Análisis de datos inferencial paramétrico y no paramétrico en Ciencias Sociales

ANÁLISIS DE DATOS INFERENCIAL PARAMÉTRICO Y NO PARAMÉTRICO Autor: Fernando Martínez Abad ([email protected]), Universidad de Salamanca.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS INFERENCIAL DE DATOS EN CCSS ...................................................... 2

FUNDAMENTOS DE LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS .................................................................. 5

DISTRIBUCIONES TEÓRICAS: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ................................................................... 5

LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL y DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA .......................................... 9

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS y CONTRASTE DE HIPÓTESIS ........................................................ 15

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ......................................................................................................... 15

CONTRASTE DE HIPÓTESIS ................................................................................................................ 21

CONTRASTES DE HIPÓTESIS CON SOFTWARE INFORMÁTICO (SPSS) ................................................ 30

COMPROBACIÓN DEL SUPUESTO DE NORMALIDAD ..................................................................... 32

1. EXPLORACIÓN INICIAL GRÁFICA .................................................................................................... 32

2. ESTUDIO DE LOS ÍNDICES DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS .................................................................. 34

3. CONTRASTE DE HIPÓTESIS ACERCA DE LA NORMALIDAD DE LA VARIABLE .................................. 34

DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES .............................................................................................. 36

1. EXPLORACIÓN DESCRIPTIVA INICIAL ............................................................................................. 36

2. SUPUESTOS PREVIOS ..................................................................................................................... 37

3. CONTRASTE PARAMÉTRICO: PRUEBA DE T PARA GRUPOS O MUESTRAS INDEPENDIENTES ....... 38

4. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: PRUEBA DE LA U DE MANN-WHITNEY ...................................... 40

4.1 Una variable de agrupación y otra cuantitativa ....................................................................................................... 40

4.2 Una variable de agrupación y otra ordinal ............................................................................................................... 42

DOS MUESTRAS RELACIONADAS ................................................................................................. 45



3. CONTRASTE PARAMÉTRICO: PRUEBA DE T PARA GRUPOS O MUESTRAS RELACIONADAS .......... 46

4. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: TEST O PRUEBA DE WILCOXON ................................................. 48

K MUESTRAS INDEPENDIENTES ................................................................................................... 50



3. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS ................................................... 52

4. CONTRASTE PARAMÉTRICO: ANOVA DE 1 FACTOR ...................................................................... 55

5. EXPLICACIÓN TEÓRICA: ANOVA DE 1 FACTOR .............................................................................. 58

mailto:[email protected]

Análisis de datos inferencial paramétrico y no paramétrico en Ciencias Sociales Fernando Martínez Abad

2

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS INFERENCIAL DE DATOS EN CCSS

Tal y como hemos estudiado el curso pasado (paradigmas de la investigación educativa, T1

‘Metodología de Investigación’), cuando se lleva a cabo un proceso de investigación empírica en el

ámbito de las Ciencias de la Educación desde la perspectiva del paradigma positivista o cuantitativo,

se posee el objetivo primordial de extraer, a partir de los datos obtenidos en la muestra (n) recogida,

conclusiones que sean generalizables a toda la población (N) de la que proviene dicha muestra.

Dicho de manera más formal, podemos definir la inferencia estadística como el “conjunto de

técnicas para llegar a inducciones (o inferencias) acerca de una población completa basándose en

datos de una muestra integrante de la misma” (Welkowitz, Ewen & Cohen, 1981, p.106).

Ocurre, como ya vimos, que para que fuera posible extraer estas generalizaciones las características

de la muestra obtenida debían ser similares a las de la población, es decir, la muestra debía de ser

representativa. Si esto no fuera así, la muestra podría estar sesgada, y nos encontraríamos con

muchas posibilidades de que los resultados obtenidos distasen mucho de los parámetros reales en

los que se mueve la población. En este caso, el estudio resulta erróneo y queda invalidado

simplemente por esta falta de representatividad de la muestra elegida.

Figura 1. Población y muestra

Cabe recordar también, que para obtener una muestra representativa se consideraba como lo más

importante que las características socio-demográficas de interés en la muestra (distribución por sexo,

edad, curso, provincia, nivel socio-económico, localidad rural-urbana, estado civil, etc.) debían estar

repartidas de manera similar a las características de la población, y que para conseguir esto existían

diversas técnicas de muestreo probabilísticas (aleatoria simple y sistemática, estratificada y por

conglomerados) y no probabilísticas (accidental, intencional y por cuotas).

Podríamos preguntarnos en este punto que, dado que se puede cometer un sesgo (error) importante

al seleccionar una muestra inapropiada, por qué no trabajar directamente con la población completa

para evitarlo, asegurando de este modo la representatividad y posibilidad de generalización de los

POBLACIÓN N

n

MUESTRA


3

resultados obtenidos. Realmente, una situación en la que se trabaja con la población completa es la

ideal en el marco de la investigación cuantitativa en Ciencias Sociales. No obstante, en contadas

ocasiones se puede trabajar en la práctica de la Investigación Educativa con una población completa,

por diversos factores:

En muchas ocasiones, el tamaño de la población es infinito, es decir ni siquiera está

claramente definido el alcance de la población, ni se tiene un listado completo de todos los

sujetos que la componen, por lo que el acceso a todos ellos es una labor imposible. Si, por

ejemplo, queremos realizar un estudio a partir de la población de educadores en Castilla y

León, independientemente de si se trata de educadores en el ámbito formal, no formal o

informal, o en cualquier nivel educativo, nos va a ser muy difícil delimitar el tamaño y

características de la población de referencia. En este ejemplo, el acceso a la población

completa será imposible, ya que no es posible conocer con exactitud (sí de manera

aproximada) la distribución completa de la población. Por tanto, será imposible disponer de

un listado completo con todas las personas que desarrollan su labor profesional en el ámbito

de la educación en Castilla y León y, en última instancia, acceder a ellas.

Existen otras ocasiones en las que, a pesar de que sí es viable obtener un listado íntegro

acerca de todos los sujetos y/o grupos que componen la población, no es recomendable o

posible acceder a la población completa por varios motivos. Estos motivos pueden estar

relacionados con varias cuestiones:

o Los recursos (económicos, humanos y/o materiales) de los que dispone el grupo que

está implementando la investigación son demasiado limitados como para poder

establecer un contacto con todos los miembros de la población.

o El tamaño de la población es tan elevado y/o parte de la población de tan difícil

acceso que el tiempo y esfuerzo necesarios para obtener información de todos los

sujetos no lo posibilita (por la planificación temporal o cronograma, por falta de

recursos, por rápida obsolescencia de los temas tratados, etc.).

Se desean estudiar las competencias digitales del profesorado de educación básica

(Educación Infantil, Primaria y Secundaria) de centros educativos de Castilla y León. La

Consejería de Educación tiene un registro de todo el profesorado, por lo que podemos

obtener un listado completo del mismo. No obstante, tanto el tamaño de la población como

la extensión de la propia comunidad autónoma y las posibilidades de acceso a profesores

dificultan poder realizar la prueba de competencias digitales a todos los profesores:

Conforme al cronograma disponemos de 2 meses para el trabajo de campo, 2 investigadores

que disponibles para desplazarse a las localidades de cada profesor y 3000€ para gastos de

dietas y desplazamiento. Así, dadas las limitaciones, se estima necesario llevar a cabo un

muestreo a partir de ese listado completo de profesores.

Dicho esto, queda clara la importancia capital de establecer técnicas de muestreo apropiadas y lo

que es más importante, una vez obtenida la muestra representativa, implementar técnicas

estadísticas concretas para obtener información precisa acerca de la población de referencia a partir


4

de la información muestral disponible en el estudio. A este conjunto de técnicas, que tratan de

ofrecer la información poblacional con la mayor precisión a partir de la información aportada por la

muestra obtenida, se les denomina como técnicas inferenciales, o estadística inferencial. Todo el

procedimiento de la estadística inferencial, al menos a nivel conceptual, se puede resumir en el

gráfico mostrado a continuación.

Figura 2. Procedimiento de la estadística inferencial

Resulta que, dadas las cuestiones anteriormente señaladas, en las investigaciones cuantitativas

desarrolladas en el ámbito de las Ciencias de la Educación se emplea de manera generalizada

información de muestras de sujetos procedentes de una población para tratar de establecer

conclusiones o generalizaciones acerca de la población completa.

Desde un punto de vista formal, cabe destacar que todos los índices que se pueden calcular a partir

de una muestra (media, desviación típica, mediana, varianza, asimetría, curtosis, coeficiente de

correlación, etc.) se denominan estadísticos. Estos estadísticos simplemente aportan una

información acerca de los sujetos disponibles en nuestra muestra, nunca sobre la población

completa. Por eso surgen las técnicas de estadística inferencial, que se emplean para estimar los

parámetros poblacionales de los que provienen esos estadísticos muestrales.

Así, partiendo de los datos de una muestra que se supone que es representativa de la población,

podemos estimar, con unos supuestos previos y unos niveles de error previamente asumidos, que

el valor poblacional (parámetro) de un estadístico obtenido en la muestra se encuentra en un

intervalo o rango de puntuaciones. Por ejemplo, si he evaluado el nivel de competencia lingüística en

lengua inglesa de una muestra representativa de profesores de Educación Primaria de Castilla y León,

conocida la puntuación media ( ) en esta variable (estadístico), puedo aplicar las técnicas

inferenciales para estimar entre qué valores se encontrará la competencia lingüística media () en

toda la población (parámetro) asumiendo un error en esta estimación de, por ejemplo, el 5% (el

asumido comúnmente).


5

FUNDAMENTOS DE LA ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Siempre que tengamos el interés de generalizar los datos obtenidos en una muestra a la población

de referencia, va a ser necesaria la estimación de los parámetros poblacionales a partir de los

estadísticos descriptivos obtenidos en nuestra muestra. Para poder estimar estos parámetros, las

técnicas estadísticas parten de unas bases teóricas fundamentales relacionadas con la existencia de

distribuciones teóricas y con las distribuciones muestrales de los datos. En este apartado se

estudiarán de manera superficial estas dos cuestiones.

DISTRIBUCIONES TEÓRICAS: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La mayor parte de las medidas cuantitativas de rendimiento, actitudes, percepciones, etc. tomadas

en el marco de la investigación cuantitativa en Ciencias de la Educación (y en las Ciencias Sociales en

general) suelen tener un comportamiento similar en cuanto a la forma de su distribución: La medida

de la altura de la población, del peso de los bebés recién nacidos, el cociente intelectual, el nivel socio-

económico, el rendimiento académico, etc., poseen distribuciones muy parecidas.

Las características de estas distribuciones tienen que ver con varias cuestiones:

La mayor parte de los sujetos de la población se encuentran alrededor o cerca de los niveles

medios de altura, peso, cociente intelectual, rendimiento o nivel, mientras que son pocos los

que se alejan mucho del punto central, ya sea por la parte inferior o por la parte superior de

la distribución.

Aproximadamente, los sujetos se distribuyen de manera simétrica en torno a las

puntuaciones superiores e inferiores a la media.

En suma, la distribución de puntuaciones en estas variables tiene forma acampanada y simétrica, o

dicho de otra forma, la distribución de este tipo de variables se ajusta habitualmente de una manera

muy importante a la distribución normal, también conocida como la campana de Gauss.

Figura 3. Distribución normal o campana de Gauss (Fuente: www.wikipedia.org)


6

La fórmula para la obtención de la función de densidad de esta distribución teórica es muy compleja,

ya que estamos hablando de una distribución continua:

(x,)

A esta distribución teórica la llamaremos a partir de ahora distribución normal o Z, con una media y

una desviación típica , y su notación habitual será del siguiente modo: Z(). Así, una variable

observada en una muestra tendrá una distribución similar a la normal siempre y cuando la forma de

la distribución sea similar a esta distribución teórica. Esta cuestión es independiente de la media y

desviación típica de la variable1, de hecho, lo más habitual es estandarizar la media y desviación

típica de la distribución normal a una =0 y =1, o lo que es lo mismo, Z(0,1). Cabe destacar también

que el valor mínimo y máximo de esta distribución, dado que es asintótica, está entre (-∞, +∞)

Por tanto, la propiedad fundamental de esta distribución es que es simétrica y posee curtosis

mesocúrtica. Gracias a esta propiedad a la que generalmente se ajustan las distribuciones de las

variables estudiadas, es posible simplificar el conjunto de técnicas estadísticas empleadas para

estimar los parámetros poblacionales, o lo que es lo mismo, calcular entre qué valores se encontrará

un parámetro poblacional partiendo de unos datos y unos estadísticos muestrales y asumiendo un

nivel de error concreto.

Pero en muchos casos en la investigación práctica ocurre que a partir de las variables originales

disponibles se realizan una serie de cálculos que impiden utilizar directamente la distribución teórica

Z como distribución de referencia para la estimación de parámetros, y es necesario emplear otras

distribuciones. Las otras distribuciones empleadas habitualmente son la T de student, la distribución

2 y la F de Snedecor.

En lo que respecta a la distribución 2, cabe señalar que es una distribución teórica conformada por

un sumatorio de variables independientes que siguen una distribución normal Z(0,1) al cuadrado2.

2n

Así, como se puede observar en la figura 4, en este caso no se obtiene una distribución teórica

simétrica, sino que, al estar conformada por un sumatorio de cuadrados, la distribución tiene origen

en el 0, estando su rango de puntuaciones entre (0, +∞), dado que se trata de una curva asintótica

por el lado derecho. El apuntamiento de la curva de esta distribución y la intensidad de su caída hacia

el eje x está determinado por el número de grados de libertad (n) de la distribución, es decir, el

número de sumas de Z2 del que provenga. Si una variable que sigue esta distribución proviene de una

suma de 10 variables que provienen de una distribución normal (Z) al cuadrado, entonces los grados

1 Cabe recordar que, gracias a las propiedades de la media y la varianza/desviación típica, podemos modificar la

media o la desviación típica de una variable sin modificar su forma. Por lo tanto, podemos encontrarnos variables con distribuciones muy similares o iguales a la normal con medias y desviaciones típicas muy diferentes. 2 La mayor parte de las veces que tratamos de estimar parámetros a partir de distribuciones teóricas,

estandarizamos los valores de la media y la desviación típica de la variable que entendemos que se distribuye

como una Z a una =0 y =1.


7

de libertad serán 10, lo cual implica que esa curva asociada a la distribución teórica 2 sea de una

manera y no de otra.

Figura 4. Función de densidad 2 (Fuente: adaptado de www.wikipedia.org)

En cuanto a la T de student, es la distribución que se emplea en la estimación de parámetros como

alternativa a la distribución normal cuando las varianzas o desviaciones típicas poblacionales () son

desconocidas. Así, la distribución T posee propiedades similares a la Z, ya que es una distribución

simétrica asintótica por ambos lados, con puntuaciones por tanto entre (-∞, +∞). De hecho, a

medida que los tamaños de las muestras a partir de las que se emplea para la estimación de los

parámetros son mayores, la distribución T se aproximará más a la Z, siendo ambas distribuciones

iguales cuando el tamaño o tamaños de muestra tienden a infinito. La formulación de la distribución

t es algo más compleja, ya que procede de una combinación entre la distribución Z y la 2:

en donde Z sigue una distribución normal Z(0,1) y X sigue una distribución 2 con n grados de

libertad.

Esta distribución, por tanto, es simétrica, con media 0 y n grados de libertad. Esto quiere decir que en

función del número de grados de libertad de la distribución, su forma variará ligeramente. A nivel

general, la distribución T se representa como una normal. En la figura 5 se puede observar cómo

cambia el apuntamiento de la curva en función de los grados de libertad encontrados en la

distribución teórica.


8

Figura 5. Función de densidad T (Fuente: adaptado de www.wikipedia.org)

Por último, estudiaremos la distribución F de Snedecor, basada también en la distribución normal

Z(0, 1), como una distribución teórica proveniente de una división entre dos variables que siguen una

distribución 2:

en donde X es una variable con distribución 2 con n grados de libertad e Y es otra variable con

distribución 2 con m grados de libertad. Así, en este caso, en lugar de trabajar con un indicador de

grados de libertad, como ocurría en las distribuciones 2 y T, en este caso trabajamos con 2

indicadores n y m. Así, se suele notar esta distribución como Fn,m. La función de densidad de esta

distribución la podemos observar en la figura 6. Nótese que, al igual que la distribución 2, la

distribución F tiene el mínimo en el valor 0 y es asintótica por la cola derecha. Así, su rango de

puntuaciones es (0, +∞), como se puede observar en la figura 6.


9

Figura 5. Función de densidad F (Fuente: adaptado de www.wikipedia.org)

LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL y DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA

Cuando se extrae una muestra de n sujetos a partir de una población de N sujetos, la muestra

obtenida es una de las otras muchas muestras que se habrían podido obtener en base a esa

población. Para poder extraer conclusiones o inferencias acerca de toda la población con respecto a

la variable o variables estudiadas a partir de los sujetos obtenidos en la muestras, es necesario tener

en cuenta que los valores, por ejemplo, de la media o medias de las variables medidas ( ) en la

muestra obtenida pueden no coincidir exactamente con el valor de la media poblacional ().

Analicemos más en profundidad este aspecto: Sabemos que el cálculo del número de muestras

posibles de tamaño n a partir de una población de tamaño N se calcula de la siguiente manera:


10

EJEMPLO 1

Por ejemplo, si tenemos una población de 5 sujetos y queremos obtener una muestra de 2 sujetos,

la cantidad de muestras posibles a obtener son 10. Imaginemos en este mismo ejemplo que

evaluamos el rendimiento en matemáticas de los 5 sujetos de la población, obteniendo los

siguientes resultados:

Tabla 1. Distribución poblacional. Variable rendimiento en matemáticas (N=5)

PUNTUACIÓN (xi)

María 6

Pedro 6

Juan 8

Sonia 4

Laura 6

Si calculamos la puntuación media de la población =(6+6+7+5+6)/5=6.

Podemos tratar de obtener todas las muestras posibles de tamaño 2 para esta población.

Tabla 2. Distribución muestral de la media. Variable rendimiento en matemáticas (N=5; n=2)

xi

María y Pedro 6; 6 6

María y Juan 6; 7 6.5

María y Sonia 6; 5 5.5

María y Laura 6; 6 6

Pedro y Juan 6; 7 6.5

Pedro y Sonia 6; 5 5.5

Pedro y Laura 6; 6 6

Juan y Sonia 7; 5 6

Juan y Laura 8; 6 7

Sonia y Laura 4; 6 5

Así, se puede observar que, por ejemplo, la probabilidad de obtener una muestra con una media de 7

puntos (si se elige en la muestra a Juan y a Laura) es de 1 entre 10 muestras posibles (si

consideramos que todas las muestras posibles han tenido las mismas probabilidades de ser elegidas,

es decir, si el muestreo se ha realizado de manera probabilística), es decir, existe un 10% de


11

probabilidades o 1/10 de que sea elegida. Por su parte, la probabilidad de obtener una muestra con

una media de 6 puntos es de 4 (María y Pedro; María y Laura; Pedro y Laura; Juan y Sonia) entre 10

muestras posibles, es decir, de 4/10, o lo que es lo mismo, 2/5 o un 40% de probabilidad.

O visto en una tabla con los datos acumulados:

Tabla 3. Frecuencias distribución muestral de la media rendimiento en matemáticas (N=5; n=2)

ni Pi Pa

5 1 10% 10%

5.5 2 20% 30%

6 4 40% 70%

6.5 2 20% 90%

7 1 10% 100%

Así, se puede definir el siguiente gráfico de la distribución muestral de la media en la variable

‘rendimiento en matemáticas’ para la población definida de N=5 y n=2:

Gráfico 1. Distribución muestral de la media. Variable rendimiento en matemáticas (n=2)

Nótese que de todas las muestras posibles (10), la mayor parte tienen una puntuación media de 6, es

más probable obtener una muestra con una puntuación media igual a la puntuación media de la

población que una muestra con una puntuación media de 5 (una muestra de las 10, un 10% de

probabilidades de que salga elegida) o con una puntuación media de 7 (una muestra de las 10, un

10% de probabilidades de que salga elegida).

EJEMPLO 2

Pensemos ahora en un ejemplo un poco más complejo, imaginemos que tenemos una población de

10 sujetos (N=10) y que queremos medir el rendimiento en matemáticas a una muestra de 5 sujetos

(n=5) de los 10 que componen la población. En este caso, el número de muestras posibles que se

pueden extraer aumenta considerablemente:

0

1

2

3

4

5

5 5,5 6 6,5 7

Frecuencia


12

Tenemos las siguientes puntuaciones de los sujetos de la población:

Tabla 4. Distribución poblacional. Variable rendimiento en matemáticas (N=10)

PUNTUACIÓN (xi)

María 3

Julio 8

Claudia 5

Marta 6

Elena 6

Fernando 7

Carmen 4

Álvaro 6

Rodrigo 7

Andrés 8

En este caso, la puntuación media de la población es =(3+8+5+6+6+7+4+6+7+8)/10=6.Todas las

muestras posibles que se pueden extraer de este conjunto de sujetos de la población tienen la

siguiente distribución:

Tabla 5. Frecuencias distribución muestral media rendimiento en matemáticas (N=10; n=5)

ni Pi Pa

4.8 3 1.2% 1.2%

5.0 7 2.8% 4.0%

5.2 15 6.0% 9.9%

5.4 20 7.9% 17.9%

5.6 28 11.1% 29.0%

5.8 32 12.7% 41.7%

6.0 42 16.7% 58.3%

6.2 32 12.7% 71.0%

6.4 30 11.9% 82.9%

6.6 20 7.9% 90.9%

6.8 13 5.2% 96.0%

7.0 7 2.8% 98.8%

7.2 3 1.2% 100.0%

TOTAL 252 100.0%

Y esta distribución muestral de la media se puede representar en el siguiente diagrama de densidad:


13

Gráfico 2. Distribución muestral de la media. Variable rendimiento en matemáticas (n=5)

Pensemos, en primer lugar, en el porcentaje de las muestras que está en un rango de puntuaciones

determinado; por ejemplo, el 97.6% de todas las muestras posibles obtiene una media en la variable

rendimiento en matemáticas de entre 5 y 7 puntos, por lo que es muy poco probable que se obtenga

una muestra de n=5 a partir de una población de N=10 en la que la puntuación media sea de 4.8 o de

7.2 puntos.

En la estadística inferencial se juega con esta probabilidad, asumiendo un error (nivel de

significación) o una confianza (nivel de confianza) en todas las estimaciones de parámetros. En el

caso de este ejemplo anterior, lo más probable (un 97.6% de probabilidad, o un nivel de confianza

del 97.6%) es que yo obtenga una muestra con un rendimiento medio en matemáticas de entre 5 y 7

puntos. Así, el error que se asume si se estima que la media poblacional está entre 5 y 7 puntos es

del 2.4% (100%-97.6%). Igualmente, existen un 73% de probabilidades de que obtenga una muestra

cuya puntuación media esté entre 5.4 y 6.6 puntos. Así, si yo estimo que la media poblacional

(parámetro) en esta variable está entre 5.4 y 6.6 puntos estoy asumiendo un nivel de significación del

27% o un nivel de confianza del 73%, un error demasiado grande (hay un 27% de posibilidades de

que la media de la muestra obtenida finalmente no esté dentro del intervalo del parámetro

poblacional).

De todos modos, el problema no es tan sencillo como lo planteado en el ejemplo anterior por dos

cuestiones básicas:

En primer lugar, en los estudios que se implementan en el ámbito de las Ciencias de la

Educación rara vez se tiene un conocimiento exacto de las puntuaciones de toda la población

en la variable, por lo que no se puede calcular directamente la distribución muestral de la

media a partir de la distribución poblacional empírica. De hecho, si se conocieran las

puntuaciones de todos los sujetos de la población en la variable o variables medidas no

tendría sentido estimar el intervalo en el que se encontraría el parámetro poblacional (ya lo

conoceríamos exactamente) y, por ende, la distribución muestral de la media.

Por otro lado, normalmente ni los tamaños de la población ni los tamaños de la muestra con

los que contamos en nuestras investigaciones en Ciencias Sociales son tan reducidos como

en el ejemplo, por lo que el número posible de muestras a seleccionar es excesivamente

3

7

15

20

28

32

42

32 30

20

13

7

3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

4,80 5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 6,00 6,20 6,40 6,60 6,80 7,00 7,20

Frecuencia


14

grande, y la obtención empírica de la distribución muestral de la media en la mayor parte de

los casos es una cuestión muy compleja o imposible si la población es infinita/desconocida.

Así, para simplificar y posibilitar la obtención de la distribución muestral de la media, la estadística

inferencial aprovecha las propiedades de las distribuciones teóricas (Z, T, 2, F). Antes de continuar,

es necesario añadir dos definiciones básicas al respecto:

Si una variable se distribuye normalmente, entonces la distribución muestral de la media

de esa variable también tendrá una distribución normal.

En la distribución muestral de la media, el valor puntual de la media poblacional ()

coincide con el valor puntual de la media muestral ( ).

Así, en el caso de que se cumpla el supuesto de normalidad de una variable (que la variable sea

normal), entonces la distribución muestral de la media de esa variable será también normal.

Podemos ir más allá de esta simple definición y apoyarnos en el teorema central del límite para

afirmar que “a medida que el tamaño muestral crece, la distribución de la media muestral se

aproxima cada vez más a la normal, independientemente de la distribución de la variable que se esté

mididendo” (Tejedor Tejedor & Etxeberría Murgiondo, 2006, p.52). En este caso, podemos afirmar

que, si una muestra tiende al infinito, su distribución muestral de la media tenderá a una distribución

normal.

Nótese además que la distribución de la distribución muestral de la media en la variable del anterior

ejemplo tiene una forma acampanada (distribución normal). De hecho, se entiende que la gran

mayoría de las variables cuantitativas que se miden en Ciencias Sociales tienen una forma similar a la

distribución normal, o lo que es lo mismo, las variables de escala que medimos en Ciencias de la

Educación (rendimiento, actitud, percepción, etc.) provienen en la mayor parte de los casos de una

distribución normal. Cuando se cumple este supuesto de normalidad de la variable (o la

fundamentación del teorema central del límite), se entiende que la distribución muestral de la media

de esa variable es normal, y se puede partir de esta distribución (Z) para estimar el intervalo en el

que se encontrará el parámetro poblacional de la media () a partir del estadístico de la media ( )

obtenido en la muestra. Basadas en la distribución normal o Z se encuentran otras distribuciones que

(T, 2, F), una vez identificada la distribución muestral de la media como normal, permiten llevar a

cabo estimaciones de parámetros en diversas situaciones prácticas, como veremos en los siguientes

temas.

Por tanto, como conclusión práctica de este apartado se puede señalar que, si las variables medidas

en nuestra muestra siguen una distribución normal, es posible aprovechar el potencial de las

distribuciones teóricas para estimar los parámetros poblacionales de los que provienen los

estadísticos de interés calculados. Este conjunto de técnicas de análisis de datos es el que

aplicaremos cuando llevemos a cabo algún procedimiento estadístico inferencial o de contraste de

hipótesis paramétrico.


15

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS y CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Es a partir de las bases teóricas estudiadas desde donde es posible extraer inferencias poblacionales

habiendo simplemente obtenido información en una muestra (al menos desde una perspectiva

paramétrica). En estos 2 apartados siguientes estudiaremos cómo extraer esta inferencia partiendo

del supuesto de que las variables obtenidas en la muestra proceden de la distribución normal,

planteada a nivel teórico.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Ya hemos señalado que, gracias a la inferencia estadística, es posible estimar con un margen de error

determinado entre qué valores se encontrará en la población (parámetro) un estadístico obtenido en

la muestra. Lo cierto es que, mientras que es posible estimar el intervalo poblacional sobre cualquier

estadístico descriptivo (media, mediana, desviación típica, varianza, asimetría, etc.), lo más habitual

es emplear la media como estadístico sobre el que extraer inferencias3. De hecho, en este curso

estudiaremos a nivel teórico simplemente la estimación paramétrica de la media, aunque a nivel

práctico también estudiaremos las técnicas estadísticas alternativas cuando las distribuciones de las

variables no se ajustan a la distribución normal.

Decíamos que para estimar un parámetro debemos asumir un error en esa estimación, y que la

estimación consiste (generalmente) en el cálculo de un intervalo en el que tenemos cierta seguridad

de que se encuentra el valor del estadístico que estamos estimando en la población (normalmente la

media). Así, en términos generales, si en una estimación queremos asumir un error más pequeño, el

intervalo de confianza será más grande. ¿Por qué ocurre esto?, pues lo vemos sencillamente con un

ejemplo:

Imaginemos que me apuesto con un amigo una cena: si soy capaz de calcular correctamente la altura

de un edificio, con un margen de error de 2 metros, mi amigo me pagará la cena, si no, se la pago yo.

En el ejemplo, me está permitido alejarme de la altura real del edificio como máximo 2 metros. Así, si

el edificio mide realmente 23 metros, mi estimación tiene que ser de entre 21 y 25 metros, o lo que

es lo mismo, debe estar dentro del intervalo (21, 25). Dicho de otro modo, tengo un margen de error

de 23 ±2 (este margen de error de 4 metros como máximo, 2 m por encima y 2 m por debajo, podría

ser considerado como mi nivel de confianza en la estimación).

Imaginemos ahora que realizo la misma apuesta, pero que en este caso el margen de error en mi

estimación es de 4 metros.

En este caso, para ganar la apuesta, considerando que el edificio mide 23 metros, debo dar una

estimación de 23 ±4, es decir de entre 19 y 27 metros. Quiere decir esto que, al aumentar el tamaño

del intervalo de confianza, esto es, al aumentar el nivel de confianza de la estimación, es menos

probable que yo pierda la apuesta, es decir, que cometa un error en la estimación.

3 Cuando no es posible considerar que la distribución muestral de la media de una variable posee la

distribución normal porque la variable de origen tiene una forma de su distribución muy diferente a la normal, se suele utilizar la mediana como estadístico para realizar la estimación poblacional de la tendencia central de la distribución.


16

En el segundo ejemplo, por tanto, mientras que al aumentar el intervalo en el que puede entrar mi

estimación de la altura del edificio aumenta mi confianza en ganar la apuesta, también se reduce la

posibilidad de error.

En la estimación de parámetros estadística ocurre exactamente lo mismo que en este ejemplo:

Mientras que en el ejemplo trato de estimar cuál es la altura real del edificio a partir de la

información obtenida a través de mis sentidos, permitiendo un margen de error más o menos

amplio, en la estimación de parámetros trato de estimar cuál es el valor real (poblacional) de un

estadístico a partir de la información obtenida en la muestra, permitiendo un margen de error

concreto (intervalo de confianza).

Y, ¿cómo se realiza la estimación del intervalo de confianza exactamente? Pues bien, para realizar la

estimación llevamos a cabo varios pasos:

1. Aceptación del supuesto previo de que la distribución de la variable a partir de la que quiero

realizar la estimación es similar a la distribución normal Z(, ).

2. Establecimiento del nivel de error y de confianza asumidos en la estimación.

3. Estimación del parámetro a partir de la distribución muestral de la media de la variable, bajo

el supuesto previo de que es normal.

1. Supuesto previo de normalidad de la variable observada

La aceptación de este supuesto previo se puede llevar a cabo mediante la aplicación de varias

técnicas estadísticas, que nos van a dar una seguridad suficiente como para aceptar que la

distribución de la variable y, por ende, de la distribución muestral de la media, es normal Z(, ). En

el caso más habitual de que la varianza de la variable estudiada en la población de referencia sea

desconocida, la distribución empleada para la estimación será la T, y la media y desviación típica de

la distribución serán = y =

.

Las técnicas que se emplean de modo más habitual son las siguientes:

Exploración gráfica de la variable original obtenida en la muestra. Se puede obtener el

histograma y/o el diagrama de cajas de la variable y comprobar de manera visual si la

distribución es simétrica y si el apuntamiento (curtosis) es muy elevado o muy poco.

Mientras que su empleo puede bastar para asumir la falta de normalidad de una variable

cuando tenemos distribuciones claramente asimétricas, cuando parece que la distribución es

simétrica y con curtosis mesocúrtica esta técnica suele acompañarse de otro análisis

numérico que confirme la normalidad de la variable o variables.

Análisis de los valores de asimetría y curtosis de la variable o variables. Como ya se ha

estudiado el curso pasado, la distribución normal posee un valor de asimetría=0 y un valor

de curtosis=0, es decir, es una distribución simétrica y con curtosis mesocúrtica. Así, se

podrían analizar los valores de asimetría y curtosis de las variables directamente para

comprobar si éstos son o no son cercanos al 0, como prueba confirmatoria de la exploración

visual llevada a cabo previamente. Si con este análisis aún tenemos dudas sobre la

normalidad de las variables, podemos aplicar alguna prueba concreta o contraste de

hipótesis, técnica señalada a continuación.


17

El contraste de hipótesis comúmente empleado para comprobar la hipótesis de normalidad

de una variable es la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Esta prueba simplemente plantea la

hipótesis nula de que la distribución de la variable es normal, hipótesis que se rechaza o no

se rechaza. Esta prueba se estudiará en los siguientes temas.

2. Establecimiento del nivel de error y de confianza asumidos

El nivel de error asumido generalmente se denomina nivel o nivel de significación, y en Ciencias

Sociales se suele emplear de manera generalizada un 5% de error, aunque en ocasiones en las que

interesa mantener errores más pequeños a la hora de plantear las estimaciones e hipótesis se

emplea el 1% de error. Un término íntimamente relacionado con el nivel o nivel de significación es

el nivel de confianza. El nivel de confianza es igual al valor inverso del nivel de significación. Así, por

ejemplo, si establecemos un nivel de significación del 5%, el nivel de confianza será del 95% (100%-

5%). Por otro lado, si el nivel a es del 1%, el nivel de confianza será del 99%.

Como ya se ha indicado previamente, si el nivel de significación o de error es del 5%, el intervalo de

confianza de la estimación de un parámetro será más pequeño que si el nivel de error asumido para

la estimación de ese mismo parámetro es del 1%. Recordemos que esto es así porque, si quiero tener

una mayor seguridad en que no me estoy equivocando en mi estimación (si quiero asumir un error

menor en mi estimación), necesariamente deberé incluir un rango superior, un intervalo más grande,

de puntuaciones en las que posiblemente se encuentre el parámetro poblacional (normalmente de la

media). Por lo tanto, si decido asumir un error muy pequeño, es muy probable que el intervalo

resultante en la estimación del parámetro sea demasiado amplio, y que no me aporte por tanto

demasiada información. Por otro lado, si asumo un error muy grande, mi estimación estará dada en

un intervalo muy pequeño, por lo que mientras que voy a tener una información más clara también

va a ser mucho más probable que mi estimación esté equivocada. El consenso científico más común

acerca del nivel de error, como hemos señalado, es del 5%, y si no se indica lo contrario, ese será el

nivel de significación empleado en adelante.

3. Estimación del parámetro deseado

Una vez tomadas las decisiones y asunciones previas, llega el momento de calcular el intervalo de

confianza del parámetro. En el caso (más habitual) de que el parámetro a estimar sea la media,

partiremos, como ya hemos señalado, de la distribución muestral de la media para llevar a cabo la

estimación, considerando que la forma de esta distribución es como la distribución normal teórica ya

estudiada.

Imaginemos que hemos obtenido una muestra de tamaño n y queremos estimar el intervalo del

parámetro media en una variable. El objetivo ahora es calcular un intervalo a partir de la media de

esa variable que incluya la mayor cantidad posible de muestras que hubieran podido extraerse de la

población inicial (cada una de ellas con una puntuación media que puede ser distinta), hasta llegar al

error máximo definido en el paso 2. Por eso debemos volver a la distribución muestral de la media

para calcular esto. Entendemos en primer lugar que la distribución muestral de la media de nuestra

variable a partir de la que queremos estimar el parámetro de la media es normal Z(, ). Como

hemos visto antes, a partir de la distribución muestral de la media de una variable, podemos calcular

en qué porcentaje de todas las muestras posibles su media se encuentra dentro de un intervalo dado

(ver ejemplo 2 página 12). O dicho de otro modo, podemos calcular un intervalo alrededor del punto


18

central de la distribución muestral de la media que incluya un porcentaje determinado de todas las

muestras posibles de tamaño n que se podrían obtener a partir de la población de referencia.

En la mayor parte de los casos, en los que es imposible obtener la distribución muestral de la media

empírica porque no se tiene información sobre todos los sujetos de la población, si se cumple el

supuesto de normalidad de la variable, se entiende que la distribución de la media es normal y se

genera el intervalo de confianza alrededor de la media de la variable (estimación puntual de la media

poblacional) a partir de esta distribución normal (Z o T, en función de si se conoce o desconoce la

varianza poblacional). Aquí, como se puede ver en la figura 6, se puede generar un intervalo

alrededor de la media (por definición, la media de la distribución muestral de la media se entiende

que es igual a la media poblacional, que se estima puntualmente a partir de la media muestral) que

incluya un porcentaje concreto de todas las muestras posibles. Este porcentaje debe coincidir

exactamente con el nivel de confianza asumido en el paso anterior.

Figura 6. Distribución muestral de la media normal (Fuente: adaptado de www.sac.org.ar)

Por definición, en una distribución normal Z(0, ), exactamente el 95% de los sujetos de la

distribución está entre ±1.96*. Por tanto, si la distribución se estandariza a una Z(0, 1), el 95% de los

sujetos y, por ende, el 95% de las todas las muestras posibles en una distribución muestral de la

media normal, se encontrará en el intervalo (-1.96, 1.96). Así, si asumo la normalidad de la variable

original y un error del 5%, tendré un 95% de confianza si afirmo que el intervalo del parámetro media

para una =0 y Sx=1 se encontrará entre -1.96 y 1.96. Si se mantiene todo igual excepto el nivel de

error, que pasa del 5% al 1%, podría afirmar con un 99% de confianza que la media poblacional se

encuentra en el intervalo (-2.58, 2.58). Claro, siempre puedo haber elegido por pura mala suerte o

por errores/problemas en el muestreo una muestra tan extrema que esté equivocándome en la

estimación, este es el error asumido.


19

Ocurre, no obstante, que las variables que obtenemos en nuestros estudios no tienen =0 y Sx=1,

sino puntuaciones totalmente diferentes. En este caso, simplemente aplicando las propiedades de la

media y de la varianza, se puede estimar el intervalo del parámetro ajustado a los valores exactos de

la media y la desviación típica de la variable original. La fórmula general para el cálculo de la amplitud

del intervalo de confianza si se conoce la varianza poblacional es la siguiente:

Donde 1-/2 se refiere al percentil correspondiente a la puntuación Z que hay que seleccionar,

siendo el nivel de error asumido; y el ET se refiere al error típico, un valor obtenido directamente a

partir de la varianza de la variable, en este caso:

En el caso de desconocer la varianza poblacional, cuestión que ocurre en la práctica totalidad de los

casos, no podemos emplear la distribución Z, sino que tenemos que recurrir a la T, y por eso cambia

mínimamente la fórmula:

Donde n-1 se refiere al número de grados de libertad (igual al tamaño de la muestra menos 1) y al

nivel de error asumido. En este caso, el

Cabe destacar que las fórmulas anteriores son válidas para todos los casos en los que se realiza un

contraste de hipótesis basado en las distribuciones teóricas Z o T. Lo único que cambia en el cálculo

de la fórmula es el cálculo del Error Típico, que es diferente en función del tipo de contraste

realizado.

Nosotros trabajaremos en todo caso con esta segunda fórmula para la estimación de la amplitud del

intervalo de las medias poblacionales, ya que los ejemplos que veremos en clase consideran

desconocida la varianza poblacional. Así, la fórmula que emplearemos definitivamente para el cálculo

de un intervalo de confianza para la media poblacional será la siguiente:

EJEMPLO 3. Cálculo de un intervalo para la media

Imaginemos que obtenemos una muestra representativa de n=61 maestros de Educación Primaria en

formación en la que medimos mediante una escala el nivel de actitudes hacia el empleo de la Pizarra

Digital Interactiva (PDI) en la docencia. Esta escala tiene un valor máximo posible de 10 puntos y

mínimo de 50, y en la muestra se obtienen los siguientes descriptivos para la variable:

=35.6 Sx=8.3

Tras comprobar que la variable actitudes hacia el empleo de la PDI en la docencia se distribuye

conforme a la distribución normal, se nos pide que calculemos el intervalo de confianza para el

parámetro media (media poblacional) a partir de los datos de la muestra, tanto para el caso de que el

error sea de =5% como que sea de =1%.


20

Para el caso en el que el error es del 5%, debemos calcular el valor de la T para 60 (n-1) grados de

libertad y un error de 0.025 (por cada lado de la distribución). Si consultamos las tablas de la

distribución teórica T, resulta que el valor para un nivel del 5% y 60 grados de libertad es de

2.0003.

Podemos observar esto mismo de manera visual. Como se muestra en la figura 7, en una distribución

muestral de la media con forma T y 60 grados de libertad, el 95% de las muestras posibles están en el

intervalo (-2.003, 2.003).

Figura 7. Intervalo para un nivel =0.05 en la distribución t60;0.025 (Fuente: elaboración propia)

Así, ya disponemos de toda la información para poder calcular el intervalo del parámetro media:

En conclusión, si establezco una seguridad del 95% en mi estimación, puedo afirmar que la media

poblacional de la variable actitudes hacia el empleo de la PDI en la docencia se encuentra dentro del

intervalo (33.46, 36.74).

Para el caso en el que el error es del 1%, debemos calcular el valor de la T para 60 (n-1) grados de

libertad y un error de 0.005 (por cada lado de la distribución). Si consultamos las tablas de la

distribución teórica T, resulta que el valor para un nivel del 1% y 60 grados de libertad es de

2.6603, como se puede observar en la figura 8.


21

Figura 8. Intervalo para un nivel =0.01 en la distribución t60;0.025 (Fuente: elaboración propia)

Así, ya disponemos de toda la información para poder calcular el intervalo del parámetro media:

Nótese que la amplitud del intervalo, en este caso, es mayor que en el anterior, porque estamos

asumiendo un error menor, es decir, que tenemos una confianza mayor (del 99% en este caso) sobre

la estimación realizada.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Todo este artefacto matemático tiene mucho más potencial que la simple estimación del valor o

valores entre los que con mucha seguridad se va a encontrar el estadístico en la población. Las bases

teóricas y matemáticas de la estimación de parámetros se emplean de manera generalizada para

tratar de contrastar hipótesis de todo tipo:

Hipótesis sobre un solo estadístico en un grupo o una muestra: Comprobar si es plausible o si

se puede aceptar que una determinada población posee una puntuación media ()

determinada en una variable estudiada a partir de una muestra. Esto nos puede servir para

determinar el comportamiento de una población, en comparación con algún fundamento

teórico (por ejemplo, si planteo la hipótesis teórica de que la población de Finlandia posee un

cociente intelectual superior a 100 puntos, valor medio en toda la población general, puedo

obtener una muestra representativa de ciudadanos finlandeses a la que mido el cociente

intelectual con algún instrumento y estimar posteriormente el intervalo de la media en esa

población. Si toda la amplitud o rango del intervalo calculado está por encima de 100, o lo


22

que es lo mismo, si el límite inferior del intervalo obtenido es superior a 100 puntos, entonces

puedo aceptar la hipótesis planteada. En caso contrario, no puedo aceptar la hipótesis).

Hipótesis sobre un estadístico en dos o más grupos o muestras: En muchas ocasiones nos

ocurre que queremos conocer si se puede concluir que una población posee una puntuación

media más elevada que otro en alguna variable. Esto nos puede servir, por ejemplo, para

determinar si una población tiene un grado de conocimientos superior a otra, si posee unas

actitudes más elevadas que otra, etc. (por ejemplo, puedo querer comparar, a partir de la

muestra obtenida en las pruebas PISA, el rendimiento en comprensión lectora de las

poblaciones de estudiantes de algunas comunidades autónomas de España. Para ello,

estimaré el intervalo para la media en cada una de las poblaciones por separado y compararé

dichos intervalos en cada pareja. Si los dos intervalos obtenidos en dos de las comunidades no

se solapan en ningún momento, es decir, si los rangos de ambos intervalos no tienen valores

conjuntos, podré afirmar con el nivel de confianza establecido que existen diferencias

significativas en ambas poblaciones. En el caso contrario de que exista alguna parte conjunta

en la amplitud o rango de ambos intervalos, no podré afirmar que existan diferencias

significativas en cuanto a la media de ambas poblaciones).

Hipótesis sobre dos o más estadísticos en un grupo o muestra: Principalmente en los

estudios de corte experimental en los que existe al menos una medida pretest y una postest,

nos interesa conocer si existen diferencias significativas entre el nivel alcanzado en la

medición de la variable en el pretest y la medición en el postest. Así, determinaremos si una

población ha alcanzado, por ejemplo, aprendizajes significativos (por ejemplo, si he diseñado

un programa para la mejora de la convivencia en centros de Educación Secundaria y quiero

evaluar su eficacia, puedo tomar como medida pretest el número de conductas disruptivas de

la convivencia generadas por la muestra de estudiantes de institutos las semanas previas a la

implementación del programa y como medida postest el número de conductas disruptivas

generadas las semanas posteriores. En este caso, la técnica procede calculando el intervalo

para la media poblacional de la diferencia entre las conductas disruptivas generadas en el

postest y en el pretest (postest-pretest), y comprobando si el valor 0 está incluido en ese

intervalo. En este caso, podré concluir que el programa no genera efecto alguno sobre la

población de estudiantes de educación secundaria en cuanto al número de conductas

disruptivas generadas antes y después del programa. En el caso contrario podré concluir que

el programa genera un efecto significativo en la población de estudiantes de educación

secundaria).

Antes de entrar a estudiar en profundidad el funcionamiento de los contrastes de hipótesis para

resolver problemas, conjeturas o hipótesis como las planteadas encima, es necesario reparar

brevemente en los aspectos o elementos clave que posee todo contraste de hipótesis:

Hipótesis nula (H0): Se refiere a la conjetura que se pone a prueba en el contraste, es decir,

la hipótesis que plantea para su rechazo o no rechazo. La hipótesis nula siempre es la

hipótesis de igualdad.

Hipótesis alternativa (H1): Es la hipótesis opuesta o complementaria a la hipótesis nula. Si se

rechaza la hipótesis nula, entonces la hipótesis alternativa no se puede rechazar (se puede

aceptar como válida). Sin embargo, si no se rechaza la hipótesis nula, entonces deberemos


23

rechazar la hipótesis alternativa planteada. En todo caso, la hipótesis alternativa es la

hipótesis de desigualdad.

Región de rechazo (RR): Se refiere al conjunto de valores para los que se rechaza la H0, y por

tanto se acepta como válida la hipótesis alternativa. Al igual que existe una Región de

Rechazo de la hipótesis nula, existe una región de aceptación o no rechazo de la misma, que

denominaremos RA. Por último, el punto o valor exacto que separa la región de rechazo de la

región de aceptación lo denominaremos región crítica (RC).

Nivel de significación o error tipo I (): Ya hemos hablado del error, nivel o nivel de

significación. Se refiere a la probabilidad de rechazar la H0 cuando realmente es verdadera

(normalmente se asume un error del 5%). Se podría llamar algo así como falso positivo.

Hemos dicho que cuando realizamos la estimación de un parámetro, si asumimos un error

del 5%, resulta que puede nos puede haber ocurrido (por mala suerte o errores de muestreo)

que la muestra obtenida sea una muestra con una puntuación media extrema, y que el

intervalo estimado no incluya el valor real del parámetro en la población. Asumiendo ese

nivel de error, la probabilidad de que eso ocurra es del 5%. Cuando realizamos un contraste

de hipótesis nos ocurre lo mismo, podemos haber tenido mala suerte en la obtención de la

muestra y que este problema nos lleve a rechazar hipótesis que en realidad en la población

son ciertas.

Error tipo II (): Al igual que se puede rechazar la H0 cuando realmente esta hipótesis es

verdadera, también nos puede ocurrir lo contrario, que no rechacemos la H0 cuando en la

realidad esta hipótesis es falsa. A este error, que en realidad es un falso negativo, se le llama

error tipo II, o , y es mucho más difícil de controlar que el error tipo I en un contraste de

hipótesis.

En realidad, se puede pensar el procedimiento del contraste de hipótesis como un juicio. Pensemos

en que somos miembros de un tribunal que debe juzgar y decidir sobre si un acusado es condenado o

queda en libertad. Evidentemente, al igual que en un contraste de hipótesis, deberemos tomar la

decisión a partir de las pruebas o evidencias que se tengan disponibles. Antes de iniciar el juicio y

durante el mismo se mantiene la propia presunción de inocencia del acusado (hipótesis nula, el

acusado es inocente) hasta que las evidencias no demuestren claramente lo contrario (hipótesis

alternativa, de culpabilidad). Podríamos resumir todas las posibles conclusiones del juicio en una

simple tabla.

EN REALIDAD

Es inocente Es culpable

SENTENCIA

Queda en libertad

El acusado es inocente y queda en libertad

ACEPTO H0

El acusado es culpable y queda en libertad

ERROR II (Ac. H0)

Es condenado

El acusado es inocente y es condenado

ERROR I (Rech. H0)

El acusado es culpable y es condenado

RECHAZO H0


24

En estos 4 escenarios existen dos situaciones acertadas y otras dos erróneas. Sin embargo, el lector

estará de acuerdo con que no es lo mismo el error de condenar a un inocente que el error de que un

culpable quede en libertad. Al igual que ocurre con un juicio, lo más importante en un contraste de

hipótesis es evitar el error tipo I, ya que se considera más grave que el error tipo II. No obstante, si

nos ponemos muy estrictos (asumimos un error muy pequeño) para evitar el error tipo I, es decir,

para evitar condenar a un inocente, va a ser más fácil acabar cayendo en el error tipo II, dejar en

libertad a una persona que realmente es culpable. Si un tribunal o juez nunca condena a nadie,

evidentemente no caerá en el error tipo I, pero no pensaremos por ello que está realizando su labor

encomendada correctamente. Al respecto, se ha convenido en la comunidad científica que el mejor

equilibrio entre el error tipo I y el II está en considerar como tolerable un erro tipo I del 5% o del 1%,

según el caso, como hemos visto hasta ahora.

“En realidad este procedimiento corresponde al espíritu de un juicio en el que la presunción de

inocencia (hipótesis nula) se mantiene mientras no se demuestre claramente lo contrario

(hipótesis alternativa). El juez ha de tomar la decisión a partir de las pruebas que se presenten.

En estadística las pruebas son los datos, los resultados del experimento, las observaciones o las

respuestas de una encuesta. La pregunta que nos hacemos es: ¿desmienten los hechos

claramente la hipótesis nula? […] Resulta evidente que si nos ponemos muy estrictos en el

control del Error I podríamos caer fácilmente en el Error II lo que tampoco es muy deseable. [...]

Un equilibrio entre las probabilidades de ambos errores es muy deseable […]. No es más que un

reflejo de la vida misma, en la que tomamos las decisiones asumiendo siempre un cierto riesgo”

(López Fidalgo, 2015, p.86-88).

Partiendo de estas ideas, podemos plantear el esquema general o los pasos que deben ser seguidos

en el contraste de hipótesis:

0. Planteamiento inicial del problema: Hipótesis o cuestiones de investigación.

1. Determinación de la normalidad de la variable o variables implicadas en el análisis y del nivel

de error asumido.

2. Planteamiento de la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1).

3. Cálculo del intervalo o intervalos de los parámetros intervinientes en las hipótesis.

4. Toma de una decisión con respecto a las hipótesis planteadas

Normalmente, las cuestiones o hipótesis iniciales de la investigación, vienen formuladas

previamente, ya que es lo que nos suele llevar a realizar todo el proceso investigador. Veamos a

continuación algunos ejemplos de contrastes de hipótesis para los 3 casos generales abordados al

inicio de este apartado.

EJEMPLO 4. Contraste de hipótesis para una media en un grupo

Un investigador plantea que la clave de que los estudiantes de Educación Secundaria de Finlandia

alcancen rendimientos tan altos en relación a estudiantes de otros países de la OCDE tiene que ver

con que el cociente intelectual medio de los jóvenes Finlandeses es superior al del resto de estudiantes

de estos países. Por los estudios demográficos previos que existen al respecto, se sabe que el cociente

intelectual medio de los jóvenes de estos países es de 100 puntos (no se posee información acerca de


25

la varianza en la población). Tras obtener una muestra representativa de n=105 estudiantes de

Finlandia, resulta que poseen un CI medio de =102.2 y una varianza de Sx2=164. La exploración

previa de datos muestra que la distribución de la variable CI es normal, y el investigador decide

asumir un nivel de significación o error del 5%.

Así, podemos plantear como hipótesis de investigación (paso 0):

El cociente intelectual alcanzado por la población estudiantes finlandeses de Educación Secundaria

será más elevado que el cociente intelectual general del resto de estudiantes de Educación

Secundaria de países miembros de la OCDE

En cuanto al paso 1, ya hemos señalado que la variable CI en la muestra de estudiantes finlandeses

obtenida se distribuye normalmente y que el nivel de confianza marcado es del 95%.

En este ejemplo deberemos calcular el intervalo del parámetro poblacional media en la población de

estudiantes finlandeses para comprobar si es plausible considerar que el CI medio de esta muestra es

de 100 puntos (H0) o no (H1). En este caso, como el valor del CI medio obtenido en la muestra es

superior a 100 puntos, en caso de rechazar la hipótesis nula podremos concluir que los estudiantes

finlandeses tienen un CI superior a 100 puntos. De este modo, las hipótesis estadísticas planteadas

son, por tanto, las siguientes (paso 2):

H0: finl=100

H1: finl≠100

Nótese que la hipótesis nula es la de igualdad y la alternativa la de desigualdad, y que lo que plantea

es, o bien que el CI medio poblacional de los estudiantes finlandeses se puede considerar de 100

puntos, o que no puede realizarse esta consideración.

Una vez planteadas las hipótesis estadísticas, ya estamos en disposición de generar el intervalo de

confianza para la media de la muestra, apoyándonos en la fórmula descrita en la página 18. En este

caso, dado que no se posee información sobre la varianza poblacional, sólo sabemos la muestral, la

distribución a emplear es la distribución t con 104 (n-1) grados de libertad. Cabe destacar que los

valores disponibles son los del tamaño de la muestra, la media y la varianza. La varianza debe ser

previamente transformada en el valor de la desviación típica, ya que este es el valor necesario para

realizar los cálculos.

Recordemos que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza: Sx2=164 Sx=12.81.

Se observa que el intervalo (99.71, 104.69), aunque por unas pocas décimas, incluye el valor 100

dentro de los valores poblacionales de la media plausibles, por lo que no se puede rechazar la

hipótesis nula. Así, la decisión tomada por el investigador (paso 4), o la conclusión final, es que los

estudiantes de educación secundaria finlandeses no poseen un cociente intelectual diferente (ni por


26

supuesto superior) al del resto de estudiantes de este nivel educativo de países pertenecientes a la

OCDE.

Podemos ver este intervalo mejor en una imagen (figura 9). Resulta que, como hemos entendido que

la distribución muestral de la media en la variable CI tiene una forma normal, y que la estimación

puntual de la m coincide con el valor de la media muestral obtenido, podemos calcular el intervalo

de puntuaciones entre el que se encuentran, en esta distribución muestral, el 95% de todas las

muestras posibles obtenidas a partir de la población de estudiantes de educación secundaria en

Finlandia:

Figura 8. Intervalo para un nivel =0.05. EJEMPLO 4 (Fuente: elaboración propia)

Se puede observar cómo ahora tenemos en este gráfico una región de aceptación (si el valor

hipotético 100 entra en esta región se acepta la hipótesis nula) y una región de rechazo (sin el valor

hipotético 100 se encuentra fuera del intervalo, esto es, dentro de la región de rechazo, se rechaza la

hipótesis nula), que nos aportan una indicación precisa acerca de la decisión a tomar.

EJEMPLO 5. Contraste de hipótesis para comparar la media de una variable en varios grupos

Un grupo de investigadores de la Universidad de Salamanca tiene indicios de que existen diferencias

significativas en cuanto al nivel de comprensión lectora de los estudiantes de Educación Secundaria

de algunas comunidades autónomas en España. Por eso, quiere comparar, a partir de la muestra

obtenida en las pruebas PISA 2012, el rendimiento en comprensión lectora de las poblaciones de

estudiantes de Madrid, Andalucía y Castilla y León. Para ello, extrae los resultados obtenidos por los

estudiantes de estas 3 comunidades autónomas, comprobando previamente que se cumple el

supuesto previo de normalidad en cada una de las 3 poblaciones (se desea trabajar con un 5% de

error):


27

nMad= 536 =87.9 32.3

nAnd= 883 =83.6 15.2

nCyL= 345 =90.1 19.8

Podemos plantear como hipótesis de investigación (paso 0):

Los niveles de comprensión lectora de los estudiantes de último curso de educación secundaria en

España serán diferentes en función de la comunidad autónoma en la que cursen sus estudios

Ya sabemos que las distribuciones son normales y que el nivel de confianza deseado en este caso es

del 99% (paso 1), así que directamente vamos a plantear las hipótesis estadísticas. En este caso no

planteo que si los valores medios en la muestra se ajustan o no a un valor teórico exacto, sino que

me estoy planteando si existen diferencias entre varios grupos, por eso ahora no debo estimar

solamente el intervalo de un parámetro, sino de 3. Por lo tanto, estos 3 parámetros deben estar

presentes en la hipótesis, y mantenerse el criterio general de que la hipótesis nula es de igualdad y la

alternativa de desigualdad (paso 2):

H0: Mad =And= CyL

H1: Mad ≠And≠ CyL

Vemos que simplemente planteo en un caso que las medias entre los grupos son iguales y en el otro

que no son iguales. Podría generar a partir de esta hipótesis general algunas hipótesis subordinadas,

una por cada pareja de comunidades autónomas (Madrid con Andalucía; Madrid con Castilla y León;

Andalucía con Castilla y León), pero esta formulación puede ser suficiente en este caso (lo

importante en el planteamiento de las hipótesis es que se entienda lo que se contrasta, en este caso

vamos a contrastar la igualdad o desigualdad de las medias poblacionales de 3 poblaciones distintas).

Ahora, pues, debemos calcular los parámetros poblacionales en los 3 grupos a partir de una T con n-1

grados de libertad en todo caso (paso 3). A pesar de que existe un procedimiento estadístico más

ajustado para el contraste de estas diferencias entre grupos (que es el que emplea el software SPSS),

el procedimiento estudiado puede ser considerado como válido:

En este caso, vemos que la media poblacional con un intervalo de puntuaciones más bajo es el de los

estudiantes de Andalucía, pero que su intervalo se solapa con el de los estudiantes de Madrid. Por

otro lado, el intervalo de los estudiantes de Castilla y León, que poseen los valores más elevados, se

solapa con el de los de Madrid, pero con el de los de Andalucía. Veamos estos resultados incluyendo

las 3 distribuciones muestrales de la media en un hipotético eje x conjunto en la figura 9:


28

Figura 9. Intervalos distribuciones muestrales EJEMPLO 5 (Fuente: elaboración propia)

Claramente se muestra cómo, mientras que existe un intervalo común en las estimaciones

poblacionales de Andalucía y Madrid y de Madrid y Castilla y León, los intervalos entre Andalucía y

Castilla y León están separados. Entonces, puedo acabar tomando las siguientes decisiones a partir

de este contraste (paso 4):

- A nivel general, puedo rechazar H0, ya que los niveles de comprensión lectora de los

estudiantes en España son diferentes en función de la comunidad autónoma, al menos en

algún caso. Así, existen diferencias significativas en función de la comunidad autónoma de

procedencia en cuanto al nivel de comprensión lectora de los estudiantes españoles.

- A nivel específico, puedo establecer 3 conclusiones:

o No rechazo la H0 en el caso de las diferencias entre los estudiantes de Andalucía y de

Madrid. No se poseen evidencias suficientes para afirmar que las poblaciones de

estudiantes de estas dos comunidades autónomas posean unos rendimientos en

comprensión lectora diferentes (recordemos que esto es un juicio, y que no

debemos juzgar al acusado como culpable hasta que no tengamos evidencias

irrefutables, en este caso parece que los estudiantes de la muestra de Madrid tienen

un rendimiento ligeramente superior, pero con el nivel de error asumido no

podemos afirmar que estas diferencias puedan ser reales en la población). Así, no

existen diferencias significativas entre ambos grupos en cuanto a su nivel de

comprensión lectora.

o No rechazo la H0 en el caso de las diferencias entre los estudiantes de Madrid y

Castilla y León por las mismas circunstancias. Además, en este caso, las puntuaciones

son mucho más cercanas entre ambos grupos, y el área común de los intervalos

estimados es mucho más grande, por lo que tenemos mucha más seguridad en

nuestra afirmación de no rechazar la H0. Por tanto, no existen diferencias

significativas entre ambos grupos.

o Rechazo la H0 en el caso de las diferencias entre los estudiantes de Andalucía y

Castilla y León. Parece que la población de estudiantes de Castilla y León posee un

rendimiento en comprensión lectora superior a la población de estudiantes de

Andalucía, alcanzándose diferencias significativas entre ambos grupos.


29

EJEMPLO 6. Contraste de hipótesis para comparar varias variables en un grupo

Un equipo de investigadores quiere comprobar la eficacia de un programa integral para la mejora de

la convivencia en el aula de Educación Primaria. Para ello, tras medir el número de conductas

disruptivas de cada uno de los 15 estudiantes de 6º curso participantes en el programa durante el

mes anterior a la aplicación del programa (pretest), procede a la implementación de las actividades

del mismo, con una duración de tres meses. Finalmente, durante el mes posterior a la aplicación del

programa, se vuelve a registrar la cantidad de conductas disruptivas de cada estudiante,

obteniéndose los siguientes resultados:

Pretest Postest

Estudiante 1 6 3

Estudiante 2 0 1

Estudiante 3 2 3

Estudiante 4 11 2

Estudiante 5 15 10

Estudiante 6 27 12

Estudiante 7 4 2

Estudiante 8 7 1

Estudiante 9 8 0

Estudiante 10 20 3

Estudiante 11 4 2

Estudiante 12 6 5

Estudiante 13 8 1

Estudiante 14 7 3

Estudiante 15 2 0

Para tomar una mayor seguridad de los resultados obtenidos, se desea trabajar con un nivel del

1%.

En este caso, debemos trabajar con los datos de la diferencia entre el postest y el pretest, así que el

primer paso es generar una nueva variable que resulte de esta resta (diferencia=postest-pretest).

Pretest Postest Diferencia

Estudiante 1 6 3 3

Estudiante 2 0 1 -1

Estudiante 3 2 2 0

Estudiante 4 11 2 9

Estudiante 5 15 10 5


Estudiante 7 4 2 2

Estudiante 8 7 1 6

Estudiante 9 8 0 8


Estudiante 11 4 2 2

Estudiante 12 6 5 1

Estudiante 13 8 1 7

Estudiante 14 7 3 4

Estudiante 15 2 0 2


30

8.47 3.13 5.33

Sx 7.26 3.46 5.21

Ya vemos, en primer lugar, cómo, mientras que inicialmente la cantidad media de conductas

disruptivas de la muestra de estudiantes fue de 8.47 puntos, tras la aplicación del programa se

reduce a 3.13 conductas disruptivas de media por estudiante. Así, se han reducido de media 5.33

conductas disruptivas por estudiante. Ahora la duda es si estas diferencias son suficientes como para

poder considerarse significativas. Aunque los programas estadísticos emplean un cálculo estadístico

específico más ajustado para realizar esta estimación, realizaremos los cálculos a partir de la fórmula

estudiada inicialmente, que realiza un ajuste razonablemente similar.

La hipótesis de investigación planteada en este caso podría ser la siguiente (paso 0):

El número de conductas disruptivas de la convivencia escolar de estudiantes de 6º de educación

primaria se reducirá tras la aplicación de un programa de mejora de la convivencia escolar en el aula.

En cuanto al paso 1, ya se ha señalado que se posee un nivel de significación del 1%, y tras el estudio

de la distribución de la variable, resulta que se acepta la normalidad de la misma.

Así, se pueden generar las siguientes hipótesis estadísticas con respecto a los grupos (paso 2):

H0: pretest =postest postest -pretest = 0

H1: pretest ≠postest postest -pretest ≠ 0

Vamos a calcular ahora el intervalo de confianza de la variable diferencia (paso 3). Dado que esta

variable nos muestra la diferencia de conductas disruptivas entre el postest y el pretest, en este

orden, en este caso nos interesa que exista un intervalo con un rango de puntuaciones negativo

(indicando que en el postest existen menos conductas disruptivas que en el pretest) y que no incluya

el valor 0 como plausible (que nos indicaría que se podría aceptar que en la población no existe

ningún tipo de reducción de las conductas disruptivas). Recordemos que en este caso trabajamos con

una distribución T con 14 grados de libertad y un nivel /2 de 0.005 (existe un error de 0.01, el 1%):

En conclusión (paso 4), resulta que tengo evidencias suficientes para rechazar la H0, ya que resulta

que postest-pretest≠0 para un nivel de confianza del 99%. Así, el programa de mejora de la convivencia

es efectivo, ya que parece que ejerce un efecto significativo sobre la reducción de conductas

disruptivas en el aula.

CONTRASTES DE HIPÓTESIS CON SOFTWARE INFORMÁTICO (SPSS)

Aunque en realidad cuando realizamos un contraste de hipótesis estamos empleando todo este

artefacto estadístico/matemático, el software estadístico empleado para el análisis de datos

descriptivo e inferencial de manera más generalizada, SPSS, no nos suele aportar la información de

los contrastes de hipótesis de este modo, incorporando las hipótesis estadísticas, los intervalos de

confianza para los parámetros que se deben estimar y la decisión tomada. En su lugar, simplemente

nos aporta información en todo contraste de hipótesis acerca del valor de la significación exacta de

ese contraste (SPSS llama a este valor ‘Sig.’, aunque también lo podemos denominar como p-valor).


31

¿Qué quiere decir esto exactamente? Pues el valor devuelto por el programa informático es una

probabilidad, es decir, un valor entre 0 y 1. Lo que nos está indicando exactamente en cada uno de

los 3 casos estudiados es lo siguiente:

Contraste de hipótesis para una media en un grupo: El valor de la significación (sig.)

devuelto por el programa estadístico en este caso nos indica la probabilidad que existe de

que la muestra a partir de la que se ha generado la estimación provenga de una población

con la media con el valor señalado en la hipótesis nula (en el ejemplo 3, =100).

Contraste de hipótesis para comparar la media de una variable en varios grupos: En este

caso, el valor de la significación devuelto por SPSS nos indica la probabilidad exacta de que

las muestras que se comparan provengan de la misma población o de poblaciones con la

misma media (en el ejemplo 4, Mad =And= CyL). En el caso de que el contraste sea no

paramétrico, la comparación se hace entre las medianas de los grupos (MdnMad = Mdn And =

MdnCyL)

Contraste de hipótesis para comparar varias variables en un grupo: Lo que indica este valor

Sig. o p-valor es la probabilidad de que la muestra obtenida en el estudio provenga de una

población en la que la diferencia entre las puntuaciones de las variables es 0 (En el caso del

ejemplo 5, las variables pretest y postest, o sea, postest-pretest=0). En el caso de que el

contraste sea no paramétrico, la comparación se hace entre las medianas de las variables

(Mdnpret = Mdnpost).

Nótese que en realidad, este valor de la significación o p-valor se está refiriendo en todos los casos a

la probabilidad de que H0 sea cierta o, dicho en términos del ejemplo del juicio, la probabilidad de

que el acusado sea inocente (si la probabilidad de que sea inocente no es suficientemente baja, tan

baja como el nivel de significación planteado inicialmente, no deberíamos acusarle). Así, la

interpretación de este nivel Sig. o p-valor siempre es la misma, en función del nivel de error o que

hayamos prefijado:

En el caso de que p-valor < , entonces tendré evidencias suficientes como para rechazar la

H0, ya que la probabilidad de cometer un error tipo I es menor al nivel de error establecido

previamente (normalmente del 5%). En este caso rechazaré la hipótesis nula y podré afirmar

que existen diferencias significativas bien entre varios grupos, o entre varias medidas en un

mismo grupo, o entre la media de un grupo y la de una población hipotética.

En el caso de que p-valor ≥ , entonces no tendré evidencias suficientes como para rechazar

la H0, ya que la probabilidad de cometer un error tipo I es menor al nivel de error establecido

previamente. En este caso no rechazaré la hipótesis nula y no podré afirmar que existan

diferencias significativas entre las puntuaciones en una variable de varias muestras, o entre

la puntuación en varias variables en una muestra, o entre la puntuación de una muestra y la

de una población hipotética.

A lo largo de los siguientes temas abordaremos desde un punto de vista práctico una por una las

técnicas estadísticas inferenciales más habituales, por lo que profundizaremos en las implicaciones

de este p-valor.


32

COMPROBACIÓN DEL SUPUESTO DE NORMALIDAD

En todo caso, para poder proceder a la estimación de parámetros conforme a las técnicas

paramétricas estudiadas en el apartado previo, es necesario comprobar previamente la normalidad

de la variable o variables intervinientes en el análisis. Para ello, se planteaban 3 grupos de técnicas

complementarias entre sí, que vamos a desglosar en este capítulo.

1. EXPLORACIÓN INICIAL GRÁFICA

El objetivo principal de la exploración gráfica es la comprobación inicial de si la forma de la

distribución se podría ajustar a una distribución normal, esto es, de forma simétrica y con un

apuntamiento ni exageradamente alto ni bajo.

Para ello, se pueden emplear varios gráficos, como son, principalmente, el histograma y el diagrama

de cajas.

En primer lugar, el histograma, como ya hemos estudiado, presenta la información en forma de

diagrama de barras en el que no existe separación entre cada una de las barras del gráfico al

considerarse que la variable representada es una variable continua o de intervalo. Así, la anchura de

cada una de las barras presenta un intervalo de puntuaciones concreto de la variable, y la altura la

proporción o frecuencia de sujetos que han obtenido una puntuación comprendida en ese intervalo.

Imaginemos que hemos evaluado el rendimiento en matemáticas (entre 0 y 10 puntos) en una

muestra de 260 estudiantes de 4º de educación secundaria, habiendo obtenido una puntuación

mínima de 3.85 puntos y máxima de 10). Podríamos calcular el histograma mostrado en el gráfico 1.

Este gráfico se obtiene en SPSS en menú gráficos generador de gráficos histograma.

Gráfico 1. Histograma rendimiento en matemáticas, intervalos de 0.4 puntos

En este primer histograma se observa cómo se presentan los resultados con intervalos de 0.4 puntos,

empezando el intervalo en la puntuación más baja hasta el primer corte [3.85, 4.25), el segundo

desde 4.25 hasta 4.65, y así sucesivamente.


33

El tamaño del intervalo podemos prefijarlo nosotros como nos venga en gana, por ejemplo, el gráfico

2 muestra el histograma de la misma distribución con los intervalos de 1 punto de tamaño y no de

0.4 puntos.

Gráfico 2. Histograma rendimiento en matemáticas, intervalos de 1 punto

En este ejemplo el tamaño del intervalo elegido nos permite observar la distribución general de la

variable de manera un poco más clara.

Podemos también elegir, como se puede observar en el gráfico 3, como gráfico para observar la

distribución el diagrama de cajas, que nos muestra esta distribución pero en lugar de en un eje

horizontal, en un eje vertical. En SPSS este gráfico se obtiene en menú gráficos generador de

gráficos diagramas de caja.

Gráfico 3. Diagrama de cajas rendimiento en matemáticas.


34

En este caso recordemos que el diagrama de cajas representa los 3 cuartiles (Q1 o P25, Q2 o P50 o

mediana y Q3 o P75).

En el ejemplo, tanto en el gráfico de cajas, como en el histograma, se observa cómo de manera muy

ligera la distribución posee una asimetría negativa, esto es, la cola más larga de la distribución desde

la posición más elevada o la posición de la mediana se encuentra en las puntuaciones bajas. O lo que

es lo mismo, hay una mayor acumulación de sujetos en las puntuaciones altas que en las bajas de la

variable.

2. ESTUDIO DE LOS ÍNDICES DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS

El análisis gráfico inicial simplemente nos aporta información exploratoria acerca de la distribución

de la variable en la que ya veamos algunas cuestiones de falta de normalidad más o menos claras.

Mientras que la observación gráfica de una clara falta de normalidad puede ser suficiente para

considerar que una variable no se distribuye normalmente, no se puede tomar la decisión de que una

variable es normal simplemente con el análisis gráfico. Es necesario realizar un análisis posterior al

menos de los índices de asimetría y curtosis.

Recordemos que una distribución de datos se considera normal cuando la asimetría y la curtosis

tienen exactamente el valor 0. En la práctica esto no nos va a ocurrir nunca, pero sí es importante

que los valores de asimetría y curtosis estén cercanos a esta puntuación central.

Esta información la pedimos en SPSS en menú analizar Estadísticos descriptivos Descriptivos,

obeniendo la siguiente tabla:

Estadísticos descriptivos

N Asimetría Curtosis

Estadístico Estadístico Error típico Estadístico Error típico

REND_MATEM 260 -,342 ,151 -,459 ,301

N válido (según lista) 260

A partir de la tabla anterior, podríamos extraer la siguiente información esencial:

ASIMETRÍA CURTOSIS

RENDIMIENTO MATEMÁTICAS -0.342 -0.459

En este caso, a pesar de que los valores muestran que la variable posee una ligera asimetría negativa

y curtosis platicúrtica, los valores son cercanos a 0, por lo que se podría aceptar la hipótesis de

normalidad de la variable. No obstante, dado que aún existen algunas dudas, puede ser preferible

establecer los contrastes de normalidad que nos saquen de dudas al respecto.

3. CONTRASTE DE HIPÓTESIS ACERCA DE LA NORMALIDAD DE LA VARIABLE

Como ya hemos indicado, existe una prueba básica para el contraste del ajuste a la distribución

normal de una variable, que se llama generalmente prueba o test de Kolmogorov-Smirnov. Esta

prueba realizará un contraste de hipótesis en el que planteará la hipótesis nula de que la variable se

distribuye conforme a una distribución normal o que no lo hace. Por lo tanto, si se obtiene un p-

valor, o Sig., inferior al nivel , o de significación, preestablecido se deberá rechazar la H0, y si este

valor es superior se deberá aceptar la hipótesis de que la distribución de la variable medida proviene

de una distribución normal.


35

Así, las hipótesis planteadas son:

H0: La distribución de los datos proviene de una distribución normal

H1: La distribución de los datos no proviene de una distribución normal

En menú SPSS analizar pruebas no paramétricas cuadros de diálogo antiguos K-S de una

muestra se obtiene la siguiente tabla:

Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra

REND_MATEM

N 260

Parámetros normalesa,b

Media 7,0769

Desviación típica 1,27851

Diferencias más extremas Absoluta ,087

Positiva ,051

Negativa -,087

Z de Kolmogorov-Smirnov 1,403

Sig. asintót. (bilateral) ,039

a. La distribución de contraste es la Normal.

b. Se han calculado a partir de los datos.

La información básica que se debe extraer de esta tabla generalmente para informar del resultado de

la prueba es simplemente la de la Z y la de la Sig.:

Zk-s P-VALOR

RENDIMIENTO MATEMÁTICAS 1.403 0.039

Nótese que el p-valor es de 0.39, es decir, resulta que hay una probabilidad de 0.039 de que la

variable rendimiento en matemáticas obtenida a partir de la muestra provenga de una variable con

distribución normal en la población. Esto quiere decir que el nivel de error tipo I exacto que puedo

cometer si rechazo H0 es del 3.9%. Dependerá, por tanto, la decisión final que yo tome en este

contraste del nivel o de error que yo haya preestablecido (del 5% o del 1%):

Si he establecido un a=0.05 Rechazo H0, la distribución de los datos no proviene de una

distribución normal.

Si a=0.01 No rechazo H0, la distribución de los datos proviene de una distribución normal.

A nivel general, en este caso, en base a los 3 análisis realizados, se podría asumir que la distribución

proviene de una distribución normal, ya que parece que no existen grandes problemas de asimetría y

normalidad y que las gráficas de la distribución parecen ser cercanas a una distribución normal.


36

DOS MUESTRAS INDEPENDIENTES

Ya hemos comentado que cuando queremos comparar la media de dos grupos en una variable, y se

cumplen las condiciones de normalidad de la variable objeto de estudio, estamos en condiciones de

aplicar un contraste de hipótesis paramétrico, la prueba de t para dos muestras independientes,

basada en el estadístico de contraste t. En este caso, la variable que establece los dos grupos será

una variable cualitativa (normalmente dicotómica) y la variable sobre la que se quieren comparar las

puntuaciones medias será una variable cuantitativa (recordemos que no se puede calcular la media

en variables no cuantitativas). En el caso de que no se cumpla el supuesto de normalidad, o que la

variable sobre la que se quieren comparar las puntuaciones medias no sea cuantitativa, o sea, que

sea ordinal, el contraste a realizar será el contraste no paramétrico de la U de Mann-Whitney.

Así, como en todo proceso de contraste de hipótesis, lo primero que tendremos que hacer será una

exploración descriptiva inicial de las variables y la comprobación del supuesto previo de normalidad.

En este ejemplo, vamos a comparar las puntuaciones obtenidas en el pretest de nuestra base de

datos entre los estudiantes de Castilla y León y de Andalucía

1. EXPLORACIÓN DESCRIPTIVA INICIAL

Parece que la distribución por comunidad autónoma no está repartida de modo muy equilibrado,

tenemos 200 estudiantes en Castilla y León por 60 en Andalucía.

No obstante, esto no es problemático, ya que la técnica estadística ajusta automáticamente estas

diferencias (en caso de que existieran diferencias mucho más marcadas deberíamos plantearnos de

nuevo la aplicación del contraste de hipótesis). Sí que queda patente que tenemos más de 30 sujetos

por grupo, cuestión esencial para poder realizar el contraste con mínimas garantías.

En cuanto a la variable cuantitativa, veamos algunas de sus características para todo el grupo y

separando por comunidad autónoma (en SPSS menú datos Segmentar archivo). Se observa cómo

la puntuación media de la muestra de Castilla y León en el pretest es más alta, y cómo tenemos

200

60

Comunidad autónoma

Castilla y León

Andalucía


37

niveles de dispersión similares en ambos grupos, asimetría prácticamente nula y curtosis platicúrtica

moderada de manera generalizada.

Mdn CV As Curt

Castilla y León 37.43 37 7.44 19.88% 0.06 -0.61

Andalucía 34.97 34 6.84 19.56% -0.08 -0.74

Total 36.86 36 7.36 19.97% 0.06 -0.58

2. SUPUESTOS PREVIOS

En este caso sólo será necesario comprobar el supuesto previo de normalidad. Posteriormente,

deberemos comprobar la homocedasticidad (igualdad de varianzas) cuando realicemos la prueba.

En primer lugar, vimos que las distribuciones parecían simétricas y con leve curtosis platicúrtica.

Veremos si este pequeño desajuste con respecto a la curva normal es suficiente para que exista falta

de normalidad. Recordemos que la prueba de dos muestras independientes compara las medias de

las dos distribuciones de los dos grupos (en este caso estudiantes de Castilla y León y de Andalucía),

por lo que deberemos comprobar la normalidad de los dos grupos por separado. Veamos en primer

lugar, por tanto, el histograma para ambos grupos en la variable ‘puntuación en el pretest’ (vamos

forzar 10 intervalos y el eje X con puntuaciones entre 20 y 55 puntos).

Vemos distribuciones aproximadamente normales, al menos a priori. En todo caso, veamos lo que

ocurre cuando aplicamos la prueba de normalidad. Recordemos antes las hipótesis planteadas en

este contraste:




38

Zk-s P-VALOR

Castilla y León 1.024 0.245

Andalucía 0.689 0.729

Recordemos que partíamos, si no se decía lo contrario, de un nivel de significación del 5%, es decir,

aceptaremos la hipótesis nula cuando el p-valor sea superior o igual a 0.05 y la rechazaremos cuando

sea inferior a este valor. En este caso, ambos contrastes indican un p-valor superior a 0.05, por lo que

aceptamos H0, es decir, podemos afirmar que ambas distribuciones provienen de la distribución

normal. Así, puedo continuar con el contraste de hipótesis.

3. CONTRASTE PARAMÉTRICO: PRUEBA DE T PARA GRUPOS O MUESTRAS

INDEPENDIENTES

Bien, una vez hecho todo lo anterior, vamos a completar la prueba. Para ello debemos, inicialmente,

quitar la segmentación del archivo. Para ello, vamos a menú datos Segmentar archivo y

seleccionamos ‘analizar todos los casos…’.

Una vez estamos seguros de que el archivo no está segmentado, seleccionarmos menú analizar

Comparar medias Prueba T para muestras independientes. En la ventana emergente, debemos

añadir como variable de agrupación la variable cualitativa que establece los dos grupos (comunidad

autónoma en este caso) y en el botón ‘definir grupos’ indicar los dos grupos que se quieren

comparar4. En grupo 1 y grupo 2 deberemos añadir el número con el que se han codificado ambos

grupos (recordemos que esto lo podemos ver en la vista de variables, en ‘valores’). Por otra parte, en

la ventana ‘variables para contrastar’ se debe añadir la variable cuantitativa (en este caso la

puntuación en el pretest).

Obtenemos las siguientes tablas:

Estadísticos de grupo

Comunidad autónoma N Media Desviación típ.

Error típ. de la

media

Puntuación

en el pretest

Castilla y León 200 37,4250 7,43781 ,52593

Andalucía 60 34,9667 6,83948 ,88297

Prueba de muestras independientes

Prueba de Levene

para la igualdad de

varianzas Prueba T para la igualdad de medias

F Sig. t gl

Sig.

(bilateral)

Diferencia

de medias

Error típ.

diferencia

95% Int. de conf.

Inf Sup.

Puntuación

en el pretest

Se han asumido

varianzas iguales

,646 ,422 2,286 258 ,023 2,45833 1,07531 ,34083 4,5758

No se han asumido

varianzas iguales

2,392 104,4 ,019 2,45833 1,02774 ,42038 4,4962

4 ¿Por qué crees que el SPSS requiere que definas qué grupos comparar?


39

La información de la primera tabla (a excepción del error típico en la variable puntuación en el

pretest para cada grupo) ya la habíamos obtenido en las fases previas, por lo que no cabe analizarla.

En cuanto a la información obtenida en la segunda tabla, es la que me interesa. Se observa, en

primer lugar, que nos aparece una prueba llamada Prueba de Levene. Esta es la prueba de

homocedasticidad a la que hacíamos referencia previamente. En función de esta prueba,

asumiremos varianzas iguales o no las asumiremos, y deberemos coger la información de arriba o la

información de abajo. Veamos las hipótesis de esta prueba:

H0: Se asumen varianzas iguales

H1: No se asumen varianzas iguales

Como el p-valor asociado (en SPSS siempre se llama sig.) a esta prueba es de 0.422, superior al valor

0.05, aceptamos la hipótesis nula, y asumimos varianzas iguales. Así, en este caso debo interpretar

los datos superiores de la prueba de t y desechar los de la fila inferior. En todo caso, las hipótesis

planteadas en esta prueba de t para grupos independientes se mantienen inalterables:

H0: And= CyL

H1: And≠ CyL

Por lo tanto, estamos planteando si es plausible aceptar que la población de estudiantes andaluces y

castellanoleoneses poseen niveles de desempeño en el pretest diferentes (H1) o si los niveles

mostrados en la prueba del pretest se pueden considerar iguales (H0).

En cuanto a la información que aparece, además del valor del estadístico de contraste (t) y el de la

significación de la prueba (p-valor), nos encontramos con los grados de libertad de la prueba (gl), la

diferencia de medias (media en la variable cuantitativa, punt. en el pretest, de los estudiantes de

Castilla y León, menos la media de los estudiantes de Andalucía, 37.4250-34.9667), el error típico,

que ya lo hemos explicado como un indicador para calcular los intervalos de confianza, y el intervalo

de confianza de la diferencia de medias, es decir, de 2.45833. En este caso, ese intervalo (0.34083,

4.5758) se puede calcular a partir de la siguiente fórmula:

En todo caso, normalmente, es suficiente con informar del valor del estadístico de contraste t y el p-

valor. Podríamos resumir todo el proceso de la siguiente manera:

Tras la exploración inicial del comportamiento de la variable puntuación en el pretest y

la comprobación del supuesto de normalidad de la misma tanto para los estudiantes

andaluces (Zk-s=0.689; p.=0.729) como para los de Castilla y León (Zk-s=1.024; p.=0.245),

se aplica el contraste de hipótesis paramétrico. Asumiendo un nivel de confianza del

95%, el resultado de la prueba de t para grupos independientes muestra diferencias

significativas entre ambos grupos (t=2.286; p.=0.023). Por lo tanto, se rechaza la

hipótesis nula, y se puede afirmar que los niveles medios de desempeño en el pretest

de los estudiantes andaluces y castellanoleoneses son diferentes. En concreto, los

estudiantes de Castilla y León poseen un nivel de desempeño en la prueba superior a

los estudiantes de Andalucía.


40

4. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: PRUEBA DE LA U DE MANN-WHITNEY

4.1 Una variable de agrupación y otra cuantitativa

Imaginemos que, en el mismo contraste anterior (comparar el rendimiento en el pretest de

estudiantes de Castilla y León y Andalucía), tras realizar las pruebas de normalidad, las evidencias nos

indican que las distribuciones de la variable cuantitativa en los dos grupos o en alguno de los dos

grupos no se ajustan a la distribución normal. En ese caso no sería lo más correcto implementar

técnicas paramétricas de análisis de datos; deberíamos plantear la aplicación de una prueba no

paramétrica, en concreto la prueba de la U de Mann-Whitney.

Las pruebas no paramétricas tienen la peculiaridad, con respecto a las pruebas paramétricas, de que

emplean la mediana como estadístico de contraste en lugar de emplear la media. Así, en el caso de

la prueba de la U de Mann-Whitney, las hipótesis planteadas son las siguientes:

H0: Mdn1= Mdn2

H1: Mdn1 ≠ Mdn2

Así, comprobaremos la hipótesis de si las medianas de los grupos son iguales o diferentes. Antes de

plantear el contraste, como nos interesa comparar medianas, es interesante generar los diagramas

de cajas para la variable objeto de contraste (puntuación en el pretest) para cada uno de los grupos

de estudiantes:

A priori se observa que la mediana (raya central) de la variable puntuación en el pretest es

ligeramente superior en los estudiantes de la muestra Castilla y León (si solicitamos la información

exacta sobre la mediana para esta variable en ambos grupos, resulta que es de 37 puntos en Castilla

y León y de 34 en Andalucía). Ahora la duda es ¿serán estas diferencias en la muestra

suficientemente grandes para considerar que en la población se encuentran diferencias

significativas? Para resolver esta cuestión es para lo que vamos a aplicar la prueba inferencial no

paramétrica de la U de Mann-Whitney. Para realizar la prueba, simplemente accedemos a menú

analizar Pruebas no paramétricas Cuadros de diálogo antiguos Muestras independientes.

La ventana emergente es muy similar a la de la prueba de t para grupos independientes: Debemos

señalar la variable de agrupación, en este caso comunidad autónoma, y los valores de las categorías


41

Castilla y León y Andalucía, y añadir la variable cuantitativa u ordinal que se va a contrastar, en este

caso puntuación en el pretest. Las hipótesis concretas planteadas son:

H0: MdnAnd= MdnCyL

H1: MdnAnd ≠ MdnCyL

Así, en SPSS Se obtienen las siguientes tablas:

Rangos

Comunidad autónoma N

Rango

promedio

Suma de

rangos

Puntuación en el pretest

(competencias digitales)

Castilla y León 200 135,74 27147,50

Andalucía 60 113,04 6782,50

Total 260

Estadísticos de contrastea

Puntuación en

el pretest

(competencias

digitales)

U de Mann-Whitney 4952,500

W de Wilcoxon 6782,500

Z -2,053


a. Variable de agrupación: Comunidad

autónoma

La primera de las tablas indica los rangos de los sujetos de cada muestra, es decir, la posición media

de los sujetos de cada grupo después de ordenar a todos los sujetos de menor a mayor puntuación

en función de la variable de contraste (en este caso, puntuación en el pretest). Resulta, como ya

veíamos en el diagrama de cajas, que los estudiantes de Castilla y León ocupan posiciones más altas

en esta ‘clasificación de puntuaciones en el pretest’, o lo que es lo mismo, en términos promedios los

estudiantes de Castilla y León tienen puntuaciones más elevadas en el pretest que los de Andalucía.

Esto ya lo sabíamos por la información analizada previamente, tanto en los diagramas de cajas, como

en los estadísticos descriptivos, por lo que esta primera tabla no es de gran interés, simplemente

confirma esas observaciones previas.

La tabla que más interesa es la siguiente, que tiene 4 datos. Los 3 primeros datos indican

puntuaciones de los estadísticos a partir de los que se realiza el contraste de hipótesis. De éstos, al

ser la distribución teórica más conocida, se suele informar del valor de la Z junto con la significación o

p-valor. Vemos cómo, al igual que ocurría en el contraste paramétrico, los resultados informan de

que existen diferencias significativas entre las medianas de los dos grupos, esto es, que se puede

afirmar que existen diferencias significativas entre los dos grupos de estudiantes. Podríamos

informar de esto en un artículo o informe de investigación de la siguiente manera:


42

Tras la decisión sobre el empleo de contrastes no paramétricos, se procede a la

aplicación de la prueba de la U de Mann-Whitney. Los resultados indican que existen

diferencias significativas entre ambos grupos de estudiantes (Z=-2.053; p.=0.040),

siendo los estudiantes castellanoleoneses los que alcanzan un nivel de desempeño

superior en la variable puntuación en el pretest (MdnCyL=37; MdnA=34).

Véase que las conclusiones que se pueden extraer del contraste paramétrico y del no paramétrico

son muy similares. Realmente, ante una variable cuantitativa con distribución exactamente normal,

los resultados de aplicar el contraste paramétrico o el no paramétrico son prácticamente

coincidentes (recordemos que en una distribución normal la media y la mediana coinciden en el

mismo valor de la variable).

4.2 Una variable de agrupación y otra ordinal

Nos puede ocurrir que deseemos comparar el desempeño en una variable ordinal entre dos grupos.

Partiendo de la base de datos anterior, puede interesarnos saber si los estudiantes de Andalucía y de

Castilla y León poseen niveles de actitudes diferentes en la variable ‘Creo que el manejo de

herramientas informáticas es esencial para los ciudadanos del siglo XXI’. Dicha variable consiste en

una escala tipo Likert con valores de 1 a 5 puntos, correspondiendo 1 con ‘Totalmente en

desacuerdo’ y 5 con ‘Totalmente de acuerdo’.

Veamos primero brevemente la distribución de puntuaciones de esa variable en los dos grupos:

Se ha generado el diagrama de barras conjunto por las puntuaciones relativas porque recordemos

que los tamaños de muestra de ambos grupos eran diferentes, y por lo tanto, no directamente

comparables. Parece que las distribuciones de las variables en ambas muestras es similar, teniendo

los estudiantes de Castilla y León unas actitudes ligeramente superiores (más de un 36% de los

estudiantes de Castilla y León están totalmente de acuerdo con la afirmación, mientras que esto

ocurre con un 30% de los estudiantes andaluces).

También podríamos obtener el diagrama de cajas para cada grupo, para hacer una primera

comparación de ambos grupos:

2,50% 4,50%

18,00%

38,50% 36,50%

0,00%

6,70%

18,30%

45,00%

30,00%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

Totalmente en desacuerdo

En desacuerdo Ni de acuerdo ni en

desacuerdo

De acuerdo Totalmente de acuerdo

Castilla y León

Andalucía


43

Vemos en ambos casos distribuciones con una asimetría negativa muy importante (los estudiantes

tienden a valorar con puntuaciones muy altas esta variable) y con una puntuación mediana igual en

ambos casos (Mdn=’De acuerdo’). En todo caso, parecen distribuciones muy semejantes…

¿Serán estas diferencias obtenidas en la muestra suficientes como para poder afirmar que en las

poblaciones también existen? Veamos, en primer lugar, que la formulación de las hipótesis se

mantiene, ya que los grupos son los mismos que en el contraste previo:

H0: MdnAnd= MdnCyL

H1: MdnAnd ≠ MdnCyL

Por otro lado, podemos realizar el contraste del mismo modo que señalamos antes, accediendo a

menú analizar Pruebas no paramétricas Cuadros de diálogo antiguos Muestras

independientes. Veamos las tablas resultantes:

Rangos

Comunidad autónoma N

Rango

promedio

Suma de

rangos

Creo que el manejo de

herramientas informáticas

es esencial para los

ciudadanos del siglo XXI

Castilla y León 200 131,89 26377,50

Andalucía 60 125,88 7552,50

Total 260

Estadísticos de contrastea

El manejo de herramientas inf. es esencial para los ciudadanos del siglo XXI

U de Mann-Whitney 5722,500

W de Wilcoxon 7552,500

Z -,577


a. Variable de agrupación: Comunidad autónoma


44

Vemos, en primer lugar, que el rango promedio de los estudiantes de Castilla y León (131.89) es

ligeramente superior al de los estudiantes de Andalucía (125.88), observación coincidente con lo

señalado en el diagrama de barras conjunto.

En cuanto al contraste de hipótesis propiamente dicho, se observa que no existen diferencias

significativas entre las medianas de los grupos en la variable actitudes hacia las competencias

digitales (Z=-0.577; p.=0.564). Así, acepto la hipótesis nula y concluyo que los dos grupos poseen

actitudes similares en lo que tiene que ver con las actitudes hacia las competencias digitales (no

existen diferencias significativas entre ambos grupos).


45

DOS MUESTRAS RELACIONADAS

Los contrastes para dos muestras relacionadas se emplean habitualmente cuando disponemos de

dos variables cuantitativas diferentes que queremos comparar en una sola muestra (también

podemos emplear este contraste, en la modalidad no paramétrica, en el caso de que queramos

comparar dos variables ordinales en una muestra). El caso más prototípico en el que se aplica esta

prueba es cuando hemos desarrollado un diseño experimental con pretest y postest y queremos

comprobar si los sujetos muestran un nivel de desempeño diferente5 en el postest.

Al igual que en todo proceso de contraste de hipótesis, lo primero que tendremos que hacer será una

exploración descriptiva inicial de las variables y la comprobación del supuesto previo de normalidad.

En este ejemplo, vamos a comparar las puntuaciones obtenidas por los estudiantes en el pretest y en

el postest en nuestra base de datos de trabajo, sin tener en cuenta ninguna variable de agrupación.


Del total de 260 estudiantes de la muestra, resulta que la totalidad han completado tanto el pretest

como el postest, por lo que realizaremos el contraste incluyendo a todos los sujetos disponibles en la

base de datos. En el caso de que, por ejemplo, solamente 20 sujetos hubieran contestado tanto el

pretest como el postest, sería problemático, ya que el contraste sólo se podría realizar con esos 20

sujetos (independientemente de que, por ejemplo, hubieran completado el pretest 125 personas y el

postest 156).

En el caso de la prueba de t para grupos relacionados, si recordamos el primer bloque de contenido,

el cálculo se realiza a partir de una nueva variable que podemos denominar diferencia (Xpostest-

Xpretest). Así, la comprobación de la normalidad se debe realizar sobre la nueva variable resultante de

restar la puntuación en el postest menos la puntuación en el pretest. En SPSS realizamos esa

operación en menú transformarCalcular variable, y en la ventana emergente, en el cuadro

variable de destino añadimos el nombre de la nueva variable, y en el cuadro expresión numérica

añadimos la resta (Puntuación en el pretest-Puntuación en el postest) seleccionando las variables de

la columna inferior izquierda.

Veamos los estadísticos descriptivos básicos tanto para las variables pretest y postest como para la

variable diferencia. Dado que en este caso la homogeneidad de varianzas no es una cuestión

esencial, no es necesario aportar la información sobre el coeficiente de variación:

n Mdn As Curt

Pretest 260 36.86 36 7.36 0.06 -0.58

Postest 260 36.73 38 6.59 -0.33 -0.46

Diferencia 260 -0.13 -1 9.48 0.23 -0.22

Parece que los estudiantes mostraron un nivel de desempeño prácticamente igual (ligeramente

superior en el pretest) en el pretest y en el postest67. Los niveles de asimetría en el pretest son

5 ¿Cuándo buscaremos que las puntuaciones en el postest sean más altas? ¿Y más bajas?

6 ¿Es deseable en este caso, en base al diseño, que los sujetos obtengan una puntuación más alta en el pretest?

7 ¿Por qué en la mediana sí se localizan esas diferencias? (piensa en las distribuciones de las variables)


46

prácticamente nulos y de ligera asimetría negativa en el postest, mientras que la variable diferencia

muestra una ligera asimetría positiva. En cuanto a la curtosis, tenemos una ligera curtosis platicúrtica

en todos los casos.


Veamos si estos ligeros desvíos en cuanto a la asimetría y la curtosis son suficientes para rechazar la

normalidad de las variables o no. En primer lugar, podemos observar el histograma de la variable

diferencia.

A priori parece que la distribución tiene una variación muy ligera sobre la distribución normal teórica.

En todo caso, aunque podríamos considerar la distribución normal a partir de este gráfico, siempre

es mejor realizar el contraste, la prueba de Kolmogorov-Smirnov, que recordemos que tiene las

siguientes hipótesis:



Zk-s P-VALOR

Diferencia 1.201 0.112

Recordemos que el nivel de significación es del 5%, es decir, aceptaremos la hipótesis nula cuando el

p-valor sea superior o igual a 0.05 y la rechazaremos cuando sea inferior a este valor. En este caso, el

contraste indica un p-valor superior a 0.05, por lo que aceptamos H0, es decir, podemos afirmar que

la distribución de la variable diferencia proviene de la distribución normal. Así, puedo continuar con

el contraste de hipótesis.

3. CONTRASTE PARAMÉTRICO: PRUEBA DE T PARA GRUPOS O MUESTRAS RELACIONADAS

Una vez hemos hecho un análisis descriptivo de las variables que vamos a contrastar y hemos

comprobado el supuesto de normalidad de la nueva variable generada denominada diferencia,


47

seleccionarmos menú analizar Comparar medias Prueba T para muestras relacionadas. En este

caso, en la ventana emergente, debemos añadir como variable 1 la puntuación en el postest y como

variable 2 la puntuación en el pretest89 de agrupación la variable cualitativa que establece los dos

grupos (comunidad autónoma en este caso) y en el botón ‘definir grupos’ indicar los dos grupos que

se quieren comparar10. En grupo 1 y grupo 2 deberemos añadir el número con el que se han

codificado ambos grupos (recordemos que esto lo podemos ver en la vista de variables, en ‘valores’).

Por otra parte, en la ventana ‘variables para contrastar’ se debe añadir la variable cuantitativa (en

este caso la puntuación en el pretest).

Obtenemos las siguientes tablas:

Estadísticos de muestras relacionadas

Media N Desviación típ.

Error típ. de la

media

Par 1 Puntuación en el postest


36,7308 260 6,59330 ,40890



36,8577 260 7,36467 ,45674

Correlaciones de muestras relacionadas

N Correlación Sig.

Par 1 Puntuación en el postest

(competencias digitales) y



260 ,082 ,190

Prueba de muestras relacionadas

Diferencias relacionadas

t gl

Sig.

(bilateral) Media Desv.Tip. E.T. media

95% Int. conf. dif.

Inferior Superior

Par 1 Punt. post-Punt. pret -,12692 9,47600 ,58768 -1,28416 1,03031 -,216 259 ,829

En este caso no hay comprobación de la igualdad de varianzas porque el procedimiento sólo trabaja

con una variable, la variable diferencia. Recordemos la hipótesis planteada en esta prueba de t para

grupos relacionados:

H0: Postest= Pretest

H1: Postest≠ Pretest

8 ¿En qué casos podría ser más interesante poner el pretest como variable 1 y el postest como variable 2?

9 ¿Qué crees que ocurrirá si ponemos las variables al revés?

10 ¿Por qué crees que el SPSS requiere que definas qué grupos comparar?


48

Por lo tanto, estamos planteando si es plausible aceptar que el grupo de estudiantes ha demostrado

niveles de desempeño diferentes en el pretest y el postest (H1) o si los niveles mostrados en ambas

pruebas se pueden considerar iguales (H0).

En este caso, nos encontramos con información complementaria similar al caso de la prueba de t

para grupos independientes. Además del valor del estadístico de contraste (t) y el de la significación

de la prueba (p-valor), nos encontramos con los grados de libertad de la prueba (gl), la diferencia de

medias (postest – pretest, en la tabla llamada ‘Media’), el error típico, y el intervalo de confianza de

la diferencia de medias. En este caso, ese intervalo (-1.28416, 1.03031) se puede calcular a partir de

la siguiente fórmula:

Podríamos interpretar directamente el contraste a partir de ese intervalo de confianza11, pero en

todo caso, es suficiente con informar del valor del estadístico de contraste t y el p-valor. Podríamos

resumir todo el proceso de la siguiente manera:

Tras la exploración inicial del comportamiento de la variables puntuación en el pretest

y en el postest, y la comprobación del supuesto de normalidad de la variable diferencia

(Zk-s=1.201; p.=0.112), se aplica el contraste de hipótesis paramétrico. Asumiendo un

nivel de significación del 5%, el resultado de la prueba de t para grupos relacionados

muestra que no existen diferencias significativas entre las puntuaciones del pretest y el

postest (t=-0.216; p.=0.829). Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula, y se puede

afirmar que los estudiantes han alcanzado niveles similares de desempeño en el

pretest y en el postest.

4. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: TEST O PRUEBA DE WILCOXON

El contraste no paramétrico equivalente a la prueba de t paramétrica para grupos relacionados se

denomina test de Wilcoxon. Simplemente realiza el contraste de la igualdad de medianas de dos

variables en un mismo grupo cuando no se asegura el supuesto de normalidad de la variable

diferencia o cuando se quieren comparar dos variables ordinales. Las hipótesis planteadas son las

siguientes:

H0: MdnPost = MdnPret

H1: MdnPost ≠ MdnPret

Imaginemos que, en el ejemplo anterior, hubiéramos determinado en las pruebas de normalidad que

la variable diferencia (postest-prestest) no se distribuye normalmente. En ese caso deberíamos haber

aplicado la prueba de Wilcoxon de la manera que se expone a continuación. En primer lugar, para

solicitar la prueba debemos acceder en SPSS a menú analizar contrastes no paramétricos

Cuadros de diálogo antiguos 2 muestras relacionadas. La ventana emergente que aparece es

prácticamente igual a la que utilizamos en la prueba de t para muestras relacionadas, simplemente

deberemos insertar la variable postest en la columna 1 y la pretest en la columna 2. Las tablas

resultantes de solicitar el contraste en SPSS son las siguientes:

11

¿Cómo podríamos hacerlo?


49

Rangos

N

Rango

promedio Suma de rangos


(competencias digitales) -

Puntuación en el postest


Rangos negativos 112a 136,06 15238,50

Rangos positivos 139b 117,90 16387,50

Empates 9c

Total 260

a. Puntuación en el pretest (competencias digitales) < Puntuación en el postest (competencias digitales)

b. Puntuación en el pretest (competencias digitales) > Puntuación en el postest (competencias digitales)

c. Puntuación en el pretest (competencias digitales) = Puntuación en el postest (competencias digitales)

Estadísticos de contrasteb

Puntuación en el pretest (competencias

digitales) - Puntuación en el postest


Z -,499a


a. Basado en los rangos negativos.

b. Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon

En la primera tabla se observan los rangos. Esta prueba va comparando cada pareja de valores en las

dos variables para cada sujeto, y comprueba si un sujeto posee una puntuación mayor, menor o igual

en la primera variable que en la segunda. Como indica bajo la tabla, los rangos positivos se referirán a

aquellas veces en las que el sujeto ha obtenido una puntuación mayor en el pretest que en el

postest, los rangos negativos cuando el sujeto ha obtenido una puntuación mayor en el postest que

en el pretest y los empates cuando la puntuación ha sido exactamente la misma. Se observa que, de

los 260 estudiantes de la muestra, 139 obtuvieron una nota superior en el pretest, 112 en el postest

y 9 obtuvieron puntuaciones iguales. No es necesario interpretar el rango promedio ni la suma de

rangos haciendo una interpretación correcta de esta N.

Una vez visto que hay más sujetos en la muestra que obtienen mejor puntuación en el pretest que en

el postest, podemos comprobar si esas diferencias son significativas a partir del contraste de

hipótesis no paramétrico de la prueba de la W de Wilcoxon. Resulta que estas diferencias no son

significativas (Z=0.499; p.=0.618), por lo que aceptamos H0 y no podemos afirmar que los sujetos

obtienen puntuaciones más altas en el pretest que en el postest (y evidentemente, tampoco

podemos realizar la afirmación contraria).


50

K MUESTRAS INDEPENDIENTES

En ocasiones nos ocurre que queremos comparar las puntuaciones en una variable de más de dos

grupos al mismo tiempo. Imaginemos, por ejemplo, que nos interesa comparar el rendimiento

académico en matemáticas de los estudiantes de las distintas provincias de Castilla y León; en este

caso, debemos aplicar una técnica que permita comparar a varios grupos a la vez (estudiantes de

Ávila, Burgos, León, Palencia, Valladolid, etc.). El conjunto de técnicas que vamos a exponer aquí

permiten realizar estos cálculos de manera conjunta, sin tener que separar los grupos en cada una de

las parejas posibles y realizar varias pruebas para 2 muestras independientes.

En este ejemplo, vamos a comparar el rendimiento alcanzado en Lengua Castellana por los

estudiantes de las distintas provincias de Castilla y León representadas en la Base de Datos. Así, lo

primero que debemos hacer es seleccionar los datos de los estudiantes de Castilla y León. Para ello

vamos a menú datos Seleccionar casos. En la ventana emergente debemos seleccionar ‘si se

satisface la condición’, y en el cuadro en blanco de la ventana ‘si la opción’, añadir en el cuadro

blanco la variable Comunidad autónoma y poner ‘=1’ (en la ventana debe aparecer el texto

‘CCAA=1’).


Parece que la distribución por provincia está repartida de modo razonablemente equilibrado y que

tenemos más de 30 sujetos por grupo, por lo que estaríamos en condiciones de aplicar un contraste

de hipótesis. Tenemos 200 estudiantes en Castilla y León que se reparten del siguiente modo:

En cuanto al rendimiento en Lengua, la puntuación media de los estudiantes de la muestra de

Salamanca es más alta, y cómo tenemos niveles de dispersión superiores en Valladolid y variaciones

generales muy altas. La asimetría es claramente negativa y la curtosis mesocúrtica en Salamanca,

mientras que tenemos curtosis platicúrticas y ligera asimetría positiva en las otras provincias.

Mdn CV As Curt

Valladolid 5.06 4.6 2.66 52.57% 0.25 -1.14

León 5.27 5.6 2.19 41.56% 0.10 -0.61

Total 6.80 7.15 2.14 31.48% -0.75 0.02

49

69

82

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Valladolid León Salamanca

Provincia


51

A priori, parece que las distribuciones de alguna de las variables pueden alejarse de la distribución

normal, tanto por los estadísticos de forma como por la gran variación de las mismas. Veamos para

confirmar estas observaciones el análisis de los supuestos previos.


En este caso será necesario comprobar tanto el supuesto previo de normalidad como el de

homocedasticidad.

Veremos en primer lugar la prueba de normalidad, tras el análisis de los histogramas de las

distribuciones de las variables (forzando a 10 intervalos y el eje X con puntuaciones entre 0 y 10).

Vemos distribuciones alejadas de la normalidad por varias cuestiones tanto en Valladolid (curtosis

platicúrtica) como en Salamanca (asimetría negativa). En todo caso, veamos lo que ocurre cuando

aplicamos la prueba de normalidad. Recordemos antes las hipótesis planteadas en este contraste:


52



Zk-s P-VALOR

Valladolid 0.844 0.475

León 0.567 0.905

Salamanca 1.231 0.097

En base a estos resultados no tenemos evidencias suficientes para afirmar que existen diferencias

significativas entre la distribución normal y las distribuciones de la variable rendimiento en lengua en

los grupos. No obstante, aún tenemos que comprobar la hipótesis de igualdad de varianzas. Para ello,

tras quitar la segmentación del archivo, accedemos a menú analizar Comparar medias ANOVA

de un factor. En la ventana emergente debemos añadir en la ‘lista de dependientes la variable

continua que queremos contrastar (rendimiento en lengua) y en el factor la variable de agrupación

(provincia). En el botón ‘opciones’ debemos seleccionar la opción ‘prueba de homogeneidad de las

varianzas’. Recordemos las hipótesis asociadas a la prueba de homogeneidad de varianzas:

H0: Las varianzas en la variable de los 3 grupos son iguales

H1: Las varianzas en la variable de los 3 grupos no son iguales

La primera tabla que nos aparece es la que debemos interpretar:

Prueba de homogeneidad de varianzas

Rendimiento en Lengua Castellana

Estadístico de

Levene gl1 gl2 Sig.

3,825 2 197 ,023

Se observa un p-valor de 0.023<0.05. Por lo tanto, rechazo H0, y puedo afirmar que las varianzas

entre los grupos no son iguales, es decir, que no existe homocedasticidad. Este resultado imposibilita

la aplicación de las técnicas paramétricas, por lo que vamos a aplicar en este caso el contraste no

paramétrico.

3. CONTRASTE NO PARAMÉTRICO: PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS

Bien, una vez hecho todo lo anterior, vamos a completar la prueba. Para ello, vamos a menú datos

Segmentar archivo y seleccionamos ‘analizar todos los casos…’.

Una vez estamos seguros de que el archivo no está segmentado, seleccionarmos menú analizar

Pruebas no paramétricas Muestras independientes. En la pestaña ‘objetivo’ de la ventana

emergente, debemos seleccionar ‘personalizar análisis’. Tras esto, accedemos a la pestaña ‘campos’,

donde añadimos en el cuadro ‘campos de prueba’ la variable de contraste (en este caso, rendimiento

en Lengua), y en el cuadro ‘grupos’ la variable de agrupación (en este caso, provincia). Una vez hecho

eso, accedemos a la pestaña ‘Configuración’, hacemos clic en ‘personalizar pruebas’, y seleccionamos

ANOVA de 1 vía de Kruskal-Wallis. Seleccionamos ‘ejecutar’ y nos aparecerá en la ventana de


53

resultados la información del contraste. Recordemos antes de nada las hipótesis asociadas a este

contraste no paramétrico:

H0: MdnVallad= MdnLeón = MdnSalam

H1: MdnVallad≠ MdnLeón ≠ MdnSalam

Por tanto, el contraste principal simplemente indica si existen o no existen diferencias significativas

entre alguno de los 3 grupos, independientemente de entre qué grupos se obtengan las diferencias.

La tabla mostrada inicialmente es la siguiente:

La información mostrada es muy simple y nos dice directamente que existen diferencias significativas

entre las medianas de alguno de los tres grupos. Veamos la información un poco más detallada

haciendo doble clic encima del cuadro en SPSS:

En este caso ya vemos la información un poco más desarrollada: en los 200 sujetos que compone la

muestra de estudiantes de Castilla y León, parece que la división por Provincia devuelve diferencias


54

significativas (2=22.902; p.<0.001). El diagrama de cajas ya nos muestra que parece que, mientras

que Valladolid y León poseen distribuciones de puntuaciones similares, los estudiantes de Salamanca

tienden a unas puntuaciones superiores. Si recordamos los estadísticos descriptivos obtenidos más

arriba, la mediana del rendimiento en Lengua de los estudiantes de Valladolid era de 4.6, de los de

León 5.6 y de los de Salamanca 7.15.

Pero en este punto surge una duda, ¿es esta información suficiente para poder hacer una

interpretación clara de las diferencias entre los grupos? Evidentemente, esta información global no

es suficiente, ya que no nos permite saber entre qué parejas de grupos en concreto (en este caso

entre qué provincias) se establecen estas diferencias. Para realizar esta comprobación, SPSS incluye

las pruebas post-hoc, es decir, las pruebas por parejas asociadas al contraste de Kruskal-Wallis. Para

acceder a ellas, en la misma ventana en la que hemos localizado la información de los diagramas de

cajas, el N, el valor del estadístico de contraste Chi-Cuadrado, los grados de libertad y el p-valor,

buscamos en la ventana de la derecha la opción ‘ver’, hacemos clic en el desplegable, y

seleccionamos la categoría ‘Comparaciones por parejas’. Se nos abrirá la siguiente información:


55

Cada uno de los puntos del gráfico nos indica cada uno de los grupos y las líneas los contrastes. Las

líneas amarillas se corresponden con los contrastes que han resultado significativos en las

comparaciones por parejas. La información concreta está desplegada en la tabla inferior. En esta

tabla tenemos tanto la información del estadístico de contraste (Prueba estadística), como la

información sobre la desviación y error típico en cada contraste y la significación de la prueba. De las

dos columnas de la significación siempre hay que interpretar como p-valor la que dice ‘sig. ady.’.

En este caso, se puede concluir que la muestra de estudiantes de Salamanca ha obtenido

puntuaciones medianas significativamente superiores (rechazo H0) tanto con respecto a los

estudiantes de León (2=-38.695; p.<0.001), como en relación a los estudiantes de Valladolid (2=-

41.280; p.<0.001). Sin embargo, no existen diferencias significativas (acepto H0) entre el rendimiento

demostrado por los estudiantes de León y de Valladolid (2=-2.584; p.>0.999).

Así pues, la prueba de Kruskal-Wallis me permite comparar el desempeño en una variable

cuantitativa (cuando no se cumplen las condiciones de normalidad o homocedasticidad) u ordinal en

varios grupos al mismo tiempo (variable cualitativa politómica), y comprobar entre qué grupos

exactamente se generan las diferencias significativas, en el caso de existir.

4. CONTRASTE PARAMÉTRICO: ANOVA DE 1 FACTOR

Nos puede ocurrir que se cumplan las condiciones de normalidad y homocedasticidad, caso en el que

podremos realizar el contraste de hipótesis paramétrico denominado ANOVA (Análisis de Varianza)

de 1 factor. Imaginemos, en el ejemplo anterior, que se cumplen las condiciones de normalidad y

homocedasticidad, por lo que estaríamos en condiciones de realizar este contraste.

Recordemos que para poder aplicar el ANOVA de 1 factor es necesario disponer en SPSS de una

variable cuantitativa (variable de contraste) y otra cualitativa politómica (variable de agrupación).

En el ejemplo anterior, para realizar este contraste de hipótesis, debemos acceder a menú analizar

Comparar medias Anova de un factor. En la ventana emergente debemos añadir en la ‘lista de

dependientes la variable continua que queremos contrastar (rendimiento en lengua) y en el factor la

variable de agrupación (provincia). Por otro lado, es recomendable que seleccionemos en el botón

‘opciones’ la opción ‘descriptivos’ (si no hemos comprobado la homocedasticidad, recordemos en

esta misma opción debemos seleccionar ‘prueba de homogeneidad de las varianzas’). Para que, en

caso de localizarse diferencias significativas en el contraste general, se realicen las pruebas post hoc

para cada pareja de grupos, debemos seleccionar el botón ‘Post hoc…’, y seleccionar la opción

‘Scheffé’. Estas pruebas post-hoc realizan una prueba de t para 2 grupos independientes en cada

pareja.

Recordemos las hipótesis del contraste principal:

H0: Vallad= León = Salam

H1: Vallad≠ León ≠ Salam

Las tablas principales que devuelve SPSS en este contraste se muestran a continuación:


56

Descriptivos


N Media Desviación

típica

Error

típico

I.C. para la media al 95% Mínimo Máximo

Lím inferior Lím. superior

Valladolid 49 5,0627 2,65983 ,37998 4,2987 5,8266 ,90 9,98

León 69 5,2732 2,19392 ,26412 4,7462 5,8002 1,20 10,00

Salamanca 82 6,8041 2,13677 ,23597 6,3346 7,2736 1,30 10,00

Total 200 5,8493 2,41925 ,17107 5,5120 6,1866 ,90 10,00

ANOVA de un factor


Suma de

cuadrados

gl Media cuadrática F Sig.

Inter-grupos 127,985 2 63,993 12,160 ,000

Intra-grupos 1036,719 197 5,263

Total 1164,704 199

Pruebas post hoc

Comparaciones múltiples

Variable dependiente: Rendimiento en Lengua Castellana

Scheffé

(I) Provincia (J) Provincia Diferencia de

medias (I-J)

Error

típico

Sig. Intervalo de confianza al 95%

Límite inferior Límite superior

Valladolid León -,21054 ,42856 ,886 -1,2676 ,8465

Salamanca -1,74149* ,41422 ,000 -2,7632 -,7198

León Valladolid ,21054 ,42856 ,886 -,8465 1,2676

Salamanca -1,53096* ,37476 ,000 -2,4553 -,6066

Salamanca Valladolid 1,74149

* ,41422 ,000 ,7198 2,7632

León 1,53096* ,37476 ,000 ,6066 2,4553

*. La diferencia de medias es significativa al nivel 0.05.

En primer lugar, se muestra la tabla de los estadísticos descriptivos para los 3 grupos de estudiantes.

Vemos inicialmente la N, media, desviación típica y error típico para cada grupo en la variable

rendimiento en lengua, y en las últimas columnas la puntuación mínima y máxima registrada en la

variable. El intervalo de confianza mostrado es el resultante del cálculo del intervalo para la media,

que ya vimos en el primer tema. Por ejemplo, en el caso de los estudiantes de Valladolid:

Realmente, podríamos comparar estos intervalos de confianza de la media para anticiparnos al

resultado del contraste:


57

Se observa en el gráfico anterior cómo, mientras que los intervalos de confianza de León y Valladolid

tienen una parte en la que se superponen (no existen diferencias significativas en la media de estos

dos grupos), el intervalo de confianza del rendimiento medio en Lengua en el caso de los estudiantes

de Salamanca no se solapa en ningún caso con los otros dos grupos. Así, podríamos concluir

simplemente con esta información que existen diferencias significativas globales entre los grupos y

que las diferencias existen entre los estudiantes de Salamanca y los de León-Valladolid, teniendo los

estudiantes de Salamanca un rendimiento medio superior a los otros dos grupos.

En todo caso, vamos a analizar el resto de datos para confirmar estas afirmaciones. La segunda tabla

(ANOVA de un factor), muestra los resultados del contraste de hipótesis principal, el que determina si

existen diferencias globales entre los grupos. La información que interesa interpretar de esa tabla es

la puntuación del estadístico de contraste, en este caso F, y el p-valor (Sig.). Los valores de la Suma

de Cuadrados, grados de libertad y Media Cuadrática serán explicados a nivel teórico en el siguiente

apartado. En este ejemplo, los resultados obtenidos en el contraste de hipótesis del ANOVA de 1

factor indican que existen diferencias significativas entre los grupos en cuanto al rendimiento en

lengua (F=12.16; p.<0.001), es decir, que rechazo la hipótesis nula de que no existen diferencias

entre los grupos.

En lo que respecta a las pruebas post-hoc, que determinan entre qué grupos en concreto se localizan

las diferencias, vemos información sobre la diferencia concreta de medias de cada pareja

contrastada, el error típico del contraste, el p-valor asociado al contraste y el intervalo de confianza

de la diferencia de medias, calculado a partir de la obtención de la amplitud del intervalo (t*E.T.). Se

observa que los contrastes significativos resultan de la comparación SALAMANCA-LEÓN (p.<0.001) y

SALAMANCA-VALLADOLID (p.<0.001), mientras que la comparación de la diferencia de medias LEÓN-

VALLADOLID no resulta significativa (p.=0.886). Así, se confirman las observaciones realizadas a partir

del gráfico y los intervalos de confianza iniciales:

Los resultados de la prueba de ANOVA de un factor para comprobar si los estudiantes

de las distintas provincias de Castilla y León obtienen rendimientos medios en Lengua

5,06

5,27

6,80

4,30

4,75

6,33

5,83 5,80

7,27

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

Media

Lím. Inf

Lím. Sup.

Valladolid León Salamanca


58

Castellana diferentes resultan significativos (F=12.16; p.<0.001). Así, se rechaza la

hipótesis nula de que no existen diferencias en las medias de los grupos de

estudiantes, y es necesario aplicar las pruebas post-hoc para determinar entre qué

grupos en concreto se obtienen las diferencias. En estas pruebas post-hoc se confirma

que el grupo de estudiantes de Salamanca alcanza rendimientos medios más altos

tanto con respecto a los estudiantes de Valladolid como a los estudiantes leoneses

(p<.001), y que no existen diferencias significativas entre los estudiantes de Valladolid

y León (p=0.886).

5. EXPLICACIÓN TEÓRICA: ANOVA DE 1 FACTOR

Cabe realizar una breve explicación de los valores de la tabla de ANOVA que no se han interpretado

(Suma de cuadrados, grados de libertad y Cuadrados medios). Veamos la siguiente tabla-resumen:

Suma de cuadrados gl Media

cuadrática F Sig.

Efectos principales

I-1

p-valor

Error

n-I

Total n-1

Se observa el cálculo de todas las celdas. Veamos un pequeño ejemplo para hacernos una idea.

Imaginemos que tenemos un grupo de 12 estudiantes en un aula de educación infantil y queremos

comprobar si el nivel de comprensión lectora (medido en una escala de 0 a 100 puntos) cambia en

función del método de enseñanza de la lectura aplicado a los estudiantes (método alfabético, mixto y

global). Así, dividimos a los 12 estudiantes en 3 grupos de 4 estudiantes y a cada grupo le enseñamos

durante todo el curso con uno de los 3 métodos. Al final del curso medimos el nivel de comprensión

lectora, obteniendo los siguientes resultados:

Alfabético Mixto Global

60 39 60

30 66 75

50 80 62

45 58 88

Si quisiéramos preparar los datos para utilizar en SPSS, la información debería aparecer del siguiente

modo:


59

Comprensión lectora Método*

1 60 1

2 30 1

3 50 1

4 45 1

5 39 2

6 66 2

7 80 2

8 58 2

9 60 3

10 75 3

11 62 3

12 88 3

1=Método alfabético; 2= Método mixto; 3=Método global

Pues bien, primero debemos calcular algunas cuestiones básicas:

I= 3 (existen 3 grupos de sujetos, uno por método de enseñanza de la lectura).

A partir de aquí puedo calcular las sumas de cuadrados:

Nótese que

A partir de aquí ya sólo me queda calcular las medias cuadráticas, el valor de F y el p-valor asociado:

Veamos pues la tabla de ANOVA completa que se obtiene de estos cálculos:

Suma de cuadrados gl Media

cuadrática F Sig.

Ef. Ppales 1260.67 2 630.33 30.59 0.097

Error 1854.25 9 206.03

Total 3114.92 11


60

Por tanto, en este caso, dado que el p-valor es superior al nivel alfa (0.05), podemos determinar que

no existen diferencias significativas en cuanto al nivel de comprensión lectora alcanzado en función

del método de enseñanza aplicado a los estudiantes. No es necesario, pues, aplicar los contrastes de

hipótesis post-hoc para comprobar las diferencias entre cada pareja, ya que este contraste nos indica

que no existen diferencias entre ninguna de las parejas.

Análisis de datos inferencial paramétrico y no paramétrico en Ciencias Sociales

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