CAPITULO II.FUNCIONES DEVARIABLE REAL

SECCIONES

A. Dominio e imagen de una funcion.

B. Representacion grafica de funciones.

C. Operaciones con funciones.

D. Ejercicios propuestos.

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A. DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCION.

Una relacion entre dos conjuntos X e Y de numeros reales que hace corres-ponder a cada elemento ”x” del primer conjunto un solo elemento ”y” delsegundo conjunto se llama funcion de ”y” respecto a ”x”. Dicha relacionviene expresada por una ecuacion en dos variables y = f(x).

El conjunto de numeros reales ”x” para los cuales la formula que define lafuncion produce valores tambien reales se llama dominio de la funcion. Ensımbolos,

D(f) = {x ∈ R : ∃y ∈ R, y = f(x)}

El conjunto de valores ”y” que se obtienen como resultado de aplicar laformula que define la funcion a los valores del dominio se llama imagen orango de la funcion.

R(f) = {y ∈ R : ∃x ∈ D(f), y = f(x)}

Graficamente, el dominio corresponde a los valores del eje de abscisas (X)en los cuales la funcion se puede representar.

La imagen corresponde a los puntos del eje de ordenadas (Y ) para los queexiste grafica.

PROBLEMA 2.1.

Determinar las funciones a las que da lugar la ecuacion de lacircunferencia x2 + y2 = r2.

Solucion

La ecuacion x2 + y2 = r2 no corresponde a una funcion. Pero si escribi-mos y = ±

√r2 − x2, obtenemos dos funciones cuyo dominio es el intervalo

cerrado [−r, r] para ambas, mientras que las imagenes son diferentes: parala primera funcion es [0, r] y para la segunda, [−r, 0]. Las graficas son lasque se muestran a continuacion.

48

y =√

r2 − x2 y = −√

r2 − x2

PROBLEMA 2.2.

¿Cual (o cuales) de las ecuaciones y = x2, x = y2 corresponde auna funcion de y respecto a x?

Solucion

Las ecuaciones y = x2, x = y2 representan dos parabolas. La primera deellas es una funcion pero la segunda no es funcion. Sin embargo, da lu-gar a dos funciones y =

√x e y = −

√x. Las graficas son las siguientes:

y = x2 y =√

x y = −√

x

De las graficas se observa que el dominio de y = x2 es todo R y la imagenel conjunto [0,∞). El dominio de y =

√x e y = −

√x es el intervalo [0,∞),

la imagen de la primera es tambien el intervalo [0,∞) y la de la segunda(−∞, 0].

PROBLEMA 2.3.

Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =√

1− x.

49

Solucion.

Para poder efectuar la raız, el radicando debe ser no negativo. Es decir,tenemos que resolver la inecuacion 1 − x ≥ 0. La solucion es 1 ≥ x, o bienx ∈ (−∞, 1].

El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operacion√1− x. Como 1 − x ≥ 0, las raıces de numeros positivos dan numeros

positivos y no falta ninguno. Ası que la imagen es el intervalo [0,∞).

PROBLEMA 2.4.

Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =(√

x + 2)2

.

Solucion.

De nuevo necesitamos efectuar una raız cuadrada, para lo cual plantearemosla inecuacion x + 2 ≥ 0. La solucion es x ≥ −2, o bien, x ∈ [−2,∞).

El rango o imagen corresponde a los posibles resultados de la operacion(√x + 2

)2. La raız cuadrada da resultados positivos y al elevarlos al cua-drado el resultado tambien es positivo. De nuevo la imagen es el intervalo[0,∞).

Observacion: No se puede confundir la funcion anterior con la funcion y =x + 2, pues el dominio de esta ultima son todos los reales. La simplificacionde la raız con el cuadrado sı es posible pero solo para los valores de x ≥ −2,que son los del dominio de la funcion.

PROBLEMA 2.5.

Encontrar el dominio y el rango de la funcion y =1

cos(x2).

Solucion.

En este caso aparece una division, que es una operacion valida para numerosreales no nulos. Debemos plantear la inecuacion cos(x2) 6= 0.

50

Como la funcion coseno se anula en los valores ±π/2,±3π/2,±5π/2, . . . , de-be ser x2 6= ±π/2,±3π/2,±5π/2, . . . , es decir, x 6= ±

√π/2,±

√3π/2,±

√5π/2, . . .

Todos estos valores formaran el dominio.

Como la funcion coseno toma valores comprendidos entre −1 y 1, la divisionde 1 entre numeros x ∈ [−1, 1] resultan numeros mayores que uno, o menoresque -1.

El rango o imagen sera entonces la union de los intervalos [−∞,−1] y [1,∞).

PROBLEMA 2.6.

Calcular el dominio de la funcion y =

√x− 32x + 1

.

Solucion.

En este caso aparece una division dentro de una raız cuadrada. Debemosplantear dos inecuaciones, una que permita la division y otra que permitala raız.

(a) 2x + 1 6= 0; (b) (x− 3)/(2x + 1) ≥ 0.

Al despejar x de (a), resulta x 6= −1/2.

Para resolver (b) es conveniente construir una tabla de signos para el nume-rador y el denominador y operarlos de acuerdo a las reglas de productos (ococientes) de signos. En resumen tenemos:

x < −1/2 −1/2 < x < 3 x > 3

x− 3 – – +

2x + 1 – + +

(x− 3)/(2x + 1) + – +

Esto nos dice que (b) es cierto cuando x ≤ −1/2 o cuando x ≥ 3.

Reuniendo (a) y (b) queda en definitiva que el dominio de la funcion es launion de los intervalos (−∞,−1/2) y [3,∞).

PROBLEMA 2.7.

Calcular el dominio de la funcion y =√|x| − 2x.

51

Solucion.

En este caso aparece un valor absoluto dentro de una raız cuadrada. Alplantear la inecuacion |x| − 2x ≥ 0, habra que separarla en dos casos deacuerdo al signo de la expresion que aparece dentro del valor absoluto.

(a) x− 2x ≥ 0 si x ≥ 0 =⇒ −x ≥ 0 si x ≥ 0 =⇒ x = 0.

(b) −x− 2x ≥ 0 si x < 0 =⇒ −3x ≥ 0 si x < 0 =⇒ x < 0.

En definitiva, la solucion sera la union de los valores obtenidos en (a) y en(b), es decir, el intervalo (−∞, 0].

PROBLEMA 2.8.

Encontrar el dominio de las funciones definidas por las siguientesformulas:

a) f(x) =√

1− x2.

b) f(x) =√

1−√

1− x2.

c) f(x) =1

x− 1+

1x− 2

.

d) f(x) =√

1− x2 +√

x2 − 1.

e) f(x) =√

2x2 − x− 1.

Solucion

a) f(x) =√

1− x2 esta definida cuando 1−x2 ≥ 0. Al resolver la inecuaciontenemos:

1 ≥ x2 ⇐⇒ |x|2 ≤ 1 ⇐⇒ |x| ≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ x ≤ 1.

En definitiva, D(f) = {x : |x| ≤ 1} = [−1, 1].

b) f(x) =√

1−√

1− x2 tiene sentido para 1−√

1− x2 ≥ 0 y 1− x2 ≥ 0.De aquı obtenemos:

1−√

1− x2 ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥√

1− x2 ⇐⇒ 1 ≥ 1−x2 ⇐⇒ 0 ≥ −x2 ⇐⇒ x ∈ R;

1− x2 ≥ 0 ⇐⇒ 1 ≥ x2 ⇐⇒ |x| ≤ 1.

Se obtiene de lo anterior que D(f) = {x : |x| ≤ 1} = [−1, 1].

52

c) f(x) =1

x− 1+

1x− 2

no esta definida unicamente cuando x = 1 y x = 2,

por lo que D(f) = {x : x 6= 1, x 6= 2} = R \ {1, 2}.

d) f(x) =√

1− x2 +√

x2 − 1 esta definida cuando 1−x2 ≥ 0 y x2−1 ≥ 0,es decir, cuando 1 ≥ |x| y |x| ≥ 1, lo que da en definitiva |x| = 1, obien, el conjunto {−1, 1}.

e) El dominio de la funcion es el conjunto de puntos para los que 2x2−x−1 ≥ 0. Como las raıces del polinomio son x = 1, x = −1/2, debemosresolver la inecuacion 2(x − 1)(x + 1/2) ≥ 0. Haciendo una tabla designos como en el problema 2.6 tenemos que D(f) = (∞,−1/2]∪[1,∞).

PROBLEMA 2.9.

Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√

1− x +√

x− 2.

b) f(x) =x2

1− cos x.

c) f(x) =x

1 + x2.

d) f(x) = ln(arc senx).

e) f(x) =lnx

sen(lnx).

f) f(x) =1

x− |x|.

g) f(x) =√−x +

1√2 + x

.

Solucion

a) El dominio de f(x) =√

1− x +√

x− 2 sera el conjunto de puntos paralos que 1− x ≥ 0 y x− 2 ≥ 0.

Por una parte, 1− x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 1 y por otra, x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 2;la interseccion de ambos conjuntos es el vacıo. Por tanto, D(f) = ∅.

b) Si f(x) =x2

1− cos x, debe ser 1 − cos x 6= 0, es decir cos x 6= 1. Esto da

lugar al conjunto D(f) = R \ {2kπ | k ∈ Z}.

53

c) Como el denominador de la funcion f(x) =x

1 + x2nunca se anula, el

dominio es todo R.

d) Si f(x) = ln(arc senx), ha de ser arc senx > 0 lo cual ocurre cuando0 < x ≤ 1. Luego D(f) = (0, 1].

e) El dominio de la funcion f(x) =lnx

sen(lnx)sera el conjunto interseccion

de x > 0 y sen(lnx) 6= 0. Pero

sen(lnx) = 0 ⇐⇒ lnx = kπ con k ∈ Z ⇐⇒ x = ekπ.

En definitiva, D(f) = {x | x > 0 y x 6= ekπ con k ∈ Z}.

f) Para que f(x) =1

x− |x|este definida, debe ser x − |x| 6= 0, es decir

x 6= |x|, lo cual ocurre si x < 0. Por tanto, D(f) = (−∞, 0).

g) El dominio de f(x) =√−x +

1√2 + x

se obtiene como solucion de las

inecuaciones −x ≥ 0 y 2 + x > 0. Esto da el conjunto x ≤ 0, x > −2,es decir el intervalo (−2, 0].

B. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES.

Se llama grafica de una funcion al conjunto de puntos en el plano que verifi-can la formula que define dicha funcion. La abscisa de los puntos correspondea la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente.

G(f) = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ D(f), y = f(x)}

Para dibujar una funcion hay que tener en cuenta la forma en que esta de-finida. Ası, si la funcion es de la forma

(a) y = ax + b, sera una recta y bastan dos puntos de la misma.

(b) y = ax2 + bx+ c, sera una parabola y se necesita el vertice y los puntosdonde corta a alguno de los ejes.

Otra forma sera escribirla como y = a(x−h)2 + k y deducir su graficade la de y = x2 como veremos en los ejemplos siguientes.

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(c) y =ax + b

cx + drepresenta una hiperbola, la cual se podra escribir como

y = m +n

x + py dibujarla mediante transformaciones de y = 1/x.

(d) y = |f(x)| corresponde al valor absoluto de la funcion f(x). Se repre-senta la funcion y = f(x) y de la parte que quedo debajo del eje Y setoman los puntos simetricos respecto a este eje.

(e) Si la funcion esta definida de diferentes maneras en distintos inter-valos I1, . . . , In de numeros reales, es decir tiene la forma general

f(x) =

f1(x) si x ∈ I1

. . .

fn(x) si x ∈ In,

habra que dibujar por separado la fun-

cion que corresponde a cada uno de los intervalos, para despues reunirsus partes.

PROBLEMA 2.10.

Dibujar la grafica de la funcion f(x) = | − x + 1/4|.

Solucion

En primer lugar dibujamos la grafica de y = −x + 1/4 para despues tra-zar la grafica simetrica respecto al eje X de la parte negativa. Resulta:

y = −x + 1/4 y = | − x + 1/4|

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PROBLEMA 2.11.

Trazar la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x) = [x] (donde [x] representa el mayor entero que es menor oigual a x).

b) f(x) = [x]− x.

c) f(x) = {x} (donde {x} es la distancia de x al entero mas proximo).

Solucion

a) La funcion [x] (llamada parte entera de x) es constante en cada intervalode la forma [n, n + 1) donde n es un numero entero. Tenemos:

-2 -1

0 1 2 3

b) Debido al apartado anterior, [x]−x = n−x si x ∈ [n, n+1), resultandosiempre la parte decimal del numero x cambiada de signo (pues nrepresenta la parte entera que se resta). La grafica se repite en todoslos intervalos [n, n + 1), con n ∈ Z, lo que quiere decir que la funciones periodica de perıodo 1.

c) En este caso tambien la funcion es periodica y la grafica queda de laforma:

56

PROBLEMA 2.12.

Dibujar la grafica de la funcion y =

{x2 si |x| < 2,

1 si |x| ≥ 2.

Solucion

La parabola y = x2 se debe representar en el intervalo (−2, 2) que equivalea |x| < 2. Fuera de este intervalo, la grafica es una recta horizontal y = 1.

PROBLEMA 2.13.

Dibujar la grafica de la funcion y = 2− 1x.

Solucion

Esta grafica se obtiene a partir de la grafica de y = 1/x mediante dostransformaciones: un cambio de signo que produce una simetrıa respectoal eje X y la suma de dos unidades lo que origina que la grafica suba dosunidades respecto al eje Y . La sucesion de graficas es la siguiente:

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y = 1/x y = −1/x y = 2− 1/x

PROBLEMA 2.14.

Dada la funcion f(x) = −(x2 − x), dibujar la grafica de la funciony = |f(x)|.

Solucion

Como | − (x2 − x)| = |x2 − x|, vamos a dibujar y = x2 − x, y despues tomarsu valor absoluto.

Podemos escribir, completando cuadrados, x2 − x = (x2 − x + 1/4)− 1/4 =(x− 1/2)2 − 1/4.

La secuencia de graficas a dibujar sera (a) y = x2; (b) y = (x − 1/2)2; (c)y = (x− 1/2)2 − 1/4.

La parte (b) se obtiene trasladando el vertice media unidad a la derecha, yla parte (c) bajando la grafica 1/4 respecto al eje Y .

y = x2 y = (x− 1/2)2 y = (x− 1/2)2 − 1/4

En definitiva, tenemos:

58

y = |x2 − x|

PROBLEMA 2.15.

Representar graficamente la funcion f(x) =|x|

1 + |x|.

Solucion

Escribimos la funcion segun el signo de x como f(x) =

{x

1+x si x ≥ 0,−x1−x si x < 0.

Por tanto basta dibujar las funciones f1(x) =x

1 + xy f2(x) =

−x

1− xy ob-

tener a partir de ellas la funcion f(x).

Si escribimos f1(x) = 1− 11 + x

y f2(x) = 1 +1

x− 1, podemos representar

la siguiente secuencia de graficas:

y = −1/x y =−1

1 + xy = 1− 1

1 + x

59

y = 1/x y =1

x− 1y = 1 +

1x− 1

Reuniendo las dos graficas en una, resulta en definitiva

f(x) =|x|

1 + |x|

PROBLEMA 2.16.

Dibujar el conjunto de los puntos (x, y) que satisfacen las siguientesrelaciones

a) |x|+ |y| = 1.

b) |x| − |y| = 1.

c) |x− 1| = |y − 1|.

d) x2 + y2 = 0.

e) xy = 0.

f) x2 − 2x + y2 = y.

g) x2 = y2.

h) x = y2.

i) x = |y|.

60

Solucion

a) En cada uno de los cuadrantes la relacion es de la forma:

x, y ≥ 0 : x + y = 1, es decir y = 1− x;x ≥ 0, y < 0 : x− y = 1, es decir y = x− 1;

x, y < 0 : −x− y = 1, es decir y = −1− x;x < 0, y ≥ 0 : −x + y = 1, es decir y = 1 + x.

Resulta en definitiva,

1

-1 1

-1

b) Analogamente al apartado anterior, descomponemos la ecuacion segunlos signos de x e y:

x, y ≥ 0 : x− y = 1, es decir y = x− 1;x ≥ 0, y < 0 : x + y = 1, es decir y = 1− x;

x, y < 0 : −x + y = 1, es decir y = 1 + x;x < 0, y ≥ 0 : −x− y = 1, es decir y = −1− x.

-1 1

61

c) En este caso descomponemos la ecuacion segun los signos de x − 1 ey − 1:

x, y ≥ 1 : x− 1 = y − 1, es decir y = x;x ≥ 1, y < 1 : x− 1 = 1− y, es decir y = 2− x;

x, y < 1 : 1− x = 1− y, es decir y = x;x < 1, y ≥ 1 : 1− x = y − 1, es decir y = 2− x.

2

1

0 1 2

d) x2 + y2 = 0 ⇐⇒ x = y = 0. La solucion es el origen.

e) xy = 0 ⇐⇒ x = 0 o y = 0. La solucion esta formada por los ejes decoordenadas.

f) x2 − 2x + y2 = y es la ecuacion de una circunferencia. Para determinarel centro y radio, la escribiremos como suma de cuadrados:

x2 − 2x + y2 − y = 0 ⇐⇒ (x− 1)2 + (y − 1/2)2 = 1 + 1/4 = 5/4.

Se trata pues de la ecuacion de una circunferencia de centro (1, 1/2) yradio

√5/2.

62

g) x2 = y2 ⇐⇒ |x| = |y|.

En el primero y tercer cuadrantes, x = y, mientras que en el segundoy cuarto, x = −y.

h) x = y2 es la ecuacion de una parabola cuya grafica es la siguiente:

i) x = |y| ⇐⇒

{x = y si y ≥ 0,

x = −y si y < 0.

63

C. OPERACIONES CON FUNCIONES.

Las operaciones comunes con numeros reales se pueden definir para las fun-ciones. Tenemos lo siguiente:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) y D(f + g) = D(f) ∩D(g).

2. (f − g)(x) = f(x)− g(x) y D(f − g) = D(f) ∩D(g).

3. (f · g)(x) = f(x) · g(x) y D(f · g) = D(f) ∩D(g).

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) y D(f/g) = D(f) ∩D(g) ∩ {x : g(x) 6= 0}.

5. (fn)(x) = [f(x)]n y D(fn) = D(f), si n ∈ N.

Ademas se define la composicion entre dos funciones ası:

6. (f ◦ g)(x) = f [g(x)], siendo D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f)}.

Cuando al componer dos funciones el resultado es la identidad (y = x), sedice que las funciones son inversas.

PROBLEMA 2.17.

Una funcion f es par si f(x) = f(−x), ∀x ∈ D(f), e impar sif(x) = −f(−x), ∀x ∈ D(f).

a) Determinar si f + g es par, impar o no necesariamente ningunade las dos cosas, en los cuatro casos obtenidos al tomar f par oimpar y g par o impar (las soluciones pueden estar conveniente-mente dispuestas en una tabla 2× 2).

b) Hagase lo mismo para f · g.

c) Idem para f ◦ g.

d) Demostrar que toda funcion par f puede escribirse de la formaf(x) = g(|x|) para una infinidad de funciones g.

Solucion

a)g\f PAR IMPAR

PAR par ni par ni impar

IMPAR ni par ni impar impar

64

b)

g\f PAR IMPAR

PAR par impar

IMPAR impar par

c)

g\f PAR IMPAR

PAR par par

IMPAR par impar

d) Dada una funcion par f , basta definir g(x) = f(x) para x ≥ 0 y garbitraria para x < 0 para que f(x) = g(|x|).

PROBLEMA 2.18.

Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cualesson impares:

a) f(x) =ax + a−x

2.

b) f(x) =√

1 + x + x2 −√

1− x + x2.

c) f(x) = ln1 + x

1− x.

d) f(x) = 3√

(x + 1)2 + 3√

(x− 1)2.

e) f(x) = ln(x +√

1 + x2).

Solucion

a) Como f(−x) = (a−x + ax)/2 = f(x), la funcion es par.

b) La funcion es impar porque

f(−x) =√

1− x + (−x)2 −√

1 + x + (−x)2

=√

1− x + x2 −√

1 + x + x2 = −f(x).

65

c) Si escribimos f(x) = ln1 + x

1− x= ln(1 + x)− ln(1− x), entonces

f(−x) = ln1− x

1 + x= ln(1− x)− ln(1 + x) = −f(x).

La funcion es impar.

d) Como f(−x) = 3√

(−x + 1)2 + 3√

(−x− 1)2 = 3√

(x− 1)2 + 3√

(x + 1)2 =f(x), la funcion es par.

e) Podemos escribir f(−x) = ln(−x +√

1 + (−x)2) = ln(−x +√

1 + x2).Como

f(x) + f(−x) = ln(x +√

1 + x2) + ln(−x +√

1 + x2)

= ln(x +√

1 + x2)(−x +√

1 + x2)

= ln((√

1 + x2)2 − x2)

= ln 1 = 0,

se deduce que f(x) = −f(−x) y la funcion es impar.

PROBLEMA 2.19.

Sea f(x) =1

1 + x. Interpretar lo siguiente, averiguando los valores

de x para los que tiene sentido:

a) f(f(x))

b) f(1/x).

c) f(cx).

d) f(x + y).

e) f(x) + f(y).

f) ¿Para que numeros c existe x tal que f(cx) = f(x)?

Solucion

a) f(f(x)) = f

(1

1 + x

)=

11 + 1

1+x

=1

x+1+11+x

=x + 1x + 2

.

Tiene sentido para x 6= −1 y x 6= −2.

b) f(1/x) =1

1 + 1x

=1

x+1x

=x

x + 1.

Tiene sentido para x 6= 0 y x 6= −1.

66

c) f(cx) =1

1 + cx.

Tiene sentido para x 6= −1/c si c 6= 0.

d) f(x + y) =1

1 + (x + y).

Tiene sentido cuando x + y 6= −1.

e) f(x) + f(y) =1

1 + x+

11 + y

=x + y + 2

(x + 1)(y + 1).

Tiene sentido para x 6= −1 e y 6= −1.

f) f(cx) = f(x) =⇒ 11 + cx

=1

1 + x.

Para que tenga sentido, debe ser x 6= −1/c si c 6= 0 y x 6= −1. En estasituacion,

11 + cx

=1

1 + x=⇒ 1 + x = 1 + cx =⇒ x = cx.

Si c = 1, se verifica para todo x ∈ R \ {−1} y si c 6= 1, se verifica solopara x = 0.

PROBLEMA 2.20.

Dadas las funciones f(x) = x + 1/x y g(x) =√

x + 1, encontrar lafuncion compuesta.

Solucion

A falta de informacion mas precisa, vamos a realizar las dos composicionesposibles dependiendo del orden en que se escriban las funciones (los resulta-dos seran diferentes pues la composicion no es conmutativa). Resulta:

(f ◦ g)(x) = f(√

x + 1)

=√

x + 1 +1√

x + 1;

(g ◦ f)(x) = g(x + 1/x) =√

x + (1/x) + 1.

67

PROBLEMA 2.21.

Sea g(x) = x2 y sea h(x) =

{0 si x ∈ Q,

1 si x ∈ R \ Q.

a) ¿Para que valores de y es h(y) ≤ y?

b) ¿Para cuales es h(y) ≤ g(y)?

c) ¿Que es g(h(z))− h(z)?

d) ¿Para cuales w es g(w) ≤ w?

e) ¿Para cuales t es g(g(t)) = g(t)?

Solucion

a) Si y ∈ Q, h(y) = 0; en este caso, h(y) ≤ y cuando 0 ≤ y.

Si y 6∈ Q, h(y) = 1; en este caso, h(y) ≤ y cuando 1 ≤ y.

En definitiva, h(y) ≤ y en el conjunto

{y ∈ Q : y ≥ 0} ∪ {y ∈ R \ Q : y ≥ 1}.

b) Si y ∈ Q, h(y) ≤ g(y) si y solo si 0 ≤ y2, lo cual es cierto para todo y.

Si y 6∈ Q, h(y) ≤ g(y) si y solo si 1 ≤ y2, es decir, |y| ≥ 1.

En definitiva, h(y) ≤ g(y) en Q ∪ {y ∈ R \ Q : |y| ≥ 1}.

c) Si z ∈ Q, g(h(z))− h(z) = g(0)− 0 = 0.

Si z 6∈ Q, g(h(z))− h(z) = g(1)− 1 = 1− 1 = 0.

Luego, g(h(z))− h(z) = 0,∀z ∈ R.

d) g(w) ≤ w cuando w2 ≤ w, o bien w(w − 1) ≤ 0, cuya solucion es [0, 1].

e) g(g(t)) = g(t) equivale a

g(t2) = t2 ⇐⇒ t4 = t2 ⇐⇒ t2(t2 − 1) = t2(t− 1)(t + 1) = 0.

La solucion de esta ecuacion da los puntos {−1, 0, 1}.

68

PROBLEMA 2.22.

a) Supongase que H es una funcion e y un numero tal que H(H(y)) =y. ¿Cual es el valor de H(H(H(. . . (H(y) . . . ))) (80 veces)?

b) La misma pregunta sustituyendo 80 por 81.

c) La misma pregunta de a) si H(H(y)) = H(y).

Solucion

a) Por hipotesis H2(y) = H(H(y)) = y. Procediendo por recurrencia, ob-tenemos sucesivamente que

H3(y) = H(H2(y)) = H(y);H4(y) = H(H3(y)) = H(H(y)) = y;

. . .

H2n−1(y) = H(y);H2n(y) = y.

de modo que H(H(H(. . . (H(y) . . . ))) = H80(y) = y.

b) Por el mismo razonamiento anterior, H81(y) = H(H80(y)) = H(y).

c) Si H2(y) = H(H(y)) = H(y), H3(y) = H2(y) = H(y), y ası sucesiva-mente, se puede obtener por recurrencia que Hn(y) = H2(y) = H(y)y en particular, H80(y) = H(y).

PROBLEMA 2.23.

Dadas las funciones P (x) = 2x, Q(x) = x2, R(x) = senx, determi-nar los siguientes valores (en cada caso la solucion debe ser unnumero):

a) (Q ◦ P )(y).

b) (Q ◦R)(y).

c) (Q ◦ P ◦R)(t) + (R ◦ P )(t).

69

Solucion

a) (Q ◦ P )(y) = Q(P (y)) = Q(2y) = (2y)2 = 22y.

b) (Q ◦R)(y) = Q(R(y)) = Q(sen y) = sen2 y.

c) (Q ◦ P ◦R)(t) + (R ◦ P )(t) = (QP)(R(t)) + R(P (t)) = Q(P (sen t)) + R(2t)

= Q(2sen t) + sen(2t) = (2sen t)2 + sen(2t) = 22 sen t + sen(2t).

PROBLEMA 2.24.

Expresar cada una de las siguientes funciones en terminos de lasfunciones P (x) = 2x, Q(x) = x2, R(x) = senx.

a) f(x) = 2sen x.

b) f(x) = sen 2x.

c) f(x) = senx2.

d) f(x) = sen2 x.

e) f(t) = 22t.

f) f(u) = sen(2u + 2u2

).

g) f(y) = sen(sen

(sen

(222sen y )))

.

h) f(a) = 2sen2 a + sen a2 + 2sen(a2+sen a).

Solucion

a) f(x) = 2sen x = P (senx) = (P R)(x) =⇒ f = P R.

b) f(x) = sen 2x = R(2x) = (RP)(x) =⇒ f = RP.

c) f(x) = senx2 = R(x2) = (RQ)(x) =⇒ f = RQ.

d) f(x) = sen2 x = Q(senx) = (QR)(x) =⇒ f = QR.

e) f(t) = 22t= P (2t) = (P P)(t) =⇒ f = P P.

f) f(u) = sen(2u + 2u2

)= R

(2u + 2u2

)= R(P (u) + P (u2))

= R[P (u) + (P Q)(u)] = [R(P + P Q)](u) =⇒ f = R(P + P Q).

70

g) f(y) = sen(sen

(sen

(222sen y )))

= R (R (R (P (P (P (R(y)))))))

=⇒ f = RRRPPPR.

h) Como en los casos anteriores, podemos escribir

f(a) = 2sen2 a + sen a2 + 2sen(a2+sen a) = P (sen2 a) + R(a2) + P (sen(a2 + sen a))= P (Q(sen a)) + R(Q(a)) + P (R(a2 + sen a))= (P QR)(a) + (RQ)(a) + (P R)(Q + R)(a)

=⇒ f = P QR + RQ + P R(Q + R).

PROBLEMA 2.25.

Demostrar o dar un contraejemplo de las siguientes proposicio-nes:

a) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h.

b) (g + h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f .

c)1

f ◦ g=

1f◦ g.

d)1

f ◦ g= f ◦ 1

g.

Solucion

a) Si tomamos g(x) = h(x) = 1 y f una funcion para la que f(2) 6=f(1)+f(1) (por ejemplo f(x) = x2), resulta que [f ◦(g+h)](x) = f(2)pero [f ◦ g + f ◦ h](x) = f(1) + f(1). La proposicion es falsa.

b) [(g + h) ◦ f ](x) = (g + h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) = (g ◦ f)(x) + (h ◦f)(x) = (gf + hf)(x), ∀x, por lo que la proposicion es cierta.

c) Como (1

f ◦ g

)(x) =

1f(g(x))

=(

1f

)(g(x)) =

(1f◦ g

)(x),

la proposicion es cierta.

d) Sea g(x) = 2 y f una funcion para la que f(1/2) 6= 1/f(2) (cualquierfuncion f(x) = k con |k| 6= 1 lo cumple). Entonces

1f ◦ g

(x) =1

f(2)pero

(f ◦ 1

g

)(x) = f(1/2).

71

La proposicion es falsa.

PROBLEMA 2.26.

a) Sea f(x) = x + 1. ¿Existen funciones g tales que f ◦ g = g ◦ f?

b) Sea f una funcion constante. ¿Para que funciones g se cumplef ◦ g = g ◦ f?

c) Supongase que f ◦ g = g ◦ f, ∀g. Demostrar que f es la funcionidentidad.

d) Si f < g, ¿se cumple h ◦ f = h ◦ g? ¿Es f ◦ h < g ◦ h?

Solucion

a) Para que f ◦g = g◦f debe ser f(g(x)) = g(f(x)), ∀x, es decir g(x)+1 =g(x + 1). La funcion g debe ser solucion de la ecuacion g(x + 1) −g(x) = 1. En particular es valida cualquier funcion g(x) = x + k con kconstante.

b) Si (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) y f(x) = k, entonces k = g(k) por lo que bastatomar cualquier funcion g tal que g(k) = k.

c) Probaremos el contrarrecıproco, es decir, si f 6= identidad, entoncesexiste g tal que f ◦ g 6= g ◦ f :

f 6= identidad =⇒ ∃a, a′ (a 6= a′) : f(a) = a′. Entonces (g ◦ f)(a) =g(a′) y (f ◦ g)(a) = f(g(a)).

Elegimos g tal que g(a) = g(a′) = a. De este modo, f(g(a)) = f(a) =a′ y g(f(a)) = g(a′) = a. Como a 6= a′, entonces g ◦ f 6= f ◦ g, comoquerıamos probar.

d) Si f(x) < g(x), no tiene por que cumplirse que h(f(x)) = h(g(x)) (bastadefinir h = identidad).

Sin embargo, como f(h(x)) < g(h(x)), ∀h(x), sı es cierto que f ◦ h <g ◦ h.

72

PROBLEMA 2.27.

Hallar la funcion inversa de f en los siguientes casos:

a) f(x) = 2x + 3

b) f(x) = ln(x/2).

c) f(x) = x2 − 1.

d) f(x) = arc tg 3x.

e) f(x) = 3√

1− x3.

f) f(x) =

{x si x ≤ 0,

x2 si x > 0.

¿En que campos estaran definidas estas funciones inversas?

Solucion

Utilizaremos en todos los casos la equivalencia y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y).

a) f(x) = 2x + 3 ⇐⇒ y = 2f−1(y) + 3 ⇐⇒ f−1(y) =y − 3

2.

La funcion esta definida en todo el campo real.

b) f(x) = lnx

2⇐⇒ y = ln

f−1(y)2

⇐⇒ ey =f−1(y)

2⇐⇒ f−1(y) = 2ey.

El dominio de definicion es todo R.

c) f(x) = x2 − 1 ⇐⇒ y = [f−1(y)]2 − 1 ⇐⇒ f−1(y) =√

y + 1.Esta definida cuando y + 1 ≥ 0, es decir en [−1,∞).

d) f(x) = arc tg 3x ⇐⇒ y = arc tg 3f−1(y) ⇐⇒ f−1(y) =tg y

3.

Esta funcion esta definida en R \ {y | cos y = 0} = R \ {(2k + 1)π/2 :

k ∈ Z}.

e) f(x) = 3√

1− x3 ⇐⇒ y = 3√

1− f−1(y)3 ⇐⇒ y3 = 1− f−1(y)3

⇐⇒ f−1(y)3 = 1 − y3 ⇐⇒ f−1(y) = 3√

1− y3. La

funcion esta definida en todo R.

f) f(x) =

{x si x ≤ 0,

x2 si x > 0.

Si x ≤ 0, como y = x, tambien y ≤ 0 y f−1(y) = y.

73

Si x > 0, como y = x2 tambien y > 0 y [f−1(y)]2 = y es decir,f−1(y) =

√y.

En definitiva, f−1(y) =

{y si y ≤ 0,√

y si y > 0,y el dominio es todo R.

PROBLEMA 2.28.

Sea f(x) =ax + b

cx− a, x 6= a/c. Probar que f−1(x) = f(x).

Solucion

Para calcular la inversa de una funcion, despejamos x de la ecuacion que

define dicha funcion. Ası pues, de y =ax + b

cx− aobtenemos

y(cx− a) = ax + b =⇒ cyx− ay = ax + b =⇒ x(cy − a) = ay + b

=⇒ x =ay + b

cy − a=⇒ f−1(x) =

ax + b

cx− a=⇒ f−1(x) = f(x).

74

D. EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Determina de las siguientes ecuaciones cuales corresponden a unafuncion. En caso de no serlo, encuentra las formulas de todas lasfunciones a que dan lugar las ecuaciones correspondientes. Encualquier caso encuentra el dominio y la imagen. (Se recomiendadibujar la grafica).

a) x · y = 1.

Resp.: Sı ; y = 1/x ; R− {0}; R− {0}.

b) x2 · y2 = 1.

Resp.: No; y = 1/x, y = −1/x; R− {0}, R− {0}; R− {0}, R− {0}.

c)√

xy = 1.

Resp.: Sı ; y = 1/x; R− {0}; R− {0}.

2.- En los siguientes ejercicios se dan las ecuaciones de ciertas fun-ciones. Encontrar su dominio y su rango. a) y =

√1 +

√x.

Resp.: [0,∞); [1,∞).

b) y = cos 1/x.

Resp.: R− {0}; [−1, 1].

c) y =|x|

1 + |x|.

Resp.: R; [0, 1).

3.- Encontrar el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =√|x + 2|+ x.

Resp.: [−1,∞).

b) f(x) =1

3−√

x + 5.

Resp.: [−5, 4) ∪ (4,∞).

75

c) f(x) =√

x

(x− 1)(x + 2).

Resp.: (−2, 0] ∪ (1,∞).

4.- Si el dominio de la funcion f(x) es el intervalo [a, b], ¿cual es eldominio de la funcion g(x) = f(mx + n) con m > 0?

Resp.: D(g) = [(a− n)/m, (b− n)/m].

5.- Dibujar la grafica de las siguientes funciones:

a) y = −|x| − 1.

Resp.:

b) y = |x− 1|+ |x + 1|.

Resp.:

c) y = x− 1 + |4− x2|.

76

Resp.:

d) y =1

|x− 3|+ |x + 4|.

Resp.:

e) y =x− 18x

.

Resp.:

6.- Dibujar la grafica de las siguientes funciones:

a) y = signo(x2 − 4).

77

Resp.:

b) y = [1/x].

Resp.:

c) y = 3− [3x].

Resp.:

d) y =√

x− [x].

78

Resp.:

7.- Sea la funcion f(x) = x2. Representar la funcion y = f(x + 2)− 1.

Resp.:

8.- Dibujar la grafica de la funcion

f(x) =

2x− 1 si x < −1,

x2 − 1 si − 1 ≤ x ≤ 2,

3 si x > 2.

Resp.:

9.- Dada la grafica de f(x), dibujar f(x) + 2, 2f(x), 2− f(x), [f(x)]:

79

y = f(x)

1

-2 1

Resp.:

3 y = f(x) + 2

2 y = 2f(x)

-2 1 -2 1

y = [f(x)]

y = 2− f(x)

-2 1 -2 1

10.- Sea la funcion f(x) definida ası:

f(x) =

−3x si x < 0,

−x2 + 2x si 0 ≤ x ≤ 2,

1 si x > 2.

Dibujar la grafica de f(x) y la de 2− f(x).

80

Resp.:

11.- En el intervalo −4π ≤ x ≤ 4π , dibujar las siguientes graficas:

a) f(x) = cos x.

b) f(x) = cos 2x.

c) f(x) = | cos x|.

d) f(x) = cos(x/2).

81

12.- ¿Cual es la relacion entre las siguientes funciones?

a) f(x) =x− 2x2

x.

b) g(x) = 1− 2x.

c) h(x) =x2 − 2x3

x2.

d) i(x) =√

1− 4x + 4x2.

e) j(x) =(x3 + x)(1− 2x)

x(1 + x2).

Resp.: f = h = j, |g| = i.

13.- La misma pregunta anterior para las funciones:

a) f(x) = |x|.

b) g(x) =√

x2.

c) h(x) = x· signo x.

Resp.: Son todas iguales.

14.- Dadas f(x) =1√

x− 1, g(x) =

√x− 1, probar que (f + g)(x) = 0

no tiene solucion en su dominio.

Resp.: (f + g)(x) =x√

x− 1.

15.- Construir una funcion polinomica de grado 3, sabiendo que essimetrica respecto al origen y que pasa por (1, 0) y (-1, 0).

Resp.: f(x) = ax3 − ax, a 6= 0

16.- Dadas las funciones f(x) = −(x2 − x), g(x) = | − x + 1/4|, hallar1√gf

y su dominio.

Resp.: (1/√

gf)(x) =1

|x− 1/2|; Dom = R− {1/2}.

17.- Dadas f(x) =√

x, g(x) = x− 1,

(a) hallar f ◦ g y dibujarla.

(b) Idem para g ◦ f .

82

(c) Idem para f−1 (si existe).

Resp.: (f ◦ g)(x) =√

x− 1; (g ◦ f)(x) =√

x − 1; (f−1)(x) = x2 parax ≥ 0.

18.- Dadas f(x) =x− 1

x, g(x) =

√x,

(a) Calcular (f ◦ g)(x).

(b) Calcular (g ◦ g)(9).

(c) Probar que f(x) · f(1− x) = 1.

Resp.: (f ◦ g)(x) =√

x− 1√x

; (g ◦ g)(9) =√

3.

19.- Hallar la funcion inversa de f en los siguientes casos:

a) f(x) = (x− 1)3.

Resp.: f−1(x) = 3√

x + 1.

b) f(x) =

{x si x es racional,

−x si x es irracional.

Resp.: f−1(x) = f(x).

c) f(x) = x + [x].

Resp.: f−1(x) = x− n cuando x ∈ [2n, 2n + 1), ∀n ∈ Z.

d) f(x) =x

1− x2si −1 < x < 1.

Resp.: f−1(x) =−1 +

√1 + 4x2

2x.

20.- ¿Para que valores de los parametros a, b, c, d la funcion f(x) =ax + b

cx + des inversa de sı misma?

Resp.: a = −d.

21.- ¿En que intervalo tiene inversa la funcion f(x) = y = x+ |2−x|.

Resp.: (2,∞).

83

22.- Probar que si f es una funcion creciente, tambien lo es f−1.

23.- Demostrar que si f y g son inyectivas, tambien lo es (f ◦ g) ycomprobar que (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.

84