UNIVERSIDAD TECNOLGICADEL PERFILIAL AREQUIPA

FACULTAD DE INGENIERAS

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIER INDUSTRIAL

Informe final del trabajo de investigacin titulado:

VIBRACIONES MECANICAS CON ECUACIONES DIFERENCIALES

Pertenece:Condori Quenta Stephanie Mishell

Docente:Candelario Caapataa Mamani

AREQUIPA PER2015

1. INTRODUCCIN

Una de las razones por las que vale estudiar las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes es porque sirven como modelos matemticos de algunos procesos fsicos importantes. Hay varias aplicaciones; una de ellas son las vibraciones mecnicas. Por ejemplo, el movimiento de una masa de un resorte vibrante, las oscilaciones de torsin de un rbol con un volante.

Las vibraciones forzadas son aquellas que se producen por accin de fuerzas dependientes del tiempo. Su estudio es quizs uno de los casos ms complejos del anlisis de vibracin, y, las analogas elctricas pueden ser muy tiles, ya que por medio de circuitos elctricos oscilantes se pueden obtener modelos de simulacin numrica y fsica simplificados, que en la prctica son ms sencillos de abordar y construir, respectivamente los circuitos elctricos son ms fciles de construir en laboratorio que los modelos mecnicos, adems es posible modificar rpidamente sus caractersticas variando la inductancia, resistencia o capacidad de los distintos componentes. Las ecuaciones diferenciales alcanzadas en los circuitos mencionados son del mismo tipo de las obtenidas por planteamientos clsicos de equilibrio de fuerzas.

Una opcin es el estudio matemtico riguroso, donde se determina la solucin de las ecuaciones diferenciales de movimiento mediante la va analtica, y otra opcin es la solucin numrica empleando modelos de simulacin que pueden ser de tipo mecnico o elctrico (Den, 1982).

EL ORIGEN DE LAS VIBRACIONES

Es difcil establecer el origen de la ciencia de las vibraciones mecnicas, ni si quiera adjudicar a una sola persona el ttulo del padre de la ciencia de las vibraciones ya que a travs de la historia grandes cientficos realizaron importantes aportaciones que hicieron hoy en da del fenmeno de las vibraciones toda una ciencia. Hay un breve recorrido de algunos personajes de ciencia que hicieron aportaciones sobre el fenmeno de las vibraciones. Remontndose en la historia, un personaje celebre de la antigua Grecia sorprenda con grandes e importantes aportaciones filosficas y matemticas, sobre todo en el rea de aritmtica; hoy en da todos conocemos de l gracias a un famoso teorema dado en su honor conocido como el teorema de Pitgoras. Pitgoras (570 497 a.C.) desarroll la teora de los nmeros y la teora de la msica y de la armona en donde afirmaba la relacin entre estas dos ciencias. Cuenta la historia que un da pas por una herrera y se qued sorprendido al darse cuenta de la rtmica regularidad con la que el herrero haca repicar el martillo sobre el yunque; tal fue su admiracin que llegado a su casa se puso a experimentar, haciendo vibrar varias agujas del mismo espesor y misma tensin, pero de distinta longitud.

Figura 01. Pitgoras

De esta manera pudo concluir que las notas dependan de la frecuencia de vibracin, esto mismo Pitgoras lo calcul y concluy que la msica no era ms que una relacin matemtica de las vibraciones medidas segn intervalos.Por otro lado un importante filsofo e investigador llamado Aristteles (374-355 a.C.). Trabajo con las leyes del movimiento, escribi el primer escrito relacionado con la acstica llamado OnAcoustic, introdujo el principio del trabajo virtual

Figura 02. Aristteles

En el presente siglo uno de los personajes de ciencia ms inquietados por este fenmeno es conocido como Galileo Galilei (1564-1642). Galileo encontr la relacin existente entre la longitud de cuerda de un pndulo y su frecuencia de oscilacin, adems encontr la relacin entre la tensin, longitud y frecuencia de vibracin de las cuerdas. Se cuenta que cierta vez, mientras observaba despreocupadamente las oscilaciones de un candelabro en la catedral de Pisa Galileo Galilei se interes en medir el tiempo de cada oscilacin comparndolo con el nmero de latidos de su pulso (en esa poca todava no se inventabalos relojes ni los cronmetros). Pudo comprobar, sorprendido, que aun cuando las oscilaciones fueran cada vez ms menores, el tiempo de cada oscilacin era siempre el mismo.

Al repetir el experimento en su casa, comprob lo anterior utilizando un pndulo (una piedra atada al extremo de una cuerda), encontrando adems que el tiempo de la oscilacin dependa de la longitud de la cuerda.

Figura 03. Galileo Galilei

Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elstica o gravitacional, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio.

El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo completo de movimiento se llama periodo devibracin, el nmero de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.

La ventaja de los modelos elctricos es la sencillez de su construccin a nivel computacional, mediante el empleo de herramientas de ingeniera asistida por computador CAE y an ms desde el punto de vista fsico, ya que un circuito elctrico es ms sencillo de construir que un modelo fsico de tipo mecnico.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la actualidad los investigadores han encontrado aplicaciones de las vibraciones mecnicas como antes no se haba imaginado. Sin embargo no todas las vibraciones son malas, algunas se producen con propsitos especficos en algn proceso industrial y generalmente son controladas, estas vibraciones son llamadas buenas vibraciones; por ejemplo: procesos de centrifugado para separar desechos de materiales, transportacin de material por bandas vibratorias.

Figura 04. Acabado y pulido por vibracin, elevadores vibrantes, etc.

3. OBJETIVOS

3.1. OBJETIVO GENERAL

Contrastar la ecuacin diferencial que rige el movimiento en cada tipo de vibracin.

3.2. OBJETIVOS ESPECFICOS

Identificar las fuerzas que actan sobre un sistema vibrante.

Clasificar las vibraciones en funcin de la presencia o ausencia de amortiguamiento y de estmulos externos.

Distinguir los movimientos armnico y no armnico.

4. MARCO TERICO

4.1. Qu es vibracin?

En su forma ms sencilla, una vibracin se puede considerar como la oscilacin o el movimiento repetitivo de un objeto alrededor de una posicin de equilibrio. La posicin de equilibrio es la a la que llegar cuando la fuerza que acta sobre l sea cero. Este tipo de vibracin se llama vibracin de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma direccin en cualquier momento.La vibracin de un objeto es causada por una fuerza de excitacin. Esta fuerza se puede aplicar externamente al objeto o puede tener su origen a dentro del objeto.

4.2. Vibracin Mecnica

Es el movimiento de vaivn de las molculas de su cuerpo o sistema debido a que posee caractersticas energticas cinticas y potenciales.En cualquiera que sea el caso, la excitacin es el suministro de energa. Como ejemplos de excitacin instantnea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgue de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformacin inicial de un sistema masa resorte, etc.

Como ejemplo de una excitacin constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibracin por desbalance, el motor de un automvil, un tramo de retenedores es una excitacin constante para el sistema vibratorio de un automvil, etc.

En general, se suponen vibraciones de pequea amplitud porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio.

Supongamos el sistema de la figura, formado por una masa principal m, un elemento recuperador elstico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c.

Figura 05. Vibracin mecnica

Sabemos que:

K: constante de rigidez elsticaM: masa principalC: coeficiente de amortiguacinF: resultante de las fuerzas exterioresLo: longitud inicial del muelleXest: deformacin en equilibrio estticoX: desplazamiento

La ecuacin del equilibrio dinmico permite establecer la ecuacin diferencial del movimiento:

Fuerzas que actan sobre la masa en direccin vertical

Fuerza de inercia Fuerza elstica Fuerza amortiguadora Fuerza de gravedad mg Fuerza exterior F

Siendo F la fuerza aplicada directamente al sistema, mx la fuerza de inercia, cx la fuerza amortiguadora de tipo viscoso y kx la fuerza elstica, con las condiciones m>0, c>0 y m>0.

Ley de Hooke:

La masa principal tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite nicamente desplazamientos verticales.

El muelle tiene una masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elstica es proporcional a la deformacin (x).

El dispositivo amortiguador tiene sus masas mviles despreciables frente a la masa principal del sistema y su fuerza amortiguadora (tambin recuperadora) es opuesta la velocidad y proporcional a ella (x)

El sistema se supone en el vaco

4.3. CLASIFICACIN

4.3.1. VIBRACIONES LIBRES: Cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo (F=0).

VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO: Este modelo lo llamaremos el modelo tpico, y la ecuacin diferencial que determina su comportamiento lo llamaremos la forma cannica de un sistema libre no amortiguado.

Figura 06. Vibraciones libre sin amortiguamiento

La ecuacin diferencial del movimiento es:

Su ecuacin caracterstica es mr2 + k = 0; donde

Siendo sus races imaginarias conjugadas.

Solucin general:Movimiento armonico

Figura 07. : (a), entonces despus de esta perturbacin el sistema oscilara sin detenerse ya que no existe amortiguamiento. Justo despus de la perturbacin, un anlisis dinmico se muestra; (c) en donde kxdenota la fuerza elstica y denota la fuerza inercial que est a 180.

: amplitud (A): frecuencia

: fase inicial: constantes

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO: En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energa mecnica debido a algn tipo de friccin o rozamiento, de forma que dejado libremente a s mismo, un muelle o pndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energa mecnica disminuyen con el tiempo.

La ecuacin diferencial que describe el movimiento es:

4.3.2. VIBRACIONES FORZADAS: Como el mismo trmino menciona se refieren a que fuerzas externas son las responsables de la vibraciones que se producen en el sistema.

Una forma de suministrar energaalsistema es mover el soporte hacia arriba y hacia abajo.

Si esos desplazamientos se realizan con movimiento armnico simple, de pequea amplitud y frecuencia w el sistema empezar a oscilar y finalmente alcanzar el estado estacionario.

I. ESQUEMA DEL TRABAJO FINAL:5. Introduccin6. Planteamiento del problema.7. Objetivos (generales y especficos)8. Marco terico.9. Desarrollo del tema.10. Conclusiones.11. Bibliografa.http://es.slideshare.net/dimasjimenezrivero/vibraciones-mecanicashttp://www.tav.net/transductores/vibraciones-mecanicas.pdfhttp://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/contenidos/tema-4/VIBRACIONESMECANICAS.pdfhttp://www.redalyc.org/pdf/643/64329102.pdf

http://ecuas-urlxela.blogspot.com/2010/10/vibraciones-mecanicas-y-electricas.html

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/contenidos/tema-4/VibracionesMecanicas.pdf