AMPLIACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES - … · 1.2 M etodos elementales de integraci on de...

AMPLIACION DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

APLICADA

FERNANDO GARCIA CASTANO

Curso 2011/2012

Indice general

1. Metodos elementales de integracion 11.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodos elementales de integracion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . 31.3. Ecuaciones de primer orden no lineales en y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Problemas de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Aplicaciones y problemas geometricos de ecuaciones diferenciales . . . . . . 161.7. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Soluciones a los ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Teoremas fundamentales 252.1. Teoremas de existencia y unicidad para e.d.o. . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Teoremas de existencia y unicidad para sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Dependencia respecto a condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Soluciones a los ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Ecuaciones diferenciales lineales 373.1. Prolongacion de las soluciones en las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . 373.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5. Soluciones a los ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 674.1. Sistemas homogeneos con coeficientes constantes. Metodo de valores propios 674.2. Sistemas lineales no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3. Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecanicas . . . . . . . . . . . . . 704.4. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5. Soluciones a los ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Resolucion de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 775.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Ecuaciones con coeficientes analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

iii

iv INDICE GENERAL

5.3. Ecuaciones con puntos singulares regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4. Series de matrices. Sistemas lineales no homogeneos (II) . . . . . . . . . . . 865.5. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.6. Soluciones a los ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6. Introduccion a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 976.1. Tipos de convergencia de funciones. Series de funciones . . . . . . . . . . . 976.2. Desarrollos de Fourier. Propiedades y convergencia . . . . . . . . . . . . . 1006.3. Problemas de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4. Metodo de separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7. Teorıa de Sturm-Liouville y funcion de Green 1237.1. Problemas regulares de valor propio y desarrollos en serie de autofunciones 1237.2. Problemas singulares de valor propio y desarrollos en serie de autofunciones 130

7.2.1. Problema singular con la ecuacion de Bessel . . . . . . . . . . . . . 1327.2.2. Problema singular con la ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . 1367.2.3. Polinomios de Legendre y los armonicos esfericos . . . . . . . . . . 137

7.3. Funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8. Introduccion al calculo variacional 1538.1. Elementos de calculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2. Condicion necesaria para un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.3. Condicion suficiente para un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Apendices 174

A. Vectores propios y valores propios en una aplicacion lineal 177

Tema 1

Metodos elementales de integracion

En diversas aplicaciones, desarrolladas en los cursos de Calculo integral, se obtienenrelaciones entre cantidades finitas integrando relaciones de igualdad entre sus diferenciales.Por ejemplo, la ecuacion del pendulo, el tiempo en que tarda en vaciarse un deposito, lateorıa del planımetro, etc. Todos estos ejemplos son resueltos, de modo inmediato, a travesdel calculo de ciertas funciones primitivas. Esta facil reduccion se debıa a la sencillez de lasrelaciones que ligaban las diferenciales de las cantidades estudiadas, relacion llamada encada caso ecuacion diferencial del problema. Pero otras cuestiones geometricas y fısicasvienen modeladas mediante ecuaciones de naturaleza mas complicada, cuya traducciona relaciones finitas exige metodos especiales con frecuencia llenos de dificultades. Talesmetodos constituyen el objeto de la teorıa de ecuaciones diferenciales, que solo podremostratar aquı en sus lıneas fundamentales y en sus mas importantes y frecuentes aplicaciones.

Sumario. Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Metodos elementalesde integracion de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones de primer orden no lineales eny′. Problemas de trayectorias. Ecuaciones diferenciales de orden superior. Aplicacionesy problemas geometricos de ecuaciones diferenciales. Ejercicios del tema. Soluciones alos ejercicios del tema.

1.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordi-

narias

Definicion 1.1.1. Fijados un conjunto B ⊂ IRn+2 abierto y conexo, una funcion

F : B ⊂ IRn+2 → IR,

1

2 Metodos elementales de integracion

y un intervalo abierto I ⊂ IR. Se llama ecuacion diferencial ordinaria (e.d.o.) de orden na una relacion de la forma

F (x, y(x), y′(x), · · · , y(n)(x)) = 0,∀x ∈ I,

en la que x es una variable independiente, y es una variable dependiente de x e y′, . . . ,y(n) son las derivadas de y hasta de orden n, verificandose necesariamente que

(x, y(x), y′(x), · · · , y(n)(x)) ∈ B, ∀x ∈ I.

Se llama solucion de la ecuacion diferencial a cualquier funcion ϕ : I ⊂ R→ R, derivablen veces en I y verificando

a) (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) ∈ B, ∀x ∈ I,

b) F (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0, ∀x ∈ I.

Resolver o integrar una e.d.o. es obtener todas las soluciones de dicha ecuacion.

Ejemplo 1.1.2.

a) Compruebe que y = 12xe2x es solucion de la e.d.o. y′′ − 4y = 2e2x;

b) Calcule el valor de n y de C para que f(x) = Cxn satisfaga la ecuacion diferencial

x(1− x)y′′ + (2x2 − 1)y′ + 2(1− 2x)y = 0.

Proposicion 1.1.3 (Interpretacion geometrica). Sea f : B ⊆ R2 → R una funcion yB un conjunto abierto. Si φ es una solucion de la e.d.o. y′ = f(x, y), entonces la rectatangente a la grafica φ en el punto (x, y) tiene por pendiente f(x, y).

' /y x y= −

y′ = −x/y

1.2 Metodos elementales de integracion de ecuaciones diferenciales 3

Definicion 1.1.4 (Curvas integrales). Se dice que una curva f(x, y) = 0 es curva integralo solucion de

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, ∀(x, y) ∈ D,

si la grafica de f(x, y) = 0 esta contenida en D y la recta tangente a f(x, y) = 0 en elpunto (x, y) tiene de parametros directores (Q(x, y),−P (x, y)).

Ejemplo 1.1.5. x2 + y2 = R2 es curva integral de xdx+ ydy = 0, para cualquier R ∈ IR.

Definicion 1.1.6. Sea F (x, y, C) = 0 una familia de curvas dependiente del parametroC ∈ IR. Se llama ecuacion diferencial de la familia, a la ecuacion diferencial G(x, y, y′) =0 resultante de eliminar el parametro C al sistema{

Fx + Fyy′ = 0;

F = 0.

G(x, y, y′) = 0 representa una propiedad geometrica satisfecha por todas las curvas refer-ente a las tangentes en los distintos puntos de ellas.

Ejemplo 1.1.7.

a) Hallar la e.d.o. de y = λx2, λ ∈ IR, en D = {(x, y) ∈ IR2 : x > 0}.b) Hallar la e.d.o. de las parabolas cuyos focos estan en el origen y cuyos ejes estan sobreel eje OY .

Definicion 1.1.8. Se llama problema de Cauchy (o de condicion inicial) al problema{F (x, y(x), y′(x), · · · , y(n)(x)) = 0, ∀x ∈ I;

y(x0) = y0, y′(x0) = y1 · · · y(n−1)(x0) = yn−1;

donde x0 ∈ I e {yi}n−1i=0 ⊂ IR. Una solucion a este problema sera una solucion de la

ecuacion diferencial que satisfaga la condicion fijada en el punto x0.

1.2. Metodos elementales de integracion de ecuaciones

diferenciales

Definicion 1.2.1. Dadas dos soluciones u y v de una ecuacion diferencial (o de unproblema de Cauchy), se dice que v es una extension de u si el grafo de u esta contenidoen el grafo de v y v es solucion de la ecuacion diferencial en su dominio (intervalo abierto).Una solucion de una ecuacion diferencial (o de un problema de Cauchy) se dice que esmaximal si no tiene extension.

Proposicion 1.2.2. Fijada una ecuacion diferencial (o de un problema de Cauchy), paracualquier solucion no maximal de esta existe una solucion maximal que la extiende.


Teorema 1.2.3 (Ecuaciones de variables separadas). Sea f(x) una funcion continua enI = (a, b), y g(y) una funcion continua en J = (c, d). Entonces dado un punto (x0, y0) ∈I × J , la ecuacion

y′ = f(x)g(y),

tiene una unica solucion (maximal) ϕ(x) que cumple ϕ(x0) = y0.

Ejemplo 1.2.4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

a) sen(x)y′ = y log y con y(π/2) = e, b) (x2 + 1)(y2 − 1)dx+ xydy = 0,

Teorema 1.2.5 (Ecuaciones homogeneas). Sea f(z) continua en I = (a, b), tal que f(z) 6=z ∀z ∈ I. Entonces existe una unica solucion de la e.d.o. y′ = f

(yx

)que pasa por el punto

(x0, y0) ∈ A, siendo A = {(x, y) ∈ IR2 : ax < y < bx}.


a) (x4 + y4) dx− xy3 dy = 0, b)(1 + 2ex/y

)dx+ 2ex/y (1− x/y) dy = 0.

Proposicion 1.2.7 (Ecuaciones reducibles a homogeneas). Fijadas dos rectas r y s delplano de ecuaciones ax+ by + c = 0 y mx+ ny + p = 0 respectivamente cumpliendose lacondicion c2 + p2 6= 0. Entonces si:

(i) r y s son secantes en (α, β), el cambio

{x = v + α

y = u+ βtransforma la e.d.o.

y′ = f

(ax+ by + c

mx+ ny + p

), (1.1)

en una e.d.o. homogenea

(ii) r y s son paralelas y n 6= 0, el cambio u = mx+ ny transforma la e.d.o. (1.1) en unae.d.o. de variables separadas.


a)dy

dx=y − x− 1

x+ y − 1, b)

dy

dx=y + x+ 1

x+ y − 1.

Teorema 1.2.9 (Ecuaciones Lineales de orden uno). Sean f(x) y g(x) dos funcionescontinuas en I = (a, b) y (x0, y0) ∈ I × IR. Entonces existe una unica solucion ϕ de lae.d.o.

y′ = f(x)y + g(x), x ∈ I, (1.2)

verificando ϕ(x0) = y0. La ecuacion (1.2) se dice que es lineal y homogenea si g(x) ≡ 0,y se dice que es lineal y completa (o no homogenea) en caso contrario.

Observacion 1.2.10. De la prueba del teorema anterior se deduce


a) La solucion de la ecuacion completa se puede expresar de la forma y = Kφ(x) + ψ(x),donde K es una constante real, φ es una solucion no nula de la ecuacion homogeneaasociada y ψ es una solucion particular de la ecuacion completa;

b) Si y1 e y2 son dos soluciones distintas de la ecuacion completa, y = K(y1− y2) + y1 conK ∈ IR es la solucion de la ecuacion completa.


a) y′ + y cotx = 5ecosx, b)y′ + 2xy = 4x, y(0) = 27.

Proposicion 1.2.12 (Ecuacion de Bernoulli). Sea la ecuacion diferencial de primer orden

y′ = f(x)y + ykg(x), (1.3)

siendo f y g dos funciones continuas en un intervalo I de la recta real y k un numeroreal distinto de 0 o 1. Entonces, el cambio de variable

y1−k(x) = v(x) (1.4)

transforma la e.d.o. anterior en una ecuacion diferencial lineal de orden uno.


a) y′ + 2xy + xy4 = 0, b)xy′ − [y + xy3(1 + log x)] = 0.

Proposicion 1.2.14 (Ecuacion de Ricati). Sean f(x), g(x) y h(x) funciones continuasen I = (a, b) e y1 una solucion de la e.d.o.

y′ = f(x) + g(x)y + h(x)y2, x ∈ I. (1.5)

Entonces el cambio y =1

u+ y1, transforma la ecuacion (1.5) en otra e.d.o. lineal.

Proposicion 1.2.15. Si se conocen tres soluciones distintas de (1.5), entonces puedeobtenerse la solucion general de esta sin necesidad de realizar ninguna cuadratura.

Ejemplo 1.2.16. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales comprobando previa-mente las solucion particulares dadas.

a) y′ = cosx− y − y2 tanx secx, sol. part. y = cosxb)(1 + x3)y′ + 2xy2 + x2y + 1 = 0, sol. part. y = −x.

Definicion 1.2.17 (Ecuacion exacta). Sea la ecuacion diferencial de primer orden

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ B, (1.6)

donde P y Q son dos funciones continuas en el abierto B ⊂ R2. Se dice que la ecuacion(1.6) es una e.d.o. exacta si existe una funcion (potencial) F (x, y) definida en B tal que

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ B. (1.7)


Proposicion 1.2.18. Sea P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 una e.d.o. exacta, (x, y) ∈ B ⊂ IR2

abierto y F (x, y) una funcion potencial de esta. Entonces toda solucion y = φ(x) de laecuacion cuya grafo este en B satisface la ecuacion F (x, φ(x)) = C, para un cierto valorde C ∈ IR. Recıprocamente, si la ecuacion F (x, y) = C define a y como funcion implıcitadiferenciable de x, entonces esta funcion es una solucion de la ecuacion.

Teorema 1.2.19 (Condicion necesaria de exactitud). Si la e.d.o. (1.6) es exacta y

∂P

∂y(x, y),

∂Q

∂x(x, y)

son continuas en B, entonces

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y), ∀(x, y) ∈ B.

Teorema 1.2.20 (Condicion suficiente de exactitud). Sean P (x, y) y Q(x, y) dos fun-ciones reales continuas en el conjunto B ⊂ IR2 abierto, conexo y simplemente conexo1.Si

∂P

∂y(x, y) y

∂Q

∂x(x, y)

son continuas e iguales en B, entonces

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ B,

es una e.d.o. exacta.


a) (3e3xy − 2x)dx+ e3xdy = 0, b) y′ = −(3x2 + 6xy2)/(6x2y + 4y3).

Definicion 1.2.22 (Factor integrante). Sea la ecuacion diferencial de primer orden

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1.8)

donde P y Q son dos funciones continuas en un abierto B de R2. Supongamos la ecuacion(1.8) no es una ecuacion diferencial exacta. Se dice que una funcion no nula µ continuaen B es un factor integrante de la ecuacion (1.8) si la ecuacion diferencial

µ(x, y)P (x, y) + µ(x, y)Q(x, y) y′ = 0 (1.9)

es exacta.

1Consideraremos este concepto de manera intuitiva, y entenderemos por el que el conjunto consideradono contiene agujeros.


Proposicion 1.2.23. Sea la ecuacion diferencial de primer orden

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1.10)

donde P y Q son dos funciones derivables con continuidad en un abierto conexo y simple-mente conexo B de R2. Entonces, es condicion necesaria y suficiente para que una funcionno nula µ de clase C1 en B sea un factor integrante de (1.10) que para todo punto de Bse verifique

∂(µP )

∂y=∂(µQ)

∂x,

o equivalentemente,

P∂µ

∂y−Q∂µ

∂x= µ

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

). (1.11)

Proposicion 1.2.24 (Algunos factores integrantes). Sea P (x, y) y Q(x, y) dos funcionescontinuas en un abierto conexo y simplemente conexo B ⊂ IR2, de manera que existen y

son continuas en B las funciones∂P

∂yy∂Q

∂x. Entonces si:

(i) f(x) =

∂P

∂y− ∂Q

∂x

Q, un factor integrante sera µ = e

∫f(x)dx

;

(ii) g(y) =

∂P

∂y− ∂Q

∂x

P, un factor integrante sera µ = e

−∫g(y)dy

;

(iii) h(x+ y) =

∂P

∂y− ∂Q

∂x

Q− P, un factor integrante sera µ = e

∫h(v)dv

siendo v = x+ y;

(iv) i(x− y) =

∂P

∂y− ∂Q

∂x

P +Q, un factor integrante sera µ = e

∫i(v)dv

siendo v = x− y;

(v) j(xy) =

∂Q

∂x− ∂P

∂y

xP − yQ, un factor integrante sera µ = e

∫j(v)dv

siendo v = xy;

(vi) P y Q son homogeneas del mismo grado, un factor integrante sera µ =1

Px+Qy,

siempre que Px+Qy 6= 0.


a) (x4 + y4) dx− xy3 dy = 0,b) cosx dx+ (y + sen y + senx) dy = 0,c) (4x− 2y) dx+ (2x− 4y) dy = 0,d) (2y2 − 3xy) dx+ (3xy − 2x2) dy = 0,e) (3x− y − 3xy + 3y2) dx+ (5xy − x2 − 4y2 − 2x) dy = 0,f)(1 + 2ex/y

)dx+ 2ex/y (1− x/y) dy = 0.


Corolario 1.2.26. Tanto las ecuaciones diferenciales lineales como las homogeneas sepueden resolver mediante factor integrante. En el primer caso utilizando (i) y en el segundocaso (vi) de la proposicion (1.2.24).

1.3. Ecuaciones de primer orden no lineales en y′

Proposicion 1.3.1 (Ecuacion de Lagrange). Fijadas dos funciones derivables f y g, elcambio de variable y′ = p transforma la e.d.o.

y = xf(y′) + g(y′) (1.12)

en otra lineal en la variable x(p) con solucion general x = F (p, C). Ademas:

(i) el conjunto {x = F (p, C);

y = F (p, C)f(p) + g(p);(1.13)

determina las curvas integrales de (1.12) en forma parametrica.

(ii) si p0 es raız de f(p) = p, tal que existe g(p0), entonces

y = p0x+ g(p0) (1.14)

satisface (1.12). Si (1.14) no se obtiene de (1.13), se dice que esta es una solucion singular.


a) y = −x+1− y′

1 + y′, b) y = −x− 1 + y′

1− y′,

c) y = −x+

(1 + y′

1− y′

)2

,

Definicion 1.3.3. Dada una familia de curvas F (x, y, C) = 0, se denomina envolventede esta al lugar geometrico de puntos que cumpla{

F (x, y, C) = 0

FC(x, y, C) = 0(1.15)

Si no se puede conseguir la eliminacion del parametro C pero sı despejar x e y en (1.15),tendremos las ecuaciones parametricas de la envolvente.

Proposicion 1.3.4. La curva envolvente de una familia de curvas tiene la propiedad deser tangente a cada curva en el punto en comun definido por el sistema (1.15).

1.3 Ecuaciones de primer orden no lineales en y′ 9

Envolvente de una familia de rectas

Ejemplo 1.3.5. El movimiento de un proyectil lanzado en el vacıo desde el origen decoordenadas, a una velocidad v que forme un angulo α con la horizontal tiene de ecuacion

y = x tanα− g

2

x2

v2 cos2 α.

La curva envolvente es

y =v2

2g− gx2

2v2

llamada parabola de seguridad.

Proposicion 1.3.6 (Ecuacion de Clairaut). Fijada una funcion derivable f , el cambiode variable y′ = p, en la e.d.o.

y = xy′ + f(y′) (1.16)

permite obtener:

(i) La integral general y = Cx+ f(C), C ∈ IR;

(ii) La envolvente de la familia de curvas del apartado anterior como solucion singular de(1.16). La ecuacion de esta se obtiene eliminando C en la expresion{

y = Cx+ f(C);

0 = x+ f ′(C);


a) y = y′x− 2(y′)2, b) y = y′x+y′√

1 + (y′)2,

Proposicion 1.3.8 (Ecuaciones resolubles en y). Fijada la funcion diferenciable f(u, v),el cambio de variable y′ = p en la e.d.o.

y = f(x, y′), (1.17)

proporciona una e.d.o. en p(x). La solucion general de esta ultima F (x, p, C) = 0, juntocon y = f(x, p) proporciona una familia de curvas integrales, en forma parametrica, de lae.d.o. (1.17).


Ejemplo 1.3.9. Resuelva la siguiente ecuacion diferencial

4y = x2 + (y′)2.

Proposicion 1.3.10 (Ecuaciones resolubles en x). Fijada la funcion diferenciable g(u, v),el cambio de variable y′ = p en la e.d.o.

x = g(y, y′), (1.18)

proporciona una e.d.o. en p(y). La solucion general de esta ultima G(y, p, C) = 0, juntocon x = g(y, p) proporciona una familia de curvas integrales, en forma parametrica, de lae.d.o. (1.18).

Ejemplo 1.3.11. Resuelva la siguiente ecuacion diferencial

x = y(y′)2.

Proposicion 1.3.12 (Ecuaciones en la que falta y). Dada la e.d.o.

F (x, y′) = 0,

se cumple que:

(i) Si se puede despejar y′ en funcion de x, entonces y =∫f(x)dx;

(ii) Si se puede despejar x en funcion de y′, x = g(y′) = g(p), las ecuaciones parametricasde la solucion general son {

x = g(p)

y =∫pg′(p)dp,

(iii) Si la funcion F (x, p) = 0 puede expresarse en forma parametrica,{x = ϕ(t),

p = ψ(t),

entonces las ecuaciones parametricas de la solucion general son{x = ϕ(t)

y =∫ψ(t)ϕ′(t)dt,

Proposicion 1.3.13 (Ecuaciones en la que falta x). Dada la e.d.o.

G(y, y′) = 0,

se cumple que:

(i) Si se puede despejar y′ en funcion de y, y′ = h(y), entonces x =

∫dy

h(y);

1.3 Ecuaciones de primer orden no lineales en y′ 11

(ii) Si se puede despejar y en funcion de y′, y = k(y′) = k(p), las ecuaciones parametricasde la solucion general son x =

∫k′(p)

pdp

y = k(p),

(iii) Si la funcion G(y, p) = 0 puede expresarse en forma parametrica,{y = α(t),

p = β(t),

entonces las ecuaciones parametricas de la solucion general son{x =

∫ α′(t)β(t)

dt

y = α(t),


a) x2 + x3 − (y′)2 = 0, b) x = y′ + (y′)3,c) x(y′)2 + (y′)2 + x2 = 0, d) y2y′ + yy′ − 1 = 0,e) y = (y′)3 + y′ + 1, f) y2y′ + 2(y′)2 + y2 = 0,

Definicion 1.3.15. Una ecuacion diferencial

F (x, y, y′) = 0, (1.19)

se dice que es homogenea si existe λ ∈ IR tal que F (x, y, y′) = xλF (1,y

x, y′), equivalente-

mente si (1.19) puede expresarse en la forma

G(yx, y′)

= 0. (1.20)

Proposicion 1.3.16 (Ecuaciones homogeneas). Dada la e.d.o. homogenea F (x, y, y′) = 0,se cumple:

(i) Si podemos despejar y′ = H(yx

), se obtiene la solucion general integrando;

(ii) Si de (1.20) podemos obtenery

x= f(y′), haciendo los cambios y′ = p, y = ux, se llega

a las ecuaciones parametricas de la integral general{x = g(p), (integrando en la e.d.o. despues del cambio)

y = g(p)f(p).


a) y = y(y′)2 + 2y′x, b) y = x(y′)2 − 2x.


1.4. Problemas de trayectorias

Definicion 1.4.1. Se dice que la curva g(x, y) = 0 es una trayectoria ortogonal a la unafamilia de curvas f(x, y, C) = 0, si g(x, y) = 0 es ortogonal a cada una de las curvas dela familia f(x, y, C) = 0.

Proposicion 1.4.2 (Trayectorias ortogonales). Fijada la familia de curvas

f(x, y, C) = 0, (1.21)

consideramos la e.d.o. F

(x, y,

dy

dx

)= 0, resultante de eliminar C en el sistema

f(x, y, C) = 0,

fx + fydy

dx= 0.

Entonces la integral general g(x, y,K) = 0 de F

(x, y,−dx

dy

)= 0 proporciona la familia

de trayectorias ortogonales a (1.21).

Ejemplo 1.4.3. Encontrar las familias de trayectorias ortogonales a

a) x2 + y2 = C2, b) y = Cx2,c) 2x2 + y2 − Cx = 0, d) xy = C.

Proposicion 1.4.4. Sea F

(x, y,

dy

dx

)= 0 la ecuacion diferencial de la familia f(x, y, C) =

0. Entonces

F

(x, y,

y′ − tanα

1 + y′ tanα

)= 0

es la ecuacion diferencial de las trayectorias oblicuas bajo el angulo α 6= π/2 con cadacurva de la familia f(x, y, C) = 0.

Ejemplo 1.4.5. Encontrar las trayectorias oblicuas bajo π/4 a x2 + y2 = C2.

Definicion 1.4.6. Llamaremos curvas de nivel de la superficie de ecuacion f(x, y, z) = 0a aquellas que tengan como ecuaciones{

f(x, y, z) = 0,

z = C,

siendo C un parametro real.

Definicion 1.4.7. Llamaremos curvas de maxima pendiente sobre la superficie f(x, y, z) =0 a aquellas curvas sobre la superficie cuya tangente en cada punto tiene pendiente maximay, por lo tanto, es ortogonal a las curvas de nivel.

1.5 Ecuaciones diferenciales de orden superior 13

Proposicion 1.4.8. Las curvas de maxima pendiente sobre la superficie f(x, y, z) = 0vienen dadas por las ecuaciones {

f(x, y, z) = 0,

g(x, y, C) = 0,

siendo g(x, y, C) = 0 la familia de trayectorias ortogonales a f(x, y, C) = 0.

Ejemplo 1.4.9. Hallar las curvas de maxima pendiente de las superficies

a) x2 + y2 + 2z2 = 1, b) x2 + 2y2 = 4z,c) x+ y + 2z2 − 2 = 0.

1.5. Ecuaciones diferenciales de orden superior

Proposicion 1.5.1 (Ecuaciones que no contienen y). Dada la e.d.o.

g(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0,

mediante el cambio y(k) = u e integrando obtenemos

G(x, y(k)) = 0. (1.22)

Ahora bien:

(i) Si podemos obtener y(k) de (1.22), entonces se obtiene y mediante k cuadraturas;

(ii) Si podemos obtener x = K(y(k)) de (1.22), entonces se obtiene la solucion general deforma parametrica:

x = K(u),

y =

∫· · ·∫

︸︷︷︸(k)

u[K ′(u)du]k;

(iii) Si podemos expresar (1.22) en forma parametrica x = ϕ(t), y(k) = u = ψ(t), lasolucion general en forma parametrica:

x = ϕ(t),

y =

∫· · ·∫

︸︷︷︸(k)

ψ(t)[ϕ′(t)dt]k;

Ejemplo 1.5.2. Resuelva las ecuaciones diferenciales

a) y′ = x+ y′′, b) y′ = x2 + 2y′′,c) y′′ = x3 + y′′′.


Proposicion 1.5.3 (Ecuaciones que no contienen x). Dada la e.d.o.

f(y, y′, y′′, · · · , y(n)) = 0,

se cumple:

(i) Tomando x como variable dependiente y sustituir se obtiene la ecuacion

g(y, x′, x′′, . . . , x(n)) = 0,

estudiada en la proposicion 1.5.1;

(ii) Haciendo el cambio y′ = p resulta h(y, p,dp

dy, · · · , d

(n−1)p

dy(n−1)) = 0, cuya solucion propor-

ciona la ecuacion H(y, y′) = 0, estudiada en la proposicion 1.3.13.

Ejemplo 1.5.4. Resuelva la ecuacion diferencial y′′ = y5.

Proposicion 1.5.5. Dada la e.d.o.

y(n) = f(y(n−2)),

si hacemos el cambio y(n−2) = u obtenemos

x =

∫du[

2∫f(u)du

]1/2 ,ademas iterando la expresion

y(n−3) =

∫y(n−2)dx =

∫uG′1(u)du = G2(u),

se llega a

y = Gn−1(u).

Ejemplo 1.5.6. Resuelva la ecuacion diferencial y′′′ = 4y′.

Definicion 1.5.7. Se dice que la e.d.o.

f(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0, (1.23)

es exacta, si existe una expresion F (x, y, y′, · · · , y(n−1)), cuya derivada respecto a x seaf(x, y, y′, · · · , y(n)). Entonces a

F (x, y, y′, · · · , y(n−1)) = C,

se le llama la integral primera de (1.23).

1.5 Ecuaciones diferenciales de orden superior 15

Proposicion 1.5.8. Sea

f(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

una e.d.o. exacta. Para cada i ∈ {1, . . . , n− 1}, consideramos la funcion zi cuya derivadarespecto a y(n−i) del coeficiente de y(n+1−i) en f(x, y, y′, · · · , y(n)). Consideremos ademasla funcion

g = f −n−1∑i=1

dzidx,

entonces la funcion que proporciona la integral primera correspondiente viene dada por

F =n−1∑i=1

zi +

∫g(x)dx.

Ejemplo 1.5.9. Obtenga la integral primera de

a) y + 3xy′ + 2y(y′)3 + (x2 + 2y2y′)y′′ = 0, b) y′ + y′′(x+ 2y′) = 0.


f(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

es homogenea de grado m respecto a y, si se verifica

f(x, λy, λy′, · · · , λy(n)) = λmf(x, y, y′, · · · , y(n)).

Proposicion 1.5.11. Si en la e.d.o. homogenea

f(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

hacemos el cambio de variable y = eu, esta se transforma en

f(x, 1, u′, u′2 + u′′, · · · ) = 0

que se resuelve usando la proposicion 1.5.1.

Ejemplo 1.5.12. Resuelva yy′′ + (y′)2 − yy′ = 0.


g(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

es homogenea de grado m con respecto a x y a dx, cuando se verifica

g(λx, y, λ−1y′, · · · , λ−ny(n)) = λmg(x, y, y′, · · · , y(n)).


Proposicion 1.5.14. Seag(x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

una e.d.o. homogenea de grado m con respecto a x y a dx, entonces esta puede expresarseen la forma

h(y, xy′, x2y′′, · · · , xny(n)) = 0,

que mediante el cambio x = et resulta

h(y, y′, · · · , y(n)) = 0,

que se resuelve siguiendo la proposicion 1.5.3.

Ejemplo 1.5.15. Resuelva xy′′ + yy′ = 0.


F (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

es homogenea de grado m con respecto a x y a y, cuando se verifica

F (λx, λy, y′, λ−1y′′, · · · , λ1−ny(n)) = λmF (x, y, y′, · · · , y(n)).

Proposicion 1.5.17. SeaF (x, y, y′, · · · , y(n)) = 0,

una e.d.o. homogenea de grado m con respecto a x y a y, entonces el cambio y = ux latransforma en una homogenea en x y dx.

Ejemplo 1.5.18. Resuelva x3y′′ + (xy′ − y)2 = 0.

1.6. Aplicaciones y problemas geometricos de ecua-

ciones diferenciales

Ejemplo 1.6.1. Dada la parabola y = x2

a) Calcular la e.d.o. de la familia obtenida al trasladar dicha parabola en direccion paralelaa la recta 3x− 4y = 0;

b) Integrar la e.d.o. obtenida;

c) Solucion singular correspondiente;

Ejemplo 1.6.2. Obtener la e.d.o. de las parabolas que pasan por el origen y tienen sueje paralelo al eje OX.

Ejemplo 1.6.3. Hallar la e.d.o. de las elipses de semiejes 4 y 5, tales que el eje menores paralelo al eje OX.

Ejemplo 1.6.4. La normal a una curva en un punto P corta al eje OY en un punto N .Hallar esta curva sabiendo que pasa por el punto (3, 4) y se verifica ON = OP .

1.7 Ejercicios del tema 17

1.7. Ejercicios del tema

1. Relaciona cada ecuacion con la grafica correspondiente y′ = 3y2/3, y′ = y2, y′ = −xye y′ = x/y.

a)

'y xy= −

b)

2 /3' 3(0) 0

y yy==

c)

' /y x y=

d)

2'y y=

2. Determinar la ecuacion diferencial de haz xy − C(x− 1) = 0.

3. Hallar la e.d.o. de la familia de circunferencias de radio 2, cuyos centros estan en larecta y = x.

4. Resuelva las ecuaciones diferenciales

a) (x− 1)y3dx+ (y − 1)x3dy = 0, que pasa por el punto (2, 1)b) (x2 + 1)dx+ (y4 + 1)dy = 0,c) y′ = x(y2 + 1), que pasa por el punto (1, 1).



a) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0, b) xdy = (x+ y)dx, c) (2x+ y)dx+ (x+ 2y)dy = 0.


a)dy

dx=

y − xy + x− 2

, b)dy

dx=x+ y − 1

x− y − 1, c)

dy

dx=

2x− 2y − 1

x− y + 1.


a) y′ = y + 1, que para x = 0 toma el valor 2,b) y′ = 2y + x, que para x = 0 toma el valor 3,c) y′ = xy + 1, que para x = 0 toma el valor 1,d) y′ = 3y + 2, que para x = 0 toma el valor 0.

8. Dada la e.d.o. y′ = y+2, se consideran las tangentes a las distintas curvas integralesen los puntos de abscisa x = 0. Hallese el punto por el cual pasan todas estastangentes.


a) y′ = y + y2, b) y′ = −y +√y, c) y′ = xy +

√y, d) y′ + 2y = y3, e) y′ = y + 3

√y.

10. Resolver la ecuacion xy′ = x2 + y − y2, sabiendo que tiene la solucion particulary = x.

11. Reducir la ecuacion y′ = 1 + xy − y2 a una e.d.o. lineal.


a) (2xy + y2)dx+ (x2 + 2xy − 6)dy = 0, b)

(1

1 + x2+ y

)dx+ xdy = 0,

c) (2x cos y − cosx)dx− x2 sen ydy = 0, d) (y3 cosx− y)dx+ (3y2 senx− x)dy = 0.


a) (2y3 − 2y2 + 3x)dx+ (3xy2 − 2xy)dy = 0,b) (y3 + x2y + 2xy − x− 1)dx+ (3y2 + x2)dy = 0,c) dx+ (2xy + 2y2 + 1)dy = 0, d) 2xydx+ (3x2 − 4y)dy = 0,e) 2ydx+ (x+ 3y)dy = 0,f) (x2 + y2 + x)dx+ (x2 + y2 + y)dy = 0,g) 3dx+ (x− y − 3)dy = 0, h) 2y4dx+ 5xy3dy = 0.


a) y = x+ y′ − 3(y′)2, b) y = −x+ (y′)3, c) y = 3x− (y′)2,d) y = 2x+ y′ − 5(y′)2, e) y = x(y′ + 1)− 2(y′)2.



a) y = y′x− 2(y′)2, b) y = y′x+ 4(y′)2, c) y = y′x+ 2(y′)3,d) y = y′x+ y′ + 5(y′)2.

16. Resuelva la ecuacion diferencial

y = 1/2x2 − (y′)2.

17. Resuelva la ecuacion diferencial

a) x = 2y′ + 4(y′)3, b) x = 5(y′)4 + 3(y′)2, c) x = y′ − 6(y′)5,d) x(y′)2 − 2(y′)2 + x2 = 0, e) x(y′)4 − (y′)4 + x4 = 0, f) y = (y′)2 − 3y′ + 2,g) y = (y′)4 − y′, h) y = (y′)3 − 2(y′)2, i) y(y′)2 − 3(y′)2 + y2 = 0,j) y2/3 + (y′)2/3 = 9, k) y = y(y′)2 + 4xy′.

18. Halle las trayectorias ortogonales de las familias de curvas

a) x2y = C, b) y2(C − x) = x3.

19. Halle la trayectoria ortogonal de la familia de hiperbolas xy = a2/2, que pasa porel punto (1, 2).

20. Halle las trayectorias de 45o de la familia de curvas x2 + y2 + 2Cy = 0.

21. Halle las curvas de maxima pendiente de la superficie z = 1− xy.

22. Hallar las ecuaciones de las curvas de maxima pendiente de la superficie x2 + 2y2 +4z2 = 1.

23. Integrar las ecuaciones diferenciales, en el apartado j encontrar aquella que cumpley(−1/2e) = 1 y y′(−1/2e) = e.

a) y′′′ − 2xy′y′′ − (y′)2 − xy′ − y = 0, b) y′y′′′ − 3(y′′)2 = 0,c) y′′ − (y′)2 − 1 = 0, d) (1 + x)y′′ + y′ = 0,e) y′′ + cos2 x = 0, f) y′′ − 2y(y′) = 0,g) yy′′ − (y′)2 − y4 = 0, h) 3yy′′ − 2(y′)2 − 36y2 = 0,

i) y′ = y′′(x+ y′′), j) y2y′′ − 2y3(y′)2 + ey2y′ = 0.

24. Integrar las ecuaciones

a) y′′′ = (y′′)2, b) (y′)4 + 4x(y′)3y′′ − 2yy′ = 0.

25. Transforme la ecuacion yy′′ + 2(y′)2 + yy′ = 0, en otra en la que le falte la variabledependiente.

26. Transforme las ecuaciones siguientes en otras en la que le falte la variable indepen-diente

a) 2xy′′ + yy′ = 0, b) 2x3y′′ + 3(xy′ − y)2 = 0.


1.8. Soluciones a los ejercicios del tema

1. a) y′ = −xy; b) y′ = 3y2/3; c) y′ = x/y; d) y′ = y2.

2. x(x− 1)y′ − y = 0.

3. (x− y)2[1 + (y′)2]− 4[1 + (y′)2]2 = 0.

4.

a)1

2x2+

1

2y2− 1

x− 1

y+

7

8= 0, b)

x3

3+y5

5+ x+ y + C = 0,

c) y = tan

(x2

2− 1

2+π

4

).

5.a) x(x3 + 4y3) = k, b) y/x = log |x|+ C, c) x2 + xy + y2 = k.

6.

a) arctany − 1

x− 1+

1

2log(x2 + y2 − 2x− 2y + 2) = C,

b)1

2log(x2 + y2 − 2x+ 1)− arctan

y

x− 1= C,

c) 2x− y + 3 log |x− y − 2| = C.

7.

a) y = −1 + 3ex, b) y = −1/2x− 1/4 + 13/4e2x, c) y =

(∫ x

0

e−t2/2dt+ 1

)ex

2/2

d) y = 2/3(e3x − 1),

8. (−1,−2)

9.

a) y =1

−1 + Ce−x, b) y = (1 + Cex/2)2, c) y =

(1

2

∫ x

0

e−t2/4dt+ C

)2

ex2/2,

d) y =1(

12

+ Ce4x)1/2

, e) y = (−1 + Ce2x/3)3/2.

10.

y = x

(1 +

2

Ce2x − 1

).

11. Usando que y = x es solucion particular, la transformamos en u′ − xu− 1 = 0.

12.a) x2y + xy2 − 6y = C, b) arctanx+ xy = C,c) (x2 cos y − senx = C, d) y3 senx− xy = C.

1.8 Soluciones a los ejercicios del tema 21

13.

a) x2y3 − x2y2 + x3 = C, b) ex(y3 − yx2 − x) = C,

c) (x+ y)ey2

= C, d) x2y3 − y4 = C,e) x2y + 2xy2 + y3 = C, f) 1/2e2(x+y)(x2 + y2) = C,c) 3 log |x− y|+ y = C, d) x2y5 = C.

14.

a)

{x = −6p− 5 log |p− 1|+ C

y = −5p− 5 log |p− 1|+ C3p2integral general,

para p = 1 queda la solucion singular y = x− 2.

b)

{x = 3/2p2 − 3p+ 3 log |p+ 1|+ C

y = p3 − 3/2p2 + 3p− 3 log |p+ 1| − Cintegral general,

para p = −1 queda la solucion singular y = −x− 1.

c)

{x = −2p− 6 log |p− 3|+ C

y = −6p− 18 log |p− 3|+ 3C − p2integral general,

para p = 3 queda la solucion singular y = 3x− 9.

d)

{x = −10p− 19 log |p− 2|+ C

y = −19p− 38 log |p− 2|+ 2C − 5p2integral general,

para p = 2 queda la solucion singular y = 2x− 18.

e)

{x = 4p− 4 + Ce−p

y = (4p− 4 + Ce−p)(p+ 1)− 2p2integral general.

15.

a) y = Cx− 2C2 integral general, y = 1/8x2 solucion singular,b) y = Cx+ 4C2 integral general, y = −1/16x2 solucion singular,c) y = Cx+ 2C3 integral general, y2 = −2/27x3 solucion singular,d) y = Cx+ 5C2 integral general, y = −1/20x2 solucion singular.

16. {(2p− x)(p+ x)2 = K,

y = 1/2x2 − p2.


17. Las soluciones en forma parametrica

a)

{x = 2p+ 4p3

y = p2 + 3p4 + Cb)

{x = 3p2 + 5p4

y = 2p3 + 4p5 + C

c)

{x = p− 6p5

y = 1/2p2 − 5p6 + Cd)

{x = 2− t2

y = 2/3t3 − 4t+ C

e)

{x = 1− t4

y = 4/7t7 − 4/3t3 + Cf)

{x = 2p− 3 log |p|+ C

y = p2 − 3p+ 2

g)

{x = 4/3p3 − log |p|+ C

y = p4 − ph)

{x = 3/2p2 − 4p+ C

y = p3 − 2p2

i)

{x = 2t+

√3 log |

√3− t| −

√3 log |

√3 + t|+ C

y = 3− t2j)

{x = 3(t+ cot t) + C

y = 27 cos3 t

e)

x =

C(p2 − 1)

p 3√p(p2 + 3)

y =−4C

3√p(p2 + 3)

18.

a) y2 = 1/2x2 + C, b) (x2 + y2)2 = C2(2x2 + y2).

19. y2 − x2 = 3.

20. x2 + y2 = K(x+ y).

21. {z = 1− xyy2 − x2 = C.

22. {x2 + 2y2 + 4z2 = 1

y = x2C.

23.

a) y = (C2 + 1)x− (x+ C1) log |x+ C1|+ C3, b) x = C1y2 + C2y + C3,

c)

{p = tan(x+ C)

y = − log | cos(x+ C)|+ C1

, d) y = C log |1 + x|+ C1,

e) y = −1/4x2 − 1/4 sen2 x+ Cx+ C1, f) x = 1/a arctan(y/a) + C,

g) x = ±∫

dy

y√C1+y2

, h) y = M cosh3(2x+ C),

i) y = −x3/12 +K, j) x = −1/2e−y2.


24.a) y′′ − x(y′)2 − xy = C, b) x(y′)4 − y2 = C.

25.u′′ + 3(u′)2 + u′ = 0

26. a) 2d2y

dt2+ (y − 2)

dy

dt= 0, b) 2

d2u

dt2+ 2

du

dt+ 3

(du

dt

)2

= 0.

Tema 2

Teoremas fundamentales de la teorıade ecuaciones diferenciales ordinarias

En este tema se abordan resultados sobre existencia y unicidad de problemas deCauchy, tanto para problemas con ecuaciones escalares como para problemas con sis-temas. Para esto es necesario estudiar nociones y resultados topologicos como son la no-cion de equicontinuidad y diversos tipos de convergencia. Incluso aplicaremos un teoremadel punto fijo.

Dedicaremos la primera seccion al estudio de problemas de Cauchy con ecuacionesescalares, y la segunda al estudio de problemas con sistemas. La tercera seccion es de nat-uraleza distinta, estudiamos la variabilidad de las soluciones cuando variamos las condi-ciones iniciales o las funciones involucradas en el problema de Cauchy. Acabamos estaseccion estudiando la derivabilidad de las soluciones respecto a las condiciones iniciales.

Sumario. Teoremas de existencia y unicidad de soluciones en las ecuaciones diferen-ciales. Teoremas de existencia y unicidad de soluciones en los sistemas de ecuacionesdiferenciales. Dependencia de las condiciones iniciales y derivabilidad respecto a estas.Ejercicios del tema. Soluciones a los ejercicios del tema.

2.1. Teoremas de existencia y unicidad de soluciones

en las ecuaciones diferenciales

Ejemplo 2.1.1. Resuelva la e.d.o. y2 + x2 dy

dx= 0 y compruebe lo siguiente:

(i) Hay infinitas soluciones que satisfacen la condicion inicial y(0) = 0;

(ii) Si b 6= 0, no hay soluciones que satisfagan y(0) = b;

(iii) Si a · b 6= 0, existe una unica solucion satisfaciendo y(a) = b.

25

26 Teoremas fundamentales

Algunas curvas solucion de y2 + x2y′ = 0

El ejemplo anterior pone de manifiesto que un problema con condicion inicial puede tenersolucion, una unica solucion o infinitas soluciones. En el resto del apartado estudiamosresultados en los que se asegure la existencia y unicidad de soluciones para un problemade condiciones iniciales.

Definicion 2.1.2. Se dice que una sucesion {fn}n de funciones reales, definidas en A ⊂ IRes

a) equicontinua en x0 ∈ A, si fijado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A verificando|x0 − x| ≤ δ, entonces |fn(x0)− fn(x)| ≤ ε, ∀n ≥ 1;

b) equicontinua en A, si es equicontinua en cada punto de A;

c) uniformemente equicontinua en A, si fijado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x, y ∈ Averificando |x− y| ≤ δ, entonces |fn(x)− fn(y)| ≤ ε, ∀n ≥ 1.

Observacion 2.1.3. Si {fn}n es equicontinua en x0 ∈ A, entonces cada fn es continuaen x0.

Ejemplo 2.1.4.

a) Una familia finita de funciones continuas es equicontinua;

b) La familia {xn}n es uniformemente equicontinua en IR;

c) La familia {nx}n no es equicontinua en ningun punto de IR.

Teorema 2.1.5. Si la sucesion {fn}n es equicontinua en un compacto A, entonces estaes uniformemente equicontinua en A.

2.1 Teoremas de existencia y unicidad para e.d.o. 27

Definicion 2.1.6. Se dice que una sucesion {fn}n de funciones reales, definidas en A ⊂ IRconverge puntualmente a f : A→ IR si:

∀x ∈ A,∀ε > 0 ∃nx,ε ∈ IN / |fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nx,ε;

o equivalentemente

∀x ∈ A, la sucesion (fn(x))n ⊂ IR converge a f(x) ∈ IR;

Ejemplo 2.1.7. La sucesion dada por el termino general fn(x) = xn converge puntual-mente en [0, 1] a la funcion

f(x) =

{0 si 0 ≤ x < 1,

1 si x = 1;

Definicion 2.1.8. Fijados dos subconjuntos reales A y B tal que B ⊂ A, se dice que Bes denso en A si dado a ∈ A y δ > 0 se verifica que B(a, δ) ∩B 6= φ.

Teorema 2.1.9. Si la sucesion {fn}n es equicontinua en A, y converge puntualmente enun subconjunto denso B ⊂ A, entonces dicha sucesion converge puntualmente en A.

Teorema 2.1.10. Si la sucesion {fn}n es equicontinua en A y converge puntualmente auna funcion f , entonces f es continua.

Definicion 2.1.11. Se dice que una sucesion {fn}n de funciones reales, definidas enA ⊂ IR converge uniformemente a f : A→ IR si:

∀ε > 0 ∃nε ∈ IN / |fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nε, ∀x ∈ A;

o equivalentemente

∀ε > 0 ∃nε ∈ IN / supx∈X|fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nε;

Ejemplo 2.1.12.

(i) La sucesion dada por el termino general fn(x) =n− 1

nconverge uniformemente en

[0, 1] a la funcion f(x) = 1;

(ii) La sucesion de funciones del ejemplo 2.1.7 no converge uniformemente a la funcion fcorrespondiente.

Proposicion 2.1.13. Si la sucesion {fn}n converge uniformemente a f en A, entoncesesta converge a f puntualmente. El recıproco no es cierto en general.

Proposicion 2.1.14. La sucesion {fn}n de funciones continuas es uniformemente con-vergente en [a, b] si, y solo si, es uniformemente de Cauchy en [a, b].


Proposicion 2.1.15. Si la sucesion {fn}n es equicontinua en [a, b] y converge puntual-mente a una funcion f , entonces dicha sucesion converge uniformemente a f en [a, b].

Observacion 2.1.16. La sucesion de funciones del ejemplo 2.1.7 no es equicontinua.

Teorema 2.1.17 (Ascoli). Sea {fn}n una sucesion equicontinua de funciones definidasen [a, b]. Si existe k ∈ IR tal que

|fn(x)| ≤ k, para cada x ∈ [a, b], n ≥ 1,

entonces de la sucesion dada puede extraerse una subsucesion que converge uniformementea una funcion continua en [a, b].

Teorema 2.1.18 (Peano). Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, (x0, y0) ∈ D yf(x, y) una funcion continua en D. Entonces existe δ > 0 tal que{

y′ = f(x, y)

y(x0) = y0,

tiene una solucion en [x0 − δ, x0 + δ].

Definicion 2.1.19. Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, se dice que la funcionf(x, y) es localmente lipschitziana (respecto de y) en (x0, y0) ∈ D si existe un entorno Ude este y una constante positiva K tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ K|y1 − y2|, ∀(x, y1), (x, y2) ∈ U.

Observacion 2.1.20. La nocion de funcion localmente lipschitiziana se extiende de formanatural a funciones f(x, y1, . . . , yn). En este caso se dice que f es locamente lipschitziana(respecto a (y1, . . . , yn)) en el punto (x0, y10, . . . , yn0) ∈ D si existe un entorno U de estey una constante positiva K tal que

|f(x, y1, . . . , yn)− f(x, u1, . . . , un)| ≤ Kn∑i=1

|yi − ui|, ∀(x, y1, . . . , yn), (x, u1, . . . , un) ∈ U.

Ejemplo 2.1.21. La funcion f(x, y) = x + y2 es localmente lipschitziana respecto de ypara cualquier (x, y) ∈ IR2.

Teorema 2.1.22 (Picard). Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, (x0, y0) ∈ D yf(x, y) una funcion continua y localmente lipschitziana (respecto de y) en (x0, y0). En-tonces existe δ > 0 tal que {

y′ = f(x, y)

y(x0) = y0,

tiene una solucion unica en [x0 − δ, x0 + δ].

2.1 Teoremas de existencia y unicidad para e.d.o. 29

Ejemplo 2.1.23. Se considera la ecuacion diferencial y′(x) = f(x, y(x)), donde para(x, y) ∈ IR2,

f(x, y) =

0 si x ≤ 0 o y ≤ 0

−2y/x si x2 ≥ y > 0

−2x si y ≥ x2 > 0.

Estudiese:

a) Continuidad y condicion de Lipschitz resp. de y para f en cada punto de IR2;

b) Obtenganse las soluciones que pasan por un punto (x0, y0);

c) Obtenganse, en particular, las soluciones que pasan por (0, 0);

d) ¿Que se puede afirmar sobre la unicidad de las soluciones?

Corolario 2.1.24. Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, (x0, y0) ∈ D y f(x, y) unafuncion continua. Entonces existe δ > 0 tal que{

y′ = f(x, y)

y(x0) = y0,(2.1)

tiene una solucion en I = [x0−δ, x0+δ]. Si ademas, la derivada parcial ∂f/∂y es continuaen un entorno de (x0, y0), entonces existe δ′ ∈ (0, δ] tal que (2.1) tiene solucion unica enI = [x0 − δ′, x0 + δ′]

Observacion 2.1.25.

(i) Al aplicar el corolario 2.1.24 a y′ = −y obtenemos existencia y unicidad de los proble-mas de Cauchy en todo IR2. De hecho las soluciones y(x) = Ce−x existen en todo IR.

(ii) Al aplicar el corolario 2.1.24 a y′ = 2√y en D = {y > 0} obtenemos existencia y

unicidad de la soluciones de los problemas de Cauchy. En el punto (0, 0) encontramos dossoluciones, y1(x) = x2 e y2(x) = 0.

(iii) Al aplicar el corolario 2.1.24 a y′ = y2 en D = (−2, 2)× (0, 2) obtenemos existencia yunicidad. Por ejemplo es el caso del problema, y′ = y2 y(0) = 1. Sin embargo la solucion

correspondiente y =1

1− x, no existe en todo (−2, 2).


Grafica de y =1

1− x.

Ejemplo 2.1.26.

(i) Estudiar la existencia y unicidad de las soluciones de la ecuacion del ejemplo 2.1.1 enlos puntos (0, 0) y (0, 1) aplicando el corolario 2.1.24. Se concluye que la continuidad de fes una condicion suficiente, aunque no necesaria, para la existencia de solucion de (2.1).

(ii) El corolario 2.1.24 asegura que el problema{xy′ = 2y

y(−1) = 1,(2.2)

tiene solucion unica. Sin embargo las funciones

f1(x) = x2, f2(x) =

{x2 x ≤ 0

0 x ≥ 0, f3(x) =

{x2 x ≤ 0

−x2 x ≥ 0,

son solucion de (2.2). ¿Contradice este hecho al corolario 2.1.24?

Graficas de f1, f2 y f3.

Definicion 2.1.27. Una aplicacion f de un espacio metrico (A, d) en sı mismo, se diceque es contractiva, si existe K ∈ (0, 1) tal que

d(f(x), f(y)) ≤ Kd(x, y), ∀x, y ∈ A.

Teorema 2.1.28 (Teorema del punto fijo). Dada una aplicacion contractiva f en unespacio metrico completo (A, d), existe un unico punto x0 ∈ A tal que f(x0) = x0.

2.2 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas 31

Ejemplo 2.1.29. Aplique el resultado anterior para probar que

1

53z4 +

1

71z3 − 1

73z − z +

1

41= 0,

tiene una unica solucion en B(0, 1) ⊂ C.

2.2. Teoremas de existencia y unicidad de soluciones

en los sistemas de ecuaciones diferenciales

Teorema 2.2.1 (Peano). Sea D ⊂ IR1+n un conjunto abierto y conexo, (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈D y {fi(x, y1, y2, . . . , yn)}ni=1 una familia de n funciones reales continuas definidas en D.Entonces existe δ ∈ IR positivo tal que

dy1/dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)

dy2/dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn/dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)

(2.3)

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0,

tiene una solucion Y (x) = (y1(x), . . . , yn(x)) en [x0 − δ, x0 + δ].

Teorema 2.2.2.

(i) Todo sistema de ecuaciones diferenciales es equivalente a algun sistema de ecuacionesdiferenciales de orden 1;

(ii) Toda ecuacion diferencial de orden mayor que uno es equivalente a algun sistema deecuaciones de orden 1.

Ejemplo 2.2.3.

(i) Transforme el sistema {2y′′1 = −6y1 + 2y2,

y′′2 = 2y1 − 2y2 + 40 sen 3x,

en otro sistema equivalente de orden 1;

(ii) Transforme la ecuacion y(3) + 3y′′ + 2y′ − 5y = sen 2x en un sistema equivalente deorden 1.

Corolario 2.2.4 (Peano). Sea D ⊂ IR1+n un conjunto abierto y conexo, (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈D y f(x, y1, y2, . . . , yn) una funcion real y continua definida en D. Entonces existe δ ∈ IRpositivo tal que la ecuacion diferencial

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1))

y(x0) = y10, y′(x0) = y20, . . . , y(n−1)(x0) = yn0,

tiene una solucion y(x) en [x0 − δ, x0 + δ].


Teorema 2.2.5 (Picard). Sea D ⊂ IR1+n un conjunto abierto y conexo y {fi(x, y1, y2, . . . , yn)}ni=1

una familia funciones reales y continuas definidas en D y localmente lipschitzianas (re-specto de (y1, y2, . . . , yn)) en (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈ D. Entonces existe δ > 0 tal que

dy1/dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)

dy2/dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn/dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0,

tiene solucion unica Y (x) = (y1(x), . . . , yn(x)) en [x0 − δ, x0 + δ].

Corolario 2.2.6 (Picard). Sea D ⊂ IR1+n un conjunto abierto y conexo, (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈D y f(x, y1, y2, . . . , yn) una funcion real y continua definida en D y localmente lips-chitziana (respecto de (y1, y2, . . . , yn)) en (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈ D. Entonces existe δ ∈IR positivo tal que

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1))

y(x0) = y10, y′(x0) = y20, . . . , y(n−1)(x0) = yn0,

tiene unica solucion y(x) en [x0 − δ, x0 + δ].

2.3. Dependencia de las condiciones iniciales y deri-

vabilidad respecto a estas

Lema 2.3.1. Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, (a, b) ∈ D y f(x, y) una funcioncontinua y localmente lipscihtziana (respecto de y) en (a, b). Entonces existe α > 0 yun rectangulo T ⊂ D, que contiene al punto (a, b), de forma que si fijamos un punto(x0, y0) ∈ T , el problema{

y′ = f(x, y);

y(x0) = y0,tiene una solucion unica, y(x;x0, y0), para x ∈ [a− α, a+ α].

Lema 2.3.2 (Lema de Gronwall). Sea F (x) una funcion real continua, definida en elintervalo [−δ, δ], δ > 0. Si existen dos constantes no negativas A y B tales que

0 ≤ F (x) ≤ A+B

∫ x

0

F (t)dt, x ∈ [0, δ]

0 ≤ F (x) ≤ A−B∫ x

0

F (t)dt, x ∈ [−δ, 0],

entonces se verifica que F (x) ≤ AeB|x|.

2.3 Dependencia respecto a condiciones iniciales 33

Teorema 2.3.3. En el contexto del lema 2.3.1 y fijados dos puntos de T , (x0, y0) y (x1, y1)se cumple:

|y(x;x0, y0)− y(x;x1, y1)| ≤ (|y1 − y0|+M |x1 − x0|)ek|x−x0|, ∀x ∈ [a− α, a+ α].

Teorema 2.3.4. En el contexto del lema 2.3.1, la solucion y(x;x0, y0) es una funcioncontinua de las variables x, x0, y0 en el ortoedro [a− α, a+ α]× T .

Observacion 2.3.5. Analogo resultado al anterior se obtiene para la solucionY (x;x0, y10, . . . , yn0) del teorema 2.2.5.

Teorema 2.3.6. Sea D ⊂ IR2 un conjunto abierto y conexo, (x0, y0) ∈ D y f(x, y)y g(x, y) funciones continuas. Si g(x, y) es localmente lipscihtziana (respecto de y) en(x0, y0) (con constante k), entonces existe δ > 0 y un rectangulo R ⊂ IR2 de forma que si

|f(x, y)− g(x, y)| ≤ ε, ∀(x, y) ∈ R,entonces

|y(x)− z(x)| ≤ ε

k[ek|x−x0| − 1], para x ∈ [x0 − δ, x0 + δ],

siendo y(x) y z(x) las respectivas soluciones de los problemas{y′ = f(x, y)

y(x0) = y0,

{y′ = g(x, y)

y(x0) = y0.

Teorema 2.3.7. Fijados un conjunto D ⊂ IR2 abierto y convexo y f(x, y, λ) una funcioncontinua en D × [a, b]. Supongamos que para (x0, y0) ∈ D existe un entorno U ⊂ D talque

|f(x, y, λ1)− f(x, y2, λ2)| ≤ k(|y1 − y2|+ |λ1 − λ2|), ∀(x, y1, λ1), (x, y2, λ2) ∈ U × [a, b].

Entonces existe λ > 0 tal que si

y(x, λ1) es solucion de

{y′ = f(x, y, λ1);

y(x0) = y0,e y(x, λ2) es solucion de

{y′ = f(x, y, λ2);

y(x0) = y0,entonces

|y(x, λ1)− y(x, λ2)| ≤ |λ1 − λ2|[eK|x−x0| − 1], ∀(x, λ1), (x, λ2) ∈ [x0 − λ, x0 + λ]× [a, b].

Teorema 2.3.8. Nos situamos en el contexto del lema 2.3.1 aunque cambiamos la condi-cion de Lipschitz por la de que exista ∂f/∂y siendo esta continua. Entonces la soluciony(x;x0, y0), (x, x0, y0) ∈ [a− α, a+ α]× T , admite derivada respecto a y0 de manera que

∂y(x;x0, y0)

∂y0

= e

∫ x

x0

fy[t, y(t;x0, y0)]dt.

Teorema 2.3.9. Nos situamos en el contexto del lema 2.3.1 aunque cambiamos la condi-cion de Lipschitz por la de que exista ∂f/∂y siendo esta continua. Entonces la soluciony(x;x0, y0), (x, x0, y0) ∈ [a− α, a+ α]× T , admite derivada respecto a x0 de manera que

∂y(x;x0, y0)

∂x0

= −f(x0, y0)e

∫ x

x0

fy[t, y(t;x0, y0)]dt.



1. Estudie si la funcion f(x, y) = x/(1 + y2) es localmente lipschitziana respecto a yen cada punto de IR2.

2. En los problemas propuestos estudie si el corolario 2.1.24 garantiza o no la exis-tencia de una solucion del problema correspondiente. Si se garantiza la existencia,determine si el mencionado resultado garantiza o no la unicidad de esa solucion.

a) y′ = x ln y; y(1) = 1. b) y′ = 3√y, y(0) = 0. c) y′ =

√x− y, y(2) = 2.

d) yy′ = x− 1, y(1) = 0.

3. Determine por inspeccion dos soluciones diferentes del problema con condicion inicial

y′ = 3y2/3, y(0) = 0.

¿Por que la existencia de soluciones diferentes no contradice el corolario 2.1.24?

4. Utilice la figura siguiente como una sugerencia para mostrar que el problema concondicion inicial

y′ = 3y2/3, y(−1) = −1

tiene un numero infinito de soluciones. ¿Por que la existencia de soluciones diferentesno contradice el corolario 2.1.24?

5. En el teorema de Picard, al aplicar el metodo de las aproximaciones sucesivas nosparamos en la etapa k-esima. ¿Se puede estimar el error cometido?

6. Aplıquese el metodo de aproximaciones sucesivas para obtener la solucion que pasapor (0, 1) de la ecuacion y′ = x−y. Obtengase la solucion exacta y calculese el errorcometido al detenerse en la etapa k-esima en el punto de abscisa x = 0, 2.


7. Transforme las siguientes ecuaciones o sistemas en sistemas de orden 1.a) y′′ − 3y′ + 7y = x2, b) x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0,

c) y(3) = (y′)2 + cos y d)

x′′ = − kx

(x2 + y2)3/2

y′′ = − ky

(x2 + y2)3/2

e)

x′′ = 3x− y + 2z

y′′ = x+ y − 4z

z′′ = 5x− y − z.


1. Utilizar que |f(x, y1)− f(x, y2)| = |y1 − y2||y1 + y2|

(1 + y21)(1 + y2

2).

2. a) Existencia y unicidad b) Existencia c) Nada d) Nada

3. y = x3 e y = 0. Porque f(x, y) = 3y2/3 no es derivable respecto a y en (0, 0).

4. Porque el corolario 2.1.24 proporciona unicidad de tipo local, es decir en un ciertoentorno de (−1,−1). Fuera de este, no puede asegurarse nada.

5. Aplicando el teorema del punto fijo se llega a los siguiente. Sea z ∈ A, (A, d) metricocompleto y T : (A, d) → (A, d) contractiva (de constante k) tal que T (z) = z. Siconstruimos (xn)n ⊂ A tal que lımn xn = z, se tiene:

d(xn, z) ≤kn

1− kd(x0, x1).

6. Aplicando el metodo de aproximaciones sucesivas partiendo de x0(t) = 1, por in-duccion sobre el numero de etapas se obtiene

xk(t) =k∑j=0

(−t)j

j!+

∫ t

t0

s

(k−1∑j=0

(∫ t

s

(−1)du

)j)ds.

Es claro que la sucesion converge a x(t) = 2e−t + (t − 1), que es la solucion delproblema inicial planteado. Utilizando el metodo general del ejercicio precedentecalcularemos una estimacion de

ek = |x(0, 2)− xk(0, 2)|,

que resulta ser

ek ≤1

4

(1

5

)k.


7.

a)

{y′1 = y2

y′2 = −7y1 − 3y2 + x2b)

{y′1 = y2

x2y′2 = (1− x2)y1 − xy2

c)

y′1 = y2

y′2 = y3

y′3 = y22 + cos y1

d)

x′1 = x2

y′1 = y2

x′2 = −kx1(x21 + y2

1)−3/2

y′2 = −ky1(x21 + y2

1)−3/2

e)

x′1 = x2

y′1 = y2

z′1 = z2

x′2 = 3x1 − y1 + 2z1

y′2 = x1 + y1 − 4z1

z′2 = 5x1 − y1 − z1

Tema 3

Ecuaciones diferenciales lineales

El objetivo principal del tema es estudiar la resolucion de las e.d.o. lineales de cualquierorden. Dada la equivalencia entre una e.d.o. lineal de orden n y un sistema lineal de orden1, empezamos estudiando propiedades de estos ultimos para inferirlas mas tarde a lase.d.o. escalares. En la primera seccion probamos que en un sistema lineal de orden 1 elintervalo donde existe la solucion coincide con el intervalo donde esta definido el sistema,siempre que las funciones coeficientes sean continuas. En la segunda seccion estudiamosmas propiedades de los sistemas para aplicarlas a e.d.o. lineales con coeficientes variables.Es en la ultima seccion donde se estudian dos metodos de resolucion de e.d.o. linealescon coeficientes constantes. Al final de la tercera seccion vemos tambien como desacoplarciertos sistemas lineales en ecuaciones escalares, estudiamos la ecuacion de Euler y vemosalgunos problemas sencillos de valores propios y funciones propias.

Sumario. Prolongacion de las soluciones en las ecuaciones diferenciales. Sistemas deecuaciones lineales. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Ejercicios del tema.Soluciones a los ejercicios del tema.

3.1. Prolongacion de las soluciones en las ecuaciones

diferenciales

Teorema 3.1.1. Sea D ⊂ IR2 un subconjunto abierto y conexo, f una funcion real ycontinua definida en D y localmente lipschitziana (respecto a y) en (x0, y0) ∈ D. Entonces:

(i) Existe un intervalo (a, b) ⊂ IR que contiene a x0 y una solucion ϕ de{y′ = f(x, y)

y(x0) = y0,

definida en (a, b), tal que si ψ es otra solucion que esta definida en (c, d) entonces (c, d) ⊂(a, b) y ψ ≡ ϕ|(c,d).

37

38 Ecuaciones diferenciales lineales

(ii) Si D es ademas acotado, fijamos el intervalo (a, b) del apartado (i) y definimos lafuncion

d(x) = ınf{√

(x− f1)2 + (y(x)− f2)2; (f1, f2) ∈ ∂D}, ∀x ∈ (a, b).

Entonces se cumplelımx→a+

d(x) = lımx→b−

d(x) = 0.

Teorema 3.1.2. Sea D ⊂ IR1+n un conjunto abierto y conexo, y {fi(x, y1, y2, . . . , yn)}ni=1

una familia de funciones reales y continuas definidas en D y localmente lipschitzianas(respecto de (y1, y2, . . . , yn)) en (x0, y10, y2,0, . . . , yn0) ∈ D. Entonces:

(i) Existe un intervalo (a, b) ⊂ IR que contiene a x0y una solucion ϕ dedy1/dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)

dy2/dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn/dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0;

definida en (a, b), tal que si ψ es otra solucion que esta definida en (c, d) entonces (c, d) ⊂(a, b) y ψ ≡ ϕ|(c,d).

(ii) Si D es ademas acotado, fijamos el intervalo (a, b) del apartado (i) y definimos lafuncion

d(x) = ınf{√

(x− f0)2 + (y1(x)− f1)2 + · · ·+ (yn(x)− fn)2; (f0, f1, . . . , fn) ∈ ∂D}, ∀x ∈ (a, b).

Entonces se cumplelımx→a+

d(x) = lımx→b−

d(x) = 0.

Definicion 3.1.3. Se dice que una funcion f(x, y1, . . . , yn) definida en D ⊂ IR1+n eslipschitziana respecto a (y1, . . . , yn) si existe k ∈ IR positivo tal que

|f(x, y1, . . . , yn)− f(x, z1, . . . , zn)| ≤ kn∑i=1

|yi − zi|, ∀(x, y1, . . . , yn), (x, z1, . . . , zn) ∈ D.

Teorema 3.1.4. Sea D = (a, b)× IRn ⊂ IR1+n, y {fi(x, y1, y2, . . . , yn)}ni=1 una familia defunciones reales y continuas definidas en D cumpliendo que si [a1, b1] ⊂ (a, b) entoncescada funcion fi es lipschitziana (respecto de (y1, y2, . . . , yn)) en [a1, b1] × IRn. Entoncesfijado (x0, y10, . . . , yn0) ∈ D existe una unica solucion de

dy1/dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)

dy2/dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn/dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0;

definida en (a, b).

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 39

Ejemplo 3.1.5. Hallar el maximo intervalo donde existe la solucion de{(y − x)dx+ (x− 1)dy = 0

y(2) = 2,

Ejemplo 3.1.6. Hallar el maximo intervalo donde existe la solucion de{y′ = x2y3

y(1) = 1,

Teorema 3.1.7. Sea {aij(x); i, j ∈ {1, . . . , n}} ∪ {bk(x); k ∈ {1, . . . , n}} una familia defunciones continuas en (a, b) (resp. [a, b]), x0 ∈ (a, b) (resp. x0 ∈ [a, b]) e (y10, . . . , yn0) ∈IRn. Entonces existe una unica solucion de

dy1/dx = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + b1(x)

dy2/dx = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · ·+ a2n(x)yn + b2(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn/dx = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn + bn(x)

y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0;

definida en (a, b) (resp. [a, b]).

3.2. Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema 3.2.1. Sea {aij(x) : i, j ∈ {1, . . . , n}} una familia de funciones continuas en(a, b), x0 ∈ (a, b) y fijemos el sistema:

y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn.

(3.1)

(i) Si Y (x) = (y1(x), . . . , yn(x)) es solucion de (3.1) e Y (x0) = 0, entonces Y (x) ≡ 0;

(ii) Toda combinacion lineal de soluciones de (3.1) sigue siendo solucion;

(iii) Una familia {Y1(x), . . . , Yp(x)} de soluciones de (3.1) es linealmente independiente si,y solo si, lo es la familia de vectores {Y1(x0), . . . , Yp(x0)} ⊂ Rn.

Definicion 3.2.2. Se dice que una familia de campos vectoriales {Y1(x), . . . , Yn(x)} es:

(i) un sistema de soluciones de (3.1) si es una familia de soluciones de (3.1);

(ii) un sistema fundamental de soluciones de (3.1) si es una familia linealmente indepen-diente de soluciones de (3.1).

Teorema 3.2.3.


(i) Cualquier sistema lineal homogeneo (3.1) tiene un sistema fundamental de soluciones;

(ii) Cualquier solucion de (3.1) puede expresarse como combinacion lineal de los elementosde cualquier sistema fundamental de soluciones.

Definicion 3.2.4. Se llama wronskiano de un sistema de soluciones {Y1(x), . . . , Yn(x)}de (3.1) al determinante

w(x) =

∣∣∣∣∣∣y11(x) . . . y1n(x)· · · · · · · · ·

yn1(x) . . . ynn(x)

∣∣∣∣∣∣ , siendo Yi(x) = (yi1(x), · · · , yin(x)), 1 ≤ i ≤ n.

Proposicion 3.2.5. Un sistema de soluciones {Y1(x), . . . , Yn(x)} de (3.1) es:

(i) linealmente independiente si, y solo si, w(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b);

(ii) linealmente dependiente si, y solo si, w(x) ≡ 0 si, y solo si, ∃ x0 ∈ (a, b) verificandow(x0) = 0.

Proposicion 3.2.6 (Formula de Liouville). Fijados un sistema fundamental de solu-ciones {Y1(x), . . . , Yn(x)} de (3.1), x0 ∈ (a, b), y la funcion definida en (a, b) por T (x) =∑n

j=1 ajj(x), se cumple:

w(x) = w(x0)e∫ xx0T (t)dt

, ∀x ∈ (a, b).

Teorema 3.2.7. Fijamos el sistema (3.1), k soluciones de este linealmente independientes(k < n) y x0 ∈ (a, b). Entonces existe η > 0 tal que (3.1) se reduce, en el intervalo(x0 − η, x0 + η), a un sistema lineal y homogeneo de orden n− k.

Ejemplo 3.2.8. Encontrar un sistema fundamental de soluciones de{y′1 = − 1

xy1 + 2

x2y2,

y′2 = −y1 + 3xy2,

sabiendo que Y = (2, x) es solucion del mismo.

Ejemplo 3.2.9. Encontrar un sistema fundamental de soluciones de{(3 + x2)y′1 = 4xy1 + (1− x2)y2,

(3 + x2)y′2 = 6y1 − 2xy2,

sabiendo que Y = (x, 3) es solucion del mismo.

Ejemplo 3.2.10. Encontrar un sistema fundamental de soluciones de{(3x− 2)y′1 = (2− x)y1 + y2,

(3x− 2)y′2 = (−x2 + 4x)y1 + (x+ 1)y2,

sabiendo que Y = (−1, 2− x) es solucion del mismo.


Teorema 3.2.11. Sea {aij(x); i, j ∈ {1, . . . , n}} ∪ {bk(x); k ∈ {1, . . . , n}} una familia defunciones continuas en (a, b). La solucion general del sistema no homogeneo

y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + b1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn + bn(x);

(3.2)

se obtiene sumando a la solucion general del sistema homogeneo asociadoy′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn;

(3.3)

una solucion particular de (3.2).

Teorema 3.2.12 (Metodo de variacion de parametros). Sea {Y1(x), . . . , Yn(x)} un sis-tema fundamental de soluciones de (3.3). Si las funciones {αi(x)}ni=1 cumplen

α′1(x)y11(x) + α′2(x)y21(x) + · · ·+ α′n(x)yn1(x) = b1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

α′1(x)y1n(x) + α′2(x)y2n(x) + · · ·+ α′n(x)ynn(x) = bn(x);

(3.4)

siendoYi(x) = (yi1(x), · · · , yin(x)), 1 ≤ i ≤ n,

entoncesY (x) = α1(x)Y1(x) + · · ·+ αn(x)Yn(x)

es solucion de (3.2).

Ejemplo 3.2.13. Calcular una solucion particular del sistema{y′1 = y2;

y′2 = −y1 + x;

sabiendo que Y1 = (cosx,− senx) e Y2 = (senx, cosx) forman un sistema fundamentalde soluciones del sistema homogeneo asociado.

Ejemplo 3.2.14. Calcular una solucion particular del sistema{y′1 = −4y1 + 2y2 + x−1;

y′2 = 2y1 − y2 + 4 + 2x−1;

sabiendo que Y1 = (1, 2) e Y2 = (−2e−5x, e−5x) forman un sistema fundamental de solu-ciones del sistema homogeneo asociado.


A partir de ahora utilizaremos notacion matricial para los sistemas. Utilizando estapodemos expresar el sistema (3.2) de la siguiente forma:

y′1y′2...y′n

=

a11(x) a12(x) · · · a1n(x)a21(x) a22(x) · · · a2n(x)· · · · · · · · · · · ·

an1(x) an2(x) · · · ann(x)

y1

y2...yn

+

b1

b2...bn

,o equivalentemente

dY

dx= AY +B,

identificando cada matriz con la correspondiente de la linea anterior, y recordando que laderivada de una matriz es la matriz que se obtiene al derivar cada uno de sus elementos.

Ejemplo 3.2.15. Encontrar un sistema lineal de ecuaciones diferenciales tal que

Y1 = (x, x2), Y2 = (cosx, senx),

forme un sistema fundamental de soluciones en el intervalo (0, π/2).

Proposicion 3.2.16. La ecuacion diferencial de orden n

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = b(x), (3.5)

es equivalente al sistemay′1y′2...

y′n−1

y′n

=

0 1 0 0 · · · 00 0 1 0 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 · · · 1

−an(x) −an−1(x) −an−2(x) −an−3(x) · · · −a1(x)

y1

y2...

yn−1

yn

+

00...0b(x)

,(3.6)

en el sentido de que si y(x) es solucion de (3.5), entonces (y(x), y′(x), · · · , y(n−1)(x)), essolucion de (3.6). Y tambien al reves, si (z1(x), · · · , zn(x)) es solucion de (3.6), entonces

z(i)1 (x) = zi+1(x), 1 ≤ i ≤ n− 1,

y z1(x) es solucion de (3.5).

Corolario 3.2.17. Si {ai(x); 1 ≤ i ≤ n} ∪ {b(x)} es una familia de funciones continuasen (a, b) ⊂ IR, entonces cada solucion de (3.5) esta definida en todo el intervalo (a, b).Ademas, cualquier problema de condicion inicial con la ecuacion (3.5) en (a, b), tiene unaunica solucion que esta definida en todo el intervalo (a, b).

Definicion 3.2.18. Se llama ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n a unaecuacion de la forma

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = 0. (3.7)

Ademas, se llama:


(i) sistema de soluciones de (3.7) a cualquier familia formada por n soluciones distintasde (3.7);

(ii) sistema fundamental de soluciones de (3.7) a cualquier familia formada por n solu-ciones linealmente independientes de (3.7).

Teorema 3.2.19. Sea {ai(x); 1 ≤ i ≤ n} una familia de funciones continuas en (a, b) ⊂IR, se cumple:

(i) Cualquier combinacion lineal de soluciones de (3.7) sigue siendo solucion de (3.7);

(ii) La ecuacion (3.7) tiene un sistema fundamental de soluciones;

(iii) Cualquier solucion de (3.7) puede expresarse como combinacion lineal de cualquiersistema fundamental de soluciones.

Definicion 3.2.20. Se llama wronskiano de un sistema de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}de (3.7) al determinante

w(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) . . . yn(x)y′1(x) . . . y′n(x)· · · · · · · · ·

y(n−1)1 (x) . . . y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣ .Proposicion 3.2.21. El wronskiano de un sistema de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)} de(3.7) coincide con el wronskiano del sistema de soluciones {Yi(x)}ni=1 de (3.6) dado por

Yi(x) = (yi(x), y′i(x), · · · , y(n−1)i (x)), i ∈ {1, · · · , n}.

Proposicion 3.2.22. Un sistema de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)} de (3.7) es

(i) linealmente independiente en un intervalo (a, b) (del dominio de la ecuacion) si, y solosi, el wronskiano no se anula en (a, b);

(ii) linealmente dependiente en un intervalo (a, b) (del dominio de la ecuacion) si, y solosi, el wronskiano se anula en (a, b).

Proposicion 3.2.23. Fijados un sistema fundamental de soluciones {y1(x), . . . , yn(x)}de (3.7) y x0 ∈ (a, b) se cumple:

w(x) = w(x0)e−

∫ xx0a1(t)dt

, ∀x ∈ (a, b).

Teorema 3.2.24. Sea {ai(x); 1 ≤ i ≤ n} ∪ {b(x)} una familia de funciones continuas en(a, b) ⊂ IR, {zi(x)} un sistema fundamental de soluciones de

y(n)(x) + a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) = 0, x ∈ (a, b),

y v(x) una solucion de

y(n)(x) + a1(x)y(n−1)(x) + · · ·+ an(x)y(x) = b(x), x ∈ (a, b). (3.8)


Entonces toda solucion de (3.8) puede expresarse de la forma

n∑i=1

λizi(x) + v(x),

eligiendo convenientemente las constantes reales {λi}ni=1.

3.3. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Definicion 3.3.1. Sea {fi; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {gj; 1 ≤ j ≤ n} una familia formada porfunciones reales definidas en (a, b) ⊂ IR, derivables con derivada continua. Se dice que elcampo vectorial de variable real sobre Cn

(f1 + ig1, · · · , fn + ign)

es solucion compleja dey′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + b1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


si f ′1 + ig′1 = a11(x)(f1 + ig1) + a12(x)(f2 + ig2) + · · ·+ a1n(x)(fn + ign) + b1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ′n + ig′n = an1(x)(f1 + ig1) + an2(x)(f2 + ig2) + · · ·+ ann(x)(fn + ign) + bn(x).

Teorema 3.3.2. Sea {aij(x); i, j ∈ {1, . . . , n}} ∪ {bk(x); k ∈ {1, . . . , n}} una familia defunciones continuas en (a, b) ⊂ IR, x0 ∈ (a, b) e {y10, · · · , yn0} ⊂ C. Entonces existe unaunica solucion compleja

(y1(x), · · · , yn(x)) : (a, b) ⊂ IR→ Cn,

de y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + b1(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


y1(x0) = y10, · · · , yn(x0) = yn0.

Definicion 3.3.3. Fijado {bi; 0 ≤ i ≤ m} ⊂ C, mediante la expresion

M(D) = b0Dm + b1D

m−1 + · · ·+ bm−1D + bm,

3.3 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 45

estamos representando un operador

M(D) : {z : IR→ C; m veces derivable} −→ {z : IR→ C},

definido por la formula

M(D)z = b0z(m) + b1z

(m−1) + · · ·+ bm−1z′ + bmz.

Ademas:

(i) si λ ∈ C, por M(λ) representamos el numero complejo

b0λm + b1λ

m−1 + · · ·+ bm−1λ+ bm;

(ii) por M(λ) = 0 representamos la ecuacion algebraica

b0λm + b1λ

m−1 + · · ·+ bm−1λ+ bm = 0,

de grado m con coeficientes complejos en la incognita compleja λ.

Teorema 3.3.4. Para cualquier λ ∈ C se cumple M(D)eλx = M(λ)eλx.

Con esta notacion, fijado {ai; 1 ≤ i ≤ n} ⊂ IR, expresaremos la ecuacion diferenciallineal homogenea con coeficientes constantes

y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y

′ + any = 0,

en la forma L(D)y = 0, siendo

L(D) = Dn + a1Dn−1 + · · ·+ an−1D + an.

En este contexto, por L(λ) = 0 representamos la ecuacion algebraica

λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0,

de grado n con coeficientes reales en la incognita compleja λ.

Definicion 3.3.5. Llamamos ecuacion caracterıstica de la ecuacion diferencial lineal ho-mogenea de coeficientes constantes L(D)y = 0, a la ecuacion algebraica L(λ) = 0.

Teorema 3.3.6. Sea L(D)y = 0 una e.d.o. lineal homogenea de coeficientes constantesreales de orden n, y λ1, · · · , λn las raıces (todas simples) de la ecuacion caracterısticaL(λ) = 0. Entonces cualquier solucion compleja de L(D)y = 0 se expresa de la forma

y(x) = c1eλ1x + · · ·+ cne

λnx, para {ci}i=1 ⊂ C.

Ejemplo 3.3.7. Obtenga las soluciones complejas de:(a) y′′ + 4y′ + 2y = 0, (b) y′′ + 6y′ + y = 0, (c) y′′′ + 3y′′ − 3y′ − y = 0,(d) y′′ − 12y′ + 35y = 0, y(0) = 0, y′(0) = −2, (e) y′′ − 2y′ + 4y = 0.


Teorema 3.3.8. Sea L(D)y = 0 una e.d.o. lineal homogenea de coeficientes constantesreales de orden n, y λ1, · · · , λn las raıces (todas simples) de la ecuacion caracterısticaL(λ) = 0. Supongamos ademas que

λj = αj + iβj ∈ C, para 1 ≤ j ≤ p,

λj = rj ∈ IR, para 2p+ 1 ≤ j ≤ n.

Si y(x) es una solucion real de L(D)y = 0, entonces se puede expresar

y(x) =

p∑j=1

eαjx[Dj cos βjx+ Ej sen βjx] +n∑

j=2p+1

Cjerjx,

para ciertos Cj, Di, Ei ∈ IR.

Ejemplo 3.3.9. Obtenga las soluciones reales de:(a) y′′ + 2y′ + 6y = 0, (b) y′′ − 4y′ + 20y = 0, (c) y′′′ − 5y′′ + 8y′ − 6y = 0,(d) y′′ + 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 3, (e) y′′ − 2y′ + 10y = 0.

Teorema 3.3.10. Fijados λ ∈ C y el polinomio complejo

M(r) = b0rm + b1r

m−1 + · · ·+ bm−1r + bm,

se cumple:

(i) si f(x) es una funcion real de variable real y derivable hasta de orden m, se tiene:

M(D)(eλxf(x)) = eλxM(D + λ)f(x);

(ii) dado q entero no negativo y si M(r) no es identicamente nulo, entonces:

M(D)(xqeλx) ≡ 0 si, y solo si, λ es raız de M(r) = 0

de multiplicidad mayor que q;

(iii) dado q < m entero no negativo, si M(r) no es identicamente nulo y si las funcionesM(D)(xieλx) se anulan en x = 0 para 0 ≤ i ≤ q, entonces

M(D)(xqeλx) ≡ 0.

Teorema 3.3.11. Sea L(D)y = 0 una e.d.o. lineal homogenea de coeficientes constantesreales de orden n, {ri}qi=1 las raıces (todas distintas) de la ecuacion caracterıstica L(λ) =0, y denotemos por ni a la multiplicidad de cada raız ri, 1 ≤ i ≤ q. Entonces si z essolucion de L(D)y = 0, podemos expresar

z(x) =

q∑i=1

pi(x)erix, (3.9)

donde pi(x) es un polinomio de grado menor que ni, 1 ≤ i ≤ q.Ahora bien, si z es solucion real se cumple:


(i) si rj ∈ IR, entonces pj(x) es un polinomio real de grado menor que nj, 1 ≤ j ≤ q;

(ii) si rj = α+ iβ ∈ C \ IR, entonces podemos hacer la siguiente sustitucion en la formula(3.9):

pj(x)erjx + pk(x)erjx = eαx[A(x) cos(βx) +B(x) sen(βx)],

donde A(x) y B(x) son polinomios reales de grado menor que nj, 1 ≤ j ≤ q.

Ejemplo 3.3.12. Resolver:(a) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0, (b) y(iv) − 18y′′ + 81y = 0, (c) y(v) + 6y(iv) = 0,(d) y(v) − 4y(iv) + 6y′′′ − 4y′′ + y′ = 0, (e) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 4;(f) y(iv) + 2y′′′ + 9y′′ + 8y′ + 16y = 0.

Teorema 3.3.13 (Metodo de variacion de las constantes, caso escalar). Sea f(x) unafuncion real y continua en (a, b) ⊂ IR, L(D)y = f(x) una e.d.o. lineal no homogeneade coeficientes constantes reales de orden n definida en (a, b). Si {ui}ni=1 es un sistemafundamental de soluciones de L(D)y = 0, entonces

y(x) = α1(x)u1(x) + · · ·+ αn(x)un(x)

es solucion de L(D)y = f(x) siempre que

α′1(x)u1(x) + α′2(x)u2(x) + · · ·+ α′n(x)un(x) = 0;

α′1(x)u′1(x) + α′2(x)u′2(x) + · · ·+ α′n(x)u′n(x) = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

α′1(x)u(n−2)1 (x) + α′2(x)u

(n−2)2 (x) + · · ·+ α′n(x)u

(n−2)n (x) = 0;

α′1(x)u(n−1)1 (x) + α′2(x)u

(n−1)2 (x) + · · ·+ α′n(x)u

(n−1)n (x) = f(x).

Por lo tanto la solucion general de L(D)y = f(x) viene dada por la expresion:

y(x) = α1(x)u1(x) + · · ·+ αn(x)un(x) + c1u1(x) + · · ·+ cnun(x),

ci ∈ IR, 1 ≤ i ≤ n.

Observacion 3.3.14. El metodo de variacion de las constantes puede aplicarse inclusoen el caso en que los coeficientes de la ecuacion diferencial

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = f(x),

son funciones reales y continuas en (a, b).

Teorema 3.3.15 (Metodo de coeficientes indeterminados). Sea f(x) una funcion real ycontinua en (a, b) ⊂ IR, L(D)y = f(x) una e.d.o. lineal no homogenea de coeficientesconstantes reales de orden n definida en (a, b). Para obtener una solucion (particular),yp, de la e.d.o. distinguimos los siguientes casos:


(i) Si f(x) = p(x)erx, donde p(x) es un polinomio real de grado k, r ∈ IR. Entonces:

yp = xmqk(x)erx,

donde m es la multiplicidad de r como raız de L(λ) = 0 y qk(x) es un polinomio de gradok, cuyos k + 1 coeficientes se hallaran identificando

L(D)yp = p(x)erx.

(ii) Si f(x) = eαx[A(x) cos βx + B(x) sen βx], donde A(x) y B(x) son dos polinomios degrado menor o igual que k y α+ iβ es solucion de L(λ) = 0 de multiplicidad m. Entonces

yp = xmeαx[C(x) cos βx+D(x) sen βx],

donde C(x) y D(x) son polinomios de grado menor o igual a k. Los coeficientes se hallarande nuevo sustituyendo en la e.d.o. inicial;

(iii) Si f(x) es combinacion lineal de funciones de las dos formas descritas, trabajare-mos cada sumando a parte para hallar las correspondientes soluciones particulares, y setomara como solucion particular de la e.d.o. inicial la combinacion lineal de las corres-pondientes soluciones particulares.

Finalmente, si {ui}ni=1 es un sistema fundamental de soluciones de L(D)y = 0, en-tonces la solucion general de L(D)y = p(x)erx viene dada por

y(x) = yp(x) + c1u1(x) + · · ·+ cnun(x),

ci ∈ IR, 1 ≤ i ≤ n.

Ejemplo 3.3.16. Resolver:(a) y′′ − 7y′ + 10y = 2x2, (b) y′′ − 2y′ + y = xe2x,(c) y′′ + 2y′ + y = e−x, (d) y′′ − 3y′ + 2y = cos 3x.

Ejemplo 3.3.17. Dada la ecuacion diferencial

y′′ − 2αy′ + α2y = xex, siendo α ∈ IR.

a) Resuelva la ecuacion homogenea;

b) Utilizando el metodo de coeficientes indeterminados, obtenga la forma de una solucionparticular de la ecuacion completa en funcion del parametro α;

c) Resuelva completamente la ecuacion diferencial mediante el metodo de variacion de lasconstantes en el caso α = 1.

Ejemplo 3.3.18. Resuelva en funcion de los valores del parametro α ≥ 0, la ecuaciondiferencial y′′ + α2y = cos(x

√α).

La ecuacion diferencial y′′ + ω20y = cos(ω0x), ω0 > 0, del ejercicio 3 es muy parecida

a la resuelta en el ejemplo anterior, y proporciona la evolucion temporal de un osciladorarmonico forzado.


En este caso, la fuerza externa que actua sobre el oscilador se corresponde con el terminocos (ω0x). Al coincidir la frecuencia de la fuerza, ω0, con la frecuencia propia del osciladorse produce un fenomeno de resonancia. En esta situacion (ideal) la desviacion del osciladorrespecto a su posicion de equilibrio, y, crece indefinidamente al crecer x.

Teorema 3.3.19. Fijado el sistema de ecuaciones diferencialesL11(D)y1 + L12(D)y2 + · · ·+ L1n(D)yn = f1(x);

L21(D)y1 + L22(D)y2 + · · ·+ L2n(D)yn = f2(x);

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ln1(D)y1 + Ln2(D)y2 + · · ·+ Lnn(D)yn = fn(x);

donde {Lij(D)}1≤i,j≤n es una familia de polinomios en el operador D de coeficientes cons-tantes reales, de forma que el determinante operacional ∆(D) no es identicamente nuloy {fj(x)}nj=1 es una familia de funciones con derivadas continuas en (a, b). Entonces(y1, . . . , yn) es solucion del sistema fijado si, y solo si,

∆(D)yi =n∑j=1

Mji(D)fj(x), ∀ i ∈ {1, . . . , n},

donde por Mij(D) se representa el determinante adjunto de Lij(D) en ∆(D), 1 ≤ i, j ≤ n.

Ejemplo 3.3.20. Resolver d2y1

dx2+

dy2

dx= x,

dy1

dx+ 4

d2y2

dx2= 0.

Definicion 3.3.21 (Ecuacion de Euler). Se llama ecuacion de Euler de orden n a la quepuede expresarse en la forma

xny(n) + a1xn−1y(n−1) + · · ·+ any = f(x), (3.10)

siendo {ai}ni=1 ⊂ IR y f(x) una funcion real continua en un intervalo (a, b) ⊂ IR.

Teorema 3.3.22. Sea {ai}ni=1 ∪ {a, b} ⊂ IR y f(x) una funcion real continua en unintervalo (a, b) ⊂ IR que no contiene a 0.


(i) La ecuacion diferencial

(ax+ b)ny(n) + a1(ax+ b)n−1y(n−1) + · · ·+ any = f(x),

se transforma en una ecuacion de Euler mediante el cambio de variable independientet = ax+ b.

(ii) Si 0 < a (resp. si b < 0), el cambio de variable independiente x = et (resp. x = −et)transforma la ecuacion de Euler (3.10) en una lineal de coeficientes constantes.

Ejemplo 3.3.23. Resolver x2y′′ − 3xy′ − 5y = 0.

Definicion 3.3.24 (Problema de valores propios (version reducida)). Se llama problemade valores propios, al problema de determinar para que valores de λ el problema con valoresen la frontera {

y′′ + λy = 0, a < x < b,

a1y(a) + a2y′(a) = 0, b1y(b) + b2y

′(b) = 0,

tiene soluciones no triviales. A estas soluciones se les llama funciones propias y al valorcorrespondiente de λ valor propio.

Ejemplo 3.3.25. El problema de valores propios{y′′ + λy = 0, 0 < x < π,

y(0) = 0, y(π) = 0,

tiene por autovalores λn = n2 y yn = sen(nx), para n = 1, 2, ..

Ejemplo 3.3.26 (El pandeo de una viga). Consideramos una viga uniforme de longitudL, que se ha deformado como consecuencia de una fuerza axial de compresion P aplicadaen un extremo. Denotaremos por y = y(x) la curva de deflexion resultante en la viga,definida en [0, L].

El modelo matematico de la situacion viene dado por

y′′ +P

EIy = 0, y(0) = y(L) = 0,

donde los parametros E e I dependen de la forma de la viga y del material de esta. Losvalores propios del problema dan lugar a fuerzas crıticas de pandeo de la viga.


Indicaciones del ejemplo 3.3.26En este problema se trata de calcular los valores de P (presion) para que el problema decontorno tenga solucion no trivial. Siguiendo las pautas del ejemplo anterior se llega aque el problema tiene como autovalores

PnEI

=n2π2

L2, n = 1, 2, 3, . . .

y como autofunciones

yn = sen(nπx

L), n = 1, 2, ...

Por lo tanto las fuerzas crıticas de combamiento (pandeamiento) de la barra son

Pn =n2π2EI

L2, n = 1, 2, 3, ...

La carga crıtica mas pequena

P1 =π2EI

L2,

se denomina la fuerza combadora de Euler para la varilla; es la cota superior para aquellasfuerzas de compresion a las que la barra puede someterse sin que se combe. Si se consigue(mediante alguna restriccion fısica o guıa en L/2) que la barra no combe, la siguientefuerza necesaria serıa P2 ya ası sucesivamente....La forma de la varilla al combar vienedada por la grafica de su autofuncion.

yn = sen(nπx

L)



1. Resolver(a) y′′ − 5y′ + 4y = 0; (b) y′′ − 6y′ + 5y = 0; (c) y′′ − 5y′ + 6y = 0;(d) y′′ − 7y′ + 10y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3;(e) y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 3; (f) y′′′ + 6y′′ − 7y′ = 0;(g) y′′′ − 4y′′ + 2y′ + y = 0; (h)y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0(i)y′′′ + 3y′′ − 4y′ − 12y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 3, y′′(0) = −1;(j)y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10, y′′(0) = 18;(k)y′′ − 2y′ + 2y = 0; (l)y′′ − 4y′ + 13y = 0;(m) y′′ + y = 0, y(π) = 1, y′(π) = 2;(n) y′′ + 4y = 0, y(π/2) = 1, y′(π/2) = 3;(n) y(iv) − y = 0;

2. Resolver(a) y′′′ − 2y′′ + y′ = 0; (b) y(iv) − 4y′′′ + 4y′′ = 0;(c) y(vi) − 3y(v) + 2yiv) = 0;(d) y′′′ − 3y′ + 2y = 0; (e) y(v) − 8y(iv) + 16y′′′ = 0;(f) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 5;(g) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 2;(h) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0;(i) y′′ − 10y′ + 25y = 0 y(0) = 3,y′(0) = −2(j) y′′′ + 2y′′ + y′ = 0 y(0) = 0,y′(0) = 3,y′′(0) = −5(k) y(iv) + 2y′′ + y = 0; (l) y(iv) − 4y′′′ + 8y′′ − 8y′ + 4y = 0;(m) y(iv) − 18y′′′ + 26y′′ − 40y′ + 25y = 0 (n)y(v) + 8y′′′ + 16y′ = 0;(n) y′′ − y = xex; (o) y′′ − 4y = cosx+ x senx;(p) y′′ + y = tanx; (q) y′′ − 2y′ + y = x−1ex;

3. Resuelva en funcion de los valores del parametro real correspondiente, las ecuacionesdiferencialesa)y′′ + α2y = cos(x

√α), α ≥ 0; b)y′′ − 4y′ + 4y = eαx, α ∈ IR;

c)y′′ − αy = eαx, α ≥ 0; d)y′′ + ω20y = cos(ω0x), ω0 > 0.

4. Resolver dy1

dx+

dy2

dx− y2 = 0,

2dy1

dx+

dy2

dx+ 2y2 = 0.

5. Resolver(a)x3y′′′ − 2x2y′′ = 0; (b)x3y′′′ + 2x2y′′ − 6xy′ = 0; (c)x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0.

6. Resolver dy1

dx= y1 + 2y2,

dy2

dx= 3y1 + 2y2.


7. Resolver el problema de valores propios{y′′ + λy = 0, 0 < x < π,

y(0) = 0, y′(π) = 0,

8. Resolver el problema de valores propios{y′′ + λy = 0, −π < x < π,

y(−π) = y(π), y′(−π) = y′(π),


1.(a) y = Aex +Be4x; (b) y = Aex +Be5x;(c) y = Ae2x +Be3x; (d) y = −e2x + e5x;(e) y = e−x + 2e2x; (f) y = A+Bex + Ce−7x;

(g) y = Aex +Be3−√13

2x + Ce

3+√13

2x; (h)y = Ae−x +Bex + Ce2x;

(i) y = −e−3x + e−2x + e2x; (j)y = 2ex + 4e2x;(k) y = ex[A cosx+B senx]; (l) y = e2x[A cos 3x+B sen 3x];(m) y = − cosx− 2 senx; (n) y = − cos 2x− 3/2 sen 2x;(n) y = Ae−x +Bex + C cosx+D senx

2.(a)y = A+ (Bx+ C)ex; (b) y = Ax+B + (Cx+D)e2x;(c) y = Ax3 +Bx2 + Cx+D + Eex + Fe2x; (d) y = Ae−2x + (Bx+ C)ex;(e) y = Ax2 +Bx+ C + (Dx+ E)e4x; (f) y = (2x+ 1)e3x;(g) y = x2e−x; (h) y = (−4x+ 2)e2x;(i) y = (−17x+ 3)e5x; (j)y = 1 + (2x− 1)e−x

(k) y = (Ax+B) cosx+ (Cx+D) senx;(l)y = ex[(Ax+B) cosx+ (Cx+D) senx];(m) y = e2x[(Ax+B) cosx+ (Cx+D) senx];(n) y = A+ (Bx+ C) cos 2x+ (Dx+ E) sen 2x;(n)y = Ae−x +Bex + x(1/4x− 1/4)ex;(o) y = Ae−2x +Be2x − 7/25 cosx− 1/5x senx;(p) y = A cosx+B senx− cosx log(secx+ tanx);(q) y = Aex + (C + log x)xex.

3.(a) y′′ + α2y = cos(x

√α), α ≥ 0

Ecuacion homogenea.- La ecuacion diferencial es una ecuacion diferencial lineal delsegundo orden con coeficientes constantes. Para resolver su ecuacion homogenea

y′′ + α2y = 0,


obtengamos las raıces de la ecuacion caracterıstica asociada

λ2 + α2 = 0⇒ λ = ±αi.

Ası tenemos una raız λ = ±αi compleja y su conjugada para α 6= 0, y la raız realλ = 0 doble para α = 0. Por lo tanto, la solucion de la ecuacion homogenea vienedada por

yh(x) = c1 + c2x con c1, c2 ∈ R para α = 0,

eyh(x) = c1 cos(αx) + c2 sen(αx) con c1, c2 ∈ R para α 6= 0.

Ecuacion completa (variacion de las contantes).-

Para obtener una solucion (particular) utilizaremos el metodo de variacion de lasconstantes. Teniendo en cuenta el apartado anterior, en el caso α = 0 consideraremosuna solucion de la forma

yp(x) = u(x) + v(x)x.

Donde las derivadas de u(x) y v(x) verifican(1 x0 1

)(u′(x)v′(x)

)=

(01

),

despejando

u′(x) =

det

(0 x1 1

)W (1, x)

= −x,

v′(x) =

det

(1 00 1

)W (1, x)

= 1.

De estas expresiones se obtiene la solucion particular

yp = −1

2x2 + x · x =

1

2x2,

de donde la solucion de la ecuacion para el caso que nos ocupa es

y = c1 + c2x+1

2x2, siendo c1, c2 ∈ IR.

En el caso α 6= 0, la solucion particular sera de la forma

yp(x) = u(x) cos(αx) + v(x) sen(αx).


Donde las derivadas de u(x) y v(x) verifican(cosαx senαx−α senαx α cosαx

)(u′(x)v′(x)

)=

(0

cos(x√α)

),

despejando

u′(x) = ... = − 1

αsen(αx) cos(

√αx)

v′(x) = ... =1

αcos(αx) cos(x

√α) .

Integrando estas expresiones llegamos a

u(x) =1

2α

{1

α +√α

cos[(α +√α)x]

+1

α−√α

cos[(α−√α)x]}

,

v(x) =1

2α

{1

α +√α

sen[(α +√α)x]

+1

α−√α

sen[(α−√α)x]}

.

Para llegar a u(x) hemos utilizado (en la integral correspondiente) la identidad

2 sen a cos b = sen(a+ b) + sen(a− b),

y para llegar a v(x) la identidad

2 cos a cos b = cos(a+ b) + cos(a− b).

Con estas expresiones se llega a la solucion general de la ecuacion completa en laforma habitual

y = yh + yp.

Las expresiones obtenidas para u y v carecen de sentido en el caso α +√α = 0 o

para el caso α −√α = 0. Estas ecuaciones tienen por solucion α = 0 (excluido en

este apartado) y α = 1. Este ultimo caso hay que estudiarlo aparte. En este caso(α = 1) obtenemos

u′(x) = − senx cosx⇒ u(x) =1

4cos(2x),

v′(x) = cos2 x⇒ v(x) =x

2+

1

4sen(2x).

Por lo que para α = 1 la solucion general queda de la forma

y(x) = c1 cosx+ c2 senx+1

4cos(2x) cosx+

1

4sen 2x+ senx+

x

2senx =

= c1 cosx+ c2 senx+x

2senx,


con c1, c2 ∈ IR.

Ecuacion completa (coeficientes indeterminados).-

Puesto que f(x) = cos(x√α) (polinomio de grado cero por un coseno) sı que pode-

mos utilizar el metodo de los coeficientes indeterminados para encontrar una solucionparticular. Recordemos las soluciones de la ecuacion diferencial homogenea

yh(x) = c1 + c2x con c1, c2 ∈ R para α = 0,

eyh(x) = c1 cos(αx) + c2 sen(αx) con c1, c2 ∈ R para α 6= 0.

En el caso α = 0 hay solapamiento de f(x) = 1 con la solucion de la ecuacionhomogenea. Debido a este la solucion particular sigue la expresion

yp = x2A,

sustituyendo en la ecuacion diferencial se llega a que A = 12. Por lo tanto la solucion

general de la ecuacion en este caso sera

y = c1 + c2x+1

2x2, siendo c1, c2 ∈ IR.

En caso α 6= 0, habra solapamiento cuando α =√α, lo que nos lleva a que α = 0

o α = 1. Dado que estamos en el caso α 6= 0, habra solapamiento solo en el casoα = 1. Por lo tanto la solucion particular sera

yp = x(A cosx+B senx) ,cuando α = 1,

yp = A cos(√αx) +B sen(

√αx) ,cuando α 6= 1.

Sustituyendo en cada caso se llega a las soluciones particulares

yp =1

2x senx ,cuando α = 1,

yp =1

α2 − αcos(√αx) ,cuando α 6= 1.

Por tanto las soluciones generales seran

y = c1 cosx+ c2 senx+1

2x senx, con c1, c2 ∈ IR para α = 1,

y = c1 cos(αx) + c2 sen(αx) +1

α2 − αcos(√αx), con c1, c2 ∈ IR para α 6= 1, α 6= 0.

Como ultimo comentario decir que la expresion de la solucion general para α 6= 1 yα 6= 0 no presenta problemas porque α2 − α = 0 solo para α = 0 y α = 1.


(b) y′′ − 4y′ + 4y = eαx, α ∈ IREcuacion homogenea.-

La ecuacion diferencial es una ecuacion diferencial lineal del segundo orden concoeficientes constantes. Para resolver su ecuacion homogenea

y′′ − 4y′ + 4y = 0,


λ2 − 4λ+ 4 = 0⇒ λ =4±√

16− 16

2= 2.

Ası la unica raız es λ = 2 con multiplicidad 2. Por lo tanto, la solucion de la ecuacionhomogenea viene dada por

yh(x) = c1e2x + c2xe

2x con c1, c2 ∈ R

Ecuacion completa (variacion de las contantes).-

Para obtener una solucion (particular) utilizaremos el metodo de variacion de lasconstantes. Teniendo en cuenta el apartado anterior, consideraremos una solucionde la forma

yp(x) = u(x)e2x + v(x)xe2x.

Donde las derivadas de u(x) y v(x) verifican(e2x xe2x

2e2x e2x + 2xe2x

)(u′(x)v′(x)

)=

(0eαx

),

despejando

u′(x) =

det

(0 xe2x

eαx e2x + 2xe2x

)W (e2x, xe2x)

=−xe2x eαx

e4x= −xe(α−2)x,

v′(x) =

det

(e2x 02e2x eαx

)W (e2x, xe2x)

=e2xeαx

e4x= e(α−2)x.

De estas expresiones, se deduce que es necesario considerar dos casos segun queα = 2 o α 6= 2.

Si α = 2 se tiene que

u(x) =

∫−x dx = −1

2x2, v(x) =

∫1 dx = x.


Por lo tanto la solucion de la ecuacion diferencial se escribira como

y(x) = yh(x) + yp(x),

es decir

y(x) = c1e2x + c2xe

2x − 1

2x2e2x + x · xe2x = c1e

2x + c2xe2x +

1

2x2e2x.

con c1, c2 ∈ R.Si α 6= 2 se tiene que

u(x) =

∫−xe(α−2)x dx = −xe

(α−2)x

α− 2+

∫e(α−2)x

α− 2dx = −xe

(α−2)x

α− 2+

e(α−2)x

(α− 2)2 ,

v(x) =

∫e(α−2)x dx =

1

α− 2e(α−2)x.


y(x) = yh(x) + yp(x),

es decir

y(x) = c1e2x + c2xe

2x − xe(α−2)x

α− 2e2x +

e(α−2)x

(α− 2)2 e2x +

1

α− 2e(α−2)xxe2x

= c1e2x + c2xe

2x +eαx

(α− 2)2 .

con c1, c2 ∈ R.

Ecuacion completa (coeficientes indeterminados).-

Puesto que b(x) = eαx (polinomio de grado cero por una exponencial) sı que podemosutilizar el metodo de los coeficientes indeterminados para encontrar una solucionparticular. En este caso, como

yh = c1e2x + c2xe

2x,

solo hay solapamiento en el caso α = 2. Por tanto si α 6= 2, ensayaremos una solucionde la forma yp(x) = Aeαx. Si α = 2 , tendrıamos una solucion particular de la formayp(x) = x2Ae2x.

a) Caso α 6= 2. De la forma de la solucion particular se sigue que

y′p(x) = αAeαx, y′′p(x) = α2Aeαx.


Llevando estas expresiones a la ecuacion diferencial, debe verificarse

α2Aeαx − 4αAeαx + 4Aeαx = eαx.

Agrupando los terminos, podemos escribir[α2A− 4αA+ 4A− 1

]eαx = 0.

Para que se verifique esta ecuacion para cualquier valor de x deberemos tener

α2A− 4αA+ 4A− 1 = 0⇒ A =1

α2 − 4α + 4=

1

(α− 2)2 .

Luego una solucion particular viene determinada por

yp(x) =1

(α− 2)2 eαx.

Senalemos que esta solucion esta bien definida, puesto que el denominadornunca se puede anular ya que estamos en el caso en el que α 6= 2. Ası, lasolucion de la ecuacion diferencial es

y(x) = c1e−αx + c2xe

−αx +1

(α− 2)2 eαx con c1, c2 ∈ R.

b) Caso α = 2. De la forma de la solucion particular se sigue que

y′p(x) = 2Axe2x + 2Ax2e2x, y′′p(x) = 2Ae2x + 8Axe2x + 4Ax2e2x.


2Ae2x + 8Axe2x + 4Ax2e2x − 4(2Axe2x + 2Ax2e2x

)+ 4Ax2e2x = e2x.

Agrupando los terminos, podemos escribir

(2A− 1) e2x = 0.


2A− 1 = 0⇒ A =1

2.


yp(x) =1

2x2e2x.

Ası, la solucion de la ecuacion diferencial es

y(x) = c1e2x + c2xe

2x +1

2x2e2x con c1, c2 ∈ R.


(c) y′′ − αy = eαx, α ≥ 0Ecuacion homogenea.-

La ecuacion diferencial es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden concoeficientes constantes. Para resolver su ecuacion homogenea

y′′ − αy = 0,


λ2 − α = 0⇒ λ = ±√α.

Puesto que el parametro α siempre es no negativo las raıces seran reales. Si α 6= 0tendremos dos raıces distintas, pero si α = 0 unicamente existira la raız 0 conmultiplicidad dos.

Por lo tanto, para α 6= 0 la solucion viene dada por

yh(x) = c1ex√α + c2e

−x√α con c1, c2 ∈ R,

y si α = 0yh(x) = c1 + c2x con c1, c2 ∈ R,

Ecuacion completa (variacion de las constantes).-

Para obtener una solucion (particular) utilizaremos el metodo de variacion de lasconstantes.

En el caso α 6= 0 consideraremos una solucion de la forma

yp(x) = u(x)ex√α + v(x)e−x

√α.

Donde las derivadas de u(x) y v(x) verifican(ex√α e−x

√α

√αex

√α −

√αe−x

√α

)(u′(x)v′(x)

)=

(0eαx

),

despejando

u′(x) =

det

(0 e−x

√α

eαx −√αe−x

√α

)det

(ex√α e−x

√α

√αex

√α −

√αe−x

√α

) =−ex(α−

√α)

−2√α

=1

2√αex(α−

√α),

v′(x) =

det

(ex√α 0√αex

√α eαx

)det

(ex√α e−x

√α

√αex

√α −

√αe−x

√α

) =ex(α+

√α)

−2√α

= − 1

2√αex(α+

√α).


Ası, dos primitivas de u′ y v′ son

u(x) =

∫ex(α−

√α)

2√α

dx =1

2√α

ex(α−√α)

α−√α, v(x) =

∫−e

x(α+√α)

2√α

dx = − 1

2√α

ex(α+√α)

α +√α.

Senalemos que estas soluciones no estan definidas si el denominador se anula. Comoα > 0, esto solo puede suceder si α = 1.


y(x) = yh(x) + yp(x),

que en el caso α 6= 0, α 6= 1 es

y(x) = c1ex√α + c2e

−x√α +

1

2√α

1

α−√αex(α−

√α)ex

√α − 1

2√α

1

α +√αex(α+

√α)e−x

√α =

= c1ex√α + c2e

−x√α +

1

2√α

(1

α−√α− 1

α +√α

)exα =

= c1ex√α + c2e

−x√α +

1

α2 − αexα.

con c1, c2 ∈ R.

Si α = 1 la expresion de v seguirıa siendo valida pero para determinar u(x) habrıaque considerar

u(x) =

∫1

2√αex(α−

√α)dx =

∫1

2dx =

x

2.

De aquı se sigue que la solucion en este caso es

y(x) = c1ex + c2e

−x +1

2xex − 1

4ex =

= c1ex + c2e

−x +1

2xex,

con c1, c2 ∈ R.

En el caso α = 0 consideraremos una solucion (particular) de la forma

yp(x) = u(x) + v(x)x.

Donde las derivadas de u(x) y v(x) verifican(1 x0 1

)(u′(x)v′(x)

)=

(01

),


despejando

u′(x) =

det

(0 x1 1

)det

(1 x0 1

) =−x1

= −x, v′(x) =

det

(1 00 1

)det

(1 x0 1

) = 1.

Ası, dos primitivas de u′ y v′ son

u(x) =

∫−xdx = −1

2x2, v(x) =

∫dx = x.

Por lo tanto la solucion de la ecuacion diferencial en el caso α = 0 es

y(x) = c1 + c2x−1

2x2 + x2 = c1 + c2x+

1

2x2,

con c1, c2 ∈ R.Ecuacion completa (coeficientes indeterminados).-

Puesto que el termino de la ecuacion es de la forma f(x) = eαx, α ≥ 0 (polinomio degrado cero por una exponencial) sı que podemos utilizar el metodo de los coeficientesindeterminados1 para encontrar una solucion particular. En este caso, la ecuacioncaracterıstica asociada a la ecuacion diferencial es

λ2 − α = 0⇒ λ = ±√α.

Por lo tanto la solucion de la ecuacion homogenea sera

yh = c1e√αx + c2e

−√αx, con c1, c2 ∈ IR cuando α 6= 0,

eyh = c1 + c2x, con c1, c2 ∈ IR cuando α = 0.

Considerando este resultado, senalemos que si α 6= ±√α, no habra solapamiento y

ensayaremos una solucion de la forma

yp(x) = x0Aeαx = Aeαx.

Puesto que α ≥ 0, la situacion α = ±√α ,solo puede suceder si α = 1 oα = 02.

Para cada uno de estos casos hay solapamiento y tendremos soluciones particularesde la forma

Si α = 0 : yp(x) = x2Ae0·x = Ax2,

Si α = 1 : yp(x) = x1Ae1·x = Axex.

1Anteriormente se determino una solucion (particular) por el metodo de variacion de las constantes.2En el caso en el que α = 0, la multiplicidad de 0 como solucion de la ecuacion caracterıstica es dos.

En el caso en el que α = 1, la multiplicidad de 1 como solucion de la ecuacion caracterıstica es uno (laotra raız serıa −1).


Ası, es necesario distinguir tres casos segun que α 6= 1, α 6= 0, α = 1 o α = 0. Paracada uno de estos casos obtendremos la forma de la solucion particular.

a) Caso α 6= 1, α 6= 0. De la forma de la solucion particular se sigue que

y′p(x) = Aαeαx, y′′p(x) = Aα2eαx.

Llevando estas expresiones a la ecuacion diferencial, debe verificarse(Aα2eαx

)− α (Aeαx) = eαx.

Agrupando los terminos, podemos escribir(Aα2 − αA− 1

)eαx = 0.


Aα2 − αA− 1 = 0⇒ A =1

α (α− 1).


yp(x) =1

α (α− 1)eαx.

Senalemos que esta solucion esta bien definida, puesto que el denominadornunca se puede anular ya que estamos en el caso en el que α 6= 1, α 6= 0.

b) Caso α = 1. De la forma de la solucion particular se sigue que

y′p(x) = Aex + Axex, y′′p(x) = 2Aex + Axex.


(2Aex + Axex)− (Axeαx) = ex.


(2A− 1) ex = 0.


2A− 1 = 0⇒ A =1

2.


yp(x) =1

2xex.


c) Caso α = 0. De la forma de la solucion particular se sigue que

y′p(x) = 2Ax, y′′p(x) = 2A.


(2A)− 0 ·(Ax2

)= 1.


2A = 1⇒ A =1

2.


yp(x) =1

2x2.

(d) y′′ + ω20y = cos(ω0x), ω0 > 0

Puesto que b(x) = cos (ω0x) (polinomio de grado cero por un coseno) sı que podemosutilizar el metodo de los coeficientes indeterminados para encontrar una solucionparticular. En este la ecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion diferencial es

λ2 + ω20 = 0⇒ λ = ±

√−ω2

0 = ±iω0, ya que ω0 > 0.

luego hay solapamiento. Por lo tanto ensayaremos una solucion de la forma

yp(x) = x1A cos (ω0x) + x1B sen (ω0x) = xA cos (ω0x) + xB sen (ω0x) .

De esta expresion se sigue que

y′p(x) = Bω0x cos (ω0x)− Aω0x sen (ω0x) + A cos (ω0x) +B sen (ω0x) ,

y′′p(x) = −Aω20x cos (ω0x)−Bω2

0x sen (ω0x) + 2Bω0 cos (ω0x)− 2Aω0 sen (ω0x) .


[−Aω20x cos (ω0x)−Bω2

0x sen (ω0x) + 2Bω0 cos (ω0x)− 2Aω0 sen (ω0x)] +

+ω20 [xA cos (ω0x) + xB sen (ω0x)] = cos (ω0x) .


[Aω20 − Aω2

0]x cos (ω0x) + [Bω20 −Bω2

0]x sen (ω0x) +

+ [2Bω0 − 1] cos (ω0x) + [−2Aω0]x sen (ω0x) = 0⇒

⇒ [2Bω0 − 1] cos (ω0x) + [−2Aω0]x sen (ω0x) = 0.


Para que se verifique esta ecuacion para cualquier valor de x, y puesto que lasfunciones cos (ω0x) y sen (ω0x) son linealmente independientes, deberemos tener

2Bω0 − 1 = 0;−2Aω0 = 0⇒ B =1

2ω0

, A = 0.

Luego una solucion particular viene determinada por3

yp(x) =1

2ω0

x sen (ω0x) .

4. y1 = −3/4Ae4x +B, y2 = Ae4x.

5. (a)y = A+Bx+ Cx4, (b)y = A+Bx−2 + Cx3, (c)y = Ax2 +Bx3.

6. y1 = Ae−x +Be4x, y2 = −Ae−x + 3/2Be4x.

7. λn = (2n− 1)2/4, yn = sen[(2n− 1)/2x]

8. λ0 = 0, y0 = 1, λn = n2, y1n = sen(nx), y2

n = cos(nx).

3La ecuacion diferencial que hemos resuelto proporciona la evolucion temporal de un osciladorarmonico forzado. En este caso, la fuerza externa que actua sobre el oscilador se corresponde con eltermino cos (ω0x). Al coincidir la frecuencia de la fuerza, ω0, con la frecuencia propia del oscilador seproduce un fenomeno de resonancia. En esta situacion (ideal) la desviacion del oscilador respecto a suposicion de equilibrio, y, crece indefinidamente al crecer x.

Tema 4

Sistemas de ecuaciones diferencialeslineales

En este tema estudiamos el metodo de los valores propios para resolver sistemas linealeshomogeneos de orden 1. En el apartado 2 se ilustra con ejemplos el metodo de coeficientesindeterminados para sistemas completos. El metodo de variacion de las constantes paraeste tipo de sistemas se estudiara en el tema siguiente. En el apartado 3 vemos la resolucionde sistemas lineales y homogeneos de orden 2. El apendice es un repaso de diagonalizacionde matrices.

Sumario. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogeneos de orden uno concoeficientes constantes, metodo de valores propios. Sistemas de ecuaciones diferencialeslineales no homogeneos con coeficientes constantes. Sistemas lineales de orden 2. Ejerci-cios del tema. Soluciones a los ejercicios del tema. Apendice, vectores propios y valorespropios de una aplicacion lineal.

4.1. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ho-

mogeneos con coeficientes constantes. Metodo

de valores propios

Proposicion 4.1.1. Fijado un sistema lineal de primer orden de coeficientes constantes

dY

dx= AY,

y un valor propio λ de la matriz de coeficientes A. Si v es un vector propio asociado conλ, entonces Y (x) = veλx es una solucion no trivial del sistema.

67

68 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Teorema 4.1.2. SeadY

dx= AY,

un sistema lineal de primer orden de coeficientes constantes y sean λ1, · · · , λn los valorespropios de la matriz A. Si v1, · · · , vn son n vectores propios linealmente independientesasociados con los valores propios anteriores, entonces obtenemos n soluciones linealmenteindependientes

Y1(x) = v1eλ1x, · · · , Yn(x) = vne

λnx.

En este caso, la solucion general de Y ′ = AY se puede expresar

Y (x) = c1Y1(x) + · · ·+ cnYn(x) , para {ci}ni=1 ⊂ IR.

Ademas, si algun valor propio λi ∈ C \ IR y λj = λi; entonces eligiendo vj = vi ycj = ci obtenemos una solucion real de la expresion

civieλix + cjvje

λjx.

Definicion 4.1.3.

(i) Un valor propio λ de la matriz A se llama completo si la dimension del espacio vectorial

A(λ) = {v ∈ IRn; (A− λIn)v = 0} ⊂ IRn,

coincide con la multiplicidad k de λ. En otro caso diremos que λ es defectuoso siendod = k − p el defecto, donde p es la dimension de A(λ);

(ii) Si λ es un valor propio de la matriz A, entonces un vector propio generalizado derango r asociado a λ es un vector v tal que

(A− λIn)rv = 0 pero (A− λIn)r−1v 6= 0.

Proposicion 4.1.4. Fijado el sistema de coeficientes constantes

dY

dx= AY,

{λi}qi=1 los valores propios (todos distintos y completos) de la matriz A, y denotemos porni a la multiplicidad de cada raız λi. Si para cada valor propio λi tenemos ni vectorespropios l.i., podemos construir la solucion general del sistema siguiendo el procedimientodel teorema anterior.

Ejemplo 4.1.5. Resolver {y′1 = 5y1 + 4y2;

y′2 = y1 + 5y2.

Ejemplo 4.1.6. Resolver

Y ′ =

9 4 0−6 −1 0

6 4 3

Y.

4.1 Sistemas homogeneos con coeficientes constantes. Metodo de valorespropios 69


Y ′ =

[4 −33 4

]Y.

Definicion 4.1.8. Consideramos el valor propio λ de A con multiplicidad k. Se llamacadena de longitud k de vectores generalizados con base el vector propio v1 asociado a λa una familia de vectores

{v1,v2, · · · ,vk} = {uk,uk−1, · · · ,u2,u1}

que cumple

(A− λIn)u1 = u2 6= 0,(A− λIn)u2 = (A− λIn)2u1 = u3 6= 0,...(A− λIn)uk−1 = (A− λIn)k−1u1 = uk 6= 0,

(A− λIn)uk = (A− λIn)ku1 = 0 ,uk = v1.

Teorema 4.1.9. Sea λ un valor propio de A con multiplicidad k, y {v1,v2, · · · ,vk} unacadena de vectores propios generalizados. Entonces un conjunto de k soluciones lineal-mente independientes de Y ′ = AY correspondientes al valor propio λ viene dado por:

Y1(x) = v1eλx,

Y2(x) = (v1x+ v2)eλx,Y3(x) = (1

2v1x

2 + v2x+ v3)eλx,...

Yk(x) =

[1

(k − 1)!v1x

k−1 + · · ·+ 1

2!vk−2x

2 + vk−1x+ vk

]eλx.

Teorema 4.1.10. La solucion general del sistema Y ′ = AY puede expresarse de la forma

Y (x) =n∑i=1

ciYi(x), {ci}ni=1 ⊂ C,

siendo la funcion Yj(x) de la forma dada por el teorema 4.1.2, por la proposicion 4.1.4 opor el teorema 4.1.9 segun el caso.


Y ′ =

4 −1 01 3 −11 0 2

Y


4.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no

homogeneos con coeficientes constantes

Como ya estudiamos en el tema 3, concretamente en el teorema 3.2.11, la solucion deun sistema no homogeneo

Y ′ = A(x)Y + B(x),

puede obtenerse sumando una solucion particular Yp a la solucion general del sistemahomogeneo asociado. En la seccion anterior hemos estudiado como obtener la soluciongeneral de un sistema homogeneo de orden uno con coeficientes constantes,

Y ′ = AY,

veamos ahora como obtener una solucion particular del sistema completo

Y ′ = AY + B(x).

En el tema 3 vimos (teorema 3.2.12) que se puede utilizar el metodo de variacion deparametros para obtener una solucion particular del sistema completo (incluso para coefi-cientes variables). Este procedimiento esta ligado a calcular la exponencial de una matriz,y esta se define (de manera natural) a traves de una serie de potencias de matrices. Espor este motivo por el que posponemos el estudio del metodo de variacion de parametrospara sistemas al tema siguiente, ya que en la primera parte de este, ser repasaran nocionesrelacionadas con series.

Dedicamos este apartado pues, al estudio del metodo de coeficientes indeterminadospara obtener una solucion particular de un sistema completo de orden uno con coeficientesconstantes. Dado que el metodo es esencialmente el mismo que para ecuaciones escalares,ilustraremos el procedimiento con varios ejemplos.


Y ′ =

[3 27 5

]Y +

[3

2x

].


Y ′ =

[4 23 −1

]Y −

[154

]xe−2x.

4.3. Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecanicas

Teorema 4.3.1. Sead2Y

dx2= AY,

4.3 Sistemas de segundo orden y aplicaciones mecanicas 71

un sistema lineal de segundo orden de coeficientes constantes. Si la matriz A, de tamanon× n, tiene valores propios distintos y negativos, {−λ2

i }ni=1, con vectores propios (reales)asociados {vi}ni=1. Entonces cualquier solucion del sistema puede expresarse en la forma

Y =n∑i=1

(ai cosλix+ bi senλix)vi, ai, bi ∈ IR.

En el caso especial de un valor propio nulo no repetido con vector propio asociado v0, laexpresion

Y0 = (a0 + b0x)v0,

es la parte correspondiente de la solucion general.

Consideramos tres masas conectadas entre ellas y a dos paredes por medio de cu-atro resortes, denotaremos por mi la masa de cada una de ellas, por ki las constantesde elasticidad de los resortes y por yi los desplazamientos de las tres masas respecto asus posiciones de equilibrio (los desplazamientos hacia la derecha se toman positivos).Entonces el sistema

MY ′′ = KY, (4.1)

modela el movimiento de los resortes cuando no hay fuerzas externas actuando, siendo

M =

m1 0 00 m2 00 0 m3

, y K =

−(k1 + k2) k2 0k2 −(k2 + k3) k3

0 k3 −(k3 + k4)

.Este modelo se generaliza y particulariza de forma natural al variar la cantidad de masasconectadas.

Ejemplo 4.3.2. Obtenga las ecuaciones del movimiento de un sistema de resortes conm1 = 2, m2 = 1, k1 = 100 y k2 = 50.

Ejemplo 4.3.3. Consideramos tres vagones de ferrocarril que estan conectados medianteresortes de amortiguacion que reaccionan al ser comprimidos, pero se desenganchan enlugar de estirarse. Teniendo en cuenta que este es un caso particular del anterior conn = 3, k = k1 = k3 y k2 = k4 = 0, obtenga:

(i) Las ecuaciones del movimiento del sistema con m1 = m3 = 750kg, m2 = 500kg yk = 3000kg/s2;

(ii) La solucion particular del sistema anterior en la que cada partıcula inicialmente esta ensu punto de equilibrio, y todas con velocidad inicial cero salvo la primera partıcula cuyavelocidad inicial es v0 > 0.

Ejemplo 4.3.4. Teniendo en cuenta que el modelado de los desplazamientos de los pisosen un edificio sigue tambien (4.1), obtenga las ecuaciones del movimiento de estos en unedificio de dos pisos, ambos de masa 5000 kg y constante k = 10000kg/s2.



1. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = 2y1 + 3y2;

y′2 = 2y1 + y2.

2. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = −3y1 − 2y2;

y′2 = 9y1 + 3y2.

3. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = y1 − 5y2;

y′2 = y1 + 3y2.

4. Resolver siguiendo la seccion 4.1y′1 = y1 + 2y2 + 3y3;

y′2 = 2y1 + 7y2 + y3;

y′3 = 2y1 + y2 + 7y3.

5. Resolver siguiendo la seccion 4.1y′1 = 2y1 + y2 − 1y3;

y′2 = −4y1 − 3y2 − y3;

y′3 = 4y1 + 4y2 + 2y3.

6. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = y1 + 2y2;

y′2 = 2y1 + y2.

7. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = 2y1 − 5y2;

y′2 = 4y1 − 2y2.

y1(0) = 2 , y2(0) = 3.


8. Resolver siguiendo la seccion 4.1{y′1 = 5y1 − 9y2;

y′2 = 2y1 − y2.

9. Resolver siguiendo la seccion 4.1y′1 = 5y1 − 6y3;

y′2 = 2y1 − y2 − 2y3;

y′3 = 4y1 − 2y2 − 4y3.

10. Resolver siguiendo la seccion 4.1y′1 = 5y1 + 5y2 + 2y3;

y′2 = −6y1 − 6y2 − 5y3;

y′3 = 6y1 + 6y2 + 5y3.

11. Resolver siguiendo la seccion 4.1 (valores propios defectuosos){y′1 = y1 − 3y2;

y′2 = 3y1 + 7y2.

12. Resolver siguiendo la seccion 4.1 (valores propios defectuosos)y′1 = y2 + 2y3;

y′2 = −5y1 − 3y2 − 7y3;

y′3 = y1.

13. Resolver siguiendo la seccion 4.1 (valores propios defectuosos){y′1 = −2y1 + y2;

y′2 = −y1 − 4y2.

14. Resolver siguiendo la seccion 4.1y′1 = −3y1 − 4y3;

y′2 = −y1 − y2 − y3;

y′3 = y1 + y3.

15. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema de resortes correspondiente a losdatos m1 = 1, m2 = 1, k1 = 0, k2 = 2, k3 = 0.


16. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema de resortes correspondiente a losdatos m1 = m2 = 1, k1 = 1, k2 = 4, k3 = 1.

17. Obtenga las ecuaciones del movimiento del sistema de resortes correspondiente a losdatos m1 = 1, m2 = 2, k1 = 1, k2 = k3 = 2.






1. y(x) = (c1e−x − 3c2e

4x, c1e−x + 2c2e

4x).

2. y(x) = (c1 cos 3x+ c2 sen 3x, 3/2(c1 + c2) cos 3x+ 3/2(−c1 + c2) sen 3x).

3. y(x) = (e2x(−c1 − 2c2) cos 2x+ e2x(2c1 − c2) sen 2x, e2x(c1 cos 2x+ c2 sen 2x)).

4. y(x) = (c1e6x+1/4c2(−7−

√89)e(9/2−1/2

√89)x+1/4c3(−7+

√89)e(9/2+1/2

√89)x,−11c1e

6x+

c2e(9/2−1/2

√89)x + c3e

(9/2+1/2√

89)x, 9c1e6x + c2e

(9/2−1/2√

89)x + c3e(9/2+1/2

√89)x).

5. y(x) = (−c1ex + 1/2c2(cos 2x − sen 2x) + 1/2c3(cos 2x + sen 2x), c1e

x − c2 cos 2x −c3 sen 2x, c2 cos 2x+ c3 sen 2x).

6. y(x) = (c1e−x + c2e

3x,−c1e−x + c2e

3x).

7. y(x) = (2 cos 4x− 7/4 sen 4x, 1/10 sen 4x+ 3 cos 4x).

8. y(x) = (e2x(c1 cos 3x+ c2 sen 3x), e2x(1/3(c1 − c2) cos 3x+ 1/3(c1 + c2) sen 3x)).

9. y(x) = (6c1 + 3c2ex + 2c3e

−x, 2c1 + c2ex − c3e

−x, 5c1 + 2c2ex + 2c3e

−x).

10. y(x) = (−c1 + c2(cos 3x − sen 3x)e2x + c3(cos 3x + sen 3x)e2x, c1 − 2(c2 cos 3x +c3 sen 3x)e2x, 2(c2 cos 2x+ c3 sen 2x)e2x).

11. y(x) = ((−3c2x+ c2 − 3c1)e4x, (3c2x+ 3c1)e4x).

12. y(x) = c1

−2−22

e−x + c2

−2x+ 1−2x− 52x+ 1

e−x + c3

−x2 + x+ 1−x2 − 5xx2 + x

e−x


13. y(x) = c1

[1−1

]e−3x + c2

[x+ 1−x

]e−3x

14. y(x) = c1

010

e−x + c2

−2x− 1

1

e−x + c3

−2x+ 1x2/2− x

x

e−x

Tema 5

Resolucion de ecuacionesdiferenciales lineales ordinariasmediante series de potencias.Sistemas lineales no homogeneos (II)

En el tema 3 hemos resuelto ecuaciones diferenciales lineales, en particular ecua-ciones lineales con coeficientes constantes y ecuaciones de tipo Euler. En estos casosexpresabamos la solucion final como combinacion lineal de funciones elementales. En estetema abordaremos la solucion del problema en los casos, no tan sencillos, de ecuaciones decoeficientes variables, que asimismo presenta la fısica matematica. Utilizaremos el meto-do de desarrollo de la solucion en serie de potencias. En la primera seccion repasamoslos conceptos y propiedades elementales de las series de potencias que utilizaremos masadelante. En las secciones 5.2 y 5.3 se estudian los metodos de resolucion de ecuacioneslineales homogeneas con coeficientes variables. En la seccion 5.4 definiremos el conceptode serie de matrices y el de exponencial de una matriz. Con ayuda de estos aplicaremos elmetodo de variacion de parametros a los sistemas lineales no homogeneos, completandoası el estudio hecho sobre sistemas en la seccion 4.4 del tema anterior.

Sumario. Series de potencias. Ecuaciones con coeficientes analıticos. Ecuaciones conpuntos singulares regulares. Series de matrices. Sistemas lineales no homogeneos (II).Ejercicios del tema. Soluciones a los ejercicios del tema.

5.1. Series de potencias

El conocimiento de los conceptos y herramientas sobre series numericas y series depotencias debe formar parte del bagaje obtenido por el alumno en los primeros cursos de

77

78 Resolucion de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias

la Licenciatura en Matematicas. No obstante, haremos mencion de las herramientas queatane a las series de potencias y que utilizaremos en este tema.

Definicion 5.1.1. Se llama serie de potencias centrada en c ∈ IR a cualquier serie de laforma

+∞∑n=0

an(x− c)n,

siendo an ∈ IR el n-esimo coeficiente de la serie de potencias.

Ejemplo 5.1.2. En la serie geometrica∑+∞

n=0 xn, se han dado los valores an = 1 ∀n ≥ 0

y c = 0.

Teorema 5.1.3 (Criterio del cociente + Teorema de Cauchy-Hadarmad). Dada la seriede potencias

∑+∞n=0 an(x − c)n, donde an 6= 0 a partir de algun valor de n, fijado x ∈ IR

supongamos que existe

L = lımn

∣∣∣∣an+1(x− c)n+1

an(x− c)n

∣∣∣∣ .Entonces:

(i) Si L < 1 la serie converge absolutamente;

(ii) Si L > 1 la serie diverge.Ademas si la serie

∑+∞n=0 an(x− c)n converge para |x− c| < r, entonces esta converge

absolutamente para |x− c| < r.

Ejemplo 5.1.4.

a) La serie geometrica converge para |x| < 1 y su suma vale1

1− x;

b) La serie+∞∑n=0

(−1)n+1 (x− 2)n

nconverge para x ∈ (1, 3);

c) La serie+∞∑n=0

xn

n!converge para todo x ∈ IR.

Definicion 5.1.5. Una funcion real de variable real f(x) se dice que es analıtica en unpunto c ∈ domf si puede expresarse como una serie de potencias centrada en c convergenteen algun entorno (no degenerado) de c.

Ejemplo 5.1.6. La funcion1

1− xes analıtica en c = 0 y la serie de potencias correspon-

diente converge para |x| < 1.

Observacion 5.1.7.

(i) En los primeros cursos se ensena que las funciones continuas como ex, cosx, senx,log(1 + x), etcetera, se pueden representar como series de Taylor, extendiendo los poli-nomios de Taylor correspondientes a series de potencias.

5.1 Series de potencias 79

f(x) Serie Intervalo de convergencia

ex+∞∑n=0

xn

n!IR

senx+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!IR

cosx+∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!IR

senhx+∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!IR

coshx+∞∑n=0

x2n

(2n)!IR

log(1 + x)+∞∑n=1

(−1)n+1xn

n(−1, 1]

(1 + x)α 1 ++∞∑n=1

α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn (−1, 1)

1

1− x

+∞∑n=0

xn (−1, 1)

Cuadro 5.1: Series de Taylor en c = 0 de algunas funciones

(ii) Se pueden combinar series de potencias centradas en el mismo punto mediante las ope-raciones de suma y multiplicacion. Los procedimientos para series de potencias se parecen alos de suma y multiplicacion de polinomios; esto es, para la suma se suman los coeficientesde potencias iguales en x, y para el producto se aplica la propiedad distributiva y se agrupanlos terminos semejantes. El intervalo de convergencia resultante es la interseccion de losintervalos de las series iniciales. El cociente de dos series centradas en x = c tambientendra un desarrollo en series de potencias centrado en x = c, siempre que el denominadorno se anule en este. Sin embargo, el intervalo de convergencia de la serie obtenida puedeestar estrictamente contenido en el de la serie del numerador o en el de la serie deldenominador.

(iii) La suma y producto de funciones analıticas en un mismo punto sigue siendo analıticaen dicho punto, y el cociente de dos funciones analıticas en un mismo punto sigue siendoanalıtica en dicho punto cuando la funcion del denominador no se anula en este.

Ejemplo 5.1.8. Aplicando la observacion anterior:


(i) Obtenga la serie resultante del producto

+∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!

+∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!;

(ii) Indique si la funcion tanx es analıtica en x = 0.

Proposicion 5.1.9. Sea f(x) una funcion real de variable real y analıtica en x0, donde

f(x) =+∞∑n=0

an(x− x0)n, an ∈ IR,

siendo la serie convergente para |x−x0| < ρ0. Entonces todas las derivadas de f(x) existenpara |x−x0| < ρ0 y estas pueden calcularse derivando las correspondientes series terminoa termino. Ademas f (n)(x0) = n! an, para n ≥ 1.

Ejemplo 5.1.10. Aplicando el resultado anterior, obtenga la serie de MacLaurin de la

funcion f(x) =1

x+ 1.

Observacion 5.1.11. Del resultado anterior se desprende que toda funcion analıtica enun punto es de clase C∞ en un entorno de ese punto. El recıproco no es cierto en general,como se puede observar en un estudio detallado de la funcion

f(x) =

{e−1/x2 x 6= 0

0 x = 0,

en x = 0.

Los dos lemas siguientes se usan en la prueba del teorema 5.2.1.

Lema 5.1.12 (Lema de comparacion). Fijadas las series de potencias

+∞∑n=0

anxn y

+∞∑n=0

Anxn,

donde |an| ≤ An y An ≥ 0 para todo n ≥ 0. Si existe r > 0 tal que+∞∑n=0

Anxn converge

para |x| < r, entonces+∞∑n=0

anxn converge tambien para |x| < r.

Lema 5.1.13. Fijados r0 > 0 y la serie de potencias+∞∑n=0

anxn que converge para |x| < r0.

Entonces para cualquier 0 < r < r0 existira una constante M > 0 tal que

rn|an| ≤M, ∀n ≥ 0.

5.2 Ecuaciones con coeficientes analıticos 81

5.2. Ecuaciones con coeficientes analıticos

Por comodidad en ocasiones expresaremos las ecuaciones diferenciales lineales a travesde un operador. Dadas n funciones continuas a1(x), . . . , an(x) definidas en un intervaloI, consideraremos el operador

L[y] = y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y,

definido para funciones y que son n veces derivables en el intervalo I. Con este expresare-mos la ecuacion diferencial

y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = b(x)

de la formaL[y] = b.

Cuando en una ecuacion diferencial lineal las funciones coeficientes sean analıticas,esta asegurada la existencia de solucion por medio de series de potencias.

Teorema 5.2.1 (Existencia de solucion para las ecuaciones con coeficientes analıticos).Sea x0 ∈ IR, r0 > 0 y supongamos que las funciones coeficientes en

L[y] = y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y

son analıticas en x0, siendo las correspondientes series convergentes para |x− x0| < r0 .Entonces para cualesquiera n constantes α1, . . . , αn el problema con condiciones iniciales

L(y) = 0; y(x0) = α1, . . . , y(n−1)(x0) = αn;

tiene solucion mediante una serie de potencias

φ(x) =+∞∑k=0

ck(x− x0)k, (5.1)

siendo esta convergente para |x− x0| < r0. Ademas se cumple que:

(i) ck =αk+1

k!para 0 ≤ k ≤ n− 1;

(ii) El resto de coeficientes ck (para k ≥ n) puede ser expresado en terminos de los nprimeros c0, . . . , cn−1, substituyendo la serie (5.1) en la ecuacion diferencial L[y] = 0.

Observacion 5.2.2. Como consecuencia del teorema 3.1.7 (tema 3), la solucion propor-cionada por el teorema anterior es unica en el intervalo (x0 − r0, x0 + r0).

Ejemplo 5.2.3. Resuelvase L[y] = y′′ − xy = 0.

Ejemplo 5.2.4.


(i) La ecuacion de Legendre (1− x2)y′′− 2xy′+α(α+ 1)y = 0, con α constante, tiene porsoluciones linealmente independientes

φ1(x) = 1++∞∑m=1

(−1)m(α + 2m− 1)(α + 2m− 3) . . . (α + 1)α(α− 2) . . . (α− 2m+ 2)

(2m)!x2m;

φ2(x) = x++∞∑m=1

(−1)m(α + 2m)(α + 2m− 2) . . . (α + 2)(α− 1)(α− 3) . . . (α− 2m+ 1)

(2m+ 1)!x2m+1;

para |x| < 1 cuando α es no natural1.En caso de ser α = n entero no negativo, o bien φ1 o bien φ2 es un polinomio de

grado n. En este caso, el polinomio de grado n solucion de la ecuacion diferencial, Pn,que cumple la condicion Pn(1) = 1 es llamado polinomio de Legendre. Los primerospolinomios de Legendre son P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 3

2x2 − 1

2, P3(x) = 5

2x3 − 3

2x,

P4(x) = 358x4 − 15

4x2 + 3

8.

(ii) La ecuacion de Chebyshev (1 − x2)y′′ − xy′ + α2y = 0, con α constante, tiene porsoluciones linealmente independientes

φ1(x) = 1 ++∞∑m=1

(−α2)(22 − α2) . . . [(2m− 2)2 − α2]

(2m)!x2m;

φ2(x) = x++∞∑m=1

(12 − α2)(32 − α2) . . . [(2m− 1)2 − α2]

(2m+ 1)!x2m+1;

para |x| < 1 cuando α es no natural.En caso de ser α = n entero no negativo, o bien φ1 o bien φ2 es un polinomio de

grado n. En este caso al polinomio Cn de grado n solucion de la ecuacion diferencial(convenientemente normalizado) se le llama polinomio de Chebyshev.

(iii) La ecuacion de Hermite y′′ − 2xy′ + 2αy = 0, con α constante, tiene por solucioneslinealmente independientes

φ1(x) = 1 ++∞∑m=1

2m(−α)(2− α) . . . [2m− 2− 2α]

(2m)!x2m;

φ2(x) = x++∞∑m=1

2m(1− α)(3− α) . . . [2m− 1− α]

(2m+ 1)!x2m+1;

cuando α es no natural.En caso de ser α = n entero no negativo, o bien φ1 o bien φ2 es un polinomio de grado

n. En este caso el polinomio Hn definido por

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x

2

,

1Consideramos como conjunto de numeros naturales al formado por los numeros enteros no negativos

5.3 Ecuaciones con puntos singulares regulares 83

es solucion de la ecuacion de Hermite, y es llamado el n-esimo polinomio de Hermite.Los primeros polinomios de Hermite son H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 − 2,H3(x) = 8x3 − 12x.

5.3. Ecuaciones con puntos singulares regulares

Definicion 5.3.1. Se dice que la ecuacion diferencial

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = 0,

tiene un punto singular en x0 si las funciones coeficientes a0, . . . , an son analıticas en x0

y ademas a0(x0) = 0.

Definicion 5.3.2. Se dice que la ecuacion diferencial

(x− x0)ny(n) + c1(x)(x− x0)n−1y(n−1) + · · ·+ cn(x)y = 0,

tiene un punto singular regular en x0 si las funciones c1, . . . , cn son analıticas en x0.

Teorema 5.3.3 (Ecuacion de Euler de orden 2). Consideremos la ecuacion de Euler desegundo orden

x2y′′ + axy′ + by = 0; a, b ∈ IR,

y el polinomio indicial q(r) = r(r − 1) + ar + b con raıces r1 y r2.Entonces una base para las soluciones de la ecuacion de Euler en cualquier intervalo

que no contenga a x = 0 viene dada por:

(i) φ1(x) = |x|r1 y φ2(x) = |x|r2 cuando r1 6= r2; (cuando r1 = a + bi, r2 = a − bi ∈ Cpodemos expresar la base con las funciones |x|a cos(b log |x|) y |x|a sen(b log |x|)).

(ii) φ1(x) = |x|r1 y φ2(x) = |x|r1 log |x| cuando r1 = r2.

Ejemplo 5.3.4. Resuelvase x2y′′ + xy′ + y = 0.

Teorema 5.3.5 (Ecuacion de Euler, caso general). Consideremos la ecuacion de Euler

L[y] = xny(n) + a1xn−1y(n−1) + · · ·+ any = 0; a1, . . . , an ∈ IR,

y el polinomio q(r) = r(r − 1) . . . (r − n + 1) + a1r(r − 1) . . . (r − n + 2) + · · · + an conraıces distintas r1,. . . ,rs, y supongamos que ri tiene multiplicidad mi ∈ IN para cadai ∈ {1, . . . , s}.

Entonces una base para las soluciones de la ecuacion de Euler en cualquier intervaloque no contenga a x = 0 viene dada por:

|x|r1 ; |x|r1 log |x|; . . . |x|r1 logm1−1 |x|;. . . . . . . . . . . .|x|r2 ; |x|r2 log |x|; . . . . . . . . . |x|r2 logm2−1 |x|;. . . . . . . . . . . .|x|rs ; |x|rs log |x|; . . . . . . |x|rs logms−1 |x|;


donde las multiplicidades (valores mi) no tienen por que coincidir.

En lo que queda de seccion centraremos nuestro estudio en las ecuaciones de segundoorden, es decir, ecuaciones del tipo

(x− x0)2y′′ + a(x)(x− x0)y′ + b(x)y = 0,

siendo a y b funciones analıticas en x0.

Proposicion 5.3.6. Sea x0 6= 0 un punto singular regular de la ecuacion

(x− x0)2y′′ + a(x)(x− x0)y′ + b(x)y = 0.

Entonces el cambio de variable t = x − x0 transforma la ecuacion anterior en otra equi-valente, con t = 0 como punto singular regular.

El resultado anterior nos lleva a considerar unicamente el caso x0 = 0.

Teorema 5.3.7. Sea r0 > 0, a(x) y b(x) dos funciones analıticas en el origen, condesarrollos que convergen para |x| < r0; consideremos la ecuacion

x2y′′ + a(x)xy′ + b(x)y = 0.

Denotaremos por r1 y r2 las raıces del polinomio indicial q(r) = r(r − 1) + a(0)r + b(0),(Re r1 ≥ Re r2). Entonces para 0 < |x| < r0 existe una solucion φ1 de la forma

φ1(x) = |x|r1+∞∑k=0

ckxk, (c0 = 1),

donde la serie converge para |x| < r0. Ademas si r1 − r2 no es cero ni entero positivo,entonces para 0 < |x| < r0 existe una segunda solucion φ2 de la forma

φ2(x) = |x|r2+∞∑k=0

ckxk, (c0 = 1),

donde la serie converge para |x| < r0.Los coeficientes ck y ck pueden calcularse sustituyendo las soluciones φ1 y φ2 en la

ecuacion diferencial.

Ejemplo 5.3.8. Resuelvase la ecuacion L[y] = x2y′′ + 32xy′ + xy = 0.

Los casos no considerados en el teorema anterior son considerados casos excepcionalesy los estudiamos en el siguiente resultado.

Teorema 5.3.9 (Metodo de Frobenius). Sea r0 > 0, a(x) y b(x) dos funciones analıticasen el origen, con desarrollos que convergen para |x| < r0; consideremos la ecuacion

x2y′′ + a(x)xy′ + b(x)y = 0.

Denotaremos por r1 y r2 las raıces del polinomio indicial q(r) = r(r − 1) + a(0)r + b(0),de forma que Re r1 ≥ Re r2. Se cumple:

5.3 Ecuaciones con puntos singulares regulares 85

(i) Si r1 = r2, entonces para 0 < |x| < r0 existiran dos soluciones linealmente indepen-dientes φ1 y φ2 de la forma

φ1(x) = |x|r1σ1(x), φ2(x) = |x|r1σ2(x) + (log |x|)φ1(x),

donde σ1 y σ2 tienen desarrollos en series de potencias convergentes para |x| < r0 yademas σ1(0) 6= 0.

(ii) Si r1 − r2 es un entero positivo, entonces para 0 < |x| < r0 existiran dos solucioneslinealmente independientes φ1 y φ2 de la forma

φ1(x) = |x|r1σ1(x), φ2(x) = |x|r2σ2(x) + c(log |x|)φ1(x),

donde σ1 y σ2 tienen desarrollos en series de potencias convergentes para |x| < r0,σ1(0) · σ2(0) 6= 0 y c es una constante (que podrıa ser nula).

Ejemplo 5.3.10. La ecuacion de Bessel x2y′′+ xy′+ (x2−α2)y = 0, con α constante departe real no negativa tiene por soluciones linealmente independientes:

(i) En el caso α = 0:

J0(x) =+∞∑m=0

(−1)m

(m!)2

(x2

)2m

,

llamada funcion de Bessel de primer tipo de orden cero y

K0(x) = −+∞∑m=0

(−1)m

(m!)2

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

m

)(x2

)2m

+ (log |x|)J0(x),

llamada funcion de Bessel de segundo tipo de orden cero;

(ii) En el caso α 6= 0:

(a) α no es entero positivo:

Jα(x) =(x

2

)α +∞∑m=0

(−1)m

m!Γ(m+ α + 1)

(x2

)2m

,

llamada funcion de Bessel de primer tipo de orden α, y J−α(x). Donde la funciongamma esta definida por

Γ(z) =

∫ +∞

0

e−xxz−1dx.

(b) α = n es un entero positivo: Jn(x) y

Kn(x) = −1

2

(x2

)−n n−1∑j=0

(n− j − 1)!

j!

(x2

)2j

− 1

2

1

n!

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

)(x2

)n−

−1

2

(x2

)n +∞∑m=0

(−1)m

m!(m+ n)!

[(1 +

1

2+ · · ·+ 1

m

)+

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

m+ n

)](x2

)2m

+

+(log |x|)Jn(x),

llamada funcion de Bessel de segundo tipo de orden n.


Definicion 5.3.11. Se dice que la ecuacion

L[y] = y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = 0;

tiene en infinito un punto singular regular, si al hacer el cambio de variable t = 1/xobtenemos una ecuacion (en la variable independiente t) que tiene al origen como puntosingular regular.

Ejemplo 5.3.12.

(i) La ecuacion de Euler x2y′′ + axy′ + by = 0, con a, b constantes tiene al origen y ainfinito como puntos singulares regulares.

(ii) La ecuacion hipergeometrica (x− x2)y′′ + [γ − (α + β + 1)x]y′ − αβy = 0, con α, β yγ constantes tiene al origen, al uno y a infinito como puntos singulares regulares.

5.4. Series de matrices. Sistemas lineales no homogeneos

(II)

Definicion 5.4.1. Dada una sucesion {Ak}k≥1 de matrices m× n, cuyos elementos son

representados por Ak = [c(k)ij ]. Se dice que la serie de matrices

∑+∞k=1 Ak converge, si ası lo

hace cada una de las series numericas

+∞∑k=1

c(k)ij ,

para cualesquiera i ∈ {1, · · · ,m}, j ∈ {1, · · · , n}. En caso de que la serie de matricessea convergente, se define su suma como la matriz m × n cuyo elemento ij es la serienumerica anterior.

Ejemplo 5.4.2. Si en el contexto de la definicion anterior definimos

Ak =

1

2k1

k(k + 1)1

k2

1

k4

,entonces

A =+∞∑k=1

Ak =

1 1

π2

6

π4

90

.Definicion 5.4.3. Se define la norma de una matriz A = [aij] como

‖ A ‖=m∑i=1

n∑j=1

|aij|.

5.4 Series de matrices. Sistemas lineales no homogeneos (II) 87

Ejemplo 5.4.4. Para la matriz del ejemplo anterior, se cumple ‖ A ‖= 2 +π2

6+π4

90.

Proposicion 5.4.5. Fijadas dos matrices A, B, un escalar λ y un entero positivo k,se verifican las siguientes propiedades (siempre que se puedan efectuar las operacionesindicadas):

(i) ‖ A + B ‖≤‖ A ‖ + ‖ B ‖;(ii) ‖ AB ‖≤‖ A ‖‖ B ‖;(iii) ‖ Ak ‖≤‖ A ‖k;(iv) ‖ λA ‖= |λ| ‖ A ‖.

Teorema 5.4.6. Fijada una sucesion {Ak}k≥1 de matrices m × n; si la serie numerica∑+∞k=1 ‖ Ak ‖ converge, entonces la serie de matrices correspondiente

∑+∞k=1 Ak tambien

converge.

Proposicion 5.4.7. Fijada una matriz cualquiera A, la serie matricial siguiente converge

+∞∑k=1

Ak

k!.

Definicion 5.4.8. Fijada una matriz A de orden n, se define la exponencial de esta como

eA := In ++∞∑k=1

Ak

k!,

donde por In denotamos la matriz identidad de orden n.

Ejemplo 5.4.9. Obtener la matriz exponencial de

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

;

Teorema 5.4.10. Fijada una matriz A de orden n e Y0 una matriz columna n × 1, elproblema

d Y

dx= AY;

Y(0) = Y0;

tiene por solucion Y = eAxY0.

Proposicion 5.4.11. Fijada una matriz A de orden n y un escalar t, se cumple:

(i) etA es invertible y su inversa es e−tA;

(ii) Si B es una matriz permutable con A, entonces eA+B = eAeB.

Ejemplo 5.4.12. Comprobar que si A =

[1 10 0

]y B =

[1 −10 0

], entonces eAeB 6=

eBeA 6= eA+B.


Ejemplo 5.4.13. Obtener la matriz exponencial de

(i)

λ 1 00 λ 10 0 λ

; (ii)

1 1 12 2 23 3 3

; (iii)

4 −1 01 3 −11 2 0

.Teorema 5.4.14 (Metodo de variacion de las constantes). Fijada una matriz A de ordenn, Y0 y F(x) dos matrices columna n× 1, siendo F(x) ademas continua; el problema nohomogeneo

d Y

dx= AY + F(x);

Y(0) = Y0;

tiene por solucion

Y(x) = eAxY0 + eAx∫ x

0

e−AsF(s)ds.

Dedicaremos el resto de esta seccion a la obtencion de un metodo sistematico para elcalculo de la exponencial de una matriz.

Definicion 5.4.15. Se llama matriz fundamental del sistema

d Y

dx= AY, (5.2)

a cualquier matriz Φ(x) en la cual si denotamos su columna i-esima por la matriz columnaYi(x), entonces {Yi(x)}1≤i≤n es un sistema fundamental de soluciones2 de (5.2). Lasmatrices fundamentales suelen representarse haciendo referencia al sistema fundamentalque las forma, e. d.,

Φ(x) = [Y1(x) · · ·Yn(x)] .

Ejemplo 5.4.16. Determinar la matriz fundamental ded Y

dx= AY, siendo

A =

4 −1 01 3 −11 2 0

.Proposicion 5.4.17. Fijada una matriz A de orden n, se cumple:

(i) Si Φ(x) es una matriz fundamental de (5.2), entoncesd Φ

dx= AΦ y det(Φ(0)) 6= 0;

(ii) Si Ψ(x) cumpled Ψ

dx= AΨ

y det(Ψ(0)) 6= 0, entonces Ψ(x) es una matriz fundamental de (5.2);

2Definicion 3.2.2 del tema 3


(iii) Si Φ(x) y Ψ(x) son matrices fundamentales de (5.2), entonces existe una matriz Bde orden n tal que Φ(x) = Ψ(x)B.

Teorema 5.4.18. Fijada una matriz A de orden n, entonces

eAx = Φ(x)Φ(0)−1;

siendo Φ(x) una matriz fundamental de (5.2).


Y ′ =

[4 23 −1

]Y −

[154

]xe−2x, Y (0) =

[73

].


1. Encuentre dos soluciones linealmente independientes, expresadas en series de po-tencias e indicando el intervalo de convergencia, para cada una de las siguientesecuaciones:(a) y′′ − xy′ + y = 0 (b) y′′ − x2y = 0 (c) y′′ + y = 0

(d)y′′ + (x− 1)2y′ − (x− 1)y = 0 con las condiciones iniciales y(1) = 1, y′(1) = 0.

2. Considerese la ecuacion de Legendre (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0, donde α esuna constante.

(a) Demuestrese que si la ecuacion de Legendre se escribe de la forma y′′+a1(x)y′+a2(x)y = 0, entonces a1 y a2 tienen desarrollos en series de potencias (de x) en|x| < 1.

(b) Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Legen-dre para |x| < 1.

(c) Probar que si α = n es un entero no negativo, entonces existe un polinomio degrado n solucion de la ecuacion de Legendre.

(d) Obtenga los polinomios de Legendre de grados cero hasta grado cuatro.

3. Considerese la ecuacion de Chebyshev (1− x2)y′′ − xy′ + α2y = 0, donde α es unaconstante.

(a) Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Cheby-shev para |x| < 1.

(b) Probar que si α = n es un entero no negativo, entonces existe un polinomio degrado n solucion de la ecuacion de Chebyshev. Cuando normalizamos conve-nientemente estos polinomios se llaman polinomios de Chebyshev.

4. Considerese la ecuacion de Hermite y′′− 2xy′+ 2αy = 0, donde α es una constante.


(a) Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la ecuacion de Hermitepara x ∈ IR.

(b) Probar que si α = n es un entero no negativo, entonces existe un polinomio degrado n solucion de la ecuacion de Hermite.

(c) Probar que los polinomios Hn definidos por

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x

2

,

es solucion de la ecuacion de Hermite cuando α = n es un entero no negativo.Esta solucion Hn es llamada el n-esimo polinomio de Hermite. (Ayuda: Seau(x) = e−x

2, probar que u′(x) + 2xu(x) = 0. Derivar esta ecuacion n veces

hasta obtener

Hn+1(x)− 2xHn(x) + 2nHn−1(x) = 0 (5.3)

para n ≥ 1. Derivar Hn para obtener

H ′n(x) = 2xHn(x)−Hn+1(x) (5.4)

para n ≥ 0. Usar (5.3) y (5.4) para probar que Hn es una solucion de la ecuacionde Hermite)

(d) Calcular los polinomios de Hermite H0, H1, H2 y H3.

5. Resolver las siguientes ecuaciones para x > 0:(a) x2y′′ + 2xy′ − 6y = 0 (b) 2x2y′′ + xy′ − y = 0(c) x2y′′ + xy′ − 4y = x (d) x2y′′ − 5xy′ + 9y = x3

(e) x3y′′′ + 2x2y′′ − xy′ + y = 0

6. Obtenga todas las soluciones φ de la forma

φ(x) = |x|r+∞∑k=0

ckxk, para |x| > 0,

de las ecuaciones:(a) 3x2y′′ + 5xy′ + 3xy = 0 (b) x2y′′ + xy′ + x2y = 0(c) x2y′′ + xy′ + (x2 − 1

4)y = 0 (d) 2x2y′′ + (x2 − x)y′ + y = 0

7. Consideremos las siguientes tres ecuaciones cerca de x = 0:

(i) 2x2y′′ + (5x+ x2)y′ + (x2 − 2)y = 0 (ii) 4x2y′′ − 4xexy′ + 3(cosx)y = 0

(iii) (1− x2)x2y′′ + 3(x+ x2)y′ + y = 0

Conteste a los siguientes apartados:

(a) Calcular las raıces de la ecuacion indicial para cada una de las ecuacionesanteriores;


(b) Indique la forma (sin resolver) de dos soluciones linealmente independientesde cada ecuacion cerca del origen, indicando claramente donde convergen lasseries correspondientes.

8. Consideremos la ecuacion x2y′′+xy′+ (x2−α2)y = 0, donde α es una constante nonegativa.

(a) Obtenga las raıces del polinomio indicial

(b) Discutir la naturaleza de las soluciones cerca del origen considerando todos loscasos cuidadosamente pero sin obtener las soluciones.

9. Resuelvase la ecuacion de Bessel x2y′′ + xy′ + (x2 − α2)y = 0, en el caso α = 0.

10. Indique la forma de dos soluciones (validas cerca del origen) linealmente independi-entes para las siguientes ecuaciones.(a) x2y′′ + 3xy′ + (1 + x)y = 0 (b) x2y′′ + 2x2y′ − 2y = 0(c) x2y′′ + 5xy′ + (3− x3)y = 0 (d) x2y′′ − 2x(x+ 1)y′ + 2(x+ 1)y = 0(e) x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0 (f) x2y′′ − 2x2y′ + (4x− 2)y = 0

11. Probar que el infinito no es un punto singular regular para la ecuacion y′′+ay′+by =0, siendo a, b constantes no ambas nulas.

12. Probar que el infinito no es un punto singular regular para la ecuacion de Besselx2y′′ + xy′ + (x2 − α2)y = 0.

13. (a) Probar que el infinito es un punto singular regular para la ecuacion de Legendre(1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α + 1)y = 0.

(b) Calcular el polinomio indicial, y sus raıces, de la ecuacion obtenida en el aparta-do anterior.

(c) Indique la forma de las soluciones para valores cerca de infinito.

(d) Indique para que valores de x son validas las soluciones anteriores.

14. Resuelva el sistema utilizando el metodo de variacion de las constantes

Y ′ =

[6 −71 −2

]Y +

[6090

], Y (0) =

[00

].


Y ′ =

[1 22 −2

]Y +

[180x90

], Y (0) =

[00

].


Y ′ =

[4 −15 −2

]Y +

[18e2x

30e2x

], Y (0) =

[00

].



Y ′ =

[3 −19 −3

]Y +

[75

], Y (0) =

[35

].


Y ′ =

[2 −51 −2

]Y +

[4x1

], Y (0) =

[00

].


Y ′ =

[2 −41 −2

]Y +

[36x2

6x

], Y (0) =

[00

].


Y ′ =

[0 −11 0

]Y +

[secx

0

], Y (0) =

[00

].


Y ′ =

1 2 30 1 20 0 1,

Y +

00

6ex

, Y (0) =

000

.22. Resuelva el sistema utilizando el metodo de variacion de las constantes

Y ′ =

0 4 8 00 0 3 80 0 0 40 0 0 0,

Y + 30

xxxx

, Y (0) =

0000

.


1. Todas las series convergen para cualquier real x.

(a) φ1(x) = x; φ2(x) =+∞∑m=0

x2m

m!2m(2m− 1).

(b) φ1(x) = 1 ++∞∑m=1

x4m

3 · 4 · 7 · 8 · · · (4m− 1)(4m);

φ2(x) = x++∞∑m=1

x4m+1

4 · 5 · 8 · 9 · · · (4m)(4m+ 1).

(c) φ1(x) =+∞∑m=0

(−1)mx2m

(2m)!= cosx; φ2(x) =

+∞∑m=0

(−1)mx2m+1

(2m+ 1)!= senx.

(d) φ(x) =+∞∑m=0

(−1)m+1(x− 1)3m

3mm!(3m− 1).


2. Ejemplo 5.2.4 apartado (i).

3. Ejemplo 5.2.4 apartado (ii).

4. Ejemplo 5.2.4 apartado (iii).

(d) H0(x) = 1, H1(x) = 2x, H2(x) = 4x2 − 2, H3(x) = 8x3 − 12x.

5. (a) φ(x) = c1x−3 + c2x

2, c1, c2 ∈ IR

(b) φ(x) = c1x−1/2 + c2x, c1, c2 ∈ IR

(c) φ(x) = c1x2 + c2x

−2 − x

3, c1, c2 ∈ IR

(d) φ(x) = c1x3 + c2x

3 log x+ 12x3 log2 x, c1, c2 ∈ IR

(e) φ(x) = c1x+ c2x log x+ c3x−1, c1, c2, c3 ∈ IR

6. (a) Cualquier multiplo de φ1 o de φ2 donde:

φ1(x) =+∞∑k=0

(−1)k3kxk

k! · 5 · 8 · 11 · · · (3k + 2), φ2(x) = |x|−2/3

+∞∑k=0

(−1)k3kxk

k! · 1 · 4 · 7 · · · (3k − 2).

(b) Cualquier multiplo de φ1, siendo φ1(x) =+∞∑k=0

(−1)k

(k!)2

(x2

)2k

.

(c) φ(x) = c|x|−1/2 senx), siendo c constante.

(d) Cualquier multiplo de φ1 o de φ2 donde:

φ1(x) = |x|+∞∑k=0

(−1)kxk

1 · 3 · 5 · 7 · · · (2k + 1),

φ2(x) = |x|1/2+∞∑k=0

(−1)kxk

2kk!= x1/2e−x/2.

7. (a) (i) r1 = 1/2, r2 = −2

(ii) r1 = 3/2, r2 = 1/2

(iii) r1 = −1, r2 = −1

(b) (i) φ1(x) = |x|1/2σ1(x), φ2(x) = |x|−2σ2(x), teniendo σ1 y σ2 desarrollos enseries de potencias convergentes para |x| < +∞

(ii) φ1(x) = |x|3/2σ1(x), φ2(x) = |x|1/2σ2(x) + c(log |x|)φ1(x), teniendo σ1 y σ2

desarrollos en series de potencias convergentes para |x| < +∞.

(iii) φ1(x) = |x|−1σ1(x), φ2(x) = |x|−1σ2(x) + (log |x|)φ1(x), teniendo σ1 y σ2

desarrollos en series de potencias convergentes para |x| < 1.

8. (a) α, −α.


(b) Si α = 0 hay dos soluciones de la forma φ1(x) = σ1(x), φ2(x) = σ2(x) +(log |x|)φ1(x), donde σ1, σ2 tienen desarrollo en series de potencias conver-gentes para |x| < +∞; si α > 0, 2α no es entero positivo, dos solucionesson de la forma φ1(x) = |x|ασ1(x), φ2(x) = |x|−ασ2(x), donde σ1, σ2 tienendesarrollo en series de potencias convergentes para |x| < +∞; si 2α es unentero positivo, dos soluciones son de la forma φ1(x) = |x|ασ1(x), φ2(x) =|x|−ασ2(x) + c(log |x|)φ1(x), donde σ1, σ2 tienen desarrollo en series de poten-cias convergentes para |x| < +∞.

9. Vease ejemplo 5.3.10.

10. Aunque el enunciado del ejercicio pida solo la forma, se proporciona la solucioncompleta.

(a) φ1(x) = |x|−1

+∞∑k=0

(−1)kxk

(k!)2

φ2(x) = −2|x|−1

+∞∑k=1

(−1)k

(k!)2

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

k

)xk + (log |x|)φ1(x).

(b) φ1(x) = |x|−1(1− x), φ2(x) = x2

+∞∑k=0

(−1)k2k(k + 1)

(k + 3)!xk

(c) φ1(x) = x−3

[1 +

+∞∑k=1

1

1 · 3 · 4 · 6 · · · (3k − 2)(3k)x3k

]

φ2(x) = x−1

[1 +

+∞∑k=1

1

3 · 5 · 6 · 8 · · · (3k)(3k + 2)x3k

](d) φ1(x) = x, φ2(x) = xe2x.

(e) φ1(x) =(x

2

) +∞∑k=0

(−1)k

k!(k + 1)!

(x2

)2k

,

φ2(x) = −1

2

(x2

)−1{

1 +(x

2

)2

+

+(x

2

)2+∞∑k=1

(−1)k

k!(k + 1)!

[(1 +

1

2+ · · ·+ 1

m

)+

(1 +

1

2+ · · ·+ 1

m+ 1

)](x2

)2k}

+

+(log |x|)φ1(x).

(f) φ1(x) = x2,

φ2(x) = x−1

[1 + 3x+ 6x2 − 3

+∞∑k=4

2kxk

(k − 3)k!

]− 4x2 log |x|.

11. Despues del cambio x = 1/t, la ecuacion queda t2y′′(t) + (2t− a)y′(t) +b

t2y(t) = 0,

que solo tiene al cero como punto singular regular cuando a = b = 0.


12. Despues del cambio x = 1/t, la ecuacion queda t2y′′(t) + ty′(t) +1− αt2

t2y(t) = 0,

siendo b(t) =1− αt2

t2no analıtica en t = 0 para cualquier valor de α.

13. (a) t2y′′ +

(2t2

t2 − 1

)ty′ +

α(α + 1)

t2 − 1y = 0

(b) q(r) = r2 − r − α2 − α; r1 = α + 1, r2 = −α (sup. α > 0)

(c) Sup. α > 0 y 2α + 1 entero positivo: φ1(x) =1

|x|α+1

+∞∑k=0

ck

(1

x

)k,

φ2(x) =1

|x|−α+∞∑k=0

ck

(1

x

)k+ c

(log

∣∣∣∣1x∣∣∣∣)φ1(x).

(d) |x| > 1.

14. La matriz exponencial es

eAx =1

6

[−e−x + 7e5x 7e−x − 7e5x

−e−x + e5x 7e−x − e5x

].

La solucion es

Y =

[102− 95e−x − 7e5x

96− 95e−x − e5x

].


eAx =1

5

[e−3x + 4e2x −2e−3x + 2e2x

−2e−3x + 2e2x 4e−3x + e2x

].

La solucion es

Y =

[−70− 60x+ 16e−3x + 54e2x

5− 60x− 32e−3x + 27e2x

].


eAx =1

4

[−e−x + 5e3x e−x − e3x

−5e−x + 5e3x 5e−x − e3x

].

La solucion es

Y =

[−e−x − 14e2x + 15e3x

−5e−x − 10e2x + 15e3x

].


eAx =

[1 + 3x −x

9x 1− 3x

].

La solucion es

Y =

[3 + 11x+ 8x2

5 + 17x+ 24x2

].



eAx =

[cosx+ 2 senx −5 senx

senx cosx− 2 senx

].

La solucion es

Y =

[−1 + 8x+ cosx− 8 senx−2 + 4x+ 2 cosx− 3 senx

].


eAx =

[1 + 2x −4xx 1− 2x

].

La solucion es

Y =

[8x3 + 6x4

3x2 − 2x3 + 3x4

].


eAx =

[cosx − senxsenx cosx

].

La solucion es

Y =

[x cosx+ (log cos x) senxx senx− (log cosx) cosx

].


eAx =

ex 2xex (3x+ 2x2)ex

0 ex 2xex

0 0 ex

.La solucion es

Y =

(9x2 + 4x3)ex

6x2ex

6xex

.22. La matriz exponencial es

eAx =

1 4x 8x+ 6x2 32x2 + 8x3

0 1 3x 8x+ 6x2

0 0 1 4x0 0 0 1

.La solucion es

Y =

15x2 + 60x3 + 95x4 + 12x5

15x2 + 55x3 + 15x4

15x2 + 20x3

15x2

.

Tema 6

Introduccion a las ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales

En este tema estudiamos algunos problemas clasicos en los cuales se incluyen ecua-ciones en derivadas parciales (e.d.p.) de segundo orden en dos variables. Estos seranintroducidos en la seccion 6.4 y resueltos mediante el metodo de separacion de variables.Para poder aplicar el metodo de separacion de variables con cierta rigurosidad, se hacenecesario estudiar resultados y procedimientos que avalen la validez de las solucionesobtenidas. En la seccion 6.1 recordamos distintos tipos de convergencia de funciones,ası como algunos resultados relativos a dichos tipos de convergencia y de convergencia deseries de funciones. Los resultados antes mencionados seran utilizados en la seccion 6.2, enla que introduciremos los desarrollos en series de Fourier1. En la seccion 6.3 recordaremosalgunos problemas de valores propios ya estudiados en el tema 3, y que apareceran en laseccion siguiente.

Sumario. Tipos de convergencia de funciones. Series de funciones. Desarrollos deFourier. Propiedades y convergencia. Problemas de valores propios. Metodo de sepa-racion de variables. Ejercicios del tema. Soluciones a los ejercicios del tema.

6.1. Tipos de convergencia de funciones. Series de

funciones

En la seccion 6.4 resolveremos e.d.p. lineales de segundo orden, L[u](x, t) = 0, median-te el metodo de separacion de variables. Este proporcionara una sucesion de funciones

1La herramienta natural para estudiar los desarrollos de Fourier es la integral de Lebesgue. Como eneste curso no es posible utilizarla, usaremos la integral de Riemann. No obstante, aunque trabajaremoscon una clase de funciones mas restrictiva, esta es lo suficientemente rica para las aplicaciones propuestas.

97

98 Introduccion a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

{un(x, t)}+∞n=1 que cumplira

L

[k∑

n=1

un

](x, t) = 0, para todo k ≥ 1.

A continuacion definiremos la funcion

u(x, t) = lımk→+∞

k∑n=1

un(x, t) =+∞∑n=1

un(x, t),

con la que pretenderemos obtener la solucion de L[u] = 0. Sin embargo, para asegurarnosde que u es solucion habra que probar que la definicion de u tiene sentido, es decir, queexiste el lımite indicado y que proporciona una funcion derivable que satisface L[u] = 0(ademas de las posibles condiciones iniciales y/o de contorno).

Dedicaremos esta seccion al estudio de la convergencia de sucesiones y series de fun-ciones, completando ası el estudio hecho en el tema anterior sobre series de potencias.

Fijado n ≥ 1 y un subconjunto X ⊂ IRn, denotaremos por IRX al espacio vectorialde las funciones definidas en X. En la siguiente definicion aparecen distintos tipos deconvergencia de sucesiones de funciones.

Definicion 6.1.1. Fijadas {fn}n ⊂ IRX y f ∈ IRX , se dice que:

(i) {fn}n converge puntualmente a f si:

∀x ∈ X, ∀ε > 0 ∃nx,ε ∈ IN / |fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nx,ε;

o equivalentemente

∀x ∈ X, (fn(x))n ⊂ IR converge a f(x) ∈ IR;

(ii) {fn}n converge uniformemente a f si:

∀ε > 0 ∃nε ∈ IN / |fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nε, ∀x ∈ X;

o equivalentemente

∀ε > 0 ∃nε ∈ IN / supx∈X|fn(x)− f(x)| < ε si n ≥ nε;

(iii) {fn}n converge en media cuadratica a f respecto a la funcion peso ρ si:

∀ε > 0 ∃nε ∈ IN /

∫X

[fn(x)− f(x)]2ρ(x)dx < ε si n ≥ nε.

Ejemplo 6.1.2.

(i) La sucesion de termino general fn(x) = xn ∈ IR[0,1] converge puntualmente a

f(x) =

{0 si 0 ≤ x < 1,

1 si x = 1;

6.1 Tipos de convergencia de funciones. Series de funciones 99

(ii) La sucesion de termino general fn(x) =n− 1

n∈ IR[0,1] converge uniformemente a

f(x) = 1 ∈ IR[0,1];

(iii) La sucesion de termino general fn(x) =n− 1

n∈ IR[0,1] converge en media cuadratica

a

f(x) =

{1 si 0 ≤ x < 1,

3/2 si x = 1.

Proposicion 6.1.3. En la definicion 6.1.1 (ii)⇒ (i) y (ii)⇒ (iii), siendo falsos, en ge-neral, los recıprocos. Ademas entre (i) y (iii) no hay, en general, relacion.

Fijado n ≥ 1 y un subconjunto compacto K ⊂ IRn, denotaremos por C(K) al espaciovectorial de las funciones continuas definidas en K. Ademas consideremos la norma delsupremo

||f ||∞ = supk∈K|f(k)|, para cada f ∈ C(K).

Observacion 6.1.4. Una sucesion {fn}n ⊂ C(K) converge uniformemente a f ∈ C(K)si, y solo si, ∀ε > 0 ∃nε tal que ||f − fn||∞ < ε ∀n ≥ nε. Denotaremos este tipo deconvergencia mediante

|| · ||∞ − lım fn = f en K.

Teorema 6.1.5. Fijado un compacto K ⊂ Rn, se cumple:

(i) C(K) es un subespacio vectorial cerrado de (IRK , ‖ · ‖∞), es decir, el lımite uniformede funciones continuas es una funcion continua;

(ii) el espacio vectorial normado (C(K), ‖ · ‖∞) es completo, es decir, las sucesiones uni-formemente de Cauchy son uniformemente convergentes;

(iii) el espacio vectorial de los polinomios definidos en K es un subespacio vectorial nor-mado y denso en (C(K), ‖ · ‖∞).

Observacion 6.1.6. Los espacios vectoriales normados completos se denominan espaciosde Banach. Los espacios de Banach proporcionan un marco adecuado para el estudio deanalisis funcional lineal y no lineal, teorıa de operadores, analisis abstracto, probabilidad,optimizacion y otras ramas de las matematicas.

Definicion 6.1.7. Fijada {fn}n ⊂ IR[a,b], se dice que la serie∑+∞

n=1 fn converge puntual-mente (resp. uniformemente; resp. en media cuadratica) si lo hace la sucesion definidapor las sumas parciales, cuyo termino general es sN =

∑Nn=1 fn.

Teorema 6.1.8 (Criterio M de Weierstrass). Sea∑+∞

n=1 fn una serie de funciones deIR[a,b],

∑+∞n=1Mn una serie numerica convergente tal que

|fn(x)| ≤Mn, ∀n ≥ 1, ∀x ∈ [a, b].

Entonces la serie∑+∞

n=1 fn converge uniforme y absolutamente en IR[a,b].


Ejemplo 6.1.9. La serie+∞∑n=1

sennx

enconverge uniforme y absolutamente en todo intervalo

compacto de IR. Por lo tanto la funcion definida por esta tiene por dominio IR.

En el tema anterior hemos trabajado con series de potencias y hemos utilizado laspropiedades tan buenas de que estas disfrutan. Por ejemplo una serie de potencias essiempre derivable y su derivada se obtiene derivando termino a termino manteniendoseel mismo intervalo de convergencia para la nueva serie obtenida. Sin embargo en estetema trabajaremos con series de funciones, y estas no gozan de las propiedades de lasseries de potencias. Ası que hay que manipular cuidadosamente las series de funcionesy asegurarse, por ejemplo, de que la serie con la que trabajamos es derivable, antes decalcular su derivada.

Ejemplo 6.1.10. La sucesion dada por el termino general fn(x) =sennx√

nconverge uni-

formemente a f(x) = 0 en IR, sin embargo f ′n no converge a f ′.

Hay que tener en cuenta que, en general:[+∞∑n=1

fn

]′6=

+∞∑n=1

f ′n;

∫ b

a

+∞∑n=1

fn 6=+∞∑n=1

∫ b

a

fn.

Para que se cumpla la igualdad hay que pedir, al menos, convergencia uniforme en unintervalo compacto.

Teorema 6.1.11. Fijada {fn}n ⊂ IR[a,b], supongamos que existe c ∈ [a, b] tal que∑+∞

n=1 fn(c)converge, todas las funciones fn son derivables con derivada continua y la serie de derivadas∑+∞

n=1 f′n converge uniformemente en IR[a,b]. Entonces la serie

∑+∞n=1 fn converge uniforme-

mente en IR[a,b] y [+∞∑n=1

fn

]′=

+∞∑n=1

f ′n.

Ejemplo 6.1.12. La funcion obtenida en el ejemplo 6.1.9 es derivable en todo IR y suderivada se obtiene derivando termino a termino la serie inicial.

Ejemplo 6.1.13. Fijado k > 0, la serie+∞∑n=1

e−kn2t sen(nx) converge en 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0.

Utilizando el teorema 6.1.11 se puede justificar que la funcion obtenida a traves de la serie,u(x, t), es derivable en (0, π) × (0,+∞), y que la derivada se obtiene derivando terminoa termino la serie.

6.2. Desarrollos de Fourier. Propiedades y conver-

gencia

En cursos previos se estudia el espacio euclıdeo IRn, en el que se fija el producto escalarcanonico <,> y la base canonica ortonormal {ei}ni=1. Cualquier elemento x ∈ IRn cumple

6.2 Desarrollos de Fourier. Propiedades y convergencia 101

x =∑n

i=1 < x, ei > ei. Ahora bien, si consideramos la base canonica {ei}n−1i=1 de IRn−1 y

definimos x′ =∑n−1

i=1 < x, ei > ei ∈ IRn−1, se dice que x′ es la proyeccion ortogonal de xsobre el espacio IRn−1. Se cumple:

(i) x′ ⊥ x− x′ (extendiendo x′ como elemento de IRn);

(ii) x′ es el vector de IRn−1 que mejor aproxima a x en el sentido de la desigualdad

< x− x′, x− x′ >≤< x− y, x− y > , ∀y ∈ IRn−1.

En esta seccion estudiaremos mecanismos para descomponer una funcion en seriesde Fourier, generalizando el procedimiento descrito en el parrafo anterior (ya que tra-bajamos en espacios vectoriales de dimension infinita). Ademas veremos que condicionesdebe cumplir la funcion a descomponer para obtener convergencia de la serie construidaa la funcion inicial.

Definicion 6.2.1. Se dice que ρ ∈ IR[a,b] es una funcion peso si es estrictamente positivaen [a, b] y continua en (a, b). Fijada esta, se define el conjunto:

Rρ[a, b] = {f ∈ IR(a,b) localmente integrable tal que

∫ b

a

f 2ρdx < +∞}.

Observacion 6.2.2. En la definicion anterior, la expresion∫ baf 2ρdx puede corresponder

a una integral impropia. Cuando no cause confusion escribiremos Rρ en lugar de Rρ[a, b].

Ejemplo 6.2.3. 4√x ∈ R 1

x[0, 1], 1 6∈ R 1

x[0, 1], log x ∈ R1[0, π].

Proposicion 6.2.4. Fijados un intervalo [a, b] ⊂ IR y una funcion peso ρ, se cumple:

(i) Rρ[a, b] es subespacio vectorial de IR(a,b);

(ii) para cualesquiera f , g ∈ Rρ[a, b] siempre existe la integral∫ b

a

f(x)g(x)ρ(x)dx.

Definicion 6.2.5. Se dice que dos funciones f , g ∈ Rρ son ortogonales si el semiproductoescalar

< f, g >ρ=

∫ b

a

f(x)g(x)ρ(x)dx = 0.

Proposicion 6.2.6. Dada una funcion peso ρ, una sucesion ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ yf ∈ Rρ, la combinacion lineal de elementos de {φn}n≥1 que da la aproximacion optima af en el sentido de los mınimos cuadrados, es decir, que hace menor la expresion∫ b

a

[f(x)−k∑

n=1

cnφn(x)]2ρ(x)dx =< f −k∑

n=1

cnφn, f −k∑

n=1

cnφn >ρ, (6.1)


para cualquier k ∈ IN fijado, es la dada por los coeficientes siguientes (siempre que estosexistan)

cn =

∫ b

a

fφnρdx∫ b

a

φ2nρdx

∀n ≥ 1. (6.2)

Observacion 6.2.7. La proposicion anterior generaliza el procedimiento descrito en elprimer parrafo de esta seccion. Si denotamos por sN =

∑Nn=1 cnφn, donde los coeficientes

cn vienen definidos por (6.2), se cumple:

(i) < sN , f − sN >ρ= 0;

(ii) < f − sN , f − sN >ρ≤< f − g, f − g >ρ , ∀g ∈ span({φn}Nn=1) ⊂ Rρ.A sN se le llama la proyeccion ortogonal de f sobre el espacio vectorial span({φn}Nn=1),

N ≥ 1.

Ejemplo 6.2.8. La mejor aproximacion (o proyeccion) de f(x) = x2 a (sobre) span({φ1, φ2}) ⊂R1[−1, 1] mediante φ1 = 1 y φ2 = x es s = 1

3· 1 + 0 · x.

Definicion 6.2.9. Dada una familia ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ y f ∈ Rρ, llamaremoscoeficientes de Fourier a cada uno de los coeficientes cn definidos por la formula (6.2)anterior. A la serie

∑+∞n=1 cnφn(x) se le llama desarrollo en serie de Fourier de f mediante

la familia {φn}n≥1 y se suele escribir

f(x) ∼+∞∑n=1

cnφn(x).

Ejemplo 6.2.10. Ejemplos de familias ortogonales que proporcionan desarrollos en seriesde Fourier (en el espacio de funciones indicado en cada caso).

(i) La familia trigonometrica {1} ∪ {cos(nx), sen(nx) : n = 1, 2, ...} en R1[−π, π]. Los de-sarrollos obtenidos mediante esta familia se denominan series trigonometricas de Fourier;

(ii) Los polinomios de Legendre en R1[−1, 1];

(iii) Los polinomios de Hermite en Re−x2 (−∞,+∞);

(iv) Los polinomios de Chebyshev en R 1√1−x2

[−1, 1].

A continuacion veremos una serie de igualdades y desigualdades clasicas.

Proposicion 6.2.11 (Desigualdad de Bessel). Dada una familia ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ,f ∈ Rρ y su respectiva serie de Fourier

∑+∞n=1 cnφn(x). Se cumple que:

+∞∑n=1

c2n

∫ b

a

φ2nρdx ≤

∫ b

a

f 2ρdx.


Corolario 6.2.12. En las hipotesis del resultado anterior, se cumple que:

lımn→+∞

∫ bafφnρdx√∫ baφ2nρdx

= 0,

(siempre que se anulen, a lo sumo, una cantidad finita de denominadores).

Proposicion 6.2.13. Dada una familia ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ y f ∈ Rρ, entonces

lımN

∫ b

a

[N∑n=1

cnφn(x)− f(x)]2ρ(x)dx = 0 (convergencia en media cuadratica)

si, y solo si,+∞∑n=1

c2n

∫ b

a

φ2nρdx =

∫ b

a

f 2ρdx. (Identidad de Parseval)

Definicion 6.2.14. Una familia ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ se dice que es un sistemacompleto, cuando la serie de Fourier de cualquier f ∈ Rρ converge en media cuadraticaal propio f . Equivalentemente, el sistema es completo cuando se cumple la identidad deParseval para todo f ∈ Rρ.

Ejemplo 6.2.15. Consideramos el sistema completo {sen(nx)}n≥1 ⊂ R1[0, π]. Comprue-ba:

(i) Los coeficientes de la Fourier de f(x) = 1 respecto al sistema fijado vienen dados porlas formulas

c2n−1 =4

π(2n− 1), y c2n = 0;

(ii) Usando la identidad de Parseval se obtiene

+∞∑n=1

1

(2n− 1)2=π2

8;

(iii) Aplicando el corolario 6.2.12, se obtiene lımn→+∞

∫ π

0

log x sennxdx = 0.

Observacion 6.2.16. En el teorema 6.2.38 se probara que la familia trigonometricaforma un sistema completo. Las familias de polinomios ortogonales vistos en el ejemplo6.2.10 son tambien sistemas completos.

Proposicion 6.2.17. Dado un sistema completo {φn}n≥1 ⊂ Rρ, si f y g ∈ Rρ soncontinuas en [a, b] y tienen los mismos coeficientes de Fourier, entonces f(x) = g(x)∀x ∈ [a, b]. En el caso de ser continuas salvo para una cantidad finita de puntos, lasfunciones coincidiran salvo en una cantidad finita de puntos de [a, b].


Proposicion 6.2.18 (Identidad de Parseval generalizada). Dado un sistema completo{φn}n≥1 ⊂ Rρ, si f y f ∗ ∈ Rρ entonces:∫ b

a

f(x)f ∗(x)ρ(x)dx =+∞∑n=1

cnc∗n

∫ b

a

φ2nρdx =

+∞∑n=1

cn

∫ b

a

φn(x)f ∗(x)ρ(x)dx.

Lema 6.2.19 (Riemann-Lebesgue). Dada una familia ortogonal {φn}n≥1 ⊂ Rρ, f ∈IR[a,b], si la sucesion de funciones {φn(x)/

√∫ baφ2nρdx}n es uniformemente acotada y∫ b

a

|f(x)|ρ(x)dx < +∞, (la integral puede ser impropia)

entonces

lımn→+∞

∫ bafφnρdx√∫ baφ2nρdx

= 0,

siempre que existan todas las expresiones involucradas.

Ejemplo 6.2.20.

(i) Comprobar mediante la funcion

f(x) =

{−1 si x ∈ IR \Q1 si x ∈ Q

que ∫ b

a

|f |dx < +∞ 6⇒ ∃∫ b

a

fdx.

(ii) Probar que la familia dada por φn(x) = sen[(n+ 1

2

)x]∈ R1[−π, π] es ortogonal y

verifica las hipotesis del resultado anterior.

Lema 6.2.21 (Desigualdades de Schwarz).

(i) Fijados c, d ∈ IR y α > 0, se cumple

|cd| ≤ 1

2

(α2c2 +

1

α2d2

);

(ii) Si las series∑+∞

n=1 c2n y

∑+∞n=1 d

2n convergen, se cumple∣∣∣∣∣

+∞∑n=1

cndn

∣∣∣∣∣ ≤(

+∞∑n=1

c2n

)1/2(+∞∑n=1

d2n

)1/2

;

(iii) Si f y g son funciones integrables en [a, b], se cumple∣∣∣∣∫ b

a

fgdx

∣∣∣∣ ≤ (∫ b

a

f 2(x)dx

)1/2(∫ b

a

g2(x)dx

)1/2

.


En lo que queda de seccion nos centramos en el caso particularmente interesante deρ ≡ 1.

Proposicion 6.2.22. Dado f ∈ R1[a, b], las seminormas

||f ||1 =

∫ b

a

|f(x)|dx, y ||f ||2 =

(∫ b

a

f 2(x)dx

)1/2

,

cumplen que fijados (fn)n ⊂ R1 y f ∈ R1 se verifica

‖ · ‖∞ − lımnfn = f ⇒ ‖ · ‖2 − lım

nfn = f ⇒ ‖ · ‖1 − lım

nfn = f.

Definicion 6.2.23 (Conjuntos de medida nula). Un subconjunto S ⊂ IR se dice que tienemedida nula si dado ε > 0 existe una sucesion de intervalos (Jn)n tal que S ⊂ ∪nJn y∑+∞

n=1 |Jn| < ε, donde |Jn| es la longitud del intervalo Jn.

Ejemplo 6.2.24.

(i) Todo conjunto finito es de medida nula. Todo conjunto numerable es de medida nula;

(ii) El conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto no numerable y de medida nula.

Teorema 6.2.25 (Condicion de integrabilidad de Lebesgue). Una funcion acotada f ∈IR[a,b] es integrable Riemann si, y solo si, el conjunto de puntos de [a,b] en los que f esdiscontinua es de medida nula.

Observacion 6.2.26. Consideramos la siguiente relacion de equivalencia en R1[a, b]:

f ∼ g ⇔ f = g salvo para un conjunto de medida nula (f=g).

Se cumple:

(i) En el espacio cociente (R1[a, b]/ ∼) las seminormas ‖·‖1 y ‖·‖2 son, de hecho, normas.

Ademas en este caso ‖ · ‖2 proviene del producto escalar < f, g >=∫ bafgdx.

(ii) Si dos funciones f , g de R1[a, b] tienen los mismos coeficientes de Fourier, entoncesf=g.

En lo que queda de tema denotaremos por R1 al espacio R1[−π, π].

Proposicion 6.2.27 (Series trigonometricas de Fourier). Dada una funcion f ∈ R1 laserie trigonometrica de Fourier de esta puede escribirse como

1

2a0 +

+∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx),

donde

an =1

π

∫ π

−πf(t) cos(nt)dt =< f(t),

1

πcos(nt) >; n = 0, 1, 2, ...

bn =1

π

∫ π

−πf(t) senntdt =< f(t),

1

πsen(nt) >; n = 1, 2, ...


La serie de Fourier de una funcion puede converger a esta en algunos puntos y no enotros. Abordamos ahora el problema de la convergencia.

Observacion 6.2.28. Fijados f ∈ R1 y N ≥ 1 denotaremos por SN(x) la suma parcialN-esima de la serie trigonometrica de Fourier de f , es decir,

SN(x) =1

2a0 +

N∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] .

Lema 6.2.29 (Nucleo de Dirichlet). Fijados f ∈ R1 y N ≥ 1 se cumple

SN(x) =1

2π

∫ π

−πf(x+ t)DN(t)dt,

donde

DN(t) =

sen[(N + 1/2)t]

sen(1/2t)t 6= 0

DN(0) = 2N + 1Nucleo de Dirichlet,

y f se ha extendido a todo IR a partir de (−π, π] de forma periodica, es decir, f(x+2kπ) =f(x) para k entero y x ∈ (−π, π].

Como se extrae del enunciado anterior, a partir de ahora cuando fijemos una funcionf ∈ R1, consideraremos la extension periodica en todo IR de f |(−π,π] (que seguiremosdenotando por f).

Lema 6.2.30. En las hipotesis del resultado anterior, se cumple que

1

2π

∫ π

−πDN(t)dt = 1, ∀N ≥ 1.

Teorema 6.2.31 (Criterio de Dini). Dada f ∈ R1, fijado x0 ∈ [−π, π] tal que

∃∫ π

−π

|f(x0 + h)− f(x0)||h|

dh < +∞. (6.3)

Entonces la serie de Fourier de f converge a f en dicho punto.

Corolario 6.2.32. Dada f ∈ R1, si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

(i) f cumple la condicion de continuidad de Holder en x0 ∈ [−π, π], es decir,

∃α > 0,M > 0 tales que |f(x0)− f(y)| ≤M |x0 − y|α, ∀y ∈ [−π, π];

(ii) f es derivable en x0 ∈ [−π, π];Entonces la serie de Fourier de f converge a f en dicho punto.


Teorema 6.2.33 (Criterio de Dini para puntos de Discontinuidad). Sea f ∈ R1, x0 ∈(−π, π] tal que f es discontinua en dicho punto pero existen los lımites laterales corres-pondientes (f(x−0 ) y f(x+

0 )). Si ademas

∃∫ π

0

|f(x0 + h)− f(x+0 ) + f(x0 − h)− f(x−0 )|

hdh < +∞, (6.4)

entonces la serie de Fourier de f en x0 converge a 12[f(x+

0 ) + f(x−0 )].

Observacion 6.2.34.

(i) La condicion (6.4) se cumple cuando existen las semirrectas tangentes a f en x0.

(ii) Se conoce como fenomeno de Gibbs al hecho de que las sumas parciales de una serie deFourier no puedan aproximarse uniformemente a f(x) en intervalos en los que la funcionpresenta discontinuidades.

Graficas de una funcion y de sumas parcialesN-esimas de su serie de Fourier

Proposicion 6.2.35. Dada f ∈ R1 y fijada su serie Fourier correspondiente, si esta‖ · ‖∞-converge a f en [−π, π] entonces f es continua y f(−π) = f(π).

La serie de Fourier puede ser divergente en puntos donde f(x) es continua, con tal que(6.3) no se cumpla. [Ver Burkill and Burkill, A second course in Mathematical Analysis,Cambridge, 1970, pagina 315]. La continuidad es por tanto necesaria, pero no suficiente,para la convergencia de la serie de Fourier.

Teorema 6.2.36 (Convergencia uniforme de la serie de Fourier). Si f es continua en[−π, π], f(−π) = f(π) y f ′ ∈ R1, entonces la serie de Fourier de f ‖ · ‖∞-converge a fen [−π, π].

Ejemplo 6.2.37. La serie de Fourier

π

2− 4

π

+∞∑k=1

cos(2k − 1)x

(2k − 1)2


de f(x) = |x| converge en ‖ · ‖∞. En este caso

f ′(x) =

{−1 para − π < x < 0,

1 para 0 < x < π,

es discontinua y de cuadrado integrable.

Teorema 6.2.38 (Completitud de la familia trigonometrica). Fijado f ∈ R1, su serietrigonometrica de Fourier ‖ · ‖2-converge a f .

Corolario 6.2.39 (Cota del error al aproximar por series de Fourier). Si f es continuaen [−π, π], f(−π) = f(π) y f ′ ∈ R1, entonces la suma parcial de Fourier sk(x) cumple

|f(x)− sk(x)| ≤

[1

π

∫ π

−πf ′2dx−

k∑n=1

n2(a2n + b2

n)

]1/2 [π2

6−

k∑n=1

1

n2

]1/2

.

Ejemplo 6.2.40. En el ejemplo 6.2.37 el error cometido al aproximar con k = 2 es 0, 39.

Definicion 6.2.41. Dada una funcion f ∈ R1[0, π], se define la serie de Fourier de:

(i) senos de f a la serie+∞∑n=1

bn sennx,

donde

bn =2

π

∫ π

0

f(t) senntdt, n = 1, 2, ...

(ii) cosenos de f a la serie

1

2a0 +

+∞∑n=1

an cosnx,

donde

an =2

π

∫ π

0

f(t) cosntdt, n = 0, 1, 2, ...

Observacion 6.2.42.

(i) En la definicion anterior, consideramos extensiones impares de f de [0, π] a todo IR enel desarrollo de Fourier en senos y extensiones pares de f en el desarrollo de Fourier encosenos;

(ii) Las funciones de la sucesion {sen(nx)}+∞n=1 (resp. {cos(nx)}+∞

n=0) forman un sistemaortogonal completo de R1[0, π]. Ademas los resultados de convergencia vistos para la seriecompleta pueden aplicarse a la serie de Fourier de senos, con f(0) = f(π) = 0 para laconvergencia uniforme (resp. de cosenos).

Ejemplo 6.2.43. Obtener el desarrollo de Fourier en senos de f(x) = x. Idem de cosenos.


Definicion 6.2.44. Sea f(x) ∈ R1[a, b], se define la serie trigonometrica de Fourier paraf(x) como la serie

1

2a0 +

+∞∑n=1

{an cos

2nπ

b− a

[x− 1

2(a+ b)

]+ bn sen

2nπ

b− a

[x− 1

2(a+ b)

]}, (6.5)

donde los coeficientes de Fourier {an}n≥0, {bn}n≥1 se definen como:

an =2

b− a

∫ b

a

f(x) cos2nπ

b− a

[x− 1

2(a+ b)

]dx, n ≥ 0

y

bn =2

b− a

∫ b

a

f(x) sen2nπ

b− a

[x− 1

2(a+ b)

]dx, n ≥ 1.

Analogamente al caso anterior puede definirse la serie de Fourier de senos y/o la seriede Fourier de cosenos para la f .

Observacion 6.2.45. Los teoremas de convergencia para las series de Fourier vistas enel caso R1[−π, π] se aplican de igual modo al caso R1[a, b]. Para la convergencia uniformedebe cumplirse f(a) = f(b).

Un poco de historia:Estudiando la transmision del calor, Fourier se ve conducido al problema de representaruna funcion como una serie ”de Fourier”, es decir, como una serie trigonometrica. Fourierconsiguio publicar su Tesis Doctoral sobre el mencionado desarrollo en 1822, aunque paraconseguirlo tuvo muchas dificultades ya que grandes matematicos del momento (Lagrange,Laplace, Legendre, Blot, Poisson...) no aceptaban como valido este tipo de desarrollo. Elproblema que habıa en la teorıa de Fourier era que no estaba clara la convergencia de laserie hacia la funcion inicial que habıa sido descompuesta. Mas tarde Cantor se propusoestudiar en que puntos era convergente la serie de Fourier hacia la funcion inicial siendoesta continua. Este estudio le hizo ver que habıa que construir con rigor el conjunto denumeros reales. Eso hizo y ademas construyo la teorıa de ordinales y cardinales, llegandoa plantearse en 1878 la hipotesis del continuo: todo subconjunto infinito de IR es, o nume-rable, o de la misma cardinalidad que IR (vease http://www.ii.com/math/ch). Cantor nologro probar la veracidad o falsedad de la hipotesis del continuo, ni probar la convergenciade la serie de Fourier. Godel probo en 1938 que si anadimos la hipotesis del continuo ala teorıa de conjuntos usual, no surgen contradicciones. Mas tarde Cohen (medalla Fieldsen 1966) probo en 1963 que tampoco surgen contradicciones si se anade la negacion de lahipotesis del continuo a la teorıa de conjuntos usual, por lo tanto la hipotesis del continuoes independiente de la teorıa de conjuntos usual. Finalmente en 1966 Carleson (premioAbel en 2006) acaba esta historia demostrando que la serie de Fourier de una funcioncontinua converge a esta en todo punto salvo en un conjunto de medida nula.


6.3. Problemas de valores propios

Los problemas de valores propios seran estudiados con profundidad en el tema si-guiente, cuando estudiemos desarrollos generales de Fourier. Sin embargo en este temanecesitaremos resolver algunos problemas de valores propios. Por lo tanto daremos unadefinicion de problema de valores propios que, aunque restrictiva, sera suficiente paraafrontar los problemas de este tema.

Definicion 6.3.1 (Problema de valores propios (version simplificada)). Se llama problemade valores propios, al problema de determinar para que valores de λ el problema con valoresen la frontera {

y′′ + λy = 0, a < x < b,

a1y(a) + a2y′(a) = 0, b1y(b) + b2y

′(b) = 0,


Ejemplo 6.3.2. Comprobar que c1e−αx + c2e

αx = (c2− c1) senh(αx) + (c2 + c1) cosh(αx),para cualesquiera c1, c2 ∈ IR.

Ejemplo 6.3.3. El problema de valores propios{y′′ + λy = 0, 0 < x < π,

y(0) = 0, y(π) = 0,

tiene por autovalores λn = n2, y por autofunciones yn = sen(nx), para n = 1, 2, ..

6.4. Metodo de separacion de variables

Una ecuacion diferencial en derivadas parciales es una ecuacion diferencial que contienederivadas parciales de una o mas variables dependientes respecto a una o mas variablesindependientes. Una solucion de una ecuacion en derivadas parciales es una relacion im-plıcita o explıcita entre las variables, relacion que no contiene derivadas y que satisface laecuacion.

6.4 Metodo de separacion de variables 111

Comenzamos el estudio de este tipo de ecuaciones viendo algunas generalidades. Paraello nos centraremos en el tipo de ecuaciones en derivadas parciales que apareceran en losproblemas que estudiaremos.

Definicion 6.4.1. Una ecuacion en derivadas parciales lineal de segundo orden, con dosvariables independientes es una ecuacion de la forma

L[u](x, y) =

A(x, y)∂2u

∂x2(x, y) +B(x, y)

∂2u

∂x∂y(x, y) + C(x, y)

∂2u

∂y2(x, y) +D(x, y)

∂u

∂x(x, y)+ (6.6)

+E(x, y)∂u

∂y(x, y) + F (x, y)u(x, y) = G(x, y),

para (x, y) ∈ R ⊂ IR2. Si G(x, y) es identicamente cero, la ecuacion (6.6) se reduce a

L[u] = A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0, en R. (6.7)

Nuestro estudio se centrara en las ecuaciones con coeficientes constantes, estas puedenclasificarse segun la siguiente definicion.

Definicion 6.4.2. Se dice que la ecuacion en derivadas parciales lineal y de segundoorden

L[u] = A∂2u

∂x2+B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y2+D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ Fu = 0, (6.8)

donde A, B, C, D, E y F son constantes reales es:

(i) Hiperbolica, si B2 − 4AC > 0;

(ii) Parabolica, si B2 − 4AC = 0;

(iii) Elıptica, si B2 − 4AC < 0.

Ejemplo 6.4.3.

(i) Se llama ecuacion de ondas unidimensional a la ecuacion

c2∂2u

∂x2(x, t)− ∂2u

∂t2(x, t) = 0,

siendo c > 0. Esta es una ecuacion hiperbolica.

(ii) Se llama ecuacion del calor unidimensional a la ecuacion

a2∂2u

∂x2(x, t)− ∂u

∂t(x, t) = 0,

siendo a > 0. Esta es una ecuacion parabolica.


(iii) Se llama ecuacion de Laplace de dimension dos a la ecuacion

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0⇔ ∇2u = 0,

siendo ∇ el operador laplaciano en dos dimensiones. Esta es una ecuacion elıptica. Alas funciones de clase C2 que son solucion de esta ecuacion se les denomina funcionesarmonicas.

Las soluciones generales de los problemas que estudiaremos dependen de funciones ar-bitrarias, habra que determinarlas teniendo en cuenta las condiciones iniciales y/o condi-ciones de contorno del problema en cuestion.

Ejemplo 6.4.4. Se llama problema de desplazamiento u(x, t) de una cuerda con extremosfijos, velocidad inicial cero y forma inicial dada por la funcion f(x), al problema de resolverla ecuacion unidimensional de ondas

L[u] =∂2u

∂t2− c2∂

2u

∂x2= 0,

sujeta a las condiciones

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L;

∂u

∂t(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L;

u(0, t) = 0 = u(L, t), t > 0.

(6.9)

Antes de ilustrar el metodo de separacion de variables con varios ejemplos hemos de verel principio del maximo para las ecuaciones del calor y de Laplace. Estos seran utilizadospara probar la convergencia y la continuidad de la solucion obtenida en forma de serie defunciones.

Teorema 6.4.5 (Principio del maximo para la ecuacion del calor). Sea E = [0, π]× [0, t0],u(x, t) solucion de la ecuacion del calor en el interior de E continua en E, S1 = {0} ×[0, t0], S2 = [0, π] × {0}, S3 = {π} × [0, t0]. Entonces el maximo de u sobre E se alcanzaen S1 ∪ S2 ∪ S3.

Ejemplo 6.4.6. Resuelva:

L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0;


u(x, 0) = f(x); (distribucion inicial de temperatura)u(0, t) = 0 = u(π, t) (extremos de la varilla a temperatura constante);

(6.10)

siendo f continua en [0, π], f(0) = f(π) = 0 y f ′ ∈ R1[0, π].


Ejemplo 6.4.7. Resuelva:

L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = f(x);u(0, t) = 0;

∂u

∂x(π, t) = 0.

(6.11)

Siendo f derivable con continuidad y f(0) = 0 = f ′(π).

Teorema 6.4.8 (Principio del maximo para la ecuacion de Laplace). Sea E = [0, π] ×[0, t0], u(x, t) solucion de la ecuacion de Laplace en el interior de E continua en E,S1 = {0} × [0, t0], S2 = [0, π] × {0}, S3 = {π} × [0, t0],S4 = [0, π] × {t0}. Entonces elmaximo de u sobre E se alcanza en S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4.

Ejemplo 6.4.9. Resuelva y calcule el error cometido al aproximar la solucion por unasuma finita:

L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < π, 0 < y < A;


u(x, 0) = f(x);u(0, y) = u(π, y) = u(x,A) = 0;

(6.12)

siendo f continua en [0, π], f(0) = f(π) = 0 y f ′ ∈ R1[0, π].

Ejemplo 6.4.10. Resuelva utilizando un cambio de variable a polares.

L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, x2 + y2 < 1;


u(x, y) continua x2 + y2 ≤ 1;u(x, y) = f(x, y); x2 + y2 = 1.

(6.13)

siendo f derivable con continuidad y periodica de periodo 2π.

Ejemplo 6.4.11. Encuentre la solucion formal de

L[u] =∂2u

∂t2− c2∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0.

sujeta a las condicionesu(x, 0) = f(x),

∂u

∂t(x, 0) = 0,

u(0, t) = 0 = u(π, t).

(6.14)


Ejercicios del tema

1. Fijado k > 0, la serie+∞∑n=1

e−k(n−1/2)2t sen((n− 1/2)x) converge en 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0.

Probar que la funcion obtenida u(x, t) por la serie es derivable en (0, π)× (0,+∞),y que la derivada se obtiene derivando termino a termino la serie inicial.

2. Fijado A > 0, la serie+∞∑n=1

senh[n(A− y)]

senh(nA)sennx, converge en [0, π]× [0, A]. Probar:

a)senh[n(A− y)]

senh(nA)≤ e−ny

1− e−2A, para n = 1, 2, ..;

b) que la funcion obtenida u(x, t) por la serie es derivable en (0, π) × (0, A), y que laderivada se obtiene derivando termino a termino la serie inicial.

3. Encuentre la expresion de la desigualdad de Bessel cuando consideramos R1[−π, π]con el sistema ortogonal trigonometrico.

4. En el contexto del ejercicio 3 encuentre la expresion de la identidad de Parseval.Aplicar dicha formula a f(x) = x y a f(x) = x3.

5. En el contexto del ejercicio 3 reescriba el teorema de Riemann Lebesgue.

6. Hallar la serie de Fourier para π < x < π en los casos:a) f(x) = ex b) f(x) = x2 c) f(x) = x d) f(x) = sen3 x.

7. Hallar la suma de la serie de Fourier correspondiente a f(x) = ex para −π < x < πen x = π.

8. Demostrar que si f(x), ampliada como funcion periodica, es derivable dos veces concontinuidad, su serie de Fourier converge uniformemente.Indicacion: Aplicar integracion por partes a las expresiones de an y bn dadas en laproposicion 6.2.27.

9. Hallar la serie de Fourier para f(x) = x4. Hallar una cota del error cometido alsustituir x4 por los tres primeros terminos de la serie.

10. Hallar la serie de Fourier para senhx. Probar que esta serie no converge uniforme-mente para −π ≤ x ≤ π.

11. Hallar un numero N tal que la suma parcial N -esima de la serie de Fourier def(x) = |x| aproxime a f(x) con un error no superior a 0, 1.

12. Resolver el problema de valores propios{y′′ + λy = 0, 0 < x < π,

y(0) = 0, y′(π) = 0,


13. Resolver el problema de valores propios{y′′ + λy = 0, −π < x < π,

y(−π) = y(π), y′(−π) = y′(π),

14. Resolver el problema:

L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = sen3(x);u(0, t) = 0 = u(π, t).


L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = x(π − x);u(0, t) = 0 = u(π, t).


L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, 0 < x < π, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = sen(x);

∂u

∂x(0, t) = 0;

∂u

∂x(π, t) = 0.


L[u] =∂u

∂t− k∂

2u

∂x2= 0, a < x < b, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = (x− a)(b− x);u(a, t) = 0 = u(b, t).


L[u] =∂u

∂t− ∂2u

∂x2+ au = 0, 0 < x < π, t > 0;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = x(π − x);

∂u

∂x(π, t) = 0 = u(0, t).



L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < B, 0 < y < A;


u(x, 0) = f(x);u(0, y) = 0 = u(B, y) = u(x,A).


L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < π, 0 < y < A;


u(0, y) = g(y);u(π, y) = 0 = u(x, 0) = u(x,A).


L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < π, 0 < y < π;


u(x, 0) = x2(π − x);u(π, y) = 0 = u(0, y) = u(x, π).


L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < π, 0 < y < 1;


u(x, 0) = u(x, 1) = sen3 x;u(0, y) = senπy;u(π, y) = 0.


L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < π, 0 < y < π;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = x2;u(x, π) = 0;∂u

∂x(0, y) =

∂u

∂x(π, y) = 0.

Demostrar que la solucion obtenida satisface todas las condiciones del problema, yhallar una cota del error |u(x, y)− s2(x, y)|.



L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;

sujeta a las condicionesu(x, 0) = (1− x)2;u(x, 1) = 0;∂u

∂x(0, y) = 0

u(1, y) = 0.

Hallar una cota del error |u(x, y)− s2(x, y)|.

25. Resuelva:

L[u] =∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2= 0, 0 < r < 1,−π < θ < π;

sujeta a la condicion

u(1, θ) = sen3 θ. (6.15)

26. Resuelva:

L[u] =∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0, x2 + y2 < 4;

sujeta a la condicion

u(x, y) = x4, para x2 + y2 = 4. (6.16)

Encontrar una cota para |u(r, θ)− u1(r, θ)|.

27. Si

∇2u = 0, para x2 + y2 < 1;

u = y log(5 + 4x), para x2 + y2 = 1,

hallar u en x = 1/2, y = 0 por medio de la formula de Poisson.

28. Resolver el problema en un semicırculo

L[u] =∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2= 0, 0 < r < 1, 0 < θ < π;

sujeta a la condicionu(r, 0) = u(r, π) = 0;u(1, θ) = θ(π − θ). (6.17)


29. Resolver el problema en un cuadrante

L[u] =∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2= 0, 0 < r < 1, 0 < θ <

1

2π;

sujeta a la condicionu(r, 0) = 0;

u(r,1

2π) = 0;

u(1, θ) = θ.

(6.18)

Soluciones a los ejercicios del tema

1. Repetir las pautas seguidas en la resolucion del ejemplo 6.1.13.

2. Repetir las pautas seguidas en la resolucion del ejemplo 6.1.13.

3. Si f es integrable en [−π, π], entonces:

a20

2+

+∞∑n=1

(a2n + b2

n) ≤ 1

π

∫ π

−πf 2(x)dx.

4. Con una sola funcion es cambiar la desigualdad por la igualdad en la solucion delejercicio anterior. En el sentido general, dadas f , f ∗ integrables en [−π, π] se cumple:

1

π

∫ π

−πf(x)f ∗(x)dx =

a0a∗0

2+

+∞∑n=1

(ana∗n + bnb

∗n).

Respecto al caso particular, obtenemos la identidad

π4

10=

+∞∑n=1

1

n2

(π2 − 6

n2

).

5. Para cualquier funcion f integrable en [−π, π] se cumple:

lımn→+∞

∫ π

−πf(t) cosntdt = lım

n→+∞

∫ π

−πf(t) senntdt = 0.

6. (a)senhπ

π

{1 + 2

+∞∑n=1

(−1)n

n2 + 1(cosnx− n sennx)

}.

(b)1

3π2 + 4

+∞∑n=1

(−1)n

n2cosnx.


(c) −2+∞∑n=1

(−1)n

nsennx.

(d) sen3 x =3

4senx− 1

4sen 3x.

7.1

2

[f(π−) + f(π+)

]=

1

2

(eπ + e−π

).

8.

∣∣∣∣∣N∑

M+1

(an cosnx+ bn sennx)

∣∣∣∣∣ ≤ 2

π

∫ π

−π|f ′′|dx

N∑M+1

1

n2.

9.1

5π4

+∞∑n=1

(−1)n(

8π2

n2− 48

n4

)cosnx.

Error ≤{

32π6

7− (8π2 − 48)2 − 22(2π2 − 3)2

}1/2{π2

6− 1− 1

4

}1/2

≡ 30, 24.

10. − 2

πsenhnπ

+∞∑n=1

(−1)nn

n2 + 1sennx.

La funcion f(x) ampliada como una funcion periodica de perıodo 2π, es discontinuaen x = π y en x = −π. Luego la serie de Fourier no puede converger uniformementehacia ella.

11. Segun el teorema 6.2.39 debemos elegir N de modo que{2− 4

π2

N∑n=1

[1− (−1)n]2

n2

}{π2

6−

N∑n=1

1

n2

}≤ 0, 01.

Esta desigualdad se satisface para N = 9.

12. λn = (2n− 1)2/4, yn = sen[(2n− 1)/2x]

13. λ0 = 0, y0 = 1, λn = n2, y1n = sen(nx), y2

n = cos(nx).

14. u(x, t) =3

4e−kt senx− 1

4e−9kt sen 3x.

15. u(x, t) =8

π

+∞∑n=1

(2n− 1)−3e−(2n−1)2kt sen(2n− 1)x.

16. u(x, t) =2

π− 4

π

+∞∑n=1

(4n2 − 1)−1e−4n2kt cos 2nx.

17. u(x, t) = 8π−3(b− a)2

+∞∑n=1

(2n− 1)−3e−(2n− 1)2π2kt

(b− a)2sen

(2n− 1)π(x− a)

b− a.


18. u(x, t) = 8+∞∑n=1

[4

π(2n− 1)−3 + (−1)n(2n− 1)−2

]e− [(2n− 1)2k + 4a]t

4 sen

(n− 1

2

)x.

19. u(x, y) =+∞∑n=1

bnsenhnπ(A− y)/B

senhnπA/Bsennπx/B, donde bn = 2/B

∫ B0f(x) sen(nπx/B)dx.

20. u(x, y) =+∞∑n=1

bnsenhnπ(π − x)/A

senhnπ2/Asennπy/A, donde bn = 2/A

∫ A0f(x) sen(nπy/A)dy.

21. u(x, y) = −4+∞∑n=1

[1 + 2(−1)n]n−3 senhn(π − y)

senhnπsennx, donde el error esta acotado

por{4

15π4 − 16− 9

}1/2{1

6π2 − 1− 1

4

}1/2

∼ 0, 621.

22. u(x, y) =3[senh(1− y) + senh y]

4 senh 1senx− [senh 3(1− y) + 3 senh 3y]

senh 3sen 3x+

senh π(π − x)

senhπ2sen πy.

23. u(x, y) =1

3π(π − y) + 4

+∞∑n=1

(−1)n senhn(π − y) cosnx

n2 senhnπ, donde el error esta acotado

por{8

3π2 − 16− 4

}1/2{1

6π2 − 1− 1

4

}1/2

∼ 1, 58.

24. u(x, y) = 4+∞∑n=1

[π−2

(n− 1

2

)−2

+ (−1)nπ−3

(n− 1

2

)−3]

senh(n− 1

2

)π(1− y) cos

(n− 1

2

)πx

senh(n− 1

2

)π

,

estando el error acotado por 2

π2

∫ 1

0

(2x)2dx−2∑

n=1

16

[π−2

(n− 1

2

)−2

+ (−1)nπ−3

(n− 1

2

)−3]2(

n− 1

2

)2

1/2

·

·

{+∞∑n=3

(n− 1

2

)−2}1/2

∼ 0, 20.

25.1

4

[3r sen θ − r3 sen 3θ

].

26.1

8

[768 + 64r2 cos 2θ + r4 cos 4θ

].

27. u

(−1

2, 0

)= 0.


28. u(r, θ) =8

π

+∞∑k=1

(2k − 1)−3r2k−1 sen(2k − 1)θ.

29. u(r, θ) =4

π

+∞∑k=1

(−1)k(2k − 1)−2r2k−1 sen(2k − 1)θ.

Tema 7

Teorıa de Sturm-Liouville y funcionde Green

En la primera seccion estudiamos problemas de valores propios que dan lugar a de-sarrollos generales de Fourier. Asimismo estudiamos las propiedades de los autovalores ylas autofunciones de los problemas regulares de Sturm-Liouville. Finalmente hacemos unapequena incursion en los problemas singulares de Sturm-Liouville.

En la segunda seccion estudiaremos como obtener funciones de Green para problemasque involucren operadores auto adjuntos. A continuacion analizaremos las propiedades dela funcion de Green. Como veremos, la funcion de Green proporciona formulas integralespara las soluciones de ciertos problemas de condicion inicial y/o de contorno.

7.1. Problemas regulares de valor propio y desarro-

llos en serie de autofunciones

Consideramos el operador

L[y](x) :=d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x), (7.1)

donde x toma valores en (a, b), q es continua y p es derivable con continuidad en [a, b].

Para dos funciones u, v de C2[a, b] se cumple que

(Identidad de Lagrange) uL[v]− vL[u] =d

dx(pW [u, v]) ,

por lo tanto

(Formula de Green)

∫ b

a

(uL[v]− vL[u]) (x)dx = [ (pW [u, v]) (x) ] ba ,

123

124 Teorıa de Sturm-Liouville y funcion de Green

Si ademas u y v satisfacen ciertas condiciones en los extremos a y b, se llega a∫ b

a

(uL[v]− vL[u]) (x)dx = 0 (7.2)

Lo que nos lleva a que〈u, L[v]〉 = 〈L[u], v〉 (7.3)

siendo

〈f, g〉 =

∫ b

a

f(x)g(x)dx,

para f ,g ∈ R1[a, b].Un operador diferencial lineal L que satisface 7.3 para todas las funciones u y v en

su dominio se llama un operador autoadjunto. Los operadores autoadjuntos satisfacenciertas condiciones similares a las matrices simetricas en cuanto, por ejemplo, que todoslos valores propios son reales.

Proposicion 7.1.1. Dada la ecuacion

A2(x)y′′(x) + A1(x)y′(x) + A0(x)y(x) = F (x), (7.4)

considerada en un intervalo (a, b), con funciones coeficientes continuas en [a, b] y siendoA2(x) estrictamente positiva y derivable con continuidad en [a, b]. Entonces dicha ecuacionpuede expresarse en la forma auto adjunta

L[y](x) =d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x) = f(x) (7.5)

a traves del factor integrante

µ(x) =1

A2(x)e∫A1(x)/A2(x)dx,

siendo p = µA2, q = µA0, f = µF . Las funciones q y f son continuas y p es positiva yderivable con continuidad en [a, b].

Ecuaciones tan importantes como la ecuacion de Bessel, la ecuacion de Legendre, laecuacion de Hermite y la ecuacion de Chebyshev son de la forma (7.4), por lo que sepueden expresar en la forma auto adjunta (7.5).

Definicion 7.1.2 (Problema de contorno). Se llama problema de contorno (o problemade valores en la frontera) en dos puntos, al problema de determinar una solucion de unaecuacion diferencial de segundo orden

A2(x)y′′(x) + A1(x)y′(x) + A0(x)y(x) = F (x), a < x < b, (7.6)

que satisface las condiciones lineales en la frontera

a11y(a) + a12y′(a) + b11y(b) + b12y

′(b) = c1,a21y(a) + a22y

′(a) + b21y(b) + b22y′(b) = c2.

(7.7)

7.1 Problemas regulares de valor propio y desarrollos en serie deautofunciones 125

Las condiciones en (7.7) se dice que son homogeneas si c1 = c2 = 0, y no homogeneasen cualquier otro caso. Hay ciertas condiciones de contorno que aparecen con frecuenciaen las aplicaciones. Veamos algunos ejemplos, condiciones:

Separadas, si son de la forma{a1y(a) + a2y

′(a) = c1,

b1y(b) + b2y′(b) = c2;

de Dirichlet, si son de la forma

y(a) = c1, y(b) = c2

de Neumann, si son de la forma

y′(a) = c1, y′(b) = c2

periodicas de perıodo 2L si son de la formay(−L) = y(L), y′(−L) = y′(L)

o bien

y(0) = y(2L), y′(0) = y′(2L)

Ejemplo 7.1.3. El problema de contorno{y′′ + 2y′ + 26y = 0; 0 < x < π;

y(0) = 1; y(π) = −e−π;(7.8)

tiene por solucion y = e−x cos 5x+ ce−x sen 5x, para cualquier c ∈ IR.

Ejemplo 7.1.4 (Problema de la deflexion de una viga). Se considera una viga de longitudL, empotrada en un extremo y libre en el otro. La deflexion de la viga, y(x), es la soluciondel problema {

EIy(4) = ω, 0 < x < L,

y(0) = y′(0) = 0, y′′(L) = y(3)(L) = 0;

en la que E, I y ω son constantes.Obtener la expresion de y(x), el punto de maxima deflexion de la viga y el valor de

esta.

Definicion 7.1.5 (Problema de valores propios). Se llama problema de valores propios,al problema de determinar para que valores de λ el problema con valores en la frontera

d

dx

[p(x)

dy

dx

]+ q(x)y + λρ(x)y = 0, a < x < b,

a1y(a) + a2y′(a) = 0, b1y(b) + b2y

′(b) = 0,



En el tema anterior ya resolvimos problemas de valores propios al aplicar el metodode separacion de variables a ciertos problemas con ecuaciones en derivadas parciales. Enesta seccion estudiamos problemas de valores propios que contienen a aquellos como casosparticulares.

Definicion 7.1.6 (Problema regular de Sturm-Liouville con valores en la frontera). Sellama problema regular de Sturm-Liouville con valores en la frontera, al problema devalores propios dados por la ecuacion

d

dx

[p(x)

dy

dx

]− q(x)y + λρ(x)y = 0, a < x < b, (7.9)

junto con las condiciones de frontera

a1y(a)− a2y′(a) = 0, b1y(b) + b2y

′(b) = 0, (7.10)

donde p(x), p′(x), q(x) y ρ(x) son funciones continuas en [a, b] con valores reales,p(x) > 0 y ρ(x) > 0 en [a, b]. Excluimos los casos en que a1 = a2 = 0 o b1 = b2 = 0.

Ejemplo 7.1.7. En el tema anterior resolvimos el problema de valores propios:{X ′′(x) + λX(x) = 0, 0 < x < π,

X(0) = 0, X ′(π) = 0.

En este obtuvimos como autovalores y autofunciones las siguientes:{λn =

(n− 1

2

)2;

Xn(x) = sen[(n− 1

2

)x],

para n ≥ 1.

Observacion 7.1.8. A traves de los problemas de valores propios resueltos en el temaanterior obtuvimos familias de funciones (trigonometricas) con las que construimos lasrespectivas series de Fourier. En esta seccion estudiaremos que propiedades cumplen losautovalores y autofunciones obtenidos a partir de problemas regulares de valores propios, eincluso que propiedades satisfacen los desarrollos de Fourier construidos con estas familiasde autofunciones.

Definicion 7.1.9. Se dice que un valor propio es simple, si todas las funciones propiasasociadas a este son proporcionales.

Proposicion 7.1.10. Si u, v ∈ C2[a, b] satisfacen las condiciones (7.10), entonces∫ b

a

(uL[v]− vL[u]) (x)dx = 0.

Por lo tanto, el operador L restringido a u ∈ C2[a, b] que satisfacen las condiciones (7.10)es auto adjunto.


Proposicion 7.1.11. Las siguientes propiedades se cumplen para un problema regular deSturm-Liouville con valores en la frontera:

(i) Los valores propios son reales y tienen funciones propias con valores reales;

(ii) Todos los valores propios del problema regular de Sturm-Liouville con valores en lafrontera son simples;

(iii) Las funciones propias son ortogonales con respecto de la funcion de peso ρ(x) en [a, b];

(iv) Los valores propios forman una sucesion numerable y creciente

λ1 < λ2 < λ3 < · · · con lımn→∞

λn = +∞. Ademas,

si q(x) ≥ 0 en [a, b] y a1, a2, b1 y b2 son todos no negativos, entonces todos los valorespropios son no negativos.

Ejemplo 7.1.12. Determinar los valores propios y funciones propias para el problema{y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

y(0) = 0, hy(L) + y′(L) = 0. (h > 0)

Ejemplo 7.1.13. Determinar los valores propios y funciones propias para el problema{y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < π,

y(0) = 0, 3y(π)− y′(π) = 0.

Ejemplo 7.1.14. Determinar los valores propios y funciones propias para el problemad

dx

[xdy

dx

]+λ

xy = 0, 1 < x < e,

y(1) = 0, y(e) = 0.

Proposicion 7.1.15. Sea u una autofuncion y λ su correspondiente autovalor de unproblema regular de Sturm-Liouville con q ≥ 0 y condicion en la frontera

y(a) · y′(a) = 0, y(b) · y′(b) = 0.

Entonces

0 < λ =

∫ ba[pu′2 + qu2]dx∫ b

aρu2dx

, (cociente de Rayleigh).

Teorema 7.1.16 (Principio del mınimo). Fijado k ≥ 1, el mınimo siguiente se alcanza deentre las funciones φ ∈ C2[a, b] que cumplen las condiciones en la frontera (7.10) siendoa2 = 0 = b2 y q ≥ 0:

λk = mın

{∫ ba[pφ′2 + qφ2]dx∫ b

aρφ2dx

;φ ⊥ ui, i < k

},

donde cada uk es una funcion propia asociada al valor propio λk.


Recapitulando un poco, fijado un problema regular de Sturm-Liouville, se obtienen dossucesiones (λn)n ⊂ IR y (un)n ⊂ Rρ[a, b] de autovalores y autofunciones que cumplen lascondiciones de la proposicion 7.1.11. Por lo tanto, fijada f ∈ Rρ[a, b] podemos considerarsu serie de Fourier

∑+∞n=1 cnun, para la que recordemos que

cn =

∫ bafunρdx∫ b

aρun2dx

.

Teorema 7.1.17 (Completitud de un sistema ortogonal de autofunciones). Sea f inte-grable en [a, b] y {un}n el sistema de autofunciones del problema regular de Sturm-Liouvillecon valores en la frontera. Entonces la serie de Fourier correspondiente a f converge enmedia cuadratica a f en [a, b], por lo tanto se cumple la identidad de Parseval.

Teorema 7.1.18 (Convergencia uniforme las series de Fourier). Sea{un}n∈IN un sistema de funciones propias del problema regular de Sturm-Liouville convalores en la frontera (7.10). Si f es continua con derivada integrable en [a, b] y f satis-face las condiciones en la frontera (7.10), entonces la serie de Fourier

∑+∞n=1 cnun converge

uniforme y absolutamente a f en [a, b].

Teorema 7.1.19 (Convergencia puntual de las series de Fourier). Sea{un}n∈IN un sistema de funciones propias del problema regular de Sturm-Liouville convalores en la frontera (7.10). Si f tiene derivada integrable en [a, b], entonces la serie deFourier

∑+∞n=1 cnun converge puntualmente a f en los puntos de continuidad, y al promedio

12[f(x+) + f(x−)] en cada punto de discontinuidad.

Ejemplo 7.1.20. Las funciones propias del problema{y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

y′(0) = 0, y(L) = 0.

vienen dadas por yn = cos(2n− 1)πx

2L, n = 1, 2, ... La serie de Fourier de una funcion

f(x) en terminos de estas autofunciones viene dada por

+∞∑n=1

cn cos(2n− 1)πx

2L, siendo cn =

2

L

∫ L

0

f(x) cos(2n− 1)πx

2L.

Ejemplo 7.1.21. Las funciones propias del problema{y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < 1,

y(0) = 0, y(1) + 2y′(1) = 0.

vienen dadas por yn = sen βnx, n = 1, 2, ... donde βi son las raıces positivas de tanx =−2x. La serie de Fourier de una funcion f(x) = A en terminos de estas autofuncionesviene dada por

+∞∑n=1

2A(1− cos βn)

βn(1 + 2 cos2 βn)sen βnx.


Ejemplo 7.1.22. Resolver el problema planteado bajo la hipotesis que f y sus dos primerasderivadas son continuas, que f(0) = f(1) = 0 = f ′′(0) = f ′′(1) y f ′′′ es integrable en [0, 1].

1

(1 + x)2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0; 0 < x < 1, t > 0;

u(x, 0) = f(x);∂u

∂t(x, 0) = 0;

u(0, t) = 0;

u(1, t) = 0.

Corolario 7.1.23. Fijado el problemad

dx

[p(x)

dw

dx

]− q(x)w = −F (x), a < x < b,

w(a) = 0, w(b) = 0,

siendo F integrable,

Fρ−1 ∼+∞∑n=1

cnun,

donde {un}n es el sistema de autofunciones y {λn}n el de autovalores correspondiente alproblema de valores propios de la definicion 7.1.6 con a2 = 0 = b2 y q ≥ 0. La solucionde este viene dada por

w =∞∑n=1

cnλnun,

siendo la serie absoluta y uniformemente convergente en [a, b].

Teorema 7.1.24 (Teorema de separacion). Si u y v son solucion de L[u] + λρu = 0 yL[v] + λρv = 0 respectivamente, con λ ≤ λ, y si α y β son ceros consecutivos de v, debeexistir por lo menos un cero de u(x) en el intervalo abierto (α, β) a menos que λ = λ y vsea multiplo de u.

Teorema 7.1.25 (Teorema de oscilacion). La k-esima autofuncion uk del problema reg-ular de Sturm-Liouville con condiciones en la frontera tiene exactamente k − 1 ceros enel intervalo (a, b).

Teorema 7.1.26 (Teorema de monotonıa). Reduciendo el intervalo (a, b), aumentando po q, o disminuyendo ρ aumentan todos los valores propios del problema regular de Sturm-Liouville condiciones en la frontera.


7.2. Problemas singulares de valor propio y desarrol-

los en serie de autofunciones

En las aplicaciones aparecen problemas de Sturm-Liouville con valores en la fronteraque no satisfacen todas las condiciones necesarias para que el problema sea regular.

Definicion 7.2.1 (Problema singular de Sturm-Liouville). Llamamos problema singularde Sturm-Liouville al problema de valores propios asociado a la ecuacion

d

dx

[p(x)

dy

dx

]− q(x)y + λρ(x)y(x) = 0, a < x < b, (7.11)

siendo p(x), p′(x), q(x) y ρ(x) son funciones continuas en (a, b) con valores reales y queademas p(x) y ρ(x) son positivas en (a, b), y ademas al menos una de las siguientescondiciones se cumple:

(i) lımx→a+

p(x) = 0 o lımx→b−

p(x) = 0

(ii) p(x), q(x) o ρ(x) no estan acotadas en cualquier entorno de a o b.

(iii) El intervalo (a, b) no esta acotado (es decir a o b son ±+∞)

Al resolver la ecuacion de Laplace en un cırculo se realiza un cambio de variable apolares y aparece un problema de estas caracterısticas, en particular aparece el problema:

d

dr

[rdR

dr

]− n2

rR(r) = 0, 0 < r < 1;

R(r) acotada en el origen, n ≥ 1.

Dos ejemplos importantes de ecuaciones singulares de Sturm-Liouville son la ecuacionde Bessel y la ecuacion de Legendre. La ecuacion de Bessel describe la variable radialcuando la ecuacion del calor, de onda o de Laplace se separa en coordenadas cilındricas;los coeficientes no estan acotados cuando la coordenada radial tiende a cero, cerca deleje z. La ecuacion de Legendre controla la variable de angulo longitudinal cuando estasecuaciones diferenciales parciales se separan en coordenadas esfericas; los coeficientes noestan acotados cuando el angulo tiende a 0 o a π (cerca de los polos).

Ejemplo 7.2.2 (Transformacion de la ecuacion de Bessel). Un problema singular deSturm-Liouville con valores en la frontera tıpico asociada a la ecuacion de Bessel deorden ν es:

d

dx

[xdy

dx

]− ν2

xy + λxy = 0, 0 < x < 1.

En este caso p(x) = x, que se anula para x = 0. Ademas para ν 6= 0, la funcion q(x) =−ν2/x no esta acotada cuando x → 0+.El cambio de variable t =

√λx transforma la

ecuacion anterior en la ecuacion de Bessel de orden ν

t2y′′(t) + ty′(t) + (t2 − ν2)y = 0, 0 < t <√λ.

7.2 Problemas singulares de valor propio y desarrollos en serie deautofunciones 131

Ejemplo 7.2.3 (Transformacion de la ecuacion de Legendre). La ecuacion de Legendre

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0, −1 < x < 1

se puede escribir como la ecuacion singular de Sturm-Liouville

d

dx

[(1− x2)

dy

dx

]+ λy = 0, −1 < x < 1,

donde λ = n(n+ 1). En este caso p(x) = 1− x2 se anula en los dos extremos ±1.

Ejemplo 7.2.4 (Transformacion de la ecuacion de Hermite). La ecuacion deHermite

y′′ − 2xy′ + 2ny = 0, −∞ < x < +∞

al ser multiplicada por e−x2, se convierte en la ecuacion singular de Sturm-Liouville

d

dx

[e−x

2 dy

dx

]+ λe−x

2

y = 0, −∞ < x < +∞,

donde λn = 2n. En este caso el intervalo no esta acotado.

En la seccion anterior observamos que el operador lineal asociado con un problemaregular de Sturm-Liouville con valores en la frontera era un operador autoadjunto. Comomuchas de las propiedades de los problemas regulares de Sturm-Liouville con valores enla frontera son consecuencia de este hecho, es util saber que condiciones en la fronteraconvierten a una ecuacion singular de Sturm-Liouville en un problema autoadjunto. Parainvestigar esta cuestion, regresemos a la formula de Green. Como p y q son continuasen (a, b), el unico cambio posible en la formula de Green para una ecuacion singular deSturm-Liouville es que la integral sea impropia en uno o ambos extremos. En este casotenemos∫ b

a

(uL[v]− vL[u]) (x)dx = lımx→b−

p(x)W [u, v](x)− lımx→a+

p(x)W [u, v](x). (7.12)

El operador L sera autoadjunto si el miembro derecho de (7.12) se anula. Esto ocurrirıasi cada lımite, considerado por separado, fuese igual a cero. Ası, consideremos uno de loslımites del miembro derecho de 7.12 y veamos que condiciones en la frontera sobre u y vgarantizan que

lımx→a+

p(x)[u(x)v′(x)− u′(x)v(x)] = 0 (7.13)

Lema 7.2.5 (Condiciones singulares en la frontera). Cualquiera de las tres condicionessiguientes garantiza que se cumple la condicion (7.13):

(i) lımx→a+

p(x) = p(a) existe y u, v satisfacen la condicion en la frontera

a1y(a)− a2y′(a) = 0, con a2

1 + a22 6= 0 (7.14)


(ii) lımx→a+

p(x) = 0 y u, v satisfacen la condicion en la frontera

y(x), y′(x) permanecen acotadas cuando x→ a+ (7.15)

(iii) Las funciones u, v satisfacen la condicion en la frontera

lımx→a+

√p(x)y(x) = 0 = lım

x→a+

√p(x)y′(x) (7.16)

Observacion 7.2.6 (Condiciones singulares en la frontera II). Aunque el lema 7.2.5 serefiere al punto a, se puede establecer un lema similar para el punto b que garantice

lımx→b−

p(x)[u(x)v′(x)− u′(x)v(x)] = 0 (7.17)

Si 7.13 y 7.17 se cumplen, el operador L sera autoadjunto. Por ejemplo, si la condicion(i) del lema 7.2.5 se cumple para a y el analogo para la condicion (ii) se cumple para b,entonces L es autoadjunto.

Aunque las condiciones en la frontera impuestas sobre la ecuacion singular de Sturm-Liouville impliquen que el operador lineal sea autoadjunto, pueden surgir otras dificul-tades. Por ejemplo, los valores propios pueden no ser discretos (aislados). En efecto, puedeexistir todo un intervalo I tal que si λ ∈ I, entonces el problema tenga una solucion notrivial, en tal caso, se dice que el problema tiene un espectro continuo. Tambien esposible que haya valores propios discretos y un espectro continuo.

Cuando el problema singular de Sturm-Liouville con valores en la frontera no tiene es-pectros continuos sino un numero infinito de valores propios discretos, podemos modificarlos argumentos dados en la seccion anterior para problemas regulares de Sturm-Liouvillecon valores en la frontera y probar que los valores propios deben ser reales y que las fun-ciones propias correspondientes a valores propios distintos son ortogonales con respectode ρ(x) en (a, b). Ademas, las formulas para los coeficientes de un desarrollo en terminosde funciones propias son los mismos. Sin embargo, la convergencia del desarrollo mediantefunciones propias debe analizarse para cada caso particular.

7.2.1. Problema singular con la ecuacion de Bessel

Un problema singular de Sturm-Liouville con valores en la frontera tıpico asociado ala ecuacion de Bessel de orden ν es

d

dx

[xdy

dx

]− ν2

xy + λxy = 0, 0 < x < 1, (7.18)

y(x), y′(x) permanecen acotadas cuando x→ 0+

y(1) = 0(7.19)

Este problema es autoadjunto, pues la condicion (ii) del lema 7.2.5 se cumple en a = 0 yel analogo de la condicion (i) del mismo lema en b = 1.


Si λ > 0, la sustitucion t =√λx transforma 7.18 en la ecuacion de Bessel usual

t2y′′(t) + ty′(t) + (t2 − ν2)y = 0 (7.20)

En el tema 4 usamos los metodos de series de potencias para mostrar que una soluciongeneral de 7.20 es

y(t) = c1Jν(t) + c2Yν(t)

o

y(x) = c1Jν(√λx) + c2Yν(

√λx)

El desarrollo en serie de potencias para Jν(√λx) implica que para ν = 0 o ν ≥ 1, Jν(

√λx)

y√λJ ′ν(√λx) permanecen acotadas cuando x→ 0+. Sin embargo, la funcion Yν(

√λx) no

esta acotada. Por lo tanto, tomamos c2 = 0 para que se cumpla la primera condicion de7.19.

Para que se cumpla y(1) = 0 con y(x) = c1Jν(√λx), necesitamos que c1 = 0 o

Jν(√λ) = 0.

Es decir,√λ debe ser un cero de Jν para que Jν(

√λx) sea una solucion no trivial de

(7.18-7.19). Se puede demostrar que la funcion de Bessel Jν tiene una sucesion crecientede ceros reales:

0 < αν1 < αν2 < · · ·

Por lo tanto, λn = α2νn, n ≥ 1 son los valores propios de este problema con funciones

propias correspondientes

yn(x) = Jν(ανnx). (7.21)

Estos son los unicos valores propios positivos. Ademas, se puede demostrar que no existenvalores propios no positivos para este problema.

Las funciones propias en 7.21 son ortogonales con respecto de la funcion de pesoρ(x) = x: ∫ 1

0

Jν(ανnx)Jν(ανmx)xdx = 0, n 6= m. (7.22)

Ademas se puede probar que estas forman un sistema completo. Si f(x) es una funciondada, entonces un desarrollo mediante funciones propias asociado a f es

f ∼+∞∑n=1

anJν(ανnx), (7.23)

donde

an =

∫ 1

0

f(x)Jν(ανnx)xdx∫ 1

0

J2ν (ανnx)xdx


Cuando f y f ′ son continuas por partes en [0, 1], el desarrollo en 7.23 converge a

1

2

[f(x−) + f(x+)

]para cada x ∈ (0, 1).

Ejemplo 7.2.7. Consideremos un cilindro de radio unidad que tiene una temperaturainicial constante u(r, 0) = u0 r < 1. Determinar u(r, t) teniendo en cuenta que la temper-atura en la frontera es cero, e. d. u(1, t) = 0, t > 0.

Ejemplo 7.2.8 (Vibracion de una membrana circular). Consideremos el problema:

∂2u

∂t2− c2

[∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2

]= 0, r < 1, t > 0;

u(r, θ, 0) = f(r, θ);∂u

∂t(r, θ, 0) = 0;

u(1, θ, t) = 0.

Su solucion representa el pequeno movimiento transversal de una membrana circular tensade contorno fijo. Por ejemplo, puede ser el movimiento del parche de un tambor.

Indicaciones:Con la separacion de variables, encontramos soluciones de la formaR(r) cos(mθ) cos(c

√λt)

y R(r) sen(mθ) cos(c√λt) donde m = 0, 1, 2, ... y R es una solucion del problema de au-

tovaloresd

dr

[rdR

dr

]− m2

rR + λrR = 0, 0 < r < 1, (7.24)

R(r), R′(r) permanecen acotadas cuando r → 0+

R(1) = 0

En los parrafos precedentes se han estudiado los autovalores y autofunciones del problema.Con estos la solucion del problema de la membrana viene dada por la serie:

u(r, θ, t) =1

2

+∞∑n=1

cn,0J0(α0nr) cos(cα0nt)++∞∑n,m=1

(cnm cosmθ+dnm senmθ)J0(αmnr) cos(cαmnt).

Esta representa la suma de vibraciones sensibles de forma fija. Esos movimientos senoidales,descritos cnm cosmθJ0(αmnr) cos(cαmnt) y dnm senmθJ0(αmnr) cos(cαmnt) se llaman mo-dos normales del sistema. Las frecuencias caracterısticas o naturales de vibracion soncαmn/2π. Se determinan con los autovalores del problema (7.24). Las formas de modos nor-males se determinan con las correspondientes autofunciones. 2


Ejemplo 7.2.9 (Vibraciones forzadas. Resonancia). Consideremos el problema:

∂2u

∂t2− c2

[∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2

]= F (r, θ) cosωt, r < 1, t > 0;

u(r, θ, 0) = 0;∂u

∂t(r, θ, 0) = 0;

u(1, θ, t) = 0.

Su solucion representa el pequeno movimiento transversal de una membrana circular im-pulsada por una fuerza senoidal arbitrariamente distribuida.

Indicaciones:La solucion viene dada por la serie

u(r, θ, t) =1

2

+∞∑n=1

Cn,0J0(α0nr)

α20nc

2 − ω2[cosωt− cos(cα0nt)] +

++∞∑n,m=1

1

α2mnc

2 − ω2[Cnm cosmθ +Dnm senmθ]J0(αmnr)[cosωt− cos(cαmnt)].

Si α2mnc

2 − ω2 es pequeno, esto es, si ω/2π es proximo a una frecuencia natural, elcoeficiente del modo normal correspondiente sera grande a menos que Cnm sea cero. Unafuerza impulsora senoidal con frecuencia ω/2π tiende a excitar modos normales cuyasfrecuencias naturales son proximas a ω/2π y cuyas oscilaciones van creciendo de ampli-tud conforme α2

mnc2 − ω2 se hace pequeno. Este fenomeno se conoce con el nombre de

resonancia.Es clasico el ejemplo del puente colgante de Angers (Francia), hundido en 1850 al paso

de una tropa por efecto de resonancia entre su perıodo propio de vibracion y el de lamarcha rıtmica de esta.

En el verano de 1940 se termino el puente colgante de Tacoma Narrows. Casi de in-mediato, algunos observadores notaron que a veces parecıa que el viento originaba grandesoscilaciones del piso. El puente se volvio una atraccion turıstica, en la que las personasiban a ver, y quiza a pasar por el puente ondulatorio. Por ultimo, el 7 de noviembre de1940, durante una tormenta, las oscilaciones aumentaron mas alla de cualquiera obser-vada con anterioridad. Pronto, las oscilaciones verticales se volvieron giratorias. Al final,todo el puente se derrumbo debido a las grandes oscilaciones. Durante casi 50 anos, lahipotesis generalmente aceptada fue que la causa probable del colapso fue un episodio deresonancia (aunque en investigaciones recientes se concluye que se debio a otros motivos).

El fenomeno de resonancia ocurre para cualquier problema de valores de contorno einiciales correspondiente a una ecuacion de ondas no homogenea en un dominio acotadocon un termino de impulsacion senoidal. Las frecuencias de resonancia estan, en general,determinadas por los autovalores de un problema que incluya un operador de derivacionparcial elıptico.


Figura 7.1: Puente de Angers y colapso del puente de Tacoma Narrows

7.2.2. Problema singular con la ecuacion de Legendre

Un problema singular de Sturm-Liouville con valores en la frontera tıpico asociado ala ecuacion de Legendre es[

(1− x2)y′]′

+ λy = 0, −1 < x < 1 (7.25)

y(x), y′(x) permanecen acotadas cuando x→ ±1 (7.26)

Este problema es autoadjunto, pues la condicion (ii) del lema 7.2.5 se cumple en cadaextremo. En el tema 4 vimos que 7.25 tiene soluciones polinomiales para λ = n(n + 1),n ≥ 0. Estas soluciones son multiplos constantes de los polinomios de Legendre

Pn(x) = 2−n[n/2]∑m=0

(−1)m(2n− 2m)!

(n−m)!m!(n− 2m)!xn−2m, (7.27)

donde [n/2] es el maximo entero menor o igual que n/2. Los cuatro primeros polinomiosde Legendre son

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3

2x2 − 1

2, P3(x) =

5

2x3 − 3

2x.

Los unicos valores propios para 7.25-7.26 son λ = n(n+ 1), n ≥ 0 y las funciones propiascorrespondientes son los polinomios de Legendre Pn(x). Los polinomios de Legendre Pn(x)son ortogonales en [−1, 1] con respecto de ρ(x) := 1.

Si f(x) es una funcion dada, entonces un desarrollo mediante funciones propias asoci-ado a f es

f ∼+∞∑n=0

anPn(x), (7.28)

donde

an =

∫ 1

−1

f(x)Pn(x)dx∫ 1

−1

P 2n(x)dx


Los resultados de convergencia similares a los dados para series de Fourier se cumplenpara el desarrollo (7.28).

7.2.3. Polinomios de Legendre y los armonicos esfericos

Si introducimos coordenadas esfericas r, θ, φ tales que

x = r sen θ cosφ; y = r sen θ senφ; z = r cos θ; 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π,

la ecuacion de Laplace se transforma en

∂2u

∂r2+

2

r

∂u

∂r+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂u

∂θ

)+

1

r2 sen2 θ

∂2u

∂φ2= 0.

Al aplicar separacion de variables llegamos al problema de valores propios dado por laecuacion

d

dt

[(1− t2)

dP

dt

]− m2

1− t2P + λP = 0;−1 < t < 1,m = 0, 1, 2, ....

Para m = 0 obtenemos como autovalores λn = n(n + 1) y como autofunciones los poli-nomios de Legendre {Pn(t)}n≥1. Estos puede caracterizarse por

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn(t2 − 1)n, (formula de Rodrigues).

Fijado m > 0 y n ≥ m las funciones

Pmn (t) =

1

2nn!(1− t2)m/2

dn

dtn(t2 − 1)n,

son las autofunciones correspondientes al problema con valor propio n(n+ 1) y se llamanfunciones asociadas de Legendre.

El metodo de separacion de variables da ası las funciones armonicas (esto es, solucionesde la ecuacion de Laplace) {

rnPmn (cos θ) cosmφ;

rnPmn (cos θ) senmφ;

que son regulares en todo el espacio (r, θ, φ). Dichas funciones son polinomios homogeneosde grado n en x, y y z. Los hay de grado n−m en z. Tales polinomios se llaman armonicosesfericos. Los armonicos esfericos son funciones de importancia capital por sus aplica-ciones. Practicamente cualquier calculo en fısica atomica, molecular, nuclear o de partıcu-las elementales requiere la utilizacion de armonicos esfericos de uno u otro modo. Losarmonicos esfericos son utilizados tambien para estimar el campo gravitato-rio terrestre (resolviendo la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas), con esto se


Figura 7.2: Geoide de referencia de la Tierra

obtiene el Geoide de la Tierra el cual da con una precision de cms un modelo para la for-ma de la Tierra. Dicho Geoide es fundamental para el buen funcionamiento de cualquiersatelite, ya que estos necesitan ser corregidos durante su trayectoria segun sufran mas omenos atraccion de la Tierra en los distintos puntos de su orbita. Los satelites de GPSusan el Geoide para darnos las posicion exacta (± cms) donde estamos. En Oceanografıase utiliza el Geoide para estimar las variaciones de masa del mar, siendo esta es una delas lıneas de investigacion en el Dpto de Matematica Aplicada de la UA.

Los armonicos esfericos son funciones que toman valores sobre una esfera parametriza-da por (θ, φ). La manera mas habitual de representarlos es dibujando a cada punto (θ, φ)de esa esfera una longitud en coordenadas esfericas que es justamente el valor absolutodel armonico esferico considerado.

Proposicion 7.2.10 (Formula de Rodrigues). Dado n ≥ 1, la formula

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 − 1)n,

proporciona el n-esimo polinomio de Legendre, es decir, es el polinomio de grado n soluciondel problema

(1− x2)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0, y(1) = 1.

Observacion 7.2.11. Tanto los polinomios de Hermite como los de Chebishev puedendefinirse a partir de similares formulas de Rodrigues.

7.3 Funcion de Green 139

Figura 7.3: Representacion grafica de algunos armonicos esfericos

7.3. Funcion de Green

Estudiaremos las funciones de Green en los problemas en los que podamos obtener op-eradores en la forma (7.1), ya que en este caso las funciones de Green gozan de propiedadesinteresantes. Comenzamos estudiando la funcion de Green para un problema de Cauchy.

Teorema 7.3.1 (Funcion de Green para un problema de condiciones iniciales). Dado elproblema de condiciones inicialesL[y](x) =

d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x) = f(x); a < x < b;

y(a) = y′(a) = 0;

(7.29)

siendo las funciones q y f son continuas y p es positiva y derivable con continuidad en[a, b]. La solucion puede ser expresada de la forma

y(x) =

∫ x

a

G(x, s)f(s)ds.

Conviene hacer notar que la funcion G(x, s) no depende de la funcion f(x) ni del puntoa, sino exclusivamente de la ecuacion homogenea asociada al problema (7.29). La funcionG(x, s) se denomina funcion de Green o funcion de influencia asociada al problema (7.29).

Proposicion 7.3.2 (Propiedades de la funcion de Green para un problema de Cauchy).La funcion de Green G(x, s) del problema (7.29) satisface las siguientes propiedades:

(i) G(x, s) = −G(s, x);

(ii) Considerada como funcion de una sola variable (en x o en s) G(x, s) es solucion deL[y] = 0.


(iii) Fijado a < s0 < b, G(x, s0) esta caracterizada por ser la solucion del problema decondiciones iniciales:

L[y](x) = 0; s0 < x < b;

y(s0) = 0;

y′(s0) =1

p(s0);

(7.30)

(iv) Si las condiciones iniciales en el problema (7.29) no son homogeneas, la solucion delproblema vendra dada por la expresion

y(x) =

∫ x

a

G(x, s)f(s)ds+ c1y1(x) + c2y2(x),

siendo y1, y2 dos soluciones linealmente independientes de L[y] = 0 y c1, c2 dos constantesa determinar.

Ejemplo 7.3.3. Resolver el problema{u′′ + u = f(x); x > 0;

u(0) = u′(0) = 0;

siendo f(x) continua, construyendo previamente la funcion de Green correspondiente.

Ejemplo 7.3.4. Resolver el problemau′′ + u = f(x); x > 0;

u(0) = 1;

u′(0) = −1;

siendo f(x) continua,construyendo previamente la funcion de Green correspondiente.

A diferencia del problema de condiciones iniciales (7.29) que siempre tiene soluciony esta es unica, un problema de contorno puede no tener solucion, tener solucion unicao tener infinitas soluciones. Por lo tanto primero hay que dar condiciones para las quehaya existencia y unicidad de la solucion. En el siguiente teorema vemos una condicion deeste tipo, y bajo esta pretendemos obtener la solucion del problema de contorno a travesde una formula integral, obteniendo previamente la funcion de Green correspondiente. Esnecesario ver antes un resultado tecnico

Proposicion 7.3.5. Sean u y v dos funciones de C2[a, b] soluciones de L[y] = 0. Entoncesexiste K ∈ IR tal que

p(x)W [u, v](x) = K, ∀x ∈ [a, b],

siendo W [u, v] = uv′ − vu′ es el wronskiano de u y v.


Teorema 7.3.6 (Funcion de Green para un problema de contorno). El problema decontorno

d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x) = −f(x); a < x < b;

a1y(a) + a2y′(a) = 0, (a2

1 + a22 6= 0);

b1y(b) + b2y′(b) = 0, (b2

1 + b22 6= 0);

(7.31)

donde las funciones q y f son continuas y p es positiva y derivable con continuidad en[a, b] tiene solucion unica si el problema homogeneo asociado tiene como unica solucionla trivial. En este caso la solucion de (7.31) puede ser expresada de la forma

y(x) =

∫ b

a

G(x, s)f(s)ds,

siendo G(x, s) una funcion que no depende de f(x) ni de los puntos a y b, sino exclu-sivamente de la ecuacion homogenea asociada al problema (7.31). La funcion G(x, s) sedenomina funcion de Green o funcion de influencia asociada al problema (7.31).

Observacion 7.3.7. En el resultado anterior, la condicion suficiente para la existenciade funcion de Green equivale a la condicion de que λ = 0 no sea autovalor de

d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x) + λy(x) = 0; a < x < b;

a1y(a) + a2y′(a) = 0, (a2

1 + a22 6= 0);

b1y(b) + b2y′(b) = 0, (b2

1 + b22 6= 0);

(7.32)

Teorema 7.3.8 (Solucion para un problema de contorno con condiciones no homogeneas).El problema de contorno

d

dx

[p(x)

dy

dx(x)

]+ q(x)y(x) = −f(x); a < x < b;

a1y(a) + a2y′(a) = α;

b1y(b) + b2y′(b) = β;

(7.33)

donde las funciones q y f son continuas y p es positiva y derivable con continuidad en[a, b] tiene solucion unica si el problema homogeneo asociado al problema (7.31) tienecomo unica solucion la trivial. En este caso la solucion puede ser expresada de la forma

y(x) =

∫ b

a

G(x, s)f(s)ds− p(a)

a2

αG(x, a) +p(b)

b2

βG(x, b),

siendo G(x, s) la funcion G(x, s) se denomina funcion de Green o funcion de influenciaasociada al problema (7.31).Ademas:


• Si a2 = 0, reemplazamos1

a2

G(x, a) por − 1

a1

∂G

∂s(x, a)

• Si b2 = 0, reemplazamos1

b2

G(x, b) por − 1

b1

∂G

∂s(x, b).

La definicion de funcion de Green tiene un caracter exclusivamente formal. No ob-stante, con el fin de justificar dicha definicion vamos a comentar el sentido fısico quesubyace en esta. La funcion de Green se puede caracterizar mediante la distribucion deltade Dirac, apoyando esta la interpretacion de G(x, s) como la deformacion de una varilla(viga, etc..) en un punto x como resultado de la accion de una fuerza puntual de intensidadunitaria en algun otro punto s. Es decir, G(x, s) representa la influencia de la fuerza ens sobre la varilla en el punto x. De aquı el nombre de funcion de influencia. Ademas,G(x, s)f(s) es la influencia de la fuerza puntual de intensidad f(s). Al sobreponer todaslas fuerzas puntuales para s entre a y b, obtenemos

y(x) =

∫ b

a

G(x, s)f(s)ds

como deformacion resultante de una varilla bajo una fuerza externa de f(x). No entramosen los detalles de la caracterizacion de la funcion de Green en terminos de la delta deDirac ya que el estudio de las distribuciones no tiene cabida en este curso.

Proposicion 7.3.9 (Propiedades de las funciones de Green). Sea G(x, s) la funcion deGreen del problema (7.31). Entonces:

(i) G(x, s) es continua en el cuadrado [a, b]× [a, b]. Para cada s fijado, las derivadas par-ciales (∂G/∂x)(x, s) y (∂2G/∂x2)(x, s) son funciones continuas en x, para x 6= s.

(ii) En a < x = s < b, la derivada parcial ∂G/∂x tiene una discontinuidad de salto:

lımx→s+

∂G

∂x(x, s)− lım

x→s−

∂G

∂x(x, s) = − 1

p(s)(7.34)

(iii) Para cada s fijada, la funcion G(x, s) satisface el problema homogeneo correspondientepara x 6= s; es decir

L[G(·, s)](x) = 0, x 6= s; (7.35)

a1G(a, s) + a2∂G

∂x(a, s) = 0, b1G(b, s) + b2

∂G

∂x(b, s) = 0 (7.36)

(iv) Solo existe una funcion que satisface las propiedades anteriores.

(v) G(x, s) es simetrica, es decir,

G(x, s) = G(s, x)


Figura 7.4: Grafica de G(x, ξ). Grafica de G(x, ξ) con a < x < b y ξ fijado.

Observacion 7.3.10. Las funciones de Green que satisfacen las propiedades (i)-(iv) tam-bien existen para los problemas generales no autoadjuntos con valores en la frontera. Sinembargo, la existencia de una funcion de Green simetrica para problemas de contornoequivale al hecho de que el operador lineal L[y] correspondiente sea autoadjunto.

Ejemplo 7.3.11. Encuentre la solucion del siguiente problema a traves de la funcion deGreen correspondiente:

u′′ = −f(x); 0 < x < 1;

u(0) = 0;

u(1) = 0.

Encuentre la solucion en el caso particular de f(x) ≡ 1.

Ejemplo 7.3.12. Encuentre la solucion del siguiente problema a traves de la funcion deGreen correspondiente, siendo b > 0:

u′′ = −f(x); 0 < x < 1;

u(0) = 0;

u′(1) + bu(1) = 1.

Observacion 7.3.13. Si una solucion particular de un problema puede encontrarse asimple vista, es, naturalmente, innecesario recurrir a la funcion de Green. Por ejemplo,en el problema

u′′ − u = 2x; 0 < x < 1;

u′(0) = 0;

u(1) = 0,

la funcion −2x es evidentemente una solucion particular de la ecuacion diferencial. Lasolucion general es entonces

u = −2x+ aex + be−x.

Ajustando las constantes a y b para que satisfagan las condiciones de contorno, encon-tramos

u = −2x+2(e+ 1)

e2 + 1ex − 2e(e− 1)

e2 + 1e−x.


A continuacion introducimos una nueva nocion que sera de utilidad para resolverproblemas con ecuaciones en derivadas parciales completas.

Definicion 7.3.14. Dada una funcion u(x, t), se define su:

(i) transformada finita de Fourier a la sucesion de funciones {a0(t)} ∪ {an(t), bn(t)}n≥1

definidas por:

an(t) =1

π

∫ π

−πu(x, t) cosnxdx; y bn(t) =

1

π

∫ π

−πu(x, t) sennxdx;

(ii) transformada finita de Fourier en senos a la sucesion de funciones {bn(t)}n≥1 definidaspor:

bn(t) =2

π

∫ π

0

u(x, t) sennxdx;

(iii) transformada finita de Fourier en cosenos a la sucesion de funciones {an(t)}n≥0

definidas por:

an(t) =2

π

∫ π

0

u(x, t) cosnxdx.

Si la funcion u(x, t) es continua, entonces queda unıvocamente determinada por sustransformadas finitas de Fourier.

Ejemplo 7.3.15. Resuelvase el problema∂u

∂t− ∂2u

∂x2= F (x, t); 0 < x < π; t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0,

u(x, 0) = 0,

siendo F y∂F

∂xcontinuas, F (0, t) = F (π, t) y

∫ π

0

[∂2F

∂x2(x, t)

]2

dx uniformemente acotada.

Ejemplo 7.3.16. Resuelvase el problema∂u

∂t− ∂2u

∂x2= F (x, t); 0 < x < π; t > 0,

u(0, t) = u(π, t) = 0,

u(x, 0) = f(x),

siendo F y∂F

∂xcontinuas, F (0, t) = F (π, t) y

∫ π

0

[∂2F

∂x2(x, t)

]2

dx uniformemente acotada.

Observacion 7.3.17. Los problemas estudiados en los dos ejemplos anteriores puedenresolverse con una formula integral, es decir, a traves de su correspondiente funcion deGreen. Para el primero se tiene:

u(x, t) =

∫ t

0

∫ π

0

K(x, s, t− τ)F (s, τ)dsdτ,


siendo

K(x, s, t) =2

π

+∞∑n=1

e−n2t sennx senns.

Para el segundo problema se tiene:

u(x, t) =

∫ t

0

∫ π

0

K(x, s, t− τ)F (s, τ)dsdτ ++∞∑n=1

bn(0)e−n2t sennx.

Ejemplo 7.3.18. Resuelva el problema:∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2= −F (r, θ); r < 1;

u(1, θ) = 0.

Claramente las transformadas finitas de Fourier son sencillamente los coeficientes deFourier. Siempre que un problema homogeneo puede resolverse por separacion de variablesen la forma de una serie de Fourier

∑cnXn(x)Tn(t), la transformada finita de Fourier

cn(t) =

∫u(x, t)Xn(x)ρ(x)dx∫

X2n(x)ρ(x)dx

reduce la ecuacion diferencial completa en derivadas parciales en un sistema infinito deecuaciones diferenciales ordinarias.

Observacion 7.3.19. Para cualquier dominio D con contorno C la solucion del problemano homogeneo {

∇2 = −F ; en D,

u = 0, sobre C,

puede expresarse en la forma

u(x, y) =

∫ ∫D

G(x, y; s, t)F (s, t)dsdt.

En cuanto a la interpretacion, la funcion de Green G(x, y; s, t) puede interpretarse comoen el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias. En este problema representa el potencialen (x, y) debido a una carga situada en (s, t). En problemas que involucren la ecuacionde ondas representa el desplazamiento en (x, y) de una membrana debido a una fuerzaaplicada en el punto (s, t).

Ejercicios del tema

1. Verifique que los valores propios y las funciones propias en este problema regular deSturm-Liouville son los indicados{

y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

y′(0) = 0, y′(L) = 0.

λ0 = 0, y0 = 1, λn = n2π2/L2, yn = cosnπx/L.



y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

y′(0) = 0, hy(L) + y′(L) = 0(h > 0).

λn = β2n/L

2, yn = cos βnx/L, donde βn es la n-esima raız positiva de tan x = hL/x.Utilice las graficas para estimar el valor de βn para n grande.


y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

hy(0)− y′(0) = 0, y(L) = 0 (h > 0).

λn = β2n/L

2, yn = βn cos βnx/L+hL sen βnx/L, donde βn es la n-esima raız positivade tan x = −x/hL. Utilice las graficas para estimar el valor de βn para n grande.


y′′(x) + λy(x) = 0, 0 < x < L,

hy(0)− y′(0) = 0, hy(L) + y′(L) = 0(h > 0).

λn = β2n/L

2, yn = βn cos βnx/L+hL sen βnx/L, donde βn es la n-esima raız positivade tanx = 2hLx/(x2− h2L2). Utilice las graficas para estimar el valor de βn para ngrande.

5. Desarrolle f(x) = 1 como una serie de Fourier de autofunciones del problema devalores propios del ejemplo 7.1.12.

6. Desarrolle f(x) = x como una serie de Fourier de autofunciones del problema devalores propios del ejemplo 7.1.12 con L = 1.

7. Resolver el ejemplo (7.1.22) con f(x) =√

1 + xx(1− x).

8. Resolver el problema bajo la hipotesis que g y sus dos primeras derivadas son con-tinuas, que g(0) = g(1) = 0 = g′′(0) = g′′(1) y g′′′ es integrable en [0, 1].

1

(1 + x)2

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0; 0 < x < 1, t > 0;

u(x, 0) = 0;∂u

∂x(1, t) = 0;

u(0, t) = 0;∂u

∂t(x, 0) = g(x).


9. Resolver el problema bajo la hipotesis que g y sus dos primeras derivadas son con-tinuas, que f(0) = f(1) = 0 = f ′′(0) = f ′′(1) y f ′′′ es integrable en [0, 1].

∂u

∂t− (1 + x)2∂

2u

∂x2= 0; 0 < x < 1, t > 0;

u(x, 0) = f(x);

u(1, t) = 0;

u(0, t) = 0;

10. Resolver {u′′ − u = f(x); x > 0;

u(0) = u′(0) = 0.

11. Resolver {[(x+ 1)2u′]′ − u = f(x); x > 0;

u(0) = 0;u′(0) = 1.

12. Resolver {u′′ + u′ − 2u = ex; x > 0;

u(0) = 1;u′(0) = 0;

13. Resolver {(1 + x2)1/2u′ + u = x; x > 0;

u(0) = 0,

reduciendo la ecuacion a la forma

[p(x)u]′ = f(x).

14. Resolver {u′′ − u = −f(x); 0 < x < 1;

u(0) = u(1) = 0.

15. Resolver {u′′ − u = −f(x); 0 < x < 1;

u′(0) = u′(1) = 0.

16. Resolver {u′′ − u = ex; 0 < x < 1;

u(0) = 1;u′(1) = 0.


17. Resolver {[(x+ 1)2u′]′ − u = f(x); 0 < x < 1;

u(0) = 0 = u(1).

18. Resolver ∇2u = y(1− y) sen3 x; 0 < x < π, 0 < y < 1;

u(x, 0) = u(x, 1) = 0;

u(0, y) = u(π, y) = 0.

19. Resolver (NO) {∇2u = −2; x2 + y2 < R2;

u = 0; x2 + y2 = R2.

20. Resolver ∂u

∂t− ∂2u

∂x2= F (x, t); 0 < x < π; t > 0,

u(x, 0) = 0,

u(0, t) =∂u

∂x(π, t) = 0.

21. Resolver ∇2u = −F (x, y); 0 < x < π, 0 < y < A;

u(x, 0) = u(x,A) = 0

u(0, y) = u(π, y) = 0.

22. Resolver ∇2u = −F (x, y); 0 < x < π, 0 < y < A;

u(x, 0) = u(0, y) = 0∂u

∂y(x,A) =

∂u

∂y(π, y) = 0.

23. Resolver (NO)∇2u = −F (x, y); 0 < x < 1, 0 < y < 1;

u(x, 0) = u(x, 1) = u(1, y) = 0∂u

∂x(0, y)− u(0, y) = 0.

24. Resolver (NO) ∂2u

∂r2+

1

r

∂u

∂r+

1

r2

∂2u

∂θ2= −F (r, θ); r < R;

∂u

∂r(R, θ) = 0,

con la normalizacion u(0, θ) = 0, con tal que∫ R

0

∫ 2π

0Frdrdθ = 0. Demostrar que el

problema no tiene solucion si esta integral no es cero.



1.

2.

3.

4.

5. 2hL+∞∑n=1

1− cos βnβn(hL+ cos2 βn)

senβnx

L.

6. 2h(1 + h)+∞∑n=1

sen βn sen βnx

β2n(h+ cos2 βn)

.

7.

u(x, t) = (1 + x)1/2

+∞∑n=1

{2[(−1)n − 1]

nπ− 3nπ[2(−1)n − 1]

n2π2 + (log 2)2+nπ[4(−1)n − 1]

n2π2 + 4(log 2)2

}

cos

√(nπ/ log 2)2 +

1

4t sen[nπ log(1 + x)/ log 2].

8.

u(x, t) =+∞∑n=1

cnsen√[(

n− 12

)π/ log 2

]2+ 1

4t√[(

n− 12

)π/ log 2

]2+ 1

4

(1+x)1/2 sen

[(n− 1

2

)π log(1 + x)/ log 2

],

donde

cn = (2/ log 2)

∫ 1

0

(1 + x)−3/2g(x) sen

[(n− 1

2

)π log(1 + x)/ log 2

]dx.

9.

u(x, t) =+∞∑n=1

cne−[(nπ/ log 2)2+(1/4)]t(1 + x)1/2 sen[nπ log(1 + x)/ log 2],

donde

cn = (2/ log 2)

∫ 1

0

(1 + x)−3/2f(x) sen [nπ log(1 + x)/ log 2] dx.

10. u(x) =

∫ x

0

senh(x− ξ)f(ξ)dξ.


11.

u(x) = 5−1/2

∫ x

0

(1 + x)−1/2(1 + ξ)−1/2{

[(1 + x)/(1 + ξ)]√

5/2 − [(1 + ξ)/(1 + x)]√

5/2}f(ξ)dξ+

+5−1/2(1 + x)−1/2[(1 + x)

√5/2 − (1 + x)−

√5/2].

12. u(x) =1

3(x− 1)ex +

8

9ex +

4

9e−2x.

13. u(x) =1

2

[x− (x+

√1 + x2)−1 log(x+

√1 + x2)

].

14. u(x) =1

senh 1

{senh(1− x)

∫ x

0

senh ξf(ξ)dξ + senhx

∫ 1

x

senh(1− ξ)f(ξ)dξ

}.

15. u(x) =1

senh 1

{cosh(1− x)

∫ x

0

cosh ξf(ξ)dξ + coshx

∫ 1

x

cosh(1− ξ)f(ξ)dξ

}.

16. u(x) =1

2xex − e senhx/ cosh 1 + cosh(1− x)/ cosh 1.

17.

u(x) =1√

10[2√

5/2 − 2−√

5/2]

{[{1

2(1 + x)

}−[1+√

5]/2

−{

1

2(1 + x)

}−[1−√

5]/2]

∫ x

0

[(1 + ξ)−[1−√

5]/2 − (1 + ξ)−[1+√

5]/2]f(ξ)dξ+

+ [(1 + x)−[1−√

5]/2 − (1 + x)−[1+√

5]/2]

∫ 1

x

[{1

2(1 + ξ)

}−[1+√

5]/2

−{

1

2(1 + ξ)

}−[1−√

5]/2]f(ξ)dξ

}.

18.

u(x, y) =3

4

{−y(1− y) + 2

[1−

cosh(y − 1

2

)cosh 1

2

]}senx−

−1

4

{−1

9y(1− y) +

2

81

[1−

cosh 3(y − 1

2

)cosh 3

2

]}sen 3x.

19. u =1

2(R2 − r2).

20. u(x, t) =2

π

+∞∑n=1

sen

[(n− 1

2

)x

] ∫ t

0

∫ π

0

e−(2n−1)2(t−τ)/4 sen

[(n− 1

2

)ξ

]F (ξ, τ)dξdτ .


21. u(x, y) =+∞∑n=1

bn(y) sennx, donde

bn(y) =2

πn senhnA

∫ π

0

{senh[n(A− y)]

∫ y

0

senhnηF (ξ, η)dη+

+ senhny

∫ A

y

senh[n(A− η)]F (ξ, η)dη

}sennξdξ.

22. u(x, y) =+∞∑n=1

cn(y) sen[

(n− 1

2

)x], donde

cn(y) =2

π(n− 1

2

)cosh[

(n− 1

2

)A]

∫ π

0

{cosh[

(n− 1

2

)(A− y)]

∫ y

0

senh[

(n− 1

2

)η]F (ξ, η)dη+

+ senh[

(n− 1

2

)y]

∫ A

y

cosh[

(n− 1

2

)(A− η)]F (ξ, η)dη

}sen[

(n− 1

2

)ξ]dξ.

23. u(x, y) =+∞∑n=1

bn(x) sennπy, donde

bn(x) =2

πn(senhnπ + nπ coshnπ)

∫ 1

0

{senh[nπ(1− x)]

∫ x

0

[senhnπξ + nπ coshnπξ]F (ξ, η)dξ+

+[senhnπx+ nπ coshnπx]

∫ 1

x

senh[nπ(1− ξ)]F (ξ, η)dξ

}sennπηdη.

24. u(r, θ) =1

2a0(r) +

+∞∑n=1

[an(r) cosnθ + bn(r) sennθ], donde

a0(r) = −∫ r

0

log(r/ρ)A0(ρ)ρdρ;

an(r) =1

2nRn

{[(R/r)n + (r/R)n]

∫ r

0

ρn+1An(ρ)dρ+ rn∫ R

r

[(R/ρ)n + (ρ/R)n]An(ρ)ρdρ

};

bn(r) =1

2nRn

{[(R/r)n + (r/R)n]

∫ r

0

ρn+1Bn(ρ)dρ+ rn∫ R

r

[(R/ρ)n + (ρ/R)n]Bn(ρ)ρdρ

};

y

F (r, ρ) ∼ 1

2A0(r) +

+∞∑n=1

[An(r) cosnθ +Bn(r) sennθ].

La funcion a0(r) no se obtiene a partir de la funcion de Green sino integrandola relacion (ra′0)′ = −rA0 entre 0 y r, dividiendo por r, integrando otra vez, ycambiando entonces el orden de integracion. La condicion integral es necesaria parahacer que a′0(R) = 0. Una constante cualquiera se puede sumar a a0(r), pero estaconstante es cero segun la condicion u(0, θ) = 0.

Tema 8

Introduccion al calculo variacional

8.1. Elementos de calculo variacional

Definicion 8.1.1. Llamaremos funcional a cualquier aplicacion

F : D(F) ⊂ (X, ‖ · ‖) −→ IR,

siendo (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado y D(F) un subconjunto de este.

Los espacios vectoriales que consideraremos seran (C[a, b], ‖ · ‖∞) y (Cn[a, b], |‖ · |‖n),donde

|‖y|‖n =n∑i=0

‖ y(i) ‖∞,

siendo y un elemento del espacio vectorial Cn[a, b].

A continuacion veremos unos cuantos enunciados de problemas variacionales clasicos.

Ejemplo 8.1.2 (Curva de longitud mınima). Encontrar la curva del plano que une lospuntos (a,A) y (b, B) de este con longitud mas corta, es decir, encontrar la curva y =y(x) ∈ D(F) para la cual el funcional

F(y) =

∫ b

a

√1 + [y′(x)]2dx,

alcanza su mınimo siendo D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B}.

El problema isoperimetrico fue resuelto por Euler; De entre todas las curvas cerradas delongitud fijada l, encontrar la que encierre mayor area. La respuesta es una circunferencia.

Ejemplo 8.1.3 (Problema isoperimetrico). Fijados b > a > 0 y l > b − a, encontrar lacurva y = y(x) ∈ D(F) para la cual el funcional

F(y) =

∫ b

a

y(x)dx,

153

154 Introduccion al calculo variacional

alcanza su maximo siendo

D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = 0, y(b) = 0,

∫ b

a

√1 + [y′(x)]2dx = l}.

Dados dos puntos A y B situados en el mismo plano vertical con abscisa distinta. Unpunto material se mueve sin friccion entre A y B, y es obligado a hacerlo a lo largo deuna determinada curva. Sobre el, no actua otra fuerza que la gravedad. De entre todaslas curvas posibles que unen A y B y sobre las cuales se desliza nuestro punto material,buscamos aquella que hace mınimo el tiempo que tarda la partıcula en ir desde A hastaB. La respuesta es la braquistocrona.

Ejemplo 8.1.4 (Problema de la braquistocrona). Encontrar la curva del plano que unelos puntos A(0, 0) y B(b, b′) de manera que un punto que se desplace de B a A tarde elmenor tiempo posible (sometido solo a la fuerza de la gravedad), es decir, encontrar lacurva y = y(x) ∈ D(F) para la cual el funcional

F(y) =1√2g

∫ b

0

√1 + [y′(x)]2

y(x)dx,

alcanza su mınimo siendo D(F) = {y ∈ C1[0, b]; y(0) = 0, y(b) = b′, y(x) > 0 ∀x ∈(0, b]}.Ejemplo 8.1.5 (Problema de Sturm-Liouville). Fijado k ≥ 1 el k-esimo valor propio λkdel problema regular de Sturm-Liouville correspondiente a a2 = 0 = b2 y q ≥ 0, se puedeobtener como el mınimo del funcional

F(y) =

∫ b

a

[p(y′)2 + qy2]∫ baρy2dx

dx,

siendo D(F) = {y ∈ C2[a, b]; y ⊥ ui, i < k; y(a) = 0 = y(b); y 6≡ 0}, donde cada uk esuna funcion propia asociada al valor propio λk, es decir, un elemento uk ∈ D(F) dondeel funcional alcanza el mınimo.

En fısica, un lagrangiano es una funcion a partir de la cual se pueden obtener la evolu-cion temporal, las leyes de conservacion y otras propiedades importantes de un sistemafısico. De hecho, en fısica moderna el lagrangiano se considera el objeto mas fundamentalque describe un sistema fısico. Consideremos la siguiente situacion: una partıcula materialde masa m que se mueve sobre una recta, y esta sometida a una fuerza que depende deltiempo, y, en cada instante, de la posicion de la partıcula sobre la recta y de la veloci-dad de la misma. Tratamos pues un problema dinamico unidimensional. La funcion deLagrange o lagrangiana del sistema que estamos considerando se define como

L(t, x(t), x′(t)) =1

2m[x′(t)]2 − V (t, x(t), x′(t)),

donde x(t) representa la posicion de la partıcula, x′(t) su velocidad, ambas medidas enel instante t y V (t, x(t), x′(t)) representa el potencial originado por la resultante de lasfuerzas externas.

8.1 Elementos de calculo variacional 155

Ejemplo 8.1.6 (Principio de Hamilton). El camino recorrido en el plano (t, x) por elsistema definido en el parrafo anterior para ir del punto (a,A) al punto (b, B) es aquelque minimice el funcional

F(y) =

∫ b

a

{1

2m[y′(x)]2 − V (x, y(x), y′(x))

}dx,

siendo D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B}.

Como se desprende de los ejemplos anteriores, uno de los tipos basicos de funcionalesconsiderado en calculo variacional es el que tiene la forma

F(y) =

∫ b

a

F (x, y(x), y′(x))dx,

siendo F (x, y, z) un campo escalar.

Para entender la idea fundamental de los problemas y metodos del calculo variacional,es muy importante ver como estan relacionados con problemas de analisis clasico, es decir,el estudio de funciones de n variables. De modo que consideremos un funcional de la forma

F(y) =

∫ b

a

F (x, y(x), y′(x))dx,

para el que D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B}. En esta situacion a cada curvay(x) se le asigna un numero. Para encontrar una funcion de analisis clasico relacionadacon este funcional se procede de la siguiente manera. Consideramos una particion

x0 = a < x1 < · · · < xn < b = xn+1

de [a, b]. Entonces reemplazamos la curva y = y(x) por la linea poligonal de vertices{(xi, y(xi))}n+1

i=0 , y aproximamos el funcional F(y) por la suma

F(y1, · · · , yn) =n+1∑i=1

F

(xi, yi,

yi − yi−1

hi

)hi,

donde yi = y(xi), h = xi−xi−1. Cada linea poligonal esta unıvocamente determinada porlas ordenadas {yi}ni=1 de sus vertices, y la suma anterior es, por tanto, una funcion den variables. Por tanto, como una aproximacion, podemos contemplar el problema varia-cional como el problema de encontrar los extremos de la funcion F(y1, · · · , yn). Euler, alresolver problemas variacionales, hizo amplio uso de este metodo de diferencias finitas.Reemplazando curvas diferenciables por lineas poligonales, redujo el problema de encon-trar extremos de un funcional al problema de encontrar extremos de una funcion de nvariables, y entonces obtuvo soluciones exactas pasando al lımite n→ +∞. En este senti-do, los funcionales pueden considerarse como funciones de infinitas variables, y el calculovariacional puede ser considerado como el correspondiente analogo al calculo diferencial.


Definicion 8.1.7. Un funcional F : D(F) ⊂ (X, ‖ · ‖) −→ IR se dice que es continuoen f ∈ D(F), si al considerar en D(F) la topologıa τ heredada de (X, ‖ · ‖) y en IR latopologıa euclıdea, la aplicacion F : (D(F), τ) −→ IR es continua en f . Un funcional sedice continuo si lo es en todos los elementos de D(F).

Proposicion 8.1.8. Un funcional F : D(F) ⊂ (X, ‖ · ‖) −→ IR es continuo en f ∈ D(F)si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si g ∈ D(F) cumpliendo ‖ f−g ‖< δ, entonces |F(f)−F(g)| < ε.En este caso se suele escribir

lımg→fF(g) = F(f).

Observacion 8.1.9. A primera vista podrıa pensarse que el espacio vectorial norma-do mas grande considerado en este tema (C[a, b], ‖ · ‖∞) es el mas adecuado para es-tudiar problemas variacionales. Sin embargo puede comprobarse que el funcional F(y) =∫ ba

√1 + [y′(x)]2dx no es continuo en (C[a, b], ‖·‖∞), y sı lo es en (C1[a, b], |‖· |‖1). Ya que

queremos usar metodos ordinarios analıticos, por ejemplo, pasar al lımite, es razonableelegir un dominio donde el funcional considerado sea continuo.

En lo que sigue consideraremos siempre un funcional F con dominio

D(F) = f +M = {f +m;m ∈M} ⊂ X,

siendo f ∈ D(F) y M un subespacio, en general denso, del espacio vectorial normado(X, ‖ · ‖). A continuacion veremos algunas propiedades de este tipo de descomposicion.

Proposicion 8.1.10. Sea (X, ‖ · ‖) un espacio vectorial normado, M un subespacio vec-torial de X y a ∈ X. Se cumple:

(i) Si a ∈M, entonces a+M =M;

(ii) Si a 6∈ M, entonces a+M no tiene estructura de espacio vectorial;

(iii) Si b ∈ a+M, entonces a+M = b+M;

(iv) Sea b ∈ a+M, entonces todo entorno de b en a+M es de la forma

b+ V = {x ∈ X;x = b+ v, v ∈ V },

siendo V un entorno del origen en M (con la topologıa heredada de (X, ‖ · ‖));

(v) M es denso en (X, ‖ · ‖) si, y solo si, a+M es denso en (X, ‖ · ‖).

En el siguiente resultado se aplica la descomposicion anterior al dominio del funcionaldel ejemplo 8.1.2.

Proposicion 8.1.11. Fijados A, B reales no nulos y f ∈ C1[a, b] tal que f(a) = A yf(b) = B. Entonces se cumple:

(i) M = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = 0 = y(b)} es subespacio vectorial de C1[a, b];

(ii) {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B} = f +M.

8.1 Elementos de calculo variacional 157

Definicion 8.1.12. Se dice que el funcional F es lineal si este esta definido sobre todo elespacio vectorial (X, ‖ · ‖) y verifica que F(ax+ by) = aF(x) + bF(y), para cualesquieraa, b ∈ IR, x, y ∈ (X, ‖ · ‖).

Ejemplo 8.1.13. Los siguientes funcionales son lineales.

(i) Fijado x0 ∈ [a, b], consideramos el funcional F(f) = f(x0), para cada f ∈ C[a, b];

(ii) F(f) =∫ baf(x)dx, para cada f ∈ C[a, b];

(iii) Fijada α(x) ∈ C[a, b], consideramos el funcional F(f) =∫ baα(x)f(x)dx, para cada

f ∈ C[a, b];

(iv) En general fijadas αi(x) ∈ C[a, b], i = 1, · · · , n, consideramos el funcional

F(f) =

∫ b

a

n∑i=1

αi(x)f (i)(x)dx,

para cada f ∈ Cn[a, b].

En muchos problemas variacionales hay que manejar funcionales definidos en conjuntosD(F) de funciones que no tienen estructura de espacio vectorial. De hecho, el conjuntode funciones (o curvas) que satisfacen las condiciones de un problema variacional, lla-madas funciones admisibles (o curvas admisibles), no forman en general un espaciovectorial. Sin embargo el concepto de espacio vectorial y los conceptos relacionados dedistancia entre funciones, continuidad de funcionales, etc., juegan un papel importanteen el calculo variacional. De hecho encontramos una situacion similar en problemas deanalisis elemental, donde, al trabajar con funciones de n variables, es conveniente usarel concepto de espacio vectorial euclıdeo IRn, aunque el dominio de definicion no sea unsubespacio vectorial de IRn.

Definicion 8.1.14. Se dice que un funcional es diferenciable en f ∈ D(F) = f +M ⊂(X, ‖ · ‖) si existe una aplicacion lineal δFf : M → IR (llamada variacion primera), talque

F(f + h)−F(f) = δFf (h) + ε(h, f) ‖ h ‖,para h ∈ V siendo este ultimo un entorno del origen en M y verificandose ademas que

lımh→0

ε(h, f) = 0.

Para la prueba del teorema de unicidad de la variacion primera usaremos el siguiente

Lema 8.1.15. Sea ϕ : (X, ‖ · ‖)→ IR una aplicacion lineal tal que

lımh→0

ϕ(h)

‖ h ‖= 0,

entonces ϕ ≡ 0.

Teorema 8.1.16. Sea F un funcional diferenciable en f ∈ D(F), entonces la variacionprimera δFf es unica.


8.2. Condicion necesaria para un extremo

Definicion 8.2.1. Se dice que un funcional F alcanza en f un

(i) maximo absoluto (resp. relativo) si F(f) ≥ F(g), ∀g ∈ D(F) (resp. ∀g ∈ W , siendoW un entorno de f);

(ii) mınimo absoluto (resp. relativo) si F(f) ≤ F(g), ∀g ∈ D(F) (resp. ∀g ∈ W , siendoW un entorno de f);

(iii) punto extremal si F alcanza en f un maximo o mınimo absoluto o relativo.

Teorema 8.2.2. Sea F un funcional diferenciable en f , entonces si f es un punto ex-tremal de F se cumple que δFf ≡ 0.

Antes de empezar a estudiar un problema variacional concreto, es necesario estudiaruna serie de resultados previos.

Lema 8.2.3. Sea α ∈ C[a, b] tal que∫ b

a

α(x)h(x)dx = 0,

para toda funcion h ∈ C[a, b] que cumpla h(a) = h(b) = 0, entonces α ≡ 0.


a

α(x)h′(x)dx = 0,

para toda funcion h ∈ C1[a, b] que cumpla h(a) = h(b) = 0, entonces α ≡ K, para algunaconstante K ∈ IR.


a

α(x)h′′(x)dx = 0,

para toda funcion h ∈ C2[a, b] que cumpla h(a) = h(b) = 0 y h′(a) = h′(b) = 0, entoncesα(x) = c1x+ c2, siendo c1, c2 ∈ IR.

Lema 8.2.6. Sea α, β ∈ C[a, b] tal que∫ b

a

[α(x)h(x) + β(x)h′(x)]dx = 0,

para toda funcion h ∈ C1[a, b] que cumpla h(a) = h(b) = 0, entonces β es derivable yβ′ = α.

8.2 Condicion necesaria para un extremo 159

Teorema 8.2.7. Fijados F (x, y, z) ∈ C2(IR3) y a, b, A,B ∈ IR, b − a > 0 y el funcionaldefinido por

F(y) =

∫ b

a

F (x, y(x), y′(x))dx,

donde y ∈ D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B}. Entonces si F alcanza un extremorelativo en y, entonces y es solucion de

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′= 0 Ecuacion de Euler-Lagrange. (8.1)

Las soluciones de la ecuacion de Euler-Lagrange se denominan extremales. Dado quela ecuacion de Euler-Lagrange es una ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden ytenemos condiciones en la frontera, no esta garantizada la existencia y unicidad del prob-lema aunque tengamos funciones coeficientes continuas. Para asegurarnos la existencia yunicidad del problema de contorno utilizaremos el siguiente resultado.

Teorema 8.2.8 (Bernstein). Fijados F (x, y, z) ∈ C1(IR3), k > 0 y dos funciones nonegativas α(x, y), β(x, y) acotadas en todo recinto acotado del plano tales que

∂F

∂y(x, y, y′) > k, |F (x, y, y′)| ≤ α(y′)2 + β,

entonces hay una unica solucion de

y′′ = F (x, y, y′),

que pase por dos puntos prefijados con diferentes abscisas.

La ecuacion (8.1) proporciona condiciones necesarias para obtener extremo, no ob-stante estas no tienen por que ser suficientes. Las condiciones suficientes seran tratadas conposterioridad en este tema. No obstante, en muchos casos, la ecuacion de Euler-Lagrangees suficiente para obtener una solucion completa al problema. De hecho la existencia deun extremo es a menudo claro del significado geometrico o fısico del problema, por ejem-plo, en el problema de la braquistocrona, el problema de la distancia mas corta entre dospuntos, etc. Si en uno de estos casos existe solo un extremal satisfaciendo las condicionesen la frontera del problema, este extremal debe ser forzosamente la curva para la cual sealcanza el extremo.

Ejemplo 8.2.9. La funcion

y(x) =

{0 para − 1 ≤ x ≤ 0;

x2 para 0 < x ≤ 1;

es extremal del funcional

F(y) =

∫ 1

−1

y2(2x− y′)2dx,

aunque y′′(x) no existe en todo punto de [−1, 1].


En el siguiente resultado se tienen condiciones para que una solucion de la ecuacionde Euler-Lagrange tenga derivada segunda continua.

Teorema 8.2.10. Sea y(x) ∈ C1[a, b] solucion de (8.1). Entonces si F (x, y, z) ∈ C2(IR3),entonces y(x) tiene derivada segunda continua en todos los puntos donde

∂2F

∂(y′)2[x, y(x), y′(x)] 6= 0.

Antes de plantear problemas variacionales concretos conviene estudiar cuatro casos enlos que la ecuacion (8.1) puede ser reducida a una ecuacion de primer orden o donde lasolucion puede ser obtenida en terminos de cuadraturas (resolviendo integrales).

Proposicion 8.2.11.

(i) Para el funcional de la forma F(y) =∫ baF (x, y′)dx, la ecuacion de Euler-Lagrange da

lugar a la expresion Fy′ = C, donde C es una constante;

(ii) Para el funcional de la forma F(y) =∫ baF (y, y′)dx, la ecuacion de Euler-Lagrange da

lugar a la expresion F − y′Fy′ = C, donde C es una constante;

(iii) Para el funcional de la forma F(y) =∫ baF (x, y)dx, la ecuacion de Euler-Lagrange da

lugar a la expresion Fy(x, y) = 0 que no es una ecuacion diferencial, sino una ecuacion”finita”, cuya solucion consiste en una o mas curvas y = y(x);

(iv) Para el funcional de la forma F(y) =∫ baf(x, y)

√1 + [y′(x)]2dx, la ecuacion de Euler-

Lagrange se transforma en fy − fxy′ − fy′′

1 + [y′(x)]2= 0.

Ejemplo 8.2.12. Encontrar los posibles puntos extremales del funcional

F(y) =

∫ 2

1

√1 + [y′(x)]2

xdx,

sujeto a las condiciones y(1) = 0, y(2) = 1.

Ejemplo 8.2.13. De entre todas las curvas que unen dos puntos dados, encontrar aquellaque genera, al girar sobre el eje de abscisas, la superficie de mınima area.

Ejemplo 8.2.14. Encontrar los posibles puntos extremales del funcional

F(y) =

∫ b

a

(x− y)2dx.

Veamos como quedan los resultados anteriores en el caso de trabajar con funcionalesque toman valores sobre funciones de varias variables. Para mantener una notacion como-da, trabajaremos con funciones de dos variables independientes, aunque los resultados queobtengamos se pueden generalizar al caso de n variables independientes facilmente.


Teorema 8.2.15. Fijados F (x, y, z, p, q) ∈ C2(IR5), R es una region cerrada de IR2 y elfuncional definido por

F(z) =

∫R

F (x, y, z(x, y), zx(x, y), zy(x, y))dxdy,

donde z ∈ D(F) = {z ∈ C2(R); z(∂R) = f(∂R)}. Entonces si F alcanza un extremorelativo en z, entonces z es solucion de

Fz −∂

∂xFzx −

∂

∂yFzy = 0 Ecuacion de Ostrogradski. (8.2)

Ejemplo 8.2.16. Encontrar la ecuacion diferencial para la superficie de menor areaencerrada por un contorno fijo.

Teorema 8.2.17. Fijados F (x, y, z) ∈ C2(IR3) y a, b ∈ IR, b − a > 0 y el funcionaldefinido por

F(y) =

∫ b

a

F (x, y(x), y′(x))dx,

donde y ∈ D(F) = C1[a, b]. Entonces si F alcanza un extremo relativo en y, entonces yes solucion de

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′= 0 Ecuacion de Euler-Lagrange. (8.3)

Fy′|x=a = 0 = Fy′|x=b Condiciones de contorno de frontera movil. (8.4)

Observacion 8.2.18. Ademas de los casos de extremos fijos y extremos variables, esposible considerar casos mezclados, donde uno de los extremos es fijos y el otro variable.Por ejemplo, si mantenemos fijo y(a) = A y variable en x = b las condiciones ultimas setraducen en Fy′|x=b = 0 e y(a) = A se mantiene como segunda condicion de contorno.

Ejemplo 8.2.19. Comenzando por el punto P (a,A) una partıcula pesada se desliza sobreuna curva en el plano vertical. Encontrar la curva tal que la partıcula alcanza la rectax = b en el menor tiempo posible.

Otro caso interesante es aquel en el que el funcional toma como valores campos vec-toriales de una sola variable, es decir,

y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)),

donde cada yi : IR → IR es una funcion real de una variable real. Buscamos ahoraextremales para funcionales de la forma

F(y) =

∫ b

a

F (x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y

′n)dx,


sujeto a las condiciones

yi(a) = Ai, yi(b) = Bi, i = 1, . . . , n.

El problema de encontrar geodesicas, es decir, las curvas mas cortas que unen dos puntosde alguna variedad es de este tipo. El mismo tipo de problema surge en optica, al buscarlos caminos a traves de los cuales se propaga la luz en un medio no homogeneo (condistinto ındice de refraccion). De hecho, de acuerdo al principio de Fermat, la luz viajade un punto P0 a un punto P1 a traves del camino para el cual el tiempo de transmisiones menor.

Teorema 8.2.20. Fijados F (x1, . . . , x2n+1) ∈ C2(IR2n+1), a, b ∈ IR (b − a > 0), Ai,Bi ∈ IR (1 ≤ i ≤ n) y el funcional definido por

F(y) =

∫ b

a

F (x, y1(x), . . . , yn(x), y′1(x), . . . , y′n(x))dx,

donde y ∈ D(F) = {y = (yi)ni=1/yi ∈ C1[a, b]; yi(a) = Ai, yi(b) = Bi}. Entonces si F

alcanza un extremo relativo en y, entonces y es solucion de

∂F

∂yj− d

dx

∂F

∂y′j= 0; 1 ≤ j ≤ n; Ecuaciones de Euler-Lagrange. (8.5)

Ejemplo 8.2.21. Obtener las ecuaciones diferenciales para las curvas a traves de lascuales se propaga la luz en un medio no homogeneo.

Ejemplo 8.2.22. Encontrar las ecuaciones diferenciales para las geodesicas (u(t), v(t))de la superficie dada por r(u, v) ∈ IR3, (u, v) ∈ A ⊂ IR2.

Si examinamos con detenimiento la formulacion del problema isoperimetrico (ejemplo(8.1.3), nos daremos cuenta que, en realidad, aparecen dos funcionales. El ”principal.es elque mide el area bajo la curva, y tambien aparece otro ”secundario”que mantiene con-stante la longitud de la curva. Este segundo proporciona una restriccion o una condicionpara el problema. En el analisis clasico esta situacion aparece tambien (extremos condi-cionados) y se resuelve a traves de la funcion y los multiplicadores de Lagrange. En esamisma linea, generalizando el caso clasico, se trabaja con funcionales.

De hecho el problema isoperimetrico puede plantearse de la siguiente manera: Fijadosb > a > 0 y l > b− a, encontrar la curva y = y(x) ∈ D(F) para la cual el funcional

F(y) =

∫ b

a

y(x)dx,

alcanza su maximo siendo

D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B},


de manera que el funcional

G[y] =

∫ b

a

√1 + [y′(x)]2dx

tome como valor fijo l.Para resolver este problema utilizaremos el siguiente resultado.

Teorema 8.2.23. Dado el funcional

F(y) =

∫ b

a

F (x, y(x), y′(x))dx,

con funciones admisibles satisfaciendo las condiciones

y(a) = A, y(b) = B, G[y] =

∫ b

a

G(x, y(x), y′(x))dx = l,

donde G es otro funcional, y supongamos que F tiene en y un punto extremal. Entonces,si y no es un extremal de G, entonces existe una constante λ tal que y es tambien puntoextremal del funcional ∫ b

a

(F + λG)dx,

es decir, satisface la ecuacion diferencial

Fy −d

dxFy′ + λ

(Gy −

d

dxGy′

)= 0.

Observacion 8.2.24. Lo estudiado en el resultado anterior se puede generalizar de man-era natural al caso de funcionales que dependan de n funciones de variable real. En estecaso, si buscamos un extremo para un funcional

F(y1, . . . , yn) =

∫ b

a

F (x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y

′n)dx,

sujeto a las condiciones

yi(a) = Ai, yi(b) = Bi, (i = 1, . . . , n);

y las restricciones

Gj[y1, . . . , yn] =

∫ b

a

Gj(x, y1, . . . , yn, y′1, . . . , y

′n)dx = lj, (j = 1, . . . , k). (8.6)

En este caso una condicion necesaria para obtener un extremo es que

∂

∂yi

(F +

k∑j=1

λjGj

)− d

dx

∂

∂y′i

(F +

k∑j=1

λjGj

)= 0, (i = 1, . . . , n).

Los k parametros λj se suelen llamar multiplicadores de Lagrange y se determinan a partirde las condiciones de contorno y de las restricciones del problema.


En ocasiones las restricciones del problema vienen dadas a traves de campos escalaresen lugar de a traves de un funcional, es decir, cambiar (8.6) por

Gj(x, y1, . . . , yn) = 0, (j = 1, . . . , k).

Estudiaremos este caso con n = 2 y k = 1 para mantener una notacion sencilla.

Teorema 8.2.25. Dado el funcional

F(y, z) =

∫ b

a

F (x, y, z, y′, z′)dx,

con curvas admisibles satisfaciendo las condiciones

y(a) = A1, y(b) = B1, z(a) = A2, z(b) = B2,

y perteneciendo a la superficieg(x, y, z) = 0,

y supongamos que F tiene en (y, z) un punto extremal. Entonces, si |gy| + |gz| 6= 0 paratodo punto de g(x, y, z) = 0, entonces existe una funcion λ(x) tal que (y, z) es un puntoextremal de ∫ b

a

(F + λ(x)g)dx,

es decir, satisface las ecuaciones diferenciales

Fy + λgy −d

dxFy′ = 0;

Fz + λgz −d

dxFz′ = 0.

Ejemplo 8.2.26. De entre todas las curvas de longitud l en el semiplano superior dadopor los puntos (−a, 0) y (a, 0), encontrar aquella que junto con el intervalo [−a, a] encierremayor area.

Ejemplo 8.2.27. De entre todas las curvas de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 que pasan pordos puntos dados (x0, y0, z0) y (x1, y1, z1) encontrar las ecuaciones de aquella que tienemenor longitud.

8.3. Condicion suficiente para un extremo

Hasta ahora, en nuestro estudio de extremales de funcionales, hemos considerado solouna condicion necesaria. A continuacion veremos condiciones suficientes para asegurarnosque el funcional alcanza un extremo.

Definicion 8.3.1.

8.3 Condicion suficiente para un extremo 165

(i) Llamamos forma bilineal a una aplicacion B : X ×X → IR siendo esta lineal en cadavariable, y X un espacio vectorial;

(ii) Llamamos forma cuadratica a una aplicacion A : X → IR tal que existe una formabilineal B cumpliendo que A(x) = B(x, x), para cada x ∈ X.

Definicion 8.3.2. Se dice que un funcional es diferenciable dos veces en f ∈ D(F) =f +M ⊂ (X, ‖ · ‖) si existe una aplicacion lineal δFf : M → IR (llamada variacionprimera) y una forma cuadratica δ2Ff :M→ IR (llamada variacion segunda), tal que

F(f + h)−F(f) = δFf (h) + δ2Ff (h)− ε(h, f) ‖ h ‖,

para h ∈ V siendo este ultimo un entorno del origen en M y verficandose ademas que

lımh→0

ε(h, f) = 0.

Teorema 8.3.3. Sea F un funcional diferenciable dos veces en f ∈ D(F), entonces lavariacion segunda δ2Ff es unica.

Teorema 8.3.4. Una condicion necesaria para que el funcional dos veces diferenciable Ftenga un mınimo en y ∈ D(F) es que

δ2Ff (h) ≤ 0, ∀h ∈M.

Asimismo es condicion necesaria para la existencia de un maximo en y que

δ2Ff (h) ≥ 0, ∀h ∈M.

Definicion 8.3.5. Una forma cuadratica A enM es fuertemente positiva (resp. negativa)si existe K > 0 tal que

A(h) ≥ K ‖ h ‖2, ∀h ∈M.

(resp. A(h) ≤ −K ‖ h ‖2, ∀h ∈M)

Teorema 8.3.6. Una condicion suficiente para que un funcional F dos veces diferenciabletenga un mınimo (resp. maximo) en y ∈ D(F) en el supuesto en que se anule la variacionprimera de F en y es que la variacion segunda de F en y sea fuertemente positiva (resp.negativa).

Teorema 8.3.7. Fijados F (x, y, z) ∈ C2(IR3) y a, b, A,B ∈ IR, b − a > 0 y el funcionaldefinido por

F(f) =

∫ b

a

F (x, y, y′)dx,

donde f ∈ D(F) = {y ∈ C1[a, b]; y(a) = A, y(b) = B}. Entonces F es dos veces diferen-ciable y la variacion segunda viene dada por

δ2Ff (h) =

∫ b

a

[P (h′)2 +Qh2

]dx, siendo

P =1

2

∂2F

∂(y′)2; Q =

1

2

∂2F

∂y2− 1

2

d

dx

∂2F

∂y∂y′. (8.7)


Definicion 8.3.8. Sea h ∈M, y consideremos la ecuacion diferencial

d

dxPh′ −Qh = 0,

donde P y Q han sido definidos en (8.7). Se dice que c ∈ [a, b] es conjugado de a, si laecuacion diferencial anterior tiene una solucion no trivial que se anula en c.

Teorema 8.3.9. Sea y ∈ D(F) ⊂ C1[a, b], satisfaciendo las siguientes condiciones:

(i) y es solucion de la ecuacion de Euler-Lagrange,

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y′= 0;

(ii) Para todo x ∈ [a, b], se tiene que

∂2F

∂y∂y′(x, y(x), y′(x)) > 0;

(iii) El intervalo (a, b) no contiene puntos conjugados de a.Entonces F tiene un mınimo relativo en y.

Ejemplo 8.3.10. Aplicar el resultado anterior a los ejemplos anteriores.

Ejercicios del tema

1. Hallar los extremales del funcional

F(y) =

∫ x1

x0

√1 + (y′)2

ydx.

2. Analizar el extremo del funcional

F(y) =

∫ x1

x0

(y2 + 2xyy′)dx, y(x0) = y0; y(x1) = y1.

3. Analizar el extremo del funcional

F(y) =

∫ 1

0

(xy + y2 − 2y2y′)dx, y(0) = 1; y(1) = 2.


F(y) =

∫ x1

x0

y′(1 + x2y′)dx.



F(y) =

∫ x1

x0

[(y′)2 + 2yy′ − 16y2]dx.


F(y) =

∫ x1

x0

[xy′ + (y′)2]dx.


F(y) =

∫ x1

x0

1 + y2

(y′)2dx.


F(y) =

∫ x1

x0

[(y′)2 + y2 − 2y senx]dx.


F(y, z) =

∫ x1

x0

[2yz − 2y2 + (y′)2 − (z′)2]dx.

10. Escribir la ecuacion de Ostrogradski para el funcional

F(z) =

∫ ∫D

[(∂z

∂x

)2

−(∂z

∂y

)2]dxdy.

11. Escribir la ecuacion de Ostrogradski para el funcional

F(u) =

∫ ∫ ∫D

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

+

(∂u

∂z

)2

+ 2uf(x, y, z)

]dxdydz.


F(y) =

∫ x1

x0

(y′)2

x3dx.


F(y) =

∫ x1

x0

[y2 + (y′)2 + 2yex]dx.



F(y) =

∫ x1

x0

[y2 − (y′)2 − 2y senx]dx.


F(y) =

∫ x1

x0

[y2 + (y′)2 +

2y

coshx

]dx.


F(y) =

∫ x1

x0

[2y2 + x2(y′)2 + 2xy]dx.

17. Analizar los extremos del funcional:

F(y) =

∫ 2

0

[xy′ + (y′)2]dx; y(0) = 1; y(2) = 0.


F(y) =

∫ a

0

[(y′)2 + 2yy′ − 16y2]dx; a > 0; y(0) = 0; y(a) = 0.


F(y) =

∫ 2

−1

y′(1 + x2y′)dx; y(−1) = 1; y(2) = 4.


F(y) =

∫ 2

1

y′(1 + x2y′)dx; y(1) = 3; y(2) = 5.


F(y) =

∫ 2

−1

y′(1 + x2y′)dx; y(−1) = 1; y(2) = 1.


F(y) =

∫ π/4

0

[4y2 − (y′)2 + 8y]dx; y(0) = −1; y(π/4) = 0.


F(y) =

∫ 2

1

[x2(y′)2 + 12y2]dx; y(1) = 1; y(2) = 8.



F(y) =

∫ 1

0

[y2 + (y′)2 + 2ye2x]dx; y(0) = 1/3; y(1) = 1/3e2.


F(y) =

∫ π/4

0

[−(y′)2 + y2 + 6y sen 2x]dx; y(0) = 0; y(π/4) = 1.


F(y) =

∫ x1

0

dx

y′; y(0) = 0; y(x1) = y1 x1 > 0; y1 > 0.


F(y) =

∫ x1

0

dx

(y′)2; y(0) = 0; y(x1) = y1 x1 > 0; y1 > 0.


F(y) =

∫ 2

1

x3

(y′)2dx; y(1) = 1; y(2) = 4.


F(y) =

∫ 1

0

[12xy + (y′)2]dx; y(1) = 0; y(3) = 26.


F(y) =

∫ 2

0

[y2 + (y′)2 − 2xy]dx; y(0) = 0; y(2) = 3.

31. (NO) Hallar las curvas en las cuales puede alcanzarse un extremo del funcional

F(y) =

∫ 10

0

(y′)3dx; y(0) = 0; y(10) = 0,

con la condicion de que las curvas admisibles no puedan penetrar dentro del cırculodelimitado por la circunferencia

(x− 5)2 + y2 = 9.


32. Hallar la funcion en la cual puede alcanzarse un extremo del funcional

F(y) =

∫ π/4

0

[y2 − (y′)2]dx; y(0) = 0,

si el otro punto frontera puede deslizarse por la recta x = π/4.

33. (NO) Aplicando solo la condicion necesaria fundamental, hallar la curva en la cualpuede alcanzarse un extremo del funcional

F(y) =

∫ x1

0

√1 + (y′)2

ydx; y(0) = 0,

si el segundo punto frontera (x1, y1) puede desplazarse por la circunferencia

(x− 9)2 + y2 = 9.

34. Hallar los extremales del problema isoperimetrico

F(y) =

∫ 1

0

[x2 + (y′)2]dx,

con la condicion ∫ 1

0

y2dx = 2, y(0) = 0; y(1) = 0.

35. Hallar las lıneas geodesicas del cilindro circular r = R. Indicacion: Es comodobuscar la solucion en coordenadas cilındricas.


F(y) =

∫ x1

x0

(y′)2dx,

con la condicion ∫ x1

x0

ydx = a,

donde a es una constante.

37. Escribir la ecuacion diferencial de los extremales del problema isoperimetrico sobreel extremo del funcional

F(y) =

∫ x1

0

[p(x)(y′)2 + q(x)y2]dx,

con la condicion ∫ x1

0

r(x)y2dx = 1; y(0) = 0; y(x1) = 0.



F(y, z) =

∫ 1

0

[(y′)2 + (z′)2 − 4xz′ − 4z]dx,

con la condicion∫ 1

0

[(y′)2 − xy′ − (z′)2]dx = 2, y(0) = 0; z(0) = 0; y(1) = 0; z(1) = 1.


1. (x− C1)2 + y2 = C22 .

2. No tiene solucion.

3. No tiene solucion.

4. y = C1/x+ C2.

5. y = C1 sen(4x− C2).

6. y = −x2/4 + C1x+ C2.

7. y = senh(C1x+ C2).

8. y = C1ex + C2e

−x + 1/2 senx.

9. y = (C1x+C2) cosx+(C3x+C4) senx, z = 2y+y′′, donde z se determina facilmente.

10.∂2z

∂x2− ∂2z

∂y2= 0.

11.∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= f(x, y, z).

12. y = C1x4 + C2.

13. y = 1/2xex + C1ex + C2e

−x.

14. y = −x cosx

2+ C1 cosx+ C2 senx.

15. y = C1 coshx+ C2 senhx+ x senhx− coshx log(cosh x).

16. y = C1x+ C2/x2 + 1/3x log |x|.

17. Para y = −x2/4 + 1 se tiene un mınimo.


18. Para y = 0 se tiene un mınimo si 0 < a < π/4; si, en cambio, a > π/4, no haymınimo.

19. No hay extremo en las curvas continuas.

20. Hay un mınimo para y = 7− 4/x.

21. Para y = 1 hay mınimo.

22. Hay un maximo para y = sen 2x− 1.

23. Para y = x3 hay mınimo.

24. Mınimo para y = 1/3e2x.

25. Maximo para y = sen 2x.

26. En la recta y = y1/x1x hay mınimo.

27. En la recta y = y1/x1x hay mınimo.

28. Mınimo en y = x2.

29. Maximo para y = x3 − 1.

30. Hay mınimo para y = senhx/ senh 2 + x.

31. La curva esta formada por un segmento de recta tangente a la circunferencia, unarco de circunferencia y nuevamente un segmento de tangente a esta.

y =

±3/4x para 0 ≤ x ≤ 16/5;

±√

9− (x− 5)2 para 16/5 < x ≤ 34/5;

±3/4(x− 10) para 34/5 < x ≤ 10.

32. y ≡ 0.

33. Los arcos de circunferencia y = ±√

8x− x2.

34. y = ±2 sennπx, siendo n entero.

35. φ = C1 + C2z; r = R.

36. y = λx2 +C1x+C2, donde C1, C2 y λ se determinan de las condiciones de fronteray de la condicion isoperimetrica.


37.d

dx[p(x)y′) + [λr(x) − q(x)]y = 0; y(0) = 0; y(x1) = 0. La solucion trivial y ≡ 0

no satisface la condicion isoperimetrica, y las soluciones no triviales existen, comoes sabido, solo para ciertos valores de λ, llamados valores propios. En consecuencia,λ debe ser un valor propio. Una constante arbitraria de la solucion general de laecuacion de Euler se determina de la condicion y(0) = 0; la otra, de la condicionisoperimetrica.

38. y = −5/2x2 + 7/2x; z = x.

Apendices

175

Apendice A

Vectores propios y valores propios enuna aplicacion lineal

Definicion A.0.11. Fijado un C-espacio vectorial V de dimension n, se dice que v ∈V \ {0} es un vector propio de la aplicacion lineal T : V → V , si existe λ ∈ C tal queT (v) = λv. Al escalar λ se le llama valor propio de T asociado con el vector propio v.

Proposicion A.0.12. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n y T : V → Vuna aplicacion lineal. Entonces los vectores y valores propios de T coinciden con los decualquier matriz A asociada a T . Por lo tanto λ sera valor propio de T si, y solo si,

det(A− λIn) = 0,

siendo A cualquier matriz asociada a T .

Ejemplo A.0.13. Determinar los valores propios de las matrices:

(a)

1 1 30 1 −21 0 1

(b)

[4 12 3

]Definicion A.0.14. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n y T : V → V unaaplicacion lineal. Dado α ∈ C, se define el conjunto:

VT (α) := {v ∈ V ;T (v) = αv} ⊂ V.

Proposicion A.0.15. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V unaaplicacion lineal, y cada elemento de {λi}pi=1 ⊂ C un valor propio de T con multiplicidadel respectivo elemento de {mi}pi=1 ⊂ IN. Entonces cada subespacio vectorial VT (λj) de Vtiene dimension menor o igual que mj, j ∈ {1, 2, . . . , p}.

Proposicion A.0.16. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V unaaplicacion lineal con valores propios {λi}pi=1 ⊂ C de multiplicidad el respectivo elementode {mi}pi=1 ⊂ IN. Si para cada j ∈ {1, . . . , p} denotamos por xj un vector propio asociadoa λj, entonces {xj}pj=1 es un sistema linealmente independiente.

177

178 Vectores propios y valores propios en una aplicacion lineal

Definicion A.0.17. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V unaaplicacion lineal. Se dice que T es diagonalizable si alguna matriz A asociada a T lo es, e.d., esta ultima es semejante a una matriz diagonal. En tal caso, existe una matriz regularB y una matriz diagonal D verificando:

A = B−1DB.

Los elementos de la diagonal de D son los valores propios de T , y aparecen en la diagonaltantas veces como multiplicidad tienen.

Teorema A.0.18. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V una apli-cacion lineal y A una matriz asociada a T . Entonces T (o A) es diagonalizable si, y solosi, existe una base en V formada por vectores propios de T (o de A).

Corolario A.0.19. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V unaaplicacion lineal y A una matriz asociada a T . Si todos los autovalores de T (o de A) sonsimples, entonces T (o A) es diagonalizable.

Teorema A.0.20. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V una apli-cacion lineal, y cada elemento de {λi}pi=1 ⊂ C un valor propio de T con multiplicidad elrespectivo elemento de {mi}pi=1 ⊂ IN. Si A es cualquier matriz asociada a T , entonces T(o A) es diagonalizable si, y solo si, el rango de la matriz A− λjIn es n−mj, para cadaj ∈ {1, . . . , p}.

Ejemplo A.0.21. Comprobar si es diagonalizable la matriz: 2 1 1−1 −1 −1

2 4 3

Teorema A.0.22. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V una apli-cacion lineal y A una matriz asociada a T . Supongamos que cada elemento de {λj}pj=1 ⊂ Ces un valor propio de T con multiplicidad el respectivo elemento de {mi}pi=1 ⊂ IN. De-notemos por Ej el nucleo de la aplicacion lineal asociada a la matriz

(A− λjIn)mj , j ∈ {1, . . . , p}.

Entonces:

(i) E = ⊕pi=1Ei;

(ii) La restriccion Tj de T a Ej es una aplicacion lineal sobre Ej, j = 1, . . . , p;

(iii) La matriz A es semejante a una matriz casidiagonal C,

C =

A1 0 . . . 0 00 A2 . . . 0 0. . .0 0 . . . 0 Ap

,

179

de manera que cada Aj es una matriz cuadrada de orden mj, cuya ecuacion caracterısticaes

(λ− λj)mj = 0, j = 1, . . . , p.

Definicion A.0.23. Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → V unaaplicacion lineal y cada elemento de {λj}pj=1 ⊂ C un valor propio de T . Se dice que losvectores de la familia {xi}mi=1 ⊂ V forman un conjunto basico respecto al valor propio λjy al vector propio x1 6= 0 si T (x1) = λjx1 y

T (xi) = λjxi + xi−1, ∀ i ∈ {2, . . . ,m}.

Teorema A.0.24. En cualquier espacio vectorial de dimension finita existe una baseformada por una o por varias familias de subconjuntos basicos.

Definicion A.0.25. Se llama bloque de Jordan de orden p ≥ 1 con valor propio λ a lamatriz cuadrada de orden p dada por:

(i) Si p = 1, [λ];

(ii) Si p > 1, λ 1 0 0 . . . 0 00 λ 1 0 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . λ 10 0 0 0 . . . 0 λ

.Teorema A.0.26 (Jordan). Sea V un C-espacio vectorial de dimension n, T : V → Vuna aplicacion lineal y A una matriz asociada a T . Entonces la matriz A es semejante auna matriz casidiagonal

C =

J1 0 . . . 0 00 J2 . . . 0 0. . .0 0 . . . 0 Jr

,donde cada elemento de la familia {Ji}ri=1 es un bloque de Jordan asociado a un valorpropio distinto de T .

Ejemplo A.0.27. Hallar la forma de Jordan de la matriz 1 1 30 1 −21 0 1

.

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