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LGEBRA Y TRIGONOMETRA PARA TCNICO EN REDES D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

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Indice

Contenido Pgina

Unidad I : LgicaDefinicin de Proposicin 4Conectivos Lgicos 6Tablas de Verdad 11Leyes del Algebra Proposicional 19Lgica Cuantificacional 22Autoevaluacin 36

Unidad II : ConjuntosConceptos Bsicos 39Operaciones con Conjuntos 49Propiedades de los Conjuntos 61Autoevaluacin 69

Unidad III : Relaciones y FuncionesRelaciones (lineales, cuadrticas) 72Concepto de Funcin 90Inyectividad 96Sobreyectividad 97Biyectividad 98Funcin Inversa 99Autoevaluacin 107

Unidad IV : Funcin Exponencial y LogartmicaFuncin Exponencial 110Funcin Logartmica 117Ecuaciones Exponenciales 130Ecuaciones Logartmicas 133Autoevaluacin 135

Unidad V : Elementos de TrigonometraConceptos Previos 138Funciones Trigonomtricas en el Tringulo Rectngulo 141Teorema del Seno 153Teorema del Coseno 154Identidades Trigonomtricas 157Funciones Trigonomtricas Inversas 161Ecuaciones Trigonomtricas 163Grfica de Funciones Trigonomtricas 168Autoevaluacin 180

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Unidad VI : Nmeros ComplejosConceptos Bsicos 183Operaciones con Nmeros Complejos 185Teorema de Moivre 190Races de Nmeros Complejos 194Autoevaluacin 197

Unidad VII : PolinomiosConceptos Bsicos 200Divisin de Polinomios 201Raz de un Polinomio 206Teorema Fundamental del Algebra 209Autoevaluacin 216

Unidad VIII : Induccin y Teorema del Binomio de NewtonInduccin Matemtica 218Definicin de Factorial y Nmero Combinatorio 221Teorema del Binomio de Newton 222Trmino -simo del Binomio de Newton 2248Autoevaluacin 229

Unidad IX : Progresiones Aritmticas y GeomtricasDefinicin de Progresin Aritmtica 232Definicin de Progresin Geomtrica 233Autoevaluacin 236

Unidad X : Matrices y DeterminantesConceptos Bsicos 239Operaciones con Matrices 241Aplicaciones 244Determinantes 249Propiedades de los Determinantes 250Regla de Cramer 251Autoevaluacin 256

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UNIDAD I

LGICA

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LOGICA

Toda estructura matemtica necesita tener un razonamiento vlido a travs de unlenguaje que sea de uso universal. Ante esta situacin es que se necesita una simplificacin y uso de simbolismosinequvocos que nos permitan razonar en forma vlida con reglas establecidas conclaridad.

: Es una expresin con sentido en algn lenguaje que afirma o niegaProposicinalgo y que nos proporciona informacin.

Las proposiciones se denotan con la letras ..: ; 1 -9>1 -9>1 , ++ ,! "podemos decir tambin que :

1

-9>1 >1! !

Secante de un ngulo: Es la razn entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ngulo, la secante delngulo se abrevia . Para el ngulo y se obtiene respectivamente:=/- ! "

=/- =/- - -, +! "podemos decir tambin que :

1

=/- -9=! !

Cosecante de un ngulo: Es la razn entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ngulo. La cosecante delngulo se abrevia . Para el ngulo y se tienen respectivamente:-9=/- ! "

-9=/- -9=/- - -+ ,! "

podemos decir tambin que:

1

-9=/- =/8! !

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De lo anterior resulta: =/8 -9=! " -9= =/8! " >1 -9>1! " -9>1 >1! "

Pero 90 . Luego, podemos escribir la siguiente conclusin importante:" !

=/8 -9= -9= =/8 >1 -9>1 -9>1 >1

(90 ) (90 )

(90 ) (90 )

! !! !! !! !

Nota: La funcin de un ngulo agudo es igual a la cofuncin de su complemento.

Ejemplos:1) 70 20-9= =/82) 25 65-9>1 >1

3) Los catetos de un tringulo rectngulo en C miden 15 cm y 20 cm. Calcule lasfunciones de los dos ngulos agudos.Solucin: Primeramente se calcula la hipotenusa aplicando el teorema de Pitgoras.-

c = 20 + 152 2 2 c = 400 + 2252 c = 625 c = 252 Luego:

20 cm 4 15 cm 325 cm 5 25 cm 5

=/8 =/8 ! "

15 cm 3 20 cm 425 cm 5 25 cm 5

-9= -9= ! "

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20 cm 4 15 cm 315 cm 3 20 cm 4

>1 >1 ! "

15 cm 3 20 cm 420 cm 4 15 cm 3

-9>1 -9>1 ! "

25 cm 5 25 cm 520 cm 4 15 cm 3

-9=/- -9=/- ! "

25 cm 5 25 cm 515 cm 3 20 cm 4

=/- =/- ! "

Nota: Si se desea calcular los valores de y basta saber por ejemplo que:! "=/8 ! ) =/8 ! ) &$ "$ ! !, si se aplica ( ) . 1 De igual forma si se sabe que se tiene que:=/8 ! '"=/8 ! ' $' )( 1( ) ." Recuerde que ; el valor de pudo obtenerse reemplazando en! " " ! *! " ! *! $' )(

4) Cul es la altura de un edificio si la visual dirigida al borde del techo, desde unadistancia de 40 m de la pared, mide 38?Solucin: Veamos el dibujo que representa la situacin:

Conocemos el ngulo y el cateto adyacente a l, teniendo como incgnita el ladoopuesto al ngulo; la funcin que relaciona a stos tres elementos es el de tangente;luego: 38>1 B%!

38 m.%! >1 B B $" #&

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Signos de las funciones Dada una circunferencia unitaria radio igual uno , la dividiremos en cuatroa bregiones llamadas cuadrantes.

Se toma un punto P que est en la circunferencia unitaria y se tiene queB CP P , con un ngulo en posicin normal.B C -9= =/8 ! ! ! Segn esto es posible observar lo siguiente

Ubicacin PIIIIIIIV

a b! ! ! !-9= =/8 >1

Como P P , entoncesa b a b a b a b! ! ! ! ! -9= =/8 -9= =/8 "# # -9= =/8 " B C "# # # #! ! a b

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Valores de las funciones coseno, seno y tangente para ngulos de:

! #" $# #1 1 1 1

P! ! ! ! !

1111

a ba ba ba ba ba b

-9= =/8 >1! " ! " ! !"# ! " ! " _

" ! " ! !$# ! " ! " _# " ! " ! !

Se ha indicado los signos de los puntos P ubicados en los distintosa bB Ccuadrantes, que tambin corresponden a los signos de las funciones trigonomtricascoseno y seno, respectivamente, as tenemos:

Si el ngulo tiene su lado terminal en el segundo cuadrante, determinaremoscuanto nos falta para completar 180, preocupndonos adems del signo que lecorresponde a la funcin en dicho cuadrante, es decir:

=/8 =/8 -9= -9= ( 180 ) y (180 )! ! ! !

Ejemplos:

150 30 =/8 =/8 "# 120 60 -9= -9= "# 135 45 1>1 >1

Si el ngulo tiene su lado terminal en el tercer cuadrante determinaremos cunsuperior a 180 es el ngulo, es decir: ( 180 )=/8 =/8 ! ! ( 180 )-9= -9= ! !Nota: con 180!

Ejemplos:

210 30 = =/8 =/8 "# 225 45 1>1 >1

Si el ngulo tiene su lado terminal en el cuarto cuadrante determinaremos cuantonos falta para completar 360. As se tiene que: (360 )=/8 =/8 ! ! (360 )-9= -9= ! !

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Ejemplos:

=/8 $!! =/8 '! $#

-9= $$! -9= $! $#

=/- $"& =/- %& ##

#

-9>1 $!! -9>1 '! $$

Ejercicios propuestos

Resolver sin calculadora:

" =/8"#! -9="#! #-9=/- "&!) # -9=#"! =/- #%! $>1##& ) $ =/8$$! -9>1 $"& -9=$!! ) % =/8"&! $>1 $"& (-9=/- #"! )

& =/- $"& # -9="&!# -9>1 ##& $ >1 $"&)

' -9=/- $$! & =/8 #%!$ >1 "$& # =/- $!!)

Soluciones

" $ (#)

# # $#)

$ !) % ") & # $) ' % & $)

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ngulos de Depresin y Elevacin

Un es aquel que se forma desde la lnea de vista horizontalngulo de depresindel observador hasta un objeto abajo de sta. El es aquel que sengulo de elevacinforma desde la lnea de vista horizontal del observador hasta un objeto situado arriba desta. En la figura el ngulo de depresin del punto A al punto B es y el ngulo de!elevacin del punto B al punto A es . Dado que ambos ngulos se miden a partir de las"lneas horizontales, las cuales son paralelas, la lnea de vista AB es transversal, y comolos ngulos opuestos internos de dos lneas paralelas son iguales se tiene que: .! "

Ejemplos:1) De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ngulo de depresin deun bote es de 15 A que distancia est el bote del faro?

Solucin: Conocemos el ngulo (15), el lado opuesto al ngulo y desconocemos el catetoadyacente, la funcin trigonomtrica que relaciona estos valores es la funcin tangente.Obtenindose:

15 447, 846 m120 120

15>1 B B >1

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2) Encuentre la altura de un poste, si el ngulo de elevacin de su parte superiorcambia de 18 a 39. Cuando el observador avanza 20 m.

Solucin:

En el tringulo rectngulo ABC, 18 ; luegoACCB

-9>1

AC CB 18 bin DC + 20 CB 18 -9>1 -9>1

En el tringulo DBC; 39 = ; luego DC CB 39DCCB

-9>1 -9>1

Se tiene : DC = CB 18 20 CB 39; es decir :-9>1 -9>1

CB 18 CB 39 20-9>1 -9>1

CB ( 18 39) 20-9>1 -9>1

CB20

18 39 -9>1 -9>1

CB 10, 85 m.20

3, 077 1, 234

Luego: DC = 10,85 39 = 13, 39 m. -9>1

La altura del rbol aprximadamente es de 10, 85 m.

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3) Qu longitud debe tener una escalera tal que inclinada respecto al terreno en unngulo de 72 alcanza hasta el borde de una ventana ubicada a 8 mts de altura?.Solucin:

728=/8 B

8 8 72 0, 95106

B =/8

8, 41 m.B


1) Un rbol de 30 metros de alto arroja una sombra de 36 metros de largo. Hallar elngulo de elevacin del sol.

2) Cuando el sol est 20 sobre el horizonte. Qu largo tiene la sombra que proyectaun edificio de 45 metros de alto?

3) De lo alto de un faro que emerge 36 metros sobre el mar, el ngulo de depresinde un bote es de 15. A qu distancia est el bote del faro?.

4) Un hombre conduce durante 150 metros a lo largo de una va inclinada 20 sobrela horizontal. A qu altura se encuentra sobre su punto de partida?

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5) Un rbol quebrado por el viento forma un tringulo rectngulo con el suelo. Sila parte quebrada hace un ngulo de 50 con el suelo y si la copa del rbol esta ahora a 6metros de su base. Qu altura tena el rbol?.

6) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del ms bajo de 12metros de alto, el ngulo de elevacin del borde del techo del ms alto es de 40.Cul es la altura del edificio ms alto?.

7) Dos caminos rectos se cortan bajo un ngulo de 75. Hallar la mnima distancia deuno de ellos a una estacin de gasolina que est sobre el otro a 300 metros del cruce.

Soluciones

1) El ngulo de elevacin es de 40.

2) El largo de la sombra del edificio es de 124 metros.

3) La distancia del bote al faro es de 134 metros.

4) La altura corresponde a 51 metros.

5) La altura del rbol es de 16,48 metros.

6) La altura del edificio ms alto corresponde a 27 metros.

7) La mnima distancia corresponde a 290 metros.

Anteriormente, vimos como se resuelven problemas usando como referenciatringulos rectngulos. Ahora, resolveremos problemas usando cualquier tipo detringulo con los teoremas del Seno y Coseno.

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Teorema del seno

En todo tringulo ABC de ngulos , y se cumple:! " #

+ , -

=/8 =/8 =/8 ! " #Ejemplo:1) Cul es la altura de un cerro?, si las visuales dirigidas a la cumbre desde dospuntos situados a 100 metros forman respectivamente con la horizontal un ngulo de 30y 50.

Se sabe que el ngulo ACB = 20; pus 20 + 30 = 50

= z 100

sen 30 sen 20

z = 100

0, 342 "#

z = 146, 2 metros.

Por otra parte, en el tringulo BDC se tiene:

sen 50 = h = 146,2 sen 50hz

h = 112 metros es la altura del cerro.

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Teorema del coseno

En todo tringulo ABC de ngulos , y se cumple:! " #

+ , - #,- -9=# # # ! , + - #+- -9=# # # " - + , #+, -9=# # # #

2) Un avin est a 150 Km. de una estacin de radar y se desplaza con rumbo NE de50, un segundo avin est a 220 Km. de la estacin y vuela con rumbo SE de 70. Cules la distancia entre los dos aviones?.

Por teorema del coseno

a b a b a b a ba ba ba bAB AB# # # "&! ##! # "&! ##! -9= '! "*% '(*Los dos aviones estn separados por Km."*% '(*

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3) Un mstil est sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a ladosopuestos, los ngulos que forman los tirantes con el suelo son 28 y 48. Si la distanciaentre las cuas es de 50 m. Cunta cantidad de cable se ha gastado? Cul es la alturadel mstil?

Por teorema del seno

, &! &! =/8 %)=/8%) =/8 "!% =/8 "!% , , $) #*

+ &! &! =/8 #)=/8#) =/8 "!% =/8 "!% + + #% "*

En tringulo CDB

=/8 %) #% "* =/8 %) 2 "( *) 22#% "* a bSe ha gastado metros de cable.'# %)

El mstil mide metros de alto."( *)

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" Un piloto vuela desde A, 125 Km en la direccin NO 38 y regresa. Por un error,el piloto vuela 125 Km en la direccin SE 51. A qu distancia qued de A y en quedireccin debe volar para regresar al punto de partida?. #) AB son dos puntos de orillas opuestas de un ro. Desde A se mide una base rectaAC = 275 metros y se miden los ngulos CAB = 125 y ACB = 49. Hallar la longitudde AB.

$) Una torre de 125 metros de altura est sobre una roca en la orilla de un ro. Desdelo alto de la torre el ngulo de depresin de un punto de la orilla opuesta es de 29 ydesde la base de la torre el ngulo de depresin del mismo punto es de 18. Hallar elancho del ro y la altura de la roca.

Soluciones

1) El piloto debe volar en direccin SO 45, 72 una distancia de 28,3 Km para llegar de C a A. # La longitud de AB corresponde a 1986 metros.

$) El ancho del ro posee 544 metros. La roca posee una altura de 177 metros.

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Identidades Trigonomtricas

Es una igualdad vlida para valores de ! Existen dos mtodos para resolverlas a) Transformar uno de los dos miembros hasta llegar al otro miembro. b) Transformar ambos miembros por separado hasta obtener expresionesequivalentes. Es necesario para estos ejercicios usar las siguientes identidades fundamentales

" =/8 -9= " # #! !

# " >1 =/- # #! !

$ " -9>1 -9=/- # #! !

% =/8 -9=/- " ! !

& -9= =/- " ! !

' >1 -9>1 " ! !

( >1 =/8-9= !!!

) -9>1 -9==/8 !!!

Existen otras identidades trigonomtricas que se utilizarn ms adelante y queenunciamos a continuacin:

" =/8 # # =/8 -9= ! ! !

# -9= # -9= =/8 ! ! !# #

$ >1 # # >1" >1 !!!#

% =/8 " -9= ## #! !

& -9= " -9= ## #! !

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Ejemplos

" =/8 =/- =/- " # # #! ! !

=/8 =/- =/8 "-9=# # #

#! ! ! !

=/8-9=#

#!!

>1#!

=/- "#!

Por lo tanto, =/8 =/- =/- "# # #! ! !

# #=/8 B ">1B -9>1B>1B -9>1B #

>1B -9>1B>1B -9>1B

=/8B -9=B-9=B =/8B=/8B -9=B-9=B =/8B

=/8 B -9= B-9=B =/8B

=/8 B -9= B-9=B =/8B

# #

# #

=/8 B -9= B -9=B =/8B-9=B =/8B "# #

=/8 B " =/8 B# #a b #=/8 B "#

Por lo tanto,>1B -9>1B>1B -9>1B #=/8 B "

#

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3) =/- -9=/- =/- -9=/-# # # #) ) ) )

=/- -9=/- " "-9= =/8# #

# #) ) ) )

=/- -9=/- =/8 -9=-9= =/8

# ## #

# #) )) )) )

=/- -9=/- "-9= =/8# #

# #) ) ) )

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# #) ) ) ) =/- -9=/- =/- -9=/-# # # #) ) ) )

Por lo tanto, =/- -9=/- =/- -9=/-# # # #) ) ) )

4) ( ) ( ) " -9= " =/- -9>1 =/8) ) ) ) ( ) " =/- -9= -9= =/- -9>1 =/8) ) ) ) ) ) -9>1 =/- -9>1 -9= -9>1 -9= =/- -9>1 =/8) ) ) ) ) ) ) ) )

-9= " -9= -9= " -9==/8 -9= =/8 =/8 -9= =/8 -9= -9= =/8

) ) ) )) ) ) ) ) )) ) )

" -9==/8 =/8

# )) )

=/8=/8 =/8

#)) )

=/8 =/8) )

Por lo tanto, ( ) ( ) " -9= " =/- -9>1 =/8) ) ) )

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5 >1B =/-B -9>1B -9=/-B-9>1B -9=/-B >1B =/-B

>1B =/-B >1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1B -9=/-B -9>1B -9=/-B -9>1B -9=/-B

>1B =/-B -9>1B -9=/-B-9>1 B -9=/- Ba ba b

# #

>1B =/-B -9>1B -9=/-B >1B =/-B " >1B =/-Ba ba b

-9>1B -9=/-B >1 B =/- B " >1B =/-Ba ba ba ba b# #

-9>1B -9=/-B " " >1B =/-Ba ba ba ba b

-9>1B -9=/-B>1B =/-B

Por lo tanto,>1B =/-B -9>1B -9=/-B

-9>1B -9=/-B >1B =/-B


Demuestre las siguientes identidades:

1 =/- C =/8 C -9= C =/- C-9=C =/-C# #

$ $

2 -9>1 -9=/- " =/8-9>1 -9=/- " " -9=9 9 99 9 9

3 " =/8 -9= # " =/8 " -9=a b a ba b9 9 9 9#4 -9=/- -9>1 " -9=/- -9>1 " #-9>1a ba b9 9 9 9 9

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Funciones trigonomtricas inversas

De las funciones trigonomtricas biyectivas es posible definir las funcionestrigonomtricas inversas, es decir, conocido el valor de una funcin trigonomtricaaveriguar el ngulo que genera este valor.

Las funciones trigonomtricas biyectivas son:

=/8 " "# # 1 1B C =/8B

-9= ! " " 1B C -9= B

>1 # # 1 1 B C >1 B

Las funciones as redefinidas poseen inversa.

a) Funcin inversa del seno

La funcin inversa del seno denotada por o , se define como lasen Arcsen-1funcin inversa de la funcin seno restringuida .C =/8B

: E

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b) Funcin inversa del coseno

La funcin inversa del coseno denotada por o , se define como lacos Arccos-1funcin inversa de la funcin coseno restringuida .C -9=B

:E

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Ecuaciones Trigonomtricas

Son ecuaciones en las que la incgnita est comprendida en funcionestrigonomtricas, es decir, en que la incgnita es un ngulo. Para resolverlas seconsiderar que el intervalo de trabajo es 0, # 1 No existe un mtodo general para resolver ecuaciones trigonomtricas, dependede la forma que presenten, veamos algunos ejemplos.

Ejemplos

" =/8> -9=> -9=>

=/8 >-9= > "

>1 > " > E1 " > %"1

Pero como debemos encontrar todas las soluciones en el intervalo 0, , entonces # 1> % %

1 1

1

Comprobacin

=/8 -9= > % % %" "# #

1 1 1? Luego es solucin de la ecuacin "

=/8 -9= > & & " " &% % %# #1 1 1 ? Luego es solucin de la ecuacin #

Por lo tanto, el conjunto solucin de la ecuacin es , 1 1% %&

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# #-9= =/8 " !#9 9

# " =/8 =/8 " !a b#9 9# #=/8 =/8 " !#9 9

#=/8 =/8 " !#9 9

Sea entonces ? =/8 #? ? " !9 #

? " " )%

? ? " $ "% #" "

? ? " " $%# #

=/8 E

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$ =/8#B =/8B

#=/8B -9= B =/8B#=/8B -9= B =/8B !=/8B #-9= B " !a b=/8B ! B E

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% $=/8 %-9= % ) )

$=/8 % " =/8 %) ) #% " =/8 % $=/8 ab# #) )

"' " =/8 "' #%=/8 *=/8a b# #) ) )"' "'=/8 "' #%=/8 *=/8# #) ) )

! #&=/8 #%=/8#) )! =/8 #&=/8 #%) )a b

! =/8 =/8#%#&) )

=/8 ! E

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Resolver las ecuaciones trigonomtricas: para todo tal que B ! B #1

" #=/8 " !) !# =/8 -9= ) 0 9 9$ >1B " =/8 B $ ) ( )(4 ) 0#

% =/8 =/8 # ) + 0#! !& -9= B =/8 B) 3 # #

' =/- >1 -9>1) 2 + " " "( -9=B =/8B ) 3 1

Soluciones

" ) ; 6 6

5! 1 1

# #) 0 ; ; 2 2

39 1 11 1

$ B ) ; ; ; ; ; 4 3 3 4 3 3

2 5 4 51 1 1 1 1 1

% ) 2

! 1

& B ) ; ; ; 3 3 3 3

2 4 51 1 1 1

' ) ; 6 6

5" 1 1

( B ! #%$ 1 1

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Grfica de funciones trigonomtricas

Recuerde que para hacer la grfica de una funcin cualquiera, se construyeprimero una tabla de valores de los pares ordenados asociados ( ), despus se marcanB Clos puntos correspondientes y por ltimo se unen los puntos con una curva suave.

Qu pasa con las funciones trigonomtricas?

La grfica de C =/8B

La grfica de esta funcin es de la forma:

y ser necesario graficar toda la curva para as determinar su forma?

No, ya que esta curva es continua uniforme, es decir, peridica y cada perodorecibe el nombre de un y basta con saber las caractersticas de este ciclo.ciclo

Cul es un ciclo de la funcin seno? Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a untramo entre los puntos ( y ( y el punto medio de l es el punto ! ! # ! !1 1

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Ahora, resumiremos las propiedades de la funcin seno a travs de un ciclo de lafuncin.

1) La funcin seno es peridica, con perodo #12) Para cualquier valor dado a , la solucin se encuentra entre B " " $ B B ! B B # El seno de es igual a cero cuando , ,1 1% El seno es una funcin impar, por lo tanto, su grfica es simtrica con respecto al origen: ( )=/8 B =/8B

& # #$

La funcin seno decrece en el intervalo , 1 16) La funcin crece en los intervalos , y , ! ## #$1 1 1 Toda funcin real de la forma:

con , , y 0 B + =/8 ,B - . + , - .

se llama funcin SINUSOIDAL O SINUSOIDE.

Cambia el grfico segn sea el valor de " ", " ", " " o " "?+ , - . i, y veremos cada uno de los casos:S

1 CASO

Si , entonces la funcin toma la forma - . ! 0 B + =/8 , B

Como es peridica, de perodo y su grfico tiene la mayor ordenadaC =/8B #1que es 1, cuando , entonces la funcin , suponiendo queB #5 0B + =/8 ,B#

1 1+ ! , ! ,B y es tambin peridica repitindose cada vez que vara en una longitud# B # #, ,1

1 1, es decir, cuando vara en una longitud . Su perodo es entonces .

Por otro lado, " " es la mayor ordenada o mximo de la funcin y se llama+amplitud de la funcin.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


170

Ejemplo

Sea la funcin . GraficarC $ =/8 B#1

Solucin

Amplitud : + $Perodo : , en este ejercicio

#, #, 1 1

Luego, el perodo es:# # #, # %1 1 1 11#

BConviene graficar en el eje positivo de las En este ciclo: ! ! % !Los extremos son ( y ( # !El punto medio es ( ! ! # ! " $El valor mximo lo toma en el punto medio entre ( y ( es decir, $ $ El valor mnimo es (

OJO !!

Como , entonces el grfico de:C + =/8 , B + =/8 ,B es el simtrico del de C $ =/8 B C $ =/8 B # #

1 1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


171

2 CASO

Si , entonces la funcin toma la forma: . ! 0 B + =/8 ,B -

El grfico de esta funcin es similar al de 0 B + =/8 ,B

cuando despejamos 0B ! ,B - ! B B -,

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el nmero de unidades que sedebe trasladar el grfico de ( ) a lo largo del eje , para obtener elC + =/8 , B - Bgrfico de la funcin. Esta traslacin tambin se llama desplazamiento horizontal.

Si , la traslacin es hacia la izquierda.-, !

Si , la traslacin es hacia la derecha.-, !

Ejemplo

Graficar C # =/8 #B 1

Solucin

Amplitud: + #Perodo: , en este ejercicio Luego, el perodo es:

# # #, , #, # 1 1 1 1

Fase: #B !1 #B 1 como este valor es positivo, la traslacin es hacia la derecha.B #

1

En el grfico, la lnea continua muestra el perodo que se repite a lo largo de todo el eje.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


172

3 CASO

Si la funcin toma la forma: con , , y 0 B + =/8 ,B - . + , - .

El valor de " " traslada el grfico en forma vertical..

Si , el grfico se desplaza hacia arriba unidades.. ! . Si , el grfico se desplaza hacia abajo unidades.. ! .

Ejemplo 1

Graficar C # =/8 #B $1

Solucin

Amplitud: + #Perodo: , en este ejercicio Luego, el perodo es

#, , #1 1

Como , el grfico es igual al anterior, pero es simtrico a l.+ !

Pero , luego la funcin se traslada hacia arriba unidades.. $ $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


173

Ejemplo 2

Grafique C " =/8B

Solucin Amplitud: + "Perodo: , en este ejercicio Luego, el perodo es

#, , " #1 1

Esta funcin es similar a la de , pero se traslada 1 unidad hacia arriba.C =/8B

Ejemplo 3

Grafique C =/8 B 1

Solucin

Amplitud: + "Perodo: , en este ejercicio Luego, el perodo es

#, , " #1 1

Fase: B !1 B 1

Grfico

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


174

Ejercicios Propuestos

Grafique las siguientes funciones:

+ C % =/8B)

, C =/8 $B

- C $ =/8 B"#

. C " # =/8 B "# 1

/ C ( =/8 B$ 1

0 C & =/8 #B "

1 C $ =/8 B 1

Soluciones

Otras formas de ecuaciones son...

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


175

Funcin sinusoidal de la forma 0B + =/8B , -9= B

Para resolver las grficas es conveniente estudiar el siguiente teorema:

:Teorema

Para valores cualquiera de , y existen nmeros y tales que:+ , - E !

+ =/8 - B , -9= - B E=/8 - B !

en donde de aqu podemos resolver an ms la expresin, como sigue:E + , # # E + , # # # E + , E# # # #

" + ,E E# #

# #

" + ,E E # # Por lo tanto, el punto de coordenadas , pertenece a la circunferenciaT + ,E E unitaria, luego:

=/8 -9= , +E E! !

La grfica entonces corresponde a la grfica de la funcin:

C E=/8 - B !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


176

Ejemplo

Graficar 0 B # =/8B & -9= B

Solucin

+ #, &- "

Luego: E # & #* & &* # #=/8 ')&

#*! !

En radianes los se tranforman a ') " "*

Luego: C #* =/8 B " "* La fase es: B " "* ! B " "*Perodo: #1

La grfica es:

Ejemplo de aplicacin

Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, enfuncin del tiempo por las ecuaciones:

3 $ =/8 "#! B" 1 3 -9= "#! B# 1

Si la corriente del segundo se aade a la del primero, determine las corrientesmximas, cundo ocurre y la fase producida.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


177

Solucin

El total de corriente est dado por la ecuacin:

3 3 3 $ =/8 "#! B -9= "#! B" # 1 1 + $ , " - "#!1

E $ " % # # # El punto tiene coordenadas , As

32

T T "# y

32

=/8 -9= "#! !

por cualquiera de las dos formas trigonomtricas es posible determinar el valor delngulo. Como est en el IV cuadrante ! ! 1 ' Por lo tanto, el total de corriente puede representarse por la ecuacin:

C E =/8 -B !

C # =/8 "#! B ' 1 1 Se deduce que la corriente mxima es y que la fase es:#

"#! B !'11

"#! B '11

B "#! '11

B "(#!

unidades de tiempo"(#!

El valor mximo de ocurre cuando:3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


178

"#! B ' #11 1

"#! B # '11 1

"#! B %'11

B % "' "#!1

1

B "")!

En general, cuando , 1B 5 ")! $'!

5 Grfico:


Construya la grfica de:

" C =/8B # -9= B

# C =/8B -9= #B

$ C =/8 $B -9= #B

% C =/8B # -9= B

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


179

Soluciones

1) + " , # - "

E & # #$=/8 '$ " ", #E &

! ! ! En radianes Luego, la funcin queda: )C E =/8 -B C & =/8 B " "! Amplitud: + &Fase: B " " ! B " "

Desplazamiento a la izquierda

2) 3)

4)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


180

Autoevaluacin

1.- Expresa = ( rad.) en grados sexagesimales.! 1#$

2.- Los catetos de un tringulo rectngulo miden 15 cm. y 20 cm. Determina el valor de las funciones seno, coseno y tangente de los ngulos agudos, como as tambin la medida de dichos ngulos.

3.- Un edificio de 100 m. de altura proyecta una sombra de 120 m. de longitud. Determina la medida del ngulo de elevacin del sol.

4.- Si y al II cuadrante, determina el valor de:>1 #$! !

=/8*! -9= ")! ! !

>1#(! ->1$'! ! !

5.- Demuestra que : -9= =/8 " >1" >1# #

#

#! !!!

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


181

Solucin

1.- En grados sexagesimales: = 120!

2.- sen = 0,6 , cos = 0,8 y tg = 0,75 con = 36 52 ! ! ! ! w w w"" '$ sen = 0,8 , cos = 0,6 y tg = 1,33 con = 53 7 48" " " " w w w

3.- = 39,8!

4.- El valor de la expresin es : # "$"$

& -9= =/8 " >1" >1- # #

#

#! !!!

" "

=/8-9==/8-9=

####

!!!!

-9= =/8 -9=-9= =/8 -9=# # #

# # #! ! !! ! !

-9= =/8# #! !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


182

UNIDAD VI

NUMEROS COMPLEJOS

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


183

Qu son losnmeros complejos?

En el conjunto de los nmeros reales no encontramos valores que satisfacen laecuacin Para dar solucin a sta ecuacin y otras similares, se haceB !2 1 . necesario extender el conjunto de los nmeros reales a uno ms amplio denominado:"Conjunto de los Nmeros Complejos" que es aquel conjunto , de todos los pares ordenados de nmeros reales + , + ! ! , + ! , ! ! " + ,3 3 ! ", donde es el nmero complejo llamado .Unidad Imaginaria

Definicin de Unidad Imaginaria:

En primer lugar definiremos dicha "unidad imaginaria" denotada por " " y cuyo3valor matemtico corresponde a:

3 1 Unidad imaginaria Notacin, que nos permite expresar de manera equivalente las races decantidades subradicales negativas tales como:

a) 5 ( 1) 5 = 5 3b) 16 ( 1) 16 = 16 4 3 3c) ( 1) =

7 7 75 5 5

3d) ( 1) =

1 1 14 4 4

3 3"#

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


184

Definicin de Nmero Complejo:

Como ya se mencion, el conjunto de los nmeros complejos est formado portodos los nmeros de la forma con y en . Se denomina a " " parte real+ ,3 + , +y a " " parte imaginaria. Esta forma de escribir los nmeros complejos, se llama , FormaBinmica o Forma Algebraica, y se tiene que:

3 + , 3) Si 0, entonces " " se denomina " complejo imaginario puro ".

33 , +) Si 0, entonces " " se denomina " complejo real puro ".

Observaciones:

a) La forma binmica tiene la ventaja de que permite sumar y multiplicar nmeroscomplejos como si fueran nmeros reales, teniendo en cuenta solamente que 3 "#b) En los nmeros complejos estn incluidos todos los nmeros reales y todos losimaginarios puros.

Igualdad de Nmeros Complejos

y + , 3 - . 3 + - , .

La condicin necesaria y suficiente para que los nmeros complejos y+ , 3 sean iguales es que y- . 3 + - , .

Conjugado de un Nmero Complejo

El conjugado de un nmero complejo es el nmero complejo .+ , 3 + , 3 Por ejemplo, el conjugado de 2 es 2 y el conjugado de $ 3 $ 3 % &3es el complejo . % &3

VIR

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IO G

OM

EZ


185

Potencias de " ".3

1) 1 3 2) 3 "2

3) 1 1 1 3 3 3 3 2 4) 1 1 13 3 3 4 2 2 . .5) ; con y 3 3 : 54 :5 5 %

Operatoria entre nmeros complejos.Dados dos nmeros complejos: se tiene:( ) y ( ) + , 3 - . 3

Adicin: Se calcula en forma binmica sumando los trminos semejantes, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) + , 3 - . 3 + - , . 3

Ejemplo: ( 7 ) ( 5 $3 # $3 '3

Sustraccin: Se calcula en forma binmica restando los trminos semejantes, es decir: ( ) ( ( ) ( ) + , 3 - . 3 + - , . 3

Ejemplo: ( 7 ) ( 2 ) 9 $3 $3

Multiplicacin: El producto se obtiene multiplicando cada trmino del primer binomiopor cada trmino del segundo, luego se reemplaza por y se suman los trminos3 "#semejantes. ( ) ( ) + , 3 - . 3 +- +. 3 ,- 3 ,. 3 2

+- ,. +. -,3 ( ) (

Ejemplo: ( ) ( )( $3 # $3 "% #"3 '3 * 3 2 "% "&3 * #$ "&3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


186

Divisin: Finalmente, para dividir un nmero complejo por otro 0+ , 3 - . 3 y obtener as la forma binmica del complejo se amplifica este cuociente por

,

+ , 3- . 3

el conjugado del denominador, procedindose como sigue:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + , 3 + , 3 - . 3 +- +.3 ,-3 ,.3- . 3 - . 3 - . 3 - .

#

# #

3+- ,. ,- +.3 +- ,. ,- +.- . - . - .# # # # # #

Ejemplo: ( 7 ) ( ) 14 ( 3 ) ( )

$ 3 # $3 #" 3 ' 3 * 3 # 3 # $3 % *3

2

2

5 27

13 3

5 2713 13

3

Representacin Grfica de los Nmeros Complejos.

El nmero complejo puede representarse grficamente por un punto + ,3 Tsituado en el plano que determinan los ejes coordenados y que se llama "PlanoComplejo". De ste modo "a todo complejo" le corresponde un punto en el plano yviceversa. Todos los puntos localizados sobre el eje " " tienen coordenadas de la forma:Ba b+ ! + !3 + By corresponden a los nmeros , por sta razn al eje de las se lellama " ". Todos los puntos localizados sobre el eje " " tieneneje de los reales Ccoordenadas de la forma las cuales corresponden a los nmeros imaginariosa b! ,0 , por este motivo, a este eje se le llama ,3 ,3 "eje de los imaginarios". La representacin de un nmero complejo en el plano complejo puede hacerse,como se mencion anteriormente con un punto , y tambin por medio de un segmentoTdirigido o vector

ST

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


187

Ejemplo:

Ubique en el plano complejo:

a) ( 3, 4) b) ( 2, 4 )

c) 1 5 d) 5 3D 3 D 3" #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


188

Forma Polar o Trigonomtrica de un Complejo.

Si en lugar de considerar coordenadas cartesianas se consideran coordenadaspolares, entonces un punto P representacin del nmero complejo del plano + ,3puede determinarse por la longitud del radio vector y por cualquier amplitud < ST

!(ngulo) que forme el vector con el eje positivo de las ( eje real positivo).B Al nmero se le llama mdulo o valor absoluto del nmero< + , = 2 2complejo. El ngulo , llamado del nmero complejo, se escoge! amplitud o argumento como el ngulo positivo menor cuya tangente est definida por >1 ,+ !

De la figura se tiene: ( ) y ( )+ < -9= , < =/8 ! !entonces, si se reemplazan y por las expresiones ( ) y ( ) se tiene:+ ,

+ ,3 < -9= 3 =/8 ! !

A esta forma: de escribir un nmero complejo se le llama< -9= 3 =/8( )! !Forma Polar o Trigonomtrica ( ) Formay a la expresin se le llama + , 3Rectangular, binmica o cartesiana del nmero complejo.

Ejemplo:

Represente en forma polar el complejo ( 1 3 ) ( 1, 3 )D 3 Calculamos primero el mdulo y el argumento del complejo:

El mdulo es: ( 1 ) + ( 3 ) 4 < # 2 2

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


189

Como , entonces el argumento es 120 o bien 300. Pero como sabemos>1 $"! !

que P est en el segundo cuadrante, entonces 120.!

Idea Grfica:

Luego: 1 + 3 2 ( 120 120 ) 3 -9= 3 =/8Ejemplo:

Exprese en forma rectangular el complejo siguiente: 8 ( 210 210 )D -9= 3 =/8

-9= -9= 210 30 3 2

=/8 =/8 "# 210 30

D 3 "# 8 ( ) 3

2 D 3 4 3 4D ( 4 3 , 4 )

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


190

Teorema de Moivre. Si es cualquiera nmero racional, entonces se verifica que:8

[ ( ) ] [ ]< -9= =/8 < -9=8 3=/8 8! ! ! !8 8

Ejemplo: 3 i [ 2 ( 330 330 ) ] -9= 3 =/810 10

( 3 ) (1) = 3

< >1 " 2 2 ) 4 = 330< ) 2<

3 i [ 2 ( 330 330 ) ] -9= 3 =/810 10 2 ( 10 330 10 330 ) -9= 3 =/8 10 2 ( 3300 3300) -9= 3 =/810 1024 ( 60 60 ) -9= 3 =/8

1024 3

2 3"#

512 512 3 3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


191

Ejercicio:

Evale la siguiente expresion utilizando el teorema de Moivre y exprese elresultado en forma rectangular: ( )" 3 7

El mdulo sera:

( 1) (1) 2 < 2 2Determinemos ahora el argumento:

1351

1>1 " ! !

Luego: ( ) [ 2 ( 135 135 ) ] " 3 -9= 3 =/87 7 ( 2 ) [ 7 135 7 135 ] -9= 3 =/8 7 ( ) [ 945 945 ] # -9= 3 =/8 7 ( ) [ 225 225 ] # -9= 3 =/8 7 ( ) [ 45 45 ] # -9= 3 =/8 7 ( ) [ ]

2 2 2 2

# 7

( ) ( ) 2 2

3# # 8 8

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


192


I.- Realice las operaciones indicadas, simplifique y escriba el resultado en la forma: + , 3

a) ( 3 ) ( ) ( ) ( 1 )

%3 & (3% #3 $ 3

b) ( 3 ) ( 3 )

( 2 ) % 3 % 3

3

II.- Exprese cada uno de los complejos en forma polar:

a) 3 $ 3

b) 2 3 # 3c) 12 & 3

d) 2 2 3III.- Exprese en forma rectangular los siguientes complejos:

a) 2 ( 315 315 )-9= 3 =/8

b) 4 ( 240 240 )-9= 3 =/8

c) 3 ( 90 90 )-9= 3=/8

IV.- Evale cada una de las siguientes expresiones utilizando el teorema de Moivre yexprese el resultado en forma rectangular:

a) ( 3 ) 3 5b)

3 2 "# 3

20

c) [ 2 ( 315 315 )]-9= 3 =/8 4

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


193

Soluciones

I

a) 1 3"# #

b) 10 &3

IIa) 3 2 ( 45 45 ) -9= 3 =/8b) 4 ( 210 210 )-9= 3 =/8

c) 13 ( 157 157)-9= 3 =/8

d) 2 ( 315 315 )-9= 3 =/8

IIIa) 2 2 3b) 2 2 3 3c) 33

IVa) 16 3 16 3b)

3 2

3"#

c) 16

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


194

Races de Nmeros Complejos:

Definamos la raz n-sima de un nmero complejo , como un nmero complejoDA tal que: A D8

Si una raz n-sima est dada por:D < -3= )

A < -3= 8

"8 )

Teorema de las races simas:8

Si , entonces tiene " " races -simas (distintas), ellas estn dadasD < -3= D 8 8)por:

A < -3= 5 ! " # $ 8 " #58

"8 ) 1

Ejemplo:

Encuentre las 6 races de 1D 3 $ 1 2D 3 $ -3= #$

1As las seis races sextas estn dadas por:

2 ( + 2

A -3= 5 ! " # $ % &5

'16

#$1 1

5 ! A -3= -3= -3= ! ' ") *

# "

#$2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

1 1 1 1

5 " A -3= -3= -3= "

' ") *) %

#

#$2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

1 1 1 1

5 # A -3= -3= -3= # ' ") *

"% ($

#$2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

1 1 1 1

5 $ A -3= -3= -3= $ ' ") *

#! "!%

#$2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

1 1 1 1

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


195

5 % A -3= -3= -3= % ' ") *

#' "$5 2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

#$1 1 1 1

5 & A -3= -3= -3= & ' ") *

$# "'6 2 2 2

( + 2 (1 1 16 6 6

#$1 1 1 1

Grfica de las races sextas de 1 :D 3 $A -3= 3 !$(*" 2 1.055+

16

1

A -3= !"* 3 ""!%*# 2 16

1

A -3= !)& 3 !(")(*$ 2 16

1

A -3= "!% 3 !$)"!*% 216

1

A -3= !# 3 """$*5 216

1

A -3= !)& 3 !(""'*6 2 )16

1

Representacin grfica de las races:

1

1

-1

-1

iY

X

w1

w2w3

w5w4

w6

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


196


Hallar las races que se indican y grafquelas:

a) Las races cuadradas de 2 2 3 3b) Las races cuartas de 8 8 3 3c) Las races cbicas de 4 2 4 2 3 d) Las races sextas de 1

Soluciones

a) 3 3 A 3 A 31 #b) 1 3 3A 3 $ A 3 A " 3 $ A 31 # $ %c) )A # 3 # A #-9= "'& 3 =/8 "'&" # 2( 285 285)A -9= 3=/83

d) A $ 3 A 3 A $ 3" " " "# # # #" # $

A $ 3 A 3 A $ 3" " " "# # # #% & '

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


197

Autoevaluacin

1.- Dados: D $ 3 D # # $3" # Determina:

DD"

#

2.- Realiza las operaciones indicadas, simplifica y escribe el resultado en la forma: + , 3

( 2 )

( 1 ) ( 2 ) 3

3 $32

2

3.- Expresa el complejo: en forma polar.D ' $ '34.- Expresa: en forma binomialD %-9= #"! 3=/8#"!

5.- Calcula la potencia indicada y expresa el resultado en forma binomial:

( $ 3# #

"&

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


198

Soluciones

1.- 3#

2.- + 17 326 13

3

3.- "# -9=$! 3=/8$!

4.- D # $ #35.- 3

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


199

UNIDAD VII

POLINOMIOS

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


200

Q u s o n lo sP o lin o m io s ?

Definicin 1.

Toda expresin de la forma :

T B + B + B + B + B + B + B +a b 8 8" 8# $ # "$8 8" 8# # " ! con lo llamaremos y lo denotaremos por .8 TB% polinomio

son los coeficientes del polinomio, en particular se denomina+ + + + +! " # 8 8coeficiente principal y trmino libre o independiente.+! Si , entonces se dice que el polinomio es de grado " " en la variable " ".+ ! 8 B8

Si todos los coeficientes del polinomio:

TB + B + B + B +8 8" "8 8" "

!

son ceros, decimos que es el polinomio nulo.T Ba bEjemplos:

1) Grado de TB B B TB # + " + !# 8 !

2) Grado de UB $B B " UB "& + $ + ""# "& 8 !

3) no es polinomioVB VB(B BB &$ #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


201

Teorema 1. Si y son polinomios tales que , entonces existen nicosT B U B U B !a b a b a bpolinomios y tales que:; B < Ba b a b T B U B ; B < Ba b a b a b a ben donde el grado de es menor que . Esto se escribe formalmente como:< B U Ba b a b se llama resto o residuo

T B < BU B U B ; B < Ba b a ba b a ba b a b

se llama cuociente; Ba bDivisin de Polinomios

Si en una fraccin polinmica se determina que el grado de es mayorT BU B T Ba ba b a b

que el grado de , la fraccin se denomina " ". Es posible reducirU Ba b Fraccin Impropia dicha fraccin a la expresin utilizando un algoritmo similar al de la; B < BU Ba b a ba bdivisin de nmeros enteros:

Ejemplo:

Sea la fraccin polinmica , tenemos:$B #B (B #

B B $& $ #

#

$B #B (B # B B $ $B $B %B #!& $ # # $ # $B *B $B& $ %$B (B (B #% $ #

$B $B *B% #$

%B "'B #$ # %B %B "#B$ # #!B "#B ## #!B #!B '!# )B '#

El cuociente es y el resto es ; B $B $B %B #! < B )B '#a b a b$ # Luego:

$B #B (B # )B '#B B $ B B $ $B $B %B #!

& $ #

# #$ #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


202

Regla de Ruffini

Un caso particular es el de la divisin de un polinomio por otro de la formaT Ba bU B B +a b Aplicando el algoritmo de la divisin de polinomios se llega a una regla paracalcular los coeficientes del cuociente y el resto de dividir por queT B U B B +a b a bse denomina y el clculo se realiza como sigue:Regla de Ruffini

Ejemplo: Divida por T B B B #B " U B B #a b a b% $Solucin: Para aplicar Ruffini se utiliza una tabla en la que se ubican los coeficientes deT B T B B !a b a b (como no tiene potencia se coloca en esa posicin).# Tambin, debe colocarse el nmero que resulta de hacer . En este caso:U B !a b B # ! B #

Para el ejemplo, la tabla es la siguiente:

Coeficientes de

Coeficientes de y resto

T B " " ! # "# # % "# #

; B < B " " # '

a ba b a b ""

El grado de para nuestro ejemplo es ; B 8 " % " $a b Luego, el cuociente es y el resto es ; B B B #B ' < B ""a b a b$ # Luego:

T B ""U B B # B B #B ' a ba b $ #

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203


1) Divida porT B $B B #B ' U B B "a b a b$ # #2) Divida porT B B #B ) U B B #a b a b% # #3) Divida porT B B %B ( U B B "a b a b$4) Divida porT B 'B $B #B &B # U B B "#a b a b% $ #5) Divida porT B $B "$B "!B # U B B "$a b a b$ #

Solucin

1) ; B $B " < B &B (a b a b2) ; B B % < B !a b a b#3) ; B B B $ < B "!a b a b#4) ; B 'B #B % < B !a b a b$5) ; B $B "#B ' < B !a b a b#

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204

Teorema del factor

Definicin 2: Si y son polinomios, diremos que divide a si y solo sT B U B U B T Ba b a b a b a bexiste un polinomio tal que:2 Ba b T B U B 2 Ba b a b a bObservaciones:

2 B 2 BSi existe , es nico.a b a b U B T B U B T BSi divide a , se dice que factoriza a . a b a b a b a b U B T BT BU BSi tiene resto cero, es un factor de .

a ba b a b a bEjemplo: El polinomio puede dividirse por T B B #B B U B Ba b a b$ # B #B B B B #B "$ # #

B$

#B B# #B#

B B !

As, puede escribirse de la forma:T Ba b T B U B 2 Ba b a b a b T B B B #B "a b a b#

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205

Teorema de Factorizacin Unica

Teorema 2: Todo polinomio de grado se puede escribir como producto de una8 "constante por polinomios de grado y esta descomposicin es nica salvo el orden de los"factores.

Si aparecen factores repetidos se asocian los factores iguales escribiendo suproducto en forma de potencia.

Ejemplo:a) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B B "a b # T B B " B "a b a ba bb) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B B $B #a b # T B B # B "a b a ba bc) El polinomio puede escribirse de la siguiente forma:T B #B "#B ")a b # T B # B 'B *a b a b# T B # B $ B $a b a ba b T B # B $a b a b#Definicin 3: Dado un polinomio y un elementoTB + B + B + B +8 8" "

8 8" "!

B T B B T B B! ! ! se llama de en al elemento que se obtiene reemplazando porvalor a b a b

B!en el polinomio y efectuando las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Dado , determine T B $B #B T #"#a b a b$Solucin: Reemplazando en se tiene:# T Ba b T # $ # # # "#a b a b a b$ T # $ ) % "#a b a b T # #% % "#a b Luego: T # &(#a b

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206

Raz de un Polinomio

Definicin 4: Si es un polinomio, diremos que es una raz (solucin o cero) de ,T B + T Ba b a bsi y slo si .T + !a bEjemplo: Sea as es raz o cero de , pues:T B B " " T Ba b a b$ T " " "a b a b$ T " !a bEjemplo: Sea , sus ceros o races son y , pues:T B B %B $ $ "a b # T $ $ % $ $ T " " % " $a b a b a b a b a b a b# $ T $ * "# $ T " " % $a b a b T $ ! T " !a b a b

Teorema del Resto

Teorema 3: El resto de dividir un polinomio por otro de la forma es T B B + T +a b a b De acuerdo a este teorema, se puede utilizar la Regla de Ruffini para calcular elvalor de un polinomio en , ya que el ltimo nmero que se obtieneT B B +a baplicndola es el resto de dividir por , es decir, . Tambin, sirve paraT B B + T +a b a bverificar rpidamente si es o no una raz de + T Ba bEjemplo: Dado , calcule T B $B #B B %B "& T #a b a b% $ #Solucin: Utilizando la regla de Ruffini, se tiene:

Coeficientes de


T B $ # " % "& ' ) "% #! #

; B < B $ % ( "!

a ba b a b &

Luego, y no es raz de .T # & # TBa b

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207

Teorema 4: El polinomio es divisible por si y solo s " " es raz de .T B B + + T Ba b a b a bEjemplo: El polinomio es divisible por , porque es raz deT B B #B " B " "a b $ #T Ba b. Esto se verifica de la siguiente forma: T " " # " "a b a b a b$ # T " " # "a b T " !a b


1) Determine si es un factor de a b a bB " T B B &B 'B "% #2) Determine si es un factor de a b a bB # T B B $B %$ #3) Determine el residuo de dividido por T B %B B % U B B #a b a b$ #4) Determine si T $ T B B %B #B "!a b a b & $5) Verifique si los valores dados para son races del polinomio dado en los+ T Ba bsiguientes casos:

a) T B B ")B ) + %a b $b) T B #B B B " + "#a b $ #c) T B #B %B " + $a b #d) T B B %B (B "! + "a b $ #

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208

Solucin

1) No, porqueT " "" !a b2) Si porque T # !a b3) < B $#a b4) T $ "&"a b5) a) Si, es raz de b) Si, es raz de + % T B + T B"#a b a b c) No, no es raz de d) Si, es raz de + $ T B + " T Ba b a b

Nmero mximo de soluciones o races

Teorema 5: El polinomio con grado " " tiene a lo ms " " races.T B 8 8a bObservaciones:

Como un polinomio de grado " " tiene a lo ms " " races, no necesariamente8 8diferentes, es decir, que las races pueden repetirse, introducimos entonces, el conceptode raz mltiple.

Multiplicidad Algebraica de una raz

Definicin 5: Se dir que " " es raz de multiplicidad " " para si divide a+ 8 T B B +a b a b8T B B + 8a b a b y no lo divide, es decir, " " es el mayor entero positivo tal que8"a b a bB + T B8 divide a .Ejemplo: es raz de multiplicidad doble para: + # T B B %B %Ba b $ # Pues: B %B %B BB %B % B B #$ # # #a b El factor aparece elevado aa bB # #

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209

Teorema 6: Sea un polinomio; y si y son tales que

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210

Races Complejas de un Polinomio

Teorema 8: Si es un polinomio con coeficientes reales y si el complejo es razT B + ,3a b a bde , entonces el complejo conjugado tambin lo es.T B + ,3a b a bEjemplo: Determine los ceros del polinomio :T B B $B ""B #(B ") $3a b % $ # sabiendo que es solucin o raz.Solucin: Si es solucin entonces es factor o divide a . Luego, tambin lo$3 B $3 T Ba b a bhace , es decir, es factor de , lo que equivale a a b a ba b a b a bB $3 B $3 B $3 T B B *# Aplicando la divisin de polinomios tenemos:

B $B ""B #(B ") B * B $B #% $ # # # B *B% # $B #B #(B ")$ # $B #(B$ #B ")# #B ")# ! Luego:

B $B ""B #(B ") B * B $B #% $ # # #a ba b B * B # B "a ba ba b# As, los ceros o races de este polinomio son: , , y $3 $3 # "

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211

Regla de los signos de Descartes

Teorema 9: Si es un polinomio real, entonces el nmero de ceros reales positivos (oT Ba bnegativos) a lo ms es el nmero de variaciones de signos de o de y a loT B T Ba b c da bmenos es el nmero de variaciones menos .#

Ejemplo: Indique posibles races reales positivas o negativas de :

T B B %B (B &B "a b ' % $Solucin: T B %a b tiene variaciones de signo. Luego, tiene a lo ms ceros reales positivos.T B % # !a b T B B % B ( B & B "a b a b a b a b a b' % $ T B B %B (B &B "a b ' % $ Luego, tiene a lo ms ceros reales negativos.T B # !a b

Ceros Racionales de un Polinomio

Teorema 10: Si el nmero racional , donde y son enteros primos relativos, es una raz

-. - .

del polinomio: , de coeficientes enteros,+ B + B + B + + !8 8" " 88 8" "

!

entonces " " divide y " " divide a .- + . +! 8

Ejemplo: Sea entonces se tiene que:T B %B $B %B $a b % $ + $ " $

!

+ % " # %8

Luego, las posibles races racionales de son:T Ba b , , , , , " $

" $ " $# # % %

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212

Ejemplo: Hallar las races racionales de: TB B #B ")B )B %"B $!& % $ #

Solucin: es de grado , por lo tanto, tiene races.T B & &a b + $! " # $ & ' "! "& $!

!

+ " "8

Las posibles races racionales son :

, , , , , , ,++ " # $ & ' "! "& $!

!

8

Aplicando la definicin de raz de un polinomio tenemos que es raz.T + ! #a b Esto se puede verificar usando la regla de Ruffini:

Coeficientes de


T B " # ") ) %" $!# ) #! &' $! #

; B < B " % "! #) "&

a ba b a b !

Para determinar las races de se deben ir probando las posibles racesT Ba bracionales, cuando el resto entonces se ha encontrado otra raz de , y as< B ! T Ba b a bsucesivamente. Para este procedimiento se deben usar los coeficientes de que; Ba bentrega la tabla de la siguiente forma:

Coeficientes de anteriores


; B " % "! #) "&$ #" $$ "& $

; B < B " ( "" &

a ba b a b !

Luego: es raz de y el grado de se ha rebajado de a$ T B ; B % $a b a bCoeficientes de anteriores


; B " ( "" & " ' & "

; B < B " ' &

a ba b a b !

As por ensayo se ha determinado una nueva raz: y el grado de se ha " ; Ba brebajado de a .$ #

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213

Cuando el grado de se ha rebajado a , las races que faltan se determinan; B #a bresolviendo la ecuacin de segundo grado: ; B !a b En este caso, B 'B & !#

a ba bB & B " ! B & ! B " !

B & B "

Luego, las races o ceros de son: , , y con multiplicidad T B # $ & " #a b As tenemos que:

se puede expresar de la siguienteTB B #B ")B )B %"B $!& % $ #forma:

T B B # B $ B & B "a b a ba ba ba b#Observacin:

Cuando se deben hacer muchas verificaciones pueden ahorrarse clculosanalizando el nmero de races positivas y negativas mediante la regla de los signos deDescartes.

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214


I.- Determine todas las races de los polinomios:

a) T B B *B %B "#a b % #b) T B B (B "!Ba b % $ #c) T B B B B $B (#B "!)a b & % $ #d) T B B #B )B "%B ""B #)B "#a b ' & % $ #II.- Encuentre las races o ceros de los siguientes polinomios y escriba factorizado:T Ba ba) T B B $B 'B )a b $ #b) si es raz de T B $B "!B $"B #' T B#$a b a b$ #c) si es raz de T B ")B #"B "!B ) T B"#a b a b$ #d) si es raz de T B #B "(B *!B %" T B"#a b a b$ #e) si y son races de T B $B "!B $B )B # " T B"$a b a b% $ #

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215

Solucin

I.-

a) y de multiplicidad doble " $ #

b) y de multiplicidad doble# & !

c) y de multiplicidad doble$3 $3 $ #

d) de multiplicidad doble y de multiplicidad triple$ # "

II.-

a) # " % T B B # B " B %a b a ba ba bb) # $3 # $3 T B B # $3 B # $3 B # #$ $a b a ba b c)

" % # " % ## $ $ # $ $ T B B B B a b

d) " "# # % &3 % &3 T B B % &3 B % &3 B a b a ba b

e) "$ " # # # #

T B B " B B # # B # #"$a b a b

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216

Autoevaluacin

1.- Si , prueba que 3 es una raz de deTB #B ""B "#B * TB$ #multiplicidad 2

2.- Determina el polinomio cuociente y el polinomio resto de las siguientesdivisiones:

a) %B &B $B # #B $$ #

b) ) ( )$B &+B + B '+ B #+ $B +B #+% $ # # $ % # #

3.- Aplica la Regla de Ruffini para realizar la siguiente division: a) ("!!!B " "!B "$

Solucin

1.- 3 es de multiplicidad 2 pues divide a B $ T B#

2.- a) GB #B VB B * "*# % %#

b)GB B #+B + VB + B %+# # $ %

3.- GB "!!B "!B " VB !#

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217

UNIDAD VIII

INDUCCION Y TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON

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218

V eo q u e le d ep a rau n g ra n fu tu ro co ne l teo rem a d eB in o m io

INDUCCIN MATEMTICA

Este mtodo de demostracin, es una de las herramientas ms empleadas en Matemtica.Este mtodo se basa en un razonamiento inductivo que consiste en generalizar a base de unascuantas observaciones y se utiliza especficamente para demostrar la validez de ciertasproposiciones para un subconjunto de nmeros naturales.

Definicin de Conjunto Inductivo:

Llamaremos al conjunto de todos los subconjuntos M de que verifica lasM condiciones siguientes:

3 1 M%33 8 8 " M ( ) M% %

Los elementos de se llaman M " conjuntos inductivos ".

Principio de Induccin Finita.

Teorema 1:

Se consideraran los siguientes pasos:

3 8 Se verifica la frmula propuesta o teorema para algn valor entero positivo de , por logeneral el menor.33 8 8 Se demuestra que si la frmula o teorema propuesto es vlido para , siendo unentero positivo, tambin es vlida para .8 "

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219

Resumiendo, se tiene:

Sea ( ) una propiedad de la variable " ", si se cumple:T 8 8

3 T ") ( ) verdadera 33 a 8 8 T 8 T 8 ") ( ) [ ( ) ( )]%

Entonces se verifica:

( ) ( ) Verdadera ]a 8 8 T 8%

Ejemplos:

1) Diremos que la suma de los primeros " " enteros impares positivos es , es decir,8 82demostraremos que:

T 8 8 " 8 a8 8( ) : 1 + 3 + 5 + 7 + ........ + (2 ) ; , .2 %

Solucin:

1) Probemos que la frmula es vlida para 18 (1) 1T 1 12 Luego, es vlida para 18

2) Supongamos vlida la proposicin para , es decir:8T 8 8 8( ) : 1 + 3 + . . . + (2 1) 2

Trataremos de demostrar ahora, si es verdadera la proposicin para 1, es decir:8 T 8 " 8 " 8 8 "( ): 1 + 3 + 5 + ... + (2 ) + ( 2 1) ( )2

En efecto:Sumando (2 ) a ambos lados de ( ), se tiene:8 " T 8

1 3 5 ...... (2 1) (2 ) (2 ) 8 8 " 8 8 "2

1 3 5 ....... (2 ) (2 ) 2 8 " 8 " 8 8 "2

1 3 5 ........ (2 ) (2 ) ( 1 ) 8 " 8 " 8 2

Por lo tanto, es vlido para ( )8 "

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220

2) Pruebe que 1 2 3 ......... ( ) 8 8 8 ""#

Solucin:

1) Vlida para 8 " ( ) , ya que se verifica:T " "

1 ( 1 1) 1"#

Luego, es vlido para 18

2) Supongamos que:

T 8 8 8 8 " "#( ) : 1 2 3 ........... ( ) es verdadero probemossi ( ) es verdadero.T 8 "Sumaremos ( ) a ambos lados y tendremos:8 "

1 2 3 ....... ( ) ( ) ( ) 8 8 " 8 8 " 8 ""#

1 2 3 .. ... ( ) 2 2

2 8 8 " 8 8 8

2

1 2 3 .. ... ( ) 3 22

8 8 " 8 8 2

1 2 3 .. ... ( ) ( 1 ) ( )

2 8 8 " 8 8 #

1 2 3 .. ... ( ) ( ) ( 2 ) 8 8 " 8 " 8 "#

Por lo tanto, es vlido para ( )8 "

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221

Definicin de Factorial:

Se le llama sucesin a la sucesin definida en forma recursiva de la siguientefactorial,manera: (0) 1+ (1) 1+ . . . ( ) ( ) , ( )+ 8 8 + 8 " a 8 %

es decir, la sucesin corresponde al producto de los enteros positivos desde 1factorialhasta inclusive. El nmero natural ( se denomina y se denota por8 + 8 " factorial de "8" ". Por lo tanto, se tiene que : !8

0! 1 1! 1 2! 2 1 2

8 8 8 " 8 # 8! ( ) ( ) ....... 3 2 1 , es decir, ! ( ) ! 8 8 "

Ejemplos:

1) Calcular cada una de los siguientes factoriales: 4! 5! 9! 12!

2) Calcular cada una de las siguientes operaciones y simplificarlas:

a) b) c) d) 7 ! 8 ! 9 ! 100 !6 ! 5 ! 3! 7 ! 98 !

Definicin de un Nmero Combinatorio.

Por nmero combinatorio entenderemos una expresin de la forma que se

85lee " sobre " con ; , y que verifica:8 5 5 8 8 5% % 0

! ! ( )!8 85 5 8 5Ejemplo: = = = 21

7 7 ! 7 6 5! 7 62 2 ! 5 ! 2 ! 5! 1 2

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222

Observacin: Es de importancia considerar que:

8 8 8 8 8 8 8 " 80 11 1Ahora, como conocemos los conceptos de factorial y combinacin, veamos el desarrollocompleto de un binomio.

Teorema del Binomio de Newton.

Si ; , entonces se tiene:8 + ,% %

( .......1 2 3

+ , + + , + , + , 8 8 8 8 8 8" 8# # 8$ $ + , ,85 " 8 5" 5" 5 ( ( )Expresin que se conoce con el nombre de " " el cualTeorema del Binomio de Newtonfrecuentemente se escribe como sigue:

( ) + , + ,85 8 85 5

5!

8" Ejemplos:

1) Desarrolle ( )+ , 9

Solucin:

Utilizando la forma general de binomio, se tiene:

( ) 9; 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.+ , + , 8 5 859

0

" 5

885 5

( ) 9 9 9 9 90 1 2 3 4

+ , + , + , + , + , + ,9 9 0 8 1 7 2 6 3 5 4

9 9 9 9 95 6 7 8 9

+ , + , + , + , + , 4 5 3 6 2 7 8 0 9

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223

( ) 9 9 8 9 8 7 9 8 7 61 2 1 2 3 1 2 3 4

+ , + + , + , + , + , 9 9 8 7 2 6 3 5 4

9 8 7 6 5 9 8 7 6 5 41 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

+ , + , 4 5 3 6

9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 21 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8

+ , +, , 2 7 8 9

( ) 9 36 84 126 126 84 + , + + , + , + , + , + , + , 9 9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 36 9 + , + , ,2 7 8 9

2) Desarrolle: ( 7 )+ 7

Solucin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 70 1 2 3

+ , + , + , + , + , 7 7 0 6 1 5 2 4 3 + , + , + , + , 7 7 7 74 5 6 7 ( ) + ( ) ( ) ( )3 4 2 5 6 o 7 = 7 21 35 35 21 7 b+ + , + , + , + , + , +, 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

3) Desarrolle: 2 2

C B 5Solucin:

2 (2 ) ( ) (2 ) ( ) (2 ) ( ) + 2 0 2 1 2 2 25 5 5 C C C C B B B B5 5 0 4 1 3 2 (2 ) ( ) + (2 ) ( ) + (2 ) ( )

5 5 5 3 2 4 2 5 2 C C C B B B2 3 1 4 0 5

2 32 40 20 5 2 4 32

5C C C B C B C B C B B B5

4 3 2 2 3 4&&

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224

Ahora veremos cmo determinar un trmino cualquiera sin necesidad de realizar eldesarrollo completo del binomio, gracias a la frmula siguiente que nos permite encontrarel trmino de lugar -simo de un binomio de Newton.X< 8

Trmino - simo en el desarrollo del binomio de Newton. 7 7 B B $B 752

44

( ) 15 6 3 4 5 25 5 ' '4

Determine el trmino independiente en el desarrollo de: B "## "#Solucin: El trmino independiente es aquel en el que no aparece la variable , es decir,BB ! est elevado a .

As para el binomio el trmino independiente est dado por: B "## "# B B #% #5 !! #%#5 #5 #% 5 "#

como , entonces existe trmino independiente.5

Luego: y se tiene:X X X X< 5" "#" "$

"# " ""# # #B B # "#"# "# ! "# " "#

"#

" "%!*'

"%!*'

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227


1) Pruebe que:

a) 1 + 2 + 3 + ............ + ( ) ( 2 1)

62 2 2 28 8 8 " 8

b) 1 + 2 + 3 + .............. + ( 1)14

3 3 3 3 2 28 8 8

c) 1 + 2 + 3 + .............. + ( 1)(2 1)(3 + 3 )

304 4 4 4

28 8 8 8 8 8 "

d) 1 + 5 + 5 + .............. + 5 (5 )14

2 8" 8 "

e) (2 + ) + (4 + ) +..........+ (2 + ) 2 1 14 2

" "# # "

8 8"8

8 f) es divisible por 2.8 82

g) [ ( 1 ) ] es divisible por 48 8 2

2) Desarrolle:

a) 2

+ , 2 5b)

3 B C4 6

c) 2 5

7 8 83) Determine el:

a) Cuarto trmino de 3

+ ,2 7b) Sptimo trmino de ( 3 )B C2 3 12

c) Trmino central de 2

: ;3 10

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228

d) Coeficiente que acompaa el trmino central en 4

7 83 8e) Trmino que contiene a en ( 2 )+ + ,2 6"#

f) Trmino que contiene a en (2 ): ; :% 2 10

Soluciones

2)

a) 32 16 4 2 2

5 5 5 5+ + , + , + , +, ,5 4 2 3 4 2 6 8

10

b) 2 + + + + 5 20 5 2 6

3 27 27 81 729B B C B C B C B C B C C24 20

16 2 12 3 8 4 4 5

c) 256 +1024 1792 1792 224 448

5 25 125 125 31257 7 8 7 8 7 8 7 8 78

7 5 3 4 4 3' #

112 16

15625 78125 390625 7 8 7 8 8

2 6 7 8

3)

a) b) 673596 35

81 B C+ ,

4 612 18

c) d) 63 35

8 128 : ;

15 5

e) 60 f) 11520 + , : ;2 2 4 8

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229

Autoevaluacin

" Demuestra por induccin matemtica que:

" & & & & ""%# 8" 8

# Aplica el binomio de Newton para expresar:

B #&

$ B B # Indica los valores de , de manera que el tercer sumando del desarrollo de % sea igual a 48.

% B # Determina el cuarto trmino en el desarrollo de #!

& B B C #BC % CDetermina, si existe, el trmino que contiene en el desarrollo de: #& #

"(

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230

Soluciones

1.- La expresin es cierta para pues 8 " " & ""% Supongamos que la frmula es cierta para con entero positivo, esto es:8 8

" & & & & ""%# 8" 8

Demostremos que:

+5 5" & & & & " "%# 8" 8 8" 8

" & " " "% % % % %& " & & & & " & "

8 8 8 8 8"

2.- B "!B %!B )!B )!B $#& % $ #

3.- #4.- *"#! B"(

5.- El trmino es el dcimo.

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UNIDAD IX

PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS

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Sucesin: Conjunto de nmeros llamados trminos, ordenados de una manera definida,es decir, existe una regla por la cual se pueden encontrar los trminos consecutivos unavez determinado el primero.

Definicin de Progresin Aritmtica

Llamaremos a una sucesin en que cada trmino despus delProgresin Aritmticaprimero se forma sumando un nmero fijo llamado " diferencia " . As si designamos por" " " "+ .1 al primer trmino de la progresin, por a la diferencia entre los trminos y" " 8 al nmero de trminos que la componen, tenemos:

, , , ( )+ + . + #. + $. + 8 " .1 1 1 1

A dicha expresin la denotaremos por ( ) + 8 8

Definicin: Sean y dos nmeros reales. Llamaremos . . de primer trmino " "+ . + T Ey diferencia " " a una sucesin ( ) de nmeros reales, definida por . + 8 8 recurrencia de la siguiente manera:

, si , si + + 8 "+ . 8 #8 8"

Trmino n-simo de una Progresin Aritmtica

" " se llama trmino simo o trmino de lugar " " de la progresin y est dado+ 8 88por: , + + 8 " .8 ( ) a 8 %

Suma de los " " primeros trminos de P. A.8

Si ( ) es una . tenemos que la suma de los primeros trminos est+ 8 T E 88 dada por:

( )W #+ 8 " .8#8

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Ejemplos:

1) Considere la progresin aritmtica determina:$ ( ""

a) El sexto trmino: ; ; + $ . % 8 ' + $ & % #$6

b) El 9 trmino: ; ; no + $ . % 8 * + $ ) % $&9

c) La suma de los 5 primeros trminos:

W # $ % % &&

d) La suma de los 8 primeros trminos:

W # $ ( % "$')#8

e) La suma de los 10 primeros trminos:

W # $ * % #"!"!#10

Definicin de Progresiones Geomtricas

Llamaremos a aquella sucesin en que cada trminoProgresin Geomtricadespus del primero se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo llamado"razn". As, si denotamos por " " al primer trmino, " " a la razn y " " al+ < 81nmero de trminos que la componen, tenemos:

+ + < + < +

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Trmino n-simo de una Progresin Geomtrica

" " se llama trmino simo o trmino de lugar " " de la Progresin+ 8 88Geomtrica y est dado por:

+ +

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1) Hallar el octavo trmino y la suma de los ocho primeros trminos de la progresin: , , , . . .% ) "'

2) Hallar el dieciseisavo trmino de la progresin 4, , , ...( "!

3) Hallar la suma de los 12 primeros, trminos de la progresin , , , . . .$ ) "$

4) Hallar el sptimo trmino y la suma de los siete primeros trminos de la progresin: , , . . .* ' %

5) Hallar el trmino 8 y la suma de los 10 primeros trminos de la progresin:@o , , , ' "# #%

6) Repartir $ entre personas de modo que cada persona reciba $ ms que la"!!! "' &anterior. Cunto reciben la primera y la ltima?

7) Cuatro personas se reparten cierta suma de dinero, de modo que cada persona reciba %veces lo que reciba la anterior. Si la tercera persona recibi $ , cul fue la suma$#!repartida?

Soluciones

1) + &"# W "!#!8 8

2) + %*16

3) W $''12

4) ; + W '% %'$)" )"7 7

5) ; + (') W #!%'8 10

6) $ y $ #& "!!

7) $ "(!!

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236

Autoevaluacin

1.- Determina la suma de los 30 primeros trminos de la P.A. 15, 13, 11, 9,...

2.- La suma de los 15 primeros trminos de una P.A. es 270. Determina el primertrmino y la diferencia si el dcimo quinto trmino es 39.

3.- Determina el valor de tal que cada sucesin sea progresin aritmtica::

: " : $ $: "

4.- Determina el dcimo trmino de la P.G.: ) % #

5.- El octavo trmino de una P.G. es 243 y el quinto es 9. Cules son los tresprimeros trminos de la P.G.?

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Solucin

1.- 420

2.- y + $ . $

3.- y la progresin es: : % $ ( ""

4.- "'%

5.- " "* $ "

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UNIDAD X

MATRICES Y DETERMINANTES

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Matrices y determinantes

Matriz

Definicin de Matriz:

Una matriz A de es un arreglo rectangular de 78 7 8 nmeros oelementos dispuestos en filas y columnas. En general:7 8

E

+ + + ++ + + + + + + +

+ + + +

"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 34 38

7" 7# 74 78

El smbolo , indica el elemento de la primera fila y la segunda columna. La+12matriz definida anteriormente, es una matriz de orden (se lee " por "), es78 7 8decir, tiene y como ya se sealo anteriormente y al producto filas columnas 7 878 se le llama de la matriz Muchas veces nos referimos a un elementodimensin en general de la matriz como indicando un elemento de la " " fila y la "+ 3 434 -sima -sima" columna de la matriz .

Podemos utilizar los corchetes para encerrar el arreglo o bin los simbolos o Algunos ejemplos particulares de matrices son :

, , 1 0-2 3

10 1 -1 2 42

E F G a b

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Ejemplos de matrices y sus dimensiones.

0 1 3] Matriz de orden 1 3, se le llama matriz fila vector fila.

Matriz de orden 4 1, se le llama matriz columna vector columna.

3 0 1-2

Observaciones: -Es importante notar que primero se da el nmero de filas y luego el nmero decolumnas. -Si es una matriz con (el nmero de filas es igual al nmero deE 7 8 7 8columnas) entonces se llama matriz cuadrada. En el caso que , entonces E 7 8diremos que la matriz es rectangular.

1 23 1 es una matriz de 2 2 ( se dice que la matriz es cuadrada ). 7 8 1 1 30 2 1 es una matriz de 2 3 ( se dice que la matriz es 7 8 rectangular ).

[ 4 ] es una matriz 1 1 y es llamada escalar.

! ! !! ! ! es una matriz nula o tambin llamada matriz cero de 2 3. ( tiene todos sus elementos iguales a cero) " ! !! " !! ! "

es la matriz identidad de orden 3.

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Igualdad de matrices.

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensin y sus elementoscorrespondientes son iguales.

Ejemplo1:

+ , - B C D. / 0 A ? >Luego : ; ; ; ; ; + B , C - D . A / ? 0 >

Ejemplo2:

" " $ !& ""# #!!!#!!! '#1 1Operacin con matrices

Adicin de matrices.

Si dos matrices y , tienen las mismas dimensiones, entonces su adicin,E Findicada por es la matriz resultante al efectuar la adicin de los coeficientesEFcorrespondientes en cada lugar.Por ejemplo, si

E F EF + , B C + B , C- . A D - A . D

Ya que la adicin de dos matrices es igual a la matriz formada por la suma de loselementos correspondientes, se infiere de las propiedades de los nmeros reales que laadicin de matrices de la misma dimensin es asociativa conmutativa y admite unneutro aditivo (matriz nula), es decir: Si , , y son matrices de la misma dimensin, entonces se verifica:E F G !

Propiedad Conmutativa.EF F E( ( ) Propiedad AsociativaEF G E F G

E ! ! E E ! matriz nula)

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Ejemplo para la Propiedad Conmutativa: % $ ( ) ( ) % $ "" && * " % " % & * ' "$ El negativo de una matriz , denotado por es una matriz cuyos elementosQ Qson los negativos de los elementos de Por lo tanto, siQ

Q Q + , + ,- . - . Obsrvese que [ ] 0 ( es la matriz cero ).Q Q

Sustracciones de matrices:

Si y son matrices de la misma dimensin, entonces se define la sustraccinE Fde la siguiente manera : EF E F

Por lo tanto, para restar la matriz de la matriz , simplemente se restan losF Ecoeficientes respectivos.

Ejemplo: 1 3 2 1 1 3 2 12 1 4 3 2 1 4 3

3 42 2 Multiplicacin (Ponderacin) de una matriz por un escalar:

El producto de un escalar y una matriz , denotado por , es una matrizO Q O Qcon elementos formados por la multiplicacin de cada elemento de por . EstaQ Odefinicin est en cierto modo motivada por el hecho de que por ejemplo si es unaQmatriz se deseara que sea igual a 2Q Q Q

Ejemplo:

3 2 0 1 6 0 33 1 2 9 3 6

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243

Multiplicacin de Matrices.

Producto punto.

El producto punto de una matriz fila 1 y una matriz columna 1 es el 8 8 nmero real dado por:

. . . ....

c d + + + , + , + , + ,,

,1 2 2

1

1 1 2 2 88

8 8

Producto de Matrices.

El producto de dos matrices y se define slo bajo la suposicin de que el nmeroE Fde columnas en de orden es igual al nmero de filas en de orden ,E 7 : F : 8entonces la matriz producto de y , denotada por , es una matriz de ordenE F E F7 8 3 4 cuyo elemento de la sima fila y de la sima columna es el producto puntode la fila sima de la matriz y de la columna sima de la matriz .3 E 4 F

Es importante verificar las dimensiones antes de comenzar el proceso de lamultiplicacin. Si una matriz tiene dimensin y la matriz tiene dimensinE + , F- . , - E F + ., entonces, solo si el producto existir y tendr dimensin .

Para comprender el mecanismo de la multiplicacin de matrices veremos unejemplo:

2 3 12 1 2

1 32 0

1 2E F

E F

c d [ 2 3 1 ]

1 32 2 3 1 0

1 2

[ 2 1 2 ] [ 2 1 2 ] 1 32 0

1 2

E F 9 4

2 2

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Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de

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