ANALISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS I

Universidad de La Salle Victoria

Ingeniería Biomédica

Discentes 6to Semestre

2do Parcial

2.9 funciones de señales en tiempo discreto

Las exponenciales y las senoides son tan importantes en el análisis de señales y sistemas en TD como en el análisis de señales y sistemas en TC. Las exponenciales y las

senoides en TD pueden definirse de manera análoga a su contraparte en TC como:

Diferencias de TC y TDSi se muestrea una senoide de TC para crear una senoide de TD puede que su periodo no sea igual.

Funciones singulares en tiempo discreto

Impulso unitario

Muestreo:

Secuencia unitaria (TC= escalon unitario)

La rampa unitaria

Función rectángulo

Función comb

2.10 Transformaciones de escalamiento y

desplazamiento en el TD

Desplazamiento en el tiempo

Escalamiento en el tiempo

Capitulo 2: Descripción Matemática de Señales

2.11.- DIFERENCIA Y ACUMULACIÓN

• 1°.- Diferencia en adelanto de g[n] esta definida por:

La DIFERENCIA y ACUMULACIÓN son para las funciones en TD, lo

que para las funciones TC la DIFERENCIA Y LA INTEGRACIONEN TIEMPO DISCRETO

1°.- Diferencia en atraso g [n]-g[n-1] esta definida por:

• La contraparte de la INTEGRACION de TD es la acumulación Ósumatoria

La diferencia o atraso de una función en TD es ambigua, puede diferir entre si por una CONSTANTE ADITIVA siendo h[n] la primera diferencia en adelanto de g[n]

• En este caso es posible determinar g[n] a partir de h[n] mediante acumulación en ambos lados

M=no

DEMOSTRANDOLO AL SUSTITUIR

• De manera analógica a la relación integral-derivada entre el escalón unitario en TC y el impulso unitario en TC, la secuencia unitaria es la acumulación del impulso unitario

• El impulso unitario es la 1° diferencia en atraso de la secuencia unitaria

• La rampa unitaria en TD se define como la acumulación de una función de secuencia unitaria retrasada por un tiempo discreto

• La secuencia unitaria es la primera diferencia en adelanto de la rampa unitaria

Es posible definir una familia de funciones singulares en TD con características analógicas al doblete en TC

FUNCIONES PARES E IMPARES EN TIEMPO DISCRETO

Las funciones en TD también se clasifican en las propiedades de PARIDAD E IMPARIEDAD

Propiedades:• La única función que es par e impar es la función constante que es

idénticamente cero (o sea f(x) = 0 para todo x).• La suma de par e impar no es ni par ni impar, a menos que una de las

funciones sea el cero.• La suma de dos funciones par es una función par, y todo múltiplo de una

función par es una función par.• La suma de dos funciones impares es una función impar, y todo múltiplo

constante de una función impar es una función impar.• El producto de dos funciones pares es una función par.

• El producto de dos funciones impares es una función par.

• El producto de una función par y una función impar es una función impar.

• El cociente de dos funciones pares es una función par.

• El cociente de dos funciones impares es una función par.

• El cociente de una función par y una función impar es una función impar.

• La derivada de una función par es una función impar.

• La derivada de una función impar es una función par.

Las relaciones de definición son análogas a las de las funciones en

TDSÍ:g[n] = g[-n]

Sí:g[n] = -g[n]

Entonces g[n] es par Entonces g[n] es impar

DE IGUAL FORMA ES PARA LAS FUNCIONES EN TD

SUMAS, PRODUCTOS, DIFERENCIASY COCIENTES

Todas la propiedades aplicadas a funciones en TC también se aplican a funciones en TD

2 funciones pares se:

SUMANDIFERENCIAPRODUCTOCOCIENTE

SON PAR

2 FUNCIONES IMPARES SE:

SUMADIFERENCIA

SON IMPARES

PERO SU:

PRODUCTOCOCIENTE

SON PAR

1 FUNCIÓN PAR Y 1 FUNCIÓN IMPAR:

PRODUCTOCOCIENTE SON IMPAR

• EJEMPLO

ACUMULACIÓN

La acumulación de funciones en TD son similares a aquellas correspondientes a integrales de funciones en TC.Sí g[n] es una función Par y N es un entero positivo.

Sí g[n] es una función impar

Descripción y Análisis de Sistemas

Capitulo 3

Carlos Eduardo Meza Soria

Introducción

• El análisis de sistemas es una disciplina que ha sido desarrollada por los ingenieros, que se forman aprendiendo matemáticas (cálculo diferencial, variables complejas, vectores, ecuaciones diferenciales, etc.) y ciencia (física, química, biología, etc.).

• Un sistema puede ser casi todo. Algo que efectúa una función.

• En ingeniería suele referirse a un sistema artificial que se excita mediante ciertas señales y responde con otras señales.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

• 1. Introducir la nomenclatura que describe las características importantes del sistema.

• 2 . Formular técnicas para clasificar sistemas de acuerdo con sus características.

• 3. Formular métodos para determinar las respuestas a excitaciones arbitrarias de un tipo de sistema muy importante.

3.1 DIAGRAMAS DE BLOQUES Y TERMINOLOGÍA DE SISTEMAS• Un sistema opera con base en señales en una o más entradas para

producir señales en una o más salidas.

• En el análisis de sistemas es muy útil representar a éstos mediante diagramas de bloque.

• En este caso el operador H actúa sobre la señal de entrada x(t) para producir la señal en la salida y(t). El operador H podría efectuar cualquier operación general imaginable.

• Señal de excitación = Señal de entrada

• Señal de respuesta = Señal de salida

EJEMPLO

• Un ejemplo de un sistema sería un bote guiado por un timón (E). El empuje desarrollado por el propulsor (E), la posición del timón y la corriente del agua son excitaciones de este sistema, y la dirección y velocidad del bote son respuestas (S).

• Señales Significativas (dirección y Velocidad)

• Señales Insignificativas (vibración, sonido, estela, inclinación)

• Otros ejemplos, Instrumentos de medicion(Anemómetros), Puente colgante (Tacoma Narrows), una célula, el cuerpo humano, instrumentos musicales,

• Un sistema se describe y analiza a menudo como un ensamble de componentes. Un componente es el sistema más pequeño y más simple, por lo general, el que es estándar en cierto sentido y cuyas características ya se conocen.

• Para un diseñador de circuitos, los componentes son resistores, capacitores, inductores, amplificadores operacionales, etc., y los sistemas son amplificadores de potencia, CAD, moduladores, filtros, etc.

• Al saber cómo describir y caracterizar matemáticamente todos los componentes en un sistema y cómo interactúan entre sí, un ingeniero puede predecir, mediante las matemáticas, cómo funcionará el sistema, sin construirlo y probarlo en realidad. Un sistema conformado por componentes se representa con diagramas

• El proceso de describir un sistema y analizarlo sin construirlo a menudo recibe el nombre de modelado.

• De modo que el estudio de sistemas analiza cómo los componentes interconectados funcionan en la forma de un todo coordinado.

• En señales y sistemas hay referencias comunes a dos tipos generales de sistemas, lazo abierto y lazo cerrado.

• Un sistema de lazo abierto responde a una señal de entrada.

• Un sistema de lazo cerrado responde a una señal de entrada pero también registra la de salida, y altera la señal de entrada para modificar la señal de salida a fin de satisfacer cierto requerimiento del sistema.

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO CONTRALOS SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO

• Un sistema de TC opera sobre una excitación en TC para producir una respuesta en TC. Un sistema de TD opera sobre una excitación en TD para producir una respuesta en TD.

3.2 CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS

• Un circuito muy común es el filtro pasabajas RC, un sistema de una entrada y una salida.

• Suponga que el circuito está en reposo antes del tiempo t = 0 y que la señal del voltaje de entrada Ven(t) cambia repentinamente de O a Avolts en el tiempo t = 0

• En la terminología de sistemas, este sistema está inicialmente en reposo y la respuesta se conoce como de estado cero, porque en el estado inicial la energía almacenada es igual a cero.

• En este caso la condición de estado cero es 0 V a través del capacitor debido a que es el único elemento de almacenamiento de energía en el circuito.

HOMOGENEIDAD

INVARIANZA EN EL TIEMPO

ADITIVIDAD

Linealidad y Superposición

• Cualquier sistema que es tanto homogéneo como aditivo recibe el nombre de sistema lineal.

• Si un sistema es tanto lineal como invariante en el tiempo se denomina sistema LIT".

• La característica sobresaliente de las ecuaciones que describen a los sistemas lineales es que la variable independiente y sus integrales y derivadas, o sumas y diferencias, sólo aparecen elevadas a la primera potencia.

Estabilidad

• Cualquier sistema para el cual la respuesta está acotada cuando la excitación también lo está se denomina sistema estable de entrada acotada-salida acotada (EASA)

• Si se presenta un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales, un sistema estable presentara modificaciones pequeñas en su respuesta perturbada

Linealidad Incremental

• Un sistema incrementalmente lineal es aquel cuya respuesta es la suma de una respuesta de entrada cero y la respuesta de un sistema LIT a la excitación. Si no existiera la adición de la respuesta de entrada cero, el sistema sería LIT. La designación incrementalmente lineal proviene de que los cambios en la excitación ocasionan cambios proporcionales en la respuesta. Es decir, el incremento en la respuesta es proporcional al incremento en la excitación.

Causalidad

• Cualquier sistema para el cual la respuesta ocurre sólo durante o después del tiempo en el que se aplica la excitación recibe el nombre de sistema causal.

• Sistemas de procesamientos de datos en los que las señales se registran y luego se procesan fuera de línea en un tiempo posterior para producir una respuesta computada, no son causales.

• La respuesta computada en algún tiempo designado en la cadena de datos puede basarse en valores futuros de la excitación ya registrada.

Memoria

• Los sistemas recuerdan sus excitaciones pasadas y usan esa memoria, junto con sus excitaciones presentes, para determinar sus respuestas presentes.

• El término dinámico se utiliza para un sistema con memoria. La figura 3.25 es un ejemplo de un sistema en TD sin memoria. La respuesta en cualquier tiempo discreto n depende sólo de las excitaciones en el tiempo discreto n.

No Linealidad Estatica

• El sistema incrementalmente lineal.

• La no linealidad no es un resultado intrínseco de la no linealidad de los mismos componentes, sino de que la respuesta de entrada cero del sistema no es cero.

Invertibilidad

• La función seno inverso es de valores múltiples. Por lo tanto, el conocimiento de la respuesta no determina de manera única la excitación.

3.3 Funciones propias del sistema LIT3.4 Analogías

El tipo de sistema mas comun analizado en el diseno y analisis desistemas practicos es el sistema lineal e invariante en el tiempo.Lineal e invariante en el tiempo se denomina sistema LIT.

Cualquier sistema que es tanto homogéneo como aditivo recibe el nombre de

sistema lineal.

Sistemas de tiempo continuo

Inicialmente en su estado cero (no hay energía almacenada en el inductor o capacitor) y que

la señal del voltaje de entrada es en ese caso la suma de voltajes

alrededor produce

3.80

Y la solución para la señal del voltaje de salida es:

• K1 forma K2 son constantes arbitrarias.

• dos términos exponenciales y cada uno de ellos tiene un exponente

• el exponente incluye una raíz cuadrada de una cantidad que podría ser negativa. # comp.

La función propia recibe el nombre de exponencial compleja.

Las soluciones para las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

son siempre combinaciones lineales de exponenciales complejas.

En el circuito RLC si los exponentes son reales, la respuesta es la suma de dosexponenciales reales. El caso más interesante es el de exponentes complejos. Losexponentes son complejos si

Donde

3.82

Cuando se satisface la condición (3.82), se dice que el sistema está subamortiguado y la

respuesta puede escribirse como

Cada uno de los exponentes es el conjugado complejo del otro. [Deben serlo para que sea una funcion de valores reales.]

Al aplicar las condiciones iniciales, la senal del voltaje de salida es

La solución completa es real debido a que la señal del voltaje de salida puede reducirse a

Esta solución esta en la forma de una senoide amortiguada, una senoide multiplicada por

una exponencial descendente. La frecuencia resonante subamortiguada es la

frecuencia a la cual el voltaje de la respuesta oscilaría si el factor de amortiguamiento fueracero.

La tasa a la cual se amortigua la senoide se determina mediante el factor de

amortiguamiento

Esta excitación se describe de manera exacta todo el tiempo. No es sólo la excitación la quese vuelve una senoide compleja a partir de ahora; siempre lo ha sido. Puesto que laexcitación empieza en un tiempo infinito en el pasado, cualquier transitorio que hayaocurrido, ha desaparecido desde hace mucho (si el sistema es estable, como es el caso de

este circuito RLC).

La respuesta de estado estable es la solucion particular de la ecuacion diferencial que sedescribe. Puesto que todas las derivadas de la senoide compleja son tambien senoidescomplejas, la solucion particular de (3.88) es simplemente

Si el sistema LIT se excita mediante una senoide compleja, la respuesta es tambien unasenoide compleja, a la misma frecuencia, pero con una constante de multiplicacion diferente(en general).

3.89

Para cualquier sistema LIT, si su excitación es una exponencial compleja, su respuesta es esa misma exponencial compleja multiplicada por una constante compleja.

La solución de estado estable puede encontrarse mediante el método de coeficientes

indeterminados. Al sustituir la forma de la solución en la ecuación diferencial

Utilizando el principio de superposición para sistemas LIT, si la excitación es una función arbitraria, que es una combinación lineal de senoides complejas de varias frecuencias, entonces la respuesta es también una

combinación lineal de senoides complejas a esas mismas frecuencias.

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Los sistemas LIT de tiempo discreto se describen por medio de ecuaciones endiferencias lineales con coeficientes constantes. Las funciones propias de estasecuaciones son de la forma donde es una constante compleja . Supongaque un sistema LIT de tiempo discreto se describe mediante la ecuacion en diferencias

Del mismo modo que en el caso de sistemas en TC, se encuentra que las funciones propiasde sistemas en TD son exponenciales complejas en TD, y si el sistema es excitado por unaexponencial compleja en TD, su respuesta es también una exponencial compleja en TD.

Analogías Compare las ecuaciones

3.100

• El sistema mecánico y el eléctrico son análogos.Las ecuaciones que los describen son de la misma forma, y si se puede resolver una, es

posible resolver la otra. El análisis de sistemas incluye a ambos porque los dos son

sistemas LIT.

• Una técnica de solución de problemas que alguna vez fue muy populares lacomputadora analógica. Ésta resuelve problemas de sistemas por analogía alsimular las propiedades del sistema con voltaje, corriente, capacitancia,inductancia, resistencia, etc.

• La ventaja de esta técnica es que la dinámica de un sistema grande ycostoso puede modelarse en hardware electrónico por una pequeñafracción del costo que implicaría construir el sistema en realidad.

• La computación analógica ha ido desaparecido ante la presencia delcómputo digital que se ha vuelto más poderoso y económico. En laactualidad casi toda la elaboración de modelos de sistemas se efectúacon computación digital en lugar de simulación analógica. Pero eso nosignifica que las analogías ya no sean importantes. En el estudiogeneralizado de sistemas, la observación y entendimiento de analogíasentre sistemas de tipos ampliamente variables enriquece y profundiza lacomprensión de todos los sistemas.

Bibliografía