39”; iii)90o; iv) 9.9 rad/s; v)3.8pulg/s, 37.5 pulg/s

Ejercicio 7 Determine las frecuencias naturales en torsion y axialmente del rotor de la figura de radior y masa m. La masa de los ejes es despreciable. Respuesta:√

17πGD16Mlr2√5π4ED2

M

Figura 1.30: Esquema de rotor


Figura 1.31: Soporte en voladizo

Figura 1.32: Base de motor

Ejercicio 8 Un motor electrico de masa 40Kg y que gira a 980 cpm se monta en una viga en voladizocomo indica la figura sobre dos tacos de goma. La deflexion estatica de los tacos bajo el peso del motores de 4 mm. Para determinar la rigidez de la viga se le puso un peso de 20Kg en el lugar del motordeflectandose 2.5mm. Para determinar el amortiguamiento de la viga se realizo un test de vibracioneslibres. Un desplazamiento inicial de 10mm dado a la viga disminuyo a 1.5mm en 3 ciclos. El rotor delmotor tiene una masa de 15Kg y un desbalanceamiento de 2 Kgmm. La masa de la viga es despreciable.i)Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor. ii) Si los tacos de goma se retiran yel motor se monta directamente en la viga, determine la amplitud de las vibraciones estacionarias delmotor. Respuesta: i) 53,8 µm, ii) 61,2 µm

Ejercicio 9 Un motor de combustion interna de cuatro tiempos se monta como indica la figura. El motoresta montado en dos soportes tal que es capaz de oscilar respecto al eje x-x. Resortes de hoja conectan elblock del motor y la base. i)Cual deberıa ser la rigidez EI de dos resortes (con extremos empotrados) paraque la amplificacion dinamica x0/xestatico a la frecuencia mas baja de excitacion del motor girando a 1200rpm sea 0.25?.ii) Determine la seccion transversal de la hoja de resorte si la razon espesor/ancho es 0.1.El momento de inercia de la masa del motor respecto a x-x es 2.1Kgm2. La longitud l de la hoja resortees 0.1m. La distancia L entre x-x y la fijacion motor-hoja es de 0.17m. Respuesta: EI = 38,25Nm2

Ejercicio 10 5La figura (1.33) representa un vehıculo que se mueve por un pavimento cuyo nivel oscilasinusoidalmente con periodo 12 m y profunidad peak-peak 6 cm.

m = 2000Kg

ξ = 0,4

v = 72km

h

La rigidez k determinada de un ensayo mostro que una carga de 50 Kg sobre el vehıculo producıa unadeformacion de 2.0 mm. Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias. Respuesta:4,93 cm

En este caso estudiamos la dinamica de un sistema cuando conocemos el movimiento de la base.Primero calculamos la frecuencia con la que el auto sufre un ciclo de oscilacion, tenemos:

v = 72km

h1000

m

km

13600

h

s

= 20m

s5examen2004

1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS 43

Figura 1.33: Esquema de vehiculo

Como el periodo de oscilacion es de 12 m, tenemos un ciclo cada

T =1220

=35

s

o una frecuencia de

f =1T

=53

Hz

o

ω = 2πf

=103π rad/s

La amplitud del desplazamiento del centro de la rueda es

xb = 3 10−2 m

entoncesxb(t) = xb cosωt

La rigidez del soporte es

k =50 · 9,82 10−3

= 2,45 105 N/m

Tenemos

c = 2ξmωn

= 2 · 0,4 · 2000 · 11,07= 17712 N/(m/s)

donde

ωn =

√k

m

= 11,07 rad/s

luego

ω

ωn=

10,4711,07

= 0,95


(a) Mecanismo de leva (b) Eje macizo

Figura 1.34: Problemas propuestos

luego la frecuencia es bastante cercana a la frecuencia natural del sistema y el sistema debe responderresonando. Usando (1.10), podemos calcular la amplitud de la respuesta en el chassis x0:

x0 = xb

√c2ω2 + k2

k

√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2 (1.32)

= xb

√(10π3

)2 177122 + (2,45 105)2

2,45 105

√[1− (0,95)2

]2+ [2 · 0,4 · 0,95]2

(1.33)

= 4,93 cm (1.34)

Ejercicio 11 La figura representa esquematicamente un mecanismo de leva. La leva rota a 500 cpm;

k = 20kN/m

m = 20Kg

c = 0

la masa del seguidor es despreciable. El desarrollo en serie de Fourier del levantamiento que indica elgrafico es (y(t) = 0 para angulos de rotacion de la leva entre 120o y 360o):

y(t) = 1,8+3,3 cos(2πt/T +20o)+1,5 cos(4πt/T −70o)+0,3 cos(6πt/T +50o)+0,1 cos(8πt/T +120o)mm

i)Grafique el espectro del levantamiento.ii)Determine el maximo desplazamiento (estacionario) de la masam. Respuesta: 4,26 cm

Ejercicio 12 Despreciando la masa del eje, determine la primera velocidad crıtica utilizando el metodode Rayleigh. Respuesta: 490 rad/s

Ejercicio 13 Una maquina rotatoria de masa 650Kg, opera a 1500 cpm y tiene un desbalance de0.12Kgm. Si el amortiguamiento en los aisladores es de 8%. i)Determine la rigidez de los aisladorestal que la transmisibilidad a la velocidad de operacion sea menor o igual a 0.15. ii) Determine la magni-tud de la fuerza transmitida. Respuesta: i)2.02 MN/m; ii) 444.1 N

Bibliografıa

[1] Seto, M., Vibraciones Mecanicas, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1970.

[2] Harris, C.M.,Shock and Vibration Handbook,Ch.2, 4th ed., Mc-Graw-Hill, 1996.

[3] Geradin, M., Rixen, D. Mechanical Vibrations, Wiley, 2nd edition, 1997.

45

46 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 2

Analisis de Fourier

2.1. Introduccion

La figura 2.1 es un ejemplo de la vibracion que es posible medir en en una maquina rotativa. Lasvibraciones son producto de diversas causas, entre las que se encuentran el desbalanceamiento, el desalin-eamiento, las vibraciones de los engranajes, etc. Cada una de estos problemas genera senales periodicascuya frecuencia es caracterıstica, lo que permite diagnosticarlas. Aparece entonces el problema de separarlas diferentes frecuencias que aparecen en una misma senal (analisis espectral).

La misma informacion, pero en un grafico 3D, es mostrada en figura 2.2. Se aprecia como cadacomponente de la senal medida puede ser descrita por un valor de amplitud y una frecuencia asociada.La senal es mostrada ademas en el dominio frecuencia (figura 2.3).

2.2. Analisis de Fourier

La herramienta matematica que permite la descomposicion de una senal en sus componentes funda-mentales es la transformada de Fourier.

Ella puede ser continua para senales en t ∈ (−∞,∞) o discreta para senales en t ∈ (0, T )En la vida real solo se mide durante un cierto periodo de tiempo [0, T ] y en forma discreta (vease

figura 2.6).

2.2.1. Nociones basicas

La transformada continua de Fourier para la frecuencia ω se define como:

X(jω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt (2.1)

y su inversa por:

x(t) =∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω

Notese que X(jω) es una cantidad compleja.

Observacion 34 La formula 2.1 permite el uso de frecuencias positivas y negativas. Lo comun que sololas frecuencias positivas tengan sentido fısico. En tal caso se utiliza el espectro a un lado.

Si la senal es muestreada N veces cada 4t segundos, entonces k-esima lınea de la transformada

47

48 CAPITULO 2. ANALISIS DE FOURIER

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

TiempoTiempo

Desbalanceamiento

Desalineamiento

Engranajes

+

+

=

Figura 2.1: Vibracion global

Frecuencia Tiem

poSeña

l med

ida

Frecuencia Tiem

poSeña

l med

ida

A

A

Figura 2.2: Representacion tiempo-frecuencia

Am

plit

ud

Frecuencia

Figura 2.3: Espectro de la senal

2.2. ANALISIS DE FOURIER 49

Figura 2.4: Poder de diagnosis de un espectro

EspectroSeñal temporal

TransformadaTransformadadede

FourierFourier

Figura 2.5: Transformada de Fourier

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1

T

ToTo

Tiempo

Figura 2.6: Muestreo discreto


f∆f

∆f=1/T

Figura 2.7: Muestreo y espectro discretos

discreta de Fourier esta definida por:

X(k) =2N

N∑n=1

x(n)e−j2πk nN , k = 1, .., N/2

X(0) =1N

N∑n=1

x(n)

Observacion 35 Notese que la componente estatica (f = 0) corresponde al valor promedio.

La frecuencia normalizada asociada a la k-esima lınea es k/N .El paso entre lıneas (paso frecuencial) esta dado por:

4f =1T

Como se vera a continuacion, hay una serie de parametros que deben ser tomados en cuenta parautilizar adecuadamente el espectro de una senal.

2.2.2. Paso frecuencial

Consecuencia del tiempo de muestreo limitado y la discretizacion de la senal es que el espectro es-tara compuesto por un numero limitado de lıneas, y la distancia entre cada una en frecuencia4f esta dadapor:

4f =1T

donde T es el periodo de muestreo definido por la figura 2.6. Notese que no tiene nada que ver con elperiodo T0 de la senal.

Mientras mas corto es el periodo de muestreo, mayor sera el paso en frecuencias. Ello puede suscitarproblemas para el diagnostico como se indica en figura 2.8, donde 2 componentes de frecuencias muysimilares han sido confundidas por un paso frecuencial muy pobre. Al realizar un zoom sobre la bandafrecuencia sospechosa se logra discriminar.

2.2.3. Aliasing

Un problema que aparece a causa del muestreo discreto es el aliasing, vale decir cuando una com-ponente a alta frecuencia es confundida con una de baja a causa de que la frecuencia de muestreo (lavelocidad con la que se adquieren puntos de la senal temporal) sea muy baja. El efecto se muestra enfigura 2.9. Notese que en el caso superior hay suficientes puntos por cada periodo de la senal para que la

2.2. ANALISIS DE FOURIER 51

Figura 2.8: Resolucion frecuencial pobre

Figura 2.9: Frecuencia de muestreo pobre

transformada discreta de Fourier capte la componente real f0. En el caso de la parte inferior hay solo unpunto por cada ciclo de la senal; obviamente es imposible recuperar la frecuencia real y la que capta elalgoritmo de Fourier es la de la frecuencia fantasma

fa = 1/Ta

Como solucion al problema se deben tomar 2 medidas:

Aplicar una frecuencia de muestreo fs que cumpla con el teorema de muestreo de Nyquist

fs > λfmax

donde λ es una constante mayor que 2 (usualmente se usa 2.56).

Aplicar un filtro analogo pasa-bajos (o ”anti-aliasing”) que extraiga todas las componentes superi-ores a fmax.

Observacion 36 En la practica industrial, basta con configurar la frecuencia maxima de analisis delcolector para que los filtros (analogos y digitales) se ajusten. Obviamente, al filtrar las componentessuperiores se pierde la capacidad de detectar problemas que generen altas frecuencias.

2.2.4. Efecto de rendija

Se tiene que

4f =1T

por lo que para poder mostrar una componente a f0 = 1T0

es necesario que:

f04f

sea entero (2.2)


A

0.64A

A

0.64A

Figura 2.10: Efecto de rendija

Figura 2.11: Hoja tecnica de un acelerometro industrial

Sea T = αT0 donde α es el numero de ciclos de la senal que son considerados. Entonces:

f04f

=1T01

αT0

= α

De aquı se ve que la condicion 2.2 se cumple para α entero. Tal situacion ocurre en la parte superior dela figura 2.10. La amplitud real A es mantenida por el algoritmo de la transformada de Fourier. En casode tomar α = 1,5 ocurre la situacion de la parte inferior de la figura: la componente ha sido dividida en2 de menor amplitud (0,64A en este caso).

2.2.5. Ruido

Para el ejemplo de la figura 2.11, el solo el ruido electrico del sensor es de 50 µg (491 µm/s2), lo queimplica que cualquier senal debajo de ese nivel no sera distinguible. Ademas, no se ha tomado en cuentael ruido de los otros componentes de la cadena de medicion.

2.3. VENTANAS 53

Ac e

lera

c ió

n

µgFrecuencia

50

Figura 2.12: Componentes escondidas bajo el ruido

Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 2.13: Efecto de truncacion nulo

2.2.6. Efecto de fuga

El hecho de tomar un periodo discreto de la senal temporal [0, T ] implica en general que no setomara un multiplo exacto del periodo propio de la senal T0. Tal situacion es descrita en figuras 2.13 y2.14.

Para tratar el problema es necesario aplicar una ventana antes de aplicar el algoritmo discreto deFourier. Gracias a ella se elimina la discontinuidad entre un periodo y otro de la senal y se logra queel intervalo [0, T ] sea tambien la frecuencia con la cual se repite la senal (a fines de la FFT ), lo quedisminuye el efecto de fuga.

2.3. Ventanas

La ventana de Hanning[1] (nombrada ası por el meteorologo austriaco Julius von Hann) es una delas mas usadas para disminuir el efecto de fugas. Esta descrita por:

h(t) = cos2(π

2t

T

)con

t ∈ (−T, T )

donde T es el intervalo muestreado de las senal. La figura (??) muestra este tipo de ventana.Otra ventana muy usada es la de Hamming[1] (figura 2.17)


Señal de entrada

Porción utilizada para T.F.

Señal asumida en el algoritmo T.F. discreto

Figura 2.14: Efecto negativo de truncacion

Señal real

Señal adquirida

Ventana

Señal de entradapara FFT

TT

×

=

Figura 2.15: Aplicacion de ventanas

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2*t/T

Figura 2.16: Ventana de Hanning

2.3. VENTANAS 55

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

t/T

Figura 2.17: Ventana de Hamming

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t/T

Figura 2.18: Ventana Flat top


SeñalAnáloga

SeñalDigital

ADC16 bit s

51.2 KHz+ / - 2.5 Vpeak

Figura 2.19: Conversion analogo-digital

+2.5V

-2.5V

+32768

-32768

+25G

-25G

Figura 2.20: Fondo de escala y rango dinamico

y(t) = 0,54 + 0,46 cos2(πt

T

)con

t ∈ (−T/2, T/2)

Finalmente, presentamos la ventana Flat top (figura 2.18):

y(t) = 0,2810639− 0,5208972 cos(

2πt

T

)+ 0,1980399 cos

(4π

t

T

)con

t ∈ (0, 1)

2.4. Discretizacion

La senal analoga es transformada en senal digital por el conversor analogo-digital (ADC) el cual escaracterizado por el numero de bits n con que cuenta. Actualmente se utilizan usualmente los ADC de16 bits. La senal pueden tomar 2n−1 valores distintos (mas el signo).

La frecuencia de muestreo indica la cantidad de puntos que puede generar por unidad de tiempo (enel caso de la figura 2.19 se crean 51200 puntos/s). Un parametro importante y que usualmente dependedel usuario es el fondo de escala que limita el voltaje aceptable para el conversor (en la figura, la senaldebe estar en el rango [−2,5, 2,5] V).

Tomemos el caso mostrado en figura 2.21. La senal solo utiliza 0,5/5 = 10 % del fondo de escala. Dadoque el ADC es de 16 bits solo se aprovechan 32768/10=3276 bits. Ello implica que el rango dinamicoefectivo DR es:

DR = 20 log3276

1= 70 dB

Si hubiese utilizado el 100 % del fondo de escala (lo que puede truncar la senal digital):

DR = 20 log32768

1= 90 dB

La calidad de la conversion tambien depende del tipo de senal. Por ejemplo una senal de desplazamien-to tiende a ”reducir” las componentes a alta frecuencia, por lo que estas componentes podran aprovechar

2.5. COMPONENTE DC 57

0.5V

+2.5V

-2.5V

Figura 2.21: Rango dinamico

Frecuencia

Am

plit

ud

Desplazamiento

VelocidadRango

Rango

Figura 2.22: Rango dinamico y tipo de senal

muy pocos de los bits disponibles para ese nivel de senal. Por otro lado, el hecho de tener componentesgrandes en baja frecuencia obliga a agrandar la escala (figura 2.22).

2.5. Componente DC

Aun si la parte dinamica de la senal es pequena, es posible que el ADC se sature debido a la existenciade una componente DC en la senal (ver figura 2.23). Para solventar tal situacion se debe aplicar un filtroanalogo DC antes del ADC.

2.6. Parametros de adquisicion

Usuario selecciona:

Ancho de banda;

Numero de lıneas;

Tipo de ventana.

Supongamos que se tomo una frecuencia maxima de 5 KHz, con 3200 lıneas. Se tiene entonces:


0.5V +2.5V

-2.5V

+32768

-32768

DC

Figura 2.23: Efecto de la componente DC

0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Figura 2.24: Senal armonica simple

Resolucion en frecuencia:5000 Hz

3200 lıneas= 1,5625 Hz/lınea

Nro. puntos en el tiempo:3200 · 2,56 = 8192 puntos

frecuencia de muestreo:5000 Hz · 2,56 = 12800 Hz

Tiempo de muestreo:819212800

= 0,64 s

Resolucion en tiempo:1

12800= 7,8125E − 5 s/punto

2.7. Espectros usuales

Como se vio anteriormente la una senal armonica simple es caracterizada por una sola lınea en elespectro (figura 2.24).

La senal periodica muestra una serie de lıneas. La primera lınea aparece a 1/T0 (T0 es el periodo dela senal), las siguientes aparecen a n/T0, n = 2, 3, ... (figura 2.25).

Una respuesta transiente (usualmente provocada por un impacto) tiene un espectro similar al de lafigura 2.26. En general aparecen varios valles y picos. Los picos corresponden en general a frecuenciasnaturales. Ello es un primer paso en la identificacion modal. Un ejemplo real se muestra en figura 2.27.En este caso, el sensor esta colocado sobre uno de los descansos de una sierra circular. La senal temporal

2.7. ESPECTROS USUALES 59

0 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 1 20

0.5

1

1.5

2

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

To

1/To

Figura 2.25: Senal periodica

0 5 10-1

-0.5

0

0.5

1

Tiem po (s)

De

spla

zam

ien

to

0 2 40

0.005

0.01

0.015

0.02

Frecuencia ( Hz)

Am

pli

tud

Figura 2.26: Senal transiente

muestra la transiente generada por el impacto inicial de un trozo con la sierra. El espectro muestra elpico/valle asociado.

2.7.1. Modulacion

Si el la senal transiente se repite en el tiempo (ver figura 2.28) se tiene una senal periodica que serepite cada T0 segundos. Ello ocurre usualmente cuando se produce un impacto de manera periodica. Loespecial en este caso es que la componentes armonica dominante aparece a la frecuencia del pico de lasenal transiente. Ella esta rodeada de las llamadas bandas laterales que estan distantes n/T0, n = 2, 3, ..Hz de la lınea principal.

En la figura 2.29 se muestra un ejemplo real de modulacion. En este caso el peak de la transienteexcitada esta a 3023 Hz. Aparecen 2 bandas laterales a 28.1 Hz. Para esta maquina ello corresponde ala frecuencia de paso de las bolas por la pista interior (BPFI) de uno de los rodamientos, lo que implicauna picadura incipiente.

El ejemplo anterior indica que mas importante que la frecuencia de la alta frecuencia (transiente) esla tasa de repeticion del evento. La figura 2.30 muestra patrones en el espectro para fallas distribuidas ylocales respectivamente. A fin de detectarlo mas claramente, tambien se puede aplicar un filtro envolvente(figura 2.31) que solo considera el evento a baja frecuencia. Como resultado del filtrado queda una senalperiodica, cuyo frecuencia fundamental es la frecuencia de repeticion del evento a alta frecuencia. Elproceso se describe en figura 2.32.

La modulacion corresponde al producto de la interaccion entre fenomenos fısicos. En el espectro ello


2000 2500 3000 3500 40000

0.01

0.02

0.03

rms

(Vo

lts)

x:linear Hertz

aspec s/n 22870s/n 22870:Volts

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-5

0

5

rea

l(V

ol ts

)

sec.

s/n 22870s/n 22870:Volts

Figura 2.27: Impacto inicial en sierra circular

0 0.05-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo (s)

Des

plaz

a mi e

nto

700 800 9000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

1/T

Figura 2.28: Senal con modulacion

0 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500

+30

23.4

,28.

1+

250

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Frecuencia (Hz)

Ace

lera

ción

Figura 2.29: Ejemplo de modulacion en ventilador

2.7. ESPECTROS USUALES 61

Figura 2.30: Modulacion de fallas locales y distribuidas

Envolvente

Tiem po

Envolvente

Tiem po

Figura 2.31: Filtro envolvente

Figura 2.32: Proceso de demodulacion


se evidencia como la traslacion de la senal moduladora (de menor frecuencia) como bandas laterales dela senal portadora (de mayor frecuencia). Causas usuales de modulacion en sistemas mecanicos son:

Rodamientos danados; las frecuencias asociadas a picaduras son moduladas por frecuencias natu-rales a alta frecuencia;

Engranajes; frecuencias de engrane y frecuencias naturales;

Motores electricos; frecuencia de rotacion del motor o frecuencia de la lınea y frecuencias de pasode ranura.

Supongase que la senal portadora (alta frecuencia) es senoidal [2]:

xp(t) = Ap cos (ωpt)

La senal modulada (osea, la portadora modulada por una senal moduladora f(t)) se expresa como:

xm = [1 + µf(t)]Ap cos (ωpt)

donde µ es el ındice de modulacion.En el caso de que la senal moduladora sea senoidal:

f(t) = cos(ωmt)

Entoncesxm = [1 + µ cos(ωmt)]Ap cos (ωpt)

lo que se puede expresar como:

xm = Ap cos (ωpt) +µAp

2[cos (ωp + ωm) t+ cos (ωp − ωm) t]

lo que implica que el espectro de xm mostrara componentes a ωp, ωp + ωm, ωp − ωm.

Ejercicio 14 Simule una modulacion en amplitud para diferentes tipos de senales moduladoras (senoidal,cuadrada, sierra, periodica cualquiera, ruido blanco). Realice ademas un estudio de sensibilidad vs el ındicede modulacion. Remıtase a ref. [2].

2.7.2. Ruido en la senal

Una senal aleatoria en el tiempo no muestra patrones tal como se puede apreciar en figura 2.33. Ello esimportante pues al aplica promedios sucesivos de espectros de una misma senal tiende a hacer disminuirlas componentes asociadas a ruido aleatorio (figura 2.34).

Un tipo de senal importante para el analisis modal experimental es la senal impulsiva (figura 2.35).Como se puede ver muestra un espectro plano. Si una estructura es excitada por un impulso inicial (unmartillazo por ejemplo) la excitacion contiene componentes en un rango ancho de frecuencias, lo queprovocara respuestas tambien en un rango amplio. En ella se distinguiran las frecuencias naturales.

2.8. Unidades standard

Las amplitudes de cada componente en el espectro pueden ser mostradas en dos tipos de formato:lineal y logarıtmico. El formato logarıtmico es ventajoso para visualizar variables que tomen valoresen varios ordenes de magnitud (el espectro vibracional, por ejemplo). Su formato mas comun son losdecibeles, que requieren el uso de un valor de referencia (Yref ). Un dB se define como:

dB = 20 log(y/yref )

En tabla (2.1) se muestra una lista comparando razones con dB.

Ejemplo 15 Los VdB son usados para espectros de velocidad. Su valor de referencia es 1e-6 mm/s.Entonces:

0 VdB = 10−6 mm/s

A continuacion se presenta una lista de unidades standard en dB:

2.8. UNIDADES STANDARD 63

0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d

Figura 2.33: Senal aleatoria

Figura 2.34: Aplicacion de promedios

y/yref dB100 40√

10 10√2 3

1 01/√

2 −31/10 −201/100 −40

Cuadro 2.1: Equivalencia dB


0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

plaz

amie

nto

0 500 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 10-3

Frecuencia (Hz)

Am

plit

udFigura 2.35: Senal impulsiva

Tipo de senal Denominacion Valor de referencia UnidadVelocidad VdB 10−6 mm/sAceleracion AdB 10−3 mm/s2

Voltaje DBV 1 VVoltaje DBmV 1 mVPresion dB-SPL 105 Pa

Cuadro 2.2: Unidades dB standard

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

mm

/srm

s

Hz

Figura 2.36: Senal representada en escala logarıtmica

2.9. TIPO DE VALOR MOSTRADO 65

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

20

40

60

80

100

120

140

160

mm

/srm

sHz

Figura 2.37: La misma senal de figura 2.36 en formato bilineal

2.9. Tipo de valor mostrado

A fin de caracterizar la vibracion global se han definido tres tipos de medida:

Peak, que caracteriza estados de sobrecarga e impactos;

Peak to Peak, usado cuando hay desplazamientos relativos;

RMS (Root Mean Square, raız del valor medio al cuadrado), que es una forma de promedio quetoma en cuenta toda la informacion registrada, y que es una estimacion de la energıa contenida enla senal.

Observacion 37 La norma ISO 2372 (severidad vibratoria) se basa en el valor RMS.

2.10. Valor RMS

El valor RMS analogo es calculado desde la senal temporal directamente:

VRMS =

√∑i v

2i

N

dondevi es el valor de la senal adquirida en el instante ti;N es el numero de puntos de la senal.El valor RMS digital es calculado como la norma del vector cuyas componentes son las amplitudes

(RMS):

VRMS =√∑

i

v2i,RMS

Para el caso de una senal armonica de amplitud A (de 0 al peak), el valor RMS es

A√2

Ver figura 2.38.Dado que el valor RMS de la senal es en cierta forma un promedio, el cambio de alguna componente

espectral especifica tiende a cambiar poco su valor aun si el cambio de la componente es importante.Un ejemplo se muestra en figura 2.39 para el caso de una caja reductora. El espectro superior indica lacondicion del equipo en el mes 1, el inferior, lo mismo pero 2 meses despues. Si bien la componente a 1Xcrecio 20 dB, el valor RMS global solo se incremento 10 dB.


0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Des

p laz

amie

nto

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia (Hz)A

mpl

itud

RMS peak peak topeak

peak RMS

Figura 2.38: Valor RMS

Figura 2.39: Tendencia de espectro vs tendencia del valor RMS

2.11. FACTOR DE CRESTA 67

Figura 2.40: RMS insensible, CF efectivo

2.11. Factor de Cresta

Un indicador mas sensible de falla que el nivel RMS es el factor de crestas (crest factor,CF ) definidopor:

CF =Vpeak

VRMS

donde Vpeak es el valor maximo de la senal.Si la senal es sinusoidal,

CF =√

2

Ejemplo 16 Obtenga el espectro de la senal

y = sin 2πf0t

con f0 = 2 Hz (T0 = 1/f0 = 0,5s) muestreada con frecuencia

fs = 20f0

puntos/s durante un periodoT = 10T0

En Matlab:

>>Ts=1/(20*2) %s/punto>>Tm=10*0.5 %periodo de muestreo>>t=0:Ts:Tm; %vector tiempo>>y=sin(2*pi*t); %vector senal>>plot(t,y),xlabel(’tiempo(s)’)>>ffty=fft(y);%FFT ’’bruta’’>>df=1/Tm %paso frecuencial>>n=length(y) %nro. puntos de la senal temporal>>f=[0:n-1]*df; %vector frecuencia>>ffty=ffty/(n/2); %correcci\’on de amplitud>>ffty(1)=ffty(1)/2;%correcci\’on de amplitud componente est\’atica>>ffty=ffty(1:n/2);f=f(1:n/2); %correcci\’on frecuencias>>plot(f,ffty),xlabel(’Frecuencia(Hz)’),...>>ylabel(’Amplitud’),title(’Espectro(y)’)


2.12. Comentarios finales

La transformada rapida de Fourier es la herramienta mas utilizada en el analisis de vibraciones.La medicion de la respuesta dinamica y su estudio a traves de esta tecnica en sistemas industrialesha permitido el desarrollo de estrategias de gestion de mantenimiento centradas en la condicion de losequipos. Los ahorros provocados han sido reportados en multiples publicaciones, por ejemplo en ref. [3].

Bibliografıa

[1] Blackman, R. B. and Tukey, J. W., Particular Pairs of Windows, The Measurement of Power Spectra,From the Point of View of Communications Engineering. New York: Dover, 1959.

[2] Harris, C.M.,Shock and Vibration Handbook, 4th ed., Mc-Graw-Hill, 1996.

[3] Machine Condition Monitoring Using Vibration Analysis. Number BA 7059-13. Bruel & Kjaer.

69

70 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 3

Cadena de medicion

3.1. Introduccion

La cadena de medicion considera todas las etapas por las que pasa la senal adquirida por el transductor.Estas son:

3.1.1. Transduccion

el sensor transforma la senal desde su dominio natural (velocidad, aceleracion,...) a senal electrica.

3.1.2. Acondicionamiento

la senal es tratada por:

Filtro DC, a fin de aprovechar el fondo de escala (si la componente estatica no es interesante,contraejemplo: sensor de desplazamiento). ver §2.5.

Amplificador, las senales generadas por el transductor pueden ser muy pequenas y no aprovecharel fondo de escala del ADC.

Filtro Antialiasing, que evita que la senal digital absorba componentes no distinguibles a causa dela frecuencia de muestreo del ADC (ref. §2.2.3).

Circuito de Integracion, la senal integrada antes de ser digital. Se reduce el efecto de ski-slope.

3.1.3. Digitalizacion

la senal analogica es convertida en senal digital (discreta) por el conversor analogo-digital (ADC).

3.1.4. Procesamiento

la senal es filtrada digitalmente, decimada, integrada digitalmente, procesada por la transformadarapida de Fourier,etc. El filtro digital permite absoluta flexibilidad, lo que no es el caso de un filtroanalogo que usualmente tiene frecuencia de corte fijas. La decimacion permite reducir la frecuencia demuestreo, y con ello el numero de datos a procesar.

3.1.5. Registro

Se graban los datos. Cabe mencionar que el registro puede ser realizado antes de ser procesado. Esel caso de las grabadoras digitales DAT y colectores de datos (data loggers), que permiten realizar elanalisis a posteriori (en batch).

71

72 CAPITULO 3. CADENA DE MEDICION

BobinaBobina

Figura 3.1: Sensor de desplazamiento sin contacto

Figura 3.2: Esquema de un sensor de desplazamiento

3.2. Sensores

Existen varios tipos de transductores: de desplazamiento, velocidad, aceleracion, laser doppler, straingages,...

3.2.1. Sensores de desplazamiento sin contacto

este tipo de sensor mide la distancia relativa entre su punto de fijacion (caja del eje por ejemplo) yel eje. Su mecanismo de funcionamiento se basa en corrientes parasitas que se generan en una bobina(figura 3.1). Para su funcionamiento, la senal generada por el sensor debe ser tratada por un osciladordemodulador (driver) que a su vez esta alimentado por una fuente de poder. El driver proporciona voltajede muy alta frecuencia a la bobina, lo que produce un campo magnetico que induce corrientes parasitasen el eje (siempre que sea metalico). Ello producira variaciones de voltaje en la bobina (modulado), queson proporcionales a la distancia al eje (en un cierto rango , usualmente 2-3 mm).

Este tipo de sensor se aplica para medir movimientos relativos eje/descanso tanto dinamicos comoestaticos.

Sensibilidad depende de material del ejeLos espectros medidos con este tipo de sensor son validos en el rango:0-1000 Hz.Una de sus ventajas es que mide desde la componente DC, lo que es usado para verificar posicion axial

de ejes. Tambien puede ser aplicado como sensor de fase (ver figura 3.3). El uso de 2 sensores permiteestablecer la orbita que sigue el eje (grafico de Lissajous).

Su montaje se dificulta pues es necesario perforar las carcasas, la necesidad de tener una rugosidaddel eje mınima (¡0.4 a 0.8 µm segun la norma API 670) y la redondez del eje.

En maquinas con descansos axiales se utilizan los sensores de desplazamiento para evaluar el desgastedel descanso.

3.2. SENSORES 73

Figura 3.3: Aplicacion como tacometro y sensor de posicion

Figura 3.4: Sensor de desplazamiento sin contacto

Las parte de la senal asociada a imperfecciones en la superficie es llamada runout mecanico. La partede la senal asociada a diferencias en la conductividad electrica del eje es llamada runout electrico. Ellaspueden ser sustraıdas al medir a giro lento. Por supuesto se necesitara una referencia (un sensor de fase).

La longitud ası como el blindaje del cable que va desde el sensor al driver influye en el nivel de ruidosde la senal. Es comun usar cables blindados de hasta 5 u 8 m.

Ejercicio 15 Construya un modelo (Simulink) para verificar el efecto del runout mecanico en la senal.Construya una curva radio vs angulo c/r a la chaveta. Asuma que el centro de gravedad del eje tiene unaorbita circular. Compare orbitas y espectros reales y ”medidos”.

3.2.2. Sensores de desplazamiento con contacto

Tecnologıa en desuso. Valida hasta 10-12 Kcpm.

3.2.3. Sensor de velocidad de bobina

Este tipo de sensor genera una senal de voltaje cuando el iman de masa m (sostenida con un resortek muy flexible) se mueve con respecto a una bobina que es solidaria a la superficie a medir. La fuerzaelectromotriz e generada es proporcional a la velocidad relativa. Si la frecuencia de la vibracion es variasveces superior a la frecuencia natural 2π

√k/m Hz, la masa estara practicamente fija con respecto de un

observador inercial. Dado que la senal es autogenerada, no se necesita acondicionamiento. El rango lineal


Figura 3.5: Funcionamiento de un velocımetro

de los velocımetros es 10-1500 Hz. Sobre esta frecuencia aparecen otras frecuencias naturales del sistemamasa resorte.

Ejercicio 16 Construya un velocımetro. Con el uso de un shaker estime su sensibilidad y rango lineal.

3.2.4. Sensor de velocidad piezoelectrico (piezovelocity transducer)

En este caso, dentro de la misma carcasa del sensor se ha puesto un acelerometro piezoelectrico (ver§3.2.5) y un circuito integrador. Se requiere una fuente de voltaje. Su rango lineal es similar al de unacelerometro y por tanto es mucho mayor que el de un velocımetro de bobina.

3.2.5. Acelerometro piezoelectrico

Es el tipo de sensor mas usado actualmente. El principio de funcionamiento se basa en que los ma-teriales piezoelectricos (quarzo por ejemplo) generan micro voltaje al ser deformados. En la figura 3.6 semuestra un montaje de acelerometro industrial. El material piezoelectrico esta fijo a la carcasa del sensory sostiene una masa (funciona como una viga empotrada). Este tipo de configuracion trabaja al corte.Hay otros tipos que funcionan por compresion (ver figura 3.7). La senal generada tiene un valor muybajo en voltaje y una alta impedancia, por lo que no puede ser usada directamente por los instrumentosclasicos. A fin de resolver el problema se utiliza un amplificador que puede estar incluido en la mismacarcasa del acelerometro (ICP, Integrated Circuit Piezoelectric). En caso de ser externo es un llamadoamplificador de carga.

Debido a su naturaleza, la senal de aceleracion es muy pequena para bajas frecuencias. Ello limitausualmente el rango inferior del acelerometro a 1-2 Hz. La primera frecuencia natural del sistema limitael rango superior Operan bajo la primera frecuencia natural En figura ?? se muestra la influencia del tipode sujecion en la frecuencia natural. De lo anterior un rango lineal tıpico es 2-5000 Hz.

Los ”probe tips” se usan con colectores de datos para areas de difıcil acceso o carcasas no metalicas(aluminio). No deben usarse para mediciones bajo 10 Hz. La frecuencia de resonancia esta en el rango800-1500 Hz.

3.2.6. Saturacion de acelerometros

Un rango de medicion usual para un acelerometro industrial es de 50g. Si este valor es superado, elsensor producira senales erroneas. Vease por ejemplo la figura 3.11 donde la senal esta truncada. Elloincrementrara las componentes a baja frecuencia en la senal y producira el efecto ski-slope que se ve enel espectro (figura 3.12).

3.2. SENSORES 75

Figura 3.6: Esquema de un acelerometro trabajando al corte

Figura 3.7: Esquema de un acelerometro

Figura 3.8: Esquema de acelerometro ICP


Figura 3.9: Resonancia de acuerdo al tipo de base

.

Figura 3.10: Especificaciones

.

Figura 3.11: Saturacion de acelerometros

3.2. SENSORES 77

Figura 3.12: Efecto ski slope

3.2.7. Seleccion de acelerometros

Rango de frecuencias

Amplitud de vibracion mınima

Amplitud de vibracion maxima

Rango de temperaturas

Condiciones ambientales (fluidos, gases, quımicos)

Metodo de montaje

Restricciones fısicas

El rango de frecuencias depende de los elementos a monitorear. Ejemplos:

Rodamientos - 20-40 veces la velocidad del eje

Cojinetes - 10-20 veces la velocidad del eje

Engranajes - 3.5 veces la frecuencia de engrane

Motores electricos - 3.5 veces la frecuencia de las barras.

La amplitud mınima de la vibracion solo se considera para equipos de baja velocidad, la senal fısicadebe ser al menos 5 veces el ruido del amplificador.

La amplitud maxima no debe superar el nivel de saturacion del sensor. Para un acelerometro industrialtıpico de 100 mV/g este valor es de 50-80g.

Para el montaje, se debe evitar la posibilidad de capturar resonancias de la caja o punto de fijacion.Se aconseja usar puntos duros cerca de los rodamientos.

3.2.8. Vibrometro Laser

Non-contact measurement of vibration velocity

Vibration measurements on surfaces at extreme temperatures

Vibration measurements without mass loading on

lightweight structures

small structures

delicate structures

soft materials


Figura 3.13: Vibrometro Laser Doppler

Impact measurements

Relative vibration measurements (e.g., on board ships, aircraft and cars)

Vibration measurements in any direction

FEATURES

Velocity range up to 425 mm/s

Frequency range from 0.1 Hz to 25 kHz

Dynamic range 73.5 dB over full bandwidth

Measurements from 0.4 m (16 in) up to 25 m (82 ft) possible without surface treatment or retro-reflective tape

Measurements possible beyond 25 m (82 ft) using retro-reflective tape

Safe operation (Class II laser)

Easy to operate with built-in bar graphs

Portable, compact design with integrated optics and electronics

Battery or mains operated

Connects to any Bruel &Kjær sound and vibration analysis system

Velocity level and focus indications for easy setup

3.2.9. Filtros [1]

Los filtros pueden ser divididos en 4 tipos segun la parte del espectro que dejen pasar o detengan:

Filtro pasa-bajos;

Filtro pasa-altos;

Filtro pasa-bandas;

Filtro para-pandas.

3.2. SENSORES 79

Figura 3.14: Tipos de filtro

Figura 3.15: Filtro pasa-banda

3.2.10. Filtros pasa-bandas

Un filtro pasa-banda ideal solo deja pasar las componentes espectrales que esten el intervalo [f1,f2](figura 3.15). En la practica, las componentes fuera de este intervalo pasaran pero de manera atenuada.Mientras mas alejadas esten del intervalo mayor sera el nivel de atenuacion. El ancho de banda de unfiltro puede ser expresada de 2 maneras:

1. El ancho de banda a -3 dB (o media potencia);

2. El ancho de banda de ruido efectivo

El ancho de banda a -3 dB y el ancho de banda de ruido efectivo son practicamente identicos para lamayorıa de los filtros.

Los filtros pasa-banda pueden ser clasificados en:

1. Filtros con ancho de banda constante; donde el ancho de banda es constante e independiente de lafrecuencia central del filtro;

2. Filtros con ancho de banda relativo; donde el ancho de banda es especificado como un porcentajede la frecuencia central; por lo que a mayor frecuencia mayor es el ancho de banda.

Observacion 38 Los filtros con ancho de banda constante tienen ancho de banda iguales si el espectroes mostrado con el eje en frecuencias lineal; los filtros con ancho de banda relativo tienen ancho de bandaiguales si el espectro es mostrado con el eje en frecuencias logarıtmico.


Figura 3.16: Tipos de filtros pasa-banda

Figura 3.17: Parametros de calidad de un filtro PB

Ejemplo 17 Un filtro de 1/1 octavas es un filtro con ancho de banda relativo de 70%. Por ejemplo, sila frecuencia central es 2 Hz, el ancho de banda sera

√2 Hz y entonces:

f1 = 2−√

2/2 =√

2

f2 = 2 +√

2/2 =5√

22

Se dice que el filtro es de 1 octava porque f2 = 2f1. Una octava corresponde a un factor de 2 en la escalade frecuencia; osea, al doble o la mitad de la frecuencia central.

Observacion 39 Otros filtros muy usados son el de un tercio de octava (23%) y el de una decada(f2 = 10f1).

La calidad de un filtro puede ser especificada de diferentes maneras:

1. El factor de calidad (Q-factor). Muy usado para describir la respuesta en una zona de resonanciade una estructura mecanica (que actua como un filtro PB para las excitaciones);

2. Factor de forma. Usado para especificar la calidad de un filtro con ancho de banda constante.

3. Selectividad de octavas. Usado para filtros con banda de ancho relativo. Se especifica en octavas(figura 3.17).

Como regla general, los filtros con banda de ancho constante son usados para medidas de vibraciones.Ello se debe a que en las vibraciones aparecen comunmente componentes armonicas que son mas facilesde mostrar en un escala lineal de frecuencias. Los filtros con ancho de banda relativo son mas usados enacustica.

3.2. SENSORES 81

Figura 3.18: Colector de datos

3.2.11. Colectores

Los ADC actuales son de 16 bits, frecuencia maxima 40 KHz, Rutas son configuradas desde softwareen PC desktop, senal tacometro, 1,2 canales de adquisicion. Entre las marcas que dominan el mercadose tiene CSI,Predict,Bently Nevada, Entek IRD, Bruel & Kjaer, Diagnostic Instruments, Framatome,Schenck.

Capıtulo 4

Metodos matriciales

4.1. Ecuacion del movimiento

Considerese el sistema de figura 4.1. Las ecuaciones del movimiento de tal sistema son:

m1x1 + (c1 + c2)x1 − c2x2 + (k1 + k2)x1 − k2x2 = f1

m2x2 − c2x1 + c2x2 − k2x1 + k2x2 = f2

Por conveniencia, ellas pueden ser reescritas en forma matricial:

[m1 00 m2

]x1

x2

+[c1 + c2 −c2−c2 c2

]x1

x2

+[k1 + k2 −k2

−k2 k2

]x1

x2

=f1f2

(4.1)

y en forma simbolica:Mx + Cx + Kx = f (4.2)

Las matrices M, C, K son conocidas como matrices de masa, amortiguacion, rigidez, respectivamente.

4.2. Vibraciones libres

4.2.1. Vibraciones libres en sistemas no amortiguados

En este caso, la ecuacion homogenea es de la forma:

Mq + Kq = 0

La solucion general toma la formaq(t) =

∑i

qiesit

11 22

21

Figura 4.1: Sistema con 2 grados de libertad

83

84 CAPITULO 4. METODOS MATRICIALES

una solucion particular es:q(t) = qest

sustituyendo: (Ms2 + K

)qest = 0 (4.3)

(Ms2 + K

)q = 0 (4.4)

Como el sistema es lineal y conservativo, sabemos que respuesta sera dinamica, luego

si = jωi

coni = 1, ..., n

luego par modal cumplira:Kqi = ω2

i Mqi (4.5)

lo que puede ser reescrito como el problema generalizado de valores propios:

Ax = λBx

con

A = K

B = M

λ = ω2i

x = qi

o si consideramos todas las parejas en una sola ecuacion matricial:

KQ = Ω2MQ

donde

Q =[

q1 ... qn

]Ω2 = diag

(ω2

n, ..., ω2n

)Una formal alternativa, es usar el determinante. La solucion (no trivial) del sistema (4.4) se encuentrapara los valores de s que satisfagan:

det(Ms2 + K

)= 0

Ejemplo 18 Considere el caso de figura 4.1 con k1 = k2, m1 = m2. Entonces:

det([

ms2 + 2k −k−k ms2 + k

])= 0

(ms2 + 2k

) (ms2 + k

)− k2 = 0

s21 = −0,382k

m

s22 = −2,618k

m

Por lo que las frecuencias naturales son:

ω1 = 0,618

√k

m

ω2 = 1,618

√k

m

4.3. MODOS PROPIOS 85

Ejemplo 19 Encuentre las ecuaciones del movimiento (linealizadas) para el pendulo doble mostrado enla figura 4.2 m1 = m2 = m, l1 = l2 = l. Exprese las matrices de masa y rigidez.

Tomando momentos c/r a la masa m1 y al pivote O, se obtiene:

m2l22θ2 +m2l1l2θ1 +m2gl2 sin θ2 = 0

m1l21θ1 +m1gl1 sin θ1 +m2gl1 sin θ1 +m2l1(l1θ1 + l2θ2) = 0

oLinealizando sin θ ≈ θ para angulos pequenos,

θ1 + θ2 +g

lθ2 = 0 (4.6)

θ1 +12θ2 +

g

lθ1 = 0

o matricialmente (y normalizando):

M =[

1 11 1

2

]K =

g

l

[1 00 1

]Notese que el acoplamiento se da en la matriz de masa.

Ejemplo 20 Utilizando Lagrange: Fijando un nivel de energıa potencia nula a la altura del pivote:

V = −m1gl1 cos θ1 −m2g (l1 cos θ1 + l2 cos θ2)

V = −m1gl1 cos θ1 −m2g (l1 cos θ1 + l2 cos θ2) (4.7)Para el calculo de la energıa cinetica se debe considerar tanto la componente horizontal como la verticalde la velocidad:

T =12m1

[(l1θ1 sin θ1

)2

+(l1θ1 cos θ1

)2]

+

12m2

[(l1θ1 sin θ1 + l2θ2 sin θ2

)2

+(l1θ1 cos θ1 + l2θ2 cos θ2

)2]

si los angulos son pequenos,

T =12m1

[(l1θ1θ1

)2

+(l1θ1

)2]

+12m2

[(l1θ1θ1 + l2θ2θ2

)2

+(l1θ1 + l2θ2

)2]

despreciando productos,

Tlin =12m1

(l1θ1

)2

+12m2

(l1θ1 + l2θ2

)2

(4.8)

Usando (4.7) y (4.8) se llega la sistema (4.6).

4.3. Modos propios

Los vectores que satisfacen la ecuacion 4.4 son los llamados vectores propios.

Ejemplo 21 Para el ejemplo anterior sustiyuyendo s21 = −0,382 kmen :

q2 = 1,618q1

y para s22 = −2,618 km :

q2 = −0,618q1

Observacion 40 Notese que al sustituir una raız si en (4.4) solo se obtiene 1 ecuacion independiente.Para hallar los vectores propios es necesario anadir una condicion de normalizacion arbitraria.

Observacion 41 Un modo propio puede ser multiplicado por cualquier constante y aun ası cumplir conla ecuacion caracterıstica.


1

2

θθ1

θθ2

Figura 4.2: Pendulo doble

4.3.1. Normalizacion de modos

1. Igualar la maxima componente a 1,max(qi) = 1

q1 =

11,618

q2 =

−0,618

1

2. Igualar una componente a 1,

q1 =

11,618

q2 =

1

−0,618

3. Igualar la normal del vector a 1,|qi| = 1

q1 =1√

12 + 1,6182

1

1,618

=

0,5260,851

q2 =

1√12 + (−0,618)2

1

−0,618

=

0,851−0,526

4. Masa modal unitaria, qTi Mqi = 1

q1 =1√m

1,9022,210

q2 =

1√m

1,175−0,726

4.3. MODOS PROPIOS 87

4.3.2. Propiedades de los modos propios

Una propiedad muy importante de los modos propios es la llamada ortogonalidad con respecto a K yM:

qTi Kqj = δijγi (4.9)

qTi Mqj = δijµi

donde δij corresponde a la funcion delta de Kronecker:

δij =

1 si i = j0 si i 6= j

y γiy µi corresponden a las rigidez modal y masa modal del i-esimo modo propio.Tomemos 2 modos propios distintos, con frecuencias naturales distintas premultiplicando (4.5) tenemos:

qTj Kqi = ω2

i qTj Mqi (4.10)

similarmente,qT

i Kqj = ω2jq

Ti Mqj

Restando ambas ecuaciones, y tomando en cuenta la simetria de M y K,(ω2

i − ω2j

)qT

i Mqj = 0

luegoqT

i Mqj = 0

y de la sustitucion de este resultado en (4.10) se obtiene que

qTi Kqj = 0

Observacion 42 Notese que tanto la rigidez modal como la masa modal dependen de la norma utilizada.Sin embargo su relacion no depende de esta:

ω2i =

γi

µi

Definicion 2 Para fines operativos, se define la matriz modal como aquella que ordena los modos propiosen columnas:

Q =[

q1 · · · qn

]Observacion 43 De acuerdo a lo anterior, QT KQ y QT MQ son matrices diagonales

4.3.3. Analisis modal en sistemas amortiguados

Para resolver el problema ?? se extiende tal sistema utilizando la igualdad:

Mx−Mx = 0

con lo que queda el sistema con 2n incognitas:[C MM 0

]xx

+[

K 00 −M

]xx

=

f0

lo que toma la forma [17]:

Ar + Br = s


con las matrices simetricas

A =[

K 00 −M

]B =

[C MM 0

]y los vectores de estado y de excitacion:

r =

xx

s =

f0

El caso homogeneo

Ar + Br = 0

tiene la solucion de la formar = yeλt

lo que lleva al problema de valores propios

Ay =λ(−B)y

en este caso las raices entregan la frecuencia natural y el factor de amortiguacion:

λi = −σi ± jωi

Ejercicio 17 1En la figura se muestra la representacion esquematica de un automovil. Si el vehıculopesa 4000 Lb y tiene un radio de giro de ρy = 4,5 pies alrededor del centro de gravedad, encuentre lasfrecuencias y modos propios. Datos: k1 = 250 Lbf/pulg,k2 = 270 Lbf/pulg.

mx = −k1(x− l1θ)− k2(x− l2θ)Iθ = k11(x− l1θ)l1 − k2(x− l2θ)l2

donde el momento de inercia del automovil es:

I = mρ2y

Ejemplo 22 Considerese el sistema de la figura. Calcule modos propios y frecuencias naturales.

m1x = −k1(x− rθ)Iθ = k2ρ

2yθ − k1(rθ − x)ρy

con I = 12m2ρ

2y es el momento de inercia del cilindro.

4.4. Coordenadas modales

4.4.1. Ecuacion del movimiento en vibraciones libres

Para un sistema conservativo las vibraciones libres son combinaciones de cada modo propio:

x(t) =∑

i

(αi sinωit+ βi cosωit)qi (4.11)

y para sistemas amortiguados:1ejemplo 17. cap 2, ref. [?].


Figura 4.3: Sistema con 2 grados de libertad

x(t) =∑

i

e−ξiωit (αi sinωit+ βi cosωit)qi

que ademas cumplen las condiciones iniciales:

x(0) = x0

x(0) = x0

Ejercicio 18 Determine los x(t) del sistema dado si x(0) =x1,0 0

T , x(0) =

0 0T


4.5.1. Metodo directo para respuesta estacionaria

Si la excitacion es de tipo armonico y es de interes la respuesta estacionaria, es como usar el metododirecto, que utiliza el algebra compleja:

f(jωt) = fejωt

x(jωt) = xejωt

La sustitucion de estas ecuaciones en 17.1 conduce a un sistema cuadrado de ecuaciones del tipo:

Zx = f

x = Hf

con

Z = −ω2M+jωC + K

= H−1

la matriz Z es conocida como matriz de rigidez dinamica. Su inversa es llamada matriz de flexibilidaddinamica o matriz respuesta. Los elementos diagonales de H corresponden a las funciones respuestadirectas (vale decir, del grado de libertad que es excitado). Los demas elementos corresponden a lasfunciones respuesta de transferencia.


Observacion 44 Notese que tanto Z como H dependen de ω.

Ejemplo 23 Para el sistema en estudio, la respuesta a una excitacion del tipo f =f1,0 0

Tejωt es:

x =f1,0

k−mω2

m2(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)−k

m2(ω2−ω21)(ω2−ω2

2)

Para este caso, cuando ω =

√k/m la respuesta en el punto de excitacion se anula ( antirresonancia).

Observacion 45 El sistema tiene tantas frecuencias naturales como grados de libertad

Observacion 46 la respuesta tiende al infinito cuando ω → ω1, ω2. Esta condicion se llama resonancia.

Observacion 47 Notese que las antirresonancias son propiedades locales, las resonancias son propiedadesdel sistema.

4.5.2. Metodos de Integracion directa en el tiempo

En caso de que las respuestas transientes tambien sean de interes y el calculo de las bases modalessea muy caro computacionalmente, es posible utilizar. Entre ellos encontramos el metodo de Newmark,el metodo HHT. El lector interesado es referido a la referencia [17].

Ejercicio 19 Programe el modelo del ejemplo de dos grados de libertad en Simulink. Compare las fre-cuencias naturales obtenidas con las teoricas.

4.5.3. Metodo modal

De acuerdo a la ecuacion 4.11, toda deformacion que sufra el sistema puede ser descrita como una com-binacion de sus modos propios. Gracias a la propiedad de ortogonalidad 4.9 es posible obtener rapidamentela respuesta de un sistema a una excitacion dada. Para tal fin, se introduce la siguiente transformacion:

x = Qz

Aplicando tal transformacion en la ecuacion del movimiento 17.1 se obtiene:

QT MQz + QT KQz = QT f

µz + γz = QT f (4.12)

el sistema 4.12 es un sistema de ecuaciones desacoplado, vale decir, que cada desplazamiento modal zi

puede ser obtenido usando solo la i-esima ecuacion.

Ejercicio 20 Resuelva utilizando el metodo modal el problema de vibraciones libres del ejemplo 23.

4.5.4. Metodo de desplazamientos modales

En caso de estudiar un sistema que posee muchos grados de libertad, el calculo de la base modal com-pleta Q implica calculos que pueden tomar mucho tiempo o que pueden sufrir de inestabilidad numerica.Es por ello que se asume que la respuesta va a estar dominada por una cierta cantidad de modos (usual-mente los primeros). Entonces se usa:

x ' x = Qz

donde Q solo dispone de n < N modos propios.

4.6. EXPANSIONES ESPECTRALES 91

4.5.5. Metodo de aceleraciones modales

Una forma de enriquecer la respuesta calculada con el metodo de los desplazamientos es anadiendoel efecto estatico de los modos que no han sido calculados. Supongase que el sistema posee N grados delibertad y se han logrado calcular n modos. La respuesta exacta del sistema se puede escribir como:

x = −K−1Mx + K−1f

Si K−1 existe (lo cual no es el caso cuando existen modos rıgidos):

K−1M =[Ω2]−1

donde Ω2 es la matriz que contiene en su diagonal todas las frecuencias naturales del sistema (al cuadrado).Aproximando x por -ω2x :

x ' x = ω2[Ω2]−1

x + K−1f

En este caso[Ω2]

contiene solo las frecuencias de los modos usados en la aproximacion. x es la aproxi-

macion del metodo de los desplazamientos modales2.El lector interesado es referido a la referencia [11].

Ejercicio 21 Verifique el metodo con 0,1 y 2 modos propios para el ejemplo de estudio.

4.6. Expansiones espectrales

Podemos aprovechar la M-ortogonalidad de la base modal para expresar la respuesta como una com-binacion unica de modos:

x =n∑

i=1

αiqi

Por conveniencia, premultipliquemos por qTi M. Se tiene entonces que

αi =qT

i Mxµi

Sustituyendo,

x =n∑

i=1

qTi Mxµi

qi

Trasponiendo y aprovechando la simetrıa de M, podemos escribir tambien

x =n∑

i=1

qiqTi Mµi

x

Observamos entonces que

I =n∑

i=1

qiqTi Mµi

(4.13)

De manera similar, desarrollemos el vector de cargas f como

f =n∑

i=1

βiMqi

luego

βi =qT

i fµi

2En anexo .9 se muestra un ejemplo en Matlab.


que son denominados los factores de participacion modal de la carga f .Pre o post multiplicando (4.13) podemos describir cualquier matriz A,como una combinacion modal:

A =n∑

i=1

AqiqTi M

µi=

n∑i=1

qiqTi MAµi

(4.14)

de lo que deducimos el desarrollo de las matrices estructurales y de sus inversas:

M =n∑

i=1

MqiqTi M

µi

K =n∑

i=1

ω2i

MqiqTi M

µi

Z(ω)=n∑

i=1

ω2i − ω2

µiMqiq

Ti M

M−1 =n∑

i=1

qiqTi

µi(4.15)

K−1 =n∑

i=1

qiqTi

ω2i µi

H(ω)=n∑

i=1

qiqTi

(ω2i − ω2)µi

Notese que K−1 solo existe si ω2i > 0. La inversa de K es un caso especial de la matriz de flexibilidad

dinamica H, la cual esta bien definida aun en la existencia de modos de cuerpo rıgido.Se tiene entonces que

x(ω) = H(ω)f(ω)

=n∑

i=1

qiqTi

(ω2i − ω2)µi

f

=n∑

i=1

βi

(ω2i − ω2)

qi

Lo que nos dice que la respuesta estara dominada por los modos que tengan mas altos factores departicipacion modal y que esten mas cercanos a la frecuencia de excitacion. Si la frecuencia de excitacionω esta cercana a ωi bastaria con que el vector de cargas fuese ortogonal a qi

qTi f = 0

para evitar la resonancia.

4.7. Absorbedor de Vibraciones

Un problema de resonancia puede ser evitado o reducido de 3 maneras:

1. Eliminando la excitacion (reduciendo la fuerza o aislando el sistema),

2. Cambiando la frecuencia natural (variando masa y/o rigidez),

3. Anadiendo amortiguamiento.

4.8. MOVIMIENTOS DE CUERPO RIGIDO 93

Una forma alternativa considera el uso del absorbedor de vibraciones; que explota el concepto deantirresonancia. Supongase que inicialmente se dispone del sistema:

m1x1 + k1x1 = f1

Cuya frecuencia natural es ω1 =√k1/m1. Si se anade un segundo grado de libertad m2, k2 con frecuencia

natural ω2 =√k2/m2 (cuando se fija un extremos del resorte) se obtiene un sistema como el mostrado

en figura 4.1 y cuya ecuacion del movimiento esta indicada en la ecuacion 4.1 con f2 = 0. La respuestaestacionaria a una fuerza f = f1 sinωt esta dada por:

x = Z−1f

f =f10

La solucion es:

x =f1k1

1(1 + k2

k1− ω2

ω21

)(1− ω2

ω22

)− k2

k1

1− ω2

ω22

1

Se ve que cuando ω = ω2 el grado de libertad 1 pasa de moverse con amplitud

f1k1

1

1−(

ωω2

)2

a 0.

Observacion 48 Notese que se impone solo una condicion sobre la frecuencia natural ω2 del sistemaauxiliar. Hay infinitas posibilidades de m2, k2 que la cumplen.

Observacion 49 Las frecuencias ω1, ω2 corresponden a las frecuencias de los sistemas principal y aux-iliar por separado y no corresponden a las frecuencias naturales ω∗1 , ω

∗2 del sistema acoplado.

4.8. Movimientos de cuerpo rıgido

Cuando un sistema es capaz de moverse sin acumular energıa potencial, aparecen los llamados modosde cuerpo rıgido; que se caracterizan por una frecuencia natural igual a 0.

Ejemplo 24 Obtener los modos propios del sistema mostrado en figura 4.4. La ecuacion del movimientoes:

Mx + Kx = 0

M = m

[1 00 1

]K = k

[1 −1−1 1

]De acuerdo a los resultados mostrados en apendice .6:

ω21 = 0,q1 =

,707,707

ω2

2 = 2k

m,q2 =

,707−,707


11

21

Figura 4.4: Sistema con modo de cuerpo rıgido

4.9. Modelos de Amortiguamiento

4.9.1. Amortiguamiento proporcional

El amortiguamiento proporcional se define como:

C = αM + βK

tal modelo facilita bastante el trabajo de modelacion (pues M y K estan disponibles) y ademas producemodos de vibrar iguales a los del sistema conservativo asociados. Ello tambien implica que son modosreales. Un modo real es aquel en que todos los grados de libertad alcanzan su maximo en el mismoinstante. En caso de no ser ası se habla de modos complejos.

Mx + Cx + Kx = f (4.16)

Utilizando la transformacion modal:x = Qz

Aplicando tal transformacion en la ecuacion del movimiento se obtienen las ecuaciones desacopladas:

QT MQz + QT CQz + QT KQz = QT f

µz + (αµ+ βγ) z + γz = QT f (4.17)

Observacion 50 Cada ecuacion en 4.17 esta desacoplada del resto, con lo cual la solucion es facil deobtener.

Si el amortiguamiento es no proporcional, el utilizar este metodo implica despreciar el efecto de losterminos no diagonales de QT CQ. Lo que desacopla el sistema de ecuaciones-.

Ejemplo 25 Para el ejemplo de figura 4.1 considerese c1 = c2 = 0,2, k = m = 1. La respuesta seencuentra en apendice .8.

4.10. Obtencion de la matriz de rigidez

Una forma interesante de obtener la matriz de rigidez de un sistema se desprende de la observacion:

K

10

=k11

k21

en otras palabras, al aplicar un desplazamiento unitario en algun grado de libertad (el gdl 1 en este caso)se obtienen las fuerzas internas elasticas que aparecen debido a ella, y que corresponden a la columnaasociada al grado de libertad (la primera en el ejemplo).

4.10. OBTENCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 95

Figura 4.5: Viga empotrada con 2 masas concentradas

1

Figura 4.6: Obtencion experimental de la primera columna de K

Otra manera de obtenerla es a traves de la matriz de flexibilidad estatica:

K−1

10

=h11

h21

donde

H0 = K−1

O sea, si una fuerza aplicada en un grado de libertad dado, los desplazamientos de cada gdl forman lacolumna asociada de la matriz de flexibilidad. Luego de conseguir cada columna de H0 es posible obtenerK.

Ejemplo 26 Obtener la matriz de rigidez de la viga empotrada mostrada en figura 4.5. La masa de laviga es despreciable.

Usando las tablas de deflexiones (mecanica de solidos) y aplicando una fuerza unitaria en el gdl 1:H11

H21

=

l3

48EI

25

y luego en el gdl2:

H11

H21

=

l3

48EI

516

por lo que:

Hω=0 =l3

48EI

[2 55 16

]e invirtiendo:

K =48EIl3

[16 −5−5 2

]


1

Figura 4.7: Obtencion de la segunda columna de K

1

Figura 4.8: Obtencion de la primera columna de la flexibilidad estatica Hω=0

Observacion 51 Para un sistema lineal, tanto la matriz de rigidez como la de flexibilidad son simetricas

Observacion 52 A cada elemento de la matriz de flexibilidad se le llama coeficiente de influencia.A los de la matriz de rigidez, coeficientes de rigidez.

Observacion 53 Los coeficientes de rigidez en la diagonal de K deben ser positivos para que el sis-tema sea estable. Lo contrario implica que al aplicar una fuerza aparece una fuerza elastica que tiende adeformar aun mas el sistema.

Ejercicio 22 Obtenga experimentalmente la matriz de rigidez para el caso de una viga empotrada.

4.11. Fijacion de grados de libertad

Consideremos que en el vector de desplazamientos x, hay una fraccion de grados de libertad xd dondese ha impuesto respuesta nula:

x =

xa

xd

xd = 0

luego

x =

xa

0

o convenientemente,

x = Tfixxa (4.18)

con

Tfix =[

I0

]

4.12. IMPOSICION DE RESTRICCIONES AL MOVIMIENTO 97

Sustituyendo (4.18) en (17.1) y premultiplicando por Tfix,

TTfixMTfixxa + TT

fixCTfixxa + TTfixKTfixxa = TT

fixf (4.19)

y quedaMaaxa + Caaxa + Kaaxa = fa (4.20)

donde Uaa es la particion de la matriz estructural generica U asociada a los grados de libertad activos:

U =[

Uaa Uad

Uda Udd

]La ecuacion (4.20) nos muestra que la solucion solo depende de los grados de libertad activos, como esde esperar.

4.12. Imposicion de restricciones al movimiento

Expresemos las restricciones al movimiento en la forma:

gTj x = 0

j = 1...m

La existencia de tales restricciones nos permite condensar una particion de los grados de libertad. Aplique-mos:

x =

xa

xc

Que podemos expresar en la forma matricial:

Gx= 0[Gaa Gac

]x = 0

o sea, al imponer las restricciones, la solucion x debe estar contenida en el espacio nulo de G. Tenemos

Gaaxa + Gacxc = 0

xc = −G−1ac Gaaxa

y

x =[

I−G−1

ac Gaa

]xa

ox = TGxa

que podemos sustituir en la ecuacion del movimiento (17.1) para obtener una expresion de las matricesde masa y rigidez condensadas:

TTGMTGxa + TT

GCTGxa + TTGKTGxa = TT

Gf

luego

Ma = TTGMTG

Ca = TTGCTG

Ka = TTGKTG

fa = TTGf

Maxa + Caxa + Kaxa = fa


4.12.1. Ejemplo numerico

Tomemos como ejemplo el sistema mostrado en figura () que representa un edificio de 3 pisos (ejemploque sera desarrollado mas adelante). Se imponen las siguientes restricciones al movimiento:

x1 = x5

x2 = x6

x3 = x7

x4 = x8

Reescrito matricialmente, tenemos (al elegir x1, ..., x4 como grados de libertad activos):

1 −1

1 −11 −1

1 −1

x = 0

luego

Gaa = I

Gac = −I

luego

TG =[

I−G−1

ac Gaa

]=

[II

]

Notese que Gac debe ser cuadrada e invertible para que el analisis pueda ser realizado. Se tiene

M = m

1α22

α32

α42

1α22

α32

α42

K = k

12 − 1

212 + β2

2 −β22

β22 + β3

2 −β32

β32

12 − 1

212 + β2

2 −β22

β22 + β3

2 −β32

sim β32

4.13. ANALISIS DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ 99

Figura 4.9: Fuerza de Alford

Figura 4.10: Diagrama del modelo de Alford

Tenemos entonces

M′ = TTGMTG

= m

1

α2

α3

α4

K′ = TT

GKTG

= k

1 −1−1 1 + β2 −β2

−β2 β2 + β3 −β3

−β3 β3

4.13. Analisis de estabilidad de Routh-Hurwitz

La figura (4.9) muestra un ejemplo de una fuerza que afecta la estabilidad en turbomaquinas, y quees conocida como la fuerza de Alford[2, 6]. Ella es causada por la variacion del clearance debido a unadeflexion del eje con respecto al eje medio entre los descansos. El fenomeno produce un incremento de larigidez cruzada (o sea, es una fuerza de direccion normal a la deflexion del eje y de amplitud proporcionala la misma).

Un modelo sencillo del fenomeno consiste de un disco (de masa m) con alabes, posicionado en elcentro de un eje (figura 4.10). Si el eje y los descansos tienen propiedades de rigidez y amortiguamientosimetricas, el modelo considera:

Mx + Cx + (K + KA)x = 0


dondeM = mI

C = cI

K =kI

y el aporte de Alford es la matriz antisimetrica

KA = kA

[1

−1

]La hipotesis de Alford es que kA es proporcional al torque externo ejercido sobre el disco, e inversamenteproporcional al diametro de pitch lD y a la longitud de los alabes lH ,

kA = βT

lDlH

o normalizando respecto de k,kA = νk

El analisis modal en Maple queda

>A:=linalg[matrix](4,4,[k,nu*k,0,0,-nu*k,k,0,0,0,0,-m,0,0,0,0,-m]);> B:=linalg[matrix](4,4,[c,0,m,0,0,c,0,m,m,0,0,0,0,m,0,0]);> eigenvals(A,-B);

Las soluciones son

− c

2m±√

c2

4mk− (1− νi)

√k

m

− c

2m±√

c2

4mk− (1 + νi)

√k

m

Un analisis del signo de la parte real puede darnos un criterio de estabilidad. Una alternativa es eluso del Criterio de Routh-Hurwitz.

Un analisis del problema de valores propios lleva a escribir la ecuacion caracterıstica en el formato delcriterio de estabilidad de Routh-Hurwitz[5], que se aplica en modelos con pocos grados de libertad. Lasraıces λi son soluciones de la ecuacion caracterıstica:

λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0 (4.21)

El criterio define la matriz de coeficientes H,

H =

a1 1 0 0 0 0 .a3 a2 a1 1 0 0 .a5 a4 a3 a2 a1 1 .. . . . . . .. . . . . . .

de la cual se definen los coeficientes Hi y matrices Hi:

h1 = detH1 = a1

h2 = detH2 = det∣∣∣∣ a1 1a3 a2

∣∣∣∣ = a1a2 − a3

hn = detHn

En nuestro caso,ai = 0, i = 5, 6, ...

4.14. COMENTARIOS FINALES 101

Se puede demostrar que si todos los valores hi son positivos el sistema es estable.al sustituir la solucion general

x(t) = xeλt

obtenemos, [mλ2 + cλ+ k kA

−kA mλ2 + cλ+ k

]x = 0

y la ecuacion caracterıstica toma la forma

λ4 +2cmλ3 +

(2km

+c2

m2

)λ2 + 2

ck

m2λ+

(k2 + k2

A

m2

)= 0

de donde reconocemos los coeficientes ai de (4.21),

a1 =2cm

a2 =2km

+c2

m2

a3 = 2ck

m2

a4 =k2 + kA

m2

4.13.1. Amortiguamiento general

h1 = 2c

m

h2 = 2c

m2

(k + 2

c2

m

)h3 = 4

c2

m4

[k

(k +

c2

m

)− (k2 + k2

A)]

h4 =k2 + k2

A

m2h3

bajo condiciones especificas algun h3 (y h4) pueden ser negativos y el sistema puede ser inestable.Estudiemos h3:

k

(k +

c2

m

)− (k2 + k2

A) ≥ 0

Para que el sistema cumpla con las condiciones de estabilidad de Routh-Hurwitz se debe cumplir que

c

√k

m≥ kA = β

T

lDlH

luego, para asegurar que el sistema sea estable es necesario rigidizar el sistema (incrementar√k/m)

o incrementar el amortiguamiento c.


En este capitulo hemos visto una serie de metodos matriciales que nos han permitido calcular laspropiedades modales ası como la respuesta forzada estacionaria ante excitaciones sinusoidales para sis-temas de varios grados de libertad.


L mT

Figura 4.11: Cuerda en tension

Ejercicios propuestos

Ejercicio 23 La cuerda tensionada de la figura tiene 3 masas iguales m. Suponga que la tension T dela cuerda permanece constante para pequenas oscilaciones.

l = 0,1mm = 0,1KgT = 100N

1. Determine los modos de vibrar

2. Si sobre la masa del centro actua una fuerza

f(t) = 200 sin 100t

en Newtons. Determine la respuesta estacionaria:usando el metodo directo, usando el metodo modal.

3. Grafique la funcion respuesta H22

Respuesta:1)

Ω2 = 2, 0,586, 3,414T/lm,

Φ =

1 1 11,4 0 −1,41 −1 1

2)

0,021m

Ejercicio 24 3La figura esquematiza un conjunto motor-bomba.

mm = 1000 kgmb = 3000 kg

Sus momentos de inercia respecto a sus centros de masa son

Im = 60kgm2

Ib = 200kgm2.

3examen 2004


2m 2m5m

sensormotor bomba

3m.2m

Figura 4.12: Sistema motor-bomba

Las maquinas estan montadas sobre una base rıgida de masa despreciable. El soporte de la estructura serepresenta por 2 resortes de constante

k = 106N/m

Movimientos horizontales son considerados pequenos frente a los verticales. Determine la aceleracionmedida por el sensor si en el centro de masas del motor actua una fuerza de desbalance de

fu = 103 N

cuando este gira aN = 191rpm

Respuesta:a = 3, 69m/s2

Como la base es rigida, podemos tratar este problema como uno de dos grados de libertad. Selec-cionamos aribtariamente, el desplazamiento vertical del centro de masas ( y) y su rotacion con respectoal eje z, que es normal al plano dibujado.

Tenemos

m = mm +mb

= 4000 kg

El momento de inercia respecto de z, es el aporte de ambos componentes. Primero localizamos el centrode masa con respecto al extremo izquierdo del sistema

x =xmmm + xbmb

m

=1 · 1000 + 4 · 3000

4000= 3,25 m

lo que nos permite calcular el momento de inercia del sistema Izz con respecto al eje que pasa por el ejez que pasa por el centro de masa,

Izz = Im +mm (x− xm)2 + Ib +mb (x− xb)2

= 60 + 1000 (3,25− 1)2 + 200 + 3000 (3,25− 4)2

= 7010 Kgm2

Los productos de inercia se anulan por condiciones de simetria.


Las distancias entre el centro de masa y ambos descansos son

∆1 = 3,25− 1− 0,2= 2,05 m

∆2 = 4− 3,25= 0,75 m

Para el calculo de la energia de deformacion, se requieren las deflexiones. Al haber un desplazamiento

x =yθ

Para el resorte 1 es

y1 = y −∆1θ

para el resorte 2 es,y2 = y + ∆2θ

luego la energia potencial es

V =12k (y −∆1θ)

2 +12k (y + ∆2θ)

2

La energia cinetica tiene una componente traslacional y otra rotacional:

T =12my2 +

12Izz θ

2

Usando las ecuaciones de Lagrange,

M =[m

Izz

]K = k

[2 −∆1 + ∆2

−∆1 + ∆2 ∆21 + ∆2

2

]La fuerza de desbalance actua de excitacion para el sistema. El punto de aplicacion es el centro de masasdel motor, luego ejerce una fuerza y un momento dinamico sobre el centro de masas del sistema. Solola componente vertical produce momento pues la horizontal pasa por el centro de masa del sistema. Elbrazo es siempre el mismo: (x− xm). Se tiene entonces

f = fu

1

|x− xm|

ejωt

En nuestro caso,

ω = 191 rpm · 60Hz

rpm· 2π

(rads

)Hz

= 72005 rad/s

lo que es bastante mayor que las dos frecuencias naturales:

Ω =

18,129,2

rad/s

por lo que se espera una respuesta masica. La amplitud dinamica estacionaria resulta

x =−4,82−6,19

10−9

Como el sensor esta ubicado en el extremo derecho y en sentido vertical, medira una amplitud igual a

ys(t) = y(t) + xsθ(t)


Figura 4.13: Viga con apoyo intermedio

con

xs = 5− x

= 1,75 m

luego

ys(t) = (−4,82 + 1,75 · [−6,19]) 10−9 cosωt

= −1,56 10−10 cosωt

y la aceleracion es entonces

ys(t) = −ω2ys(t)

= 720052 · 1,56 10−10 cosωt

= 0,81 m/s2

Ejercicio 25 Determine los primeros dos modos de vibrar en flexion de la viga de la figura. Utilice 4elementos finitos. Compare la primera frecuencia natural obtenida con la predicha con el metodo deRayleigh.

Ejercicio 26 Para la barra de la figura,

1. Utilizando la solucion analitica determine frecuencias naturales y modos propios de vibrar axial-mente

2. Utilizando elementos finitos determine:idem anterior y compare los dos primeros modos:

a) con dos elementos,

b) con 6 elementos,

c) calcule la respuesta estacionaria al estar sujeto a una fuerza

f(t) = f0 sin3ω1t

2

Respuesta:

a)

ωi =iπx

2L, i = 1, 3, 5, ...,

φi = sin(iπx

2L

)

Ejercicio 27 La figura representa esquematicamente un edificio industrial de cuatro pisos. La masa delas vigas soporte es despreciable respecto a las masas mi de las lozas. Considere que no hay rotacion delas lozas.

1. Determine la matriz de rigidez siEI = 66667N/m

m = 103 Kg


f

E,A,L

Figura 4.14: Barra

2. Determine las frecuencias naturales y matriz modal

3. Determine la respuesta estacionaria de la loza superior si

f = 1000 cos 2π1,06t

usando el metodo modal con 1, 2, 3, 4 modos. Discuta resultados.

Respuesta:1)

K = 800

1 −1

3 −25 −3

sim 7

2)

Ω =

13,2929,6641,0855,88

Φ =

1 1 1 1,78 −,1 −1,11 −2,90,49 −,54 ,18 6,48,23 −,44 ,78 −4,13

c)

Nro modos amplitud1 .002632 .003183 .003294 .00329


EI

2EI

3EI

4EI

3m

2m

2m

m

2

1

3

4

f

Figura 4.15: Esquema de edificio

Bibliografıa

[1] Harris, C.M.,Shock and Vibration Handbook, 4th ed., Mc-Graw-Hill, 1996.

[2] Rixen, D. Geradin, M., Mechanical Vibrations, Wyley, 2nd edition, 1997.

[3] Seto, M., Vibraciones Mecanicas, Serie Schaum, McGraw-Hill, 1970.

[4] Vance, J.M,. Rotordynamics of Turbomachinery, John Wiley & Sons, Cap.3, 1988.

[5] Pipes, L.A., Applied Mathematics for Engineers and Scientists, pp 239-242, 2nd ed., McGraw-Hill,1958.

[6] Alford, J.S., Protecting Turbomachinery from self-excited rotor whirl, Journal of Engineering for Pow-er, 333-344, Oct.,1965.

109

110 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 5

Sistemas excitados por movimientode la base

5.1. Introduccion

Una forma relativamente comun de excitacion es el caso del movimiento impuesto por la base. Ejemplosde ellos son:

Una estructura sujeta a un sismo;

componentes de un vehıculo en movimiento

A continuacion mostraremos que la respuesta puede ser descompuesta en una deformacion cuasi-estatica inducida por el movimiento de la base mas la vibracion de la estructura empotrada a sus so-portes. Adicionalmente, justificaremos el uso de la estrategia de solucion que considera cargas externasequivalentes al sismo. Finalmente, se introducira el importante concepto de masa modal efectiva, lo quepermitira la seleccion de los modos propios estructurales que tienen predominancia en la respuesta conmovimiento por la base.

La figura (5.1) muestra la aceleracion en sentido Norte-Sur para el terremoto de El Centro, Cali-fornia (magnitud 7.1) en 1940. El acelerometro estaba sujeto al suelo de concreto de la terminal de ElCentro. El registro puede haber sub-representado los movimientos en alta frecuencia si consideramos lainteraccion suelo-estructura entre la fundacion (masiva, rıgida) y el suelo (blando). La representacion dela aceleracion en los 3 ejes cartesianos se muestra en figura (5.2). La frecuencia de muestreo es 50 Hz.Fuente: http://www.vibrationdata.com/elcentro.htm.

5.2. Sistema con movimiento diferencial entre sus soportes

Consideremos el sistema descrito en figura (5.3), para la cual consideraremos que la unica excitaciones el movimiento inducido por sus soportes. Haremos la siguiente particion de los grados de libertad dela estructura:

los n1 desplazamientos x1 desconocidos;

los desplazamientos impuestos por los soportes x2;

Reordenando terminos, podemos escribir la ecuacion del movimiento en la forma siguiente:[M11 M12

M21 M22

]x1

x2

+[

K11 K12

K21 K22

]x1

x2

=

0r2(t)

(5.1)

Si tomamos la primera ecuacion de (5.1), tenemos

M11x1 + K11x1 = −K12x2 −M12x2 (5.2)

111

112 CAPITULO 5. SISTEMAS EXCITADOS POR MOVIMIENTO DE LA BASE

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Ace

lera

cion

(g)

Tiempo (s)

Figura 5.1: Registro de aceleracion del sismo de ”El Centro”1940

Figura 5.2: Aceleracion registrada (x, y, z)

5.2. SISTEMA CON MOVIMIENTO DIFERENCIAL ENTRE SUS SOPORTES 113

Figura 5.3: Vibracion diferencial en la base

que nos permite calcular x1, mientras que la segunda ecuacion

r2(t) = K21x1 + M21x1 + K22x2 + M22x2 (5.3)

nos permite calcular las reacciones r2(t) que aparecen entre la estructura y sus soportes.Expresaremos la respuesta de la parte no restringida como la suma

x1 = xst1 + xd

1 (5.4)

donde xst1 es la respuesta cuasi-estatica a una excitacion cuasi-estatica de la base y xd

1 representa laparte dinamica, asociada a la estructura cuando se fija la base. Estos puntos seran aclarados mas adelante.

En primer lugar, calculemos la respuesta cuasi-estatica de la parte no restringida de la estructura. Sise desprecian los terminos de inercia en (5.2), se obtiene:

xst1 = −K−1

11 K12x2

= Sx2

Ello nos permite escribir la respuesta completa en la forma

x(t) =[

I S0 I

]xd

1

x2

(5.5)

Al sustituir (5.5) en (5.1), se obtiene la ecuacion que gobierna xd1:

M11xd1 + K11xd

1 = f1(t) (5.6)

donde la carga equivalente f1(t) se calcula en terminos de las aceleraciones diferenciales de los soportes ylos modos estaticos que genera su movimiento:

f1(t) = −M11xst1 (t)−M12x2(t) (5.7)

= − [M11S−M12] x2(t)

La solucion a la ecuacion (5.6) puede ser expandida en terminos de los modos propios del sistema fijoal suelo:

xd1 =

∑qiηi(t)

= Qη(t)

que son obtenidos del problema de valores propios:

K11Q = Ω2M11Q

Por conveniencia, normalizaremos respecto de la masa:

QT M11Q = I

Una vez conocida la respuesta x1, es posible conocer las reacciones al aplicar la relacion (5.3).


3

2

1

4

Figura 5.4: Vibracion global en la base

5.3. Sistema sometido a aceleracion global de la base

En la ausencia de deformacion elastica, el sistema esta sometido a un movimiento global que puedeser caracterizado por un movimiento de cuerpo rıgido de la forma

u =

u1

u2

con una aceleracion ϕ(t), a la cual se superpone el desplazamiento relativo xd

1. Una respuesta de cuerporıgido cumple:

Ku = 0

Tenemos entonces

q =

q1

q2

(5.8)

=

xd1

0

+

u1

u2

ϕ(t)

cuyo segundo termino es conocido para cada instante t.La parte rıgida de la respuesta cumple[

K11 K12

K21 K22

]u1

u2

= 0 (5.9)

de lo que se deduce queu1 = Su2

y la carga externa queda en terminos de las fuerzas de inercia de los modos de cuerpo rıgido del sistema:

f1(t) = − (M11u1 + M12u2)ϕ(t)

5.4. Metodo de las masas adicionales

El metodo de las masas adicionales es una tecnica aproximativa que permite calcular la respuesta aexcitaciones de la base como una respuesta a cargas externas, las cuales son determinadas facilmente apartir de la ley que describe el movimiento de la base.

5.5. MASAS MODALES EFECTIVAS 115

Para justificar esta estrategia, imaginemos que el sistema ya no esta sometida a una aceleracionimpuesta en los grados de libertad x2 si no a fuerzas externas f2(t). Por conveniencia, supondremos quelas inercias asociadas a M22 se incrementan a

M22 + M022

la ecuacion del movimiento queda entonces[M11 M12

M21 M22 + M022

]x1

x2

+[

K11 K12

K21 K22

]x1

x2

=

0f2(t)

(5.10)

Para obtener x1, usamos la segunda linea, luego

x2 =(M22 + M0

22

)−1 f2(t)−K22x2 −K21x1 −M21x1

y sustituyendo en la primera linea,

M11x1 + K11x1 = −K12x2 −M12

(M22 + M0

22

)−1 f2(t)−K22x2 −K21x1 −M21x1

Ademas, (M11 −M12

(M22 + M0

22

)−1M21

)x1 +(

K11 −M12

(M22 + M0

22

)−1K21

)x1 = −K12x2 −M12

(M22 + M0

22

)−1 f2(t)−K22x2

Esta ultima relacion muestra que si (M22 + M0

22

)−1 → 0

y sif2 =

(M22 + M0

22

)x2 ≈ M0

22x2 (5.11)

el sistema (5.10) es equivalente al sistema (5.2) para calcular los grados de libertad x1.Para obtener la respuesta a excitacion por la base, se puede entonces resolver el problema equivalente

donde se agregan grandes masas concentradas en los grados de libertad x2 y cargando al sistema con elvector de cargas f2 calculado a partir de (5.10). La magnitud de las masas adicionales es elegida de modode mantener el error de modelamiento pequeno. En la practica, M0

22 tiene componentes entre 102 y 104

veces la magnitud de los coeficientes en M11 para preservar el condicionamiento numerico de la matrizde masa. Queda[

M11 M12

M21 M22 + M022

]x1

x2

+[

K11 K12

K21 K22

]x1

x2

=

0M0

22x2

(5.12)

5.5. Masas modales efectivas

Al expresar la solucion a (5.6) en terminos de los vectores propios del sistema fijo al suelo, se obtieneel sistema desacoplado

Ω2η + η = −QT [M11S + M12] x2

= Γx2

conΓ = −QT [M11S + M12] (5.13)

recordemos que Q es la matriz modal normalizada respecto de M11. Γ es la denominada matriz departicipacion modal y tiene dimensiones n1 × n2. Su multiplicacion por las aceleraciones de la base x2

provee los factores de participacion modal para la respuesta relativa a la base. Cada una de sus columnasexpresa el trabajo realizado sobre cada modo propio por las fuerzas de inercia generadas por un unaaceleracion unitaria en el grado de libertad correspondiente de la base.


Observacion 54 En muchos casos el termino M12 puede ser despreciado (incluso es nulo cuando lamatriz de masa es diagonal) y por tanto no es considerado en la ecuacion (5.13).

El concepto de masa modal efectiva[2] tiene como objetivo determinar que modos propios contribuyenmas en la superposicion modal propuesta en la ecuacion (5.6).

Si los modos estan M -normalizados y considerando (4.15) se tiene

QQT = M−111

y

ΓT Γ = ST M11S + ST M12 + MT12S + MT

12M−111 M12

= M∗22 −M22 + MT

12M−111 M12

donde

M∗22 = TT

s

[M11 M12

M21 M22

]Ts

Ts =[

SI

]Tomando en cuenta que MT

12M−111 M12 es de segundo orden y puede ser despreciado, se obtiene que

ΓT Γ ' M∗22 −M22

Consideremos el caso donde el sistema es sometido a el desplazamiento de la base u2,i, correspondientea un desplazamiento de cuerpo rıgido de amplitud unitaria en la direccion i

q2 = u2,i

La masa estructural total mT representa la inercia asociada con el desplazamiento de cuerpo rıgido u2 yla masa asociada a la base ms son

mT = uT2,iM

∗22u2,i

mS = uT2,iM22u2,i

y la forma cuadratica asociada a la matriz de participacion modal es

uT2,iΓ

T Γu2,i = mT −mS (5.14)

La ecuacion (5.14) se verifica cuando todos los modos estan incluidos en el lado izquierdo. Si se omitenalgunos modos, la igualdad ya no se verifica y el residuo correspondiente representa la masa perdida, osea, la masa que no es tomada en cuenta en la serie truncada.

En el caso mas general donde la normalizacion de los modos propios es arbitraria, la masa perdida sededuce del residuo de la expansion modal

mT −mS =n1∑

j=1

(Γu2,i)2j

µj

donde cada termino de la serie representa la masa efectiva del modo correspondiente. Cada modo cuyamasa efectiva represente una porcion significativa de la masa total debe ser mantenido en el analisis.

Es importante observar que el concepto de masa modal efectiva se asocia a una direccion dada delmovimiento: un modo propio dado puede tener una masa efectiva importante en una direccion y despre-ciable en otra.

5.6. EJEMPLO NUMERICO 117

1 2 3 4

Figura 5.5: Modelo equivalente

5.6. Ejemplo numerico

Consideremos el edificio de figura (5.4). Las lozas de masa αim son muy rıgidas frente a las columnas,las que se consideran empotradas en ambos casos. El aporte de rigidez de cada columna entre el piso 2 y3 es

kc = 12EI

l3

como hay 2,k = 2kc

y las rigideces de los demas pisos es referida a k con

ki = βik

donde (i, i+ 1) son los grados de libertad conectados por ki. Estudiaremos el caso

α1 = α2 = α3 = α4 = 1β2 = β3 = 1

K = k

1 −1−1 1 + β2 −β2

−β2 β2 + β3 −β3

−β3 β3

M = m

1

α2

α3

α4

Para el cual obtenemos las siguientes frecuencias naturales en estado libre-libre:

0,√

2−√

2ωn,√

2ωn,

√2 +

√2ωn

con

ωn =

√k

m

La base esta representada en el grado de libertad 4, en donde se impone el movimiento

x4(t) = x4 cosωt

Las submatrices quedan entonces

K11 = k

1 −1−1 1 + β2 −β2

−β2 β2 + β3

K12 = k

00−β3

K21 = k

[0 0 −β3

]K22 = k

[β3

]


y para M,

M11 = m

1α2

α3

M12 = m

000

= 0

M21 = m[

0 0 0]

= 0T

M22 = m[α4

]S se define por (),

S = −K−111 K12

y usando (??)

xst1 = Sx2

= x4

111

cosωt

Como vemos, xst1 representa como se desplazarıa el sistema si el sismo fuese cuasi-estatico (o sea, todos

los grados de libertad se desplazarıan lo mismo que x4 en este caso (si hubiesen fijaciones, no podrıa serası, vease figuras 5.6 y 5.7 respectivamente).

Para calcular la parte dinamica definimos la carga externa equivalente con (5.7):

f1(t) = − [M11S−M12] x2(t)= [M11S−M12]ω2x4 cosωt (5.15)

y usando (5.7), podemos obtener la respuesta estacionaria

xd1 =

(ω2M11 + K11

)−1f1

Las frecuencias naturales del sistema cuando se fija el grado de libertad 4 (la base) son:√0,198ωn√1,555ωn√3,247ωn

Si la frecuencia del sismo esω = 1,0ωn

obtenemos

xd1 = −

210

x4 cosωt

luego, el movimiento absoluto de cada grado de libertad es (usando (5.4) y(5.1),

x(t) = x4

−

210

+

111

1

cosωt

= x4

−1011

cosωt


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

Figura 5.6: Desplazamiento cuasi-estatico xi/x4 del sistema considerado

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

Figura 5.7: Desplazamiento cuasi-estatico xi/x4 si x1 estuviese restringido


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

Figura 5.8: Modo 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

Figura 5.9: Modo 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

Figura 5.10: Modo 3


A continuacion probaremos la solucion que da el metodo de las masas adicionales. Definimos M022

suficientemente grande, en este casoM0

22 = 103m

y escribimos la matriz modificada,

M′ = m

1

α2

α3

α4 + 103

con el vector de cargas externas:

f2 = 103x2

= −103ω2x4 cosωt

y resolvemos

x′=(ω2M′ + K

)−1

000f2

cuyo resultado es

x′=0,999x4

−1011

cosωt

A continuacion verificamos que modos concentran mayor masa efectiva. Calculamos Γ usando larelacion (5.13):

Γ =

1,656−0,474−0,182

y verificamos con una aceleracion unitaria u2,i = 1,

uT2,iΓ

T Γu2,i = mT −mS

1,6562 + (−0,474)2 + (−0,182)2 = 4− 12,722 + 0,225 + 0,033 = 3

Observamos que el primer modo aporta2,722

3= 91,4 %

de la masa considerada al modelar usando el metodo de los desplazamientos modales. El segundo y tercerorespectivamente:7,49 % y 1,10 %.


Hemos visto varias maneras de modelar sistemas que estan sujetos a vibraciones de la base. El metodode las masas modales efectivas permite una seleccion juiciosa de los modos que deben estar presentes enuna aproximacion modal truncada a la respuesta dinamica. Hemos separado la respuesta del sistema enuna parte cuasiestatica y en otra asociada al sistema en donde se han fijado los grados de libertad dondese impone el movimiento.

Bibliografıa

[1] Rixen, D. Geradin, M., Mechanical Vibrations,Ch. 2, Wyley, 2nd edition, 1997.

[2] Imbert, J.F., Analyse des Structures par Elements Finis, Cepadues Ed., 1984.

123

124 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 6

Sistemas rıgidos con descansoselasticos

6.1. Formulacion del modelo

La figura (6.1) muestra una vista de un cuerpo rıgido, soportado por n descansos elasticos. Consider-emos

el sistema (X, Y , Z) es un sistema inercial,

el sistema (X,Y, Z) esta fijo al cuerpo,

las rotaciones en torno a los ejes (X, Y , Z) son α, β, γ respectivamente,

un descanso es representado por un trio de resortes-amortiguadores viscosos. Su eje de accionprincipal puede o no coincidir con los ejes (X, Y , Z),

el punto de conexion de cada descanso con el cuerpo es (ax, ay, az), en tanto que su punto de fijacional suelo es (u, v, w),

el desplazamiento del centro de gravedad del cuerpo es indicado por (xc, yc, zc) y la rotacion demismo por (α, β, γ).

La ecuacion del movimiento puede ser obtenida del balance de fuerzas y momentos sobre el cuerpo.Para un sistema sin amortiguacion y sin movimiento de la base es

Mx + Kx = f (6.1)

donde

M =[

Mtt 00 Mrr

]

Mtt =

mm

m

Mrr =

Ixx Ixy Ixz

Iyy −Iyz

sim Izz

0 = 03×3

y para la matriz de rigidez,

K =[

Ktt Ktr

KTtr Krr

]125

126 CAPITULO 6. SISTEMAS RIGIDOS CON DESCANSOS ELASTICOS

Figura 6.1: Cuerpo rıgido soportado por descansos elasticos

6.1. FORMULACION DEL MODELO 127

con

Ktt =

∑ kxx

∑kxy

∑kxz∑

kyy

∑kyz

sim∑kzz

Ktr =

∑ (kxzay − kxyaz)∑

(kxxaz − kxzax)∑

(kxyax − kxxay)∑(kyzay − kyyaz)

∑(kxyaz − kyzax)

∑(kyyax − kxyay)∑

(kzzay − kyzaz)∑

(kxzaz − kzzax)∑

(kyzax − kxzay)

Krr =

kαα kαβ kαγ

kββ kβγ

sim kγγ

y

kαα =∑(

kyya2z + kzza

2y − 2kyzayaz

)kββ =

∑(kxxa

2z + kzza

2x − 2kxzaxaz

)kγγ =

∑(kxxa

2y + kyya

2x − 2kxyaxay

)kαβ =

∑(kxzayaz + kyzaxaz − kzzaxay − kxya

2z

)kαγ =

∑(kxyayaz + kyzaxay − kyyaxaz − kxza

2y

)kβγ =

∑(kxyaxaz + kxzaxay − kxxayaz − kyza

2x

)El vector de desplazamientos se define por

x =

xc

yc

zc

αβγ

y el de fuerzas,

f =

fx

fy

fz

Mx

My

Mz

Los aportes de rigidez de cada descanso se obtienen de

k = ΛT

kp

kq

kr

Λ

Λ =

λxp λxq λxr

λyq λyr

sim λzr

donde los valores λ son los cosenos de los angulos entre los ejes principales del descanso y los ejes inerciales.Por ejemplo, λxp es el coseno del angulo entre el eje X y el eje P de la rigidez principal del descanso.

Las ecuaciones del movimiento, como han sido presentadas, no incluyen los terminos por amor-tiguamiento. Para incluirlo, basta agregar terminos similares a los de rigidez, pero tomando en cuenta lasvelocidades y las constantes de los amortiguadores:

Mx + Cx + Kx = f


donde la matriz de amortiguamiento esta definida por,

C =[

Ctt Ctr

CTtr Crr

]con

Ctt =

∑ cxx

∑cxy

∑cxz∑

cyy

∑cyz

sim∑czz

Ctr =

∑ (cxzay − cxyaz)∑

(cxxaz − cxzax)∑

(cxyax − cxxay)∑(cyzay − cyyaz)

∑(cxyaz − cyzax)

∑(cyyax − cxyay)∑

(czzay − cyzaz)∑

(cxzaz − czzax)∑

(cyzax − cxzay)

Crr =

cαα cαβ cαγ

cββ cβγ

sim cγγ

con

cαα =∑(

cyya2z + czza

2y − 2cyzayaz

)cββ =

∑(cxxa

2z + czza

2x − 2cxzaxaz

)cγγ =

∑(cxxa

2y + cyya

2x − 2cxyaxay

)cαβ =

∑(cxzayaz + cyzaxaz − czzaxay − cxya

2z

)cαγ =

∑(cxyayaz + cyzaxay − cyyaxaz − cxza

2y

)cβγ =

∑(cxyaxaz + cxzaxay − cxxayaz − cyza

2x

)El sistema descrito posee 6 grados de libertad (xc, yc, zc,α, β, γ). Los cuales son solucion del sistema deecuaciones antes descrito. En la practica, las ecuaciones se simplifican de manera importante por algunade las siguientes condiciones:

1. Los ejes de referencia XY Z coniciden con los ejes principales de inercia del cuerpo; luego

Iij = 0 para i 6= j (6.2)

(y la matriz M es diagonal),

2. Los descansos son dispuestos de modo que existan planos de simetrıa en el sistema,

3. Los ejes principales de los descansos PQR coinciden con XY Z, luego

kij = 0 para i 6= j (6.3)kxx = kp = kx

kyy = kq = ky

kzz = kr = kz

en tal caso los descansos, son denominados descansos ortogonales. Se cumple

Λ = I

4. No hay movimientos de las fundacion o alternativamente, no hay fuerzas o momentos externosaplicados al cuerpo rıgido.

En general, el efecto de estas simplificaciones es reducir el numero de terminos en las ecuaciones y, enalgunos casos, en reducir el numero de ecuaciones que deben ser resueltas simultaneamente. Los sistemasde ecuaciones acoplados indican modos acoplados.

6.2. PROPIEDADES MODALES 129

6.2. Propiedades modales

Aprovechando las condiciones simplificatorias antes mencionadas, analizaremos varios casos de usopractico.

6.2.1. Un plano de simetrıa y soportes ortogonales

Si el plano Y Z es una plano de simetrıas del cuerpo rıgido, los siguientes terminos son nulos:∑kyyax =

∑kzzax =

∑kyyaxaz =

∑kzzaxay = 0 (6.4)

M =

m

mm

Ixx

Iyy

Izz

o en terminos de los radios de giro, que cumplen:

Ixx = mρ2x

Iyy = mρ2y

Izz = mρ2z

luego

M = m

1

11

ρ2x

ρ2y

ρ2z

Por su lado, la matriz de rigidez se define a traves de las siguientes submatrices:

Ktt =

∑ kxx 0 0∑kyy 0

sim∑kzz

Ktr =

0∑

(kxxaz)∑

(−kxxay)∑(−kyyaz) 0 0∑(kzzay) 0 0

Krr =

kαα kαβ kαγ

kββ kβγ

sim kγγ

con

kαα =∑(

kyya2z + kzza

2y

)kββ =

∑(kxxa

2z + kzza

2x

)kγγ =

∑(kxxa

2y + kyya

2x

)kαβ = 0kαγ = 0

kβγ =∑

(−kxxayaz)


Figura 6.2: Sistema con un plano de simetrıa y soportes ortogonales


luego

K =

∑kxx 0 0 0

∑(kxxaz)

∑(−kxxay)∑

kyy 0∑

(−kyyaz) 0 0∑kzz

∑(kzzay) 0 0∑(

kyya2z + kzza

2y

)0 0∑(

kxxa2z + kzza

2x

) ∑(−kxxayaz)

sim∑(

kxxa2y + kyya

2x

)

definiendo

x = Px′

con la matriz de permutacion,

P =

1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

sustituyendo y premultiplicando (6.1),

PT MPx′ + PT KPx′ = PT f (6.5)M′x′ + K′x′ = f ′ (6.6)

con

M′ = m

1

ρ2y

ρ2z

11

ρ2x

K′ =

∑kxx

∑(kxxaz)

∑(−kxxay)∑(

kxxa2z + kzza

2x

) ∑(−kxxayaz)∑(kxxa

2y + kyya

2x

) ∑kyy

∑(−kyyaz)∑

kzz

∑(kzzay)

sim∑(

kyya2z + kzza

2y

)

Luego, es posible escribir 2 sistemas desacoplados entre si:

m

1ρ2

y

ρ2z

xc

βγ

∑ kxx

∑(kxxaz)

∑(−kxxay)∑(

kxxa2z + kzza

2x

) ∑(−kxxayaz)

sim∑(

kxxa2y + kyya

2x

) xc

βγ

=

fx

My

Mz

m

11

ρ2x

yc

zc

α

∑ kyy 0

∑(−kyyaz)∑

kzz

∑(kzzay)

sim∑(

kyya2z + kzza

2y

) yc

zc

α

=

fy

fz

Mx

Si ademas los descansos son ortogonales, las ecuaciones (6.3) son validas. En tal caso, las coordenadas(yc, zc, α) estan acopladas entre si; pero son independientes del resto. Ademas estas ultimas 3 (xc, β, γ)tambien estan acopladas entre si. La figura (6.2) muestra el caso descrito. Al resolver las ecuaciones delmovimiento para (yc, zc, α) se llega a una expresion general de la forma(

ωn

ωz

)6

−Ayzα

(ωn

ωz

)4

+Byzα

(ωn

ωz

)2

− Cyzα = 0 (6.7)


donde

ωz =

√∑kz

my

Ayzα = 1 +∑ky∑kz

+Dzx

Byzα = Dzx +∑ky∑kz

(1 +Dzx)− (∑kyaz)

2 + (∑kzay)2

ρ2x (∑kz)

2

Cyzα =∑ky∑kz

(Dzx −

(∑kzay)2

ρ2x (∑kz)

2

)− (

∑kyaz)

2

ρ2x (∑kz)

2

Dzx =(∑kyaz)

2 + (∑kzay)2

ρ2x (∑kz)

2

donde ρx es el radio de giro del cuerpo rıgido con respecto al eje X. Haciendo lo mismo para (xc, β, γ),se obtiene (

ωn

ωz

)6

−Axβγ

(ωn

ωz

)4

+Bxβγ

(ωn

ωz

)2

− Cxβγ = 0 (6.8)

con

Axβγ =∑ky∑kz

+Dzx +Dzz

Bxβγ =∑ky∑kz

(Dzy +Dzz) +DzyDzz

− (∑kxaz)

2

ρ2y (∑kz)

2 −(∑kxay)2

ρ2z (∑kz)

2 −(∑kxayaz)

2

ρ2yρ

2z (∑kz)

2

Cxβγ =∑kx∑kz

(DzyDzz −

(∑kxayaz)

2

ρ2xρ

2z (∑kz)

2

)− (∑kxayaz)

2

ρ2z (∑kz)

2 Dzy−

(∑kxaz)

2

ρ2y (∑kz)

2Dzz + 2(∑kxay) (

∑kxaz) (

∑kxayaz)

ρ2yρ

2z (∑kz)

3

Dzy =(∑kxaz)

2 + (∑kzax)2

ρ2y (∑kz)

Dzz =∑kxa

2y +

∑kya

2x

ρ2z

∑kz

ρy y ρz son los radios de giro del cuerpo rıgido con respecto a los ejes Y y Z respectivamente.Las raıces de las ecuaciones cubicas (6.7 y 6.8) se hayan en curvas[20]. Otra opcion es calcularlas

directamente. En Maple serıa:

> A:=1;B:=2;C:=3;

> evalf(solve(x^3-A*x^2+B*x-C=0,x));

6.2.2. Dos planos de simetrıa y soportes ortogonales

Se pueden lograr 2 planos de simetrıas, si, en adicion a las condiciones anteriores, se tiene∑kxxay =

∑kzzay =

∑kxxayaz = 0 (6.9)


Bajo estas condiciones, quedan 2 ecuaciones independientes, y 2 pares de ecuaciones acopladas:

K =

∑kxx 0 0 0

∑(kxxaz) 0∑

kyy 0∑

(−kyyaz) 0 0∑kzz 0 0 0∑(

kyya2z + kzza

2y

)0 0∑(

kxxa2z + kzza

2x

)0

sim∑(

kxxa2y + kyya

2x

)

Los sistemas independientes a resolver son:

mzc +∑

kzzzc = fz

Izz γ +(∑(

kxxa2y + kyya

2x

))γ = Mz

m

[1

ρ2y

]xc

β

+[ ∑

kxx

∑(kxxaz)

sim∑(

kxxa2z + kzza

2x

) ] xc

β

=

fx

My

m

[1

ρ2x

]yc

α

+[ ∑

kyy

∑(−kyyaz)

sim∑(

kyya2z + kzza

2y

) ] yc

α

=

fy

Mx

Los planos de simetrıa son XZ e Y Z. Tomese como ejemplo el sistema mostrado en figura (6.12), dondese tienen 4 soportes identicos, dispuestos simetricamente respecto del eje Z en un plano que no contieneal centro de gravedad. Existe acoplamiento entre la traslacion en X y la rotacion alrededor del eje Y(xc, β), ası como entre la traslacion en Y y la rotacion con respecto al eje X (yc, α). La traslacion en ladireccion Z (zc) y la rotacion alrededor del eje Z (γ) son independientes de los otros modos.

La frecuencia natural en la direccion Z es encontrada al resolver la ecuacion:

ωz =

√∑kzz

m

con ∑kzz = 4kz

La frecuencia natural de rotacion en torno al eje Z puede ser expresada en terminos de la frecuencianatural de traslacion en el eje Z segun:

ωγ

ωz=

√kx

kz

(ay

ρz

)+ky

kz

(ax

ρz

)2

Las frecuencias naturales de los modos acoplados en (xc, β) pueden ser expresadas en terminos de ωz:

ωxβh

ωz=

√√√√√√12

kx

kz

(1 +

(ax

ρy

)2)

+(ax

ρy

)2

+

√√√√[kx

kz

(1 +

(az

ρy

)2)

+(ax

ρy

)2]2

− 4kx

kz

(ax

ρy

)2

ωxβl

ωz=

√√√√√√12

kx

kz

(1 +

(ax

ρy

)2)

+(ax

ρy

)2

−

√√√√[kx

kz

(1 +

(az

ρy

)2)

+(ax

ρy

)2]2

− 4kx

kz

(ax

ρy

)2

Las ecuaciones anteriores son convenientemente reescritas en la forma de elipses

(ax/ρy)2

(ωxβh/ωz)2 +

(az/ρy)(kz/kx) (ωxβh/ωz)

2 − 1= 1 (6.10)

(ax/ρy)2

(ωxβl/ωz)2 +

(az/ρy)1− (kz/kx) (ωxβl/ωz)

2 = 1 (6.11)


-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-6

-4

-2

0

2

4

6

γ1=0.75

γ1=1

γ1=2

γ1=3

γ1=4

γ2=0.25 γ2=0.5 γ2=0.625

γ3=2 γ3=4 γ3=6

ax/ρy

a z/ρy

Figura 6.3: diagrama espacial para kz/kx = 2. γ1 = ωh/ωz, γ2 = ωl/ωz, γ3 = ωh/ωl


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.75

0.875

1

1.25

1.5

0.13 0.25 0.38 0.5 0.56 0.63

AB

ax/ρy

a z/ρy

Figura 6.4: Acercamiento de figura 6.3 con bordes del cuerpo indicados y dos disposiciones de descansos

En general, cada tipo de descanso tiende a tener un razon de rigidez kx/kz constante; luego, es posibleusar metodos graficos para encontrar las coordenadas ax, az para alcanzar un valor deseado para ωxβh.

Tambien es posible dejar ωxβh y ωxβl una en funcion de la otra con:

2ax

ρy±√

kx

kz

(ωxβh

ωxβl+ ωxβl

ωxβh

)√

kx

kz

(ωxβh

ωxβl− ωxβl

ωxβh

)

2

+

[2az

ρy

ωxβh

ωxβl− ωxβl

ωxβh

]2

= 1

Ejemplo 27 Un cuerpo rıgido es simetrico con respecto al plano XZ; su ancho en la direccion X es de13 2su altura en la direccion Z es 12”. El centro de gravedad esta a 5.5”del borde inferior y a 6.75”dellado derecho. El radio de giro respeto del eje Y a traves del centro de gravedad es de 5.1”. Utilice eldiagrama espacial para evaluar los efectos de utilizar descansos con razon de rigidez kz/kx = 2.

La figura 6.4 superpone la linea exterior de la maquina. El centro de gravedad queda en el centro deldiagrama. Las dimensiones son normalizadas por el radio de giro ρy. En consecuencia, las cuatro esquinasdel cuerpo estan localizadas segun: esquina superior derecha

az

ρy=

+6,505,10

= +1,28

ax

ρy=

+6,755,10

= +1,32


esquina superior izquierda

az

ρy=

+6,505,10

= +1,28

ax

ρy=

+6,255,10

= −1,23

esquina inferior derecha

az

ρy=−5,505,10

= −1,08

ax

ρy=

+6,755,10

= +1,32

esquina inferior izquierda

az

ρy=−5,505,10

= −1,08

ax

ρy=−6,255,10

= −1,23

Los soportes se muestran en 2 situaciones de diseno. En la disposicion A,ax

ρy= ±0,59

o en forma equivalente,ax = ±0,59 · 5,10 = ±3”

Las frecuencias naturales correspondientes son:ωxβh

ωz= 1,25

ωxβl

ωz= 0,33

Una alternativa diferente es la disposicion B, en cuyo caso:ωxβh

ωz= 1,43

ωxβl

ωz= 0,50

La frecuencia natural ωz es encontrada a partir de la masa del equipo y la suma de las rigideces en ladireccion Z Este ejemplo muestra como los diagramas de espacio permiten determinar la posicion de losdescansos para alcanzar valores dados de frecuencias naturales acopladas con respecto a ωz.

6.2.3. Tres planos de simetrıa con soportes ortogonales

Un sistema con 3 planos de simetrıa esta definido por 6 ecuaciones de movimiento independientes. Seagregan en este caso las siguientes condiciones:∑

kxxaz =∑

kyyaz = 0 (6.12)

luego

K =

∑kxx 0 0 0 0 0∑

kyy 0 0 0 0∑kzz 0 0 0∑(

kyya2z + kzza

2y

)0 0∑(

kxxa2z + kzza

2x

)0

sim∑(

kxxa2y + kyya

2x

)


Las ecuaciones, al ser independientes, definen 6 modos desacoplados de vibracion, 3 en traslacion y 3 enrotacion. Las frecuencia naturales son:

traslacion en el eje X,

ωx =

√∑kx

m

traslacion en eje Y,

ωy =

√∑ky

m

traslacion en eje Z,

ωz =

√∑kz

m

Rotacion alrededor del eje X,

ωα =

√∑(kya2

z + kza2y

)mρ2

x

Rotacion alrededor del eje Y,

ωβ =

√∑(kxa2

z + kza2x)

mρ2y

Rotacion alrededor del eje Z,

ωγ =

√∑(kxa2

y + kya2x

)mρ2

z

6.2.4. Dos planos de simetrıas con soportes inclinados solo en un plano

Cuando los ejes elasticos principales de los soportes estan inclinados con respecto a XY Z, los coefi-cientes cruzados kxy, kxz, kyz no se anulan. Ello introduce acoplamiento elastico, lo que debe ser consider-ado en las ecuaciones del movimiento. Se pueden lograr dos planos de simetrıa al alcanzar las condiciones(6.2),(6.4) y (6.9). Por ejemplo, consideremos el cuerpo rıgido mostrado en figura (6.5). Esta soportadopor 4 descansos identicos, dispuestos simetricamente en torno al eje Z. Los planos XZ e Y Z son planos desimetrıa. Los descansos estan inclinados hacia el plano Y Z, de modo que su eje principal R esta inclinadoun angulo φ con respecto al eje Z como se muestra; por lo tanto

kyy = kq

kxy = kyz = 0

A causa de la simetrıa, el movimiento de traslacion zc en la direccion Z y la rotacion γ en torno aZ estan desacoplados de los demas modos. Los cuatro grados de libertad restantes estan acoplados de apares. La frecuencia natural en la direccion Z es

ωz

ωr=√kp

krsin2 φ+ cos2 φ (6.13)

donde se define convenientemente

ωr =

√4kr

m

El grafico (??) muestra la ecuacion (6.13).La frecuencia natural de rotacion se obtiene a partir de

ωγ

ωr=

√(kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)(ay

ρz

)2

+(kp

kr

)(ax

ρz

)2


Figura 6.5: Dos planos de simetrıas con soportes inclinados solo en un plano

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

φ grados

ωz/ω

r

Figura 6.6: Frecuencia natural de traslacion en Z


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.70.80.91

1.2

1.4

2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

φ*

a z/ax

Figura 6.7: Angulo de inclinacion requerido para desacoplar los modos en funcion de kp/kr y az/ax

El par (xc, β) tiene las siguientes frecuencias naturales,

ωxβ

ωr=

12

A±√A2−4

(kp

kr

)(ax

ay

)2

con

A =(kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)[1 +

(ay

ρz

)2]

+ (6.14)

(kp

krsin2 φ+ cos2 φ

)(ax

ρy

)2

+

2(

1− kp

kr

) ∣∣∣∣ax

ρy

∣∣∣∣ sinφ cosφ

y para el par (yc, α)

ωyα

ωr=

12

B ±

√B2−4

(kq

kr

)(kp

krsin2 φ+ cos2 φ

)(ay

ρx

)2

con

B =kq

kr

[1 +

(az

ρx

)2]

+

(kp

krsin2 φ+ cos2 φ

)(ay

ρx

)2


6.2.5. Desacoplamiento de modos en un plano con descansos inclinados

El angulo de inclinacion φ de los ejes principales (ver figura 6.5) puede ser variado para producircambios en el acoplamiento entre xx y β, por ejemplo. Ello se logra si se cumple

∣∣∣∣az

ax

∣∣∣∣ =[1− kp

kr

]cotφ∗

1 + kp

krcotφ∗

(6.15)

donde φ∗ es el valor requerido para lograr el desacoplamiento. La figura (6.7) es una representacion de laecuacion (6.15). Se muestran varias curvas en terminos de la razon

kp

kr

Notese que el desacoplamiento solo se puede alcanzar hasta un cierto valor maximo de la razon

az

ar

Ademas, pueden existir 2 valores de φ∗ que desacoplen los modos de traslacion xc y de rotacion βpara cualquier combinacion de rigidez y posicion de los soportes.

Se tiene:ωx

ωr=√kp

krcos2 φ∗ + sin2 φ∗ (6.16)

La ecuacion (6.16) se muestra graficamente en la figura (6.6). Se debe considerar

φ∗ =π

2− φ

La frecuencia natural de rotacion en torno al eje Y queda:

ωβ

ωr=ax

ρy

√1

kp

krsin2 φ∗ + cos2 φ∗

(6.17)

6.2.6. Desacoplamiento completo usando soportes inclinados radialmente

En general, es muy comun tratar el caso de soportes inclinados en mas de un plano. Un caso particularen donde la simetrıa permite obtener resultados simples y utiles se observa en figura 6.8. De la simetrıaen torno a Z,

Ixx = Iyy

Cualquier numero de soportes (≥ 3) puede ser usado. Como ejemplo de ilustracion, el cuerpo rıgidocorresponde a un cilindro recto.

Los descansos estan arreglados simetricamente en torno a Z. Se conectan al cuerpo a una distanciaar del eje Z y a una distancia az del plano XY de referencia. El eje principal de rigidez R de todos losdescansos apunta a un punto comun en el eje Z. Definimos el angulo φ de cada descanso como el queexiste entre Z y R.

El uso de tal configuracion permite desacoplar los 6 modos de vibracion del cuerpo rıgido. Ello selogra si el angulo de inclinacion satisface la condicion

∣∣∣∣az

ar

∣∣∣∣ = 12

[1− kp

kr

]sin 2φ∗

kq

kr+ kp

kr+[1− kp

kr

]sin2 φ∗

Las frecuencias naturales de los 6 modos desacoplados son

ωx

ωr=ωy

ωr=

√12

(kp

krcos2 φ∗ + sin2 φ∗ +

kq

kr

)

6.3. VIBRACION FORZADA 141

Figura 6.8: Sistema con descansos inclinados radialmente

ωα

ωr=ωβ

ωr=

√ar

2ρx

[kp

krsinφ∗

(ar

ρxsinφ∗ +

az

ρxcosφ∗

)+ cosφ∗

(ar

ρxcosφ∗ − az

ρxsinφ∗

)]ωγ

ωr=

√kq

kr

ar

ρz

con

ωr =

√∑kr

m

6.3. Vibracion forzada

La vibracion forzada del cuerpo rıgido puede provenir de una carga que actua sobre el mismo o pormovimiento de la base. Estudiaremos ambos casos.

6.3.1. Vibraciones forzadas por fuerzas externas

Consideraremos un cuerpo con dos planos de simetrıa y descansos ortogonales. Analizaremos dos tiposde excitacion: fuerzas de traslacion actuando paralelas a los ejes de referencia, y momento actuando enalguno de los ejes principales de inercia. No hay movimiento de la base, luego:

xb = 0

Dos planos de simetrıa con descansos ortogonales y fuerza de traslacion

El sistema analizado se ilustra en figura (6.9). La fuerza f0 actua con frecuencia ω en un eje paraleloa Y , pero espaciado por distancias dx y dz. La fuerza esta en el plano XZ.

fx = f0 cosωtfy = 0fz = f0 sinωt (6.18)Mx = 0My = f0 (dz cosωt− dx sinωt)Mz = 0


Figura 6.9: Sistema con dos planos de simetra y descansos ortogonales excitado por cargas de desbalance

o sea

f(t) = f0

1000dz

0

cosωt+

0010−dx

0

sinωt

pero

ejωt = cosωt+ i sinωt

sinωt = cos(ωt− π

2

)e−i π

2 = −i

luego

f = f0

10−i0

dz + idx

0

ejωt

= f0ejωt

Las condiciones de simetrıa se definen en las ecuaciones (6.2)-(6.4) y (6.9) y las excitaciones por (6.18).Se tiene (

−ω2m+∑

kzz

)zc0e

jωt = −if0ejωt

−ω2Izzγ +(∑(

kxxa2y + kyya

2x

))γejωt = 0(

−ω2m

[1

ρ2y

]+[ ∑

kxx

∑(kxxaz)

sim∑(

kxxa2z + kzza

2x

) ]) xc

β

ejωt = f0

1

dz + idx

ejωt(

−ω2m

[1

ρ2x

]+[ ∑

kyy

∑(−kyyaz)

sim∑(

kyya2z + kzza

2y

) ]) yc

α

ejωt =

00


Al sustituir estas condiciones en la ecuacion (6.1) se obtiene que los modos en yc, α y γ. La amplitudzc0 es obtenida a partir de la ecuacion para un grado de libertad. Tenemos que si todos 4 descansos soniguales en kxx y kzz, y normalizando por 4kx(

−ω2 m

4kx

[1

ρ2y

]+[

1 az

az a2z + kz

kxa2

x

])xc0

β0

=

f04kx

1

dz + idx

por conveniencia definimos

ω2z =

4kz

m

por lo que (−(ω

ωz

)2kz

kx

[1

ρ2y

]+[

1 az

az a2z + kz

kxa2

x

])xc0

β0

=

f04kx

1

dz + idx

y para xc (

−ω2m+∑

kzz

)zc0 = −if0

4kz

(−(ω

ωz

)2

+ 1

)zc0 = −if0

zc0 = −i f04kz

1

−(

ωωz

)2

+ 1

Notese que zc lleva un retardo de 90o con respecto a xc. La orbita descrita sera eliptica.Tenemos:

xc0

f0/(4kx)=kx

kz

√[kx

kz

az

ρy

(az

ρy− dz

ρy

)+(

ax

ρy

)2

−(

ωωz

)2]2

+[

kx

kz

dx

ρy

az

ρy

]2(

ωωr

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

β0

f0/(4kx)=kx

kz

√[kx

kz

(az

ρy− dz

ρy

)+ dz

ρy

(ωωz

)2]2

+[

dx

ρy

(kx

kz−(

ωωz

)2)]2

(ωωr

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

Transmisibilidad La amplitud de la fuerza fuerza ftx en la direccion X y la amplitud del momentodinamico Mty en torno al eje Y que se transmite a la fundacion a traves de los descansos son:

ftx = 4kx

√x2

c0 − 2azxc0β0 cos (φx − φβ) + a2xβ0

Mty = 4kza2xβ0

donde ftx es la suma de las fuerzas transmitidas por todos los descansos y Mty es el momento formadopor las fuerzas en la direccion Z. Los angulos φx y φβ se definen por

tanφx =kx

kz

az

ρy

(az

ρy− dz

ρy

)+(

az

ρy

)2

−(

ωωz

)2

kx

kz

az

ρy

dz

ρy

tanφβ =kx

kz

(az

ρy− dz

ρy

)+ dz

ρy

(ωωz

)2

dz

ρy

[kx

kz−(

ωωz

)2]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

ω/ωz

Am

plitu

d (n

orm

aliz

ada)

xc0(ω)/xc0(0)β0(ω)/β0(0)zc0(ω)/zc0(0)

Figura 6.10: Respuesta en frecuencia para xc y β. Notese la antirresonancia para xc

ftx

f0=

4kx

f0

√(xc0

xc0(0)

)2

(xc0(0))2 − 2az

(xc0

xc0(0)

)xc0(0)

(β0

β0(0)

)β0(0) cos (φx − φβ) + a2

z

(β0

β0(0)

)2

(β0(0))2

=4kx

f0

√√√√( xc0

xc0(0)

)2(f04kx

[1 +

kx

kz

(az

ax

)2])2

− f20 2az

(xc0

xc0(0)

)1

4kx

[1 +

kx

kz

(az

ax

)2](

β0

β0(0)

)[1

4kzaz

(az

ax

)2]

cos (φx − φβ) + a2x

(β0

β0(0)

)[f0

4kzaz

(az

ax

)2]

=4kx

f0

√√√√f20

(xc0

xc0(0)

)2(

14kx

[1 +

kx

kz

(az

ax

)2])2

− 2az

(xc0

xc0(0)

)[1 +

kx

kz

(az

ax

)2](

β0

β0(0)

)[f0

4kzaz

(az

ax

)2]

cos (φx − φβ) + a2x

(β0

β0(0)

)[f0

4kzaz

(az

ax

)2]

Ejemplo 28 Considerese el motor electrico desbalanceado que se muestra en figura (6.9). Se tiene

m = 3750 lbρy = 9,10 pulgdx = dy = dz = 0kx

kz= 1,16

az = −14,75 pulgax = ±12,00 pulg

Los desplazamientos adimensionales se muestran en figura (6.10). Estan referenciados con respecto alos desplazamientos estaticos:

zc0(0) =f04kz

xc0(0) =f04kx

[1 +

kx

kz

(az

ax

)2]

(6.19)

β0(0) =f0

4kzaz

(az

ax

)2


Dos planos de simetrıa con descansos ortogonales excitado por un momento

Considerese un momento dinamico actuando en torno al eje Y , con frecuencia ω. Las fuerzas actuandoen el cuerpo rıgido son:

fx = 0 (6.20)fy = 0fx = 0Mx = 0My = M0 sinωtMz = 0

Las condiciones de simetrıa se definen en las ecuaciones (6.2)-(6.4) y (6.9). La respuesta forzada toma laforma:

xc0

M0/4kxρy=

(kx

kz

)2az

ρy(ωωz

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

β0

M0/4kxρ2y

=

kx

kz

[kx

kz−(

ωωz

)2]

(ωωz

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

Transmisibilidad La amplitud de la fuerza fuerza ftx en la direccion X y la amplitud del momentodinamico Mty en torno al eje Y que se transmite a la fundacion por la combinacion de descansos son:

ftx = 4kx (xc0 − azβ0)

Mty = 4kza2xβ0

donde ftx y Mty tienen el mismo significado que en las ecuaciones (??).

6.3.2. Vibracion inducida por la base

Consideraremos sistemas con 2 planos de simetrıa. En el primer caso, con descansos ortogonales; y enel segundo con descansos inclinados. La ecuacion general del movimiento queda

Mx + C (x− xb) + K (x− xb) = f (6.21)

donde

xb =

uvwαβγ

La excitacion considerada es traslacion de la base, sin rotacion.

Observacion 55 No hay movimiento relativo entre los descansos. Todos se mueven (u, v, w). Ndp.

No hay fuerzas externas actuando sobre el cuerpo, luego

f = 0

ademas,α = β = γ = 0

Consideraremos el caso conservativoC = 0


Dos planos de simetrıa y descansos ortogonales

Considerese el sistema mostrado en figura (6.12). La base se esta moviendo en la direccion de eje Xsegun

u = u0 sinωt

El movimiento resultante considera los grados de libertad xc y β. Las condiciones de simetrıa se definenen las ecuaciones (6.2)-(6.4) y (6.9). La respuesta forzada toma la forma:

xc(t) = xc0 sinωtβ(t) = β0 sinωt

Mx + Cx + Kx = Kxb + Cxb (6.22)

lo que equivale a la respuesta a una fuerza dinamica externa

f = Kxb + Cxb

con

xc0

u0=

kx

kz

[(ax

ρy

)2

−(

ωωz

)2]

(ωωz

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

β0

u0/ρy= −

kx

kz

az

ρy

(ωωz

)2

(ωωz

)4

−[

kx

kz+ kx

kz

(az

ρy

)2

+(

ax

ρy

)2](

ωωz

)2

+ kx

kz

(ax

ρy

)2

con

ωz =

√4kz

m

Para cualquier frecuencia ω, la vibracion acoplada de xc y β es equivalente a una rotacion pura conrespecto a un eje paralelo al eje Y , en el plano Y Z y desplazado del centro de gravedad del cuerpo (veasefigura 6.12). Como resultado el cuerpo rıgido tiene desplazamiento nulo en x en el plano horizontal quecontiene al eje. Luego, la coordenada Z de este eje b′z satisface:

xc0 + b′zβ0 = 0

lo que se obtiene de la primera de las ecuaciones de (??) al fijar xb = 0. Sustituyendo en las ecuacionesanteriores, se obtiene la posicion del eje de rotacion:

b′zρy

=

(az

ρy

)2

−(

ωωz

)2

(az

ρy

)(ωωz

)2 (6.23)

La figura (6.11) muestra la relacion (6.23) graficamente. Para valores de frecuencia excitatriz altos, eleje muestra un valor asintotico producido por el signo negativo de az (ver figura 6.12).

La solucion estacionaria cuando existe amortiguamiento es muy larga y se puede obtener a partir desimulaciones numericas (ver capitulo §4).

Ejemplo 29 Considerese un cuerpo de masa m = 45 lb. esta soportado por cuatro descansos con rigidezkz = 1050 lbf/pulg y razones

kx

kz=ky

kz=

12


0 ax/ρy

0

ρy/az

ω/ωz

b'z/ρ

y

Figura 6.11: xx

Los valores de amortiguamiento critico son tomados como

ccx = 2√

4kxm

ccy = 2√

4kym

ccz = 2√

4kzm

segun resultados obtenidos para sistemas con 1 grado de libertad (ver capitulo 1). Los valores del factorde amortiguamiento son

ξx =c

ccx

ξy =c

ccy

ξz =c

ccz

Las coordenadas de los descansos son

ax = ±5,25 pulgay = ±3,50 pulgaz = −6,5 pulg

Los radios de giro con respecto a los ejes de referencia son

ρx = 4,4 pulgρy = 5,1 pulgρz = 4,6 pulg

Las frecuencias naturales calculadas son:

ωz = 30(2π) rad/sωxβ = [43,7(2π), 15,0(2π)] rad/sωyα = [43,2(2π), 11,7(2π)] rad/s


Figura 6.12: Sistema con dos planos de simetrıa y descansos ortogonales


Figura 6.13: Respuesta forzada del punto 1 (sistema de figura 6.12)

Dos planos de simetrıa con descansos inclinados solo en un plano

El sistema se muestra en figura (6.5) y la excitacion es de la forma

u = u0 sinωt

Las condiciones de simetrıa estan definidas por las ecuaciones (6.2), (6.4), y (6.9). Los grados de libertadasociados a la respuesta son xc y β (con ecuaciones de movimiento acopladas).

xc0

u0=

kp

kr

(ax

ρy

)2

−(

kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)(ωωz

)2

(ωωr

)4

−A(

ωωz

)2

+ kp

kr

(ax

ρy

)2

β0

u0/ρy= −

[(kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)(ax

ρy

)+(1− kp

kr

) ∣∣∣ax

ρy

∣∣∣ cosφ sinφ] (

ωωz

)2

(ωωr

)4

−A(

ωωz

)2

+ kp

kr

(ax

ρy

)2

donde A se define en (6.14).Las curvas de respuesta con amortiguamiento son similares a las de figuras (6.13). Una ventaja signi-

ficativa en el uso de soportes inclinados es la versatilidad anadida de la habilidad de variar el angulo deinclinacion φ, lo que afecta el grado de acoplamiento entre xc y β. Por ejemplo, un cambio en φ produceun cambio en el eje de rotacion del cuerpo rıgido. En una forma analoga a como se llego a la ecuacion(6.23), se obtiene:

b′zρy

=

kp

kr

(ax

ρy

)2

−(

kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)(ωωz

)2

[(kp

krcos2 φ+ sin2 φ

)(az

ρy

)+(1− kp

kr

) ∣∣∣ax

ρy

∣∣∣ cosφ sinφ] (

ωωz

)2 (6.24)


Hemos propuesto las 6 ecuaciones de movimiento de un cuerpo rıgido soportado por descansos elasti-cos. Ello ha permitido realizar un analisis modal ası como de respuesta forzada tanto por fuerzas internascomo por movimiento de la base. Los modelos muestran que para simetrıas en 1, 2 y 3 planos con el usode descansos ortogonales ( y tambien inclinados) logra desacoplar grupos de grados de libertad y facilitala obtencion de las propiedades modales y de respuesta forzada.

Bibliografıa

[1] Harris, C.M.,Shock and Vibration Handbook,Ch.3, 4th ed., Mc-Graw-Hill, 1996.

[2] Rixen, D. Geradin, M., Mechanical Vibrations, Wyley, 2nd edition, 1997.

151

152 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 7

Sistemas con n grados de libertad

7.1. Introduccion

Cuando los sistemas son complejos, es muy difıcil o imposible en la practica encontrar solucionespara el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto (probablemente complejo) deexcitaciones. Como un medio practico de resolucion, Lord Rayleigh propuso inicialmente sustituir elproblema inicial de ∞ grados de libertad con uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendio elmetodo para utilizar varios grados de libertad.

Posteriormente (anos ’60) se comenzo a explorar el metodo de los elementos finitos, que puede serconsiderado como un aplicacion particular del metodo de Rayleigh-Ritz. En terminos muy basicos con-siste en subdividir el sistema en un numero finito de elementos de geometrıa simple, y que tienen uncomportamiento estructural bien conocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de unset pequeno de funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento (nodos).Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una solucion que puede ser muycercana al valor exacto.

7.2. Metodo de Rayleigh-Ritz

Este metodo expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinacion de funcionesdependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del tiempo:

u(x,t) =n∑

i=1

ni(x)qi(t) (7.1)

Notese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuacion anterior puede ser convenientementeescrita como:

u(x,t) = N(x)q(t) (7.2)

donde N(x) ordena las funciones de forma:

N(x) =[

n1 · · · nn

]y

q(t) =

q1(t)

...qn(t)

Observacion 56 Notese que en el metodo de Rayleigh Ritz, el vector q corresponde solo a una pon-deracion para las funciones de forma N. Veremos que en el metodo de elementos finitos el vector dedesplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertos grados de libertad.

153

154 CAPITULO 7. SISTEMAS CON N GRADOS DE LIBERTAD

Mod

o#3

Mod

o#2

Mod

o#1

Frecuencia

Sens

ores

Figura 7.1: Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga

A fin de expresar la energıa potencial se definen los siguientes vectores (en el caso mas general):

ε =

ε1ε2ε3γ12

γ23

γ31

σ =

σ1

σ2

σ3

σ12

σ23

σ31

y el operador de diferenciacion espacial D (para el caso general):

D =

∂∂ x1

0 0 ∂∂ x2

0 ∂∂ x3

0 ∂∂ x2

0 ∂∂ x1

∂∂ x3

00 0 ∂

∂ x30 ∂

∂ x2

∂∂ x1

T

lo que nos permite expresar facilmente la deformacion ε:

ε(x,t) = Du(x,t)= DN(x)︸︷︷︸

≡B(x)

q(t)

La energıa cinetica puede ser expresada como:

T =12

∫V0

ρuudV

Usando 7.2:

T =12

∫V

ρ (Nq)T (Nq) dV

=12

∫V

ρqT NT NqdV

=12qT Mq

7.2. METODO DE RAYLEIGH-RITZ 155

donde la matriz de masa se define por:

M =∫V

ρNT NdV (7.3)

Observacion 57 Una matriz de masa definida por (7.3) es llamada consistente pues utiliza las mismasaproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez.

Observacion 58 El uso de matrices de masa no consistentes hace perder la garantıa de que las frecuen-cias naturales encontradas son sobre estimadas1.

Por su lado, la energıa potencial se expresa como:

U =∫V

WεdV (7.4)

donde la densidad de energıa de deformacion es:

Wε =12σT ε

y dado que paraσ = Hε

donde H es la matriz de Hooke. La energıa se expresa en terminos de ε:

U =12

∫V

εT HεdV

=12

∫V

qT BT HBqdV

=12qT Kq

donde la matriz de rigidez K se define por:

K =∫V

BT HBdV (7.5)

El vector de carga g se calcula a partir de la energıa potencial externa asociada a las fuerzas de cuerpox y de superficie t

¯:

P = −∫V

xT u dV −∫S

t¯

T u dS

= −∫V

xT Nq dV −∫S

t¯

T Nq dS

= −qT g (7.6)

con

f =∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

lo que nos permite escribir la ecuacion del movimiento:

Mq + Kq = f

1ver referencia [17], pp. 270.


0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n1

u

x/L

0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n2

x/Lu

0 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x/L

u

-0.5 ⋅ n1+0.25 ⋅ n

2

Figura 7.2: Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra

7.2.1. Barra empotrada

Expresemos las deformaciones posibles como:

u(x,t) = u(x, t) =x

lq1(t) +

x2

l2q2(t)

entonces:

N(x) =[

xl

x2

l2

]B(x) =

[1l 2 x

l2

]H=E

M=∫V

ρNT NdV

=∫l

ρNT NAdx

NT N =[ x

lx2

l2

] [xl

x2

l2

]=

[x2

l2x3

l3x3

l3x4

l4

]

M =ρA[

l3

l4

l4

l5

]= m

[13

14

14

15

]y la matriz de rigidez

K=∫V

BT HBdV

=∫l

[1l 2 x

l2

]TE[

1l 2 x

l2

]Adx

= EA

∫l

[ 1l2

2xl3

2xl3 4x2

l4

]dx

=EA

l

[1 1

l1l

43

]

7.3. METODO DE ELEMENTOS FINITOS 157

Con lo que el problema homogeneo queda:

m

[13

14

14

15

]q1q2

+EA

l

[1 1

l1l

43

]q1q2

=

00

7.3. Metodo de elementos finitos

7.3.1. Barras

Considere la expresion de los desplazamientos en terminos de los desplazamientos de ciertos puntos onodos:

u(x,t) = u(x, t) =2∑

i=1

ni(x)fi(t)

en este caso los fi(t) son los desplazamientos de los extremos de la barra y las funciones ni(x) son lasllamadas funciones de forma seleccionadas de tal manera que cumplan la siguiente condicion:

u(0, t) = f1(t)u(l, t) = f2(t)

Para el caso de la barra se utilizo en este ejemplo una interpolacion lineal entre los dos nodos:

n1(x) = 1− x

l

n2(x) =x

l

En forma similar al metodo de Rayleigh-Ritz,

u(x,t) = Ne(x)qe(t)

donde Ne(x) es la matriz de funciones de forma del elemento e y qe(t) es el vector de grados de libertaddel elemento e.

Las matrices de rigidez y masa del elemento e se definen segun 7.3 y 7.5. El vector de cargas elementalsegun 7.6.

Ejemplo 30 Para el caso de la barra estudiada:

Ne(x) =[

1− xl

xl

]Be(x) =

[− 1

l1l

]He=E

Me=∫V

ρNTe NedV

=∫l

ρNTe NeAdx

=∫l

ρ

[ (1− x

l

)2 (1− x

l

)xl(

1− xl

)xl

(xl

)2]Adx

= ρA

[l3

l6

l6

l3

]=m

6

[2 11 2

]


Ke=∫V

BTe HeBedV

=∫l

[− 1

l1l

]TE[− 1

l1l

]Adx

= EA

∫l

[1l2 − 1

l2

− 1l2

1l2

]dx

=EA

l

[1 −1−1 1

]

f=∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

=∫l

NT p(x, t) dx+[P1(t)P2(t)

]

si la carga axial es uniformemente distribuida p(x, t) = p y se aplican cargas Pi en los extremos:

fe=∫l

[1− x

lxl

]Tp dx+

[P1(t)P2(t)

]

fe =pl

2

[11

]+[P1(t)P2(t)

]

7.3.2. Ensamble

Si ordenamos todos los desplazamientos nodales en un vector q, podemos expresar los desplazamientosen cada elemento como:

qe = Leq

donde Le es el operador de localizacion, que corresponde a una matriz booleana con dimensiones dim(qe)×dim(q). Por ejemplo:

L2 =[

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

]indica que el elemento 2 es definido por los grados de libertad 2 y 3 del modelo completo.

Veıamos antes que:

T =12

∫V0

ρuudV

=12

n∑i=1

qTi Miqi

=12

n∑i=1

(Liq)T MiLiq

=12qT

(n∑

i=1

LTi MiLi

)︸︷︷︸

M

q


M,L, EA

1 2 3

1 2

Figura 7.3: Barra discretizada con 2 elementos finitos

Similarmente para la energıa potencial interna:

U =∫V

εT HεdV

=12

n∑i=1

qTi Kiqi

=12qT

(n∑

i=1

LTi KiLi

)︸︷︷︸

K

q

y para las cargas externas:

f=∫V

NT x dV +∫S

NT t¯dS

=n∑

i=1

LTi gi

Ejemplo 31 Considere el ejemplo de la barra libre-libre de figura 7.3. Exprese las matrices de masa yrigidez si se discretiza con 2 elementos. Masa de la barra M , largo L.

Dado que hay dos elementos mi = M/2, li = L/2.De acuerdo a anterior:

Mi =mi

6

[2 11 2

]Ki =

EA

li

[1 −1−1 1

]Consideraremos para el primer elemento los grados de libertad 1 y 2:

L1 =[

1 0 00 1 0

]Con lo que el aporte del primer elemento a la matrices globales es:

LT1 K1L1 =

[1 0 00 1 0

]TEA

L/2

[1 −1−1 1

] [1 0 00 1 0

]=EA

L/2

1 −1 0−1 1 00 0 0

LT

1 M1L1 =[

1 0 00 1 0

]TM/2

6

[2 11 2

] [1 0 00 1 0

]=M/2

6

2 1 01 1 00 0 0


Para el segundo elemento,

L2 =[

0 1 00 0 1

]

LT2 K2L2 =

[0 1 00 0 1

]TEA

L/2

[1 −1−1 1

] [0 1 00 0 1

]=EA

L/2

0 0 00 1 −10 −1 1

LT

2 M2L2 =[

0 1 00 0 1

]TM/2

6

[2 11 2

] [0 1 00 0 1

]=M/2

6

0 0 00 2 10 1 2

al sumar los aportes:

K =2∑

i=1

LTi KiLi =

EA

L/2

1 −1 0−1 2 −10 −1 1

M =

2∑i=1

LTi MiLi =

M/26

2 1 01 4 10 1 2

Observacion 59 Cuando algun grado de libertad es fijado (qi = 0) el vector de localizacion de todoelemento que se conecte a el contendra solo ceros en la columna asociada al grado de libertad. Entonces,tanto la columna como la fila asociada al gdl en K y M contendran solo elementos nulos y es necesarioeliminarlas en los calculos.

Si a la barra del ejemplo anterior se fija el grado de libertad 1, las matrices quedan:

K′ =EA

L/2

[2 −1−1 1

]M′ =

M/26

[4 11 2

]con

q =q2q3

lo anterior es equivalente a definir las matrices considerando fijaciones como

K′ = K(2 : 3,2 : 3)M′ = M(2 : 3, 2 : 3)

o en forma simbolica,

K′ = K(locel, locel)M′ = M(locel, locel)

con

locel =

23

Observacion 60 Operacionalmente, no se usan los operadores Li. Es mas practico definir el vector delocalizacion elemental locel. Por ejemplo si los grados de libertad 1 y 2 (locales) del elemento 2 de barraestan asociados a los grados de libertad 2 y 3 (globales, de la estructura) entonces:

locel2 =

23


L

L

L L1 2 3

4

5

67 8 9

1 2 3 4

5 6

Figura 7.4: Estructura de barras

Figura 7.5: Sistemas de coordenadas locales u y globales U

luego, el vector de localizacion general queda definido como:

locel =∑

i

loceli − fijos

donde fijos es un vector que guarda los libertad fijos. Para el ejemplo,

locel1 =

12

fijos = 1

luego,

locel = locel1 + locel2 − fijos

=

12

+

23

− 1

=

23

7.3.3. Coordenadas locales y globales

Considerese una estructura como la mostrada en figura (7.4), el ensamble en este caso debe considerarque los grados de libertad de cada elemento no coinciden necesariamente con las coordenadas cartesianasglobales. Para ello es necesario definir matrices de rotacion (ver figura 7.5):

ui = Ui cosα+ Vi sinα

lo que puede escribirse simbolicamente como:

[u1

u2

]︸︷︷︸

qiL

=[

cosα sinα 0 00 0 cosα sinα

]︸︷︷︸

R

U1

U2

U3

U4

︸︷︷︸

qiS


qiL y qiS representan los grados de libertad del elemento en los ejes locales y estructurales, respectiva-mente. Dado que la energıa es invariante respecto del sistema de referencia:

Ue =12

n∑i=1

qTiLKiLqiL =

12

n∑i=1

qTiSKiSqiS

entoncesKiS = RT KiLR

Ejemplo 32 Para el elemento de barra:

KiS =[

cosα sinα 0 00 0 cosα sinα

]TEA

l

[1 −1−1 1

] [cosα sinα 0 0

0 0 cosα sinα

]con Maple (en Scientific):

KiS =EA

l

cos2 α cosα sinα − cos2 α − cosα sinα

sin2 α − cosα sinα − sin2 αcos2 α cosα sinα

sim. sin2 α

(7.7)

Para el calculo de la energıa cinetica en los ejes globales se debe anadir la energıa por movimientostransversales al eje de la barra

MiS =ml

6

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

(7.8)

El proceso de ensamble de los elementos se puede organizar ası:

1. Identificar los grados de libertad estructurales para formar el vector de desplazamientos estructuralesq,

2. Se construye para cada elemento el vector de localizacion,

3. Se construyen las matrices elementales de rigidez y masa en las coordenadas globales,

4. Se ensamblan:

for i=1:n

K(locel_i,locel_i)=K_i;

end

5. Se fijan los grados de libertad (y se reducen las matrices).

7.3.4. Viga

Si las cargas estaticas de una viga corresponden a fuerzas y momentos, la deformada puede ser descritade manera exacta por un polinomio cubico:

y(x) = a+ bx+ cx2 + dx3


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1n1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2n2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1n3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2n4

Figura 7.6: Funciones de forma para la viga

que tambien puede ser descrito en terminos de los desplazamientos en los nodos:

a = y1

b = θ1

c = 3y2 − y1l2

− θ2 + 2θ1l2

d = 2y1 − y2l3

− θ2 + θ1l2

con lo que (usando el cambio adimensional ξ = xl )

y(x) =(1− 3ξ2 + 2ξ3

)︸︷︷︸n1(ξ)

y1 + ξ (1− ξ)2︸︷︷︸n2(ξ)

θ1 +(3ξ2 − 2ξ3

)︸︷︷︸n3(ξ)

y2 + ξ2 (ξ − 1)︸︷︷︸n4(ξ)

θ2

ui(x,t) = Ni(ξ)qi(t)

con

Ni(ξ) =

1− 3ξ2 + 2ξ3

ξ (1− ξ)2

3ξ2 − 2ξ3

ξ2 (ξ − 1)


Ki=∫V

BT HBdV

=

1∫0

EI(ξ)(d2Ndξ2

)T (d2Ndξ2

)dξ

EI

l3

12 6l −12 6l

4l2 −6l 2l2

12 −6lsim 4l2

Mi=∫V

ρNT NdV

= ρl

1∫0

NT Ndξ

=ρl

420

156 22l 54 −13l

4l2 13l −3l2

156 −22lsim 4l2

donde

ρl = ρA

Los terminos no diagonales son pequenos en general ası como las inercias asociadas a las rotaciones. Espractico utilizar la matriz de masas concentradas (que corresponde a considerar la masa concentrada enlos extremos de la viga):

Mi=ρll

2

1

01

0

Ejemplo 33 Viga empotrada en ambos extremos. longitud 2l, masa 2m. Los vectores de localizacion son:

locel1 =[

1 2 3 4]T

locel2 =[

3 4 5 6]T

y el vector de grados de libertad fijos es:

fijos =[

1 2 5 6]T

Siguiente el proceso descrito anteriormente, la matriz de rigidez sin fijaciones es2:

EI

l3

12 6l −12 6l

4l2 −6l 2l2

12 + 12 −6l + 6l −12 6l4l2 + 4l2 −6l 2l2

12 −6lsim. 4l2

(7.9)

2l corresponde al largo del elemento.


y el vector de grados de libertad fijos es[

1 2 5 6]T entonces:

K =EI

l3

[24 0

8l2

]Similarmente para la matriz de masa3:

M =ρl

420

[312 0

8l2

]Las frecuencias naturales del sistema (K,M) son (para L = 2l):

ω21 = 516,92

EI

ML3

ω22 = 6720,0

EI

ML3

las que pueden ser comparadas con las frecuencias naturales exactas:

ω21 = 500,55

EI

ML3

ω22 = 3803,1

EI

ML3

Si aplicamos matriz de masas concentradas:

M =m

2

[2 00 0

]Con lo que las frecuencias naturales son aproximadas por:

ω21 = 384

EI

ML3

ω22 = ∞

Notese que la primera frecuencia fue subestimada.

Ejercicio 28 Resuelva el mismo problema modelando con 3 elementos con y sin masas concentradas.Compare frecuencias naturales.

Ejercicio 29 Usando 2 elementos, calcule la respuesta a una fuerza f = f0 sinωt aplicada en el centrode la viga.

Observacion 61 Un ejemplo de programacion se encuentra en anexo .9.

Ejemplo 34 4Considere la viga de la figura (13.17). Su masa es M = 2m y su longitud es 2l.Calcule la primera frecuencia natural ω1,

1. (use 2 elementos finitos).

Usando el metodo de Rayleigh Ritz con una deformacion senoidal.

a)2. Dibuje el modo propio

3. Calcule la respuesta estacionaria (usando el modelo de elementos finitos) si se aplica un torque

T = cos(

12ω1t

)en la fijacion central de la viga.


M, EIL L

Figura 7.7: Sistema a analizar

Siguiendo el ejemplo (33), la matriz de rigidez sin fijaciones es igual a la mostrada en (7.9). Losgrados de libertad fijos son: los extremos 1, 2, 5, 6 y el desplazamiento en el centro 4.Luego,

K = 8EI

l

Similarmente para la matriz de masa

M =8ml2

420luego,

ω21 = 420

EI

ml3(7.10)

Des

plaz

amie

nto

trans

vers

al

Posicion axial

Figura 7.8: Modo propio asumido

Si aplicamos el metodo de Rayleigh Ritz asumiendo una deformacion sinuidal (figura 7.8),

y(x) = sinπx

lcon x = 0.,2l (7.11)

y(x, t) = y(x)q(t)

T =12

M∫y2dm

3m es la masa de elemento; M = 2m4examen 2003.


pero

dm =2m2ldx

T =12q2(t)

m

l

∫ 2l

0

y2(x)dx

y ∫ l

0

y2(x)∂x =∫ 2l

0

sin2(πxl

)∂x

= l

luego

T =12mq2(t) (7.12)

V =12

∫ 2l

0

EI

(∂2y(x, t)∂x2

)2

∂x

y ∫ 2l

0

(∂2y(x)∂x2

)2

∂x = q2 (t)π4

l3

luego

V =12

(π4EI

l3

)q2 (t) (7.13)

De (7.12) y (7.13) reconocemos los terminos,

k∗ =π4EI

l3

m∗ = m

luego

ω2n =

k∗

m∗

= π4 EI

ml3

= 97,4EI

ml3

aproximacion que es muy flexible frente a la de los elementos finitos (7.10). La funcion de aproximacion(.6) desprecia practicamente toda la energıa de deformacion que hay en los emportramientos.

Como el unico grado de libertad es la rotacion en el centro de la viga, el modo propio debe ser muysimilar al propuesto en figura (7.9).Como hemos terminado con un modelo con un grado de libertadpodemos usar la formula (1.11) para calcular la rotacion dinamica estacionaria asociada a la ecuaciondel movimiento.

m

420(8l2)θ4 +

EI

l3(8l2)θ4 = cos

ω1

2t

Reconociendo terminos,

x¯ 0 =

f0k

1√[1−

(ωωn

)2]2

+[2ξ ω

ωn

]2


Des

plaz

amie

nto

trans

vers

al

Posicion axial

Figura 7.9: Modo propio estimado

f0k

=1

EIl3 (8l2)

=l

8EIω

ω1=

12

ξ = 0x¯ 0 = θ4,est

luego

θ4,est =l

6EI

Ejemplo 35 5Construya un modelo para el sistema de barras mostrado en figura 7.10. Compare lasfrecuencias naturales si se restringe el movimiento vertical del carro inferior con un resorte de constantek. Llamaremos elemento 1 a la barra superior, 2 a la barra horizontal y 3 para la barra inferior. Los

E,A,l,ρ 45º

45º

M

1,2

5,6

3,4

7,8

1

2

3

94

5

1

2

3

4

Figura 7.10: Sistema a analizar

nodos estan numerados segun se muestra en figura 7.10. Los grados de libertad asociados a cada nodo

5control 2, semestre 2003-I.


siguen la ley,igdl = ndn · (inodo − 1) + c

conndn = 2

para un elemento de barra; y c = 1 para componentes en x y c = 2 para componentes en y.

Segun lo anterior, el elemento 1 (ver figura 7.10)

α1 = −π4

l1 =√

2l

y de ecuacion (7.7), la matriz de rigidez elemental 1 en coordenadas globales es

K1 =EA

2√

2l

1 −1 −1 1

1 1 −11 −1

sim. 1

con

locel1 =[

1 2 5 6]T

Para el elemento 2,

α2 = 0l2 = l

K2 =EA

l

1 0 −1 0

0 0 01 0

sim. 0

(7.14)

conlocel2 =

[3 4 5 6

]Ty para el elemento 3,

α3 = −34π

l3 =

√32l

K3 =1

2√

2EA

l

1 1 −1 −1

1 −1 −11 1

sim. 1

(7.15)

conlocel3 =

[5 6 7 8

]TEl resorte corresponde al elemento 4, en este caso,

K4 = k

[1 −11 1

]con

locel4 =[

8 9]T


El elemento 5 corresponde a la masa puntual M . Ella no agrega rigidez al sistema, solo inercia.Despreciando su inercia rotacional, su matriz de masa en el sistema cartesiano global es,

M5 = M

[1

1

]con

locel5 =[

5 6]T

De modo de adimensionalizar el problema definimos convenientemente,

ν =k(

EAl

)η =

M

ρll

luego

M5 = ρll

[η

η

]De acuerdo a ecuacion (7.8),

Mi =√

26ρll

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

para i = 1, 3

M2 =16ρll

2 0 1 0

2 0 12 0

sim. 2

K =EA

l

12√

2− 1

2√

20 0 − 1

2√

21

2√

20 0 0

12√

20 0 1

2√

2− 1

2√

20 0 0

1 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0

12√

2+ 1 + 1

2√

2− 1

2√

2+ 1

2√

2− 1

2√

2− 1

2√

20

12√

2+ 1

2√

2− 1

2√

2− 1

2√

20

12√

21

2√

20

12√

2+ ν −ν

sim ν

los grados de libertad fijos son

fijos =[

1 2 3 4 7 9]T

con lo que la matriz de rigidez incluidas las restricciones queda,

K =1

2√

2EA

l

2 + 2√

2 0 −12 −1

sim 1 + 2√

2ν

= k∗

2 + 2√

2 0 −12 −1

sim 1 + 2√

2ν

= k∗K∗


La matriz de masa global sin considerar fijaciones es:considerando los grados de libertad fijos,

M = ρll

2√

26

√2

62√

26

√2

626

16

26

16

2√

26 + 2

6 + 2√

26 + η

√2

62√

26 + 2

6 + 2√

26 + η

√2

62√

26

2√

26

sim

y al fijar,

M =ρll

6

4√

2 + 2 + 6η4√

2 + 2 + 6η√

2sim 2

√2

= m∗

= m∗M∗

Siguiendo el esquema propuesto en control 1, escribimos el problema standard de valores propios,

Ax = λx (7.16)

a partir de la ecuacion de equilibrio,

Kqi = ω2i Mqi

k∗

m∗M∗−1

K∗ = ω2i qi

ω2∗M

∗−1K∗ = ω2

i qi

M∗−1K∗ =

ω2i

ω2∗qi

o seaA = M∗−1

K∗

λi =ω2

i

ω2∗

La resolucion simbolica del problema de valores propios (7.16) no es corta por lo que se omite su pre-sentacion

Los graficos (7.11) y (7.12) muestran estudios de sensibilidad de las frecuencias naturales normalizadasvs los valores de η y ν respectivamente. Se observa que la tercera frecuencia natural (asociada a un modolocal en el grado de libertad del carro) es bastante insensible al valor de η, lo que no es el caso paralas dos primeras frecuencias naturales. Se observa que el modo 2 (movimiento horizontal de la masaM) varia poco su frecuencia natural al variar ν (lo que es esperable).El modo mas sensible es el terceroque incrementa exponencialmente su frecuencia natural para valores de ν mayores que 1. La primerafrecuencia natural muestra 2 asıntotas. Para valores altos de ν se trata del modo donde la masa M vibraverticalmente. Para valores bajos, los tres grados de libertad intervienen en el modo; en especial el carro.

En caso de que ν = 0, η = 1,

ω1 = 0,031

√k∗

m∗

ω2 = 0,292

√k∗

m∗

ω3 = 0,636

√k∗

m∗


La figura (7.13) muestra el valor relativo de las frecuencias naturales al aumentar ν (con η = 1) respectode estos valores cuando ν = 0.

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 10410-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

η

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

Figura 7.11: Analisis de sensibilidad para η con ν = 1

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 10410-2

10-1

100

101

102

103

104

105

ν

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

Figura 7.12: Analisis de sensibilidad para ν con η = 1

Ejemplo 36 6Considerese el sistema de figura (7.14). Los nodos han sido rotulados como 1,2,3,4. Losnodos 1 y 2 tienen 2 grados de libertad:traslacion en y y rotacion alrededor de z. Los nodos 3 y 4 solo

6control 2, 2004.


10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104100

101

102

103

104

105

ν

Frec

. nat

ural

es n

orm

aliz

adas

c/r ν=

0

Figura 7.13: Cambios normalizados c/r a ν = 0 y η = 1

E,I,ρ1,l1

E,A,ρ2,l2

c

Mm,mud,ω

1 2

3

4

Figura 7.14: Sistema analizado


tienen grado de libertad en traslacion. Definimos el vector de desplazamientos estructurales segun

x =

y1θ1y2θ2y3y4

Para el elemento de viga (entre los nodos 1 y 2) se tiene la matriz de rigidez:

K1 =EI

l31

12 6l1 −12 6l1 0 0

4l21 −6l1 2l21 0 012 −6l1 0 0

4l21 0 00 0

sim 0

y la matriz de masa

M1 =ρ1V1

420

156 22l1 54 −13l1 0 0

4l21 13l1 −3l21 0 0156 −22l1 0 0

4l21 0 00 0

sim 0

donde V1 es el volumen de la viga. La maquina aporta energıa cinetica

M2 =

0

0Mm

00

0

y la componente de excitacion. Asumiendo que la viga es muy rıgida axialmente:

f ′ =

00

mud cosωt000

Entre los grados de libertad 3 y 4 esta el amortiguador el cual genera el amortiguamiento del sistema:

C3 = c

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 01 0 −1 0

0 0 01 0

sim 0

y la barra aporta:

K4 =EA2

l2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 01 −1

sim 1


y

M4 =ρ2A2l2

6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0

0 0 02 1

sim 2

ahora estamos en condiciones de formar las matrices estructurales, antes de introducir las fijaciones,

K′ =

12EIl31

6l1 EIl31

−12EIl31

6l1 EIl31

0 04l21

EIl31

−6l1 EIl31

2l21EIl31

0 012EI

l31−6l1 EI

l310 0

4l21EIl31

0 0EA2

l2−EA2

l2

sim EA2l2

M′ =

156ρ1V1420 22l1 ρ1V1

420 54ρ1V1420 −13l1 ρ1V1

420 0 04l21

ρ1V1420 13l1 ρ1V1

420 −3l21ρ1V1420 0 0

156ρ1V1420 +Mm −22l1 ρ1V1

420 0 04l21

ρ1V1420 0 0

2ρ2A2l26

ρ2A2l26

sim 2ρ2A2l26

y

C = C3

donde sabemos que las primeras dos grados de libertad son nulos:

y1 = 0θ1 = 0y4 = 0

condensando filas y columnas de las matrices estructurales antes de fijar,

K =

12EIl31

−6l1 EIl31

04EI

l10

sim EA2l2

M =

156ρ1V1420 +Mm −22l1 ρ1V1

420 04l21

ρ1V1420 0

sim 2ρ2A2l26

C3 = c

1 0 −10 0

sim 1

f = mudω2 cosωt

100

x =

y2θ2y3


Ejemplo 37 Una forma alternativa de resolver el problema anterior es usar Rayleigh-Ritz. La rigidez dela viga empotrada es

k1 = 3EI1l31

y la de la barra,

k2 =EA2

l2

resortes que estan conectado en serie con el amortiguador segun se observa en figura (7.15).

Mm

c k2k1

x1 x2Figura 7.15: Sistema equivalente con Rayleigh-Ritz

Si despreciamos las energias cineticas de la viga y la barra, se tiene

M = Mm

[1

0

]

K =[k1

k2

]C = c

[1 −1−1 1

]x =

x1

x2

f = mudω

2 cosωt

10

Como x2 no tiene masa, podemos aplicar condensacion de Guyan para reducir al numero efectivo degrados de libertad (1). Se deja como ejercicio.

7.4. Elemento 3D de viga

7.4.1. Formulacion

Sea OXY Z un marco de referencia estructural y O′xyz un sistema de referencia local para el elementode viga a estudiar.

Tomaremos en cuenta las siguientes condiciones:

El el O′x es el eje neutral de la viga, eso es, una momento flector no produce deformacion axial;una carga axial solo produce deformacion axial.

Los eje O′y y O′z son los ejes principales de inercia, de modo que los momentos flectores en tornoa O′y no producen flexion en torno a O′z, y viceversa.

7.4. ELEMENTO 3D DE VIGA 177

Bajo las hipotesis de Bernoulli, la energıa de deformacion de la i-esima viga (si no hay pre-esfuerzos),toma la forma

Vi =12

∫ l

0

EIz

(∂2v

∂x2

)2

+ EIy

(∂2w

∂x2

)2

+ EA

(∂w

∂x

)2

+GIx

(∂2ψx

∂x2

)2

dx

donde

El primer termino representa la energıa de flexion en el plano O′xy. Se calcula con el campo dedesplazamientos v(x) y la rigidez en flexion con respecto al eje local O′z,

EIz =∫

A

E(y, z)y2dA

El segundo termino representa la energıa de flexion en el plano O′xz. Se calcula con el campo dedesplazamientos w(x) y la rigidez en flexion con respecto al eje local O′y,

EIy =∫

A

E(y, z)z2dA

El tercer termino representa la energıa de deformacion axial de la viga. Se calcula a partir del campode desplazamientos axiales u(x) y de la rigidez axial:

EA =∫

A

E(y, z)dA

El cuarto termino representa la energıa de deformacion en torsion. Se calcula a partir del campo derotaciones ψx y de la rigidez torsional GIx.

El vector de desplazamientos (en los ejes locales) utilizado para definir las matrices elementales es

qi,l =

u1

v1w1

ψx1

ψy1

ψz1

u2

v2w2

ψx2

ψy2

ψz2

observemos que las rotaciones en torno a y y z estan relacionadas con las deflexiones transversales:

ψy = −∂w∂x

ψz =∂v

∂x

Para las deformaciones axiales y de torsion asumiremos relaciones lineales a lo largo de la viga.


La matriz de rigidez elemental queda del i-esimo elemento en ejes locales queda

Ki,l =

EAl 0 0 0 0 0 −EA

l 0 0 0 0 012EIz

l3 0 0 0 6EIz

l2 0 −12EIz

l3 0 0 0 6EIz

l2

12EIy

l3 0 −6EIy

l2 0 0 0 −12EIy

l3 0 −6EIy

l2 0GIx

l 0 0 0 0 0 −GIx

l 0 04EIy

l 0 0 0 6EIy

l2 0 2EIy

l 04EIz

l 0 −6EIz

l2 0 0 0 2EIz

lEA

l 0 0 0 0 012EIz

l3 0 0 0 −6EIz

l2

12EIy

l3 0 6EIy

l2 0GIx

l 0 04EIy

l 0sim 4EIz

l

La energıa cinetica es calculada de manera similar,

Ti =12

∫ l

0

ρl

(u2 + v2 + w2

)dx+

12

∫ l

0

ρlr2ψ2

xdx

donde r corresponde al radio de giro de la seccion con respecto a O′x:

ρlr2 =

∫A

ρ(y2 + z2

)dA

conρl = ρA

Mi,l=ρll

13 0 0 0 0 0 1

6 0 0 0 0 01335 0 0 0 11

210 l 0 970 0 0 0 − 13

210 l1335 0 − 11

210 l 0 0 0 970 0 13

210 l 0r2

3 0 0 0 0 0 r2

6 0 01

105 l2 0 0 0 − 13

420 l 0 − 1140 l

2 01

105 l2 0 13

420 l 0 0 0 − 1140 l

2

13 0 0 0 0 0

1335 0 0 0 − 11

210 l1335 0 11

210 l 0r2

3 0 01

105 l2 0

sim 1105 l

2

A continuacion construimos el operador de rotacion que permite expresar las matrices elementales en

el sistema estructural y ası poder ensamblar los elementos.Sean

p1 =

X1

Y1

Z1

p2 =

X2

Y2

Z2

las posiciones de los extremos del elemento en los ejes estructurales.

1. La direccion ~ex del eje neutral del elemento se define por

~ex =p2 − p1

‖p2 − p1‖pero

‖p2 − p1‖ = l


2. Para definir ~ey y ~ez definimos un tercer punto

p3 =

X3

Y3

Z3

que junto a p1 y p2 definen el plano Oxz del elemento. Tenemos

~ey =(p3 − p1)× (p2 − p1)‖(p3 − p1)× (p2 − p1)‖

y la triada de vectores directores se define con

~ez = ~ex × ~ey

Ahora podemos definir el operador de rotacion que relacione

xl= Rxs

donde xl es la posicion en los ejes locales y xs es la posicion en los ejes estructurales

xl =

xyz

xs =

XYZ

R =

~eX · ~ex ~eY · ~ex ~eZ · ~ex

~eX · ~ey ~eY · ~ey ~eZ · ~ey

~eX · ~ez ~eY · ~ez ~eZ · ~ez

= [~ex ~ey ~ex]T

Tenemos, uvw

= R

UVW

ψx

ψy

ψz

= R

ψX

ψY

ψZ

con las cuales podemos establecer la relacion entre el vector de desplazamientos del elemento enejes locales y estructurales respectivamente,

qi,l = Tqi,s

con

qi,l =

U1

V1

W1

ψX1

ψY1

ψZ1

U2

V2

W2

ψX2

ψY2

ψZ2


y

T =

R 0 0 00 R 0 00 0 R 00 0 0 R

Las matrices de rigidez y masa del elemento, expresadas en los ejes estructurales quedan

Ki,s = TT Ki,lT

Mi,s = TT Mi,lT

7.4.2. Ejemplo

0 1 2 3 4 5 0

2

40

1

2

3

4

5

6

7

11

7

3

3

7

Y (m)

16

14

10

12

10

6

2

2

6

X (m)

12

8

4

4

8

9

11

15

13

9

1

5

1

5

Z (m

)

Figura 7.16: Sistema analizado. En negro, los nodos, en rojo, los elementos.

Considerese la estructura mostrada en figura (7.16).

a = 5,49mb = 3,66m

Las vigas verticales,

A = 5,14 10−3 m2

Ix = 1,73 10−7 m4

Iy = 6,9 10−6 m4

Iz = 8,49 10−5 m4

Las vigas horizontales,

A = 5,68 10−3 m2

Ix = 1,76 10−7 m4

Iy = 1,2 10−4 m4

Iz = 7,3 10−6 m4


Modo Frecuencia (Hz)Flexion 1 Y 3,08Torsion 1 4,65Flexion 1 X 7,87Flexion 2 Y 8,23

Cuadro 7.1: Resultados modales

El material es acero,

E = 2,1 1011 N/m2

ν = 0,3

ρ = 7,8 103 kg/m3

Las columnas estan empotradas al piso. Los ejes locales estan definidos por

Elementos ~ex ~ey ~ez

Verticales ~eZ ~eX ~eY

Horizontales q OX ~eX ~eY ~eZ

Horizontales q OY ~eY −~eX ~eZ

La estructura esta compuesta de 16 elementos. El modelo tiene 12 nodos, 12×6 = 72 nodos, de loscuales 4×6 = 24 estan fijos. Los resultados se muestran en figuras 7.17-7.20. Las primeras frecuenciasnaturales son:

02

46

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Y (m)

3.0763 Hz

X (m)

Z (m

)

Figura 7.17: Modo 1

02

46

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Y (m)

4.6537 Hz

X (m)

Z (m

)

Figura 7.18: Modo 2


02

46

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Y (m)

7.8664 Hz

X (m)

Z (m

)Figura 7.19: Modo 3

02

46

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Y (m)

8.2297 Hz

X (m)

Z (m

)

Figura 7.20: Modo 4


Hemos introducido de manera basica los conceptos asociados al metodo de los elementos finitos. Sugran flexibilidad, alta capacidad predictiva y su implentacion general en paquetes comerciales, lo hanhecho convertido en una herramienta altamente explotada para el analisis de vibraciones en maquinas yestructuras.

Se ha presentado un caso numerico sobre un sistema real (laminador). En el se aprecia la importanciade realizar verificaciones dinamicas a nivel de diseno de un equipo.

Capıtulo 8

Analisis torsional

8.1. Introduccion

En general, un rotor (considerado independientemente) es lo suficientemente rıgido en torsion paraque las frecuencias naturales sean muy superiores a las de las fuerzas excitadoras1.

Cuando los rotores de sistemas motrices y conducidos son conectados, cada rotor puede consider-arse como una inercia masiva. Las rigideces torsionales de los acoplamientos y ejes rotores conectoresintermedios pueden ser lo suficientemente bajas para que las frecuencias naturales (del sistema acoplado)coincidan con las de excitacion.

Un ejemplo de excitacion en torsion se presenta en los motores sincronicos de polos salientes. Este tipode motor funciona como motor de induccion durante la partida; ello induce torques motrices transientesde tipo pulso, con una frecuencia igual al doble de la lınea (inicialmente) hasta una frecuencia de 0 Hz ala velocidad sincronica. Cualquier frecuencia natural en torsion que este en este rango sera excitada. Laamplitud de la pulsacion del torque motriz depende del diseno de motor, pero puede ser muy importante.

Observacion 62 Se han reportado[2] factores de amplificacion de hasta 5 veces en maquinas con fun-cionamiento deficiente con una frecuencia de pulsacion dominante igual a la de deslizamiento. Bajo estascondiciones no es inusual la rotura de dientes en el reductor.

Otro problema de diseno se presenta en rotores cuyo torque motriz es variable y controlado por unsistema de control (por ejemplo, un helicoptero). En este caso las transientes ocurridas durante unaaceleracion o desaceleracion pueden inducir inestabilidad en torsion, en parte producida por el sistemade control.

8.1.1. Consideraciones de diseno

Existen una serie de reglas generales a aplicar a nivel diseno para evitar vibraciones torsionales im-portantes. Entre ellas tenemos:

1. Si solo hay una frecuencia natural de torsion el el rango de la excitaciones, conviene incrementarla.Por ejemplo, en los motores sincronicos de polos salientes una frecuencia de excitacion comun enlas partidas es:

2ωl

(ωs − ω

ω

)donde

ωl es la frecuencia de la lınea

ωs es la velocidad sincronica del motor

ω es la velocidad (instantanea) del motor

1Una excepcion es el caso de las fuerzas que se generan en los alabes de turbinas de vapor.

183

184 CAPITULO 8. ANALISIS TORSIONAL

I1 I2 In-1 InJ1G1J2G2 Jn-1Gn-1

Figura 8.1: Modelo con inercias concentradas

2. Si no se puede cambiar la frecuencia natural, se redisena el motor para que la frecuencia de excitacionque genere menor amplitud de vibraciones coincida con la frecuencia natural.

3. Si hay mas de una frecuencia natural en torsion en el rango de las excitaciones anada mecanismosde amortiguacion que reduzcan el factor de amplificacion de manera importante. Por ejemplo:acoplamientos flexibles.

4. Incremente el torque motriz inicial o reduzca transitoriamente la inercia del sistema para que partidasea mas rapida.

8.1.2. Objetivos del analisis torsional

Como disenadores nos interesa establecer las siguientes propiedades y condiciones del sistema mecanicoen estudio:

1. Predecir frecuencias naturales

2. Analisis de sensibilidad de las frecuencias naturales en funcion de los parametros de diseno

3. Calcular amplitudes de vibracion y torques peak bajo regimen estacionario

4. Calcular torques dinamicos y cargas en los dientes de los engranajes durante condiciones transientes

5. Evaluar la estabilidad de sistemas con control de velocidad automatico.

8.2. Formulacion del modelo

La figura 8.1 muestra un modelo con inercias concentradas. Toda la inercia del sistema se ha concen-trado en n discos discretos, cada un con un inercia rotacional Ii. Los discos estan conectados por resorteski, que representan la rıgidez torsional de los ejes y acoplamientos:

ki =GJi

li

donde

Ji =πd4

i

32G es el modulo de corte,li es la longitud del tramo de eje,di es el diametro del tramoPara representar los efectos de disipacion, se anaden amortiguadores viscosos al modelo.

Observacion 63 El proposito de proponer un modelo de parametros discretos es que podemos escribiruna ecuacion diferencial ordinaria, facil de resolver.

Observacion 64 Laschet’84[3] propone un ejemplo donde se describe el endurecimiento de un acoplamien-to flexible vs el angulo de torsion. Ello lleva a un modelo no lineal de rigidez.

8.2. FORMULACION DEL MODELO 185

p1 p1r

p2r p2

Figura 8.2: Sistema con 2 velocidades

8.2.1. Considerando las diferentes velocidades

Si hay cajas de engranajes en el sistema, ellas imponen relaciones de velocidad entre cada estacion.Por conveniencia referimos todas las velocidades con respecto a una de referencia, por ejemplo:

θi = αiθ1

donde αi es la razon de reduccion entre la estacion m y la estacion 1.A fin de simplificar, todos los parametros son tıpicamente referidos a la velocidad de la estacion 1:

Ipi = α2i I′pi

(8.1)

ki = α2i k

′

i

dondeI ′pi

es la inercia en unidades absolutasIpi es la inercia referida a la velocidad de la estacion 1k′

i es la rıgidez en unidades absolutaski es la rıgidez referida a la velocidad de la estacion 1

8.2.2. Ejemplo

Considerese el sistema de figura 8.2. Se desea establecer la primera frecuencia natural en torsion. Larelacion de los engranajes es 3:1. Las inercias rotacionales de los engranajes es despreciable frente a lasde las inercias Ip1 e Ip2 . La rigidez torsional es igual para ambos tramos de arbol k1 = k2 = k.

Sean θ1 y θ2 los desplazamientos angulares de las inercias Ip1 e Ip2 , respectivamente. , en estadoestacionario. Las ecuaciones del movimiento quedan:

T =12Ip1 θ

21 +

12Ip1r θ

21r + +

12Ip2r θ

22r +

12Ip2 θ

22

V =12k1 (θ1 − θ1r)

2 +12k2 (θ2 − θ2r)

2

Debido al engranaje,θ2r = nθ1r (8.2)

por conveniencia, definimosθ2 = nθ′2

usando (8.2),

T =12Ip1 θ

21 +

12Ip1r

θ21r +12Ip2r

(nθ1r

)2

+12Ip2

(nθ′2

)2

=12Ip1 θ

21 +

12(Ip1r

+ n2Ip2r

)θ21r +

12(n2Ip2

)θ′22

=12Ip1 θ

21 +

12(Ip1r

+ I ′p2r

)θ21r +

12I ′p2θ′22


p1 p1r+ p2r p2

1 2

Figura 8.3: Sistema equivalente, mono-velocidad

1 2 3

1 2

Figura 8.4: Sistema a condensar

y

V =12k1 (θ1 − θ1r)

2 +12k2 (nθ′2 − nθ′2r)

2

12k1 (θ1 − θ1r)

2 +12(n2k2

)(θ′2 − θ′2r)

2

lo que equivale a un sistema mono-velocidad (ver grafico 8.3). Las matrices del sistema quedan:

M =

Ip1

Ip1r+ I ′p2r

I ′p2

K =

k1 −k1

−k1 k1 + k′2 −k′2−k′2 k′2

x =

θ1θ1r

θ′2

8.3. Condensacion de grados de libertad sin masa

Supongamos que tenemos un sistema como se muestra en la figura 8.4. La masa en el grado de libertad2 es muy pequena frente a las otras y se desea obtener las matrices de masa y rigidez donde ese grado delibertad ha sido condensado. El vector de desplazamientos original es

x′ =

x1

x2

x3

y las matrices de masa y rigidez:

M′ =

m1

m2

m3

K′ =

k1 −k1

−k1 k1 + k2 −k2

−k2 k2

Se desea condensar el grado de libertad x2 y despreciar los efectos de inercia de la masa m2:

m2 ≈ 0 (8.3)

8.3. CONDENSACION DE GRADOS DE LIBERTAD SIN MASA 187

Para ello, primero reordenamos convenientemente el vector de desplazamientos tal que los grados delibertad a condensar queden al final:

x = Px′ (8.4)

donde P es una matriz de permutacion:

P =

1 0 00 0 10 1 0

Recordemos que para una matriz de permutacion,

P = PT = P−1

luego

x =

x1

x3

x2

tenemos la ecuacion del movimiento original:

M′x′ + K′x′ = 0

sustituyendo (13.1) y premultiplicando por P queda:

Mx + Kx = 0 (8.5)

con las matrices reordenadas (considerando la condicion 10.2):

M =

m1

m3

0

K =

k1 0 −k1

0 k2 −k2

−k1 −k2 k1 + k2

A fin de normalizar los resultados consideremos las relaciones

k2 = αk1 (8.6)m1 = βm2

A continuacion definimos las 2 particiones de grados de libertad: activos y condensados.

x =

xa

xc

en nuestro caso ejemplo:

xa =x1

x3

xc = x2

A fin de condensar definiremos una trnasformacion matricial que permita expresar los grados de libertadcondensados en funcion de los activos:

xc = Tcxa

en consecuencia,

x = Txa

=[

ITc

]xa


si substituimos en ecuacion (8.5) y premultiplicamos por T queda

TT MTxa + TT KTxa = 0

Mrxa + Krxa = 0

donde Mr y Kr son las matrices reducidas que se buscan:

Mr = TT MT (8.7)

Kr = TT KT

Para definir Tc utilizamos la ecuacion de equilibrio dinamico:

Z(ω)x =

fa0

[

Zaa Zac

Zca Zcc

]xa

xc

=

fa0

Usando la segunda linea (asumiendo que no hay fuerzas externas aplicadas en los grados de libertad acondensar):

Zcaxa + Zccxc = 0

luegoxc = −Z−1

cc Zcaxa

por lo queTc = −Z−1

cc Zca

y

T =[

I−Z−1

cc Zca

]Como en nuestro caso ejemplo no hay masa en el grado de libertad a condensar, T es independiente deω:

Zcc = k1(1 + α)

Zca = k1

−1 −α

luego

T =

1 00 11

1+αα

1+α

y aplicando (10.4) obtenemos

Mr = m1

[1

β

]Kr = k1

α

1 + α

[1 −1−1 1

]En Maple 7.0:

>K:=linalg[matrix](3,3,[k1,0,-k1,0,k2,-k2,-k1,-k2,k1+k2]);>M:=linalg[matrix](3,3,[m1,0,0,0,m2,0,0,0,0]);>T:=linalg[matrix](3,2,[1,0,0,1,k1/(k1+k2),k2/(k1+k2)]);>k2:=alpha*k1;>Kr:=simplify(multiply(transpose(T),K,T));>Mr:=multiply(transpose(T),M,T);


8.3.1. Ecuacion del movimiento

Usando el metodo de Newton o el de Lagrange, podemos escribir la ecuacion del movimiento como

Mx + Cx + Kx = f (8.8)

donde

M =

I1. . .

In

C =

c1 −c1−c1 c1 + c2 −c2

−c2 c2 + c3 −c3

−c3. . .

cn

K =

k1 −k1

−k1 k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3 −k3

−k3. . . −kn

−kn kn

x =

θ1...θn

f =

T1(t)

...Tn(t)

8.3.2. Amortiguamiento del rotor

Los valores de ci son difıciles de obtener de forma experimental. Vance [2] reporta valores de 1.5-2 % delamortiguamiento crıtico para sistemas donde no hay solturas. Si utilizamos un modelo de amortiguamientoproporcional (sola con respecto a K),

C = βK

Se cumple que

ξi ≈β

2ωi

dondeωi es la i-esima frecuencia natural, yξi es el factor de amortiguamiento.En promedio, para el caso del acero,

ξi =β

2ωi ≈

1100

avg (1,5, 2,0)

=0,035

2o

β ≈ 0,035ωi

donde avg es la funcion promedio. La matriz de amortiguacion para frecuencias cercanas a ωi puede seraproximada a

C (ωi) =0,035ωi

K (8.9)

dado que ωi no es conocido a priori, es necesario iterar.


To

rqu

e r

esi

ste

nte

T

l

θ Ω

i

1

ci

= 2 c'i Ω

.

Figura 8.5: Coeficiente de amortiguamiento viscoso para el torque resistente

Motor

Helice

Reductork1 c1

k2c2

I1

I2

Figura 8.6: Esquema de un sistema rotor

8.3.3. Disipacion de energıa por la carga

El torque resistente causado por cargas aerodinamicas es frecuentemente modelado como la parabola

Tl = ciθ2i

Si la velocidad del rotor es constante ω, y se puede estimar la potencia disipada, se tiene que

ci =Pi

ω2

Con lo que ci queda dependiente de la velocidad. A fin de linealizar la ecuacion del movimiento, elvalor de ci puede ser aproximado en las cercanias de la frecuencia de operacion ω con la condicionU,

cθ1 = 2dTl

dθ1θ1

luego

c = 2dTl

dθ1

segun se observa en figura 8.5.


La figura 8.6 muestra un esquema del sistema motriz de un helicoptero. Las inercias mas importantes:

el rotor de la turbina I1 ,


los engranajes I2 , y

la helice I3 .

El eje motriz posee una rıgidez k1, y

el eje conducido una rıgidez k2.

Las fuentes mas importantes de amortiguamiento son el torque aerodinamico en la helice.Los valores de los parametros provienen de referencia [?]:

I1 = 6 pulg-lb-s2

I2 = 2,3 pulg-lb-s2

I ′3

= 298598 pulg-lb-s2

k1 = 257004 pulg-lb/rad

k′2 = 61,44× 106 pulg-lb/rad

La potencia de operacion es de 5270 hp, la turbina gira a 13820 rpm y el reductor tiene una relacion80 : 1. Los valores ′ son valores absolutos; aun no han sido referidos.

Referiremos los parametros c/r a la velocidad del eje de la turbina,

Ip3 =298598

802= 46,7

k2 =61,44× 106

802= 9600

Siendo que la rıgidez del eje motriz k1 es mucho mayor que la del eje de la helice k2 y las inerciasI1 e I2 son pequenas, el sistema turbina-engranaje se comportara como un cuerpo rıgido que puede sermodelado como una sola inercia:

Ia = I1 + I2 = 6 + 2,3 = 8,3Ib = I3 = 46,7kab = k2 = 9600

lo que nos deja un modelo conservativo de 2 grados de libertad:

M =[

8,346,7

]pulg× lbf× s2

K = 9600[

1 −1−1 1

]pulg× lbf/rad

La potencia en lbf×pulg es

P = 5270 HP · 550lbf× pie/HP · 12pu lg /pie= 34782000 lbf× pulg

La velocidad de rotacion de la turbina es

θ1 = 13820 · 2π60

= 1447rad/s

y

θ2 =θ180

= 18,08 rad/s

El torque estacionario Tst es

Tst =P

θ1= 24034 lbf× pulg


1 2

Figura 8.7: Modelo del helicoptero

y si usamos el modelo (??),dTl

dθ1θ21 = Tst

luego, en el punto de equilibrio (operacion)

dTl

dθ1=Tst

θ1

=240341447

= 16,60

Usando el valor linealizado,

cθ1 = 2dTl

dθ1θ1

luego

c = 2dTl

dθ1= 33,2 pulg× lbf/ (rad× s)

La frecuencia natural (no nula) del sistema no amortiguado resultar ser 36.9 rad/s. La amortiguaciondel eje es estimada por (ec. 8.9),

C = βK+c[

01

]=

0,03536,9

9600[

1 −1−1 1

]+ 33,2

[0

1

]=[

9,1 −9,1−9,1 42,3

]Obtenidas las matrices de la ecuacion del movimiento, es posible encontrar las frecuencias naturales

del sistema amortiguado:λ1,2 = −0,699± 36,9j

o sea

ωn = 36,9 rad/s

fn =ωn

2π= 5,87 Hz

El modo propio asociado es 1

−0,1777 + 0,0034j

lo que implica una razon de amplitudes entre la inercia de la turbina y la de la helice de

|−0,1777 + 0,0034j|1

= 0,1777

8.4. RESPUESTA FORZADA 193

y un desfase178,9o

En matlab,

>>norm(-0.1777+.0034j)>>angle(-0.1777+0.0034j)*180/pi

8.4. Respuesta forzada

Para el caso de torsion, las frecuencias de excitacion no corresponden, en general, a la velocidad derotacion. La amplitud de los torques de exitacion no depende del nivel de desbalance. Aun ası, puedeaparecer un acoplamiento entre modos de flexion y modos de torsion, lo que induce vibraciones torsionalesa la componente 1X.


Para el caso del helicoptero, cada helice esta sujeta a una variacion en la carga aerodinamica dadoque su velocidad tangencial se opone a la corriente de aire una vez por revolucion. El resultado es unavariacion ciclıca del torque resistente en la inercia I2 cuya frecuencia fundamental es

ω = nbωh

dondenb es el numero de aspasωh es la velocidad angular de la helice

Observacion 65 Para el caso de la excitacion, la existencia o no de reductores no afecta la ecuaciondel movimiento (excepto respecto de la velocidad de la helice).

Para el caso senalado,

nb = 4

ωh =13820

602π(

180

)= 18,09 rad/s

luegoω = 72,36 rad/s

se tiene un vector de excitacion,

f =

0T2(t)

= T2 cosωt

01

La figura 8.8 muestra la amplitud de las vibraciones para

T2 = 0,3Tst

= 0,3× 24034= 7200pu lg×lbf

(que corresponde al 30% del torque resistente estacionario).La respuesta dinamica estacionaria es


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Tiempo (s)

Am

plitu

d (r

ad)

θ1

θ2

Figura 8.8: Respuesta forzada

R

I

µ1

µ2

µ2¡µ1

k1(µ2¡µ1)

j!(µ2¡µ1)

Ts

c1 _µ2¡_µ1³ ´

Figura 8.9: Torque resistente

x =

0,0088 + 0,0009i−0,0310− 0,0005i

rad

cuyo desfase relativo es de 174,9o.Para fines de diseno, es relevante conocer el torque en el eje conducido, que esta dado por

Ts(t) = k1 (θ2(t)− θ1(t)) + c1

(θ2(t)− θ1(t)

)La figura ?? muestra la amplitud de Ts para un rango de frecuencias. Se aprecia que el torque dinamico

en el eje es pequeno para la frecuencia de operacion 11.52 Hz (comparado con el que aparece en la zonaresonante alrededor de 5.9 Hz). En ese caso el torque seria mayor que el torque motriz, por lo que eltorque neto serıa negativo durante algunos instantes en cada ciclo. Ello podrıa causar que los dientesdel engranaje se separasen y luego impactaran con cada inversion de torque2. En tal caso, una posiblesolucion es el incremento de la amortiguacion.

8.5. Respuesta transiente

En caso de que los torques excitadores varıen en el tiempo su contenido frecuencial, es necesarioutilizar tecnicas de integracion temporal. Ya no es necesario disponer de modelos lineales tales como eldescrito por la ecuacion 8.8, lo que es una ventaja.

2segun ref. [?], pp 73.

8.5. RESPUESTA TRANSIENTE 195

2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4

Frecuencia (Hz)

Tor

que

(pul

g-lb

f)

Figura 8.10: Torque dinamico en el eje

Reductor

Motor

Compresor

1 32

Figura 8.11: Diagrama del sistema

Considerese el sistema de figura 8.11. El motor es de tipo sincronico de polos salientes. Conduce a uncompresor de flujo axial a traves de un reductor. Los parametros del modelos son (referidos al eje motriz):

I1 = 4192 pulg× lbf × s2

I2 = 4907 pulg× lbf × s2

I3 = 10322 pulg× lbf × s2

k1 = 73,59× 106pulg× lbf/rad

k2 = 351,7× 106pulg× lbf/rad

Los coeficientes de amortiguacion en los descansos se estiman en 22,99pulg × lbf × s. Los coeficientes deamortiguacion de los ejes se estiman en

c1 = 16663 pulg× lbf× s

c2 = 39411 pulg× lbf× s

El motor de tipo sincronico de polos salientes produce un torque dinamico durante la partida, con unafrecuencia dos veces la de la lınea multiplicada por la razon de deslizamiento. El diagrama de Campbellde figura 8.12 describe como la excitacion excita 2 frecuencias naturales hasta llegar a su velocidad de


0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

20

40

60

80

100

120

Frec

uenc

ia n

atur

al (H

z)

Velocidad de rotación (RPM)

1era frec. natural2da frec. natural2X frec. de deslizamiento

Figura 8.12: Diagrama de Campbell

operacion de 1200 rpm. La razon de deslizamiento esta dada por:

Sr =Ns −Nm

Ns

dondeNs es la velocidad sincronica, 1200 rpm,Nm es la velocidad del motor (que crece desde 0 hasta 1200 rpm durante la partida).Luego, el torque motriz T1(t) puede ser descrito por

T1 = Tavg + Tosc cos (ωet)ωe = 4πLfSr rad/s

dondeLf es la frecuencia de la lınea3,Tavg es el torque promedio en el instante t,Tosc es la amplitud del torque transiente.Desarrollando lo anterior, T1 tambien se puede expresar en terminos de la posicion angular de la

inercia del motor θ1:

T1 = Tavg + Tosc cos(

4πLf

(t− θ1

Ωs

))(8.10)

donde Ωs = Ns2π60 rad/s.

La ecuacion 8.10 implica que el modelo es no lineal. La curva caracterıstica del motor se muestra enfigura ??.

El encuentro de la frecuencia del torque pulsante con la i-esima frecuencia natural se da en

Nres = Ns

[1− ωi

4πLf

], i = 1, 2, ..

Observacion 66 Para mejorar la convergencia de metodos tales como el de Runge-Kutta o Newmark,es conveniente hacer un cambio de variable y utilizar los momenta:

pi = Iiθi

Ejercicio 30 si el motor tiene una potencia nominal de 100, 500, 1000 hp. Encuentre las siguientescurvas de partida:

1. frecuencias y modos propios en torsion3(50 Hz en Chile)

8.5. RESPUESTA TRANSIENTE 197

2. curva de amplitud de vibracion vs tiempo

3. curva de torque en cada eje vs tiempo

4. Analice la posibilidad de impactos en los engranajes

8.5.1. Modelo no lineal

En esta situacion se tiene un modelo no lineal pues el vector de fuerzas (Torques) es funcion de lavelocidad del sistema; la cual es parte de la respuesta del mismo. Se tiene:

Mx + Cx + Kx− fd(x, t)− fs(x) = 0

fd(x, t) = Kdx

fs(x, t) = Csx

Mx + (C + Cs) x + (K + Kd)x = 0

donde ωs es la frecuencia sincronica y ωl es la frecuencia de la linea.

Kd(x,t) =

cos 2ωl

(ωs−kT

d xωs

t)

0 00 0 00 0 0

kd = cd,1 =

100

cd,3 =

001

Cs (x) =

cms

(cT

d,1x)

0 00 0 00 0 cls

(cT

d,3x)

8.5.2. Modelo de primer orden

Vance[2] recomienda la siguiente estrategia numerica para mejorar el condicionamiento numerico delproblema y asi asegurar una convergencia robusta en el proceso de integracion, y ademas, mas baratacomputacionalemente pues los metodos de paso variable pueden usar pasos temporales mas grandes.

El momentum de una inercia m esta definido por

pi = mθi

luego podemos definir:p = Mx

o reexpresado (convenientemente),

[I 0

] xp

+[

0 −M−1] x

p

= 0 (8.11)

definimos tambien

y =

xp

la ecuacion del movimiento queda

p + Kx + Cx = f (8.12)


dondef = fd(x, t) + fs(x, t)

Reescribiendo (8.12) queda

[C I

] xp

+[

K 0] x

p

= f (8.13)

y combinando (8.11) y (8.13),[I 0C I

]xp

+[

0 −M−1

K 0

]xp

=

0f

o en forma reducida,

Ay + By = f ′

con

A =[

I 0C I

]B =

[0 −M−1

K 0

]

8.5.3. Analisis modal

Las matrices estructurales toman la forma:

M = m

1α1

α2

K = k

1 −1−1 1 + β −β

β β

con las cuales se obtienen las siguientes frecuencias naturales (referidas a la frecuencia natural de lainercia del motor y la rigidez del eje motriz, cuando se fija el engranaje):

ω21 = 0

ω22 =

α1 α2 + α2 + β α2 + α1 β +√

(α2 + α1)2β2 + 2βα2 (α2 − (α2 + 1 )α1 − α1

2) + α22 (α1 + 1)2

2α1 α2ω2

n

ω23 =

α1 α2 + α2 + β α2 + α1 β −√

(α2 + α1)2β2 + 2βα2 (α2 − (α2 + 1 )α1 − α1

2) + α22 (α1 + 1)2

2α1 α2ω2

n

ω2n =

k

m

En Maple 6.5:

with(linalg);M:=m*Matrix(3,3,[[1,0,0],[0,alpha1,0],[0,0,alpha2]]);K:=k*Matrix(3,3,[[1,-1,0],[-1,1+beta,-beta],[0,-beta,beta]]);eigenvals(K,M);

8.6. ESTABILIDAD EN SISTEMAS CON CONTROL AUTOMATICO DE VELOCIDAD 199

Figura 8.13: Control automatico de la velocidad (control de flujo de combustible)

8.6. Estabilidad en sistemas con control automatico de veloci-dad

Para analizar la estabilidad torsional de un sistema que posee control automatico de velocidad esnecesario anadir al modelo (8.8) la dinamica de tal sistema.

El acoplamiento entre el sistema automatico con el sistema rotor ocurre en el torque motriz (sobre elque actua el sistema de control).

En figura 8.13 se ilustra un sistema mecanico de control automatico. En los equipos actuales, lossistemas de control son electronicos o electro-hidraulicos. Sin embargo, todos ellos pueden ser modeladospor sus parametros de tiempo:

inercia equivalente mg,

rıgidez equivalente kg,

amortiguamiento equivalente cg.

En la figura 8.13 el valor de equilibrio x∗g, y por tanto el valor estacionario del flujo de combustible w∗fes determinado por el set point para la velocidad Ωs y la ”presion” p ejercida por la velocidad instantaneade la maquina Ω. Las oscilaciones de xg generaran oscilaciones en el flujo de combustible, y por tanto enla velocidad de la maquina. La pregunta a responder es si las oscilaciones seran de larga duracion y, enel peor de los casos, si el sistema se volvera inestable.

El sistema automatico puede ser modelado por la ecuacion:

mgxg + cgxg + kgxg = kgh (Ω− Ωs) (8.14)

dondeh =

S

Ωs

es determinado por el diseno del mecanismo para ajustar el set point Ωs. El flujo de combustible estadeterminada por:

wf = q (d− xg) (8.15)

donde q es una funcion de las condiciones de operacion. La linealidad de la ecuacion 8.14 es valida solopara pequenos cambios en xg y wf . Derivando (8.15) dos veces:

wf = −qxg


Turbina Helice

1 2+

-

s

_µ1

Te

Control

Figura 8.14: Diagrama del sistema

y sustituyendo,mgwf + cgwf + kgwf = kgqh (Ωs − Ω)

y normalizando con kg,τ1τ2wf + (τ1 + τ2) wf + wf = kp (Ωs − Ω) (8.16)

dondekp = kgh

es la llamada ganancia. τ1 y τ2 son las constantes de tiempo del controlador, donde

τ1τ2 =mg

kg

τ1 + τ2 =cgkg

Podemos escribir el sistema acomplado como

M′x′ + C′x′ + K′x′ = f ′

M′ =[

M 02×1

01×2 mg

]C′ =

[C 02×1

01×2 cg

]K′ =

[K 02×1

kp 0

kg

]x′ =

xwf

f ′ =

f

kpΩs

Para hacer el analisis de estabilidad la ecuacion (8.16) es anadida a (8.8). Luego utilizar el criterio deinestabilidad de Routh-Hurwitz (ver §??).


Considerese el diagrama de la figura 8.14. Los valores de los parametros del rotor son iguales a los deejemplo 8.3.4:

M =[

8,346,7

]pulg× lbf× s2

K = 9600[

1 −1−1 1

]pulg× lbf/rad

C =[

9,1 −9,1−9,1 42,3

]

8.6. ESTABILIDAD EN SISTEMAS CON CONTROL AUTOMATICO DE VELOCIDAD 201

El control automatico posee los siguientes parametros,

τ1 = 0,02 sτ2 = 0,03 skf = 24634 pulg-lbf/(lbf× s)

kp = 0,0112 lbf/(rad× s2)

con lo que las matrices extendidas quedan

M =

8,346,7

6× 10−4

K =

9600 −9600−9600 9600

1

C =

9,1 −9,1−9,1 42,3

0,0112 0,05

f =

00

0,0112Ωs

x =

θ1θ2wf

Ejercicio 31 Utilice el criterio de Routh-Hurwitz para verificar la estabilidad del sistema del ejemploanterior

Ejercicio 32 Construya un modelo simular la respuesta ante diferentes set-points. Busque las condi-ciones de inestabilidad, si ellas existen.

Ejercicio 33 Repita el analisis de ref. [?].

Ejemplo 38 El sistema de figura 8.15 representa un sistema de rodillos para laminacion de acero. Exp-rese las ecuaciones del movimiento torsional en terminos de matrices de masa y rigidez. Las reduccionestienen relaciones α1 y α2 respectivamente. Las rigideces torsionales estan definidas por

Ki =GiJi

li

Refiera los resultados a la velocidad del motor (eje de I1).

Observacion 67 La referencia [4] entrega una analisis de los torques generados durante la laminacion.


I1 I2k1 k2 I3

I4 k3

I6

I6

I5

k4

k4

I7

I7

α1 α2

α2

Figura 8.15: Modelo del sistema laminador

KIp1 Ip2 Ip3+Ip4 KIp5+2Ip6

K

K

Ip7

Ip7

Figura 8.16: Modelo equivalente masas-resortes

En primer lugar referimos todos los parametros respecto de la velocidad del motor (segun 10.9),

Ipi = I1

Ip2 = I2

Ip3 = I3

Ip4 = α21I4

Ip5 = α21I5

Ip6 = (α1α2)2I6

Ip7 = (α1α2)2I7

k1 = K1

k2 = K2

k3 = α21K3

k4 = (α1α2)2K4

ello permite dibujar el sistema equivalente masas-resortes de figura (8.16).Ahora es facil establecer las matrices de masa y rigidez:

M =

Ip1

Ip2

Ip3 + Ip4

Ip5 + 2Ip6

Ip7

Ip7

K =

k1 −k1

k1 + k2 −k2

k2 + k3 −k3

k3 + 2k4 −k4 −k4

k4

sim k4


y el vector de rotaciones (equivalentes) es

x =

θ1θ2θ3θ4θ5θ6

Rigidizacion del sistema laminador

4Una posible solucion al problema de amplificacion de torque es la rigidizacion del sistema en su partemas flexible, los laminadores. Se propone el esquema de diseno observado en figura (xx). El vector derotaciones del sistema extendido es

x =

θ1θ2θ3θ4θ5θ6θ7

M =

Ip1

Ip2

Ip3 + Ip4

Ip5 + 2Ip6

Ip7

Ip7

Ip5 + 2Ip6

K =

k1 −k1

k1 + k2 −k2

k2 + k3 −k3

k3 + 2k4 −k4 −k4

k4 + k4 −k4

k4 + k4 −k4

sim k4 + k4

Ejercicio 34 Calcule los factores de amplificacion de torque para el sistema modificado.


Consideremos el ejemplo propuesto en ref. [2]. Se trata de un sistema laminador modelado para latorsion de los ejes. Los grados de libertad 1 y 2 corresponden a las inercias de las armaduras del motor.Los grados de libertad 3 y 4 al sistema de transmision y reduccion y los grados 5 y 6 corresponden a lasinercias de los laminadores mismos (ambos en paralelo); conectados al reductor en el grado de libertad 4(vease figura 8.17). Se tiene:

K = 1010

1,2300 −1,2300 0 0 0 0

1,4655 −0,2355 0 0 00,2745 −0,0390 0 0

0,0496 −0,0053 −0,00530,0053 0

sim 0,0053

in · lb/rad

4control 2, 2004.


Figura 8.17: Esquema y modelo del sistema laminador

M =

257500

262000115000

35602720

2720

lb · in · sec2

sistema del cual se obtienen las siguientes frecuencias naturales:

Ω =

0118,1139,8157,9317,1383,5

rad/s (8.17)

Se desea modelar los efectos dinamicos de amplificacion de torque cuando sale el lingote. Durante lalaminacion del lingote, el sistema sufre una deformacion estatica

x0 =

−0,00241−,00197,00265,0305,1328,1328

rad

lo que representa un desplazamiento inicial cuando el lingote sale, lo que genera una respuesta transiente.Por conveniencia, haremos una transformacion modal:

q0 = Φ−1x0 (8.18)

de lo que sabemos que la respuesta transiente de cada modo i sera de amplitud:

φiq0,i (8.19)


y frecuencia ωi:qi(t) = q0,i cosωit

Si el laminador se deforma segun (8.19), los torques dinamicos que se produciran en cada eje k sonproporcionales a las diferencias de los desplazamientos en sus extremos, vale decir:

Tφi,k(t) = kk (xi(t)− xj(t))

donde xi(t) y xj(t) son los desplazamientos en los extremos del eje k ;kk es la rigidez torsional del mismoy Tφi,k(t) es el torque dinamico (de frecuencia ωi) producido por el modo φi.

Cada torque dinamico modal oscila a la frecuencia del modo asociado. Una cota superior para el torquedinamico total es:

Tmaxk (t) =

∑i

|Tφi,k(t)|

Si los modos son normados de modo que,ΦT Φ = I

para este caso (ordenados en orden creciente de frecuencia),

Φ =

−0,4082 −0,0201 0,0000 −0,1008 0,6037 −0,0017−0,4082 −0,0142 0,0000 −0,0482 −0,6674 0,0036−0,4082 0,0385 0,0000 0,3603 0,1612 −0,0275−0,4082 0,1985 −0,0000 0,1769 0,3833 0,9769−0,4082 0,6923 0,7071 −0,6428 −0,0925 −0,1498−0,4082 0,6923 −0,7071 −0,6428 −0,0925 −0,1498

Notese que el primero corresponde al modo de cuerpo rıgido. El tercero es un modo local de los

laminadores (vease grafico 8.18).Los desplazamientos iniciales son (usando 8.18),

q0 =

0,00000,1799−0,0000−0,0121−0,0000−0,0031

notemos como el modo 2 es el mas excitado por las condiciones iniciales. La solucion transiente alproblema con desplazamiento inicial toma la forma:

q (t) = q0COS(Ωt)

donde COS(Ωt) es una matriz diagonal con los terminos

cosωit

Para calcular los torques dinamicos para cada modo definimos convenientemente el operador de conec-tividad Con , y las matrices diagonales Ki y Q0:

Con ≡

−1 1 0 0 0 00 −1 1 0 0 00 0 −1 1 0 00 0 0 −1 1 00 0 0 −1 0 1

Ki ≡

k1

k2

k3

k4

k5


Q0 = diag(q0)

con lo que la matriz de torques dinamicos modales a la salida del lingote (sl) es:

Tsl = KiConΦQ0

Tsl = 107

−0,0000 1,2986 0,0000 −0,7827 0,0458 −0,0206−0,0000 2,2340 −0,0000 −1,1632 −0,0057 0,02290,0000 1,1227 0,0000 0,0865 −0,0003 −0,12270,0000 0,4726 −0,0000 0,0527 0,0001 0,01880,0000 0,4726 0,0000 0,0527 0,0001 0,0188

Al sumar los valores absolutos de los torques modales dinamicos obtenemos las cotas superiores para eltorque dinamico en cada eje (elemento):

Tmaxsl = 107

2,14763,42581,33210,54420,5442

Torque que puede ser comparado con los valores estaticos cuando el lingote esta adentro:

Tst = KiConx0

= 107

0,54121,08801,08610,54420,5442

A fin de normalizar se calculan los factores de amplificacion de torque (TAF por sus siglas en ingles):

TAFk =Tmax

sl,k

Tst,k

luego

TAFsl =

3,96833,14871,22651,00001,0000

(8.20)

Como se puede apreciar, la salida del lingote causa un torque casi 4 veces mayor al esperado por loscalculos estaticos. Ello constituye un la diseno y tiene que ver con el condicionamiento de la matriz Φ(ver referencia [2]).

Ejemplo 39 5Se dispone de un rotor con eje asimetrico de seccion rectangular (a = 1 cm, b = 1,1a),l = 30 cm y con un disco centrado de 10 cm de diametro por 2 cm de ancho (todo en acero). Losdescansos en los extremos pueden considerarse rıgidos.

1. Exprese las ecuaciones del movimiento para tal sistema

2. Calcule el rango de frecuencias para los cuales el sistema se torna inestable.

Ejemplo 40 El sistema representado en figura 8.20 representa el sistema rotor de un ventilador (I2).La reduccion es ω3/ω4 = n. La rigidez de la correa es k. Los diametros de las poleas son d3 y d4

respectivamente. La longitud total de los ejes es l1 y l2 respectivamente. La masa del motor (I1) esta en elcentro del eje 1. La correa esta tensa en ambos lados. Obtenga las ecuaciones del movimiento torsional.Desprecie las masas de los ejes.


12

34

56

1

2

3

4

5

6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ModoGrado de libertad

Des

plaz

amie

nto

Figura 8.18: Modos propios

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Tiempo (s)

Am

plitu

d

0118.1139.8157.9317.1383.5Σ

Figura 8.19: Ejemplo de suma de aportes modales al torque dinamico

I3

I4

d1

I2

I1

d2

Figura 8.20: Diagrama del sistema Ventilador


Para calcular la rigidez en torsion del eje 1, consideramos el tramo de eje entre la masa del motor yla polea, eso es:

k1 =GJ1

(l1/2)

y para el eje 2, consideramos la distancia entre la polea y el ventilador,

k2 =GJ2

l2

La energıa cinetica del sistemas se concentra en las inercias del motor, las poleas y el ventilador, tenemos

T =4∑

i=1

12Ipiθ2i

donde θi son los angulos de rotacion en radianes.La energıa de deformacion es la suma de aquella acumulada por la torsion de los ejes mas la que

absorbe la correa,V = Vt + Vc

Vt =12k1 (θ3 − θ1)

2 +12k2 (θ2 − θ4)

2

Como la correa esta tensionada, acumula energıa en ambos lados,

Vc = 212k (r3θ3 − r4θ4)

2

o seaV =

12k1 (θ3 − θ1)

2 +12k2 (θ2 − θ4)

2 + k (r3θ3 − r4θ4)2

usando las ecuaciones de Lagrange,

∂

∂t

(∂T∂θi

)= Ipi

θi i = 1, . . . , 4

∂V∂θ1

= −k1 (θ3 − θ1)

∂V∂θ2

= k2 (θ2 − θ4)

∂V∂θ3

= k1 (θ3 − θ1) + 2k (r3θ3 − r4θ4) r3

∂V∂θ4

= −k2 (θ2 − θ4)− 2k (r3θ3 − r4θ4) r4

lo que define las siguientes matrices de masa y rigidez:

M =

Ip1

Ip2

Ip3

Ip4

K =

k1 −k1

k2 −k2

−k1 k1 + 2kr23 2kr3r4−k2 k2 + 2kr24

5examen 2002.


5 6 7

2 3 41 1 32

54

Figura 8.21: Sistema multirotor con lazo cerrado

con

x =

θ1θ2θ3θ4

pero la razon de radios de las poleas es

r4 = nr3

luego

K =

k1 −k1

k2 −k2

−k1 k1 + 2kr23 −2knr23−k2 −2knr23 k2 + 2kn2r23

Observacion 68 Seria interesante estudiar la convergencia de este modelo al de un sistema reductorcon engranajes. Podrıa hacerse via una reduccion dinamica de los grados de libertad 3 y 4 en uno 3′.

Ejemplo 41 Considere el sistema multi-rotor mostrado en figura 8.21. Construya la matriz de masa yrigidez para vibraciones torsionales. El arbol superior gira a Ω rad/s y el inferior a αΩ (2 puntos).Larigidez torsional de las secciones 1,3,4,5 son k, la de la seccion 2 es νk. Las inercias rotacionales en1,2,3,4,6 es m, la de 5 y 7 vale βm (2 puntos).

Consideraremos el arbol superior como el de referencia, tenemos entonces las siguientes inercias yrigideces torsionales equivalentes:

i Ii ki

1 α2m α2k2 α2m α2νk3 α2m α2k4 α2m k5 βm k6 m7 βm

Cuadro 8.1: Propiedades equivalentes

Con lo que se puede esquematizar el sistema como se muestra en figura (8.22).


1

62+5 3+7

4

1' 2' 3' 4' 5'

Figura 8.22: Modelo equivalente

Luego es facil escribir las matrices del sistema:

K =

k1 −k1

k1 + k2 + k4 −k4 −k2

k4 + k5 −k5

k2 + k3 + k5 −k3

sim k3

M =

I1

I2 + I5I6

I3 + I7I4

con

x =

θ1′θ2′θ3′θ4′θ5′

y normalizando valores,

K = k

α2 −α2

α2 + α2ν + 1 −1 −α2ν2 −1

α2ν + α2 + 1 −α2

sim α2

M = m

α2

α2 + β1

α2 + βα2

Para obtener los valores propios normalizados basta usar las siguientes lıneas en Maple:

>with(linalg);>M:=linalg[matrix](5,5,[alpha^2,0,0,0,0,0,alpha^2+beta,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,alpha^2+beta,0,0,0,0,0,alpha^2]);>K:=linalg[matrix](5,5,[alpha^2,-alpha^2,0,0,0,-alpha^2,alpha^2+alpha^2*nu+1,-1,-alpha^2*nu,0,0,-1,2,-1,0,0,-alpha^2*nu,-1,alpha^2+alpha^2*nu+1,-alpha^2,0,0,0,-alpha^2,alpha^2]);>eigenvalues(multiply(inverse(M),K));


Ejemplo 42 6Calcule las frecuencias naturales y los modos propios de un sistema rotor que consta deun disco de acero 10 cm de diametro, espesor 2 cm ubicado a 10 cm del extremo libre de un eje de acerode diametro 1 cm y de longitud 40 cm. El sistema conducido esta conectado al sistema motriz por unacoplamiento que solo ofrece rigidez a la torsion. Al aplicar una torque de 1 Ncm el eje conducido giro 1grado con respecto al eje motriz, que estaba fijado. El eje motriz es muy corto y se puede considerar comorıgido a la flexion. Sus descansos tambien se consideran rıgidos con respecto a los del sistema conducido.La rigidez de los descansos es isotropica y de constante k = 104 N/m. La inercia a la rotacion del sistemamotriz es similar a la del conducido. Se sospecha que el acoplamiento es muy flexible a la torsion frentea la rigidez del eje. Veamos:

kθ =GJ

l′

donde l′ es la distancia entre el disco y el acoplamiento. En este caso es aproximadamente

l′ =3040

40 cm

con

l = ,4 m

E = 2 · 1011 N/m2

d = 0,01 m

J =πd4

32= 9,82 · 10−10 m4

luego

kθ =2 · 1011

2 (1 + ,3)9,82 · 10−10

0,3= 251,8 Nm/rad

mientras que la rigidez del acoplamiento es

ka =11Ncm/o

= 10−2

(3602π

)Nm/rad

= 0,573 Nm/rad

o sea la relacion de rigidez es de menos de un tercio:

ka

kθ=

0,573251,8

= 0,0023

por lo que es valido pensar que el eje conducido se comporta como cuerpo rıgido a la torsion (el motriztambien, es mas corto). La inercia a la rotacion del disco es

Ip =m (D/2)2

26examen 2003


con diametro y espesor:

D = ,1 mh = ,02 m

m = ρπ

(D

2

)2

h

= 7800 · π(,12

)2

,02

= 1,22 Kg

e

Ip =1,22 (,1/2)2

2= 0,0015 Kg ·m2

Que es la misma inercia del motor. Las matrices en torsion son

Mθ = Ip

[1

1

]Kθ = ka

[1 −1−1 1

]y las rotaciones en las masas:

xθ =θ1θ2

Las frecuencias naturales en torsion son entonces:

ω1 = 0

ω2 =√

2

√ka

Ip

= 27,64 rad/s= 4,40 Hz= 264 cpm

A continuacion estudiaremos si el eje se puede considerar rıgido. En caso de que los descansos fuesenmuy rıgidos tendrıamos la siguiente expresion para la rigidez del eje

k∗ =3

α2 (1− α)2EI

l3

en nuestro casoα =

0,10,4

= ,25

I = πr4

4

= π(,01/2)4

4= 4,9 · 10−10 m4


y

k∗ =3

,252 (1− ,25)22 · 1011 · 4,9 · 10−10

0,43

= 2,48 · 1010 m/N

como la rigidez de los descanso aporta con

2k = 2 · 104 N/m

se considera que el eje se comportara como rıgido en un amplio espectro de frecuencias. Podemos definirla razon de rigideces

φ =k

k∗

=104

2,48 · 1010

= 4,03 · 10−7

que usaremos en el siguiente ejemplo. Ademas:

Id =m

12

(3(D

2

)2

+ h2

)

=1,2212

(3(,12

)2

+ ,022

)= 8,07 · 10−4 Kg ·m2

Ello permite usar el modelo descrito en §?? para las vibraciones transversales. Distinguiendo terminos:

c2 = µd − λµp

c1 = − (1 + σ) (µd − λµp) +(α2 + β2σ

)c0 = σ (α− β)2

con

σ =k2

k1

= 1

µd =Idml2

=8,04 · 10−4

1,22 · ,42

= 0,0041

µp =Ipml2

=0,0015

1,22 · ,42

= 0,0077

α =a

l= ,25

β =b

l= −,75


c2 = 0,0041− 0,0077λ

c1 = −2 (0,0041− 0,0077λ) + ,252 + (−,75)2

= 0,62 + 0,0154λ

c0 = [,25− (−,75)]2

= 1

El grafico (8.23) muestra el diagrama de Campbell obtenido. El modo propio r esta definido por:

ν1r =αΛr − (α− β)

(α+ β)σ(8.21)

ν2r =βΛr + (α− β)

(α+ β)σ

Para el modo propio 1 evaluado en λ = 1 (desbalance):

ν1,1 =αΛ1 − (α− β)

(α+ β)σc1

=,25 (1,604)− (,25 + ,75)

(,25− ,75)= 1,20

ν2,1 ==βΛr + (α− β)

(α+ β)σ

=−,75 (1,604) + (,25 + ,75)

(,25− ,75)= 0,41

lo que corresponde a un modo de giro conico. Para la segunda frecuencia natural (evaluado en λ = 1/√

10):

ν1,2 =αΛ2 − (α− β)

(α+ β)σc2

=,25 (380,6)− (,25 + ,75)

(,25− ,75)1

568,6

= −188,3568,3

= 0,33

ν2,2 =βΛ2 + (α− β)

(α+ β)σ−,75 (380,6) + (,25 + ,75)

(,25− ,75)1

568,6= 1

que corresponde a un modo de giro conico. El descanso del lado libre gira un tercio de lo gira el descansodel lado del acoplamiento, pero en contrafase.

Ejemplo 43 7Exprese las matrices de elementos finitos para el sistema anterior. Considere la flexion yla torsion. Si consideramos que el acoplamiento no tiene rigidez a la flexion y que el sistema motriz secomporta como un rıgido, tenemos la situacion descrita en §??. Basta con reconocer terminos y usar las

7examen 2003


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Ω (rpm)

ω (r

ad/s

)

1º giro adelante2º giro adelante1º giro atrás2º giro atrástorsión 2

Figura 8.23: Diagrama de Campbell


matrices de sistema definidas en las ecuaciones (??, ??, ??):

Idy = Ip

Md = m

Idx = Id

con la condicion simplificatoria:a1 = a2 ≈ 0

Ejercicio 35 8La figura representa un arbol de torsion. La razon de engrane es

θ2θ3

= −2

Determine los modos propios y las frecuencias naturales del sistema.

Primero referimos las inercias del lado conducido, asi como la rigidez del eje conducido con

α =12

I3r = α2I3 =I

4

I4r = α2I4 =I

4

la rigidez referida es

k2r = α2k2

= α2k

Tenemos entonces el sistema equivalente:

M =

I1I2 + I4r

I3r

= I

154

14

y

K = k

2 −1−1 5

4 − 14

− 14

14

lo que define el problema standard

Kq = ω2Mq (8.22)

por conveniencia definimos

Kn =1kK

Mn =1IM

sustituyendo, (8.22) queda

Knq =(ω

ωn

)2

Mnq

8examen 2004


I 1I 2

I 3k k

k

Figura 8.24: Arbol en torsion

con

ωn =

√I

m

Ω =

0,51581,08391,5997

ωn rad/s

Φ =

0,4031 −0,3670 −0,83830,6990 −0,3029 0,46870,9524 1,7328 −0,3006

Ejercicio 36


Hemos visto varios ejemplos donde el problema de las vibraciones torsionales esta presente. El analisismodal numerico, el analisis de respuesta estacionaria y la simulacion de transientes nos han permitidoestudiar diferentes situaciones a tomar en cuenta desde la etapa de diseno.

Bibliografıa

[1] L. Galloway. Transient torsional vibrations in multiple-inertia systems. IEEE Transactions on Indus-try Applications, (6):690–696, November/December 1972.

[2] J.M. Vance. Rotordynamics of Turbomachinery, John Wiley & Sons, Cap.3, 1988.

[3] A. Laschet, C. Troeder, Torsional and flexural vibrations in drive systems: a computer simulation,Computers in Mechanical Engineering, Sept 1984, 32-43.

[4] Hoffman, O., Sachs,G., Introduction to the theory of Elasticity for Engineers, Ch. 18, McGraw-Hill,1953.

[5] Thompsen,E.G., Yang, C.T., Kobayashi, S., Mechanics of Plastic Deformation in Metal Processing,The Macmillan Company, New York.

219

220 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 9

Amortiguamiento

9.1. Introduccion

En el mundo real, todas las estructuras muestran siempre algun nivel de amortiguamiento; el cualpuede observarse en las funciones respuesta en frecuencia.

Existen una extensa variedad de mecanismos de discipacion de energıa. Por otro lado, la comprensionteorica sobre estos mecanismos es insuficiente. Ello conlleva a que el modelamiento del amortiguamientosea muy difıcil de lograr de manera precisa.

Aun ası, existen una gran cantidad de aplicaciones en donde las predicciones obtenidas con modelosconservativos (de elementos finitos) son lo suficientemente precisas. Si se requiere considerar el amor-tiguamiento, se pueden usar aproximaciones, las que veremos a continuacion.

Si las frecuencias de excitacion estan lejos de las frecuencias naturales, las fuerzas de amortiguamientoson pequenas en comparacion a las elasticas y de inercia, por lo que pueden ser despreciadas. Sin embargo,en situaciones de resonancia, las fuerzas de discipacion se hacen importantes y deben ser consideradaspara obtener buenas predicciones con el modelo numerico.

En general, los modelos de elementos finitos no incluyen el amortiguamiento de las misma maneraen que incluyen la masa o la rigidez. Para construir las matrices de masa y rigidez, la estructura essubdividida en elementos que permiten una descripcion razonablemente precisa de la distribucion de masay rigidez. Al ensamblar los elementos se obtienen las matrices globales M y K. Para el amortiguamiento,sin embargo, la descripcion a nivel de elemento es muy difıcil, principalmente por la gran variedad demedios de discipacion de energıa que existen y por la falta de informacion para la descripcion apropiadade estos medios. Si se dispone de informacion experimental, ella permite la estimacion de una matrizglobal de amortiguamiento C.

Tras un analisis modal experimental es posible obtener las razones de amortiguamiento ξi para unaserie de modos. Ellos pueden ser usados para anadir los efectos del amortiguamiento en un modelo deelementos finitos. Pasos necesarios son: identificar los modos propios experimentales asociados y formarlos pares de modos correspondientes en el modelo numerico (vease capitulo §14).

Existen 2 modelos para modelar el amortiguamiento en una matriz global C:

amortiguamiento proporcional (o viscoso);

amortiguamiento estructural (o de histeresis).

9.1.1. Amortiguamiento proporcional

El amortiguamiento proporcional modela las fuerzas de amortiguamiento como proporcionales a lavelocidad, tanto en amplitud como en fase. Escrito en el dominio frecuencia ello equivale a:

−ω2Mq + jωCq + Kq = f

con M, C, K constantes.

221

222 CAPITULO 9. AMORTIGUAMIENTO

Se dice que la matriz C es proporcional cuando al aplicar la transformacion modal:

Cm = ΦtCΦ (9.1)

se obtiene una matriz diagonal Cm. En este caso los modos son reales e iguales a los modos del sistemaconservativo asociado. Una condicion necesaria y suficiente para que C sea proporcional es:

CM−1K = KM−1C

conocida como la condicion de Caughey.

Amortiguamiento de Rayleigh

Un caso especifico de amortiguamiento proporcional es el amortiguamiento de Rayleigh:

C = αK + βM

Para determinar los coeficientes α y β bastan 2 valores de razones de amortiguamiento:

ξi =ωi

2α+

12ωi

β

Por supuesto, en caso de tener mas de dos valores de amortiguamiento modal, se pueden usar los mınimoscuadrados.

El amortiguamiento de Rayleigh es muy facil de aplicar. su desventaja principal es que solo es capazde modelar exactamente solo dos frecuencias naturales.

Rayleigh extendido

En este caso,

C = Mn−1∑i=0

αi

(M−1K

)iLos coeficientes αi son obtenidos a partir de

ξi =1

2ωi

∑j=0,2,..,n

αiω2ji

En teorıa, el modelo extendido de Rayleigh estima valores exactos para todos los modos usados. Sinembargo, en la practica los modos a alta frecuencia generan inestabilidad numerica lo que hace inutil elmetodo cuando se dispone de un gran numero de modos[1].

Amortiguamiento modal

Otra manera de estimar una matriz de amortiguamiento proporcional es explotar la condicion dediagonalizacion de C (9.1). Cada elemento de la diagonal de Cm es

cm,i = 2ωiξi (9.2)

luegoC = ΦT−1

CmΦ−1

esta ecuacion es poco practica en su uso pues requiere del calculo de todos los modos propios del modelode elementos finitos. Si los modos estan normalizados con respecto a la matriz de masa (masas modalesunitarias) se tiene que:

Φ−1 = ΦT M

lo que permite escribir:C =(MΦ)Cm (MΦ)T (9.3)

donde no es necesaria calcular toda la base modal numerica. Solo se usaran aquellos modos numericosque tengan un par experimental identificado.


9.1.2. Amortiguamiento estructural

Una matriz de amortiguamiento estructural D define las fuerzas de amortiguamiento como propor-cionales al desplazamiento pero en fase con la velocidad

−ω2Mq + jDq + Kq = f

En sistemas reales, D es dependiente de la frecuencia; en general se modela como una constante.Una manera posible de estimar D considera el uso de un promedio de las razones de amortiguamiento

obtenidas experimentalmente, con:D = αK

yα = 2ξi

oα = 2

1n

∑i

ξi


Consideremos el ejemplo propuesto en ref. [2] y ya visto en §8.7. Se tiene:

K = 1010

1,2300 −1,2300 0 0 0 0

1,4655 −0,2355 0 0 00,2745 −0,0390 0 0

0,0496 −0,0053 −0,00530,0053 0

sim 0,0053

in · lb/rad

M =

257500

262000115000

35602720

2720

lb · in · sec2

Asumamos que se han estimado experimentalmente las razones de amortiguamiento. ellas son

ξi = 0,02, i = 2, ..., 6

Usando amortiguamiento modal (ec. 9.2),

Cn =

0

4,725,59

6,3212,69

15,34

normalizando los modos de modo que

µi = φTi Mφi = 1

y aplicando (9.3),

C =106

1,6811 −1,4818 −0,1896 −0,0047 −0,0025 −0,0025−1,4818 1,8856 −0,3911 −0,0067 −0,0030 −0,0030−0,1896 −0,3911 0,6217 −0,0324 −0,0043 −0,0043−0,0047 −0,0067 −0,0324 0,0524 −0,0043 −0,0043−0,0025 −0,0030 −0,0043 −0,0043 0,0147 −0,0005−0,0025 −0,0030 −0,0043 −0,0043 −0,0005 0,0147


Notese que los grados de libertad 1,2 y 3 concentran la mayor parte del amortiguamiento (asociados almotor).

A fin de verificar la matriz C estimada, se calcularon las raıces del sistema no conservativo, obtenien-dose

λ =

0−0,0236± 1,1809i−0,0280± 1,3982i−0,0316± 1,5790i−0,0634± 3,1707i−0,0767± 3,8346i

rad/s

y recordando que

σi = ξiωi,0

donde ωi,0 es la frecuencia natural del sistema conservativo asociado (8.17). Al hacer la operacion severifica que todos las razones de amortiguamiento ξi son 0.02.

Retomando el tema del calculo de los factores de amplificacion de torque, se considerara el valoresperado del torque dinamico siendo que la respuesta transitoria a la salida del lingote se atenua en eltiempo por la existencia de amortiguamiento. En este caso las respuestas modales seran de la forma(segun ec. 1.9):

qi(t) = q0,ie−ξiωit cos(ωi,dt) (9.4)

donde ωi,d es la frecuencia natural amortiguada del modo i.Segun (9.4) se hace mas difıcil que esten todas en fase en algun instante (como se considero en

el caso conservativo). Los peores escenarios de torque dinamico se daran durante los primeros ciclos;luego consideraremos una simulacion sobre un intervalo segun el modo de menor frecuencia natural (elsegundo):

n2πω2

segundos, para algun valor apropiado de n. Para el calculo del torque dinamico modal en cada eje (ele-mento) usamos:

Tk(t) = kk (xi(t)− xj(t))

para quedarnos con el valor maximo:

Tmaxk (t) = max

t∈(0,n 2π

ω2

)Tk(t)

Para la simulacion se selecciono un paso temporal que asegurase al menos 50 muestras para el ciclo masrapido, que corresponde al del modos φ6, luego:

dt =150

2πω6

Los resultados para n = 20 se observan en figura (9.1). Los valores maximos de TAF observados son:

TAFmaxsl,d (t) =

3,74843,08141,16941,00001,0000

los que son muy similares obtenidos con el sistema conservativo asociado (ec. 8.20).


1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejetiempo (s)

TAF

Figura 9.1: Evolucion del factor de amplificacion en el tiempo


No existe una justificacion fısica para el amortiguamiento proporcional. Este modelo se revela util porconveniencias numericas (modos reales, matriz Cm. diagonal). En la practica, este tipo de modelo producebuenas predicciones cuando el amortiguamiento esta distribuido de manera homogenea en el sistema.

Para el caso del modelamiento estructural, tampoco existen justificaciones fısicas. su uso se revela utilpara modelar el amortiguamiento de los materiales.

Hemos presentado un estudio mostrando el efecto de la inclusion de amortiguamiento en el factor deamplificacon de torque, producto de condiciones transientes en un sistema laminador.

Bibliografıa

[1] Lammens, S., Frequency Response Based Validation of Dynamic Structural Finite Element Models,Ph.D. thesis, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium, 1995.

[2] Galloway, L., Transient Torsional Vibrations in Multiple-Inertia Systems, IEEE Transactions onIndustry Applications, 6, 690-696, 1972.

227

228 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 10

Sistemas continuos

El estudio de este tipo de sistemas con masa distribuida permite justificar el enfoque con masasconcentradas estudiado previamente.

10.1. Barras

Se desea estudiar las vibraciones axiales de una barra homogenea (figura 10.1)cuando es excitada porun desplazamiento inicial:

Sea u(x, t) el desplazamiento axial de la seccion ubicada a x distancia de un extremo. El equilibrio deuna seccion de largo infinitesimal dx (figura 10.2) es:∑

Fx = mu

N +∂N

∂xdx−N = ρAdx︸︷︷︸

dm

∂2u(x, t)∂t2

(10.1)

Pero

σ = EεN

A= E

∂u(x, t)∂x

Derivando y ordenando:∂N

∂x= EA

∂2u(x, t)∂x2

(10.2)

Sustituyendo (13.1) en (10.2) se obtiene la ecuacion de la onda en una direccion:

∂2u(x, t)∂x2

=1c2∂2u(x, t)∂t2

(10.3)

donde

c =

√E

ρ

es la velocidad del sonido en el material.

Figura 10.1: Barra empotrada

229

230 CAPITULO 10. SISTEMAS CONTINUOS

Figura 10.2: Elemento de barra

La solucion general de la ecuacion 10.3 toma la forma

u(x, t) = f1 (x− ct) + f2 (x+ ct) (10.4)

donde fi es una funcion arbitraria que satisface las condiciones inıciales y de borde. Fısicamente, ambasson funciones que viajan en el sentido y contra el sentido de x con una velocidad c. La solucion tal comose muestra en ecuacion 10.4 es util en el estudio de fenomenos transientes. Sin embargo, para analisisen condiciones estacionarias es practico utilizar la solucion de la forma:

u(x, t) = q(x)f(t) (10.5)

de acuerdo al metodo de separacion de variables. Reemplazando 10.5 en 10.3:

c2

U(x)∂2q(x)∂x2

=1f(t)

∂2f(t)∂t2

= cte = −ω2

∂2q(x)∂x2

+ω2

c2q(x) = 0

∂2f(t)∂t2

+ ω2f = 0

Entonces

Y (x) = c1 sinω

cx+ c2 cos

ω

cx (10.6)

f(t) = c3 sinωt+ c4 cosωt

Finalmente,

u(x, t) = q(x)f(t) =(c1 sin

ω

cx+ c2 cos

ω

cx)

(c3 sinωt+ c4 cosωt) (10.7)

c1,c2,y las frecuencias naturales ω se consiguen utilizando las condiciones de borde.Como y(0, t) = y(l, t) = 0 entonces

c1 sinω

cl = 0 −→ sin

ω

cl = 0 −→ ωi =

iπc

l, yi(t) = ci sin

ωi

cx

c2 = 0

Y la solucion general es la suma de todas las soluciones particulares:

y(x, t) =∑(

ci sinωi

cx)

(c3 sinωit+ c4 cosωit) (10.8)

Las constantes ci,c3,c4 son obtenidas de las condiciones iniciales.

Ejemplo 44 Para el caso de la barra empotrada-libre, exprese las frecuencias naturales y la serie querepresenta sus vibraciones libres. Inicialmente se ha estirado el extremo en q0 unidades.

10.1. BARRAS 231

Figura 10.3: Elemento de barra en torsion

La solucion general es de la forma dada por ecuaciones (10.5) y (10.6). En el extremo libre la condicionde borde es:

u(0, t) = 0 (10.9)du

dx(L, t) = 0 (10.10)

de (10.9) y (10.10),

c2 = 0

cosωc

L= 0

por lo que las frecuencias caracterısticas son de la forma:

ωi = (2i− 1)π

2c

L, i = 1, 2, ...

10.1.1. Barras en torsion

∑Mx = Ixθ

T +∂T

∂xdx− T = Ix

∂2θ(x, t)∂t2

(10.11)

para un eje circular:

Ix = Jρ

T = GJ∂θ

∂x

∂2θ

∂x2=

1c2∂2θ

∂t2

c =

√G

ρ


Figura 10.4: Condiciones iniciales de la cuerda

10.1.2. Cuerdas

Escribir la ecuacion del movimiento de la cuerda de figura. Si la deflexion de la cuerda es pequena,puede asumirse que la traccion T no variara con la vibracion.∑

Fy = my

T

(θ +

∂θ

∂xdx

)− Tθ = ρdx︸︷︷︸

dm

∂2y(x, t)∂t2

(10.12)

∂θ

∂x=

ρ

T

∂2y(x, t)∂t2

(10.13)

y como θ = ∂y∂x

∂2y(x, t)∂x2

=1c2∂2y(x, t)∂t2

con c =√

Tρ , la velocidad de propagacion de las ondas a lo largo de la cuerda.

Sea

y(x, 0) =

2hxl para 0 ≤ x ≤ l/2

2h l−xl para l

2 ≤ x ≤ l

y(x, 0) = 0 para 0 ≤ x ≤ l

Introduciendo las condiciones iniciales en (10.8)=⇒ c3 = 0seguir desarrollo

y(x, t) =∞∑

i=1

8hπ2i2

sin iπ

2︸︷︷︸participacion modal

siniπx

l︸︷︷︸qi

cosωit

con ωi = iπcl .

Observacion 69 Notese en figura 10.5 que los modos impares son preponderantes en la solucion.

10.1.3. Respuesta forzada

Ejemplo 45 Determine la respuesta estacionaria de una barra sometida a una fuerza f0 sinωt en suextremo libre.

La solucion general toma la forma

u(x, t) = q(x)f(t) =∑(

ci sinωi

cx+ di cos

ωi

cx)fi (t)

Las condiciones de borde son:u(0, t) = 0

10.1. BARRAS 233

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Índice del modo

Figura 10.5: Factores de participacion modal para el ejercicio dado

Figura 10.6: Primer modo de la cuerda o la barra

Figura 10.7: Segundo modo

F0 sin !t

Figura 10.8: Barra en traccion dinamica


p(x,t)

x dx

Figura 10.9: Equilibrio de fuerzas para Viga de Euler

por lo quedi = 0

y en el extremo libre se tiene que:∂u(l, t)∂x

= 0

entoncesciωi

ccos

ωi

cl = 0

dondeωi =

iπc

2li = 1, 3, 5, ...

y la respuesta forzada es de la forma:

u(x, t) = f0 sinωt︸︷︷︸f(t)

∞∑i=1,3,5,...

8l(−1)(i−1)/2

π2EAi21

1−(

ωωi

)2

︸︷︷︸participacion modal

sin iπx

2l

10.2. Vigas

10.2.1. Viga de Euler Bernoulli

Las hipotesis aplicadas son que las deformaciones causadas por esfuerzos de corte son despreciables,lo mismo que las inercias a la rotacion. ∑

Fy = my

p(x, t) + V −(V +

∂θ

∂xdx

)= ρAdx︸︷︷︸

dm

∂2y

∂t2(10.14)

∂V

∂x= p(x, t)− ρA

∂2y

∂t2(10.15)

∑MZ = 0

M + V dx−(M +

∂M

∂xdx

)= 0

entonces∂M

∂x= V (10.16)

Sustituyendo (10.16) en (10.15):∂2M

∂x2+ ρA

∂2y

∂t2= p(x, t)

10.2. VIGAS 235

pero

M = EI∂2y

∂x2

Sustituyendo

EI∂4y

∂x4+ ρA

∂2y

∂t2= p(x, t)

Ejemplo 46 La viga de Timoshenko considera la deformacion por corte como la inercia de rotacion.Suponiendo que la seccion transversal permanece plana se obtiene:

EI∂4y

∂x4+ ρA

∂2y

∂t2︸︷︷︸Euler

− J∂4y

∂x2∂t2︸︷︷︸Inercia rotacion

−

mEI

kAG

∂4y

∂x2∂t2+

EI

kAG

∂2p

∂x2︸︷︷︸Def. angular por corte

− J

kAG

∂4p

∂t2+

Jm

kAG

∂4y

∂t4︸︷︷︸Efecto acoplado corte e inercia rot.

= p(x, t)

La solucion (usando separacion de variables) es:

y(x, t) = q(x)f(t)

entonces:EI

ρA

1q(x)

∂4q

∂x4= − 1

f(t)∂2f(t)∂t2

= ω2

∂2f(t)∂t2

+ ω2f(t) = 0

∂4q

∂x4− ρA

EIω2q(x) = 0

Por lo quef(t) = A sinωt+B cosωt

Definiendo convenientemente:

β4 =ρA

EIω2 (10.17)

Aparece la ecuacion auxiliar

r4 − β4 = 0 =⇒r1,2 = ±βr3,4 = ±jβ

q(x) = c1 sinβx+ c2 cosβx+ c3 sinhβx+ c4 coshβx

Finalmente,

y(x, t) = (c1 sinβx+ c2 cosβx+ c3 sinhβx+ c4 coshβx) (A sinωt+B cosωt)

Las constantes ci y las frecuencias naturales ωi se consiguen a partir de las condiciones de borde.


Condicion Fuerzas y momentos Desplazamientos

Libre M = 0, V = 0 ∂2y(,t)∂x2 = 0, ∂3y

∂x3 = 0Apoyo simple M = 0 ∂2y(,t)

∂x2 = 0, y = 0Empotramiento y = 0,∂y(,t)

∂x = 0

Cuadro 10.1: Condiciones para una viga

Ejemplo 47 Frecuencias naturales y modos propios de una viga simplemente apoyada. Dado que:

y(0, t) = 0

entoncesc1 sin 0 + c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0 = 0 (10.18)

ademas∂2y(0, t)∂x2

= 0

entoncesβ2 (−c1 sin 0− c2 cos 0 + c3 sinh 0 + c4 cosh 0) = 0 (10.19)

de (10.18) y (10.19):c2 = c4 = 0

Identicamente aplicando las condiciones de borde en x = l:

y(l, t) = 0∂2y(l, t)∂x2

= 0

c3 = 0 y:c1 sinβl = 0

lo que tiene infinitas soluciones para β:βil = iπ

y usando (10.17)

ωi =(iπ

l

)2√EI

ρA

y los modos propios estan dados porqi(x) = sin

(iπx

l

)(10.20)

Observacion 70 La relacion entre la n-esima frecuencia y la siguiente es:(

i+1i

)2Ejercicio 37 Grafique los primeros 4 primeros modos.

Ejercicio 38 Grafique las 10 primeras frecuencias naturales en escala semilogaritmica.

10.2.2. Vibraciones forzadas

Ejemplo 48 Determinar las vibraciones estacionarias de una viga simplemente apoyada excitada por una fuerza armonica puntual de amplitud F0 y frecuencia ω rad/s, aplicada a una distancia a de uno de susextremos.Usando la base modal (10.20) los desplazamientos pueden ser descritos como:

y(x, t) =∞∑

i=1

αi(t)qi(x).

10.2. VIGAS 237

donde los modos propios qi(x) son de la forma 10.20.Usando el metodo de Lagrange:

V =12

∫EI

(∂2y

∂x2

)2

dx =EIπ4

4l3

∞∑i=1

α2i (t)

T =12

∫ρA

(∂y

∂t

)2

dx =ρlA

4

∞∑i=1

α2i (t)

Qi = siniπa

lf(t)

donde Qi es la carga generalizada.Reemplazando:

αi +iπ4η2

l4αi =

2ρlA

siniπa

lcon i = 1, 2, 3, ..

y n = EIρA .

Si f(t) = f0 sinωt la respuesta estacionaria esta expresada por:

y(x, t) = f0 sinωt︸︷︷︸f(t)

∞∑i=1

2ρAl

1ω2

i

1

1−(

ωωi

)2 sin(iπa

l

)︸︷︷︸

sin(iπx

l

)︸︷︷︸

qi(x)

participacion modal

Observacion 71 Notese el factor de ”premio” para los modos cuyas frecuencias naturales estan cercanasa las frecuencias naturales. Eso los hace dominar la combinacion. Tambien hay un factor de castigo paralos modos a altas frecuencias.

Observacion 72 La posicion espacial es tambien relevante para participacion de cada modo en la re-spuesta. Por ejemplo si a = l/2, sin

(iπ a

l

)= sin

(iπ 1

2

)= 0 para todos los modos pares (i = 2, 4, ...). Se

habla en este caso de que la fuerza es aplicada en un nodo de los modos afectados.(la carga solo excitalos modos simetricos:1,3,5,..).

Capıtulo 11

Metodos directos de integraciontemporal

11.1. Introduccion

Para resolver las ecuaciones del movimiento bajo condiciones arbitrarias de excitacion, se puedentomar dos enfoques:

1. metodos de superposicion modal

2. metodos directos de integracion temporal

Los metodos de superposicion modal se basan en resultados del analisis modal lineal, y consisten enexpresar la respuesta dinamica como una serie de modos propios. La efectividad de la superposicionmodal es notable mientras los modos fundamentales predominen en la respuesta. En casos en que estaeste dominada por un alto numero de modos, es necesario utilizar metodos de integracion directos.

Contrariamente a los metodos de superposicion, las tecnicas directas de integracion temporal no estanlimitadas a casos lineales pues pueden ser facilmente extendidas a sistemas no lineales. Sin embargo,este tipo de metodos no deben ser usados como cajas negras pues es necesario un ajuste correcto de losparametros de cada metodo para obtener la exactitud y estabilidad requeridas y para controlar el llamadoamortiguamiento numerico.

De una manera general, los metodos multipaso de integracion directa pueden ser expresados en laforma

un+1 =m∑

j=1

αjun+1−j − hm∑

j=1

βjun+1−j (11.1)

dondeh = tn+1 − tn

es el paso temporal, y

un+1 =

qn+1

qn+1

(11.2)

es el vector de estado en el instante tn+1 calculado con los m vectores de estado anteriores y sus derivadas.Para β0 6= 0, el esquema de integracion 11.2 es llamado implıcito, dado que el vector de estado en

tn+1 es una funcion de su propia derivada. Luego, las relaciones de integracion deben ser modificadasantes de ser resueltas. El metodo de solucion se torna iterativo para el caso no lineal.

Para β0 = 0, un+1 puede ser deducido directamente de los resultados de instantes anteriores: se diceque el metodo es explıcito.

Cuando αj y βj son nulos para j > 1, la relacion 11.2 corresponde a un metodo de un solo paso, y elestado del sistema en el instante tn+1 es funcion exclusiva del estado en tn.

239

240 CAPITULO 11. METODOS DIRECTOS DE INTEGRACION TEMPORAL

11.2. Estabilidad y exactitud de los operadores de integracion


Para un buen entendimiento de los conceptos de exactitud y estabilidad, considerese el sistema noamortiguado de un grado de libertad, sometido a un desplazamiento inicial:

q + ω20q = 0

q(0) = 1q(0) = 0

conω0 = π

cuya solucion exacta esq(t) = cosω0t

Usando la identidadu = u

y reescribiendo () en la forma de estado,u = Au (11.3)

con

u(0) =

01

y

A =[

0 −ω20

1 0

]Consideremos las 3 formulas de integracion siguientes:

1. Regla trapezoidal (implıcita)

un+1 = un +h

2(un − un+1)

2. Formula de Euler inversa (implıcita)

un+1 = un + hun+1

3. Formula de Euler directa (explıcita)

un+1 = un + hun

Substituyendo estas formulas en la ecuacion de estado, se despeja un+1.El metodo trapezoidal ponderala derivada en dos puntos para aproximar el proximo valor, el Euler inverso usa la derivada en el puntoactual y el metodo directo de Euler, solo usa la derivada en el punto anterior.

Para el metodo trapezoidal,

un+1 =(I− h

2A)−1(

I +h

2A)

un

Para el metodo inverso de Euler,

un+1 = (I− hA)−1 un

Para el metodo directo de Euler,un+1 = (I + hA)un

El resultado por los 3 metodos es comparado en figura 11.1. Se a utilizado un intervalo de T = 3 s, yun paso de h = T/32 (aprox. 21 puntos por periodo).

Las curvas ilustran lo siguiente:

11.3. METODO DE NEWMARK 241

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

De

spla

zam

ient

o

Euler directo

Euler inverso

Trapezoidal

Figura 11.1: Evaluacion de metodos

1. El metodo trapezoidal es el mas exacto en terminos de amplitud, sin embargo el periodo ha sidoligeramente sobre estimado

2. El metodo directo de Euler induce un error no despreciable en el periodo y presenta un importantenivel de amortiguamiento numerico. El metodo es numericamente estable pero caracterizado por lopoco exacto.

3. El metodo inverso de Euler lleva al mismo error en la estimacion del periodo. Sin embargo, laamplitud es sobrestimada por la presencia de amortiguamiento numerico negativo. Ello induce pocaexactitud y poca estabilidad.

11.3. Metodo de Newmark

El metodo de Newmark es una tecnica de integracion de un solo paso. El vector de estado un+1 esobtenido a partir de una expansion de Taylor de los desplazamientos y velocidades:

f(tn + h) = f(tn) + hf ′(tn) +h2

2f ′′(tn) + ...+

hs

s!f (s)(tn) +Rs

donde Rs incluye al resto del desarrollo. En terminos de desplazamiento y velocidad,

qn+1 = qn +∫ tn+1

tn

q(τ)dτ (11.4)

qn+1 = qn + hqn +∫ tn+1

tn

(tn+1 − τ) q(τ)dτ

Para calcular el valor de la integral se aproxima

qn = q (τ) + q(3)(τ) (tn − τ) + q(4)(τ)(tn − τ)2

2+ ... (11.5)

qn+1 = q (τ) + q(3)(τ) (tn+1 − τ) + q(4)(τ)(tn+1 − τ)2

2+ ...

multiplicando las ecuaciones (11.5) por el parametro de integracion (1− γ) y γ, se obtiene

q (τ) = (1− γ)qn + γqn+1 + q(3)(τ) (τ − hγ − tn) +O(h2q(4)

)Similarmente, multiplicando las ecuaciones (11.5) por (1− 2β) y β,

q (τ) = (1− 2β)qn + 2βqn+1 + q(3)(τ) (τ − 2hβ − tn) +O(h2q(4)

)


y obtenemos las formulas ∫ tn+1

tn

q(τ)dτ = (1− γ)hqn + γhqn+1 + rn (11.6)∫ tn+1

tn

(tn+1 − τ) q(τ)dτ =(

12− β

)h2qn + βh2qn+1 + r′n

donde los errores

rn =(γ − 1

2

)h2q(3)(τ) +O

(h3q(4)

)r′n =

(β − 1

6

)h3q(3)(τ) +O

(h4q(4)

)Para el caso

γ =12

β =16

la interpolacion de las aceleraciones es lineal:

q(τ) = qn +(τ − tn)

h(qn+1 − qn)

Si se seleccionan

γ =12

β =14

la interpolacion corresponde al promedio

q(τ) =12

(qn+1 + qn)

Sustituyendo (11.6) en (11.5) obtenemos las formulas de Newmark:

qn+1 = qn + (1− γ)hqn + γhqn+1 (11.7)

qn+1 = qn + hqn + h2

(12− β

)qn + h2βqn+1

Consideremos la ecuacion de equilibrio,

Mq + Cq + Kq = f(t)

donde M,C y K son independientes de q. Si introducimos el esquema de integracion (11.7)

[M + γhC + βh2K

]qn+1= fn+1 −C [qn + (1− γ)hqn]−K

[qn + hqn +

(12− β

)h2qn

]cuya solucion implica la inversion de la matriz de iteracion[

M + γhC + βh2K]

Si el paso de tiempo h es constante, tal inversion se realiza una sola vez. La velocidad y el desplazamientose calculan a partir de (11.7). La exactitud de la solucion puede ser estimada por la variacion de lasenergıas como es descrito en §xx.

11.4. METODO HHT 243

Observacion 73 Se dice que un esquema de integracion es consistente si

lımh→0

un+1 − un

h= un

Esta condicion es satisfecha por Newmark. La consistencia es una condicion necesaria para la con-vergencia de la solucion numerica hacia la solucion exacta cuando h tiende a cero.

Observacion 74 Se dice que un esquema de integracion es estable si existe algun paso de integracionh0 > 0 de modo que para cualquier h ∈ [0, h0], y una variacion finita del vector de estado en el instantetn induce una variacion no creciente en el vector de estado un+j calculado en un instante subsecuentetn+j.

Observacion 75 Se puede probar que el metodo de Newmark es incondicionalmente estable para sistemaslineales conservativos bajo la condicion

γ =12

+ α

β =14

(α+ 1)2

para algun valor dado α > 0[?]. Si α = 0 se obtiene la variante de aceleracion promedio constante que seconsidera el esquema de mejor estabilidad. Si α > 0 se introduce amortiguamiento numerico que puedeincrementarse excesivamente con frecuencia.

Observacion 76 El paso temporal h es seleccionado de modo que

h <T

π

donde T es el periodo de la mayor frecuencia del sistema. en la practica se utiliza

h <T

4

11.4. Metodo HHT

Hilbert, Hughes y Taylor proponen una forma para introducir amortiguamiento en el metodo de New-mark sin degradar la exactitud. Consiste en mantener las formulas (11.7), mientras que la ecuacion delmovimiento es modificada para promediar las fuerzas elasticas, de inercia y externas entre ambos instantesde tiempo. Sea

g (q, q) = Kq + Cq

la suma de fuerzas internas. El equilibrio puede ser escrito en la forma mas general

Mqn+1 + (1− α)g (qn+1, qn+1) + αg (qn, qn)= (1− α) f (qn+1, t) + αf (qn, t)

aplicable a sistemas no lineales. Claramente, para α = 0, el metodo HHT se reduce al metodo de Newmark.Si α ∈ [0, 1/3] el metodo HHT es incondicionalmente estable y es un reemplazo logico para el metodo deNewmark para sistemas no lineales.


Considerese el caso de la barra empotrada-libre sujeta una carga tipo escalon en su extremo libre, cuyasolucion exacta es:

u(x, t) =8f0lπ2EA

∞∑s=0

−1s−1

(2s− 1)2sin((2s− 1)

πx

2l

) [1− cos

((2s− 1)

πc

2lt)]


con

c =

√EA

m

dondem es la masa por unidad de longitud,l es la longitud,f0 es el valor de la carga,

f(t) =

0 para t ≤ 0f0 para t > 0

Para resolverlo, utilizaremos N = 20 elementos finitos. Se tiene:

EA

ml2= 1

f0EA

= 1

11.5. Metodo de la diferencia central

Sea hn+1 el paso temporal entre tn y tn+1:

hn+1 = tn+1 − tn

El algoritmo de la diferencia central propone

qn+1 = qn +hn+1

2(qn − qn+1)

qn+1 = qn + hn+1qn +h2

n+1

2qn

lo que es equivalente al esquema de Newmark con γ = 12 y β = 0. Las ecuaciones anteriores tambien

pueden expresarse en una forma con 3 pasos. Primero consideramos:

qn = qn−1 + hnqn−1 +h2

n

2qn−1

qn = qn−1 +hn

2(qn + qn−1)

Para obtener:

qn =hn (qn+1 − qn)− hn+1 (qn − qn−1)

hn+hn+12 hnhn+1

(11.8)

Si el paso es constante, la formula anterior se reduce a la forma standard

qn =qn+1 − 2qn + qn−1

h2

sin embargo, se obtiene mayor eficiencia numerica al tomar la velocidad entre dos intervalos:

qn+ 12

=1

hn+1(qn+1 − qn)

con lo cual (11.8) toma la forma

qn =qn+ 1

2− qn− 1

2

hn+ 12

11.6. SISTEMAS NO LINEALES 245

11.5.1. Procedimiento

1. Datos inicialesM,C,K,q0, q0

2. Aceleracion inicial

q0 = M−1 (f0 −Kq0)

q1/2 = q0 +h1

2q0

t1/2 =h1

2

3. Incrementar el tiempo

tn = tn−1/2 +hn

2

4. Incremento del desplazamientoqn = qn−1 + hnqn−1/2

5. Incrementar el tiempo

tn+1/2 = tn +hn+1

2

6. Calculo de la aceleracionqn = M−1 (fn −Kqn)

7. Incremento de la velocidadqn+1/2 = qn−1/2 + hn+1/2qn

Observacion 77 La extension del metodo para tratar casos no lineales es directa dado que las fuerzasno lineales se calculan explıcitamente.

Observacion 78 El metodo es estable si se cumple la condicion de Courant,

ωcrh ≤ 2

donde ωcr es la maxima frecuencia contenida en el modelo. Usualmente se toma ωcr como la frecuen-cia natural maxima de los elementos por separado (se puede probar que son un borne superior para lafrecuencia del modelo completo).

Ejercicio 39 Para el caso de la barra estudiado en ejemplo xx, construya un modelo con 20 elementosfinitos, con masas concentradas. Grafique el desplazamiento y la velocidad en los nodos 1 y 10 en elintervalo [0, 150]. Grafique los esfuerzos axiales en los elementos 1 y 20 para el mismo intervalo. Utiliceh = 0,707, 1, 1,0012. Emita conclusiones.

11.6. Sistemas no lineales

Aquı trataremos nociones basicas para resolver ecuaciones no lineales. Consideremos el caso general

Mq + f(q, q) = g(q, t)

con condiciones iniciales q0, q0 dadas. f(q, q) representa fuerzas internas de la estructura.Asumamos que M no depende del estado del sistema. Ello equivale a que el estado de referencia es

fijo y que el movimiento esta descrito en coordenadas cartesianas.Segun sea el tipo de problema, podemos usar dos enfoques: explıcito e implıcito.


11.6.1. Caso explıcito

Al usar un metodo explıcito, las no linealidades del sistema no incrementan la dificultad de integrarrespecto del caso lineal. La ecuacion de equilibro puede expresada como

q = M−1 (g(q, t)− f(q, q))

lo que muestra que al calcular los desplazamientos y velocidades de forma explıcita, es posible usar laecuacion de equilibrio para calcular las aceleraciones son iterar sobre la no linealidad.

11.6.2. Caso implıcito

Cuando se aplica un esquema de integracion implıcito, los desplazamientos, las velocidades y lasaceleraciones envueltos en la ecuacion de equilibrio, no pueden ser considerados independientes, dado queestan relacionados por el operador de integracion. Si expresamos la ecuacion de equilibrio en terminos delos desplazamientos q(t):

r(q) = Mq + f(q, q)− g(q, t) = 0 (11.9)

donde r es el vector residuo. Las relaciones de Newmark pueden ser invertidas en la siguiente forma

qn+1 =1βh2

(qn+1 − q∗n+1

)qn+1 = q∗n+1 +

γ

βh

(qn+1 − q∗n+1

)Los predictores q∗n+1, q∗n+1 se obtiene a partir de (11.7), sustiyuyendo con qn+1 = 0.

Sustituyendo en (11.9), queda el residuo como funcion exclusiva de qn+1:

r(qn+1) = 0 (11.10)

que es resuelto con tecnicas iterativas.Sea qk

n+1 un valor aproximado para qn+1 tras k iteraciones. En las cercanıas de este valor, el residuopuede ser expresado con suficiente exactitud con la expresion lineal

rL(qk+1

n+1

)= r

(qk

n+1

)+ S

(qk

n+1

) (qk+1

n+1 − qkn+1

)donde

S es la matriz Jacobiana

S(qk

n+1

)=[∂r∂q

]qk

n+1

cuya expresion es

S (q) =∂f∂q

+∂f∂q

∂q∂q

+ M∂q∂q

− ∂g∂q

El sistema no lineal (11.10) se resuelve iterativamente por el metodo de Newton-Raphson. Los incre-mentos en los desplazamientos son calculados a partir de la ecuacion linealizada

S∆qk = −r(qk

n+1

)11.6.3. Procedimiento

1. Datos inicialesM, f ,p,q0, q0

2. Aceleracion inicialq0 = M−1 (g0 − f0)

3. Incrementar el tiempotn+1 = tn + h

11.7. EJEMPLO 247

x

y

Figura 11.2: Pendulo elastico

4. Prediccion

q∗n+1 = qn + (1− γ)hqn

q∗n+1 = qn + hqn + (0,5− β)h2qn

q∗n+1 = 0

5. Evaluacion del vector residuorn+1 = Mqn+1 + fn+1 − gn+1

6. En caso de convergencia, a 3:‖rn+1‖ ≤ ε ‖fn+1‖

7. Calculo de la correccionS (qn+1)∆q = −rn+1

8. Correccion

qn+1 = qn+1 + ∆q

qn+1 = qn+1 +γ

βh∆q

qn+1 = qn+1 +1βh2

∆q

9. Regreso a 5.

Observacion 79 Siendo que la convergencia de Newton Raphson es afectada por la cercanıa a la solu-cion, la seleccion del paso temporal es muy importante. Se han desarrollado tecnicas para determinar elpaso automaticamente.

11.7. Ejemplo

Considerese el pendulo elastico de figura 11.2. La constante del resorte k es 30 N/m. La masa m es 1Kg. La longitud del resorte sin carga es l0 = 1 m. Inicialmente esta en (1,5, 0). Exprese un modelo parael movimiento del pendulo. Integre numericamente a traves de Simulink y Newmark. Grafique la posiciondel pendulo en funcion del tiempo. Compare resultados.


-0.50

0.51

1.52

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5

y

x

Figura 11.3: Posicion del pendulo elastico


La energıa cinetica del sistema es

T =12m (x+ y)2

y

V =12k (l − l0)

2

dondel =

√x2 + y2

Utilizando las ecuaciones de Lagrange, llegamos a

mx+ k

(l − l0l

)x = 0

my + k

(l − l0l

)y −mg = 0

o en forma matricial,Mx + Kx = f

con

M = mI

K = k

(l − l0l

)I

x =xy

f =

0

−mg

Notemos como la rigidez es positiva o negativa segun la longitud instantanea l sea mayor o menor que l0.


Hemos visto como los metodos de integracion temporal son muy utiles cuando el sistema de ecuacionesse presenta como uno no lineal. El uso de herramientas como Simulink facilita enormemente la tarea desimular.

Bibliografıa

[1] Geradin, M., Rixen, D., Mechanical Vibrations, Cap. 7.,John Wyley & Sons, 1997.

251

252 BIBLIOGRAFIA

Parte II

Estimacion de parametrosexperimentales

253

Capıtulo 12

Estimacion de Funciones Respuestaen Frecuencia

12.1. Introduccion

El analisis de vibraciones puede ser realizado a traves de varias funciones. Aquı discutimos:

autopotencia

potencia cruzada

coherencia

funcion respuesta en frecuencia

autocorrelacion

correlacion cruzada

respuesta impulsional

12.2. Autopotencia

La autocorrelacion de un senal temporal y(t) se define:

GY Y (ω) = Y (ω)Y ∗(ω)

dondeY (ω) es la transformada de Fourier de y(t) y∗ indica el conjugado complejo.La autopotencia muestra como la potencia media de una senal se distribuye para un rango de frecuen-

cias ω. Es usada para calcular las FRF promedios y en el diagnostico de maquinas rotatorias.

12.3. Autocorrelacion

La autocorrelacion de una senal temporal transiente y(t) se define:

Ryy(τ) =∫ ∞

−∞y(t)y(t+ τ)dt

En caso de que la senal sea estacionaria se puede definir tambien

Ryy(τ) = lımT→∞

∫ T/2

−T/2

y(t)y(t+ τ)dt

255

256 CAPITULO 12. ESTIMACION DE FUNCIONES RESPUESTA EN FRECUENCIA

La autocorrelacion es usada para detectar ecos en senales. Aplicaciones tıpicas son:

deteccion de impactos dobles con martillos para analisis modal,

sonidos reflejados capturados por un microfono

12.4. Potencia cruzada

La potencia cruzada entre dos senales temporales x(t) y y(t) es

GXY (ω) = X(ω)Y ∗(ω)

donde X e Y son las transformadas de Fourier de x(t) e y(t) respectivamente.La magnitud de la potencia cruzada cuantifica la potencia combinada de ambas senales para cada

frecuencia. El uso mas comun para la potencia cruzada es la estimacion de funciones respuesta en fre-cuencia.

12.5. Correlacion cruzada

La funcion correlacion cruzada de dos senales transientes x(t) e y(t) es,

Rxy(τ) =∫ ∞

−∞x(t)y(t+ τ)dt

si las senales son estacionarias,

Rxy(τ) = lımT→∞

∫ T/2

−T/2

x(t)y(t+ τ)dt

La diferencia fundamental entre las autofunciones y las funciones cruzadas es que estas ultimas con-tienen informacion de causalidad. Son utiles para detectar delays entre 2 senales. Tambien son usadaspara estimar la intensidad del sonido.

12.6. Funcion respuesta en frecuencia

12.6.1. Una entrada, una salida

Sean F (ω) y X(ω) las transformadas de Fourier de dos senales f(t) y x(t) respectivamente. Se definela funcion respuesta en frecuencia (FRF), H(t), como

X(ω) = H(ω)F (ω)

Por lo tanto, el calculo directo de la FRF es

H(ω) =X(ω)F (ω)

y si consideramos promedios,

H(ω) =1na

na∑i=1

(X(ω)F (ω)

)i

Las expresiones anteriores contienen el riesgo de que el denominador sea 0. En la practica, se encuentranventajas en usar formas alternativas para calcular H(ω) usando autopotencias y potencias cruzadas:

H1(ω) =X(ω)F (ω)

F ∗(ω)F ∗(ω)

=GXF

GFF

12.6. FUNCION RESPUESTA EN FRECUENCIA 257

o

H2(ω) =X(ω)F (ω)

X∗(ω)X∗(ω)

=GXX

GFX

La razon mas importante para calcular la FRF a partir de alguna de estas expresiones es la reduccion delruido sin correlacion en la senal de entrada o en la de salida, al promediar.

H1 asume que no hay ruido en la entrada y que puede existir ruido no correlacionado ηo en la salida.H2 asume que no hay ruido en la salida y que puede existir ruido no correlacionado ηi en la entrada.

En la practica, la FRF es estimada a traves de valores promediados, luego:

GFF (ω) =1na

na∑i=1

[GFF (ω)]i

GXX(ω) =1na

na∑i=1

[GXX(ω)]i

GFX(ω) =1na

na∑i=1

[GFX(ω)]i

GXF (ω) =1na

na∑i=1

[GXF (ω)]i

lo que entrega una aproximacion por mınimos cuadrados para H(ω). Ello permite definir un coeficientede correlacion denominado funcion coherencia:

γ2 =

∣∣∣GFX

∣∣∣2GFF GXX

el cual esta en el rango [0, 1]. Un valor unitario indica una relacion perfectamente lineal entre las dossenales comparadas para todos los promedios. Un valor inferior puede ser debido a:

presencia de ruido no correlacionado en las medidas de f(t) y/o x(t),

no linealidad del sistema,

efecto de fugas,

delays no compensados en el analisis.

El error estadıstico para H depende del numero de promedios utilizados na segun el error normalizado,

ε(H) =σH

H

=

√1− γ2

2naγ2

La coherencia es usada principalmente para verificar la linealidad en la relacion entre las 2 senales.Por tanto, entrega una indicacion de la calidad de las medidas (ruido, fugas,...) o la validez del modelopropuesto ( o sea, la dependencia lineal entre las senales). La coherencia tambien define la razon ruido asenal (Signal to Noise Ratio):

SNR =γ2

1− γ2


12.6.2. Multiples entradas, multiples salidas

En caso de existir ni entradas y no salidas, debemos escribir la relacion matricial:

x = Hf

Si asumimos que existe ruido ηo en la respuesta,

x + ηo = Hf

Post-multiplicando esta expresion por f∗ se obtiene

xf∗ + ηof∗ = Hff∗

Si se promedian suficientes medidas y dado que el ruido no esta correlacionado con la fuerza, el segundotermino del lado izquierdo evoluciona a cero y podemos estimar H como

H = GXF G−1FF

la cual puede ser calculada si la matriz GFF es no singular, lo que significa que las fuerzas no debenestar correlacionadas.

Si asumimos que solo existe ruido ηi en las entradas (fuerzas),

x = H (f + ηi)

Posdt-multiplicando esta expresion por x∗ se obtiene

xx∗ = H (f + ηi)x∗

Si se promedian suficientes medias y el ruido no esta correlacionado con la salidas, el segundo terminodel lado derecho evoluciona a cero y podemos estimar H a partir de

H2GFX= GXX

Esta ecuacion entrega un valor unico si ni = no, en otro caso se debe aplicar la pseudoinversa deGFX . Esto limita el uso de H2 al caso de una entrada y una salida, donde cada respuesta es consideradaindependientemente.

Si se asume que existe ruido tanto en las entradas como en las salidas, se utiliza la tecnica Hv lacual intenta minimizar el efecto de ambos errores. Para ello se utlizan los minimos cuadrados totales.Consideremos el caso:

x+η0= H (f + ηi)

lo que puede ser reescrito para la o− esima respuesta como

xo+ηo = hTo (f + ηi)

o convenientemente, hT

o −1 f + ηi

xo+ηo

= 0

Premultiplicando por f + ηi

xo+ηo

∗

f + ηi

xo+ηo

∗ hT

o −1 f + ηi

xo+ηo

= 0

Reordenando y promediando para obtener estimaciones,

GFXFX

hT

o

−1

= 0 (12.1)


con

GFXFX =[

GFF GTXF

GFX GXX

](12.1) puede ser comparado con el problema de valores propios:

GFXFXv = εv

= ε

va

vb

si no existe ruido, el menor valor propio ε1 es cero. Por tanto, el vector propio asociado v1 corresponde,con algun factor de escala a

hTo

−1

y

ho = − 1vb1

va1 (12.2)

estimacion que puede ser calculada solo si vb1 6= 0. Ello se cumple si GFF es no singular, lo que implicaque las fuerzas no deben estar correlacionadas.

De ecuacion (12.2) obtenemos la estimacion por minimos cuadrados totales, Hv.Si el ruido presente no esta correlacionado y se consideran suficientes promedios ε1 sera pequeno y se

dispondra de la mejor aproximacion en el sentido de los minimos cuadrados totales para la FRF.Una forma eficiente de verificar que GFF no sea singular, consiste en estudiar sus valores propios.

Ninguno debe ser cero o significativamente mas pequenos que el resto para cualquier frecuencia.La coherencia tambien puede indicar la no singularidad de GFF ; si tomamos dos senales ella esta defini-

da por:

γ2 =

∣∣∣GFX

∣∣∣2GFF GXX

en el caso de tener multiples entradas la coherencia entre una salida especifica y una entrada especificatiene poco significado, dado que la salida contiene contribuciones de todas la entradas y la coherenciasera pequena. La coherencia entre las fuerzas de entrada, sin embargo, entrega informacion acerca de lano singularidad de GFF pues una coherencia alta la hace singular.


Resumiendo, algunas observaciones sobre los estimadores para las FRF:

Si Hv esta disponible, ella es superior a H1 y H2.

Si Hv no esta disponible,

• H1 entrega la mejor estimacion cuando hay ruido extrano en las salidas,

• H2 entrega la mejor estimacion cuando hay ruido extrano en las entradas,

• H2 entrega una mejor estimacion que H1, si hay problemas de fugas en los peaks de resonancia.

Capıtulo 13

Analisis Modal Experimental

13.1. Introduccion

El analisis modal es, en pocas palabras, el proceso por el cual se describe una estructura en terminosde sus propiedades dinamicas caracterısticas que son: sus frecuencias naturales, modos propios y factoresde amortiguacion.

Considerese la placa mostrada en la figura. Se aplica una fuerza que varia sinuidalmente en el tiempocon una cierta frecuencia y una cierta amplitud fija. La respuesta se mide con una acelerometro situadoen otra esquina de la placa. Supongase que se comienza a variar la frecuencia de la fuerza excitadora,dejando constante su amplitud. A medida que se varia la frecuencia se observara un cambio en el nivelde la respuesta dinamica, tal como se muestra en figura 13.2.

Cuando la respuesta crece, lo que pasa es que la frecuencia de la fuerza se acerca a una frecuenciapropia de la placa, y alcanza su maximo cuando ambas frecuencias son iguales. Notese que lo unico quese ha variado ha sido la frecuencia y no la amplitud.

Los datos medidos en el tiempo (figura 13.2) provee informacion muy util. Si los procesamos con lallamada Transformada Rapida de Fourier (FFT por sus siglas en ingles) obtenemos la Funcion Respuestaen Frecuencia o FRF (figura 13.3).

Se observa que la FRF presenta peaks a las frecuencias naturales de la placa. Los peaks ocurren a lasfrecuencias donde la respuesta medida (figura 13.2) presentaba valores maximos. Si la respuestas en eltiempo son graficadas en terminos de la frecuencia excitadora y luego se superpone la FRF se obtiene elgrafico 13.4. Se aprecia que los peaks de la FRF corresponden con los niveles maximos de la respuesta.

Observacion 80 Podemos usar cualquiera de las curvas (respuesta vs frecuencia o FRF) para saberpara que frecuencias la respuesta sera maxima. De todas maneras, la FRF es mas facil de evaluar.

Las deformaciones que sufre la placa tambien son caracterısticas de cada frecuencia natural, tal comose aprecia en figura 13.5 (que podrıamos apreciar si tuviesemos suficientes sensores...). Se aprecian difer-

Figura 13.1: Placa simple con acelerometro y martillo para analisis modal

261

262 CAPITULO 13. ANALISIS MODAL EXPERIMENTAL

Figura 13.2: Respuesta medida por el acelerometro cuando se varia la frecuencia de la fuerza

Figura 13.3: Funcion Respuesta en Frecuencia

Figura 13.4: Respuesta y FRF vs frecuencia

13.2. LA CADENA DE MEDICION 263

Figura 13.5: Modos propios

entes deformadas operacionales que corresponden (casi exactamente como veremos mas adelante) alos modos propios de la placa. La primera frecuencia natural se asocia al primer modo de flexion, lasegunda al primer modo de torsion, la tercera al segundo modo de flexion, la cuarta al segundo modo detorsion.

Observacion 81 A mayor frecuencia mayor complejidad del modo propio.

Las frecuencias naturales y modos propios existen para todas las estructuras que disenamos. Sonpropiedades que dependen principalmente de la distribucion de masa y rigidez. A nivel de diseno esnecesario estimarlas para estudiar como una fuerza excitadora puede influenciar en la respuesta de laestructura y mejorar el diseno.

El analisis modal experimental consiste de cinco fases [?]:

Armado del set-up, que incluye la suspension del objeto, pegado de transductores, puesta a puntodel sistema de adquisicion, calibracion de transductores,..

Adquisicion de datos y estimacion de las FRF;

Identificacion de parametros o analisis modal en si mismo;

Validacion de los resultados obtenidos;

Diagnosis, mejoras sistematicas al sistema.

13.2. La cadena de medicion

Tal como se muestra en figura xx un setup incluye:

La estructura a analizar;

Algun medio de excitacion (martillo o shaker);

Transductores de vibracion;

Sistema de adquisicion de datos;

Software de analisis.


Figura 13.6: Setup con shaker

13.3. Excitacion

Podemos clasificar a la fuente de excitacion en:

Shakers fijos al suelo;

Shakers fijos a la estructura;

Martillos;

Desplazamientos iniciales;

Energıa acustica.

Los shakers pueden ser electro-hidraulicos o electrodinamicos. Ellos difieren en el nivel de la fuerzaaplicada, los niveles de desplazamiento y el rango en frecuencias.

Los shakers electro-hidraulicos funcionan bien para bajas frecuencias. Trabajan entre 0-200 Hz y hasta1000 Hz. Tienen carreras bastante grandes(25 mm por ejemplo) y pueden producir mayores niveles defuerzas. Una desventaja es su poca movilidad pues son acompanados de una fuente hidraulica.

Los shakers electrodinamicos consisten de una bobina que produce velocidades proporcionales al voltajeque se le entrega. Rangos tıpicos en frecuencia son de 0-4000 o 0-1000 Hz. Su carrera es menor (entre 6y 19 mm). Si se aplica sin un sensor de fuerza se debe ser cuidadoso pues la curva de velocidad/voltajeen frecuencia no es perfectamente plana.

Los shakers que se fijan a la estructura tienen la desventaja de que su masa contribuye a la del sistemay por tanto cambia las caracterısticas modales. Sin embargo, y dado que se aplica usualmente en grandesestructuras (puentes, edificios, plataformas,..) este efecto es despreciable.

Los agitadores usualmente se conectan con varillas que son rigidez axialmente y muy flexibles. De esamanera la carga es aplicada en el eje en cual el sensor de fuerza mide.

Los martillos producen una fuerza tipo impulso de Dirac, que tiene un espectro muy plano. Mientrasmas dura sea la punta del martillo menor sera la duracion del impacto y mayor la banda de frecuenciaexcitadas. El problema es que pueden causar efectos no lineales en la respuesta y deformar la estructura;sino se golpea bien el impacto puede ser doble.

Para estructuras tipo torre, es comun excitar con un desplazamiento inicial.Para estructuras muy livianas tambien se puede aplicar ruido como fuente de excitaciom; el problema

es que no se puede mediar la fuerza directamente.

13.3. EXCITACION 265

Figura 13.7: Shakers electrodinamicos

Figura 13.8: Martillos para analisis modal


13.4. Ecuaciones basicas

Expresado en terminos de series de modos, la matriz H puede ser escrita como:

H(jω) =∑

i

qijω − λi

φiφTi +

q∗ijω − λ∗i

φ∗iφ∗Ti

dondeφi es el i-esimo modo propio,λi = σi + jωi, y∗ indica el conjugado complejo.En terminos matriciales, ello puede ser escrito como

H(jω) = Φ (jωI−Λ)−1 L

dondenm es el numero de modos observables,Λ es una matriz diagonal donde estan ubicadas las raıces λi y sus complejos conjugados. (Por tanto

tiene dimension 2nm × 2nm),L es la matriz de factores de participacion modal:

L = QΦT

Q es la matriz diagonal conteniendo los factores de escala modales.Φ es la matriz modal, conteniendo los vectores propios y sus conjugados complejos.En caso de que el numero real de modos sea superior a nm se puede anadir una aproximacion para

tomar en cuenta el efecto de los modos fuera de la banda de interes:

H(jω) = Φ (jωI−Λ)−1 L + U− 1ω2

L

Observacion 82 O sea, el efecto de los modos de alta frecuencia es aproximado por una constante Umientras que la de los modos a baja frecuencia por un termino constante corregido con el factor ω2.

En el dominio temporal podemos escribir:

h(t) =∑

i

qiφiφTi e

λit + q∗i φ∗iφ∗Ti eλ∗i t

o en forma simbolica,h(t) = VE(t)L

donde E(t) es una matriz diagonal conteniendo los valores eλit.

Observacion 83 En el dominio temporal no es posible anadir correcciones por los modos no observables.

13.5. Conceptos basicos

13.5.1. Metodos con hipotesis de uno o mas grados de libertad

En general, la respuesta de un sistema es una combinacion de varios de sus modos propios, Sinembargo, si en un rango de frecuencias dado, un modo predomina; entonces los parametros de tal modopueden ser estimados separadamente. En el dominio frecuencias ello equivale tomar la aproximacion:

H(jω) =qi

jω − λiφiφ

Ti + +U− 1

ω2L

para desarrollar el metodo de analisis modal. Este tipo de metodo es muy rapido, de poco costo com-putacional o de tiempo.

La hipotesis anterior es valida solo si los modos del sistema estan bien desacoplados. En general, ellono sera el caso y sera necesario utilizar la hipotesis MDOF (Multiple degrees of freedom).

13.5. CONCEPTOS BASICOS 267

Polos alejados

0 0.5 1 1.5 2 2.5 310-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Frecuencia (ω)

Vel

ocid

ad

Figura 13.9: Sistema con polos bien separados

Polos cercanos

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.1210

0

101

102

Frecuencia (ω)

Vel

ocid

ad

Figura 13.10: Sistema con polos poco separados


13.5.2. Single input vs Multiple input

La estimacion de parametros modales a partir de datos con varios puntos de excitacion tiene variasventajas. Los polos dobles o con poca separacion pueden ser separados solo con metodos de multi-entrada.Dado que los coeficientes modales son independientes de la posicion de la excitacion, este tipo de metodosentrega estimaciones globales para estos parametros.

Asumase que hay dos polos dobles o con poca separacion, λk y λl respectivamente. Si la columna 1 deH(t) refiere a la excitacion en el punto 1, se tiene

h1(t) = . . . φkeλktLk,1 + φle

λltLl,1 . . .

como son igualesh1(t) = . . . (φkLk,1 + φlLl,1) eλkt . . .

Por otro lado, si la entrada considera la columna 2,

h2(t) = . . . (φkLk,2 + φlLl,2) eλkt . . .

donde los factores de participacion son diferentes. Al considerar ambas ecuaciones simultaneamente, esposible identificar los modos acoplados o incluso, los polos dobles.

13.5.3. Modelo modal vs modelo directo

Tambien es posible clasificar los metodos de indentifacion de acuerdo al tipo de datos que estiman:

Los metodos que identifican un modelo modal sintetizan la respuesta medida como una comibinacionde modos propios.

Los metodos de identifiacon directa usan las ecuaciones diferenciales mismas. El procedimiento tienedos pasos. En el primero, se estiman los coeficientes de las ecuaciones diferenciales. En el segundopaso, se calculan los parametros modales a partir de los coeficientes estimados, por ejemplo, via unanalisis de valores propios de las matrices espaciales (M,C,K) encontradas.

Varios metodos emplean la formulacion general en el espacio de estado,

xs(t) = Axs(t) + Bus(t)ys(t) = Cxs(t) + Dus(t)

al cual define:

el vector de estado xs(t):

xs =

xx

el vector de salidas,

ys = x

el vector de entradas,us(t) = f(t)

Las matrices A,B,C,D son denominadas la realizacion del sistema, dado que describen la respuestadel sistema en cualquier instante ante una senal de entrada conocida. Si definimos

Ax =[

0 MM C

]Bx =

[−M 00 K

]

13.6. DESCRIPCION DE ALGUNOS METODOS 269

Peak picking

Figura 13.11: Estimacıon de amortiguamiento

entonces la matrices de la realizacion se definen como

A = −A−1x Bx

B =[

M−1

0

]C =

[0 I

]D = 0

Los soluciones propias de A entregan los polos del sistema, los vectores propios y los factores de partici-pacion.

13.5.4. Numero de modos vs numero de grados de libertad medidos

Hablamos de modelos completos de bajo orden cuando el metodo permite identificar un numero demodos superior al numero de grados de libertad medidos (notese que se pierde necesariamente la inde-pendencia lineal de los mismo).

Los modelos incompletos de alto orden permiten tener menos modos que grados de libertad medidos.

13.6. Descripcion de algunos metodos

13.6.1. Peak picking

Este metodo permite estimar rapidamente frecuencias naturales y factores de amortiguamiento. Setrata de un metodo SDOF.

El metodo se basa en que las FRFs alcanzan valores peaks en las cercanıas de cada frecuencia natural.El metodo de la mitad de potencia entrega aproximaciones para el factor de amortiguamiento:

ξi =ω2 − ω1

ωi

donde ω1 y ω2 son las frecuencias para las cuales la amplitud de la FRF ha bajado desde su maximo enωi

Amax

aAmax√

2


FRF

0.5

1

1.5

-100-50

0

50100-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

FrecuenciaRe(Velocidad)

Im(Velocidad)

Figura 13.12: Representacion tridimensional de una FRF

13.6.2. Mode picking

Este metodo permite obtener estimaciones rapidas para los modos propios. Es un metodo SDOF.Asume a que la FRF es dominada por un solo modo, a la frecuencia natural asociada:

H(jωi) =qi

jωi − λiφiφ

Ti

13.6.3. Ajuste de circulo

Este metodo permite obtener estimaciones para las frecuencias naturales, los modos propios y losfactores de amortiguamiento. Se trata de un metodo SDOF. Se basa en el hecho de que la FRF (enterminos de velocidad/fuerza) de un sistema bajo la hipotesis SDOF describe un circulo en el diagramade Nyquist (parte real vs parte imaginaria de la FRF).

Ejemplo 49 1Usando tecnica del swept-sine se han medido los valores FRF entregados en tabla. Usandola tecnica de ajuste de circulo, estime la frecuencia natural, el factor de amortiguamiento y el residuo.

i frecuencia (rad/s) FRF (m/N)1 1,62 0,5663− 0,0650i2 1,67 0,5692− 0,1493i3 1,72 0,5669− 0,3069i4 1,77 0,4229− 0,5593i5 1,82 0,0302− 0,6060i6 1,87 −0,1635− 0,3643i7 1,92 −0,1594− 0,1943i8 1,97 −0,1229− 0,1110i

Cuadro 13.1: FRF experimental

El grafico de Nyquist se muestra en figura (13.14).

1control 3, 2003.


Ajuste de circulo

Suficientes puntos en cada resonancia

shaker

-60 -40 -20 0 20 40 60-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

RE(Velocidad)

Im(V

eloc

idad

)

Figura 13.13: Diagrama de Nyquist de la FRF en terminos de velocidad

Aproximaremos la FRF usando,

hij(jω) =u+ jv

−σr + j(jω − jωr)+ (r + ji)

donde ωr y σr conforman el polo alrededor del cual se ha medido la FRF. r e i son correcciones paratomar en cuenta el efecto de los demas modos no considerados explicitamente. u y v forman el residuo.

La frecuencia natural amortiguada es aproximada por el punto experimental donde la tasa de cambiode angulo entre dos puntos es maxima (medida desde el centro del circulo).

Para estimar el mejor circulo se minimiza el error,

mınxo,yo,ro

e =∑

j=1..i

[r20 − (xj − x0)2 − (yj − y0)2

]2donde (x0, y0) es el centro del circulo y r0 es el radio. El problema de minimizar e es no lineal por lo

que se reescribe convenientemente como

mınxo,yo,ro

e =n∑

j=1

[c−

(x2

j + axj + byj + y2j

)]2donde

x0 = −a2

y0 = − b2

r0 =√c+ x2

0 + y20

Para obtener los parametros a, b, c se resuelve el sistema: ∑x2j

∑xjyj −

∑xj∑

y2j −

∑yj

sim n

abc

=

−(∑

x3j +

∑xjy

2j

)−(∑

y3j +

∑yjx

2j

)∑x2

j +∑y2

j


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Real

Imag

Figura 13.14: Ajuste de circulo


1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

iCos2 (θ i)

Figura 13.15: Valores MAC obtenidos

i 1 2 3 4 5 6 7Cos2θi 0.959 0.826 0.467 0.214 0.470 0.813 0.941θi (rad) 0.203 0.430 0.818 1.090 0.815 0.448 0.245tan(θi/2) 0.102 0.218 0.434 0.606 0.432 0.228 0.123

Cuadro 13.2: Table Caption

Ejemplo 50 donde se consideran los n puntos que se aproximen al circulo visualmente.Usando los datosentregados se obtiene:

x0 = 0,210y0 = −0,257r0 = 0,379

A continuacion se calculan los angulos entre puntos con respecto al centro del cırculos:

θi = ] ((xi − x0) , (xi+1 − x0)) con i = 1, ..., n− 1= ] (xi,r,xi+1,r)

donde θ

xi =xi

yi

se tiene entonces

MAC (xi,r,xi+1,r) = cos2 θi

Los valores se muestran en figura (13.15). θ4 es maximo. Luego, el valor estimado para la frecuencianatural asociada al peak de la FRF es:

ωr = 1,82 rad/s

La razon de amortiguamiento se calcula a partir de

ξr =2∆ω

ωr [tan(θmax/2) + tan(θs max/2)]

donde ∆ω es el paso del muestreo de la FRF (asumido constante),θs max es el angulo adyacente al maximo.En este caso,

∆ω = 0,05 rad/sθs max = 0,818rad


luego la razon de amortiguamiento estimada es:

ξr = 0,053

lo que permite estimar el factor de amortiguamiento segun la relacion,

ξr = − σr√ω2

r + σ2r

de la que se despeja σr,

σr = − ξr√1− ξ2r

ωr

en este caso,σr = −0,096 rad/s

Para hallar el residuo, se utilizan las relaciones:

r0 =√u2 + v2

σr

tanα =u

v

donde α es el angulo entre el vector xr − x0 y el eje imaginario. En este caso:

xr = x5 =

0,0302−0,6060

x0 =

0,210−0,257

luego

cosα =(xr − x0)

T

0−1

|xr − x0| · 1

en este caso,

cosα = 0,888α = 0,476 rad

tanα = 0,516

De las ecuaciones anteriores ambas se despeja,

v =r0σr√

tan2 α+ 1= −0,032

y

u = v tanα= −0,018

La correccion r + ji se obtiene a partir de x0,ri

= x0 +

12σr

uv

luego

ri

=

0,1230,042


13.6.4. Metodo LSFD (Least-squares Frequency Domain)

Este metodo permite estimar frecuencias naturales, modos propios y factores de participacion modal .Para ello, se utiliza la aproximacion:

Hij(jω) =∑

k

Lkj

jω − λkφik +

L∗kj

jω − λ∗kφ∗ik + Uij −

Lij

ω2(13.1)

funcion que es aproximada por Gij(jω), que es funcion de las estimaciones para las incognitas en cadaiteracion.

El problema de optimizacion consiste en minimizar el error cuadratico para todas las frecuencias ygrados de libertad:

mınλk,φk

E =∑

i

∑j

∑ω

eij(jω)e∗ij(jω)

sobre todos los modos k, dondeeij(jω) = Gij −Hij

Dado que aparecen incognitas en el denominador de (13.1) el problema es no lineal y se resuelve pormetodos iterativos.

Observacion 84 La convergencia de este metodo puede ser influenciada de manera importante por losvalores iniciales para las iteraciones.

13.6.5. Metodo ISSPA (Identification of Structural System Parameters)

Este metodo es MDOF,directo y en el dominio frecuencial. Permite obtener modos reales.Si se pre-multiplica la ecuacion de equilibrio en frecuencias por la matriz de masa, se obtiene:(

−ω2I+jωM−1C + M−1K)x(jω) = f(jω)

Si factorizamos y consideramos todas frecuencias y la ordenamos en la matriz diagonal Ω:

−XΩ2+jM−1CXΩ + M−1KX = F

la que puede ser separada en sus partes real e imaginaria. Si se aplican las propiedades de trasposicionde matrices queda: [

XTr

XTi

] [M−1K

]T −Ω[

XTr

XTi

] [M−1C

]T −Ω2

[XT

r

XTi

]=[

F0

]De donde es posible despejar

[M−1K

],

([Xg −ΩXg

])2 [ [M−1K]T[

M−1C]T]

=[

F0

]+ Ω2Xg

con

Xg =[

XTr

XTi

]la cual permite obtener frecuencias y modos propios del sistema conservativo asociado a traves de laidentidad:

M−1Kφ =ω2i φ


n 0 1 2 3 4 5h11(t) 1 0 -1 0 1 0

Cuadro 13.3: datos medidos

13.6.6. Metodo de poli-referencias

Este metodo utiliza las series de tiempo para estimar polos y factores de participacion modal. Con-siderese la n-esima muestra:

H(n∆t) = VE(n∆t)L

Si consideramos o-esima fila de la matriz de respuesta (respuesta en el grado de libertad o),

hTo (n∆t) =

∑r

φoreλrn∆tlTr + φ∗ore

λ∗rn∆tl∗Tr

o equivalentementehT

o (n∆t) =∑

r

φorznr lTr + φ∗orz

∗nr l∗Tr

dondezr = eλ∗r∆t

que son solucion de la siguiente ecuacion matricial en diferencias finitas, de orden p:

znr lTr I+zn−1

r lTr W1 + · · ·+ zn−pr lTr Wp = 0T

La dimensionde las matrices Wi es ni × ni, mientras que el orden del polinomio debe cumplir

p ≥ 2nm

ni

de modo de encontrar 2nm polos. Se tiene ademas que:

hTo (n∆t)I + hT

o ( (n− 1) ∆t)W1 + · · ·+ hTo ((n− 1p) ∆t)Wp = 0T

Tomando esta ecuacion simultaneamente para todos los grados de libertad medidos, permite calcular lasestimaciones para las matrices Wi. Ellas generan un problema de valores propios a partir del cual sepueden conocer los polos λi y los vectores de participacion modal lr.

Ejemplo 51 Considerese un sistema donde se ha medido un grado de libertad, excitando en el mismopunto.

Si asumimos que hay un solo modo (nm = 1) p debe cumplir:

p ≥ 211

luego se cumple,h(n∆t)+h( (n− 1)∆t)w1 + h ((n− 2) ∆t)w2 = 0

variando n desde 2 hasta 5, obtenemos:h(1∆t) h(0∆t)h(2∆t) h(1∆t)h(3∆t) h(2∆t)h(4∆t) h(3∆t)

w1

w2

= −

h(2∆t)h(3∆t)h(4∆t)h(5∆t)

sustituyendo,

0 1−1 00 −11 0

w1

w2

= −

10−10

13.7. EJEMPLO EXPERIMENTAL 277

luego w1

w2

=

01

y la ecuacion () se reduce a

z2 + w1z + w2 = 0

oz2 + 1 = 0

luego

z1 = j

z2 = −j

por definicionzr = eλr∆t

luego

λr =log(zr)

∆t

si ∆t = 0,25 s, se tiene:ω1,2 = 2π rad/s

13.6.7. Metodo CMIF Complex Model Indicator Function

La tecnica CMIF es un multi-input, basada en un modelo modal, en el dominio frecuencial. La esti-macion de los modos es global.

El CMIF es un grafico logaritmico de la magnitud de los valores singulkares de la matriz de funcionesrespuesta en frecuencia como una funcion de la frecuencia. La descomposicion en valores singulares dela matriz FRF para una frecuencia ωk es:

H(jωk) = PkSkRTk

dondeH(jωk) es la matriz de FRF que tiene no filas y ni columnas,Pk es la matriz con los vectores singulares izquierdos de H(jωk),Rk es la matriz con los vectores singulares derechos de H(jωk),Sk contiene los valores singulares de H(jωk),en orden ascendiente; ellos son reales y no negativos.Por otro lado, teniamos que:

H(jωk) = Φ (jωkI−Λ)−1 L

En ausencia de raices repetidas, y en la cercania a una resonancia, cuando jωk se acerca al polo λr,la cantidad

1jωk − λr

alcanza un maximo. Dado que las matrices V y L son constantes, la informacion de amplitud de la matrizH solo depende de los terminos 1/(jωk−λr). Similarmente,como las matrices Pky Rk contienen vectorescon norma unitaria para cada linea espectral, la informacion de amplitud de la FRF esta contenida en lamatriz de valores singulares Sk. Luego, si 1/(jωk − λr) alcanza un maximo, tambien lo haran los valoressingualres: los peaks en el grafico CMIF determinan las frecuencias naturales amortiguadas (segun elespaciamiento entre las frecuencias medidas ωk).


Figura 13.16: Modos 3 y 4

13.7. Ejemplo experimental

El ejemplo considera una placa de acero de 0,6× 0,4× 0,003m suspendida por elasticos para modelarla situacion libre-libre. Fue excitada con un agitador electro-dinamico en el rango 20 Hz- 20 kHz, agitadorelectro-dinamico en una de sus esquinas. Se registro la senal de velocidad con un Velocımetro laser Doppleren 532 puntos. No hay registro directo de la fuerza sino que de la senal de entrada para agitador.


Se han medido 3 FRFs en un sistema (figura 13.17). Estime modos propios, frecuencias naturales yfactores de amortiguamiento2. Los valores a usar son:

0 0.5 1 1.5 2 2.510-2

10-1

100

101

102

ω rad/s

Am

plitu

d de

spla

zam

ient

o(m

)

Figura 13.17: FRFs medidas

Para identificar los modos se utiliza el metodo LSFD.Com valores iniciales de iteracion tomamos valores aproximativos del grafico: 0.45, 1.26, 1.78 rad/s.

Ası construimos el vector de raıces para la iteracion inicial 0:

λ0=

jω01

jω02

jω03

2control 2, 2003.


gdl-ω 0.25 0.50 0.75 1.25 1.75 2.001 1.455-0.027i -3.659-0.354i -0.451-0.018i -0.589-2.443i -0.927+1.064i 0.338+0.204i2 2.818-0.050i -6.401-0.643i -0.648-0.035i -0.024-1.141i 0.680-1.352i -0.744-0.265i3 3.006-0.056i -8.539-0.785i -1.479-0.009i -0.307+1.997i -0.413+0.609i 0.235+0.121i

Cuadro 13.4: FRFs para estimacion, excitacion en gdl 2

Ello permite construir un sistema de ecuaciones para los modos propios, usando cada frecuencia:

Aωx = bω

donde

x =

q1

q∗1q2

q∗2q3

q∗3ul

Aω =

[1

jω−λ1I 1

jω−λ∗1I 1

jω−λ2I 1

jω−λ∗2I 1

jω−λ3I 1

jω−λ∗3I I − 1

ω2 I]

bω = hω

donde I es la matriz identidad (3×3 en este caso) y ∗ representa el conjugado complejo.Cada frecuencia genera 3 ecuaciones complejas y en x hay 3×3× 2 incognitas. La estimacion global

se logra acoplando todas las ecuaciones,

Ac =

Aω1

Aω2

...Aωn

bc =

bω1

bω2

...bωn

Siendo un sistema complejo, no hay garantıas de que los modos obtenidos sean normales. Ello se puedeforzar al realizar la siguiente operacion,

Ac = Ar + jAi

bc = br + jbi

luego

A =[

Ar

Ai

]b =

br

bi

y resolviendo

Ax = b

Como se midieron 6 frecuencias, se obtienen 36 ecuaciones para las 18 incognitas. La resolucion conmınimos cuadrados entrega los siguientes valores iterativos:

q01=

0,0160,0390,038

q02=

−0,027−0,0090,018

q03=

0,023−0,0310,014


A modo de comparacion se mide la correlacion con los verdaderos modos que son conocidos gracias a queel ejemplo es numerico:

K =

2 −1 02 −1

sim 1

M = I

C =120

K

q∗1=

−0,328−0,591−0,737

q∗2=

0,7370,328−0,591

q∗3=

−0,5910,737−0,328

λ∗ =

−0,0050 + 0,4450j−0,0389 + 1,2464j−0,0812 + 1,8001j

El MAC resultante entre los pares de modos correspondientes es

MAC(q01,q

∗1) = 0,984

MAC(q02,q

∗2) = 0,992

MAC(q03,q

∗3) = 0,999

lo que indica la rapida convergencia de los modos.


Hemos visto que existen una variedad de metodos para realizar un analisis modal. Esta la posibilidad deusar senales temporales ası como funciones respuesta en frecuencia. En general es recomendable verificarlos resultados de un metodo con los de otros para disponer de mayor confianza en los resultados delanalisis.

Capıtulo 14

Metodos de Correlacion

14.1. Introduccion

En el contexto del analisis modal entendemos por metodos de correlacion al grupo de tecnicas que nospermiten medir las diferencias y similitudes que existen entre 2 grupos de respuestas; por ejemplo, entrelos modos propios identificados experimentalmente y aquellos estimados numericamente con un modelode elementos finitos.

14.2. Correlacion en el dominio modal

An important advantage of the mode shapes rely in their capacity to reduce the amount of informationthat has to be analyzed. The natural frequencies have a high level of confidence, and do not suffer from theproblem of mesh correspondence between the experimental setup and the FE model since they are scalarquantities.

Mode shapes are also advantageous since they are less sensitive to the presence of damping in the realstructure. This facilitates the correlation task since models are in general conservative or do not representwell the dissipative effects.

A disadvantage is that mode shapes are the result of an identification process (the experimental modalanalysis), and for this reason, they implicitly contain the errors and the assumptions that each identifi-cation technique uses.

Another disadvantage is that, in general, only global mode shapes may be identified from the experimen-tal setup since local modes need an extensive sensor setup and appear in the medium and high frequenciesthat may fall beyond the observable frequency range.

14.2.1. Modal Assurance Criterion (MAC)

La tecnica de correlacion mas utitlizada para la correlacion entre modos propios es el MAC [?]. Itgives quantitatively a good idea of the global closeness between two families of mode shapes, Φ and V:

MAC(φ(i),v(j)

)=

(φT

(i)v(j)∥∥φ(i)

∥∥∥∥v(j)

∥∥)2

(14.1)

where i and j correspond to the indices of two mode shapes that may be from the same origin (experi-mental or analytical) in order to check linear dependency, or mixed in order to check correlation betweentwo modal bases.

Una forma alternativa del MAC que considera el uso de modos complejos es de la forma:

MAC(φ(i),v(j)

)=

(φH

(j)v(i)

)H (φH

(j)v(i)

)(φH

(j)φ(j)

)(vH

(i)v(i)

) (14.2)

281

282 CAPITULO 14. METODOS DE CORRELACION

Evaluation of equation (14.1) gives rise to the MAC matrix. MAC values oscillate between 0 and 1. Aunitary value means perfect correlation. In general this situation does not appear, and a value greater than0.8-0.9 is commonly recognized as acceptable to establish the correspondence between two mode shapes.In this case, two corresponding modes will have a high degree of correlation. This property is exploitedby MAC to allow a correct mode tracking which is commonly needed for the construction of residues tominimize [?].

Attention must be paid to the number of degrees of freedom in the vectors being compared. MACis sensitive to this parameter. If it is low, pairing may result in errors since local modes are not wellrepresented and may be confused with the global modes. It is also remarked that even if the numericalmodel corresponds exactly to the real structure, the MAC matrix may have non diagonal elements.

A variant of MAC is given by:

MACM

(v(i), φ(j)

)=

(vT

(i)Mφ(j)

)2

(vT

(i)Mv(i)

)(φT

(j)Mφ(j)

) (14.3)

which is a version exploiting the metric of M, best known as the cross orthogonality check and that

oscillates in the interval [0, 1]. Thanks to the orthogonality condition:

MACM

(φ(i), φ(j)

)= δij

MACM tends to exhibit lower non diagonal values than MAC, facilitating the task of mode pairing. Itis recalled that the used of equation (14.3) implies that the problem of dimension between model matricesand experimental vectors has been solved.

14.2.2. Modal Scale Factor (MSF)

If the experimentally identified modal mass is considered to be accurate (i.e., by comparing severalexperimental identification results), the use of the Modal Scale Factor [?] can also be considered as a wayto compare two corresponding mode shapes. MSF gives a least square estimate of the ratio between twomode shapes:

MSF (v(i), φ(j)) =

∥∥φ(j)

∥∥2∥∥∥v(i)

∥∥∥2 (14.4)

Of course, both input modes should have the same modal mass. This may severely affect the computedMSF value since the error in the estimation of the modal masses is commonly high (∼ 30 %) .

14.3. Correlacion en el dominio frecuencial

Interesting conclusions can be stated for a reference system with system matrices K, M and anotherwith matrices K∗, M∗ following:

K∗ = αK (14.5)

where α > 0 is a perturbing parameter (termed as stiffness factor); and

M∗ = M

Thus, it can be easily proven [1] that:

H∗ (√αω) =1αH (ω) (14.6)

where H and H∗ are the reference and perturbed dynamic flexibility matrices, respectively:

H =(K−ω2M

)−1= Z−1 (14.7)

14.3. CORRELACION EN EL DOMINIO FRECUENCIAL 283

Axial position (m)

α[Κ]

Frequency (Hz)

[Κ]

Am

p litu

d e (

m/m

)

1)1( at ωφ

2)2( at ωφ

*1

*)1( at ωφ

*2

*)2( at ωφ

jωjiω

jω

Referencesystem

Perturbedsystem

Figura 14.1: Frequency domain shift on the example of a beam

Equation (14.6) shows that a shift in frequency and a new scale factor appears on all the operatingdeflection shapes and, which is the most important, a direct correlation exists for two operating deflectionshapes if the frequency shift is taken into account. In figure (14.1) the operating deflection shapes of asimply supported beam are depicted for the reference system and for the perturbed system. If correlationis measured at the same frequency ωj, it will compare two deflection shapes with a phase lag of 180

and with completely different modal participations. Otherwise, if ωj is used in the model and ωj

i in theexperimental shapes as comparison frequencies, both operating deflection shapes will be in phase and willhave a high degree of correlation.

In a more general situation, and referring to figure (14.2), if ωP , ωQ, and ωR are used as frequenciesfor comparison, the deflection shapes associated to points P ′′, Q′′, and R′′ are compared with the referenceshapes associated to P , Q, and R respectively instead of using the shapes related to points P ′, Q′, and R′

which are the shapes that show the best agreement. In this way, no use is made of the natural correlationon the frequency axis.

Note that correlation methods based on modal information implicitly take the frequency shift into ac-count, since they pair mode shapes at different frequencies: referring to figure (14.2), φ(1) will be comparedwith φ∗(1) and φ(2) with φ∗(2).

It should be pointed out that usually, as several parameters at elementary levels are perturbed, eachone of these parameters will shift the eigenfrequencies in different directions so that an average frequencyshift exists for each point. In figure (14.2), P ′,Q′ and R′ are unknown. A frequency domain correlationtechnique that allows the estimation of such points in a global sense is presented hereafter.


Frequency (Hz)

'

*1

*(1) at ωφ

*2

*(2) at ωφ

1(1)at ωφ

2(2)at ωφ

'Pω Pω

Am

plitu

de (m

/m)

Qω 'RωRω

Figura 14.2: Frequency response function of the reference and perturbed systems

14.3.1. Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC)

In reference [?] it is proposed to measure the correlation between two operating deflection shapes atthe same frequencies. In this case, a vector of correlation is obtained.

Based on the frequency shift mentioned above, we propose to measure the closeness between measuredand synthesized operating deflection shapes by using the following correlation criterion:

FDAC(ωi, ωj) =

(hH

(j)h(i)

)H (hH

(j)h(i)

)(hH

(j)h(j)

)(hH

(i)h(i)

) (14.8)

where:H indicates the conjugate transposed,ωj corresponds to the frequency at which the numerical operating deflection shape h(j) is calculated,ωi corresponds to one frequency at which the experimental operating deflection shape h(i)was measured

experimentally.

The so-called Frequency Domain Assurance Criterion (FDAC) [?] can be regarded as equivalent toMAC in the frequency domain. It follows from equation (14.8) that FDAC values are limited to theinterval [0, 1]. As for MAC, a value of 1 means perfect correlation, and 0 no correlation at all.

From FDAC, it is possible to define the frequency residue:

∆ω(ωj) = ωji − ωj (14.9)

to measure the distance between the model and the test structure. ωj represents the frequency on themodel, and ωj

i is the frequency at which FDAC reaches its maximum for all measured frequencies.A drawback of FDAC computed from equation (14.8) is its insensitivity to the phase lag between the

operating deflection shapes. It may give a maximum correlation for two ODS that have a relative phase

14.3. CORRELACION EN EL DOMINIO FRECUENCIAL 285

of 180. As will be seen later, this may induce badly conditioned residues for model updating. In order toavoid this situation it is better to redefine FDAC as (for real operating shapes):

FDAC(ωi, ωj) =hT

(j)h(i)∥∥h(j)

∥∥∥∥h(i)

∥∥ (14.10)

and for complex operating shapes as:

FDAC(ωi, ωj) = s

√√√√√√(hH

(j)h(i)

)H (hH

(j)h(i)

)(hH

(j)h(j)

)(hH

(i)h(i)

) (14.11)

where

s = sign(<(hH

(j)h(i)

))with

sign (x) =

1 if x is positive0 if x is zero

−1 if x is negative

and < (x) is the real part of x.In this way, FDAC may take values in the range [−1, 1] and a value FDAC > 0 means that both

shapes are ”in phase”.As will be presented in §?? in the context of an updating procedure based on operating deflection shapes,

FDAC helps in the choice of the frequencies that should be used. It allows the selection of intervals wherethe model is close enough to the experiments (a high value of FDAC, and low ∆ω(ωj) in equation 14.9).If equations (14.10) (or 14.11) are evaluated for a given set of analytical frequencies and for all measuredfrequencies , the FDAC matrix is obtained. A perfectly updated model will have only positive unitaryvalues on the axis ωi = ωj. As a consequence, the criteria of shape and phase similarity, and null ∆ω(ωj)will be satisfied by the finite element model.

The special case considered in equation (14.5) appears clearly in the FDAC matrix as shown in fig-ure (14.3). The stiffness factor may be estimated easily from the slope of the line (ωj

i , ωj). The linesof discontinuity in each frequency axis represent the eigenfrequencies. This may be exploited for modalidentification purposes.

14.3.2. Frequency Response Scale Factor (FRSF)

With regard to its definition, it results that FDAC is insensitive to the existent scale factor between bothanalytical and experimental operating deflection shapes. The amplitude is also a characteristic property ofan operating deflection shape. For this reason, a Frequency Response Scale Factor (FRSF) may be defined(by analogy with the Modal Scale Factor [?]):

FRSF (ωj , ωji ) =

hH(j)h(j)

hH(i)h(i)

(14.12)

where ωji is obtained through equation (14.9).

For a perfect model, all the components of the FRSF vector should be equal to 1.However since damping is not taken into account in the model, it is expected to find FRSF values

not equal to 1 near resonance frequencies. Zones where the energy ratio is too high should be avoided ascandidates for updating purposes as will be studied in §??.


2

1

Figura 14.3: FDAC for K∗ = 2K

14.4. Correlacion en el dominio temporal

In reference [18, ?] a technique to measure distances between model and test data is presented. It con-sists of comparing the subspaces of the time domain shapes. The technique is called Principal ComponentsAnalysis (PCA) and requires the use of the Singular Value Decomposition (SVD). It can also be appliedto systems showing non linear behavior.

Let t = to, t1, · · · , tn be a set of instants (enough to represent all deformations of the structure)where measurements have been taken in a structure (that may show non-linear behavior):

X =[

x(o) x(1) · · · x(ns)

](14.13)

is a matrix ordering each measured instantaneous shape x(i) at instant ti side by side. X may be decom-posed using the SVD technique into:

X = UΣVT (14.14)

Σ is a diagonal matrix containing all non zero singular values of X. V is an orthonormal base thatspans the subspace generated by the shapes in X, and is a compact representation of the way the structurebehaves (in parallel, mode shapes do the same for linear systems)1.

The same decomposition may be done for the time responses of the model, assuming similar excitationconditions:

X =[

x(t0) x(t1) · · · x(tn)]

(14.15)

X = UΣVT (14.16)

For a perfect model,X− X = 0

1The notation for the SVD analysis has been kept as in reference [18] and is valid exclusively in this chapter.

14.5. EJEMPLOS 287

L = 1.80 m, A = 104 m2 , E = 2.1011 Pa,I = 8.33 1010 m4 , = 7800 kg/ m3 .

Figura 14.4: The clamped beam

Since the finite element model presents parameter errors and imperfect border and initial conditionsand measurements are perturbed by noise, a MAC related correlation technique may be defined:(

UT U)2

and (VT V

)2(14.17)

The denominator has been simplified since the singular vectors have an unitary euclidean norm. An-other way to show the distance between V and V is to use the angles between the vectors:

](v(i), v(j)) = cos−1(vT(i)v(j)) (14.18)

And also:∆Σ = Σ− Σ (14.19)

V and V being orthogonal bases for the space Rnm×nm (provided that all singular values are non-zero)can also be related through a rotation matrix such that:

V = QV

which corresponds to the orthogonal Procrustes problem described i.e. in reference [18].V can be associated to the mode shapes of a linear system if the system response is dominated by a

single mode. In a general case there is no explicit relationship between V and the modal basis or betweenΣ and the natural frequencies. For the special case M = αI, α > 0 a study is presented in reference [?].

14.5. Ejemplos

14.5.1. Viga empotrada

This example considers a cantilever beam extensively used in the bibliography. We will also use thisexample in the chapters on error localization and model updating. The model is composed of 15 Euler-Bernoulli beam elements. The “experimental” structure differs from the initial FE model by the bendingstiffness of the element 8 which has been doubled in the ”experimental” structure. Measurements havebeen ”done” in 15 equally spaced degrees of freedom which correspond to the nodes of the model. Only thevertical direction is ”measured”. See figure (14.4).

Correlation using modal data is presented in figure (14.5) (each mode is identified through its frequen-cy). The MAC allows a pairing of the modes, and the establishment of the frequency shift, which is listedin table (14.1). The error of the model does not affect the shape of the eigenvectors much since the MACvalues are very close to 1. Eigenfrequencies show a better sensitivity.

Correlation in the frequency domain is performed using FDAC and FRSF. Results are depicted infigures (14.6) and (14.7) respectively. In the FDAC matrix a black line shows the experimental frequencythat maximizes the correlation with respect to a fixed frequency in the model, for all measured frequencies.A white line on the axis x = y has also been superposed. The difference between the black line and thewhite line indicates the effect of the frequency shift in the operating deflection shapes.


2.5 15.8 44.2 86.8 143.5 214.5 300 400 515 645.4

2.5

16.3

44.3

89.9

143.8

222.2

301.4

414

518.9

666.8

FE modes

Exp

erim

enta

l mod

es

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 14.5: MAC of the beam case

Experimental FE MAC Frequencyfrequency (Hz) frequency (Hz) shift ( %)

2,5 2,5 ,998 −0,7716,4 15,8 ,996 −3,4744,3 44,3 ,998 −0,0889,9 86,8 ,999 −3,48

143,9 143,6 ,995 −0,24222,3 214,6 ,996 −3,47301,4 300,0 ,991 −0,47414,1 400,1 ,992 −3,38519,0 515,1 ,993 −0,75666,9 645,4 ,994 −3,22

Cuadro 14.1: Correlation of the beam case

14.5. EJEMPLOS 289

Figura 14.6: FDAC of the beam case

The jump of phase at each resonance produce the rectangular shapes which can be observed around theaxis x = y. The 2 corners which are nearest to this axis indicate the test and numerical eigenfrequencies.

The curve of FRSF (figure 14.7) shows discontinuities at each FE natural frequency. This situationappears due to the conservative nature of both the FE model and the ”test” structure. For the rest offrequencies the values are very close to 1. This would not be the case if the comparison frequencies werethe same for the test and the numerical operating deflection shapes. The stability of FRSF shows its utilitywhen residues are produced to update the model (§??).

Ejemplo 52 Calcule el MAC para las 2 bases de modos dadas. Establezca los pares de modos y el errorrelativo en frecuencia. Verifique si los modos son normales.

λ −0,0812 + 1,8001i −0,0389 + 1,2464i −0,0050 + 0,4450iq −0,1574 + 0,2824i 0,3561− 0,4435i 0,3080− 0,1371i

0,1963− 0,3522i 0,1585− 0,1974i 0,5550− 0,2470i−0,0874 + 0,1567i −0,2856 + 0,3557i 0,6920− 0,3080i

Cuadro 14.2: Modos experimentales

λ −0,0786 + 1,9828i −0,0414 + 1,3620i −0,0050 + 0,4529iq −0,0928 + 0,1677i −0,3058 + 0,4248i 0,3309− 0,1503i

0,1663− 0,3315i −0,0498 + 0,0569i 0,5939− 0,2697i−0,0979 + 0,2060i 0,1892− 0,2541i 0,6884− 0,3116i

Cuadro 14.3: Modos reducidos Elementos Finitos

Como primera accion se decide normalizar los vectores para verificar si son normales. Cada vectornormal es dividido arbitrariamente por su componente en el primer grado de libertad. Se obtiene:


0 100 200 300 400 500 600 70010

-3

10-2

10-1

100

101

102

103

FE frequency (Hz)

FRS

F

Figura 14.7: Beam case. Initial FRSF

Φ1 =

1 1 1−1,247 0,4450 1,80190,5550 −0,8019 2,2470

y para la base EF:

Φ2 =

1 1 1−1,9331 + 0,0784i 0,1439 + 0,0138i 1,7948 + 0,0001i1,1872− 0,0733i −0,6051− 0,0098i 2,0792 + 0,0024i

Se aprecia que los modos de la base 2 son complejos. La funcion angle de Matlab permite verificar elgrado de desviacion c/r a 0o o 180o:

angle(Φ2) =

0 0 0177,7 5,5 0,0−3,5 −179,1 0,1

Por lo que se usa la formula (14.2) para calcular el MAC: 0,94 0,06 0,00

0,06 0,94 0,000,00 0,00 0,99

Con lo cual es facil establecer las parejas correspondientes: (1, 2), (2, 2), (3, 3). Los resultados se resumenen tabla (14.4).


Hemos estudiado diversas tecnicas en los dominios modal y frecuencial.


Φ1 Φ2 MAC ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω2−ω1ω1

1001 1 .94 1,80 1,98 +10,12 2 .94 1,25 1,36 +9,23 3 .99 0,44 0,45 +1,8

Cuadro 14.4: Resultado

El Frequency Domain Assurance Criterion representa una herramienta poderosa que puede ser us-ada ventajosamente con varios propositos. Como tecnica de correlacion global, la matriz FDAC evaluacuantitativamente la cercania entre las deformadas operacionales experimentales y numericas. Esta in-formacion es muy util para el ingeniero, quien en general debera reducir las vibraciones en terminos delas respuestas dinamicas. Las bandas frecuenciales ne las cuales el modelo muestra resultados pobres sonfacilmente detectadas; sin requerir de procesos de identificacion tales como el analisis modal experimental;dado que se usan directamente los valores experimentales. FDAC es sensible a tres parametros caracteris-ticos de las respuestas: forma, fase y frecuencia. Otra propiedad es el factor de escala, el cual es afectadoprincipalmente por el nivel de amortiguamiento y los errores de modelamiento.

Capıtulo 15

Tecnicas de expansion/reduccion

15.1. Introduccion

El numero de grados de libertad del modelo de elementos finitos usualmente es muy superior al de losgrados de libertad medidos. Ello ocurre por la necesidad de un mallado adecuado para lograr resultadosnumericos satisfactorios. Por otro lado, no es practico (ni posible) medir todos los grados de libertad dela estructura:

muchos grados de libertad de la estructura son internos y no pueden ser accesados para medicion

los grados de libertad rotacionales son difıciles de medir

Para propositos de un analisis modal, no es necesario disponer de un gran numero de puntos demedicion

Para efectos de las tecnicas de ajuste de modelos, la mayorıa de los metodos requieren una corre-spondencia 1 a 1 entre los grados de libertad experimentales y numericos. El numero y la posicion delos grados de libertad de ambos conjuntos deben ser identicos. Ello se logra a traves de las tecnicas dereduccion y expansion.

En primer lugar, los grados de libertad del modelo que son correspondientes con las mediciones ex-perimentales son identificados. Ello define el grupo de grados de libertad activos. El resto de grados delibertad del modelo son llamados grados de libertad condensados o borrados.

15.2. Reduccion

Algunas veces es conveniente reducir el tamano de las matrices K y M, como veremos mas adelante.Este proceso es llamado reduccion. La reduccion de un modelo puede ser llevada a cabo con diferentesclases de datos: modos propios, deformadas operacionales y matrices estructurales (rigidez, masa, amor-tiguacion). La reduccion de modos y deformadas es relativamente sencilla dado que se retiene un subcon-junto de los grados de libertad del modelo. En contraste, la reduccion de matrices implica inevitablemente,un proceso de simplificacion. El precio a pagar es que el modelo reducido solo puede representar un subcon-junto reducido de los modos del sistema. La conectividad existente entre los grados de libertad es violaday la comprension fısica de los elementos en K, M, C se pierde.

Toda tecnica de reduccion introduce una matriz de transformacion T ∈ Rnfe×nm (donde nfe es elnumero de grados de libertad del modelo y nm es el numero de grado de libertad retenidos), tal que lassoluciones del problema original:

Kq = ω2nMq (15.1)

es restringido a tomar la forma:q = Tq (15.2)

293

294 CAPITULO 15. TECNICAS DE EXPANSION/REDUCCION

donde q ∈ Rnm corresponde al modo propio del modelo reducido. Notese que el vector q es ahora unacombinacion de los nm vectores columna de T.

De acuerdo al principio de Hamilton, el equilibrio se encuentra cuando:

δ

(12qT Kq−1

2ω2

nqT Mq)

= 0 (15.3)

al aplicar la restriccion (15.2), el problema reducido se convierte en:

δ

(12φT Kφ−1

2ω2

j φT Mφ

)= 0 (15.4)

donde:

M = TT MT (15.5)

K = TT KT

y que lleva al problema reducido:Kq = ω2

nMq (15.6)

Las diferencias entre las soluciones obtenidas a traves de (15.6) y las originales obtenidas a partir de(15.1) dependen de la seleccion de T. Este operador caracteriza cada metodo de reduccion [16].

Observacion 85 Podemos aplicar el operador en forma inversa, eso es, conocer que pasa en los gradosde libertad no retenidos cuando ya se dispone de q. De acuerdo a la ecuacion (15.2) el operador tambienpuede ser usado con medidas experimentales.

15.3. Metodos de Expansion

Las tecnicas de expansion son aplicables a vectores tales como modos propios y deformadas opera-cionales. Para efectos del ajuste de modelos, una lista de ventajas por sobre la reduccion incluye:

se utiliza toda la informacion contenida en el modelo a escala completa,

la conectividad del modelo es respetada,

la implementacion de los algoritmos en los paquetes comerciales disponibles es mas facil, y requierede menos calculos.

Una primera clasificacion de los metodos considera el nivel de confianza que se tenga en las medidasexperimentales:

metodos con restriccion de igualdad, que imponen que los vectores expandidos sean iguales a losexperimentales en los grados de libertad medidos.

metodos que usan relajacion, los cuales no imponen la condicion anterior.

Una subclasificacion de las tecnicas que usan relajacion incluye los metodos que obtienen el vectorexpandido a partir de una base de deformadas predefinidas, y aquellas que estiman el conjunto completode grados de libertad del modelo (incluida la particion medida).

Otro criterio para clasificar los metodos se base en el dominio de la funcion objetivo del problema deexpansion:

metodos basados en energıas residuales (expansion estatica o de Guyan [19], expansion dinamica[28], minimizacion de error de la ecuacion constitutiva [10, 29]),

metodos basados en fuerzas residuales [21, 22],

metodos basados en desplazamientos residuales [3], basic modal displacement method [25],

metodos hibridos (??).

15.3. METODOS DE EXPANSION 295

15.3.1. Metodo MECE

Para estimar el vector expandido, este metodo busca el mınimo de la energıa de deformacion residual:

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)(15.7)

en el caso de los modos propios, sujeto a:

K u(i) = ω2i M v(i) (15.8)

y (vm(i) − v(i)

)T (vm(i) − v(i)

)= 0 (15.9)

v(i) corresponde al modo experimental asociado a la frecuencia natural ωi; y v(i) corresponde al vectorexpandido el cual esta reordenado entre los grados de libertad medidos m y los grados de libertad nomedidos o:

v(i) =

vm(i)

vo(i)

(15.10)

15.3.2. Otras tecnicas de expansion

En general, los metodos de expansion comienzan su desarrollo a partir del ensamble dado por elmetodo de los elementos finitos. Asumamos que los errores de estructura son despreciables y que soloexisten errores en los parametros del modelo (por ejemplo en las propiedades materiales o geometricas).La ecuacion de equilibrio dinamico de la estructura experimental correspondiente al modo v∗(i) ∈ Rnfe

puede ser escrita en el dominio frecuencial como:

K∗ v∗(i) = ω∗2i M∗ v∗(i) (15.11)

donde K∗ ∈ Rnfe×nfe y M∗ ∈ Rnfe×nfe respetan los mismo patrones de conectividad entre los grados delibertad que las matrices del modelo de elementos finitos.

La validez de la ecuacion (15.11) es crucial y su violacion produce efectos que han sido estudiadospor ejemplo en las referencias [5, 6, 26, 31]. La hipotesis de validez de tal modelo estructural nos diceimplıcitamente que la estructura experimental (con un posible defecto) posee comportamiento lineal y quelos efectos disipativos no imfluencian los modos propios considerados en el analisis.

La correspondencia entre las estructura experimental y la del modelo de elementos finitos puede serexpresada por:

K∗ = K +4K∗ (15.12)M∗ = M +4M∗

y el modos propio experimental ( asumido) v∗(i) (y su frecuencia ω∗i ) pueden ser descompuestos entre elvector experimental expandido v(i) mas los errores cometidos∆v(i) y ∆ωi debido a errores en el analisismodal experimental, ruido y errores del modelos,

v∗(i) = v(i) + ∆v(i) (15.13)

ω∗i = ωi + ∆ωi

Una aproximacion al modo experimental v∗(i) puede ser encontrada asumiendo que el modelo numericorepresenta aceptablemente a la estructura real. Usando una formulacion standard, el vector expandidov(i) puede ser estimado minimizando el residuo de la ecuacion de equilibrio en alguna metrica adecuadaΘ:

mınv(i)

∆fT(i) Θ ∆f(i) (15.14)

con∆f(i) =

(K− ω2

i M)

v(i) = Zi v(i) (15.15)


Para resolver el problema (15.14), se usan los datos experimentales requiriendo que los vectores ex-pandidos se ajusten a los vectores medidos, que constituyen la referencia. Se anade la siguiente restriccion:

(vm(i) − v(i)

)T (vm(i) − v(i)

)= 0 (15.16)

lo cual es muy exigente para el proceso de expansion 1, dado que implica confianza absoluta en los procesosde adquisicion y analisis modal experimental. En la practica, el vector medido v(i) esta perturbado porruido y en vez de usar la restriccion (15.16), se utiliza:

mınv(i)

(vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)(15.17)

Algunas tecnicas de expansion se basan el la verificacion de la ecuacion (15.16) y resuelven el prob-lema (15.14). En una primera version del metodo MECE [33] , ambas condiciones (15.14 y 15.17) sonconsideradas simultaneamente en una solo funcion objetivo hıbrida:

mınv(i)

∆fT(i) Θ ∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)(15.18)

donde α es un parametro de regularizacion que indica el nivel de confianza en las medidas.

Observacion 86 Notese que el vector expandido no esta restringido a ajustarse al vector experimental.Su similitud dependera de los pesos relativos entre la condicion de equilibrio y el termino de regularizacion.

Si se selecciona la matriz de flexibilidad estatica para el termino de equilibrio

Θ = K−1

yΞ = K

para el termino de regularizacion, el problema (15.18) puede ser reescrito como sigue,

mınv(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)TK(vm(i) − v(i)

)(15.19)

Substrayendo la ecuacion (15.15) de la ecuacion (15.8) se obtiene la relacion que une al objetivoMECE(15.7) con el objetivo general (15.14):

∆f(i) = K(v(i) − u(i)

)(15.20)

y

∆fT(i) K−1 ∆f(i) =

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)(15.21)

el problema de expansion (15.19) puede ser expresado en la forma:

mınv(i)

(v(i) − u(i)

)TK(v(i) − u(i)

)+ α

(vm(i) − v(i)

)TK(vm(i) − v(i)

)(15.22)

sujeto a la condicion (15.8). Los problemas MECE (con y sin el uso de la restriccion de igualdad),definidos por las ecuaciones (15.7-15.9), (15.8 y 15.22) respectivamente, pueden ser comparados.

1En lo que sigue el uso de la retriccion (15.16) sera referido como restriccion de igualdad.


15.3.3. Relajacion

Para resolver el problema de optimizacion (15.19) y reducir los costos computacionales, el modoexpandido puede ser expresado como una combinacion lineal de un cierto numero de modos del modelo:

v(i) = Φ q(i) (15.23)

donde Φ ∈ Rnfe×nn y nn es el numero de modos utilizados en el proceso de expansion.Tal estrategia presenta las siguientes ventajas:

el numero de incognitas se reduce considerablemente;

la base modal es muy adecuada para describir las deflexiones de la estructura modelada;

el problema de expansion se independiza de la talla del modelo (en el caso de que los modos selec-cionados no sean influenciados por la malla);

las condiciones de ortogonalidad de la base modal pueden ser usadas convenientemente;

la estimacion de los desplazamientos modales q(i) puede ser usada como criterio para disponer lossensores;

los calculos requeridos son bastante reducidos respecto de otros metodos.

Observacion 87 Notese que la ecuacion (15.23) es una restriccion extra al proceso de expansion dadoque la seleccion de la base para construir v(i) es arbitraria. Una desventaja es que resulta en una aproxi-macion suavizada al vector expandido. Por ejemplo, en las referencias [4, 8, 14], la base de expansion esenriquecida usando deformadas estaticas asociadas a las deformaciones inducidas por algun dano en laestructura:

v(i) = Φ q(i) + Ψa (15.24)

conψ(j)= K−1f(j) (15.25)

Sin embargo, estas deformadas son usualmente altamente dependientes linealmente, por lo que suscontribuciones tienden a ser difıciles de estimar de manera precisa.

Proyeccion modal basica

Si se considera el problema (15.17) sujeto a la restriccion (15.23), se obtiene el metodo System Equiv-alent Reduction Expansion Process (SEREP) [25]. La mejor estimacion (en el sentido de los mınimoscuadrados) se obtiene usando la pseudo-inversa Φ+

m:

qse(i) = Φ+

mv(i) (15.26)

conΦ+

m =(ΦT

mΦm

)−1ΦT

m

SEREP puede ser representado por su operador de expansion:

Tse = ΦΦ+m (15.27)

el cual es una de las formas de operador de la tecnica de coordenadas modales [24].Notese que la anulacion del objetivo (15.17) es satisfecha para cualquier modo v(i) que este en el

subespacio generado por los vectores columna de Φm, si ese no es el caso, la funcion objetivo (15.17) esnecesariamente mayor que 0, y el vector expandido sera necesariamente suavizado. Si la influencia delruido es importante, este efecto es util para evitar un modo expandido poco precisa (biased).


Variantes

Una variante del metodo anterior es presentada en la referencia [34], donde se pregona el uso de unabase modal que contenga mas modos que grados de libertad medidos. La cercanıa entre el vector expandidoen los grados de libertad medidos y los vectores experimentales es controlada usando un parametro cuyorango es [0,1]. Si vale 0, se obtiene SEREP. Si vale 1, se obtiene el metodo de mezcla de modos [23].Este ultimo metodo simplemente completa los grados de libertad no medidos del vector expandido con losvalores del modo numerico asociado a ese modo experimental:

v(i) =

v(i)

φo(i)

(15.28)

Para operar correctamente, el metodo requiere que cada modo experimental sea emparejado con sucontraparte experimental. Lo cual no es obvio, en general.

Otra variante es presentada en [35], donde se que considera que los vectores expandidos cumplan conla condicion de ortogonalidad con respecto a la matriz de masa del modelo (asumiendo a priori que loserrores de masa son despreciables):

vT(i)Mv(j) = δijvT

(i)Mv(j)

Si los vectores de desplazamientos modales de ecuacion (15.26) son agrupados en una matriz Q:

Q =[

q(1) q(2) · · · q(n)

](15.29)

y si se impone que esta matriz sea ortogonal:

QT Q = I (15.30)

se puede probar que los vectores expandidos siguen la condicion de ortogonalidad con respecto a M. Elmetodo utiliza auxiliarmente la descomposicion en valores singulares [18].

En el contexto de la reduccion, se puede probar que la base modal del modelo reducido usando SEREPcorresponde exactamente a la particion medida de los modos numericos utilizados para construir el oper-ador de reduccion en tanto nn ≤ nm [25]. Ello hace de SEREP un buen metodo de reduccion dado querepresenta de manera exacta los modos y frecuencias fundamentales del sistema completo.

15.3.4. Expansion con restriccion de igualdad

Usando proyeccion modal

Un enfoque alternativo de expansion es forzar a los vectores expandidos a cumplir la condicion (15.16).Consideremos entonces el uso de los desplazamiento modales (15.26) solo para la particion no medida delvector expandido:

vo(i) = Φo(i)qse (15.31)

Luego, el vector expandido puede ser escrito como:

v(i) =

v(i)

Φo(i)qse

lo que equivale a una de las formas del metodo de coordenadas modales [24] o del metodo Test-analysismodel (TAM) [27], definido por:

Tmc =[

IΦo(i)Φ+

m

](15.32)


Expansion dinamica

De referencia [28], la funcion de costo de este metodo considera la energıa:

mınvo(i)

vT(i)Ziv(i) (15.33)

sujeto a la restriccion de igualdad (15.16):

vm(i) = v(i)

El problema puede ser reescrito como:

mınvo(i)

vT(i)Zmm(i)v(i) + 2 vT

o(i)Zom(i)v(i) + vTo(i)Zoo(i)vo(i) (15.34)

con

Zi = K− ω2i M =

[Zmm(i) Zmo(i)

Zom(i) Zoo(i)

]Resolviendo para vo(i):

vo(i) = −Z−1oo(i)Zom(i) v(i) (15.35)

se obtiene:

Tdyni =

[I

−Z−1oo(i)Zom(i)

](15.36)

Expansion Estatica

La referencia [19] propone la funcion objetivo:

mınvo(i)

vT(i)Kv(i) (15.37)

sujeta la restriccion (15.16). El problema puede ser reescrito como:

mınvo(i)

vT(i)Kmm(i)v(i) + 2 vT

o(i)Kom(i)v(i) + vTo(i)Koo(i)vo(i) (15.38)

y se obtiene el operador:

Tst =[

I−K−1

oo Kom

]Fuerza residual

El metodo de expansion propuesto en [21] utiliza Θ = I en (15.14) y la restriccion (15.16), lo queimplica confianza completa en los vectores medidos. El problema es reescrito como:

mınvo(i)

∆fT(i)∆f(i) (15.39)

o en terminos del desplazamiento residual u(i) − v(i) del metodo MECE (ecuacion 15.21):

mınvo(i)

(u(i) − v(i)

)TK2

(u(i) − v(i)

)(15.40)

El problema (15.39) puede ser escrito como:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)Zm(i)v(i) + 2 vT

o(i)ZTo(i)Zm(i)v(i) + vT

o(i)ZTo(i)Zo(i)vo(i) (15.41)

conZi =

[Zm(i) Zo(i)

](15.42)


lo que conduce a:ZT

o(i)

(Zm(i)v(i) + Zo(i)vo(i)

)= 0 (15.43)

y

Trfi =

[I

−(ZT

o(i)Zo(i)

)−1

ZTo(i)Zm(i)

](15.44)

Observacion 88 Una desventaja seria de este metodo es que la funcion objetivo no considera que enel vector de fuerzas residuales ∆f(i) hay dos tipos de incognitas: fuerzas para los grados de libertad detraslacion y momentos para los grados de libertad de rotacion. Estas variables difieren en su magnitudrelativa de manera importante. Desde el punto de vista del problema de optimizacion, el objetivo (15.39)no toma esto en cuenta. Ello puede afectar severamente la calidad del vector expandido.

Desplazamientos residuales

Para tratar el problema de la dominancia de las altas frecuencias del metodo de las fuerzas residuales,Alvin [3] propone usar Θ = K−2 en el problema (15.14):

mınvo(i)

∆fT(i) K−2 ∆f(i) (15.45)

o en terminos de los desplazamientos residuales u(i) − v(i):

mınvo(i)

(u(i) − v(i)

)T (u(i) − v(i)

)(15.46)

Usando al condicion (15.16), el problema se reescribe como:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)K

−2Zm(i)v(i) + 2 vTo(i)Z

To(i)K

−2Zm(i)v(i) + vTo(i)Z

To(i)K

−2Zo(i)vo(i) (15.47)

lo que conduce a:

Tdi =

[I

−(ZT

o(i)K−2Zo(i)

)−1

ZTo(i)K

−2Zm(i)

](15.48)

Tal como en el metodo de las fuerzas residuales, una desventaja es que el objetivo no toma en cuentaque los vectores residuales u(i)−v(i) contienen dos tipos de variables: traslaciones y rotaciones. El objetivo(15.45) es insensible a la diferencia fısica, lo que influye en el vector expandido.

MECE con restriccion de igualdad

Si consideramos Θ = K−1 para el problema (15.14) mas la condicion (15.16) obtenemos:

mınvo(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) (15.49)

desarrollando:

mınvo(i)

vT(i)Z

Tm(i)K

−1Zm(i)v(i) + 2 vTo(i)Z

To(i)K

−1Zm(i)v(i) + vTo(i)Z

To(i)K

−1Zo(i)vo(i) (15.50)

Tcmei =

[I

−(ZT

o(i)K−1Zo(i)

)−1

ZTo(i)K

−1Zm(i)

](15.51)

15.3.5. Comparacion de metodos

A fin de comparar los diferentes metodos, restringiremos los vectores expandidos a tomar la forma(15.23):

v(i) = Φ q(i)


Modal MECE

Por conveniencia usaremos la matriz de rigidez reducida con SEREP Ξ = Kse en el problema (15.18).Entonces:

mınv(i)

(u(i) − v(i)

)K(u(i) − v(i)

)+ α

(v(i) − vm(i)

)TKse

(v(i) − vm(i)

)(15.52)

sujeto a (15.8):K u(i) = ω2

i M v(i)

Observacion 89 Notese que ambos terminos del objetivo (15.52) estan unidades de energıa. Esto ase-gura un buen balance entre los mismos.

Para resolver el problema, retomamos el concepto de matriz reducida:

Kse = TseT

K Tse (15.53)

donde Tse es definida en ecuacion (15.27). Se obtiene:

Tsevm(i) = T Φ qme(i) = Φ qme

(i) = vme(i) (15.54)

Luego, el problema (15.52) puede ser reescrito como:

mınqme

(i)

(u(i) − v(i)

)TK(u(i) − v(i)

)+ α

(v(i) − vse

(i)

)T

K(v(i) − vse

(i)

)(15.55)

Si K y M son expresados en terminos de su descomposicion modal [16], se logra la siguiente expresion:

qme(i) = α

[(I− ω2

i Ω−2)2 + αI

]−1

qse(i) (15.56)

donde Ω ∈ Rnnm×nnm es una matriz diagonal que contiene las frecuencias naturales asociadas a la matrizde modos Φ y:

qse(i) = Φ+

mv(i)

La matriz de coeficientes en la ecuacion (15.56) es diagonal gracias a la restriccion (15.23) y al usodel parametro de regularizacion (15.53). Esto facilita el analisis y permite un calculo rapido del vectorexpandido MECE. La relacion (15.56) es mas facil de visualizar a nivel de cada desplazamiento modal:

qmej(i) =

α((1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

)qsej(i) (15.57)

Para cada modo, la version modal de MECE considera el corrimiento de las frecuencias, ponderado porα. Si no hay corrimiento en frecuencias, el factor asociado es siempre unitario. Para la mayorıa de losmodos, ambos metodos obtienen casi los mismos resultados. SEREP puede ser visto como una versionsimplificada de MECE. En la figura (??) el factor:

α((1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

)que corrige los desplazamientos SEREP es mostrado en un grafico triple-log. Claramente, para factoresde valores altos de α, los desplazamientos modales de ambos se acercan bastante.

Otros pesos Ξ pueden ser usados en el problema (15.52): la referencia [10] usa la matriz reducida deGuyan [19]; en las referencias [9, 29] Kmm es usado. La dificultad que aparece al usar estos pesos esque la matriz de coeficientes que aparece para encontrar qme

(i) esta muy poblada y una relacion explıcitadel tipo (15.56) no puede ser encontrada. Usando la ecuacion (15.26) y (15.56) el operador de expansionasociado a la expansion MECE es de la forma:

Tmei = ΦWiΦ+


αωωi

j

Figura 15.1: Factor de frecuencia de la expansion MECE

dondeWi = α

((I− ω2

i Ω−2)2

+ αI)−1

(15.58)

que puede ser comparado con el operador SEREP (15.27), que es independiente de las frecuencias. Logi-camente, si α −→∞ ⇒ Tme

i −→ Tse.

Expansion dinamica

Una version modal de la expansion dinamica considera:

mınv(i)

vT(i)Ziv(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(15.59)

omınv(i)

∆fT(i)Hi∆f(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(15.60)

sujeto av(i) = Φqrd

(i) (15.61)

La funcion de costo (15.59) puede ser expresada como:

mınqrd

(i)

qrdT

(i)

((Ω2 − ω2

i I)µ)qrd

(i)+α(Φmqrd

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrd

(i) − v(i)

)(15.62)

Derivando con respecto a qrd(i) lleva a:

qrd(i) = α

[(1 + α) I− ω2

i Ω−2]−1

qse(i) (15.63)

y la contribucion de cada modo numerico es:

qrdj(i) =

α(1 + α− ω2

i

ω2j

)qsej(i) (15.64)

Notese que el factor dependiente de la frecuencia puede cambiar de signo para ω2i < ω2

j , dependiendodel valor de α.

Expansion estatica

Una version modal de la expansion estatica:

mınv(i)

vT(i)Kv(i) + α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(15.65)


sujeto av(i) = Φqrs

(i) (15.66)

La funcion objetivo (15.65) puede ser expresada como:

mınqst

(i)

qrsT

(i) γ qrs(i)+α

(Φmqrs

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrs

(i) − v(i)

)(15.67)

Derivando con respecto a qrs(i) lleva a:

qrs(i) = α [(1 + α) I]−1 qse

(i) (15.68)

y para cada modo:qrsj(i) =

α

(1 + α)qsej(i) (15.69)

de lo que se desprende que el vector expandido con este metodo es tan solo una version escalada delobtenido con SEREP:

vrs(i) =

α

(1 + α)vse

(i)

Fuerza residual

En este caso utilizamos Θ = I y Ξ = Kse en el problema general (15.18):

mınqrf

(i)

∆fT ∆f + α(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(15.70)

sujeto av(i) = Φqrf

(i) (15.71)

El primer termino posee unidades de fuerza al cuadrado y el segundo termino tiene unidades deenergıa. El primer termino dominara la funcion objetivo a menos que se utilice un alto factor de regu-larizacion α.

La funcion objetivo (15.70) puede ser expresada como:

mınqrf

(i)

qrfT

(i)

((Ω2 − ω2

i I)2µ)qrf

(i)+α(Φmqrf

(i) − v(i)

)T

Kse(Φmqrf

(i) − v(i)

)(15.72)

Minimizando con respecto a qrf(i):

qrf(i) = α

((Ω2)−1

(Ω2 − ω2i I)

2 + αI)−1

qse(i) (15.73)

y para cada modo:qrfj(i) =

α((ω2

j−ω2i )2

ω2j

+ α)qse

j(i) (15.74)

Desplazamientos residuales

En este caso Θ = K−2 y Ξ = Kse son sustituidos en el problema (15.18):

mınv(i)

(K−1∆f

)T (K−1∆f

)+ α

(vm(i) − v(i)

)Kse

(vm(i) − v(i)

)(15.75)

sujeto av(i) = Φqrd

(i) (15.76)


Metodo Factorpara cada modo numerico φ(j)

SEREP 1MECE α(

1− ω2i

ω2j

)2

+ α

Dinamica α

1− ω2i

ω2j

+ α

Estatica α1 + α

Fuerza residual α(ω2

j − ω2i )2

ω2j

+ α

Desplazamiento residual α

1ω2

j

(1− ω2

i

ω2j

)2

+ α

Cuadro 15.1: Hybrid methods (qj(i) = εqsej(i))

La funcion de costo (15.70) puede ser expresada como:

mınqrd

(i)

(qrd

(i)

)T ((I− ω2

i Ω−2)2µ)qrd

(i)+α(Φmqrd

(i) − vi

)T

Kse(Φmqrd

(i) − v(i)

)(15.77)

Minimizando con respecto a qrd(i):

qrdi = α

((Ω2)−1 (

I− ω2i Ω

−2)2

+ αI)−1

qsei (15.78)

y la contribucion de cada modo numerico:

qrdj(i) =

α

1ω2

j

(1−

(ωi

ωj

)2)2

+ α

qsej(i) (15.79)

De acuerdo a la tabla (15.1) todos los metodos consideran un factor de castigo en la proyeccion en ladireccion de algun modo numerico φ(j). Tal factor es funcion del corrimiento en frecuencias entre cadamodo numerico y el modo experimental. Llevando la situacion al extremo (todos los grados de libertadmedidos y todos los modos en la base de expansion) el vector expandido no converge exactamente almodo experimental hipotetico v∗(i) a menos que el termino de regularizacion controle la funcion objetivo(α→∞), (ecuacion 15.18).

15.3.6. Expansion usando restriccion de desigualdad cuadratica

La referencia [30] tambien considera la expansion usando relajacion pero sin hacer uso de la proyeccionen la base modal (15.23). En tal caso, el numero de incognitas es mucho mayor (nfe), pero se incrementael control sobre el modo expandido. Considera el problema (15.14) con Θ = I pero en vez de construiruna funcion hıbrida del tipo (15.18), usa la tecnica de mınimos cuadrados con restriccion de desigualdad-LSQI por sus siglas en ingles- donde la condicion (15.16) es sustituida por la restriccion:(

vm(i) − v(i)

)TΞ(vm(i) − v(i)

)≤ α2 (15.80)

donde Ξ = I. El enfoque es interesante dado que permite un nivel mas preciso de los efectos del ruido.Un enfoque similar puede ser utilizado para la expansion MECE, para considerar una version LSQI.Retomando las ecuaciones (15.7-15.9), (15.14) y (15.21) el problema a resolver es:

mınv(i)

∆fT(i) K−1 ∆f(i) (15.81)


sujeto a la condicion (15.80).La desventaja es que el uso de LSQI es un proceso que requiere de las descomposiciones QR y SVD

sobre matrices con nfe(!) (vea referencia [18] para detalles).

Parte III

Aplicaciones especificas

307

Capıtulo 16

Analisis de flexibilidad de tuberıas

16.1. Intro

Aun existiendo programas de elementos finitos que logran modelar sistemas complejos de tuberias,lo cierto es que la calidad de los resultados depende grandemente de la calidad en la imposicion de lascondiciones de borde. La experiencia ha mostrado que es posible hacer un analisis efectivo de sistemascomplejos de canerias, al considerar los spans por separado para estimar la primera frecuencia natural.Como la necesidad del disenador es asegurar que la primera frecuencia natural este por sobre un ciertovalor limite, lo practico es considerar factores frecuenciales (λ) conservativos. Por ejemplo, un sistemacon apoyo simple tendra menor frecuencia natural que uno empotrado, luego es practico usar el λ masbajo.

16.2. Diseno de sistemas de tuberias con analisis dinamico

Para estimar adecuadamente la respuesta dinamica de un sistema de tuberias es necesario tomar encuenta las condiciones no ideal que se encuentran en la practica industrial. Algunos de las causas de lasdesviaciones respecto de la teoria de vigas ideales son:

Las terminaciones son intermedios entre rotulas y empotramientos,

La tuberia puede ser continua, y no una suma de segmentos independientes,

La seccion no es uniforme a lo largo del eje de la tuberia,

La seccion tiene un cambio de direccion en un extremo y terminaciones en Z o en U en el otroextremo,

Las masas anadidas no son puntuales si no que tienen una longitud finita.

Un conocimiento general de las caracteristicas de vigas uniformes provee la base para el analisis devibraciones de tuberias. Las vigas uniformes son clasificadas segun el tipo de condicion de borde quepresenten.

Usando la ecuacion diferencial para las vibraciones transversales de un viga (ver Harris xx) y laspropiedades del acero:

E = 207E3 MPaρ = 7850 Kgf/m3

Se obtienef1 = 223λ

k

l2

donde k es el radio de giro (pulg) y

309

310 CAPITULO 16. ANALISIS DE FLEXIBILIDAD DE TUBERIAS

100 101 102

100

101

102

Frecuencia (Hz)

Am

plitu

d (m

ils p

eak-

peak

)

Figura 16.1: Diagrama de severidad

l es la longitud (pies).Los factores λ para diferentes condiciones de borde se muestran en tabla xx.xxaqui poner la tabla del blevins mejorxx

16.2.1. Masas concentradas

Una aproximacion para estimar el efecto de cargas concentradas sobre la primera frecuencia naturalpuede ser obtenida a partir del metodo de Rayleigh:

fp = 223λk

l21√

1 + C PW

Hz

donde P es la carga concentrada, W es el peso de la viga de longitud l,C es un factor de correccion.

16.2.2. Tuberias curvas

La figura xxfig1xx muestra un estudio del factor de frecuencia λ para la primera frecuencia natural(fuera del plano) para vigas L y U .

16.3. Fuentes de vibracion

Las vibraciones de las tuberias pueden deberse a dos causas:

flujo interno de la tuberia (pulsaciones de presion), y

por maquinas (compresores, bombas, motores, etc.)

Las pulsaciones de presion son la causa mas frecuente, pero su prediccion es mas dificil. Las vibracionesinducidas por bombas y compresores se limitan a las frecuencias de rotacion y sus multiplos bajos.

Las vibraciones tambien son dependientes de las frecuencias naturales acusticas de la tuberia. Losfactores de amplificacion pueden oscilar entre 10 y 300 segun washel76xx.

Las pulsaciones de presion pueden provenir de diferentes mecanismos (ver tabla xx3xx).En caso de que sus frecuencias coincidan con las frecuencias naturales mecanicas y acusticas del

sistema se pueden producir problemas de vibraciones.

16.4. FILOSOFIA DE DISENO 311

16.3.1. Valvulas de control

Una clase particular de pulsaciones de presion que requiere especial atencion es el asociado a losreguladores de flujo o valvulas de control de flujo. Tipicamente, existe una importante baja de presiontras una valvula. Consecuentemente, las altas velocidades de flujo que ocurren en la valvula generan grancantidad de energia de pulsacion. Para las valvulas de liquidos a presion, ademas de causar turbulencia debaja frecuencia, tambien puede ocurrir flashing y cavitacion en laregion de baja presion de la valvula. Parareguladores de presion de tuberias de gas, los cuales operan en general bajo condiciones de flujo choked,se genera considerable energia de pulsacion por sobre los 1000 Hz. Aun si existe un ancho de banda delas pusaciones, ella se concentra en torno a la frecuencia de Stroudhal correspondiente al numero deStroudhal 0.2.

16.3.2. Acoplamiento de fuerzas acusticas

Antes de que las pusaciones de presion causen vibraciones, es necesario que la energia de pulsacion seacople con el sistema mecanico. Por ejemplo, una pulsacion de presion en una tuberia recta no produceninguna fuerza de excitacion para vibraciones transversales. Las pulsaciones de presion solo se acoplan conel sistema de tuberia en discontinuidades tales como codos, terminaciones cerradas de vessels y headersy restricciones tales como orificios, valvulas y reductores.

Los elementos mas comunes de acoplamiento son los codos. La fuerza dinamica que actua en uncodoresulta del cambio de momentum debido al cambio de direccion del flujo.Una indicacion de tal fuerzapuede estimarse al considerar al sistema acustico como conservativo (la energia cinetica maxima es iguala la energia potencial maxima y la energia dinamica total es la misma para cualquier punto de la tuberia).En tal caso:

2pA cosθ

2donde p es la amplitud maxima de la pulsacion de presion,

A es el area de la seccion,θ es el angulo entre los dos ejes del codo.Luego, para un codo de 90 grados, la fuerza tiene magnitud

√2pA

Otro mecanismo de acoplamiento de energia acustica ocurre en botellas de manifold, capped head-ers,filters, etc. En tales elementos, las fuerzas acusticas presentes en cada terminacion y en cada baffle orestriccion, debe ser considerada para determinar la fuerza resultante total. Consecuentemente, se debentomar en cuenta no solo las diferencias amplitud de presion sino que ademas el desfase y las areas enlas cuales las pulsaciones actuan. Por ejemplo, para el caso simple de una botella de surge vacia o de unheader caped en ambos extremos, la fuerza dinamica que se produce por una pulsacion de presion es dela misma amplitud en ambos extremos

2pA

pero de signo opuesto (desfase de 180 grados).

16.4. Filosofia de diseno

El objetivo es evitar la resonancia mecanica de las tuberias y sus componentes. Para ello se requierede criterios de aceptabilidad. Estos limites son una funcion de los esfuerzos diamicos asociados a cadamodo propio de vibracion. Von Nimitz’74 xx propone la tabla xxtabla4xx.

El procedimiento mostrado anteriormente permite establcer cotas inferiores para la primera frecuencianatural y asi definir la luz entre descansos. Las propiedades de diseno de los mismos tambien es impor-tante. Para minimizar las vibraciones de los descansos, la rigidez efectiva del descanso debe ser mayorque la de tuberia. Para una viga con apoyos simples, la rigidez estatica efectiva para una fuerza aplicadaen su centro es

48EI

l3


Por ejemplo, una tuberia de 10”de 10 pies tendra una rigidez efectiva de 0.13E6 Lbf/pulg. Para que eldescanso tenga niveles superiores a este valor se deben usar thick gusseted clamps.

La filosofia de diseno al seleccionar el espacio entre piers para instalaciones de compresiores reci-porcantes y bombas debe ser que la primer frecuencia natural de la tuberia sea al menos el doble que lamayor frecuencia de excitacion de interes. En ese caso la vibracion generada por esa fuerza es solo un33% mayor que la generada por una fuerza estatica equivalente, lo que es relevante para la estimacionde la amplitud de vibracion. La experiencia ha mostrado que el numero de clamps determinados a partirde un analisis dinamico es solo un poco mayor que el requerido tras un analisis estatico de peso. Lafuncion primaria de los descansos no debe ser restringir la vibracion de la tuberia , sino que lograr eldesacoplamiento de las vibraciones entre los diferentes spans y asi evitar factores de amplificacion tangrandes como de 100 que ocurren en malos disenos.

Para evitar problemas de vibraciones, es neceario eliminar todos los codos innecesarios, dado que ellosproveen gran acoplamiento entre las pulsaciones y el sistema mecanico. Cuando los codos son requeridos,use el mayor angulo posible; ademas ponga los clamps tan cerca como pueda de cada lado del codo. Paradefinir la rigidez de los descansos de los codos, use el metodo electroacustico xxnimitzxx para medir lasfuerzas y los niveles aceptables de vibracion (fig xx4x).

La tuberia debe poseer soportes cerca de cada masa importante y disontinuidades, incluyendo valvulas.Las conecciones auxiliares pequenas (tales como vents, drains, etc). requieren atencion especial. Histori-camente, el diseno ha ....xxxsacarxx

Si la frecuencia de una fuerza excitatriz conicide con alguna frecuencia natural, aun si su amplitudespequena, puede causar problemas de fatiga. Por ejemplo, el esfuerzo por mil de vibracion de una tuberiade 1”de diametro en cantilever de 12”es

S

∆=

3ED288l2

(SCF

1000

)= 1,563 psi/mil= 424 MPa/mm

donde ∆ es la vibracion en mils,SCF es el factor de concentracion de efecto (≈ 5)Si el limite de endurance permisible a los 107 ciclos es 26000 psi peak-peak, la vibracion admisible es

∆ = 16,6 mils peak-peak= 0,42 mm

Un factor de amplificacion Q de 50 se considera representativo para el modo de vibracion de unaseccion en cantilever. Luego, si la tuberia principal a

16,650

= 0,33 mils peak-peak

entonces ese diseno puede fallar por fatiga.

16.5. Reglas generales de diseno

1. Eliminar tantos codos como sea posible

2. Anadir soportes a cada lado de cada codo

3. Los descansos de los codos deben tener rigidez aceptable para que las vibraciones de la tuberia seanaceptables

4. Estimar las fuerzas actuando a traves de tecnicas adecuadas, tales como el metodo electroacustico

5. Anadir soportes a masas importantes y discontinuidades tales como valvulas

6. Evitar que vents,drains, etc queden en configruacioens cantilever

16.6. VIBRACIONES NO LINEALES EN TUBERIAS 313

2 S. Aoki, T. Watanabe / Nuclear Engineering and Design 223 (2003) 1–10

exact solution for complicated calculative procedureand is unrealistic (seeWatanabe and Shibata, 1991).

The objectives of this paper are to provide the readerthe methods of the approximate steady-state solu-tion of the continuous system with asymmetrical andsymmetrical collision characteristics under harmonicexcitation and to show the numerical results of theapproximate solution for designing the piping system.

2. Analytical method for the system withhysteresis loop characteristics

2.1. System with asymmetrical collisioncharacteristics

A simplified dynamical model of the continuoussystem with asymmetrical collision characteristics isshown in Fig. 1. Namely, this model consists of abeam clamped at one end, with one-sided amplitudeconstraint by the nonlinear support having hysteresisloop characteristics (Fig. 2) at the other end.

Letρ be the mass density,A the cross-sectional area,and EI the modulus of flexural rigidity. The equationfor transverse free vibration of a beam can be writtenas follows:

∂2y

∂t2+ EI

ρA

∂4y

∂x4= 0 (1)

The relations betweeny andz as shown inFig. 1 aregiven by

y = z+ y0 cosωt (2)

Hence we have

∂2z

∂t2+ EI

ρA

∂4z

∂x4= y0ω

2 cosωt (3)

Fig. 1. Analytical model of continuous system with asymmetricalcollision characteristics.

Fig. 2. Hysteresis loop characteristics of force of restitution at thebeam end.

Assuming the solution forEq. (1)as

y =∞∑n=1

Xn(x) cosnωt (4)

a formal solution ofEq. (3) can be expressed as fol-lows:

z= −y0 cosωt +∞∑n=1

(An coshλnx+ Bn sinhλnx

+Cn cosλnx+Dn sinλnx) cosnωt (5)

whereAn, Bn, Cn, Dn are constants to be determinedin each particular case from the boundary conditionsof the beam, where

λ4n

4 = Λ41n

2Ω21, Ω1 = ω

ω1(6)

and

ω1 = Λ21

2

√EI

ρA, Λ1 = 1.8751 (7)

The boundary conditions for this case are as follows:

x = 0, z = 0 (8)

x = 0,dz

dx= 0 (9)

x = , d2z

dx2= 0 (10)Figura 16.2: Sistema con rigidez no lineal asimetrica (segun Aoki’03[36]). e0 e y0 corresponden a yc e yb

en nuestra nomenclatura, respectivamente6 S. Aoki, T. Watanabe / Nuclear Engineering and Design 223 (2003) 1–10

Fig. 4. Analytical model of continuous system with symmetricalcollision characteristics.

2.2. System with symmetrical collision characteristics

For the symmetrical system with hysteresis loopcharacteristics shown inFig. 4, Eq. (20)is written as

g(θ) = a1 cosθ + b1 sinθ (57)

And Eqs. (53) and (54)are expressed as

X = 2

3π

K1/k ·K2/k

(√K1/k + √

K2/k)2(58)

Y = 1

4π

K1/k ·K2/k · (K1/k −K2/k)

(√K1/k + √

K2/k)4(59)

Eq. (52)is written as

y0

e0= 1

1 −Wθ20/2

√(1 −M1Xθ

30)

2 + (M1Yθ40)

2

N

(60)

Fixing the parameterΩ1, θ0 can be obtained fromEq. (60)for a given value ofy0/e0. Then,Γ /e0 can beobtained, utilizingEq. (51).

3. Analytical method for the system withouthysteresis loop characteristics

3.1. System with asymmetrical collisioncharacteristics

For the asymmetrical system without hysteresisloop characteristics, the nonlinear force of restitutionf(z) of the system with asymmetrical collision char-acteristics shown inFig. 1 is defined by the followingpiecewise-linear characteristics as shown inFig. 5:

f(z) =K1(z − e0) z ≥ e0 (I)

0 z ≤ e0 (II )(61)

Fig. 5. Relation between force of restitution and penetration.

whereK is the spring constants of the stop at the beamend as shown inFig. 5.

The periodic functiong(θ) must satisfy the condi-tions of the given characteristics of the nonlinear forceof restitutionEq. (61), which is, in this case, to bewritten as the following equations:

f(z)= g(θ)

=

K1(z − e0) −θ0

2≤ θ ≤ θ0

2(I)

0θ0

2≤ θ ≤ 2π − θ0

2(II )

(62)

whereθ0 denotes the range of the phase angleθ duringthe period of the contact of the beam end with thenonlinear support at one side as shown inFig. 6.

In this paper, let the functiong(θ) be approximatedby

g(θ) = a02 + a1 cosθ (63)

Fig. 6. Waveform of force of restitution at beam end.

Figura 16.3: Sistema con rigidez no lineal simetrica (segun Aoki’03[36])

7. la frecuencia natural fundamental de los spans no debe conicidir con las fuerzas actuando

8. En sistemas con compresores reciprocantes y bombas, la frecuencia natural fundamental debe ser almenos el doble de la componente conocida mas alta

9. no restringir la tuberia soldando directamente la misma

10. mantener las velocidades de flujo lo mas bajo posible en reguladores

11. Reducir la perdida de carga en las valvulas

12. Mantener suficiente presion estatica aguas abajo de valvulas reguladoras de flujo de liquidos paraprevenir flashing en la zona de baja presion

16.6. Vibraciones no lineales en tuberıas

La respuesta forzada de un sistema de tuberıas con soportes no lineales (debido a solturas) en sis-temas industriales ha sido estudiada en varias referencias(Watanabe’78[38], Moon’83[39], Shaw’85[37],Aoki’03[36]). Estos estudios surgen de la necesidad de conocer adecuadamente la respuesta del sistemapara disenar y controlar el sistema y ası evitar niveles inaceptables de vibracion. Aoki’93[43] y Aoki’03[36]presentan modelos donde se considera la disipacion de energıa que ocurre durante los impactos en un sis-tema simples de tuberıas con soltura. Ellos restringen su estudio al caso en ocurren 1 y 2 impactos porciclo de vibracion, cuando el sistema es excitado sismicamente a frecuencia constante ω.

16.6.1. Formulacion del problema

Considerese el sistema de figura (??), que representa una seccion de tuberıa, la cual esta empotradaen un extremo, mientras que el otro puede ser modelado como libre. El extremo empotrado puede recibirexcitacion sısmica. Por su lado, el extremo libre puede entrar en contacto con un elemento de rigidez deconstante kr cuando el desplazamiento transversal del extremo de la viga supera el juego yc y solo paray negativos. La densidad por unidad de longitud ρl es constante. Se desea estudiar el comportamiento nolineal de este sistema ante excitacion por la base. Sea y(x, t) la posicion de un punto dado de la viga,respecto de un observador inercial.Usando el metodo de separacion de variables, modelaremos y(x, t) como

y(x, t) = φ(x)yl(t)


donde yl es el desplazamiento relativo del extremo de la seccion de tuberıa, respecto de el punto de apoyoen x = 0. Se tiene:

y(x, t) = φ(x)yl(t)

Para simplificar la notacion, escribiremos

y = y(x, t)yl = yl(t)φ = φ(x)

A fin de usar el metodo de Lagrange,

d

dt

(∂T∂q

)+∂V∂q

= Qq (16.1)

tomaremos la funcion de forma

φ(x) = 2(xl

)2

− 43

(xl

)3

+13

(xl

)4

(16.2)

que proviene de la deflexion estatica ante una carga uniforme p :

y(x) = −p l4

8EI

[2(xl

)2

− 43

(xl

)3

+13

(xl

)4]

La energia de deformacion del sistema si la viga se deforma segun (8.21) es

V(t) =12

∫ l

EI

(∂2y

∂x2

)2

∂x+ δ012kr (yl − yc)

2

=12

∫ l

EI

(∂2 [φyl]∂x2

)2

∂x+ δ012kr (yl − yc)

2

=12

[∫ l

EI

(∂2φ

∂x2

)∂x2

]y2

l (t) + δ012kr (yl − yc)

2

=12kvy

2l + δ0

12kr (yl − yc)

2

=12kvy

2l +

12krδ0y

2l −

12krδ02ylyc +

12krδ0yrc

=12

(kv + δ0kr) y2rl +

12krδ0yrc (1− 2yrl)

donde

kv =∫ l

EI

(∂2φ(x)∂x2

)∂x2

=165EI

l3

δ0 =

1 si yl − yb ≤ yc

0 −

En Maple:

> phi:=2*(x/l)^2-4/3*(x/l)^3+1/3*(x/l)^4;> kv=int(EI*diff(diff(phi,x),x)^2,x=0..l);


La rigidez quedadV(t)dyl

= (kv + δ0kr) yl

(el segundo termino aporta una constante que no afecta la solucion vibratoria)Por su lado, la energıa cinetica es

T (t) =12

∫ M

y(x, t)2dm

=12

∫ l

y(x, t)2ρldx

=12

∫ l

y(x, t)2ρldx

=12ρl

∫ l

(φyl)2dx

=12

(ρl

∫ l

φ(x)2dx

)y2

l

=12my2

l

con

m = ρl

∫ l

φ(x)2dx

Para la funcion de aproximacion utilizada tenemos

m =104405

ρll

≈ 0,26M

o sea un 26% de la masa de la viga, aporta para la energia cinetica. La ecuacion homogenea del movimien-to queda

myl + cyl + (kv + δ0kr) yl = 0

normalizando por m,

yl +c

myl +

(kv + δ0kr)m

yl = 0

yl + 2ξ0ωv yl +(ω2

v + δ0ω2r

)yl = 0

con

ω2v =

kv

m(16.3)

ω2r =

kr

m

frecuencias que serian las frecuencias naturales de sistemas lineales asociados.En caso de haber movimiento relativo de la base yb = yb(t), se tiene

yl + 2ξ0ωv (yl − yb) +(ω2

v + δ0ω2r

)(yl − yb) = 0

restando yb a ambos lados,

(yl − yb) + 2ξ0ωv (yl − yb) +(ω2

v + δ0ω2r

)(yl − yb) = −yb

y definiendoyr = (yl − yb)


y_c 0

k_r*y_c

0

Fuer

za e

last

ica

Desplazamiento yl

Figura 16.4: Caracterısticas de k(y)

se tieneyr + 2ξ0ωv yr +

(ω2

v + δ0ω2r

)yr = −yb (16.4)

Si asumimos excitaciones sismicas sinusoidales

yb(t) = ybo sinωt (16.5)yb(t) = yboω cosωt

yb(t) = −yboω2 sinωt

16.6.2. Amortiguamiento

Si la razon de rigideces α es alta, el choque es muy rapido y se disipa muy poca energia. En caso de queel sistema fuese lineal (α = 0), se esperaria un amortiguamiento bajo pero no nulo. En acero se estimauna razon de amortiguamiento del ξ0 ≈ 2 %. En caso de asumir amortiguamiento estructural, tenemos

c = βkv

conξ =

βωv

2luego

c ≈ 2ξ0ωvkv = 2ξ0ωvm

16.6.3. Normalizacion

Retomando (16.4), y considerando (16.5), tenemos

yr + 2ξ0ωv yr +(ω2

v + δ0ω2r

)yr = yboω

2 sinωt

normalizando por el juego yc,

yn + 2ξ0ωv yn +(ω2

v + δ0ω2r

)yn = νω2 sinωt (16.6)

conyn = yn(t) =

yr

yc

yν =

yb0

yc


π/ωv1 π/ωvr

Ts

Tiempo

Des

plaz

amie

nto

y

Figura 16.5: Forma de onda esperada para impactos suaves

Seaα =

kr

kv

se tiene que

ω2r =

kr

m=αkv

m= αω2

v

luegoyn + 2ξ0ωv yn + (1 + δ0α)ω2

vyn = νσ2ω2v sinσωvt (16.7)

Se produce impacto (y δ0 = 1) siyn < −1

Vemos que (16.7) depende de la razon de rigidez α, el nivel del sismo ν, el factor de amortiguamientoξ0, la razon de frecuencias σ y la frecuencia natural ωv:

yn = yn (α, ν, σ, ωv, ξ0)

16.6.4. Paso de tiempo de integracion

Siguiendo el enfoque presentado en Ehrich’88[42], fijaremos el paso de tiempo en base al periodoesperado cuando el impacto es suave (ver figura 16.5):

Ts =Tv

2+Tvr

2donde Tv es el periodo de con

Tv =2πωv

Tvr =2πωvr

=2π√

1 + αωv

donde ωvr seria la frecuencia natural del sistema rigido (kv + kr) luego

Ts =π

ωv

(1 +

1√1 + α

)y luego un numero suficiente de puntos, para el ejemplo usaremos 256 puntos/ciclo.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

Tiempo normalizado c/r a Tw

Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=10 σ=0.1 ν=1

Figura 16.6: Respuesta en el tiempo σ = 0,1

16.6.5. Ejemplo

Considerese una seccion de tuberıa de acero con diametro 4 2espesor de pared 3/8”, de 10 m delongitud, en las condiciones descritas en figura (??). Se estima que el factor de amortiguamiento es

ξ0 = 0,02

La razon de rigidez esα = 10−3, 101, 103

y el sismo se caracteriza con frecuenciaσ = 0,1, 1, 5

y amplitudν = 1

O sea, el sistema opera a un 10%,100%, 500% de la frecuencia natural del sistema lineal asociado. Setiene (ecuacion 16.3):

ωv = 8,16 rad/s

Consideremos un estudio de sensibilidad de la respuesta para varias razones de rigidez α y para variasfrecuencias. La figura 16.6 muestra la respuesta a baja frecuencia σ = 0,1. Al variar α se produce la mismarespuesta pues el mecanismo no lineal no es excitado. El sistema es lineal y su respuesta estacionariatiene la misma frecuencia de la excitacion.

A continuacion estudiemos la situacion de resonancia(σ = 1) y variamos la razon de rigidez α =10−3, 10, 103. La figura (16.7) muestra la respuesta estacionaria para los 3 casos estudiados. Como paraα = 10−3 el efecto no lineal es despreciable, el sistema oscila sin restriccion, como el sistema lineal.Al incrementar α el nivel de los desplazamientos se reduce ostensiblemente. Al producirse el impacto,la tuberıa regresa. el espectro en este caso contiene varios multiplos de la frecuencia excitatriz como seaprecia en figuras (16.8). La respuesta en este caso contiene una cantidad de multiplos enteros de lafrecuencia excitatriz

iω con i = 1, 2, 3, ...

Dominan las componentes a 1,2 y 3 veces ω.Las figuras (16.9) muestran la respuesta en el tiempo cuando la frecuencia del sismo es 5 veces la

frecuencia natural del sistema lineal estudiado (σ = 5). Al estudiar el espectro (figura 16.10) se apreciaque para α = 10, la respuesta es dominada por componentes subharmonica multiplos de 1

7ω. Notese queel sistema no impacta necesariamente una vez por ciclo (hipotesis de trabajo de Aoki’03). Vemos queα = 10, σ = 5 se produciran dos impactos rapidos y otro separado, cada 7 ciclos del sismo. Para α = 103

la respuesta es dominada por componentes subharmonicas multiplos de 115ω (se aprecia una periodicidad

de la senal cada 15 ciclos de la senal sismica).


0 1 2 3 4 5 6-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=0.001 σ=1 ν=1

0 1 2 3 4 5 6-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=10 σ=1 ν=1

0 1 2 3 4 5 6-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=1000 σ=1 ν=1

Figura 16.7: Respuesta en el tiempo (σ = 1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

ωv=8.16 α=0.001 σ=1 ν=1

Frecuencia normalizada c/r a σ*ωv

Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ωv=8.16 α=10 σ=1 ν=1


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ωv=8.16 α=1000 σ=1 ν=1


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

Figura 16.8: Espectro de la respuesta estacionaria (σ = 1)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

10

15


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=0.001 σ=5 ν=1

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

10

15


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=10 σ=5 ν=1

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

10

15


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

ωv=8.16 α=1000 σ=5 ν=1

Figura 16.9: Respuesta en el tiempo (σ = 5))

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ωv=8.16 α=0.001 σ=5 ν=1


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 1.0 8/7 9/7 2.00

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

ωv=8.16 α=10 σ=5 ν=1


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

1/15 1/5 1/3 7/15 2/3 1.0 2.0 0

1

2

3

4

5

6

ωv=8.16 α=1000 σ=5 ν=1


Des

plaz

amie

nto

rela

tivo

norm

aliz

ado

Figura 16.10: Espectro de la respuesta estacionaria (σ = 5)


y

y-normal

t

tiempo

seno

rigidez

1000

cte-K-

amortScope

1s

Integrator1

1s

Integrator

1000

Display

Clock

Figura 16.11: Modelo Simulink

La figura (16.11) muestra el diagrama de bloques en Simulink. La simulacion fue parametrizada usandolos siguientes comandos Matlab6,5 (Los parametros han sido definidos en otra parte del codigo):

set_param(’pnl2’,’FixedStep’,num2str(Ts/512),’Solver’,’ode5’,’StopTime’,num2str(Ti))set_param(’pnl2/cte’,’Value’,num2str(alpha))set_param(’pnl2/seno’,’Frequency’,num2str(w),’Amplitude’,num2str(nu*w^2))set_param(’pnl2/amort’,’Gain’,num2str(2*xi_0*w_v))set_param(’pnl2/rigidez’,’InputValues’,’[-2:1]’,’OutputValues’,[’[’,num2str([-(2+alpha) -10 1]*w_v^2),’]’])set_param(’pnl2/tiempo’,’MaxDataPoints’,num2str(N),’SaveFormat’,’Array’)set_param(’pnl2/y-normal’,’MaxDataPoints’,num2str(N),’SaveFormat’,’Array’)sim(’pnl2’,[0 Ti]);

Observacion 90 Simulink toma los valores del espacio de trabajo y no los de la funcion.

16.6.6. Comentarios

Hemos propuesto un modelo sencillo para modelar los impactos de tuberias por situaciones de soltura.Un ejemplo numerico nos ha permitido observar que la respuesta estacionaria puede estar lineal o nolineal, y en este ultimo caso puede estar dominada por componentes harmonicas o subharmonica depen-diendo de varios factores: nivel del sismo (ν), frecuencia del mismo (σ), frecuencia natural del sistema(ωv), factor de amortiguamiento (ξ0). Hemos hecho un analisis de sensibilidad de la respuesta en funcionde la frecuencia y de la razon de rigidez.

Aoki’03 obtiene expresiones analiticas asumiendo 1 impacto por ciclo, lo que no se cumple en variasde las configuraciones que hemos estudiado con simulacion numerica.

A futuro seria conveniente estudiar la estabilidad este sistema. Un camino posible es utilizar el criteriode estabilidad de Ruth-Hurwitz (descrito en Lalanne’98[41]).

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324 BIBLIOGRAFIA

Capıtulo 17

Inestabilidad en sierras de banda

Resumen

El proceso de aserrado con sierras huinchas es frecuentemente acompanado de variaciones importantesen el corte que dejan superficies onduladas en el material, lo que es conocido en ingles como washboard(“tabla de lavado”). Ello afecta considerablemente la calidad del producto, por lo que debe ser evitado.El estudio tiene por objetivos acotar el problema, evaluar las condiciones presentes en un caso industrialreal y emitir un diagnostico del problema. La comprension del fenomeno permite orientar sistematicamenteel proceso de busqueda de soluciones.Se concluye que el washboard es causado por la excitacion de una frecuencia natural muy cercana (einferior) a la frecuencia de paso de los dientes. Tambien se concluye que el sistema sobreestima la tensionrealmente aplicada a la sierra. La tension influye de manera importante en las frecuencias naturales. Otrasmedidas para solventar el problema son discutidas.

17.1. Introduccion

Tal como muestra la figura 17.2, los elementos fundamentales de una sierra huincha son 2 volantes,alrededor de los cuales es conducida la sierra con forma de banda; y algun mecanismo para separar losvolantes con el fin de aplicar tension a la sierra. Para incrementar la rigidez de la sierra en la zona decorte, la sierra es soportada en cada lado de la region de corte por guıas que sobresalen un poco de latangente entre los cabezales. Las RPM pueden alcanzar el orden de 10,000. El diametro de los volantesoscila tıpicamente entre 5 y 9 pies. El espesor de la sierra oscila entre 0,049” y 0,109”, y el ancho entre10” y 12”. Entre las caracterısticas de una sierra eficiente encontramos:

Alta velocidad de corte

Precision en el corte

Calidad de la superficie aserrada

Figura 17.1: Fenomeno de washboard

325

326 CAPITULO 17. INESTABILIDAD EN SIERRAS DE BANDA

oR2

x

y

z

Figura 17.2: Diagrama de una sierra

Bajo nivel de ruido

Baja mantencion y tiempos muertos

En contra de lo anteriormente mencionado, la vibracion de las sierras huinchas produce varios efectosnegativos:

Corte poco preciso

Degradacion del producto

Fallas catastroficas

Reduccion en la duracion de la sierra

Mayores tiempos muertos

Mayor consumo de energıa

Como problematica de ingenierıa, las vibraciones en sierras huinchas se ubican en el campo de las vi-braciones con material en movimiento axial [?, ?]. Fenomenos similares aparecen en: maquinas papeleras,correas, cintas magneticas de alta velocidad, cadenas, correas, canerıas con fluidos, etc.

Las excitaciones que provocan vibraciones en las sierras huinchas provienen de las fuerzas de corte,las excentricidades e irregularidades de los volantes y las vibraciones provocadas por otras maquinas.Cuando las frecuencias de excitacion estan cerca de una frecuencia natural de la sierra se produce unfenomeno de amplificacion de las vibraciones tambien conocido como resonancia. La figura 17.3 indicados situaciones que grafican este efecto: en la parte de arriba se considera una excitacion cuya frecuenciaesta muy cercana a la de una resonancia del sistema; la respuesta tiene un nivel 12 veces superior a larespuesta del sistema a la misma excitacion si la frecuencia natural fuese 20% mayor.

Establecida la hipotesis, el problema se reduce a:

1. Encontrar el modo propio que esta siendo excitado, y la fuerza que lo esta excitando, y luego,

2. Tomar medidas para evitarlo sin llevar al sistema a una nueva resonancia.

A fin de reducir las vibraciones de las sierras se pueden tomar varias medidas. Entre ellas se cuentael tensioning, que consiste en producir deformaciones plasticas que inducen esfuerzos residuales en lasierra. Es considerado un proceso crıtico para el buen funcionamiento de una sierra huincha, pues permiteincrementar la tension de la sierra (su rigidez).

17.1. INTRODUCCION 327

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia

Fuer

za

Excitación

0 0.5 1 1.5 210

-1

100

101

102

Frecuencia

Des

plaz

amie

nto/

Fue

rza

Función Respuesta

0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30

Frecuencia

Des

plaz

amie

nto

Respuesta

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia

Fuer

za

Excitación

0 0.5 1 1.5 210-1

100

101

102

Frecuencia

Des

plaz

amie

nto/

Fue

rza

Función Respuesta

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

Frecuencia

Des

plaz

amie

nto

Respuesta

Figura 17.3: Ocurrencia de una resonancia


Sımbolo ParametroRo Tension axialL Longitud entre guıasEI Rigidez flexuralm Masa por unidad de longitudX Posicion axialU Desplazamiento transversalT TiempoF Carga transversalx Posicion axial adimensionalu Desplazamiento transversal adimensionalt Tiempo adimensionalf Carga transversal adimensionalν Parametro para velocidad de sierraµ Parametro para tension axial

Cuadro 17.1: Parmetros del modelo de viga

17.2. Antecedentes bibliograficos

Como un medio de comprender el efecto de la tension axial y de la velocidad en las propiedadesmodales de la sierra se puede tomar como ejemplo la ecuacion del movimiento transversal de una viga enmovimiento [Wickert’90][12]:

Mu′+ C...u +Ku = f (17.1)

donde

M = I

C = 2ν∂

∂x

K =(ν2 − µ2

) ∂2

∂x2+

∂4

∂x4

µ2 =RoL

2

EI

v = V

√mL2

EI

x =X

L

u =U

L

t = T

√EI

mL4

f =FL3

EI

La ecuacion 17.1 puede predecir solo las frecuencias en flexion y no dispone de soluciones explıcitas.El efecto de la tension se aplica en el termino µ2, y el de la velocidad, en ν. Si µ2 = ν = 0 se obtiene laecuacion del movimiento de una viga de Bernoulli simple.

[Ulsoy’78], [Hutton’91] listan los siguientes parametros que definen las propiedades dinamicas de lasierra:

Tension axial de la sierra (P )

17.3. ANALISIS MODAL EXPERIMENTAL 329

Longitud libre entre guıas (L)

Tipo de guıas (condiciones de borde)

Las fuerzas de corte (excitacion)

El espesor de la sierra (b) y su ancho(h) (rigidez)

Irregularidades y excentricidad de los volantes (excitacion)

Los esfuerzos residuales provocados por el tensioning (rigidez)

De acuerdo a [Hutton’91] el parametro que mas afecta la rigidez de una sierra es la tension. La tensiones limitada, en la practica, por los cracks de fatiga que induce en la garganta de la sierra. Ello ocurreaun si los esfuerzos medios en la sierra son 10% del esfuerzo de cedencia.

[Ulsoy’78] agrega la variacion periodica en la tension axial de la sierra como fuente de inestabilidad.Sugiere verificar que la velocidad de los cabezales no corresponda al doble de alguna frecuencia natural dela sierra.

De acuerdo al estudio [Wang’94], el tensioning puede incrementar o disminuir sustancialmente lasfrecuencias naturales de torsion y moderadamente reducir las frecuencias de flexion.

[Ulsoy’82] muestra el efecto de los esfuerzos residuales (producto del tensioning) en las propiedadesmodales.

[Kirbach’78] comprobo experimentalmente que un tensioning apropiado incrementa sustancialmentelas frecuencias en torsion, mientras reduce ligeramente las de flexion.

[Wickert’90] demuestra que las frecuencias naturales disminuyen al incrementar la velocidad. Ademas,los modos se hacen complejos cuya forma depende de la velocidad.

El analisis modal experimental de [Ulsoy’82] muestra poca reduccion en las frecuencias con la velocidad:menos de 5% bajo 30 m/s, menos de 15% a 50/s en una sierra industrial.

En [Mote’82], [Mote’84] se estudia en un sistema sin guıas, el acoplamiento entre las vibraciones dellado de trabajo de la sierra y el otro lado. Ello permitirıa controlar las vibraciones a traves de mecanismosde amortiguacion ubicados en el lado que no trabaja. Sus resultados se limitan a sistemas sin guıas.

[Ulsoy’82] muestra alta correlacion entre frecuencias teoricas y experimentales para diferentes veloci-dades y niveles de tension. Las diferencias son inferiores a 5%.

[Mote’86] propone matrices elementales de elementos finitos para la sierra completa, incluyendo losvolantes, velocidad y tension de la sierra, la rigidez del soporte de los volantes. Ello permite estudiar elacoplamiento mencionado en [Mote’82] para fines de control.

[Yang’90] usa tecnicas de control activo, basadas en sensores de desplazamiento y electroimanes. Elartıculo reporta reducciones de amplitud en el orden 80%-90%.

[Damaren’00] presenta una aplicacion de control robusto en un caso simulado.

17.3. Analisis modal experimental

En la imposibilidad1 de medir directamente frecuencias naturales con la maquina en funcionamiento,se considera necesario conocer las frecuencias naturales con el sistema detenido y ası poder analizarla posible excitacion de modos propios cercanos a las frecuencias de excitacion conocidas. La literaturaindica que las frecuencias naturales disminuyen relativamente poco cuando la sierra opera, por lo que lasmediciones con maquina detenida (vb = 0) deben estar cercanas a los valores en operacion. Los datos dela sierra son:

A fin de excitar la sierra se utilizo un martillo de metal. Se usaron 2 sensores uno en cada ladode la sierra. Ası, gracias al analisis de fase fue posible distinguir entre peaks de modos en flexion ytorsion2. El estudio considero dejar constante la tension y variar la longitud entre guıas. Se midio paralas siguientes longitudes: 600, 690, 800, 890 mm. Los espectros conseguidos para cada distancia entreguıas son mostrados en figura 17.4.

1Con los equipos de medicion disponibles. La medicion es factible con medidores sin contacto.2Todo modo en flexion tiene desfase de 0, todo modo en torsion tiene desfase de 180


Parametro Sımbolo ValorTension (Lbf) 2Ro 20200Espesor sierra (mm) h 1.47Altura garganta (mm) G 16Paso (mm) P 45Ancho(mm) b 247Distancia entre guıas (mm) L 600,690,800,890

Cuadro 17.2: Parametros de la sierra detenida

Figura 17.4: Espectro de uno de los sensores vs distancia entre guıas. Flechas indican tasa de disminucion


50 100 150 200 250 300-200

-100

0

100

200

phas

e (d

egre

es)

x:linear Hertz

xfer ch: 2 ref ch:1Channel 2:Volts

50 100 150 200 250 300

-80

-60

-40

-20

0

dB rm

s (V

)

x:linear Hertz

aspec ch: 1,2Channel 2: 0dB=1VrmsChannel 1: 0dB=1Vrms

Flex

ión 1

Flex

ión 2

Flex

ión 3

Tors

ión 1

Tors

ión 2

Tors

ión 3

Figura 17.5: Espectros y fase entre los dos sensores


Evolución de frecuencias

0

50

100

150

200

250

300

600 700 800 900

distancia entre guias (mm)

Hz

f1t1f2t2f3t3f4

Figura 17.6: Disminucion de las frecuencias naturales al aumentar la longitud entre guıas (f:flexion,t:torsion)

Se aprecia como a mayor distancia, los peaks aparecen a mas baja frecuencia. En figura ??, se observala fase y la amplitud vs frecuencia entre los dos sensores, para una distancia entre guıas dada (800 mm).Se observa que en el rango 0-300 Hz ya hay 3 modos de torsion presentes (3 zonas con desfase de 180).La identificacion de los modos en torsion y flexion fue realizada para cada distancia entre guıas y ası fueposible realizar un seguimiento de cada frecuencia natural vs la distancia entre guıas. Los resultados semuestran en figura 17.6. Se observa el importante cambio producido en las frecuencias naturales (entre13% y 31% para las distancias extremas).

Las frecuencias identificadas experimentalmente pueden ser comparadas con los valores teoricos dadospor la ecuacion [Blevins’79])3:

fi =λ2

i

2πL2

√EI

m

i = 1, 2, 3, ...

λi es un parametro adimensional que es funcion de las condiciones de borde, la longitudL de la viga, su densidad por unidad de longitudm , etc.En el caso de una viga simplemente apoyada (ver fig.17.7) sujeta a carga axial,λi esta dado por:

λ2i = i2π2

√1 +

PL2

EIi2π2

i = 1, 2, 3, ..

Para la sierra descrita en tabla 17.3, las primeras 3 frecuencias naturales teoricas en flexion son (enparentesis se muestran frecuencias experimentales):

3Solo para modos en flexion


Volante

αL L βL

Figura 17.7: Viga con multiples soportes

=L 600 mm =L 690 mm =L 800 mm =L 890 mm Teó.

(Hz) Exp. (Hz)

∆% Teó. (Hz)

Exp. (Hz)

∆% Teó. (Hz)

Exp. (Hz)

∆% Teó. (Hz)

Exp. (Hz)

∆%

Flexión 1 108 88 23 94 79 19 81 68 19 73 61 20 Flexión 2 218 145 50 189 137 38 163 129 26 146 112 30 Flexión 3 333 224 49 287 204 41 246 188 31 221 173 28

Cuadro 17.3: Comparacion entre frecuencias teoricas y experimentales

La importancia de las diferencias hace pensar varias posibilidades:

1. Las propiedades (EI , m ,...)de la sierra tienen errores importantes,

2. La hipotesis de viga simple (figura 4b) no es valida y deba aplicarse el modelo multi-viga de figura17.7,

3. La carga P no es correcta.

Los errores en las propiedades pueden ser atribuidos al modulo de elasticidad o a la longitud equivalentede la viga.

A fin de verificar el modulo de Young, se realizo un sencillo ensayo: se tomo una seccion de sierrade aproximadamente 70 cm y se encastro uno de sus lados, tal como muestra figura 17.8. Un sensor deaceleracion fue fijado cerca de la base para que el efecto de su masa en las frecuencias naturales fuesemınimo. La viga fue impactada y se midio el espectro que se muestra en figura 17.9. Figuras 17.10 y17.11 comparan las frecuencias identificadas experimentalmente con las teoricas, usando un modulo deelasticidad de 1,851011 N/m2. Las diferencias son poco importantes y descartan un modulo de elasticidadno valido para ecuacion 4.12.

Respecto de la hipotesis de que la ecuacion 2 es valida para una viga simple apoyada (figura 17.12) yno para vigas con multiples secciones (figura 17.7), la referencia [Blevins’79] muestra que si las seccionestienen igual longitud (α = β = 1 en figura 17.7) entonces al menos la primera frecuencia natural entreambas situaciones es identica (la ecuacion 4.12 es valida, [Blevins’79], tabla 8.3d). En el caso de lasierra estudiada, para una distancia entre guıas de 890 mm,

α = ,83 , β = 1,24 , lo que se acerca bastante a la condicion de validez. Basado en esto, se descartala hipotesis como causante primordial de las diferencias mostradas en tabla 17.3.

De lo anterior, se concluye que la tension aplicada a la sierra es menor que la indicada por elinstrumento. En efecto, basta con reducir la carga en 30% para que los errores se reduzcan desde 35%en media a 11%.


.62 m

Figura 17.8: Viga empotrada (con una seccion de sierra)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Viga empotrada

mm

/s R

MS

Hz

Figura 17.9: Espectro medido en la viga empotrada

Parametro Sımbolo ValorDensidad (kg/m3) ρ 7860

Longitud (m) L .62Modulo de elasticidad (N/m2) E 185e9

Ancho (m) menos la mitad de la garganta b .258-15.4e-3/2Espesor (m) h 1.47e-3

Momento de inercia (m4) I bh3

12

Seccion (m2) A bhMasa por unidad de longitud (Kg/m) m ρA

Cuadro 17.4: Parametros de la sierra


12

34

0

20

40

60

80

100

120

azul: teorico, rojo: experimentalModo nro.

Frec

uenc

ia (H

z)

Figura 17.10: Comparacion entre frecuencias naturales experimentales y teoricas de la viga empotrada

1 2 3 4-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Modo nro.

Erro

r %

Figura 17.11: Diferencias entre frecuencias experimentales y teoricas para E = 1,85e9 N/m2


Guía

L

Figura 17.12: Viga simple

17.4. Analisis del washboard

La superficie aserrada puede ayudar de manera importante en la comprension del Washboard puesactua como registro de los eventos instante a instante. A continuacion, se presenta el modelo descrito enla referencia [Le-Ngoc’00]. Las hipotesis utilizadas son:

1. Las vibraciones de la pieza son despreciables,

2. La velocidad de la sierra durante el corte es constante,

3. Las amplitudes de vibracion de todos los dientes son iguales,

4. Las frecuencias naturales de la sierra durante el corte son constantes.

Se asume que todos los dientes de la sierra oscilan sinusoidalmente a la frecuencia fb:

z(t) = Asin2πfbt

Dondez(t) es el desplazamiento transversal,A es la amplitud maxima yt es el tiempo.La frecuencia de paso de los dientes es:

ft =vb

P

dondevb es la velocidad de la banda yP es el paso entre dientes.El tiempo que demora un diente en atravesar la pieza es:

T =D

vb

donde D es la profundidad de corte.El avance de un diente es:

B =vf

ft

Dondevf es la velocidad de avance del carro.

El numero de dientes que pasan para hacer un corte de longitud L es:

N =L

B

Sean el ındice para el n-esimo diente;x la distancia a lo largo de la pieza (el carro avanza en la direccion opuesta de x).

17.4. ANALISIS DEL WASHBOARD 337

Parametro Sımbolo ValorPaso entre dientes (m) P 4.5e-2Velocidad del diente (m/s) vb 50Velocidad del carro (m/s) vf .5Frecuencia de la sierra (Hz) fb 1099Frecuencia de paso dientes (Hz) ft = vb

P 1111Amplitud washboard (m) A .35e-3Longitud (m) L .5Profundidad (m) D .3

Cuadro 17.5: Parametros

Figura 17.13: Washboard simulado

y la distancia desde la parte superior de la pieza (el diente avanza en la direccion positiva dey ). Entonces, la posicion del n-esimo diente en el instantet esta dada por:

x(n, t) = vf

(t+

n

ft

)Las anteriores ecuaciones permiten dibujar la superficie generada entre t = 0, T y n = 0aN .

Los parametros usados son:La superficie resultante se muestra en figura 17.13. Se observa que el patron es muy similar al encon-

trado experimentalmente (figura 17.14).Del analisis de las longitudes de onda grabadas en la pieza se determina que:

λy = Pft

fb


Figura 17.14: Washboard experimental

λx = vf1

ft − fb

tan θ =vb

vf

ft − fb

fb

Dondeλx yλy son las longitudes de la onda (m) en la direccion x e y respectivamente, yθ es el angulo de la onda medido desde el eje de la pieza (x).Ello permite conocer la frecuencia de la sierra si se conoce la frecuencia de paso de dientes y la

velocidad de avance del carro.Notese que si la frecuencia de la banda coincidiese con la de los dientes entonces la onda estarıa

acostada (θ = 0). La situacion experimental indica una inclinacion cercana a los 20 grados (vease figura17.14). El hecho de que la excitacion (ft) este cerca y no sobre la resonancia disminuye la efectividad deelementos de amortiguacion4.

Si la frecuencia de la banda fuese del orden de los primeros modos experimentales (50-100 Hz) entoncesθ tiende a 90 grados. Estas frecuencias serıan excitadas por excentricidad o desbalanceamiento en losvolantes, vibraciones de otras maquinas.

Al verificar el espectro medido con la maquina5 operando efectivamente se observa un peak de reso-nancia en la zona de 1000-1200 Hz (figura 17.15). Ello corrobora el analisis de la huella del Washboard.

4usualmente, la amortiguacion afecta significativamente la amplitud de la respuesta solo en las cercanıas de una reso-nancia.

5medicion realizada en la estructura que soporta los volantes.

17.5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 339

500 1000 1500 20000

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-3

Hz

mm/s2

Figura 17.15: Espectro medido en la estructura mientras pasa la pieza. El peak a la derecha se encuentraa 1095 Hz

17.5. Conclusiones y recomendaciones

Del analisis del washboard se concluye que la fuerza excitadora en este caso corresponde a la frecuenciade paso de los dientes. La huella dejada en la pieza junto con el analisis propuesto en [Le-Ngoc’99] permiteestablecer que una frecuencia natural muy cercana e inferior a la de excitacion es culpable del washboard.Ello serıa corroborado ademas por la medicion realizada en la estructura con la sierra operando.

El analisis modal experimental muestra que la tension efectivamente aplicada a la sierra es inferior ala indicada por los instrumentos. Dado que la tension es un parametro determinante para las frecuenciasnaturales de la sierra, ello explicarıa la evolucion lenta que ha tenido el washboard en el tiempo (como hasido reportado).

La altura de garganta, y la geometrıa de los dientes modifica la amplitud de las fuerzas de corte perono su frecuencia (

ft constante). Por otro lado la amplitud de las fuerzas de corte pueden influenciar las frecuencias nat-urales pues son cargas de pandeo. Ello explicarıa la reduccion del fenomeno de washboard con geometrıasmodificadas (como se ha realizado hasta el momento).

Como primera medida para corregir el problema se debe calibrar la medicion de tension de la sierra(con strain gages y manometro de calibracion por ejemplo). Ello permitira usar los valores nominales conlos cuales la sierra opero correctamente en un inicio.

Serıa interesante realizar un estudio modal para verificar si el proceso de tensioning esta siendo llevadoa cabo de manera optima. Bastarıa identificar modos antes y despues del tensioning. Ası, podrıa ajustarseel proceso de tal forma que el modo propio que esta siendo excitado en las condiciones actuales se desplacelo suficiente en el espectro. Ademas podrıa establecerse un procedimiento para efectos de mantencionpredictiva de las sierras, como es el caso para las sierras circulares.

El presente estudio ha descartado los siguientes puntos, los cuales permitirıan predecir frecuenciasnaturales para diversas condiciones de operacion:

1. Influencia de la velocidad en las frecuencias naturales,


2. El problema de pandeo y consecuente reduccion de frecuencias naturales producto de las fuerzas decorte.

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[2] Damaren, C.J., Le-Ngoc, L., Robust Active Vibration Control of a Bandsaw Blade, Journal of Vi-brations and Acoustics, Enero 2000, Vol. 22, pp 69-76.

[3] , Hutton, S.G., Taylor, J., Operating Stresses in Bandsaw Blades and Their Effect on Fatigue Life,Forest Product Journal, Julio/Agosto 1991, 41(7/8):12-20.

[4] Kirbach, E., Bonac, T., The Effect of Tensioning and Wheel Tilting on the Torsional and LateralFundamental Frequencies of Bandsaw Blades, Wood and Fiber, Vol. 9, pp. 245-251.

[5] Le-Ngoc,L., McCallion, H., Self Induced Vibration of Bandsaw Blades During Cutting, Proc. Inst.Mech. Eng., Vol. 213, Part C, pp. 371-380, 1999.

[6] Mote, C.D., Vibration of band saws, Lecture.

[7] Wu, W.Z., Mote, C.D., Analysis of Vibration in a Bandsaw System, Forest Prod. J., 34(9):12-21,Sept,1984.

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Research, Springer-Verlag, 1978.

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[13] , Yang B., Mote, C.D., Vibration Control of Band Saws: Theory and Experiment, Wood Science andTechnology, 24, pp 355-373, Springer Verlag, 1990.

341

342 BIBLIOGRAFIA

Parte IV

Anexos

343

Metodo de la matriz de transferencia

.1. Introduccion

Un tecnica alternativa para analizar sistemas rotores complejos es el metodo de la matriz de transfer-encia, propuesto inicialmente por Myklestad (1944) y Prohl (1945). La ventaja principal de este metodoes que los requerimientos computacionales son relativamente bajos. El metodo general es apropiado parasistemas con componentes dispuestos en serie, por lo cual es recomendado para sistemas rotores. Paraexplicar la estrategia utilizaremos el ejemplo de una barra empotrada.

.2. Descripcion del metodo

Discretizacion del sistema

El primer paso es dividir al sistema en n componentes. Los desplazamientos xi y las fuerzas Ni

representan un estado del sistema y son denominadas variables de estado. Ellas son ordenadas envectores de estado:

zi =

xN

i

Sea mi la masa del i−esimo elemento. Asociaremos mi/2 a cada extremo del elemento. Ambas masasestan conectadas por un resorte sin masa de constante ki. Adicionalmente, se define los vectores de estadoa la derecha e izquierda de cada elemento (figura ??).

Definicion de matrices de transferencia

Dado que las fuerzas entre un extremo y otro de los resortes se balancean

NLi = NR

i−1 = ki

(xL

i − xRi−1

)Despejando un desplazamiento en funcion del otro,

xLi = xR

i−1 +NR

i−1

ki

y para este caso,NL

i = NRi−1

NiNi-1

0 1 2

1 22 i n

z0 z1 z2 zi-1 zi zn

Figura 16: Esquema del sistema discretizado

345

346 METODO DE LA MATRIZ DE TRANSFERENCIA

i

zi-1 zi

mi

mi/2mi/2

ki

Figura 17: por elemento

=mi/2+mi+1/2mi-1 kimi

zi-1 zi-1 zi zi

L L RR

Figura 18: Ensamble

.2. DESCRIPCION DEL METODO 347

expresando lo anterior en forma matricial,xN

L

i

=[

1 1/ki

0 1

]xN

R

i−1

o en notacion simbolicazL

i = FizRi−1 (2)

A continuacion consideramos la masa mi,

mixLi = NR

i −NLi

y,xR

i = xLi = xi

Si la masa vibra segunxi = a sinωt

podemos escribir (para todo instante)

NRi = −miω

2xLi +NL

ixN

R

i

=[

1 0−mω2 1

]i

xN

L

i

o alternativamentezR

i = PizLi (3)

De ecuaciones 2 y 3,zR

i = PiFizRi−1 = TizR

i−1

donde

Ti =[

1 1/ki

−mω2 1−mω2/ki

]i

Ti es denominada la matriz de transferencia del elemento i.

Determinacion de la matriz de transferencia del sistema

Si aplicamos el concepto sucesivamente,

zRn = Tn . . .T1zR

0

= Tn . . .T1P0zL0

= TzR0

o abreviadamentezn = Tz0

Condiciones de borde

Si un borde esta libre, N = 0. En caso de empotramiento, x = 0. En el caso de la barra con un extremolibre y el otro empotrado,

x0

n

= T

0N

0

x0

n

=[T11 T12

T21 T22

]0N

0


21

LLR R R

0

Figura 19: Sistema de 2 grados de libertad

.2.1. Analisis modal

Para el caso estudiado, existen soluciones cuando

0 = T22(ω)N0

lo que implica que buscamos soluciones para

T22(ω) = 0

Las frecuencias naturales ωi son encontradas numericamente.Sustituyendo alguna de las frecuencias naturales ωi en la definicion de T, y dando algun valor apropi-

ado a N0, podemos determinar el valor de z0.Luego es posible aplicar la relacion

zRi = Ti . . .T1z0 (4)

para determinar los vectores de estado zRi y conocer el modo propio asociado a la frecuencia ωi.

Ejemplo numerico

Considerese el sistema de figura 19, se tiene

x0

2

=[

1 1/k−mω2 1−mω2/k

] [1 1/k

−mω2 1−mω2/k

]0N

0

x0

2

=[

1−mω2/k 2/k −mω2/k2

−2mω2 +m2ω4/k −mω2/k +(1−mω2/k

)2 ] 0N

0

Para encontrar la frecuencia natural usamos la condicion T22 = 0,

−mkω2 +

(1− m

kω2)2

= 0

resolviendo

ω1 =

√3−

√5

2k

m

ω2 =

√3 +

√5

2k

m


Para el primer modo propio tomamos un valor NR0 = 1. Sustituyendo en (4)

x0

R

1

=[

1 1/k−mω2

1 1−mω21/k

]01

=

1/k−1+

√5

2

y para zR

2 , x0

R

2

=[

1−mω2/k 2/k −mω2/k2

−2mω2 +m2ω4/k −mω2/k +(1−mω2/k

)2 ] 01

=

1+√

52k0

por lo que el primer modo es

xR1

xR2

=

11+√

52

Ejercicio 40 Obtenga el segundo modo. Dibuje ambos.

.2.2. Respuesta forzada

Para obtener la respuesta forzada se discretiza el sistema tal como en la seccion anterior. A contin-uacion se expresan las cargas.

Supongase una fuerza de la formaFi = fi cos (ωt+ α)

actuando sobre la i−esima masa. La fuerza sera expresada en terminos del fasor

Fi = Re(f ejωt

)con

f = fieα

Como es sabido, la solucion estacionaria para una excitacion forzada del tipo descrito es

xi = Re(xejωt

)con

x = aieβ

Para el sistema descrito en la figura 20 se tiene

x =f

−mω2 + jωc+ k

Funcion transferencia

Considerense las fuerzas sobre el resorte y el amortiguador del sistema de figura 20:

NR0 = NL

1 = c(xL

1 − xR0

)+ k

(xL

1 − xR0

)lo que expresado en fasores

NR0 = NL

1 = (k + jωc)(xL

1 − xR0

)escrito en forma matricial

xN

L

1

=[

1 1k+jωc

0 1

]xN

R

0

(5)


1

RLR

0

f cos(!t +® )

Figura 20: Sistema con un grado de libertad

ozL1 = FizR

0 (6)

Para la masa, escrito en fasores

xRi = xL

1

NR1 = −mxL

1 ω2 + NL

1 − f

xN

L

1

=[

1 0−mω2 1

]i

xN

R

1

+

0−f

(7)

Por conveniencia escribiremos la igualdad 1 = 1,

1 =

00

T xN

R

1

+ 1 (8)

y reescribiremos (5) y (7) como xN1

L

1

=

1 1k+jωc 0

0 1 00 0 1

xN

R

0 xN1

R

1

=

1 0 0−mω2 1 −f

0 0 1

xN1

L

0

Dado que el sistema de la figura 20 posee un solo grado de libertad, la matriz de transferencia elementaly la del sistema coinciden. En un sistema discretizado podemos escribir

zLi = FizR

i−1

zRi = PizL

i

zRi = TizL

i

donde

Ti =

1 1ki+jωci

0−miω

2 −miω2

k+jωci−fi

0 0 1


Las variables ası descritas son denominadas extendidas, las cuales son multiplicadas para obtener lamatriz del sistema

zn = Tn . . . T1z0

= Tz0

Condiciones de borde

Si un borde esta libre, N = 0. En caso de empotramiento, x = 0. En el caso de la barra con un extremolibre y el otro empotrado, x

01

R

n

=

T11 T12 T13

T21 T22 T23

T21 T32 T33

0N1

L

0

Respuesta forzada

De la segunda ecuacion se obtiene NR0

0 = T22NR0 + f2

y es posible obtener z0. Para el ejemplo,

NR0 =

k + jωc

−mω2 + k + jωcf

y

z0 =

01

−mω2+k+jωcf

1

Multiplicando sucesivamente las matrices de transferencias elementales por el vector de estado z0 se

obtienen los demas vectores zi.

Sistemas de ecuacionessobre-determinados

Durante el proceso de identificacion de parametros (analisis modal experimental, ajuste de modelos)es normal el obtener sistemas de ecuaciones sobredeterminado,

Ap = b (9)

conA ∈ <m×n,m ≥ n

que puede incluir ruido, mal acondicionamiento, rango deficiente. El objetivo de este capitulo es introduciral lector al problema; y referimos al lector a las referencias [15, 18] para explicaciones mas teoricas.Trataremos las siguientes tecnicas:

Mınimos cuadrados lineales

Descomposicion en valores singulares

Regularizacion

Mınimos cuadrados lineales totales

.3. Algunas propiedades de matrices

Rango

Se define rango como el espacio definido por todos los vectores b, resultado de la operacion de A sobrecualquier p. La dimension del rango se puede medir por el numero de columnas linealmente independientesde A.

rank(A) = dim(rango(A))

El rango es deficiente cuando:rank(A) < mın(m,n)

Espacio nulo

El espacio nulo esta conformado por todos los vectores p, cuya transformacion (por A) resulta en elvector nulo:

Ap = 0

Acondicionamiento

El acondicionamiento de A se refiere a la estabilidad de la solucion p cuando A sufre perturbaciones.

353

354 SISTEMAS DE ECUACIONES SOBRE-DETERMINADOS

.4. Mınimos cuadrados lineales

La teorıa de los mınimos cuadrados lineales asume que existe algun nivel de ruido en el vector b. Seasume que tal ruido es de varianza constante, y de correlacion nula. Adicionalmente, se asume que besta incluido en el rango de A, en otras palabras, b puede ser reconstruido como una combinacion de losvectores columna de A.

El objetivo es minimizar la norma del residuo:

‖Ap− b‖ (10)

Si las condiciones anteriores se cumplen:

pLS = A⊕b (11)

A⊕ =(AT A

)−1AT b

pLS es unico, y no sera influenciado por el ruido. La ecuacion (11) es referida como la ecuacionnormal del problema original y A⊕ es conocida como la pseudo-inversa de Moore Penrose.

En caso que no se cumplan las hipotesis, por ejemplo

ruido en A

ruido correlacionado en b

b parcial o totalmente fuera del rango de A

rango deficiente de A

la solucion por mınimos cuadrados no esta garantizada.

.4.1. Ponderacion de las ecuaciones

Cuando la norma de las ecuaciones (cada fila en A) difiere de manera importante en su magnitud,es una buena idea escalarlas para:

homogeneizar la relevancia de cada ecuacion en la solucion,

ponderar mejor algunas ecuaciones con respecto a la solucion

La ponderacion de las ecuaciones se realiza a traves de la premultiplicacion de (9) con la matriz deponderacion D:

DAp = Db (12)

donde D es diagonal y no singular. La solucion es ahora:

pWLS = (AT DA)−1AT Db (13)

Puede mostrarse[18] que la diferencia entre la solucion del problema original y la del problema pon-derado es:

pWLS − pLS = QrLS

Q = (AT D2A)−1AT (D2 − I)rLS = (b−ApLS)

Luego, si b no esta completamente en el rango de A (lo que no es dificil en la realidad), la ponderacionafecta la solucion, lo que obliga la seleccion juiciosa de los factores de peso dii, dependiente del problemaen estudio.

Una manera de ver el efecto de la ponderacion es verificar que pasa con la solucion cuando solo unfactor dii es perturbado:

.4. MINIMOS CUADRADOS LINEALES 355

Sea rk el k-esimo elemento del residuo b−ApWLS , y D(δ) la matriz de ponderacion:

D(δ) = diag(d1, ..., dk

√1 + δ, ..., dn)

conδ > −1

se puede probar que

rk(δ) =rk(δ = 0)

1 + δd2ke

Tk A(AT D2A)−1AT ek

donde ek es el vector unitario

ek =

0...1...0

Luego, el k-esimo residuo efectivamente se acerca a 0 cuando dk crece. Una expresion para

rj , j 6= k

es mucho mas complicada. Las ecuaciones con la norma mas grandes seran las mas importantes para lasolucion p.

.4.2. Descomposicion en valores singulares

Una herramienta muy utilizada en el campo de la identificacion de parametros es la descomposicionen valores singulares (SVD). La tecnica mejora el acondicionamiento del problema y entrega solucionessatisfactorias donde otros metodos fallan.

Se puede probar que toda matriz A ∈ <m×n posee una descomposicion de la forma:

Am×n = UΣVT (14)

donde U es de dimensiones m × n, Σ es de dimensiones n × n y V posee dimensiones n × n. (14) sepuede expresar alternativamente con la serie,

A =mın(m,n)∑

i=1

uiσivTi (15)

dondeU =

[u1 ... un

]U y V son matrices ortornormales:

UT U = I

VT V = I

Σ es una matriz diagonal, con elementos reales no negativos:

Σ =

σ1

σ2

. . .σn

, σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σn ≥ 0


.4.3. Propiedades

La descomposicion SVD se muestra muy util para comprender las cualidades de A, pues entrega variosparametros interesantes:

Numero de condicionamiento

El numero de acondicionamiento cuantifica la calidad de la inversa de una matriz. En terminos deSVD,

cond (A) =σmax

σmın, σmın > 0

Si σmın es cercano a cero (o la precision del computador) el acondicionamiento puede ser mejoradoal sustituir σmın con el valor nulo, y reconstruir A. De esta manera el nuevo σmın sera el valor siguienteen la diagonal de Σ.

Rango

rank(A) = dim(σi)/σi > 0

Norma de A (Frobenius)

‖A‖2F =n∑

i=1

σ2i

Eigenespectro de AT A y AAT

Puede probarse[32] que los valores propios de

AT A

yAAT

son iguales a los cuadrados de los valores singulares de A. Ello explica la perdida de acondicionamientoal resolver las ecuaciones normales (ecuacion 11).

Otra propiedad SVD es que los vectores singulares izquierdos y derechos de A son los vectores propiosde

AT A

yAAT

respectivamente.

Pseudoinversa

Para resolver el sistema sobredeterminado (9), se usa la pseudoinversa de A:

A⊕ = VΣ−1UT

donde

Σ−1 = diag

(1σ1, ...,

1σn

)y la solucion SVD es:

pSV D = A⊕b

.5. REGULARIZACION 357

En el caso de encontrar valores singulares nulos o casi nulos, es conveniente sustituir 1σi

con un cero.Ello se justifica a continuacion.

Si A es casi deficiente en rango y sobredeterminada, su pseudoinversa puede ser escrita como:

A⊕ = VbΣ⊕b UT

b + VzΣ⊕z UT

z (16)

donde b y z corresponden a las particiones de valores singulares grandes y casi cero respectivamente.Usando (15) se tiene:

Avi = σiui

Se puede observar que cuando σi → 0 ⇒ Avi ≈ 0, en otras palabras, Vz esta muy cerca del espacionulo de A. Si Σ⊕z no es sustituida por 0, la solucion estara muy cerca del espacio nulo de A, lo queintroduce errores en la solucion p. Se dice que Vz es una base para la nulidad de A.

Al multiplicar A⊕ y b para obtener pSV D , vemos que la primera parte de (16) proyecta b ortogo-nalmente en el rango de A, y el segundo termino (que debe ser eliminado) lo proyecta en el espacio nuloA.

.5. Regularizacion

La regularizacion del problema original (9) mejora el acondicionamiento al mover los valores singulareslejos de cero. Ello se logra reformulando el objetivo original del problema de mınimos cuadrados lineales(9) por

|Ap− b|+ λ2 |p|para algun valor λ seleccionado. Ello resulta en:(

AT A + λ2I)p = AT b

en lugar de (AT A

)p = AT b

Al usar la descomposicion SVD de A notamos la mejora en el numero de acondicionamiento:

pREG = V[diag

(σi +

λ

σi

2)]−1

UT b

versus

pSV D = V[diag

(1σi

)]UT b

Notese que trabajamos con las ecuaciones normales perturbadas. La posible existencia de ruido en Ano es tomada aun en cuenta, y la seleccion del parametro de regularizacion λ no es obvia.

.6. Total linear least squares

La tecnica TLLS?? es una alternativa los mınimos cuadrados pues considera la existencia de error(ruido) tanto en A como en b. No solo b es proyectado en el rango de A sino que se construye el nuevoproblema:

ApTLLS ≡ b (17)

Para encontrar las proyecciones A y b , se minimiza la distancia entre el sistema original y susproyecciones: ∥∥∥[A, b]− [A,b]

∥∥∥ (18)

Al descomponer [A,b] en sus componentes SVD:

C = [A,b]

=[

U1 U2

] [ Σ1

Σ2

] [V11 v12

v21 v22

]T


Se puede probar que [A, b

]− [A,b] = −u2Σ2

[vT

12v22]

minimiza (18).Para encontrar la solucion, (17) es reescrita como[

A, b] pTLS

−1

= 0

Usando las ecuaciones anteriores se puede mostrar que el espacio nulo de[A, b

](que es donde se

busca la solucion p) esta en el rango de

v12

v22

, por lo que

pTLLS = −v12

v22

La solucion es unica en tanto el ultimo valor singular de Σ1 sea mayor que el de Σ2.

Analisis modal numerico

.7. Sistema conservativo

>> K=[1 -1; -1 1];

>> M=[1 0; 0 1];

>> [Q,Omega2]=eig(K,M)

Q =

0.7071 -0.7071

0.7071 0.7071

Omega2 =

0 0

0 2.0000

>>

.8. en sistemas no conservativos

>> K=[2 -1;-1 1];>> M=eye(2,2);>> C=.2*K;>> O=zeros(2,2);>> A=[K O;O -M];>> B=[C M; M O];>> [Q,V]=eig(A,-B)

Q =

0.4435 - 0.0574i 0.0897 - 0.4381i 0.4471 - 0.0114i 0.0213 + 0.4467i

-0.2741 + 0.0355i -0.0555 + 0.2708i 0.7234 - 0.0185i 0.0345 + 0.7228i

359

360 ANALISIS MODAL NUMERICO

-0.0244 + 0.7232i -0.7230 - 0.0286i -0.0100 + 0.2762i 0.2747 - 0.0302i

0.0151 - 0.4470i 0.4469 + 0.0177i -0.0162 + 0.4469i 0.4445 - 0.0489i

V =

-0.2618 + 1.5967i 0 0 0

0 -0.2618 - 1.5967i 0 0

0 0 -0.0382 + 0.6169i 0

0 0 0 -0.0382 - 0.6169i

>>

Notese que los modos contienen numeros complejos. Si son normalizados, se verifica que correspondena modos normales. Como ejemplo tomemos el primer vector r1 con raız λ = −0,2618 + 1,5967i:

r1 =

0,4435− 0,0574i−0,2741 + 0,0355i−0,0244 + 0,7232i0,0151− 0,4470i

Dividamos por su primer elemento:

r1 =1

0,4435− 0,0574i

0,4435− 0,0574i−0,2741 + 0,0355i−0,0244 + 0,7232i0,0151− 0,4470i

=

1

−0,6118−0,2618 + 1,5967i0,1618− 0,9868i

por lo que

q1 =

1−0,6118

y verifiquemos que el tercer y cuarto elemento de r1 corresponden a λ1q1:

λ1q1 = −0,2618 + 1,5967i

1−0,6118

√=−0,2618 + 1,5967i0,1618− 0,9868i

Algunas formulas utiles

d cosxdx

= − sinx

d sinxdx

= cosx

Para θ pequeno:

cos θ ≈ 1sin θ ≈ θ

361

362 ALGUNAS FORMULAS UTILES

Deflexion en vigas

.9. Vigas en voladizo

Para una viga en voladizo con carga uniforme transversal p(x) (N/m) tal que

p(x) = p

se tiene que la deflexion en funcion de la distancia desde el empotramiento (x) es

y(x) = −p 124EI

x2(6l2 − 4lx+ x2

)la deflexion maxima en el extremo es

y(l) = −p l4

8EIluego

y(x)y(l)

=1

3l4x2(6l2 − 4lx+ x2

)=

13

(6l2x2

l4− 4lxx2

l4+x2x2

l4

)=

13

(6x2

l2− 4x3

l3+x4

l4

)= 2

(xl

)2

− 43

(xl

)3

+13

(xl

)4

y

y(x) = y(l)y(x)y(l)

= −p l4

8EI

[2(xl

)2

− 43

(xl

)3

+13

(xl

)4]

La energia de deformacion es

V =12

l∫EI

(∂2y(x)∂x2

)2

∂x

=12

l∫EI

(pl4

8EI

)2(4

1l2− 8

x

l3+ 4

x2

l4

)2

∂x

=12EI

(pl4

8EI

)2 165

1l3

= p2 l5

40EI

363

364 DEFLEXION EN VIGAS

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x/l

Desplazamiento

2*(x/l)2

-4/3*(x/l)3

1/3*(x/l)4

2*(x/l)2-4/3*(x/l)3+1/3*(x/l)4

Figura 21: Viga en voladizo con carga uniforme

Si solo tomamos en cuenta la funcion de forma parabolica, tenemos que la energia deformacion asociadaes

Vx2 =12EI

(pl4

8EI

)2 16l3

luegoVVx2

=15

o sea se sobre estima demasiado la energia del sistema.Al tomar en cuenta solo la cubica

Vx3 =12

l∫EI

(pl4

8EI

)2 (−8

x

l3

)2

∂x

=12EI

(pl4

8EI

)2 643l3

luegoVVx3

=16/564/3

=320

Vx4 =12

l∫EI

(pl4

8EI

)2(4x2

l4

)2

∂x

=12EI

(pl4

8EI

)2 165

1l3

yVVx4

= 1

o sea, numericamente da el mismo valor que considerando los 3 terminos (aunque espacialmente ladistribucion de rigidez es distinta); por otro lado el nivel de desplazamiento es bastante diferente (verfigura 21).

La deflexion para una carga puntual se aprecia en figura (22)

.9. VIGAS EN VOLADIZO 365

Figura 22: Viga en voladizo

366 DEFLEXION EN VIGAS

Metodo de aceleraciones modales

%metodo de aceleraciones modales%sistema%apuntes1(’gdl2cade2’)K=[2 -1; -1 1]; M=eye(2,2); [Q,V]=eig(K,M)w1=sqrt(V(1,1))%primera frecuencia natural en rad/sw=1.5*w1 %frecuencia excitadoraf=[1 0]’ %fuerza excitadora%respuesta por metodo directoZ=K-w^2*M; %rigidez dinamicax=inv(Z)*f %rta exacta por metodo directo%respuesta aprox por metodo modal con un solo modomu=Q’*M*Q %masas modalesgamma=Q’*K*Q %rigidez modalfm=Q’*f; %proyeccion de f en la base modal[v,i]=min(diag(V)) %se asegura 1era frec. nat.a=fm(i)/(gamma(i,i)-w^2*mu(i,i)) %participacion del modo asociado%a la 1era frecuencia naturalxx=a*Q(:,i) %aproximacion con un modoerrorxx=norm(xx-x)/norm(x) macxx=((x’*xx)/norm(x)/norm(xx))^2%%respuesta aprox con metodo de aceleraciones modalesxxx=(w/w1)^2*xx+inv(K)*f errorxxx=norm(xxx-x)/norm(x)macxxx=((x’*xxx)/norm(x)/norm(xxx))^2

367

368 METODO DE ACELERACIONES MODALES

Elementos Finitos en Matlab

Aqui se considera una viga empotrada en ambos extremos mas un apoyo simple en su centro. Se hanusado 48 elementos.

l=1;EI=1;M=1;

Ke=EI/l^3*[12 6*l -12 6*l

6*l 4*l^2 -6*l 2*l^2

-12 -6*l 12 -6*l

6*l 2*l^2 -6*l 4*l^2]

Me=M/420*[156 22*l 54 -13*l

22*l 4*l^2 13*l -3*l^2

54 13*l 156 -22*l

-13*l -3*l^2 -22*l 4*l^2]

%con ne elementos

ne=48

M=zeros(2*ne+2,2*ne+2);K=M;

for i=1:2:2*ne

locel=i:i+3;

K(locel,locel)=K(locel,locel)+Ke;M(locel,locel)=M(locel,locel)+Me;

end

%fijar extremos y traslaci\’on en el medio

fix=[1:2 ne+1 2*ne+1:2*ne+2]

free=setdiff(1:2*ne+2,fix)

369

370 ELEMENTOS FINITOS EN MATLAB

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 23: Primer modo de la viga

n=length(free) %nro de grados de libertad activos

K=K(free,free); M=M(free,free);

%freqs

[Q,QQ]=eig(K,M)

modo1=zeros(2*ne+2,1);

%solo el primer modo

modo1(free)=Q(:,n)

%graficar solo traslaciones

plot(modo1(1:2:2*ne+2))

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