Ana Elizabeth García Hernández su Editorial MX Grupo

Ana Elizabeth García Hernández

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Dirección editorialGrupo Editorial Mx

EditorRolando Roberto Linaldi Guzmán

Revisión técnicaMaría de Lourdes Rivera Aguilera

Corrección de estiloRosa Díaz Sandoval

Coordinación de diseñoKarem Anabelli Zavala Acevedo

Diseño editorialVerónica Rodríguez Zárate

Diseño de portadaKarem Anabelli Zavala Acevedo

Dirección de producciónFrancisco J. Martínez García

AutoresAna Elizabeth García Hernández

1ª edición, enero 2021D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8762-10-1

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número 3790.

Durante el proceso de impresión estamos contactando a los sitios de Internet referidos, para notificarles que estamos usando su información sin fines de lucro.

Derechos reservados

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Grupo Editorial Mx es propiedad de TRACK, S. A. de C. V.

Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México Printed in Mexico

www.grupoeditorialmx.com

Tratamiento de datos y azar

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Grupo Editorial Mx ha desarrollado un proyecto educativo que vincula los programas de estudio con el medio ambiente que te rodea. Son materiales, impresos y digitales que te ayudarán a aplicar los conocimientos adquiridos en tu día a día.

Es por lo anterior que en este libro encontrarás una gama de conceptos y actividades que despertarán tu interés por el conocimiento y la cultura, facilitando tu proceso de aprendizaje en el aula y en la vida cotidiana.

Presentación

Or te Sección de orientación vocacional que destaca oficios y profesiones relacionadas a la asignatura.

Actividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales (DHS) de acuerdo con el programa Construye T.

Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Secciones

Tipos de actividades

Esta prueba relaciona a los alumnos con el tipo de reactivos de la prueba PLANEA.

Prueba tipo PLANEA

Ejercicio de comprensión lectora con textos relacionados con la asignatura.

Fomento a la lectura

Esta sección te permitirá identificar los saberes con los que cuentas para tomarlos como punto de partida en tu proceso de aprendizaje.

Evaluación diagnóstica

Desarrollo de proyectos formativos que permiten evidenciar el logro de las competencias. Incluyen instrumentos de evaluación.

Proyecto formativo

Esta actividad despertará tu curiosidad por los nuevos conocimientos.

Explora tu mundo

Esta sección ofrece actividades para la evaluación de los aprendizajes esperados e incluye un instrumento de evaluación.

Evaluación formativa

Esta actividad te servirá para identificar los conocimientos adquiridos.

Evaluación sumativa

Autoevaluación de las competencias genéricas y disciplinares desarrolladas a través de los resultados de aprendizaje.

Vinculación de competencias y resultados de aprendizaje

Actividades adicionales al programa para enriquecer la movilización de saberes.

Actividades adicionales al programa para enriquecer la transferencia de saberes.

Actividades transversales para evidenciar las relaciones entre las áreas del conocimiento.

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Conceptos básicos 10Población 11Muestra 11Evento 12

Técnicas de recopilación de datos 13Entrevista 13Encuesta 14Cuestionario 15

Cálculo con técnicas de conteo 18Principio fundamental del conteo 18Diagrama de árbol 19Permutaciones 21Combinaciones 23

Determinación de la probabilidad 25Eventos 25Elementos básicos 30

Enfoques 33Enfoque clásico 33Enfoque de frecuencias relativas 33Enfoque subjetivo 33

Leyes 38Axiomas 38Leyes de adición 39Probabilidad condicional 40

Análisis de las medidas de una distribución 44Variable aleatoria 44Función de probabilidad 44Esperanza matemática 45Varianza 45Desviación estándar 45Gráfica 45

Análisis de modelos probabilísticos especiales 46Modelo de Bernoulli 46Distribución binomial 47Distribución de Poisson 54Distribución hipergeométrica 59Distribución geométrica 62

Contenido

Interpretación de eventos aleatorios 6

Unidad de aprendizaje 1

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Descripción e interpretación de la estadística descriptiva Naturaleza de la Estadística Distribución de frecuencias con datos no agrupados Distribución de frecuencias con datos agrupados

Construcción e interpretación de gráficas Gráfica circular Diagrama de barras Histograma Polígono de frecuencias Ojivas Gráfica de tallo y hojas

Bibliografía

Contenido

Interpretación de información

Unidad de aprendizaje 2

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Competencias genéricas (CG) a desarrollar

Competencias disciplinares básicas del área de Matemáticas (CDBM) a desarrollar

Objetivo del bloque

Palabras clave

• Conceptos básicos de probabilidad y estadística

• Recolección de datos• Conteo• Riesgo en situaciones contextuales• Elementos de probabilidad condicional• Interpretación intuitiva del teorema

de Bayes

¿Por qué es importante?

A partir de los conocimientos de la asignatura el estudiante aprende a identificar, utilizar y comprender los sistemas de tratamiento esta-dístico; y a inferir sobre la población a través de las muestras, el tratamiento del azar y la incertidumbre.

• Organizan la información recolectada de la situación estudiada.

• Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del estudio con elementos de estadística y probabilidad.

• Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación de probabilidades.

• Organiza la información como parte de la estadística para el estudio de la probabilidad.

• Estudia el complemento que ofrece la estadística para la probabilidad.

• Reconocen de la diversidad de situa-ciones que precisan de la incertidumbre en el tratamiento del riesgo.

• Modelan con estadística y probabilidad el estudio de la información.

• Organizan la información recolectada de la situación estudiada.

• Construyen fórmulas de probabilidad. M1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

M2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

M3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

M4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

M6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o mate-máticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

M7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

M8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

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Unidad deaprendizaje

1Interpretación de eventos aleatorios

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Interpretación de normas de convivencia ambiental

• Propone alternativas de solución a un problema ambiental de su entorno.

• Identifica técnicas y elementos de matemáticas aplicables a los procesos de cuantificación de los recursos bióticos.

• Calcula la huella ecológica individual.

• Elabora estrategias de acción que permitan reducir la huella ecológica

Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del estudio con elementos de estadística y probabilidad.Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación de probabilidades.Organiza la información como parte de la estadística para el estudio de la probabilidad.Estudia el complemento que ofrece la estadística para la probabilidad.

Reconoce la diversidad de situaciones que precisan de la incer-tidumbre en el tratamiento del riesgo.Modela con estadística y probabilidad el estudio de la información.Organiza la información recolectada de la situación estudiada.Construye fórmulas de probabilidad.

• Interpretación de normas de convivencia ambiental

• Interpretación de normas de convivencia ambiental

Aprendizaje esperado

Aprendizaje esperado

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Transversalidad de los aprendizajesLa transversalidad hace referencia a las conexiones o puntos de encuentro entre lo disciplinario y lo formativo para lograr “el todo” del aprendizaje. Busca mirar toda la experiencia escolar como una oportunidad para que los aprendizajes integren las dimensiones cognoscitivas y formativas. Asimismo, es un enfoque dirigido al mejoramiento de la calidad educativa para asegurar la equidad de la educación.

Habilidades socioemocionales y proyecto de vida

Lenguaje y comunicación

Habilidades digitales Pensamiento matemático

Pensamiento crítico y solución de problemas

Colaboración y trabajo en equipo

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Proyecto formativo

Para aplicar los conocimientos adquiridos durante el parcial, en equipos llevarán a cabo una investigación bibliográfica acerca de la relación entre la obesidad y la falta de ejer-cicio. Con la información que recopilen elaborarán un tríptico informativo acerca del tema. Presentarán su tríptico ante el grupo y lo compartirán a través de sus redes sociales.

I. Cada alumno llevará a clase tres noticias de diferentes de medios de comunicación (prensa, radio, televisión, internet), en las cuales se utilicen las palabras probabilidad o estadística.

II. Mediante una lluvia de ideas en el grupo, compartan sus noticias para identificar cuál es el uso cotidiano que se le da a estas palabras. Elabora una lista de los ámbitos en los cuales se utilizan los términos.

III. En el siguiente espacio redacta una definición personal para cada término. • Probabilidad:

• Estadística:

Explora tu mundo

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Tratamiento de datos y azar1

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.Responde las siguientes preguntas subrayando la opción correctaف 1. Es un subconjunto de la población, que se compone de individuos, objetos, medidas

u observaciones seleccionadas de la población.a. Experimentob. Muestra

c. Poblaciónd. Dato

2. Es la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de los datos.a. Estadísticab. Experimento

c. Muestrad. Dato

3. Es el conjunto total de elementos para realizar un análisis y poder tomar decisiones.a. Experimentob. Muestra


4. Actividad realizada según un plan definido, cuyos resultados producen un conjunto de datos.a. Muestrab. Experimento


5. Valor de la variable asociado a un elemento de la población o muestra.a. Datob. Población

c. Experimentod. Muestra

6. Es el valor promedio de un conjunto de datos.a. Mediab. Rango

c. Medianad. Moda

7. Es el valor central de un conjunto de números ordenados en magnitud.a. Mediab. Mediana

c. Rangod. Moda

8. Es el valor con mayor ocurrencia o frecuencia.a. Mediab. Moda

c. Medianad. Rango

9. Es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores.a. Mediab. Mediana

c. Rangod. Moda

10. Es la raíz cuadrada de la media de las desviaciones cuadráticas.a. Desviación mediab. Rango

c. Varianzad. Desviación estándar

Evaluación diagnóstica

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Interpretación de eventos aleatorios1

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Desde las primeras civilizaciones se utilizaban representaciones gráficas y símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para registrar personas, animales y cosas. La estadística es una ciencia muy antigua. En la isla de Cerdeña, existen monumentos prehistóricos pertenecientes a los nuragas, los primeros habitantes de la isla. Estos monumentos constan de bloques de basalto superpuestos sin mortero y en cuyas paredes se encontraron grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha certeza como muescas que servían para llevar la cuenta del ganado y la caza. Hacia el año 3 000 a. C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y los géneros vendidos o cambiados mediante el trueque. Los egipcios ya analizaban datos de la población mucho antes de construir la pirámide. En la Biblia el libro de Números cita el censo de las tribus de Israel “Haz un censo de toda la comunidad de Israel por clanes y por familias patriarcales, anotando uno por uno los nombres de todos los varones”.

En tiempos del primer emperador romano Augusto (63 AC a 14 DC), ya eran comunes los juegos de azar y se hacían tablas de mortandad. Este es el origen de la probabilidad y la estadís-tica. Posteriormente estas dos disciplinas se fueron separando debido a sus distintos objetivos (como la hicieron también las matemáticas y la física), pero sin dejar de estar relacionadas.

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empí-ricas tiende a mejorar con el número de intentos. Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números. La Probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. El estudio formal de esta parte de las matemáticas lo inicia Blaise Pascal (1623-1662) en 1654 al tratar de entender los juegos de azar. El escritor francés Antoine Gombaud, Caballero de Méré, deseando conocer la respuesta de problemas de azar, plantea a Pascal el problema de los puntos. Pascal inicia un intercambio de ideas con Pierre de Fermat (1601-1665) con el propósito de resolver este problema. Una forma especial de la ley de los grandes números (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli. Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática suficientemente rigurosa que fue publicada en su Ars Conjectandi [El arte de la conjetura] en 1713. Bernoulli le llamó su “Teorema dorado”, pero llegó a ser conocido generalmente como “teorema de Bernoulli”, que es un teorema de límite fundamental en muchas aplicaciones de la probabilidad. Después de que Bernoulli y Poisson publicasen

Conceptos básicos

Figura 1.1 La Estadística es tan antigua como la escritura. Grandes civilizaciones como la egipcia la utilizaban.

Figura 1.2 Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermant (1601-1665). Matemáticos franceses fundadores de la teoría de la probabilidad.

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https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ars_Conjectandi&action=edit&redlink=1

sus esfuerzos, otros matemáticos también contribuyeron al refinamiento de la ley, como Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente proporcionó una prueba completa de la ley de los grandes números para variables arbi-trarias. Actualmente los procedimientos de probabilidad y estadística son importantes en cualquier ciencia: medicina, ingeniería, sociología, psicología, economía, en los gobiernos, el comercio y otras actividades humanas ya que en todos estos ámbitos existe la necesidad de prever, reducir y abstraer datos.

¿Qué son los datos? Los datos son una colección de hechos, como números, palabras, mediciones, observaciones o incluso descripciones de cosas.

PoblaciónLa población es el universo de datos que se estudian. El número total de datos que conforman una población a menudo se denota con la letra ene mayúscula (N). Estos datos pueden ser personas, lugares, épocas, animales, bancas, lápices, planetas, patinetas, actores, videojuegos o muchas cosas más. Toda la estadística se trata de estimar y estudiar las propiedades numéricas de una población.

MuestraLa muestra es una fracción de la población. Casi nunca en una investigación donde se ocupa la estadística se mide o se registra a todo el universo de datos que existen, principalmente porque es imposible, muy costoso o innecesario. La característica más importante que debe tener una muestra, es que sea tomada aleatoriamente, de no hacerlo así, corres el riesgo de estar obteniendo resultados espurios.

Alfredo, tomó una muestra de la altura a 100 de sus vecinos, es decir, 100 individuos, pues de toda la gente adulta que vive en su colonia (población) él midió únicamente a 50 hombres y 50 mujeres. Como Alfredo es muy inteligente, eligió aleatoriamente a las personas que mediría. Puso papelitos con los nombres de las personas adultas que viven en su colonia en una tómbola y sacó 50 de hombres y 50 de mujeres. ¿Por qué es importante que el muestreo sea aleatorio? Imagínate que en su colonia viven personas de distintas etnias, entre altas morenas y bajas de tez clara y que Alfredo prefiere la compañía de gente morena. Si él midiera sólo a personas con las que se junta, mediría en su mayoría a gente morena y sus datos no estarían reflejando la realidad de la altura que tienen las personas adultas en su colonia.

Se le llama tamaño de muestra al número de datos o registros en una muestra de una población y por lo general se denota con una ene minúscula (n). Una característica muy importante que debe tener el tamaño de muestra es su representatividad. Es decir, el tamaño de muestra debe ser lo suficientemente grande como para asegurar que los datos servirán para responder la pregunta de la investigación. Existen procesos estadísticos que sirven para definir el tamaño de muestra ideal (que no sea ni muy grande ni muy pequeño) para determinada investigación, sin embargo, para fines didácticos a nivel preparatoria es recomendable un tamaño de muestra de 100 datos o registros y un tamaño mínimo de 50.

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En el caso del ejemplo, el tamaño de muestra que el ilustre caballero Alfredo decidió utilizar fue de 100 individuos: 50 hombres y 50 mujeres. ¿Por qué es importante la representatividad en el tamaño de muestra? Imagínate que Alfredo hubiera medido aleatoriamente sólo a tres hombres y a tres mujeres, y que por casualidad midiera a las tres mujeres más altas y a los tres hombres más chaparros. Sus resultados estarían severamente sesgados por su tamaño de muestra tan pequeño y no podría responder acertadamente su pregunta.

EventoUna probabilidad se define como la posibilidad de que suceda un determinado evento. Una probabilidad se expresa como un número que va de cero a uno, donde “cero” significa que no hay forma de que suceda el evento y “uno” que tienes toda la certeza de que sucederá. Sin embargo, es común que en algunos textos se exprese como un porcentaje o fracción equivalente. Por ejemplo, una probabilidad de 0.2 la puedes encontrar como 20% o 1/5.

Actividad 1 • CG 1 y 5 • CDBC M1, M3 y M8 •

I. Entrevista por lo menos a siete compañeros de tu aula y obtén la siguiente información:1. ¿Cuántas personas viven en su casa?2. ¿Cuál es el sexo de cada uno?3. ¿Cuántos años tiene cada persona?4. ¿Cuál es su grado máximo de estudios?

II. Registra la información en tu cuaderno tomando como base el formato de la tabla.

EntrevistadoRespuestas

1 2 3 4

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En los ejemplos que desarrollamos antes empleamos algunas bases de datos y elaboramos otras con contenidos específicos, sin embargo, el proceso de construcción de las mismas es muy importante porque, como vimos, buscamos responder cabalmente, con los datos recabados, las preguntas planteadas al inicio del estudio.

Existen distintos mecanismos de recopilación de datos y cada uno ofrece características comunes y distintivas, sin embargo, la experiencia y la aplicación de cada herramienta varias veces te hará reconocer en qué situaciones es preferible usar una u otra. Revisemos sus características.

EntrevistaRecaba datos cualitativos que pueden describir comportamientos en las personas. Generalmente se vale de cuestionarios para la obtención de información y es el entrevistador quien expone las preguntas y anota las respuestas.

Una entrevista puede ser estructurada o semiestructurada. En la primera se toma como base un cuestionario con preguntas muy concretas que el entrevistador presenta de forma oral, mientras que la semiestructurada permite que el entrevistado hable, sin restringirlo con las preguntas del cuestionario, pues se busca captar su discurso, creencias, enfoques, prácticas o experiencias respecto al tema que se aborda.

Como las respuestas son amplias, hacen posible implementar nuevas preguntas no contempladas al inicio del estudio, o bien, profundizar en puntos específicos que toman relevancia en los entrevistados. Por otro lado, si el aplicador no tiene la suficiente habilidad para identificar las ideas principales sobre el tema, las respuestas se pueden desviar del propósito y en consecuencia, invalidar el resultado. La entrevista tiene las siguientes características:

Sigue un guión preparado para el entrevistado, de acuerdo con sus características. Esto permitirá que exprese mejor sus ideas, sin tomar en cuenta las posibles dificultades derivadas de la generalización en las respuestas.El aplicador puede registrar la conversación en un medio de almacenamiento con un dispositivo de grabación, para su posterior consulta.El entrevistador puede agregar notas que enriquecen la toma de datos, como reacciones de los entrevistados, puntos de énfasis y respuestas que dan pie a nuevas preguntas.Ofrece coherencia respecto al orden de las preguntas, siguiendo una secuencia de inicio-desarrollo-conclusión: en las primeras preguntas se busca despertar el interés del entrevistado y exponer con claridad la finalidad de la entrevista; para las últimas preguntas se recomienda colocar aquellas más delicadas, por si el entrevistado se niega a continuar, la pérdida de información sería significativamente menor.Prefiere un catálogo de preguntas a una pregunta única en el caso de delimitar un punto concreto que se intente analizar en detalle: cuanto más complejo sea el tema, más preguntas deberían emplearse.Varía el orden de presentación de alternativas en las preguntas, pues algunos entrevis-tados tienen cierta tendencia a elegir la que se presenta en primer lugar.

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Técnicas de recopilación de datos

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Para potenciar la utilidad de los resultados obtenidos en la entrevista, se dan las siguientes recomendaciones al momento de aplicarla:

El entrevistado debe poseer la información solicitada y debe percibir de forma clara qué se le solicita, así como la finalidad de la entrevista. En la medida en que esta situación sea clara y aceptable para el entrevistado, el entrevistador se asegurará que éste comprende lo que se quiere de él y estará más dispuesto a dar información.

El entrevistado necesita comprender lo que se espera de él y conocer cuáles son los marcos de referencia desde los que facilitará la información. De no ser así, es probable que el sujeto omita datos debido a la falta de ese marco de referencia común para entrevistador y entrevistado.

Para una buena entrevista es necesario que exista una motivación positiva en el entrevistado.

Idealmente se admite que diferentes personas siguiendo una misma convención, a partir de un mismo signo, deberían evocar un mismo objeto, sin embargo esto no sucede necesaria-mente así, porque pueden existir diferencias subjetivas de observación e interpretación.

En un modelo de interacción entrevistador-entrevistado, se aprecia que el resultado de la entrevista es una consecuencia conjunta de las conductas entre el entrevistador y el entrevis-tado. Dichas conductas vienen desde las ideas, valores y preconceptos de cada uno, pudiendo generar barreras de distintos tipos. Es responsabilidad del entrevistador superar los obstáculos y guiar la conversación para que las respuestas del entrevistado sean lo más espontáneas y veraces posibles.

EncuestaEn términos generales, funciona bien para describir lo que está sucediendo en un área concreta y entenderlo. Tal como se aplican actualmente, con las limitaciones y dificultades propias, pocas encuestas proporcionan la cantidad de información necesaria para describir lo que está sucediendo y entender la precisión de los resultados.

Como la entrevista, esta herramienta utiliza cuestionarios como medio principal para obtener información; en contraparte, las encuestas se diseñan para que el encuestado plasme por sí mismo las respuestas en el papel.

Es importante que el investigador sólo proporcione la información indispensable, la mínima para que sean comprendidas las preguntas. Más información, o información innecesaria, puede derivar en respuestas no veraces. De igual manera, al diseñar la encuesta y elaborar el cuestio-nario, hay que tomar en cuenta los recursos (humanos y materiales) de los que se disponen, tanto para la recopilación como para la lectura de la información, para lograr un diseño funcional.Según distintos autores, “prácticamente todo fenómeno social puede ser estudiado a través de las encuestas”, y habría cuatro razones para sustentar tal afirmación.

• Son una de las escasas técnicas disponibles para el estudio de las actitudes, valores, creencias y motivos.

• Se adaptan a todo tipo de información y a cualquier población • Permiten recuperar información sobre sucesos acontecidos a los entrevistados. • Permiten estandarizar los datos para un análisis posterior, obteniendo gran cantidad de datos a un precio bajo y en un periodo de tiempo corto.

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Tenemos dos grandes clasificaciones para las encuestas:

Encuestas descriptivas Encuestas analíticas

Buscan reflejar o documentar las actitudes o condiciones presentes. Esto es, intentan describir en qué situación se encuentra una determinada población en el momento en que se realiza la encuesta.

Buscan, además de describir, explicar los porqués de una determinada situación. En este tipo de encuestas las hipótesis suelen contrastarse examinando por lo menos dos variables, de las que se obtienen interrelaciones y luego se formulan inferencias explicativas.

CuestionarioSe utilizan cuando se tiene que recoger información de grupos numerosos, con costo mínimo de tiempo y esfuerzo, manteniendo un formato común en las preguntas. Los cuestionarios tienen ventajas sobre las encuestas en que son más económicos (no requieren de mucho esfuerzo por parte del consultado, como las encuestas orales o telefónicas) y habitualmente tienen respuestas estandarizadas que hacen más simple la tabulación de los datos. Sin embargo, esas respuestas estandarizadas no pueden reflejar la realidad de algunos grupos demográficos. A continuación se presentan algunos tipos de preguntas que puede contener un cuestionario:

1

2

Preguntas y afirmaciones

Frecuentemente el investigador tiene interés en determinar la medida en que las personas sostienen una actitud o perspectiva en particular. Si se logra resumir la actitud en un planteamiento breve, usualmente se presentará tal afirmación y se puede preguntar sobre el nivel de conformidad o desacuerdo. Por ejemplo: “muy de acuerdo”, “de acuerdo”, “ni de acuerdo ni en desacuerdo”, “en desacuerdo” y “muy en desacuerdo”.

Preguntas abiertas y cerradas

Las preguntas abiertas se formulan para obtener respuestas expresadas en el lenguaje de la persona, son particularmente útiles cuando no tenemos suficiente información sobre las posibles respuestas que se pueden presentar o cuando se quiere profundizar sobre un tema, aunque son más difíciles de codificar, clasificar y preparar para su análisis.

Las preguntas cerradas ofrecen opciones para que la persona elija una, se formulan para obtener respuestas que confirman o desestiman una proposición, contienen categorías o alternativas delimitadas previamente, pueden ser dicotómicas o incluir respuestas múltiples. A menudo se le pide a la persona que seleccione la mejor respuesta, pero eso no sería aconsejable para compensar un conjunto de respuestas mal planteado. Para formular preguntas cerradas es necesario anticipar las posibles alternativas de respuesta.

La elección del tipo de preguntas que contenga el cuestionario dependerá del grado en que se puedan anticipar las posibles respuestas, los tiempos que se dispongan para codificar y si se desea una respuesta más específica o profunda en algún punto.

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Podemos clasificar a las preguntas de acuerdo con su contenido, como sigue:

Preguntas claras. En muchas encuestas y cuestionarios se observa una proliferación de preguntas confusas y ambiguas, posiblemente porque los investigadores se empapan tanto del tema que las opiniones y perspectivas son claros para ellos, pero no para las personas objetivo. Es indispensable incluir en el cuestionario todas las palabras que sean necesarias para que se comprenda la pregunta, pero que además sea concreta e inequívoca.

Preguntas empáticas. Al pedir información debemos preguntarnos continuamente si son capaces de contestar de forma fiel, es decir, debemos asegurarnos de que el interrogado está en condiciones de brindarnos la información que solicitamos. Hay que tener en cuenta su nivel educativo, el vocabulario con el que cuenta, etcétera.

Preguntas de identificación: edad, sexo, profesión, nacionalidad…1

Preguntas filtro: se realizan previamente a otras para delimitar resultados, por ejemplo, ¿tiene automóvil? → ¿Planea comprar un auto este año?

1

1

2

Preguntas de hechos, referidas a acontecimientos concretos: ¿terminó la educación básica?

2

Preguntas de introducción: se aplican al inicio del cuestionario o para enlazar con otro tema.

2

Preguntas amortiguadoras: sirven para tratar temas difíciles o inconvenientes con delicadeza.

3

Preguntas de acción, referidas a actividades de las personas: ¿ha tomado alguna capacitación?

3

Preguntas de información, para detectar los conocimientos de la persona: ¿sabe qué es un dispositivo multimedia?

4

Preguntas de control: se utilizan para descubrir la intención con que se responde, para tal fin se incluyen preguntas en diversos puntos del cuestionario que parecen independientes, pero en realidad buscan determinar la intencionalidad de la persona al buscar que se contesten de forma coherente y, si no cae en contradicciones, verificar su honestidad en las respuestas.

4

Preguntas de intención, para conocer los objetivos de la persona: ¿tiene algún asesor personal?

5

Preguntas embudo: empiezan por cuestiones generales hasta llegar a los puntos esenciales.

5

Preguntas de opinión, para conocer el sentir de la persona: ¿qué carrera cursarás al terminar la educación media superior?

6

Otra clasificación de las preguntas es conforme a la función que cumplen en el cuestionario:

Ahora te presentamos algunas características de las preguntas para mejorar los resultados

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.En equipos designados por el docente, realicen lo que se pideف 1. Elijan un problema de su comunidad, determinen la pregunta que desean contestar

sobre esa problemática y elaboren un cuestionario, una encuesta y una entrevista que recaben información para contestarla, difúndanlas en redes sociales. Una vez obtenidos los resultados, intenten contestar la problemática principal y elaboren una presentación con las características de cada instrumento empleado y sus objetivos, si se cumplieron y la razón de ello.

2. Escriban a continuación las conclusiones a las que llegaron al presentar sus resul-tados, ¿mejoró la forma de analizar y de presentar los datos y las conclusiones al hacer uso de las técnicas presentadas en esta sección?

Preguntas breves. Con el afán de ser inequívocos y precisos, frecuentemente se formulan preguntas largas y complicadas. Esto debe evitarse. Debemos tener presente que el interrogado no va a estudiar cuidadosamente la pregunta para ver si es clara o no. Lo ideal es que el interrogado pueda leer cada pregunta rápida-mente, comprender su intención y dar una respuesta sin dificultad.

Preguntas de un aspecto. Como regla general, cada que aparece una “y” en una pregunta, se debe plantear si no se está indagando sobre una situación externa. Toda pregunta que haga referencia a dos aspectos, aunque estén íntimamente relacionados, puede confundir, lo más conveniente es dividirla en dos preguntas o ítems de una pregunta.

Preguntas afirmativas. La negación en una pregunta propicia la mala interpretación. Se deben evitar las negaciones como: no, ningún, nadie, nunca…, pues quien contesta no sabría si su respuesta reafirma la negación o la contradice.

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A las técnicas de conteo también se conoce como análisis combinatorio, el cual permite determinar el número posible de resultados lógicos que cabe esperar al realizar algún experi-mento o evento sin necesidad de enumerarlos todos.

• Principio fundamental del conteo. La regla del producto, junto con la regla de la suma conforman los elementos fundamentales que permites definir a cualquiera de los casos que conforman a la teoría del conteo.

• Regla de la suma. Si un evento puede ocurrir de m formas distintas y otro puede ocurrir de n formas distintas, existen entonces m + n distintas formas en las que uno de esos dos eventos puede ocurrir. • Regla del producto. Si un evento puede ocurrir de m formas diferentes y otro puede ocurrir de n formas distintas, existen entonces m × n formas distintas en las que los dos eventos pueden ocurrir.

Ejemplo

Supongamos que un restaurant ofrece 5 entradas, 4 platos principales y 3 postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?

Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 5 × 4 × 3 formas diferentes de ordenar una comida: 60 formas.

Principio fundamental del conteoContar es averiguar todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. La proba-bilidad de un evento se calcula como el cociente del número de eventos favorables entre el número de eventos totales, para ello necesitamos estudiar las técnicas de conteo. Empecemos repasando algunos términos.

Actividad 3 • CG 1, 4 y 7 • CDBC M1, M4 y M6 •

:Revisa la imagen y responde lo que se plantea a continuaciónف 1. ¿De cuántas maneras distintas se

pueden acomodar las prendas?

2. ¿De cuántas maneras distintas pueden combinarse las prendas si se las pone un compañero?

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Cálculo con técnicas de conteo

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Notación factorial

Utilizaremos la notación n! para representar el factorial de un número entero no negativo. La forma de definir el factorial es la siguiente:

0! = 11! = 12! = 1 ∙ 23! = 1 ∙ 2 ∙ 3...n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ ∙ n = (n – 1)!n

Diagrama de árbolEl diagrama de árbol es una herramienta gráfica que se utiliza para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de datos que ocurren de una forma finita de maneras.

El árbol está formado por puntos o nodos que representan instantes en el tiempo o lugares en el espacio y por líneas o ramas que representan las posibles acciones que se pueden tomar; los nodos y las ramas siempre están unidos.

El diagrama de árbol conforma el espacio muestral en una dimensión de un evento.

Ejemplo 1

Calcularemos cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, si no pueden repetirse.Para el primer dígito hay cinco posibilidades

1 2 3 4 5

Para el segundo dígito hay cuatro posibilidades.

1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 18 1912 16 2013 14 15

4 5

Para el tercer dígito hay tres posibilidades.

1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 18 1912 16 2013 14 15

4 5

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

En total hay 60 maneras.

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Ejemplo 2

Calcularemos cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, si no pueden repetirse.

El teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de un binomio a la n-ésima potencia: (a + b)n, con n entero positivo. Para llegar a la fórmula revisaremos el binomio (a + b) elevado a diferentes potencias, para identificar el patrón que se presenta durante su desarrollo.

(a + b)0 = 1(a + b)1 = 1a1b0 + 1a0b1

(a + b)2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2

(a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3

(a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b1 + 1a0b4

(a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b1 + 10a3b2 + 10a2b3 + 5a1b4 + 1a0b5

Observa el patrón al aplicar la teoría de las combinaciones:Para n = 1: C(1, 0) a1b0 + C(1, 1) a0b1

Para n = 2: C(2, 0) a2b0 + C(2, 1) a1b1 + C(2, 2) a0b2

Para n = 3: C(3, 0) a3b0 + C(3, 1) a2b1 + C(3, 2) a1b2 + C(3, 3) a0b1

¿Qué relación encuentras? Los coeficientes de un binomio (a + b)n son las combinaciones C(n, r), para r = 0, 1, 2, …, n.

Por lo tanto, el teorema del binomio se establece de la siguiente manera.Para cualquier número entero positivo n,

(a + b)n = C(n, 0) an + C(n, 1) an–1b1 + … + C(n, r) an–rbr + … + C(n, n)bn.

O bien, utilizando la notación de sumatoria:

a +b( )n=

nk⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟an−kbk

k=0

n

∑ .

Ejemplo

Determinaremos el valor de (3 + 5)8.

3+ 5( )8=

8k⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟38−kbk

k=0

8

∑

=80⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3850 +

81⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3751 +

82⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3652 +

83⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3553 +

84⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3454 +

85⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3355 +

86⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3256 +

87⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3157 +

88⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3058

80⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!0! 8 − 0( )!

= 1 , 81⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!1! 8 −1( )!

= 8 , 8

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!2! 8 − 2( )!

= 28 ,

83⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!3! 8 − 3( )!

= 56 , 8

4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!4! 8 − 4( )!

= 70 , 8

5⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!5! 8 − 5( )!

= 56 ,

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86⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!6! 8 − 6( )!

= 28 , 87⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!7! 8 − 7( )!

= 8 , 88⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =

8!8! 8 − 8( )!

= 1 .

3+ 5( )8=

8k⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟38−kbk

k=0

8

∑

= 1( )3850 + 8( )3751 + 28( )3652 + 56( )3553 + 70( )3454 + 56( )3355 + 28( )3256 + 8( )3157 + 1( )3058

= 6561+ 87480+ 510300+1701000+ 3543750+ 4725000+ 3937500+1875000+ 390625 = 16777216

PermutacionesUna permutación es un arreglo de elementos en los cuales nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez se denota por P(n, r), que se define:

P(n, r) = n!(n − r)!

.

Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn = n!.

Ejemplo 1

¿Cuántas formas hay de acomodar 10 personas en una mesa?

P(10, 10) = 10!La primera persona tiene 10 posiciones posiblesLa segunda persona tiene 9 posiciones posiblesLa tercera persona tiene 8 posiciones posiblesLa cuarta persona tiene 7 posiciones posiblesLa quinta persona tiene 6 posiciones posiblesLa sexta persona tiene 5 posiciones posiblesLa séptima persona tiene 4 posiciones posiblesLa octava persona tiene 3 posiciones posiblesLa novena persona tiene 2 posiciones posiblesLa décima persona tiene 1 posición posible10! = 10(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 3628800.

Ejemplo 2

¿De cuántas formas distintas se pueden sentar las personas a, b y c en una fila de tres sillas?

En este caso, se tiene una permutación de tres objetos (tomados todos a la vez). Por lo tanto, son

3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6

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Ejemplo 3

Encontraremos el número de formas en las que 7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular.

Una persona puede sentarse en cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse en 6! formas. Este es un ejemplo de una permutación circular. N objetos pueden ordenarse en un círculo en (n – 1)! formas.

Ejemplo 4

¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?

P(10,4) = 10!10 − 4( )!

=10!6!

= 10( ) 9( ) 8( ) 7( ) = 5040.

Ejemplo 5

En una clase de 10 alumnos se van a distribuir 3 premios. ¿De cuántas formas puede hacerse si los premios son diferentes?

P(10,3) = 10!10 − 3( )!

=10!7!

= 10( ) 9( ) 8( ) = 720.

Permutaciones con repetición

Cuando se desea conocer el número de permutaciones de un conjunto de objetos, algunos de los cuales son iguales.

La siguiente fórmula aplica cuando… • Existen n elementos disponibles, y algunos de ellos son idénticos a otros • Seleccionamos todos los n elementos (sin reemplazo) • Consideramos que los reordenamientos son secuencias diferentes.

n!n1 !n2 !...nk !

Ejemplo

Señales con banderasEn un barco se pueden izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas?

9!3!2!4!

= 1260 señales distintas.

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CombinacionesUna combinación es un arreglo de elementos en los cuales no nos interesa la posición que ocupa cada uno de ellos.

En las permutaciones, el orden es importante para diferenciar un caso de otro. Así, en una permutación, la palabra abc es distinta de acb. Suponga que desea formar un comité de tres personas de entre un grupo de 6 y que las letras a, b, c, d, e, f representan a las personas. Entonces, el comité formado por a, b y c es el mismo que el formado por a, c y b; es decir, en este proceso, el orden no importa, a diferencia de lo que sucede en las permutaciones. Cuando esto sucede se dice que se forma una combinación. En una combinación se quiere conocer el número de subconjuntos con tres elementos que se pueden formar con los elementos del conjunto {a, b, c, d, e, f}, pues, como sabemos, en un conjunto no importa el orden en el que aparecen sus elementos sino los elementos que contiene para diferenciarlo de otros conjuntos.

Combinaciones sin repetición

El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez está dado por

nCk =n!

k !(n −k)!

Existe una notación clásica en lugar de nCk para representar el número de combinaciones, esta notación, emplea el coeficiente binomial.

nCk =nk

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Ejemplo

Determinaremos el número de distintos grupos de tres personas que se pueden formar, a partir de un grupo de 10 personas.

En este caso, n = 10 y k = 3, entonces

103

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

10!3!(10 − 3)!

=10( ) 9( ) 8( ) 7!

3! 7!( )=

7206

= 120 .

Se pueden formar 120 grupos de tres personas.

Combinaciones con repetición

Sea A un conjunto con n elementos y m un número natural menor o igual que n. Llamamos combinación con repetición de m elementos de A a todo subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta m veces. En este caso sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además podemos repetir elementos. El número de combinaciones con repetición está dado por:

n +m −1m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

n +m +1( )!m!(n −1)!

.

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Desarrolla los siguientes ejerciciosف 1. Calcula

a. 2!b. 4!c. 6! d. 8!e. 10!

2. Realiza las siguientes operaciones

a. 6!4!=

b. 6!2!4!

=

3. ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar con las letras de la palabra éxito?


.Responde lo que se pideف 1. ¿De cuántas formas se pueden sentar 10 personas si sólo hay 4 sillas?2. Un investigador está estudiando los efectos de la temperatura, la presión y un

catalizador en una reacción química. Hay 3 temperaturas, 4 presiones y 5 catalizadores. Si un experimento dado implica utilizar una temperatura, una presión y un catalizador, ¿cuántos eventos son posibles?

3. Tu mamá desea obsequiarte una laptop y una mochila para tu cumpleaños. Visitan un distribuidor de equipos de cómputo; revisan cinco modelos de laptops (P, Q, R, S, T) y diez de mochilas (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J). ¿De cuántas formas pueden elegir el par de artículos?

4. Si en casa tienes cuatro objetos para decorar cada esquina de una habitación, determina con un diagrama de árbol y analíticamente cuántas maneras distintas se pueden acomodar para que sean vistas.

5. Para tu clase de Literatura debes leer tres libros en el semestre. Si tienes en casa doce libros de distintos autores que te pueden interesar, determina a través de un diagrama de árbol y analíticamente de cuántas formas se pueden seleccionar los tres libros.

6. Tu papá está buscando trabajo. En una empresa encuentra cuatro vacantes que puede ocupar: administrativo, contable, recursos humanos y auditoría. Al mismo tiempo, se presentan nueve candidatos más que tienen las mismas posibilidades para ocupar cualquiera de los puestos. ¿De cuántas formas pueden asignarse las vacantes?

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EventosLa probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia fenómenos o experimentos aleatorios.

¿Qué tan probable es que algo suceda? Al suceso le llamamos evento.Muchos eventos no se pueden predecir con total certeza. Lo más que podemos decir es

qué probabilidad tiene que suceder, usando la idea de probabilidad.Al espacio muestral lo podemos definir usando conjuntos como el conjunto de los diferentes

resultados que pueden darse en un experimento aleatorio o cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Cualquier evento del espacio muestral es un subconjunto del mismo.La probabilidad utiliza el lenguaje de conjuntos. Por esta razón, repasaremos brevemente

algunos conceptos básicos de la teoría de conjuntos.Un conjunto es una colección de elementos. Con frecuencia se utilizan letras mayúsculas

para denotar un conjunto.Para definir un conjunto simplemente se pueden listar todos los elementos entre llaves. Por

ejemplo, el conjunto A, que consta de los dos elementos trébol ♣ y diamante ⧫ se define como:A = {♣, ⧫}

Para decir que diamante ⧫ pertenece a A, se escribe:⧫ ∈ A,

donde ∈ denota pertenece a.

Un elemento que no pertenece se denota por ∉. En este caso © ∉ A.

Ejemplo

Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.El conjunto A tiene 9 elementos.11 no pertenece a A, se escribe 11 ∉ A.

En los conjuntos siguientes observa que el orden no importa, por lo que los dos conjuntos {♣, ⧫} y {⧫, ♣} son iguales.Algunos conjuntos conocidos de números son:

• El conjunto de los números naturales, ℕ = {1, 2, 3, ⋯}. • El conjunto de los enteros, ℤ = {⋯, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ⋯}. • El conjunto de los racionales ℚ. • El conjunto de los números reales ℝ. • Los intervalos cerrados en la recta real.

Ejemplo 1

Los intervalos cerrados en la recta real[5, 8] es el conjunto de todos los números reales x, tales que 5 ≤ x ≤ 8.

Determinación de la probabilidad

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Ejemplo 2

Los intervalos abiertos en la recta real.(−2, 3) es el conjunto de todos los números reales x, tales que −2 < x < 3.

Ejemplo 3

Los intervalos semiabiertos en la recta real.[−5, 3) es el conjunto de todos los números reales x, tales que −5 ≤ x < 3.Algebraicamente también podemos definir un conjunto indicando las propiedades que satisfacen los elementos del conjunto.

Ejemplo 4

A = {x | x es menor que 5} o A = {x : x es igual a 5}.

Unión, intersección, complemento y conjuntos mutuamente excluyentes

A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es también elemento de B. Se denota por A ⊂ B, donde ⊂ indica que es subconjunto. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Por lo tanto, A = B si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A.

Observa que en la teoría de conjuntos tenemos que:

{a, b, c} = {c, a, b} = {b, c, a}y que {a, b, b} = {a, b}.

El conjunto sin elementos, es decir, ∅ = {} es el conjunto nulo o conjunto vacío.Para cualquier conjunto A, ∅ ⊂ A.El conjunto universo es el conjunto de todas las cosas que se pueden considerar en el

contexto que estamos estudiando. Por lo que cada conjunto A es un subconjunto del conjunto universo.

En probabilidad, el conjunto universo se llama espacio muestral.

Ejemplo 1

Para un dado balanceado, el conjunto universo o espacio muestral es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ejemplo 2

Si se lanza una moneda una vez, el conjunto universo o espacio muestral es:

U = {A, S},

donde U = conjunto universo, A: águila y S: sol.

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Los diagramas de Venn son muy útiles para visualizar la relación entre conjuntos. En un diagrama de Venn se representa cualquier conjunto en una región cerrada.

En la figura de la derecha, el rectángulo grande muestra el conjunto universo S. El círculo representa el conjunto A, el área amarilla muestra el conjunto complemento, Ac (se lee complemento de A).

S AC

A

Actividad 6 • CG 4 y 5 • CDBC M1 y M2 •

I. Realiza lo que se pide.1. Sea S el conjunto universo: los números enteros mayores de 2 y menores o iguales

a 10. Expresa sus elementos, tanto en un diagrama de Venn, como en su forma algebraica.

2. Describe el conjunto B de números pares, tanto gráfica, como algebraicamente.

3. Escribe el complemento de B, descrito anteriormente, gráficamente y algebraicamente.

II. Escanea el siguiente target y realiza la actividad.

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La unión de dos conjuntos es un conjunto que contiene todos los elementos que se encuen-tran ya sea en A, en B o en ambos.

Entonces x ∈(A ∪ B) si y sólo si (x ∈ A) o (x ∈ B). Por lo tanto, A ∪ B = B ∪ A.

A B

A∪B

Ejemplo

{1, 2, 3}∪{3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

B es subconjunto de A, que se denota B ⊂ A, si todos los elementos de B están conte-nidos completamente en A.

A

BFigura 1.3 En este caso, la unión de los conjuntos A y B sería el conjunto A en su totalidad, es decir A∪B = A.

La intersección de dos conjuntos, A∩B, consta de todos los elementos que están en A y en B.

Entonces x∈(A∩B) si y sólo si (x∈A) y (x∈B). Por lo tanto, podemos observar que A∩B = B∩A.

A B

A∩B

Figura 1.4 La intersección de A y B se denota por el área de color amarilla.

Ejemplo

{1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3}.

La diferencia de dos conjuntos, cuya notación es A – B, consta de elementos que están en A pero no en B.

Ejemplo

A = {1,2,3,4,5,6,7} y B = {3,4,5,6}, entonces A − B = {1,2,7}.

BA−B

Figura 1.5 El resultado de A − B se representa en color amarillo. Observa que A − B = A∩Bc.

Dos conjuntos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen ningún elemento común; es decir, su intersección es el conjunto vacío, A∩B = ∅.

A B Figura 1.6 Los conjuntos A y B son disjuntos.

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I. Sean A, B, C tres conjuntos que tú definas, dibuja el diagrama de Venn para cada uno de los siguientes puntos e indica el área que representa el conjunto dado.

A∪B∪C A∩B∩C

A∪(B∩C) A−(B∩C)

II. En plenaria, dialoguen sobre lo valioso que es conocer y utilizar los conceptos funda-mentales de la probabilidad. Escribe las ideas relevantes.

III. De acuerdo con las soluciones de los planteamientos establecidos en las actividades y ejercicios hasta el momento, explica cómo el estudio sistemático de un evento permite incrementar el grado de confianza en la toma de decisiones de una situación real. Redacta una ficha con tus conclusiones.


I. En equipo, elaboren o lleven a clase dos dados con seis caras de diferente color y tres canicas (una verde, una azul y una roja). Realicen las siguientes actividades.

1. Lancen al mismo tiempo los dos dados y encuentren la probabilidad de que:a. La suma de sus caras sea 13.b. La suma de las caras sea 5.c. La suma de las caras sea menor que 13.d. La suma de las caras sea menor o igual a 6.e. La suma de las caras sea mayor o igual a 6.f. Encuentra la intersección y la unión obtenida en d y e.

2. Lancen un dado y encuentren la probabilidad de que caiga una cara con un número primo.

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Elementos básicosExperimento

En probabilidad se estudian fenómenos, también llamados experimentos. Estos tienen dos clasificaciones generales, como podemos ver en el diagrama siguiente.

Determinista

Aleatorio

Experimento

Sus resultados se pueden predecir de antemano

Comprobar una ley física o química

Es aquel que en caso de repetirse bajo las mismas condiciones no se puede predecir con certeza el resultado

Lanzar monedas Tirar dadosSacar bolas de una bolsaRuletaCartas

3. De manera similar, introduzcan las canicas en una bolsa y determinen la posibilidad de:a. Extraer la canica azul.b. Extraer la canica roja.

c. Extraer la canica verde.d. Repetir alguna de las canicas.

4. Registra en tu cuaderno la información y comenten en plenaria sus observaciones. Posteriormente, agrega a tu información recolectada tus conclusiones.

II. Investiga en diversas fuentes bibliográficas sobre los axiomas y los teoremas de la proba-bilidad, probabilidad condicional, teorema de Bayes y esperanza matemática. Registra la información a manera de formulario.

Actividad 9 • CG 1, 4 y 7 • CDBC M1, M3, M4 y M6 •

.Clasifica los experimentos siguientes. Indica los posibles resultadosف

Experimento Determinista AleatorioLanzar una moneda al aire

Tirar un dadoSacar una carta de una

mazo de 52 cartasElevar un número

a al cuadradoMedir la temperatura de ebullición del agua

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Espacio muestral

El espacio muestral Ω de un experimento es el conjunto de todos los posibles eventos simples de un experimento.

Lanzar una monedaEspacio muestral:

Ω = {Águila o Sol}

Tirar un dadoEspacio muestral:

RuletaEspacio muestral:

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12,

13, 14, 15, 16, 17,18,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,28,29,30, 31, 32,

33, 34, 35, 36}:

Sacar bolas de una bolsaEspacio muestral:

Ω= {bola roja, bola verde}.

Sacar cartas de un mazo de 52 cartasEspacio muestral Ω = {las 52 cartas}

Actividad 10 • CG 1, 4 y 5 • CDBC M1, M3, M7 y M8 •

.Determina el espacio muestral en los siguientes casosف 1. Tirar un dado.

• ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

2. Tirar dos dados. • ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

3. Tirar tres dados. • ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

4. Si tiras n dados, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?

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Eventos seguros y eventos imposibles

La probabilidad de que ocurra un evento es

P =Número de formas en que puede ocurrir un evento

Número total de resultadosPor definición para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. En la mayoría de los

experimentos aleatorios necesitamos contar los resultados para esto, se emplean las técnicas de conteo, las cuales son una herramienta útil para enumerar elementos de una situación dada.

Un evento puede estar formado por uno o varios eventos elementales. • El evento seguro contiene a todos los resultados posibles (eventos elementales). Este evento se cumple siempre.

• El evento imposible no contiene ningún evento elemental. Nunca se verifica.

EjemploEn el experimento de tirar un dado al aire, un evento seguro es obtener un número menor que 7, y un evento imposible es que salga el número 8.

La probabilidad de que nunca salga un número 7 es P =66= 1 .

Toma en cuenta que para un evento seguro la probabilidad siempre es 1.

La probabilidad de que salga el número 8 es P =06= 0 .

Y finalmente, considera que para un evento imposible la probabilidad siempre será 0.

Actividad 11 • CG 1, 4 y 5 • CDBC M1, M2, M6 •

.Determina la probabilidad en los siguientes casosف 1. En una baraja de 52 cartas, considera el experimento de extraer una carta.

a. Determina la probabilidad de sacar una carta con número par.b. Determina la probabilidad de sacar una carta de espadas.c. Determina la probabilidad de sacar una carta de figura, es decir J, Q o K.d. Determina la probabilidad de sacar una carta de corazones.e. Determina la probabilidad de sacar una carta de espadas.f. Determina la probabilidad de sacar una carta de diamantes.g. Determina la probabilidad de sacar una carta de tréboles.

2. Al tirar un dado,a. calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3.b. calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 2.c. calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 5.

3. En una urna hay 5 bolas rojas, 4 bolas negras y 3 bolas verdes. Si sacamos una bola al azar, calcula la probabilidad de:a. sacar bola roja. b. sacar bola negra. c. sacar bola verde.

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Existen diferentes enfoques conceptuales de la probabilidad: Subjetivo, clásico y de frecuencias relativas o relativo.

Enfoque clásicoSe basa en el supuesto de que cada resultado es equiprobable (igualmente probable)

P(A) = N(A)= Número de ocurrencias de ATamaño de la Muestra

.

Si en un grupo hay 40 ingenieros y 20 arquitectos, la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente a una persona del grupo, su profesión sea arquitecto es: 20/60 =1/3.

Enfoque de frecuencias relativasLa frecuencia absoluta de un evento es el número de veces que aparece cuando se repite un experimento aleatorio.

La frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida entre el número de veces, n, que se repite el experimento aleatorio.

Cuando este número n es muy grande, la frecuencia relativa con que aparece un evento tiende a estabilizarse hacia un valor fijo. Este resultado, conocido como ley de los grandes números, nos conduce a definir la probabilidad de un evento como el número hacia el que tiende la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces.

La probabilidad por frecuencia relativa, se determina en base a la proporción de veces en que ocurre un resultado en cierto número de observaciones o experimentos

P = Frecuencia de la claseNúmero total de observaciones o Tamaño de la muestra

.

Ejemplo

Al sacar de una urna muy grande 100 pelotas (se desconoce cuántas pelotas hay dentro de la urna), se observaron 40 rojas y 60 azules. La probabilidad de que al sacar otra pelota ésta sea azul es:

P = 60100

=35

= .60 o 60%.

Enfoque subjetivoLa probabilidad de un evento es el grado de certidumbre que tiene una persona, o grupo de personas, acerca de la ocurrencia de un evento.

Puede ser que se base en la experiencia o en cierta información que se tenga. Es de juicio personal Por ejemplo: Está nublado, hay un 70% de probabilidad de lluvia.

Enfoques

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Actividad 12 • CG 1 y 5 • CDBC M1, M3, M8 •

.Responde en cada inciso lo que se pideف 1. En una bolsa tenemos mezclados 25 canicas rojas, 15 canicas verdes, 20 canicas

azules y 40 canicas amarillas. Sacamos al azar una canica de la bolsa (se supone que todas las canicas tienen la misma probabilidad de ser elegidas). a. ¿Qué probabilidad hay de que la canica sea roja?b. ¿Qué probabilidad hay de que la canica sea verde?c. ¿Qué probabilidad hay de que la canica sea azul?d. ¿Qué probabilidad hay de que la canica sea amarilla?e. ¿Cuánto suman todas las probabilidades?

2. Si se lanzan 2 dados, ¿cuál será la probabilidad de que la suma de las caras que quedan hacia arriba sean de: a. 6; b. 9 y; c. 11 a. Define el espacio muestralb. Indica la probabilidad de que la suma sea 6. c. Indica la probabilidad de que la suma sea 9. d. Indica la probabilidad de que la suma sea 11.

3. En una escuela de 430 alumnos hay 200 estudiantes que hablan inglés, 300 que hablan francés, 100 que hablan alemán, 100 que hablan inglés y francés, 40 que hablan inglés y alemán, 50 que hablan francés y alemán y 30 que hablan los tres idiomas. Se elige un estudiante al azar.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que hable solo un idioma extranjero?

Proyecto formativo

I. En esta segunda fase del proyecto, diseñarán por equipo una encuesta para conocer los hábitos alimenticios y de ejercicio, así como la condición de salud de una muestra de 50 personas. En la encuesta deben incluir los siguientes puntos: • Hábitos de alimentación • Tiempo que dedican al ejercicio • Frecuencia y cantidad del consumo de refrescos • Principales enfermedades que padecen

II. Compartan su encuesta con otro equipo para recibir retroalimentación y, de ser nece-sario, realicen las correcciones pertinentes.

III. Determinen las características de las personas que integrarán la muestra y seleccionen a las personas que las cumplan.

IV. Establezcan en equipo la organización para la aplicación de la encuesta.

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¿Cómo te sentiste durante la actividad?

Me gusta

Me emociona

No me gusta

Me da igual

Título de DHS

Toma de decisiones

Nuestro objetivo

Materiales

• Reconocer las situaciones en las que nuestra opinión puede impactar a otra persona.

• Reconocer las situaciones en las que nuestra opinión puede impactar a otra persona.

• Materiales • Hojas blancas • Bolígrafo • Caja de cartón

Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Adopta una posición cómoda y escucha a tu profesor con los ojos cerrados mientras lee el siguiente texto.

Te pido que por un momento te permitas contactar con tu violencia, trata de identificar cómo es, en qué momentos se ha manifestado, con quiénes la expresas, cómo te sientes cuando aparece y qué sucede con las personas que te rodean cuando surge. Explora detalladamente cómo es tu violencia, incluso si tuviera forma y color, de qué forma y color sería. Cuando hayas logrado identificar y reconocer cómo es tu violencia, conviértete en ella; por un momento eres tu violencia.

Para reflexionar

Comparte tus respuestas en sesión plenaria y reflexiona sobre las siguientes preguntas: • ¿Cómo te sentiste al personalizar tu violencia? • ¿Cómo te sientes después de exponer sus respuestas? • ¿Consideras que esta actividad puede ser útil para regular tus comportamientos violentos?

Paso a paso

Para terminar

I. Al concluir la lectura abran los ojos y respondan lo que se te pide de acuerdo a como visualizaste tu “violencia”. Es importante que el profesor inicie con la presentación de su violencia para modelar al grupo cómo se realizará la actividad; el objetivo es favorecer que los participantes identifiquen y reconozcan la forma en que se manifiesta su “violencia”

Yo soy la violencia de ____________________________________________.(anota tu nombre)

Me expreso cuando ___________________________________________________________________________________________________________Las personas con quien me he manifestado principalmente son_________________________________________________________________________________________________________________________

Cuando me he presentado, _________________________________________(anota tu nombre)

se siente ___________________________________________________________________________________________________________________

Le gustaría a ___________________________________________________(anota tu nombre)

que yo cambiara en _____________________________________________...Las personas cercanas que me han visto se sienten ____________________________________________________________________________________

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PrelecturaPrevio a tu lectura, responde las siguientes preguntas:

1. Cuando eras niño, ¿a qué profesión pensabas dedicarte?

2. ¿Sigues con la misma idea o ha cambiado?

3. ¿Cómo se relaciona la probabilidad con tus deseos?

Lectura

Fomento a la lectura

Kolmogórov la probabilidad de una posibilidad

Andréi Nikoláievich Kolmogórov es uno de los personajes más influyentes en el campo de las matemáticas, no sólo por sus contribuciones, sino por todo lo que aportó a la pedagogía matemática rusa. Es conocida su incansable curiosidad, así como el compromiso que tuvo con la educación que en la extinta Unión Soviética se llevaba a cabo.

Su origenKolmogórov nació en Tamvov en el año de 1903. Su padre, Nikolái Matvéievich Katáev, era un técnico agrónomo que regularmente no se encontraba en casa, pues su trabajo requería que estuviese lejos del hogar por periodos irregulares; murió en la Guerra Civil de 1918. Su madre, Mariya Yakovlievna Kolmogórova, murió cuando dio a luz a Andréi Nikoláievich. Así pues, sus tías, Vera y Nadieshda Yakovlievna Kolmogórova, se quedaron a cargo de él. Fueron ellas quienes le inculcaron, además de su amor por los libros, que la curiosidad da excelentes frutos si se observa desde la más tierna infancia. Fue esa dedicación lo que permitió a Andréi Nikoláievich tener su primer descubrimiento a la edad de seis años: se dio cuenta de que la suma acumulativa de los números impares consecutivos siempre se puede expresar como el cuadrado de otro número.

—¿Cuáles son sus intereses además de las matemáticas?—Si yo los colocara en orden, entonces, después de las matemáticas viene mi interés en educar a la juventud, íntegramente, en todos los campos.

Andréi Kolmogórov36


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Sus tías lo inscribieron en el Instituto Moscovita Repman, que sustentaba su fama en el hecho de que los maestros no seguían métodos tradicionales de enseñanza y, como consecuencia, los estudiantes desarrollaban un pensamiento liberal. Este tipo de docencia fue la que a Kolmogórov le ayudó a despuntar en ese instituto. Era el único lugar donde niños y niñas podían compartir pupitre en las clases. Asimismo, el alumno podía asistir a los cursos donde tuviese el mejor rendimiento; esto permitía no sólo estar involucrado en los intereses propios, sino que además facilitaba la convivencia entre educandos de cursos elementales con los de cursos superiores. Es aquí donde Kolmogórov comenzó a destacar en matemáticas. Además, sus intereses lo llevaban por los temas más variados: historia, biología y sociología; incluso había planeado ser guardabosques y director de escuela una vez que se graduara. Pero definitivamente su camino estaba en dirección hacia las matemáticas, ya que Kolmogórov comenzó a estudiar con el matemático Nikolai Luzin, quien era un miembro destacado de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética y su campo era la teoría de las funciones.

Su legado matemáticoLa cantidad de temas que Kolmogórov manejó a lo largo de su trayectoria académica involucra a los más variados: la teoría de funciones, la teoría de las funciones trigonométricas, la topología, la lógica, la filosofía de la matemática; asimismo, se adentró en temas muy concretos de los sistemas dinámicos y de los procesos estocásticos. Sin embargo, la contribución que lo hizo famoso en el ámbito de las matemáticas fue la teoría de probabilidades y la estadística matemática. Es curioso pensar que él mismo se consideraba un matemático puro; sin embargo, sus investigaciones tenían un valuarte dirigido hacia las aplicaciones de las matemáticas en diversas ramas del conocimiento, como física, balística, biología, oceanografía, geología, mineralogía, e incluso la lingüística. Como puede notarse, los intereses de este gran matemático involucraban las más diversas disciplinas, pues él consideraba que lo realmente importante era la unidad de las matemáticas.

Hernández, C. (2015). Revista Cuadrivio [en línea]. Recuperado de http://gpoe.mx/sX3b4u

PoslecturaI. Con base en la lectura, responde lo siguiente:1. ¿Qué te parece la vida de Andréi Nikoláievich?

2. ¿Consideras que su educación tuvo algo que ver con su legado matemático? ¿Por qué?

3. ¿Qué probabilidad existe de que tú te desenvuelvas en la profesión que quieres? Explica.

4. ¿Qué piensas hacer para lograrlo?

II. Busca casos de éxito como el de este matemático ruso, por ejemplo, el matemático Humberto Cárdenas Trigos y analiza su legado. Redacta un ensayo al respecto y compártelo con tus compañeros.

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AxiomasLos axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que se deben verificar para que una función definida sobre un conjunto de eventos determine consistentemente sus probabilidades. Estos axiomas los formuló Kolmogórov en 1933.Axioma 1. La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 ≤ P(A) ≤ 1

Axioma 2. La probabilidad de que ocurra el espacio muestral S debe de ser 1.

P(S) = 1.

Axioma 3. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A∪B) = P(A) + P(B).

Axioma 4. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A∩B) = 0.

Figura 1.7 Andréi Nikoáievich Kolmogórov (1903-1987), matemático ruso que formuló la definición axiomática de la probabilidad, entre otros aportes a la teoría de la probabilidad.

Leyes

Con estos axiomas se puede calcular la probabilidad de un evento compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Resumen de axiomas

En la tabla siguiente recopilaremos las versiones cortas y en su forma algebraica de los axiomas anteriormente presentados.

Axioma 1 0 ≤ P(A) ≤ 1

Axioma 2 P(S) = 1

Axioma 3. A y B eventos disjuntos P(A∪B) = P(A) + P(B)

Axioma 4. A y B eventos disjuntos P(A∪B) = 0

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Leyes de adiciónTeorema 1. Si φ es un evento nulo o vacío, la probabilidad de que ocurra φ debe ser cero.

P(φ) = 0.Demostración

Si unimos φ a un evento A cualquiera, A∪φ.φ y A son dos eventos mutuamente excluyentes.Entonces, por el axioma 3, P(A∪φ) = P(A) + P(φ) =P(A).

Teorema 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe serP(Ac) = 1 – P(A).

Demostración

Si el espacio muestral S se divide en dos eventos mutuamente excluyentes, A y Ac.Entonces S = A∪Ac. Como A y Ac son disjuntos entonces P(S) = P(A) + P(Ac) y por el axioma 2 P(S) = 1, 1 = P(A) + P(Ac).Por tanto, P(Ac) = 1 – P(A).

Teorema 3. Si un evento A ⊂ B, entonces P(B) ≥ P(A).

Demostración

A es un subconjunto de B. Separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B – A.Entonces B = A∪(B – A) y por el axioma 3

P(B) = P(A) + P(B – A),entonces, si P(B – A) ≥ 0,

P(B) – P(A) ≥ 0entonces P(B) ≥ P(A).

Teorema 4. P(A – B) = P(A) – P(A∩B).

DemostraciónSi A y B son dos eventos cualesquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes:

(A – B) y A∩Bentonces

A = (A – B) ∪ (A ∩ B),entonces

P(A) = P(A – B) + P(A∩B)Despejando P(A – B)

P(A – B) = P(A) – P(A∩B).

φ

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Teorema 5. Para dos eventos cualesquiera A y B,P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Demostración

A∪B = (A – B) ∪ B,Donde (A – B) y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces

P(A ∪ B) = P(A – B) + P(B)Y, por el teorema 4,

P(A – B) = P(A) – P(A∩B),entonces

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Probabilidad condicionalEn la mayoría de los problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la de otro evento. Por lo tanto, es necesario introducir el concepto de probabilidad condicional: la proba-bilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.

P(B|A) denota la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A.

Ejemplo

Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determina la probabilidad de que sea a. roja, b. blanca, c. azul, d. no roja, e. roja o blanca.

a La probabilidad de que sea roja es P(R) = 615

=25

.

b La probabilidad de que sea blanca es P(B) = 415

.

c La probabilidad de que sea azul es P(A) = 515

=13

.

d La probabilidad de que no sea roja es 1− 25=

35

.

eLa probabilidad de que sea roja o blanca es

P(R∪B) = P(R) + P(B), ya que P(R∩B) = 0, P(R ∪B) = 25+

415

=23

.

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Teorema 6. Teorema de Bayes

La expresión del teorema de Bayes para dos variables discretas es:

P(A |B) = P(A∩B)P(B)

,P(B) ≥ 0.

Esto es, la probabilidad de A, dado B, definida como el cociente de la probabilidad conjunta entre la probabilidad del evento B.

En general: P(A|B) ≠ P(B|A).

P(B |A) = P(A∩B)P(A)

,P(A) ≥ 0.

Para eventos excluyentes: si P(B|A) = P(B), entonces P(A∩B)= P(A)P(B).

Teorema 7. Si un suceso A debe ser el resultado de uno de los sucesos mutuamente exclu-yentes A1, A2, ..., An. Entonces

P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + . . . + P(An)P(A|An).

Teorema 8. Teorema de Bayes para sucesos mutuamente excluyentes.

Supóngase que A1, A2,... , An son sucesos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es decir, uno de los sucesos debe ocurrir.

P(Ak |A) = P(Ak )P(A |Ak )

P(Ak )P(A |Ak )k=1

n

∑.

Resumen de teoremas de probabilidad

En la tabla siguiente recopilaremos las versiones cortas y en su forma algebraica de los teoremas anteriormente presentados.

Teorema 1 P(ø) = 0Teorema 2 P(Ac) = 1 – P(A)Teorema 3 Si un evento A ⊂ B, entonces P(B) ≥ P(A)Teorema 4 P(A – B) = P(A) – P(A∩B)

Teorema 5 Dos eventos cualesquiera A y B,P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Teorema 6Teorema de Bayes

P(B |A) = P(A∩B)P(A)

,P(A) ≥ 0

Teorema 7Si un suceso A debe de ser el resultado de uno de los sucesos mu-

tuamente excluyentes A1, A2, …, An, entoncesP(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2)+ ... + P(An)P(A|An)

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Teorema 8

Teorema de Bayes para sucesos mutuamente excluyentesSupóngase que A1, A2, …, An son sucesos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es decir, uno de los sucesos debe ocurrir

P(Ak |A) = P(Ak )P(A |Ak )

P(Ak )P(A |Ak )k=1

n

∑.

Ejemplo

Una fábrica de colchones produce 50 colchones diarios. La máquina A produce 30 colchones, de los cuales el 2% es defectuoso y la maquina B produce los 20 restantes de los que se sabe el 4% son defectuosos. Determina la probabilidad de que un colchón elegido al azar este defectuoso y que proceda de la máquina A o de la máquina B.

Colchón

A

B

30/50

20/50

D2%

ND98%

ND96%

D4%

P(A |B) =P A B( )

P(B)P A B( ) = P(A |B)P(B)

P(B | A) =P B A( )

P(A)P B A( ) = P(A)P(B | A)

Colchón defectuoso Máquina A:

P A∩D( ) = 3050

0.02( ) = 0.012

Colchón defectuoso Máquina B:

P B ∩D( ) = 2050

0.04( ) = 0.016

Colchón sin defectos Máquina A:

P A∩ND( ) = 3050

0.98( ) = 0.588

Colchón sin defectos Máquina B:

P B ∩ND( ) = 2050

0.96( ) = 0.384

La probabilidad de que un colchón este defectuoso es de 2.8%, ya que la suma de las probabilidades de defectos de cada máquina es 0.028.

La probabilidad de que un colchón no esté defectuoso es de 97.2%, ya que la suma de las probabilidades de no defectos de cada máquina es 0.972.

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Actividad 13 CG 4, 5 y 8 CDB M3, M7 y M8

I. Con ayuda del formulario, resuelvan en equipo los siguientes problemas.1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A) = 0.29 y P(B) = 0.43, determina:

a. P(Ac) b. P(A∪B)

c. P(A∩B) d. P(Ac∪Bc)

2. Una persona necesita comprar neumáticos nuevos para su auto. Existen 0.71, 0.22, 0.03, 0.29, 0.21 y 0.08 de probabilidad de que adquiera una de las siguientes marcas: Unillanta, Goodpath, Michelon, Gral, Goodtire o LouisTire.

Unitalla 0.17 Michelon 0.03 Goodtire 0.21

Goodpath 0.22 Gral 0.29 Louis Tire 0.08

a. ¿Qué tipo de eventos son? _____________________________________________b. Determina las probabilidades de que compre:

Neumáticos Goodpath o Goodtire Neumáticos Unillanta, Gral o Goodtire

Neumáticos Michelon o LouisTire Neumáticos Goodpath o Gralo Louis Tire

II. Busca en internet alguna noticia acerca de resultados electorales y en plenaria comenten por qué implican el cálculo de probabilidades. Establezcan teoremas o axiomas para aplicar.

III. A manera de foro de discusión, comenten sobre el uso de axiomas y teoremas de la probabilidad para la toma de decisiones. Determinen la importancia de utilizarlos en situaciones reales como la Lotería Nacional, control de calidad de productos de consumo humano, índices de producción en empresas, índices de población. Escribe cuatro ejemplos.

IV. Revisen sus resultados y ejemplos. Desarrolla conclusiones en tu cuaderno de trabajo.

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