Análisis de sensibilidad.

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ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Por Verónica Guzmán Huante

Alumna Decimo Cuatrimestre Lic. En Gestión Empresarial.

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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN, DEFINICIÓN, OBJETIVO DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. 1

PROBLEMA, RESOLUCIÓN DE PROBLEMA CON EL SOFTWARE WINQSB2

INTERPRETACIÓN DE RESULTADO3

CONCLUSIÓN, BIBLIOGRAFÍA4

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INTRODUCCIÓN

Actualmente es de suma importancia las matemáticas como herramienta fundamental para realizar cálculos, operaciones y obtener resultados. Por lo tanto Analisis de Sensibilidad es una herramienta que proporciona la información básica para tomar una decisión al grado de riesgo que se decida asumir.

En éste trabajo de investigación se a bordara sobre lo que es el análisis de sensibilidad sus características y la resolución de un problema presentando los argumentos pertinentes y una metodología práctica y rápida en su aplicación; así como encontrar la solución optima y brindar un panorama general del software WinQsb que facilita la obtención de resultados de una forma rápida.

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DEFINICIÓN

En forma genérica, el análisis de sensibilidad busca investigar los efectos producidos por los cambios del entorno sobre el sistema.

El propósito general es identificar los parámetros relativamente sensibles (es decir, aquellos que no pueden cambiarse sin la solución óptima), con el fin de estimarlos con mayor precisión y seleccionar entonces una solución que siga siendo buena sobre los intervalos de valores probables de los parámetros sensibles.

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Desde el punto de vista de la programación lineal, el análisis de sensibilidad, llamado también análisis paramétrico, es un método que permite investigar los efectos producidos por los cambios en los valores de los diferentes parámetros sobre la solución óptima.

Es necesario no perder de vista que los cambios en la solución del primal repercuten automáticamente en la solución de su modelo dual. Por lo tanto, puede elegirse qué modelo (primal o dual) se va a utilizar para investigar los efectos, gracias a las relaciones primal-dual estudiadas en el capítulo anterior.

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OBJETIVO DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos datos que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambie.

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IMPORTANCIA

Dado que los parámetros que se muestran en el modelo utilizan valores estimados basados en una predicción de las condiciones futuras, los datos obtenidos para desarrollar estas estimaciones son bastante imperfectos; por esto pueden tomar otros valores posibles. De ahí la importancia de este análisis.

El análisis de sensibilidad es una herramienta efectiva, por dos razones fundamentales.

I. Los modelos de programación lineal son con frecuencia grandes y costosos; por lo tanto no es recomendable utilizarlos para un solo caso.

II.Los elementos que se dan como datos para un problema de programación lineal, la mayoría de las veces son estimaciones; por lo tanto es necesario investigar o tener en cuenta más de un conjunto de casos posibles.

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INSTRUMENTOS PARA EL CÁLCULO DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Para resolver un problema de investigación de operaciones en donde se pida la obtención del análisis de sensibilidad se recomienda dos formas diferentes para su solución las cuales consisten en:

Si se dispone de una calculadora programable o computadora en el cual se pueda instalar algún software que calcule datos de programación lineal en este caso recomendable el WinQsb facilitaría mejor la labor del gestionador de toma de decisiones y la ventaja de utilizar los instrumentos de tecnología es que permite realizar modificaciones en valores de forma inmediata y realizar tantos cálculos se deseen para su posteriormente llegar a su análisis siempre y cuando el problema no sea extenso o complejo.

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CAMBIOS EN LOS NIVELES DE RECURSOS ESCASOS B

La sensibilidad de la solución óptima de un problema de programación lineal se mide a través de una cota superior y una inferior para el nivel de los recursos que se modifican. En otras palabras, se busca un rango de factibilidad para el

cual la solución sigue siendo óptima y solamente se vea afectada la columna de los Bi, donde aparecen los valores de las variables básicas y el valor de la función objetivo.

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En forma gráfica, la variación en el nivel de recursos sirve para desplazar una línea, que representa la restricción, de manera que se reduzca o aumente la región factible.”

Un ejemplo puede apreciarse en la siguiente gráfica:

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ANÁLISIS DE LA GRÁFICA ANTERIOR

Suponga que BC representa l nivel de recurso bi, y que B es el punto extremo que representa la solución óptima y, además, ABCD son os puntos extremos que demarcan la región factible o conjunto convexo.

Ahora se supone que el nivel de recursos tiene un incremento ABi, el cual hace que la línea que lo representa sea B´C´.

La solución óptima se encuentra en B´ y los puntos que siguen siendo una combinación X,Y con valores diferentes, que conllevan a un nuevo valor óptimo de la función objetivo. Si se representa una nueva suposición, pero ya no de incremento de bi sino de una disminución, o sea, -Abi, ¿Cuál sería la nueva solución?

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Si se observa la gráfica, la combinación óptima X, Y anterior ya no es óptima por que los puntos óptimos factibles son o A’ o C´. Por lo anterior, hay necesidad de hallar el rango de factibilidad para poder estudiar las variaciones en la columna de cantidades, de forma que la solución inicial siga siendo óptima. Hay dos formas de proceder para establecer el rango de factibilidad:

Primera. A partir de la solución optima y tomando los valores de las variables básicas sumarle algebraicamente el coeficiente aij multiplicado por el Δ incremento, positivo o negativo, según sea aumento o disminución del nivel del recurso en estudio; luego, a estas expresiones resultantes deben ser > 0, y finalmente se establece el rango de factibilidad.

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PROBLEMA

“Alagh le Cheve” vende cuatro tipos de licores (productos). Los recursos necesarios de cada uno y los precios de venta se presentan en la tabla. En la actualidad se dispone de 4600 unidades de materia prima y 5000 horas de mano de obra. Para cumplir con la demanda de los clientes, se tienen que producir

exactamente un total de 750 botellas de licor. Los clientes demandan también que por lo menos se elaboren 550 unidades de licor de la botella 4.

Determine una programación lineal con el cual se maximicen los ingresos por las ventas de Alagh le cheve.

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MODELO MATEMATICO

Costos y recursos necesarios para ALAGH LE CHEVE

SOLUCIÓN Función objetivo Max Z = 5x1 + 8x2 + 10x3 + 12x4 Restricciones x1 + x2 + x3 + x4 = 750 (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) x4 ≥ 550 (PRODUCTO 4) 2x1 + 3x2 + 4x3 + 7x4 ≤ 4600 (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) 3x1 + 4x2 + 5x3 + 6x4 ≤ 5000 (PRODUCTO 1, 2, 3, 4) x1, x2, x3,x4 ≥ 0 NO NEGATIVIDAD

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMA CON EL SOFTWARE WINQSB

Ya que se tiene el modelo matemático se procede abrir el programa de programación lineal y entera (Linear and Integer Programming) en el menú inicio, programas, WinQSB – Linear and Integer Programming.

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En el menú Archivo (File) seleccionar Nuevo problema (New Problem) para ingresar los aspectos generales del problema:

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A continuación ilustraremos la ventana inicial, en donde introducimos los datos generales del problema, luego, la ventana de captura de los datos correspondientes a la función objetiva y las restricciones y por último la ventana que nos muestra los resultados de la solución óptima.

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Se ingresa el título del problema (problema title), se numeran las variables que intervienen en el problema en este caso son 4 (x1, x2, x3, x4) y el número de restricciones que están condicionando o limitando nuestro problema en este caso son 4 .

Se selecciona el criterio objetivo, y como menciona la función objetivo es: maximizar (maximization).Ahora como se muestra en la restricción x1 , x2 ≥ 0, denota que es una restricción de no negatividad (nonnegative continuous), de esta manera, se selecciona dicha opción de el área de tipo de variable (Default variable type). Una vez llenados todos los campos se presiona el botón OK, generando una tabla como se muestra a continuación.

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El número de restricciones no incluye las restricciones de NO-NEGATIVIDAD. Se recomienda el formato de matriz de hoja de cálculo por ser la más didáctica.

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Con doble clic del ratón se puede cambiar el sentido de la desigualdad ó convertirla en igualdad, y el tipo de variable. También se puede restringir el valor de cada variable, cambiando su valor mínimos y máximo.

Para solucionar el problema se da clic sobre el icono que aparece en la parte superior.

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Ya que aparece la ventana donde se anotaran los datos, la primera fila (Variable ) corresponde a los encabezados de las variables (en gris) definidas en este caso por el usuario (son las cuatro variables del problema), seguido por el operador de relación (Direction) y la solución condicional de las restricciones o lado de la mano derecha (Right Hand Side -R. H. S).

La segunda fila (Mazimize) permite introducir los coeficientes de la función objetivo. Luego aparecen una serie de filas identificadas por la letra C y un consecutivo, las cuales corresponden a la cantidad de restricciones con que cuenta el modelo que son 4 en este caso. Por último aparecen tres filas donde definimos el valor mínimo aceptado por cada variable (Lower Bound), el valor máximo (Upper Bound) y el tipo de variable (Variable Type). En el caso del valor máximo, M significa que la variable podrá recibir valores muy grandes (tendientes a infinito).

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y posteriormente de haber agregado los datos en la tabla se procede a dar solución donde aparece un cuadro de dialogo que mostrara en la gráfica siguiente el resultado optimo.

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Para ver el grafico se tiene que ir al menú solución y análisis y darle click en método grafico o desde la barra de menú se puede accesar a esta ventana donde se escogen las variables que se quieren visualizar en el grafico.

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En la siguiente ventana se nos ofrece la solución y algunos datos del análisis de sensibilidad, cuyo significado, entramos a explicar. Para efectos de una interpretación que guarde mayor relación con la realidad, supondremos que las variables X1, X2, x3, x4 representan las cantidades a producir de los licores 1,2,3,4. Las restricciones representan la cantidad de recursos disponibles del tipo mano de obra y materia prima la función objetiva son las utilidades logradas.

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Restricciones y su interpretación

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La ventana la hemos dividido en dos, mediante una línea de color verde, en la parte superior de dicha línea, se encuentra la información relacionada con las variables básicas, y la función objetivo.

En la parte inferior de la línea verde, se encuentra la información referente a cada una de las restricciones y su interpretación.

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INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

En la parte superior en esta tabla contiene los resultados óptimos del modelo matemático que se ingresó.

En este ejemplo se tiene que X1 la botella de licor 1 no debe producir, la botella 2 tiene 50 demandas para producir, la botella 3 tiene una demanda de 150 y la botella 4 tiene una demanda de 550. La columna Costo o Utilidad Unitaria (Unit Cost or Profit) muestra los coeficientes de la función objetivo para cada variable.

La columna Contribución Total (Total Contribution) representa el costo o utilidad generado por cada variable. Por ejemplo, si el valor de la variable X3 (botella de licor 3) es 150 veces su demanda y el valor unitario o costo en dólares por botella $$ es 10, el beneficio total resultará de la multiplicación de ambos valores dando como resultado 1.500,0000 dólares. Justo debajo de la última contribución aparece el valor de Z óptimo (8.500,0000). que es el total de contribución o ganancia que puede tener por la venta de sus cuatro productos de botellas de licor Alagh le Cheve.

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El costo reducido para los productos de licor 2,3,4 es de $0 por lo que no tendrá perdidas de utilidades o saldos rojos sí es que se quieren producir unidades y del producto 1 por cada unidad producida se perdería -$1 de utilidades. En la siguiente casilla a la derecha, se nos informa que ésta variable es básica. En las dos últimas casillas de ésta fila, se muestra el análisis de sensibilidad para x1,x2,x3,x4 que nos indica que la utilidad por unidad del producto 1 debe estar en el rango de: -∞ < x1 < 6,0000 para producto 2 debe estar en el rango 7,5000<x2<9,3333, para producto 3 el rango es 9,000 <x3<11,0000 y finalmente para producto 4 el rango es -∞<x4<16,0000 para que la solución actual se mantenga óptima.

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En la parte inferior muestra que la fila 1 corresponde a la restricción 1, referente a la disponibilidad del recurso A , para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso A se utilizará 750 unidades, de las 750 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de cero unidades.

El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso A, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $2 ; Siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 737,500 < b1 < 800,0000 ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. La fila 2 corresponde a la restricción 2, referente a la disponibilidad del recurso B , para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso B se utilizan 4,600.0000 unidades, de las 4,600.0000 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 0 unidades.

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El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso B, ello ocasionará una perdida en la utilidad de -$4 siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 533,3333 < b2 < 587,5000 ; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible.

La fila 3 corresponde a la restricción 3, referente a la disponibilidad del recurso C , para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso C se utilizan 550 unidades, de las 550 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 0 unidades. El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso C, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $2 siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 4,450.0000 < b3 < 4,650.0000; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible.

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La fila 4 corresponde a la restricción 4, referente a la Disponibilidad del recurso D , para el que se muestra el valor del lado izquierdo, evaluado con la solución optima y que indica que del recurso D se utilizará 4,250.0000 unidades, de las 5,000.0000 disponibles, por ello la holgura ó excedente de dicho recurso es de 750,000 unidades.

El precio sombra nos indica que si se dispone de una unidad adicional del recurso D, ello ocasionará un incremento en la utilidad de $0 ; Siempre y cuando el valor del recurso se encuentre entre los límites de sensibilidad 4,250.0000 < b4 < ∞; que son los valores que hacen que la solución actual permanezca factible. La solución optima de cada botella de licor es la para la botella de licor X1 no conviene producir, la botella 2 tiene 50 demandas para producir, la botella 3 tiene una demanda de 150 y la botella 4 tiene una demanda de 550.

Lo cual quiere decir que la botella 4 es la que mejor maximizara las ganancias.

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CONCLUSIÓN

Análisis de Sensibilidad es una herramienta importante en el desarrollo integral del alumno ya que le ayuda a diseñar modelos matemáticos, así como la toma de decisiones sobre distintas problemáticas que se pueden enfrentar en cualquier ambiente laboral o personal, favoreciendo en su desarrollo de habilidades, pensamiento crítico, agilidad mental y responsabilidad.

También aprenderá a profundizar más sobre los problemas arrojados.

Por ende el tema primordial de este trabajo análisis de la sensibilidad es una herramienta que ayuda a profundizar más sobre los problemas arrojando márgenes mas sólidos en cuanto a soluciones óptimas se refiere con esto el alumno podrá comparar dentro de las distintas opciones cual es la que mejor satisfaga a los requerimientos que plantee la problemática y dependiendo de la función que se desee obtener ya sea de maximizar o minimizar.

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BIBLIOGRAFÍA

http://books.google.com.mx/books?id=isR9DyNXdDwC&pg=PA388&dq=analisis+de+sensibilidad&hl=es&sa=X&ei=Bc47VPL7PMjA8QHOmIDoAQ&ved=0CBoQ6AEwAA#v=onepage&q=analisis%20de%20sensibilidad&f=false.

http://books.google.com.mx/books?id=H0Zz-1He8vYC&pg=PA56&dq=analisis+de+sensibilidad&hl=es&sa=X&ei=Bc47VPL7PMjA8QHOmIDoAQ&ved=0CCcQ6AEwAg#v=onepage&q=analisis%20de%20sensibilidad&f=false.

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_sensibilidad.

León, g. a. (2003). manual practico de investigación de operaciones 1 . barranquilla: ediciones uninorte.

Winston, w. l. (cuarta edición 2006). investigación de operaciones aplicaciones y algoritmos. universidad indiana: internacional Thomson.

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