Algebra2 150317175223 Conversion Gate01

Índice

Capítulo 1 Expresiones algebraicas 4

Capítulo 2 Teoría de exponentes I 9

Capítulo 3 Teoría de exponentes II 14

Capítulo 4 Ecuaciones exponenciales 19

Capítulo 5 Valor numérico en polinomios 24

Capítulo 6 Teoría de grados 29

Capítulo 7 Polinomios especiales 34

Capítulo 8 Multiplicación algebraica 39

Capítulo 9 Repaso I 44

Unidad I

Capítulo 10 Productos notables I 49

Capítulo 11 Productos notables II 54

Capítulo 12 División algebraica I 59

Capítulo 13 División algebraica II 64

Capítulo 14 Factorización I 69

Capítulo 15 Factorización II 74

Capítulo 16 Fracciones algebraicas I 79

Capítulo 17 Repaso II 84

Unidad II

Álgebra

Capítulo 18 Fracciones algebraicas II 89

Capítulo 19 Radicación I 94

Capítulo 20 Radicación II 99

Capítulo 21 Radicación III 104

Capítulo 22 Teoría de ecuaciones 109

Capítulo 23 Ecuaciones de 1er grado I 114

Capítulo 24 Ecuaciones de 1er grado II 119

Capítulo 25 Repaso III 124

Unidad III

Capítulo 26 Sistemas de ecuaciones I 128

Capítulo 27 Sistemas de Ecuaciones II 134

Capítulo 28 Repaso IV 140

Capítulo 29 Sistemas de ecuaciones III 145

Capítulo 30 Desigualdades 150

Capítulo 31 Intervalos 155

Capítulo 32 Inecuaciones I 162

Capítulo 33 Inecuaciones II 167

Unidad IV

Capítulo

4

Colegios

TRILCE Central: 6198 – 100

1

Lectura: NotacióN matemática y aLgebraica

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la Matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14° del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t2, b2), multiplica 2 por 4(tb), suma los anteriores resultados (t2 + b2

+ tb) y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo: “Ves, es 56, lo has calculado correctamente”. En notación algebraica actual sería: V = h (t2 + b2 + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Así tenemos el volumen de una pirámide truncada:

Algunos polinomios, como: f(x) = x2 + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del Álgebra.

h=6

t=2

b=4

( )V h t bt b3

2 2= + +

En este capítulo aprenderemos

Expresiones algebraicas

. El término algebraico y sus componentes.

. Cómo identificar términos algebraicos semejantes.

. La reducción de términos algebraicos semejantes.

expresioNes aLgebraicas

Álgebra

5www.trilce.edu.pe Segundo año de secundaria

Síntesis teórica

Expresiones Algebraicas

Definición

Notación

Términos semejantes

Reducción de términos algebraicos semejantes

Término algebraico

Capítulo

6

Colegios


Saberes previos

1. Calcula en cada caso:

a) 4+9=

b) −8+3=

c) −10+6=

d) −9+(−4)=

2. Calcular en cada caso:

a) −4−5=

b) −9−11=

c) −9+5=

d) 7−10=

13. Calcular el valor de: −3+8−11+2


a) (−2)(4)=

b) (−5)(−3)=

c) (7)(−5)=

d) (8)(9)(−2)=

5. Calcular el valor de: −3(2−5)−8(5−3)

Aplica lo comprendido

1. Indicar las partes del siguiente término algebraico:

T(x)=−4x9

• Variable : _____________

• Exponente : _____________

• Coeficiente : _____________

• Parte literal : _____________

2. Indicar con un aspa (x), el término algebraico que no es semejante a los demás:

5x3 −8x3 4x2 9x3

4x2y3 5x2y3 9y3x2 5xy2

3. Reducir en cada caso:

a) 5x4+8x4=

b) 2m3−7m3=

c) −4ab−5ab=

d) 11x2y−5x2y=

4. Reducir: −2x2y+x2y−3x2y+5x2y

5. Reducir: 4x3−2x2−5x3+7x2

Álgebra


Aprende más

1. Siendo: A=5xy–4xy–2xyB=–xy+3xy–4xy

Hallar A–B

a) 0 b) 3xy c) xyd) –xy e) –3xy

2. Reducir:

P(x;y)=5x2–2xy+y2–4x2+xy+2y2–x2+3xy–5y2

a) 2xy–2y2 b) 2xy+y2 c) 2xy+2y2

d) 2xy–y2 e) –y2–2xy

3. Si: A=–xy+3xy–(4xy–2xy)B=2xy–[xy–2xy]

Hallar A–B

a) xy b) 2xy c) −3xyd) 4xy e) 5xy

4. De 14mn restar –mn

a) 13mn b) –15mn c) –13mnd) 15mn e) 12mn

5. Restar –2mnp de –mnp

a) –3mnp b) 3mnp c) 0d) –mnp e) mnp

6. Reducir: –2xyz–{3xyz–[4xyz–5xyz]}

a) 2xyz b) –2xyz c) –4xyzd) 4xyz e) –6xyz

7. Reducir:

3xy–{2xy–[–5xy–(12xy–5xy)]–3xy}

a) 8xy b) –8xy c) 3xyd) –3xy e) 0

8. Siendo

P(x)=–x2+x–1Q(x)=2x2–x+2Hallar P(x)+ Q(x)

a) x2–x+1 b) x2+1 c) x2–1d) x2–x–1 e) x2

9. Si P(x)=x3+3x2+2x+3Q(x)=–2x3–4x2–4x+2

Determine 2 P(x)+ Q(x)

a) x2+8 b) 2x2–8 c) 2x2+8d) x2 e) 2x2+6

10. Reducir la siguiente expresión:

E(x;y)= ( )x y x y2

16 20 2 3 5+ − +

a) 5x+5y b) 8x+10y c) 3x+2yd) 13x+15y e) 5x+2y

11. Sabiendo que P(x)=4x5 es semejante con

Q(x)=–5x2a–3, hallar a

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12. Si T(x;y)=3xayb–1; R(x;y)=5x4y5 son semejantes, hallar “a+b”

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

13. Si:2x2m+p+3x3n+p=px17; entonces “m+n+p” será:

a) 15 b) 9 c) 10d) 11 e) 26

14. Si los términos en variable "x", T1=mxa–b;

T2=nxb–c son semejantes; calcular: b

a c+

a) 1 b) 2 c) 23

d) 34 e)

21

15. Si la expresión:P(x)=(a+3)xb+2+2xa+3+(b+4)x6, se reduce a un solo término. Calcule su coeficiente.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

Capítulo

8

Colegios


1Practica en casa

1. Siendo: A=6xy–4xy–5xyB=–2xy+5xy–6xy

Hallar: A+B

2. Reducir:

P(x;y)=2x2+xy–2y2–x2–3xy+y2+xy–2x2+y2

3. Si: A=2mp–[mp–(3mp–mp)]B=–mp–(mp–4mp)

Hallar: A+B

4. De: (4x–7y+3) restar (–3x–7y+2)

5. Restar: (3m+4) de (5m+4)

6. Reducir:–{5mn–[4mn–(2mn–5mn)+4mn]–4mn}+mn

7. Reducir: P(x;y)=2x–y–[3x–(4x–2y)+3y]–x+2y

8. Siendo: P(x)=2x2+4x–2Q(x)=x2–4x+1

Hallar: P(x)+Q(x)

9. Si: F(x)=2x3+2x2–x+4Q(x)=x3+x2+2x+3

Hallar: F(x)–2Q(x)

1. Si x4y; 3xn+1ym son semejantes; ¿qué podemos afirmar de: (m+2)x5y3 ∧ nx5ym+2?a) Diferentesb) Igualesc) Semejantesd) Hay 2 correctase) Constantes

2. Sabiendo que “a” y “b” son números naturales

tales que: 3x8+m+x10=abx5–n, hallar la suma de: m+n+a+b, si: a!b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Al sumar x6+2x6+3x6+....+nx6 se obtuvo 55x6, indique: n2

a) 76 b) 81 c) 49d) 100 e) 196

10. Reducir la siguiente expresión:

E(x;y)= ( )x y x y5

18 30 4 2 5− − −

11. Sabiendo que Q(x)=3x12 es semejante con

R(x)=–5x2a–6, hallar: a

12. Si: M(x;y)=5xa+1yb+2; A(x;y)=7x7y7

son semejantes, hallar: a+b

13. Si: 3xm–1+4xp+1=qx5

Hallar: m+p+q

14. Si se cumple: (a–2)xb–1+(a+3)x4 ≡ 11xc+1

Hallar: ab–c

15. Si la expresión: P(x)=(a+6)xb+1+5xa+2+(b+3)x8

se reduce a un solo término, calcule su

coeficiente.

4. Jorge compró tres artículos distintos en $(4a+b). El primero le costo $a y el segundo $(2a–b). ¿Cuánto le costó el tercero?

a) $a b) 7a c) 3a–bd) 3a+2b e) a+2b

5. Sea: A(x)=x+3x+5x+7x+9xB(x)=2x+4x+6x+8x+10x

Reducir

S(x)=5A(x)–{2B(x)+(4A(x)–3B(x))}

a) 35x b) 45x c) 55xd) 65x e) 75x

Tú puedes


Capítulo


Teoría de exponentes I

. Exponente cero, natural, negativo.

. Teoremas de multiplicación y división de potencias.

. Potencia de potencia y exponentes sucesivos.

teoría de expoNeNtes i

2

Lectura: gauss es, siN duda, uNo de Los mejores matemáticos de todos Los tiempos.Cuenta una leyenda que cuando Gauss tenía solamente 7 años de edad y asistía a la escuela primaria, uno de sus maestros, para castigarlo porque no ponía atención a la clase, le pidió que sumara todos los números del 1 al 100. El maestro pensaba que el niño tardaría varias horas en resolver el problema pero, para su sorpresa, a los cinco minutos de haberle puesto el ejercicio, Gauss le entregó la solución. Sorprendido por la rapidez, el maestro pidió a Gauss que le explicara el procedimiento que había seguido.

En lugar de sumar todos los números, uno por uno, Gauss hizo lo siguiente: Acomodó en una fila todos los números del 1 al 100 y debajo de esa fila acomodó, en otra fila, todos los números del 100 al 1. Después sumó las dos filas.

100 99 98 3 2 1 1 2 3 ... 98 98 100

101 101 101 ... 101 101 101

Tenía entonces 100 veces el número 101, así que se dio cuenta que si multiplicaba 100 por 101 obtendría dos veces la suma de todos los números del 1 al 100, por tanto si quería obtener la suma de todos los números del 1 al 100 una sola vez, bastaría con dividir entre 2 el resultado de la multiplicación.

Así: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 =

o lo que es lo mismo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5,050

No se sabe si la leyenda es cierta o no pero en cualquier caso tratándose de Gauss es perfectamente posible.

Capítulo

10

Colegios


Síntesis teórica

Teoría de Exponentes I

Teoremas

Exponente Negativo

Exponente Cero

División

Potencia de potencia

Exponente Natural

Definiciones

Multiplicación

Exponentes iguales

Bases iguales

2

Álgebra


Saberes previos

Calcular las siguientes operaciones:1. –9–(–5)+(–11)–(–12)+5–(–7)

2. 3x+4(3x–4)+5x+4(–5x+4)

3. 45

43+

4. 25

34−

5. 25 2−


1. Efectuar: 40–20–(–4)0–5(–70)+320

2. Reducir: . . ...... . ..... ; 0

a a a aa a a a a

veces

veces

40

50

^

6 7 844 44

1 2 344 44

3. Reducir: ( )

( ) . ( )3

3 34 5

2 4 3 22

4. Calcular: (4–1+ 4–2)–1

5. Calcular: 9.3–1+16.2–1

Capítulo

12

Colegios


Aprende más

1. Reducir: ..... ( ) .33 3 3 3 3veces40

38 2# # # # − −1 2 34444 4444

a) 1 b) –3 c) 2d) 0 e) 1

2. Reducir: . . ( ). ( ) . ( ) ;

x x xx x x x 07 12 7 3

30 2 3 4 2!

a) x4 b) x c) x2

d) x6 e) x5

3. Efectuar: M=(b–3)5.(–b)8.(b2)3.(–b)7

a) b6 b) –b6 c) bd) b2 e) b5

4. Reducir: .36

6 182

2 3

a) 150 b) 160 c) 162d) 62 e) 40

5. Reducir: (( . ) . )

((( . ) . ) . )a b b

a b b a3 2 3 7

2 4 5 2

a) a18.b2 b) a2b3 c) abd) a.b5 e) a19.b

6. Reducir: ..

81 327 3x x

x x

2 3 2 4

3 2 12

+ +

+ +

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 18

7. Si: ;Maa

aa a 0

8

4

4

8 2

!=-

-

-

-e eo o

Calcular: M–1

a) a3 b) a4 c) a5

d) a6 e) a7

8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:

. ( )(( ) ) ;Nx x

x x 037 4

5 2 4!=

- -

- -

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

9. Si: A31

41

212 3 3

= + +- - -

` ` `j j j entonces el valor

de: A

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10. Reducir: .9 2 32 2500

+- --8 B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Descomposición de potencias

11. Reducir: m mm mm m

m m

3 1

5 3

++

+ +

+ +

a) m b) m2 c) m3

d) m4 e) m5

12. Reducir: n2

2 2n n

n n

2 1

4 3

−−

+ +

+ +

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

13. Si: aa=3, calcular: aaa 1+

a) 25 b) 27 c) 81d) 243 e) 39

Exponente negativo

14. Reducir: 5 25 2n n

n n

++

- -

a) 10 b) 10–n c) 10n

d) n10 e) 10n

15. Si: x–n=9; reducir: 81x2n+x–2n

a) 81/82 b) 1/82 c) 1/81d) 82/81 e) 82

2

Álgebra


Practica en casa

1. Reducir: 2 2 2 ... 2 ( 2) .230

veces35

5# # ## − −1 2 34444 4444

2. Reducir: ( ) ( ) ( )

. ( ) . ( ) ;x x x

x x x x 05 7 3 6

20 3 2 5 2!

3. Efectuar: R=(x–4)2.(–x)2.(–x2)4.(–x)3

4. Reducir: .45

15 753

4 2

5. Reducir: (( . ) . )

((( ) . ) . ) ;x y yxy x y xy 02 2 8

2 3 4!

6. Reducir: ..

343 749 7x x

x x

2 2 7

2 1 3

- +

- +

7. Si: ; 0Nxx

xx x

6

3

3

6 2

!=-

-

-

-e eo o

Calcular: N–1

8. Indicar el exponente de "x" luego de reducir:

. ( )

(( ) ) ;Mx x

x x 0( )6 2 2

4 2 3

3!=

- -

- -

9. Si: B51

31 2

2 2= + +

- -` `j j

entonces el valor de: B

10. Reducir: ( . )16 15 163 4 110 0 0+- - -

Descomposición de potencias

11. Reducir: x xx xx x

x x

3 1

5 3

++

+ +

+ +

12. Reducir: 3 33 3n n

n n

3 1

5 3

−−

+ +

+ +

13. Si: ,b b2b bb 1=

+

14. Reducir: 7 27 2a a

a a

++

- -

15. Si: x–n=8Reducir: 64x2n+x–2n

Tú puedes

1. Efectuar: . .32

49

278x 2x x

` ` `j j j

a) 32 b)

23 c) 1

d) 49 e)

94

2. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x x x x x( )2 3 3 2 3 3 32 2 2= − − −- - -

a) x9 b) –x9 c) –x6

d) x6 e) x3

3. Efectuar: ... ...A 2011 4 3 2 59 60

= - - -^``c h j j m

a) 0 b) 1 c) 30d) infinito e) absurdo

4. Determinar el valor de:

5 5 5 55 5 5 51

1

2 3

x x x 2 x 3

x x x x

+ + +

+ + ++ + +

- - -

a) 5 b) 25 c) 125d) 625 e) 3125

5. Efectuar: 551 5

55

/3 55

5

-^ h; E) 3

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,25d) 0,55 e) 0,5

Capítulo

14

Colegios



Teoría de exponentes II

. Exponente fraccionario.

. Teoremas de multiplicación y división de radicales.

. Raíz de raíz

teoría de expoNeNtes ii

3

Lectura: eL tabLero de ajedrez y Los graNos de trigo

El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, y posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.

Cuenta la leyenda sobre el inventor de este juego:El Brahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa Ben Dahir (recordemos que Ben Dahir significa “hijo de Dahir”), escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como entretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tan satisfecho con el juego, que juego quiso agradecer al joven otorgándole lo que este pidiera.

Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, el doble por la tercera, y así sucesivamente hasta llegar a la casilla número 64.

Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta de que la petición era imposible de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor?

Para calcularlo hemos usado las potencias, y hemos obtenido que tenía que darle 263, es decir 9223372036854780000 granos de trigo.

Si lo expresamos con notación científica sería redondeando 9.22 1018 granos de trigo.

1 2 4 8 16

Álgebra


Síntesis teórica

Teoría de Exponentes II

TeoremasDefiniciones

Multiplicación de radicales

División de radicales

Raíz de raíz

ExponenteFraccionario

Capítulo

16

Colegios


Saberes previos

1. Efectuar: . . ....x x x xveces20

1 2 344 44

2. Efectuar: 41

51+

3. Efectuar: 38

31+

4. Reducir: 5(m+3)+2(4–m)–3(m–1)

5. Simplificar:

a) 244 =

b) 10530 =

3



a) 81=

b) 1253 =


a) 361/2=

b) 271/3=


a) 82/3=

b) 1252/3=

4. Reducir la expresión: A x x x2 3 3 4 4= + +

5. Reducir la expresión: A 7 7 76 2 15 5 9 3# #=

Álgebra


Aprende más

1. Reducir: . . .... .x x xfactores

5 5 5

601 2 34444 4444

a) x5 b) x7 c) x9

d) x12 e) x24

2. Reducir: 2 2 2 22

a) 2 b) 4 c) 8

d) 2 e) 16

3. Reducir: M3 73 7x x

x xx=

++

- -

a) 10 b) 21 c) 3d) 7 e) 21x

4. Efectuar:

. . ( ) ; n n2 2 2 2Nnn nn nn4 3 10 7 2 ! H+ + -

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 128

5. Al efectuar: .a b16 64 ; se obtiene am.bn

Calcular: m+na) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Efectuar: .x x4 3 246 @

a) x4 b) x8 c) x16

d) x24 e) x32

7. Efectuar: . .x x x5 3 126 @

a) x15 b) x25 c) x30

d) x35 e) x24

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar:x x3

a) 1/2 b) 3/2 c) 5/4d) 3/4 e) 5/2

9. Efectuar: .A 2 3249=

a) 2 b) 2 c) 24

d) 23 e) 26

10. Efectuar: ..A

2 162 435

53=

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 16

11. Reducir: .. ; 0R

a bb a ab

bab

aba!=

a) 1 b) ba c) ab

d) a e) b

12. Efectuar: .

. ; 0a ba b a b 0n m

m nm n ! !

-

-+

a) 1 b) a/b c) abd) a e) b

13. Reducir: L1 31 3

1 61 6

x

xx

y

yy=

++ +

++

- -

a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) 1/2

14. Efectuar: ( ) . ;x x x 0>64 162162 2 420 3

16

c m8 B

a) 2 b) 1 c) xd) x2 e) 2x

15. Simplificar: 20 480 16n n

n nn2

++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Capítulo

18

Colegios


Practica en casa

1. Reducir: . . .... .a a afactores

3 3 3

901 2 34444 4444

2. Reducir: 2. .3 3 3 3

2

3. Reducir: L2 32 3a a

a aa=

++

- -

4. Efectuar: . ( ) .3 3 3nn nn nn2 1 2 4 3- - -

5. Al efectuar: .a b36 32432 ; se obtiene ax.by

Calcular: yx 2

6. Efectuar: ( . )x x25 53 45

7. Efectuar: ( . . )x x x4 44 32

8. Hallar el exponente de "x" luego de efectuar: x x34

9. Efectuar: .L 3 3103=

10. Efectuar: L2 93 164

4=

11. Reducir: .

. ; 0Lx y

y x xyyxy

xyx

2

2

!=

12. Efectuar: .

. ; 0 0a ba b a by x

x yx y

2

22 ! !

-

-+

13. Reducir: 1 21 2

1 51 5

a

aa

b

bb

++ +

++-

14. Calcular: 16 254 42 21 1

+- -- -- -

15. Reducir: M= 8 3264 16n n

n nn

2

++

Tú puedes

1. Reducir: ( ) ( ) ( )2 231 4 33 4 1 0− + − + − +-; E

a) 4 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

2. Calcular: E361 2 3

4 0 12 5 51 3 7

= + +- -

-

` j

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 20

3. Simplifique la expresión "S":

..S

2 3 33 2 3

x x

x x

1

2 1=

−++

+ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcule el valor de "M":

.M 8 184

500 1/

3

35

1 3

= − − −= G

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Halle el exponente final de "x" luego de reducir

la siguiente expresión: . . .x x x x2 7 435

a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 3

3


Capítulo


Ecuaciones exponenciales

. Los principios básicos para la resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita.

. A las ecuaciones exponenciales; y sus criterios básicos de reso-lución.

. Los criterios básicos para resolver ecuaciones exponenciales:

– Potencias de bases iguales. – Potencias de exponentes iguales. – Resolución por comparación (xx=44).

ecuacioNes expoNeNciaLes

4

Lectura: Vieta FraNcisco (1540 - 1603)

Matemático francés, nacido en Fontenay-le-Comte y fallecido en París.

La más espectacular de sus virtudes, fue su capacidad para descifrar

enigmas, llegando incluso a descifrar, las claves utilizadas por el rey

Felipe II de España. Tomó las matemáticas como pura diversión,

y sin embargo, llegó a elaborar un gran trabajo en Álgebra y

Trigonometría.

Fue el primero en utilizar letras para simbolizar incógnitas y

constantes en las ecuaciones algebraicas; de esta manera el libro

que escribió en 1591, Isagoge in artem analiticam se considera

como el primer libro de Álgebra con la notación actual. Por esta

razón se le llamo padre del Álgebra Moderna.

También fue aficionado a la Geometría, calculando el número “pi”

con una aproximación correcta de diez decimales.

Capítulo

20

Colegios


Síntesis teórica

Ecuacionesexponenciales

Ecuación Definición Criterios básicos de resolución

Teoría de exponentes

Ecuación de primer grado

Principios básicos de resolución

Potencias de bases iguales

Potencias de exponentes

iguales(exponente cero)

4

Álgebra


Saberes previos

Reducir las siguientes expresiones:

1. –5x+6x–7x+11x

2. –7(x+4)

Resolver las siguientes ecuaciones:

3. 3x–2=91

4. x3

4 1 5− =

5. 5x+8=3x+30


1. Resolver: 5x–2=25

2. Resolver: 72x–3=32x–3

3. Al resolver la ecuación 73–x=49x–1

Indicar el valor de: 3x+1

4. Resolver: 49x–2=343x–5

5. Resolver: 31 9

x x5 1=- +` j

Capítulo

22

Colegios


Aprende más

1. Resolver: 8x–2=4x+3

a) 6 b) 5 c) 12d) 10 e) 11

2. Resolver: 4x–1. 5=5x–1 . 4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver: 73x–2=492–x

a) 51 b) 6 c)

56

d) 65 e)

61

4. Resolver: 45x 2-

=425x 1+

a) –2 b) –3 c) –4d) 1 e) 2

5. Encontrar el valor de “x”, al resolver: 3 93x =6 @

a) 31 b)

43 c)

34

d) 2 e) 21

6. Determinar el valor de “x”, al resolver:

2 42 8x x7 1 2 3=

- +

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

7. Hallar “x”, si (4x+1)(8x–1)=16x+3

a) 10 b) 13 c) 14d) 15 e) 20

8. Encontrar el valor de “x”: 3 273 9x x5 1 3=

+ +

a) 1 b) 2 c) 21

d) 31 e)

41

9. Hallar “x” en: 5 1253 3x x2 1 5=

+ +

a) 2 b) 3 c) 51

d) 5 e) 1

10. Calcular el valor de “x” en: 3x+1+3x–1+3x=351

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Al resolver: 16 83 42 2x x= , se obtiene como

solución la fracción irreductible: ba ; indique

a+b.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12. Resolver: (3). (2x+3)=(192) . (3x–3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13. Encontrar el valor de "y", si: 1

b1

y–12( )= b

18y

a) 31 b)

32 c)

34

d) 35 e) 3

14. Resolver: 5 31255 25x x5 2=

- +

a) 10 b) 15 c) –15d) –10 e) –5

15. Hallar "x+3"; en: 9 332 125 x1

=- -- - -

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4

Álgebra


Practica en casa


2. Resolver: 9 936 216x x1 1=

- +

3. Hallar "x" en: 7 494 2x x2 1 2 1=

+ -

4. Calcular el valor de "x" en: 5x+1+5x+5x–1=3875

5. Al resolver: 81 2435 4x x3 3=

Se obtiene la fracción irreductible: nm

indique: m+n

6. Resolver: x x81 316 4x=

7. Resolver: 2 51238x

=

8. Resolver: 3 273 9x x5 1 3=

+ +

9. Resolver: 5 533

993

9x

=` j

10. Resolver: 9318 9

x 1

=- -- -

11. Si: 216 . 6x=6–5, hallar el valor de x

12. Si: 25 58 127 x1

=- -- - -

, hallar: x+1

13. Resolver: x x8 4 16x x 12=

-6 @

14. Si: a aa a a

n

n

3

2511

++ = . Determinar "n"

15. Si 2105a

a

1

2 24=

+

-, encontrar "a"

Tú puedes

1. Hallar "x", si 77 7

7 7x

x

3

12 57

++ =

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Resolver: xx=21 .

Indicar el producto de soluciones.

a) –2–1 b) –2–2 c) 2–2

d) 2–3 e) –2–3

3. Hallar "x"; si xxn=n

a) n b) 2 n c) nn

d) n–1 e) n–2

4. Hallar "x"; en: x 4x 1 3=-

a) 2 b) 4 c) 32d) 40 e) 54

5. Hallar "x" en: x39x

3/1 3=

a) 3–6 b) 3–2 c) 3–8

d) 3–3 e) 3–9

Capítulo

24

Colegios


5

Lectura: LegeNdre, adrieN-marie (1752-1833)

Matemático francés nacido el 18 de septiembre de 1752 en París y fallecido el

10 de enero de 1833 en la misma ciudad, a quien se deben gran parte de

los métodos de análisis matemático de las teorías físicas. Fue miembro del

Instituto y catedrático de Matemáticas en la Escuela militar de París, e

hizo grandes adelantos en varias ramas de la ciencia, pudiendo citarse su

teorema sobre la solución de los triángulos esféricos de lados pequeños,

sus descubrimientos sobre la teoría de números, su método de los

menores cuadrados, etc. Dejó asimismo muchas obras de mérito, como

son: Elementos de geometría; Ejercicios de cálculo integral; Tratado de las

funciones elípticas y de las integrales eulerianas; Teoría de los números;

Investigaciones sobre la figura de los planetas; etc.


Valor numérico en polinomios

. La notación polinómica; sus elementos y características.

. Las diferentes formas de hallar el valor numérico de un polino-mio (casos P(x); P(x+a); P(x−a); P(ax±b))

VaLor Numérico eN poLiNomios

Álgebra


Síntesis teórica

Valor Numérico en Polinomios

Notación polinomica

Estrategias para calcular el valor numérico de un polinomio de una, dos o más variables.

Capítulo

26

Colegios


Saberes previos

1. Completar:

Polinomio Variables Exponentes Coeficiente

M(x)=–4x3

T(x;y)=8x2y5

2. Efectuar: C=–5+7–3–10–8+23

3. Efectuar: A=(–2)2+(–1)3+(2)(–5)–(–1)2

4. Efectuar: 9.310−27.39

5. Sea: P=(x+5)(x+2)+x2–xyHallar el valor que toma "P", si: x=3 ∧ y=5


1. Si: P(x)=x2+5x+1Hallar: P(1)+P(−1)

2. Sea: P(x;y)=3xy–2xy2

Hallar: P(2;–2)

3. Sea: F(x−1)=4x+3Hallar: F(3)

4. Sea: M(x−5)=x2–3xHallar: M(1)

5. Sea: P(x)=25x10–125x9

Hallar: P(5)

5

Álgebra


Aprende más

1. Si: A=x2+2xy, hallar el V.N. de "A" cuando: x=5; y=–2

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

2. Si: P(x)=8x3+2x2–x+23

Calcular: P21` j

a) 21 b)

23 c)

25

d) 27 e) 4

3. Si: M(x;y)=(x+y)2–(x–y)2

Calcular: M(0;5)

a) 0 b) 1 c) 4d) 16 e) 25

4. Si: A(m;n)=m2+n3+3mnHallar: A(−2;−1)

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

5. Si "E" es el cuadrado de la diferencia de "x" y "4", hallar el V.N. de "E" cuando: x=–1

a) 0 b) 4 c) 25d) 36 e) 49

6. Si: A(x)=x2–60x+900, hallar: A(31)

a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

7. Si "B", es el cuadrado de la suma de "x" y el doble de "y", hallar el valor de "B" si: x=5; y=–10

a) 100 b) 220 c) 225d) 226 e) 625

8. Si: P(x)=27x5−81x4+xHallar: P(3)

a) 0 b) 1 c) 3d) 1000 e) 27000

9. Si: P(x)=2x99−64x94+x+1Hallar: P(2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Si: P(x−2)=4x+11Hallar: P(2)+P(0)

a) 44 b) 46 c) 48d) 50 e) 52

11. Si: Q(3x−1)=3−8xHallar: Q(2)−4.Q(−4)

a) –48 b) −49 c) −47d) −50 e) −52

12. Si: P(5x+3)=x2–4x+2Hallar: P(−2)+3.P(3)

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

13. Si: R=x2–482, hallar el V.N. para: x=50

a) 200 b) 198 c) 196d) 194 e) 192

14. Si: M=(x+y)(x–y)+y2; hallar el V.N. para: x=100; y=89

a) 1 b) 10 c) 100d) 1000 e) 10000

15. P(x–3)=2x2–5xHallar: P(2)+P(0)

a) 15 b) 25 c) 28d) 35 e) 38

Capítulo

28

Colegios


Practica en casa

1. Si: M(x;y)=3x2–xyHallar: M(1;3)

2. Si: P(x)=27x2+9xHallar: P

31` j

3. Si: P(x;y)=(x+y)2–(x–y)2

Hallar: P(–1;4)

4. Si: M(x;y)=x2–2xy+y2

Hallar: M(15;10)

5. Si: Q(x;y)=x2+2xy+y2

Hallar: Q(20;–10)

6. Si: A(x)=x2–40x+400Hallar: A(22)

7. Si "R" es el cuadrado de la suma de "x" e "y", hallar el valor de "R" cuando x=–5; y=8

8. P(x;y)=2xy+y2

Hallar: P(0;2)+P(0;5)

9. Si: F=x2–y2; hallar el V.N. de "F" para: x=38; y=22

10. Si: G=(x+2y)(x–2y)–x2

Hallar el V.N. cuando: x=100; y=–1

11. Si: M(x)=4x98–16x96+xHallar: M(2)

12. P(x)=(x+3)2+5xHallar: P(0)+P(1)+P(–2)

13. Si: M(x)=x3

Hallar: M(–1)+M(–2)+M(3)

14. Si: P(x–2)=3x+8Hallar: P(9)

15. Si: Q(x+3)=5x–7Hallar: Q(2)+Q(5)

Tú puedes

1. Cuál es el valor numérico de: (2–x–x2)1–x; para: x=–2a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2. Si: P(x)=3x99–729x94+x+1Calcular: P(3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Si: P(x;y;z)=x2+xy+xz+yzHallar: P(–3;3;–2)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. Si: P(x;y)=(3x+y)(9x2–3xy+y2)Hallar: P(2;–3)

a) 184 b) 185 c) 187d) 189 e) 200

5. Sabiendo que:

(a+b+2c)2+(a+b–2c)2=8(a+b)(c)

Calcular el valor de: Ec ba c 3=−−` j

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5


Capítulo

En este capítulo recordaremos

Teoría de grados

. Concepto de grado.

. Grado relativo para monomios y polinomios.

. Grados absoluto para monomios y polinomios.

teoría de grados

6

Lectura: eL triáNguLo de pascaL

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. También se le denomina como Triangolo di Tartaglia debido a que el matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia fue el primero en describirlo en un tratado de la primera mitad del siglo XVI.

En regiones como Uretra, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Kayam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.

Capítulo

30

Colegios


6Síntesis teórica

Grado

Concepto

Grado

Relativo

Grado

Absoluto

Para monomios y polinomios

Álgebra


Saberes previos

1. Dada la expresión: M(x;y)=6x5y7z3

Indicar:• Las variables• Los exponentes de las variables

2. Calcular la suma de coeficientes de:E(x)=x4+2x3+3x2+4x+5

3. De la expresión: P(x)=xa–2+xa–3+xa–1

Calcular el valor de "a", si el mayor exponente de "x" es 5.

4. Dada la expresión: A(x;y)=x9y5+x8y7+x6y6

Indicar:a) El mayor exponente de "x".b) El mayor exponente de "y".

5. Halla "x" en cada caso:a) x–3=11

b) x+2=7


4. Del polinomio: E(x;y)=x5y10+x7y8+x2y12

Calcular: G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

5. Del problema: A(x;y)=x7+y6+1Hallar: G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

1. Si: H(x;y)=5x8y7z10

Calcular: G.R(x)=

G.R(y)=

G.A.=

2. Si el grado relativo de: M(x)=3xa–2 es 5Calcular: "a"

3. Si el exponente de la variable es un número entero positivo en: R(x)=8x12/a

Calcular la suma de los posibles valores que puede asumir "a".

Capítulo

32

Colegios


6Aprende más

1. Del monomio: H(x;y)=3x8y6

Calcular: G.R(x)–G.R(y)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Calcular: "a+b", si G.R(x)=3 ∧ G.R(y)=5, en: P(x;y)=2a.xa–7.yb+7

a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7

3. Si el G.R(x)=2, calcular el grado absoluto del monomio: R(x;y)=–7xm–3 . y10+m

a) 17 b) 12 c) 19d) 15 e) 13

4. Si los monomios:A(x;y)=5xm . y2m–1

B(x;y)=–6x5m . ym–13

Poseen igual grado absoluto, calcular "m".

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

5. Calcular el coeficiente de: M(x;y)=(2a+3b)x3a–2 . y2b–3

si: G.R(x)=13 ∧ G.R(y)=5

a) 18 b) 16 c) 24d) 20 e) 22

6. De: H(x;y)=8(x2m+3)3.(y3n–5)2

Se sabe que el grado absoluto es 47, calcular "m+n"

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

7. Del polinomio: P(x;y)=3x7y6+4x5y10+2x6y8

Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A

a) 32 b) 36 c) 30d) 28 e) 26

8. En el polinomio: F(x;y)=xa+5.y5+x7.yb+2

G.R(x)=10 ∧ G.R(y)=8Calcular: "a.b"

a) 35 b) 36 c) 20d) 30 e) 31

9. Calcular el valor de "a", en: H(x)=xa+2+xa+1+xa+3+xa

si: G.R(x)=21–2a

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

10. Calcular el valor de "m", en:R(x)=xm–5+xm–3+xm–7+x10

si el grado absoluto es 13

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

11. Calcular m+n en el polinomio:A(x;y)=xm–2yn+3+xm+1yn–3+xm–3yn+5

si el grado absoluto de "A" es 15, además: m>3 ∧ n>3

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

12. Del polinomio: H(x)=xa/3+xa–1+x17–a

Calcular la suma de los posibles valores de "a".

a) 40 b) 39 c) 45d) 63 e) 31

13. Del polinomio:N(x)=xa–3+xa/2+xa/3+x31–a

Calcular la suma de los posibles valores de "a"

a) 85 b) 87 c) 98d) 90 e) 76

14. Si la suma de coeficientes del polinomio:K(x)=(a+2)xa–3+(a+1)xa–2+(a+3)xa–1

es 21, calcular su grado absoluto.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

15. Del polinomio: P(x;y)=3 . 7 .x y x ya b35 5 2 3 112 2+- -

se sabe que: G.R(x)=a2+3 ∧ G.R(y)=b2+7identificar un valor de "a+b"

a) 8 b) –3 c) –1d) 2 e) 5

Álgebra


Practica en casa

1. Del monomio: E(x;y;z)=5x7y8z3

Calcular: 2(G.R(x))+3(G.R(y))–5(G.R(z))

2. Si el G.R(y)=8, calcular el grado absoluto del monomio: H(x;y)=12x3m–2ym+3

3. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=5 en: M(x;y)=–10xa+3.yb–8

calcular: "a+b"

4. Si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=4en: E(x;y)=(3a–2b)x5a+2.yb–5

calcular el coeficiente.

5. Calcular el coeficiente de:S(x;y)=(3a–2b)x5a–3.y4b–1

si: G.R(x)=12 ∧ G.R(y)=15

6. De: A(x;y)=(x4m–2)3.(y2n–1)6

se sabe que el grado absoluto es 48, calcular "m+n"

7. Del polinomio: H(x;y)=5x9y5+3x6y11+4x8yCalcular: G.A.+G.R(x)–G.R(y)

8. Del polinomio: E(x;y)=xm+7y8+x3yn+4

se sabe que: G.R(x)=16 ∧ G.R(y)=14calcular el valor de "m+n"

9. Calcular el valor de "a", en:P(x)=xa+5+xa+7+xa+2+xa+1

si: G.R(x)=35–3a

10. Calcular el valor de "m", en:A(x)=xm–4+3xm–6+xm–2+x13

si su grado absoluto es 18.

11. Del polinomio: H(x;y)=xm–5yn+4+xm+3yn–6+xm–2yn+5

se sabe que el G.A(H)=16Calcular: "m+n"

12. Calcular la suma de los posibles valores de "a", en el polinomio: P(x)=xa/5+xa–3+x32–a

13. Del polinomio: E(x)=x43–a+xa–1+xa/2+xa/5

Calcular la suma de posibles valores de "a".

14. Si la suma de coeficientes del polinomio:R(x)=(a+5)xa–4+(a–3)xa–3+(a+1)xa–1

es 27, calcular su grado absoluto.

15. Del polinomio: M(x;y)= . .x y x ya b9 7 4 2 12 2++ +

se sabe que: G.R(x)=2a2+5 ∧ G.R(y)=b2+10Calcular el mínimo valor de "a+b"

Tú puedes

1. En el monomio: E(x;y;z)=2012.xm.yn.zp

la suma de sus grados relativos tomados de 2 en 2 es 9, 10, 11 respectivamente, calcular el valor de: m np n +- ; además GR(y)<GR(x)<GR(z)

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 7

2. Calcular: m.n, si G.A(p)=11, en: P(x;y)=6xn+3ym–2+xn+2ym–3, si además: G.R(x)–G.R(y)=5

a) 25 b) 30 c) 21d) 24 e) 16

3. Si el grado del monomio: P(x;y;z)=..

w zx yb a a b

a b a b

- +

- +

es 16. Hallar el grado de: S(x;y;z;w)=..

w zx yb a

a b

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Si el monomio: P(x)= .x

x xn

n n

14

2 373

+

-

es de grado 2. Calcular el valor de "n".

a) 8 b) 5 c) 10d) 2 e) 7

5. Calcule la suma de posibles valores de "n", en:

H(x)=2 3 4x x xn3

n 22

19 n

+ +- -

si es un polinomio.

a) 27 b) 30 c) 31d) 33 e) 35

Capítulo

34

Colegios


7


Polinomios especiales

. Polinomio homogéneo.

. Polinomio completo (propiedad).

. Polinomio ordenado.

. Polinomios idénticos.

. Polinomio idénticamente nulo.

poLiNomios especiaLes

Lectura: eL objetiVo deL áLgebra

"En el mundo laboral nos encontramos diariamente

con problemas referentes al cálculo de cantidades e

incógnitas, lo cuál exige de operadores competentes y

eficaces para resolver dichas dificultades de un modo

optimo".

FUENTE: http://google.com.pe

Álgebra


Síntesis teórica

Polinomios Especiales

Polinomio Homogéneo

Polinomio Completo

Polinomio Ordenado

Polinomios Idénticos

Polinomio Idénticamente Nulo

Capítulo

36

Colegios


Saberes previos

1. En: P(x;y;z)=35x4y6z3

Determinar:

• G.R(x)= ______________________________

• G.R(y)= ______________________________

• G.R(z)= ______________________________

2. En Q(x;y)=x5y4+2x4y7–3x2y8

Determinar:

• G.R(x)= ______________________________

• G.R(y)= ______________________________

• G.A(Q)= ______________________________

3. Dado el monomio: P(x;y)=63x7y9

Calcular: G.R(x)+G.R(y)+G.A(P)

4. Dado el polinomio: S(x;y)=7x4y2–3x3y5–y9

Determinar: G.R(x)+2G.R(y)–G.A(S)

5. Hallar el valor de "x" en:a) x+3=15

b) x–4=10

c) 3x–5=2x+1

d) 4x–1=2x+7


1. Hallar: "a–1"; si el polinomio: P(x;y)=5xa+3y7–x6y8 es homogéneo.

2. Dado el polinomio completo: Q(x)=x4–2x2+5xb+3x+7

Hallar el valor de "b"

3. Dado el polinomio completo y ordenado en forma decreciente: P(x)=xa+1+xb–2+xc–3+5Calcular: "a+b+c"

4. Si: (a–3)x+16 ≡ 5x+2bHallar: "a.b"

5. Si: (m–5)x2+(n+1)x+(P-2)≡0Hallar: "m+n+p"

7

Álgebra


Aprende más

1. Calcular "a"; si el siguiente polinomio: Q(x;y)=x3+ay2–5x4y7 es homogéneo

a) 6 b) 3 c) 5d) 7 e) 11

2. Calcular: "a+b"; si el polinomio:M(x;y)=3x4ya–5xby5+2x2y8 es homogéneo.

a) 10 b) 9 c) 8d) 12 e) 11

3. Calcular: m+n2, si el siguiente polinomio:P(x;y)=xm–1y4+7xm+1yn–x9y5 es homogéneo.

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

4. Dado el polinomio: N(x;y)=2nx3ym+2–3xn–3y4

tiene como grado de homogeneidad a 15; calcular "m.n".

a) 140 b) 150 c) 160d) 180 e) 190

5. Sea el polinomio completo: P(x)=x4+x2–3xa+1+xHallar: a2

a) 4 b) 16 c) 9d) 25 e) 1

6. Calcular: a2+b2; si el siguiente polinomio:P(x)=x5–6x2+3xa+x4–5xa+b–7(b>a) es completo

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

7. Dado el trinomio ordenado: P(x)=x4+xa+2; (a Z! + )Calcular la suma de los posibles valores de "a".

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. Si el polinomio: P(x)=18xa+xb+2x2–xc+5es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: "a+b+c"

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

9. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x)=2a+xn–1+3xm–2+xp–3+5xa

Hallar: m+n–p+a

a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 8

10. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado:P(x)=x2013+xa+...+xn+x5+...+2na–2010

a) 64 b) 32 c) 16d) 18 e) 72

11. Dada la identidad: (a–1)x2+(b–2)x+12 ≡ 3x2+x+3cCalcular: a+b+c

a) 12 b) 3 c) 11d) 9 e) 6

12. Calcular: "m.n"Si: (m+n–3)x+m–n ≡ 8x+7

a) 5 b) 16 c) 20d) 18 e) 22

13. Si: (a–8)x2+(b–5)x+(c+3) ≡ 0

Hallar: a b c5

+ +

a) 2 b) 5 c) 1/2d) 10 e) 1

14. Dado el polinomio: P(x)=(a–9)x2+(b–6)x+(3c–15)es idénticamente nulo, hallar: a b c2+ +

a) 5 b) 3 c) 2d) 6 e) 7

15. Dado la identidad:(a2–8)x2+(b+2)x+16 ≡ x2+5x+c2

Hallar el máximo valor de: a+b+c; (c<0)

a) 10 b) –4 c) 6d) 2 e) 5

Capítulo

38

Colegios


Practica en casa

1. Calcular "a" si el siguiente polinomio:Q(x;y)=x5y8–3x4+ay3 es homogéneo

2. Calcular: m–n; si el siguiente polinomio:P(x;y)=57xmy5–3x6yn–7x3y9 es homogéneo.

3. Dado el polinomio homogéneo:P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8

Hallar: "a.b"

4. Dado el polinomio: N(x;y)=2x4ym+3–4xn–4y5

tiene como grado de homogeneidad a 16, hallar "n–m"

5. Si el polinomio: P(x;y)=xa–2bya+b–5xbya+2b+7xa–by8

es un polinomio homogéneo, el valor de:E=(a+b)ab es:

6. Sea el polinomio completo: A(x)=4x6+x5+xm+x+x2+3+x4

Hallar: "5–m"

7. Calcular: m2+n2; si el siguiente polinomio:S(x)=x4+7x2–xm+xm+n+4; (n>m) es completo

8. Dado el trinomio ordenado: P(x)=5+2xm+x5

Calcular la suma de los posibles valores de "m".

9. Si el polinomio: Q(x)=2013xm+xn+3x2–5xp+7es completo y ordenado en forma decreciente, hallar: m+2n–p

10. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x)=3a+xn–1+xm–2–4xp–3+xa

Hallar: m+n+p–a

11. Hallar el término independiente del siguiente polinomio completo y ordenado.P(x)=x215+xa+...+xn+x4+...+3na–212

12. Calcular "m.n"Si: 3ax+12 ≡ 24x+4b

13. Dada la identidad: (a+1)x2+(b–1)x+3 ≡ 4x2+5x+cHallar: a+b+c

14. Si: (a–3)x4+(b+2)x2+(5–c) ≡ 0

Hallar: a b c3

+ +

15. Dada la identidad:(a2–2)x2+(b–3)x+c2 ≡ 2x2+4x+25; a>0Hallar el mínimo valor de a+b+c

Tú puedes

1. Si el polinomio:P(x;y)=5ax2bya+2+10bx2ay4b

es un polinomio homogéneo, calcular P(1;1)

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

2. Si el polinomio:P(x;y)= 5 xm–2yn–1(x7+y2n–3)es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, determinar los valores de m y n respectivamente.

a) 2;6 b) 7;5 c) 6;8d) 5;8 e) 6;9

3. Si el polinomio: P(x;y)=axa+b+xa+2–x2a+3xa+xa–1

es completo y ordenado, hallar el valor de "b+1"

a) 12 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

4. Si los polinomios:P(x)=mx(1+x)+n(x+p)+x2

Q(x)=3x2+8x+12son idénticos , hallar: m+n+p

a) 5 b) 10 c) 13d) 14 e) 16

5. El polinomio:P(x)=x(ax2+bx+c)–2x(bx2+cx+d)+2d–1

es idénticamente nula, halla: abcdacd

a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

7


Capítulo


Multiplicación algebraica

. Multiplicar un monomio por otro monomio.

. Multiplicar un monomio por un polinomio.

. Multiplicar un polinomio por otro polinomio.

muLtipLicacióN aLgebraica

8

Lectura: aL-Khwarizmi, eL áLgebra y Los aLgoritmo

Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en 813.

al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico.

Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático.

La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra.

La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales.

La versión latina del tratado de al-Khwarizmi sobre álgebra fue responsable de gran parte del conocimiento matemático en la Europa medieval.

Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo.

Su trabajo con los algoritmos introdujo el método de cálculo con la utilización de la numeración arábiga y la notación decimal. Las matemáticas le deben a al-Khwarizmi la introducción del sistema de numeración actual y el álgebra.

Murió alrededor del año 835.

Capítulo

40

Colegios


Síntesis teórica

Multiplicación algebraica

Monomio por monomio

Monomio por polinomio

Polinomio por polinomio

8

Álgebra


Saberes previos

1. Efectuar:a) 4x3–7x3=

b) –8a6–4a6=

2. Efectuar:a) (–4)(5)=

b) (–8)(–4)=

3. Efectuar:a) x.x.x=

b) a4.a3.a6=

4. Indicar verdadero (V) o falso (F):

• 3.5=5.3 ..........................................( )

• x.y=y.x ...........................................( )

5. Calcular:a) 5×3×4=

b) (–4)(–2)(–5)=


1. Efectuar: (4x2)(5x)

2. Efectuar: (–4xy3)(–5x2y)

3. Efectuar: (–2x2)(2x+5)

4. Efectuar: (–4xy)(2x–3y)

5. Efectuar: (3x+5)(x–1)

Capítulo

42

Colegios


Aprende más

1. Efectuar: (3x2y3)(–5x4y)+14x6y4

a) x6y4 b) –x8y3 c) 29x2y

d) –x6y4 e) –x4y

2. Efectuar: x(x+6)–6(x–1)–x2

a) 6x b) 12x c) 2x2

d) 6 e) 12

3. Efectuar: (2x+1)(4x)–8x(x+1)

a) –4x b) 16x c) 4xd) 0 e) 12x

4. Efectuar: 3x.2x2.3x3.5x4

a) 13x10 b) 45x10 c) 90

d) 90x24 e) 90x10

5. Efectuar: (–8x2y4)(–2x3y)(–6x4y2)

a) 96x9y7 b) –96x9y7 c) 64x24y8

d) –96x24y8 e) –16x9y7

6. Efectuar: 3x(x–2)–(3x+2)x+8x

a) 6x b) 9x2 c) 1

d) 8x e) 0

7. Dados: A=3x(x–2)B=6x(x+1)

Hallar: A B+

a) 2x b) 3x c) 6

d) 3x2 e) x

8. Efectuar: (4x–6)(5x–8)–20x2+62x

a) 32x+48 b) 30x c) 48

d) 48x e) 30x

9. Si: A=3x(2x3–5x2)–x3(6x–16)

Hallar: A3

a) x b) x63 c) 63

d) x2 e) 2x

10. Efectuar: A=x(x2–2x+4)–(x3–2x2)Hallar: A2

a) 4x6+16 b) 16x4 c) 16x2

d) 0 e) 4

11. Efectuar: (x–5)(x2+2)–x3+5x(x+2)–10(x–1)

a) 2x3 b) 10x2 c) 2x

d) 10 e) –2x

12. Efectuar: (x2+2y)(3y–5x2)+6y(x2–y)+x2y

a) 5x2 b) 3x2y c) 9x2y–21x4y4

d) –5x4 e) 6x4y

13. Efectuar: (x2+x–1)(x2+x–2)–(x2+x+1)(x2+x+2)

a) –6(x2+x) b) 2 c) –6x2

d) 5x e) 0

14. Dados: ( ) ( ) ( )A a a a a6 9 4 22= + + − + +

( ) ( )B a a a a8 16 1 72= + + − + +Hallar: A–B

a) 2 b) 1 c) –2d) –1 e) 0

15. Si: x2+y2=2Hallar: ( ) ( ) ( )x y x y x y x2 3+ + − −

a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 0

8

Álgebra


Practica en casa

1. Efectuar: (2a2b)(–3a2b4)+5a4b5

2. Efectuar: x(x2+5)–5(x–2)–x3

3. Efectuar: 4x(2x+1)–8x(x–1)–11x

4. Efectuar: 4a.5a2.3a3.7a4

5. Efectuar: (–5a2b4)(–2a3b)(6a4b2)

6. Efectuar: 4x(x–5)–(3x–2)x–x2

7. Si: A=5.(x2–3)B=3.(5+3x2)

Hallar: A B x2 2+ +

8. Efectuar: (5x–3)(3x–4)–15x2+29x

9. Si: A=6x(2x2+x3)–x3(6x–4)

Hallar: A43

10. Efectuar: M= . ( – ) –x

x x x x x12

2 2+ +

11. Efectuar: (a+1)(a–1)(a2+1)+1

12. Efectuar: (a+1)(a2–a+1)+(a–1)(a2+a+1)

13. Efectuar: (x10+x7–1)(x7+x10–2)–(x10+x7+1)(x10+x7+2)

14. Si: ( ) ( )A a a a a6 9 5 12= + + − + +

( ) ( )B a a a a8 16 1 72= + + − + +Hallar: A–B

15. Si: a2+b4=2

Hallar: ( ) ( ) ( )a b a b a b a2 32 2 2+ + − −

Tú puedes

1. Dada la expresión: P(x;y)=( )n x y n3 2 1-

cuyo grado es igual a 15. Halle el valor de su coeficiente.

a) 4 b) 6 c) 8d) 16 e) 20

2. Dado el polinomio cúbico: P(x)=4xn.(3x3–2x+n)Halle el grado de: Q(x)=xn+m+4.(x3–m)

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

3. Halle el grado de siguiente polinomio:R(x)=(x+2)(x–2)(x4+4x2+16)

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

4. Dada la identidad:(5x+3)(2x–2)(x5+3x–5) ≡ axm+...+bx+6k; m N! ∧ m>6Hallar el valor de: a+m+k

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

5. Halle el grado de: P(x)=(x8+4)(x3+2)(x–1)+5x(x4–3)(x2+x+5)+3x5(x–300)

a) 10 b) 12 c) 20d) 25 e) 27

Capítulo

44

Colegios



Repaso I

. Expresiones algebraicas; agregando además el concepto de gra-do para polinomios en una variable.

. Teoría de exponentes.

. Ecuaciones exponenciales.

. Notación P(x)−Valor numérico

Lectura: Los desceNdieNtes de carLomagNo

Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismo Carlomagno. Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos:

“Usted tiene dos padres, y cada uno de estos, otros dos de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendentes que contamos son 14, y si nos remontamos 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es:

2+22+23+24+ ... +238+239+240=22 199023, 255550

Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “Poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero sigió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna.

FUENTE: http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com

repaso i

9

Álgebra


Saberes previos

1. Reducir: A=7ab4–5a4b+9a4b–18ab4

2. Efectuar: B41 5 81 /1 0 1 4= + −-

` j

3. Reducir: ( . )( . )Ca ba b3 2

2 3 3=

4. Sea: P(x)=4x3–5x2+4Calcular: P(–1)

5. Resolver: 73x–2=492–x


1. Reducir: P(x)=4x5+x8–9x5+4x8

2. Reducir: (–x)4.(–x)3.(–x)5

3. Hallar "x"; si: 43x–1=0,25

4. Calcular: .

.Q3 15

9 5x x

x x

1 1

1=

- +

-

5. Hallar el grado de Qsi: Q(x;y;z)=4x4.y5.z4.y3.z2.x

6. Hallar el grado de PSi: P(x;y)=x4y3+5x2y3–7x3y2z4

7. Dado el polinomio homogéneo:P(x;y)=4x2ya+5x4yb–ax3y8 ; hallar: "a.b"

8. Sea: P(x)=4x3+2xa+3xb+70un polinomio completo y ordenado, hallar a2+b2

9. Halle: Q(5)

si: Q(2x+1)=4x+3

10. Resolver: 2 8x x23 2=- -

Capítulo

46

Colegios


Aprende más

1. Completar el siguiente cuadro:

Coeficiente Variables Exponentes

x y23 4 2

xy z57 3 4

x y5 34 2+

2. Reducir:A=x2y3–7xy+x2y3–3xy+8xy–2x2y3

a) xy b) –xy c) 2xyd) –2xy e) 0

3. Dado los términos semejantes: 5xa–by5; 31x4ya+b

Calcular: a2–b2

a) 0 b) 1 c) 10d) 15 e) 20

4. Dado el polinomio:P(x;y)=4x3yn+5–3xm+1y5–2x8y6

Halle el valor de "m.n"; si P(x;y) es un polinomio homogéneo.a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 52

5. Efectuar: A=70+40–(–3)0+231 0−` j –3 50

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6. Efectuar: . . .... ( 5) .25B 5 5 5 5veces60

58= − −1 2 344 44

a) –2.(5)60 b) –1 c) 1d) 0 e) 2.(5)60

7. Efectuar: ( ) .. . .C3 3

3 3 3 39 8 38

19 21 33 37=

a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 27

8. Efectuar: ;Da b

a b aab 0

7 3 4

2 3 5

!=^

^`h

h j

a) a7b b) ab3 c) a7b3

d) ab e) 1

9. Reducir: A 5 3 3 102 1 72

21 2 02

= − + − −` ^j h

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) –3

10. Efectuar: ( ) .

( ) ( ) ( )M3 5

15 45 812 9 3

6 4 2

2

0

=

a) 1 b) 5 c) 3d) 9 e) 25


a) 1 b) 4 c) 12d) 16 e) 32

12. Resolver: 31 9

x x5 1=- +` j

a) 1 b) 6 c) 7d) –5 e) –7

13. Resolver: 4 425 5x x1 2=

+ -

a) –4 b) –3 c) –2d) 1 e) 2

14. Hallar "x" en: 125 53 3x x5 2 1=

+ +

a) 1/5 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

15. Calcular el valor de "x" en:5x+5x+1+5x–1=3875

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

16. Hallar "x" en: 4x–2=5x–2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

17. Sea: P(x)=x2–16x+64Hallar: P(10)

a) 4 b) 8 c) 16d) 64 e) 128

18. Sea: M(x+3)=2x2+7x–25Hallar: M(5)+M(4)

a) –20 b) –10 c) 20d) 10 e) –19

19. Sea: P(x)=x2+1 Q(x)=5–3xHallar: PP Q Q(2) (1)+^ ^h h

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

20. Sea: ;;

P x si xx si x

5 02 3 0

(x) <2

H=

+

−)

Calcular: P(–3)+P(1)+ ( 2)PP^ ha) –1 b) –4 c) –5d) 4 e) 5

9

Álgebra


Practica en casa

1. Completar el siguiente cuadro:

Coeficiente Variables Exponentes

x y5 3 5

xy z32 3 4−

–7x6y3

2. Reducir:A=–5x7y2+3x3y5+2x7y2–9x3y5+x7y2

3. Dado los términos semejantes:

7xb+8ya–7; 52 x7y9

Calcular: a2.b2

4. Dado el polinomio:

Q(x;y)=8x4yn+1–2xm+2y4–13x9y5

Halle el valor de m.n; si Q(x;y) es un polinomio homogéneo.

5. Reducir: A 531 5 2 72 0 0 20= − + − + +^ `h j

6. Efectuar: 3.3.3...3 ( ) .B 3 81veces102

98= −S

7. Efectuar: ( ) . ( )

. . . ....C3 3

3 3 3 3 39 5 2 5

2 3 4 10=

8. Reducir: ( ) ;Dx y

x y y xy 010 13 2

3 2 5 3 2

!=^^

hh

9. Efectuar: ( ) ( )M 2 5 2 53 1 3 4 20 7 0= − + − −

10. Efectuar: ( ) . ( ). ( ) . ( )N3 2

6 24 322 5 6 6

7 5 3=

11. Resolver: 25x–2=125x–4

12. Resolver: 71 x3-` j =49x+5

13. Resolver: 3 34 2x x1 2=

+ -

14. Hallar "x" en: ( )49 72 2x x2 1 5=

+ +

15. Calcular "x"en: 3x–1+3x+3x+1=117

16. Hallar "x" en: 73x–1=93x–1

17. Sea: M(x)=x2–24x+144Hallar: M(15)

18. P(x)=x2+40x+400Hallar: P(–18)

19. P(x)=x2–5R(x)=3x+7Hallar: P(5)–R(7)+ ( 2)RP^ h

20. Si: ;;

S x si xx si x3 2 0

10 0(x)

<2

H= +

+)

Hallar: S(–3)+S(–4)+ SS ( 2)^ h

Capítulo

48

Colegios


Tú puedes

1. Calcular el valor numérico de:

( ) ( )F x x y x y xy34

45

5(x; y) = + +− −

Para: x=41 ; y=

32

a) 60443 b)

30331 c)

37143

d) 31141 e)

720101

2. De: 34

25

47ab bc a b2 2 2 2+−` j

Restar: bc a b ab52

29

432 2 2 2− −` j

a) ab2+41 a2b2–

101 bc2

b) 1225 ab2+

425 a2b2–

1029 bc2

c) ab2+413 a2b2–

1019 bc2

d) 1225 ab2+

425 a2b2+

1029 bc2

e) ab2+425 a2b2

3. El valor simplificado de: Mx y

x yn n

n n n1

=++- -

e o

tal que xy!0, es:

a) x–1y b) xy–1 c) xy

d) (xy)–1 e) x/y

4. Simplificar: ( )

.P81 3

3 9 27n

n n n

3

1 1 2 2= +

-

+ - -

a) 9 b) 3 c) 28/3

d) 1/3 e) 5

5. Simplificar: . . . ......." ". . . ......." "Q

y y y y n factoresy y y y n factores2 4 6 8

3 5 7

= ;

y!0

a) y b) y–1 c) y–2

d) y–3 e) y–n

9


Capítulo


Productos notables I

. Desarrollo de un binomio al cuadrado.

. Identidades de Legendre.

. Producto de binomios conjugados (diferencia de cuadrados).

productos NotabLes i

1 0

Lectura: La muLtipLicacióN aLgebraica y La geometría

b bx ab

x x2 ax

x a

(x+a) (x+b) =

x2 + (a+b) x + abIlustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

Capítulo

50

Colegios


Síntesis teórica

Productos Notables I

Binomio al cuadrado

Identidades de Legendre

Diferencia de cuadrados

1 0

Álgebra


Saberes previos

1. Reducir:

• 4x–7x+8x–2x=

• –2y3+6y3+8y3–12y3=

• 12x2–8x2–9x2+x2=

2. Completar:

• x4.x7.x2=

• (2x2)(–3x3)=

• (–4a)(–2a2)(–8a4)=

3. Efectuar:• 3(2x2–5y2)–6(3x2–2y2)=

• –4(m3–3n2)+5(–2n2+7m3)+n2=

4. Siendo a y b dos números cualesquiera, exprese literalmente las siguientes operaciones:

• El cuadrado de la suma de dos números disminuido en su producto.

• La suma de cuadrados de dos números.

• El cuadrado de la diferencia de dos números aumentado en su producto.

5. Efectuar:• (3x2)2=

• (2m3)3=

• (–4x5)2=

Capítulo

52

Colegios



1. Efectuar:a) (x+3)2=

b) (m–4)2=

2. Efectuar: (2x+5)2

3. Efectuar: (3x–4)2

4. Efectuar: a) (x+8)(x–8)=

b) (3x–5)(3x+5)=

5. Efectuar:a) (x+2)2+(x–2)2=

b) (y+3)2–(y–3)2=

Aprende más

1. Reducir: (x+5)2+(x+3)2–2x2–34

a) 16x b) 6x c) 16d) x e) 0

2. Reducir: (x–3)2+6(x–1)–x2

a) 0 b) 1 c) x2

d) 3 e) 15

3. Reducir: (3x+5)2+(2x–3)2–13x2–34

a) 0 b) 1 c) 18xd) x+34 e) x2+18

4. Reducir: (2x+1)2+(2x–3)2–8x(x–1)

a) 1 b) 2 c) 4d) 10 e) 12

5. Reducir: ( ) ( )( ) ( )

5 1 5 15 1 5 1

2 2

2 2

+ + −+ − −

a) 5 b) 0 c) – 5 /2

d) 5 /3 e) 5 /2

6. Reducir: (x+7)(x–7)–(x–6)(x+6)+13

a) x2 b) 0 c) 1d) 17 e) –13

7. Reducir: (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)+y8

a) x8 b) x4 c) x2

d) x e) y8

8. Efectuar: (x+6)2–(x–6)2+(x+4)2–(x–4)2–40x

a) 1 b) 2 c) 0d) 6 e) 4

9. Efectuar: ( ) ( )x

x x1

1 5 1 52

2 2 2 2

++ + − + −

a) x2–1 b) x2+1 c) 1

d) 2 5 e) 4 5

10. Si: a+b=9; ab=37

Hallar: "a2+b2"

a) 7 b) 5 c) 31d) 4 e) 9

11. Si: ab=29a+b=12

Hallar: "a2+b2"a) 68 b) 86 c) 46d) 76 e) 43

12. Si: x2+y2=56; xy=44Calcular el máximo valor de "x+y"

1 0

Álgebra


a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

13. Si: x–y=9; xy=3Calcular: x2+y2

a) 47 b) 82 c) 87d) 78 e) 74

14. Si: a=6+5 3b=4+5 3

Calcular:

E= ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b b2 2 2 4 4 8 8 1616 + + + + −

a) 5 3 +6 b) 4+5 3 c) 2– 3

d) 3 5 –6 e) 10(1+ 3 )

15. Si: x+y= 5x.y=2

Calcular: yx

xy+

a) 5 b) 1 c) 2

d) 2–1 e) 5/2

Practica en casa

1. Reducir: (x+10)2+(x+3)2–2x2

2. Reducir: (x–6)2+(x+4)2–(x+2)2

3. Reducir: ( ) ( ) ( ) ( )7 2 7 2 5 3 5 3+ − − + −

4. Reducir: (3x+2)2–(3x+1)2–3(2x+1)

5. Reducir: (x+2)2–(x–2)2–4(2x–1)

6. Efectuar: (x+4)(x–4)+(5+x)(5–x)

7. Efectuar: (x+b)(x–b)(x2+y2)(x4+y4)+b8–x8

8. Efectuar: (x+10)2+(x–10)2+(x+8)2–(x–8)2–2(100+16x)

9. Si: a+b=7 ∧ ab=16Calcular: a2+b2

10. Si: a+b= 5 ; ab=3Calcular: a2+b2

11. Si: a–b=11a.b=6

Calcular: a2+b2

12. Calcular el mínimo valor de "x+y"Si: x2+y2=55 ∧ xy=33

13. Si: a=9+7 5b=7 5 +6

Calcule: E= ( ) ( ) ( )a b a b a b b3 2 2 4 4 88 + + + +

14. Reducir: ( ) ( )( ) ( )

7 1 7 17 1 7 1

2 2

2 2

+ + −+ − −

15. Si: a+b=9ab=14

Calcular: ab

a b2 2+

Tú puedes

1. Si: 2x+2y=ax+y=b

entonces: 4x+4y equivale a:

a) a2+2b b) a2–2b+1 c) a2–2b+1

d) a2–2b e) a2+2b+1

2. Si: a2+b2= m+1

x2+y2= m–1

Halle: (ax+by)2+(ay–bx)2–m

a) m b) 1 c) –md) –1 e) 0

3. Si: x+x1=3; calcular: ( ) ( )E

xx x x x

21 93 5 7 3

= + +

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

4. Si se cumple que:x2+y2=2(3y+2x)–13; {x;y} R!

Calcular: x y5+

a) –1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3

5. Si se cumple: a b

ab

2 5

44 34

+ = +

= +

Calcular: "a–b" ; si: a>b

a) 2 b) –2 c) 2

d) – 2 e) –1

Capítulo

54

Colegios


productos NotabLes ii


Productos Notables II

. Desarrollo de un binomio al cubo.

. Suma y diferencia de cubos.

. Producto de binomios con término común.

1 1

Lectura: coNstruccióN simuLtáNea de uN cubo y uN producto NotabLe

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más

el cubo del segundo término. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b

Álgebra


Síntesis teórica

Productos notables II

Binomio al cubo

Suma y diferencia de cubos

Binomios con término común

Capítulo

56

Colegios


Saberes previos

1. Efectuar:• 3x (x+1)=

• –2x2 . (x–3)=

2. Efectuar:• (3x–5)(4x+1)=

• (2x+1)(3x–7)=

3. Efectuar:• (x+2)2=

• (3x–5)2 =

4. Efectuar:• (4x+5)(4x–5)=

• (3x+4)2–(3x–4)2=

5. Efectuar:• (x+6)(x2–6x+36)=

• (x–5)(x2+5x+25)=


1. Efectuar: (x+5)3=

2. Desarrollar: (3x+2)3

3. Efectuar: (x–2)3

4. Efectuar: (x+11)(x2–11x+121) – x3

5. Reducir: (m+2)(m–2)(m4+4m2+16)–m6

1 1

Álgebra


Aprende más

1. Efectuar: (x+5)(x+3)+(x+3)(x+4)–2x2

a) x+27 b) 15x+27 c) 27x+20d) 15x+7 e) 0

2. Efectuar: (x+1)(x+2)–(x+2)(x+3)+2x

a) 0 b) –1 c) –2d) –3 e) –4

3. Efectuar: (x+2)(x+3)+(x–1)(x–3)–x–9

a) 10x b) 0 c) x2

d) 2x2 e) 1

4. Efectuar: (x+10)(x2–10x+100)–(x+5)(x2–5x+25)

a) 100 b) 10 c) 875d) 475 e) 575

5. Calcular: "A–B"Si: ( ) ( ) ( )A x x x3 4 22= + − + +

( ) ( ) ( )B x x x4 1 72= + − + +

a) 2 b) 1 c) 0d) –1 e) –2

6. Si al desarrollar (2x+3)3 se obtiene el polinomio de la forma: ax3+bx2+cx+d. Calcular: a+b+d–c

a) –23 b) –47 c) 51d) 17 e) 101

7. Al efectuar: (3x–2)3 se obtiene un polinomio de la forma: mx3+nx2+px+qCalcular: (m–n)+(p–q)

a) –3 b) 71 c) 26d) 3 e) 125

8. Efectuar: (x+2)(x2–2x+4)+(x–2)(x2+2x+4)

a) 2x3 b) x6 c) x3

d) 2x6 e) 0

9. Efectuar: ( ) ( ) ( ) ( ) ;

xx x x x x x x

25 5 25 5 5 25 0

2 2!+ − + + − + +

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x5

10. Reducir:( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x

84 4 16 4 4 162 2+ − + − − + +

a) 1 b) 4 c) 16d) 64 e) 128

11. Efectuar:E=(2x–3)(4x2+6x+9)–(2x+1)(4x2–2x+1)

a) –28 b) –2 c) –18d) x3+7 e) x3+28

12. Reducir:

E=( ) ( ) ( 3) ( 3)7 5 49 35 25 7 73 3 3 3 3+ + + − − +

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 14

13. Determinar el área de:

m–3

m2+3m+9

; m>3

a) m3–9 b) m3+9 c) m3–27d) m3 e) m3+27

14. Si: xx1 5+ = ; obtener el valor de: x3+x–3

a) 90 b) 110 c) 12d) 130 e) 140

15. Si: a+b=5ab=3

Calcular: a3+b3

a) 40 b) 15 c) 80d) 105 e) 27

Capítulo

58

Colegios


Practica en casa

1. Efectuar: (x+6)(x+2)+(x+4)(x+1)–2x2

2. Efectuar: (x+10)(x–3)–(x+4)(x+2)+29

3. Reducir: (x+4)(x–2)+(x–6)(x+4)–2x2

4. Reducir:(x+3)(x+2)–(x+7)(x+2)+(x+9)(x–4)–(x+4)(x+1)

5. Reducir: (x+8)(x2–8x+64)–(x–6)(x2+6x+36)

6. Calcular: A+B

si: ( ) ( ) ( )A x x x5 2 82= + − + +

( ) ( ) ( )B x x x6 3 92= + − + +

7. Reducir: ( ) ( ) ( ) ( ); 0

xx x x x x x x

26 6 36 6 6 362 2

!+ − + + − + +

8. Reducir:

( ) ( ) ( ) ( ) ; 0x x x x x x x6

3 3 9 3 3 92 2!+ − + − − + +

9. Al efectuar: (2x+1)3 se obtiene un polinomio de la forma: ax3+bx2+cx+dDetermine el valor de: a+b+c+d

10. Reducir: ( ) ( )6 2 36 12 43 3 3 3 3+ − +

11. Reducir: ( ) ( )10 4 100 40 163 3 3 3 3− + +

12. Determine el área de:

m2+2m+4

; m>2m–2

13. Determine el área de:

2(m–3)

m2+3m+9

; m>3

14. Si: 4xx1+ = ; calcular: x

x133

+

15. Si: a+b=6ab=2

Calcular: a3+b3

Tú puedes

1. Si se cumple: 5xy

33 3= −= −

, calcular:

( ) ( ) ( ) ( )F x y x y x y x y y2 32 2 4 4 8 8 1616= + + + + + +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Efectuar: 7

1 37

1 34

4

4

4

++ −e eo o

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

3. Siendo: x2–3x+1=0

Calcular: T= 1xx

xx

1 22

2+ + +c m

a) 50 b) 51 c) 52d) 53 e) 54

4. Efectuar: (x2+5x+5)2–(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Siendo: x+x2 =3. Calcular el valor de:

P=(x–1)(x+2)(x–2)(x–5)+2011

a) 2008 b) 2009 c) 2010d) 2011 e) 2012

1 1


Capítulo

Lectura: paoLo ruFFiNi

(Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico

italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces

a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la

Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi

por entero a la investigación matemática.


División algebraica I

. El objetivo de la división algebraica, así como las propiedades que se requieren para efectuarla.

. El método de Horner, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios.

. El método de Ruffini, esquema y operaciones, como técnica práctica para dividir polinomios (comentando sus restricciones).

diVisióN aLgebraica i

1 2

Capítulo

60

Colegios


Síntesis teórica

División algebraica I

Objetivo

Clases de división

algebraica

Propiedades

Método de Horner Método de Ruffini

Métodos prácticos para dividir

1 2

Álgebra


Saberes previos

1. Dado el polinomio: P(x)=3x2–5x4+4–9x3+6xDeterminar:

a) Grado de P(x)=_________________________

b) Coeficiente principal=__________________

c) Término lineal=________________________

d) Término cuadrático= ___________________

e) Término independiente=________________

2. Realizar las siguientes operaciones:

a) −30 ÷ 6=

b) −44 ÷ −11=

c) 10110−+ =

d) 672

−− =

3. Realizar las siguientes operaciones:a) −15−8=

b) −23+13=

c) 10−40=

d) −17−(−8)=

4. Completar y ordenar los siguientes polinomios:

a) P(x)=5x2+3−4x+7x5

P(x)= ________________________________

b) S(x)=5x3−1

S(x)= ________________________________

5. Dado el polinomio: P(x)=8x−2x4+5x2+6x6

coloca en cada cuadrícula solo los coeficientes de P(x); una vez que se encuentre "completo y ordenado en forma descendente".


1. Si se divide el polinomio:P(x)=x4+x2−1 entre x2+1, entonces

• Grado del polinomio dividendo:______________________________________

• Grado del polinomio divisor:______________________________________

• Grado del polinomio cociente:______________________________________

2. Del problema anterior, obtenga el grado máximo del residuo.

3. Si se van a dividir los polinomios: x xx x

3 25 3

2

4 2

− ++ +

complete su esquema de división:

1 1 5 0

−2

4. Del problema anterior, una vez operado y completo el esquema indique:

cociente: Q(x)=___________________________

residuo: R(x)= ____________________________

5. Si se van a dividir los polinomios: x

x x x2

305 3+−− −

complete su esquema de división:

1 0 −1

cociente: Q(x)= ___________________________residuo R(x)= _____________________________

Capítulo

62

Colegios


Aprende más

1. Hallar el cociente de la siguiente división:(x3+5x2–7x+5)÷(x2+2x–3)

a) x+5 b) x2+3 c) x+3d) –10x+14 e) 10x–14

2. Hallar el residuo de la división

x xx x x x

3 13 2 52

4 3 2

+

+ +

−− −

a) x2+1 b) 4x–6 c) –2d) –6 e) 4x

3. Hallar "m+n"; si la siguiente división es exacta:

x xx x x mx n

3 32 132

5 3 2

+

+

−+ − +

a) 9 b) –9 c) 24d) –12 e) 12

4. Hallar la suma de los coeficientes del cociente y residuo de la siguiente división:

x xx x x

2 33 32

3 2

+

+

−− −

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Hallar "mn"; si la siguiente división es exacta:

x xx x x mx n

23 52

4 3 2

+

+

−− + −

a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120

6. Dividir e indicar su residuo: x

x x x1

4 5 3 33 2

−− + −

a) 1 b) –1 c) 1/2d) –1/2 e) 0

7. Dividir e indicar su cociente: x

x x x3

6 2 33 4++

+ +

a) 2x2+1 b) 2x4+1 c) 2x3+1d) 2x3–1 e) 2x4–1

8. Dividir: x

x x x12 23 2

−+ − −

Indicar el término independiente de su cociente

a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 0

9. Indicar la suma de coeficientes del cociente al

dividir: x

x x x9

3 32 52 633 2 +−

− −

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. En la siguiente división exacta; hallar "n"( )

xx x x n

22 5 73 2

++ +− −

a) 9 b) 2 c) 5d) 8 e) 7

11. Hallar la suma de coeficientes del cociente, al

dividir: x x

x x x x2 2

2 5 2 4 82

4 3 2

+

+

−+ − +

a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 13

12. Al efectuar la siguiente división:(4x4+13x3+25x+12+28x2)÷(4x2+6+5x)el residuo es:

a) 2x+6 b) –(2x+6) c) –6+2xd) x–2 e) –2x+6

13. Hallar "A+B"; si la siguiente división es exacta

x xx x Ax B

2 2 32 3

2

4 2

+

+

++ +

a) 2 b) 4 c) 5d) 12 e) 13

14. Hallar el término independiente del cociente,

luego de dividir: x

x x x x3 1

6 4 10 24 3 2

++ +− −

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Hallar el resto en: x

x x x x5 1

15 8 9 7 14 3 2 +−

− − +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

1 2

Álgebra


Practica en casa

1. Al dividir: (x4+4x3+6x2–7x+2)÷(x2+2x+1)indicar el cociente y residuo.

2. Luego de dividir: x x

x x x x2 1

4 5 2 3 12

4 3 2 +

− −− − −

indicar la suma de coeficientes del cociente.

3. Dar el residuo de la siguiente división:

x xx x x

13 2 5 4

2

4 3

− −− − −

4. Calcular el residuo de: –

– –x x

x x x x3 4

3 5 3 42

4 3 2

+

+ +

5. Dividir: x x

x x x4 2 1

8 4 5 22

4 2

+

+

−− −

e indicar la suma de coeficientes del cociente.

6. Hallar el resto: x

x x x2

8 16 5 95 4

++ − +

7. Hallar el residuo de: x

x x x3

5 16 8 24 3+ ++−

8. Dar el cociente de: x

x x x x3

2 8 9 4 164 3 2

−− + − −

9. Hallar "a" para que la división sea exacta:

xx x x a

12 5 23 2 +

−− +

10. Calcular "A+B" si la división:

x – x 1x – 2x 3x Ax B

2

4 3 2

+

+ + + es exacta

11. Dividir: x x

x x x x3 2

12 2 5 92

4 3 2

− −+ − − −

indicar el producto de coeficientes del residuo.

12. Indicar "ab", si la siguiente división es exacta:

x xx x ax b

2 2 32 3

2

4 2+

+ +− +

13. Obtener: p q r ta b c + + ++ + , luego dividir

a 8 6 9 1 t

b p q

c 5 r

11 22

4 5 11 22 32

14. Señalar el término independiente del cociente,

al dividir: x

x x x x5 1

5 10 17 54 3 2 +−

− − +

15. Señalar el resto, al dividir:

xx x x x

22 8 2 324 3 2 +

++ − +

Tú puedes

1. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la

siguiente división: x xx

2 12007

2

101

− ++

a) 2007 b) 5050 c) 2020d) 4040 e) 3030

2. Calcular "m+n" en la siguiente división exacta:

x xmx nx x

3 23 4

2

4 3 2

− ++ + +

a) –5 b) –7 c) 5d) 7 e) –3

3. El residuo en la siguiente división es: x+3 2Hallar el valor de: b2–a2

x xx x x ax b

2 22 3 2

2

4 3 2+ +

− −− +

a) 5 b) –7 c) 3d) 1 e) –1

4. En la siguiente división; si el residuo es numéricamente igual a la suma de coeficientes del cociente. Hallar "m"

xx x x m

2 34 34 2 +

−− +

a) 3 3 b) 2 3 c) 3

d) 4 3 e) 5 3

5. Hallar el valor de "m", si la suma de coeficientes , tanto del cociente como del residuo, resultan iguales.

( ) ( );x m

x x m m x m x m3

3 3 3 4 1 33 2 2

^+− −

− − − − + +

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

Capítulo

64

Colegios


1 3


En el capítulo "División algebraica II" estudiaremos:

1. El teorema del resto, objetivo y procedimiento.

2. Casos particulares del teorema, para calcular el resto de una división, con divisor no lineal; degradando el dividendo.

3. A calcular el resto de una división algebraica con la identidad fundamental de la división.

diVisióN aLgebraica iiLectura: poLiNomios

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática

elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

¿Son polinomios o no?

a) 3x5 – x7y8 + 9y3x4:

b) 4x2 – 7x3y5 – 7y–3x–4:

c) y x972 4 + 2x–5:

Álgebra


Síntesis teórica

Teorema del Resto

Objetivo Procedimiento

Identidad fundamental de la división

Forma alternativa para hallar el resto

en una división algebraica.

Capítulo

66

Colegios


Saberes previos

1. Efectuar: a) (−4)2=

b) (−4)3=

c) (−1)20=

d) (−1)13=

2. Dado el siguiente polinomio:P(x)=x4−2x3+x2−x−1Obtener:

a) P(1)=

b) P(−1)=

c) P(−2)=

3. En cada igualdad; despeje la potencia de mayor exponente:a) x+4=0

b) x2−3=0

c) x5−4x+1=0

d) x5+7=0

4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:a) x+y=8

x−y=2

b) 4a+b=7−a+b=3

5. Construya un polinomio lineal en variable "x" tal que: "a": coeficiente lineal.

"b": término independiente.considerando que (a≠0)


1. Hallar el residuo en: x

x x x1

3 4 5400 20+ +−

−


x x x2

2 15 4 2

++− −


x x x x1

2 3 22

8 6 4 2+ + +

−−


x x x x1

3 2 52

7 6 3

+

+ +− −

5. Hallar el residuo en: ( ) ( )x x

x x1 2

23

− +− +

1 3

Álgebra


Aprende más

1. Hallar el resto en la siguiente división:

xx x x

18 3 911 7

++− +

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

2. Calcular el residuo en: x

x x x1

3 3 130 20+−

− −

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


x x x4

4 830 29 +−

− −

a) –1 b) –2 c) –3d) –4 e) –5

4. Calcular el valor de "a" si la división es exacta:

xx x x a

1430 12

+− + +

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Hallar "n", si el resto de la división es 15:

xx x x x n

113 24 3 2

−+ + + +

a) −6 b) −5 c) −7d) −2 e) 0

6. Hallar el resto de dividir: x

x x x2

2 7 52

8 4 2 +

+− −

a) 1 b) –1 c) 9d) –9 e) 27

7. Calcule el resto de dividir: x

x x x2

4 5 63

28 22 4

+

+− +

a) −10x+6 b) −8x+9 c) 10x+9d) 8x−8 e) 0

8. Calcule el residuo en:

xx x x x x

14 3 4 2

5

25 20 15 10 5

+

− + − − +

a) –11 b) −9 c) −8d) −5 e) −7

9. Hallar el resto en: ( )x

x x2 1

2 1 6 410 5

−+ + −

a) 1 b) 3 c) 8d) 4 e) 5

10. Calcular el resto en:

( ) ( ) ( )x x

x x x x x x3 5

3 6 3 4 2 3 14

4 102 4 53 4

+

+ + +

−− − − − −

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8


x x x

21

2 17 68 324 3+

−− +

a) 0,25 b) 3,5 c) –1,25d) –3,5 e) 0,75

12. Calcular el resto en:( ) ( ) ( ) ( )

x xx x x x x

13 5 6 2 2 147

2

2

− −− + − + + −

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

13. Calcular el resto en: ( ) ( )x x

x x2 1

25

− −+

a) 30x−33 b) 33x−11 c) 33x−30d) 3x−10 e) 33x+30

14. Hallar el resto en: x x

x x2 3

32

3

− −−

a) 4x+2 b) 4x+4 c) 4x+6d) 4x+5 e) 4x−6

15. Calcular el resto luego de dividir:

( ) ( )x x

x x x x x x3 5

3 6 3 4 2 6 14

4 102 4 53 4

− +− + + − + − + −

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 8

Capítulo

68

Colegios


Practica en casa


x x1

2 3 54+−

−


x x1

3 110 +−

−


xx x

14 3 525 2

+− +


x x x2

8 16 5 95 4++− +

5. Hallar "n", si en la siguiente división el resto es

cero: ( )x

x x x n1

3 5 2 34 2

++ ++ −


x x x x1

3 4 23

24 15 6 3+

−− − +


x x x x1

3 5 6 42

6 4 2+

−+ + −


x x2 1

2 5 32 + +−


xx x x x x

19 3 5 6 7

3

105 60 21 12 3+

−− − + +

10. Hallar el resto de la división:

xx x x x

13 5 7 1

2

18 9 6+ +

−+ +

11. Hallar el valor de "a" si el resto es 8: x

x x a1

5 318++

+


x x x x2

2 2 3 192 91 2+ +−

− −

13. Hallar el resto de: ( ) ( )x

x x x2

3 5 1 22000 35

++ + + − −

14. Calcular el resto de: x

x x x5

3 2 52

5 3+ +

−−

15. Calcular el residuo de dividir: ( )x a

x a x a2

7 7 7

++ − −

Tú puedes

1. Calcule el resto de la siguiente división:

( ) ( ) ( ) ... ( )x

x x x x2 4

2 4 2 3 2 2 2 22 2 2 2+−

− − + − + + +

a) 91 b) 81 c) 76d) 55 e) 70

2. Hallar "n", si ( )x y

x y nx y2

4 4 4+−− − es exacta

a) 4 b) 7 c) 5d) 8 e) 10

3. Si el residuo de: x

x x x1

2 3 4 12

17 14 2

++ + − , es de la

forma R(x)=mx+n. Halle: R(m–n)

a) 0 b) 12 c) 1d) 15 e) 14

4. El resto de dividir: x

x x x1

2 5 4 132

37 15 3

+

+ + + , es

R(x)=ax+b2+4; calcular ab

a) –21 b) 18 c) 21d) 0 e) más de una es correcta

5. Hallar el resto en: ( ) ( ) ( ) ( )x x

x x x x5 5

1 2 3 4 52 + +

+ + + + +

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

1 3


Capítulo1 4

Lectura: NieLs heNriK abeL (1802 – 1829)

Matemático noruego, nació en una familia muy numerosa, hijo de un pastor

protestante en condiciones de extrema pobreza. A los 16 años, su maestro

le aconsejó leer los grandes libros de los matemáticos más eminentes.

A los 19 años, demostró que las ecuaciones algebraicas de un grado

superior a cuatro no tenían solución algebraica general, creando con

el una importante teoría, llamada "teoría de grupos" y descubrió

importantes propiedades relativas a las funciones elípticas y a una clase

de ecuaciones llamadas ecuaciones abelianas.

Murió de tuberculosis a sus escasos 27 años.


Factorización I

. El concepto de factorización de polinomios con coeficientes en-teros.

. El concepto de factor algebraico y factor primo.

. Los criterios de factorización:

– Factor común. – Agrupaciones de términos. – Identidades notables.

FactorizacióN i

Capítulo

70

Colegios


Síntesis teórica

Factorización

ConceptoCriterios de

Factorización (Métodos)

Agrupaciones de términos

Factor común

Identidades

Factor algebraico

Factor primo

1 4

Álgebra


Saberes previos

1. Efectuar las siguientes operaciones:

a) xx9

11=

b) aa

5202

5=

c) xx

4323

7− =

d) x yx y

10110

2

4 2

−=

e) ––

a b ca b c

4242 3 4

3 5 7=

2. Indicar cuál o cuales son polinomios constantes:a) P(x)=50b) F(x;y)=3Kx+y

c) M(n)=K2

Rpta: ____________________

3. Indicar cuál o cuales son polinomios lineales:a) P(x)=5x−1b) F(x;y)=x2+yc) M(a)=30

Rpta: ____________________

4. Indicar cuál o cuales son polinomios cuadráticos:a) P(x)=x2+1b) F(x;y)=xy−2c) M(n)=n(n−1)+K

Rpta: ____________________

5. Efectuar: a) x(x+8)=

b) −2x(x2−y)=

c) (x+5)(x−5)=


1. Indique los factores algebraicos del siguiente polinomio: P(x)=x.(x+1).(x−1)

2. Del problema anterior, indique los factores primos de P(x).

3. Factorizar en cada caso:a) P(x)=x3+3x2

b) F(x;y)=x3y2−x2y3+3x2y2

c) M(x;z)=x2(x+z)+3(x+z)

4. Factorizar en cada caso:a) P(x;y)=x2y+x+xy2+y

b) Q(x)=x3+x2+x+1

c) F(a;b)=a2−ab+ac−a+b−c

5. Factorizar en cada caso:a) P(x)=25x2−4

b) R(x;y)=8x3+y3

Capítulo

72

Colegios


Aprende más

1. Siendo: P(x)=(x+1)(x–3)(z–1)indica el número de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Indica la suma de factores primos de:P(x)=(x–1)2(x+1)3

a) 0 b) 1 c) 2x2

d) 2x e) x2+x3

3. Indica el factor primo que más se repite en:P(x)=510x8(x–1)5(y+3)10

a) (y+3) b) 5 c) xd) (x–1) e) 5x

4. Factorizar: 3x2+6x

a) 3x(x+2) b) 2x(x+3) c) x(3x+2)d) x(6x+3) e) (3x+1)(1+2x)

5. Factorizar: mx+m2+xy+my

a) (x+m)(m+y) b) (x+y)(x+m)c) (x+y+m)(x–m) d) (2x+n)(y+2m)e) (2m+x)(y+2m)

6. Factorizar: ax+x2+ab+bx

a) (a+x)(x+b) b) (a+x)(ax+b)c) (a+b)(x+b) d) (a+b+x)(x–b)e) (a+x)(x+a+b)

7. Factorizar: 4a2–9

a) (4a+3)(4a–3) b) (2a–3)(2a+3)c) (4a+9)(4a–9) d) a(4a–9)e) a2(4–9)

8. Factorizar: 36x2–25y2

a) (6x+5y)(6x–5y) b) x2(36–25y)c) y2(36x2–25) d) (36x+5y)(36x–5y)e) (36x+25y)(36x–25y)

9. Factorizar: 81x4−y4

indicando un factor primo

a) 9x+y b) 9x−yc) 9x2+y2 d) 3x+y2

e) 3x−y2

10. Factorizar: ax+bx+cx+ay+by+cy–a–b–c

a) (a+b+c)(x–y) b) (a+b+x)(c–y)c) (a+b+c)(x–y+1) d) (a+b+c)(x+y)e) (a+b+c)(x+y–1)

11. Factorizar: ab+7a+8b+56

a) (a+b+1)(a+7) b) (ab+8)(ab+7)c) (a+b+7)(a+b+8) d) (a+7)(b+8)e) (a+8)(b+7)

12. Factorizar: x3–1

a) x(x–1) b) x2(x–1)c) (x–1)(x2+x+1) d) (x+1)(x2–x+1)e) (x2–1)(x+1)

13. Factorizar: (8x3+1)

a) (8x+1)(x2+1) b) 8(x3+1)c) (2x+1)(4x2–2x+1) d) (2x–1)(4x2+2x+1)e) (8x2+1)(x–1)

14. Factorizar: P(x;y)=x2+2xy+y2−25e indicar la suma de sus factores primos.

a) 2(x+1) b) 2(y+1)c) 2(x−y) d) 2(x+y)e) 2x+y

15. Factorizar:P(x;m)=x2+2ax+a2−m2+4m−4indicar un factor primo

a) x+a+m b) x−a+mc) x+a2+m−2 d) x+a+m−2e) x+2a+m−1

1 4

Álgebra


Practica en casa

1. Siendo P(x;y)=5(x+3)(y+1)(z–5)Indique el n° de factores primos

2. Siendo: P(x)=(x+5)2(y+3)4(x–5)Indique la suma de factores primos

3. Siendo P(x;y)=510(x+1)7(y–3)5(z+1)15

Indique el factor primo que más se repite

4. Factorizar: m8+8m5–6m3

5. Factorizar: x7(3a+2b)–x(3a+2b)–3a–2b

6. Factorizar: x3y2(a–b)–x2y3(a–b)

7. Factorizar: ab+bc+ad+cd

8. Factorizar: 36x2–1

9. Factorizar: 25m2–4n2

10. Factorizar: ax–bx+cx+ay–by+cy–a+b–c

11. Factorizar: 27x3+1

12. Factorizar: x3–8

13. Factorizar: x9+1

14. Factorizar: xy+5x+2y+10

15. Al factorizar: P(x)=x7–x6+x5–x4+x3–x2+x–1se obtiene: (xa+m)(xb+n)(xc–p)

siendo a>b>c; calcular: .m n pa c b+ +

+

Tú puedes

1. Factorizar: 64x2–(8x+2y)2

indicando un factor primo

a) 8x+y b) (8x–3) c) 8x–yd) (x+y+8) e) (4x–y+8)

2. Factorizar: m2np+mnp2+mn2pindicando un factor primo

a) m+n+p b) m–n c) m2+nd) m+n2 e) m2–n

3. Factorizar: x4+x2+1+x6

indicando el n° de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Factorizar: x8+x3y5+x5y3+y8+x5y+y6


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Factorizar: n3p4z5+n2p4z3+n2p3z3+n2p3z5


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Capítulo

74

Colegios


1 5


Factorización II

. Los criterios de factorización complementarios:

– Métodos de las aspas:* Aspa simple* Método de los divisores binómicos. (Obtención de

factores lineales)

FactorizacióN ii

Lectura: represeNtacióN gráFica de Las raíces de uN poLiNomio

Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos

como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).

Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio

graficado.

Función Raíces Factorización Gráfica

f(x) = x2 + x – 12 –4 y 3 f(x) = (x+4)(x–3)

f(x)

x–4 –2 0 2 43

(–4; 0)(3; 0)

5

10

15

–5

–10

Álgebra


Síntesis teórica

Factorización II

Métodos

de Factorización

Aspa SimpleDivisores Binómicos

Capítulo

76

Colegios


Saberes previos

1. Indicar cuál o cuales de los siguientes polinomios son trinomios cuadrados perfectos:a) P(x)=x2+8x+16b) Q(y)=y2−10y−25c) R(a;b)=a4+14a2+49d) S(m;n)=m2−mn+n2

Rpta: _____________________

2. Desarrollar: a) P(x)=(x+4)(x+9)

b) Q(x)=(x−5)(x−6)

c) R(x)=(x+12)(x−10)

d) S(x)=(x−15)(x+8)

3. Desarrollar:a) P(x;y)=(x+y).(x+2y)

b) Q(x;y)=(x−3y).(x−5y)

c) R(a;b)=(a+66).(a−4b)

d) S(a;b)=(a−9b).(a+7b)

4. Desarrollar: a) P(x)=(3x−5)(x+2)

b) Q(x;y)=(4x2+3y)(5x2−y)

5. Efectuar las siguientes divisiones:

a) x

x x x1

6 11 63 2

−− + −

b) x

x x x2 3

6 6 193 2

−+ − +


1. Factorizar en cada caso:

a) x2−11x+28= ________________________

b) x2+29x+100= _______________________


a) x2+17x−60= _________________________

b) x2−17−390= ________________________

3. Factorizar en cada caso:a) x2+12x+36= _________________________

b) m2−4mn+4n2= ______________________


a) 6x2+11x+3= ________________________

b) 10x2−22x+4= _______________________

5. Factorizar: P(x)=x3−6x2+11x−6

1 5

Álgebra


Aprende más

1. Si el polinomio: P(x)=x2−10x+(2k+1)es un trinomio cuadrado perfecto: halle el valor de "k"

a) 10 b) 11c) 12 d) 13e) 14

2. Si el polinomio: F(x;y)=4x2+10mxy+25y2

es un trinomio cuadrado perfecto, halle el valor de m2+1.

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

3. Indique un factor primo del siguiente polinomio:P(x;y)=2x2−15xy+7y2

a) 2x+y b) 2x−yc) x−y d) 2x+y2

e) x+7y

4. Indique el factor primo cuadrático de:P(a;b)=a4−a2b2−12b4

a) a2+b b) a+b2

c) a2−b d) a2+3b2

e) a2−3b2

5. Indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos de: P(x)=4x4−13x2+9

a) 1 b) 4c) 8 d) 9e) 5

6. Indicar un factor primo: F(x)=abx2+bx+b(1−a)

a) x−1 b) ax+1c) ax−a+1 d) x+1−ae) x−a

7. Factorizar e indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos:P(x)=x4(2x−1)−5x2(2x−1)+4(2x−1)

a) −2 b) −1c) 0 d) 1e) 5

8. Factorizar: x3+x2−7x−15

a) (x−3)(x2+4x+5) b) (x+3)(x2+4x+5)c) (x−3)(x2−4x−5) d) (x−3)(x+3)(x+2)e) (x−3(x+3)(x−2)

9. Factorizar: x3+7x2+15x+12

a) (x+4)(x2+3x+3) b) (x−4)(x2−3x+3)c) (x+4)(x2+x+1) d) (x+3)(x+1)(x−3)e) (x+3)(x−1)(x−3)

10. Factorizar: x3+4x2+x–6

a) (x–1)(x+2)(x+3) b) (x+1)(x+2)(x+3)c) (x–1)(x–2)(x–3) d) (x+1)(x–2)3

e) (x–2)(x+3)(x+6)

11. Factorizar: x3+6x2+3x–10

a) (x+5)2(x–2) b) (x–1)(x+5)(x+2)c) (x+10)(x–1)2 d) (x+1)(x–5)(x–2)e) (x2+x+2)(x–5)

12. Indicar un factor primo de: x3+8x2+19x+12

a) x–1 b) x–3c) x–4 d) x+2e) x+4

13. Hallar un factor primo en: x3–4x2–67x+70

a) x+1 b) x–5c) x–7 d) x+10e) x+7

14. Al factorizar: 3x3–21x+18;toma la forma: a(x–b)(x–c)(x–d) donde: b<c<dCalcular: a–b+c+d

a) 7 b) 4c) 9 d) 6e) 5

15. Factorizar: 2x3+x2+x–1

a) (2x+3)(x2–x+1) b) (x+2)(2x2+x+1)c) (2x–1)(x2+x+1) d) (2x+1)(x2–x+1)e) (x2+1)(2x+x–1)

Capítulo

78

Colegios


Practica en casa

1. Factorizar: x2+6x+9

2. Factorizar: 4x2–4x+1

3. Factorizar: 9x2+12x+4Indicar la suma de factores primos

4. Factorizar: x2+x–6Indica el factor primo de mayor suma de coeficientes.

5. Factorizar: x2+7x+12Indica el factor primo de término independiente par.

6. Factorizar: 6x2–5x–21Indica suma de factores primos

7. Factorizar: x6+7x3+10Indica el número de factores primos.

8. Factorizar: 10m8+17m4+3Indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

9. Factorizar: x3+2x2–5x–6

10. Factorizar: x3–11x2+31x–21

11. Factorizar: x3–8x2+3x–24Indica el número de factores primos lineales.

12. Factorizar: x3–4x+3Indica el número de factores primos.

13. Factorizar: x3–3x2–16x–12Indicar la suma de factores primos.

14. Factorizar: 2x3–x2–x–3Indica el término independiente del factor primo de mayor grado.

15. Al factorizar: 2x3+7x2+4x–4se obtiene: (ax+b)(x+a)2

Hallar: ab

Tú puedes

1. Factorizar: P(abc)=(a+b+c)2+3+4a+4b+4c,indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Factorizar: x4+7x 2+16, indicando un factor primo.

a) x2+x+1 b) x2+x+2 c) x2+x+3d) x2–x+4 e) x2+x–2

3. ¿Qué término hay que sumarle a P(n;k)=n(n+5k)+3(kn+7n2) para que sea factorizable?

a) 3nk b) 6nk c) 5nkd) 8nk e) 2nk

4. Indicar un factor primo: M(x)=(x–3)5+x–2

a) x2+5x–1 b) x2–5x–1 c) x2–5x+7d) x2+5x+1 e) x2+1

5. Factorizar: P(x)=3x3+2x2+5x–2, indicando la suma de términos independientes de sus factores primos.

a) 1 b) –1 c) 2d) –2 e) 3

1 5


Capítulo16


Fracciones algebraicas I

. La definición y cálculo del MCD y MCM de polinomios.

. La definición de fracción algebraica así como la clasificación de los mismos.

. La simplificación de las fracciones algebraicas.

FraccioNes aLgebraicas iLectura: Las FraccioNes coNtiNuas

Las aproximaciones numéricas son muy importantes en muchos problemas de matemáticas, ya que en gran cantidad de ocasiones no podemos disponer del valor exacto de ciertos datos, ya sea porque el cálculo de dicho valor exacto es demasiado laborioso o porque ni siquiera es posible (por ejemplo, en la práctica no podemos aspirar a disponer del valor exacto de π).Además en la mayoría de los casos necesitamos la mejor aproximación posible, ya que el hecho de utilizar una no muy buena aproximación puede hacer que el error cometido en nuestros cálculos crezca hasta niveles demasiado altos, inadmisibles en ciertos casos.Vamos a hablar de fracciones continuas, y de cómo estos entes matemáticos nos dan, en cierto sentido, la mejor aproximación posible a un cierto dato cuyo valor exacto no podemos calcular. Una fracción continua es una expresión del tipo

a0+ 1

a1+ 1

a2+ 1

a3+ 1

a4+

Esta expresión tiene varias características muy interesantes. Por ejemplo, todo número real, ya sea entero racional o irracional, puede escribirse como una fracción continua, aunque en algunos casos será más sencillo que en otros. Por ejemplo:

3 =1+ 1

1+ 1

2+ 1

1+ 1

2+ 1

1+

Capítulo

80

Colegios


Síntesis teórica

MCD y MCM de Polinomios

es

se

y y

se

es

Máximo Común Divisor(MCD)

Mínimo Común Múltiplo(MCM)

otro polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.

obtiene factorizando los polinomios

viene expresado por la multiplicación de los factores

primos comunes elevados a sus menores exponentes.

viene expresado por la multiplicación de los factores

primos comunes y no comunes elevados a sus mayores

exponentes.

obtiene factorizando los polinomios

otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios.

Fracciones Algebraicas

es

debemos

para

siempre

Simplificación de fracciones

la división indicada de dos polinomios en la que, por lo menos, el denominador debe ser de grado 1.

factorizar numerador y denominador

eliminar factores comunes

que sean distintos de cero

1 6

Álgebra


Saberes previos

1. Factorizar: P(x)=x2+5x

2. Factorizar: f(x)=x(x+3)–8(x+3)

3. Factorizar: g(x)=x2−x−6

4. Factorizar: q(x)=x2–9

5. Factorizar: h(x)=x3+6x2+3x–10


1. Indica el MCM de los polinomios:P(x)=x2–x–12Q(x)=x2–9

2. Indica el MCD de los polinomios:M(x)=x2–25N(x)=x2+7x+10

3. Indica el MCM de: F(x)=x(x–6)2(x+1)3(x–2)G(x)=x2(x–6)(x+1)4

4. Simplifica: 2 15x

x x92

2

−− −

5. Simplifica: x x

x x6 16

82

2

− −−

Capítulo

82

Colegios


Aprende más

Comunicación matemáticas1. Relacionar las columnas correctamente:

A=a9b6

B=a12b4 AFactores comunes elevados al menor exponente: a4b9

A=a6.b9

B=a4.b12 B MCM=(x+3)(x–3)(x+6)

A=x2–9 B=(x–3)(x+6)

C MCD=x–3

A=x2–9 B=(x+3)(x+6)

D

Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente: a12b6

2. Completar los exponentes del MCD y MCM de los polinomios:A=(x+4)6(x–3)9

B=(x+4)8(x–3)2(x+6)4

C=(x+4)2(x+6)5

• MCD=(x+4)

• MCM=(x+4) (x–3) (x+6)

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

• El MCM de los polinomios: A=(x–2)6; B=(x–2)4; C=(x–2)7 es: (x–2)7............. ( )

• El MCD de los polinomios: A=(x–3)4

(x+5)8 ; B=(x–3)8(x+5)2 es: (x–3)8(x+5)8.( )

• El MCD de los polinomios:

{A=x+4B=x–3; es "x" ..................................( )

Resolución de problemas

4. Simplifica: 2 15x

x x92

2

−− −

a) xx

35

−+ b)

xx

53

−− c)

xx

35

−−

d) xx

35

++ e)

xx

53

−+

5. Simplifica: ( )( )

x xx x5 4

10 162 2

−−

a) 5x(x–4) b) 2x(x+4) c) x(x–4)d) x(x+4) e) 5x(x+4)

6. Simplifica: ( )( )

x xx x

2 16 12

+−

a) 3(x+1) b) 3x(x–1) c) x(x+1)d) 3(x–1) e) x

7. Simplifica: x xx x2 36 7 32

2

+ −+ −

a) xx

13 1+

+b)

xx

13 1−+ c)

xx3

1+

d) xx

13 1

−− e)

xx

12 1+−

8. Simplifica: x xx x2 13 2 12

2

+

+

−−

a) xx

2 13 1+

−b)

xx

2 13 1

+− c)

xx2 1

3+−

d) xx

2 13 1

−− e)

xx

1 21 3−+

9. Luego de simplificar: x xx x

8 10 312 5 32

2

+

+

+− , calcula la

suma del numerador y denominador.

a) 5x–1 b) 5x+1 c) 5xd) 1 e) 5x2

10. Simplifica: x y

x y2 2

6 62 2

−−

a) 3x–3y b) 3x c) 3yd) 3x+3y e) x–y

11. Simplifica: x x

x x x2

4 62

3 2

+ −+ + −

a) –x b) 3–x c) xd) x+3 e) x–3

12. Simplifica: x x

x x x4 5

6 3 102

3 2

+ −+ + −

a) x b) x+2 c) x–2d) 2x e) 2x+1

13. Luego de simplificar: ( ) ( ) ( )x

x x x36

1 3 5 32−

+ − + −

calcula la suma del numerador y denominadora) 9x b) –9 c) x+9d) 3 e) x–9

14. Luego de simplificar: x x

x x x44 4

3

3 2

−− − + , calcula la

suma del numerador y denominador

a) 2x b) x–1 c) 2x–1d) 2x+1 e) x+1

15. Simplifica: yx y

x y y242 2 2

+−

a) yx–2y b) yx+2y c) yxd) yx+2 e) yx+1

1 6

Álgebra


Practica en casa

Simplificar las siguientes fracciones:

1. 3 –157 –

xx 5^ h

2. –x y

x y6 –2 2^ h

3. 5 4

–3 –4x xx x2

2

+ +

4. – –6

–5 6x x

x x2

2 +

5. x xx x

2 110 1–2

+^^

hh

6. x xx x

39–22

+^^

hh

Luego de simplificar las siguientes fracciones, calcula la suma del numerador y denominador:

7. x xx x

2 36

2

2

+ −+ −

8. x xx x

10 7 1215 2 82

2

+ −− −

9. ( )

( ) ( )x x

x x x2

2 42 2

+− −

10. x x

x x2 12

2

+ ++

11. x x x

x x x3 15 5

5 2 102 3

3 2

− + −− + −

12. x x

x x x2 1

12

3 2

+ ++ − −

Simplifica:

13. ( )

( ) ( )x y

x y x y9

11 242

2

+ −+ + + +

14. x xx x

2 37 6

2

3

+ −− +

15. x

x x x4

2 4 82

3 2+

−− −

Tú puedes

1. Simplifica: mn kn mc kcmn kn mc kc

3 6 23 6 2

+ − −+ + +

a) n cn c3−+ b)

n cn c3+− c)

n cn c

33 +

−

d) n cn c+

−e)

n cn c

33

+−

2. Simplifica: ( )( )x y zx y z

222 2

3 3

+ −+ +

y de como respuesta el denominador resultante

a) x+y–z b) x+y+z c) x+2y+z

d) x+2y–z e) x–y+2z

3. Simplifica: x y

x xy y27 8

9 12 43 3

2 2

−− +

a) x xy y

x y9 6 4

3 22 2+ +

− b) x xy y

x y6

3 22 2+ +

+

c) x xy y

x y9 6 4

3 22 2+ +

− d) x xy y

x y9 6 4

32 2+ +

−

e) x y

x y32 2+

−

4. Simplifica: ( ) ( )x y

x y x y4

2 5 22 2

3

−− − −

a) x y

x xy y2

4 4 52 2

+− + − b) ( )

x yx y2

2 52

++ +

c) ( )x y

x y2

2 12

++− d)

x yx xy y

24 4 52 2+

−− +

e) x yx y

22

−+

5. Simplifica: ( ) ( )mx m xmx x m

11

2 2

2 2

− + −+ − +

a) 1–m b) m+1 c) m

d) m2 e) m–x

Capítulo

84

Colegios


1 7


Repaso II

. Fracciones algebraicas

. Simplificación de fracciones

. Operaciones combinadas

repaso ii

Lectura: eL Número de oro

También conocido como el número áureo, es (podríamos decir) una constante matemática descubierta por los antiguos griegos como una proporción o relación entre partes de un cuerpo o cuerpos, que podemos encontrar en la naturaleza.

Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dio el calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Pero esto no es un blog de arte ni de historia, asi que ¿cuánto vale el número áureo?

El número áureo se denota por la letra griega "U" FI (¿o PHI?), y vale 1,6180339..., y como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, ....) surge de una expresión matemática:

21 5+

Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras.

• Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.• Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI.

Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que el número PHI.• Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.

Así viendo todas estas ¿misteriosas? apariciones de este número y más que ahí, no es de extrañar que los griegos pensarán que era el número de los dioses y de la naturaleza.

Álgebra



1. Reducir: y

xyyx

54

16202

e co m

2. Simplificar: x x

x4 5

12

2

− −−

3. Reducir: x xx x

2 33 4

2

2

+ −+ −

4. Reducir: x xx x

5 144 21

2

2

− −− −

5. Simplificar: a a

a a4 25

2 153

2

−− −

6. Simplificar: .x

x xxx

94 4

23

2

2

−+ +

+−

7. Simplificar: x

x xx

x4

3 2 2 32' +

−− −

8. Reducir: xx

x xx

2 502 2

4 53 3

2 2'

−−

− −+c cm m

9. Reducir: x

xx

xx

x3 7 2 5 1 5+ + − + −

10. Reducir: 6 9x x

x xx x

x29 6

9 22

2

2+−− −

+ −−

Capítulo

86

Colegios


Aprende más

Comunicación matemática

1. Reducir:

• ( )( )aa

112

3

−− =

• yx

yx

2

2

3' =

2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• El valor que toma: n

n2

3−

para n=2 es 0.

......................................................... ( )

• La fracción: nn

85 1

−− no está definida

para n=8............................................ ( )

3. Relaciona las columnas correctamente:

aba

Aba32

2

aba b

515

4

3 2B b

1

ac da c d

11121

5 8

4 5 7C a

bab

D da11 3


4. Luego de simplificar: x xx x

2 7 42 7 32

2

− −+ +

Indica la suma del numerador y denominador

a) 2x b) 4x–3 c) 2x–1d) 4 e) 5

5. Simplificar: x x

xx xx x

2 11

4 32 3

2

2

2

2

− +−

+ ++ −e eo o

a) x b) x+1 c) x–1d) 1 e) x2–x+1

6. Reducir: xx

xx x

13 2

9 43 2

2 2

2 +

−+

−−c em o

a) xx

14

−− b)

x 12−

c) x 1

1−

d) x 1

1+

e) x 2

1−

1 77. Efectuar:

x xx x x

94

2 186 9

29

2 2

2 2

− −− + +c e cm o m

a) ( )x

x3 22

+b) 1 c)

( )xx

392

2

++

d) 0 e) ( )x 3

92+

8. Al simplificar: ( ) ( )

( 6 9) ( )x x

x x x x27 3

3 93

2 2+

− −− + +

se obtiene:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Efectuar: x xx x

x xx x

2 32

6 97 12

2

2

2

2

+ −+ − +

+ ++ +

a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2

10. Efectuar: x x

x xx x

x2 1

2 32 5 2

42

2

2

2+ ++ +− −

− −

a) x+1 b) 2 c) xd) 1 e) 0

11. Efectuar: xx

x257 35

51

2 −− +

+

a) x 514+

b) ( )x 5

142+

c) ( )x2 5

9+

d) ( )x 5

492+

e) x 5

8+

12. Reducir: xx

xx

11

112 2

+− +

−−

a) x b) 2x c) 1d) –x e) –2x

13. Efectuar: ( )xx

xx

3 15 6

3 34 15

+− +

++

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

14. Efectuar: xx

xx x x

12

45 3 42

−+ −

+− + −` ^j h

a) 12x+1 b) 12x+2 c) 12x+3d) 12x+4 e) 12x+5

15. Efectuar: xx

xx

xx

11

11

2 21

2

2

−+ +

+−

+−` ej o

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Álgebra


16. Efectuar:

x xx x

x xx x

x xx x

8 75 4

9 148 12

6 710 11

2

2

2

2

2

2

+ ++ + +

+ ++ + +

+ −+ −

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

17. Efectuar: xx x x

x x2

1 1 2 2 12+

++ − + +` ` cj j m

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

18. Efectuar: x yx y

x yx y

x yx y

x yx y

'+

++− +

−+ − −

−c cm m

a) –x2–y2 b) x2+y2c)

x yxy2 2+

d) xy

x y2

2 2+ e) ( )xy

x y2

2 2− +

19. Calcula:

x xx x

x xx x

x xx x

3 23 2

2 110 16

26 16

2

2

2

2

2

2'

+ +− +

− ++ +

− −+ −e e eo o o

a) x–2x–1

b) x+2x+2

c) x–2x+1

d) x+2x–1 e) –2

20. Efectuar: ( ) .( ) ( )x

x xx x

xx xx x

93

3 327

39

2

2 2

2

3

2 2

4 2'

−−

+ −−

+−

a) x3 b) –3x2 c) x3–3x2

d) x3+3x2 e) –x3

Practica en casa

1. Relacionar las columnas correctamente:

;x yx y x y

16 168 8

!−−

A x+4

;x

x x416 4

2!

−− B 2

1

; ;ab aab b a a b0

2

2! !

+

+ − C ab

xx

4 41

2

2

++ D 4

1

2. Reducir cada una de las fracciones:

•

x1 1

1+ =__________________

• x x

x x2

5 62

2

−− +

=__________________

• a b

a ab b3 3

22 2

++ +

=__________________

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

• El valor que toma la expresión: n

n2

6−

para: n=2; es 12................................. ( )

• La fracción: x x5 6

12 − +

no está

definida para x=3; x=2......................( )

• Si en la fracción: ba , en la que

b!0, "a" se triplica y "b" se reduce a la mitad, entonces, la fracción se quintuplica......................................... ( )

4. Simplificar: ; ;x xx x x

4 8 36 7 3

21

23

2

2!

− +− −

5. Reducir:( ) ( );

x xy yx xy y x y x y x y

3 22 2 22 2

2 2/! !

+ ++ + + − −

6. Simplificar: ;x x

x x x2 1

4 4 12

2!

− +−

7. Reducir: – – ; –3; –1a aa a a

4 32 3

2

2!

+ +

8. Reducir: ;x y

x xy y x y4 32 2

2 22 2!

−− +

9. Simplificar: ;x y

xy xy25

3 15 52 2

!!−−

10. Efectuar: ;x xy y

x yx xy y

x y x y2 22 2 2 2

!!+ +

−− +

+c cm m

se obtiene una expresión de la forma:

( ) . ( )x y x ykr p− +

calcular: "k+r+p"

11. Efectuar: ;xy yx

xy y y x

24

20 2

2 2/ !! !

+−

−+c cm m

Capítulo

88

Colegios


12. Dado: ;

;

Ax xx x B

x xx x

Cxx x

2012

9 207 12

44 Z

2

2

2

2

2b

=+

+ =+ +

+

= +

−− −

−` j

Simplificar: [(A)÷(B)]÷[C]

13. Efectuar:

... ;x x x x n

x1 1 11

1 12

1 1 1 Zb+ ++

++

++

` ` ` `j j j j

• Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra cierta variedad de influenza, los funcionarios del Ministerio de Salud aseguran que el costo por vacunar al "x"% de la población es de aproximadamente:

P( )xx x

x

200

1502

2=

-e o en millones de soles.

14. Simplificar la fracción: Px x

x

200

150(x)2

2=

-

15. ¿Cuál es el costo por vacunar al 50% de la población

Tú puedes

1. Reducir: pp

pp p p

p2

1 2 1 11

222 1

2−

++ −

+ ++-e c eo m o

a) p–1 b) p+1 c) pd) p+2 e) p–2

2. Simplificar: ( )pp

p pp p

11

113 1

2−− +

+ ++

-

e o

a) p3+p+1 b) p2+1 c) 0d) p+1 e) 1

3. Si: x–y=2, calcular el valor de: Ex xy y x y

y xx y

x xy y1 32 2 2 2 3 3

=− +

−−− −

++ −

a) 0 b) 1 a) –1b) x c) x–y

4. Efectuar: ...x x x x p

1 1 11

1 12

1 1 1+ ++

++

++` ` ` cj j j m

a) x

x p1

1+

+ + b) x

x p1

1−

+ + c) xx p

1++

d) x

x p 1+ + e) x px 1++

5. Hallar la suma: ...( )

Sx x x x x x x k x k k

13 21

5 61

2 11

2 2 2 2 2=

++

+ ++

+ ++ +

+ +− −;

para x=25 ∧ k=5

a) 1501 b)

1201 c)

501

d) 201 e)

1701

1 7


Capítulo18


Fracciones algebraicas II

. Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y divi-sión para fracciones algebraicas con el objetivo de reducir o transformar expresiones algebraicas.

. Incidir en el desarrollo correcto de las operaciones cuando es-tos se presenten de manera combinada.

FraccioNes aLgebraicas iiLectura: Ver para creer

No hay nada como una demostración visual para que un resultado matemático quede suficientemente claro. Las demostraciones visuales que vamos a ver ahora están relacionadas con sumas infinitas.

Suma de los inversos de las potencias de 2: Vamos a calcular el valor de la siguiente suma: n 1

3

=/

21n

Para ello vamos a usar la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica

n 1

3

=/

21

121

21

1n=

−=

Veamos ahora una imagen que aclara este resultado:

1/2

1/4

1/161/32

1/641/128

1/250

1/8

En la imagen podemos ver cómo 21 es la unidad del área del cuadrado de lado 1, cómo

41 es la mitad

de la otra mitad del cuadrado, y así sucesivamente. Realizando esa división un número infinito de pasos

llegamos a tener el cuadrado entero, que al tener lado igual a 1 da área igual a 1.

Capítulo

90

Colegios


Síntesis teórica

Fracciones Algebraicas II

obtener

también luego

así así

se seobtener

homogéneas

heterogéneas

Operaciones con fracciones

Adición y sustracción Multiplicación División

MCD de todos los denominadores

multiplican los numeradores

invierte la segunda fracción

se multiplican las fracciones

se multiplican los denominadoresc

acb

ca b! !=

ma

nb

pc

mnpanp bmp cmn− + = − + .

.

.ba

dc

ba

cd

b ca d' = =.

.

.ba

dc

b da c=

1 8

Álgebra


Saberes previos

1. Halla el MCM de: 2; 6 y 15

2. Halla el MCM de: (x+2)(x–2) y (x+2)

3. Halla el MCM de: x2–3x y x2–9

4. Simplifica: x

x4162

+−

5. Simplifica: ( )x x

x x5

2 152

−− −

Capítulo

92

Colegios



Comunicación matemática1. Relacionar la columna correctamente:

ca

cb− A .

ba

cd

ba

dc− B

.

.b da c

ba

dc' C

bdad bc−

.ba

dc D

ca b−

2. Efectuar:

• x

ax

x a1 1

1+

++

+ −

• x

xx1 1

1+−−

−

• xx

xx

11

11'+

−+−

=__________; siendo: x!–1

=__________; siendo: x!1

=__________; siendo: x!–1

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• ;xx

xx x2

11

2 22 2 1!

−+ =

−+` j .......................( )

• 1;yx

xy

y xx y xy 0!+ =++= ..................( )

• 1;x x

xx

x6

462

612 6!=−

+−+ +

−− .......... ( )

Resolución de problemasOpera las siguientes fracciones de acuerdo a las operaciones que hay entre ellas:

4. x x4

26

3 2− + +

a) x24

9 2+ b) x6

9 2+ c) x12

9 2−

d) x24

9 2− e) x249

5. x x x3

162

123 4+− + +

a) x1211 b) x

1310 c) x

89

d) x1213 e) x

2411

6. x y x y y x12 15

230

4+ +

− + −

a) x y30

5 − b) x y60

5 + c) x y60

5−

d) x60

5 1+ e) x30

5 1−

7. xx

xx

12 3

16+−

+−−

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. xx

xx

5 23 1

5 23

−− −

−+

a) x

x5 2

2−

b) xx5 2

4−

− c) xx

5 22 4

−−

d) xx

5 22 4+

−e)

xx5 2

4−+

9. xx

xx

23 4

22 2

++ −

++

a) xx

26

++ b)

xx

22

−+ c) 1

d) xx

25 2

−− e) 2

10. x x x1

21

31

12+

+−

−−

a) x

x1

52 −

b) xx

15 12 −

− c) xx

15 1−+

d) xx

15 1+− e)

xx1

5+

11. x x

x5

225

32−

+−

a) x 25

102 −

b) xx

2510

2 −− c)

xx

255 102 −+

d) x 510−

e) xx

55 10

−+

12. .x

x xx x

x x2

2 22 3

32

2

2

2+− −−

a) 2 b) 1 c) x+1d) x–2 e) x

13. Opera: x xx

x x1

2 21

2 21

2 +− −

−−

+

a) ( )x x

x1

1 22 −− b)

( )x xx

12 12 −− c)

xx

122 −

d) xx

11

+− e) 1

14. Multiplica: .xx

xx x

2 502 2

3 34 5

2

2

−−

+− −

a) x

x3

1− b) xx

3 151

++ c) x

151−

d) xx

3 153 1+− e)

xx

3 151+−

15. Simplifica: 11 30

.x x

x xx

xx xx x8 7

136

4 542

2

2

2

2

2

2'

+−− +

−−

− −− −

a) x b) –1 c) 1d) x–1 e) x+1

1 8

Álgebra


Practica en casa

Realizar las siguientes operaciones:

1. x x5

3 15

2− + +

2. x x7

6 57

5 6− − −

3. x x2

132

41− + −

4. x x4

154

23+ − −

5. ( ) ( )x x x

x1

31 1

5 2++

+ −−

6. x

xx

x3

3 25

2 2− − +

7. .( )x

xx xx x

39

32 2

+−

−+

8. x

xxx

1 12

2'− −

9. Multiplicar: xx

x2 52 52

−−c `m j

10. Operar: x

xxx x

23

93

2

2+−−` ej o

11. Simplificar: x x x10

65

362 2'+ −c cm m

12. Simplificar: .x

x xx x

xx4

23 10

425

12

2 2'

+ +

+−− −

13. Simplificar: ( ) ( )x

xx

x x436

2 86 62

'+−

++ −

14. Simplifica:

.x xx x

x x xx

x xx

10 4 3 32

5 13 62

3

3 2 2'

++

− + − − −

15. Opera: x x x x3 11

2 12

6 5 15

2+−

++

+ +

Tú puedes

1. Simplifica: a cc a

a ac cx axa ax

2 23

2

2−

−− +

− + −−

a) 2/3 b) 2 c) 4/5d) 1 e) 3/2

2. Simplifica:

( )m nm n

m nm n m mn n mn23 3

3 32 2 4

+− −

+− + + +e o

a) m2+n2 b) (m–n)2 c) n2

d) (m+n)2 e) 2m4n

3. Indica el numerador final luego de simplificar:

x yx y

x yx y

x yx y

x yx y 1++−

+ −+−

−+ − -

c cm m

a) x2 b) y2 c) 2xyd) x2y2 e) x+y

4. Simplifica:

( ) ( )yx y

y x xyy

y xxy y

2 4 2 22

2 42 43 3

2++

+−− − − −

e o

a) 0 b) x c) yd) x+y e) x–y

5. Simplifica:

.( )

. . .a b

a abab a ba b

bc cdab ad

bc cdba ad c

2 2

2 3 32+

+ ++− −−

a) ba 13 −` j b) 1

ba 3 +` j c) 1

ab 3

−c m

d) 1ab 3

+c m e) b

a 13 +

Capítulo

94

Colegios


1 9


Radicación I

. La definición de radicación desarrollada en el conjunto de los números reales.

. Las leyes de signos de la radicación y su restricción en los nú-meros reales.

. La aplicación de los Teoremas:

. Radicales del mismo índice, multiplicación, división, raíz de raíz.

. Operaciones

– Adición y sustracción. – Multiplicación y división

radicacióN i

Lectura: breVe historia de Las "raíces"En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800-500 a. C. (posiblemente mucho antes). Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca del tema:

"En Europa esos métodos (para encontrar el cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieron antes de Cataneo (1546). Él dio el método de Aryabhata para determinar la raíz cuadrada".

Antes del siglo XVI la raíz cuadrada se representaba poniendo un punto delante del número. El alemán Christoph Rudolff publica en 1525, un tratado titulado Coss. En este aparece por primera vez el símbolo

, es decir es una variación de la letra "r", inicial de la palabra Radix.

Álgebra


Síntesis teórica

Radicación Algebraica I

Ley de signos Teoremas Clasificación

RadicalesHomogéneos

RadicalesSemejantes

Operaciones

Adición y Sustracción

Los radicales son semejantes

Multiplicación y División

Los radicales son homogéneos

Capítulo

96

Colegios


Saberes previos

1. 3x+5x+2x=

2m2+6m3+3m2+5m3=

7x4+8x4–15x4=

6x–12x–7x=

2. (–3)5=

(–3)4=

29=

210=

04=

3. x10.x12.x6=

x5.xm–11.x6=

xx10

12=

xx40

25

-=

4. x1/2=

x1/3=

x2/3=

x5/8=


1. Relacionar:

64 A 4

102410 B 16

325 − C 2

2564 D 8

256 E –2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

5 4 93 3 3+ = ..........................

6 2 8+ = ............................

2 3 4 3 6 3+ = .....................

.12 3 6= ...............................

16 24 − =− ...............................

( )

( )

( )

( )

( )

3. Calcular: E 64 81 125 496 4 3= − + −

4. Efectuar:( ) ( )M 3 3 1 2 2 1 3 2 5= − + − + + +

5. Efectuar: J 8 12 50= + +

1 9

Álgebra


Aprende más

I. Comunicación matemática


78 50 2+ = ......................

2 23284 = ..............................

5 6 11+ = ...........................

x x2 3 5+ + = + ....................

( )

( )

( )

( )

2. Relacionar correctamente:

8 A 3 3

27 B 3 2

12 C 2 3

18 D 2 2

II. Resolución de problemas

3. Efectuar: 28 63 175+ −

a) 7 b) 2 7 c) 3 7

d) 7 3+ e) 0

4. Efectuar: ( )2 2 3 5 8 125+ + +

a) 8 2 8 5+ b) 8 2 c) 8 5

d) 8 82 5− e) 8( )2 1−

5. ( )3 1 8 12 3 2 18− + + +

a) 12 b) 14 c) 15d) 13 e) 16

6. Efectuar: E 2 26015 80204= +

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

7. Reducir:

( )V66 27 3 16 3 32 1n

nn

23 4 5= + − − + −

a) 1 b) –1 c) 2d) 3 e) 0

8. Simplificar: ( )

( ) ( )E3 2 2 3

8 27 16 13 4=

−− +

a) –3 b) –2 c) 1d) 2 e) 3

9. Simplificar: L3 7

2 2 2 8 2 182

4

π=

−+ −

a) 2 b) 3 c) 6d) –1 e) 0

10. Reducir: . 6

. .M16 72 18

32 24 234

34=

+a) 1 b) 24 c) 2

d) 34 e) 3

11. Reducir: 2

16 4 543

3 6 3 2− +e o

a) 100 b) 25 c) 16d) 1 e) 5

12. Reducir: . . ( )F 5 125 625 5 625 5n n n n n n n4 4= − + -

a) –5 b) 3 c) –2d) 4 e) –6

13. Si: x y2 1 2 1/= + = −

Además: ( ) ( )E x y x y2 2= + − −

( )( )M

x yx y

56 23

=+

+ −

Calcular: E+M

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Reducir:

( ) ( )(2 3) (2 3)G

3 23 2

3 23 2

7 1 7 13 3=

−+ +

+− +

+ −+ −

a) –7 b) 9 c) 13d) 21/2 e) 5/2

15. Calcular: ( 5 24 5 24 )B2

2= + + −

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Capítulo

98

Colegios


Practica en casa


45 125 8 5+ = ....................

2 86065 = ...............................

12 7 19+ = .........................

32 27 15 3− − − = .....................

( )

( )

( )

( )


72 A 8 2

128 B 6 2

98 C 4 2

32 D 7 2

3. Efectuar: 18 50 72+ −

4. Efectuar: 2 2( )3 5 27 20− + +

5. Efectuar: E 3 33015 63= +

6. Reducir: H77 64 3 1000n

nn

23 3= + − −

7. Simplificar: ( )

( ) ( )M5 2 3 2

12 32 81 15 4=

−− +

8. Reducir: M5 1

3 1 3 5 5 1=+

+ + + −

9. Reducir: M2

32 64 2 84

4 24 12 3

= − +e o

10. Simplificar: ( ) ( )2 2 5 63 2 3 2 15

++ − +

11. Efectuar:

x x x x16 1 1 1 12 2 2+ − − + + −^ ^ ^ ^`h h h h j

12. Efectuar: ( ) ( 1)8 7 562 2+ − +

13. Efectuar:( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)7 7 7 72 2+ + − + + −

14. Efectuar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 1 5 1 3 1 3 1 3 14 4 4 4+ + − + − + +

15. Calcular: .2

5 12

51

51

2

+−

−f fp p

Tú puedes

1. Calcular: .F2

3 12

31

31

2=+

−−

a) 3 b) 6 c) 2

d) 3 1− e) 16 +

2. Si: ;a b21

21

21

21= + = −

entonces E aa

bb

1 1= + + + es igual a:

a) 2 b) –3 c) 21

d) 0 e) –1

3. Efectuar: M32

3 12 3

3 12 3=

++ +

−−c m

a) 2 b) 21 c) 2

d) 22

e) 24

4. Si: ;a b2 12 1

2 12 1= =

+−

−+

Calcular: a3b–ab3

a) 0 b) 1 c) 2

d) –24 2 e) –2 2

5. Efectuar:( ) ( )E

912 8 3 2

427 18 3 22 2

= + + + + − − +

a) 7 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

1 9


Capítulo


Radicación II

. A los radicales dobles.

. Su transformación a radicales simples. (Condición para la trans-formación)

. Los diferentes casos para transformar un radical doble a simples (tipo raíz cuadrada)

radicacióN ii

Lectura: La diViNidad deL Número áureo

El número áureo de oro también llamado Divina proporción, representado por la letra griega f (fi) (en minúscula) o F (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:

j=2

1 5 .+ 1,618033988749894848204586834365638117720309...

Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza. Puede hallarse en elementos arquitectónicos, en las nervaduras de las hojas de algunos árboles en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, pinturas, música, etc.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Poporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.

El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.

La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad; del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.

La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.

Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

20

Capítulo

100

Colegios


Síntesis teórica

Radical doble

Forma general

Caso: A B!

Condición operativa

Fórmula de transformación

Regla práctica Casos diversos

Transformación a radicales simples

20

Álgebra


Saberes previos

1. .x a x a2 = (extraer un factor)

• 45

• 12

• 8

• 32

• 108

• 245

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

2. x b x b2= (ingresar un factor)

• 2 5

• 6 3

• 2 7

• 4 11

• 7 3

• 8 2

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

=____________________________

3. xn.yn=(x.y)n

• 42.32

• 21/3.41/3

• 51/2.51/2

=__________________________

=__________________________

=__________________________

4. Efectuar:

• (x+2)(x–2)

• ( 3 +2)( 3 –2)

• ( 3 +2)2

• ( 3 –2)2

=____________________

=____________________

=____________________

=____________________

5. Factorizar:

• x2–8x+15

• x2–x–2

• x2+5x+4


1. Convertir a radicales simples:

8 2 15+

2. Transformar a radicales simples:

9 2 20−


5 24−


2 3+


10 19+

Capítulo

102

Colegios


Comunicación matemática1. Relacionar correctamente:

7 2 12+ A 6 2+

8 2 12+ B 3 2+

8 2 15+ C 5 3+

5 2 6+ D 3 2+


• El radical doble: 20 2 51− es equivalente a 17 3− .................... ( )

• El radical doble 6 32+ es mayor que 7 2+ ..................................... ( )

• Al multiplicar 2 3 2 3+ − se obtiene 1........................................... ( )

• Todos los radicales dobles son transformables a radicales simples......( )

Resolución de problemas3. Convertir a radicales simples

• 10 19+ = __________________________

• 3 8+ = ___________________________

• 25 6+ = __________________________

• x x x2 5 2 5 62+− − − =______________

______________________________________4. Reducir:

A 5 2 6 10 2 21 9 2 14= − − + + +

a) 3 1− b) 13 + c) 3 2+d) –2 e) 0

5. Calcular "A+B–C" si: ABC

7 2 128 2 159 2 20

= += −= −

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12

6. Efectuar: E 21 320 2 9 80= − − + +

a) 5 b) 5 c) 3

d) 2 e) 77. Si se cumple que:

x x x mx n px m5 2 2 6 7 32− + − − = + + −Calcular: "m+n+p"a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) 4

8. Transformar en un solo radical doble:8 60 5 24+ − −

a) 7 40− b) 10 40+ c) 7 40+

d) 10 40− e) 5 2+

9. Calcular el valor de:( ) ( )E 3 7 5 7 32 10 7= + − − +

a) –2 b) –3 c) –4d) –5 e) –6

10. Descomponer en radicales simples:.2 7 2 124 −

a) 12 + b) 13 + c) 13 −

d) 3 2+ e) 13 −

11. Efectuar: .M 3 2 5 2 6n n2= + −n n 2>Z!

a) 2n2 b) 2n c) 1

d) 2 e) 2 3n +

12. Calcular "x" en b b x2 3 22− = −

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13. Transformar a radicales simples la expresión:

E x x x5 2 24 14 52= − + − −

a) x x2

6 52

4 1− + +

b) x x2

5 22

6 3++ −

c) x x2

6 52

4 1+ + −

d) x x6 5 4 1− + +

e) x x2

6 52

4 1− − +

14. Calcular:

M 2 5 3 6 2 8 2 12= + − − + +

a) 24 b) 34 c) 3

d) 2 2 e) 3 3

15. Simplificar:

...M 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2= + + + + +e indicar uno de los radicales simples.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 22 e) 2 2

Aprende más

20

Álgebra


Practica en casa

1. Relacionar correctamente

9 2 14− A 5 2+

9 2 18− B 7 2−

9 2 20+ C 6 3+

9 2 18+ D 6 3−


• El radical doble: 10 2 16− equivale a 2 ................................... ( )

• Los radicales simples: 2 5 3+ equivalen al radical doble

29 2 180+ ...................................( )

• El radical doble: 17 2 72− es igual a: 3 2 2− .........................................( )

• El radical doble x x x2 2 2 2+ + + equivale a los radicales simples:

x x1+ + ....................................... ( )


• .2 8 15+ =________________________

• .2 18 35+ =_______________________

• x x x2 2 2 2 152+− − − = _____________

______________________________________

• x x2 2 252+ − =_____________________

4. Reducir: E 5 24 9 56 10 84= + + − − −

5. Reducir: L 28 300 19 192= − + +

6. Si se cumple que:

x x x ax b cx a5 1 2 6 22− + − − = + + −

Calcular "a+b+c"

7. Transformar en un solo radical doble:

M 11 112 6 32= + − −

8. Calcular el valor de:

( )H 5 2 3 74 2 3 8 2 3= + − − −

9. Efectuar:

. ; ( ; )E n n7 5 12 2 35 2>Zn n2 != + −

10. Descomponer en radicales simples:

.N 2 17 2 724= +


N y y y1 2 32= − + − −

12. Simplificar y transformar a radicales simples:

...L 2 2 2 2 2 2 4 2 3= + + + + +

13. Simplificar: 3 2 x169 2

+ -

14. Si: b b x2 3 22− = − ; (5>b>1)Hallar el valor natural de "x"

15. Reducir: R 4 4 2 6 2 5 10 2 5= − − + −

Tú puedes

1. Proporcionar el valor de: .βα θ

Si: ( )x y xyα θ αθ β+ + + es transformable a radicales dobles.

a) 1/5 b) 1/2 c) 1/4d) 1/3 e) 1/6

2. Indicar un radical simple de:

E x x1 2 1 2= + − ; 0<x<1

a) x b) x 1− c) x 2+

d) x 1+ e) x1 2−


x x21 2

41+ −

a) 22 b)

42 c) 2

d) x8

1− e) x2

1+

4. Si: (x) (x)P Q ax b mx2 2+ = + + +

además: P(x)+Q(x)=8x2+30x+17Calcular: "a.b.m"

a) 35 b) 70 c) 80d) 40 e) 60

5. Calcular: ( )n n 1n 1

100− −

=/ , indicar la parte

racional.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

Capítulo

104

Colegios


radicacióN iii

21

Lectura: ejercicios de 4 operacioNes coN radicaLes

Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente

investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era

irracional, no expresable como cociente

alguno, lo que supuso un hito en la matemática

de la época. Posteriormente se fue ampliando la

definición de raíz cuadrada. Para los números

reales negativos, la generalización de la función

raíz cuadrada de éstos da lugar al concepto de

los números imaginarios y al cuerpo de los

números complejos, algo necesario para que

cualquier polinomio tenga todas sus raíces

(teorema fundamental de álgebra).

FUENTE: http:/www.disfrutalasmatematicas.com


Radicación III

. El concepto de racionalización.

. El concepto de factor racionalizante.

. Racionalización de:

– Un solo radical. – Una suma o diferencia de raíces cuadradas.

Álgebra


Síntesis teórica

Racionalización

Proceso que transforma el denominador (en algunos casos el numerador) irracional de una fracción en una cantidad racional.

Caso I: xmn Caso II: A B!

Factor racionalizanteCantidad irracional que al multiplicar a otra cantidad irracional la transforma en racional

Capítulo

106

Colegios


Saberes previos

1. Efectuar: 3 2 5 2 6 2+ −

2. Efectuar: a) .2 8 =

b) .9 33 3 =

3. Efectuar:

a) .x x23 43 =

b) .m m513 813 =

4. Efectuar:

a) ( ) ( )3 2 3 2+ − =

b) ( ) ( )5 2 5 2+ − =


a) 7 2 12+ =

b) 12 2 27− =


1. Relacionar correctamente

CantidadIrracional

Factor Racionalizante

x513 A x213

x3513 B x813

x413 C x413

x5013 D x913


• El factor racionalizante de: x35 es x25 ..................................................( )

• El factor racionalizante de x11 es x .................................................... ( )

• El factor racionalizante de 3 2− es 3 2− + .............................................( )

• Al racionalizar 6 24−

se obtiene

6 2+ ............................................... ( )

3. Racionalizar el denominador de:

• x137

= _______________________________________

• x1179

= ______________________________________

4. Racionalizar el denominador de:

• 13 21−

= ___________________________

• 15 10

1+

= __________________________

5. Racionalizar el denominador de:10 2 21

2+

21

Álgebra


Aprende más

Comunicación matemática

1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 2

11–3 A – 11+3

11+3 B ( )11 3− −

– 11+3 C 11+3

– 11–3 D 11–3


• El F.R. de: 12 es 3 ...................... ( )

• El F.R. de: 123 es 183 .....................( )

• El factor racionalizante de 3 1+ es 13 − ............................................. ( )

• El factor racionalizante de 2 1− es

1 2− ............................................... ( )


3. Racionalizar el denominador de E49

425

=

a) 6 3435 b) 6 75 c) 6 495

d) 495 e) 3435

4. Racionalizar el denominador de: B36

184

=

a) 6 b) 2 6 c) 3 6

d) 4 6 e) 5 6

5. Indicar el denominador racionalizado de:

Hx y

xy5 73

=

a) x2y3 b) xy2 c) xyd) x3y2 e) x2y

6. Al racionalizar: 3

64

se obtiene una expresión m n4 , indicar: m×n.

a) 18 b) 20 c) 24d) 48 e) 54

7. Racionalizar el denominador de: E7 23=−

a) ( )3 7 2+ b) 7 2− c) 7 2+

d) 7 1− e) 7 3−

8. Racionalizar el denominador: D4 2

42=−

a) 15+2 3 b) 9+3 2 c) 9–3 2

d) 12+3 2 e) 15–2 3

9. Efectuar: M3 5

45 3

23 12=

++

++

−a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Efectuar: A5 3

25 2

33 2

1=+

+−

++

a) 0 b) 5 c) 2 2

d) 2 e) 2 5

11. Efectuar: N33

22

3 21= + −−

a) 3 b) 2 3 c) 0

d) 2 e) 2 2

12. Efectuar:

8 2 124

7 2 103

11 2 301

++

−−

−

a) 1 b) 5 c) 2

d) 0 e) 3

13. Efectuar:

E9 2 183 2

8 2 124 3

5 2 66=

+−

++

+

a) 8 b) 4 c) 0d) 3 e) 5


3 5 810

+ +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Racionalizar: E2 3 5

12 30=+ +

+

y reducir la expresión.

a) 2 3 3 2+ b) 3 3 2 2+ c) 2 5 3+

d) 3 5+ e) 2 30

Capítulo

108

Colegios


Practica en casa

1. Relacionar correctamente para que la cantidad racionalizada sea 3

7 –2 A – 7 +2

7 +2 B – 7 –2

– 7 +2 C 7 +2

– 7 –2 D 7 –2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

• El factor racionalizante de: 73 es 493 ................................................. ( )

• El factor racionalizante de 27 es 3 .................................................... ( )

• El factor racionalizante de 8 1+ es 8 1− ............................................... ( )

• El factor racionalizante de 13 − es 13 + ............................................... ( )

3. Dar la expresión racionalizada de: F3

9=

4. Racionalizar el denominador de: B255

4=


..J

m nm n4 85

=

6. Racionalizar: .2 3

125 79

7. Racionalizar el denominador de: G5 24=−

8. Racionalizar el denominador de: H27 572=

−

9. Racionalizar el denominador de: M8 2 7

6=+

10. Racionalizar el denominador de:H

10 2 211=

−

11. Racionalizar el denominador de: F3 618 12=

++

12. Efectuar luego de racionalizar cada fracción:

5 21

7 61

6 51

−+

++

+

13. Calcular: 7 2

52 11

7 16

++

+−

−

14. Reducir:

3 11

5 31

7 51

9 71

++

++

++

+


2 3 51

+ +

Tú puedes

1. La expresión racionalizada de:

x x x2 5 2 5 612+ + + +

equivale a:

a) x x3 2+ + + b) x x3 2+ +−

c) x x3 2+ + − d) x x3 2+ +−e) 1

2. Efectuar: C5 110 3 5

1 2=

++ +

-^c h m

a) 1 b) 2 c) 32d) 4 e) 5

3. Si se cumple: a b3 7

26 2 7−− = + ; ("a", "b"

enteros positivos). Hallar a2–b

a) 9 b) 15 c) 29d) 2 e) 18

4. Después de reducir:

5 6 10 151

61 4 15

++

− −− −

obtenemos:

a) 6 10 15+ + b) 3 5 2+ +

c) 2 1+ d) 1

e) 15 −

5. Hallar el valor de "x" en la siguiente igualdad:

( )256 8 54x6 9 6+ =

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6d) 2 e) 1/5

21


Capítulo

teoría de ecuacioNes


Teoría de ecuaciones

. Concepto de igualdad y ecuación.

. Clasificación de las ecuaciones.

– Por su estructura. – Por el número de soluciones.

. Teoremas de resolución:

– Resolución por despeje. – Ecuaciones literales.

22

Lectura: iguaLdad y equiLibrio

"El concepto de igualdad aparece desde tiempos romanos de la humanidad y la asociamos con la imagen de una balanza equilibrada, la cual nos indica una equivalencia de cantidades, si hay un desequilibrio buscaremos un peso adecuado para obtener el equilibrio, dicho peso nos da la idea de la incógnita en un ecuación.

Capítulo

110

Colegios


Síntesis teórica

Igualdad

Teoría de ecuaciones

Ecuación

Resolución por despeje

Ecuaciones literales

Teoremas de resoluciónSolución Clasificación

Definición

Por su estructura

Por el número de soluciones

22

Álgebra


Saberes previos


• 5+2–4 =

• –3+7=

2. Reducir:

• x+5x–8x=

• 2m+4m+7m–9m=

3. Efectuar:

• 4(x–2)=

• 3(x–1)+3=

4. Desarrollar: (x+5)2–x(x+2)=

5. Factorizar:

• mx+nx=

• mx–3x=


1. Clasifica a las siguientes ecuaciones de acuerdo

al número de sus soluciones:

I. 2x+5=2x+5

II. 3x+7=3(x+2)

III. 2x+1=15

2. Si x=5 es solución de:

3(x–2)+n=2x

Hallar "n"

3. Hallar "x" en la ecuación: x

x1

3 2+

=

4. Hallar "x" en la ecuación: x 2 5− =

5. Despejar "x" en la ecuación: x–2b=a

Capítulo

112

Colegios


Aprende más

1. Hallar "x" de la ecuación: 3x+1=13

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2. Hallar "x" en la ecuación: 5(x–2)+3(x+4)=66a) 4 b) 6 c) 8d) 40 e) 12

3. Hallar x" en la ecuación: ( ) 4x10

4 3− =

a) 5 b) 13 c) 9d) 12 e) 8

4. A partir de la ecuación: 5(x+2)=2(x+5)+3xSe puede afirmar que:

a) Presenta solución únicab) Presenta infinitas solucionesc) Es incompatibled) Su solución es 5

e) No presenta solución

5. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: x(x–7)=5(x–7)a) 5 b) {5} c) {7}d) {5;7} e) 5;7

6. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: (5x+3)(x–2)=8(x–2)a) {2} b) {1; 2} c) {2; 3}d) {–2; 3} e) {2; 9}

7. Hallar el conjunto solución de la ecuación:

3xx

112

−− =

a) {1} b) {2} c) { }d) {3} e) {4}

8. A partir de la ecuación: xx x

45

8 205

8+−

= +−

Se puede afirmar que: a) Presenta solución únicab) Presenta infinitas solucionesc) Es incompatibled) Su conjunto solución es vacíoe) c y d

9. Hallar "x" en la ecuación: x3

2 1− =

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 11

10. Despejar "x" de la ecuación: x+b=a

a) ab b) a+b c) a.bd) –(b–a) e) 0

11. Hallar "x" en la ecuación: ( 0)ax a a2

1 !− =

a) a

a1+

b) a

a 1+ c) a

a2 1−

d) a

a2 1+ e) a

a3 1+

12. Hallar "x" en la ecuación: ax–3=bx+a (a!b)

a) aa b

3−+ b)

a ba 3−+ c)

a ba 3+−

d) 1 e) a ba 3

−−

13. Halla "x" en la ecuación: ax–5b=2a+bx

a) a ba b5

++ b)

a ba b2−+ c)

a bb a5−+

d) a ba b2 5−+ e)

a ba b3−+

14. Hallar "x" en: 1x x x12+ + = +

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

15. Halle el conjunto solución de:

xx x

xx

24

39 11

2 2

+− + =

−− −

a) {–2} b) {–6} c) {–2;–6}d) {–8} e) {–8;6}

22

Álgebra


Practica en casa

1. Hallar "x" en la ecuación: 2x+3=11

2. Hallar el conjunto solución de: 7(x–2)=35

3. Hallar "x" en la ecuación: ( ) 3x9

2− =

4. La ecuación: 4(x+2)=3(x+1)+x+5de acuerdo al número de soluciones se clasifica como:

5. Si: x=3 es solución de: 4(x–2)+n=9Hallar: "n"

6. Halle el conjunto solución en la ecuación: x(x–4)=5(x–4)

7. Halle el conjunto solución de:(x+4)(x–1)=7(x–1)

8. Halle el conjunto solución de la ecuación:

4xx

242

+− =

9. La ecuación: 8xx – 5

4 40x – 5

4+ += , se clasifica como:

10. Hallar "x" en la ecuación: x 1 4+ =

11. Despejar "x" de la ecuación: x–m=a

12. Hallar "x" en la ecuación: m

mx 1 3− =

13. Hallar "x" en la ecuación: ax+b=cx+d

14. Resolver la siguiente ecuación: x2

5 2+ =

15. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: x x x

52

41

33+ − + = −

Tú puedes

1. Si el C.S de la ecuación:( ) ; :x x x es

nn

32 1

51

103 1+ − − = + +$ .

Hallar el valor de: n2–3

a) 0 b) 6 c) 22

d) 13 e) 46

2. Si al resolver la ecuación en "x": ax+5=3x+b; se obtiene infinitos valores para "x" que verifican la igualdad. Hallar el valor de "a+b"

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

3. Hallar "x" en: ;x a ax a a a

5 65 6 4 0>

+ −+ + =

a) a1546 b) a

1547 c) a

1548

d) a1549 e) a

1550

4. Halle el cardinal del siguiente conjunto:A={x∈R/x–5+ x 9− =2+ x 9− }

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

5. Hallar "x", en: 2n

x mm

x nmn

m n2 2+ − + = + − ; mn≠0a) m+n b) –2n c) m–nd) n–m e) –2m

Capítulo

114

Colegios


23

ecuacioNes de 1er grado i

Lectura: curiosidades matemáticas

El uso de las letras x, y, z para representar incógnitas y las primeras del

abecedario para valores conocidos, aparece en el libro "La Geometrie"

de Descartes. Se cuenta que cuando el libro se estaba imprimiendo

y debido a la gran cantidad de ecuaciones que tenía, los impresores

se quedaban sin letras. El editor le preguntó a Descartes si podía

emplear otras letras para las ecuaciones. Descartes le respondió que

era indiferente las letras que utilizase en las ecuaciones. El editor eligió

la x porque en francés esa letra se utiliza poco.

FUENTE: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/curiosidades.htm


Ecuaciones de 1er grado

. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

. Ecuaciones reducibles a primer grado.

. Ecuación de la forma: Ax+b; compatible determinada, compa-tible indeterminada e incompatible.

Álgebra


Síntesis teórica

Resolución

Ecuaciones reducibles a primer grado

Análisis de la ecuación: Ax+B=0

Ecuaciones de primer grado I

Capítulo

116

Colegios


23Saberes previos

1. Simplifica las siguientes expresiones

• –3x+4x–5x+6x–6x–7x

• x2+2x2+4x2–3x2+5x2

• x2+3x+3x2–5x+6x2

=____________

=____________

=____________

2. Multiplica los binomios

• (x–2)(x+2)

• (3+x)(3–x)

• (x+4)(x–4)

=________________________

=________________________

=________________________

3. Multiplica los binomios

• (x+1)(x–2)

• (x–7)(x–8)

=________________________

=________________________

• (x+9)(x–1) =________________________

4. Desarrolla los binomios al cuadrado

• (x+3)2

• (x–4)2

• (2x–3)2

=____________________________

=____________________________

=____________________________

5. Factorizar:

• ax + 3x = ______________________

• mx – nx = ______________________

• ax + bx – 3x = ______________________


A. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

1. 5(x+3)+2(x−1)=7(x+2)−x

2. (x+3)2+(x−3)2=2x(x+3)−3

3. (3x+1)(x–2)=3x2–12

B. Si la ecuación de incógnita "x":(a–4)x=b+3presenta infinitas soluciones; indicar el valor que adopta"ab".

C. Sea la ecuación: x3m–2+7m=10si la incógnita "x" es de primer grado, hallar el conjunto solución.

Álgebra


Aprende más

1. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 3(x+1)–2(x+3)=5–xa) {8} b) {4} c) {2}d) {–1} e) {5}

2. Calcular el valor de "x", en la ecuación:4(x–2)+3(x+7)=9+3(x+7)a) 17/4 b) 13/4 c) 11/4d) 19/4 e) 7/4

3. Hallar "x" en la ecuación: (x–3)(x+2)–(x+5)(x–1)=3xa) 2 b) 1/8 c) –3d) –1/8 e) 0

4. Hallar "x" en la ecuación:(x–3)(x2+3x+9)–x(x2–4)=1a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

5. Determinar el valor de la incógnita en:(x+3)2+x+(x+4)2=2(x+5)2

a) 9 b) 10 c) 11d) –9 e) –5

6. Hallar "x": (x+2)3=(x+1)3+3x2+7x–5a) 3 b) 4 c) –3d) –4 e) –6

7. Si 6 es solución de: 5(x+m)+2(x–3m)=1Indicar el valor que adopta "m"a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

8. Si 9 es raíz de: 5(x+n)–2(x–3n)=x–4, hallar "n".a) –5 b) –1 c) –2d) –3 e) –4

9. Si la ecuación de incógnita "x": 5–2(xn+3–n+2)=7, es de primer grado. Determinar: x+na) –4 b) –6 c) –7d) –8 e) –9

10. Hallar "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–15)x+(6m–3n)=0, presenta infinitas solucionesa) 43 b) 44 c) 45d) 46 e) 48

11. Obtener "ab+ba", si la ecuación de incógnita "x": ax+3=2bx+3b, es compatible indeterminada.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Si la ecuación en "x": (m–5)x = 1, es incompatible. Hallar m2

a) 0 b) 1 c) 5d) 25 e) 5

13. Si la ecuación en "x": ax+5=5(x+4)+x, es absurda. Hallar "a".a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

14. Que valor no debe tomar "m" para que la ecuación en x: mx–1=3x+5, presente solución única.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. La ecuación: (aa)x+256=27x+bb

es indeterminada: calcular el valor de "ab".

a) 1 b) 4 c) 12d) 0 e) 9

Capítulo

118

Colegios


231. Hallar el conjunto de la siguiente ecuación:

5(x–2)–3(x+1)=5–x

2. Calcular el valor de "x" en la ecuación:3(x–2)+2(x–3)=7(a–4)

3. Hallar el valor de "x" en la ecuación:(x+5)(x–1)–(x–3)(x–2)=88

4. Indicar el valor de la incógnita al resolver la ecuación: (x+5)(x2–5x+25)–x(x+3)(x–3)=1

5. Determinar el valor de la incógnita en:(x–8)2+(x–2)2=2(x–4)2

6. Hallar el valor de "x" en: (x–2)3+3x2=(x–1)2+2

7. Si: 53 es solución de la ecuación:

7(x+n)+3(x+2n)=5indicar el valor que adopta "n".

8. Si: 4–1 es raíz de la ecuación: (x+2n)2–(x–2n)2=1entonces el valor de "n" es:

9. Si la ecuación de incógnita "x":9–4(xm+5+m–7)=1es de primer grado, determinar el valor de "x+m".

10. Hallar el valor de "m+n", si la ecuación de incógnita "x": (m–4)x+(3m–2n)=0es indeterminada.

11. Obtener el valor de "ab", si la ecuación de incógnita "x": ax+8=b(3x+2)presenta infinitas soluciones.

12. Si la ecuación en "x": (49n–9)x=2012es absurda, hallar el valor de: n

13. Si la ecuación en "x": mx–4=3(x–2)–xes inconsistente, hallar el valor de "m"

14. Si la ecuación: bx–4=7–2x es incompatibleIndicar el valor que adopta "b".

15. La ecuación: nn–(mm)x=3125–4xpresenta infinitas soluciones, calcular el valor de: J n m2= +

Tú puedes

1. Determinar el valor de la incógnita "x" en:

(x+2a)(x2–2ax+4a2)+(2 2 ax)2=(x2+a)

(x+8a2); (a!0)

a) 2 2 b) 1 c) 2

d) –2 a) 0

2. Calcular "x" en la ecuación:(x+3)(x+1)(x−2)(x−4)=(x−5)(x+4)(x+2)(x−3)+12(x−5)(x+4)+6x

a) 4 b) 8 c) 20d) 24 e) 30

3. Calcular el valor de "x" en la ecuación:( )

bx

ab x

ba a x

2+ + = −

a) a+b b) ab c) a−bd) a2b2 e) (a+b)2

4. Resolver para "x"

(b+c)2=b c

b c3 3

−− + ( )

xbc b c+ ; bc!0

Indique: "x−c"

a) a b) b c) c

d) a+b e) a

b c−

5. Resolver la ecuación de primer grado definida para "x":(x+a)3−(x+b)2+1=(x−a)3+(x−b)2+29a3+2(x+b2)

a) −2 b) 22 c) −2b2

d) 22+b2 e) −4b2

Practica en casa


Capítulo

ecuacioNes de 1er grado ii

Lectura: dioFaNto

Diofanto fue un matemático griego que vivió entre el 200 y el 290 dC.

Su vida se desconoce por completo; sin embargo ha llegado hasta nosotros un texto escrito por él llamado

"La Aritmética" en el que se plantean y resuelven 189 problemas de álgebra que hoy resolveríamos utilizando

ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de ecuaciones. Por este hecho se le conoce como el padre del

Álgebra y a las ecuaciones de primer grado se les llama, también, "ecuaciones diofantinas"

Sobre su tumba, a manera de epitafio uno de sus alumnos escribió el siguiente problema:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años

que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el

primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso

niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo

que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

¿Podrías resolver el problema y encontrar cuántos años vivió Diofanto?

FUENTE: http://juntadeandalucia.es


Ecuaciones de 1er grado II

. Resolver ecuaciones con coeficientes fraccionarios.

. Resolver ecuaciones fraccionarias que se transforman en ecua-ciones de primer grado. (con restricciones)

. Plantear y resolver ecuaciones de 1er grado.

24

Capítulo

120

Colegios


Síntesis teórica

Con coeficientes fraccionarios y/o

irracionales

Fraccionarias reducibles a 1er. grado

Planteo de ecuaciones de 1er. grado

Ecuaciones de primer grado II

24

Álgebra


Saberes previos


• 4 (x–3) – 3 (x–5) =

• 8(m–n) + 5 (2m+n) =

2. Calcular:

• mcm (2; 3; 5; 7) =

• mcm (2; 6; 12; 9) =


• xx

21

−− está definida; para x=2 ......... ( )

• xx

33

−+ no está definida para x=3 ..... ( )

4. Simplifica las siguientes fracciones:

• x

x3

3−−

• a b

a b4

4− −− +

5. Efectúa las siguientes operaciones:

• 2 5 3 5 125+ − =

• 8 2+


Resolver las siguientes ecuaciones:

1. x x32

51

2 101+ = −

2. x3 1 2 6− = +

3. x x3

17

1−

=−

4. xx x

53

1 153

1+−

= +−

5. Representar a través de una expresión algebraica los siguientes enunciados:• El exceso de A sobre B.• A es excedido por B.

Capítulo

122

Colegios


1. Hallar el conjunto solución de:x x x2

32

153 15− = − −

a) {–11} b) {–10} c) {–12}d) {–13} e) {–14}

2. Hallar el conjunto solución de:x x32

101

52− = +

a) 32−$ . b)

23−$ . c)

21−$ .

d) 34−$ . e)

41−$ .

3. Hallar el conjunto solución de:( ) ( )x x x

45 2

34 1

122− − + = −

a) {0} b) {–1} c) {1}

d) { } e) {2}

4. Hallar el conjunto solución de la ecuación:( ) ( )x x5 5 3 3+ = +

a) { 5 3+ } b) { 5 3− }

c) { 5 2 3− } d) { 5 3− − }

e) { 5 3+− }

5. Hallar "x" en: x x3

22

362− − − =

a) 3 2+ b) 3 2− c) 2 3−

d) 2 3− − e) 1

6. Hallar "x" en: 4 2x x2

12

3−

+ =−

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Hallar "x" en: xx x

x23 7

21 8

++ + =

++

a) –3 b) 1 c) 2d) 5 e) 4

8. Hallar "x" en: x

xx1

2 21

3−

− =+

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6


41

101

51+ − =

a) –8 b) –6 c) –4/5d) –2 e) 0

10. Hallar "x" en: ( ) ( )( ) ( )

m m n n n mm x n n x m 1

+ + −+ − − =

a) m b) n c) m+nd) m–n e) mn

11. La suma de tres números consecutivos es 12. Indicar el número mayor.

a) 3 b) 7 c) 5d) 9 e) 10

12. La tercera parte de la edad que tendré dentro de 12 años será igual a 15 años, ¿qué edad tengo?

a) 31 b) 33 c) 34d) 35 e) 40

13. El exceso de un número sobre 30 equivale al exceso de 45 sobre la mitad del número en mención. Hallar dicho número.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

14. Si el cuadrado de un número N se agrega 11 se obtiene el cuadrado del consecutivo de N. Indicar la quinta parte del valor que adopta N.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Ana le pregunta a Claudia la hora y ella le responde: "Son las cinco séptimas horas de lo que falta para terminar el día", ¿qué hora es?

a) 2 horas b) 4 horas c) 10 horasd) 12 horas e) 14 horas

24Aprende más

Álgebra


Practica en casa

1. Hallar el conjunto solución de: x x75 8

53 4− = +

2. Hallar el conjunto solución de: x x94

31

52 4− = +

3. Resolver: ( ) ( )x x x4

3 13

2 36

3− − + = −

4. Resolver: ( )x x2 2 1 3 1+ = +

5. Al resolver la ecuación: xx

11

23

−+ =

se obtiene el conjunto solución {a+ b }, hallar "a+b"

6. Resolver: x x7

1 97

7 3−

+ =−

+

7. Hallar "x" en: 10xx x

x12 5 2

13

++ + =

++

8. Hallar "x" en: 3x

xx2

32

7−

− =+


61

151

51+ − =

10. Hallar "x" en: q

x pp

x q1 1+ − = − +

11. La mitad de la edad que tendrá Cecilia dentro de 13 años será igual a su edad actual disminuido en 7 años. ¿Cuál es la edad de Cecilia?

12. La mitad de la edad de Valentina excede a su sexta parte en 10 años. Indicar la edad de Valentina hace 5 años.

13. Hallar un número de tal manera que su quíntuplo aumentado en tres equivale a 28.

14. Un número es tal que sus dos quintas partes equivalen al cuadrado de diez. Hallar la mitad de dicho número.

15. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora el nivel del agua disminuye en la mitad más un metro, determinar la cantidad de agua al inicio.

Tú puedes

1. Si la ecuación lineal:3(a−3)−ax2(xn)=2(b+2n)+5xn+2

definida en "x", admite infinitas soluciones.Hallar el valor de "2a−b−n"

a) 10 b) −1 c) 5d) 1 e) −6

2. Resolver: ( ) ( )x x x x52

35 4

33

32 2− + = − − +8 B

a) 2 b) −1 c) 5d) 4 e) 7

3. En la ecuación en "x"n2(x−1)+x(10−7n)=14−9nDetermine el valor de "n" para que dicha ecuación sea compatible indeterminada

a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 7

4. Hallar el valor de "m" de tal manera que la ecuación en "x": m3x−2b+3xm2=7−x(1+3m); sea incompatible

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) −1

5. Don ramón cría cuyes en una granja. Él ha observado que si coloca 5 cuyes en una jaula, le sobra 4 cuyes; pero si coloca 7 cuyes en cada jaula, le sobran 2 jaulas. ¿Cuántas jaulas tiene

Don Ramón?

a) 9 b) 7 c) 5d) 3 e) 1

Capítulo

124

Colegios


repaso iii


Repaso III

. La identidad notable como la diferencia de cuadrados (a2−b2) y

el trinomio cuadrado perfecto. (identificación, aplicación para

factorizar)

. Identificaremos que el polinomio se trata de una suma o dife-rencia de cubos (a3±b3).

. Reforzaremos el Método de Ruffini para factorizar polinomios de la forma: ax3+bx2+cx+d

Lectura: códigos aLgebraicos

Cuenta la historia que a mediados de siglo XVI los estados

españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que

sus mensajes pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban

una serie de caracteres desconocidos. Durante los desórdenes

de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500

caracteres diferentes y aunque sus mensajes eran frecuentemente

intersectados, no podían ser descifrados. Mandadas estas cartas

a Vieta las descifró son mayores problemas. Esto desconcertó a

los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo había

descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un

matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones

matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra

nueva" donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para

las matemáticas al efectuar cálculos con letras en lugar de con

números y aplicar la factorización.

FUENTE: http://neetescuela.com

25

Álgebra


Saberes previos


1. Factorizar las siguientes expresiones:

a) x2−4

b) 4x2−1

c) 25x2−36

d) 49x2−81y2

=________________________

=________________________

=________________________

=________________________

2. Factorizar los siguientes trinomios

a) x2+2x+1

b) x2−4x+4

c) 9x2−6x+1

d) 25x2−40x+16

=______________________

=______________________

=______________________

=______________________

3. Factorizar los siguientes polinomios:

a) R(x)=x2+11x+28

b) Q(x)=x2−8x+15

c) Z(x)=2x2−5x+2

d) S(x)=6x2−5x−6

=___________________

=___________________

=___________________

=___________________

4. Factorizar:

a) x3+125

b) a3−343

c) p6−n3

d) 8x3+27y3

=______________________

=______________________

=______________________

=______________________

5. Factorizar los siguientes polinomios:a) R(x)=x3−x

______________________________________

b) Q(x)=3x3−45x−6x2

______________________________________

c) T(x)=5x5+40x2

______________________________________

d) M(a;b)=2a4b−4a3b2+2a2b3

______________________________________

1. Factorizar, indicar la suma de factores primos:

F(x)=x3+2x−5x−6

2. Factorizar, indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos.

G(x)=x3+3x2−4x−12

3. Si una de las raíces del polinomio:Q(x)=3x3−4x2−17x+6, es 3.Indicar la suma de coeficientes de uno de los otros factores primos.

4. Si el polinomio: R(x)=2x3+3x2−11x−6Se anula para x=−3Indicar otro de sus factores primos

5. El polinomio P(x)=x2(x−5)−2(x−12), tiene un factor primo igual a (x+2).

Determine la suma de los otros factores primos.

Capítulo

126

Colegios


Aprende más

1. Factorizar: P(x;y)=4x2y10−9x10y2

e indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 5 b) −5 c) −3d) 0 e) 13

2. Luego de factorizar: P(x)=16x4y8−81x8y4

Indique el número de factores primos

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Indicar un factor primo de:P(x;y)=x2−4x+4−y2+6y−9

a) (x+y) b) (x−y+1) c) (x+y+5)d) (x−y−5) e) (x−y)

4. Luego de factorizar:P(x;y)=4x2+4x+1−9y2−6y−1Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) (4x+9y+2) b) (2x+3y+2)c) (4x+3y+2) d) (4x+9y)e) (4x+9y+5)

5. Factorizar: P(x)=x4+36−13x2; e indicar la suma de sus factores primos.

a) 2x2−13 b) 2x+10 c) 4xd) 0 e) −10

6. Luego de factorizar: P(x;y)=x4−10x2y2+9y4

Indicar un factor primo

a) x2−y2 b) 3x−y c) x−9yd) x−y e) x−2y

7. Factorizar: P(m;n)=m3−n3+mn(m−n)

a) (m+n)(m−n)2 b) (m−n)(m+n)2

c) (m−n)2(m−2n) d) m3(m−n)3

e) (m+n)3(m−n)3

8. Factorizar: P(x;y)=x6y3+27a) (x2y)(xy+3)b) (xy2−3)(x2y4+3xy2+9)c) (x2y+3)(x4y2−3x2y+9)d) (x2y+3)3

e) (xy3+9)3

9. Factorizar: P(x;y)=(x3+64)y3−8(x3+64)

a) (x+4)(x2−4x+16)(y−2)(y2+2y+4)b) (x+4)(x2+4x+16)(y−2)(y2−2y+4)c) (x+4)(x−4)3(y−2)(y+4)3

d) (x+4)(x−4)2(y−2)(y+4)2

e) (x+4)(x−4)(x+y)3

10. Factorizar: P(a;b)=(a−2b)3+(a+2b)3

a) a(a2+12b2) b) 2a(a2+12b2)c) 3a(a2+12b2) d) 4a(a2+12b2)e) 5a(a2+12b2)

11. Factorizar: P(x)=x3−8x2−5x+84

a) (x−3)(x+7)(x+4) b) (x+4)(x−7)(x+3)c) (x+7)(x+3)(x−4) d) (x−7)(x+3)(x−4)e) (x+3)(x−5)(x−4)

12. Factorizar: P(x)=x3−39x−70; e indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 4 b) 8 c) −1d) −6 e) −2

13. Factorizar: P(x)=x3−7x2−14x+120; e indicar la suma de sus factores primos.

a) 3x−7 b) 3x−14 c) 3x−15d) 3x−5 e) 3x−10

14. Factorizar: F(x)=x3−2x2−5x+6La suma de factores primos lineales es:

a) 3x+2 b) 3x−2 c) 2x−1d) 3x+4 e) 3x+5

15. Factorizar: F(x)=x3−5x2−2x+24; la suma de los términos independientes de sus factores primo es:

a) −11 b) −10 c) −5d) 11 e) 2

16. Factorizar: F(x)=2x3+7x2+7x+2Indicar uno de sus factores lineales.

a) x+3 b) x−1 c) 2x+1d) 2x−1 e) x−2

17. Factorizar: P(x)=2x3−5x2+x+2; indicar la suma de términos constantes de los factores primos.

a) 0 b) 1 c) 2d) −2 e) −1

18. Factorizar: F(x)=2x3+5x2−7x+2. Indicar el número de factores primos lineales.

a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

19. Factorizar: F(x)=2x3+x2+5x−3. Señale un factor primo.

a) 2x+1 b) 2x+3 c) 2x−1d) 2x−3 e) x+3

20. Factorizar: P(x)=3x3+(2x+1)2, la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es:

a) −4 b) −3 c) −2 d) 3 e) 2

25

Álgebra


Practica en casa

1. Factorizar: P(x;y)=49x10y2−25x2y10

2. Factorizar: P(x;y)=x2−2x+1−y2+2y−1

3. Factorizar: P(x;y)=x5y−xy5

4. Factorizar: P(x)=x4−20x2+64

5. Factorizar: P(x;y)=x2+3x−2xy+y2−3y

6. Factorizar: P(x;y)=x6y2+8x3y2

7. Factorizar: P(x;y)=x9y6−125

8. Factorizar: P(a;b)=a3+b3−ab(a+b)

9. Factorizar: P(a;b)=(a3−8)b3+27(a3−8)

10. Factorizar: P(x;y)=x6+7x3−8

11. Factorizar: P(x)=x3−6x2+11x−6

12. Factorizar: P(x)=x3−2x2−33x+90

13. Factorizar: P(x)=2x3+x2−11x−10

14. Factorizar: P(x)=6x3+25x2−24x+5

15. Factorizar: P(x)=12x3−8x2−13x−3

Tú puedes

1. Factorice el polinomio:

P(a;b)=ca3+a2bc+ab2c+b3c

y del valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Posee 3 factores primos.

II. P(a;b) posee un factor primo lineal.

III. La suma de los factores primos es: a2+b2+a+b+c.

a) VFF b) FVV c) FFFd) FVF e) FFV

2. Factorizar: P(a;b)=a5b−b3a3

Indicar el valor de verdad de las proposiciones:

I. Tiene un factor primo lineal.

II. "ab" es un factor de P(a;b).

III. Tiene un factor primo cuadrático.

a) VFV b) FVF c) VVVd) VFF e) FVF

3. ¿Cuántos factores irreductibles en Q, presenta el

polinomio?

P(x)=1+x+x2+x3

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

4. Factorice el polinomio Q, dar como respuesta la suma de sus términos independientes.

R(x)=(x2+x+10)(x2+x−4)+45

a) 1 b) 7 c) −1d) 4 e) 6

5. Factorizar: Z(n)=n5+2n+1+n3+n2

Luego, indique el número de factores primos

obtenidos.

a) 2 b) 1 c) 5d) 3 e) 7

Capítulo

128

Colegios


sistemas de ecuacioNes i

Lectura: sistemas de ecuacioNes babiLóNicos

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los

babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales

como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación

con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla

babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los

siguientes términos:

1/4 anchura + longitud=7 manos

longitud + anchura=10 manos.

Fuente: http://www.tallerhorus.com/paginas/


Sistemas de ecuaciones I

. Resolver un sistema de ecuaciones por:

– Igualación

– Sustitución

– Eliminación o reducción . Sistemas con coeficientes literales

. Sistemas con coeficientes fraccionarios

26

Álgebra


Síntesis teórica

Sistemas de Ecuaciones I

Sistemas Lineales

Ejercicios

Capítulo

130

Colegios


Saberes previos


Aprende más

1. Cuál de los siguientes sistemas

I) 2 7 ........ ( )......... ( )

x y Ix y II1+ =− =

)

II) ........ ( )........ ( )

x y Ix y II3 7

2 7+ =− =

)

tienen como conjunto solución al par ordenado (3; 2)

2. Calcular: "m+n" si el conjunto solución del sistema

7 .......... ( ).......... ( )

mx ny Imx ny II2 4

+ =− =

)

es el par ordenado (2; 1)

3. Resolver el sistema por igualación2 3 ......... ( )

......... ( )x y Ix y II3 13+ =− =

)

4. Resolver por sustitución el siguiente sistema.......... ( ).......... ( )

x y Ix y II

103 2

− =+ =

)

5. Resolver por reducción el siguiente sistema:

.......... ( ).......... ( )

x y Ix y II

3 75 2 9– –− =+ =

)

1. De los siguientes sistemas:

I) x yx y2 12

6–+ ==

) II) x yx y

3 2 192 3 16

+ =+ =

)

III) x yx y

5 234 2 24

– =+ =

)

¿Cuáles tienen como conjunto solución al par ordenado (5; 2)?

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) II y III

2. Calcular "a+b", si el par ordenado (3; –2) es solución del sistema:

13ax byax by2 50+ =− =

)

a) 6 b) 10 c) 11d) 15 e) 19

3. La suma de dos números es 120 y su diferencia es 36. Hallar dichos números.

a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42d) 68 y 52 e) 82 y 46

4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema:

x y

x y5

9

37

= −

= −

Z

[

\

]]

]

Indicar el valor de "xy"

a) –1 b) 2 c) 4d) –9 e) 5

1. Despejar "x" en función de "y" de una de las siguientes ecuaciones:a) 2x=yb) x – 5=y+3c) 2x+3y=–1

2. Despejar "y" en función de "x" de cada una de las siguientes ecuaciones:a) –7y=xb) –2x – y=25

c) x y y3

7 2− =

3. Representar en forma canónica los siguientes sistemas:

a) 2( ) 3( )x y x yx y7 11 2 21+ = −+ = +

) b) 11x y

x y3

21

31

− =

− = +

Z

[

\

]]

]

4. Si: x=1 – ySustituir en la expresión: E=2x – 3yDetermine la expresión simplificada en términos de "y".

5. Si: 2a+3b=1Sustituir en: R=4a+5bDe modo que R esté en términos de "a".

26

Álgebra


5. Resolver, aplicando el método de igualación en:

x y

x y5

7 23

2 3 11

= +

= +*

Indicar el valor de "x – y"

a) –2 b) 1 c) 0d) –9 e) –1

6. Resolver por igualación:

x y

y x3

2 5

2 4 10

–

–

=

=*

Indique el valor de "x/y"

a) 2 b) 3/2 c) 1/2d) 3/5 e) 15

7. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos?

a) S/.18 b) S/.24 c) S/.17d) S/.15 e) S/.19

8. Resolver por el método de sustitución el sistema:8 3 7 ........ ( )

........ ( )x y Ix y II4 3+ =+ =

)

Indicar: (x.y)

a) 1/2 b) 1/3 c) 1d) 2 e) 8

9. Resolver el sistema por sustitución

3 5 4 .......... ( )7 3 24 .......... ( )x y Ix y II+ =− =

)

Hallar: (x.y)

a) 1 b) 2 c) –3d) –2 e) 8

10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:3( ) 2 2( 7) 5 ............. ( )

( ) ( ) ............. ( )x y y x Ix y x y II5 1 3 4 2− + = + −+ − = + +

)

Hallar: "xy"

a) 4 b) 1/4 c) 8d) 1/8 e) 1/2

11. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm, ¿cuánto vale el lado desigual?

a) 6 cm b) 5 cm c) 3 cmd) 2 cm e) 1 cm

12. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años, si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿cuál es la edad del mayor?

a) 18 años b) 20 años c) 21 añosd) 22 años e) 25 años

13. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?

a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108d) 223 y 107 e) 224 y 106

14. Al resolver el sistema:

7x y x yx y x y

3 5 9 3 5 43 5 9 3 5 4 1

+ − + − + =+ − − − + =

)

Calcular: x+y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

15. Resolver el sistema:( 3) ( 4) 18( ) ( )x y xyx y xy5 6 16− + − =− + − =

)

indicar: xy

a) 18 b) –15 c) –18d) 10 e) –12

Capítulo

132

Colegios


Practica en casa

1. Cuáles de los sistemas:

I) x yx y

4 2 145 3 23

+ =− =

) II) x yx y

5 193 7

+ =+ =

)

III) 3x yx y4 5 11+ =+ =

)

tienen como conjunto al par ordenado (4; –1)

2. Calcular "a×b", si el par ordenado (–2; 5) es solución del sistema:3 46ax byax by 2

+ =− =

)


4. Aplicando el método de igualación, resolver el siguiente sistema:

x y

x y3

7

59

= +

= −

Z

[

\

]]

]


5. Resolver aplicando el método de igualación

x y

x y7

5 17

3 2 7

= +

= +*

Indicar el valor de "x – y".

6. Resolver por igualación:

x y

y x3

5 1

5 4 2

= −

= −*

Indique el valor de "xy – yx"

7. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles, mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130 soles, ¿cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?

8. Resolver por sustitución el siguiente sistema7 5 11 ........ ( )

........ ( )x y Ix y II3 7+ =+ =

)

Hallar: "yx"

9. Resolver el sistema por sustitución5 7 18 ........ ( )

........ ( )x y Ix y II3 5 20+ =− =

)

Hallar: "xy"

10. Resolver por sustitución el siguiente sistema:

4( ) 3 3( 5) 13 .......... ( )( ) ( ) .......... ( )x y y x Ix y x y II6 7 4 3 3− + = + −+ − = + +

)

Hallar: "xy"

11. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a 38 cm, si el quíntuplo del lado desigual excede al doble de uno de los lados congruentes en 10 cm. Determinar la longitud del lado desigual.

12. La edad de dos hermanos suman 45 años, si dentro de 20 años la edad de uno de ellos será el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años. Determine la diferencia de las edades de dichos hermanos.

13. Una familia de 9 miembros entre adultos y niños asisten a un espectáculo por el que un adulto paga S/.7 y un niño S/.3. Si el papá invirtió S/.43 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia?

14. Resolver el sistema:31

x y x yx y x y

4 5 13 3 4 44 5 13 3 4 4

+ − + − − =+ − − − − =

)

Calcular: x+y

15. Determinar el valor de "xy", sabiendo que:( 2) ( 3) 14 ........ ( )( ) ( ) ........ ( )

x y y x Iy x x y II6 9 54

− − − =−− − + =

)

26

Álgebra


Tú puedes

1. Hallar los valores de "a" y "b", si los sistemas:2 5ax y

bx y3 10+ =+ =

) 2 7x ayx by3 8+ =+ =

)

son equivalentes, indicar "a×b"

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

2. Para el sistema definido en "x" e "y":3 2 5x a y by a x b3 5 2= + += − −

) ; {a; b} ⊂ R

Hallar: x y2+

a) a – b b) a+b c) 2a+bd) a e) b

3. Luego de resolver el sistema definido en "x" e "y".

( )( )

a x y x yy x a x y

2 3 32 33 2 8 3+ + + = +− + + = +

)

Indicar el valor de "x"

a) 1 b) 2 +1 c) 3 – 1d) 3 e) 2

4. Encontrar "x" del sistema:

y

xx

x1

1 1=

−

+ .................(1)

a

yy

y1

1 1=

−

+ .................(2)

a) a b) a1 c)

a 11+

d) a1

1−

e) –a

5. Resolver:

x y x y2 3 11

2 13

45

+ −+

− +=

x y x y2 3 14

2 17

41

+ −−

− +=

Hallar: 3x+y

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Capítulo

134

Colegios


sistemas de ecuacioNes ii


Sistemas de ecuaciones II

. La definición de sistemas de ecuaciones.

. Clasificación de los sistemas:

– Compatibles (determinadas e indeterminadas) – Incompatibles.

. Resolución de sistemas lineales

Lectura: tres pLaNos y uN puNto

El sistema de ecuaciones está orientado a servir como una introducción operativa, y muy concreta, a los principios, conceptos y métodos básicos e importantes del Álgebra Lineal en general, así como a sus aplicaciones más elementales y directas que permiten estudiar una amplia gama de temas que, en términos matemáticos, pueden modelarse en torno a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Dado esto, los conceptos y métodos de este curso son de extrema importancia en la formación de científicos e ingenieros a nivel universitario, su rango de aplicación es muy grande: comprende desde la investigación científica básica hasta la creación de tecnologías nuevas.

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen una solución (1 caso).

Tres planos que se cortan en un punto

Fuente: http://2.bp.blogspot.com/YgAY7rFZCl

27

Álgebra


Síntesis teórica

Sistemas de Ecuaciones II

Definición

Solución

Sistemas Equivalentes

Clasificación

Sistema Lineal

Capítulo

136

Colegios


Saberes previos

Aprende más

3. Cuál de las ecuaciones se verifica para x=2 ∧ y=–2a) 5x – y=8b) x+y=0

4. Despeje "x" de cada ecuación:a) 3x – y=0b) x – y+5=0

5. Si x=–5 ∧ y=2 verifican la ecuación:x – 5+2y+7=n. Hallar "n"


1. Resolver las siguiente ecuación: x2

1 7+ =

2. Seleccione las ecuaciones lineales en:a) 5x+y2=1

b) 7x=3y

1. Expresar el sistema en forma canónica:– 7 2 3 ........ ( )

........ ( )x y Ix y x y II3 1 2 9–

= ++ = + +

)

2. El conjunto solución {(3; 1)} corresponde a:

I) x yx y

39–

–+ =

=) II) x y

x y42–

+ ==

)

3. Para que el sistema: ...... ( )...... ( )

ax y Ibx y II

75

+ =+ =

)

tenga solución única. ¿Cuál es la relación de "a" y b"?

4. Hallar "m" para que el sistema:( ) ...... ( )

...... ( )mx m y Ix y II

2 53 4 3

+ + =+ =

)

sea incompatible

5. Hallar "a+b" si el sistema...... ( )...... ( )

ax y b Ix y II

4 33 2 4

+ = ++ =

)

es compatible indeterminado

1. Expresar el sistema en forma canónica.– 3 2x y

x y5

24

31 1–

+ =

+ + =

Z

[

\

]]

]

a) 13x yx y3 5 4–+ =+ =

) b) x yx y

65–

+ ==

)

c) x yx y

3 2 82 3 9

– =+ =

) d) 5 13x yx y3 2 4– –+ =

=)

e) 5 13x yx y2 3 4– –+ =

=)

2. El conjunto solución {(3; 2)} corresponde al sistema:

I) x yx y

53–

+ ==

) II) x yx y

5 172 4–

+ ==

)

III) x yx y

2 83 2 2–

+ ==

)

a) I b) II c) IIId) I ó II e) II ó III

3. De los siguientes sistemas:

I) x yx y

135–

+ ==

) II) x yx y

2 203 2 23–

+ ==

)

III) x yx y

3 2 355 3 33–

+ ==

)

¿Cuáles son equivalentes?a) I y II b) I y III c) II y IIId) I; II y III e) N.A.


I) x yx y

10 6 25 3 1

+ =+ =

)a) Sistema compatible

determinado

II) x yx y

32 2 1+ =+ =

)b) Sistema compatible

indeterminado

III) x yx y

2 52 7+ =+ =

)c) Sistema incompatible

a) Ic,IIa,IIIb b) Ia,IIc,IIIb c) Ib,IIc,IIIad) Ia,IIb,IIIc e) Ib,IIa,IIIc

27

Álgebra


5. Colocar un aspa (x) en cada recuadro según corresponda:

Sistema de ecuaciones

CompatibleIncompatible

Determinado Indeterminado

x y

x y

4 5 9

3 7 12

+ =

+ ='

x y

x y

7

4

+ =

+ ='

x y

x y

3 4 5

6 8 10

+ =

+ ='

x y

x y

4 7 15

8 14 19

+ =

+ ='

6. Clasificar los siguientes sistemas:

a) x yx y

3 5 46 10 8

+ =−+ =−

) Rpta: _____________

b) ( )( )

mx m ymx m y

1 101 2

+ + =+ + =

) Rpta: _____________

c) x yx y

2 32 3 7

π− =− − =) Rpta: _____________


• Un sistema compatible indeterminado no tiene solución.

( )

• El sistema lineal incompatible tiene más de una solución.

( )

• El sistema lineal compatible determinado tiene infinitas soluciones.

( )

• Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener tres soluciones.

( )

8. Hallar los valores que toma "m" para que el sistema:

( ) ...... ( )( ) ...... ( )

m x y Ix m y II

2 75 2 4–

+ + =+ =

)

sea compatible determinado

a) m∈R b) m={2; –2}c) m∈R – {3; –3} d) m∈R – {2; –2}e) m={3; –3}

9. Hallar "m" si el sistema:( ) ...... ( )

( ) ...... ( )m x y Ix m y II

1 4 146 1 21

– + =+ + =

)

no tiene solución

a) –5 b) –1 c) 5d) 1 e) 5 y –5

10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible:

( ) ...... ( )( ) ...... ( )

m x y Iy m x II3 5 42 2 6

–– –

+ ==

)

a) 2 b) 3 c) 4/3d) 16/7 e) 0

11. Hallar: "–4ab" si se sabe que el sistema:

( ) ...... ( )...... ( )

a x ay Ix by II

3 123 5 18

––

+ ==

)

tiene infinitas soluciones

a) 25 b) 20 c) 30d) 32 e) 52

12. Si el sistema

( )( )a x y

a x y2 3 12

2 4–

–+ =

+ =)

es incompatible. Hallar "a"

a) 3 b) –1 c) 10d) –3 e) 5

13. Si el sistema definido en "x" e "y".

( )( )

n x yx n y

2 5 102 2–

+ + =+ =

)

es incompatible. Determinar el valor de "n".

a) –2 b) 2 c) –3d) 3 e) c y d

14. Si el sistema: ( )

y axy a x

2 32 1 2

= −+ = −

)

es compatible determinado, determine el valor que no debe tomar "a".

a) 3 b) 1 c) 2d) –2 e) 20

15. Si el sistema: ( )( )

y m xy m x

2 3 53 3 2

= − ++ + =

)

no presenta solución. Halle el valor de "m".

a) 9 b) 8 c) –8d) 7 e) –9

Capítulo

138

Colegios


Practica en casa

1. Expresar en forma canónica el siguiente sistema:x y

x y3

2 14

1 3

24

31 1

– – –

–

=

+ + =

Z

[

\

]]

]

2. La siguiente gráfica:

(4; 1)

corresponde al sistema:

I) x yx y

52 6–+ =

=) II) x y

x y3 132 3 2–

+ ==

)

III) x yx y3 2 10

5– =+ =

)

3. Cuáles de los siguientes sistemas:

I) x yx y

4 3 193 2 10–

+ ==

) II) x yx y

5 183 14

– =+ =

)

III) x yx y

7 2 322 6–

+ ==

)

son equivalentes.


I) x yx y

8 5 37 3 11

+ =+ =

)a) Sistema incompatible

II) x yx y

2 3 54 6 7

+ =+ =

)b) Sistema compatible

determinado

III) x yx y

4 8 912 24 27

+ =+ =

)c) Sistema compatible

indeterminado

5. Clasificar los siguientes sistemas:

a) x yx y

2 7 15 7 1

+ =− =−

) Rpta: _____________

b) ( )( )m x mym x my

1 51 7

+ + =+ + =

) Rpta: _____________

c) x yx y

5 7 110 14 2

+ =+ =

) Rpta: _____________

6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.• Un sistema es incompatible si tiene conjunto

solución.

• El sistema lineal compatible determinado tiene solución única.

• Un sistema es compatible indeterminado, si presenta infinitos conjuntos soluciones.

• Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables puede tener dos soluciones.

7. Clasifica los sistemas de ecuaciones marcando en el casillero respectivo con un aspa (x).

Sistema de ecuaciones

CompatibleIncompatible

Determinado Indeterminado

x y

x y

3 4 7

4 3 11

– =

+ ='

x y

x y

2 2 6

3 3 9

+ =

+ ='

x y

x y

2

3

+ =

+ ='

x y

x y

3 2 4

4 3 16–

+ =

='

8. Para qué valores de "a" el sistema( ) ........ ( )

( ) ........ ( )a x y Ix a y II

1 7 135 1 23–+ + =+ =

)

será compatible determinada9. Hallar "m", si el sistema:

( ) ........ ( )........ ( )

m x y Ix my II

1 3 154 20

– + =+ =

)

es incompatible

10. Hallar "n", si el sistema: ( )( )

n x y nx n y

4 7 114 8

− − = −+ + =

)

no tiene solución

11. Hallar "ab", si el sistema: ( 3) 9 15( )

a x yx b y4 5 20− + =+ − =

)

tiene infinitas soluciones

12. Si el sistema: ( )( )a x y

a x y3 4 12

3 3− + =+ − =

)

es incompatible. Hallar "a"13. Si el sistema definido en "x" e "y"

ax yx ay

16 123

+ =+ =

)

no tiene solución. Determine el valor de "a".

14. Si el sistema: ( ) ( )m x n yx y

1 2 153 2 5

+ + − =−+ =−

)

es compatible indeterminado. Hallar "m.n"

15. Si el sistema: ( ) ( )y a a xy x

2 9 12 3

+ = − −=− −

)

no presenta solución. Hallar el valor de "a".

27

Álgebra


1. Indicar verdadero (V) o falso (F), dado el sistema:a b y ca b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =)

• es indeterminado, si: aa

bb

cc

2

1

2

1

2

1!= ( )

• es incompatible, si: aa

bb

cc

2

1

2

1

2

1= = ( )

• es determinado, si: aa

bb

2

1

2

1! ( )

2. Al expresar en forma canónica el sistema:

xx

yy

x yx y

aa

11

22

22

33

– –

– –

+ = +

++ + = +

Z

[

\

]]

]]

se obtiene: mx+ny=10 px – qy=0Calcular: "m+n+p+q+a"

a) 8 b) –9 c) 10d) +14 e) 16

3. Hallar "a" para que el sistema........ ( )

( ) ........ ( )ax y a Ix a y a II

6 5 32 7 29 7

– –– –=

+ =)

sea indeterminado

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) –3

4. Hallar el valor entero para "m" para que el sistema:( ) ........ ( )

( ) ........ ( )m m x y Ix m y II

1 13 72 1 5

––

2+ + =+ =

)

sea incompatible

a) –3 b) –1 c) 2d) 1 e) 3

5. Si el sistema definido en "x" e "y":nx y xx ny y

6 124 2

+ = ++ = +

)

es incompatible. Indicar el valor de "n".

a) 4 b) –1 c) a y bd) a o b e) Imposible determinar

Tú puedes

Capítulo

140

Colegios



Repaso IV

. Ecuaciones y sistema de ecuaciones

repaso iV

Lectura: La eVoLucióN matemática eN La resoLucióN de sistemas

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema.

Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias.

FUENTE: http://www.google.com.pe

28

Álgebra



1. Resolver: 7(x−5)−9(x+2)=3(x−1)−6(x+5)

2. Resolver: (x−1)(x+3)=(x+3)(x−2)+77

3. Resolver: (x+5)2+(x−3)(x+3)=2(x+5)(x−1)

4. Resolver: (6x+7)(2x+5)−(3x+4)(4x−7)=14

5. Resolver:

y x

y x

55 8

340 5

=

=

−

−

Z

[

\

]]

]]

Indique el valor de "x"

6. Resolver: x yx y

7 3 1010 3 164

− =−− =

)

Determinar el valor de "x"

7. Resolver: ( ) ( )( ) ( )x yx y

7 5 2 9 15 1 3 3 10

+ − + =−+ + + =

)

Determine el valor de "xy"

8. Resolver: x y

x y

112

115 3

16

19 4

++

−=−

+−

−=

Z

[

\

]]

]

Indicar el valor de "x−y"

9. Según los gráficos:

(x–5)m (x–6)m

2(x–8)mEl área del cuadrilátero excede al área del triángulo en 57 m2. Determine el perímetro del cuadrilátero.

10. En cierto colegio de Lima, sucede lo siguiente: El número de carpetas por aula excede en tres unidades al número de aulas y el número de profesores de dicho centro educativo excede en 7 unidades al número de aulas del colegio. Además, el cuadrado del número de profesores excede en 159 unidades al número de carpetas de todo el colegio.¿Con cuántos profesores cuenta el colegio?

Capítulo

142

Colegios


Aprende más

1. Hallar "x" en: 3(5−(2x−7))=4−(3(1+3x))+2x

a) −5 b) −7 c) −17d) −24 e) −35

2. Hallar "x" en: x x x54

4 2 1011+ = +

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver: x x43 5

65 2+ = +

a) {12} b) {18} c) {36}d) {41} e) {42}

4. Sean: M=3−{x−4(3−x)}−(−x+3)N=4x−2(x−5)−(−2x+7)

¿Para que valor de "x" se da que: M=N

a) 0 b) 89 c)

89−

d) 98 e)

815

5. Resolver: x x65

31

67

5 71

944− + − =` `j j

a) 4 b) 5 c) 6d) 10 e) 12

6. Resolver:(x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)=2(x−2)(x−3)

a) 1 b) 76 c)

37

d) 73 e)

311

7. Resolver para "x": nm

xm

mn

xn1 1 1− + − =` `j j

a) m−n b) m+nc) m2−mn+n2 d) m2+n2

e) m2−n2

8. Hallar "x" en:( )

abx

bcx

acx abc x a b c1+ + − = − + +

a) abc

a b c+ + b) a b c

abc+ +

c) cab

d) c

a b− e) a+b+c

9. Resolver el sistema: .... ( ).... ( )

x y Ix y II

3 7 387 4 48

− =+ =

)

Hallar: x/y

a) −16 b) 9 c) −8d) 7 e) −4

10. Resolver el sistema:( ) ( ) .... ( )( ) ( ) .... ( )x y xy Ix y xy II

2 3 294 5 41

− + − =− + − =

)

e indicar el valor de "x"

a) 5 b) 9 c) 13d) 17 e) 23

11. Resolver: ... ( )

... ( )ax

by I

ax

by II

4 9 61

6 5 1514

=

+ =

−Z

[

\

]]

]

Hallar "y"a) 2a b) 3a c) 3bd) 2b e) 6a

12. Determine el valor de "m" para que el sistema:... ( )... ( )

mx y Ix my II

12 74 12

− =− =

) tenga solución única.

a) m∈R−{2; −2} b) m∈Rc) m=±6 d) m∈R−{6; −6}e) m∈R−{4; −4}

13. Para qué valor del parámetro "m" el sistema:( ) ... ( )

... ( )m x y m I

x my m II2 1

2 1− + =

+ = −)

tiene infinitas soluciones.

a) –1 b) 0 c) –1/2d) 1/2 e) 1

14. Dar el valor o valores de "K" que hacen

que el sistema: ( ) ... ( )

( ) ... ( )x K y IK x y K II

3 1 126 6

+ − =+ + =

)

no admita solución.a) 1; 3 b) 2; 6 c) 3d) 3; –8 e) –8

15. Del gráfico:

4

6 x

y

ax−2by=1

3ax+by=4

Calcular el valor de "ab−1"

a) 61 b)

43 c)

821

d) 14 e) 6

28

Álgebra


Practica en casa

1. Hallar "x" en: 5{x−[−5+2x]}=3−{4(x−5)}

2. Hallar "x" en: 1x x x3

6 25

2 2+ + +− =

3. Resolver: x x x70

2060

3050

40 3− + − + − =

4. Hallar "x" en: 2(x−4)2−(x−2)2=(x−8)2

5. Hallar "x" en: 6x(x−3)=(x+1)3−(x−1)3

6. Luego de resolver el sistema:... ( )... ( )

x y Ix y II

7 5 766 7 20

− =+ =

)

Hallar: "x+y"

7. Resolver el sistema: ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )x y xy Ix y xy II

5 4 194 5 12

+ + = ++ + = +

)

Indicar: "xy"

8. Hallar: "m×n" para que el sistema de ecuaciones:( ) ( )m x n ymx ny

1 9 12 62

+ + =

=

− −−

)

Admita como solución: x=5; y=9

9. Hallar "K" si el sistema:( ) ... ( )

( ) ... ( )K x y K I

x K y II4 7 11

4 2− − = −+ + =

)

no tiene solución.

16. Resolver: ... ( )

... ( )m n

xm n

y m n I

mx

ny m II2

++

−= +

+ =

Z

[

\

]]

]

Hallar "x"

a) m(m+n) b) n(m−n) c) m(m−n)d) n(m+n) e) mn

17. Repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y ésta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

a) $35 b) $30 c) $20d) $10 e) $60

18. Dividir el número 46 en dos partes tales, que 1/7 de una, más 1/3 de la otra sumen 10.Hallar o indicar la mayor de las partes.a) 12 b) 18 c) 22d) 24 e) 28

19. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es dos y queda un resto de ocho.Determina los números.

a) 23 y 15 b) 30 y 68 c) 59 y 21d) 48 y 10 e) 20 y 58

20. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina: "Libussa" de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteo el siguiente problema:¿Cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella saco la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente, para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto quedó vacío, decir cuántas ciruelas tenía el canasto?

a) 38 b) 28 c) 18d) 48 e) 24

10. Calcular "K" para que el sistema:( )( )

K x y KK x y

1 33 2 4+ − =− + =

)

tenga solución única.

11. Determine los valores de "a" y "b" tal que el

sistema: ... ( )

( ) ... ( )ax by a Ib a x y II2 12 32+ =− + + =

)

tenga infinita soluciones, además: ab!0 dar como respuesta: "a+b"

12. Dos números consecutivos son tales que un cuarto del menor excede a un quinto del mayor en 1, encontrar los números.

13. De un cierto número de fichas se toman 3 y el resto se divide por 4; el cociente se aumenta en 4 se divide por 5 y el resultado es 2. Hallar el número de fichas.

14. Encontrar tres números consecutivos tales que si ellos son divididos por 10, 17 y 26 respectivamente, la suma de sus cocientes es 10.

15. Pagamos S/. 38 por un libro, un cuaderno y un lapicero. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. El lapicero cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?

Capítulo

144

Colegios


1. En la siguiente ecuación:

x31

31

31

31 1 1 1 1− − − =` j8 B$ .

Hallar el valor de "x"

a) 27 b) 81 c) 120d) 121 e) 360

2. Resolver la ecuación:( ),

a bx a

a bx a

a bx b

a bx b a b2 !

−+ +

+− =

++ +

−−

a) b b) 2b c) 3bd) 4b e) 6b

3. En una fiesta, Isabel juega el "tiro al blanco" con la condición de que por cada uno que acierte recibirá "a" soles pagará "b" soles por cada uno de los que falle. Después de "n" tiros ha recibido "c" soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?

a) a bbn c

++ b)

an c+ c)

ab c+

d) a b

c+

e) a bc n+−

4. Resolver: x y

yx

2 17

3 19 2

9 152 16

2710

−−

−=

−+ =−

Z

[

\

]]

]

Determine "xy"

a) –2 b) 23 c) 4

d) 8 e) –1

5. Del gráfico:

a

1 x

y y=bx+3

y x b4

2 6+ =

Determinar: "a ba b−+ "

a) 18 b) 5 c) 2d) 20 e) –10

Tú puedes

28


Capítulo


Sistemas de ecuaciones III

. Problemas de sistemas lineales con 2 incógnitas

– Planteamiento de ecuaciones.

sistemas de ecuacioNes iii

Lectura: apLicacióN eN La Vida cotidiaNa de Las ecuacioNes

Al pasar el tiempo los sistemas de ecuaciones no solo han servido para resolver problemas matemáticos,

sino también problemas o situaciones cotidianas, desde una perspectiva científica o también aplicando

resoluciones matemáticas, como por

ejemplo en una granja donde hay conejos

y pollos se puede hallar la cantidad de

cada animal simplemente sabiendo el

total de cabezas y de patas.

FUENTE: http://www.keywordpicture.com

29

Capítulo

146

Colegios


Saberes previos

1. Representar algebraicamente:"Los dos tercios de mi edad excede a tu edad en un año".

2. Representar simbólicamente:"La mitad de la diferencia de nuestras edades equivale al doble de tu edad disminuido en quince años".

3. Representar algebraicamente:"El quíntuplo de la diferencia de dos números equivale a la tercera parte de la suma de dichos números".

4. Representar simbólicamente:"Hace doce años nuestras edades sumaban la tercera parte de la diferencia del doble de mi edad y el triple de la tuya".

5. Despejar "a" en función de "b" y "c"17a−7(a−b+2c)=9b−11(c−2b)


1. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 16 . Hallar dichos números.

2. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercero de su diferencia es 4. Hallar los números.

3. Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del otro se obtiene 21 y que si este último se suma con el doble del primero resulta 18.

4. Hallar una fracción sabiendo que si se aumenta al numerador y al denominador 3 unidades se obtiene 2/3 y si ambos se disminuyen en 2 unidades resulta 1/2.

5. Dos cuadernos y tres lapiceros cuestan S/. 20 y tres cuadernos y dos lapiceros cuestan S/. 25.Hallar el precio del cuaderno y del lapicero.

29

Álgebra


Aprende más


a) 80 y 40 b) 86 y 34 c) 78 y 42d) 68 y 52 e) 82 y 46

2. Cuatro cuadernos y cinco lapiceros cuestan 31 soles, mientras que cinco cuadernos y dos lapiceros cuestan 26 soles. ¿Cuánto cuestan dos lapiceros y tres cuadernos?

a) S/.18 b) S/.24 c) S/.17d) S/.15 e) S/.19

3. Con S/.68 se compran 3 melones y 4 sandías pero faltaría S/.4 para comprar un melón mas y una sandía menos, ¿cuál es el precio de una sandía?

a) S/.15 b) S/.13 c) S/.12d) S/.8 e) S/.6

4. La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años.¿Cuál es la edad del mayor?

a) 18 años b) 20 años c) 21 añosd) 22 años e) 25 años

5. La suma de las edades de Pedro y Luis en 1960 era los 5/7 de la suma de las edades de ambos en 1970. En 1980, la edad de Pedro era la mitad de la edad de Luis. ¿En qué año nació Luis?

a) 1916 b) 1918 c) 1920d) 1921 e) 1924

6. El perímetro de un triángulo isósceles es 13 cm. Si el triple de uno de los lados congruentes excede al doble del lado desigual en 2 cm. ¿Cuánto vale el lado desigual?


7. La relación de los lados de un cuadrado y un triángulo equilátero es de 7 a 5. La diferencia de sus perímetros es de 130 cm. Determine la diferencia de las longitudes de sus lados.


8. Un hombre y un niño hacen varios viajes juntos, llevando manzanas del campo a la casa. En cada viaje el hombre lleva 35 kg y el niño 15 kg.Transportando en total 650 kg, ¿cuánto habrá llevado cada uno, sabiendo que hacen el mismo número de viajes.a) 455 y 195 kg b) 375 y 275 kgc) 475 y 175 kg d) 385 y 265 kge) 425 y 225 kg

9. En un depósito hay 40 celulares, de los cuales, algunos tienen 16 teclas y otros 20 teclas, la cantidad de teclas entre los 40 celulares es de 696. ¿Cuántos celulares de 20 teclas y cuántos de 16 teclas hay?

a) 28 y 12 b) 22 y 18 c) 26 y 14d) 17 y 23 e) 24 y 16

10. Un granjero tiene en su finca un total de 330 animales entre gallinas y cerdos, y un conteo de las patas de estos animales arrojó un total de 878 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos cerdos posee el granjero?a) 221 y 109 b) 220 y 110 c) 222 y 108d) 223 y 107 e) 224 y 106

11. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km por hora en carretera y a 24 km por hora en ciudad, su tiempo diario de manejo sobre un recorrido de 330 km fue de 7 horas. ¿Cuánto tiempo condujo sobre carretera?

a) 2,5 h b) 5,5 h c) 1,5 hd) 4,5 h e) 3,5 h

12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos (numerador y denominador) se les suma dos,

se obtiene un fracción equivalente a 97 , pero si

se les resta dos a ambos términos de la fracción

original se obtiene una fracción equivalente a 35

.

a) 25 b)

72 c)

75

d) 94 e)

711

13. Dos cilindros contienen un total de 85 galones de gasolina. Si del primero gasto la tercera parte y

del segundo los 54 de su contenido, en el primer

cilindro quedarían 35 galones de gasolina más que en el segundo cilindro. Halla la cantidad de galones que contiene cada cilindro.

a) 25 y 50 b) 60 y 25 c) 90 y 30d) 50 y 40 e) 80 y 35

14. ¿Qué hora es? le pregunta Renzo a Mirko.Mirko le responde: Quedan del día 8 horas menos que las transcurridas.Decir: 'Qué hora es?

a) 2 pm b) 4 pm c) 6 pmd) 8 pm e) 10 pm

15. Son más de las 3 sin ser 4 de esta madrugada pero dentro de 50' faltaran para las 5 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde las 2 hasta hace 50', ¿qué hora es?

a) 3:10 b) 3:20 c) 3:30d) 3:40 e) 3:50

Capítulo

148

Colegios


Practica en casa

1. La suma de dos números es 116 y su diferencia

es 42. Hallar dichos números.

2. Siete corbatas y 3 correas cuestan 185 soles,

mientras que 5 corbatas y 2 correas cuestan 130

soles. ¿Cuánto cuestan 3 corbatas y 1 correa?

3. Con 205 soles se compran 4 pelotas y 3 muñecas,

pero faltaría 25 soles para comprar una pelota

más y una muñeca menos. ¿Cuál es el precio de

una muñeca?

4. La edad de dos hermanos suman 45 años. Si

dentro de 20 años la edad de uno de ellos será

el triple de la edad que tuvo el otro hace 5 años.

Determine la diferencia de las edades de dichos

hermanos.

5. La edad de un padre es el doble de la de su

hijo. Si ambos tuvieran 20 años menos, el padre

tendría el cuádruplo de la de su hijo.

Hallar el promedio de las edades de ambos.

6. El perímetro de un triángulo isósceles es igual a

38 cm. Si el quíntuplo del lado desigual excede

al doble de unos de los lados congruentes en 10

cm. Determine la longitud del lado desigual.

7. La diagonal de un rectángulo mide 2 cm más

que uno de los lados.

Calcular las dimensiones del rectángulo,

sabiendo que su perímetro es de 14 cm.

8. En un corral el número de patos excede en 4 al

número de conejos. Además el número de patas

excede al número de cabezas en 24. ¿Cuántos

conejos hay?

9. Un comerciante empleó 6720 nuevos soles en

comprar trajes a 375 nuevos soles y sombreros a

45. Si la suma del número de trajes y el número

de sombreros que compró es 54. ¿Cuántos trajes

compró y cuántos sombreros?

10. Un tren sale de la ciudad de Chiclayo rumbo

al este a 30 km/h. Dos horas más tarde, otro

tren sale a 45 km/h de la misma ciudad y en la

misma dirección sobre una vía paralela. ¿A qué

distancia de la ciudad dará alcance el segundo

tren al primero?

11. Una familia compuesta de 9 miembros entre

adultos y niños asisten a un espectáculo por el

que un adulto paga S/. 7 y un niño paga S/. 3. Si

el papá invirtió S/. 43 por este buen espectáculo.

¿Cuántos adultos y cuántos niños componen

esta familia?

12. Halla una fracción sabiendo que si a sus términos

(numerador y denominador) se les suma 3, se

obtiene una fracción equivalente a 67 pero si

se les resta 2 a ambos términos de la fracción

original se obtiene una fracción equivalente a 2.

13. Los cilindros contienen un total de 78 galones

de gasolina. Si del primero gastó la mitad y del

segundo los 73 de su contenido, en el primer

cilindro quedarían 9 galones de gasolina más

que en el segundo. Halla la cantidad de galones

que contiene cada cilindro.

14. Un alumno le dice a su amiga, cuando la suma

de las cifras de las horas transcurridas sea igual

a las horas por transcurrir te espero donde ya tu

sabes. ¿A qué hora es la cita?

15. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada,

pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4

a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la

1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?

29

Álgebra


Tú puedes

1. Si se pasara una moneda de la mano izquierda a la derecha, se tendría el mismo número de monedas en ambas manos, pero si se realizará la operación inversa, se tendría el doble número de monedas en la mano izquierda. ¿Cuántas monedas tengo en total?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

2. Hace "n" años el promedio de tu edad y la mía era de "7n" años. Si dentro de "2n" años mi edad excederá a la que tu tenías hace "2n" años en "10n" años. ¿Qué edad tenías hace "4n" años?. Siendo n∈Z ∧ n≥1

Rpta:

3. Una persona compra objetos al precio de S/.48 y S/.42 pero no recuerda cuantas compró de S/.48 ni de S/.42, solamente recuerda que gasto S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 no llega a diez. ¿Cuántos objetos de S/.48 compró?

a) 4 b) 6 c) 7d) 9 e) 5

4. Al dividir una varilla de 90 cm en dos partes

resulta que un sexto de la parte mayor excede

en 6 cm a un tercio de la parte menor. ¿Cuánto

mide la parte mayor?


5. Mathias le pregunta la hora a su tío Paolo y

el para confundirlo le dice: Son más de las

tres pero aun no son las cuatro. Si los minutos

transcurridos desde las tres es dos veces más que

lo que faltan transcurrir para que sean las cuatro.

Si dio la hora exacta, ¿cuál es su respuesta?

a) 3:43 b) 3:42 c) 3:50d) 3:45 e) 3:56

Capítulo

150

Colegios



Desigualdades

. La definición de desigualdad, su notación y su aplicación.

. Las propiedades básicas de las desigualdades.

desiguaLdades

Lectura: La desiguaLdad, uNa Forma de comparar Números

Los seres humanos son especie donde todos son diferentes por uno u otro motivo no hay ser humano que

sea igual que otro. Nos diferenciamos uno del otro por la estatura, el peso, el ADN, el cabello, ... etc. Así

como entre todos nosotros hay diferencia y por lo tanto una desigualdad, en las matemáticas sucede lo

mismo no hay un número que sea igual a otro pueden ser mayor, mayor igual, menor o menor igual, por

ejemplo si comparamos el 2 y −2 podemos obtener una desigualdad ya que 2 es mayor igual que −2.

FUENTE: http://panoramadiario.com

> -

30

Álgebra


Síntesis teórica

Desigualdades

Definición Propiedades

Capítulo

152

Colegios



1. Completa las siguientes proposiciones correctamente, según corresponda.(>, = , <)

a) 5 1

b) −7 −10

c) 32

3123

d) 16 3+1

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones:

a) 40G43−3 ..........( )

b) 25H6×5+2 ..........( )

c) 7×4H52 ..........( )

d) 102G33 ..........( )

3. Completa las siguientes proposiciones:a) La desigualdad 5>2 tiene el mismo

significado que: ______________________.b) La desigualdad xH4 tiene el mismo significado

que: ______________ o _______________.

4. Completa las siguientes proposiciones:a) Si "a" es un número positivo entonces

_______________________.b) Si "a" es un número negativo entonces

_______________________.

5. Completa:a) 4Gx ∧ xG9 entonces: ___________________.

b) xH8 ∧ x<11 entonces: _________________.

Saberes previos

1. Ordene de mayor a menor los siguientes números.

4 0 −3 7 −1 9

2. Ordene de mayor a menor los siguientes números.

21− −1 0 1 3

457−

21

3. Entre que números enteros se encuentran los siguientes números irracionales.

.... 5 ....

.... 11− ....

.... p ....

4. Ordene de menor a mayor los siguientes números:

7 −1 0 2 4 3− −3

5. Entre que número enteros se encuentran los siguientes números racionales fraccionarios:

....32 ....

.... −51 ....

30

Álgebra


Aprende más

1. Si: −2Gx<3Indicar el intervalo de: E=x+7

a) 5<E<10 b) 5<EG10 c) 5GE<10d) 9GE<10 e) 5GE<8

2. Si: −1<xG6Indicar el intervalo de: M=x−8

a) −7<MG−2 b) −8<MG−2c) −9<MG−2 d) −9<MG−3e) −9<MG−6

3. Si: −4<xG3Indicar el intervalo de: N=3x+2

a) −10<NG11 b) −9<NG10c) −10<NG10 d) −10<NG2e) −10<NG9

4. Si: 3<xG5Indicar el intervalo de: P=−x+5

a) 0<P<2 b) 0GP<2c) −2GP<0 d) −2<PG0e) −3GP<0

5. Si: 4Gx<5Indicar el intervalo de: S=3−4x

a) −10<SG−3 b) −17<SG−13c) −16<SG−13 d) −12GS<14e) −9GS<−4

6. Si: −70G2xG20Indicar el intervalo de: H=−3x

a) −20GHG95 b) −40GHG115c) −30GHG105 d) −50GHG175e) −40GHG105

7. Si: −1<11−2x<1Indicar el intervalo de: y=3x−10

a) 2<y<7 b) 5<y<8 c) 6<y<9d) 4<y<10 e) 5<y<9

8. Cuántos números enteros: H(x)=8−x existen; si se sabe que: 1<xG3

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

9. Si: 1<x<5Indicar el intervalo de: P=

x1

a) 1/5<P<2 b) 1/5<P<1c) 1<P<5 d) 1/5<PG1e) 2<P<4

10. Si: −1Gm−3<2Indicar el intervalo de: H=

m41+

a) 1/9<HG1/5 b) 1/9<HG1/6c) 1/9GH<1/4 d) 5GH<9e) 1/9<H<1/7

11. Si: −3<xG4Indicar el intervalo de: M=

x72−

a) 1/5<M<2/3 b) 1/5<MG2/3c) 1/5GM<2/3 d) 1/5GMG2/3e) 1/5GM<2/3

12. Sea "x" la temperatura del departamento de Puno; esta cumple simultáneamente con las siguientes condiciones: x>1 y x<5.Se sabe por otro lado que por razones geográficas la temperatura de la capital depende de la función:

P(x)=x2 13+

¿Cuál es el intervalo de variación de la temperatura de la capital?

a) 4/5<P<11/3 b) 2/17<P<1/5c) 1<P<11/3 d) 3/11<P<1e) 2/5<P<1

13. Si: −2<xG1

Indicar el intervalo de: F=x7 3

52−

a) 4<FG12 b) 4<FG13c) 4<FG11 d) 4<F<13e) 3GF<14

14. Si: 2GxG5, indique la suma del mayor y menor valor que toma la expresión:

xx

13

−+ .

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

15. Si: 4Gxx

57+

−G13

Indicar el intervalo de "x"

a) 1<xG4 b) 6Gx<13 c) 6GxG9d) 7GxG9 e) 4GxG8

Capítulo

154

Colegios


Practica en casa

1. Si a>b, indicar verdadero (V) o falso (F)I. a+c>b+cII. 2a>a+bIII. a2>ab

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:( ) si −3<x<−4 −1/4<x−1<−1/3( ) si −5<x<−2 2<x−1<5( ) si −7<x<5 0Gx−1<49

3. Si: x−y>x ∧ x+y<y indicar, ¿cuántas de las afirmaciones son verdaderas?

I. y<xII. x<y<0III. xy>0IV. xy<0V. x2>y3

4. Si x∈<−3; 4]Determinar el intervalo de cada una de la siguientes expresiones:a) P(x)=2x+1b) Q(x)=7x−11

5. Si: (3x−5) ∈ [4; 10>Determinar el intervalo de cada una de las siguientes expresiones:a) P(x)=10+2xb) Q(x)=2(x−11)

6. Si: (3x) ∈ <−60; 30>Indicar el intervalo de:a) P(x)=−5xb) Q(x)=700−25x

7. Si: (19−5x) ∈ <−21; 39]Además: (3x+7) ∈ [a; b>Hallar: "a+b"

8. Si x∈ <2; 3> entonces:¿A qué intervalo pertenece:

x2 34

−?

9. Si: x∈ <0; 3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece:

x2 54+

?

10. Si: x∈ <−4; −3>, entonces, ¿a qué intervalo pertenece:

xx

34 13++ ?

11. Si: 2xx

24 3 3G G++ , entonces, ¿a qué intervalo

pertenece x?

12. Si: x∈ <−3; 2>Hallar el intervalo de: "3x+5"

13. Si: x∈ <3; 8>Hallar el intervalo de: 2−5x

14. Si: 2x+1 ∈<3; 7>Hallar el intervalo de: 3x+7

15. Si: 3x−2 ∈ <−8; 7>Hallar el intervalo de: 4−x

Tú puedes

1. Si: a>b>0, hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.

I. a b

ba

a b>+

+ II. a2+b2<2ab

III. a b a>2 2+ IV. ba

ab1 1<− −` cj m

a) VFVV b) VFVF c) FFVFd) FVFV e) FFVV

2. Si: (3x−a+b) ∈ [2a+b; 4b−a>; a<0<bAdemás: F(x)=abx y F(x) ∈ <N; P]Determine el valor de " "

NP

a) a b) b c) ba

d) ab e) 1

3. Si x∈ <−2; 1], entonces:¿A qué intervalo pertenece:

x2 35

−?

a) <0; 1>b) <−∞; 1> ∨ [2; +∞>

c) <−∞; 85− > ∨ [5; +∞>

d) < −∞; −5] ∨ <85 ; +∞>

e) <−5; 85 >

4. Si: x∈ [1; 4] y se sabe que: mxx n

34G G

++

Calcular: "m+n"

a) 13/7 b) 19/28 c) 17/4d) 67/28 e) 65/68

5. Si: xx

57

−+ ∈ [4; 13]

Hallar el intervalo de: x2−14x+46

a) [−5; 7> b) [−3; 25] c) [−3; 1]d) [−5; 25] e) <−1; 17]

30


Capítulo


Intervalos

. La ubicación de los números en la recta numérica.

. Entender y representar intervalos:

– Intervalos abiertos – Intervalos cerrados – Intervalos semi abiertos – Intervalos infinitos

. Intersección y unión de conjuntos en la recta numérica.

iNterVaLos

Lectura: La música y Los símboLos matemáticos

Intervalo se refiere a aquel espacio o distancia que media entre dos momentos o entre dos puntos, según corresponda la situación. En tanto, será en la música, en la matemática y en el teatro donde mayormente uno se puede encontrar con el empleo de este término de manera regular. Porque para la matemática un intervalo será todo un subconjunto conexo de la recta real.

Para representar a los mismos, generalmente se usan dos tipo de notaciones: a y b con el signo del corchete. Por otra parte, en la música se llama intervalo a la diferencia de altura (frecuencia) que puede darse entre dos notas musicales y que es medida cuantitativamente en grados o notas naturales y en términos cualitativos a través de semitonos.

FUENTE: http//bach2411111.blogcindario.com

31

Capítulo

156

Colegios


Síntesis teórica

Intervalos

Recta

Numérica

Intersección

y unión

Tipos

Abierto

Infinitos

Cerrado

31

Álgebra


Saberes previos

1. Indique el intervalo haciendo el uso de los símbolos de desigualdad que represente a todos los números "x" entre −2 y 5.

2. Ordene los siguientes números reales:−7; −3; 0; 4; 3 ; −2; 2; −5

3. Si: a=−7 y b=5 donde a<xGb¿Cuántos números enteros toma "x"?

4. Si se tiene el conjunto:A={3, 5, 7} y B={−3, 3, 8}Dar la suma de elementos del conjunto A∪B

5. Si se tienen los conjuntos:A={3, 5, 8, 12}B={−7, −1, 5, 8, 14}Hallar la suma de elementos del conjunto A∩B.


1. Representa gráficamente lo siguiente:a) x<−7

b) xH4

2. Represente gráficamente lo siguiente:a) −5<xG1

b) x∈[−2; 3]

3. Del siguiente gráfico:

−7 −2 106

AB

¿Qué intervalo entre A y B, representa el área sombreada?

4. Si: A=<−3; 2], B=<0; +∞>Determine:a) A∪B

b) A∩B

5. Si: A=<−2; 5]∪<7; +∞>, B=<−1; 9]Determine: A∩B

Capítulo

158

Colegios


Aprende más

1. Indique verdadero (V) o falso (F)I. En el intervalo [−3; −1] existen tres valores

enteros.II. El mayor valor en el intervalo <−4; 3> es 3.III. La suma de todos los elementos enteros del

intervalo <−2; 4> es 5.

a) VVF b) VFV c) VFFd) FFV e) FFF

2. La representación gráfica corresponde al intervalo:

2 5−∞ +∞

a) <2; 5] b) <3; 4> c) <3; 6>d) <2; 5> e) <2; 5]

3. Representar gráficamente y relacionar:

I. [1; 4] A. −1 4−∞ +∞

II. <1; 5> B. 5−∞ +∞

III. −1Gx<4 C. 1 5−∞ +∞

IV. x>5 D. 1 4−∞ +∞

a) IA, IIB, IIIC, IVD b) ID, IIC, IIIA, IVBc) IB, IIC, IIID, IVA d) ID, IIC, IIIB, IVAe) ID, IIA, IIID, IVC

4. Si: x∈<−2; 3], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x+5"

a) 7 8

b) −3 8

c) 3 8

5. Si: (x+7)∈<−3; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "2x−1"

a) −21

b) −21

c) −21

6. Si: (2x−1)∈<−∞; −7], entonces representar gráficamente el intervalo de: x2−10

a) 5 b) −1

c) 7

7. Si: (1−x)∈<−3; 7>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x2−10"

a) −10 26

b) 10 26

c) −10 26

8. Dados los conjuntos: A=<−5; 8>; B=<3; 11]Determinar cuántos números enteros hay en: A∪B.

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

9. Dados los conjuntos: M=<−3; 8>; N=<5; 10]; P=<−6; 1].Determinar "a × b". Si M∪N∪P ∈ <a; b]

a) −30 b) −40 c) −60d) −18 e) 18

10. Si: A=<−8; 2]; B=<−5; 10]; C=<7; 14]Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos se representa de la forma:

n p qm

A B C

r s−∞ +∞

Hallar: (m+s)+np+r−q

a) −5 b) −3 c) −1d) 7 e) 17

11. Si A=<−10; 4] ∪ <0; 6>B=<−∞; 0> ∪ [2; +∞>

Hallar: "A∪B"a) <−10; 6>b) <−10; 0>∪<2; 6>c) <−∞; −10>∪<6; +∞>d) Be) R

31

Álgebra


12. En cada caso halla A∩B

a) 2 4

BA

5 9−∞ +∞

b) −1 3

BA

7 4−∞ +∞

c) 2

BA

9−∞ +∞

d) −3

BA

−1 2−∞ +∞

e) −2

BA

1 5−∞ +∞

13. Dados los conjuntos:M=<−3; 2]A=[−1; 0]T=[0; 3]

=<−3; 0]S=[−2; 2]Hallar:

a) M∩A b) A∩T c) A∩T∩d) M∩S e) M∩A∩T∩ ∩S

14. Sean los intervalos:A=[−1; 4]B=<2; 7]C=[5; 9]¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. A∩B=<2; 4> II. A∩C=III. A∩B∩C= IV. B∩C=[5; 7]

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

15. Se dan los conjuntos en R :A=<−2; 9>−{3}B=<4; 8>−{5}C=[−3; 6>∪{7}Hallar:

a) A∩B b) A∩C c) B∩Cd) A∩B∩C

Capítulo

160

Colegios


Practica en casa

1. Indique verdadero (V) o falso (F):I. En el intervalo [−2; 3] existen cinco valores

enteros.II. El menor valor en el intervalo [−4; 2> es −4.III. La suma de todos los elementos enteros del

intervalo <−3; 5> es 4.

2. Indicar a que intervalo corresponde el siguiente gráfico:

−2 3−∞ +∞

3. Relacionar cada intervalo según corresponda:

I. [−1; 2> A. 2 5−∞ +∞

II. <2; 5] B. 2−∞ +∞

III. −1<xG3 C. −1 2−∞ +∞

IV. x<2 D. −1 3−∞ +∞

4. Si: x∈ [−3; 2>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "x−5"

5. Si: (x+10) ∈ <2; ∞>, entonces representar gráficamente el intervalo de: "3x−2"

6. Si: (5x−17) ∈ <−∞; −37], entonces representar gráficamente el intervalo de: "1−3x"

7. Si: (−2x) ∈ <−6; 8], entonces representar gráficamente el intervalo de: "x2+10"

8. Dados los conjuntos:A=<−7; 5>; B=<2; 8] determinar el número de cantidades entera que hay en: A∪B.

9. Dados los conjuntos: A=<−5; 6>, B=<3; 7], C=<−8; 8]; determine "a+b".Si: A∪B∪C ∈ <a; b]

10. Si: A=<−6; 4], B=<−3; 12], C=<9; 16]Son conjuntos numéricos cuya unión de los tres conjuntos esta representada por:

b c da e f−∞ +∞

Hallar: (a+c)+(f.e)+(d+b)

11. Si: P=<−12; 2]∪<5; 8>Q=<−6; 7>∪[4; 15>

Hallar: "P∪Q"

12. En cada caso hallar A∩B

a) −4 −2

BA

1 5−∞ +∞

b) −7 −2

BA

5 8−∞ +∞

c) −5 8

BA

−∞ +∞

d) −3

BA

1 6−∞ +∞

e) −2

BA

1−∞ +∞

13. Dados los conjuntos:M=<−3; 1]A=[1; 7]T=<7; 13>

=<8; 13>S=<−2; 6]Hallar:

a) M∩A b) A∩S c) A∩T∩d) A∩T∩ ∩S e) M∩A∩T∩ ∩S

14. Sean los intervalos:A=<−3; −2>B=[−1; 2>C=<−2; 5]¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. A∩B=[−2; −1>II. A∩C={−2}III. B∩C=<−1; 2>IV. A∩B∩C=

15. Se dan los conjuntos en RA=<−4; 7>−{0}B=<−2; 8>∪{3}C=<−1; 6>−{3}Hallar:a) A∩Bb) B∩Cc) A∩Cd) A∩B∩C

31

Álgebra


Tú puedes

1. De los siguientes enunciados:I. A=[−1; 2]∪<12; 20>; B=<−∞; −8]∪[5; 9>

→ A∩B=øII. A=<−∞; −5>∪<6; 10]; B=<−5;

−1]∪<2; +∞]→ A∩B=<6; 10]

III. A=[−6; −1]∪<3; +∞>; B=<−∞; 2>∪<5; 9]→ A∩B=<−6; −1]

Son verdaderos:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) I, II y III

2. Si: (1−2x) ∈ <2b+1; 1−6a]Además, el intervalo de "x", está representado gráficamente por:

b3

9− a2

4 7−

Determinar:"a+b"

a) −11 b) 7 c) 0d) 10 e) Imposible determinar

3. Sean los conjuntos en RA=<−3; 8>; B=<−∞; 3]; C=[6; +∞>Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. (A∪B)∩C=<−∞; 7]...........................( )II. (A∩C)∪B=<−∞; −3>∪<6; 8>.....( )III. (C−A)=[8; +∞>...............................( )IV. A'=<−∞; −3]∪[8; +∞>..................( )

a) VFFV b) FVFV c) FFVVd) FFVF e) VVFV

4. Sean los intervalos:A=<−1; 3]∪[5; 7>B=<−2; 2>∪<5; 6]C=<−3; 1]∪[6; 8>¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. A∩B=<−1; 2>∪<5; 6]II. A∩C=<−3; 1]∪[5; 7>III. B∩C=<−2; 1]∪<5; 8]IV. A∩B∩C=<−1; 1]∪{6}

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Sean los intervalos:A=<−3; 4]∪[7; 9>B=<−3; 1>∪<6; 8]C=<−4; 0>∪<7; 11>Hallar:I. (A∪B)∩(B∪C)

II. (A∪B)∩(A∩C)

III. A∩B

IV. B∩C

Capítulo

162

Colegios


iNecuacioNes i

Lectura: Las iNecuacioNes y La iNterpretacióN de resuLtados

Al terminar los temas de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades e intervalos entramos al mundo

de las inecuaciones y podemos introducir el tema aprendiendo a diferenciar ecuaciones de inecuaciones.

Porque lo primero que nos preguntamos al

ingresar a este tema es cuál es la diferencia y

la respuesta es muy simple que las ecuaciones

son igualdades donde obtendrás valores exactos;

ejemplo: ecuación lineal obtendrás una solución,

ecuación cuadrática obtendrás dos soluciones y

así sucesivamente, mientras, que las inecuaciones

son desigualdades y no importa el grado porque

siempre obtendremos un intervalo de resultados.

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/_V_g3inTTPu4/SFqd9iQBI


Inecuaciones I

. La definición de inecuación.

. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.

. Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolución.

32

Álgebra


Síntesis teórica

Inecuaciones I

De primer grado, con una incógnita

Sistemas de inecuaciones de 1er Grado con una incógnitaDefinición

Capítulo

164

Colegios


Saberes previos

4. Simboliza las siguientes proposiciones:a) 5 es menor que 15 ..................b) 3 es mayor que 1 ..................c) "x" es un número positivo ..................d) "y" es un número negativo ..................

5. Expresar simbólicamente las siguientes gráficas

a)x

–∞ +∞3 5b)

x

–∞ +∞3c)

x

–∞ +∞7

1. Expresar de manera simbólica:

a) Un número "x" menor que 8

b) El duplo de "x" mayor o igual que 32

c) La quinta parte de "x" menor o igual que 3

d) Los tres medios de un número "Z" es mayor

que 15

2. Expresar el conjunto solución de cada caso del problema anterior, usando notación de intervalo.

3. Resolver cada caso indicando su conjunto numérico.a) Si: x∈N; x+3<7b) Si: x∈Z+ ; 2x – 3≤7c) Si: x∈Z- ; 5x>–25


1. Determine el intervalo solución de:a) 1 – x<x – 1b) 2(x – 1) – 3(x+1)≥0

2. Indique el intervalo solución de:

a) x32 1

61>− b) x

42

81#−

3. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.a) (x – 3)2>(x+2)2

b) (x+7)(x – 2)≤(x+6)(x – 2)

4. Graficar la solución de cada uno de los siguientes sistemas.

a) 2 1 7xx 1 10>

#− −+ −

' b) x

x32 1 1

23 1 10

<

#

−

+

Z

[

\

]]

]

5. Resolver en Z7(x – 1)+10 ≤ 5(x+2) – 13 < 6(x+1)Determine el producto del máximo y mínimo valor que asume "x".

Aprende más

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. Si 2x – 1>5 → x ∈<3; ∞>II. Si 3x+1≥7 → x ∈ [2; ∞>III. Si 5 – 2x≥7 → x ∈ [–1; ∞>

a) VVV b) VVF c) VFVd) VFF e) FVF

2. De las siguientes proposiciones:I. 5<x+2<9 → x ∈<3; 7>II. 1≤x – 3<2 → x ∈ [4; 5>

III. 1< x3

2 1+ ≤5 → x ∈<1; 7>

IV. –1< x2

1 − <3 → x ∈<–5; 3>¿Cuántas son verdaderas?

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) ninguna

3. Indicar verdadero o falso según corresponda:I. x+1>–5 → x ∈<–∞; –6>II. –3x – 1<5 → x ∈<–∞; –2>III. –2x+1>5 → x<–2a) VVV b) FFF c) VFVd) FFV e) FVF

4. Resolver: 5(2x–1)–3(3x+1)≤7(2x+1)–5(3x–1)Indicar el mayor valor que puede tomar la incógnita.a) –9 b) 10 c) 11d) 9 e) N.A.

5. Resolver: x x x x3

2 12

3 16

14

2 1>+ − + − − +

Indicar el intervalo solución:

a) [1; ∞> b) ;213− c)

21;38

d) <–∞; 1> e) ;213− −

32

Álgebra


6. Resolver:(2x – 1)(2x+1) – (x+1)(x – 1)≤3(x – 2)2

¿Cuál de los siguientes valores no es solución para la inecuación?

a) –95 b) –155 c) 1d) 89 e) Todas son soluciones.

7. Resolver:(2x – y)2+(2x+y)2 – 2y2>2(2x–1)2+6xIndicar el mínimo valor entero de la incógnita "x"

a) 1 b) 5 c) 0d) 2 e) –1

8. Resuelve el siguiente sistema:( 4) ( 2) ( 5) ( 7)( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x x3 2 1 3<

$− + − +− + + +

)

a) ;59 3− + b) <–3; 1] c) ;

427

59− B

d) <–3; 1> e) ;4273− B

9. Resuelve el siguiente sistema de inecuación:– – 48

–x xx x x x

3 36 6 2 8

2 2

2 2

2

2

++ + +

^ ^^ ^ ^

h hh h h

)

a) <4; 8> b) <4; 9> c) <5; 7>d) <6; 8> e) <4; 11>

10. Halla el conjunto solución del sistema de inecuaciones:

; ;x x x x x x2

24

4 15

2 17 ># #+ + + +

a) ;03

17 b) <1; 3> c) 2;3

176

d) ;33

17 e) ;5319

11. Resuelve el siguiente sistema:( )x x x

27 2

35 6

59 1< <− + +

a) ;52

23 b) ;1

23 c) <0; 1>

d) ;23

1118 e) ;

51

21

12. Resolver el sistema:

3x x

x x2 3

1

31

41

>

<

+ −

+ −

Z

[

\

]]

]

a) <2; 5> b) <1; 3> c) <4; 9>d) <4; 8> e) <5; 8>

13. Indicar la suma de valores enteros que verifican el sistema:

x x

x x23

62 13

32

42 2>

#+ −

− +

Z

[

\

]]

]

a) 10 b) 15 c) 20d) 6 e) 18

14. Indicar el intervalo solución del sistema:

( )

x x

x x x

34 1 4

27 1 2

24 3

32 1<

#− + − +

− − +

Z

[

\

]]

]

a) ;21318 b) ;2

213 c) [0; 5>

d) ;22138 e) [1; 6]

15. Cuántos valores naturales verifican el sistema de inecuaciones:

x x x5

43

24

3# G+ − +

a) 3 b) 8 c) 5d) 7 e) 9

Practica en casa

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:I. Si 4x+1>9 → x ∈<2; ∞>II. Si –3x+2>11 → x ∈ <–3; ∞>III. Si x

2≥1 → x ∈ [2; ∞>

2. De las siguientes proposiciones:I. 5<x – 1≤6 → x ∈<6; 7>II. –1<x+2<1 → x ∈<–3; –1>

III. 2< x2

3 1+ <5 → x ∈<–1; 3>

IV. –1< x2

1 − <1 → x ∈<–4; 2>

¿Cuántas son verdaderas?

3. Indicar verdadero o falso según corresponda:I. –4x+1>9 → x>–2 II. –2x – 1≥5 → x≤–3III. –x+3<5 → x>–2

4. Resolver:7(3x – 1) – 5(4x+2)≥5(3x+1) – 4(4x – 2)Indicar el menor valor que toma la incógnita.

Capítulo

166

Colegios


5. Resolver: x x x x3

3 12

2 16

44

3 1<− − + + − −

Indicar el intervalo solución.

6. Resolver: (3x – 1)(3x+1) – (2x+1)(2x – 1)≤5(x – 2)2

Indicar el máximo valor de la incógnita.

7. Resolver:(3x – y)2+(3x+y)2 – 2y2 < 2(3x – 1)2 – 14Indicar el máximo valor entero que asume la incógnita "x"

8. Resuelve el siguiente sistema:2x+3 ≤ 3x+4 ≤ 4x+5

9. Resuelve el siguiente sistema( 3) ( 1) ( 4) ( 3)( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x x x4 5 2 9<

$− + − ++ + + +

)

10. Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones

( ) ( )( ) ( ) ( )x xx x x x

4 4 645 5 2<

2 2

2 2 2

$+ − −+ + − +

)

11. Halla el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones:

; ;x x x x x x3

14

3 12

8 5< >$− + − −

12. Resolver el sistema:x x

x x4

15

241

2 42 2

>

<

− + −

− +

Z

[

\

]]

]

13. Calcular la suma de valores enteros que verifican el sistema:

21

62 3x x

x x x3

2 12

14

1

>

$

+ +

+ − − +

Z

[

\

]]

]


( ) ( )

( ) ( )

x x

x x x32 1

61

61 9

32 2 1

21

23 1

61>

#+ − +

+ − − + − −

Z

[

\

]]

]

15. ¿Cuántos números naturales satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones?

x x12

14 3

7# #− +

Tú puedes

1. Hallar el conjunto A sabiendo que:

/A x la proposici n x x3

2 52

1ó >Rd= +−

− −$

sea falsa

a) <–7; ∞> b) [–7; ∞> c) <–∞; –7>d) <–∞; –7] e) <–7; 7>

2. Resolver: (ax+1)(bx+1)<abx2+1Si: a<b<0

a) x<0 b) x>0 c) x<1d) x>1 e) x∈Ø

3. Resolver la siguiente inecuación:x x x x3 15 35 63 2

161

121

201

301

421

561

721>+ + + + + + + + + +

a) x>21 b) x<

21 c) x>–

21

d) x<–21 e) x>2

4. Resolver: ( )m n x

m nm n1 1$+ +

++ +

( )m n xm n

m n1 1$− +−

− +

siendo: m>n>0

a) ( )

1 ;m n 2

3+

+; b) ( )

;m n

123

−+;

c) ;( )

1m n 2

3−+

E d) ;( )m n

12

3−−

E

e) [0; +∞>


2

2 2

x x

x x

x x

62 1

31

91

32

21

4 81

72 1 5

41

>

>

>

+ + + −

+ + +

+ + +

Z

[

\

]]]

]]]

a) ;381

543− b) ;

455

343−

c) ;381

455− d) ;

455

381− −

e) ;455

335−

32


Capítulo

iNecuacioNes ii


Inecuaciones II

. Resolver sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas.

. Desarrollar un plan para llevar a cabo la resolución y planteo de

un problema textual de una inecuación de 1er. Grado.

Lectura: La programacióN LiNeaL

En este capítulo se trabajan los Sistemas de

Inecuaciones con dos Incógnitas. Su resolución

es una habilidad que te conviene adquirir ya que

será indispensable para resolver ejercicios de

PROGRAMACIÓN LINEAL.

La programación lineal un sistema que sirve para

optimizar recursos. Ya fue utilizado con éxitos en

el bloque de la URSS a Berlín y mucho antes para

conseguir un mayor engorde del ganado con el

menor alimento posible. Su desarrollo real comenzó

en 1947 cuando G.B. Dantzing formuló un sistema

denominado método símplex para la resolución de

estos problemas.

FUENTE: http://4.bp.blogspot.com

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

22 4

x yx yy 1

#

$

$

+

− −

Z

[

\

]]

]

x 0 1

y=2–x 2 1

x 0 2

y= x2 +2 2 3

1

33

Capítulo

168

Colegios


Síntesis teórica

Inecuaciones II

Sistema de inecuaciones lineales con dos o más incógnitas

Solución de problemas

Problemas de inecuaciones

33

Álgebra


Saberes previos


Aprende más

1. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistemax yx 3><

'x+y es igual a:

2. Resolver el sistema en enteros positivos55

xyx y2 3 19

<<

>+

Z

[

\

]]

]

luego indicar el valor de: xy

3. Resolver el sistema en enteros positivos:x y

x y3 2

4<<+

)

indicar: xy

4. Resolver el sistema en enteros:x+y<32x – y<1

luego indicar: xy

5. Si: x ∈ y son enteros positivos que verifican el sistema.

3– 2

x yx yx 2

#

#

$

+

*

indicar: xy

1. Si "x" e "y" son enteros positivos que verifican el sistema:x yx y

3 27–><

−)

Entonces x+y puede ser:

a) 5 b) 6 c) 7 ó 8d) 8 ó 9 e) 9 ó 10

2. Resolver el sistema en enteros positivos:x yx y

51

<>

+−

)

indicar: xy

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. Resolver el sistema en enteros para luego indicar el valor de: x – y5 3 2xx y

y2 11

5

><

>

−+

Z

[

\

]]

]

a) 6 b) –6 c) 4d) –4 e) 2

4. Resolver en Z+

1x y

y x

x

7

5 51

5

31

#

$

#

+

−

Z

[

\

]]]

]]]

Indicar el valor de y/x

a) –1 b) 2/3 c) –4/5d) 4/3 e) 1

1. Si: x – 3<7; hallar la suma de los números naturales que toma "x"

2. Resuelva las siguientes inecuaciones

a) x23 1 11<−

b) x3

2 1 5$−

3. Graficar los siguientes intervalosa) x ∈ <–7; 5]b) x ∈ [3; +∞>c) x ∈ <–∞; 4]

4. Representar gráficamente las siguientes expresiones:a) 4 < x ≤ 7b) –7 ≤ x < 3

c) –21 < x <

51

5. Luego de resolver, indicar la suma de valores enteros que verifique el siguiente sistema de inecuaciones.

3 5 ......... ( ).......... ( )

x Ix II2 1 5

<$

−−

)

Capítulo

170

Colegios


5. Resolver en Z+:x y

x y

y

3 5 152

2 211

3

>

<

>

−

+

Z

[

\

]]

]]

Indicar el valor de x2+y2

a) 4 b) 16 c) 25d) 9 e) 36

6. Resolver en Z

1

x y

x y

x

4 61

21>

#

#

+

−

Z

[

\

]]

]]

Indicar el mayor valor de "xy"

a) –2 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

7. Resolver en Z+

2

x y

x yyx

3 7 211

3 13

3

>

<><

−

+

Z

[

\

]]]

]]]

Hallar el valor de: y2 – x2

a) 5 b) 8 c) –6d) –7 e) 9

8. Resolver el sistema en los enteros:2 5 30

3 22x y

x yy 8

><

>

−+ −−

Z

[

\

]]

]

Indicar: x+y

a) –5 b) –4 c) –8d) 5 e) –9

9. Si: {x; y; z} N1 ; resolver:

3 28

2 5 2

y xyx z

z

4

12

<>

<<+

Z

[

\

]]

]]

Indicar un valor de: E=x+y

a) 4 b) 5 c) 6d) 13 e) 8

10. Un número entero es tal que su duplo, aumentado en siete unidades es menor que 101. Y su quíntuplo, disminuido en treinta unidades no es menor que 200. Hallar tal número.

a) 40 b) 45 c) 46d) 47 e) 48

11. La edad de mi padre disminuida en su tercera parte no es mayor a 38 años. Pero, si al doble de su edad le disminuimos la tercera parte de su edad actual no es menos que 95 años. ¿Qué edad tiene mi padre?

a) 55 años b) 54 años c) 56 añosd) 57 años e) N.A.

12. José tiene cierta cantidad de dinero, gasta S/. 10 y lo que le queda es más que los 2/3 de lo que tenía inicialmente, gasta luego la mitad y el saldo es menor que S/. 11. ¿Cuántos tenía inicialmente?

a) 61 b) 1 c) 41d) 31 e) 21

13. Un carpintero hizo cierto número de sillas. Vende 49 y después le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 sillas y vende 20 quedándole menos de 41 sillas. ¿Cuántas sillas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de sillas?

a) 80 b) 90 c) 100d) 110 e) 120

14. Se compra un número par de naranjas, si se venden la cuarta parte, quedan menos de 59 por vender, y si se vendiera la sexta parte quedaría más de 64 por vender. ¿Cuántas naranjas se compraron?

a) 64 b) 78 c) 82d) 56 e) 66

15. Hallar un número entero y positivo, sabiendo que la tercera parte del que le precede disminuida en una decena, es mayor que 14, y que la cuarta parte del que le sigue, aumentado en una decena es menor que 29.

a) 57 b) 63 c) 49d) 85 e) 74

33

Álgebra


Practica en casa

1. Resolver el sistema en enteros positivos:6x y

x y 2<>

+−

)

Indicar: xy

2. Resolver el sistema en enteros positivos e indicar el mayor valor de "x+y"x yx y

2 104<>

+−

)

3. Calcular los valores enteros de "x" e "y" que verifican el sistema:5 3 22 11x yx y

y 3

><

>

−+

Z

[

\

]]

]

Indicar: "x+2y"

4. Resolver en Z

1

1

x y

x y

x

10

6

51

<

<

$

+

−

Z

[

\

]]]

]]]

Determinar el máximo valor de "x"

5. Resolver en Z

x y

x y

y

2 211

3 2 61

51>

$

#

−

+ −

−

Z

[

\

]]]

]]]

Indicar el mínimo valor entero que puede tomar "y"

6. Resolver en Z

1

x y

x y

x

6 9 21

3

21>

#

#

−

+

Z

[

\

]]]

]]]


7. Resolver en Z

1

( ) 1

x y

x y

y

10

6

101<

$

$

−

− +

−

Z

[

\

]]]

]]]

Indicar el máximo valor entero de "y"

8. Al resolver el sistema5 3 25

y xx yx y11 2

<<>

−++

Z

[

\

]]

]

para {x; y}∈Z+

Calcular: E=x+y

9. Hallar las soluciones enteras y positivas del sistema:24 7

4 2

y xy z

x z

<><−

*

Calcular: x+y+z

10. Un número entero es tal que su triple, aumentado en once unidades es menor que 98. Y su duplo, disminuido en diecisiete no es menor a 39. Hallar dicho número.

11. Mi dinero es tal que, si tuviera la tercera parte más no sería mayor que S/. 1000. Pero, si tuviera la tercera parte menos no sería menos a S/. 500. ¿Cuánto dinero tengo?

12. Ricardo tiene cierta cantidad de propina, gasta $8 y lo que queda es más que los 3/4 de lo que tenía inicialmente; luego gasta la mitad y el saldo es menor que $13. ¿Cuánto tenía inicialmente?

13. Un panadero hizo cierto número de tortas. Vende. Vende 29 y después le queda por vender más de la mitad. Hace después 9 tortas y vende 10 quedándose menos de 30 tortas. ¿Cuántas tortas ha hecho inicialmente el panadero?

14. Hallar un número natural, sabiendo que la quinta parte del que le precede disminuida en una docena, es mayor que 4, y que la tercera parte del que le sigue, aumentado en una docena es menor que 40.

15. Tres supervisores cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 piezas, y el tercero contó la cuarta parte y 5 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo, pero menos que el tercero. ¿Qué número de piezas arroja la máquina por minuto?

Capítulo

172

Colegios


Tú puedes

1. Luego de resolver en enteros el siguiente sistema:84

0

x y zx y zz yz 5

><

><

+ +− +−

Z

[

\

]]

]]

Indicar: y+z

a) 7 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

2. Siendo "x", "y", "z" los valores enteros que satisfacen el siguiente sistema:

146

x y zx y zy zz 7

><

<<

+ +− +

Z

[

\

]]

]]

El valor de la expresión y z 8x 3 2− − es:

a) 1 b) 3 c) 5d) 4 e) 2

3. Luego de resolver en Z

( ) ( )

( )

x y x y

x y x

y

32

23

61

1<

#

$

− +

−

Z

[

\

]]

]]

Indique el valor de "x"

a) –1 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

4. Hallar los valores enteros de x, y, z que satisfacen el siguiente sistemax y zx y zx y z

z

2 11

4 2 14

<><

<

+

+

+

−−

−

Z

[

\

]]

]]

Indicar: xyz

a) 1 b) 8 c) 6d) 12 e) 27

5. Entre Carlos y Daniel tienen menos de 6 hijos; Daniel tiene más hijos que Pablo y aunque Carlos tuviera un hijo menos, seguiría teniendo más hijos que Pablo. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de ellos? Ordenar hijos de Carlos después Daniel y último de Pablo.

a) 2, 1, 3 b) 1, 2, 3 c) 3, 2, 1d) 3, 1, 2 e) 1, 3, 2

33

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