Análisis de FM.
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Abstract— En este artículo se desarrolla la segunda guía de Laboratorio de Sistemas de Comunicaciones, en el cuál se analiza los conceptos básicos y técnicos de modulación análoga de frecuencia, se estudia y se experimenta el comportamiento de FM con diferentes desviaciones de frecuencia, por ende diferentes índices de modulación y se observa la respuesta de estas modulaciones en el dominio de la frecuencia por medio de la función FFT (transformada rápida de Fourier); se potencia el manejo de los instrumentos de laboratorio como el generador de señales y el osciloscopio; y se conocen y aplican algunas normatividades en telecomunicaciones, extrayendo la mayor cantidad posible de información de una situación experimental. I. OBJETIVOS Estudiar la modulación en frecuencia FM y conocer sus variaciones mediante el uso de instrumentos de medición del laboratorio, con base en la teoría estudiada en el curso de Sistemas de Comunicaciones. Representar una señal FM en los dominios del tiempo y la frecuencia, calcular parámetros característicos tales como: ancho de banda, desviación de frecuencia, índice de modulación, amplitud en voltios y en decibelios y demás. Determinar los parámetros mencionados anteriormente de manera experimental interpretando adecuadamente la información entregada por el osciloscopio. Identificar y analizar la herramienta FFT del osciloscopio para determinar cuál impulso corresponde a la señal portadora o a las bandas laterales en el dominio de la frecuencia, además ser capaces de establecer cuántos y cuáles son útiles según las tablas de Bessel. Analizar y comparar resultados entre las señales medidas y las teóricas, teniendo en cuenta las pérdidas que se pueden generar por el medio guiado de conexión y/o por interferencias externas. II. INTRODUCCIÓN [1] Modulación FM: es la variación de la frecuencia de la señal portadora en función de la amplitud de la señal moduladora, manteniéndose una relación directamente proporcional entre la frecuencia de la portadora y la amplitud de la moduladora. La amplitud de la modulada se mantiene constante en todo momento, independiente de cualquier cambio de la señal moduladora. Modulación PM: consiste en la variación de la fase de una señal portadora en forma directamente proporcional a la variación de amplitud de una señal moduladora con una relación igual a la frecuencia de la señal modulante. La amplitud de la señal modulada se mantiene constante independiente de los cambios de la moduladora. Desviación instantánea de fase: Es el cambio instantáneo de fase de la portadora, en determinado momento, e indica cuanto está cambiando la fase de la portadora con respecto a su fase de referencia. θ(t) rad Fase instantánea: Es la fase precisa de la portadora en un momento dado, y se describe así: =w c t+θ ( t )rad Fase de referencia de la portadora (radianes) Análisis de FM. w c t= =[ 2 π ( rad / ciclo )] [ f c ( ciclo / s ) ] [ t (s ) ]=2 πf c t( rad)
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Análisis de FM.
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Anlisis de FM.Abstract En este artculo se desarrolla la segunda gua de Laboratorio de Sistemas de Comunicaciones, en el cul se analiza los conceptos bsicos y tcnicos de modulacin anloga de frecuencia, se estudia y se experimenta el comportamiento de FM con diferentes desviaciones de frecuencia, por ende diferentes ndices de modulacin y se observa la respuesta de estas modulaciones en el dominio de la frecuencia por medio de la funcin FFT (transformada rpida de Fourier); se potencia el manejo de los instrumentos de laboratorio como el generador de seales y el osciloscopio; y se conocen y aplican algunas normatividades en telecomunicaciones, extrayendo la mayor cantidad posible de informacin de una situacin experimental.
I. OBJETIVOS
Estudiar la modulacin en frecuencia FM y conocer sus variaciones mediante el uso de instrumentos de medicin del laboratorio, con base en la teora estudiada en el curso de Sistemas de Comunicaciones.
Representar una seal FM en los dominios del tiempo y la frecuencia, calcular parmetros caractersticos tales como: ancho de banda, desviacin de frecuencia, ndice de modulacin, amplitud en voltios y en decibelios y dems.
Determinar los parmetros mencionados anteriormente de manera experimental interpretando adecuadamente la informacin entregada por el osciloscopio.
Identificar y analizar la herramienta FFT del osciloscopio para determinar cul impulso corresponde a la seal portadora o a las bandas laterales en el dominio de la frecuencia, adems ser capaces de establecer cuntos y cules son tiles segn las tablas de Bessel.
Analizar y comparar resultados entre las seales medidas y las tericas, teniendo en cuenta las prdidas que se pueden generar por el medio guiado de conexin y/o por interferencias externas.
II. INTRODUCCIN [1] Modulacin FM: es la variacin de la frecuencia de la seal portadora en funcin de la amplitud de la seal moduladora, mantenindose una relacin directamente proporcional entre la frecuencia de la portadora y la amplitud de la moduladora. La amplitud de la modulada se mantiene constante en todo momento, independiente de cualquier cambio de la seal moduladora.
Modulacin PM: consiste en la variacin de la fase de una seal portadora en forma directamente proporcional a la variacin de amplitud de una seal moduladora con una relacin igual a la frecuencia de la seal modulante. La amplitud de la seal modulada se mantiene constante independiente de los cambios de la moduladora.
Desviacin instantnea de fase: Es el cambio instantneo de fase de la portadora, en determinado momento, e indica cuanto est cambiando la fase de la portadora con respecto a su fase de referencia. (t) rad
Fase instantnea: Es la fase precisa de la portadora en un momento dado, y se describe as:
Fase de referencia de la portadora (radianes)
Desviacin instantnea de frecuencia: Es el cambio instantneo en la frecuencia de la portadora y se define como la primera derivada de la desviacin instantnea de fase con respecto al tiempo.
Frecuencia Instantnea: Es la frecuencia precisa de la portadora en determinado momento, y se define como la primera derivada de la fase instantnea respecto al tiempo
Se puede definir la modulacin de fase como modulacin angular en la que la desviacin instantnea de fase (t), es proporcional a la amplitud del voltaje de la seal moduladora, y la desviacin instantnea de frecuencia es proporcional a la pendiente, es decir a la primera derivada, de la seal moduladora.
Modulacin de fase =
Modulacin de frecuencia=
La modulacin de fase es la primera integral de la modulacin de frecuencia:
Para modulacin de fase:
Para modulacin de frecuencia:
Para PM, el ndice de modulacin es proporcional a la amplitud de la seal moduladora e independiente de su frecuencia.
Para FM, el ndice de modulacin es directamente proporcional a la amplitud de la seal moduladora, e inversamente proporcional a la frecuencia de la seal moduladora. [1]
III. DESARROLLO DE CONTENIDOS
A partir de aqu, se mostrar el desarrollo de la prctica de laboratorio, siguiendo las instrucciones indicadas en la gua correspondiente.Para obtener la informacin necesaria, se conectan el generador de seales y el osciloscopio como se muestra en la figura 1.
Fig. 1 Conexin del generador y del osciloscopio.
La primera instruccin dada es obtener, en el canal 1 del generador, una seal moduladora de frecuencia 20KHz y amplitud 2Vp; y en el canal 2 una seal modulada en FM con amplitud de la seal portadora de 2Vp, 300KHz de frecuencia y una desviacin de frecuencia de 75KHz; al realizar esta instruccin observamos en las pantallas de los instrumentos las imgenes de las figuras 2, 3, 4 y 5.
Fig. 2 Configuracin del generador.
Fig. 3 Configuracin del generador.
Fig. 4 Configuracin del generador.
Fig. 5 Osciloscopio: Seal moduladora (CH1). Seal modulada FM (CH2).
Con la informacin indicada para la seal modulada en FM, se realiz previamente una serie de clculos para determinar cules son los valores esperados en el momento de realizar la prctica en el laboratorio. Como se mencion anteriormente, los datos proporcionados para esta modulacin fueron:
Otro dato requerido para poder analizar y saber qu esperamos en la prctica, es el ndice de modulacin m el cul se calcula as:
Para obtener esta informacin en la prctica, es necesario observar algunos datos directamente en el osciloscopio, ajustando la seal para que sea posible medirlos; se requiere la frecuencia mxima y la frecuencia mnima que puede tomar la seal, sabiendo que:
En la figura 6 se observa la seal ajustada y con los cursores activados para determinar los valores de fmx, fmn y fp.
Fig. 6 Seal modulada en FM.
En la parte inferior derecha se observa la frecuencia de la portadora fp=300.008KHz, y la frecuencia mxima se toma de la onda que se ve con menor periodo, donde est marcando el cursor, en el recuadro gris de la derecha se ve claramente f=373.1KHz, sta es la frecuencia que buscbamos fmx.
En la siguiente imagen, figura 7, se toma la frecuencia mnima, que se obtiene de manera similar, slo que ya se toma la onda con mayor periodo.
Fig. 7 Seal modulada en FM.
Aqu se ve que el cursor est marcando una frecuencia de 223.2KHz, que es nuestra frecuencia mnima prctica.
Ya teniendo estos datos de frecuencia mxima y mnima, se procede a calcular el f prctico, con la siguiente frmula:
A su vez, usamos el f prctico y la frecuencia de moduladora 20KHz que se asign en el generador, para hallar el ndice de modulacin prctico:
Coincidente con el m terico calculado anteriormente.
Este ndice de modulacin, se utiliza redondeado a 3.8, ya que se usa para determinar los valores de las funciones de Bessel J(n) haciendo uso de la tabla de Bessel. [2] Para m=3.8, los J(n) realmente necesarios y tiles son los 5 primeros, ya que los dems son datos despreciables, estos son:
Con los J(n) podemos calcular la amplitud o voltaje RMS que entrega cada uno de los impulsos en la transformada de Fourier correspondientes a la portadora y las bandas laterales, dicha amplitud RMS se calcula as:
Siendo Vp el voltaje o amplitud de la seal portadora.
Haciendo uso de la ecuacin anterior, los valores de amplitud RMS a calcular son: A0, A1, A2, A3 y A4. A0 es la amplitud RMS de la portadora, los dems A(n) corresponden a las bandas laterales, cada uno a dos bandas, la superior y la inferior respectivamente, es decir, P1 sera la Amplitud RMS de la primera banda lateral superior y de la primera banda lateral inferior, P2 es la amplitud RMS de la segunda banda lateral superior y de la segunda banda lateral inferior, y as sucesivamente.
Esos valores de amplitud RMS son:
Como son amplitudes de seales senoidales, podemos tomar sus magnitudes para evitar los signos negativos, ya que es necesario pasar estos valores a decibelios (dB) para poder comparar los resultados con los que arroja el osciloscopio.
La conversin a dB se hace as:
Con esto, se determina los valores de amplitud de la portadora y cada banda lateral de manera terica en el dominio de la frecuencia.
En la prctica se observa directamente en la pantalla del osciloscopio, utilizando una funcin matemtica del instrumento que se llama FFT (Fast Fourier Transformed o Transformada Rpida de Fourier) en el canal matemtico; y se mide usando los cursores.
En las figuras 8, 9 y 10 se muestra unos ejemplos de cmo se toma la medicin, tanto de frecuencias como de amplitudes, en el caso de la FFT, cabe aclarar que para determinar la frecuencia de portadora solo se utiliza un cursor vertical y el otro se ubica en una zona que no interfiera para lo que necesitamos, por lo tanto, el valor entregado por uno de los cursores (solo en los casos en que se observa la frecuencia de portadora) es innecesario; lo mismo pasa con los cursores horizontales (en todos los casos), solo se usa uno para determinar la amplitud de portadora o de bandas laterales y el otro se ubica en un lugar distante para evitar confusiones.
Fig. 8 Osciloscopio: Seal FM con m=3.8 en el dominio de la frecuencia con cursores en la portadora.
Fig. 9 Osciloscopio: Seal FM con m=3.8, FFT con cursores en las bandas laterales.
Fig. 10 Osciloscopio: Seal FM con m=3.8, FFT con cursores en las bandas laterales.
Tambin se observa que la portadora se encuentra en una frecuencia central y las bandas laterales se distribuyen en un ancho de banda, las frecuencias de las bandas laterales dependen del f, la frecuencia de cada una de ellas va a ser fpnfm donde n es la posicin de la banda lateral con respecto a la portadora, por ejemplo, si se requiere la frecuencia de la tercera banda lateral, n=3, entonces la frecuencia de las bandas va a ser
La informacin obtenida de manera terica y prctica se registra en la tabla 1.TABLA IAMPLITUDES Y FRECUENCIAS CON m=3.8AmplitudFrecuencia
TericoPracticoTericoPractico
Portadora0.57V -7.89dB-12.3dB300KHz306KHz
Conjunto de bandas laterales0.018V -38dB-41.3dB280KHz286KHz
0.018V -38dB-41.3dB320KHz326KHz
0.58V -7.74dB-10.7dB260KHz266KHz
0.58V -7.74dB-10.7dB340KHz346KHz
0.59V -7.59dB-11.5dB240KHz246KHz
0.59V -7.59dB-11.5dB360KHz366KHz
0.35V -12.1dB-15.5dB220KHz226KHz
0.35V -12.1dB-15.5dB380KHz386KHz
De la misma manera, se realiza todos los clculos y procedimientos de tal forma que ahora el ndice de modulacin sea m=1, para esto, se vara la desviacin de frecuencia a 20KHz, ahora f=fm.
En la figura 11 se muestra el cambio realizado en la desviacin de frecuencia para cumplir con el nuevo ndice de modulacin
Fig. 11 Generador de seales: cambio de desviacin de frecuencia.
Con m=1, la consulta a la tabla de Bessel indica los siguientes J(n).
Los dems son irrelevantes ya que son valores despreciables.
Las amplitudes RMS con este nuevo ndice de modulacin son:
Para hallar estos datos en forma prctica, debemos observar el osciloscopio, de nuevo se observa la onda con menor periodo y la onda con mayor periodo, de estas, se obtendr las frecuencias mxima y mnima respectivamente, con lo cual se realiza los clculos pertinentes. En las figuras 12 y 13, se tiene la informacin necesaria para esto.
Fig. 12 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=1.
La frecuencia de portadora se mantuvo fija en 300.008KHz y la frecuencia mxima es 320.5KHz
Fig. 13 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=1.
La frecuencia mnima es 280.9KHz.
Una vez ms, el ndice de modulacin prctico coincide con el obtenido tericamente.
Ahora, se muestra en la figura 14 la FFT para esta seal con los cursores en la portadora.
Fig. 14 Osciloscopio: Seal FM con m=1 en el dominio de la frecuencia con cursores en la portadora.
Teniendo toda esta informacin de la seal con m=1 recopilada, procedemos a consignarla en la tabla 2.
TABLA IIAMPLITUDES Y FRECUENCIAS CON m=1AmplitudFrecuencia
TericoPracticoTericoPractico
Portadora1.08V -2.34dB-5.93dB300KHz306KHz
Conjunto de bandas laterales0.62V -7.16dB-10.7dB280KHz286KHz
0.62V -7.16dB-10.7dB320KHz326KHz
0.16V -18.9dB-21.9dB260KHz266KHz
0.16V -18.9dB-21.9dB340KHz346KHz
Ahora procedemos a ajustar el ndice de modulacin a m=2.4, para esto nuevamente modificamos el f, en esta ocasin debe ser 48KHz para que se cumpla el nuevo ndice de modulacin. En la figura 15 se muestra el respectivo cambio.
Fig. 15 Generador de seales: cambio de desviacin de frecuencia.
Los J(n) obtenidos en la tabla de Bessel son:
Al igual que en los casos anteriores, los dems J(n) se descartan por ser valores despreciables
Con esto, las respectivas amplitudes RMS son:
En las figuras 16 y 17, se ve las frecuencias mxima y mnima de la seal modulada con m=2.4.
Fig. 16 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=2.4.
Fig. 17 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=2.4.
En este caso, la desviacin de frecuencia prctica es:
Y el m prctico es:
Resultando igual al ndice de modulacin terico.
La FFT obtenida en el osciloscopio para la seal con el ndice de modulacin modificado a 2.4 y con los cursores en la portadora, se muestra en la figura 18.
Fig. 18 Osciloscopio: Seal FM con m=2.4 en el dominio de la frecuencia con cursores en la portadora.
En la tabla 3 se registran los datos correspondientes a la seal FM con ndice de modulacin m=2.4
TABLA IIIAMPLITUDES Y FRECUENCIAS CON m=2.4AmplitudFrecuencia
TericoPracticoTericoPractico
Portadora4.24mV -50.4dB-53.1dB300KHz306KHz
Conjunto de bandas laterales735.4mV -5.7dB-9.1dB280KHz286KHz
735.4mV -5.7dB-9.1dB320KHz326KHz
609.5mV -7.31dB-10.7dB260KHz266KHz
609.5mV -7.31dB-10.7dB340KHz346KHz
280mV -14.1dB-17.1dB240KHz246KHz
280mV -14.1dB-17.1dB360KHz366KHz
Finalmente se realiza el mismo proceso y los mismos clculos para un ndice de modulacin m=10, lo que nos lleva a modificar el f a 200KHz, en la figura 19 se muestra el cambio en el generador de seales.
Fig. 19 Generador de seales: Modificacin de la desviacin de frecuencia.
Los J(n) obtenidos en la tabla de Bessel son:
Con esto, las amplitudes RMS son:
En las figuras 20 y 21, se ve las frecuencias mxima y mnima de la seal modulada con m=10
Fig. 20 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=10, fmx=500KHz.
Fig. 21 Osciloscopio: Seal modulada en FM con m=10, fmn=100KHz.
En este caso, la desviacin de frecuencia prctica es:
Y el m prctico es:
Exactamente el valor esperado, segn lo que se obtuvo tericamente.
La FFT obtenida en el osciloscopio para la seal con el ndice de modulacin modificado a 10 y con los cursores en la portadora, se muestra en la figura 22.
Fig. 22 Osciloscopio: Seal FM con m=10 en el dominio de la frecuencia con cursores en la portadora.
En este caso se observa un conjunto de bandas laterales muy amplio, que abarca un ancho de banda tambin muy amplio, tanto que no se alcanza a ver la ltima banda lateral superior, la dcima, que est por fuera del rango de frecuencias que muestra el osciloscopio, sin embargo, la dcima banda lateral inferior si se logra abarcar en la pantalla y esta nos es til para determinar su amplitud, se muestra en la figura 23 para observar cmo se tom esta medida.
Fig. 23 Osciloscopio: Seal FM con m=10 en el dominio de la frecuencia con cursores en la dcima banda lateral inferior.
Se logra observar el cursor en el lmite derecho de la pantalla y no alcanza la frecuencia estimada para la dcima banda lateral superior que debera quedar aproximadamente en 500KHz, pero como ya se mencion, la dcima banda lateral inferior nos sirve para esta medida y esa si se alcanza a tomar.
La informacin respectiva para la seal con ndice de modulacin m=10, queda registrada en la tabla 4.
TABLA IVAMPLITUDES Y FRECUENCIAS CON m=10AmplitudFrecuencia
TericoPracticoTericoPractico
Portadora0.35V -12.13dB-15.5dB300KHz306KHz
Conjunto de bandas laterales60.81mV -27.33dB-30.7dB280KHz286KHz
60.81mV -27.33dB-30.7dB320KHz326KHz
0.36V -11.88dB-15.5dB260KHz266KHz
0.36V -11.88dB-15.5dB340KHz346KHz
82.02mV -24.73dB-28.3dB240KHz246KHz
82.02mV -24.73dB-28.3dB360KHz366KHz
0.31V -13.18dB-16.3dB220KHz226KHz
0.31V -13.18dB-16.3dB380KHz386KHz
0.33V -12.64dB-15.5dB200KHz206KHz
0.33V -12.64dB-15.5dB400KHz406KHz
19.8mV -37.08dB-40.3dB180KHz186KHz
19.8mV -37.08dB-40.3dB420KHz426KHz
0.31V -13.18dB-16.3dB160KHz166KHz
0.31V -13.18dB-16.3dB440KHz446KHz
0.45V -9.95dB-13.1dB140KHz146KHz
0.45V -9.95dB-13.1dB460KHz466KHz
0.41V -10.75dB-13.1dB120KHz126KHz
0.41V -10.75dB-13.1dB480KHz486KHz
0.29V -13.76dB-16.3dB100KHz106KHz
0.29V -13.76dB-16.3dB500KHz506KHz
IV. CONCLUSIONES
La experiencia fue exitosa ya que se logr correctamente realizar la modulacin en frecuencia FM y realizar modificaciones para observar cual es la repuesta de la modulacin, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Se observa que la modulacin en frecuencia consiste en variar la frecuencia conforme a la amplitud de le seal moduladora, es decir, cuando la amplitud de la moduladora est al mximo, la frecuencia de la seal modulada est al mximo; cuando la amplitud de la moduladora est en su valor mnimo, la frecuencia de la modulada tambin es el mnimo; y cuando la amplitud de la moduladora es cero, la frecuencia de la modulada es la misma frecuencia de portadora.
Se observa que el ndice de modulacin m influye mucho en el ancho de banda de la seal modulada FM, a mayor ndice de modulacin, mayor ancho de banda.
En todas las tablas, los valores en decibelios prcticos, difieren de los tericos en 3dB, debido a una prdida que hay en el cable y en los acoplamientos que van del generador de seales al osciloscopio, por lo tanto, al tener en cuenta esto y corregirlo en los clculos, los resultados son lo suficientemente aproximados para determinar una experiencia confiable.
En algunos casos, es absolutamente complicado tomar mediciones correctas o verdaderamente aproximadas a los valores tericos, debido a la imprecisin de los instrumentos, al error humano y a la interferencia que pueda haber en el entorno.
V. REFERENCIAS
[1] Introduccin terica completa tomada de Gua de Laboratorio No2 FM 2014.
[2]Funcin de Bessel [Online]. Available: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Bessel
[3]Clculos y frmulas tomados de notas de clase de Sistemas de Comunicaciones.
[4]TOMASI, Wayne. Sistemas de Comunicaciones Electrnicas. Mxico. Pearson educacin. 2003.
