algebra expo 1

7/24/2019 algebra expo 1

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INTEGRATES

ALEJADRO RAMOS ROJAS

VANESA MABEL CAMPOS RUIZ

FREDY ALEXIS MONTERO GARCIA

JESUS TADEO SUAREZ CASOLUENGOANDRY PROMOTOR LEON

ADRIANA MORTERA SALINAS

RAMSES VILLEGAS RODRIGUEZ


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4.1 Defnicin deespacio vectorial.Un espacio vectorial es aquel conjunto

de vectores que cumple las propiedadeso axiomas de la suma de vectores y lamultiplicacin por un escalar, dichaspropiedades vistas en espacios n-

dimensinales Rn o R2. Un espaciovectorial es un espacio no vaco.


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Podramos decir que un espacio vectorial esla abstraccin de las propiedades de un

espacio n-dimencional , debe tomarse encuenta que en el espacio vectorial no seespeciica operaciones ni vectores, entoncesse puede usar cualquier vector y cualquier

operacin se puede sustituir la suma devectores y la multiplicacin por un escalar,pero siempre cumpliendo todos laspropiedades, siempre seria un espaciovectorial.


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Un espacio vectorial cumple con cuatro partes queson! un conjunto de vectores, un conjunto deescalares, y dos operaciones. "stos orman uncuerpo que es i#ual a las estructuras al#ebraicas dedos operaciones $conjunto, operacin ,operacin%

&un cuerpo'. Para comprobar que determinadoconjunto es un espacio vectorial es preciso deinir oespeciicar las propiedades de suma multiplicacinpor un escalar como vimos anteriormente tenemos

que deinir el elemento que act(a como cero &)' y elne#ado de cada elemento.


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4.2 Defnicin desubespacio vectorial ysus propiedades.*ea H un subconjunto no vaco de un espaciovectorial V y supon#a que H es en s un espaciovectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacinpor un escalar deinidas en V. "ntonces se dice queH es un subespacio de V.

*e puede decir que el subespacio + hereda lasoperaciones del espacio vectorial padre .


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4.3 Combinacin lineal.

Independencia lineal. COMBI!CI" #I$!#*ean v/, v2, 0, vn, vectores en un espacio vectorial . "ntoncescualquier vector de la orma! a/v/1a2v2101anvn, donde a/,a2,0,an

son escalares se denomina una combinacin lineal de v/, v2,0,vn.

Una combinacin lineal en 23


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Conjunto generador.

*e dice que los vectores v/, v2, 0, vn de un espacio

vectorial #eneran a si todo vector en se puedeescribir como una combinacin lineal de los mismo."s decir, para todo v4, existen escalares a/, a2, 0,an tales que v5a/v/1a2v2101anvn

6uatro vectores que #eneran a 22


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Espacio generado por un conjunto de vectores.

*ean v, v2, 0, v7, 7 vectores de un espacio vectorial . elespacio #enerado por 8v/, v2, 0, v79 es el conjunto decombinaciones lineales v/, v2, 0, v7. "s decir

donde a/, a2, 0, a7, son escalares arbitrarios.

:eorema! si v/, v2, 0, v7 son vectores en un espacio vectorial ,entonces #en8v/, v2, 0, v79 es un subespacio de .
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"jemplo! el espacio #enerado por dos vectores en R3

*ea v/5&2,-/,;' y v25&;,/,


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ID$%$D$CI! #I$!#

"n el estudio del al#ebra lineal, una de lasideas centrales es la de dependencia o

independencia lineal de los vectores. "n estaseccin se deine el si#niicado deindependencia lineal y se muestra su relacincon la teora de sistemas homo#Bneos de

ecuaciones y determinantes.


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"xiste una relacin espacial entre los vectores

se puede apreciar que v252v/C o si se escribe estaecuacin de otra manera. 2v/-v25).

"n otras palabras, el vector cero se puede escribircomo una combinacin no trivial de v/ y v2 &esdecir, donde los coeicientes en la combinacinlineal no son ambos cero'.
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Deinicin! sean v/, v2, 0, vnvectores en un espacio vectorial .entonces se dice que los vectores sonlinealmente dependientes si existen nescalares c/, c2, 0, cn no todosceros tales que .
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*i los vectores no son linealmente dependientes,

se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra orma, v/, v2, .., vn sonlinealmente independientes si la ecuacinc/v/1c2v2101cnvn5) se cumple (nicamente parac/5c2505cn5). *on linealmente dependientes siel vector cero en se puede expresar como unacombinacin lienal de v/, v2,0,vn con coeicientesno todos i#uales a cero.


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4.4 Base y dimensin de unespacio vectorial& cambio de base.

Base Un conjunto inito de vectores v/, v2,. . ., vn es una base para un espacio

vectorial si

&v/, v2, . . ., vn ' es linealmente independiente

&v/, v2, . . ., vn ' #enera .


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:odo conjunto de n vectores linealmente

independiente Rn es una base en Rn

"n Rn se deine:


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Puesto que los vectores e, son las columnas d una

matri@ identidad &que tiene determinante /',

es un conjunto linealmente independiente y, por lotanto, constituye una base en Rn. "sta base especial

se denomina base canonica en Rn. Ehora seencontraran bases para otros espacios.
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EJEMPLO! base canonica para 22

*e vio que #eneran a

entonces es evidentemente que . Es,estas cuatro matrices son linealmente independientes y orman unabase para

22, lo que se denomina base cannica para

22.
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Dimensin

*i el espacio vectorial tiene una base con unnumero inito de elementos, entonces ladimensin de es el numero de vectores entodas las bases y se denomina espacio

vectorial de dimensin inita. De otra manera, se denomina espacio vectorial de dimensinininita. *i 58)9, entonces se dice que tienedimensin cero.

Fotacin. Ga dimensin se denota pordim


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EJEMPLOla dimensin de mn

"n mnsea E la matri@ de mxn con un uno en la posicin ij y ceroen otra parte. "s sencillo demostrar que las matrices a para i5/,2,0,m y j5/,2,0,n orman una base para mn. Es, dimmn5mn

!EO"EM# supon#a que dim5n. si esun conjunto de m vectores linealmente independientes en ,entonces mHn.

*ea entonces, i#ual que la prueba delteorema, se pueden encontrar constantes

no todas cero, tales que la ecuacin &2' se satisace. "stocontradice la independencia lineal de los vectores u. as, mHn.
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C#MB$O DE B#%E

*ea x un vector que en base I/&de vectores unitarios u/, u2, ...'ser> i#ual a m/u/1 m2u21 m3u31 ... "l mismo vector, utili@andootra base I2&de vectores unitarios v/, v2, ...'

ser> n/v/1 n2v21 n3v31 ...*upon#amos que u/, u2, ... se representan en la base I2de estaorma!

u/5 a//v/1 a2/v21 ... 1 an/vnu25 a/2v/1 a22v21 ... 1 an2vn.............................................................un5 a/nv/1 a2nv21 ... 1 annvn


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Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la rmula ori#inalnos queda!

x 5 m/&a//v/1 a2/v21 ... 1 an/vn' 1 m2&a/2v/1 a22v21 ... 1 an2vn'1 ...

Reordenando queda!

x 5 &m/a//1 m2a/21 ... 1 mna/n'v/1 ... 1 &m/an/1 m2an21 ... 1 mnann'vn

6omparando con la rmula x 5 n/v/1 n2v21 n3v31 ... deducimosque!

n/5 m/a//1 m2a/21 ... 1 mna/nn25 m/a2/1 m2a221 ... 1 mna2n

.................................................................nn5 m/ann1 m2an21 ... 1 mnann


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"sto se puede expresar de orma matricial!

n/ a//1 a/21 ... 1 a/n m/n25 a2/1 a221 ... 1 a2n m2..... ........................................nn a2n1 an21 ... 1 ann mn

Glamando E a la matri@ de coeicientes, JK al vector en la base I2yJ al vector en la base I/nos queda!

JK 5 EJ

despejando J nos queda!J 5 E-/JK


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4.' $spacio vectorial conproducto interno y sus

propiedades. Un espacio vectorial complejo se denomina espacio conproducto internosi para cada par ordenado de vectores u y ven , existe un numero complejo (nico &u,v',denominado producto internode u y v, tal que si u, v y Lest>n en y M 6, entonces

Ga barra es las condiciones v' y vii' denota el conju#adocomplejo.

Fota. *i &u,v' es real, entonces &u,v'5&u,v' y se puede eliminar

la barra en v'.


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EJEMPLOproducto interno de dos vectores en 63

"n 63 sean x5&/1i, -3, ;-3i' y y5&2-i, -i, 21i'.

*ea un espacio con producto interno y supon#a que u y vest>n en . entonces


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Fota /. Equ se usa la doble barra en lu#ar de una sola paraevitar conusin con el valor absoluto. Por ejemplo sen t denota la norma de sen t como un vector en 6N), 2Omientras que Qsen tQ denota el valor absoluto de la uncinsen t.

Fota 2. Ga ecuacin anterior tiene sentido ya que &u, u').


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EJEMPLO dos vectores orto#onales en 62

"n 62 los vectores &3,-i' y &2,


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Conjunto ortonorma&

"l conjunto de vectores es un conjunto

ortonormal en si y

*i solo el primero se cumple, se dice que el conjunto esortonormal.
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:"SR"E! cualquier conjunto inito de vectores ortonormalesdierentes de cero en un espacio con producto interno eslinealmente independiente.

:"SR"E! cualquier conjunto inito linealmente independienteen un espacio con producto interno se puede convertir en un

conjunto ortonormal mediante el proceso de Tram-*chmidt. "nparticular, cualquier espacio con producto interno tiene unabase ortonormal.


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Pro'eccin ortogona&

*ea + un subespacio del espacio con producto interno con

base ortonormal*i v , entonces la proyeccin ortonormal de v sobre +denotada por proy+v esta dada por &


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:"SR"E! sea + un subespacio de dimensin inita con

producto interno . supon#a que + tiene dos bases ortonormales

*ea v . entonces
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Comp&emento ortogona&

*ea + un subespacio del espacio con producto interno .entonces el complemento orto#onal de +, denotado por +, estadado por &'

:"SR"E! si + es un subespacio del espacio con productointerno , entonces
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:"SR"E D" PRSV"66WXF! sea + un subespacio dedimensin inita del espacio con producto interno y

supon#a que v . entonces existe un par (nico de vectoresh y p tales que h +, p +, y &Y' v(h)p donde h5proy+v.

*i tiene dimensin inita, entonces p5proy+v.

:"SR"E! sea E una matri@ de nxnC entonces E tienevectores propios linealmente independientes si y solo simultiplicidad #eomBtrica de cada valor propio es i#ual a sumultiplicidades al#ebraica. "n particular, E tiene n vectorespropios linealmente independientes si todos los valorespropios son distintos &ya que entonces la multiplicidadal#ebraica de cada valor propio es /'.


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4.( Base ortonormal&proceso de

ortonormali)acin de*ram+,c-midt. Conjunto ortonorma& en "n

*e dice que un conjunto de vectores *58u/, u2, 0, u79 en Rn esun conjunto ortonormal si &/' &2'

*i solo satisace la ecuacin &/', se dice que el conjunto esorto#onal.

*i u, v y L en Rn y M es un numero real, entonces &3' &;' &Z' &


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*i v Rn, entonces la lon#itud o norma de v, denotada por QvQ,

esta dada por &Y'

Fota. *i entonces v[v5

"sto si#niica que &\'
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De esta orma se puede obtener la ra@ cuadrada en &Y', y setiene &/)'&//'


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:"SR"E! si *5 es un conjunto orto#onal

de vectores dierentes de cero, entonces * es linealmenteindependiente.

*upon#a que

"ntonces, para cualquier i5/,2,0,7

6omo v]) por hiptesis QvQ2%) y se dice que c5). "sto es ciertopara i5/,2,0,7, lo que completa la prueba.
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Proceso de ortonorma&i*acion de +ram,%chmidt

*ea + un subespacio de dimensin m de Rn. "ntonces + tieneuna base ortonormal.

*ea *5 una base de +. se probara el teoremaconstruyendo una base ortonormal a partir de vectores en *.antes de dar los pasios para esta construccion, se observa elhecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmenteindependiente no contiene al vector cero.
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Paso -. E&eccion de& primer vector unitario

*ea &/2'

"ntonces

De manera que QuQ5/.
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Paso . E&eccion de un segundo vector ortogona& a u

6omo anteriormente se ha visto que, en R2, el vectores la orto#onal a v. en este caso

es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la si#uiente i#ura.
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Resulta que el vector L dado es orto#onal a v cuando L y v est>n enRn para cualquier n2. SbsBrvese que como u es un vector unitario,

para cualquier vector v.

*ea &/3' entonces

de manera que v^ es orto#onal a u. mas aun, por el teorema, u y v_sonlinealmente independientes. v^]) porque de otra manera

lo que contradice la independencia de v/ y v2.
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Paso /. E&eccin de un segundo vector unitario

*ea &/;' entonces es evidente que 8u/,u29 es unconjunto ortonormal.

*upon#a que se han construido los vectores u/, u2,0,u7&7$m' yque orman un conjunto ortonormal. *e mostrara como construir

u71/.
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Paso 0. Continuacin de& proceso

*ea &/Z' entonces para

i5/,2,0,7

Pero Por lo tanto,

Es, es un conjunto linealmenteindependiente, orto#onal y v_71/]).
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Paso 1

*ea

"ntonces es claro que es un conjuntoortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que

71/5m con lo que se completa la prueba.Fota. 6omo cada u es una combinacin lineal de vectores v,

#en es un subespacio de #en

y como cada espacio tiene dimensin 7, los espacio son i#uales.
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