Comunicaciones Digitales: Proceso de Conversión A/D · Teorema de muestreo de Nyquist. fmi(t) t...
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Representación de fenómenos físicos● CLIMA (Temperatura, Humedad, etc.)
● Sonido (Presión en un punto 3D)
● Grabación de Audio (Flujo Magnético)
● Fotografía (Intensidad de Luz/Color sobre papel)
Señales
Representación mediante una función:
Señales
Variable Independiente
(Dominio)
Vari
able
Dep
en
die
nte
(Inte
rvalo
)
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● La señal analógica es aquella que presenta una variación o fluctuación continua con el tiempo, es decir, que para cualquier valor de la variable independiente existe un valor de la variable dependiente que le corresponde.
● Una señal digital es aquella que presenta una variación discontinua con el tiempo y que sólo puede tomar ciertos valores discretos.
● Las señales digitales no se producen en el mundo físico como tales, sino que son creadas por el hombre.
Señales
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Las señales pueden clasificarse a partir de sus características
● Según el dominio o comportamiento con respecto a la variable independiente:
● Continua en el tiempo : f(t), t ∈ [a,b] ● Discreta en el tiempo: f[t] ∈ {t₀,t₁,...,tn}
● Según el intervalo o variabilidad de la amplitud de la variable dependiente:
● Continua en amplitud ● Discreta en amplitud
Señales
Se dice que una señal es:
● Continua: si es continua en todo t
● Continua a tramos: si presenta un valor finito o infinito numerable de discontinuidades siempre y cuando se produzcan saltos de amplitud finita
Señales
Dominio (variable Independiente)
Sea t1 un instante de tiempo y e un número que pertenece a los reales positivo e infinitesimalmente pequeño Y sean:
Si se cumple
Se dice que la señal es continua en t=t1 si no se dice que la señal es discontinua en t1.
Intervalo (variable Dependiente)
x ( t+ )=x (t−)=x (t1 )
t+ =t1+e
t−=t1−e
Señales
Se dice que una señal es de:
● Valor discreto si la variable dependiente solo toma valores de un conjunto numerable.
● Valor continuo si la variable dependiente toma valores en un conjunto en los reales
Señales
Intervalo (variable Dependiente)
Señal Analógica
• Contínua en el tiempo: Existe en todo momento.
• Contínua en amplitud: Existe en cualquier valor de amplitud. Tiene un número inifinito de valores de amplitud.
Señal Digital
• Discreta en el tiempo: Sólo existe en ciertos valores del tiempo.
• Discreta en amplitud: Sólo existe en ciertos valores de amplitud. Tiene un número finito de valores de amplitud.
Tipos de señales
Parámetros de las Señales
● Duración
● Periodicidad
● Amplitud
● Velocidad de cambio (Frecuencia)
● Fase
Señales
● Representación cartesiana permite la representación de un sistema en coordenadas rectangulares, la posición de un punto se encuentra determinada por 2 o 3 magnitudes independientes que definen su relación con los llamados planos coordenados.
● El cálculo vectorial proporciona una notación para representar a través de ecuaciones matemáticas modelos de las distintas situaciones físicas y de las dinámicas que los afectan en diversas situaciones.
Señales
Representación de variables
● Toda señal variable en el tiempo se puede representar en el ámbito de sus valores de frecuencia (espectro). Dicho espectro brinda información sobre la velocidad de la señal y se compone por una frecuencia fundamental y un conjunto de armónicos.
● El proceso matemático que permite esta descomposición se denomina análisis de Fourier.
Señales
Velocidad de cambio (espectro de Frecuencias)
Error● Diferencia entre los datos adquiridos y la función real (ideal)
● Imprecisiones del sistema de adquisición
● No linealidades (e.g.: offset)
● Ruido
● Velocidad de muestreo
Señales
MUESTREO CUANTIZACIÓN CODIFICACIÓNf(t) d(t)
● MUESTREO : Discretización en el tiempo. Toma de muestras de la señal analógica en valores determinados de tiempo.
● CUANTIZACIÓN : Discretización de amplitud. Asignación de los valores de las muestras de la señal analógica a valores discretos, predefinidos, de un conjunto finito de valores.
● CODIFICACIÓN : Representación numérica de los valores cuantizados. Asignación de un valor numérico a cada uno de los valores, ya discretos, de las muestras de la señal analógica.
f(t)
t
010011010110101011010
Proceso de conversión
f(t)
t
tt
Valores originales de las muestras
Valores cuantizados
f(t)
f(t)
0 0 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 01 0 0 11 0 1 0
Muestreo
CuantizaciónCodificación
Proceso de conversión
• Una señal continua puede representarse y reconstruirse partiendo del conocimiento de sus muestras.
• Esto se deriva de un resultado básico llamado teorema de muestreo.
• Este teorema funciona como un puente entre las señales continuas y las discretas.
Proceso de conversión
¿Cuántas muestras por segundo hay que tomar?
– Una señal discreta puede corresponder a varias señales continuas
Proceso de conversión
MUESTREO
frecuencia de muestreo
señalanalógica
f(t)
f(t)
t
fm(t)
t
°
°
° °
°
°°
0.601263
0.2943020.326483
0.645823 0.586528
-0.120152 -0.156337
señal muestreada
(infinito número de valores
posibles de las muestras)
Proceso de Muestreo
• Muestrear una señal es equivalente a multiplicarla por un tren de funciones delta
)c()x()(xp ttt )(δ)c( nTtt
n
Proceso de conversión
f(t) |F(f)|
t ffmax
pi (t) |Pi (f)|
t ffm 2 fm 3 fm 4 fmTm
v
v
fm = 1/Tm
fmi(t)
t
|Fmi (f)|
ffm 2 fm 3 fm 4 fm
pi (t) = (t - nTm )n= - oo
n= + o o
Pi (w) = 2Tm (w - k wm )k= - o o
k= + o o
fmi (t) = f(t) (t - nTm ) = f (nTm) (t - nTm)n= - oo
n= + o o
n= - oo
n= + o o
Fmi (w) = F(w) * Pi (w) = 1Tm F (w - k wm )k= - o o
k= + o o
Tm
v
v
Muestreo ideal (instantáneo)
• Una multiplicación en el tiempo equivale a una convolución en la frecuencia
)C()X(π21
)(Xp jjj
k
skjT
j ))(X(1
)(Xp
k
skT
j )δ(π2
)C(
¿Qué ocurre en la frecuencia?
• Sea x(t) una señal de banda limitada con X(jΩ)=0 para ׀Ω׀> Ωmax. Entonces x(t) se determina unívocamente mediante sus muestras x(nT), n=0, ±1, ±2,..., si
donde
Ts
π2
max2s
Teorema de muestreo de Nyquist
fmi(t)
t
|Fmi (f)|
f
fm 2 fm 3 fm 4 fm
f(t) |F(f)|
t f
fmax
f
fm 2 fm 3 fm 4 fm- fm
FiltroPasa-bajas
Recuperación de la señal original
fmi(t)
t
|Fmi (f)|
f
fm 2 fm 3 fm 4 fm
fm2 < fm
fmi(t)
t
|Fmi (f)|
f
fm 2 fm 3 fm 4 fm
fm = 1/Tm
fmi(t)
t
|Fmi (f)|
f
fm 2 fm
fm1 > fm
fmax
fmax
fmax
Tm
Consideraciones en la f. de Muestreo
fffm-fmax fmax fm 2fm fffm-fmax fmax fm 2fm
|Fmi (f)|
ffm 2 fmfmax
fmax fmax
|Fmi (f)|
ffm 2 fmfmax
fmax fmax
|Fmi (f)||Fmi (f)|
fm-fmax
fm > 2 fmax
Frecuencia mínima de muestreo
Rango de Frecuencias Frecuencia de Muestreo
Hz kHzVoz Telefónica 300 - 3,400 8Voz de Banda Ancha 50 - 7,000 16Audio Medio 10 - 11,000 24Audio de Banda Ancha (CD) 10 - 20,000 44.1
Frecuencias de muestreo típicas
pp(t) |Pp(f)|
t ffm 2 fm 3 fm 4 fm
Tm
v
v
fm = 1/Tm
f(t) |F(f)|
t ffmax
a
fmn(t)
t
|Fmn (f)|
ffm 2 fm 3 fm 4 fm
pp (t) = pp(t) = pp(t-nTm) Pp(w) = 2/k sen(k a) (w - k wm )k= - oo
k= + o o
fmn (t) = f(t) pp(t) Fmn (w) = F(w) * Pp (w) = 1/k sen(k a) F (w - k wm )k= - oo
k= + o o
Tm
1, 0 < t < a
0, a < t < Tm
= , fmn(t) = fmn(t-nTm)f(t), 0 < t < a
0, a < t < TmTm
Tm
v
v
a
2 / a
Muestreo natural
Fmq (w) = sen(T w) F(w - k wm )
pq(t) |Pp(f)|
t f2 / T
T
v
v
f(t) |F(f)|
t ffmax
pq (t) = Pq(w) = 2/w sen( T w_)
fmq (t)
2
1, 0 < t < T
0, 0 > t > T
= f(nT) pq(t - nT)
|Fmq (f)|
f fm
n= - oo
n= + o o
fmq(t)
t
T
v
v
Fmq (w) = sen(T w) F(w - k wm )k= - oo
k= + oo
2
2_ wT
Muestreo de pulso plano sostenido
• El cuantificador es un sistema cuyo propósito es transformar la muestra de entrada x[n] en un valor de conjunto finito de valores preestablecidos.
Cuantización
CUANTIZACIÓNseñal cuantizada
(N valores posibles)
señal muestreada
(infinito número de valores
posibles de las muestras)
fm(t)
t
°
°
° °
°
°°
0.601263
0.2943020.326483
0.645823 0.586528
-0.120152 -0.156337
fm(t)
.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1
-.1 -.2
Cuantización
La misma imagen cuantificada con 7 bits (128 niveles de grises) y con 3 bits (8 niveles de grises).
Cuantización
Sistema en complemento a dos
• El bit de la izquierda se considera bit de signo, y los bits restantes representan fracciones en binario.
• Los símbolos binarios tienen el siguiente significado para un sistema con tres bits.
Símbolo binario
Valornumérico
011 ¾
010 ½
001 ¼
000 0
111 - ¼
110 - ½
101 - ¾
100 -1
Cuantización
• Si tenemos una fracción binaria en complemento a dos representada con B+1 bits de la forma
su valor es
BBaaaa 2...222 2
21
10
0
Baaaa ...210
Generalización
Cuantización
La cuantización asigna a la muestra de f(t) el valor de amplitud más cercano a su valor original de entre los N valores discretos predefinidos, lo que produce un error. El error de cuantización disminuye mientras más valores discretos se definan.
Valores originales de las muestras
Valores cuantizados
f(t)
t
N1
N2
N3
N4
N5
N6
ec {
f(nT)
fc(nT)
nT
f(nT) = Valor original de f(t) en el tiempo de muestra nT
fc(nT) = Valor cuantizado de f(t) en el tiempo de muestra nT
ec = error de cuantización = f(nT) - fc(nT) N = Número de valores discretos
Cuantización
Voz TelefónicaVoz de Banda Ancha
Audio MedioAudio de Banda Ancha
Valores Posibles
n
256256
65,53665,536
Ejemplos de valores de cuantización
información digital binaria
d(t)(cada muestra representada con m bits)
fm(t)
.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1
-.1 -.2
0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 1001 1010
CODIFICACIÓN
código digital de
m bits( N = 2 m )
señal cuantizada
(N valores posibles)
información digital binaria representada como señal en el
tiempo
010110101010110101011
Codificación
La codificación asigna un valor numérico (código digital binario) a cada uno de los N valores discretos utilizados en la cuantización. La representación de N valores a través de un código digital binario corresponde a un número de bits m que cumple con la relación:
N = 2m
Codificación
Los números del código digital asignado no necesariamente deben de tener una relación directa con el valor real de la señal original f(t), sino que puede considerarse que f(t) es normalizada para su codificación. Los valores reales de f(t) pueden ser recuperados en el proceso de conversión digital a analógica a través de un proceso de des-normalización (normalmente la multiplicación por una constante y la posible suma o resta de una componente de directa).