CAPITULO 2 ECUACION Y LUGAR GEOMETRICO

2.1 Introducción

En geometría analítica, a la curva trazada por un punto en movimiento se le denomina lugar geométrico de ese punto. El concepto de lugar geométrico es fundamental, no sólo para la geometría analítica, sino también para otras ramas de la ciencia, como la física y la astronomía, ya que es inherente a la trayectoria trazada por una partícula en movimiento.

En geometría analítica, existen fundamentalmente dos tipos de problemas, a saber :

a) Dada una ecuación, obtener el lugar geométrico correspondiente y sus propiedades.b) Dado un lugar geométrico, encontrar la ecuación correspondiente

2.2 Lugar geométrico de una ecuación

Se llama lugar geométrico o gráfica de una ecuación de dos variables, a la recta o curva, que contiene todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.

Para representar gráficamente el lugar geométrico de una ecuación, es conveniente, para determinar su forma, conocer algunas propiedades de dicho lugar, como por ejemplo: intersecciones con los ejes, simetrías, rango de variación de las variables,etc.

Ejemplo 1.- Consideremos la ecuación x = 3, sin poner restricciones al valor de y. ¿Cómo será el lugar geométrico?

Figura 2.1

Los puntos de este lugar geométrico pertenecen a una recta paralela al eje Y que dista a 3 unidades. Ningún otro punto fuera de esta recta satisface la ecuación. La recta es el lugar geométrico de la ecuación y x=3 es la ecuación de la recta.Ejemplo 2.- Dibujar el lugar geométrico de la ecuación y = - 2

Figura 2.2

Los puntos de este lugar geométrico pertenecen a una recta paralela al eje X que dista a -2 unidades. Ningún otro punto fuera de esta recta satisface la ecuación. La recta es el lugar geométrico de la ecuación y = - 2 .

Ejemplo 3.- Dibujar el lugar geométrico de la ecuación y - 2x -1 = 0

Solución: Para cada valor arbitrario que asignemos a x, el valor de y queda determinado de manera única. Expresemos nuestra ecuación en la forma : y = 2x + 1. y tabulemos para algunos valores de x.

Figura 2.3

Ejemplo 4.- Dibujar el lugar geométrico de la ecuación x 2 =2y + 2

Solución: Si expresamos la ecuación en la forma y = x2 - 2 y damos algunos valores a x, obtenemos:

Figura 2.4

Ejemplo 5.- Dibujar el lugar geométrico de la ecuación y2 - 2x - 4 = 0

Solución: Despejando la variable y en la ecuación anterior y tabulando para algunos valores de x.

Figura 2.5

2.3 Propiedades geométricas de una curva

La gráfica de una curva dibujada mediante la representación de algunos de sus puntos es, en general una aproximación. No podemos localizar todos los puntos y la posición de un punto no se puede ubicar exactamente. Pero existen algunas formas de verificar la gráfica de una ecuación particular, analizando las propiedades geométricas de la curva definida por esa ecuación. Algunos puntos de la curva se pueden obtener de manera exacta por métodos analíticos.

a) Intersección con los ejes

La coordenada al origen de una curva es la distancia dirigida desde el origen hasta el punto en donde la curva corta a un eje coordenado.

Así, para hallar la intersección con el eje X, hacemos y = 0 en la ecuación de la curva y resolvemos algebraicamente para x ; esto nos da la coordenada x del punto en el cual la curva corta al eje X.

Para hallar la intersección con el eje Y , hacemos x = 0 en la ecuación y resolvemos algebraicamente para y ; esto nos dará la coordenada y del punto en el cual la curva corta al eje Y.

Sin embargo, debemos recordar que, para que la curva corte a un eje, la intersección con dicho eje debe ser real ; es decir, debe tener raíces reales y no imaginarias, como sabemos por álgebra.

Ejemplo 6.-Hallar los puntos de intersección con los ejes de la siguiente curva: x2 = y + 4

Solución: Para hallar la intersección con el eje Y, hacemos x = 0 , obteniendo y = - 4Para hallar la intersección con el eje X, hacemos y = 0 , para obtener x = ± 2

Figura 2.6

Ejemplo 7.-Hallar los puntos de intersección con los ejes de la siguiente curva: y2=9x+ 9

Solución: Para hallar la intersección con el eje Y, hacemos x = 0 , obteniendo y = ± 3Para hallar la intersección con el eje X, hacemos y = 0 , para obtener x = -1

Figura 2.7

b) Simetría

Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si ésta es la mediatriz del segmento que los une. Dos puntos son simétricos con respecto a otro punto, si éste es el punto medio del segmento que los une. Por lo tanto:

1) Si una ecuación no cambia al sustituir x por -x, entonces, su gráfica es simétrica con respecto al eje Y. A cada valor de y en esta ecuación, le corresponden dos valores iguales de x en valor absoluto pero de signos contrarios.

Ejemplo 8.- La ecuación: x2 - 2y - 4 = 0 no se altera al sustituir x por -x. Entonces, su gráfica es simétrica con respecto al eje Y ( Ver gráfica ).

Figura 2.8

2) Si una ecuación no se altera al sustituir y por -y, entonces, su gráfica es simétrica con respecto al eje X. A cada valor de x le corresponden dos valores iguales de y en valor absoluto pero de signos contrarios.

Ejemplo 9.- La ecuación: y2 - 5x + 1 = 0 no se altera al sustituir y por -y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje X ( Ver gráfica ).

Figura 2.9

3) Si una ecuación no varía al sustituir x por -x e y por -y, entonces, su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo 10.- La ecuación: x3 + x + y = 0 no se altera al sustituir x por -x e y por -y. De esta forma, su gráfica es simétrica con respecto al origen ( ver gráfica).

Figura 2.10

c) Valores excluidos

Cuando se analiza una función de dos variables, es necesario saber si una de las variables es acotada, esto es, si existen valores de una variable, que hagan que la otra sea variable sea imaginaria. Tales valores se llaman valores excluidos porque ellos no dan puntos sobre la curva.

Para hallar valores excluidos, comenzamos por resolver la ecuación para y en función de x y de x en función de y. Entonces, si alguna de las soluciones nos da radicales de orden par, buscamos valores para la variable que hagan la expresión bajo el radical negativa. Todos esos valores deben de ser excluidos pues los correspondientes valores de la otra variable serán imaginarios.

Ejemplo 11.- Obtener los valores excluidos de la ecuación y2 - x + 4 = 0

Solución: Despejando a y obtenemos:

que es una raíz cuadrada que tiene radical de orden par. Debemos de excluir aquellos valores de x para los cuales x - 4 0 x 4 , pues los correspondientes valores de y serán imaginarios. Por lo tanto, los valores x 4 quedan excluidos. ( ver gráfica )

Figura 2.11

Ejemplo 12.- Obtener los valores excluidos de la ecuación x2 - 2y - 6 = 0

Solución: Despejando a x obtenemos :x y 2 6

que corresponde una raíz cuadrada. Excluiremos los valores de y para los cuales 2y + 6 0 es decir y - 3 , pues los correspondientes valores de x son imaginarios. Por lo tanto, los valores de y -3 quedan excluidos.( ver gráfica ).

Figura 2.12

Ejemplo 13.- Dada la ecuación 9x2 + 16y2 = 144 hallar : a) las intersecciones con los ejes, b) las simetrías, c) los valores excluidos, d) trazar la curva.

Solución:

Intersección con el eje X. Hacemos y = 0:

Intersección con el eje Y. Hacemos x = 0:

Simetría con respecto al eje Y. Reemplazamos a x por -x :

9(-x)2+ 16 y2 =144 ó 9x2 + 16 y2 = 144

Como la ecuación no cambia, la curva es simétrica con respecto al eje Y.

Simetría con respecto eje X, reemplazamos a y por -y :

9x2 + 16 (-y)2 =144 ó 9x2 + 16 y2 = 144

Como la ecuación no cambia, entonces la curva es simétrica con respecto al eje X.

Con respecto al origen, reemplazamos a x por -x e y por -y :

9(-x)2 + 16 (-y)2 =144 ó 9x2 + 16 y2 = 144

Como la curva no cambia, entonces la curva es simétrica con respecto al origen.

Por lo tanto, la curva es simétrica con respecto a ambos ejes y con respecto al origen.

Despejemos a y:

Así, los valores x 4 y x -4 quedan excluidos.

Despejemos a x :

Entonces, los valores y 3 e y -3 quedan excluidos.

Con los datos anteriores podemos dibujar la gráfica. Las intersecciones de la curva con el eje X y con el eje Y están en x = 4 e y = 3 respectivamente; la curva debe estar contenida totalmente dentro del rectángulo acotado por las rectas x= 4 e y = 3. Entonces, la curva es cerrada porque es acotada y simétrica respecto a ambos ejes y el origen;

Figura 2.13

d) Extensión infinita

Cuando el valor de una de las variables, digamos y, de una ecuación se hace infinito para un valor finito de la otra variable x, el punto sobre la curva se irá al infinito; es decir, la curva tendrá una extensión infinita y generalmente existirán dos o más ramas de la curva.

Cuando es el caso, la extensión infinita de una curva se obtiene generalmente partir de su ecuación, mediante el siguiente procedimiento.

1) Se resuelve la ecuación para y. Si el resultado es una fracción, se obtiene el valor finito de x, que hace cero al denominador.

2) Se resuelve la ecuación para x. Si el resultado es una fracción, se obtiene el valor finito de y, que hace cero al denominador.

3) Se trazan los valores de x y y que anulan a los denominadores como rectas paralelas a los ejes X y Y, respectivamente.

4) Se construye una tabulación, para valores de x y y resolviendo la ecuación para y en función de x.

5) Se dibuja la curva. Las rectas que anulan a los denominadores serán las asíntotas, o fronteras, a lo largo de las cuales las ramas de la curva tenderán al infinito.

Ejemplo 14: Trazar la gráfica de la ecuación x y + 2 x - 4 y - 1 = 0.

Solución: Resolviendo la ecuación para y en función de x.

Si x - 4 = 0, encontramos que x = 4 es una asíntota. El punto se dirige al infinito en x= 4.

Resolviendo la ecuación para x en función de y

Si y + 2 = 0, encontramos que y = -2 es una asíntota. El punto se dirige al infinito en y = -2.

Trazando las asíntotas x = 4 y y = -2 paralelas a los ejes Y y X respectivamente, donde cada una de las ramas de la curva tiende hacia el infinito. Por último, tabulamos la ecuación para algunos valores de x y y que nos darán otros puntos sobre la curva ( ver gráfica ).

Figura 2.14

2.4 Intersección de curvas

Si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación de la curva, entonces, el punto pertenece a la curva. Recíprocamente, si el punto pertenece a la curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación de la curva. De aquí se deduce que:

Si dos curvas se intersectan, las coordenadas de sus puntos comunes deben satisfacer ambas ecuaciones.

Para hallar las coordenadas de tales puntos comunes, resolvemos simultáneamente las ecuaciones de las dos curvas. Si las soluciones son reales, las curvas se intersectan en puntos reales; si los valores de las coordenadas son imaginarios, las curvas no se intersectan en puntos reales.

Ejemplo 15.- Trazar las curvas 4x2+ y2 =100 y 9x2 - y2 = 108 .Hallar los puntos de intersección.

Solución: Resolvemos las dos ecuaciones simultaneamente:

4 100

108

16

4

2 2

2

x y

x y

x

x

x

1)

9 2)

13 = 208

2

2

2

Sustituimos estos valores de x en la ecuación 2) para obtener los valores de y:

9 4 108

9 16 108

144 108

36

6

2 2

2

2

2

( )

( )

y

y

y

y

y

De esta manera, los puntos de intersección son (4,6) , (4,-6), (-4,6) y (-4,-6).

Observamos que ambas curvas son simétricas con respecto a los ejes y al origen.

Despejando y en 1):

y x

x

x x x x x

x x

100 4

0 25 5 5

2

2

Los valores excluidos para son:

100 - 4 ó -5

Los valores permitidos para : - 5 5

2

Despejando y en 2) :

y x

x

x

x

x x x

x x x

9 108

108 0

12

12 12 12 12

2

2

2

Los valores excluidos para son:

9

Los valores permitidos para 12 y 12

2

:

Con la información anterior podemos trazar la gráfica de ambas curvas:

Figura 2.15

Ejemplo 16.- Trazar las curvas x2+ y2 =25 y 3y2 = 16x .Hallar los puntos de intersección.

Solución: Resolviendo las dos ecuaciones simultaneamente:

x y

y x

x y

x

x x

x x

2 2

2

2 2

2

2

25

3 16

3 75

0

3 16 75

3 16 75 0

1)

2)

Multiplicando 1) por - 3 y sumando con 2):

-3

-16 + 3y =2

Resolviendo por factorización esta ecuación:

( )( )3 25 3 0

25

33

x x

x

x

Las soluciones son:

= -

Sustituyendo estos valores en la ecuación 2)

3 1625

3400

9

20

33

3 16 3

16 4

2

2

2

2

y

y y i

x

y

y y

( )

( )

Sustituyendo = en la ecuación 2)

=

Entonces, los puntos reales de intersección son: (3,4) , (3,-4). Los otros puntos son imaginarios.

Observar que la gráfica de la ecuación 1) es simétrica respecto de ambos ejes y el origen; la ecuación 2) sólo es simétrica respecto del eje X.

Figura 2.16

Ejemplo 17.- Hallar los punto de intersección de las curvas y = x2 y x - y + 2 = 0

Solución: Resolvemos las dos ecuaciones simultaneamente:

y x

x y

2 1

2 0 2

)

- + = )

Sustituyendo la ecuación 1) en la ecuación 2)

x x x x

x x

2 2 0 2 1 0

2 1

ó

,

Sustituyendo x = 2 y x = -1 en la ecuación 1) , hallamos respectivamente y =4 e y = 1.

Los puntos de intersección son: ( 2 , 4 ) y ( -1 , 1 ) , como lo indica la gráfica

Figura 2.17

Ejemplo 18.- Hallar los punto de intersección de las curvas xy =6 y x + y = 7

Solución: Resolvemos las dos ecuaciones simultaneamente:

xy

x y

y x x x x x x

x x y y

6

7

7 2 6 2 7 6 0 1 6 0

1 6 6 1

1)

2)

Despejamos a de 2) y sustituimos en 1): ó

y . Sustituyendo en la ecuación 2) hallamos: e

( )( )

Los puntos de intersección son: ( 1 , 6 ) y ( 6 , 1 ), como lo muestra la gráfica.

Figura 2.18

2.5. Ecuación de un lugar geométrico

La ecuación de un lugar geométrico es aquella que satisface las propiedades geométricas bajo las cuales un punto P ( x , y ) se mueve al trazar un lugar geométrico; es decir, una ecuación que satisfacen, en función de x y de y , todas las coordenadas de todos los puntos sobre la curva dada.

Desafortunadamente no hay reglas específicas para hallar tales ecuaciones, por lo que se requiere, plantear analiticamente las condiciones del problema .

Los siguientes pasos nos serán útiles para hallar la ecuación del lugar geométrico:

1) Construir un sistema de coordenadas apropiado para el problema.

2) Colocar el punto P(x, y) , cuyo lugar geométrico deseamos determinar , en una posición representativa, es decir, en una posición que cumpla con la condición geométrica enunciada en el problema.

3) Expresamos la condición geométrica que el punto móvil P debe satisfacer en función de las coordenadas (x, y) y de otras constantes que aparezcan en la definición del lugar geométrico. La expresión así obtenida, o su forma simplificada, será la ecuación del lugar geométrico si no contiene

variables diferentes a x y a y y es satisfecha por todas las coordenadas de todos los puntos en el lugar geométrico y no por otros puntos diferentes.

4) Analizamos la ecuación obtenida para determinar si cumple las condiciones del problema.

Ejemplo 19: Hallar el lugar geométrico de un punto que, siempre equidiste con los extremos del segmento de recta AB que determinan los puntos A( 5 , 2 ) y B( 1 , 5 ).

Solución: Localicemos los puntos A ( 2, 2 ) y B( 5 , 4 ) en un sistema de coordenadas. Sea P( x , y ) un punto móvil, colocado en una posición representativa, esto es, en una posición en la cual PA = PB, según lo muestra la figura.

Figura 2.19

Por lo tanto:PA PB

x y x y

x y x y

x x y y x x y y

x y x y

x y

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 5 4

2 2 5 4

4 4 4 4 10 25 8 16

4 4 8 10 8 41

6 4 33 0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

Dibujando la gráfica de la ecuación, encontramos que el lugar geométrico es el de una recta bisectríz al segmento que une los puntos A y B.

Ejemplo 20.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve en forma tal que la suma de sus distancias a los puntos F' ( -4, 0) y F( 4 , 0 ) es de 10 unidades.

Figura 2.20

Solución: Sean P(x, y) el punto móvil, F' y F los puntos dados (-4,0) y (4,0) respectivamente. Entonces, la condición geométrica del punto P está dada por PF' + PF = 10. Esto es:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

x y x y

x y x y

x y x y x y

x x y x y x x y

4 4 10

4 10 4

4 100 20 4 4

8 16 100 20 4 8 16

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

Despejando el primer radical:

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación:

Que como veremos más adelante, representa la ecuación de una elipse con centro en el origen.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Dibujar los lugares geométricos de las siguientes ecuaciones:a) y = 3x - 1 b) y = x2 - 2x -1 c) x2 + y2 = 9

2.- Determinar las simetrías de la curva x2 - y2 - 4 = 0

3.- Determinar las simetrías de la curva x y - 1 = 0

4.- Hallar las intersecciones con los ejes, las simetrías y la extensión de

yx x

x

( )1

3

5.- Analizar las intersecciones y la simetría de la curva

yx x

x

( )( )1 2

92

6.- Hallar las asíntotas y dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones:

a) 2y - xy = 8 b) (x2 - 2x)y = 4 c) xy2 - 4x = 6y2 d) 3xy - 4y = 2x + 3

7.- Hallar los puntos de intersección de las siguientes curvas:

a) x2 - y2 =9 b) x2 + y2 = 9 c) x2 + y2 = 16x2 + y2 = 25 x2 - y2 = 4 9x2 + 25y2 = 225

d) 2x2 + y2 = 7 a) x2 + xy = 40x2 - 2y2 = -4 2x -3y = 1

8.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya distancia al punto fijo (-2, 3) sea igual a 4.

9.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) que equidisten de los puntos fijos (-3, 1) y (7, 5)

10.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (2, 3) y (2, -3) sea igual a 8.