t Fm Jefferson

Mster Modelizacin y Fsica de

Sistemas Complejos

[DINMICA Y CONTROL POR LA FASE DEL OSCILADOR DE DUFFING]

Autor: JEFFERSON MARTINEZ LOPEZ. Tutores: Jess Miguel Seoane y Javier Used.

Mayo de 2014

2

AGRADECIMIENTOS

Reservo este espacio para agradecer a los Directivos y amigos de la Fundacin Colombiana Agua y Paz por el apoyo. Igualmente a los Profesores Dr. Jess Seoane y Dr. Javier Used del Departamento de Fsica de la Universidad Rey Juan Carlos, por la cortesa y amabilidad, adems de facilitar mi viaje y el Mster en Espaa. Por su puesto que tengo un hondo sentimiento de gratitud para con mi Hija Ana Sofa Martnez, su compaa en Europa fue mi mejor motivacin.

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CONTENIDO 1. INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 4

2. INTRODUCCIN AL OSCILADOR DE DUFFING .......................................................................... 5

2.1. OSCILACIONES MECNICAS ARMNICAS ........................................................................ 5

2.2. OSCILACIONES ARMNICAS AMORTIGUADAS ................................................................ 6

2.3. OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS .......................................................... 7

2.4. OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS .................................................................. 7

2.5. OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CATICAS ........................................................ 8

2.6. CAOS- ATRACTOR EXTRAO ............................................................................................. 9

2.7. ESPACIO DE LAS FASES ................................................................................................... 10

2.8. ANLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS ......................................................................... 11

2.9. HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING ............................................................. 15

2.10. MAPA O SECCIN DE POINCAR ..................................................................................... 17

2.11. LINEALIZACIN OSCILADOR DE DUFFING ...................................................................... 18

2.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING ............................................................... 19

2.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV ........................................................................................... 20

2.14. BIFURCACIONES ................................................................................................................. 22

2.15. EL CONTROL DEL CAOS .................................................................................................... 23

3. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA ................................................................................................ 24

3.1. IMPLEMENTACIN DEL MODELO ..................................................................................... 24

3.2. OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS ................................................................ 24

3.3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS ..................................................................................... 25

3.4. OSCILACIONES FORZADAS .............................................................................................. 26

3.5. OSCILACIONES CATICAS ................................................................................................ 26

3.6. CUENCAS DE ATRACCIN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING ......................................... 29

3.7. CONTROL DEL CAOS POR LA FASE ................................................................................ 30

4. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN NUMERICA ................................................................. 32

4.1. EXPLORACIN NUMRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN EL OSCILADOR DE

DUFFING........................................................................................................................................... 34

4.2. ANLISIS BIFURCACIONAL ............................................................................................... 34

4.2.1. DIAGRAMAS DE BIFURCACIN ................................................................................. 34

4.3. CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV ................................................................... 37

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................................ 40

6. ANEXO .......................................................................................................................................... 42

7. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................. 47

4

1. INTRODUCCIN

Existe el caos por todas partes en el mundo natural, y un vivo ejemplo es el Oscilador

de Duffing, el cual recrea un experimento mecnico de un oscilador simple en un medio

con friccin, cuya modelizacin matemtica corresponde a una ecuacin ampliamente

conocida. Pero fue tan solo hasta el ao de 1970, cuando se descubri la existencia

del caos en la ecuacin, dando origen a una exploracin que revel su comportamiento

asombrosamente complejo.

El modelo del Oscilador de Duffing obedece leyes universales que guan el

comportamiento catico, y parece curioso que su ecuacin aparezca en la

modelizacin de campos tan diversos como la ingeniera, economa, fsica,

demografa, ecologa, epidemiologia, entre otros. Obtener las soluciones a la ecuacin

no es tarea fcil, ya que albergan la posibilidad de exhibir extremos propios de los

sistemas dinmicos deterministas no lineales, tales como comportamiento irregular e

imprevisibilidad caracterizado por rbitas aperiodicas, ciclos lmite, atractores

extraos y sensibilidad a las condiciones iniciales, es decir: Caos.

La presente investigacin efecta una introduccin elemental de la comprensin de su

complejidad. El oscilador de Duffing es un modelo paradigmtico de la nolinealidad el

cual nos brinda una plataforma para su estudio a travs de las tcnicas cualitativas y

cuantitativas de la teora, tales como series temporales, espacio de las fases,

secciones de Poncar, clculo de exponentes de Lyapunov y diagramas de

bifurcacin.

El presente trabajo tambin explora la aplicacin de una tcnica de control del Caos,

la cual resulta til cuando nos interesa suprimir la dinmica catica, y proporciona

conocimiento sobre cmo se produce el caos, permite observar sus fases previas

antes de emerger como fenmeno. Incluso funciona para hacer surgir el Caos cuando

se considere til.

La tcnica de control se enmarca dentro de las investigaciones realizadas por el Grupo

de Dinmica No Lineal, Teora del Caos y Sistemas Complejos del Departamento de

Fsica de la Universidad Rey Juan Carlos, cuyo grupo efectu trabajos precedentes en

investigacin de la tcnica de control por fase [1].

El Grupo desarroll la tcnica ampliamente para una de las opciones de control de

caos por fase, consistente en la adicin paramtrica, y dejaron planteada la necesidad

de avanzar hacia el estudio de una segunda opcin mediante la aplicacin de una

perturbacin aditiva; sta ltima es el desafo que aborda la investigacin numrica

efectuada.

5

2. INTRODUCCIN AL OSCILADOR DE DUFFING

A continuacin haremos una descripcin de los osciladores lineales y no lineales as

como de los tipos de oscilaciones que tienen lugar en funcin de los parmetros del

sistema y del estmulo externo.

2.1. OSCILACIONES MECNICAS ARMNICAS

En el Universo Mecnico se presenta un fenmeno fsico natural denominado

movimiento armnico. El movimiento se origina como respuesta de un sistema en

equilibrio a retornar a su estado original, cuando una fuerza perturbativa, le ha

desplazado de su lugar central o de estabilidad. En los sistemas mecnicos tipo masa

muelle, el resorte ejerce sobre la masa, una fuerza de magnitud proporcional al

desplazamiento de la masa desde su posicin de equilibrio; la fuerza siempre acta

hacia la direccin de la posicin de equilibrio de la masa, es decir en direccin contraria

al desplazamiento. La Figura 1 permite observar el fenmeno natural y la Ley que lo

rige.

Figura 1. Diagrama de la ley de Hooke

En el Movimiento Armnico Simple (MAS) se denomina ciclo, a la trayectoria seguida

al oscilar de un extremo a otro, pasando dos veces por la posicin de equilibrio. El

nmero de ciclos por segundo (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilacin. Nos

encontramos familiarizados con el movimiento oscilatorio o peridico en el universo

mecnico, como en el pndulo y resortes, as como en las vibraciones de los

instrumentos musicales de cuerda; ms an fenmenos como las ondas

electromagnticas, tales como la luz visible y ondas de radio, se caracterizan por ser

oscilantes.

Es la ley descubierta por Robert Hooke, la que gobierna el comportamiento del

movimiento en un muelle o resorte. Hooke encontr que la fuerza ejercida sobre el

resorte es proporciona a la elongacin o extensin del estiramiento longitudinal que

6

experimental, y a la constante elstica (k) del mismo, cuyos valores se corresponden

con el tipo de material constitutivo y la longitud del resorte.

En conclusin, en los sistemas dinmicos con movimiento armnico simple, en

ausencia de friccin, la masa o el cuerpo oscilan de un lado al otro de su posicin de

equilibrio, pues para todo momento la fuerza recuperadora hace que la masa sea

atrada hacia la posicin de equilibrio, en un movimiento peridico de vaivn, para

intervalos iguales de tiempo, de tal manera que su posicin en funcin del tiempo

queda descrita por la trayectoria de una sinusoide. Obsrvese la Figura 2.

Figura 2. Movimiento Armnico Simple (MAS)

2.2. OSCILACIONES ARMNICAS AMORTIGUADAS

En el movimiento armnico simple, la masa oscila con su frecuencia natural

indefinidamente entre dos posiciones sin perder la energa mecnica. En los sistemas

reales se presentan fuerzas de resistencia del medio, y a la friccin interna de los

materiales que lo constituyen, por lo que la energa mecnica se transforma en calor,

el cual se disipa fuera del sistema, y la energa del oscilador desciende hasta hacerse

cero.

En el universo mecnico, las fuerzas disipativas, tales como la friccin, retardan el

movimiento del sistema. De modo que la energa mecnica se pierde mientras se

produce el movimiento en el tiempo. Aunque su carcter oscilatorio se mantiene, la

amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo, hasta que cesa el movimiento.

La magnitud del amortiguamiento determina distintos casos posibles (oscilador

subamortiguado, sobreamortiguado o con amortiguamiento crtico). Si el

amortiguamiento supera el valor umbral o crtico, el sistema no oscila, sino que regresa

a la posicin de equilibrio en forma exponencial con el tiempo. De otro lado, para el

caso subamortiguado, con valores menores al crtico, el sistema realiza un movimiento

semejante al armnico simple, pero las oscilaciones se producen con un decaimiento

en su amplitud de forma exponencial a medida que transcurre el tiempo.

7

2.3. OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS

Las fuerzas disipativas son las causantes de la perdida de energa en el oscilador

amortiguado, por lo que con el transcurrir del tiempo, en funcin de la condicin del

amortiguamiento, provocan el agotamiento total de la energa, y con ello el cese del

movimiento en su punto de equilibrio espacial o estado de reposo.

No obstante si deseamos conservar el movimiento oscilatorio con su amplitud, nos

veremos obligados a agregar la energa que se pierde del sistema, en forma de calor,

mediante un agente externo que aporte una fuerza peridica y de magnitud constante,

que remplace la disipada por el movimiento del sistema.

Cuando aplicamos una fuerza impulsora que vara con una frecuencia (w), el sistema

oscila a la misma frecuencia (w). Sin embargo, existe una condicin para la cual la

amplitud de las oscilaciones se amplifica a su mximo, la cual se da cuando la

frecuencia de la fuerza externa se aproxima a la frecuencia natural (w0); dicho

fenmeno fsico es conocido como resonancia.

2.4. OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

En la condicin de rgimen estacionario, las oscilaciones conservan su amplitud,

gracias a que la energa que ingresa al sistema a travs de la fuerza externa,

compensa en magnitud la energa que se pierde por disipacin. En rgimen

estacionario las oscilaciones se presentan en la misma frecuencia (w) que la fuerza

externa.

Sin embargo es necesario que la energa mecnica neta en el oscilado sea nula; pues

de no ser as cambia la amplitud de las oscilaciones. Sobre el sistema actan 3 fuerzas:

la de restitucin del resorte, la fuerza de friccin que amortigua las oscilaciones y la

fuerza excitadora, obtenindose:

+ + = ()

La anterior ecuacin diferencial es solucionada mediante la tcnica de adiccin de la

solucin homognea y la solucin particular del sistema.

() + ()

Por lo que se requiere encontrar una funcin, de la forma f(t, x, ), que verifique la igualdad de la ecuacin.

8

2.5. OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CATICAS

El oscilador Duffing es un modelo representativo de la complejidad presente cuando

acontece un fenmeno categorizado con dinmica catica, debido a la introduccin de

una reaccin no lineal en la fuerza restauradora del sistema como respuesta a la accin

generada por la fuerza perturbativa peridica.

Figura 3. Dispositivo experimental que puede modelizarse mediante un potencial de doble pozo. Oscilador magneto mecnico, conformado por una estructura excitada de forma sinusoidal dentro del campo magntico de 2 imanes que funcionan como atractores.

Para valores constantes de , , , y con un trmino de forzamiento (F), no muy

grande se obtienen las oscilaciones descritas en la Figura 4.

Figura 4. Variacin de potencial del oscilador en funcin de parmetros de configuracin.

El Oscilador Duffing corresponde a un modelo de Oscilador forzado, con elasticidad

no lineal, el cual es descrito por una ecuacin diferencial de segundo orden, tal

como se presenta a continuacin:

+ 02x + 3 = cos()

Donde el trmino:

9

0

2 3 =

Para valores de = w02, el sistema es denominado Osicilador Duffing

(Doubl Well), y corresponde experimentalmente a una columna que se deflecta hacia

dos imanes dentro de una estructura rgida que es balanceada por una fuerza de

forma sinusoidal y para una magnitud determinada de amplitud del forzamiento.

Las trayectorias corresponden a rbitas con distintos niveles energticos dentro de

paraboloides de revolucin, es decir un nico pozo, para valores positivos de

w02= , o doble pozo para valores negativos , por lo que el signo determina la

configuracin.

Figura 5. Diagrama de potenciales del oscilador.

La ecuacin Duffing se clasifica de acuerdo al signo y valor de los parmetros and

[2].

Tabla 1. Clasificacin de la Ecuacin de Duffing segn el sistema de parmetros.

Tipo de Ecuacin

de Duffing

w02=

Muelle Duro > 0 > 0

Muelle Suave > 0 < 0

No-Armonico = 0 > 0

Invertido < 0 > 0

2.6. CAOS- ATRACTOR EXTRAO

Un atractor es un conjunto al que todas las trayectorias vecinas convergen, tales como

puntos fijos estables, ciclos lmites estables [3].

10

La Figura 6 elaborada por Ueda, muestra la complejidad del Oscilador de Duffing. La

ilustracin presenta la variacin por regiones (peridicas y caticas), de las diversas

dinmicas cualitativas exhibidas por un oscilador no lineal, de la forma:

+ + 3 = ()

Figura 6. Diversidad de dinmicas exhibidas por el oscilador de Ueda para las regiones del

espacio de parmetros (f, r). Atractores de perodo-uno se encuentran en las regiones I, II, III y IV. Respuestas subharmonicas y ultrasubharmonicas existen en las regiones marcadas por

m / n.

2.7. ESPACIO DE LAS FASES

En el espacio de las fases cada punto da cuenta de la configuracin del sistema en

dependencia del tiempo [4]. Es el conjunto de todas las trayectorias, orbitas o curvas,

que describen la evolucin del sistema, y a travs de su construccin se nos revelan

detalles sobre sus puntos de equilibrio, separatrices, y regiones de atraccin, por lo

que se constituye en una herramienta valiosa en el anlisis cualitativo.

Figura 7. Espacio de las fases y nuclina del Oscilador de Duffing.

x ' = y

y ' = - (k x + c y + l x3)/m

c = 0.13

l = 1

k = - 1

m = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

11

2.8. ANLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS

La descripcin detallada del espacio de las fases de un sistema no-lineal es una tarea

engorrosa por la complejidad de su dinmica [4]. Por lo anterior, es necesario buscar

los detalles ms relevantes, tales como los puntos de equilibrio del campo vectorial,

las separatrices, que separan las trayectorias cualitativamente diferentes, y las

fronteras de las regiones de atraccin. Tal como se ilustra en la Figura 8.

Figura 8. Espacio de las fases. Cuencas de atraccin.

Finalmente, en el plano, la dinmica del sistema en toda su complejidad queda

reducido por el teorema de Poincar-Bendixson, mediante el cual se demuestra que

una trayectoria slo puede alejarse hacia el infinito, hundirse en un punto singular o

arrollarse alrededor de un ciclo limite.

A continuacin, efectuaremos por la va del anlisis matemtico una exploracin de la

ecuacin de Duffing. Aplicaremos elementos de la teora cualitativa, como la bsqueda

y clasificacin de todos los puntos fijos.

Para la ecuacin Dufffing, sin forzamiento (F = 0), y sin friccin = 0, con (w0)2 = =

1, el sistema se representa como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

= = 0

2 3 Igualando el anterior sistema a 0, para buscar los puntos singulares, tenemos:

= 0 0 = 3 = (1 2) = (1 )(1 + )

De donde se sigue que existen 3 puntos fijos: el origen (0, 0) inestable, y dos focos

(1,0), y (-1, 0), ambos estables.

Seguidamente, nos interesa conocer todos los puntos fijos y su clasificacin, para el

Oscilador de Duffing sin forzamiento, pero introduciendo el parmetro de friccin. Por

12

lo que el sistema se representa ahora como un sistema autnomo plano, de la

siguiente manera:

= = + 0

2 3 Se pueden clasificar los puntos crticos del sistema, pasando a un sistema linealizado

alrededor de los puntos crticos, siendo la matriz Jacobiana:

= |0 1

02 32

|

La naturaleza y estabilidad de los puntos crticos del sistema se pueden describir de

conformidad con sus autovalores. Las races del polinomio caracterstico det (J-I) son

los autovalores de J. Para un sistema de 2 dimensiones, el polinomio caracterstico es

de la forma:

2 + = 0

Donde es la traza y es el determinante de J. Las 2 races son de la forma:

1 = + 2 4

2; 2 =

2 4

2

= 12 = 1 + 2

Cuando < 0, los autovalores son de signo opuesto y el punto fijo es una silla. A su

vez cuando > 0, los autovalores son del mismo signo. Por lo tanto si > 0 ambos

son positivos y el punto es inestable. Mientras que si < 0, ambos son negativos y el punto es estable.

Analizamos el polinomio caracterstico de cada punto fijo, y usando la forma

generalizada de la ecuacin caracterstica para clasificar su estabilidad. Para cuando

(w0)2 = = 1, tenemos:

PUNTO FIJO (0, 0)

|0 1

02 3(0)2

|

1and .

Punto silla inestable

13

PUNTOS FIJOS (1, 0)

|0 1

02 3(1)2

| |0 1

02 3(1)2

|

2and

Se presentan los siguientes casos:

(i) 0

02

Ambos puntos fijos son estables, dado que 0 0and .

Caso (ii) 0

02

Son centros neutros estables.

Caso (iii) 0

02

Inestable

Caso (i) = +1 ( > 0 )

Figura 9. Espacio de las fases global. Orbitas y atractores.

NUCLINAS

Es parte integral de la teoria cualitativa para las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

En el campo de soluciones corresponde a la funcin que es solucin con pendiente

nula.

14

= 3

Figura 10. Puntos fijos y nuclina del Oscilador de Duffing. Ambos puntos fijos son estables.

RESUMEN DEL ANALISIS CUALITATIVO

La Tabla 2 contiene para el Oscilador de Duffing, la sintesis total de la teoria cualitativa

mediante la determinacin de las tcnicas y elementos de analisis.

Tabla 2. Sintesis del analisis cualitativo del Oscilador de Duffing.

Equilibrio Jacobiano Autovalores Dinmica

(0,0) J=0 11

1,2 =

2

2 + 4

2

Silla

(-1,0) J=0 12 1

1,2 =

1

2

(1 )2 8

2

Foco inestable

(0

15

2.9. HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING

Una perspectiva fsica de la mecnica del modelo, se describe de la siguiente manera:

20 + 3 cos() = 0

()

= 20

+ 3

() = 202

2+4

4

(, ) =202

2

+4

4+

2

En el Oscilador de Duffing:

Figura 11. Funcin Hamiltoniana del Oscilador de Duffing, y proyecciones de distintas curvas de nivel sobre el plano.

Cuando = 0 [5]. =

= 02 3

Diferenciando y reemplazando, se tiene:

= = 0

2 3 Multiplicando a ambos lados por .

0

2 + 3 = 0 O lo que es igual:

-5

0

5

-10

0

10

0

50

100

x

Trajectories traverse the energy surface

v

First In

teg

ral, E

(x,v

)

16

(1

22

02

22 +

44) = 0

De donde aparece una cantidad conservativa de energa H:

(, ) =1

22

02

22 +

44

Basados en lo anterior, se verifica que (, )

=

=

x= 0

2 + 3 =

As el Oscilador de Duffing es dado en el sistema Hamiltoniano, de la siguiente

forma:

=

; =

Solucionando para 2 tenemos:

2 = (

)2

= 2 + 022

24

(

) = 2 +0

22

24

De donde sigue:

= =

2 +02

22

4

De lo anterior se observa la complejidad de soluciones analticas del Oscilador, incluso

en su forma simplificada. La dificultad de obtener expresiones analticas para la

descripcin de la dinmica, llevo a Poincar a desarrollar la tcnica que a continuacin

se detalla, para enfocarse ms en las propiedades cualitativas de los sistemas, ms

que su descripcin determinista.

17

2.10. MAPA O SECCIN DE POINCAR

En los sistemas dinmicos no lineales el espacio de las fases, presenta una enorme

complejidad geomtrica de las trayectorias. Resulto de gran utilidad la idea de

Poincar al estudiar el sistema estratgicamente, mediante la reduccin de una

dimensin [4]. Poincar estudi los sistemas dinmicos registrando las huellas de los

flujos en un plano transversal al mismo. De modo que pasamos de una geometra de

las trayectorias en un espacio de las fases multidimensional; al estudio de la

interseccin con una seccin transversal bidimensional.

El mapa registra un punto que representa cuando una trayectoria completa cada ciclo

[3]. Un mapa de Poincar es la traza de todos estos "puntos" los cuales construyen

una imagen, en ocasiones catica acotada, que permite monitorizar los

comportamientos generales y de flujo del sistema.

Cuando la fuerza peridica (F) que acciona el sistema es grande, el movimiento puede

ser catico y en el diagrama del espacio de fases se desarrolla un atractor extrao.

La tcnica introducida denominada seccin de Poincar puede representarse

mediante la adopcin de un punto del espacio de fases en cada perodo de la fuerza

motriz, su comportamiento catico.

Figura 12. Orbitas en 3D y seccin de Poincar, emergencia de atractor extrao.

En los casos ms simples, cuando el sistema entra en un ciclo lmite, la seccin de

Poincar se reduce a un solo punto. En cambio un atractor extrao se asocia

For larger amplitudes P-n orbits are possible: press ENTER Projection of the P-10 onto the Poincare Plane

Press ENTER to see the motion on the trajectory

18

generalmente con una curva fractal.

Figura 13. Seccin de Poincar para el Oscilador de Dufffing.

La seccin de Poincar brinda informacin valiosa sobre la complejidad de la dinmica

del Oscilador de Duffing, vase la Figura 13, de donde se puede obtener:

1. Puntos Fijos y estabilidad.

2. Puntos atractores estables (2) de periodo 1.

3. Puntos inestables (4): de periodo 1.

4. Cuencas de atraccin asociadas al espacio de las fases y orbitas.

5. Fractalidad de las cuencas de atraccin.

6. Ubicacin en la frontera de las cuencas de los puntos inestable.

2.11. LINEALIZACIN OSCILADOR DE DUFFING

El modelo descrito por una ecuacin diferencial no autnoma con forzamiento peridico puede ser representado en trminos de una autnoma fluyendo en un toro, para lo cual se debe introducir una tercera variable =w*t.

Figura 14. Orbitas en toro. Fuente: Lynch S. 2014.

A su vez, las ecuaciones se pueden linealizar una dimensin ms, tomando z==w*t, hasta convertirse en 3 ecuaciones de primer orden, dado por:

= = + 0

2 3 + ()

19

= = Un forzamiento peridico en la ecuacin diferencial no-autnoma, es representada como un sistema autnomo girando sobre la superficie de un toro, con periodo 2/w.

2.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING

El caos es un comportamiento no peridico a largo plazo en un sistema determinista

que exhibe dependencia sensible de las condiciones iniciales [3]. Aunque no existe

una definicin de conjunto del caos, existen tres propiedades que deben existir en una

dinmica sistema con el fin de ser clasificado como catica:

1. Debe tener un comportamiento aperidico a largo plazo por lo que la solucin del

sistema se asienta en un patrn irregular como t. La solucin no se repite u

oscile de una manera peridica.

2. Es sensible a las condiciones iniciales. Esto significa que cualquier pequeo

cambio en la condicin inicial puede cambiar la trayectoria, lo que puede dar un

comportamiento significativamente diferente a largo plazo.

3. Debe ser " determinista ", que significa que el comportamiento irregular del sistema

es debido a la no linealidad del sistema, en lugar de fuerzas externas.

Efectuando el anlisis elaborado para el sistema Lorenz [4], encontramos las

siguientes propiedades:

HOMOGENEIDAD

Ausencia de trminos libres, por lo que x=0,y=0, z=0 = 0 es un punto fijo

singular, el cual adems no depende de los valores de los parmetros.

SIMTRICO

El Oscilador de Duffing se transforma y vara bajo la accin de condiciones

iniciales simtricas. (x,y,z)(-x,-y,z).

DISIPATIVO

El Oscilador de Duffing es compresible.

(, , ) =

+

+

= < 0

Div v

20

2.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV

Los exponentes de Lyapunov consisten en un mtodo de estudio de las propiedades

de estabilidad de los puntos de equilibrios, basados en el cmputo de una funcin la

cual mide el acercamiento o alejamiento de las rbitas hacia el equilibrio [6].

Figura 15. Divergencia de trayectorias de la solucin.

El exponente de Lyapunov como nmero proporciona una medida de su imposibilidad

de predecir, mediante la cuantificacin de distancias [7]; de all que un exponente

mayor que cero (0), indica que las partculas prximas se retiran; mientras que

menores que cero significan que se contraen o acercan, por lo que el atractor es un

punto fijo.

De otro lado, a un atractor peridico le corresponde un exponente de valor cero (0) y

los restantes negativos; mientras que del anlisis de un atractor extrao resulta un

exponente de Lyapunov positivo.

La estabilidad segn Lyapunov se corresponde al conocimiento intuitivo de los

sistemas estables, en donde se da una reaccin dbil o limitada a perturbaciones

pequeas [4]. Pero en los sistemas inestables acontece que una pequea

perturbacin desencadena enormes consecuencias en trminos de crecimiento

ilimitado o distanciamiento entre partculas con vecindad prxima.

Expresndolo en lenguaje matemtico analtico diramos que un punto z0 pertenece a

un entorno del punto x0 cuanto t=t0 , entonces para todo t>t0 la trayectoria que parte

del punto z0 se desva respecto de la trayectoria x(t) que parte del punto x0, en menos

de (dependiente de ).

|() ()| >

El anlisis de la estabilidad de un punto fijo de un sistema no lineal segn la tcnica

Lyapunov, se efecta mediante la estabilidad en aproximacin lineal, a travs de la

21

descomposicin del sistema en series de trminos lineales evaluadas en un entorno

elegido.

Para el Oscilador de Duffing la parte lineal, tiene una matriz de la forma:

1

1

1

2

2

2

3

3

3 =(0,0,0)

Donde:

=

= 1(, , ), = 2(, , ), = 3(, , ),

Para el Oscilador de Duffing J tiene la forma:

1 = = 2 = = + 0

2 3 + ()

3 = =

De donde se sigue que la matriz tiene la forma:

= (0 1 0

1 32 ()()0 0 0

)

En el entorno del punto fijo O=(0,0,0), los valores propios de la matriz.

det( ) = ( 1 01 ()()0 0

) = 0

De donde sigue:

()[( + )()] = 0

1 = 0, 2 = , 3 = 0

En suma, en el punto fijo O = (0,0,0), 1 = 0, 2

22

propia por las cuales las trayectorias salen del punto O, el que uno de los valores

propios sea cero implica la ubicacin en la frontera de estabilidad. Valores propios

negativos corresponde a las direcciones propias estables, mientras que los valores

positivos a las inestables [4].

El Oscilador de Duffing tiene dos (2) puntos fijos ms O1 (1,0,0), O2 (-1,0,0), adems

del punto fijo O(0,0,0), el cual es un punto silla con una variedad estable

unidimensional 2 y una separatrix inestables que tienden a los otros puntos de

equilibrio.

Los sistemas no lineales es la extrema sensibilidad de las soluciones a las condiciones

iniciales; al punto que la ms mnima perturbacin provoca la divergencia de las

trayectorias de manera exponencial [4].

2.14. BIFURCACIONES

Una bifurcacin representa un cambio cualitativo en la dinmica de un sistema cuando variamos un parmetro. De esta forma podemos observar las distintas dinmicas (peridicas, caticas, etc) [8]. Cuando variamos dicho parmetro. La Figura 16 es una representacin del diagrama de bifurcacin cuando se vara el valor del coeficiente de friccin.

La estabilidad estructural, es una garanta que el comportamiento cualitativo del

sistema no se modifica, sino tan solo en los valores exactos de los equilibrios [6].

Figura 16. Diagrama de Bifurcacin. Posicin v.s. coeficiente de friccin.

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Coeficiente de Friccin

So

luc

in

X

23

2.15. EL CONTROL DEL CAOS

No obstante la condicin catica puede resultar poco deseable para determinados

procesos, en los que de orquestarse la presencia de condiciones particulares en el

sistema, lo conducira a un tipo de movimiento catico, en ocasiones prcticamente

impredecible, incontrolable, que podra llegar a ser destructivo.

Las tcnicas del control del caos, se construye sobre la base de un conocimiento cada

vez mayor sobre la dinmica catica, que permita detectar el Caos de forma temprana

y oportuna, para seguidamente controlarlo o acotarlo.

El control del caos incluye procedimientos para:

1. Suprimir la dinmica catica cuando no es deseada

2. Proporciona conocimiento sobre cmo se produce el caos, as como sobre sus

fases previas antes de la aparicin.

3. Incluso funciona para hacerlo surgir cuando se considere til.

Los mtodos de non feedback como 2 tipos de excitaciones, relativas a fuerzas

externas y excitaciones paramtricas [1], es decir:

1. Se aplica una perturbacin armnica a alguno de los parmetros del sistema.

2. Fuerza adicional.

La primera alternativa ha sido explorada [1]; la presente investigacin opta por explorar

el control que se efecta mediante una fuerza externa peridica de baja amplitud pero

con una diferencia de fase entre el forzamiento peridico principal y la perturbacin

armnica de control.

Cuando se presenta un atractor catico el movimiento presenta una flexibilidad

inherente a su dinmica. Usando una pequea perturbacin en el parmetro es posible

crear una gran variedad de orbitas peridicas y elegir la deseada; por lo que solo basta

aplicar una pequea perturbacin dependiente del tiempo en un parmetro del sistema

accesible para producir el control [11].

24

3. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

3.1. IMPLEMENTACIN DEL MODELO

Para la ecuacin Duffing: = aceleracin. = Velocidad. = coeficiente de amortiguacin-friccin; es la frecuencia del forzamiento Peridico; 20= es la frecuencia natural del sistema o la parte lineal de la fuerza de restauracin;, corresponde a la componente no lineal de la fuerza de restauracin; y F es la amplitud

del forzamiento peridico. Bajo las siguientes condiciones: F = 0.258; 20= =1, =1, w = 1, =0.15, el sistema se torna catico.

Por razones de simulacin numrica, la ecuacin diferencial no lineal de segundo

orden, es expresada en 2 ecuaciones lineales equivalentes:

= = + 0

2 3 + () El cual se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales, no autnomo y forzado.

3.2. OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Suponiendo que no se aplica fuerza externa y no hay presencia de perdidas en el

medio, en tal caso el sistema es conservativo, por lo que muestra dos orbitas

homoclnicas, correspondiente a las dos (2) trayectorias de energa nula que se

ubican en el origen, por un lado en la variedad estable y por el otro en la variedad

inestable [9].

Figura 17. Sin prdidas por rozamiento [9]. E0 (color azul) energa por encima del mximo, las oscilaciones encierran ambos

puntos fijos.

25

Naturalmente, variando y en una situacin de especial anlisis, cuando la = 0, se denomina conservativa.

Figura 18. Espacio de las fases del sistema para diferentes condiciones sin

amortiguamiento. Fuente: Wolfram Demostration.

Las trayectorias restantes representan orbitas cerradas en armona con las

oscilaciones peridicas, las cuales pueden orbitar alrededor de un solo centro, para

aquellos eventos con energa E < 0 relativos a un poso de potencial o ambos centros,

si la energa E > 0; tal como se muestra en la Figuras 17-18.

3.3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS Una aproximacin un poco ms real del Oscilador se logra mediante la introduccin

de la componente disipativa de las perdidas por friccin debidas al rozamiento del

oscilador [9]. De donde se tiene que en toda rbita la energa decrecer

montonamente y las trayectorias terminarn en uno de los focos, los cuales son

atractores puntuales o nodos, si se presenta sobreamortiguamiento, asintticamente

estables, como se ilustra en la Figura 19.

Figura 19. Espacio de las Fases y solucin para = 0.2 y F=0.

26

El origen se conserva como punto silla inestable, pero las variedades estable e

inestable no coinciden. Bajo las condiciones descritas, las trayectorias que salen del

origen y se dirigen hacia uno de los atractores, cuando t-.

As mismo las dos (2) rbitas de la variedad estable que entran en el origen t, no

van a ninguno de los atractores, por lo que conforman la frontera entre las cuencas

de atraccin.

3.4. OSCILACIONES FORZADAS Las Figuras 20 - 21 muestran las variaciones de la potencia del espectro,

escalograma, y trayectoria de fase espacial con los cambios en el parmetro de

amplitud del forzamiento, con valores fijos de los otros parmetros. El espectro de

potencia y el escalograma exponen el contenido de frecuencia de la solucin.

Figura 20. Amplitud de forzamiento mayor. Espacio de las Fases 1-periodo y 2-periodo.

Bajo los efectos de la excitacin ser atrado por uno de los puntos de equilibrio se dificulta. No obstante debido a la naturaleza sinusoidal de la fuerza externa, las curvas solucin son rbitas tpicas de oscilaciones aisladas en concordancia con el periodo de la fuerza de excitacin, alrededor de cada punto de equilibrio.

3.5. OSCILACIONES CATICAS Seguidamente, aumentando la amplitud del forzamiento la dinmica del Sistema experimenta oscilaciones que no se detienen, las rbitas peridicas desaparecen, y parece no existir ningn patrn, como se observa en la Figura 21.

27

Figura 21. Sistema Catico.

Ms an, el sistema muestra una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales, la

cual es una propiedad de los sistemas en rgimen catico. ste aspecto se puede

demostrar al variar ligeramente las condiciones iniciales de una de las partculas,

de donde se sigue que toman trayectorias diferentes, tal como se grafic en la Figura

22.

Figura 22. Serie Temporal de las Soluciones. En verde condicin inicial (3,4), en rojo

condicin inicial (3.1,4.1).

La Figura 22 presenta dos (2) series temporales, las cuales difieren en una dcima

(0.1) en el par de valores iniciales, y sin embargo a pesar de encontrarse cercanas,

y de tratarse de ecuaciones continuas, las trayectorias experimentan un divorcio

radical, que indica que una ligera perturbacin en las condiciones iniciales,

desemboca en un distanciamiento cada vez mayor entre las rbitas vecinas, y

trayectorias, impredecibles, sin patrn determinado, que hace de las oscilaciones

seales caticas.

150 200 250 300 350-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SERIE TEMPORAL

Tiempo

So

luc

in

X

Condicion inicial=0 0

Condicion inicial=0.1 0.1

28

Figura 23. Figura. Espacio de las Fases.

En la Figura 23 se grafic el espacio de las fases. La tcnica confirma el estado catico

visible en las orbitas distantes, las cuales no coinciden para un tiempo de simulacin

amplio, donde se nota que las partculas tendran caminos y hasta destinos espaciales

muy diferentes, con tan solo variar un pequeo psilon en la continuidad de las

condiciones iniciales espaciales y de velocidad, se obtendra un delta enorme contrario

a lo establecido por la mecnica de los medios continuos.

Figura 24. Diagrama de Poincar. Atractor Extrao

Ms an, en la Figura 24 se presenta el atractor extrao del Oscilador. Los atractores

coincide para las 2 condiciones iniciales cercanas, pues ambos tienen sus sistemas

de parmetros en valores umbrales que producen caos.

Los errores de clculo se incrementan progresivamente y sin lmites. A medida que el

tiempo avanza, por lo que una mayor precisin en la indicacin de las condiciones

iniciales no es suficiente, ya que la tasa de error es exponencial, puesto que la

distancia entre las soluciones crece de la manera (et), para el cual , es el mximo

exponente de Lyapunov.

Es sabido que valores del exponente de Lyapunov positivos hace que el atractor sea

catico, tal es el comportamiento del Oscilador de Duffing el cual presenta no solo un

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ESPACIO DE LAS FASES

x

dx/d

t



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



29

atractor catico sino tambin extrao, el cual a simple vista no es posible de visualizar

en el sistema. No obstante, si observamos lo ilustrado en la Figura 25, y tomamos 16

secciones para periodos de tiempo = 0 + 2 , con n en la serie de los naturales (1,2,) aparece el atractor.

Figura 25. Secuencia de 16 tomas de secciones de Poincar del Oscilador de Duffing, dinmica del atractor extrao.

3.6. CUENCAS DE ATRACCIN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING

El atractor es un conjunto invariante que sufre la transformacin del panadero, la

cual consiste de acciones de estiramiento y pliegues sobre s mismo; lo cual produce

la estructura fractal de atractor y la divergencia exponencial entre soluciones con

condiciones iniciales muy prximas [9], tal como se ilustra en la Figura 26.

Figura 26. Cuenca Fractal en el atractor extrao del Oscilador de Duffing.

El doble proceso de estirar para separar exponencialmente las orbitas y plegar para

que el espacio de las fases se mantenga acotado es el mecanismo de la

transformacin del panadero, que de alguna manera alude al aspecto del proceso de

elaboracin del pan, en donde la masa es transformada de tan manera que, es

30

posible que partculas de harina cercanas terminen distantes, luego de ser

amasadas.

Por tratarse de un conjunto invariante, se forma por infinitas capas de espesor nulo,

pues el atractor tiene volumen cero (0), debido a su componente disipativa y la

perdida de volumen en el espacio de las fases [9].

Una tcnica complementaria del anlisis cualitativo consiste en representar en el

espacio de las fases en negro los estados con condiciones iniciales que terminan en

el atractor de la derecha, mientras que se dejan en blanco aquellas condiciones

iniciales, cuyos valores se ubican en la cuenca de atraccin del punto fijo de la

izquierda. En la Figura 27 se presenta una ilustracin de la tcnica.

Figura 27. Cuencas de atraccin

Las Figuras 26 y 27 permiten observar la complejidad del Oscilador de Duffing, para

niveles de forzamiento que conducen al Caos. Los puntos negros y los puntos

blancos parecen estar muy juntos y mezclados en las fronteras.

3.7. CONTROL DEL CAOS POR LA FASE

Seguidamente se introduce un trmino de control, para detener la dinmica catica,

tal como se muestra en la siguiente ecuacin:

+ 20 + 3 = cos() + cos(rwt + )

Las figuras 28 - 30 muestran, para 2 condiciones iniciales cercanas, las trayectorias,

el espacio de las fases y el plano de Poincar. La curva que representa la trayectoria

con traza de color rojo corresponde al modelo que se le ha incluido un parmetro de

control aditivo, obtenindose lo siguiente:

31

Figura 28. Serie temporal controlada

En la Figura 28 se observa (color rojo) que la trayectoria se encuentra absolutamente

acotada, por causa del parmetro de control aditivo que se incluy en el modelo

matemtico que describe la dinmica oscilatoria del sistema oscilador Duffing.

Figura 29. Espacio de las fases con control y sin l.

Al igual que en la Figura 29, la cual muestra en el espacio de las fases una rbita

peridica o cerrada alrededor de uno de los atractores, correspondiente a la

condicin controlada. Lo anterior contrasta en gran medida, con la rbita catica no

controlada (verde), la cual circula ampliamente con gran intensidad por muchos

puntos del plano que describe la dinmica potencial total, llegando casi a abarcar

grandes fracciones del plano.

Figura 30. Seccin de Poincar. Atractor extrao y orbita peridica.

150 200 250 300 350-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SERIE TEMPORAL

Tiempo

So

luc

in

X

Sin Control-C Ini=0 0

Controlado-C Ini=0 0

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

ve

loc

ida

d



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



32

El Plano de Poincar presentado en la Figura 30, constituye una garanta ms de la

eficiencia del control, pues tan solo 2 puntos aparecen representados en todo un

gran plano posible, representando entonces, lo (que se tipificara como un

movimiento peridico perpetuo.

El Oscilador de Duffing controlado tiene la forma:

1 = = 2 = = + 0

2 3 + () + cos( + )

3 = =

De donde se sigue que la matriz Jacobina controlada tiene la forma:

= (0 1 0

1 32 ()() ( + ) ()0 0 0

)

En el entorno del punto fijo O = (0,0,0), el determinante del Jacobiano es:

det() = (0 1 01 00 0 0

) = 0

4. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN NUMERICA

A continuacin se presentan en las Figuras 31 (a)-31(c), los resultados obtenidos para

diferentes simulaciones en las cuales se variaron los valores de los parmetros de

control (, ). Seguidamente realizamos simulaciones para diferentes valores de fase , conservando fijo el valor , situado a un cierto umbral mnimo que haga eficiente en trminos energticos la aplicacin del control.

El objetivo es obtener una rbita peridica estable partiendo de una catica, con tan

solo aplicar una leve perturbacin armnica.

33

Figura 31 (a). Espacio de las fases y Seccin de Poincar para 2 condiciones iniciales cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ngulo de desfase =0.

Figura 31 (b). Espacio de las fases y Seccin de Poincar para 2 condiciones iniciales

cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ngulo de desfase = pi/4.

Figura 31 (c). Espacio de las fases y Seccin de Poincar para 2 condiciones iniciales cercanas, una de las cuales se encuentra controlada con un ngulo de desfase = pi.

Tal como lo presentan las Figuras 31 (a) y 31(b) con tan solo un pequeo desfase

( =/4 - /2), se empieza a notar una ligera tendencia a controlar el caos, aunque

predominan las fuerzas caticas, pues el ngulo es an demasiado dbil para

inducir al control. En la Figura 31 (c) se hace ms significativa la accin del ngulo

en el termino del control para un valor de = . Para ste valor la dinmica del

sistema es peridica.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5ESPACIO DE LAS FASES

x

dx/d

t



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5SECCIN DE PONCAR

x

.



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ESPACIO DE LAS FASES

x

dx/d

t



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ESPACIO DE LAS FASES

x

dx/dt



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



34

4.1. EXPLORACIN NUMRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN EL

OSCILADOR DE DUFFING Se hizo evidente que la tcnica de control por la fase, resulta ser muy efectiva para

controlar la dinmica catica de los sistemas dinmicos. Igualmente se vio ostensiblemente la sensibilidad a la fase del control (),

constatndose que su valor ptimo es pi.

4.2. ANLISIS BIFURCACIONAL

La Figura 32 da muestra del espacio final de la partcula frente a la amplitud de la

oscilacin armnica que se aplica, all se observa la biestabilidad del sistema. Luego

de superar cierto umbral, la funcin da cuenta del comportamiento catico, seguido de

ventanas peridicas, intercaladas nuevamente por franjas caticas.

Figura 32. Diagrama de Bifurcacin del Oscilador de Duffing. Trayectorias v.s. Amplitud del forzamiento.

La Figura 32 fue obtenida a travs del anlisis numrico [10], brinda informacin sobre

la estratificacin espacial del Oscilador de Duffing, para el parmetro del forzamiento

externo, junto con los retratos de fase representativos de cada estrato.

4.2.1. DIAGRAMAS DE BIFURCACIN

La Figura 33 presenta el diagrama de bifurcacin modulando el parmetro del

forzamiento del modelo de oscilador Duffing con las siguientes condiciones en el

sistema de parmetros; y w02 = =1, =1, w=1, r=1, =0.15,=pi.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

r

Bifurcation Diagram of the Duffing System. Bistable Region.

35

Figura 33. Diagrama de Bifurcacin posicin (x) v.s. amplitud del forzamiento.

En la Figura 34 se construy un diagrama de Bifurcacin haciendo variar el parmetro

de amplitud de la excitacin de control (), y conservando fijo en su valor optimo el

angulo de desfase =pi. Naturalmente se observa que valores altos del control

conllevan a la estabilizacin de la dinmica del Oscilador hacia los atractores, aunque

valores superiores tambin contienen la posibilidad de dinmica catica. Mientras

que para valores de la excitacin de control () menores son por lo general

demasiado dbiles para inducir a una situacin de dinmica peridica, aunque

valores inferiores tambin incluyen la opcin de control.

Figura 34. Diagrama de Bifurcacin posicin v.s. amplitud del control.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

So

luc

in

Diagrama de Bifurcacin del sistema Duffing. Regiones:Estable-Bistable -Caotica.

36

Figura 35. Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control.

Los diagramas de bifurcacin obtenidos se muestran en Figura 35(a)-35(c), en las

cuales se hacen visibles diferentes tipos de atractores del sistema, cuando el

parmetro de bifurcacin es variado. Igualmente ensea que en la dinmica catica

para cierta configuracin del sistema, modulado por sus parmetros, coexisten

ambos regmenes de movimiento: catico y regular.

Figura 35 (a). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y

=0.005.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Phi

x

Diagrama de Bifurcacin del Duffing Controlado variando la fase del control aditivo

37

Figura 35 (b). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y

=0.003.

Figura 35 (c). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y =0.3.y

parmetro de modulacin r=2.

En las Figuras 35 (a)- 35 (c) se observa la mezcla de ngulos continuos que

conducen a estados caticos o estados peridicos. As mismo se hace patente el

hecho que una mayor amplitud en la excitacin armnica del control, no garantiza

necesariamente que el sistema se comporte peridicamente. De donde se sigue que

el control es una eleccin apropiada de ambos parmetros tanto el ngulo como la

amplitud del control , es decir la dupla (, ) se debe establecer de forma

sincronizada para hacer el control eficiente.

4.3. CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV

Se efectuaron cmputos de los exponentes de Lyapunov basados en cdigo Matlab;

para la condicin para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F = 0.258;

y w02= =1, =1,w=1, r=1, =0.15, se obtiene:

Rgimen Catico, pues el exponente de Lyapunov arrojo un valor de = 0.11, es

decir > 0.

38

Figura 31. Computo de los exponentes de Lyapunov Oscilador de Duffing forzado.

Exponente v.s. tiempo.

CONTROLADO

Para la condicin para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F=0.258;

y w02= =1, =1, =0.15, y =0.05 y =0, se obtiene:

Rgimen Catico el exponente de Lyapunov arrojo un valor de = 0.1854, es decir

>0.

Figura 32. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para = 0. Exponente v.s.

tiempo.

Lo anterior contrasta con la condicin para = pi , con los mismos valores de la

amplitud del forzamiento externo de F=0.258; w02= =1, =1, =0.15, y =0.05.

La dinmica es Peridica, de all que el exponente de Lyapunov sea = -0.0442, es

decir

39

Figura 33. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para = pi. Exponente v.s. tiempo.

Es as como se constat el efecto y la sensibilidad de los parmetros sobre la dinmica

del oscilador controlado. El valor del control usado en el escenario simulado fue

=0.05, el cual es lo bastante dbil como para producir 2 dinmicas diametralmente opuestas en el oscilador, como lo son la dinmica peridica y la catica, todo ello

debido a tan solo la modulacin del parmetro de fase en un valor de pi.

El efecto del parmetro de modulacin de la frecuencia (r) en el control no contribuy

a producir el control. De hecho se simularon escenarios con dinmica controlada, la

cual una vez se aumentaba el valor de r, se transforma la dinmica del Oscilador de

controlada a catica. (r=1 =-0.04, r=2 =0.15, r=3 =0.17).

Mientras que para el parmetro de la frecuencia (w) se observ un efecto positivo en

el control pues para la condicin en la cual = 0 y por lo tanto el Oscilador se situaba en una dinmica catica ( =0.18), ahora aumentando la frecuencia w =2 =-0.05 el

Oscilador cambia su dinmica hacia lo peridico, haciendo efectivo el control.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Dinamica de Exponentes de Lyapunov

Tiempo

Exponente

de L

yapunov

40

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El Oscilador de Duffing presenta una naturaleza no lineal que permite observar

el fenmeno de la complejidad y la emergencia del Caos, propio de la dinmica

no lineal, como sensibilidad a las condiciones iniciales, ciclos lmite, atractores

extraos y comportamiento catico.

Una aproximacin a la comprensin del Oscilado de Duffing es posible mediante

las tcnicas de la propia teora cualitativa de ecuaciones diferenciales, como

espacio de las fases, secciones de Poincar, clculo de exponentes de

Lyapunov y diagramas de bifurcacin.

Es posible implementar una aplicacin experimental electrnica del sistema

controlado, que permita garantizar la versatilidad y robustez de la tcnica.

A travs del control es posible anular o hacer aparecer la dinmica catica, al

igual que la peridica. Los diagramas de bifurcacin mostraron diferentes tipos

de atractores para el sistema cuando el parmetro de bifurcacin es variado.

En dinmica catica, para una configuracin determinada del sistema,

modulado a travs de sus parmetros, se observa que coexisten ambos

regmenes de movimiento: Catico y regular. Luego de superar cierto umbral,

el comportamiento es catico, seguido de ventanas peridicas, intercaladas

nuevamente por franjas caticas.

Naturalmente, una mayor amplitud en la excitacin armnica del control , no

garantiza necesariamente que el sistema se comporte peridicamente, o se

dirija hacia alguno de sus atractores. Por lo que el control es una eleccin

apropiada de ambos parmetros: tanto el ngulo (), como la amplitud del

control (), es decir de la dupla (, ). Adems se hizo evidente que el ngulo

ms eficiente de control es =.

41

El efecto del parmetro de modulacin de la frecuencia (r) en el control, no

result ser positivo para lograr el control, incluso produce el efecto contrario, es

decir, el Oscilador ingresa en dinmica catica.

El parmetro de la frecuencia (w), puede tener un efecto positivo en el control,

lo cual resulta interesante porque se encuentra tambin en la fuerza de

excitacin causante del Caos; pues las simulaciones mostraron que es posible

variar una condicin de dinmica catica ( >0) a peridica, aumentando la

frecuencia del oscilador, para as ingresar en dinmica controlada ( < 0).

42

6. ANEXO

CODIGO MATLAB CONTROL DE CAOS EN

EL OSCILADOR DE DUFFING -POR

ADICIN DE FASE PERTURBATIVA

Archivo duff.m [10] % Jefferson Martinez

% Universidad Rey Juan Carlos, Espaa

function y=duffing(t,x)

global delta beta alfa OMEG GAM

y(1)=-delta*x(1)+beta*x(2)-alfa*x(2)^3+GAM*cos(OMEG*t); y(2)=x(1);

y=y';

end

close all clear clc

global delta beta alfa GAM OMEG epsilon omega phi

delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; GAM=0.258; epsilon=0.3; omega=1; phi=pi; a=0; b=0;

[t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]);

figure(1) plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'g.')

43

hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'y') grid on title('SERIE TEMPORAL') xlabel('Tiempo') ylabel('Solucin X') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion

inicial=',num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off


figure(2) plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1),'y.')

title('ESPACIO DE LAS FASES') xlabel('x') ylabel('dx/dt') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion


[t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(3) for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'g.')

[t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); hold on for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'y.')

title('SECCIN DE PONCAR') xlabel('x') ylabel('.') legend(['Condicion inicial=',num2str([a b])],['Condicion


% Controlado

44


figure(4) plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1),'r.')

title('SERIE TEMPORAL') xlabel('Tiempo') ylabel('Solucin X') legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C

Ini=',num2str([a b])]); hold off [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]);

figure(5) plot(x(5000:10000,2),x(5000:10000,1),'g.') hold on [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]); plot(x(5000:10000,2),x(5000:10000,1),'r.')

title('SECCIN DE PONCAR') xlabel('x') ylabel('.') legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C

Ini=',num2str([a b])]); hold off

[t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(6) for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'g.')

[t x]=ode45(@duffingcontrol,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); hold on for i=5000:100:127300 n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:),'r.')

title('SECCIN DE PONCAR') xlabel('x') ylabel('.')

45

legend(['Sin Control-C Ini=',num2str([a b])],['Controlado-C

Ini=',num2str([a b])]); hold off

global delta beta alfa OMEG epsilon omega phi GAM

delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; omega=1; phi=pi; GAM=0.258; a=1; %Condicin inicial. b=0;

for k=1:1000,

hold on

epsilon=k*0.001;

[t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG:400,[a b]);

plot(epsilon,x(end-50:end),'r.-','MarkerSize',2),

end

hold off axis([0 1 -2 2]) xlabel('\Epsilon') ylabel('x') title('Diagrama de Bifurcacin del Duffing Controlado')

close all clear clc

global delta beta alfa GAM OMEG epsilon w phi

delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; GAM=0.258; epsilon=0.1; w=1; a=1; b=0;

46

for k=1:1000, hold on phi=k*2*pi/1000; [t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG:1000,[a b]); plot(phi,x(end-50:end),'r.-','MarkerSize',2), end hold off axis([0 2*pi -2 2]) xlabel('Phi') ylabel('x') title('Diagrama de Bifurcacin del Duffing Controlado variando la fase del

control aditivo')

delta = 0.15; alfa = 1; beta = 1; Gam=0.258; w=1; x=X(1); y=X(2); z=X(3);

Y= [X(4), X(7), X(10); X(5), X(8), X(11); X(6), X(9), X(12)];

f=zeros(9,1);

f(1)=y; f(2)=-delta*y+alfa*x-beta*x^3-Gam*cos(z); f(3)=w;

Jac=[0, 1, 0; 1-3*x^2, -delta, 0; 0, 0, 0];

f(4:12)=Jac*Y;

-------------------------

[T,Res]=lyapunov(3,@duffing_ext,@ode45,0,0.5,200,[0 0 0],10); plot(T,Res); title('Dinamica del Exponente de Liapunov'); xlabel('Time'); ylabel('Lyapunov exponents');

47

7. BIBLIOGRAFIA

[1] Samuel Zambrano, Stefano Brugioni, Enrico Allaria, Inmaculada Leyva, Riccardo Meucci, Miguel A. F. Sanjun, and Fortunato Tito Arecchi. Numerical and Experimental Exploration of Phase Control of Chaos. Chaos, 16:013111, 2006.

[2] Zhang, W.B. (2005). Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics. World Scientific Publishing: Hackensack, NJ.

[3] Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books Publishing: Cambridge, MA.

[4] Lu. A. Danlov; 2006. Lecciones de dinmica no lineal: una introduccin elemental. Editorial URSS, Mosc.

[5] Wiggins, S. "Application to the Dynamics of the Damped, Forced Duffing Oscillator." 1.2E in Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer-Verlag, pp. 5-6, 10, 23, 26-32, 44-45, 50-51, and 153-175, 1990.

[6] Prez C.F,Vzquez F.J,Vegas J.M; 2003. Sistemas Dinmicos-Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Thomson. Madrid.

[7] J.Gleick; 1994. Caos: la creacin de una ciencia, Seix-Barral, Barcelona.

[8] Jess M. Seoane, Samuel Zambrano, Stefano Euzzor, R. Meucci, F.T. Arecchi, and Miguel A. F. Sanjun. Avoiding escapes in open dynamical systems using phase control. Phys. Rev. E, 78:016205, 2008.

[9] J.M.Aguirregabiria; 2000. Introduccin al Caos determinista.Universidad del Pas Vasco.

[10] Lynch S; Dynamical Systems with Applications using MATLAB 2 nd Ed., Birkhuser, Boston (2014). In press.

[11] Edward Ott, Celso Grebogi, and James A. Yorke.Phys.Lett. 64,1196 (1990).

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