Analisis de Tecnicas Algoritmicas

5Metodología y Tecnología de la Programación II

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de T

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Fuerza BrutaFuerza Bruta

La técnica de FUERZA BRUTA es la que se utiliza para resolver un problema siguiendo la estrategia más obvia de solución.Generalmente suele comportar más operaciones de las necesarias para resolver el problema, por lo suelen tener un coste bastante alto.Por el contrario, suelen ser bastante sencillos de implementar.Suelen utilizarse para problemas de tamaños pequeños.Algunos ejemplos de algoritmos por fuerza bruta son:– El algoritmo de búsqueda lineal.– El algoritmo ordenación por el método de selección.


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EjemploBúsqueda Binaria

EjemploBúsqueda Binaria

Ya vimos una función en C++ para buscar un número en un vector de enteros de tamaño n:

El algoritmo utiliza la fuerza bruta para buscar el número mirando uno por uno todos los elementos del vector, incluso si el vector estuviese ordenado.También vimos que el coste de este algoritmo es O(n).Aunque no es la forma óptima de buscar un elemento en un vector ordenado, cuando el tamaño del vector es pequeño resulta bastante rápido.

int buscar(const int a[n], int x){for (int i=0; i<n; i++){ if (a[i]==x) return i;

}return -1;

}

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EjemploOrdenación por Inserción


La siguiente función es una implementación en C++ del algoritmo de ordenación por Inserciónvoid ordenacion_insercion(int a[],int n){

int aux;for(int i=1;i<n;i++){ aux=a[i];for(j=i-1;j>=0;j--){if(aux>array[j]){array[j+1]=aux; break;

}else array[j+1]=array[j];

}if(j==-1) array[0]=aux;

}}


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Este algoritmo divide el vector en dos partes, una con elementos ya ordenados y la otra con elementos todavía sin ordenar. Inicialmente la parte ordenada está vacía y la que no está ordenada contiene todos los números. El algoritmo utiliza la fuerza bruta para ir tomando uno por uno los elementos de la parte ordenada y los va insertado en la parte ordenada en el lugar que les corresponde.Resulta sencillo comprobar que este algoritmo tiene un coste temporal O(n2).

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Ejemplo de Ordenación por Inserción

Ejemplo de Ordenación por Inserción

6 3 9 5i=1i

aux 3 6 9 5i

9auxi=3

6 3 9 5i=1i

3auxj

3 6 9 5i

5auxi=3j

6 6 9 5i

3auxj

i=1 3 6 9 9i

5auxi=3j

3 6 9 5i

3auxi=2 3 6 6 9i

5auxi=3j

3 6 9 5i

9auxi=2j

3 5 6 9i

5auxi=3j

Parte ordenada Parte desordenada


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Divide y VencerásDivide y Vencerás

La técnica de DIVIDE Y VENCERÁS consiste básicamente en descomponer el problema inicial en varios subproblemasdel mismo tipo pero más sencillos, resolver los subproblemasy combinar sus soluciones para obtener la solución del problema inicial.A su vez, para resolver cada uno de los subproblemas puede volver a aplicarse la técnica de divide y vencerás recursivamente para descomponerlo en otros subproblemasde menor complejidad, y así hasta que los subproblemasobtenidos tengan una solución trivial.

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Algoritmo Genérico de Divide y Vencerás

Algoritmo Genérico de Divide y Vencerás

Donde: n es el tamaño del problema,n0 es el umbral de tamaño por debajo del cual el problema es trivialni son los tamaños de los subproblemas en que se descompone el problema inicial.si son las soluciones de los subproblemas de tamaño nis es la solución del problema inicial.

funcion divide_venceras(n)si n<n0s=resolver(n)

si_no[n1,…,nk]=descomponer(n)desde i=1 hasta k hacer si=divide_venceras(ni)s=combinar(s1,…,sk)

fin_sidevolver s

fin_funcion


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Condiciones Necesarias para Aplicar Divide y Vencerás

Condiciones Necesarias para Aplicar Divide y Vencerás

Los problemas resolubles mediante la técnica de divide y vencerás tienen que cumplir una serie de condiciones:– Es necesario que el problema admita una formulación

recursiva.– El problema inicial debe poder resolverse mediante la

combinación de las soluciones de los subproblemas.– Los subproblemas deben ser del mismo tipo que el

problema inicial pero con un tamaño estrictamente menor.

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Condiciones Deseables para Aplicar Divide y Vencerás

Condiciones Deseables para Aplicar Divide y Vencerás

Además de las condiciones anteriores, si queremos que el algoritmo sea eficiente, debemos exigir las condiciones:– El tamaño de los subproblemas debe ser los más

parecido posible y debe decrecer en progresión geométrica, es decir, debe ser n/c con c>0 una constante.

– Nunca se debe resolver un mismo subproblema más de una vez

– Las operaciones de descomponer y de combinar deben costar poco.

– Hay que evitar generar nuevas llamadas cuando el tamaño de los subproblemas es suficientemente pequeño. Por tanto, hay que elegir bien el umbral n0.


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Coste del Algoritmo Divide y Venceras


Suponiendo que la función de descomposición origina ksubproblemas de tamaño n/c, el coste del algoritmo divide y vencerás es la suma de– El tiempo que tarda en descomponer el problema inicial

td(n)– El tiempo que tarda en resolver los k suproblemas en que

se divide el problema originalkt(n/c)

– El tiempo que tarda en combinar las soluciones de los subproblemas

tc(n)es decir

t(n) = kt(n/c) + td(n) + tc(n)

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Si la descomposición y la combinación no son excesivamente costosas, tendrán a lo sumo un coste polinómico, es decir

t(n) = kt(n/c) + O(ni)Por tanto la solución a esta ecuación recursiva dependerá de k, c e i:– Si k<ci entonces t(n) ∈ O(ni).– Si k=ci entonces t(n) ∈ O(ni log n).– Si k>ci entonces t(n) ∈ O(nlogc k).

Así pues, la utilización de divide y vencerás no garantiza nada acerca de la eficiencia del algoritmo obtenido. Puede suceder que el coste empeore, se mantenga o mejore respecto al de un algoritmo iterativo para el mismo problema.


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Ejemplos de Divide y VencerásEjemplos de Divide y Vencerás

Algunos algoritmos conocidos que utilizan la técnica de divide y vencerás son:– El algoritmo de Karatsuba y Ofman para la multiplicación

de enteros grande.– El algoritmo de Strassen para el producto de matrices.– El algoritmo de búsqueda binaria.– El algoritmo de ordenación rápida Quicksort.

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Ejemplo Búsqueda Binaria

Ejemplo Búsqueda Binaria

La siguiente función es una implementación en C++ de la búsqueda binaria recursiva de un elemento en un vector ordenadoint busqueda_binaria(int x,const int a[],int i,int j){

int k;if (i>j) return -1;else{k=(i+j)/2;if (a[k]==x) return k;else if(a[k]>x) return busqueda_binaria(x,a,i,k-1);else return busqueda_binaria(x,a,k+1,j);

}}


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Ejemplo de Búsqueda BinariaEjemplo de Búsqueda Binaria

2 3 5 9 12 18 25 32 37 41 48 50

i=7 j=12

a

busqueda_binaria(25,a,7,12)

(i+j)/2=9

32>18

2 3 5 9 12 18 25 32 37 41 48 50

(i+j)/2=i=7 j=8

a

busqueda_binaria(25,a,7,8)25<37

2 3 5 9 12 18 25 32 37 41 48 50

i=1 j=12

a

busqueda_binaria(25,a,1,12)

(i+j)/2=6

25=25

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Coste de la Búsqueda BinariaCoste de la Búsqueda Binaria

En la búsqueda binaria, el problema principal se descompone en 1 subproblema de tamaño n/2. Por otro lado, el coste de la descomposición y la combinación de soluciones es constante, así que el coste total es

t(n) = t(n/2) + O(1)Resolviendo la ecuación recursiva tenemos

Por tanto, el algoritmo de busqueda binaria es más eficiente que el de búsqueda lineal.

)(log)1(Olog1)1(Olog)1()1(Olog)2/(

)1(O)1(O)4/()1(O)2/()(

2

22log2

nOnntnnt

ntntntn

∈+==+=+=

=++=+= L


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Ejemplo Multiplicación de Enteros Grandes

Ejemplo Multiplicación de Enteros Grandes

Todos conocemos el algoritmo para multiplicar enteros que nos enseñaron en el colegio

El coste de este algoritmo es O(n2).¿Se pueden multiplicar dos enteros con un conste menor?

x* * * * * *

* * * * * * * *

* * * * * * * ** * * * * * * *

* * * * * * * ** * * * * * * *

* * * * * * * ** * * * * * * *

n2

* * * * * * * * * * * * *

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Multiplicación de Enteros Grandes mediante Divide y Vencerás

Multiplicación de Enteros Grandes mediante Divide y Vencerás

Supongamos que queremos multiplicar dos enteros x e y de tamaño n expresados en una base i.

Se comprueba fácilmente que xy = ac in + (ad+bc) in/2 + bd

y de esta forma, se puede calcular xy mediante 4 productos entre enteros de tamaño n/2.El coste que se obtiene es t(n) = 4t(n/2) + O(n)

a bc d

n/2n/2

n dígitos

x

y

x=ain/2+b

y=cin/2+d


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Calculo del Coste de la Multiplicación de Enteros Grandes


Resolviendo la ecuación mediante deplegado tenemos

t(n)

n

t(n/2) t(n/2) t(n/2) t(n/2)

=

n/2

t(n/4)t(n/4)t(n/4)t(n/4)

=

n/2

t(n/4)t(n/4)t(n/4)t(n/4)

=

n/2

t(n/4)t(n/4)t(n/4)t(n/4)

=

n/2

t(n/4)t(n/4)t(n/4)t(n/4)

=

… … … … … … … … … … … … … … … …

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Resolviendo la ecuación mediante deplegado tenemos

… … … …

n

n/2

n/4n/4n/4n/4

n/2

n/4n/4n/4n/4

n/2

n/4n/4n/4n/4

n/2

n/4n/4n/4n/4

… … … …

111111111111111111111111111111111111111111111111log2n

= 16n/4

= 4n/2

= 1n

= 4in/2i

= 4log2nn/2log2n

Nivel

4i copias de n/2i

0

1

2

i

+

+

+

+

∑=

n

i

ii n2log

02/4


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Mejora del Algoritmo de Multiplicación de Enteros Grandes

Mejora del Algoritmo de Multiplicación de Enteros Grandes

Así pues, tenemos un coste total

de modo que este algoritmo, a pesar de aplicar la técnica de divide y vencerás no es más eficiente que el anterior.¿Se puede construir un algoritmo mediante divide y vencerás más eficiente que el anterior?Karatsuba y Ofman desarrollaron un algoritmo más eficiente a partir de la misma descomposición anterior pero basándose en la propiedad

xy = ac in + ((a-b)(d-c)+ac+bd) in/2 + bdDe este modo, sólo se realizan 3 productos de enteros de tamaño n/2.El coste de este algorimo es t(n) = 3t(n/2) + O(n) ∈ O(n1.57)

)(O22)2/4(2/42/4)( 22loglog

0

log

0

log

0

log

0

22222

nnnnnnnnt nn

i

in

i

in

i

iin

i

ii ∈====== ∑∑∑∑====

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Multiplicación de Enteros Grandes(Karatsuba y Ofman)

Multiplicación de Enteros Grandes(Karatsuba y Ofman)

Suponiendo que x e y son enteros de n dígitos, el algoritmo de Karatsuba y Ofman puede escribirse así

Para que el algoritmo sea más eficiente debe fijarse el umbral en n0=500 dígitos.

funcion productoK&O(enterogrande x,enterogrande y)si n=1 devolver xysi_no

(a,b)=descomponer(x)(c,d)=descomponer(y)ac=productoK&O(a,c)bd=productoK&O(b,d)abdc=productoK&O(a-b,d-c)devolver ac*in + (abdc+ac+bd)*in/2 + bd

fin_sifin_funcion


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Algoritmos VoracesAlgoritmos Voraces

La técnica VORAZ consiste en resolver un problema de manera gradual tomando decisiones o realizando acciones que permiten ir construyendo progresivamente la solución del problema. Con cada decisión tomada se obtiene una solución parcial del problema y se reduce la dimensionalidad del mismo. Suele utilizarse en problemas de optimización.

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Condiciones Necesarias para Aplicar la Técnica Voraz

Condiciones Necesarias para Aplicar la Técnica Voraz

Debe existir un función que hay que maximizar o minimizar conocida como FUNCIÓN OBJETIVO.La función objetivo depende de varias variables que toman valores en un conjunto conocido como DOMINIO.Existe una función, conocida como FUNCIÓN SOLUCIÓN, que permite saber si unos determinados valores de las variables son o no solución del problema. La asignación de un valor a una variable se denomina DECISIÓN.Existe un conjunto de restricciones que deben satisfacer los valores de las variables de la función objetivo y existe una función para saber si las decisiones tomadas hasta el momento satisfacen o no las restricciones. Esta función se suele llamar FACTIBLE, y el conjunto de decisiones factibles tomadas hasta el momento se llama SOLUCIÓN EN CURSO.


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Funcionamiento de la Técnica Voraz

Funcionamiento de la Técnica Voraz

La técnica voraz intenta resolver el problema fijando progresivamente los valores de las variables de la función objetivo, sin violar las restricciones, hasta llegar al máximo omínimo de función. En cada paso se determina el valor de una de las variables aún no fijada mediante una FUNCIÓN DE SELECCIÓN. En cada instante, la función de selección siempre toma la decisión factible que es localmente óptima, es decir, la que hace que la función objetivo tome el mejor valor posible hasta el momento, sin intentar averiguar si forma parte de la solución óptima global.Una de las características que diferencian a la técnica voraz de otras que estudiaremos después es que ¡nunca reconsidera una decisión tomada!

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Algoritmo Genérico VorazAlgoritmo Genérico Voraz

Suponiendo que el dominio de las variables de la función objetivo fuese C, podemos expresar el algoritmo voraz así:funcion voraz(conjunto_candidatos c)

s=∅mientras(no solucion(s) ∧ no vacio(c))x=seleccion(c)c=c-{x}si factible(s∪{x}) entonces s=s∪{x}

fin_mientrassi solucion(s) entonces devoler ssi_no devolver ∅

fin_funcion


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Coste Temporal del Algoritmo VorazCoste Temporal del Algoritmo Voraz

El coste de un algoritmo voraz depende de dos factores:– El número de iteraciones del bucle, que depende del

tamaño de la solución construida y del tamaño del conjunto de candidatos.

– El coste de las funciones seleccion y factible.La función factible suele tener un coste constante, pero la función seleccion ha de explorar el conjunto de candidatos y depende de su tamaño.

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Ventajas e Inconvenientes de los Algoritmos Voraces

Ventajas e Inconvenientes de los Algoritmos Voraces

La principal ventaja de los algoritmos voraces es que suelen ser bastante eficientes.Sin embargo, puesto que siempre toman decisiones localmente óptimas y no reconsideran nunca las decisiones tomadas, no garantizan que se obtenga la solución óptima del problema, ni siquiera que se obtenga una solución, aún cuando dicha solución exista.Esto es debido a que las decisiones localmente óptimas no garantizan la obtención de la solución óptima global. Los problemas resolubles mediante la técnica voraz, deben cumplir el principio de optimalidad:“Una secuencia óptima de decisiones, toda subsecuencia ha de ser también óptima.”


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Ejemplos de Algoritmos VoracesEjemplos de Algoritmos Voraces

Algunos problemas conocidos que pueden resolverse mediante la técnica voraz son:– El problema del cambio en monedas.– El problema de los códigos de Huffman.– El problema de los tiempos de espera mínimos.– El problema de la mochila.– El problema de los caminos mínimos en grafos.

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El Problema del Cambio de MonedasEl Problema del Cambio de Monedas

Dado un conjunto C de monedas de n tipos, se trata de encontrar el número mínimo de monedas que sumen una cantidad x.Este problema satisface el principio de optimalidad, ya que puede demostrarse que si se tiene una solución óptima S={e1,…,ek} para el problema de sumar una cantidad x, entonces, S-{ei} también es la solución óptima para sumar la cantidad x-ei.


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El Problema del Cambio de MonedasElementos del Algoritmo Voraz

El Problema del Cambio de MonedasElementos del Algoritmo Voraz

Función objetivo: El número de monedas, que hay que minimizar.Dominio o conjunto de candidatos: El conjunto C formado por todas las monedas de que disponemos.Función solución: S={e1,…,ek} es solución si Σi ei = x.Función factible: S={e1,…,ek} es factible si Σi ei ≤ x.Función selección: Elegir si es posible la moneda de mayor valor de C.

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El Problema del Cambio de MonedasAlgoritmo Voraz

El Problema del Cambio de MonedasAlgoritmo Voraz

El siguiente algoritmo implementado en C++ utiliza la técnica voraz para resolver el problema del cambio de monedas:bool cambio(int x,const int valor[n],int solucion[n]){

for (int i=0;i<n;i++) solucion[i]=0;int i=0, suma=0;while (suma<x && i<n)if (suma+valor[i]<=x){solucion[i]++;suma+=valor[i];}

elsei++;

if (suma==x) return true;else{for (int i=0;i<n;i++) solucion[i]=0;return false;}

}


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El Problema del Cambio de MonedasOptimalidad

El Problema del Cambio de MonedasOptimalidad

El algoritmo anterior no siempre proporciona la solución óptima.Ejemplo. Si tenemos 5 monedas de valores valor[5]={50,25,20,5,1} y queremos sumar x=42, el algoritmo nos daría la solución s[5]={0,1,0,3,2}, es decir, 6 monedas, mientras que la solución óptima es s[5]={0,0,2,0,2}, que son 4 monedas.Además, en caso de que C no contenga la moneda unidad, ni siquiera se garantiza que el problema tenga la solución.Para que el algoritmo alcance la solución óptima es necesario que C esté formado por tipos de monedas que sean potencia de un tipo básico t (por ejemplo, C={125,25,5,1}). En este caso, el problema se reduce a encontrar la descomposición de x en base t, que es única y mínima.

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El Problema del Cambio de MonedasCoste Temporal

El Problema del Cambio de MonedasCoste Temporal

Para que la función de selección de la función cambiofuncione adecuadamente, el vector de valores de las monedas debe estar ordenado en orden decreciente. El coste de este algoritmo es de O(max(nlog n, m)) donde nes el número de tipos de monedas de C, y m es el número de iteraciones que realiza el bucle.


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El Problema de la MochilaEl Problema de la Mochila

Se dispone de una colección de n objetos o1,…,on, cada uno de ellos con un peso pi y un valor vi asociados.Por otro lado se tiene una mochila capaz de soportar un peso máximo pmax.El problema consiste en maximizar el valor de los objetos que se introduzcan en la mochila sin sobrepasar pmax.Dependiendo de si los objetos se pueden fraccionar o no, existen dos variantes del problema:– Mochila fraccionada: Los objetos se pueden fraccionar,

es decir se puede colocar en la mochila trozos de objetos.– Mochila entera: Los objetos no se pueden fraccionar y

por tanto deben ir enteros en la mochila.Ambas versiones satisfacen el principio de optimalidad pero sólo el primero puede resolverse con la técnica voraz.

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Problema de la Mochila Fraccionada Elementos del Algoritmo Voraz

Problema de la Mochila Fraccionada Elementos del Algoritmo Voraz

Puesto que los objetos se pueden fraccionar, llamaremos xial la fracción del objeto oi que colocamos en la mochila.Función objetivo: El valor de los objetos introducidos en la mochila Σi xivi , que hay que maximizar.Dominio o conjunto de candidatos: La colección de objetos Cque queremos introducir en la mochila.Función solución: S={x1,…,xk} es solución si Σi xipi = pmax.Función factible: S={x1,…,xk} es factible si Σi xipi ≤ pmax.Función selección: Existen varias estrategias posibles– Seleccionar los objetos en orden decreciente de valor.– Seleccionar los objetos en orden creciente de peso.– Seleccionar los objetos por orden decreciente de relación

valor/peso. (Sólo esta conduce a la solución óptima).


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Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz

Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz

El siguiente algoritmo implementado en C++ utiliza la técnica voraz para resolver el problema de la mochila fraccionada:float mochila(float v[n],float p[n],float x[n],float

pmax){struct objeto{float coste;int posicion;

};objeto vp[n];for (int i=0;i<n;i++){vp[i].coste=v[i]/p[i];vp[i].posicion=i;x[i]=0;}

ordenar_decreciente_coste(vp)float peso=0, valor=0;int i=0, j;

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Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz (continuación)

Problema de la Mochila Fraccionada Algoritmo Voraz (continuación)

while (peso<=pmax && i<n){j=vp[i].posicion;si (peso+p[j]<=pmax){x[j]=1;valor+=v[j];peso+=p[j];

} else {x[j]=(pmax-peso)/p[j];valor+=v[j]*x[j];peso=pmax;

}i++;

}return valor;

}


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Problema de la Mochila Fraccionada Coste Temporal

Problema de la Mochila Fraccionada Coste Temporal

El tamaño del problema es el número de objetos n.El primer bucle realiza n iteraciones y el coste de su cuerpo es constante, de modo que el coste total del bucle es O(n). El coste de la función de ordenación decreciente de los objetos por valor/peso es el coste del algoritmo de ordenación utilizado ( en el mejor caso O(n log n)).El segundo bucle realiza, a lo sumo n iteraciones, y el coste de su cuerpo es constante, de manera que el coste total del bucle también es O(n).Por tanto, el coste total del algoritmo es

O(n) + O(n log n) + O(n) = O(n log n).

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Programación DinámicaProgramación Dinámica

Con la técnica de divide y vencerás, la descomposición natural de un problema puede originar subproblemas que se solapen, de manera que al resolverlos independientemente se acabe resolviendo el mismo problema múltiples veces.La técnica de PROGRAMACIÓN DINÁMICA es similar a la de divide y vencerás, sólo que los subproblemas obtenidos sólo se resuelven una vez. Esto exige guardar la solución de cada subproblema para, si se presenta de nuevo, no tener que volver a resolverlo.¡Se sacrifica espacio para ganar tiempo de ejecución!Es una técnica ascendente, que se inicia con la resolución de subproblemas más pequeños, y utiliza sus soluciones en la resolución de los subproblemas de niveles superiores.


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Ejemplo Los Números de Fibonacci

Ejemplo Los Números de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci viene dada por la expresión

El programa resultante utilizando divide y vencerás es:

En la resolución se repiten llamadas recursivas:

≥<

+=

.2 si;2si

)2()1( 1

)(nn

n-fn-fnf

long int fibonacci(int n){if (n<2) return 1;else return fibonacci(n-2)+fibonacci(n-1);

}

f(n)

f(n-1) f(n-2)

f(n-2) f(n-3) f(n-3) f(n-4)

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cas

Alg

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Los Números de Fibonaccicon Programación DinámicaLos Números de Fibonacci

con Programación Dinámica

Resulta sencillo evitar la repetición de llamadas recursivas utilizando el siguiente esquema:

La siguiente función en C++ calcular la sucesión de Fibonacci hasta el térnimo n con programación dinamica:

El coste de este algoritmo es O(n) frente a O(2n) del anterior.

f(n) f(n-1) f(n-2) f(n-3) f(n-4) …

int * fibonacci(int f[n]){ // Se supone n>2f[0]=0;f[1]=1;for (int i=2;i<n;i++)

f[i]=f[i-1]+f[i-2];return f;

}


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Características de laProgramación Dinámica

Características de laProgramación Dinámica

La descomposición en subproblemas suele hacerse de acuerdo al principio de optimalidad.La estructura de datos donde se van guardando las soluciones de los subproblemas resueltos suele ser una tabla.La mayor dificultad de esta técnica consiste en determinar el orden en que se deberá rellenar la tabla. Para resolver un subproblema, previamente deben estar almacenadas todas las soluciones necesarias.La programación dinámica supone un compromiso entre el coste espacial y el coste temporal. Si para reducir un poco el coste temporal se requiere un excesivo coste espacial, puede no ser una buena técnica.

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Rectángulo


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Ejemplos de Programación Dinámica

Ejemplos de Programación Dinámica

Algunos problemas conocidos que pueden resolverse mediante programación dinámica son:– El cálculo de los números de Fibonacci.– El cálculo de números combinatorios.– El problema de la mochila entera.– El problema de los caminos mínimos en grafos.– La multiplicación de una secuencia de matrices.– El problema del viajante.


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El Problema de la Mochila EnteraEl Problema de la Mochila Entera

Ya vimos un algoritmo voraz para resolver el problema de la mochila fraccionaria, sin embargo, la técnica voraz no garantiza la obtención de la solución óptima cuando los objetos no se pueden fraccionar. Ejemplo. Si tenemos 3 objetos con valores v1=18, v2=20 y v3=12, y pesos p1=6, p2=4 y p3=2, y el peso máximo de la mochila es pmax=10, entonces el algoritmo voraz calcula la solución (x1=0, x2=1, x3=1) que tiene un valor 32, mientras que la solución óptima es (x1=1, x2=1, x3=0) que tiene un valor 38.Veremos cómo la programación dinámica si permite llegar a la solución óptima.

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El Problema de la Mochila EnteraEl Problema de la Mochila Entera

Si llamamos f(n,pmax) al valor de la mochila en la solución óptima, aplicando el principio de optimalidad, se tiene

El algoritmo recursivo que implementa directamente la función anterior tiene un coste exponencial O(2n).Sin embargo, el número total de subproblemas a resolver no es tan grande, ya que el primer parámetro de f puede oscilar entre 1 y n, y el segundo entre 0 y pmax, en total n(pmax+1).Así pues, ¡hay subproblemas que se repiten! Podemos utilizar una tabla para almacenar los subproblemas resueltos, en la que en la posición (i,j) se almacene el valor de f(i,j).

n

n

nn ppnppnppnppn

vppnfpnfpnf

vpnf

≥><>≥=<=

+−−−−

=

max

max

1max

1max

maxmax

max

1max

y 1 siy 1 siy 1 siy 1 si

)),1(),,1(max(),1(

0

),(


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El Problema de la Mochila EnteraAlgoritmo Programación DinámicaEl Problema de la Mochila EnteraAlgoritmo Programación Dinámica

La siguiente función implementada en C++ calcula la tabla de subproblemas con programación dinámica:void tabla_f(int n,int v[n],int p[n],int pmax,

int f[n][pmax]){for (int j=0;j<=pmax;j++)if (j<p[0]) f[0][j]=0;else f[0][j]=v[0];

for (int i=1;i<n;i++)for (int j=0;j<=pmax;j++)if (j<p[i]) f[i][j]=f[i-1][j];else if (f[i-1][j]>f[i-1][j-p[i]]+v[i])f[i][j]=f[i-1][j];

else f[i][j]=f[i-1][j-p[i]]+v[i];return;

}

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El Problema de la Mochila EnteraEjemplo


Supongamos que tenemos 5 objetos con pesosp[0]=5, p[1]=4, p[2]=2, p[3]=3, p[4]=4,y valoresv[0]=20, v[1]=15, v[2]=10, v[3]=12, v[4]=14,entonces, si el peso máximo de la mochila es 10, la función anterior generaría la siguiente tabla:

Peso 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Objeto 0 0 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20Objeto 1 0 0 0 0 15 20 20 20 20 35 35Objeto 2 0 0 10 10 15 20 25 30 30 35 35Objeto 3 0 0 10 12 15 22 25 30 32 37 42Objeto 4 0 0 10 12 15 22 25 30 32 37 42

Valor máximo de la mochila


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El Problema de la Mochila EnteraAlgoritmo Programación DinámicaEl Problema de la Mochila EnteraAlgoritmo Programación Dinámica

El valor máximo de la mochila será f[n,pmax].Por otro lado, los objetos incluidos en la mochila en la solución óptima pueden obtenerse mediante la funciónvoid objetos(int n,int v[n],int p[n],int pmax,

int f[n][pmax],int sol[n]){for (int i=n-1;i>0;i--)if (p[i]>pmax) sol[i]=0;else if (f[i-1][pmax-p[i]]+v[i]>f[i-1][pmax]){sol[i]=1;pmax-=p[i];

} else sol[i]=0; if (p[0]<pmax) sol[0]=1; else sol[0]=0;return;

}

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El Problema de la Mochila Entera Coste Temporal

El Problema de la Mochila Entera Coste Temporal

Cada componente de la tabla se calcula en un tiempo constante, luego la construcción de la tabla es O(npmax).Por otro lado, la función que determina los objetos introducidos en la mochila a partir de la tabla, sólo tiene un bucle que recorre todos los objetos para ver si están o no dentro de la mochila. Como el cuerpo del bucle tiene un coste constante, su coste es O(n).Así pues, el coste total es O(npmax) + O(n) = O(npmax).Se observa que si pmax es muy grande (pmax≥n) sería un coste cuadrático o superior, por lo que no sería muy eficiente.Por último, hay que notar que si los pesos no fuesen enteros, el algoritmo no valdría.


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El Problema del ViajanteEl Problema del Viajante

Un viajante tiene que recorrer n ciudades y regresar a la ciudad de partida, sin pasar dos veces por la misma ciudad.Se supone que los caminos son unidireccionales y se conoce la distancia de cada camino.¿Cuál es recorrido que debe seguir para que sea lo más corto posible?

?

6

43

252

46 5

30

1

2

3

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El Problema del ViajanteModelización Mediante Grafos


Si representamos cada ciudad mediante un nodo de un grafo y cada camino como una arista dirigida, tendremos un grafo dirigido G=(V,A) donde– V={1,…,n} es el conjunto de vértices (ciudades).– A es el conjunto de aristas (i,j) con i,j ∈ V (caminos).– D(i,j) es la longitud de (i,j) si (i,j) ∈ A, o ∞ si (i,j) ∉ A.

Se trata de un problema de búsqueda en un grafo del ciclo Hamiltoniano de longitud mínima.

∞45236∞622∞4∞513∞3∞03210De\A


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Suponiendo que la ciudad de partida es la 0, si llamamos C(i,W) a la longitud del camino mínimo de i a 0 que pasa por todos los vértices de W ⊂ V, siendo 0∉W, entonces

Como la ciudad de partida es la 0, la solución al problema será C(0,V-{0}).Se cumple el principio de optimalidad.

∅≠−+∅=

=∈

WjWjCjiDWiD

WiCWj

si})){,(),((min si)0,(

),(

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El Problema del ViajanteAlgoritmo Recursivo (Fuerza Bruta)


La siguiente función en C++ implementa la función anterior de manera recursivafloat c(int n,int i,const conjunto &w,float **d){

conjunto cw(w);cw.eliminar(i);if (cw.vacio()) return d[i][0];float dist,dmin=DMAX;for(int j=0;j<n;j++)if (cw.pertenece(j)){dist=d[i][j]+c(n,j,cw,d);if (dist<dmin) dmin=dist;

}return dmin;}


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Siendo la interfaz de la clase conjunto la siguiente

Y DMAX una constante con un valor alto para simular ∞.

class conjunto{private:

int numel; // Cardinal del conjunto universalbool elementos[]; // Vector de pertenencia a conjunto

public:conjunto(int n); // Inicializa al conjunto vacioconjunto(const conjunto &a); // Constructor de copiavoid aniadir(int i);// Añade el elemento ivoid eliminar(int i);// Elimina el elemento ibool pertenece(int i); // Pertenencia de i int cardinal(); // Cardinal del conjuntobool vacio(); // Comprueba si el conjunto está vacio

};

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El Problema del ViajanteCoste del Algoritmo de Fuerza Bruta

El Problema del ViajanteCoste del Algoritmo de Fuerza Bruta

Esta función estudia todos los posibles caminos por fuerza bruta

El coste es O(n!).

0

1

3 2

0 0

2 3

15 ∞

6

2

4

2

4 ∞2

3 1

0 0

1 3

∞ ∞

∞

2

5

5

6 63

2 1

0 0

1 2

14 18

4

2

6

5

5 4

3 ∞ 3Origen

1ª visita

2ª visita

3ª visita

Destino

Distancia

Recorrido

Min


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El Problema del ViajanteMejora de la eficiencia

El Problema del ViajanteMejora de la eficiencia

La función anterior repite llamadas para calcular C(i,W), y por tanto es ineficiente. Utilizando la técnica de programación dinámica, podemos guardar los valores de C(i,W) en una tabla para evitar repetir su cálculo. Para indexar la tabla en la segunda dimensión, asignaremos un código único a cada subconjunto W para identificarlo.Puesto que el número de ciudades es n, el número de posibles subconjuntos es 2n. Si representamos cada subconjunto mediante un vector

entonces, id(W) = x020 + x121 +…+ xn-12n-1 asigna un código único a cada subconjunto.

∈∉== − wi

wixxxW in si1si0con ],...,[ 10

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El Problema del ViajanteAlgoritmo Programación Dinámica

El Problema del ViajanteAlgoritmo Programación Dinámica

La siguiente función en C++ calcula la distancia mínima utilizando programación dinámicafloat dist_min(int n,int i,const conjunto &w,

float **d,float **c){conjunto cw(w); cw.eliminar(i);if (cw.vacio()) return d[i][0];if (c[i][cw.id()]>0) return c[i][cw.id()];float dist,dmin=DMAX;for(int j=0;j<n;j++)if (cw.pertenece(j)){dist=d[i][j]+dist_min(n,j,cw,d,c);if (dist<dmin) dmin=dist;

}c[i][cw.id()]=dmin;return dmin;

}


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El Problema del ViajanteConstrucción de la TablaEl Problema del ViajanteConstrucción de la Tabla

Para el ejemplo anterior, con D(i,j)

la tabla de distancias mínimas resultante C(i,W) es∞45236∞622∞4∞513∞3∞03210De\A

i \ W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 14 -11 -1 -1 -1 -1 6 -1 -1 -1 ∞ -1 -1 -1 12 -1 -1 -12 -1 -1 11 -1 -1 -1 -1 -1 8 -1 16 -1 -1 -1 -1 -13 -1 -1 10 -1 6 -1 11 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

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El Problema del ViajanteCoste de la Programación Dinámica

El Problema del ViajanteCoste de la Programación Dinámica

El coste del algoritmo para completar la tabla C(i,W) supone:– Cálculo de C(i,∅) para i=1,…,n-1: n-1 consultas a tabla;– Cálculo de C(i,W) para 1≤ k = Cardinal(W) ≤ n-2:

– Cálculo C(0,V): n-1 sumas.En total

que, aunque es exponencial, es de orden menor que O(n!).El precio de esta mejora es el coste espacial de la tabla C(i,W) que es Θ(n2n).

sumas; kknn

−− 2)1(

)2(2)1()1(2 22

1

nn

knk

nknn Θ=

−−+−Θ ∑

−

=


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El Problema del ViajanteItinerario del Recorrido Mínimo


El itinerario del recorrido mínimo podemos calcularlo a partir de la tabla C(i,W) mediante la siguiente funciónvoid camino_min(int n,conjunto &w,float **d,

float **c,int *camino){float dist,dmin; int jmin;for (int i=1;i<n;i++){dmin=DMAX;for(int j=0;j<n;j++)if (w.pertenece(j)){w.eliminar(j);dist=d[camino[i-1]][j]+c[j][w.id()];w.aniadir(j);if (dist<dmin) {dmin=dist; jmin=j;}

}camino[i]=jmin; w.eliminar(jmin)}

return;}

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Para el ejemplo, la función anterior devuelve el itinerario camino[4]={0,1,2,3}, es decir

¡Que efectivamente es el camino de mínima longitud!

6

43

252

46 5

30

1

2

3


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Vuelta Atrás (Backtracking)Vuelta Atrás (Backtracking)

La técnica de VUELTA ATRÁS es parecida a la técnica devoradora en que resuelve un problema de manera gradual tomando decisiones o realizando acciones que permiten ir construyendo progresivamente la solución del problema. Sin embargo, a diferencia de la técnica devoradora, las decisiones tomadas pueden volverse a reconsiderar si no se llega una solución aceptable u óptima.Básicamente, esta técnica comienza a resolver el problema buscando todas las soluciones posibles, como lo hace la técnica de fuerza bruta, pero cuando detecta que una solución parcial no puede llegar a ser óptima, la rechaza y no construye más soluciones a partir de ella.Se suele aplicar también a problemas de decisión u optimización con o sin restricciones, cuando no existe un criterio óptimo de toma de decisiones locales.

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Recordemos los Elementos de un Problema de Decisión

Recordemos los Elementos de un Problema de Decisión

FUNCIÓN OBJETIVO, que hay que minimizar o maximizar y depende de las variables x1, …, xn.DOMINIO, que contiene el conjunto de valores que pueden tomar las variables.FUNCIÓN SOLUCIÓN, que permite saber si unos determinados valores de las variables son o no solución del problema. DECISIÓN, que es la asignación de un valor a una variable.RESTRICCIONES, que son las condiciones que deben cumplir las soluciones.FUNCIÓN FACTIBLE, que permite saber si una solución cumple o no las restricciones.SOLUCIÓN EN CURSO, que es el conjunto de decisiones factibles tomadas hasta el momento.


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Espacio de BúsquedaEspacio de Búsqueda

La solución del problema puede expresarse como una tupla(x1,…,xn) con xi∈Ci, siendo Ci el dominio de xi.Así pues, el número total de posibles soluciones essiendo ki el número de elementos de Ci.El conjunto de todas las posibles soluciones se conoce como ESPACIO DE BÚSQUEDA y se representa como un árbol

∏=

n

iik

1

x11

x21

1ª decisión

2ª decisión

nª decisión

Recorrido en profundidad

x22 x2k2…

xn1 xn2 xnkn…

x12

x21 x22 x2k2… x21 x22 x2k2…

x1k1

...

xn1 xn2 xnkn…... ......

…

…

...

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Recorrido en Profundidad del Espacio de Búsqueda

Recorrido en Profundidad del Espacio de Búsqueda

Las soluciones se construyen partiendo de la raíz del espacio de búsqueda y tomando decisiones realizando un recorrido en profundidad del mismo.Se dice una solución en curso es COMPLETABLE si a partir de ella se puede alcanzar la solución del problema.Mientras que la técnica de fuerza bruta recorrería todo el espacio de búsqueda, lo que supondría un coste exponencial, la técnica de vuelta atrás, cuando llega a una solución no completable, da marcha atrás y busca por otro camino del espacio de búsqueda, evitando así recorrer todo el subárbol que queda por debajo de dicha solución no completable.


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Diferentes Versiones de Algoritmos con Vuelta Atrás

Diferentes Versiones de Algoritmos con Vuelta Atrás

Dependiendo del tipo de problema que tengamos que resolver existen diferentes formas de aplicar la vuelta atrás:– Vuelta atrás para una solución: El algoritmo recorre el

espacio de búsqueda hasta que encuentra la primera solución. Es el más sencillo.

– Vuelta atrás para todas las soluciones: El algoritmo recorre el espacio de búsqueda guardando todas las soluciones que encuentra hasta que ya no haya más.

– Vuelta atrás para la mejor solución: El algoritmo recorre el espacio de búsqueda comparando cada solución que encuentra con la mejor solución obtenida hasta el momento, y quedándose con la mejor. Cuando ya no hay más soluciones, devuelve la mejor encontrada. Suele aplicarse a problemas de optimización.

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Algorítmo Genérico con Vuelta Atrás para Todas las SolucionesAlgorítmo Genérico con Vuelta

Atrás para Todas las Soluciones

El siguiente algoritmo calcula todas las soluciones de un problema con la técnica de vuelta atrásfuncion vuelta_atras(entero i,sol[n])

para_todo x en Cisol[i]=xsi completable(sol,i) entoncessi solucion(sol) entoncesguardar(sol)

fin_sisi (i<k) entoncesvuelta_atras(i+1,sol)

fin_sifin_si

fin_para_todofin_funcion


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Poda del Espacio de BúsquedaPoda del Espacio de Búsqueda

El algoritmo anterior no genera el espacio de búsqueda de forma explícita, sino implícitamente mediante llamadas recursivas.Cuando se llega a una solución en curso no completable, no se realizan más llamadas recursivas y por tanto no se construye el subárbol correspondiente del espacio de búsqueda. Esto se conoce como PODA del espacio de búsqueda.La poda es un mecanismo que permite descartar del recorrido ciertas zonas del espacio de búsqueda, bien porque allí no haya soluciones, bien porque ninguna de las soluciones de esas zonas es la óptima. Cuanto mayor sea el número de nodos podados, más eficiente será la búsqueda de soluciones.

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Coste Temporal del Algoritmo de Vuelta Atrás

Coste Temporal del Algoritmo de Vuelta Atrás

El coste temporal de un algoritmo que utilice la técnica de vuelta atrás, suele depender de:– El número de nodos del espacio de búsqueda que se

visitan v(n).– El coste de las funciones solucion y completable en

cada nodo p(n).En total O(p(n)v(n)).

Si se consigue que la función completable pode muchos nodos, el tamaño de v(n) se puede reducir drásticamente:– Si se reduce a un solo nodo (solución voraz) tendremos

un coste O(p(n)n).– Por el contrario, en el peor de los casos (solución por

fuerza bruta), tendremos un coste O(p(n)kn).


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Ejemplos de Vuelta AtrásEjemplos de Vuelta Atrás

Algunos problemas conocidos que pueden resolverse mediante la técnica de vuelta atrás:– El problema de las ocho reinas.– La suma de subconjuntos.– El problema de la mochila entera.– El problema del coloreado de grafos.– La búsqueda de ciclos Hamiltonianos en grafos.– El recorrido de un laberinto.

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El Problema del Coloreado de Grafos

El Problema del Coloreado de Grafos

Se dispone de un grafo G y de k colores. ¿Es posible colorear los vértices de G de manera que no haya dos vértices adyacentes con el mismo color?Otro famoso problema reducible a este es el del coloredadode mapas. ¿Puede pintarse un mapa de manera que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color, utilizando k colores?Cada región se representa como un vértice del grafo y si dos regiones son adyacentes, sus respectivos vértices de conectan con una arista.


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Coloreado de GrafosEspacio de BúsquedaColoreado de GrafosEspacio de Búsqueda

Si el grafo tiene n vértices, representaremos el color de cada vértice en un vector color[n]={c1,…,cn} siendo, ci∈{1,…,k}el color del vértice i.El espacio de búsqueda asociado tiene kn posibles soluciones. Por ejemplo, para n=3 y k=3 se tiene el siguiente espacio de búsqueda con 27 posibles soluciones.

1 1er vértice

2º vértice

3er vértice

1

21 3

2

21 3

3

21 3

2

1

21 3

2

21 3

3

21 3

3

1

21 3

2

21 3

3

21 3

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Coloreado de GrafosAlgoritmo con Vuelta Atrás

Coloreado de GrafosAlgoritmo con Vuelta Atrás

La siguiente función en C++ resuelve el problema del coloreado de grafos con la técnica de vuelta atrás:void colorea(int n,int k,bool **ady,int color[],int i){

for (int j=0;j<k;j++){color[i]=j;if (completable(ady,color,i)) if (i==n-1) imprimir(n,color);else colorea(n,k,ady,color,i+1);

}return;

}bool completable(bool **adj,int color[],int i){

int j=0;for (int j=0;j<i;j++) if (adj[j][i] && color[j]==color[i]) return false;

return true;}


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Coloreado de GrafosEjemplo

Coloreado de GrafosEjemplo

Aplicando la función anterior al mapa de 5 regiones

con 3 colores 0, 1 y 2, se obtienen seis posibles soluciones

0 1

432

=

0111010101110111010101110

Ady

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Rectángulo

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Algoritmo Genérico con Vuelta Atrás para la Mejor Solución

Algoritmo Genérico con Vuelta Atrás para la Mejor Solución

El siguiente algoritmo calcula la mejor solución de un problema de optimización con la técnica de vuelta atrásfuncion vuelta_atras(entero i,sol[n])

para_todo x en Ci hacersol[i]=xsi completable(sol,i)∧coste(sol,i)<mcoste entoncessi solucion(sol) entoncesmejor_solucion=solmcoste=coste(sol,i)

fin_sisi (i<k) entoncesvuelta_atras(i+1,sol)

fin_sifin_si

fin_para_todofin_funcion


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Poda Basada en la Mejor SoluciónPoda Basada en la Mejor Solución

Cuando estemos ante un problema de optimización, el objetivo del algoritmo es recorrer el espacio de búsqueda para encontrar la mejor solución.En este caso, además de la poda que realiza la función completable, podemos realizar otra poda basada en el coste de la mejor solución en curso.La idea es que una solución en curso se poda, cuando, a pesar de ser completable, no es posible conseguir una solución mejor que la mejor solución en curso, aún cuando se genere todo el subárbol del espacio de búqueda que cuelga de ella (coste(sol,i)≥mejorcoste).Como antes, esta poda es más efectiva cuantos más nodos consiga eliminar.

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Rectangle

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El Problema de la Mochila EnteraEspacio de Búsqueda

El Problema de la Mochila EnteraEspacio de Búsqueda

El problema de la mochila entera también puede resolverse mediante la técnica de vuelta atrás.Si tenemos n objetos y representamos el contenido de la mochila con un vector sol[n]={x1,…,xn} donde

entonces el espacio de búsqueda asociado es= mochila laen está objeto el si1

mochilalaen estánoobjetoelsi0iixi

Objeto 1

Objeto 2

Objeto n

0 1

0 1... ......

…

0 1

0 1

0 1


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El Problema de la Mochila EnteraPoda Basada en la Mejor SoluciónEl Problema de la Mochila EnteraPoda Basada en la Mejor Solución

Puesto que se trata de un problema de optimización, aplicaremos también la poda basada en la mejor solución en curso.Para ello resulta útil disponer de una función cota(sol,i) que calcule una cota superior del valor de la mochila en las soluciones que pueden obtenerse a partir de la solución en curso.Con esta función, cada vez que cota(sol,i) < maxval, siendo maxval el máximo valor de la mochila encontrado hasta el momento (al comienzo maxval=0), podaremos el subárbol del espacio de búsqueda que cuelgue de dicha solución en curso y haremos la vuelta atrás.En nuestro caso, esta cota puede obtenerse mediante el algoritmo voraz para el problema de la mochila fraccionada.

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El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Vuelta Atrás

El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Vuelta Atrás

La siguiente función en C++ resuelve el problema de la mochila entera con la técnica de vuelta atrás:void llenar(int sol[],float valact,float pesoact,

int mejorsol[],float &maxval,int i){float tval,tpeso; for (int j=1;j>=0;j--){sol[i]=j;tval=valact+j*valor[i]; tpeso=pesoact-j*peso[i];if (tpeso>=0 && maxval<cotaval(tempval,tpeso,i+1)){if (i<n-1)fillup(sol,tval,tpeso,mejorsol,maxval,i+1);

else {maxvalue=tempvalue; copiar(sol,bestsol);}}

} }


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El Problema de la Mochila EnteraFunción Cota del Valor Máximo

El Problema de la Mochila EnteraFunción Cota del Valor Máximo

Siendo n (número de objetos) valor[] (valor de los objetos) y peso[] (peso de los objetos) variables globales, y siendo la función cotaval la siguiente:

Para que esta función trabaje correctamente, es necesario que los objetos estén ordenados de manera decreciente por valor/peso.Además, no es necesario que los pesos sean enteros como ocurría con la programación dinámica.

float cotaval(float val,float pesomax,int i){for (int j=i;j<n;j++)if (peso[j]>pesomax) return val+pesomax/peso[j]*valor[j];

else {val+=valor[j]; pesomax-=peso[j];}return val;

}

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Si hay 5 objetos de valores valor[]={30,40,60,10,20}y pesos peso[]={6,10,20,5,15}, entonces la función realiza el siguiente recorrido del espacio de búsqueda

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Objeto 0

Objeto 1

Objeto 3

1

1

1 0

1 0 1 0

0

1 0

1 0 1 0

0

1

1 0

1 0 1 0

0

1 0

1 0 1 0

Objeto 2

Objeto 4

p=6,v=30

p=10,v=40

p=20,v=60

p=5,v=10

p=15,v=20

maxval 80 90 100


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Mejoras de la Vuelta AtrásMejoras de la Vuelta Atrás

Una posible mejora sería comenzar buscando una solución factible por algún procedimiento rápido, e inicializar el valor de la mejor solución con el valor de dicha solución. De esta manera, la poda basada en mejor solución comenzaría a funcionar antes.Otra posible mejora consiste en guardar para cada variable xi la lista de los valores de su dominio Ci :– Cada vez que se asigna un valor a una variable, se

eliminan de todas las variables no asignadas los valores incompatibles con la asignación. Esto reduce el espacio de búsqueda aunque también supone un coste.

– Si a alguna variable no le quedan valores posibles, entonces no es posible la solución y se hace vuelta atrás.

También está la posibilidad de considerar árboles con recorrido dinámico para los espacios de búsqueda.

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Ramificación y Poda (Branch & Bound)

Ramificación y Poda (Branch & Bound)

La técnica de RAMIFICACIÓN Y PODA es básicamente una mejora de la técnica de vuelta atrás que se basa en un recorrido dinámico más eficiente del espacio de búsqueda.La principal diferencia es que, mientras que la técnica de vuelta atrás realiza un recorrido ciego del espacio de búsqueda, la técnica de ramificación y poda realiza un recorrido informado.En un recorrido ciego, bien sea en profundidad o en anchura, se conoce perfectamente el siguiente nodo a visitar (siguiente hijo o hermano del nodo actual), es decir, el orden del recorrido está establecido a priori, mientras que en un recorrido informado, se busca el siguiente nodo más prometedor en base a la información de que se disponga.Se aplica fundamentalmente a problemas de optimización con restricciones, donde el espacio de búsqueda es un árbol.


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Nodos PrometedoresNodos Prometedores

Diremos que un nodo del espacio de búsqueda es PROMETEDOR, si la información que tenemos de ese nodo en el recorrido indica que expandiéndolo se puede conseguir una solución mejor que la mejor solución obtenida hasta el momento.Esta información puede provenir de la evaluación del camino ya recorrido hasta el nodo, o bien de la evaluación de los caminos quedan por recorrer desde el nodo a posibles soluciones.Para guiar la búsqueda es fundamental disponer de una función que, no sólo diga si un nodo es o no prometedor, sino que además estime lo prometedor que es.

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Caracterización del Espacio de Búsqueda en Ramificación y Poda

Caracterización del Espacio de Búsqueda en Ramificación y Poda

El espacio de búsqueda se representa mediante un árbol en el que hay tres clases de nodos:– Nodo vivo: Es un nodo hasta el cual la solución en curso

es factible, prometedora, y del que no se han generado aún todos sus hijos (no se ha completado la solución).Indican caminos abiertos de búsqueda.

– Nodo muerto: Es un nodo del que no van a generarse más hijos porque, o bien ya se han generado todos sus hijos, o bien no es factible, o bien no es prometedor. Indican caminos cerrados de búsqueda.

– Nodo en expansión: Es aquel del que se están generando sus hijos en un determinado instante.

En un determinado instante de la búsqueda puede haber muchos nodos vivos y muertos pero sólo uno en expansión.


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Funcionamiento de la Búsqueda en Ramificación y Poda

Funcionamiento de la Búsqueda en Ramificación y Poda

En la técnica de vuelta atrás, cada vez que se generaba un hijo del nodo en expansión, este pasaba inmediatamente a ser el nodo en expansión. En consecuencia, los únicos nodos vivos son los que están en el camino de la raíz al nodo en expansión.Por el contrario, en la técnica de ramificación y poda se generan todos los hijos del nodo en expansión antes de que cualquier otro nodo vivo pase a ser el nuevo nodo en expansión. Esto supone que puede haber nodos vivos en distintos caminos y tendremos que guardar la lista de nodos vivos en alguna estructura de datos (suelen ser pilas o colas).

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Estrategias de BúsquedaEstrategias de Búsqueda

Existen diferentes estrategias para elegir el siguiente nodo en expansión de la lista de nodos vivos:– Más antiguo. Se elige como nodo en expansión el más

antiguo de la lista. En este caso la lista se implementa como una cola. Produce un recorrido en anchura.

– Menos antiguo. Se elige como nodo en expansión el menos antiguo de la lista. En este caso la lista se implementa como una pila. Produce un recorrido en profundidad.

– Más prometedor. Se elige como nodo de expansión el nodo más prometedor de la lista. La lista se implementa como una cola con prioridades, donde la prioridad de un nodo es lo prometedor que es. Produce un recorrido informado y ¡es el que suele utilizar la técnica de ramificación y poda!


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Algoritmo Genérico con Ramificación y Poda


El siguiente algoritmo calcula la mejor solución de un problema de optimización con ramificación y poda:funcion ramificacion_y_poda()

inicializar(C); insertar(C,<sol,0,prioridad(sol,0)>)mientras no_vacia(C) hacer<sol,k>=primero(C)para_todo x en Ck hacersol[k]=xsi completable(sol,k)∧coste(sol,k)<mcoste entoncessi solucion(sol) entoncesmejor_solucion=sol; mcoste=coste(sol,k)

si_no insertar(C,<sol,k+1,prioridad(sol,k+1)>)fin_si

fin_para_todofin_mientrasdevolver (mejor_solucion, mcoste)

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En el algoritmo anterior se tiene que:– C es una cola con prioridades, es decir, sus elementos

están ordenados de acuerdo a sus prioridades.– prioridad(sol,k) es una función que devuelve la

prioridad de un nodo vivo, que será lo prometedor que es. Esta función sirve para dirigir la búsqueda y llegar pronto a la solución óptima.

– La condición completable(sol,k) sirve para realizar una poda cuando la solución no es factible, mientras que la condición coste(sol,k)<mcoste sirve para realizar una poda basada en la mejor solución. En ambos casos el nodo correspondiente se convierte en un nodo muerto.

Habitualmente la función de prioridad también suele ser la función de coste.


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Ramificación y PodaCoste Temporal

Ramificación y PodaCoste Temporal

El coste temporal de un algoritmo que utilice la técnica de ramificación y poda, depende fundamentalmente de:– El número de nodos del espacio de búsqueda que se

visitan v(n). Que depende a su vez de lo buenas que sean las funciones completable y coste para hacer podas, y lo buena que sea la función prioridad para dirigir la búsqueda.

– El coste de las funciones prioridad, completable y coste en cada nodo p(n).

– El coste del mantenimiento de la cola con prioridad.En total O(p(n)v(n)), donde v(n) suele ser dn con d= max |Ck|.

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El Problema de la Mochila EnteraMejora con Ramificación y PodaEl Problema de la Mochila EnteraMejora con Ramificación y Poda

Se puede mejorar la solución dada al problema de la mochila entera con la técnica de vuelta atrás, si, además de las podas que realizaba esta, se dirige la búsqueda con la función de prioridad. Tomando como función de prioridad la misma función que la que calculaba una cota superior del valor de la mochila para cada nodo del espacio de búsqueda, se expandirán primero los nodos que tengan una cota mayor, y que probablemente llevarán a una solución con un valor de la mochila mayor.


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El Problema de la Mochila EnteraEstructura de un Nodo

El Problema de la Mochila EnteraEstructura de un Nodo

Cada nodo del espacio de búsqueda debe contener la información necesaria para generar sus hijos o para decidir si es solución o no puede serlo.Utilizaremos la siguiente estructura de datos en C++:

Los valores de pes y val podrían calcularse sin necesidad de almacenarlos pero es más eficiente pasarlos a los hijos. Esto se conoce como MARCAJE.

class nodo{private:

int numel; // Número total de objetosint *sol; // Vector soluciónint actual; // Objeto hasta el que se han tomado decisionesfloat pes; // Peso restante de la mochilafloat val; // Valor de la mochilafloat prio; // Prioridad del nodo

}

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El Problema de la Mochila EnteraFunción de Coste y Prioridad

El Problema de la Mochila EnteraFunción de Coste y Prioridad

La siguiente función en C++ se utiliza como función de coste parar la poda y también como función de prioridad para dirigir la búsquedafloat cotavalor(nodo *x){nodo *sig;

int i=x->etapa();if (i>=x->numobjetos() || x->peso()==0) return x->valor(); else if (weight[i]>x->peso())

return x->valor()+x->peso()/weight[i]*value[i];else {

sig=new nodo(*x);sig->suma_valor(value[i]);sig->resta_peso(weight[i]);sig->sig_etapa();return val_bound(sig);

}


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El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Ramificación y PodaEl Problema de la Mochila Entera

Algoritmo con Ramificación y Poda

La siguiente función en C++ resuelve el problema de la mochila entera con la técnica de ramificación y poda:nodo* rellenar(int n,float pesomax){

priority_queue<nodo*,vector<nodo*>,mayor_pri> c;nodo raiz(n,pesomax);nodo *hijo,*nodoexp,*solucion;c.push(&raiz); solucion=&raiz;while (!c.empty()){

nodoexp=c.top();c.pop();if (nodoexp->prioridad()>=solucion->valor())

for (int j=1;j>=0;j--){hijo=new nodo(*nodoexp);hijo->fija_objeto(j);hijo->suma_valor(j*value[hijo->etapa()]); hijo->resta_peso(j*weight[hijo->etapa()]); hijo->sig_etapa();

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El Problema de la Mochila Entera Algoritmo con Ramificación y PodaEl Problema de la Mochila Entera

Algoritmo con Ramificación y Poda

Siendo c una cola con prioridad implementada en la librería de plantillas estándar de C++, con el orden

Y siendo valor[] (valor de los objetos) y peso[] (peso de los objetos) variables globales.

hijo->fija_prio(cotaval(hijo));if (hijo->peso()>=0 &&

solucion->valor()<hijo->prioridad())if (hijo->solucion()) solucion=hijo;else c.push(hijo);

}delete nodoexp;

} return solucion;

}

bool mayor_pri::operator()(nodo *a,nodo *b){return (a->prioridad()<b->prioridad()); }


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Si hay 5 objetos de valores valor[]={30,40,60,10,20}y pesos peso[]={6,10,20,5,15}, entonces la función realiza el siguiente recorrido del espacio de búsqueda

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Objeto 0

Objeto 1

Objeto 3

1

1

1 0

1 0 1 0

0

1 0

1 0 1 0

0

1

1 0

1 0 1 0

0

1 0

1 0 1 0

Objeto 2

Objeto 4

p=6,v=30

p=10,v=40

p=20,v=60

p=5,v=10

p=15,v=20

maxval 100

c=112

c=112

c=118 c=92

c=98

c=100

c=100 c=76,67

c=100 c=70

c=103 c=100

120 100

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Recordemos que se trata de buscar el camino más corto para visitar n ciudades y volver a la ciudad de partida sin pasar dos veces por la misma ciudad.Ya vimos una solución con programación dinámica, pero requería un coste en memoria excesivo.

?

6

43

252

46 5

30

1

2

3


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Como ya vimos, modelizaremos el problema con un grafo G=(V,A) donde– V={1,…,n} es el conjunto de vértices (ciudades).– A es el conjunto de aristas (i,j) con i,j ∈ V (caminos).– D(i,j) es la longitud de (i,j) si (i,j) ∈ A, o ∞ si (i,j) ∉ A.

Representaremos la solución con un vector sol[n] que almacenará en la posición i, la ciudad a visitar en i-esimolugar.

∞45236∞622∞4∞513∞3∞03210De\A

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El Problema del ViajanteEspacio de Búsqueda

El Problema del ViajanteEspacio de Búsqueda

El conjunto de posibles soluciones serán todas las permutaciones de las n-1 ciudades que hay que visitar, es decir (n-1)!Si por ejemplo, tenemos 4 ciudades, el árbol del espacio de búsqueda tendrá 3!= 6 ramas, que serán

0

1

3 2

0 0

2 3

2

3 1

0 0

1 3

3

2 1

0 0

1 2

Origen

1ª visita

2ª visita

3ª visita

Destino

Recorrido


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Determinación de una Cota del Coste para una Solución en Curso

Determinación de una Cota del Coste para una Solución en Curso

Para que la poda basada en la mejor solución sea efectiva, conviene utilizar un buena función que acote inferiormente el coste del camino mínimo para una solución en curso.Una cota muy sencilla podría ser la suma de los caminos ya elegidos.Parece lógico también utilizar esta cota como prioridad, ya que, en principio, los caminos más cortos recorridos hasta el momento, parecen los más prometedores y deben intentarse en primer lugar.

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El Problema del ViajanteAlgoritmo con Ramificación y Poda


La siguiente función en C++ resuelve el problema del viajante con al técnica de ramificación y poda:nodo* camino_minimo(int n){

priority_queue<node*,vector<node*>,menor_pri> c;nodo raiz(n); raiz.sig_etapa();c.push(&raiz);nodo *hijo,*nodoexp,*sol;sol=new nodo(n); sol->fija_distancia(DMAX);while (!c.empty()){nodoexp=c.top(); c.pop();


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if (nodoexp->distance()<sol->distance())for (int j=1;j<n;j++) if (!nodoexp->visitado(j)){ hijo=new nodo(*nodoexp); hijo->visita(j);if (hijo->distancia()<sol->distancia())if (hijo->solucion()){hijo->visita(0);if (hijo->distancia()<sol->distancia())sol=hijo;

}else c.push(child);

else delete hijo;}

delete nodoexp;} return sol;}

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Siendo la interfaz de la clase nodo la siguienteclass nodo{

int numel; // Número de ciudadesint *camino; // Ciudades visitadas hasta el momentoint actual; // Etapa actual del viajefloat dist; // Distancia recorrida hasta el momento

public:nodo(int n); // Constructor por defectonodo(const nodo &a); // Constructor de copia.void visita(int x); // Vista la ciudad xvoid sig_etapa(); // Pasa a la siguiente etapavoid fija_distancia(float a); // Fija la distanciafloat distancia(); // Devuelve la distancia recorridabool visitado(int x); //Comprueba si se ha visitado x bool solucion(); // Mira si ha terminado el viaje

};


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El Problema del ViajanteEjemplo con Ramificación y Poda

El Problema del ViajanteEjemplo con Ramificación y Poda

Para nuestro ejemplo, esta función realizaría el siguiente recorrido del espacio de búsqueda:

15 14 18

0

1

3 2

0 0

2 3

2

3 1

0 0

1 3

3

2 1

0 0

1 2

Origen

1ª visita

2ª visita

3ª visita

Destino

Distancia

Recorrido

Min

3 ∞ 3

7 ∞ 8 7

13

15

13

18

12

14

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El Problema del ViajanteMejora de la Poda

El Problema del ViajanteMejora de la Poda

Se puede conseguir una poda más efectiva del espacio de búsqueda si se calcula la cota inferior del coste del camino mínimo reduciendo la matriz de adyacencia.Una matriz reducida es una matriz cuyos elementos son no negativos y además, cada fila y cada columna contiene al menos un 0.Se puede reducir una matriz restando cantidades constantes a los elementos de sus filas o columnas. En tal caso, si se resta la misma constante c a todos los elementos de una fila o columna de la matriz de adyacencia, cualquier circuito hamiltoniano se verá reducido en dicha cantidad c.En consecuencia, se puede utilizar la suma de constantes utilizadas en la reducción de la matriz de adyacencia como cota inferior de la distancia mínima.


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Reducción de la Matriz de Adyacencia (Ejemplo)


Consideremos la matriz de adyacencia del ejemplo:

Para reducir la primera fila, tomamos como c el mínimo elemento de dicha fila y lo restamos a toda la fila

Y la cota inferior del camino mínimo es 3.

∞∞

∞∞∞∞

452662

4533

∞∞

∞∞∞∞

452662

4533

∞∞

∞∞∞∞

452662

4500

Fila 1 c=3

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Continuando con la reducción queda

Y la suma total de las constantes restadas es 3+4+2+2=11, que es una cota inferior del camino mínimo.Utilizando esta cota como la prioridad de cada nodo, la poda es mucho mayor y el algoritmo más eficiente.

∞∞

∞∞∞∞

452662

4500

∞∞

∞∞∞∞

452662

0100

Fila 2 c=4

∞∞

∞∞∞∞

452440

0100

Fila 3 c=2

∞∞

∞∞∞∞

452440

0100

∞∞

∞∞∞∞

230440

0100

Fila 4 c=2¡Matriz

Reducida!


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Cálculo de la Cota Inferior para los Nodos del Espacio de Búsqueda

Cálculo de la Cota Inferior para los Nodos del Espacio de Búsqueda

Veamos cómo calcular la cota inferior para los nodos distintos del raíz.Supongamos que A es la matriz de adyacencia reducida para un nodo x, y sea y el nodo hijo de x que se obtiene al incluir la arista (i,j) en el recorrido. Entonces para calcular la cota inferior del nodo y, hay que seguir los pasos siguientes:– Cambiar todos los elementos de la fila i y la columna j de

A por ∞.– Reducir la matriz A con excepción de la fija i y columna j.– La cota del nodo y es la suma de la cota del nodo x, A(i,j)

y las constantes restadas al reducir A.

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Cálculo de la Cota InferiorEjemplo

Cálculo de la Cota InferiorEjemplo

Siguiendo con el ejemplo:

∞∞

∞∞∞∞

230440

0100

Cota=11

∞∞∞∞

∞∞∞∞∞∞

2000

01

∞∞∞

∞∞∞∞∞∞∞

00010

0

∞∞∞∞∞∞∞∞∞

20010

01

Cota=11+0+4 Cota=11+∞+8 Cota=11+0+3

1 2 3

0


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El Problema del ViajanteEjemplo con Mejora de la Poda

El Problema del ViajanteEjemplo con Mejora de la Poda

Para nuestro ejemplo, con esta otra cota se realizaría el siguiente recorrido el espacio de búsqueda:

14

0

1

3 2

0 0

2 3

2

3 1

0 0

1 3

3

2 1

0 0

1 2

Origen

1ª visita

2ª visita

3ª visita

Destino

Distancia

Recorrido

Min

15 ∞ 14

14 18

14

14

11

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Analisis de Tecnicas Algoritmicas

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