INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA

DEPARTAMENTO: Ciencias de la tierra

CARRERA: Ingeniería civil

MATERIA: Modelo y optimización de recursos

TEMA: Algoritmos especiales de programación lineal

ALUMNO:

Alexander Martínez López José Luis Jiménez Mendoza

Sebastián Marcelo Ramírez Pérez Tilo Antonio Gutiérrez García

CATEDRÁTICO: Ing. Juan Solís Hernández

FECHA DE ENTREGA:

Villahermosa, Tabasco 26/03/2014

INDICE

1 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

1- Objetivo (general y específico)………………………………………………..3

2- INTRODUCCION………………………………………………………………….4

3.1 El problema de transporte: Planteamiento del problema, Determinación de la solución básica factible inicial, El criterio de optimabilidad y el algoritmo de mejoramiento de la solución (Ruta de los signos)……………….5

3.2 El problema de asignación: planteamiento del problema, Algoritmo para determinar la asignación optima…………………………………………………….24

3.3El uso de software………………………………………………………………….34

3- CONCLUSION…………………………………………………………………...39

4- Glosario de términos de términos…………………………….…………….40

5- Anexos……………………………………………………………………………43

6- BIBLIOGRAFIA……………………………….…………………………………44

OBJETIVO

2 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

OBJETIVO GENERAL:

Esta situación de vacío hizo considerar seriamente la posibilidad de realizar una colección de problemas originales, caracterizados por ofrecer un enfoque novedoso respecto a lo que ha sido la tónica habitual en esta materia. Por ello se ha pretendido incorporar problemas que aporten una visión más real de las posibilidades que ofrece la programación lineal, centrando el interés en la interpretación económica y organizativa de las situaciones reflejadas en los problemas, e intentando cubrir el vacío existente de obras de las características presentadas.

OBJETIVÓ ESPECÍFICO:

Conocimiento detallado de la Programación Lineal en el mundo real. Dar a conocer detalladamente los principales problemas que resuelve la

Programación Lineal. Adquisición de habilidades para el planteamiento y resolución de nuevos

casos reales.

INTRODUCCION

3 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Después de estudiar detalladamente los conceptos básicos de Programación Lineal ubicados en un contexto de aplicaciones de la Investigación Operativa en el mundo empresarial e industrial, se hace preciso describir cómo es posible aplicar los conceptos anteriores en diferentes situaciones prácticas. Este desarrollo de situaciones del mundo real constituye el auténtico desarrollo de la programación lineal. No se tratan de meras aplicaciones, sino del campo específico natural de desarrollo de la programación lineal. Sin casos prácticos como los que aquí se van a desarrollar no se hubiera dado el auge real de esta técnica operacional. Por otra parte, el conocimiento de aplicación de los principales conceptos de programación lineal permite plantear la resolución de nuevos casos prácticos que surgen día a día en la Empresa, la Industria y la Ingeniería.

De esta forma, el objetivo de este capítulo es mostrar el vasto número de problemas de la vida real que pueden ser abordados mediante las técnicas de programación lineal. Presentaremos aplicaciones a áreas tan diversas como dirección de la producción, investigación de mercados, marketing, logística, finanzas, etc. En todos esos ámbitos, la programación lineal se revela como herramienta insustituible en la toma de decisiones.

3.1 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

4 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes, con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.

El PT es un caso particular de la PL

Se debe determinar un esquema óptimo de transporte que se origina en los lugares de oferta donde la existencia de cierta mercancía es conocida, y llega a los lugares de donde se conoce la cantidad requerida. El costo de cada envió es proporcional a la cantidad transportada y, el costo total es la suma de los costos individuales.

5 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Una solución al PT queda definido por un conjunto de mxn número Xij, donde:

Xij : Número de unidades a enviar desde el origen i al destino j

Siendo Xij ≥ 0

El programa lineal del Problema del transporte queda expresado de la siguiente manera:

6 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Sujeto.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

1. Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Si

2. Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj

3. Objetivo: Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

El modelo de transporte tiene notable interés por sus importantes aplicaciones que, como se verá en varios ejercicios, no se restringe únicamente a la distribución de mercancías.

Su procedimiento específico de solución, llamado algoritmo de transporte consta de dos fases y es rápido y eficiente. La primera fase consiste en obtener una solución factible inicial. Se pasa después a la segunda fase, en la que se comprueba si la solución obtenida en la primera fase es óptima, y si no lo es, como mejorarla.

7 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE

Situaciones: Enviar un bien desde unos puntos de origen a unos puntos de destino.

Objetivo: Determinar las cantidades que hay que enviar desde cada origen a cada destino para satisfacer todas las demandas sin superar los límites que establece la oferta y de forma que se minimice el coste total de distribución.

Hipótesis: El coste del envío por una determinada ruta es proporcional al número de unidades enviadas por esa ruta.

Ejemplo: Un Problema de Transporte

La compañía Sunray Transporte Compañía envía camiones cargados de grano desde tres silos a cuatro molinos. La oferta y la demanda, junto con los costes del transporte por carga de camión en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda vienen dadas en términos de camiones cargados y los costes en cientos de euros.

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 Oferta

Silo 1 10 2 20 11 15

Silo 2 12 7 9 20 25

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 5 15 15 15

Determina qué cantidad de camiones, xij , hay que enviar desde cada silo i a cada molino j para conseguir que el coste total del transporte sea lo menor posible.

Modelización

Red o Grafo Bipartido en el que:

Los m + n vértices representan los m puntos de origen y los n puntos de destino

Las aristas (i, j), los caminos entre cada origen i y cada destino j

Cada vértice origen tiene asociada una oferta ai, i = 1, . . . ,m

Cada vértice destino tiene asociada una demanda bj , j = 1, . . . , n

Cada arista, un coste cij que representa el coste de enviar una unidad de demanda de i a j

8 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Oferta total ≥ Demanda total (Pmi=1 ai ≥ Pnj=1 bj)

Si Oferta total < Demanda total es posible modernizar el problema para determinar las demandas que quedarían por servir.

Si xij= no de unidades que se env´ıan desde el origen i al destino j

Min Pm

i=1Pn

j=1 cijxij

sea: Pn

j=1 xij = ai, i = 1, 2, . . . ,m

Pm

i=1 xij = bj , j = 1, 2, . . . , n

xij ≥ 0, ∀(i, j)

Si xij= no de camiones de grano que se envían desde el silo i al molino j

Min 10x11 + 2x12 + 20x13 + 11x14+ 12x21 + 7x22 + 9x23 + 20x24+ 4x31 + 14x32 + 16x33 + 18x34

sea: x11 + x12 + x13 + x14 = 15 Silo 1

x21 + x22 + x23 + x24 = 25 Silo 2

x31 + x32 + x33 + x34 = 10 Silo 3

x11 + x21 + x31 = 5 Molino 1

x12 + x22 + x32 = 15 Molino 2

x13 + x23 + x33 = 15 Molino 3

x14 + x24 + x34 = 15 Molino 4

xij ¸ 0, 8(i, j)

Propiedades

Propiedad de las Soluciones Posibles: un problema de transporte tiene solución sii Oferta total ≥ Demanda total, es decir:

mXi=1ai ≥n

Xj=1

9 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Bj =Propiedad de las Soluciones Enteras: si todas las ofertas ai y todas las demandas bj son enteras, todas las soluciones posibles básicas toman valores enteros.

El modelo se dice que esta desequilibrado cuando:

Oferta total 6= Demanda total

Solución: Añadir vértices y aristas ficticias a la red.

Si Oferta total < Demanda total: el problema es imposible

Si Oferta total > Demanda total: añadir un destino ficticio n + 1 cuya demanda sea bn+1 = Oferta total − Demanda total

Unir el destino ficticio con todos los orígenes mediante aristas de coste cero. Si se desea que se agote la oferta de un determinado origen se puede asignar un coste positivo suficientemente grande a la arista que conecta el destino ficticio con dicho origen.

El equilibrado es necesario para poder aplicar el Algoritmo del Trans-porte: adaptación especial del Simplex al problema del transporte.

El Problema de Asignación

Situaciones: Asignar recursos a tareas cuando:

Número de recursos = Número de Tareas = n

Cada recurso se debe asignar a una única tarea exactamente Cada tarea debe tener asignado exactamente un único recurso Para cada pareja (recurso, tarea) se conoce el costo que supone realizar la tarea utilizando dicho recurso.

Objetivo: Determinar cómo deben hacerse la n asignaciones para que el costo total de la asignación sea mínimo.

El Problema de Asignación es un caso particular del Modelo del Trans-porte.

Un Problema de Transbordo

El siguiente grafo corresponde a una red de ordenadores en la que los nodos O1 y O2 representan los servidores de correo electrónico de los ordenadores de varias ciudades europeas, T1 y T2 son nodos de distribución intermedios y D1, D2 y D3 representan los servidores de correo que dan servicio a los ordenadores de varias ciudades americanas. Se estima que a O1 llegan 1000 mensajes al día, y 1200 a O2. Sin embargo, D1 solamente puede dar salida a 800 mensajes diarios, D2 a 900, y D3 a 500. Se supone que no hay problemas de capacidad en las líneas que conectan estos nodos, por lo que por cada tramo se pueden transmitir tantos mensajes como sean necesarios. Los números indicados en la red representan el

10 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

tiempo que tarda en milésimas de segundo la transmisión del mensaje por ese tramo de la red. Modernizar y resolver el problema de programación lineal que permite transmitir los mensajes en el menor tiempo posible.

11 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

Corresponde a un problema de flujo de mínimo costo

Supongamos que deseamos enviar productos desde las bodegas a los lugares de venta

Ejemplo:

3 bodegas

4 puntos de venta

ai: oferta en bodega i

bj: demanda de vendedor j

cij: costo de envio de i a j

Sea xij la cantidad enviada de i a j

Formule el LP

12 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

EL PROBLEMA DE TRANSPORTE

En general, la formulación es mínima

FARMACÉUTICA CARTON

La farmacéutica Cartón abastece de drogas y otros suministros médicos.

Esta tiene tres plantas en: Cleveland, Detroit, Greensboro.

Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis.

La gerencia de Cartón desea realizar el transporte de sus productos de la manera más económica posible.

DATOS

Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.

SUPUESTOS

* El costo de transporte por unidad es constante

* Todos los transportes ocurren simultáneamente.

* Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino

* La oferta total es igual a la demanda total.

13 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.

En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.

TECNICA DE TRANSPORTE.

Los pasos básicos de la técnica de transporte son:

Paso 1: determínese una solución factible.

Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.

Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.

OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES

14 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo mínimo, o el método de Voguel.

Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la esquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grande posible.

Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1 tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más variables básicas del renglón 1 del cuadro. También d1-S1 . Si X11=d1, tache la primera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.

Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1, cambie S 1 por 0.

Continúe aplicando este procedimiento a la celda más noroeste del cuadro que no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.

Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se puede asignar un valor.

Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una solución básica factible

.

OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE

Paso 1: Si el problema no está balanceado, balancéelo.

Paso 2: Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para obtener una solución básica factible.

Paso 3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las variables básicas para encontrar (U1,U2…Um V1,V2…Vn) para la sbf actual.

Paso 4: Si Ui + Vj – Cij es menor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce la variable con valor más positivo de Ui + Vj –Cij en la base. Para hacer esto, encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables básicas. Después, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito cerrado marque las que se encuentren alejadas en número par (0,2,4,6,…) de celdas de la variable que entra como celdas pares. También marque las celdas en el circuito cerrado, que se encuentra un número impar de celdas de la variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente a esta celda impar saldrá de la base.

15 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Para realizar el pivoteo, disminuye el valor de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. Ahora se completó el bloqueo.

Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable impar que tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía un sbf degenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.

Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base; se obtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva sbf.

Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para un problema de maximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso 4 por el paso 4’.

Paso 6: Si Ui + Vj –Cij es mayor o igual a cero, para todas las variables no básicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque la variable con el valor más negativo de Ui + Vj – Cij en la base mediante el procedimiento de pivoteo.

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE CUANDO LA OFERTA Y LA DEMANDA NO SE ENCUENTRA EN EQUILIBRIO CON LA DEMANDA.

INTERACCIÓN ENTRE LA DEMANDA Y LA OFERTA, EL PRECIO DE EQUILIBRIO

La oferta y la demanda por su parte, expresan las cantidades que los individuos dentro del sistema económico están dispuestos a adquirir y a demandar y otros interesados en producir o vender, cada grupo en forma independiente, lo cual no es igual que lo que pueden hacer, pues esto realmente se determina por la interacción entre unos y otros. El modelo de oferta y demanda se completa cuando se establece un acuerdo entre compradores y vendedores.

Por lo tanto, la operación sólo es efectiva cuando demandantes y oferentes logran un acuerdo y realizan una transacción económica encontrando el precio que mas satisface las expectativas de ambas fuerzas y se da en los diferentes mercados de bienes y servicios, mercado laboral o mercado del dinero.

Entonces, las fuerzas y los mecanismos del mercado conducen a través de las leyes de la oferta y la demanda a un precio de equilibrio capaz de armonizar el conflicto entre productores y demandantes consumidores.

16 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Precios de mercado y precios de equilibrio

El precio al cual están dispuestos a transar una determinada cantidad de producto, tanto el productor como el comprador se le conoce como precio de mercado o precio de equilibrio.

En una economía de libre empresa, los precios de los productos son determinados en las intersecciones de las curvas de la demanda y de la oferta del mercado del producto.

Precio de equilibrio

Si este precio satisface plenamente las aspiraciones del uno y del otro no se va a producir exceso en el mercado, que se da cuando la cantidad demandada es menor que la cantidad ofrecida, o una escasez, cuando la cantidad demandada es mayor que la ofrecida; entonces, el precio que iguala la cantidad ofrecida con la cantidad demandada se le denomina precio de equilibrio.

Partiendo de un mercado de competencia perfecta, el precio de equilibrio será determinado por la libre manifestación de los precios de la oferta y la demanda y en los demás tipos de mercado, aunque sea difícil de aceptar, ninguna empresa o persona individual determina el precio del mercado.

Cuando el precio es igual al de equilibrio y la cantidad comprada y vendida es igual a la cantidad de equilibrio se dice que existe un equilibrio del mercado.

Determinación del precio de equilibrio

El precio de equilibrio sin embargo no es sencillo de lograr por la heterogeneidad y tendencia al cambio en las preferencias del conjunto de compradores y vendedores y una variedad de circunstancias dentro del ambiente económico, que imprimen una fuerte dinámica al proceso de determinación de los precios.

La magnitud de esos cambios en los precios depende de las condiciones de la oferta y la demanda, así, un exceso en la cantidad demandada sobre la ofrecida hace aumentar el precio hasta que el exceso se elimine y viceversa.

Por ejemplo si los oferentes de un producto agrícola enfrentan problemas con su cosecha que hace que se presente una escasez del producto en el mercado, los induce a ofrecer su producto a un precio mayor y los demandantes tendrán que comprarlo a ese precio mayor, si se trata de un bien de primera necesidad.

Esta relación entre la oferta y la demanda es la que lleva a determinar los precios en el sistema económico y actúan como organizadores de tal actividad. En un sistema de libre empresa, a precios más altos la cantidad demandada es menor

17 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

que la cantidad ofrecida y el excedente resultante presionará los precios hacia abajo hasta lograr el nivel de equilibrio.

Ejemplo:

PRECIO UNIDADESUNIDADES OFRECIDAS

RELACIÓNESCASEZ, EXCEDENTE O EQUILIBRIO

PRESIÓN SOBRE EL PRECIO

1000 10000 1000 QD > QO Escasez P aumenta4000 8000 2000 QD > QO Escasez P aumenta6000 3200 3200 QD = QO Equilibrio No cambia8000 2000 5000 QD < QO Excedente P baja10000 1000 7000 QD < QO Excedente P baja

Si el precio de un producto determinado es de $ 1000, algunos productores estarán dispuestos a producir y ofrecer para la venta solo 1000 unidades y los compradores estarían dispuestos a comprar a dicho precio un número alto de unidades, pero el precio no motiva a los primeros, por lo que se presentan en el mercado un faltante o exceso de demanda, resultado que se representa en la columna 4.

El precio de $1000 no es posible entonces mantenerlo como precio de mercado puesto que muchos compradores estarían dispuestos a pagar mas con el fin de obtener el producto, este faltante hace que se siga elevando el precio hasta el punto que se donde los productores y consumidores se sienten satisfechos con el precio, eliminándose el faltante y el excedente, que corresponde a un precio de $ 6000 en el ejemplo, que sería el precio de equilibrio.

A medida que el precio se eleva los productores se motivan a ofrecer mas, pero los compradores por razones de precio reducen su demanda, generándose un excedente hasta tal punto que si el precio sube a $ 8000 habrá un exceso de oferta de 3000 unidades y podría llegar hasta 6000 unidades cuando se ofrecen a $ 10000, para los cuales solo habría demandas por 1000 unidades

Gráficamente el equilibrio se representa por la intersección de la curva de oferta y demanda de un producto, e indica el equilibrio del mercado, siendo E el punto de equilibrio donde no existe ni exceso en la cantidad demandada ni exceso en la cantidad ofrecida. A un precio superior al de equilibrio la cantidad ofrecida es mayor que la demandada, lo que ocasiona reducciones en el precio hasta que los vendedores puedan vender todo el exceso. Un precio inferior al de equilibrio ocasiona un faltante, los compradores entonces intentan obtener el producto ofreciendo más por éste, lo cual eleva el precio hasta la cantidad de equilibrio.

18 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Desplazamiento de las curvas de oferta y demanda. El movimiento de los precios

Los desplazamientos de las curvas de la oferta y la demanda están íntimamente relacionados con el movimiento de los precios y con la orientación de las actividades de producción.

El modelo de la oferta y la demanda puede utilizarse para explicar o predecir los cambios en los precios. Así como la demanda y la oferta pueden cambiar por factores diferentes al precio, de la misma manera, el precio y la cantidad de equilibrio se modifican en función de los movimientos individuales de cada curva.

Se presentan cuatro posibilidades de perturbación del precio de equilibrio y las cantidades de equilibrio:

Cambios en la demanda permaneciendo inalterada la oferta

1. Expansión de la demanda manteniéndose inalterada la oferta. Ej. Una mayor demanda de flores por el día de la madre con oferta constante. El hecho ocasionará un incremento en los precios por mayores cantidades demandadas, el precio de equilibrio aumenta y la cantidad de equilibrio también, siendo la nueva intersección de las curvas en un punto más alto. Lo cual se representa gráficamente con el desplazamiento de la curva de la demanda hacia la derecha.

19 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

2. La oferta permanece constante, pero las cantidades demandadas disminuyen. Una reducción en la demanda como consecuencia de factores como disminución de los salarios o situaciones climáticas, hará que se negocien menores cantidades lo cual estimula una disminución de los precios .El precio de equilibrio baja al igual que las cantidades de equilibrio. Ej. Demanda de helados cuando el clima es excesivamente frío. Gráficamente se representa mediante el desplazamiento de la curva de la demanda hacia la izquierda.

3. Cambios en la oferta permaneciendo constante la demandaLa curva de la demanda es estable, pero se incrementa la oferta mostrando un desplazamiento hacia afuera y hacia la derecha, entonces el precio de equilibrio desciende. Mayores cantidades serán negociadas a precios más bajos. Ej. Gran parte de los productos agrícolas en épocas de cosecha (grafico 3)

20 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

4. Nuevamente la demanda es constante pero se presenta una reducción en la oferta .el precio de equilibrio se incrementa y la cantidad de equilibrio desciende. Menores cantidades serán negociadas a precios más altos, situación también muy común con las cosechas.

Cuando ambas curvas se desplazan

En la realidad es posible que varios factores intervengan tanto en la decisión de compra de un consumidor, como en la posibilidad de ofrecer productos o servicios, lo cual hace que se desplacen en forma simultánea la oferta y la demanda. Para determinar en estos casos si el precio o la cantidad aumenta o disminuye es necesario conocer cual de las dos se desplaza en una cantidad mayor.

Si se da un incremento de la oferta y una reducción de la demanda por ejemplo, ambos casos reducen el precio, de tal manera que el resultado neto es un descenso mayor en los precios, pero en cuanto a las cantidades depende de las magnitudes relativas de los cambios de ambas curvas. Si el incremento de la oferta es mayor que la reducción de la demanda, la cantidad de equilibrio aumenta, pero si la reducción de la demanda es mayor que el incremento de la oferta, la cantidad de equilibrio disminuye.

De la misma manera, cuando hay una reducción de la oferta con un incremento en la demanda aumentan los precios de equilibrio, pero nuevamente las cantidades de equilibrio estarán dependiendo de la curva que más se desplace.

21 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Cuando la demanda y la oferta se incrementan, el efecto sobre la cantidad de equilibrio es claro puesto que ambos elevan la cantidad de equilibrio, pero en este caso, es el precio de equilibrio el que depende de cuál de los dos incrementos es mayor. Si el incremento de la oferta es mayor que el incremento de la demanda, el precio de equilibrio disminuye, si ocurre lo contrario el precio de equilibrio aumenta ; lo mismo sucede cuando tanto la oferta y la demanda disminuyen, las cantidades disminuyen pero el precio depende nuevamente el precio estará determinado por el que tenga un mayor desplazamiento.

En algunos casos especiales puede presentarse que la reducción de la demanda y el incremento de la oferta o viceversa se compensen exactamente, caso en el cual el precio no cambia, puesto que el efecto neto es cero.

Interferencia en los precios del mercado

El modelo de oferta y demanda ha sido utilizado para los casos en los cuales los compradores y vendedores están en libertad de interactuar en un mercado, por lo que el precio se determina libremente; sin embargo en muchas ocasiones los gobiernos intervienen los mercados para tratar de regular los precios, bien sea para motivar un alza de los mismos reduciendo artificialmente la oferta, o bien para hacer disminuir los precios a través del incremento de la oferta.

En general hay dos tipos amplios de controles efectuados por el gobierno: fijación de un precio máximo al que se puede comprar o vender un bien, o fijación del precio mínimo, lo cual puede hacerse también sobre el aumento relativo de los precios. En Colombia por ejemplo suele fijarse un precio máximo por el cual los distribuidores de gasolina pueden vender un galón, se establece el salario mínimo que se puede pagar a cualquier trabajador y se establece el incremento relativo que se puede hacer en algunos servicios fundamentalmente, como es el caso de los arrendamientos, el transporte público, las matriculas en la educación, etc.

El propósito dependiendo del caso es estimular a productores, controlar los precios, disminuir la inflación, ayudar a los consumidores etc. sin embargo , estas medidas así como tiene algunos efectos que benefician algunos de los grupos económicos y en ocasiones la economía en general, también pueden ocasionar desestímalos fuertes a la producción ocasionando escasez persistente, o disminución en la calidad de los bienes que se ofrecen para disminuir costos por parte del productor, lo que obliga a los gobiernos de una parte a buscar el mayor equilibrio y a implementar otras medidas económicas alternas que le permitan acercarse a los propósitos buscados, pero afectando lo menos posible a cualquiera de los agentes implicados.

En ocasiones como una alternativa, los gobiernos cuando se presenta por ejemplo abundancia causada por altas cosechas en los productos agrícolas, adquieren las cosechas y las almacena en caso de ser posible para evitar una caída en los

22 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

precios, o restringen el número de hectáreas a sembrar y las importaciones o exportaciones de esos productos; por ejemplo el café en Colombia y otros países.

23 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

3.2 EL PROBLEMA DE ASIGNACION.

El problema de la asignación es encontrar un emparejamiento de peso máximo en un grafo bipartido ponderado. Es uno de los problemas fundamentales de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa en matemática.

Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es:

“La mejor persona para el trabajo”

El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos (máquinas o personas) para la realización de ciertos productos a 'costo mínimo.

Una definición más formal pudiera ser:

Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los asignados son recursos destinados a la realización de tareas, los asignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodos de tiempo. En estos problemas la oferta en cada origen es de valor 1 y la demanda en cada destino es también de valor 1.

EL PROBLEMA DE ASIGNACION PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ALGORITMO PARA DETERMINAR LA ASIGNACION ÓPTIMA

Protocolo para construir Competencias Digitales (Tip’s Básicas):

Usar (click en) www.Google.com para buscar y localizar UN material académico apropiado y que se pueda recomendar para el tema, ver VIDEO BUSQUEDAS abajo en esta página.

En el post (o tema ) apropiado en el Libro de Blogger, pegar el material localizado y que se recomienda para este tema, ver VIDEO BLOGGER abajo en esta página.

PD: Recordar incluir la fuente del tema usando el formato de citación apropiado, ver VIDEO WIKIPEDIA abajo en esta página.

24 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

En el editor de Blogger usar colores para destacar los párrafos más importantes y usar subrayados para las citas mas relevantes.

En el post ( o tema ) apropiado en el libro en Blogger, para incluir ecuaciones o notación matemática se deberá usar el icono del editor de Blogger IMAGE y construir esta notación matemática con imágenes Látex, ver VIDEO LATEX ABAJO.

Construir al final y después de la fuente del material, un breve resumen ( no más de 2–3 párrafos) explicando palabras propias el contenido del tema.

PD: Se pueden usar alguna de las citas que encontradas dentro del tema, solo recordar encerrarla entre comillas.

PD: Se pueden usar también cambios en fonts para darle mas visibilidad, consistencia y relevancia al resumen del tema.

PUNTOS EXTRAS Si se usa una segunda fuente valiosa de información y recordar encadenar los dos materiales mediante uno o dos párrafos apropiados.

Enviar al maestro o compañeros un correo electrónico que incluya la liga a el tema en blogger para revisión, recomendación, sugerencias y evaluación, ver VIDEO LIGAS GMAIL abajo.

Sacar una cuenta (click en)http://docs.google.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se construyó en Gmail y Blogger ver VIDEO GOOGLE DOCS abajo en esta pagina.

PD: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

PD: Google Docs es el equivalente a OFFICE pero con la característica que todos sus componentes ( procesador de palabras, presentación electrónica y hoja de cálculo) están completamente en internet, es decir todos los archivos o material estarán en línea, seguros y siempre disponibles, además de que se pueden trabajarlos desde cualquier pc, ya sea la personal, la del laboratorio de la escuela o la de un lugar público como la biblioteca o un café internet.

Construir una Presentación Electrónica (usando muy pocos slides) del tema en GOOGLE DOCS e incrustarla en el tema de bloger ver VIDEO GOOGLE DOCS en esta página abajo.

PD: Recordar que una presentación electrónica, es solamente un resumen muy condensado del tema ( o mapa o guía mental ), que ayuda a recordar los

25 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

elementos y conceptos mas básicos del tema, cuando se están exponiendo frente a un grupo.

PD: No olvidar incluir un primer slide con el título de la presentación electrónica, un segundo slide con un índice de la presentación electrónica y un último slide con dos o tres párrafos de conclusiones y bibliografía.

Buscar en Google Imágenes o www.Flickr.com o www.PhotoBucket.com una galería de fotos o de imágenes apropiadas al tema actual,

Para los casos de Photobucket y Flicker, ambos sitios proporcionan ligas a sus imágenes y también objetos (los recuerdan?), que se pueden incluir en el tema del libro apropiado en Blogger.

PD: para estos sitios deberán obtener una cuenta usando el correo de gmail y de preferencia obtener el mismo usuario que se ha venido manejando a lo largo del curso.

PD: Tratar de usar resoluciones y tamaños de imágenes chicos o medianos, recordar que todo este material termina en el post del tema en Blogger y esa página no tiene mucho espacio para desplegar fotos o imágenes.

PD: El formato apropiado para fotos o imágenes es JPG, tratar de no usar otros formatos.

PD: Se puede construir y conseguir esta colección o galería de imágenes con:

1) Usando Google Imágenes, recordar conseguir solo imágenes que tengan permiso de publicación abierto, no usar imágenes o fotos que tengan derechos reservados.

PD: Estas fotos almacenarlas en un folder en el desktop o escritorio de su computadora y subirlas a el post en blogger usando el icono IMAGE del editor de Blogger.

2) Flickr y Photo Bucket también tienen una gran cantidad de imágenes que se pueden usar o mejor dicho enlazar al tema o post en Blogger.

3) También se pueden usar las cámaras digitales o las cámaras de sus teléfonos celulares.

26 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

4) También se puede usar el programa o aplicación llamado Srip32.exe (solo buscar srip32 en google) bajarlo e instalarlo, este programa permite capturar una pantalla de la pc, es decir si se encuentra un sitio con imágenes o incluso texto apropiado o relevante al tema, capturar la pantalla con srip32 y ya se tendrá la imagen, ver VIDEO Srip32 abajo.

Incluir al menos una imagen de cada uno de los dos sitios (flickr y Photobucket) en el tema o post que se está construyendo en Blogger.

PUNTOS EXTRAS Si se incluyen una galería completa de imágenes apropiadas desde cualquiera de estos sitios de FLICKR o Photobucket.

Sacar una cuenta (click en)www.DivShare.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguió en Gmail y Blogger y Flickr ver VIDEO DIVSHARE abajo en esta página.

PD: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

PD: Usar Divshare para almacenar material en audio (MP3) apropiado a el tema (no usarlo para almacenar material comercial o les suspenden la cuenta)

PD: El material en Audio, con formato MP3 se deberá producir usando un micrófono en la pc y programas de aplicación apropiados, llamados editores de audio, un ejemplo de ellos es el SOUND RECORDER que ya viene en Windows, pero se recomienda usar mejor AUDACITY ( solo buscar en google AUDACITY) bajarlo e instalarlo, ver VIDEO AUDACITY abajo.

Crear al menos dos archivos de audio mp3:

1) El primero de ellos será la lectura completa de este tema en voz apropiada. ( o aprender a editar con audacity la voz)

2) El segundo de ellos será un resumen del tema. (Buena voz o editarla con audacity)

3) Ambos archivos subirlos a Div Share (recordar que tienen que ser MP3) y el reproductor que proporciona gratis Div Share, ver VIDEO DIVSHARE abajo e

27 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

insertarlo en el lugar apropiado del tema que se está construyendo en Blogger.

4) Ejemplo del reproductor incrustado en una página:

Sacar una cuenta (click en)www.YouTube.com, usando el correo de Gmail y tratar de conseguir el mismo usuario que se consiguió en Gmail y Blogger y Flickr.

PD: Si ya se tiene una cuenta ignorar esta competencia digital.

Para producir video se pueden usar tres fuentes:

1) Localizar Videos apropiados en YouTube.

2) Usar nuestras cámaras digitales o nuestros teléfonos celulares para producir video.

3) Producir un video de la propia pantalla de la computadora (muy similar a lo que se hizo con Srip32) pero usando un programa especializado en video, tal como CAMSTUDIO (click en www.CamStudio.org) bajar e instalar (no olvidar bajar e instalar el CODEC que esta abajo en el mismo sitio.

3.1) para Usar Camstudio solo recordar que es muy similar a Srip32 Solo que el resultado final es un archivo de video AVI.

Producir un video de resumen del tema (usar camstudio con el fondo de la página con el tema e irlo comentando en voz apropiada)

28 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Producir un video en vivo con la exposición del tema (pueden usar la presentación electrónica de fondo o cualquier otro material, pizarrón, filminas, rota folios, etc.)

Subir los videos a su cuenta en YouTube e incluirlos o ligarlos en la página en Blogger, también los pueden subir directamente a BLOGGER ver VIDEO BLOGGER VIDEO abajo.

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIÓN MEDIANTE

PROGRAMACIÓN LINEAL

La compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una jornada

de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo

que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo

la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta

que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe

de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con

la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el

grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento

el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el

equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de

la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

VARIABLES DE DECISIÓN

Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de

cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables X i,j donde i {Equipo

de mantenimiento 1,2,3} y j {Máquina 1,2,3}, y corresponden a variables binarias

29 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

en las cuales el valor 1 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a

una máquina en particular.

RESTRICCIONES

Dado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una

maquinaria, esta característica debe de restringirse mediante las siguientes

inecuaciones.

 

X1,1 + X1,2 + X1,3 = 1

X2,1 + X2,2 + X2,3 = 1

X3,1 + X3,2 + X3,3 = 1

 

Además debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un

equipo de mantenimiento, por ende

 

X1,1 + X2,1 + X3,1 = 1

X1,2 + X2,2 + X3,2 = 1

X1,3 + X2,3 + X3,3 = 1

 

Además se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete

de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de

los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es

un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario).

 

Xi,j ≥ 0

Xi,j ∈ {Z}

FUNCIÓN OBJETIVO

ZMIN = 10X1,1 + 9X1,2 + 5X1,3 + 9X2,1 + 8X2,2 + 3X2,3 + 6X3,1 + 4X3,2 + 7X3,3

 

INGRESANDO LOS DATOS A WINQSB

30 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

RESULTADOS OBTENIDO MEDIANTE EL WINQSB

Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de

mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de

la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3

realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17

unidades monetarias.

Infraestructura de transporte y logística

Una economía que quiere competir a nivel mundial necesita contar con una infraestructura que facilite el flujo de productos, servicios y el tránsito de personas de una manera ágil, eficiente y a un bajo costo. Una infraestructura adecuada potencia la capacidad productiva del país y abre nuevas oportunidades de desarrollo para la población.

Actualmente, la red carretera del país suma 374,262 km. De ellos, 49,169 km conforman la red federal (8,459 km son autopistas de cuota y 40,710 km

31 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

constituyen la red federal libre de peaje). Las redes troncal e intertroncal de 24,308 km se consideran estratégicas, ya que conectan el 70% de las poblaciones del país. Dentro de los principales retos que enfrenta el sector transporte se encuentra el de elevar la seguridad vial, ya que cada año se suscitan entre 3.3 y 3.8 millones de accidentes de tránsito.

El Sistema Ferroviario Nacional (SFN) está compuesto de 26,727 km de vías férreas, de los cuales el 18% está fuera de operación. En lo que se refiere al servicio de pasajeros, sólo se cuenta con el Tren Suburbano de la Zona Metropolitana de la Ciudad de México y algunos trenes turísticos. Por otra parte, la movilidad urbana en las ciudades mexicanas debe mejorar ya que existe una alta tasa de motorización, expansión urbana con baja densidad y en algunos casos no se cuenta con la suficiente infraestructura de transporte urbano masivo.

  A lo largo de sus 11,500 km de costas, México cuenta con 117 puertos y terminales habilitadas. No obstante, el 67% del movimiento de carga está concentrado en 16 puertos comerciales, de los cuales los más importantes, Manzanillo, Lázaro Cárdenas, Altamira y Veracruz, operan el 96% de la carga contenerizada.

El Sistema Aeroportuario Nacional se compone de 60 aeropuertos que transportan a alrededor de 80 millones de pasajeros y 700 millones de toneladas de carga al año. De éstos, 17 concentran el 86% del tránsito de pasajeros y el 96% de la carga aeroportuaria.

En la última década, la inversión impulsada por el sector público en infraestructura en México ha aumentado de 3.1% del PIB a 4.5%. Lo anterior ha contribuido a satisfacer parte de los requerimientos de infraestructura. Sin embargo, sigue existiendo un largo camino por recorrer. La calidad de la infraestructura en algunos de los casos es baja y la conectividad del país debe incrementarse. Según los resultados de la Consulta Ciudadana, el 32% de los participantes consideró prioritario invertir en carreteras y el 29% en redes ferroviarias. De acuerdo con el Foro Económico Mundial, por la calidad de su infraestructura actualmente México se encuentra en el lugar 65 de una muestra de 144 países, debajo de naciones con desarrollo similar, como Uruguay y Chile, pero también de Barbados, Panamá y Trinidad y Tobago. Es necesario potenciar la inversión en este sector, lo que se traducirá en mayor crecimiento y productividad, para lo cual se requiere incrementar la participación privada.

Actualmente, entre los principales retos que enfrenta el sector se encuentran los siguientes: i) la liberación de derecho de vía es un obstáculo para concluir con rapidez los proyectos estratégicos; ii) la falta de coordinación entre operadores ferroviarios genera ineficiencias; iii) el estado físico de las vías y la falta de doble vía en sitios estratégicos, entre otros factores, limita la velocidad del sistema ferroviario; iv) muchas de las ciudades del país no cuentan con sistemas de transporte urbano masivo de calidad; v) la capacidad para atender buques de gran calado en diversas terminales portuarias es insuficiente y limita las oportunidades de crecimiento de la demanda, la competitividad y la diversificación del comercio exterior; vi) existe una gran disparidad en el uso de los aeropuertos,

32 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

pues muchos de éstos son subutilizados mientras que algunos se encuentran saturados; vii) la falta de infraestructura aeroportuaria adecuada en el centro del país limita la capacidad de México para establecerse como el principal centro de conexión de pasajeros y carga de Latinoamérica; y viii) la falta de una visión logística integral no permite conectar los nodos productivos, de consumo y distribución en México.

1. PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN

El problema de la asignación es encontrar un emparejamiento de peso máximo

en un grafo bipartido ponderado. Es uno de los problemas fundamentales

de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación

operativa en matemática.

Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es:

“La mejor persona para el trabajo”

El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas a

empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a

plantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos(máquinas o

personas) para la realización de ciertos productos a 'costo mínimo.

Una definición más formal pudiera ser:

Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los

asignados son recursos destinados a la realización de tareas, los asignados

pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodos de tiempo. En

estos problemas la oferta en cada origen es de valor 1 y la demanda en cada

destino es también de valor 1.

33 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

3.3 Uso de software

Desarrollo de sistemas y aplicaciones del transporte en el ámbito de la ingeniería civil.

Después de la conquista española en nuestro país empezó la gran evolución en todos los campos de las actividades humanas y el medio de transporte no fue una excepción. Desde el año 1600 por decirlo así hasta nuestro tiempo los vehículos han tenido un cambio extremo eso quiere decir que el medio por donde transitan estos vehículos igual a evolucionado no es lo mismo un camino donde transitan las carretas a donde circulan vehículos de diversas actividades a grandes velocidades es por eso que a continuación analizaremos los métodos para que las carreteras y auto pistas tengan una mejor fluidez.

La Ingeniería del transporte es la rama de la ingeniería civil que trata la planeación, el diseño, operación y administración de las facilidades de cualquier modo de transporte con el fin de proveer un movimiento seguro, conveniente, económico y ambientalmente amigable de bienes y personas. La ingeniería de transporte es una de las áreas de la ingeniería que más se relaciona con otras disciplinas, como: planificación urbana, economía, psicología, diseño, comunicación social, ciencia política y estadística.

Un ingeniero con formación en transporte debe manejar con facilidad conceptos que le permitan analizar los sistemas de transporte y actividades. Para ello debe entender y manejar los modelos asociados a la compleja interacción entre los individuos y la infraestructura conformada por las redes de transporte y los bienes inmuebles. La formalización matemática de estos problemas, que usualmente proviene de la economía - incluso de la psicología - tiene como objetivo estudiar y anticipar el comportamiento de las personas en los sistemas de transporte, de forma tal de, por ejemplo, determinar los niveles de demanda y servicio que tendrán tanto las soluciones actuales como aquellas proyectadas en el futuro. 

La formación en economía es al mismo tiempo esencial para entender los procesos de evolución de las aglomeraciones urbanas, en que residentes y firmas interactúan definiendo una trama de localización de actividades que a su vez determina estructuralmente toda la demanda por transporte. Un mismo número de personas y empresas distribuidas de distintas maneras en el espacio, producen problemas de transporte de tipo y magnitud muy distintas.

Por su parte, la gestión de flotas de transporte, sea para la distribución de productos y recursos en la empresa privada o para proveer servicios de pasajeros, exige importante capacidad de modelación de sistemas, capacidad para diseñar a priori e incluso en-línea, la asignación óptima de conductores y vehículos a rutas, cargas a vehículos, puntos de transferencia de carga/pasajeros, etc. No sólo eso;

34 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

una empresa normalmente estará preocupada también de cuáles son sus posibilidades de crecimiento y cómo ello impactará sus costos, lo que aparte de las necesarias estimaciones de demanda, debe hacerse considerando la importante diferencia entre crecer simplemente en escala dentro de la misma red o crecer agregando destinos. Tal tipo de desafíos están presentes tanto en sistemas públicos de transporte urbano como en sistemas aéreos de alcance intercontinental.

Todo lo anterior hace necesario que los profesionales manejen con comodidad los elementos básicos del comportamiento de usuarios, operadores, redes y sistemas de transporte, adquiriendo fuertes habilidades en programación matemática, optimización, econometría, estadística y probabilidades, así como manejo computacional, principalmente para diseñar modelos, desarrollar algoritmos de solución e implementarlos.

Contraste del método clásico de la esquina noreste con el método de aproximación de voguel.

El método de la esquina es un método de programación lineal  hecho a mano para encontrar una solución inicial factible del modelo, muy conocido por ser el método más fácil al determinar una solución básica factible inicial, pero al mismo tiempo por ser el menos probable para dar una solución inicial acertada de bajo costo, debido a que ignora la magnitud relativa de los costos. Es un proceso utilizado para resolver problemas de transporte o asignación, si bien es un método no exacto tiene la ventaja de poder resolver problemas manualmente y  de una forma rápida, muy cercano al valor óptimo. Cada problema debe representarse en forma de matriz en donde las filas normalmente representan las fuentes y las columnas representan los destinos.

En cambio el método de aproximación de voguel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básico no artificial este modelo requiere de un modelo generalmente mayor de iteraciones que los demás modelos es lo que lo hace más eficiente veamos un ejemplo de este sistema:

Método de Aproximación de Voguel: para cada renglón y columna que queda bajo consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna, entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria).

35 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando el método de aproximación de Voguel

Para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste:

Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la primera asignación:

Recursos DIF.

5 1

2

2 0 0

3 1

Demanda

3 4 2 0 1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrándola en un círculo y escribiéndole como superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección.

Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglón ya que la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variable básica degenerada. Continuando con la aplicación del método, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado

36 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

un renglón y esto puede ocasionar que las diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y el que le sigue ya no sean las mismas:

Recursos DIF.

5 1

2

2 0 0

3

3 0 1

Demanda

3 4 1 2 0 1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (esto no significa que solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía bajo consideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.

Recursos DIF.

3 1 0 1

5 2 1 0 1

2

2 0 0

3

3 0 1

37 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

3 6 47

2 4

3

23

54 8

3 6 47

2 4

3

23

54 8

Demanda

3 0 4 1 0 2 0 1 0

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de Transporte” factible es de:

x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32

Costo =

3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35 unidades

38 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

CONCLUSION

La principal ventaja es que se pueden reducir tiempos y costos en cualquier empresa en el sentido de la función objetivo. Es decir asegurar escoger la alternativa que mejor resultado da, teniendo en cuenta la disponibilidad de los recursos y las restricciones impuestas por limitaciones físicas y/o operativas.

La importancia de la programación lineal hacia ciertos problemas se describe fácilmente a través de los programas lineales. Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales. La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones. Así dicho en palabras sencillas es un método, una herramienta que facilitara las mejoras más óptimas y seguras en una empresa.

39 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

GLOSARIO DE TÉRMINOS

ALGORITMO: Procedimiento por medio del cual se resuelve cierta clase de problemas. Es la representación gráfica de una sucesión lógica de operaciones o pasos que conducen a la solución de un problema o a la producción de un bien o a la prestación de un servicio.

ANÁLISIS: Acción de dividir una cosa o problema en tantas partes como sea posible, para reconocer la naturaleza de las partes, las relaciones entre éstas y obtener conclusiones objetivas del todo.

CONDICIÓN DESBALANCEADA: Una condición que no está en equilibrio.

CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD: Condiciones del modelo que estipulan que las variables de decisión deben tener sólo valores no negativos (positivos o nulos).

DECISIÓN FACTIBLE: Una decisión que satisface todas las restricciones del modelo, incluye las condiciones de no negatividad. Factible significa permisible.

DECISIÓN ÓPTIMA: Una decisión factible que optimiza la función objetivo.

DECISIÓN: Un conjunto de valores numéricos asignados a las variables de decisión.

DESTINO: Localidad en la que hay demanda de materiales en un problema de transportes.

FUNCIÓN DE RESTRICCIÓN: El primer miembro de una restricción.

FUNCIÓN OBJETIVO: Todo programa lineal que tiene una función objetivo que representa la meta que va a ser maximizada o minimizada.

HOLGURA: Tiempo en que se puede retrasar el tiempo de inicio temprano de una actividad sin retrasar la conclusión del proyecto total.

ILIMITABILIDAD: La condición en la que la solución a un problema de programación lineal se puede hacer infinitamente grande sin violar ninguna de las restricciones.

IMPOSIBILIDAD O INFACTIVILIDAD: Término relativo a un problema infactible.

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: Estudio sistemático de un problema que comprende la recopilación de datos, la construcción de un modelo, el pronóstico

40 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

de operaciones futuras y la obtención del apoyo de la dirección para el uso del modelo.

MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICA: Un análisis gráfico bidimensional de los programas lineales con dos variables de decisión.

MODELO: Es una representación que idealiza, simplifica y abstrae selectivamente la realidad., y esta representación es algo que se edifica o construye por individuos.

OPTIMIZAR: Es un concepto teórico (es decir matemático), en cuanto se opone al concepto del mundo real. Una decisión óptima o mejor producida por un modelo, significa que hay grandes esperanzas de que sea una buena decisión para el problema real puede ser maximizar o minimizar.

PARÁMETRO: Término numérico que se aplica a los datos numéricos de un modelo de programación lineal. Sus valores pueden cambiar y el problema se vuelve a resolver para estos valores diferentes.

PROBLEMA DE TRANSPORTE: Modelo de programación lineal para encontrar el modo menos costoso de satisfacer demandas en n destinos mediante ofertas desde m orígenes.

REGIÓN FACTIBLE: El conjunto de las combinaciones de valores de las variables de decisión que satisfacen la condición de no negatividad y todas las restricciones en forma simultánea, es decir, las decisiones admisibles.

RESTRICCIÓN ACTIVA: Restricción que cuando se evalúa en el valor óptimo se igualan ambos miembros. En Geométricamente, corresponde a la recta que contiene la solución óptima.

DECISIÓN FACTIBLE: Una decisión que satisface todas las restricciones del modelo, incluye las condiciones de no negatividad. Factible significa permisible.

DECISIÓN ÓPTIMA: Una decisión factible que optimiza la función objetivo.

.

MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICA: Un análisis gráfico bidimensional de los programas lineales con dos variables de decisión.

PARÁMETRO: Término numérico que se aplica a los datos numéricos de un modelo de programación lineal. Sus valores pueden cambiar y el problema se vuelve a resolver para estos valores diferentes.

41 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

PROBLEMA DE TRANSPORTE: Modelo de programación lineal para encontrar el modo menos costoso de satisfacer demandas en n destinos mediante ofertas desde m orígenes.

REGIÓN FACTIBLE: El conjunto de las combinaciones de valores de las variables de decisión que satisfacen la condición de no negatividad y todas las restricciones en forma simultánea, es decir, las decisiones admisibles.

RESTRICCIÓN ACTIVA: Restricción que cuando se evalúa en el valor óptimo se igualan ambos miembros. En Geométricamente, corresponde a la recta que contiene la solución óptima.

RESTRICCIÓN INACTIVA: La que no es activa. En consecuencia, una restricción inactiva siempre tiene un déficit o superávit.

RESTRICCIÓN: Desigualdad matemática (desigualdad restringida) o igualdad (restringida) que debe ser satisfecha por las variables del modelo.

SOLUCIÓN ÓPTIMA: Punto de una región factible que maximiza o minimiza la función objetivo.

VARIABLES DE DECISIÓN: La elección de valores para las variables. Variables que están bajo el control del analista. Éstas son las variables que aparecen en los modelos matemáticos.

VARIABLES DE HOLGURA: Se usa al convertir una restricción de desigualdad de una de igualdad.

VECTOR DE RECURSOS: Magnitud o cantidad de recursos. Parte derecha de las restricciones. Parte derecha de las restricciones. 

42 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

ANEXOS

43 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS

BIBLIOGRAFIA

https://www.google.com.mx/

http://www.lindo.comPágina web del software LINDO.

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/90-XX.htmlWeb con recursos sobre programación lineal.

http://www.personal.psu.edu/faculty/t/m/tmc7/tmclinks.htmlWeb con recursos sobre programación lineal.

http://www.opsmanagement.com/Web de OPSMANAGEMENT.COM (recursos sobre dirección de operaciones).

http://www.rpi.edu/~mitchj/sites_or.htmlEnlaces a webs sobre investigación operativa.

http://lionhrtpub.com/ORMS.htmlORMS Journal.

http://www.pitt.edu/~jrclass/or/or-intro.docArtículo introductorio a la Investigación Operativa y sus aplicaciones.

http://www.kem.ae.poznan.pl/Books/Excel-Solver/T1/T1.htmTutorial sobre optimización con Excel-Solver.

http://www.faqs.org/faqs/linear-programming-faq/Web dedicada a preguntas más comunes acerca de Programación Lineal.

http://carbon.cudenver.edu/~hgreenbe/courseware/LPshort/intro.html

44 MODELO Y OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS