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7/26/2019 Analisis de Estructuras de Sección Variable Por El Método de Flexibilidades1sesiónDAVID ORTIZ SOTOCivilGeeks.com

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE

MÉXICOTECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES

DE JILOTEPEC

Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por el

Método de Flexibilidades (Primera sesión)

PONENTE: M. EN I. DAVID ORTIZ SOTO

EVENTO: “CICLO DE CONFERENCIAS Y CURSOS DEINGENIERÍA CIVIL”

Sede: Jilotepec, de Molina Enriquez, Estado de México19-04-2016



ACERCA DEL PONENTE

M. en I. David Ortiz Soto

Ingeniero Civil egresado de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), FES Aragón conMaestría en Ingeniería Civil, área de estructuras, efectuada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN),ESIA UZ, donde fue representante de la comunidad estudiantil de posgrado. Actualmente seencuentra efectuando el protocolo del doctorado en la Facultad de Ingeniería, UNAM.

Docente a nivel licenciatura de la carrera de Ingeniería Civil en la ESIA UZ IPN y en el TecnológicoNacional de México, ITI III, en las que imparte diversas asignaturas tales como Estática, EstructurasIsostáticas, Mecánica de Materiales, Fundamentos de la Mecánica de Medio Continuo, AnálisisEstructural, Análisis Estructural Avanzado y Dinámica Estructural. Catedrático de la UniversidadDeLaSalle Bajío a nivel posgrado, donde dicta el curso de Ingeniería de Cimentaciones en laMaestría en Estructuras.

Ha participado en calidad de ponente de conferencias, cursos y talleres en diversos Congresos,Simposios y Ciclos de conferencias nacionales e internacionales, en universidades como ITS Lagosde Moreno (Jalisco), UJED (Durango), ITI III y ESIA UZ IPN (Cd. de México), TESJI (Estado deMéxico), UJCM y UPT (Perú), y UTO y UPEA (Bolivia), entre otras.

Ha publicado los libros:”Estructuras Isostáticas en 2D: Problemas Resueltos”, “Resolución de Armaduras en 2D con el Método Matricial de la Rigidez”, “Análisis de Estructuras: ProblemasResueltos”, y “Fuerzas de Fijación y Momentos de Empotramiento en Vigas”, este último en coautoríacon escritores de Perú y Bolivia.

Ha presentado sus obras literarias en el programa “Profesionistas por el progreso” de la televisora

ASTL.TV del Consejo Nacional de Egresados Politécnicos, así como en el programa “Ingenio civil” de Nuestra Voz Radio: La voz del pueblo organizado.Forma parte del equipo de editores de la web de Ingeniería civil más destacada de América Latina,civilgeeks.com.



DEDICATORIAS

Dedico el presente curso de manera especial a la comunidad del Instituto Politécnico Nacional que

ha manifestado su inconformidad en contra de la circular número 01/03/16 a través de distintas

formas como lo han sido marchas, asambleas, mítines, difusión de información mediante de redes

sociales y demás, pues dicho acuerdo representa un golpe fuerte a la Institución y a la educación

pública. Agradecemos a los integrantes de diversas universidades (UNAM, UAM y muchas más) y

al pueblo en general que se han solidarizado con el movimiento estudiantil citado.

Ha sido muy triste y conmovedor ver los daños causados por un sismo de 7.8 grados en Ecuador,

un país al que estimo bastante, en donde tengo muchas amistades y al que he sido invitado para

este año como ponente por parte de David Rosado, representante de la Universidad Politécnica

Salesiana. Desde México mi más sentido pésame a todos los hermanos del Ecuador que

lamentablemente perdieron familiares o amigos; deseo una pronta recuperación a todos los heridos.

Un abrazo reconfortante para el pueblo ecuatoriano, no están solos, somos muchos los países que

nos solidarizamos ante esta tragedia.

Agradezco al ingeniero Francisco Javier (docente) y al ingeniero Emiliano Vega Becerril (Director

académico) por la cordial invitación que me extendieron para impartir el presente curso dentro de las

instalaciones del Tecnólogo de Estudios Superiores de Jilotepec.

A los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil por su cálido recibimiento.

A mis padres Clara y Antonio, a mis hermanos Carlos y Antonio, a mi familia en general, a mis

amigos y a toda la gente de México y del extranjero que siempre me apoya y alienta a seguir

adelante.

A los lectores, esperando sea de su agrado y gran utilidad está información.

“La clave está en ver a tus alumnos como el futuro para el gran

cambio que requerimos y no com o tu competencia”

By : M. en I. David Or tiz Soto

https://www.facebook.com/david.rosadito

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Curso: Análisis de Estructuras de Sección Variable por el Método de Flexibilidades Ponente: M. en I. David Ortiz Soto

1

Ejercicio 1 Calcular las reacciones de la viga estáticamente indeterminada de tres apoyos que se

ilustra en la figura 1-a usando el método de las fuerzas. La sección transversal de la viga es

rectangular y tiene 1.5 pies de ancho; su altura varía linealmente a cada lado del apoyo intermedio.

Considere que

=3000/.

SOLUCIÓN

Datos

La viga de la figura 1-a es especial por ser de sección variable. En cuanto a las unidades, se ha

preferido usar y , así que para manejar una congruencia de ellas, tenemos que el módulo deelasticidad para toda la viga es

=3000 12 =432000

Debido a que en los tramos − y − la sección transversal posee un peralte constante, la

inercia tiene un valor fijo de

= ℎ12 = 1.5212 =1

Por otra parte, para los tramos

− y

− en los que la altura de la sección transversal no es

constante, la inercia ya no será un valor fijo. Esta parte se tratará más adelante.

Verificación del grado de indeterminación y elección de las reacciones redundantes

Obsérvese que la viga real no soporta cargas en la dirección por lo que directamente se infiere

que la fuerza reactiva horizontal del soporte en es nula.

+ ⟶ = 0 ⟹ = 0

1.5/

2´

3´

15´

10´

10´

15´

= 0

Figura 1

: Estructura real

(a)




2

Como sólo quedan dos ecuaciones de equilibrio (∑ = 0 y ∑ = 0) y tenemos aún tres incógnitas

de reacción , , la estructura tiene un grado de hiperestaticidad de uno, por lo que existe

una fuerza redundante (fuerza en exceso, o que es sobrante o superabundante de las necesarias

para poder aplicar inicialmente las ecuaciones de equilibrio) así que debemos elegir a una de las tres

reacciones previas, cualquiera de ellas, como redundante precisamente; se opta porque sea la

carga correctiva.

Principio de superposición

Se formula una estructura primaria, liberándola (eliminando la redundante) de tal modo que resulte

isostática y estable, la cual debe soportar las cargas originales. Para ello, en este caso en específico

se suprime el apoyo móvil con la finalidad de eliminar la capacidad de la viga para soportar la

redundante . Usando el principio de superposición, figura 1-b, la viga real es igual a la suma

de la viga liberada sometida a: a) la carga real, y b) a la acción individual de la fuerza redundante,.

1.5/

2´ 3´

15´ 10´

10´

15´

=18.75 =18.75

=

= 251.5/ =37.5

=12.5´

2´

3´

15´ 10´

10´

15´

: Estructura liberada con fuerza redundante aplicada

=

: Estructura primaria ⟹ :

Estructura real

=

+

(b)




3

Planteamiento de la ecuación de compatibilidad geométrica

Como el grado de indeterminación es de uno, en vez de un sistema de ecuaciones se plantea una

sola ecuación de flexibilidad. La ecuación de compatibilidad para el desplazamiento vertical de ,

requiere de

= + 1 − 1

Puesto que el rodillo en de la viga real restringe (no permite) la deflexión en ese punto, es

nulo. En tanto, como ya es un nodo libre en la viga primaria, el desplazamiento vertical ahí tiene

un valor por ahora desconocido igual a una determinada cantidad de = y dado que en la

viga el desplazamiento vertical en el punto es equivalente a una cierta cantidad = , la ecuación 1 − 1 puede escribirse en términos de la incógnita del siguiente

modo:

0 = + 1 − 2

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga vertical en el extremo libre en lugar de

someterla a la fuerza , figura 1-c, puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento

vertical en tal punto, debido a que = .

Hasta este momento se ha deducido la ecuación de flexibilidad para una viga en particular cuyo

grado de indeterminación estática es de uno, no obstante, el planteamiento puede extenderse para

un sistema con grados de hiperestaticidad; siendo así, el sistema simultáneo de ecuaciones

quedaría expresado como:

2´ 3´

15´ 10´

10´

15´

= 1 = 2

1

=

: Estructura liberada con fuerza vertical unitaria aplicada en

⟹

(c)




4

= + + + + ⋯ + + ⋯ +

= + + + + ⋯ + + ⋯ +

= + + + + ⋯ + + ⋯ +

= + + + + ⋯ + + ⋯ + = + + + + ⋯ + + ⋯ +

donde:

= i-ésima fuerza redundante.

= n-ésima fuerza redundante.

= Desplazamiento lineal o angular de la viga original en el punto de aplicación y dirección de la

fuerza redundante .

= Desplazamiento lineal o angular que ocurre en el punto en el que se aplica la fuerza redundante en la dirección de esta, ocasionado por la acción de las cargas reales en la estructura liberada.

Puesto que este desplazamiento que se presenta en la viga primaria no se produce en la viga real,

se le suele llamar incompatibilidad geométrica.

= Coeficiente de flexibilidad que se define como la deformación producida en , por la acción

individual de una unidad de la fuerza redundante sobre la estructura liberada en . Al representar las ecuaciones 1 − 3 de forma matricial, se tiene

(

⋮⋮) =

(

⋮⋮) +

(

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ) (

⋮⋮) 1 − 4

En una viga con un grado de indeterminación hiperestática de dos, se tiene

= + 1 − 5

Para una viga estáticamente indeterminada de tercer grado, tenemos

=

+

1 − 6

En consecuencia, la ecuación matricial generalizada es

= + 1 − 7

1 − 3




5

donde:

= Vector columna que representa los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas

redundantes en la dirección de estas, en la viga primaria.

= Vector columna que designa las incompatibilidades geométricas.

= Matriz de coeficientes de flexibilidad.

= Vector columna que define las fuerzas redundantes.

En una viga en la que se seleccionen como fuerzas redundantes a reacciones de apoyos que no

presentan asentamiento alguno y/o en la que estos no están modelados como resorte helicoidal o

torsional, el vector de las incompatibilidades geométricas es nulo. Por lo tanto,

0 = + 1 − 8

Cálculo de la incompatibilidad geométrica y del coeficiente de flexibilidad

En consecuencia, para poder resolver la ecuación 1 − 2 , en las vigas y es necesario

determinar el valor del desplazamiento vertical en ya que (fuerza reactiva vertical en el rodillo

del punto ) fue suprimida. El orden con el que se calcularán las deflexiones empleando el método

del trabajo virtual considerando sólo las deformaciones debidas a la flexión se proporciona

enseguida.

= = ∫

1 − 9

= = ∫ 1 − 1 0

donde:

= Funciones de momento flexionante de la viga primaria.

= Momentos internos de la viga liberada que soporta a la fuerza redundante unitaria.

= Rigidez a la flexión en la que es el módulo de elasticidad del material e es el momento de

inercia de la sección transversal de la viga calculado respecto del eje neutro.

Se analiza la viga .

Con fines del equilibrio estático del cuerpo libre, la fuerza distribuida se reemplaza por una fuerza

resultante igual al área bajo la curva aplicada en el centroide de área . Recuérdese que para una

carga rectangular, = ∗ , donde la base viene dada por la longitud sobre la cual actúa la




6

solicitación y la altura está definida por la intensidad uniforme de la carga, mientras que se

localiza a la mitad de .

Al aplicar las ecuaciones de la Estática, las reacciones en los apoyos resultan ser

+ = 0 ⇒ 3 7 . 512.5 − 25 = 0 ⇒ ∴ =18.75

+ ↑ = 0 ⇒ − 3 7 . 5 + 1 8 . 7 5 = 0 ⟹ ∴ =18.75

Los momentos internos se deducen a continuación.

Las funciones de momento son discontinuas en debido a que en ese punto la carga uniforme

distribuida presenta una discontinuidad, además de que ahí actúa la carga puntual . Sin embargo,

por los cambio de geometría presentados en los puntos y , pueden distinguirse cuatro regiones

distintas; en este caso, cada región ha sido cubierta por una coordenada

diferente; en

consecuencia, la viga debe seccionarse perpendicularmente a su eje longitudinal en cuatroocasiones, una por cada segmento.

Se han especificado las coordenadas por separado y sus orígenes asociados, figura 1-b.

Obsérvese que toma en cuenta le energía de deformación dentro del segmento − , tiene su

origen en y es positiva hacia la derecha; por su cuenta, que es válida dentro de la región desde hasta , cuyo origen es , es positiva también hacia la derecha. Con ello ha quedado comprendida

la región correspondiente a la mitad izquierda de la estructura.

Para abarcar la parte restante, se tiene que va de a , su origen está definido en y es positiva

hacia la izquierda, mientras que cubre el tramo − , su origen se asocia en y es positiva de

igual forma hacia la izquierda.

Al aplicar el método de secciones en la estructura primaria, figuras 1-d hasta 1-g, se tiene

0 ≤ ≤15´

+ = 0

− +18.75 −1.5 2 = 0

=18.75 −0.75

1.5/

=18.75

/2

1.5

2´ (d)




7

Para los segmentos de viga con longitud y 1 5 ´ + , figuras 1-d y 1-e, la fuerza concentrada

equivalente de la carga distribuida y su punto de aplicación se determinan como siempre.

0 ≤ ≤10´ + = 0

− +18.75 + 15 −1.51 5 + 1 5 + 2 = 0

=−0.75 −3.75 +112.5

0 ≤ ≤15´

+ = 0

= 0

0 ≤ ≤10´

+ = 0

= 0

(e)

2´

2´

3´ 15´

(f)

(g)

1.5/

3´

15´

=18.75

1.51 5 +

1 5 + /2

2´




8

Se analiza viga la .

Con base en las ecuaciones de equilibrio, tenemos

+ = 0 ⟹ 150 − 25 = 0 ⟹ ∴ = 2

+ ↑ = 0 ⇒ − + 2 − 1 = 0 ⟹ ∴ = 1

Para calcular los momentos internos , es forzoso utilizar las mismas coordenadas que se

emplearon para . Al aplicar el método de secciones, figuras 1-h hasta 1-k, se obtiene

0 ≤ ≤15´

+ = 0

− − 1 = 0

= −

0 ≤ ≤10´

+ = 0 ⇒ − − 1 + 15 = 0 ⇒ = − 1 5 −

(h)

(i)

= 1

2´

3´

15´

= 1

2´




9

0 ≤ ≤15´

+ = 0

+ 1 = 0 ⇒ = −

0 ≤ ≤10´

+ = 0

+ 1 + 15 = 0 ⇒ = − 1 5 −

Enseguida se calcula el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje neutro paracada segmento de la viga. Como se determinó al inicio, para las regiones − y − la propiedad

geométrica tiene un valor constante de = 1

En la figura 1-l se deduce la ecuación en función de con la que la altura ℎ de la viga varía

linealmente en la región − , por consiguiente, la inercia también quedará expresada como una

función de .

(j)

(k)

2´

1

2´ 3´

15´

1




10

10´3´ = ⇒ = 310

ℎ = 2 ´ + = 310 + 2

= ℎ12 = 1.5 310 + 212 = 18 310 + 2

De forma análoga a la región − , la inercia en función de del perfil rectangular para la región − es

= ℎ12 = 1.5 310 + 212 = 18 310 + 2

A continuación se determinan la incompatibilidad geométrica y el coeficiente de flexibilidad . Al

realizar las sustituciones correspondientes en las ecuaciones 1 − 9 y 1 − 1 0, resulta

= ∫ 18.75 −0.75−

4320001

+ ∫ −0.75−3.75 +112.5− 1 5 −

432000 [18 310 + 2

]

+ ∫ 0−4320001 + ∫ 0− 1 5 −

432000 [18 310 + 2]

=−0.0268555−0.010127+0+0=−0.036983

= ∫ −4320001 + ∫ − 1 5 −

432000 [18

310 + 2

]

+ ∫ −4320001 + ∫ − 1 5 −

432000 [18 310 + 2]

= 0.002604 + 0.002107 + 0.02604 + 0.002107 = 0.009423

10´

3´ ℎ

2´

(l)




11

Cálculo de la reacción redundante

Al reemplazar los resultados precedentes en la ecuación 1 − 2, obtenemos

−0.036983+0.009423 = 0 − − − 1 − 1 1

Despejando a la incógnita de la ecuación lineal

1 − 1 1, da

= 0.0369830.009423 =3.92471⇒∴ =3.92471La magnitud positiva obtenida para indicó que tal redundante tiene el mismo sentido que el

propuesto para su correspondiente carga unitaria. En caso de un resultado negativo, ello

simplemente sería indicativo de que la fuerza actúa en sentido opuesto al observado en la figura

1-c.

Ecuaciones de equilibrio

Como la reacción sobrante ya ha sido calculada, los valores de las reacciones faltantes pueden

deducirse aplicando las ecuaciones de equilibrio a la viga real, figura 1-m.

+ = 0 ⇒ 1.525 252 − 25 +3.9247150 = 0 ⇒ ∴ =26.59942

+ ↑ = 0 ⇒ − 1.525 +26.59942−3.92471=0⇒ =14.82529

Cabe mencionar que todos los métodos que se aplican a las estructuras isostáticas para determinar

los diagramas de las acciones internas (fuerzas cortante y normal, y momento flexionante), los

esfuerzos o las deformaciones, se pueden emplear en las estructuras hiperestáticas.

1.5/

2´

3´

15´ 10´

10´

15´

= 251.5/ =37.5

=12.5´ =14.82529

=26.59942

=3.92471

(n)

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