Analisis de RL Y RC en Corriente Alterna

Ingeniera Elctrica. Teora y problemas

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Circuitos RL y RC en estado estable Circuito RL Supongamos un circuito RL como el mostrado en la figura 1. Suponga que se desea calcular la corriente i(t) que circula por el circuito. De acuerdo con la Ley de Kirchoff de voltajes, se tiene que

V cos(wt) = V + Vm R C donde el voltaje en la resistencia R est dado por vR = Ri y el voltaje en la

inductancia est dado por Ldiv = Ldt

. Sustituyendo, se obtiene la ecuacin del

circuito RL:

mdiL + Ri = V cos(wt)dt

(1.1)

Esto es, el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo est descrito por una ecuacin diferencial de primer orden.

Vmcos(wt)+

-

L

R

i(t)

Figura 1

Para encontrar la solucin de la ecuacin (1.1); es decir, la corriente que circula por el circuito debemos considerar primero que dicha corriente debe de tener la misma frecuencia. Supngase que la solucin tiene la forma

i(t) = I cos(wt) + I sen(wt)1 2 Sustituyendo en la ecuacin diferencial se obtiene


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L[-I wsen(wt) + I wcos(wt)] + R[I cos(wt) + I sen(wt)] = V cos(wt)1 2 1 2 m agrupando y sacando como factor sen(wt) y cos(wt), se obtiene:

(-LI w + RI )sen(wt) + (LI w + RI - V )cos(wt) = 01 2 2 1 m Para que esto sea cero, se debe de tener que los coeficientes sean cero. Esto es:

-wLI + RI = 01 2 RI + wLI = V1 2 m

Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas: I1 e I2. Resolviendo para I1 e I2 se obtiene que

RVmI = 1 2 2 2R + w L

wLVmI = 2 2 2 2R + w L Entonces, la corriente que circula por el circuito RL est dada por la expresin:

Vmi(t) = [Rcos(wt) + wLsen(wt)]2 2 2R +w L

Utilizando la identidad trigonomtrica -B2 2 -1Acos + Bsen = A + B cos( - tan )A

,

se obtiene que la corriente est dada por:

V wL-1mi(t) = cos(wt - tan )

R2 2 2R +w L (1.2)

Esta expresin de la corriente requiere algunas observaciones:

1. Obsrvese que la amplitud de la corriente VmI =m 2 2 2R +w L

es una funcin de

R, L y w. El trmino w2L2 representa el cuadrado de la reactancia inductiva. La reactancia inductiva se representa por XL(w) y tiene unidades de Ohms y representa la oposicin de la inductancia al paso de la corriente. A este tipo de resistencia tambin se le conoce como impedancia inductiva.


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2. XL = wL, la reactancia inductiva es de hecho una resistencia que se opone al paso de la corriente, pero es funcin de la frecuencia. Ntese que XL(w) es cero en el caso en que L = 0 (esto es, cuando no hay inductancia y el circuito es puramente resistivo) y cuando w = 0. En este caso, la seal de entrada Vmcos(wt) = Vm es constante, y es, en efecto, una seal de corriente directa. En cualquier caso, si XL(w) = 0, el circuito se comporta como un circuito puramente resistivo y la

corriente se reduce a la expresin Vmi(t) = cos(wt )R

. En otras palabras, para w =

0, el inductor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la misma fase que el voltaje. 3. La impedancia de la inductancia crece con la frecuencia, de tal manera que para frecuencias muy altas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a cero. Esto significa que el circuito RL se comporta como un circuito abierto para frecuencias grandes.

4. La fase de la corriente -1 wL = tanR

se hace cero cuando w = 0, lo que

concuerda con el hecho de que la corriente, Vmi(t) = cos(wt )R

, est en fase con el

voltaje. 5. Cuando R = 0, se tiene un circuito puramente inductivo y se tiene que la fase de la corriente = -/2y la corriente est dada por

Vmi(t) = cos(wt - /2)wL

(1.3)

En este caso, la corriente est atrasada 90o respecto al voltaje. La figura 2a muestra las seales de voltaje y corriente en un circuito puramente inductivo. La figura 2b muestra el diagrama fasorial asociado a las seales de voltaje y corriente.

Figura 2


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Ejemplo. En un circuito puramente inductivo (R = 0), L = 25 mH y el voltaje rms de la fuente tiene un valor de 110 voltios. Encuentre la reactancia inductiva y la corriente rms en el circuito si la frecuencia es de 60 Hz. Solucin: Primeramente, recordemos que w = 2f = 2 x 3.1416 x 60 = 377s-1. La reactancia inductiva es entonces XL = wL = (377s-1)(25 x 10-3 H) = 9.43 Ohms. La corriente rms es

VrmsI = rms XL

= 110 V9.43 = 11.7 A.

Circuito RC Supongamos un circuito RC como el mostrado en la figura 3 y supongamos que se requiere obtener la corriente i(t) que circula por el circuito.

Vmcos(wt)+

-

i(t)

C

R

Figura 3 Para esto, es necesario establecer la ecuacin que describe su comportamiento. De acuerdo con la ley de Kirchoff de voltajes,

V cos(wt) = V + Vm R C El voltaje en la resistencia VR = Ri(t) y el voltaje en el capacitor VC = q(t)/C. Donde q(t) es la carga almacenada en el capacitor y C es el valor de la capacitancia. De acuerdo con esto, la ecuacin que describe al circuito RC es

dq 1R + q = V cos(wt)mdt C (1.4)


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Donde se ha considerado que la relacin entre la corriente y la carga q es i(t) = dq/dt. Resolviendo esta ecuacin mediante un procedimiento equivalente al utilizado para resolver la ecuacin que describe al circuito RL, se obtiene que la corriente que circula por el circuito est dada por:

-1V 1mi(t) = cos(wt + tan )

wRC12R + 2 2w C

(1.5)

Esta expresin de la corriente que circula por un circuito RC, tambin requiere algunas observaciones:

1. Obsrvese que la amplitud de la corriente VmI = m 12R + 2 2w C

es una funcin

de R, C y w. El trmino 1/w2C2 representa el cuadrado de la reactancia capacitiva. La reactancia capacitiva se representa por XC(w). A este tipo de resistencia tambin se le conoce como impedancia capacitiva.

2. C1X =

wC tiene unidades de Ohms. Es decir, XC es la resistencia que un

capacitor ofrece al paso de la corriente y es funcin de la frecuencia. Ntese que XC(w) es cero en el caso en que la frecuencia w es muy grande. Igualmente, la fase es cero. En este caso, la seal de entrada Vmcos(wt) tiene una frecuencia muy grande y la impedancia del circuito es puramente resistiva y la corriente que

pasa por el circuito tiene la forma Vmi(t) = cos(wt )R

. En otras palabras, para w

muy grande, el capacitor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la misma fase que el voltaje. 3. La impedancia del capacitor crece cuando la frecuencia disminuye, de tal manera que para frecuencias muy bajas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a cero. Esto significa que el circuito RC no deja pasar seales con frecuencias pequeas. 4. La fase de la corriente

1-1 = tanwRC

se hace cero cuando w es muy grande, lo que concuerda con el hecho de que la

corriente, Vmi(t) = cos(wt )R

, est en fase con el voltaje.

5. Cuando R = 0, se tiene un circuito puramente capacitivo y la fase de la corriente = /2 y la corriente est dada por


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Vmi(t) = cos(wt + /2)wL

En este caso, la corriente est adelantada 90o respecto al voltaje. La siguiente figura 4a muestra las seales de voltaje y corriente en un circuito puramente capacitivo. La figura 4b muestra el diagrama fasorial asociado a las seales de voltaje y corriente.

Figura 4

Ejemplo. Un capacitor de 8F se conecta a una fuente de corriente alterna cuyo valor rms es de 110 voltios. Encuentre la reactancia capacitiva y el valor efectivo de la corriente que pasa por el capacitor. Solucin: Recordemos que para una seal de 60 Hz, w = 377s-1. La reactancia capacitiva es entonces

1X =C wC= 1-1 -6(377s )(8.0 10 F)

= 332 Ohms.

La corriente efectiva a travs del capacitor es

VrmsI = rms XC

= 110 V332 = 0.33 A.

Energa almacenada en un capacitor y en una inductancia La energa en un capacitor La corriente y el voltaje en un capacitor estn relacionados mediante la ecuacin

dvi = Cdt

donde C es la capacitancia (medida en Faradios), i es la corriente que pasa por el capacitor y v es el voltaje medido a travs de sus terminales. El capacitor es un elemento lineal cuya caracterstica principal es su capacidad para almacenar


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energa en forma de campo elctrico. De hecho, el capacitor se puede visualizar como un recipiente al que le agregamos cargas o energa hasta un lmite mas all del cual cualquier cantidad adicional desborda el lmite. Despejando el voltaje v de la ecuacin anterior, se obtiene

0

0

t1v(t) = idt + v(t )C t

La potencia entregada al capacitor es

dvp = vi = Cvdt

La energa almacenada por el capacitor

0 0

v(t)t

Ct v(t )

w = pdt = C vdv (1.6) haciendo la integral y evaluando, se obtiene la energa almacenada en el capacitor

2 2C 01w = C[v (t) - v (t )]2

(1.7)

Cuando el capacitor est descargado inicialmente, v(t0) = 0. Las caractersticas ms importantes de un capacitor son las siguientes: Si el voltaje a travs de sus terminales es constante en el tiempo, la corriente

a travs del capacitor es cero. Esto es, el capacitor se comporta como un circuito abierto para corriente directa.

El capacitor puede almacenar una cantidad finita de energa. Es imposible que cualquier pequeo cambio en voltaje en un capacitor ocurra

en un tiempo cero. Un capacitor no disipa energa, solo la almacena. La energa en una inductancia La corriente y el voltaje en un inductor estn relacionados mediante la ecuacin

Ldiv =Ldt

donde L es la inductancia (medida en Henries), i es la corriente que pasa por la inductancia y vL es el voltaje medido a travs de sus terminales. La inductancia es un elemento lineal cuya caracterstica principal es su capacidad para almacenar energa en forma de campo magntico. Despejando la corriente i , de la ecuacin anterior, se obtiene

0

t

0t

1i(t) = i(t ) + vdtL


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La potencia entregada a la inductancia es dip = vi = Lidt

La energa almacenada por la inductancia est dada por 0 0

i(t)t

Lt i(t )

w = pdt= L idi . Integrando se obtiene

2 2L 01w = L[i (t) - i (t )]2

(1.8)

Las caractersticas ms importantes de una inductancia son las siguientes: Si la corriente que pasa por la inductancia es constante en el tiempo, el voltaje

a travs de sus terminales es cero. Esto es, la inductancia se comporta como un corto circuito para corriente directa.

La inductancia puede almacenar una cantidad finita de energa. Es imposible que cualquier pequeo cambio en la corriente que pasa por una

inductancia ocurra en un tiempo cero. Una inductancia ideal no disipa energa, solo la almacena. Resumen de propiedades de la resistencia, inductancia y capacitancia.

elemento Resistencia Inductancia Capacitancia Relacin entre voltaje y corriente

Rv = Ri L

div = Ldt

Cdvi = Cdt

Oposicin al paso de la corriente

R

wL

1wC

Energa almacenada 0

21 Cv2

21 Li2

Problemas con circuitos RL Problema 1. Segn la figura mostrada, (a) grafique VL como una funcin del tiempo 0 < t < 50 ms; (b) encuentre el valor del tiempo en el que el inductor esta absorbiendo una potencia mxima; (c) encuentre el valor del tiempo en el que el inductor proporciona una potencia mxima, y (d) encuentre la energa almacenada en el inductor en t = 40 ms.


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t(ms)10 20 30 40 50

iL(A) 0.2H

+ -vLiL

5

-5

Problema 2. En un circuito puramente inductivo, como el mostrado en la figura

Vmax = 100 V. (a) Si la corriente mxima es 7.5 A para una frecuencia de 50 Hz, calcule el valor de la inductancia. Problema 3. Cuando cierta inductancia se conecta a una fuente de voltaje alterna con una amplitud de 120 V, una corriente pico de 3.0 A aparece en el inductor. (a) Cul es la corriente pico si la frecuencia del voltaje aplicado se duplica? (b) Cul es la reactancia inductiva para las dos frecuencias? Problema 4. (a) Si en el circuito del problema 1, L = 310 mH y Vmax = 130 V, a que frecuencia la reactancia inductiva es igual a 40.0 Ohms? (b) Calcular la corriente mxima a travs del inductor a esa frecuencia. Problema 5. Para el circuito del problema 1, Vmax = 80.0 V, w = 65 rad/s, y L = 70.0 mH. Calcular la corriente por el inductor en t = 15.5 ms. Problema 6. Una inductancia de 20.0 mH se conecta a una salida estndar (Vrms = 120 V, f = 60 Hz). Calcular la energa en la inductancia en t = (1/180) s, suponiendo que la energa en t = 0 es cero. Problemas con circuitos RC Problema 7. La corriente con la forma de onda que se muestra en la figura se aplica a un capacitor de 2 mF para t > 0. Suponiendo que Vc(0) = 250 V , (a)


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Construya una grfica del voltaje en el capacitor como una funcin del tiempo para t > 0. (b) durante qu periodo el valor de Vc est entre 2000 y 2100 V?

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t(s)

iC(A)

etc

Problema 8. Un capacitor de 1000 F se conecta a una salida estndar (Vrms = 120 V, f = 60 Hz). Determine la corriente que pasa por el capacitor en un tiempo t = (1/180) s, suponiendo que en t = 0, la energa almacenada en el capacitor es cero. Problema 9. Qu corriente mxima es entregada por un capacitor cuando se conecta a (a) una salida americana que tiene Vrms = 120 V, f = 60 Hz, y (b) una salida Europea que tiene Vrms = 240 V, f = 50 Hz? Problema 10. Qu corriente mxima es entregada por un generador de CA con Vmax = 48 V y f = 90 Hz cuando se conecta a travs de un capacitor de C = 3.7 F. Problema 11. El generador en un circuito de CA puramente capacitivo, como el que se muestra en la figura, tiene una frecuencia angular de 100 rad/s y vmax = 220 V. Si C = 20.0 F, Cul es la corriente en el circuito en un tiempo t = 4.0 ms?

Problema 12. Un capacitor de 98.0 F se conecta a una fuente de poder que genera 20.0 Vrms a una frecuencia de 60 Hz. Cul es la mxima carga que aparece cualquiera de las placas del capacitor?

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