An alisis cronom etricamente invariante de la Teor a unitaria ......CAP ITULO 1. DESCOMPOSICI ON DEL...

Tesis de Magister en Ciencias, Mencion en Fısica

Analisis cronometricamente invariante de la

Teorıa unitaria del campo no-simetrico

MODESTO E. MONTOYA ZAVALETA

27 de febrero de 2010

Prefacio

Este trabajo tiene como objetivo analizar las ecuaciones del campo en la Teorıa Unita-ria de los Tensores no Simetricos (presentada por A. Einstein) mediante un formalismocronometrico invariante (C.I.), semejante al formalismo C.I. usado por Z’elmanov, enla Relatividad General, para escribir las ecuaciones del campo gravitatorio en formacronometricamente invariante.

En el Capıtulo 1 se introduce el formalismo C.I. de Z’elmanov y se da una nuevavision de este formalismo, usando una matriz de transformacion entre los elmentos dela Relatividad General y los elementos C.I.

En el Capıtulo 2 se presenta la Teorıa Unitaria de los Tensores no simetricos y seexplica algunas interpretaciones no claras. Se plantea, ademas, puntos no desrrolladospor Einstein en dicha teorıa y que habren campos de investigacion.

En el ultimo capıtulo desarrollamos un formalismo semejante al creado por Z’elmanov.Este nuevo formalismo C.I. da nacimiento de elementos no clasicos que caracterizan alcampo unitario, que nos permite escribir las ecuaciones del campo unitario en formacronometralmente Invariante.

La importancia de escribir las ecuaciones del campo en forma de C.I. radica en ob-tener la posibilidad de analizar las ecuaciones en una geometrıa local, en la que se halogrado descomponer el espacio 3-dimensional de la coordenada tensorial; es decir, enla forma como estamos habituados hacerlo experimentalmente.

Mi agradecimiento a la UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA y a la FUN-DACION FORD, auspiciadora de este trabajo. Agradezco, asimismo al Prof. Jose DelPrado, quien me sugirıo el tema y supo guiarme a lo largo de su desarrollo.

1

Indice general

1. Descomposicion del espacio-tiempo 3

1.1. Resumen del formalismo de Z’elmanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Matriz de descomposicion del espacio - tiempo. . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Tensores y escalares en el espacio no holonomo descompuesto. . . . . . 12

1.4. Tensor metrico en el espacio no holonomo descompuesto. . . . . . . . . 12

1.5. Operadores de derivacion parcial en el espacio no holonomo descompuesto. 13

1.6. Conexion afın en el espacio no holonomo descompuesto. . . . . . . . . . 13

1.7. Tensor de curvatura en el espacio no holonomo descompuesto. . . . . . 15

1.8. Sistema localmente geodesico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Tensor aceleracion del sistema de referencia respecto al sistema local-mente geodesico (Fm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10. Tensor velocidad angular del sistema de referencia respecto al sistemalocalmente geodesico (AJk). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11. Tensor de deformacion del sistema de referencia respecto al sistema lo-calmente geodesico(Dmn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. La teorıa unitaria de los tensores no simetricos. 24

2.1. La conexion afın. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Tensor de curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Transformacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

INDICE GENERAL

2.4. Invariancia de transposicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Principio variacional y ecuaciones de campo. . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6. Interpretacion fısica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Tensor metrico no simetrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8. Definicion de la forma de subir y bajar ındices. . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9. Trayectoria de una partıcula en el campo unitario . . . . . . . . . . . . 39

3. Analisis C.I. en la teorıa unitaria de los tensores no simetricos. 40

3.1. Tensores C.I. en la teorıa unitaria( descomposicion parcial espacio - tiempo) . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Tensor metrico en el espacio no holonomo parcialmente descompuesto(S.D.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3. Definicion de subir y bajar ındices de un tensor 3-dimensional C.I. . . . 45

3.4. Intervalos temporal, espacial y operadores de derivacion en el espacio S.D. 46

3.5. Conexion afın en el espacio S.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6. Ecuaciones del campo que relacionan la metrica con la conexion afın . . 52

3.7. Derivada covariante C.I. en la teorıa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8. Relacion entre la holomicidad del espacio y las cantidades . . . . . . . . 55

3.8.1. TEOREMA: La condicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.9. Tensor de curvatura C.I. en la teorıa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.10. Sistema localmente geodesico: campo gravitacional nulo . . . . . . . . . 58

3.11. Identificacion de los elementos clasicos en la teorıa unitaria . . . . . . . 59

3.12. Ecuaciones del campo unitario en el formalismo C.I. . . . . . . . . . . . 62

3.13. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A. Aplicacion del formalismo C.I. a un sistema rotatorio 67

B. Una demostracion en la teorıa unitaria. 71

3

INDICE GENERAL

C. Tensor inversa de gαβ 73

D. Descomposicion espacio-tiempo en el tensor metrico. 75

E. Analogıa C.I. entre electromagnetismo y gravitacion 77

F. Operaciones vectoriales C.I. 83

4

Capıtulo 1

Descomposicion del espacio-tiempo

En la primera parte de este capıtulo haremos un resumen dl formalismo cronometri-camente invariante (C.I.), que introdujo Z’elmanov en la Relativida General (R.G.).Z’elmanov define cantidades y operadores C.I. con determinado significado fısico (re-lacionados con propiedades del sistema de referencia respecto al sistema localmentegeodesico).

El significado fısico del formalismo C.I. se demuestra con mayor facilidad, como ve-remos en este capıtulo, asumiendo una matriz que relaciona el formalismo C.I. con elformalismo 4-diemnsional de la R.G. como si hubiera entr eellos una transformacioncaracterizado precisamente por dicha matriz. Usando lo anterior estudiaremos la rela-cion entre los formalismos citados.

Este formalismo es una herramienta que nos permitira hacer el analisis con elementos3-dimensionales y C.I. caracterısticas que tienen las ecuaciones clasicas que no es facilanalizarlas.

1.1. Resumen del formalismo de Z’elmanov

Z’elmanov define la cantidad C.I. como aquellas que son invariantes bajo la transfor-maciom de la forma

x′0 = x′0(x0, x1, x2, x3) (1.1)

y covariantes respecto a las transformaciones de la forma

x′m = x′m(x1, x2, x3) (1.2)

5

CAPITULO 1. DESCOMPOSICION DEL ESPACIO-TIEMPO

La tranformacion (1.1) realciona los relojes de dos sistemas de referencia. El hecho detener cantidades invariantes bajo la transformacion de la forma (1.1) significa, enton-ces, que no depende de los relojes que se utilicen: sera los mismos para ambos sistemas.

La transformacion (1.2) es netamente tridimensional especial. Esta transforma sololas coordenadas tridimensionales, que habitualmente las llamamos diferenciandolas dela coordenada temporal, que en fısica clasica se considera independientemente de laprimeras. Tener cantidades covariantes bajo transformaciones del tipo (1.2), significatener cantidades tensoriales espaciales en el sentido que nos da la fısica clasica no re-lativıstica.

Las cantidades C.I. son definidas por Z’elmanov a partir de cantidades covariantesrespecto alas transformaciones generales1

x′α = x′α(x0, x1, x2, x3) (1.3)

A partir del tensor 4-dimensional n veces contravariante y m veces covariante Qα1,....αnβ1,....βm

se puede definir los tensores:

∗Qi1...,in =Qi1...,in

0,...,0

gm/200

(1.4)

que vienen a ser un tensor contravariante de orden n2.

De acuerdo a la formula (1.3), a partir del tensor metrico gαβ, obtenemos el tensormetrico C.I. contravariante

hik = −gik (1.5)

donde el signo negativo se ha tomado para obtener el determiante positivo.

El correspondiente tensor covariante hik sera

hik = −gik +g10g0k

g00

(1.6)

Usando la formula (1.4) se obtienen tambien escalares (si n = 0) mediante la regla:

∗Q =Q0,...,0 mveces

gm/200

(1.7)

1Utilizamos, en este trabajo las letras griegas para indicar ındices con valores 0,1,2,3. Mientras quelas letras latinas para indicar ındices con valores 1,2,3.

2Utilizaremos el signo ∗ para identificar las cantidades C.I.

6


Mediante (1.7) podemos, a partir del tensor

Aα =1

cgβα dx

3 (1.8)

definir el escalar

dτ =1

c√g00

g0β dxβ (1.9)

Sabemos queds2 = gαβ dx

αdxβ (1.10)

pudiendo expresar esta en la forma

ds2 = c2dτ 2 − hikdxidxk (1.11)

Cabe notar que τ y ds2 = hikdxidxk, son, efectivamente intervalos de tiempo y de

longitud fısicos (Ver [1]).

Puede demostrase tambien (Apendice III) que

g = −h g00 (1.12)

donde g es el determinante de gαβ y h es el determinante de hik. Se define asimismolos operadores

∂∗

∂t=

c√g00

∂

∂x0

∂∗

∂xi=

∂

∂xi− gi0g00

∂

∂x0

(1.13)

que resulta ser C.I.

Entre los operadores (1.13) existen las relaciones que definen a su vez cantidades C.I.

∂∗2

∂xi∂t− ∂∗2

∂t∂xi=F i

c2

∂∗

∂t

∂∗2

∂xi∂xk− ∂∗2

∂xk∂xi=

2Aikc2

∂∗

∂t

(1.14)

Z’elmanov define tambien el tensor razon de deformacion

Diα = −1

2

∂∗hik

∂t(1.15)

7


A partir de la 4-conexion afın Γαβγ puede definirse una conexion afın C.I. mediante laregla

∆ikl =

1

2hin

(∂∗hkn∂xL

+∂∗hnL∂xk

− ∂∗hkL∂xn

)(1.16)

que nos permite obtener la derivada covariante C.I.

Ai1,...,ink1,...,km{J} =∂∗

∂xLAi1,...,ink1,...,km

+n+1∑l=2

Ai1,..,il−1,h,il+1,..,ink1,...,km

∆ilhJ

−m+1∑l=2

Ai1,...,ink1,..,kl−1,h,kl+1,..,km∆ihklJ

(1.17)

Utilizando esta definicion de derivada covariante se puede demostrar que (analogamentea lo que ocurre en el formalismo 4-dimensional) hik;{l} = 0 (tambien hik;{l} = 0)

∂∗hik∂xL

− hin4nLk −hnk4n

iL = 0 (1.18)

donde Ai1,...,ink1,...,kmes un tensor C.I. n veces contra variante y m veces contravariante.

Puede demostrarse que las cantidades definidas en (1.14) hasta (1.15), se relacionancon las cantidades 4 dimensionales mediante las formulas

F i = − c2Γi00g00

ginΓk0n√g00

= −1c

(Aik +Dik

)giαgkβΓlαβ = hmihkn∆l

mn

giρΓk0ρ + gkρΓi0ρ = −2√g00cDik

(1.19)

lo que nos permite expresar F i, Aik, Dik,∆kln en funcion de las cantidades 4-dimensionales.

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Para interpretar fısicamente las cantidades C.I. Z’elmanov usa el sistema localmen-te geodesico (S.L.G.) cuyo origen esta en el punto de coordenadas xαM , y velocidad C.I.del origen nula. Ası las cantidades F i forman el vector aceleracion con signo opuesto delespacio de referencia, respecto al S.L.G. Aik llega a ser el tensor velocidad angular delsistema de referencia respecto al sistema localmente geodesico. Dik es el tensor razonde deformacion del espacio de referencia respecto a S.L.G.

Puede demostrarse que

D = DJJ =

1

2

∂∗ lnh

∂t(1.20)

que viene a ser el cambio relativo de un elemento de volumen del espacio de refe-rencia respecto al S.L.G.( ver demostracion al final de este capıtulo).

Se puede demostrar que las derivadas con variantes C.I. cruzadas no son iguales, re-sultando en cambio que si ∗∇ik es el operador derivada covariante C.I. respecto a lacoordenada xk, y luego con respecto a la coordenada xi, y QL es un tensor C.I. cual-quiera

(∗∇ik −∗ ∇ki)QL =2Aikc2

∂∗QL

∂t+HLki

JQJ (1.21)

donde

H . . . JL k i =

∂∗∆JiL

∂xk− ∂∗∆J

kL

∂xi+ ∆m

iL∆Jkm −∆m

kL∆Jim (1.22)

es un tensor C.I.

A partir de H . . . JL k i Z’elmanov define el tensor de curvatura 3-dimensional. median-

te la formula

CLkiJ =1

4(HLkiJ −HJkiL +HkLJi −HiLJk) (1.23)

y, con este tensor se define

CLk = C . . . nL k n ; C = C∗k (1.24)

El espacio producto del campo gravitatorio se caracteriza por las cantidades 4-dimensionalesgαβ, Γαβγ, R

αβγρ en la R.G. Z’elmanov al introducir el formalismo C.I., logra caracteri-

zar el campo gravitatorio por las cantidades C.I. hik, F i, Aik, ∆ikL, H

. . . iJ k L .

El tensor de curvaturas en R.G. puede escribirse como

Rραβγ = Γραβ,ρ − Γραρ,β − ΓραnΓnγβ + ΓραβΓαργ (1.25)

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a partir del cual se define el tensor de curvatura contraıdo

Rαβ = Rραβρ (1.26)

y las ecuaciones del campo gravitatorio viene a ser

gµν,γ + gµnΓνγn + gnνΓµnγ = 0 (1.27)

Rµν −1

2Rgµν = χTµν + λgµν (1.28)

donde Tµν es el tensor de energıa impulso. χ, λ son las constantes gravitacional deEinstein y la cosmologica, respectivamente.

Las ecuaciones (1.27) y (1.28) pueden escribirse en formalismo C.I. utilizando la formu-la (1.4) y las cantidades fısicas definidas por Z’elmanov, en la forma

∗∂D

∂t+DJLD

LJ + AJLALJ +∗ ∇JF

J − FJFJ

c2= −χ

2(ρc2 + U) + λc2 (1.29)

∗∇J(hiJD −DiJ − AiJ) +2

c2FJA

iJ = χJ i (1.30)

∗∂Dik

∂t− (DiJ + AiJ)(DJ

k + AJk ) +DDik −DiJDJk

+3AiJAJk +

1

2(∗∇iFk +∗ ∇kFi)−

1

c2FiFk − c2Cik =

χ

2(ρc2hik + 2Uik − Uhik) + λc2hik (1.31)

Donde Tαβ es la densidad de masa C.I.; ρ la densidad de flujo de masa que es igual ala densidad de momento (ρc2 es la densidad de energıa, J ic2 es la densidad de flujo deenergıa); U ik es la densidad de flujo del momento, U = UJ

J ; ρ = T00

g00; cT i0 = J i; c2T ik =

U ik.

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La expresion (1.29) es un escalar C.I.. La expresion (1.30) es un tensor C.I. de or-den 1. La expresion (1.31) es un tensor C.I. de orden 2.

Ya que en las ecuaciones de Einstein C.I. figuran las cantidades C.I. que caracteri-zan el campo, podemos obtener conclusiones fısicas cualitativas (validas para cualquiercampo gravitacional) sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones. En eso residela importancia de un analisis C.I.

Ademas con este formalismo se logra descomponer el espacio-tiempo, denotando ladiferencia entre ellos que aparecen disimulados en el formalismo 4-dimensional.

Como hemos visto en esta seccion podemos, a partir de cantidades 4-dimensionales,definir cantidades C.I. que caracterizan al campo gravitatorio al descomponer el espa-cio y el tiempo en el cualquier sistema de ecuaciones covariantes. O sea que tiene lugar

[Formalismo

4− dimensional

]−→

[Formalismo C.I.

]

Sin embargo no sabemos si la relacion inversa podrıa tener lugar. Mas adelante desa-rrollaremos un metodo que muestra la relacion inversa. Este, metodo nos permitir ademostrar facilmente el significado fısico de las cantidades C.I.

Z’elmanov enuncia el siguiente teorema:

1A. TEOREMA: Fm = 0, Amn = 0 es la codicion necesaria y suficiente para la posibi-lidad de encontrar un sistema de coordenadas Σ ′ en el que se cumple g ′00 = 0, g ′n0 = 0es decir, el espacio es holonomo.

La demostracion de este teorema se da mas tarde en el caso general de la teorıa unitaria.

1.2. Matriz de descomposicion del espacio - tiempo.

La metrica 4-dimensional gαβ podemos describirla como la matriz

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gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣g00 g01 .. g03

g10 . . .g20 . . .g30 . . g33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.32)

Donde g00 6= 0

Podemos descomponer las componentes temporales de las espaciales mediante opera-ciones elementales sobre la matriz (ver Apendice IV) obteniendo la matriz equivalente

∗gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 011 −hik1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.33)

donde hik esta dada por la formula (1.6).

Como vemos en el apendice IV, para obtener hik de gαβ es necesario emplear g0α.

Si introducimos nuevas coordenadas (no holonomas) x0∗, x

n∗ definidas por

δxn∗ = dxn (1.34)

δx0∗ =

g0α√g00

dxα (1.35)

entonces la formula (1.11) de expresar ds2 podrıamos interpretarlo como si fuera debidoa una transformacion de coordenadas, que nos permite descomponer el espacio tiempo,ya que

ds2 = (δx0∗)

2 − hmnδxm∗ δxn∗ (1.36)

Esta descomposicion puede representarse mediante la matriz Aαβ .

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dxα∗ = Aαβdxβ (1.37)

donde

Aαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

√g00 0 0 0

g10/√g00 1 0 0

g20/√g00 0 1 0

g30/√g00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.38)

Queda claro el caracter no holonomo de las nuevas coordenadas, puesto que

∂Aαβ∂xγ

6=∂Aαγ∂xβ

(1.39)

Podemos ver que

‖Aαβ‖ =√g00 6= 0 (1.40)

luego la matriz Aαβ tiene inversa, siendo esta

Aα−1

β =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1/√g00 0 0 0

−g10/g00 1 0 0−g20/g00 0 1 0−g30/g00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.41)

luego podemos realizar la transformacion inversa, notando siempre que es necesarioconocer para esto los elementos g0α.

13


1.3. Tensores y escalares en el espacio no holonomo

descompuesto.

Mediante la matriz Aαβ definida en (1.38), que se comporta como una matriz de trans-formacion, a un espacio descompuesto, se pueden obtener las cantidades definidas porZ’elmanov y se explica en forma clara su significado fısico de cada una de ellas.

En las siguientes secciones definiremos por este proceso las cantidades C.I.

Si tenemos el tensor 4-dimensional Qα1,...,αnβ1,...,βm

, podemos definir a partir de este ten-sor, las cantidades tensoriales

∗Qi1,...,in0,...,0 m veces = Qα1,...,αn

β1,...,βmAi1α1

...AinαnAβ1−1

0 ...Aβm−1

0 (1.42)

si tenemos en cuenta (2.7) vemos que:

∗Qi1,...,in0,...,0 m veces =

Qi1,...,in0,...,0 m veces

g00m/2

(1.43)

coincidiendo, entonces, con cantidades definidas por Z’elmanov (ver formula (1.4)).

1.4. Tensor metrico en el espacio no holonomo des-

compuesto.

Mediante la matriz (1.38) podemos trasformar el tensor metrico contravariante, obte-niendose

gαβ∗ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 000 −hik0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.44)

donde hik esta dado por (1.5), coincidiendo con las cantidades definidas por Z’elmanov.

14


Dado que la matriz de transformacion tiene inversa (1.41) la relacion entre ambosespacios esta dado por los elementos g0α .

Vemos que los 4 elementos temporales del tensor metrico del espacio descompuestoson constantes mientras que los elementos 3-dimensionales ( las 6 restantes) coincidencon el tensor metrico definido por Z’elmanov, notandose la relacion que existe entre elformalismo C.I. y los elementos del espacio descompuesto en lo que respecta al tensormetrico.

1.5. Operadores de derivacion parcial en el espacio

no holonomo descompuesto.

Usando la matriz (1.41), debido a la covariante podemos definir

∂∗

∂x0= Aα

−1

0

∂

∂xα=

1√g00

∂

∂x0(1.45)

∂∗

∂xn= Aα

−1

n

∂

∂xα=

∂

∂xn− gn0

g00

∂

∂x0(1.46)

operadores definidas por Z’elmanov en las ecuaciones (1.13) ya que definen operadoresC.I. implican con la derivada parcial con respecto a las coordenadas del espacio noholonomo considerado.

1.6. Conexion afın en el espacio no holonomo des-

compuesto.

La matriz Aαβ juega, como hemos visto, el papel de la matriz de transformacion alespacio no holonomo descompuesto. Podemos, entonces, transformar la conexion afına este sistema mediante la formula

∗Γαβγ = ΓγnρAn−1

β Aρ−1

γ Aαγ +∂∗

∂xβ(A−nγ )Aαn (1.47)

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que es la correspondiente a la relacion que existe entre las conexiones afines de lossistemas:

Γαβγ = Γσnρ∂xn

∂x′β∂xρ

∂x′σ∂x′α

∂xσ+

∂2xn

∂x′β∂x′σ∂x′α

∂xn(1.48)

Usando la formula (1.47) se obtiene los elementos de la conexion afın ∗Γ siguientes

∗Γ000 = 0 (1.49)

∗Γ00n =

hikΓk00

g00

(1.50)

∗Γ0n0 = 0 (1.51)

∗Γik0 =Γik0√g00

− g0nΓn0kg0i

g003/2

+g0ig0kg00,0

2g003/2

(1.52)

∗Γi0k =Γi0k√g00

− g0kΓiτ0

g003/2

(1.53)

∗Γn00 =Γn00

g00

(1.54)

hirhks ∗Γ0ik = −g

sαΓr0α√g00

(1.55)

∗ΓikL = ΓikL −Γi0L gk0

g00

− Γik0 g0L

g00

+Γi00 gk0 g0L

g002

(1.56)

De (1.49) y (1.51) vemos que se han fijado 4 de las 64 componentes de la conexion afınal transformarlo al sistema no holonomo.Por otra parte entre los elementos de la conexion afın existe las siguientes 21 relaciones

∗Γi00 = hik ∗Γ00k (1.57)

hirhks ∗Γ0ik = hir ∗Γs0i (1.58)

16


ΓiKL = 0 (1.59)

quedando 39 componentes de variables independientes, de las cuales 30 son C.I. ( ∗Γik0

no lo son), que le corresponden a las cantidades definidas por Z’elmanov, mediante lasrelaciones que pueden escribirse como

∗Γi00 = −Fi

c2(1.60)

hirhks ∗Γ0ik = (Ars −Drs)/c (1.61)

hrk ∗Γi0k + hki ∗Γrkc = −Dri

c(1.62)

∗ΓikL = ∆ikL (1.63)

Debe notarse que la relacion entre Γ y ∗Γ lo da la matriz Aαβ , mientras que las cantida-des ∗Γ variables y C.I. le corresponde a las C.I. definidos por Z’elmanov. Es importantenotar que lo elementos netamente 3-dimensionales de ∗Γ coinciden con la conexion afın3-dimensional definida por Z’elmanov.

1.7. Tensor de curvatura en el espacio no holonomo

descompuesto.

Dado el carcter tensorial del tensor de curvatura Rαβγρ, la transformacion al sistema

descompuesto dada por la matriz Aαβ nos dara el tensor de curvatura ∗Rαβγρ. Sin em-

bargo hay que notar que Rαβγρ esta relacionado con la conexion afın 4-dimensional Γ

mediante la f ormula

Rαβγρ = Γαβγ, ρ − Γαβρ, γ − ΓασγΓ

σβρ + ΓασρΓ

σβγ (1.64)

Es de esperar, entonces, que el tensor de curvatura ∗R se exprese en funcin de ∗Γ,y debido a la relacion que existe entre ∗Γ y las cantidades C.I. F i, Aik, Dik, ∆i

kL se

17


exprese en funcion de las cantidades C.I.

En efecto, los elementos de ∗R que forman un tensor 3-dimensional de orden 4 puedenescribirse en las siguientes formulas:

∗RrstJ. . . = −hirhLshkL(

∂∗

∂xk∆JiL −

∂∗

∂xi∆JLk −∆n

kL∆Jni + ∆n

iL∆Jnk)

+(ArJ +DrJ)(Ats +Dts)/c2 − 2Art(AsJ +DsJ)/c2

(1.65)

Z’elmanov, por derivadas cruzadas, define en la formula (1.22) como R Ji

Lki a las canti-dades entre corchetes de (1.65). Pero lo que queremos remarcar, es que las cantidadesC.I. apartir deRα

βγρ se pueden escribir en funcion de los elementos C.I. F n, Amn, Dmn, ∆mLk

y sus derivados, el hecho que Z’elmanov haya llamado R JLki al tensor entre corchetes

de (1.65) y lo relacione con el tensor de curvatura 3-dimensional, no significa que la re-lacion entre los formalismos debe analizarse con R J

Lki sino con los correspondientes ∗R .

Los tensores de orden 3 derivados del tensor de curvatura 4-dimensional son

∗R . ikL0 . . . = −h

mL

c(Aki +Dki); {m}+

hmk

c(ALi +DLi); {m}

−Fi

c3(ALk +DLk) +

F i

c3(AkL +DkL)

(1.66)

∗RikL. . . 0 = hLmhJk

∂∗

c ∂t∆iLJ −

hLk

c(Ami +Dmi); {i}

+(Ami +Dmi)F k

c3+ (Aki +Dki)

Fm

c3

(1.67)

∗RikL. . . 0 = −R ik . L

. . 0 . (1.68)

∗R i . kL0 . . =

hmL

c(AkL +DkL); {m} − hmk

c(ALi +DLi); {m}

−F i(ALk +DLk) + F i(AkL +DkL)

(1.69)

∗R i . kL. 0 . . = −∗R i Lk

. 0 . . (1.70)

18


Los tensores de orden 2 derivados del tensor de curvatura 4-dimensional son:

∗R i m0 . 0 = −h

in

c2(F i); {L}+

∂∗

c2 ∂t(Ami +Dmi)

+2Dmn (Ani +Dni) + Amn (Ani +Dni)

(1.71)

∗R i .m .0 . 0 = − ∗R i m

0 0 . (1.72)

∗R . m i0 0 . . = hLmhki [

∂∗

∂xk∆nnL −

∂∗

∂xL∆nnk] + 2

DAim

c2(1.73)

∗R . m i0 . 0 . = −h

kmhLi

c2(Γm); {L} − ∂∗

c2 ∂t[(Ain +Din)hnL]hLm

+hns

c2[(Ams +Dms)(Ani +Dni) + (Anm +Dnm)(Asi +Dsi)]

(1.74)

∗R . m i0 . 0 . = − ∗R . m i

0 . . 0 (1.75)∗R im

. 0 0 = 0 (1.76)

Los tensores de orden 1 que se derivan del tensor de curvatura 4-dimensional sonnulos es decir:

∗Rn0 0 0 = ∗R . n

0 . 0 0 = ∗R . n0 0 . 0 = ∗R . . n

0 0 0 . = 0 (1.77)

Ası pues, hemos obtenido todos los tensores C.I. que se derivan del tensor de cur-vatura 4-dimensional, notandose que estan en funcion de las cantidades C.I. definidaspor Z’elmanov como era de esperarse. Tengo que reiterar que a partir del tensor deorden 4 que se obtiene de Rα

βγρ, resulta el tensor H . . . Li J k definido por Zlmanov, ha-

ciendonos recordar que si consideramos ∗Γ con sus tres ındices 3-dimensionales resultala conexion afın 3-dimensional, definido por Z’elmanov. Notandose de esta forma elimportante papel que desempena la matriz Aαβ en la definicin de cantidades C.I.

1.8. Sistema localmente geodesico.

Sean xαM las coordenadas del punto M arbitrario pero fijo respecto al sistema de refe-rencia Σ. En este punto M podemos asumir un sistema localmente geodesico Σ′, con

19


velocidad C.I. nula, en el punto M, respecto al sistema Σ. De modo que la ley de trans-formacion de coordenadas entre estos dos sistemas

x′α = xα − xαM +

1

2(Γαβγ)M(xβ − xβM)(xγ − xγM) (1.78)

Pudiendo notar que la condicion de velocidad nula resulta de esta transformacion:

∂∗

∂t= 0 (1.79)

Cabe notar que la velocidad C.I. esta definida en funcion del operador

∂∗

∂t=∂∗

∂τ(1.80)

donde esta dado por la formula (1.9). tambien es util escribir las expresiones rela-cionadas con la transformacion (1.78)

(∂x′α

∂xβ

)M

= δαβ (1.81)

(∂2x

′α

∂xβ∂xγ

)M

=(Γαβγ

)M

(1.82)(∂xα

∂x′β

)M

= δαβ (1.83)(∂2xα

∂x′β∂x′γ

)M

= −(Γαβγ

)M

(1.84)

La condicion de velocidad relativa entre los sistemas nos lleva a la ecuacion relacionadacon (1.9)

1 = c√g00

∂x0

∂τ(1.85)

20


1.9. Tensor aceleracion del sistema de referencia

respecto al sistema localmente geodesico (Fm).

Teniendo en cuenta que el origen del S.L.G, se obtiene para el punto de coordenadasxαM en el sistema Σ, vemos que la velocidad de Σ′ con respecto a Σ en el punto Msera de acuerdo a (1.78)

(∂∗xm

∂t

)M

= − 1

2(Γnβγ)M

[∂xβ

∂t(xγ − xγM) + (xβ − xβM)

∂xγ

∂t

](1.86)

entonces la aceleracion llega a ser, si tenemos en cuenta (1.79)

(∂∗2

∂t2

)M

= −Γm00

(∂x0

∂t

)2

(1.87)

que, recordando (1.85), logramos a obtener que la aceleracion de Σ′ respecto a Σ es

fm =∂∗2

∂t2xm = Fm (1.88)

de modo que Fm viene a ser el tensor aceleracion del sistema localmente geodesicocon respecto al sistema de referencia. Si tomamos el punto con el origen de Σ′ fijorespecto a Σ la aceleracion de este punto respecto a Σ′ sera

am = − ∂x′m

∂xnFm = −Fm (1.89)

En este sentido Fm viene a ser la aceleracin con signo opuesto de Σ respecto al Σ′.

21


1.10. Tensor velocidad angular del sistema de refe-

rencia respecto al sistema localmente geodesi-

co (AJk).

En los tratados clasicos de la Mecanica, si V es la velocidad de una partıcula,ω susvelocidad angular y r su posicion. Bajo la restriccion que |r| es constante, obtenemosque

V = ωxr (1.90)

Pudiendo mostrar que

ωx =1

2ε1JkWJk (1.91)

ωy =1

2ε2JkWJk (1.92)

ωz =1

2ε3JkWJk (1.93)

Donde

WJk =1

2

(∂Vk∂xJ− ∂VJ∂xk

)(1.94)

Si consideramos cantidades y operadores C.I. en las formulas desde (1.91) hasta (1.94)obtenemos

WJk =1

2(∇∗JVk −∇∗kVJ) =

hLk2∇∗JV L − hLJ

2∇∗kV L (1.95)

A partir de (1.95), teniendo en cuenta (1.48) y (1.85) se obtiene

hJmhknWJk =(gmρΓn0ρ − gρnΓmρ0

)/c√g00 (1.96)

22


Teniendo presente las relaciones (1.19) y (1.85) se llega a

W′Jk = −hJmhknWmn = −AJk (1.97)

de modo que AJk es el tensor velocidad angular, con signo opuesto, del sistema Σ′

con respecto a Σ.

Ahora bien, si tomamos un punto del origen de σ′, fijo respecto de σ la velocidadangular de este punto respecto a Σ′ sera

− ∂x′J

∂xm∂x′k

∂xnWmn = AJk (1.98)

En ese sentido AJk viene a ser la velocidad angular de Σ respecto a Σ′.

1.11. Tensor de deformacion del sistema de referen-

cia respecto al sistema localmente geodesico(Dmn).

Clasicamente sabemos que un elemento de longitud esta dado por

dL2 = eJ .ek δxJδxk (1.99)

De modo que la razon d deformacin es definido considernado la razon del cambio delongitud por el cambio de los vectores unitarios ei respecto a la coordenada temporal,lo que resulta ser, si suponemos que δxi = const.

(δL)d

dt(δL) = dJk δx

Jδxk (1.100)

23


Luego el cambio esta expresado por dJk, definiendose

dJk =1

2

d

dt(eJ .ek) (1.101)

Ahora bien, el cambio (1.100) resulta de la variacion de los vectores unitarios. Si re-emplazamos en (1.100) las cantidades convencionales por los C.I. obtenemos

(δL)d∗

dt(δL) =

1

2

d∗

dt(hJk) δx

Jδxk (1.102)

Si consideramos que un elemento de longitud ligado al origen, esta cambiando de posi-cion respecto a Σ, la variacion se debe justamente a ese cambio. Recordando lo anteriory las relaciones (1.79) y (1.85) se transforma en

(δL)d∗

dt(δL) =

1

2

d∗hJkdt

δxJδxk (1.103)

Donde generalizando la definicion (1.101) se obtiene que

δJk =1

2

d∗

dthJk (1.104)

Viene a ser el tensor razon de deformacion del sistema localmente geodesico respectoal sistema de referencia. Podemos hacer la transformacion al sistema Σ′, resultando

d′Jk =∂xm

∂xJ∂xn

∂xkdmn (1.105)

que coincide con Dik definido por Z’elmanov. En ese sentido Dik viene a ser el tensorde razon de deformacion del sistema Σ respecto al sistema localmente geodesico.Si tenemos en cuenta que en un sistema de coordenadas, el elemento de volumen dadoel paralelepıpedo formado por los vectores unitarios e1, e2 y e3 resulta

24


V = e1.(e2xe3)

=

∣∣∣∣∣∣∣e1x e1y e1z

e2x e2y e2z

e3x e3y e3z

∣∣∣∣∣∣∣(1.106)

Si tenemos en cuenta la matriz

MJk = eJ .ek (1.107)

la formula (1.106) se expresa como

V = det(MJk) (1.108)

Definiendo la velocidad de deformacion como

R =1

2V

dV

dt(1.109)

Si consideramos el formalismo C.I. en las formulas (1.106) y (1.108) se obtiene, siademas tenemos en cuenta (1.79) y (1.85), que

R =1

2h

d∗h

dt(1.110)

O sea que R = D es el escalar C.I. velocidad de deformacion del sistema de refe-rencia respecto al S.L.G. definido por Z’elmanov.Una aplicacion del formalismo de Z’elmanov esta desarrollado en el apendice I.

25

Capıtulo 2

La teorıa unitaria de los tensores nosimetricos.

La relatividad general trata del campo gravitatorio caracterizado por el tensor metricogαβ, y la conexion afın Γαβγ (ambos simetricos) ası como por el tensor de curvatura Rα

βγρ

definido por (1.26). Estos elementos estan sujetos a la relacion (1.27) y a las ecuacionesde Einstein (1.28). En cierto sentido podrıamos afirmar que (1.27) y (1.28) son lasecuaciones del campo gravitacional (gαβ y Γαβγ) en Relatividad General.

Einstein creo la teorıa generalizando los elementos gαβ,Γαβγ sin la restriccion de si-

metrıa, obtuvo para tales elementos ciertas ecuaciones analogas a (1.27) y (1.28) apartir de cierto principio variacional.

En este capıtulo haremos un resumen de la teora unitaria (T.U.) haciendo notar lascuestiones mas importantes que surgen en este.

En esta teorıa, como en R.G. surge una conexion afın relacionada con el desplaza-miento infinitesimal, pero en esta, como hemos dicho, la conexion afın no es simetrica.

Mostraremos la diferencia del papel que desempenan las cantidades g y Γ en R.G.y en la T.U.

Veremos, tambien, que aparecen nuevos tipos de invariancia.

26

CAPITULO 2. LA TEORIA UNITARIA DE LOS TENSORES NO SIMETRICOS.

2.1. La conexion afın.

Sea Aα, un vector contravariante en un punto P de coordenadas xα. Este vector si seconsidera en el punto de coordenadas xα +dxα, tendra las componentes Aα +DAα. Demodo que la diferencia entre los componentes sera Dα. Si DAα es cero con respectoa un sistema de coordenadas, esta debe ser cero en cualquier sistema de coordenadas,esto se cumple si DAα tiene caracter tensorial.

Para que DAα sea un tensor, suponiendolo de la forma

DAα =

(∂Aα

∂xρ+ AnΓαnρ

)dxρ = Aα;{−ρ}dx

ρ (2.1)

Se obtiene la ley de transformacion para el conjunto de valores Γ:

Γ′αβγ = Γnβγ

∂xρ

∂x′β∂xσ

∂x′γ∂x′α

∂x′L+

∂2xn

∂x′β∂x′γ∂x′α

∂xn(2.2)

Debemos notar que en las relaciones (2.1) el ındice de Γ que se contrae con Aα, esel 1◦, carcterıstica que indicaremos con el guion antes del ındice de derivacion en elcorchete de la formula (2.1).

En la formula (2.1) es evidente que Aα;{−ρ} es un tensor, interpretada, por esto, co-mo derivada covariante Aα, mientras que a DAα se le denomina diferencial covariante.

Hay que notar, sin embargo, que podemos definir otro operador de caracter tenso-rial:

Aα;{ρ−} =∂Aα

∂xρ+ AnΓαρn (2.3)

Donde el guion indica que An se contrajo con el 2◦ ındice de Γ.

Cabe notar que (2.2) es un operador no utilizado en la Teorıa Unitaria, sin embar-go nosotros creemos que no se debe dejar de considerar.

27


Dado que la diferencial covariante, entendido como la variacion de un vector por undesplazamiento infinitesimal, esta expresado por (2.1) definimos la derivada covariantede Aα respecto a la coordenada xρ como

Aα; ρ = Aα;{−ρ} (2.4)

Relegandose, de este modo, a Aα;{ρ−} como una operacion matematica, que podrıa servirpara construir expresiones invariantes bajo trasposicion.

Considerando que la derivada covariante de un escalar es simplemente una deriva-da parcial de este escalar, y que la regla de derivacion covariante de un producto detensores de cualquier tipo, es igual a la regla habitual de derivacion se obtiene

{AαAα};β =

(∂Aα

∂xβ+ AnΓαnβ

)Aα + AαAα ;β (2.5)

de donde resulta que:

Aα ;β =∂Aα

∂xβ− AnΓnαβ (2.6)

recordando como en la formula (2.3), que existe una operacion matematica de caractertensorial, esta es

Aα ; {β−} =∂Aα

∂xβ− AnΓnαβ (2.7)

que se podrıa usar para construir expresiones invariantes bajo transposicion.

Generalizando las definiciones (2.6) y (2.7) para un tensor mixto Aα1,α2,..,αmβ1,β2,..,βm

m ve-ces contravariante y n veces covariante, definimos la derivada covariante de tal tensormixto

28


Aα1,..,αmβ1,..,βn ; ρ =

∂

∂xρAα1,..,αmβ1,..,βn

+m∑J=1

Aα1,..,αJ−1,γ,αJ+1,..,αmβ1,..,βn

ΓαJγρ

−n∑J=1

Aα1,..,αmβ1,..,βJ−1,γ,βJ+1,..,βn

ΓγβJρ

(2.8)

Las propiedades de la conexion afın son las siguientes:

i) Γαβγ(= Γαγβ) tambien se trasforma con la ley (2.2) luego es tambien una conexion afın.

ii) La parte simetrica de Γαβγ definida por

Γαβγ =1

2

(Γαβγ + Γαγβ

)(2.9)

es tambien, conexion afın.

La parte antisimetrica de Γαβγ definida por

Γαβγ =1

2

(Γαβγ − Γαγβ

)(2.10)

es un tensor.

iii) Si consideramos Γαβγ como simetrico se obtiene la teorıa gravitacional. Es de es-perar entonces, que sin esta restriccion obtengamos la generalizacion del campo, esdecir el campo unitario.

2.2. Tensor de curvatura.

Usando una circunferencia infinitesimal (ζα = xα − xαo ) con centro en el punto de coor-denadas xαo , sobre el cual se desplaza un vector contravariante Aα se logra obtener

29


∮δAα =

[−Γαβ n, γ + ΓαρnΓρβγ

](2.11)

donde

δAα = −AnΓαnρdxρ

en la circunferencia.

Teniendo en cuenta que∮ζγdζn es una expresion antisimetrica obtenemos

∮δAα =

1

2

[−Γαβ n, γ + Γαβγ,n + ΓαρnΓρβγ − ΓαργΓ

ρβn

]Aβ

∮ζγdζn (2.12)

Entonces si suponemos que∮δAα es un tensor la expresion entre corchetes en (2.12)

debe ser un tensor, definiendo ası el tensor de curvatura Rαβγρ:

Rαβγρ = Γαβγ,ρ − Γαβρ,γ − ΓαnγΓ

nβρ + ΓαnρΓ

nβγ (2.13)

Contrayendo con respecto a α y ρ se define el tensor de curvatura contraıdo Rβγ:

Rβγ = Γnβγ,n − Γnβn,γ − ΓnβρΓρnγ + ΓnβγΓ

ρρn (2.14)

2.3. Transformacion.

El espacio 4-dimensional, deacuerdo a esta teorıa, esta caracterizado por la conexionafın (cuya restriccion es la ley de transformacion (2.2)), por el tensor metrico gµν , ypor el tensor de curvatura Rα

βγρ.Si λ es una funcion arbitraria de coordenadas y λ,γ la derivada parcial de esta conrespecto a la coordenada xγ; podemos definir una nueva conexion afın mediante la

30


formula.

∆Γαβγ = Γαβγ − δαβλ,γ (2.15)

pudiendo comprobarse que

Rnαβγ(

∆Γ) = Rnαβγ(Γ) (2.16)

Rαβ(∆Γ) = Rαβ(Γ) (2.17)

Las ecuaciones (2.16) y (2.17) aseguran que bajo una transformacion de la forma (2.15)llamada transformacion λ, el tensor de curvatura no cambia. Vemos que una familiade Γ tienen un mismo Rα

βγρ, lo que indica que Rαβγρ no se obtiene de un solo Γ.

2.4. Invariancia de transposicion.

Uno de los problemas de la teorıa unitaria es el hecho que si Γ es una conexion afın(cumple con la transformacion (2.2)). Γαβγ(= Γαγβ) tambien lo es. Esto significa quepodemos tener dos formas de desplazamientos paralelos.

Otros de los problemas es el tensor gαβ. Se puede ver que si Aα es un tensor, tam-bien lo son gαnA

n y gnαAn, es decir gαβ es un tensor metrico. Vemos ası que surgen dos

formas de bajar ındices y daran por lo tanto dos formas de producto escalar.

Por lo tanto podemos, exigiendo la invariancia del producto escalar de dos vectoreses una traslacion paralela, obtener la relacion entre g y Γ

Zαβγ = gαβ,γ − gρβΓραγ − gαρΓρβγ (2.18)

31


ası como relaciones de otros tipos debido a las dos formas de definir desplazamien-to infinitesimal, producto escalar y la forma de subir o bajar ındices. Sin embargoescogemos la relacion

Wαβ,γ = gαβ,γ − gαηΓηγβ − gηβΓηαγ = 0 (2.19)

por que cumple con la siguiente propiedad: podemos cambiar gαη por gαη y Γαβγ por

Γαβγ y la ecuacion (2.19) permanece invariante si luego de hacer los cambios anteriorespermutamos α por β al final.

La propiedad con que cumple (2.19) se define como invariancia bajo transposicion,cuyo significado fısico esta relacionado con el siguiente hecho:

El tensor Fαβ que caracteriza el campo electromagne tico en la teorıa clasica tieneel siguiente comportamiento:

Si Fαβ es la solucio n del sistema de ecuaciones del campo electromagnetico

Fαβ;β =

4π

cJα (2.20)

Fαβ;γ + Fβγ;α + Fγα;β = 0 (2.21)

Para una distribucio n de cargas: ˜Fαη es la solucion del sistema de ecuaciones (2.20) y(2.21) si se cambian el signo de las cargas en la distribucion anterior.Veamos, entonces, si consideramos que A y B son cantidades con dos ı ndices noto-riamente apareados y que representan el campo unitario, debido a una distribucionde materia y que la combinacion de estas nos da P que tambien representa el campounitario, es decir

Pαβ = Pαβ(A,B) (2.22)

32


Si cambiamos A por A y B por B, equivaldrıa a cambiar las cargas por sus opues-tas. Por otra parte como P representa tambien el campo unitario, el cambio de cargaspor sus opuestas equivale a cambiar P por P , es decir que deberıa cumplirse que

˜Pαβ = Pαβ(A, B) (2.23)

El significado fısico de la invariancia bajo transposicion en el hecho fısico anteriorsugiere el siguiente postulado: 15.A. Las ecuaciones del campo deben ser invariantesbajo transposicion.Vemos que R no es invariante bajo transposicion si se expresa en funcion de Γ, luego,de acuerdo al postulado 15.A debemos expresarla de otra forma, para esto definimoslas cantidades

Uαβγ = Γαβγ − Γηβηδ

αγ (2.24)

Se puede demostrar que Uαβγ es una conexion afın.

De la formula (2.24) se llega a

Γαβγ = Uαβγ −

1

3Uηβηδ

αγ (2.25)

Expresando el tensor de curvatura en funcion de U resulta

Sαβ = Uραβ,ρ − Uη

αρUρηβ +

1

3UραρU

ηηβ (2.26)

que es inavriante bajo transposicion.

La transformacion λ para U se logra reemplazando Γ de (2.15) por U. Ası se tiene

∆Uραβ = Uρ

αβ +(δραλ, β − δ

ρβλ, α

)(2.27)

33


Puede comprobarse que

Sαβ(∆U) = Sαβ(U) (2.28)

De tal manera que Sαβ(U) cumple con la invariancia bajo transposicion y la inva-riancia respecto a la transformacion λ.Luego U debe ser el elemento mas apropiado que representa al campo unitario.

El hecho interesante en la transformacion (2.27) es que este indica la creacion de uncampo antisimetrico (en lo que respecta a su representacion) que no influye en la cur-vatura del espacio. Si aceptamos que la parte antisimetrica de U depende del campoelectromagnetico (2.27) significa la creacion de cierto campo electromagetico que nocambia la curvatura del espacio.

2.5. Principio variacional y ecuaciones de campo.

Einstein introduce la densidad escalar

H = gαβSαβ (2.29)

donde gαβ es una densidad tensorial que se trasforma bajo la regla

g′αβ =∂x′α

∂xη∂x′β

∂xρgηρ

∂xη

∂x′η(2.30)

Si definimos la integral volmetrica 4-dimensional

J =∫Hdτ (2.31)

34


Dada las propiedades de H y dτ , es evidente que J es invariante bajo la transfor-macion λ, e invariante bajo la transposicion.

De modo que las ecuaciones derivadas por la variacion de seran invariantes con respectoa la transformacion de coordenadas, a la transformacion λ, y (si usamos g y Uα

βγ) bajotransposicion.

La variacion de H con respecto a g y U llega a expresarse como

dH = Sαβδgαβ −Rαβ

γδUγαβ + (gαβδUρ

αβ), ρ (2.32)

donde

Sαβ = Uηαβ,η − Uη

αρUρηβ +

1

3UηαηU

ρρβ (2.33)

Rαβγ = gαβ,γ + gρβ(Uα

ργ −1

3Uηρηδ

αγ ) + gαρ(Uβ

γρ −1

3Uηηρδ

βγ ) (2.34)

Hay que notar que R no tiene relacion con el tensor de curvatura.

Si usamos el principio variacional con respecto a la integral (2.31) resulta

δJ =∫

(Sαβ δ gαβ −Rαβ

ρ δ Uραβ)dτ (2.35)

De la igualdad (2.35), teniendo en cuenta (2.32-2.34) y la variacion independiente degαβ y Uα

βγ, obtenemos las ecuaciones del campo

Sαβ = 0 (2.36)

35


Rαβγ = 0 (2.37)

Cabe notar que (2.36) y (2.37) son ecuaciones semejantes a (1.28) y (1.27) de la teorıade la R.G. respectivamente.

La invariancia de J bajo el cambio infinitesimal de coordenadas dada por

∂x′α

∂xβ= δαβ + ζα,β ,

∂xα

∂x′β= δαβ − ζα,β (2.38)

y usando el hecho que para este cambio se tiene

δgαβ = (g′αβ − gαβ) = gρβζα,ρ + gαρζβ,ρ − gαβζρ,ρ + [−gαβ,ρζρ] (2.39)

δUαβγ = (U ′αβγ − Uα

βγ) = Uρβγζ

α,ρ − Uα

ργζρ,β − Uα

βρζργ + ζαβγ[−Uα

βγ, ρζρ] (2.40)

que son cambios de g y Uαβγ para el mismo punto, nos lleva a 4 identidades que corres-

ponden alas identidades de Bianchi en R.G.

La invariancia de la integral J con respecto a la transformacion infinitesimal λ noslleva a una quinta identidad (Apendice II)

Rαβ

β,α = 0 (2.41)

Por simple computo, de (2.34) llegamos a

Rαβ

β = gαβ,β (2.42)

36


Luego si se cumplen las ecuaciones del campo, de (2.42) se obtiene

gαβ

,βα = 0 (2.43)

2.6. Interpretacion fısica.

Einstein asigna un tensor g a la densidad tensorial g de modo que

gαβ = gαβ√−g (2.44)

donde g es el determinante de una metrica gαβ definida por la ecuacion

gαηgβη = δβα (2.45)

de manera que resulta

gαβ = gαβ√−g (2.46)

a partir de gαβ se construye

aαβγ = gαβ,γ + gβγ,α + gγα,β (2.47)

y a aη = 16ηηαβγaαβγ la relaciona con la densidad de corriente.

Puede verse que la divergencia de aη es nula.

La ley de la Divergencia y la Ley de la Conservacion de la Energıa.- Si Sαβ = 0 yRαβ

γ = 0, como H es invariante bajo una transformacion del tipo (2.38), teniendo en

37


cuenta (2.32-2.34) se obtiene

(gαβδUγαβ),ρ = 0 (2.48)

para cualquier transformacion, usaremos la transformacion (2.38) resultando, si consi-deramos ζ constante y arbitrario, las ecuaciones

E ηγ,η = (gαβUη

αβγ) (2.49)

que puede interpretarse como la ley de conservacion de la energıa.

2.7. Tensor metrico no simetrico.

Si consideramos el tensor metrico gαβ el producto escalar de los vectores contravarian-tes de componentes Aα y Bα respectivamente, que denotaremos por A.B, sera

A.B = AαgαβBβ (2.50)

entonces

B.A = BαgαβAβ (2.51)

Las ecuaciones (2.50) y (2.51) pueden expresarse mas facilmente si definimos las formasde bajar ındices. Para hacer esto llamaremos gαβ, a la matriz inversa y transpuesta degαβ.Es decir resolviendo la ecuacion

g−1αη gηβ = δαβ (2.52)

38


que se logra si el determinante de gαβ es no nulo, definimos la cantidad gαβ como

gηα = g−1αη (2.53)

Einstein define mediante (2.53) em tensor metrico contravariante. Se puede demos-trar, entonces el siguiente teorema:

18-A.Si gαβ es un tensor de orden 2 covariante, la matriz g−1βα es un tensor de or-

den 2 contravariante. Ver demostracion en el apendice III.

Luego gαη es un tensor y se cumple

gηαgηβ = δαβ (2.54)

Sabemos que si g (determinante de gαβ) es no nulo, existe inversa y es unico, de modoque

g−1αη gηβ = g−1

ηα gβη = δαβ (2.55)

es decir

gηαgηβ = gαηgβη = δαβ (2.56)

2.8. Definicion de la forma de subir y bajar ındices.

Si tenemos un tensor covariante, a partir de este puede definirse tensores contravarian-tes:

A(−β) = gηβAη (2.57)

39


A(β−) = gβηAη (2.58)

donde (−β) indica que se uso el primer ındice de gην para la contraccion con el ındicede Aη; mientras que (β−) indica que se empleo el 2◦ para la contraccion con el ındicede Aη. Sin embargo A(−β) no es independiente de A(β−); esta relacionado mediante eltensor metrico, por la formula

A(β) = gνβgγνA(γ) (2.59)

Una formula similar a (2.59) tiene lugar para tensores de orden mayor.

Ası, podemos usar solo una de las formas (2.57) o (2.58) para subir ındices. Esco-gemos la forma (2.57) es decir definimos

Aβ = gηβAη (2.60)

Prescindimos del punto, puesto que hemos eliminado la duplicidad de la operaciony no hay lugar a confusion.

Habiendo definido la forma de subir ındices, automaticamente para conservar la bi-unicidad entre Aα y Aα se deriva la forma de bajar ındices

Aα = gαηAη (2.61)

Es decir, de (2.60) y (2.61) concluimos que se sube un ındice usando el 1◦ ındice de gαβ

para la contraccion, y se baja un ındice usando el 2◦ ındice de gαβ para la contraccion.

Por ejemplo. Tenemos un tenor mixto Aα1,..,αnβ1,..,βm

n veces contravariante y m veces cova-riante, usando las definiciones (2.60) y (2.61) podemos bajar el j-esimo ındice contra-variante y subir el K-esimo ındice covariante mediante la formula

40


Aα1,..,αJ−1,..,αJ+1,..,αn β

α β1,..,βJ−1,..,βJ+1,..,βm=

gαρgσβA

α1,..,αJ−1,ρ,αJ+1,..,αnβ1,..,βJ−1,σ,βJ+1,..,βm

(2.62)

donde el punto indica el ındice que se subio o bajo.

Cabe advertir, sin embargo, que usaremos la formula (2.58) para construir cantida-des invariantes bajo transposicion en ciertos casos, en tales casos empleamos los signos(−β), (β−) para especificar la operacion usada. Por ejemplo si nos planteamos obtenerun tensor contravariante a partir de un tensor covariante de 2◦ orden mediante unaoperacion invariante bajo transposicion operamos de la siguiente manera:

A(−α)(β−) = gηαgβρAηρ (2.63)

A(α−)(−β) = gαηgρβA(ρη) (2.64)

2.9. Trayectoria de una partıcula en el campo uni-

tario

Uno de los principales problemas que surgen en la T.U. es la trayectoria de una partıcu-la.El paso natural serıa la generalizacion de la ecuacion

d2xµ

ds2+ Γµηρ

dxη

ds

dxρ

ds= 0 (2.65)

(ecuacion de una partıcula en el campo gravitatorio) y considerar ahora Γαβγ no simetri-co, sin embargo, en la ecuacion (2.71) solo interesa Γαβγ, debido a la simetrıa de dxαdxβ.Es por esto que no se logra la ecuacion de la partıcula en el campo unitario por simplegeneralizacion de la ecuacin (2.71).Queda ası abierto el problema de plantear la ecuacion de la trayectoria de un a partıculaen el campo unitario.

41

Capıtulo 3

Analisis C.I. en la teorıa unitaria delos tensores no simetricos.

En este capıtulo estudiaremos la T.U. de Einstein mediante un formalismo semejanteal creado por Z’elmanov para estudiar la R.G. desde el punto de vista C.I.Semejantemente a lo que hizo Z’elmanov, construiremos cantidades y operadores C.I.en base a las cantidades 4-dimensionales de caracter no simetrico. Trataremos de in-terpretar esas cantidades en base a terminos clasicos.Finalmente escribiremos las ecuaciones del campo unitario en base al formalismo crea-do y haremos notar los lımites que se derivan de considerar las cantidades de caractersimetricos y obtendremos las ecuaciones del campo electromagnetico sin cargas en for-ma vectorial.

3.1. Tensores C.I. en la teorıa unitaria

( descomposicion parcial espacio - tiempo)

Sea Qα un tensor contravariante de 1◦ orden en le sistema de referencia Σ con coor-denadas xα. Similarmente a la formula (1.4) de la R.G. podemos definir el tensortridimensional C.I. de 1◦ orden ∗Qm.

∗Qm = Qm (3.1)

42

CAPITULO 3. ANALISIS C.I. EN LA TEORIA UNITARIA DE LOS TENSORESNO SIMETRICOS.

Y el escalar C.I. mediante la formula

∗Q◦ =gα0Q

α

√g00

(3.2)

(3.1) y (3.2) se pueden considerar como la transformacion de Qα mediante una matrizCαβ

∗Qα = CαβQ

β (3.3)

Las cantidades son tensores 4-dimensionales contravariantes en un espacio no holono-mo parcialmente descompuesto (S.D.) 1.Pero ∗Qm. Es un tensor C.I. 3-dimensional contravariante y ∗Qα. Es un escalar C.I.3-dimensional.

La matriz Cαβ (3.3) tiene la forma

Cαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

√g00 0 0 0

g10/√g00 1 0 0

g20/√g00 0 1 0

g30/√g00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.4)

Donde el ındice superior indica la columna y el ındice inferior la fila.

La matriz Cαβ tiene su determinante ||Cα

β || diferente de cero si suponemos que√g00 6= 0,

por lo tanto, en este caso, tiene inversa y es unica, siendo esta

Cα−1

β =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1/√g00 0 0 0

−g10/g00 1 0 0−g20/g00 0 1 0−g30/g00 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.5)

Cuya determinante ||Cα−1

β = 1/√g00|| es no nula.

1Por espacio no holonomo descompuesto entendemos al espacio donde g00 = 1 , gn0 = 0 y losoperadores de derivacion parcial no son conmutativos.

43


Mediante la matriz (3.5) podemos transformar los 4 tensores covariantes Qα en trestensores igualmente covariantes pero C.I. para este fin definimos

∗Qα = QβCβ−1

α (3.6)

Las cantidades ∗Qα son tensores 4-dimensionales covariantes en S.D. Sin embargo ∗Qm

∗Qm = Qm −∗ Q0gmng00

(3.7)

es un tensor C.I. 3-dimensional y

∗Q0 =Q0√g00

(3.8)

es un escalar C.I. 3-dimensional.

Utilizando la convencion (2.60), (2.56) y teniendo en cuenta las notaciones (2.57) y(2.58) podemos escribir

∗Q0 =Q(0)√g00

; ∗Q0 =Q(0)√g00

Si no hubiesemos usado las formulas (2.60) , (2.61) para subir y bajar ındices entonceshabrıamos tenido que considerar

∗Q0 =Q(0)√g00

; ∗Q0 =Q(0)√g00

En la R.G ∗Q0 (definido en (3.8)) coincide con ∗Q0(definido en (3.1)).

44


Generalizando (3.3) y (3.6) podemos, a partir de un tensor mixto Qα1,..,αmβ1,..,βn

, de-finir tensores C.I. 3-dimensional mediante la formula

Qα1,..,αmβ1,..,βn

= Cα1ρ1...Cαm

ρm Cσ1β1...Cσn

βnQρ1,..,ρm

σ1,..,σn(3.9)

3.2. Tensor metrico en el espacio no holonomo par-

cialmente descompuesto (S.D.).

Teniendo en cuenta la formula (3.9) aplicada al tensor metrico podemos obtener suscomponentes en el espacio S.D. :

∗gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2T1 −2T2 −2T3

00 hJk0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.10)

donde hemos definido las cantidades C.I. mediante las formulas

Tm =

gm0︸︷︷︸√g00

(3.11)

hJk = −gJk +gJ0g0k

g00

(3.12)

Asimismo podemos transformar gαβ, resultando

∗gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2h1mTm −2h2mTm −2h3mTm00 −hJk0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (3.13)

donde hJk(= −gJk), se vincula a hJk mediante la relacion

45


hnJhnk = hJnhkn = δJk (3.14)

que es semejante a (1.95) (para el formalismo de la T.U.).

Puede demostrase (Apendice IV) que si g y h son los determinantes de gαβ y hJk

respectivamente, estos cumplen con la relacion

g = −hg00 (3.15)

Hay que notar en (3.10) y (3.13) el papel importante que juega Tm. Es el elementode interaccion que vincula el espacio 3-dimensional y el temporal, impidiendo su com-pleta descomposicion.

Una de las consecuencias del tensor Tm es el hecho que ∗Q0 6= ∗Q0 donde ∗Q0 y ∗Q0

estan dados por las formulas (3.2) y (3.8) relacinandose entre ellos mediante la formula

∗Q0 = ∗Q0 + 2TnQn (3.16)

En la relacion (3.16) hemos considerado las convenciones (2.60) y (2.61).

Podemos obtener tambien la relacion entre ∗Qm y ∗Qm

∗Qm = −hnmQn (3.17)

Precisamente la relacion (3.17) muestra el caracter 3-dimensional del sistema S.D.,y es una de las razones por la que escogimos la matriz de transformacion de la forma(3.4).

46


3.3. Definicion de subir y bajar ındices de un tensor

3-dimensional C.I.

Si tenemos un tensor 3-dimensional C.I. An en forma semejante a (2.57) y (2.58)tenemos dos operaciones para obtener tensores contravariantes:

A(.n) = hmnAm (3.18)

A(n.) = hnmAm (3.19)

la convencion de signos (.n) y (n.) es el mismo que se ha usado en (2.57) y (2.58).

A partir de la formula (2.14) se puede demostrar que A(.n) y A(n.) estan relaciona-dos por la ecuacion

A(.n) = hmnhrmA(r.) (3.20)

que es similar a (2.59). De modo que solo podemos usar una de las formas (3.18)y (3.19) para subir ındices sin perder informacion. Escogemos por analogıa con (2.60)la forma

An = hmnAm (3.21)

es decir usando el 1◦ ındice de hmn para contraer con el ındice deAn

Automaticamente, por la biunivicidad entre Am y Am, queda la forma de bajar ındices.

Am = hmnAn (3.22)

47


que es semjante a (2.61). Notese que se usa el segundo ındice para contraer con elındice de An.

Si tenemos el tensor mixto m veces contravariante y n veces covariante Ar1,...,rms1,...,snpodemos usar las formulas (3.21) y (3.22) para bajar el j-esimo ındice y subir el k-esi-mo ındice contravariante mediante la formula.

Ar1,..,rJ−1, . ,rJ+1,..,rm qp s1,..,sk−1, . ,sk+1,..,sn

= htqhpuAr1,..,rJ−1,u,rJ+1,..,rm

s1,..,sk−1,t,sk+1,..,sn (3.23)

que es semejante a (2.68) y la convencion de los puntos en la misma que es la usa-da para esa formula.

Hay que recordar, sin embargo, que en algunas oportunidades usaremos las operaciones(3.18) y (3.19) para construir elementos invariantes bajo transposicion.

3.4. Intervalos temporal, espacial y operadores de

derivacion en el espacio S.D.

Partiendo del vector contravariante dxα, usaremos la formula (3.3) y obtenemos

dxm∗ = dxm (3.24)

dx0∗ =

gα0√g00

dxα (3.25)

Usando estas cantidades podemos expresar el intervalo 4-dimensional (ds2 = gαβdxαdxβ)

como

ds2 = c2dτ 2 − dt2 − 2cdτTndxn∗ (3.26)

48


donde se han tenido en cuenta las definiciones, semejantes a las de R.G.

dτ =gα0

c√g00

dxα (3.27)

dt2 = hJkdxJdxk (3.28)

dτ difiere del elemento semejante en R.G. por el hecho que Tn = gn0√g00

debido ala

simetrıa de dxJdxk es semejante al elemento de longitud de la R.G. difiriendo como enel caso de dτ , debido que Tn 6= 0.

Asimismo la relacion (3.24) se convierte en una igual (1.11) ( es decir se logra ladescomposicion completa del espacio-tiempo) si Tn = 0.

La derivacion parcial escrita como ∂∂xα

es un tensor, de modo que podemos usar lasformulas (3.7) y (3.8) y obtenemos la transformacion.

∂∗

∂xn=

∂

∂xn− gn0

g00

∂

∂x0(3.29)

∂∗

∂x0=

1

c

∂

∂τ=

1√g00

∂

∂x0(3.30)

que son semejantes a (1.45) y (1.46) de la R.G e iguales si Tn = 0. Definimos ası,mediante (3.29) y (3.30) los operadores de derivacion parcial C.I. en el espacio S.D.

Si hubiesemos escogido la otra forma de subir y bajar ındices habrıamos obtenidoun operador de derivacion parcial distinto a (3.29), pero relacionado con el, puestosque las dos formas de subir o bajar ındices no son independientes.

49


3.5. Conexion afın en el espacio S.D.

Antes de transformar la conexion afın Γ, del espacio unitario al espacio S.D. ( poranalogıa con R.G., es decir los elementos clasicos, como veremos mas tarde) la defini-cin de 54 cantidades C.I. 27 de ellas con las cantidades tensoriales 3-dimensionales.

Gn = −c2Γn00

g00

(3.31)

En = −c2gα0Γαρ0gρn/g00 (3.32)

(EA)mn = cgρmΓnρ0/g00 (3.33)

(GA)mn = −cgρmΓnρ0/g00 (3.34)

(IA)mn = c(gρ0gαmgβnΓnαβ)/g00 (3.35)

Estos elementos definidos no serviran mas tarde como elementos semejantes a los termi-nos clasicos.Las otras 27 cantidades es C.I. forman la conexion afın 3-dimensional

∆mkL = ΓmkL −

Γmk0g0L

g00

− Γm0Lgk0

g00

+Γm00gk0g0L

g00

(3.36)

Se puede demostrar que la ley de transformacion de ∆mkL para el cambio de coor-

denadas (1.2) esta dado por la formula

50


∆Lmn = ∆J

ik

∂xi

∂x′m∂xk

∂x′n∂x′L

∂xJ+

∂2xr

∂x′m∂x′n∂x′L

∂xr(3.37)

Por eso la llamaremos conexion afın 3-dimensional.Veremos ahora la transformacion de Γ al espacio S.D. partimos de la parte antisimetri-ca (definida por Γαα·β = Γγαβ) que forma un tensor de 3◦ orden. Mediante la formula

(3.9) podemos obtener la transformacion de Γ, resultando las cantidades tensorialesC.I. 3-dimensionales

∗Γ0m·0 = En + Tn(GA)· nm (3.38)

∗Γ00·m =∗ Γ0

m·0 (3.39)

∗ΓLk·0 = −(EA)·Lk (3.40)

∗ΓL0·k = −∗ΓLk·0 (3.41)

∗Γ0k·L = ILk + (EA)Lk (3.42)

∗ΓLk·m = ∆Lkm (3.43)

Ahora si tomamos en cuenta la parte simetrica de Γ(Γαβγ =Γαβγ+Γαγβ

2) que es una cone-

xion afın, y tenemos en cuenta la trasformacion para Γαβγ (2.2), haciendo los reemplazos

51


∂x′α

∂xβpor Cα

β (3.44)

∂xα

∂x′βpor C−1α

β (3.45)

donde C esta dada por (3.4), resulta

∗Γαβγ = ΓωσρC−1σβ C

−1ργ C

αω +

1

2(∂∗

2xn

∂xβ∂xγ+

∂∗2xn

∂xγ∂xβ)Cα

n (3.46)

De acuerdo a la formula (3.46) tenemos que la transformacion al espacio S.D de Γγαβproduce

∗Γ0σ0 =

TnGn

c2(3.47)

∗Γn00 = −Gn

c2(3.48)

hrn∗Γm0r =(GA)nm

c(3.49)

hLr∗Γ0L0 = −G

r

2c2+T n(GA)rn

2c2− Er

2c2(3.50)

hrmhsn∗Γrs = Imn + (GA)mn + (EA)mn + (GA)mn/2 (3.51)

52


hrmhsn∗ΓLrs = hrmhsn∆Lrs (3.52)

En las formulas (3.48), (3.50) y (3.51) se han usado las ecuaciones del campo (2.19)implicadas con los elementos.Si a partir de las 16 cantidades gαβ se usa una transformacion para obtener 12 canti-dades que representan al tensor metrico, es decir, se han fijado 4 valores (en nuestrocaso g00 = 1, gn0 = 0). Estos 4 valores conocidos nos proporcionan 16 relaciones para Γobtenidas de reemplazar ′gα0,β=0 las ecuaciones del campo (2.19) es decir en el nuevosistema solo tendremos 48 (64-16) valores independientes para la conexion afın.

Nosotros hemos indefinido 54 cantidades relacionadas con la conexion afın. Sin em-bargo podemos obtener 6 relaciones entre esas cantidades:

∂∗2

∂xn∂x0− ∂∗

2

∂x0∂xn=Fnc2

∂∗

∂x0(3.53)

∂∗2

∂xn∂xm− ∂∗

2

∂x0∂xm=

2Amnc

∂∗

∂x0(3.54)

donde

Γm = Gm + Cm − [2(EA)mn + (GA)mn]cTn (3.55)

Am = (EA)mn︸︷︷︸ + (EA)

m︸︷︷︸ + (EA)mn/2 + Imn (3.56)

Vemos que Fm y Amn se identifican en cada punto mediante procesos de derivacion,lograndose 6 cantidades que a su vez sirven para tomar las 6 relaciones (3.55) y (3.56)entre lo elementos C.I. pero Fm y Amn tienen valores conocidos en base a la matriz C.,

53


que se supone conocida para crear el nuevo formalismo:

Fm =c2

g0n

(gm0, 0 −g00,m

2− gm0 g00, 0

2g00

) (3.57)

Amn =2

2√g00

(gm0, n − gn0,m +g00,m gn0 − g00, n gm0

g00

+gm0 gn0, 0 − gn0 gm0, 0

g00

) (3.58)

Vemos pues, en las dos ecuaciones anteriores que Fm y Amn estan en funcin de gα0

y gα0, β que pueden obtenerse de la matriz conocida.

(3.55) y (3.56) resulta de expresar gαβ, γ en (3.57) y (3.58) en funcion de Γ y g usandolas ecuaciones del campo (2.19).

Hay que notar que Fm y Amn por su definicion (3.53) y (3.54.8b) son semejantes aFm y Amn definidos por Z’elmanov (1.14) e interpretadas como aceleracion con signonegativo y velocidad angular, respectivamente del sistema de referencia respecto a cier-to sistema localmente geodesico.

Fm y Amn coinciden con Fm y Amn de Z’elmanov cuando Tn = 0 y Γαβγ = 0.

3.6. Ecuaciones del campo que relacionan la metri-

ca con la conexion afın

Escribiremos las ecuaciones del campo que relacion la metrica con la conexion afın(2.19) de manera C.I. Cabe esperar que estas ecuaciones den la relacion entre hmn yT n de un lado ( cantidades obtenidas de gαβ) y ∆m

Jk, Gm, Em, (EA)mn, (bA)mn de otro

lado (cantidades obtenidas de Γαβγ):

∂∗TL∂x0

= −hLsGs

c2.......

bc

c2+Tn(GA)nL

c− TLTnG

n

c2(3.59)

∂∗Tk∂xJ

= −1

2[(GA)Jk − (EA)Jk] +

hnk2

[(GA)nJ − (EA)nJ ]

54


+IkJ + (EA)kJ/2 + Tk[Tm(GA)mJ − EJ ] + TL∆LJk (3.60)

∂∗hJk∂x0

= [(GA)kJ − (EA)kJ ] + hnk[(GA)nJ − (EA)nJ ]− 2TJGK (3.61)

∂∗hik∂xJ

= ∆nJkhin −∆n

iJhnk = 2[(GA)Ji − (EA)Ji]TK (3.62)

Las ecuaciones del campo (2.19) que tienen los elementos gα0,β han sido usadas enlas relaciones (3.47), (3.50) y (3.51), de modo que dichas relaciones no son simplemen-te identidades, en realidad son las ecuaciones del campo empleados en elementos de lamatriz C que se suponen conocidas.

Las 48 ecuaciones del campo (2.19) no usadas en las relaciones (3.47), (3.50) y (3.51)son representadas en el sistema S.D. por el grupo de relaciones (3.59-3.62).

Es interesante notar que las ecuaciones (3.61) es semejante a la relacion que Z’elmanovdeduce para Dmn(= 1

2∂∗

∂thmn) (3.2) se convierte en la tercera ecuacion de (1.19) si gαβ

y Γαβγ son simetricos.

Ademas la ecuacion (3.62) es semejante a la relacion obtenidas por Z’elmanov con-virtiendose en esta si son simetricos.

3.7. Derivada covariante C.I. en la teorıa unitaria

Tenemos la derivada covariate de un tensor Qα;β dada por la formula (2.4) y es un

tensor. Empleando la transformacion dad por la matriz (3.6) al tensor Qα;β obtenemos2

o precediendo al signo ∗∇k.

∗(QJ;k) =

∂QJ

∂xk+Qn∆J

nk (3.63)

2El operador derivada covariante C.I. con respecto a la coordenada k, se indicara antecediendo aloperando el signo ∗k

55


Asumiendo que la derivada covariante de un escalar 3-dimensional es una derivadaparcial C.I. y que para la derivacion covariante del producto de dos tensores es igualque en R.G. es decir

∗∇k(AmAm) = A ∗

m∇k(Am) + Am∗∇kAm (3.64)

∗∇k(AmAm) =

∂∗

∂xk(AmAm) (3.65)

Se llega ala definicin de la derivada covariante de un tensor covariante C.I.

∗∇k(∗Qm) =

∂∗∗Qm

∂xk−∗ Qn∆n

mk) (3.66)

Podemos generalizar las definiciones (3.63) y (3.66) y definir la derivada covariantede un tensor C.I. m veces contravariante y n veces covariante mediante la formula

∗∇iQi1,..,im

k1,..,kn=

∂∗

∂xLQi1,..,im

k1,..,kn

+m∑J=1

Ai1,..,iJ−1,r,iJ+1,..,im

k1,..,kn∆iJrL

−n∑J=1

Ai1,..,imk1,..,kJ−1,r,kJ+1,..,kn∆rkJL (3.67)

Ademas del tensor (3.63), siguiendo el metodo ya discutido para un tensor, podemosdefinir a partir de

56


∗(Qm;0) = Qm

;0/√g00 (3.68)

Que puede expresarse tambien como

∗(Qm;0) =

∂∗Qm

∂x0+

Qn

√g00

(Γmn0 −g00 Γm00

g00

) +∗Q0 Γm00

g00

(3.69)

Que puede ser llamada la derivada covariante temporal de un tensor, covariante porquees el resultado de la transformacion mediante la matriz Cα

β del tensor Qα;β (que es la

derivada covariante de Qα).

Evidentemente ∂∗Qn

∂x0 es un tensor 3-dimensional, pero es simplemente de una deri-vada temporal parcial de Qn (no se ah obtenido de una derivada covariante como es elcaso de ∗(Qm

;0). Clasicamente el caso es semejante a este, pero Z’elmanov no definicionderivada temporal covariante.

3.8. Relacion entre la holomicidad del espacio y las

cantidades

Z’elmanov relaciona la holonomicidad del espacio descompuesto es decir dx0∗, dx

n∗ son

diferenciales exactas con la posibilidad de poder encontrar un sistema Σ′ tal que g′00 = 1, g′n0=0 de modo que el intervalo 4-dimensional puede escribirse como (1.11)

En la teorıa unitaria podemos enunciar el siguiente teorema, relacionado con la ho-lonomicidad del espacio.

3.8.1. TEOREMA: La condicion

F 0 = 0 ; Amn = 0 (3.70)

57


Es una region 4-dimensional γ, es necesaria y suficiente para la posibilidad de encontrarun sistema mediante un a transformacion de la forma

x′ 0 = x′ 0(x0, x1, x2, x3) (3.71)

mediante la cual se logra

g′00 = 1 , g′n0 = 0 , g′0n = − 2Tn (3.72)

en la region γ ′ (transformada de γ)

DEMOSTRACION:

i) Condicion necesaria.- si obtenemos un a transformacion de la forma (3.71) paralos cuales se cumple (3.72), reemplazando estas en las definiciones (3.53) y (3.54) selogra eliminarlas, es decir se cumple (3.70)en γ. Debido al caracter tensorial de Fm yAmn, estos seran nulos en cualquier sistema.

ii). Condicion suficiente.- Si se cumple (3.70) entonces tenemos

∂∗2

∂xm∂xn− ∂∗2

∂xn∂xm= 0 (3.73)

∂∗2

∂xm∂x0− ∂∗2

∂x0∂xm= 0 (3.74)

De (3.73) y (3.74) podemos decir que la matriz Cαβ dada la ecuacion (3.4) representa

una transformacion de coordenadas comun a un espacio holonomo, es decir podemosconsiderar:

Cαβ =

∂x′ α

∂xβ(3.75)

58


C−1αβ =

∂xα

∂xβ(3.76)

Donde

∂x0

∂x′ 0= − gn0

g00

,∂x0

∂x′ 0=

1√g00

(3.77)

∂xm

∂x′ α= δnα (3.78)

de modo que transformando el tensor metrico se obtiene (3.72) L.Q.Q.D.

La holonomicidad del espacio es identica a la definida por Z’elmanov (teorema 1A)cuando Tm = 0.

3.9. Tensor de curvatura C.I. en la teorıa unitaria

Usando la definicion de derivada covariante (26.9), podemos obtener las siguientes re-laciones.

(∗∇Jk − ∗∇kJ)QL =2

cAJk

∂∗QL

∂x0+ 2∗∇nQL [∆Jk] +H n

LkJ Qn (3.79)

donde se ha tenido en cuenta la definicion

H nLkJ Qn =

∂∗

∂xk∆nLJ −

∂∗

∂xJ∆nLk −∆n

mJ∆nLk + ∆n

mk∆mLJ (3.80)

semejante a (1.12) en la que se tiene gµν y Γαβγ como simetrico.

59


H nLkJ viene a jugar el papel de tensor de curvatura C.I. pudiendo definirse el ten-

sor de curvatura contrado, como

HLk = −H nLkn (3.81)

Cabe anotar que cuando gµν y Γαβγ son simetricos la expresion (3.79), coincide exacta-mente con la formula (1.21) de la teorıa clasica (R.G.).

3.10. Sistema localmente geodesico: campo gravi-

tacional nulo

De acuerdo a la teorıa unitaria es logico suponer que el campo gravitacional esta relacio-nado con la parte simetrica de Γ, y el campo electromagnetico con la parte antisimetricade Γ si queremos identificar el campo electromagnetico es conveniente, entonces, anularla parte simetrica deSin embargo podemos (mediante un cambio de coordenadas) anular en el punto M, laparte simetrica de Γ. En este sistema de coordenadas, al que llamaremos localmentegeodesico (Σ′) debemos tener, entonces, el campo electromagnetico puro en el puntoM. al sistema de referencia original lo designamos por Σ.

Escogemos el sistema de coordenadas Σ′ mediante la transformacion a partir del siste-ma de referencia.

x′µ = x′µ − x′µM +1

2Γµαβ (xα − xαM)(xβ − xβM) (3.82)

donde xαM son las coordenadas en el sistema Σ del punto M arbitrario pero fijo;xα

son las coordenadas de un punto cualquiera en el sistema Σ, x′ M son las coordenadasdel mismo punto respecto a Σ′.

De la formula (3.82) se obtiene:

(∂x′α

∂xβ

)M

= δαβ (3.83)

60


(∂2x′α

∂xβxγ

)M

= (Γαβγ)M (3.84)

En el sistema de coordenadas se puede obtener que

(Γαβγ)M = 0 (3.85)

Como la parte antisimetrica de Γ es un tensor resulta imposible eliminarlo median-te un cambio de coordenadas.

3.11. Identificacion de los elementos clasicos en la

teorıa unitaria

a). Intensidad de campo electrico y gravitacional.- las cantidades Fm ( definidas por(3.29) en la R.G.) tienen el significado fısico de intensidad de campo gravitacional; esde esperar que Fm ( generalizacion de Fm )sea la intensidad (tipo intensidad de campoelectrico) del campo unitario.

Para identificar los elementos extragravitacionales, usaremos la transformacion al sis-tema Σ′ (3.82) en el que se anula localmente el campo gravitacional. Debemos obtener,entonces, la intensidad del campo electrico mas quizas algun otro termino no clasico.

En efecto, Fm en el sistema Σ′ (3.82) tiene la expresion (de (3.57))

F ′m = Em − 2 c Tn(EA) (3.86)

El segundo sumando de (3.86) tiene carcterısticas de interaccion entre el campo electri-co y el campo magnetico; (es por lo tanto un termino no clasico) porque, como veremosmas tarde,Tn toma el papel de un cierto potencial del cual se obtiene En en determi-nado lımite, y de (EA)mn se obtiene el campo magnetico.

61


Si la interaccion entre el campo electrico y el magnetico fuera nulo F n viene a serla intensidad del campo electrico.

Si el campo electromagnetico fuera nulo en algun sistema (En = 0 ; (EA)mn = 0)obtendrıamos en cualquier sistema:

Fm = Gm − c Tn(GA)mn (3.87)

Si pasamos al caso clasico (Tn = 0) vemos que Fm − Gm o sea que podemos iden-tificar a Gm como la intensidad de campo gravitacional. Notandose nuevamente que lainteraccion de Tn con el campo analogo gravitacional del campo magnetico (GA)mn)segun lo que expresamos en el capıtulo 3, produce una intensidad en el campo unitariodel tipo Gm.

En el caso general tenemos que la cantidad Fm puede expresarse como

Fm = Gm + Em − c Tn[−2(EA)mn − (GA)mn] (3.88)

y deberıa expresarse como la suma de la intensidad de campo gravitacional;Em, in-tensidad de campo electrico; −2cTn(EA)mn interaccion de Tn con el campo magneticoy −cTn(GA)mn interaccion de Tn con el analogo gravitacional del campo magnetico.

b). Campo magnetico.- en la R.G. analizada mediante el formalismo C.I., las can-tidades Amn fueron interpretadas como velocidad angular del sistema de referencia,respecto un sistema localmente geodsico. Si se tratan de escribir las ecuaciones delcampo gravitacional mediante le formalismo de Z’elmanov, de modo que tenga la for-ma parecida a las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnetico (ver ApendiceV,desarrollado por el Prof. J. del Prado)Amn resulta ser la base para definir lo que serıael analogo gravitacional del campo magnetico. Es de esperar que en la T.U. sea posibleidentificar una componente en la que este incluıdo en campo magnetico y su similarpara el campo gravitacional. Para lograr el objetivo anterior nos ayudaremos de una delas aplicaciones del formalizo de Z ’elmanov hecha por Prof. J. del Prado. Para escribirlas ecuaciones de Maxwell 3-dimensional y C.I. para el campo electromagnetico hace

62


las siguientes definiciones:

Em =F0m√g00

, Em =gmαF

mα

√g00

(3.89)

ηm = −1

2EmjkF

jk → ηm = −1

2Emjk[rjk +

F0jg0k + F0kg0j

g00

] (3.90)

donde Em es el campo electrico,ηm es el campo magnetico,Fmn es el tensor del campoelectromagntico;

Emjk =√hεmjk, E

mjk =εmjk√h

(3.91)

Donde εmjk es el smbolo de Levi - Civita 3-dimensional. Fijemonos en la segundade las ecuaciones (3.89) y en las ecuaciones (3.48) y (3.49). Podemos decir que sonsemejantes si identificamos Fmn con (EA)mn, es decir (EA)mn vendrıa hacer el tensorelectromagnetico.Por otra parte hay que notar que

g0α[−gηαcΓmη0] =Gm

c2(3.92)

de modo que similarmente, que (3.89) el termino entre parentesis, que nosotros de-finimos como (GA)mn , viene a ser similar al tensor Fmα podemos, entonces, definir alcampo que corresponde al campo magnetico, en el electromagentico clasico:

ηm = −1

2Emjk[(EA)

jk︸︷︷︸ + (GA)jk︸︷︷︸](3.93)

Notemos que las cantidades entre parentesis son semejantes a Ajk . (3.58) de tal maneraque el termino nuevo Imn puede interpretarse como el producto de la interaccion delos campos existentes.

63


3.12. Ecuaciones del campo unitario en el formalis-

mo C.I.

Las ecuaciones del ampo (2.36) y (2.37) bajo el postulado Γαβα = 0 podemos expresarla

en funcion de las cantidades C.I. en la forma siguiente:

∂?D

∂t+? ∇k(G

k) + [(GA)mk − (EA)mk ][(GA)km − (EA)km] +2

cTmGnh

km − GkGk

c2

= (−∂?

∂t−D +

TnGn

c)(TmG

m

c)− 2Tmn [(GA)nm − (EA)nm] (3.94)

hki∂?D

∂t+ {Gkh

rihsk

c2− Grhsi

c2− 2Tnh

si[(GA)nr − (GA)nr]

+Aimnhmrhns −? ∇k(h

rihsr)op}(GA)rs − (EA)rs

= {Dδim − (GA)im − (FA)im + TmGi +

∂?

∂t(δim)op}

{−Tn(EA)nm +Em

c− 2Tn(EA)mn} − TnG

iGn

c3(3.95)

hki∂?D

∂t+ {?∇k(h

pihqi)op +hqihp

c2− hpiGkh

qk

c2+ Tnh

qi(GA)np + (EA)np

64


+hqi[Ep

c2+Ti(GA)pi

c] + 2hpmhqnAImn − 2hnihqm∆p

mn

−hpmhqnTm(EA)inc

}{−(GA)pq − (EA)pq}+ {D +∂?

∂t− Tn(GA)in

c+ 2

Tn(EA)in

c}

= −2Gi(GA)ii

c− 2

GiTiEi

c3− T i(FA)ii

c+ 2

Ti(EA)in

c

+(EA)ii[(EA)riTr + 2Eic

]− 2TpG

i

c2[Ep

c+ (GA)piTi] (3.96)

Si definimos (GE)mn = (GA)mn = (EA)mn para escribir las ecuaciones e forma mascorta, se logra para la ecuacion tensorial C.I. del campo unitario las siguientes dosecuaciones:

∂?

∂t(GE)jk + him[(GE)ji(GE)km − 3(GE)ji(GE)km − 3(GE)ji(GE)km]

−[hnk∗∇nGj + hnj∗∇nG

k]/2 +GjGk

c2+ (GE)kj(D−TnG

n) − c2Hjk

+(him + 2him)[(EA)mk(EA)ji + (EA)ki(EA)mj] = 0 (3.97)

−c2Hjk + (δkpδjq − δjpδkq ){[hmq∗∇m(hspo p+ hsihmpAqmi)

65


+hmphnqAsmn]Es2c2− ∂?

2c∂tIps −

∂?

2c∂tIpq} = 0 (3.98)

Si tomamos el lımite para la R.G. es decir consideramos las cantidades gαβ , Γβγ simetri-cos, cada una de las ecuaciones (3.93), (3.94) y (3.95) se convierten en las ecuacionesdel campo gravitacional en forma C.I. (1.29) la primera y en (1.30) las dos ultimas. Laecuacion (3.96) o tiene un lımite exacto a (1.31) de la R.G. puesto que hemos usadoHik en ves de Cik como lo hace Z’elmanov hemos considerado Hik por que es la obte-nida en forma natural de las derivadas cruzadas (3.79). En las ecuaciones del campo(3.93-3.97) vemos el papel importante que le toca desempear a Tn, como un elementonuevo; como esto era de esperarse porque anteriormente Tn habıa surgido con car-cterısticas propias que nos indujeron a considerarlo como representante de un camponuevo. Si queremos obtener las ecuaciones vectoriales 3-dimensionales semejantes a lasecuaciones de maxwell, usaremos las operaciones vectoriales definidas en el apendiceVI, en la que transforma la gradiente de un tensor de 2◦ orden de una rotacion de unvector. Ası que la formula (VI-3) del apendice V, aplicado al campo magnetico H quedefinimos anteriormente se escribe:

(rotA)n =∗ ∇k(GE)kn+(GE)kn{Ti(GE)ik+Ek+2Ti(EA)ik+∆ini}−(GE)ml∆n

mi (3.99)

Mediante la ecuacion (3.98), podemos escribir las ecuaciones del campo unitario (3.94)en la forma semejante a las ecuaciones de Maxwell 3-dimensionales. Como caso parti-cular de las ecuaciones del campo unitario, consideramos estos para el espacio con solocampo electrico y campo magnetico sin interacciones entre ellos:

Gn = Tm(GA)nm = 0 (3.100)

(GA)mm = (EA)mn = Imn = 0 (3.101)

66


∆mni = 0 (3.102)

De modo que, considerando (3.99),(3.100) y (3.101) de la ecuacion (3.93) se obtie-ne

(EA)km = (EA)mk = 0 (3.103)

Que tiene que ver con la ortogonalidad del campo electromagnetico. Las ecuaciones(3.94) y (3.95) se reducen a

(rotH)n =∗ ∇0En

c2(3.104)

que es una de las ecuaciones de Maxwell. Y las ecuaciones (3.97) se reducen a:

(rotE)n =∗ ∇0Bn

c+ εnjk

Hjk

2(3.105)

donde se tiene en cuenta la definicion (VI.4) del Apendice VI (3.103) y (3.104) sonsemejantes a las ecuaciones de maxwell para el campo electromagnetico en el vacıo.Cabe anotar que utilizamos la ecuacion (3.97) por obtener una de las ecuaciones deMaxwell debido a su caracter anti simetrico.

3.13. Conclusiones

En este capıtulo hemos definido un formalismo C.I. cuyos elementos son generalizacio-nes del formalismo de Z’elmanov unos, y elementos completamente nuevos otros.

A los elementos nuevos les atribuimos el significado fısico, identificandolos como ele-mentos de la fısica clasica usando para esto las ecuaciones que tienen estos ultimos.

67


Aparece en este trabajo un elemento totalmente nuevo, este es Tn y que da lugaresencialmente al campo electrico y a la interaccion entre los campos existentes clasicosla cual se suma pues al campo unitario.

Hemos obtenido finalmente las ecuaciones del campo unitario y considerando los lımitesdel campo gravitacional solamente y campo electromagnetico solo.

68

Apendice A

Aplicacion del formalismo C.I. a unsistema rotatorio

Sea S un sistema inercial de coordenadas cartesianas. Escogemos un sistema de coor-denadas ’S’ cuya transformacion esta dada por las ecuaciones

x′= xcos(wt)− ysen(wt) (A.1)

y′= ycos(wt) + xsen(wt) (A.2)

z′= z (A.3)

t′= t (A.4)

Si consideramos el grupo de ecuaciones (A.1-A.4) como una transformacion no re-lativıstica el sistema S” esta relacionado al sistema S con los siguientes vectores fısicos:donde:

69

APENDICE A. APLICACION DEL FORMALISMO C.I. A UN SISTEMAROTATORIO

WP′0S

= (0, 0,−w) (A.5)

aP′0S

= −w2(x′

0, y′

0, 0) (A.6)

VP′0S

= w(y′

0,−x′

0, 0) (A.7)

P′

0(= (x′0, y

′0, 0)) es un punto fijo respecto a S’

WP′0S

es la velocidad angular respecto a S de P′

0.

aP′0S

es la aceleracion respecto a S deP′

0.

VP′0S

es la velocidad respecto a S de P′

0 .

Evidentemente S’ no es un sistema fısico, en el sentido que no podrıamos tener un

cuerpo en reposo en P′

0 , para cualquier P′

0 porque segun (1.46) tendra una velocidadrespecto a S mayor que c. luego el sistema S’ podrıa ser fısico si se cumple

w√x′2 + y′2 < C (A.8)

Es claro que el sistema S’ supone un cuerpo rıgido rotando con velocidad angular.respecto a S, lo que no es posible. Suponemos, sin embargo, para nuestro caso, que secumple (A.8) y que S’ es un sistema fısico. El tensor metrico. g

′µν serıa:

gµν =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

γ−2 −y′wc

x′wc

0−y′wc

−1 0 0x′wc

0 −1 00 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(A.9)

70


donde:

γ = (1− (x′2

+ y′2

)w2

c2)−1/2

Los elementos C.I. para este sistema seran

dτ = γ−1dt′+ (x

′dy′ − y′dx′)wγ/c2 (A.10)

gµν =

∣∣∣∣∣∣∣∣(1− x

′2w2

c2)γ2 x

′y′w2

c2γ2 0

x′y′w2

c2γ2 (1− y

′2w2

c2)γ2 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ (A.11)

∂?

∂t′= γ

∂

∂t′

∂?

∂x′=

∂

∂x′+y′w

c2γ2 ∂

∂t′

∂?

∂y′=

∂

∂y′− x

′w

c2γ2 ∂

∂t′

∂?

∂z′=

∂

∂z′(A.12)

71


∆jki =

hjn

2(∂?hkn∂xi

+∂?hni∂xk

− ∂?hki∂xn

) (A.13)

Ax′y′ = −wγ3;Ax′z′ = Ay′z′ = Ax′x′ = Ay′y′ = Az′z′ = 0 (A.14)

Fx′ = w2γ2x′, Fy′ = w2γ2y

′(A.15)

Ası la velocidad angular C.I. respecto a S de un punto fijo respecto a S’ sera:

∗wn =1

2EnjkAjk (A.16)

∗wz = −wγ2 (A.17)

Vemos pues, que si se cumple

√x′2 + y′2 ≥ C

no se obtiene correspondientes fısicos para las cantidades clasicas.

72

Apendice B

Una demostracion en la teorıaunitaria.

Demostracion de la Identidad Rαβ

β,α = 0 .Para lograr esta demostracion tenemos en cuenta la ecuacion (2.27) de modo que elcambio de g y s debido a esta transformacion sera

δgαβ(=∆ gαβ − gαβ); δUαβ(=∆ Uαβ − Uαβ) = δαβλ,γ − δαγλ,β (B.1)

ası que reemplazando (A.1) en (2.32-2.34) y luego en (2.35) resulta que

δJ =∫volRαβ

ρ (δραλ,β − δρβλ,α) dτ (B.2)

Las cantidades entre parentesis en (B.2) forman elementos antisimetricos de modoque (B.2) se convierte en

δJ =∫volRαβρ δ

ραλ,β dτ =

∫vol

(Rαβ

αλ,β) dτ = 0 (B.3)

73

APENDICE B. UNA DEMOSTRACION EN LA TEORIA UNITARIA.

Debido a que Rαβ

,,α es nulo en la frontera de integracion (B.3) se transforma en

δJ =∫volRβα

α,β λ dτ = 0

Obteniendose, dado que λ es arbitrario, que

Rβα

α,β = 0 (B.4)

74

Apendice C

Tensor inversa de gαβ

TEOREMA: Si gαβ es un tensor de 2◦ orden contra variante, la matriz g−1αβ es untensor de 2◦ orden covariante.DEMOSTRACION: Si en el sistema de coordenadas Σ con coordenadas se tiene eltensor gαβ contra variante de 2 orden, y g−1αβ su inversa se tendra

∑p

gαρg−1ρβ = δαβ (C.1)

La transformacion de un sistema de coordenadas de Σ′ (C.2) resultara

∑ηµν

gσβ(∂x′µ

∂xα∂x′η

∂xρg−1ην) = δµν (C.2)

Multiplicando (C.2) por ∂xσ

∂x′ν resulta

∑ρη

gσβ∂x′η

∂xρg−1ην =

∂xσ

∂x′ν (C.3)

Multiplicando (C.3) por g−1ην resulta

75

APENDICE C. TENSOR INVERSA DE Gαβ

∑η

∂x′η

∂xαg−1

′ην =

∑σ

g−1ασ ∂xσ

∂x′η(C.4)

Multiplicando (C.4) por ∂xα

∂x′β se obtendra

g−1′βν =

∑ασ

g−1ασ ∂xα

∂x′β

∂xσ

∂x′ν (C.5)

Luego g−1βν es un tensor de 2◦ orden covariante. L.Q.Q.D.

76

Apendice D

Descomposicion espacio-tiempo enel tensor metrico.

Supongamos que tenemos en tensor metrico 4-dimensional gαβ Escribimos este tensoren forma de matriz:

gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣g00 g01 g02 g03

g10 g11 g12 g13

g20 g21 g22 g23

g30 g31 g32 g33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (D.1)

Vamos a usar los elementos de una matriz de transformacion C−1αβ (3.5) para obte-

ner

∗gαβ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2T1 −2T2 −2T3

00 −hjk0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (D.2)

donde

Tn =gn0√g00

≡ 1

2

gn0 − g0N√g00

77

APENDICE D. DESCOMPOSICION ESPACIO-TIEMPO EN EL TENSORMETRICO.

Por otra parte sabemos que el determinante de un producto de matrices es igual alproducto de los determinantes:

‖gαβ‖ = ‖gρσ‖∥∥∥C−1ρ

α

∥∥∥ ∥∥∥C−1σβ

∥∥∥ (D.3)

Es decir:

−h =g

g00

L.Q.Q.D.

78

Apendice E

Analogıa C.I. entreelectromagnetismo y gravitacion

V.A.- utilizando las definiciones C.I. de intensidad de campo electrico (3.89) y de in-tensidad de campo magnetico (3.90) se pueden escribir las ecuaciones de Maxwell:

F µν ; ν =4π

cJµ (E.1)

Fµν ;λ+ Fνλ;µ+ Fλµ; ν = 0 (E.2)

en forma C.I.

divE = 4πρ+e

c

∥∥∥WxH∥∥∥ (E.3)

(rotH)m =4π

cJm +

1

c

∂∗Em

∂t+Em

cD − 1

c2[HxF ]m (E.4)

79

APENDICE E. ANALOGIA C.I. ENTRE ELECTROMAGNETISMO YGRAVITACION

(divH) = −2

c[W.E] (E.5)

(rotE)m = −1

c

∂∗Hm

∂t− Hm

cD − 1

c2[ExF ]m (E.6)

En las ecuaciones (E.3-E.6) todas las operaciones vectoriales indicadas con C.I. ywm = 1

cEmjkAjk significa velocidad angular de rotacion de nuestro sistema de refe-

rencia respecto a cierto sistema localmente geodesico.

Cabe anotar que si consideramos un potencial 4-dimensional Aµ del campo electro-magnetico el tensor Fµν del campo electromagnetico se escribe

Fµν =∂Hν

∂xµ− ∂Hν

∂xµ(E.7)

en tal caso la ecuacion (E.2) se convierte en una identidad lo mismo que (E.5) y(E.6)V.B.- La ecuacion de movimiento de una carga puntual en presencia de gravitacion ycampo electromagnetico es:

DP µ

dS= F µ (E.8)

donde: P µ = m0dxµ

dSes el vector de impulso y m0 la masa de reposo.

F µ = qcF µννµ es la fuerza de Lorentz covariante

V µ = dxµ

dSes la 4-velocidad

es la carga elctrica de la partıculaD significa diferencial covariante.Teniendo en cuenta las definiciones (1.14) y (1.15) y (1.16) Podemos escribir la ecua-cion (E.4) en forma C.I.:

80


d(mc2)

dt+mV 3vkDjk = q(E.V ) +m(F .V ) (E.9)

dP k

dt+ ∆k

ijViV j + 2mDk

i Vi = m{F k + [V x(2w)]k}+ q{Ek +

1

c[V xH]k} (E.10)

Donde m = m0√1−

hjkVjV k

c2

es la masa C.I. de la partıcula, y es el impulso C.I. de la

partıcula.

Observamos que E F y lo mismo que e y H juegan papeles similares en las ecua-ciones de movimiento (E.9) y (E.10). Podrıamos decir que E y F son intensidades deun mismo tipo, lo mismo que w y HHaremos las siguientes definiciones: a) Intensidadgravitacional tipo E

F ∗ = E∗g (E.11)

b) Intensidad electromagnetica tipo E

E∗ = Eke (E.12)

c) Intensidad gravitacional tipo H

2wkc = H∗g (E.13)

d) Intensidad electromagnetica tipo H

Hk = Hke (E.14)

81


e) Carga gravitacional

m = 9g (E.15)

f) Carga electromagnetica

q = 9e (E.16)

g) Densidad de carga electromagnetica y densidad de carga gravitacional

ρe = ρg (E.17)

Utilizando las definiciones (E.5 - E.11) escribimos las ecuaciones de movimiento (E.9)y (E.10) en la siguiente forma

d(9gc2)

dt+ qigV

jV kDjk = qe(EeV ) + qg(EgV ) (E.18)

dP k

dt+ ∆k

ijViP j + 2qjDk

i Vi =

9g{Ekg +

1

c[V xHg]

k}+ 9e{Eke +

1

c[V xHe]

k} (E.19)

V.C.- las ecuaciones de Maxwell (E.3-E.6) se escriben entonces:

82


divEe = 4πρe +1

c2(He.Hg)} (E.20)

(rotHe)n = 44π

cjne + +

1

c

∂∗

∂tEne + En

e

D

c− 1

c2[HexHg]

n (E.21)

divHe = − 1

c2(Hg.Ee)} (E.22)

(rotEe)n = −1

c

∂∗

∂tHne −Hn

e

D

c− 1

c2[EexEg]

n (E.23)

V.D.- resulta que utilizando las definiciones (E.5-E.11) podemos obtener para el campogravitacional ecuaciones completamente semejantes a alas ecuaciones de Maxwell (E.20- E.23)

divEg = −x2

(ρgc2 + U)− 1

2

(Hg.Hg)

c2+

(Eg.Eg)

c2+ {∂

∗

∂tD −DjiD

ij −∆c2} (E.24)

(rotHg)n = −2cxJn +

2

c(Hg.Eg)

n + {2c∆j(hnjD −Dnj)} (E.25)

(divHg) = − 1

c2(Eg.Hg) (E.26)

(rotEg)n = −1

c

∂∗

∂tHng −

1

cHngD +

1

c2[HgxEg]

n (E.27)

83


Las ecuaciones (E.24) y (E.25) analogas a (E.20) y (E.21) las obtenemos reescribiendolas ecuaciones de Einstein C.I. (escalar) y (vectorial) en funcion de nuestras definicio-nes. Las entidades (E.26) y (E.27) analogas a (E.22) y (2.23) las obtenemos de ciertasidentidades que satisface Ajk y Fj demostradas por Z’ elmanov Hemos anotado entrellaves las ecuaciones (E.24) y (E.25) los terminos que no tienen ninguna analogıa gra-vitacion electromagnetismo en completa as no hay deformacion en el espacio Djk = 0y ademas si ∆ = 0.La analogıa que se observa tanto en las ecuaciones de movimiento como en las ecua-ciones del campo hace pensar en la posible existencia de un campo unitario del cualprovengan Ee y Eg, lo mismo que He y Hg

84

Apendice F

Operaciones vectoriales C.I.

Si definimos en base al tensor 3-dimensional Qn,

Qn = −Emrs2

Qrs, donde Emrs = εmrs√h (F.1)

(rotQ)n = Emrs∗∇rQs, Emrs =εmrs√h

(F.2)

Podemos obtener, teniendo en cuenta el grupo de definiciones (3.31 - 3.35) y (3.38-3.43) las ecuaciones del campo (2.19), las ecuaciones

(rotQ)n = ∗∇mQmn︸︷︷︸

+Qmn︸︷︷︸[−Tl(EA)im − 2Tl(EA)im + Em +∇n

mn︸︷︷︸] (F.3)

Definiremos tambien el rotor de un vector como

85

APENDICE F. OPERACIONES VECTORIALES C.I.

(rotQ)n = Enrshqr∗∇qQ

s (F.4)

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Bibliografıa

[1] landau-Lifshitz, The Classical Theory of fields, 2 ed. Oxford, Pergamon Press,1962.

[2] Moller .C. The Theory of Relativity, Oxford, At the Claderon Press, 1952.

[3] Willmore, An Introduction to Differential Geometry Oxford, Claderon Press,1961.

[4] Jackson Joh D., Classical Electrodynamics, New York, I. Willey 1965.

[5] Licherowicz, A. Elements of Tensor Calculus, London, Methuen co., 1962.

[6] Einstein, Relativistic Theory of the non- Symmetric Field. The Meaneang ofRelativity, Princenton, 1955.

[7] Papepetrou, Static Spherically Symmetric Solutions in the Unitary field theory,Royal Irish Academic, Volume 52, 1948.

[8] Abstracts of 5th International Conference on Gravitations and the theory ofRelativity.

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An alisis cronom etricamente invariante de la Teor a unitaria ......CAP ITULO 1. DESCOMPOSICI ON DEL...

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