Algebra lineal para ingenieros y ciencias exactas

Conceptos Basicos

La ecuacion:

Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica

Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)

es una ecuacion con variables x1, x2, x3,


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)


La proposicionx − 2y + 3z + 1 = s + r − 2, (2)

si s y r son constantes reales (parametros), entonces es unaecuacion con variables x , y , z .


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)

es una ecuacion con cualquier numero de variables.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)

es una ecuacion con variables x1, x2, x3,La proposicion

x − 2y + 3z + 1 = s + r − 2, (2)

si s y r son constantes reales (parametros), entonces es unaecuacion con variables x , y , z .La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


DEF

Una solucion de una ecuacion con variables x1, x2, . . . , xn es una n-upla

tal que, al sustituir cada una de las variables de la ecuacion por las

componentes respectivas de la n-upla, obtenemos una identidad. Al

conjunto formado por todas las soluciones de una ecuacion lo llamaremos

conjunto solucion.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (??)?.


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (??)?. SI, NO

Es (3s + 3r , s + r ,−1) es Sol de (??)?


Conceptos Basicos

La ecuacion:

La proposicion3x2

1− x2 = 4x1 + x3 (1)




La proposicion

5− 3 = 2, 7 + 3 = 2 (3)


Es (1,−2, 1), (1, 0, 1) ∈ Conj Sol de (??)?. SI, NO

Es (3s + 3r , s + r ,−1) es Sol de (??)? SI

La 1ra Ecuacion (??) siempre tiene solucionLa 2da Ecuacion (??) no tiene solucion, siempre es falsa, pues10 = 2 ⇒ Conj Sol= ∅.


Conceptos basicos

Ecuacion lineal. Una ecuacion que se puede escribir de la forma

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,

es una ecuacion lineal con variables x1, . . . , xn, coeficientes a1, . . . , an ytermino independiente b reales.


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,


Pivote: primer coef. diferente de ceroVariable Pivotal: variable que acompana al pivoteb = 0, se llama ecuacion lineal homogenea.


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



PREG. ¿La variable pivotal es unica?


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,



PREG. ¿La variable pivotal es unica? R/ NOOOOOOOOO


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,




Ejemplo: La ecuacion

2x − y = 7 2x − y = 0


Conceptos basicos


a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,




Ejemplo: La ecuacion

2x − y = 7 2x − y = 0

Cual es el Conj. Sol de estas dos ecuaciones?


Conceptos basicos

Sistema de Ecuaciones Lineales: Un sistema de m ecuaciones lineales conn variables x1, . . . , xn es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma

α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αn1x1 + αn2x2 + · · ·+ αnnxn = bn

El numero αij es el coeficiente de la variable xj en la ecuacion i y bi es eltermino independiente de la ecuacion i .


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αn1x1 + αn2x2 + · · ·+ αnnxn = bn


Si bi = 0, el sistema lo llamamos .


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αn1x1 + αn2x2 + · · ·+ αnnxn = bn


Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGENEO.


Conceptos basicos


α11x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = b1

α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = b2...

... (4)

αn1x1 + αn2x2 + · · ·+ αnnxn = bn


Si bi = 0, el sistema lo llamamos HOMOGENEO.

El siguiente conjunto de ecuaciones

x1 + 2x2 = −32x1 + 3x2 − 2x3 = −10

x1 + 2x2 = 02x1 + 3x2 − 2x3 = 0


DEF

Una solucion de un sistema de ecuaciones lineales con variables

x1, x2, . . . , xn es una n-upla que es solucion de todas y cada una de las

ecuaciones del sistema. Al conjunto formado por todas las soluciones de

un sistema lo llamamos conjunto solucion.


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3

Desde el punto geometrico, las soluciones de un S.E.L lo interpretamoscomo la interseccion de rectas planos o hiperplanos


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3

Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son: infinitas(a),ninguna(b) y solo una(c)


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3


PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneo es consistente?


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3


PREG. Todo sistema de ecuaciones lineales homogeneo es consistente?SI


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF

Decimos que dos sistemas son equivalentes, si tienen el mismo conjunto

de soluciones.


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF


de soluciones.

Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 1x + y = 3

(b)

{

x − y = 1y = 1

ya que ambos tienen como unica solucion (2, 1).


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF


de soluciones.

Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 1x + y = 3

(b)

{

x − y = 1y = 1

ya que ambos tienen como unica solucion (2, 1).

Los sistemas que tienen el ”patron escalonado” son faciles de resolver.


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF


de soluciones.

EJEM. Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF


de soluciones.


x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

x − y − z = 2y + 3z = 5

5z = 10

Desspues del hallar el ”patron escalonado”, es facil encontrar la solucionmediante el metodo de sustitucion hacia atras


Ejemplo Sean

(a)

{

x − y = 22x − 2y = 4

(b)

{

x − y = 2x − y = 4

(c)

{

x − y = 1x + y = 3



DEF


de soluciones.


x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

E2 − 3E1 → E2

E3 − 2E1 → E3

E2 ↔ E3

x − y − z = 2y + 3z = 5

5z = 10

Desspues del hallar el ”patron escalonado”, es facil encontrar la solucionmediante el metodo de sustitucion hacia atras


Representacion Matricial

Representacion matricial del sistema

x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9

Pivote de una fila de una matriz A: es el primer elemento de la fila, deizquierda a derecha, que es diferente de cero.




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


Las operaciones elementales entre ecuaciones Ei se pueden interpretarcomo operaciones entre filas Fi en esta matriz A




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


OPERACIONES ELEMENTALES:

Escalamiento: Reemplazar la ecuacion Fi , por un multiplo de esta, cFi

Eliminacion: Reemplazar la ecuacion Fi , por la suma de esta con unmultiplo de otra, Fi + cFj .

Permutacion: Intercambiar las ecuaciones i y j , Fi y Fj .




x − y − z = 23x − 3y + 2z = 162x − y + z = 9

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9


OPERACIONES ELEMENTALES:

Escalamiento: Reemplazar la ecuacion Fi , por un multiplo de esta, cFi

Eliminacion: Reemplazar la ecuacion Fi , por la suma de esta con unmultiplo de otra, Fi + cFj .

Permutacion: Intercambiar las ecuaciones i y j , Fi y Fj .

Que significan:

F2 − 3F1 → F2, F3 − 2F1 → F3, F2 → F3


Matrices equivalentes

DEF

Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones

elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.


Matrices equivalentes

DEF

Decimos que dos matrices son equivalentes si al efectuar operaciones

elementales entre filas a una de ellas, se obtiene la otra.

Las matrices

A =

1 −1 −1 23 −3 2 162 −1 1 9

y B =

1 −1 −1 20 1 3 50 0 5 10

Son equivalentes, si aplicamos

F2 − 3F1 → F2, F3 − 2F1 → F3, F2 → F3

a la matriz A obtenemos la matriz B


Eliminacion de Gauss

La idea consiste en llevar la matriz aumentada del sistema dado a otraequivalente con ”patron escalonado”, que corresponda a un sistema quepueda ser resuelto por medio de sustitucion hacıa atras.




DEF

Una matriz es escalonada si posee las siguientes caracterısticas:




DEF


Cualquier fila cuyas componentes sean todas cero, se encuentra en la

parte inferior de la matriz

EJEM: Matrices escalonadas.

0 10 −1

−3 0 1

0 0 0

0 0 0

2 1 −2 0

0 0 0 0

0 −9 0 5

0 0 0 0

1 −2 1 1

0 6 −1 −5

0 0 − 1/3 7/30 0 0 0

,

(

0 1 0 −2

0 0 2 3

0 0 0 0

)

(

− 2 0 7 1) (

0 0 3 2 −5)




DEF




Cada pivote esta a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo

de el.


0 10 −1

−3 0 1

0 0 0

0 0 0

2 1 −2 0

0 0 0 0

0 −9 0 5

0 0 0 0

1 −2 1 1

0 6 −1 −5

0 0 − 1/3 7/30 0 0 0

,

(

0 1 0 −2

0 0 2 3

0 0 0 0

)

(

− 2 0 7 1) (

0 0 3 2 −5)




DEF




Cada pivote esta a la izquierda de cualquier otro pivote por debajo

de el.


0 10 −1

−3 0 1

0 0 0

0 0 0

2 1 −2 0

0 0 0 0

0 −9 0 5

0 0 0 0

1 −2 1 1

0 6 −1 −5

0 0 − 1/3 7/30 0 0 0

,

(

0 1 0 −2

0 0 2 3

0 0 0 0

)

(

− 2 0 7 1) (

0 0 3 2 −5)

PREG. ¿Cuales son los pivotes y las columnas pivotales?



Objetivo: Dada una matriz, encontrar una matriz escalonada equivalentea la matriz dada

1 Identifique la primera columna, de izquierda a derecha, que no seade solo ceros.





2 Si la primera componente de esta columna es un cero, intercambie laprimera fila con una que tenga una componente no cero en estacolumna. Esta componente no cero sera el pivote de esta columna.






3 Aplique sucesivamente operaciones elementales para obtener cerosdebajo del pivote de esta columna.







4 Repıta este procedimiento con otro pivote.








EJEM Aplicando el Metodo de Eliminacion de Gauss encuentre unamatriz escalonada equivalente a la matriz

2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 2 −2/3 −10 3 −1 −8









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

F3 −2

3F2 → F3

F4 − F2 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 2 −2/3 −10 3 −1 −8









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

F3 −2

3F2 → F3

F4 − F2 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 0 0 30 0 0 −2









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

F3 −2

3F2 → F3

F4 − F2 → F4

F4 +2

3F3 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 0 0 30 0 0 −2









2 −2 4 13 0 5 −9/20 2 −2/3 −16 −3 11 −5

F2 −3

2F1 → F2

F4 − 3F1 → F4

F3 −2

3F2 → F3

F4 − F2 → F4

F4 +2

3F3 → F4

2 −2 4 10 3 −1 −60 0 0 30 0 0 0


Sist de ecuaciones y eliminacion de Gauus

Idea basica para resolver un S.E.L

1 Escriba la matriz aumentada del sistema.





2 Aplique eliminacion de Gauss para hallar una matriz escalonada.






3 Resuelva el sist. usando sustitucion hacıa atras.







EJEM Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales

2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matrix Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5








2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matrix Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 −1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matrix Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5



Idea basica para resolver un S.E.L1 Escriba la matriz aumentada del sistema.2 Aplique eliminacion de Gauss para hallar una matriz escalonada.3 Resuelva el sist. usando sustitucion hacıa atras.


2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matrix Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 −1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matrix Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Variables pivotales: son las variables de las columnas con pivotes

Variables libres: son las variables de las columnas que no tiene pivotes.





2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matrix Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 −1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matrix Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Variables pivotales: son las variables de las columnas con pivotes

Variables libres: son las variables de las columnas que no tiene pivotes.

Entonces x1, x2 y x3 son las variables pivotales y NO hay variables libres.Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica




2x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matrix Ampl

2 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5


F2 − F1 → F2

F3 −1

2F1 → F3

F3 +3

4F2 → F3

Matrix Esc

2 1 1 30 2 0 20 0 −5/2 −5

Sistema correspondiente a la matriz aumentada escalonada

2x1 + x2 + x3 = 32x2 = 2

− 5

2x3 = −5

Sust. Atras

2x1 = 0x2 = 1x3 = 2

Sol. (0, 1, 2)




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3

−x + y − z = −3Matrix Ampl

1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0

Entonces x y z son las variables pivotales, y = t y w = s son variableslibres.




x − y − z + 2w = 12x − 2y − z + 3w = 3


1 −1 −1 2 12 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 10 0 1 −1 10 0 0 0 0


x − t − z + 2s = 1z − s = 1

Sust. Atrasz = 1 + s

x = 2 + t − s

Tiene infinitas soluciones, ya que las variables t y s pueden tomarcualquier valor. Conj Sol=?




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0

−x + y − z = 0Matrix Ampl

1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0

Entonces x y z son las variables pivotales, y = t y w = s son variableslibres.




x − y − z + 2w = 02x − 2y − z + 3w = 0


1 −1 −1 2 02 −2 −1 3 0

−1 1 −1 0 0


F2 − 2F1 → F2

F3 + F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

1 −1 −1 2 00 0 1 −1 00 0 0 0 0


x − t − z + 2s = 0z − s = 0

Sust. Atrasz = s

x = t − s

Tiene infinitas soluciones, ya que las variables t y s pueden tomarcualquier valor. Conj Sol=?




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matrix Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matrix Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 −1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matrix Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 −1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3

Entonces x y y son las variables pivotales, z = t es una variable libre, lacolumna de los terminos independientes es una columna pivotal.




2x − y + 3z = 0x + 2y − z = 2−5y + 5z = −1

Matrix Ampl

2 −1 3 01 2 −1 20 −5 5 −1


F2 −1

2F1 → F2

F3 + 2F2 → F3

Matrix Esc

2 −1 3 00 5/2 −5/2 20 0 0 3


2x − y + 3t = 05

2y − 5

2t = 20 = 3

Obtenemos una ecuacion que no tiene solucion, 0 = 3, por tanto elsistema no tiene solucion. Conj Sol= ∅


Eliminacion de Gauus + Sustitucion hacia atras


1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2




1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2

Obtengamos ceros encima del pivote

F2 + F3 → F2

F1 − F3 → F1

1 1 0 10 1 0 10 0 1 2

F1 − F2 → F1

1 0 0 10 1 0 10 0 1 2




1 1 1 30 1 −1 −10 0 −5 −10

1

5F3 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 0 1 2

Obtengamos ceros encima del pivote

F2 + F3 → F2

F1 − F3 → F1

1 1 0 10 1 0 10 0 1 2

F1 − F2 → F1

1 0 0 10 1 0 10 0 1 2

Solucion unica


Eliminacion de Gauus + Jordan

OBJETIVO: Consiste en convertir el pivote en 1, luego introducir cerosdebajo del pivote y despues introducir ceros encima de el, para cadacolumna pivotal.EJEM Resolvamos el S.E.L por Gauss-Jordan

x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

.




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.

F2 − 2F1 → F2

F3 − F1 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 −2 −3 −8

F3 + 2F2 → F3

F1 − F2 → F1

1 0 2 40 1 −1 −10 0 −5 −10

Hasta aquı deducimos que el Sist tiene Solucion unica pues hay 3variables y 3 pivote




x1 + x2 + x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = −5

Matriz Ampl

1 1 1 32 3 1 51 −1 −2 −5

Primer pivote 1.

F2 − 2F1 → F2

F3 − F1 → F3

1 1 1 30 1 −1 −10 −2 −3 −8

F3 + 2F2 → F3

F1 − F2 → F1

1 0 2 40 1 −1 −10 0 −5 −10

Continuando con Eliminacion de Jordan

1

5F3 → F3

1 0 2 40 1 −1 −10 0 1 2

F2 + F3 → F2

F1 − 2F3 → F1

1 0 0 00 1 0 10 0 1 2

por lo tanto, (0, 1, 2) es la unica solucion del sistema.Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica

Solucion Simultanea de sist lineales

Hallar la solucion a los siguientes sistemas

z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4

La matriz de coeficientes de los dos sistemas es la misma, pues

A1 =

0 0 1 2 −33 −6 −3 0 12

−2 4 0 −4 −2

A2 =

0 0 1 2 03 −6 −3 0 −9

−2 4 0 −4 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


A1 =

0 0 1 2 −33 −6 −3 0 12

−2 4 0 −4 −2

A2 =

0 0 1 2 03 −6 −3 0 −9

−2 4 0 −4 4

Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4

F1 → F2

F3 −2

3F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

3 −6 −3 0 12 −90 0 1 2 −3 00 0 0 0 0 −2




z + 2w = −33x − 6y − 3z = 12

−2x + 4y − 4w = −2

x3 + 2x4 = 03x1 − 6x2 − 3x3 = −9

−2x1 + 4x2 − 4x4 = 4


Matriz Ampl

0 0 1 2 −3 03 −6 −3 0 12 −9

−2 4 0 −4 −2 4

F1 → F2

F3 −2

3F1 → F3

F3 + 2F2 → F3

3 −6 −3 0 12 −90 0 1 2 −3 00 0 0 0 0 −2

El segundo sistema no tiene solucion, y el primero cual es el conjuntosolucion?


Aplicaciones de S.E.L

CLIMA: El promedio de las temperaturas de Bogota, Cali y Medellin fue de88oF durante cierto dıa. En Cali fue 9o mayor que el promedio delas temperaturas de las otras dos ciudades. En Medellin fue 9o

menor que la temperatura promedio en las otras ciudades. ¿Cual fuela emperatura en cada ciudad? :





Herencia Un padre desea distribuir sus bienes raices, cuyo valor es 234.000,entre sus 4 hijas de la siguiente manera: 2

3de las propiedades deben

dividirse por igual entre las 4 hijas. Para el resto, cada hija deberecibir 3000 cada ano hasta el vegesimo primer cumpleanos. Comoentre ellas se llevan 3 anos. ¿Cuanto recibirıa cada una de los bienesde su padre?. ¿Que edad tien ahora esas hijas?








on cuadratica Determine la ecuacion de la parabola, con eje vertical y en el planoxy , que pasa por P(1, 4), Q(−1, 6) y R(2, 9)








on cuadratica Determine la ecuacion de la parabola, con eje vertical y en el planoxy , que pasa por P(1, 4), Q(−1, 6) y R(2, 9)

de Polinomios Calcule a, b y c tales que los polinomiosax2 + 3x2 + 2ax − 2cx + 10x + 6c y −2bx2 − 3bx + 9+ a− 4b seaniguales


Algebra lineal para ingenieros y ciencias exactas

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