ALGOII-CLASE1

Problemas de dificultad NP

Anlisis y diseo de algoritmos II- 2014

Introduccin a la complejidad

computacional

Problema

lo describe un

Lenguaje

Clases de problemas/clases de lenguajes

Clasificacin general

Problemas de decisin Problemas de optimizacin

Indecidibles Insolubles

Decidibles Solubles Soluciones

algortmicas

Problemas de decisin:

Ejemplos

Un problema de decisin puede ser formulado de

manera tal que dada una entrada requiere una respuesta

simple: si o no, true o false.

Problemas decidibles

Ejemplo: Determinar la pertenencia de una cadena a

un lenguaje de tipo 2.

Problemas indecidibles

Ejemplo: Problema del Halting

Problemas de optimizacin:

Ejemplos

Informalmente, los problemas de optimizacin son un tipo

general de problemas en los que se desea elegir el mejor de un

conjunto de elementos.

Coloreo de un grafo

Dado un grafo G = (V,E) y un conjunto finito de colores S, un

coloreo es un mapping C:V-> S, tal que si existe un arco

(v,w) E, luego C(v) =/= C(w). Determinar el mnimo coloreo

de G.

Problema de la mochila

Dado un conjunto de n objetos de tamaos s1,s2, sn y una

mochila de capacidad C (s1,s2, sn y C son enteros positivos)

encontrar un subconjunto de objetos que maximice el uso de la

mochila.


Ejemplos

Problema del viajante

Dadas las distancias entre un conjunto de n

ciudades, determinar el circuito que debera

recorrer un viajante, que parte de una estas

ciudades, visita a todas las dems exactamente

una vez y vuelve al punto de partida, habiendo

recorrido la menor distancia posible.


Ejemplos

Ordenamiento de tareas con penalidades

Dadas n tareas a ser ejecutadas una por vez. Cada tarea Ji tiene

un tiempo de ejecucin ti, un plazo de espera di medido desde el

comienzo de la ejecucin, una penalidad pi por exceder el plazo

de espera. Un orden especfico de tareas es una permutacin S

de {1,2,...,n} donde Js(1) es la primera tarea ejecutada, Js(2) la

siguiente, etc. La penalidad total para un ordenamiento particular

es

n

P S = [if (t s(1) + ....+ t s(i) ) > d s(i) then ps(i) else 0]

i=1

Se requiere encontrar un ordenamiento tal que minimice la

penalidad total

Problemas de decisin versus

Problemas de Optimizacin

La clasificacin de problemas de decisin puede

basarse en modelos de procedimientos ms simples

que los que requerira una clasificacin de problemas

de optimizacin. Por ejemplo, pueden basarse en

autmatas reconocedores como la mquina de

Turing.

Para todo problema de optimizacin se puede

construir una versin de un problema de decisin del

mismo grado de dificultad.



Problema del Coloreo de un grafo

Versin de Optimizacin

Dado un grafo G = (V,E) y un conjunto finito de colores

S, un coloreo es un mapping C:V-> S, tal que si existe

un arco (v,w) E, luego C(v) < > C(w). Se requiere

colorear el grafo con la mnima cantidad de colores.

Versin de Decisin

Dado un grafo G y un entero positivo k existe un

coloreo de k colores?



Versin de optimizacin del viajante


ciudades, determinar el circuito que debera

recorrer un viajante, que parte de una estas

ciudades, visita a todas las dems exactamente

una vez y vuelve al punto de partida, habiendo

recorrido la menor distancia posible.



Versin de decisin del viajante


ciudades, determinar si existe un circuito cuya

distancia total sea K y puede ser recorrido por

un viajante que parte de una estas ciudades,

visita a todas las dems exactamente una vez y

vuelve al punto de partida.

Clasificacin de problemas decidibles

P-tiempo

La clase de problemas de decisin de complejidad

temporal polinomial.

La clase de lenguajes que pueden ser reconocidos por

Mquinas de Turing determinsticas de complejidad

temporal polinomial


NP-tiempo

La clase de lenguajes que pueden ser reconocidos por Mquinas de Turing no-determinsticas de complejidad temporal polinomial

Nondeterministic Polinomial

NP


PSPACE

La clase de lenguajes que pueden ser

reconocidos por Mquinas de Turing de

complejidad espacial polinomial

Relacin entre NP-tiempo y P-tiempo

Problema abierto:

NP-tiempo incluye a P-tiempo?

Qu se sabe sobre NP-tiempo?

Se ha identificado una clase de problemas de NP-tiempo.

NP-Completo

Un lenguaje Lo est en NP-Completo si todo lenguaje

L1 NP-tiempo se reduce a Lo en un tiempo polinomial

Relacin entre NP-tiempo y P-tiempo Un lenguaje Lo est en NP-Completo si todo lenguaje

L1 NP-tiempo se reduce a Lo en un tiempo polinomial

M1 y M2 son Mquinas de Turing definidas sobre un mismo alfabeto.

M2 es una Mquina de Turing no determinstica que reconoce a L0.M1 es una Mquina de Turing determinstica de complejidad temporal polinomial, que convierte a la cadena w1 en la cadena w2de forma tal que si w1 L1 luego w2 L2.

MT M1 MT M2

w1 SIw2

NO

Reconoce a L1 Reconoce a Lo


Los problemas NP-Completo son los ms difciles en

NP-tiempo dado que si existiese un algoritmo de complejidad temporal polinomial para un problema de la clase NP-Completo, luego existira un algoritmo de complejidad temporal polinomial para TODO problema perteneciente a NP-tiempo.

Informalmente, si existiese un algoritmo polinomial para un problema NP-completo, podramos resolver cualquier problema en NP-tiempo en un tiempo polinomial, luego P=NP.


NP-Completo

L NP-Completo si

1. L NP-tiempo

2. Para todo L NP-tiempo , L se reduce a L

NP

NP_COMPLETO

Relacin entre P-tiempo y NP-tiempo

SAT ( Satisfiability) es el primer problema para el que fue demostrada su pertenencia a la clase NP-Completo.

SAT: Evaluar una frmula del clculo proposicional es un problema NP-Completo

Demostrado por Stephen Cook en 1974


SAT: Evaluar una frmula del clculo

proposicional es un problema NP-Completo.

Bases de la demostracin de Cook:

MTD SAT

FM (w) SI

NO

M: codificacin de MT ND

w: cadena

describe NP-tiempo, porqu?

frmula

Relacin entre NP-tiempo y

P-tiempo

Para probar que un problema A en NP-tiempo es

NP-completo es suficiente probar que algn otro

problema NP-completo B se reduce a A. Es

decir, A es polinomialmente transformable a B.

SAT FNC-SAT Vertex-COVER HAM-CYCLE TSPCLIQUE

Subset-sum


P-tiempo

Clique en grafos

Dado un grafo no-orientado G = (V,E), un

clique es un subconjunto V V de vrtices,

tal que cada par est conectado por un arco en E.

El tamao del clique es la cantidad de vrtices

que contiene.

Problema: Dado un grafo no-orientado

G = (V,E), existe un clique de k vrtices?


P-tiempo

Clique

1

3 5

6

42

V = { 4,5,6}


P-tiempo

Vertex-Cover- Cobertura de vrtices en grafos

Dado un grafo no-orientado G = (V,E), una

cobertura de vrtices es un subconjunto de

vrtices V tal que si (u,v) es un arco de G, luego

u V o v V( o ambos). El tamao es la

cantidad de vrtices en la cobertura.

Problema: Existe una cobertura de k vrtices?


P-tiempo

Vertex-Cover- Cobertura de vrtices en grafos

Mnimo

cubrimiento de

vrtices

Problemas de dificultad NPSiempre es posible construir una versin de decisin

para un problema de optimizacin que tenga el mismo

grado de dificultad.

Decisin Optimizacin

NP-Completo NP-Hard

Ejemplos de NP-Hard

Versin de optimizacin del Viajante

Versin de optimizacin del Coloreo de un grafo


Ejemplos de NP-Completos

Versin de decisin del viajante

Versin de decisin del Coloreo de un grafo

?Qu sucedera si alguien descubriese un

algoritmo polinomialmente acotado para un

problema NP-Completo?


Si bien no se han encontrado algoritmos

acotados polinomialmente para problemas

NP-Completos, no se ha podido demostrar que

no existen!!!

NP-tiempo ? P-tiempo

NP-tiempo

NP-COMPLETOP-tiempo

SE CONJETURA

NO DEMOSTRADO


La pregunta P = NP? es uno de los famosos

Problemas del Milenio premiados con un milln

de dlares por el Clay Mathematics Institute.

Recientemente, en agosto de 2010, el ingeniero y

matemticoVinay Deolalikar (HP Research Labs, Palo

Alto, California) present una demostracin

concluyendo que P NP.


La demostracin presentada por Vinay

Deolalikar ( de 103 pginas*) est basada

en fsica estadstica y varias reas de las

matemticas. Se realizarn comprobaciones

En varias oportunidades se han presentado otras

demostraciones para este problema que

resultaron errneasa la fecha sta tambin

*

Otra clase: PSPACE y PSPACE-

completo

PSPACE

La clase de lenguajes que pueden ser reconocidos por

Mquinas de Turing de complejidad espacial

polinomial.

Se conjetura que existen problemas PSPACE-completo

tal que si uno de ellos est en NP, PSPACE=NP, o,

si uno de ellos est en P, PSPACE= P.

PSPACE-completo

Una frmula booleana plenamente cuantificada

es una frmula en lgica de primer orden donde

toda variable es cuantificada

Se puede generalizar el problema SAT para el

problema de la frmula booleana cuantificada,

un importante problema PSPACE-completo.

Ej:

Relacin entre P, NP y PSPACE

Se conjetura

P

NP

PSPACE

?

PSPACE-completo

Ejemplos

Pentomino

Reversi

Hex

Sokoban

Problemas difciles

Problemas computacionalmente

TRATABLES

INTRATABLES

Qu relaciones existen entre los problemas

tratables, intratables y las clases de problemas

P-tiempo, NP-Tiempo, NP-Completo,

NP Hard y PSPACE-completo?

Problemas difcilesNo podemos afirmar que todo problema en P-tiempo tiene una

solucin eficiente.

Para ciertas instancias y en funcin de restricciones al tiempo de ejecucin un problema en P-tiempo puede ser ineficiente.

Puede estar en P-tiempo y el orden del polinomio alto

No podemos afirmar que todo problema en NP-Hard es

ineficiente

Un problema en NP-Hard puede ser tratable para ciertas instancias.

Sin embargo

Problemas difciles

Sin embargo

hay muy buenas razones para buscar soluciones

que estn en P-tiempo dado que un problema que

no est en P-tiempo ser, en general, muy

costoso y probablemente intratable.

Problemas difcilesUn algoritmo para un problema complejo puede construirse

combinando algoritmos para problemas simples. Los algoritmos

simples pueden operar sobre las mismas entradas o sobre entradas

calculadas como resultados intermedios de otros problemas

simples.

Luego, la complejidad del algoritmo puede ser acotada

por suma, multiplicacin y composicin de complejidades de

otros algoritmos. Los polinomios son cerrados bajo estas

operaciones, luego cualquier algoritmo construido a partir de

algoritmos acotados polinomialmente ser tambin un algoritmo acotado

polinomialmente.

Algoritmos aproximados y heursticos

para problemas de complejidad NP

Si bien no se ha podido demostrar an que no existen

algoritmos eficientes para las clases NP-completo, PSPACE

completo y NP-Hard, desde el punto de vista prctico hay que

resolverlos eficientemente.

Si las entradas son pequeas podramos construir algoritmos basados en backtracking que realicen una bsqueda exhaustiva

Sino, podramos construir soluciones aproximadas,cercanas a la mejor solucin, a partir de algoritmos polinomiales.

Cmo resolver problemas difciles?

Cmo resolver problemas de complejidad

exponencial?

Ante todo darnos cuenta si realmente es

un problema para el que no existen soluciones

de complejidad temporal polinomial.

Ejemplo: resolver el cubo de Rubik

Es un problema de dificultad NP?

Cmo resolver problemas difciles?

Ejemplo: resolver el cubo de Rubik

Es un problema de dificultad NP?

El nmero de posibles permutaciones

en el Cubo de Rubik es de:

8! 12! 37 211

2

43.252.003.274.489.856.000

Por qu?

Ejemplo: El cubo de Rubik

Con un equivalente a 35 aos de CPU, donados por Google, un grupo de ingenieros, matemticos y programadores estableci que se necesitan de 20 o menos movimientos para resolver cualquiera de las

43 252 003 274 489 856 000 configuraciones del cubo. El resultado de este algoritmo ha recibido el nombre del "nmero de Dios" debido a que un ser todopoderoso sera el nico que podra adivinar la mnima cantidad de movimientos para cada configuracin.

El cubo de RubikCmo resolvieron las 43,252,003,274,489,856,000 configuraciones del cubo?

Particionaron las configuraciones en 2,217,093,120 conjuntos de 19,508,428,800 configuraciones cada uno.

Usando simetra y set covering encontraron que la cantidad de conjuntos que se necesitaba resolver era 55,882,296

Para cada configuracin no es necesario encontrar la solucin ptima, sino slo soluciones de 20 o menos pasos

Programaron la resolucin de un simple conjunto en 20 segundos

Usaron el equivalente de 35 aos de CPU para resolver los 55,882,296 conjuntos.

Cobertura de conjuntos (Set-Covering):

Dado un universo U, una familia S de subconjuntos de U, una cobertura o solucin para el problema es una subfamilia cuya unin d por resultado el mismo U. S= {{1,2,3}{2,4} {3,4} {4,5}} {{1,2,3}{4,5}}

www.cube20.org

El cubo de Rubik

Analizar este problema teniendo en cuenta lo

recientemente demostrado.

Es un problema tratable o intratable?

Es de dificultad NP?

Algoritmos aproximados y heursticos

para problemas NP-Hard

Cmo resolver problemas de dificultad NP?

No pretendemos encontrar la mejor solucin

sino una buena solucin.

Algoritmos aproximados

Algoritmos heursticos

Algoritmos heursticos versus

algoritmos aproximados Heurstica Hallar, inventar

Algoritmo Heurstico

Procedimiento que puede producir una solucin buena, no muy alejada de la

ptima, o incluso la ptima si somos afortunados!

Algoritmo aproximado

Procedimiento que proporciona una solucin aproximada, que si bien no es la

ptima, se puede medir cun cerca est de la ptima.

Los algoritmos heursticos y los aproximados no garantizan encontrar la

solucin ptima

Los algoritmos aproximados establecen una cota de error.

Algoritmos de aproximacin para

problemas NP-Hard

Supongamos problemas de optimizacin, en los que

cada solucin factible tiene un costo positivo y se

pretende obtener una solucin cercana a la ptima.

Dependiendo del problema, una solucin ptima puede

ser definida como el mximo o el mnimo costo de las

soluciones factibles. El problema de optimizacin

puede ser de maximizacin o minimizacin

Algoritmo de aproximacinUn algoritmo de aproximacin est acotado por (n) si para

cualquier entrada de tamao n, el costo de la solucin del

algoritmo de aproximacin, para un costo de una solucin

factible c y un costo c* de una solucin ptima, es:

a) si el problema es de maximizacin

c / c* (n) 0 < c c*

y

b) si el problema es de minimizacin

c* / c (n) 0 < c* c

Es decir, max ( c/c* , c*/c) (n)

Algoritmo de aproximacin

max ( c/c* , c*/c) (n)

Qu expresa (n)=1?

Qu expresa (n) = 2?

Qu expresa (n) >> 1?


Otra medida es el error relativo definido mediante

c c*/ c

Un algoritmo de aproximacin tiene un error relativo

(n) si c c*/ c (n).

Un esquema de aproximacin para un problema de

optimizacin tiene como entradas no slo a una

instancia de un problema sino un valor > 0, tal que

para un dado, el esquema es un algoritmo de

aproximacin con un error relativo acotado por .



Un circuito en un grafo G es una secuencia de arcos

(a1, a2), . . .,(ak1, ak ), (ak , a1) en G tal que:

ai =/= aj para cada i =/= j ,

{a1, . . . , ak} es el conjunto de vrtices de G.

Costo de un circuito en G:

costo ( ) = (costo((ai , ai+1)) + costo((ak , a1))1 i k-1


Problema del viajante Mtrico

Costo de un circuito en G:

costo ( ) = (costo((ai , ai+1)) + costo((ak , a1))1 i k-1

Viajante mtrico

Distancia euclideana

costo ( u,w) costo(u,v) + costo(v,w)

u w

v

Problema del viajante mtrico


1. Construir un rbol de recubrimiento de

mnimo costo . Sea T

76

5

43

2

1

76

5

43

2

1 76

76

5

43

2

1



2. Doblar cada arco de T para obtener un grafo

euleriano G.



3. Construir un circuito euleriano E sobre G.

3 2 12

3

4565

7

5

4

43 3

1

2



4. Construir un circuito C que visite a todos los vrtices

usando la desigualdad triangular

76

5

43

2

1

1

3 2

1

4

56

7


Algoritmo de aproximacin- Error

COSTO (T) OPT

COSTO (E) = 2 COSTO (T)

COSTO (C) COSTO(E)

COSTO (C) 2 OPT

Se dice que este algoritmo es FACTOR 2, indicando

que a lo sumo duplica el valor de la solucin ptima



Propuesta:

Implementar el algoritmo de aproximacin

Cul es la complejidad del algoritmo de

aproximacin?

Cul es el error? Cunto se acerca a la solucin

ptima? Comprobar empricamente que es factor 2.

Algoritmo Heurstico

Problema del coloreo de un grafo

Dado un grafo G = (V,E) y un conjuto finito de

colores S, un coloreo es un mapping

C:V-> S, tal que si existe un arco (v,w) E,

luego C(v) =/= C(w).

1 2

4

3

5

Algoritmo Heurstico


for ( i=2; i

Algoritmo Heurstico


Colorear

a1 a2 an

b1 b2 bnb3

a3

Algoritmo Heurstico


Secuencia de vrtices

a1 a2 an

b1 b2 bnb3

a3

Coloreo ptimo:2 colores

Algoritmo Heurstico


Secuencia de vrtices

a1 a2 an

b1 b2 bnb3

a3

n colores!!!

Algoritmo heurstico

Problema del coloreo del grafo

Depende de la secuencia de vrtices usada

la cantidad de colores del coloreo.for ( i=2; i

Algoritmo heurstico

Problema del coloreo del grafo

No se conocen algoritmos de aproximacin para el coloreo de un grafo que estn acotados por un factor constante.

Se demostr que si se descubriese un algoritmo de aproximacin que en el peor de los casos duplicara la cantidad de colores de la solucin ptima, sera posible obtener un coloreo ptimo en tiempo polinomial.

Esto implicara

P-tiempo = NP-tiempo. !!!!

As, obtener una buena solucin, no necesariamente la ptima, para el coloreo puede ser en s mismo un problema NP-HARD.


Se lo conoce como TSP (Traveling Salesman

Problem).

Sea G = (V, E) un grafo orientado y rotulado.

Un ciclo hamiltoniano es un ciclo que contiene a

cada uno de los vrtices de G una vez.

Se desea obtener un ciclo hamiltoniano de

mnimo costo.

Problema NP-HARD


a

e c

d

b3

7 4

6 5

8

2 6

4 3

Una instancia de TSP


Algoritmo heurstico

Algoritmo heurstico basado en Prim

T= { }; /Inicializar T, rbol de recubrimiento/

S = { }; /conjunto de vertices S/

while ( S =/= V)

{ elegir un arco (u,v) de mnimo costo/

u S, v V-S y grado-incidencia (u) < 2;

T = T U {(u,v)};

S = S U {v}; }

-Completar circuito uniendo los dos vertices de T de grado de

incidencia 1 O(n2)


Algoritmo heurstico

3

7 4

6 5

8

2 6

4 3

Circuito para una instancia de TSP

a

a

b

b

c

d

d

c

ee

3

3

8

5

2

COSTO = 21

Problemas de dificultad NP

Tcnicas de bsqueda exhaustiva

Algoritmos de bsqueda exhaustiva

Bsqueda en el espacio de soluciones

Exploracin sistemtica por prueba y error de

alternativas

Algoritmos de bsqueda

Tipos de algoritmos

Bsqueda de caminos (Pathfinding)

Bsqueda con adversario. Juegos

Bsqueda con restricciones

Bsqueda de camino

Ejemplo

Laberintos

Bsqueda de camino

Ejemplo

(n2-1) Puzzle

Bsqueda con adversario

Ejemplo

Juegos de dos

jugadores

Ajedrez


Ejemplo

N-reinas


Ejemplo

Sudoku

Modelo del espacio del problema

Espacio del problema

conjunto de estados del problema

conjunto de operadores que cambian el estado

Instancia del problema

espacio del problema

estado inicial,

estado objetivo


El espacio del problema se representa por un

grafo

los nodos representan estados

los arcos representan operadores

orientados o no orientados

Modelo del espacio del problema


b

d

f

c

a

Estado

inicial

Estado

final

e

g

Operador 1

Operador 2


Por simplicidad es comn representar al espacio

del problema por un rbol, el estado inicial es la

raz del rbol

+La ausencia de ciclos simplifica la bsqueda

-Estados que son alcanzados por dos caminos

diferentes se representan por nodos duplicados


Modelado como rbol

a b

c

ed

f

g

e

8-puzzle- Espacio del problema

Eficiencia y algoritmos de bsqueda

exhaustiva

Parmetros de la bsqueda que determinan la eficiencia:

- # nodos en el grafo de espacio del problema

o una mejor medida

factor de bifurcacin (nmero promedio de hijos de un

nodo)

y profundidad de la solucin (longitud del camino ms

corto del nodo inicial a la meta, o la longitud de la

secuencia ms corta de operadores que resuelve el

problema)

Tcnicas de bsqueda

Backtracking

Backtracking

Caractersticas

Puede aplicarse en problemas de

optimizacin, con o sin restricciones.

Bsqueda exhaustiva en el espacio de soluciones

Backtracking

Caractersticas

El espacio de soluciones factibles puede

modelarse mediante un rbol n-ario.

... .

X1=X1=

X2=X2=

X4=

X3=

Backtracking

Caractersticas

En general, la solucin puede expresarse como una

tupla (x1, x2, ,xn), donde los xi son elegidos de un

conjunto finito Si

.

X1=X1= a

X2= bX2=

X4= d

X3= c

Backtracking

Caractersticas

En general, se pretende encontrar un vector que maximiza, minimiza o satisface una funcin objetivoP(x1,x2,,xn).

Varios problemas a ser resueltos por backtracking requieren que todas las soluciones factiblessatisfagan un conjunto de restricciones.

Las restricciones pueden ser explcitas (reglas que restringen los valores de xi a un conjunto de valores) o implcitas (reglas que determinan cules de las tuplas en el espacio de soluciones satisfacen la funcin objetivo)

Backtracking

Caractersticas

Problema de la mochilaDados n pesos positivos pi, n beneficios positivos bi y

un nmero positivo C (la capacidad de la mochila),

elegir un subconjunto de pesos tal que

pi xi C y bi xi sea maximizado1 i 0, n > 0, xi{0,1} (1 i n)

Restricciones implcitas, definen el espacio de soluciones

factibles

Backtracking

Caractersticas


C =11

p1 = 1 b1 = 1 x1= 0

p2 = 2 b2 = 6 x2 = 0

p3= 5 b3 = 18 x3 = 1

p4= 6 b4 = 22 x4 = 1

p5= 7 b5 = 28 x5 = 0

La solucin ptima incluye a los elementos 3 y 4 con un

beneficio de 40

Problemas NP-HARD

Backtracking

Caractersticas

La solucin se calcula a partir de una

secuencia de decisiones

... .

X1=a

X2=b

X3=c

Backtracking

Caractersticas

X = (0,0,1,1,0) b = (1,6,18,22,28)

p = (1,2,5,6,7)

C = 11

x1 = 0

x2 = 0

x3 =1

x4=1

x5 =0

Espacio de soluciones factibles para la instancia del problema de la

mochila

Backtracking

Caractersticas

Existe una forma sistemtica y organizada de generar y recorrer el espacio que contiene a todas las posibles secuencias de decisiones.

Existe una funcin que permite averiguar si una secuencia de decisiones, la solucin actual en curso, cumple las restricciones implcitas.

Existe una funcin solucin que permite determinar si una secuencia de decisiones factibles es solucin.

Backtracking

Espacio de bsqueda exponencial

v2v1

v1

vj

vj

#nodos O(jk)

Backtracking

Espacio de bsqueda

Cada camino de la raz a un nodo es una secuencia

de decisiones.

El espacio de bsqueda no debe incluir soluciones

repetidas

Una solucin es factible si no viola las restricciones

Una secuencia de decisiones puede ser

prolongable o no prolongable

Backtracking- Espacio de bsqueda


Modela subconjuntos de objetos{1,2,..,n}

objeto 1

objeto 2

objeto 3

objeto n

# espacio de bsqueda O(2n)

[1,1,-,-,,-]

[0,1,-,-,,-]

[o,-,-,,-]

[0,0,-,-,,]


Problema de la suma de subconjuntos

Dado un conjunto S de naturales, encontrar todos

los subconjuntos cuya suma sea igual a M.

S={2,1,3,4}

{2,1}

{2}

{2,4}{2,3}

{2,1,4} {2,3,1} {2,3,4}{2,1,3} {2,4,3}

{2,4,1,3} {2,4,3,1}{2,3,4,1}{2,3,1,4}{2,1,4,3}{2,1,3,4}

{2,4,1}

Es un espacio de

soluciones factibles?


Problema de la suma de subconjuntos

Dado un conjunto S de naturales, encontrar todos

los subconjuntos cuya suma sea igual a M.

S={2,1,3,4}

{2,1}

{2}

{2,4}{2,3}

{2,1,4} {2,3,1} {2,3,4}{2,1,3} {2,4,3}

{2,4,1,3} {2,4,3,1}{2,3,4,1}{2,3,1,4}{2,1,4,3}{2,1,3,4}

{2,4,1}

MAL MODELADO-

Repeticin de estados


Poda

Problema de suma de subconjuntos

Modela subconjuntos de objetos de S {2,1,3,4}

ordenar


Ejercicio propuesto

Problema de la suma cero de subconjuntos

Dado un conjunto S de enteros, encontrar todos

los subconjuntos cuya suma sea igual a 0.

Modelar el espacio de soluciones factibles

Backtracking-Espacio de bsqueda


La raz rbol es un vrtice, los nodos circuitos en

construccin y las hojas circuitos.


Poda

Problema de suma de subconjuntos

Modela subconjuntos de objetos de S {2,1,3,4}

ordenar

M=4>4

Backtracking- Esquema 1

void Back (estado d, solucion *sol)

{ int nrohijo=1;

estado sig;

if (hoja(d)) calcular-solucion(d,sol);

else { nrohijo =1;

while (hijos(d,nrohijo, &sig) )

{ if !podado(sig, sol)

Back(sig, sol);

++nrohijo;

}

}

}

d

sig

nrohijo=1 nrohijo=i

Back(sig,sol)

Backtracking- Esquema 2

void Back (estado d, solucion *sol)

{ int nrohijo=1;

estado sig;

if (hoja(d)) calcular-solucion(d,sol);

else

{ nrohijo =1;

while (hijos(d,nrohijo, &sig) && !podado(sig, sol))

{ Back(sig, sol);

++nrohijo;

}

}

}

d

sig

Backtracking y Juegos

Heurstica Minimax

Un juego plantea situaciones de conflicto en la

que los jugadores deben tomar decisiones

sabiendo que los dems tambin toman

decisiones, y que el resultado del conflicto

se determina, de algn modo, a partir de todas

las decisiones realizadas


Heurstica Minimax

Si cada jugador puede analizar de antemano las

posibles estrategias de sus oponentes y sus

consecuencias, existen estrategias que permiten

minimizar la prdida mxima esperada.

Heurstica Minimax


Heurstica Minimax

Espacio de bsqueda se denomina rbol de juego.

Los nodos del rbol representan configuraciones

del tablero.

Los niveles del rbol se asocian a jugadores

especficos.

Una funcin de evaluacin , define cun buena es

una configuracin cuando la alcanza un jugador


Heurstica Minimax


Ejemplo: TA-TE-TI

x x

x y JUEGA X --MAX

y y

x x x x x x x

x y x x y x y JUEGA Y

y x y y y y y MIN

x y x x x x y x x x

x y y x y x x y x x y JUEGA X

y x y y x y y y y y y MAX

x y x x x x x y x

x x y y x y x x y

y x y y x y y x y

Existe una estrategia ganadora para X si Y

juega inteligentemente?


Heurstica Minimax

Los nodos del rbol representan configuraciones del

tablero y los niveles del rbol se asocian a jugadores.

x x

x y JUEGA X --MAX

y y

x x x x x x x

x y x x y x y JUEGA Y

y x y y y y y MIN

x y x x x x y x x x



x y x x x x x y x

x x y y x y x x y

y x y y x y y x y




Heurstica Minimax


Los nodos del rbol representan configuraciones

del tablero.

Los niveles del rbol se asocian a jugadores

especficos.

Una funcin de evaluacin , define cun buena es

una configuracin cuando la alcanza un jugador


Heurstica Minimax

Funcin de evaluacin

El algoritmo explorar los nodos del rbol asignndoles

un valor numrico mediante una funcin de evaluacin,

empezando por los nodos terminales y subiendo hacia la

raz. La funcin definir lo buena que es la configuracin (estado

del tablero) para un jugador cuando la alcanza. En el caso

del ta-te-ti o el ajedrez los posibles valores pueden ser (+1,0,-1)

que se corresponden con ganar, empatar y perder

respectivamente. En el caso del Backgamon los posibles valores

podran tener un rango de [+192,-192], correspondindose con el

valor de las fichas.


Heurstica Minimax

x x

x y 1 JUEGA X --MAX

y y

x x x x x x x

x y 0 x x y -1 1 x y JUEGA Y

y x y y y y y MIN

x y x x x x y x x x



0 1 0 -1

x y x x x x x y x

x x y y x y x x y

y x y y x y y x y

0 1 0

0



1 gana X; 0 empate; -1 pierde X

Funcin de evaluacin


Heurstica Minimax

Algoritmo heurstico Minimax

Generacin del rbol de juego (espacio de bsqueda). Se generarn todos los nodos hasta llegar a un estado terminal.

Calcular los valores de la funcin de evaluacin para cada hoja del rbol.

Calcular el valor de un nodo interior a partir del valor de sus hijos. Alternativamente, se definirn como los valores mnimos y mximos de sus hijos representando los movimientos del jugador y del oponente, de ah el nombre de Minimax.

Elegir la jugada conveniente a partir de estos valores.


Heurstica Minimax

x x

x y 1 JUEGA X --MAX

y y

x x x x x x x


y x y y y y y MIN

x y x x x x y x x x



0 1 0 -1

x y x x x x x y x

x x y y x y x x y

y x y y x y y x y

0 1 0

0




Funcin de evaluacin


Heurstica Minimax

Poda Alfa-Beta

Se denomina poda alfa-beta dado que utiliza dos

parmetros que describen los lmites sobre los

valores que aparecen a lo largo de cada camino.

es el valor de la mejor opcin hasta el momento a lo largo del camino para MAX

es el valor de la mejor opcin hasta el momento a lo largo del camino para MIN

Se realizar la poda de las ramas restantes cuando el valor actual

que se est examinando sea peor que el valor actual de o para

MAX o MIN, respectivamente.


Algoritmo Minimax

x x

x y 1 JUEGA X --MAX

y y

x x x x x x x


y x y y y y y MIN

x y x x x x y x x x



0 1 0 -1

x y x x x x x y x

x x y y x y x x y

y x y y x y y x y

0 1 0

0




-

-


Algoritmo Minimax + Poda - Poda Alfa-Beta

Se denomina poda alfa-beta dado que utiliza dos

parmetros que describen los lmites sobre los

valores que aparecen a lo largo de cada camino.

es el valor de la mejor opcin hasta el momento a lo largo del camino para MAX

es el valor de la mejor opcin hasta el momento a lo largo del camino para MIN

Se realizar la poda de las ramas restantes cuando el valor actual

que se est examinando sea peor que el valor actual de o para

MAX o MIN, respectivamente.

Depende del orden de generacin de sucesores


Esquema Minimax

Esquema 3

int back (estado d, tipoMinimax modo)

{int nrohijo, valor;

estado siguiente;

if (hoja(d)) return eval(d,modo); calcula valor de hoja

else {nrohijo=1;

if (modo==max) valor = bajo; inicializa valor

else valor=alto;

while (hijos (d,nrohijo, &siguiente))


Esquema MinimaxEsquema 3 (cont)

while(hijos (d, nrohijo, &siguiente))

{if (!podado (valor, modo))

if (modo == max)

valor = maximo (valor, back(siguiente, min));

else

valor = minimo (valor,back(siguiente, max));

}

++nrohijo;}

return valor;

}

}

ALGOII-CLASE1

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