OBJETIVOSLas leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operacin que da origen al exponente es la potenciacin.MOTIVACINLos rabes fueron los verdaderos sistematizadores del lgebra.A fines del siglo VIII floreci la escuela de Bagdad a la que pertenecan al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan.A lJuarismi, persa del siglo IX, escribi el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.Al Batani, sirio (858 - 929), aplic el Algebra a problemas astronmicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en Rubayat, escribi un tratado de Algebra. Querer es poder, t quieres, luego puedes.POTENCIACINConcepto :Es la operacin que consiste en multiplicar un nmero llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia.As tenemos:Notacin:donde: b basen exponentePpotencia

I I

Es base : 3Es exponente : 4Es potencia : 81Luego:Ejemplos: I Es base : 2Es exponente : 5Es potencia : 32

I I I Donde:Es base :Es exponente : 4Es potencia :

En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2Base = xLEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIN (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)

Ejemplos: (+2)4 = + 24(24) = 16 (+x)32 = x32(x)32 = x32Recprocamente de acuerdo a la definiciOn depotenciaciOn se verifica:

Ejemplos: Ejemplos Diversos: 34 = 3 3 3 3 = 81 (3)4 = (3) (3) (3) (3) = +81 (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) 3x4 = 3x x x x ( 3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) 4 x

(*) bn (b)n(**)IdentificaciOn de una base y su exponente: En: En: *En:

Ejemplo: (2)6 = + 26(2)6 = 64 (x)18 = + x18(x)18 = x18Ejemplo: (2)5 = 25(2)5 = 32 (x)21 = x21

(1)Es conveniente indicar la diferencia entre:34 y (3)4(*)En: 34; el exponente no afecta al signo. (*) En: (3)4; el exponente si afecta al signo. (3)4 = + 34Por ello: 34 (3)4(2) Debes tener presente lo siguiente: (i) con(ii)(iii)

Ejemplos:123 = 11128 = 1125 = 1Ejemplos:(1)16 = 1(1)328 = 1Ejemplos:(1)17 = 1(1)5 = 1

usuales:POTENCIAS MS USUALES :(iv)conEjemplos:017 = 00120 = 001256 = 0Para realizar diversas operaciones a travs de la po-tenciaciOn es necesario recordar las potencias ms

LEYES DE EXPONENTESLos exponentes se rigen a travs de leyes, normas queestudiaremos a continuaciOn:Objetivos: El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos,luego dar paso a la soluciOn de ejercicios mediantereglas prcticas de exponentes.Para un mayor entendimiento en este captulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:(1) Leyes de Los Exponentes I(2) Leyes de los Exponentes II (3) Leyes de los Exponentes IIIA continuaciOn pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo.LEYES DE EXPONENTES IAqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:1. Ley del exponente Cerosiempre y cuando : b 0Ejemplos:(3)0 = 1 30 = 1(3)0 = 1 30 = 13x0 = 3(1) = 3 (3x)0 = 1 3(a + b)0 = 3(1) = 3 3x0y = 3(1)y = 3y

0 es indeterminado

2. Ley del exponente Uno

El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiendeEjemplos:51 = 5 (a + b)1 = (a + b)3x1 = 3x

3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo- nentes)Para desarrollar esta expresiOn se toma los 2 ltimos trminos (base y exponente), luego se va transfor- mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los trminos.Ejemplos:(*)Desarrollar:Luego:(*)Desarrollar:Luego:4. Ley del exponente Negativo con b 0*Caso Particular con: a; b 0

Recprocamente:Ejemplos:Tambien:

Si la forma del expo ativo:Entonces transformamos a una expresiOn fraccionaria

I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:A)(F)B)(F)C) (V)RESOLUCIONA) La proposiciOnes falsa

A) ................... ( )B)

............ ( ) A) ........................... ( )RESOLUCIONB)Es falso la proposiciOnC) La proposiciOn es verdaderaII.Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)o falsas (F):

1.Hallar el resultado de:A) B)2.Efectuar: A)B)Rpta.: .......................................................3.Efectuar: A)

Rpta.: .......................................................10. Efectuar:Rpta.: .......................................................11. Calcular:B)Rpta.: .......................................................4.Efectuar: A)B)

Rpta.: .......................................................12. Efectuar:Rpta.: .......................................................5.Efectuar:Rpta.: .......................................................6.Efectuar:Rpta.: .......................................................7.Efectuar:Rpta.: .......................................................8.Efectuar:Rpta.: .......................................................9.Efectuar:

Rpta.: .......................................................13. Calcular:Rpta.: .......................................................14. Calcular:Rpta.: .......................................................15. Efectuar:Rpta.: .......................................................16. Efectuar:

Rpta.: .......................................................17. Efectuar:

Rpta.: .......................................................18. Efectuar:Rpta.: .......................................................19. Calcular:

Rpta.: .......................................................20. Calcular:Rpta.: .......................................................

1.Calcular:A)9B)27C)27

D)3E)6

2.Calcular:3.Calcular:4.Efectuar:

5.Calcular:OBJETIVOSBuscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes. El camino a recorrer con estas leyes nos permitir desarrollar a travs de los ejercicios su capacidad de razonamiento.MOTIVACINCada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educaciOn, la disciplina y la fuerza de voluntad.LEYES DE EXPONENTES IIAqu mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.1. MultiplicaciOn de Bases Iguales

Si se tiene:;En forma extensiva:

Luego obtendremos: Ejemplos:Recprocamente:2. DivisiOn de Bases Iguales

Regla Prctica :La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantie- ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos Ejemplos:Ejemplos Diversos: Ejemplos:

con b0I

I Se observa: I

Ej I 3. Potencia de Potencia

I ; I noEjemplos: I

Pu4. Potencia de un Producto I I

I I I

I Ejemplos: I I Re I I I Si se tiene:

I I I Recprocamente: (*)(*)(*)Nota:5. Potencia de un Cociente; con b 0mn = nmLuego se cumple:

Ejemplos: I Recprocamente:IIIIII

I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmamos son C)correctas:a)(F)b)(V)

La proposiciOn es falsac)

(F) RESOLUCIONA)

B)

La proposiciOn es falsa

II. Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V)o falsas (F):a) .......................... ( )b) .......................... ( ) ( )La proposiciOnes verdadera

1.Efectuar:

a)=

b)=

2.Efectuar:a) =b) =Rpta.: .......................................................

b)=Rpta.: .......................................................4.Efectuar:a)=b) =Rpta.: .......................................................5.Efectuar: =Rpta.: .......................................................6.Efectuar: =Rpta.: .......................................................7.Efectuar: = Rpta.: .......................................................8.Efectuar: =Rpta.: .......................................................9.Efectuar: =Rpta.: .......................................................10. Efectuar: =Rpta.: .......................................................11. Efectuar:

=Rpta.: .......................................................12. Efectuar: =Rpta.: .......................................................13. Efectuar: =Rpta.: .......................................................14. Efectuar: =Rpta.: .......................................................15. Efectuar: =Rpta.: .......................................................16. Efectuar: =Rpta.: .......................................................17. Efectuar: =Rpta.: .......................................................18. Efectuar: =Rpta.: .......................................................19. Efectuar: =Rpta.: .......................................................20. Efectuar: Si

Calcular : =Rpta.: .......................................................

1.Simplificar:

2.Efectuar:A) B)C) D) E)3.Reducir:

A) 1 B)2 C) 3D) 4 E)54.Calcular el exponente final de x en:

A) 9 B)9 C) 18D) 27 E)27OBJETIVOSLograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto ser posible a travs de la prctica que efectuemos con los diversos ejercicios.MOTIVACINEl tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida.LEYES DE LOS EXPONENTES IIILas siguientes leyes estn dadas para la transformaciOn de expresiones afectadas por el smbolo de una raz.1. Exponente Fraccionario con n 2Ejemplos:

Si se tiene Luego: Para fines prcticos:(1) Si m = 1: (2) Si m 1: Ejemplos:

(se sobreentiende el ndice 2) Ejemplos: 2. Potencia de una Raz; con n2

Ejemplos:

ISabemos que:Si hacemos: m = n, se tendr:IILuego:IEn forma similar:

I3. Raz de una MultiplicaciOnEjemplos:I I I I I II

Se cumple; dadas las siguientes formas::

I IEjemplos:I II IRecprocamente:I III:4. Raz de una DivisiOn:Ejemplos:I

IEjemplos:I

IIIIIIIIRecprocamente:II I

III IIII5. Raz de RazIIIII IIEjemplos:I IIIII IPROPIEDADES AUXILIARESI.....................................................(I)I................................................... (II)I...............................................(III) I

................................(IV) I

................................. (V)I......(VI)Propiedad de Raz de Raz:

:

Ejemplos de las formas de Raz de Raz: Efectuar:I I

I

Desarrollar:II

Ejemplos Diversos:

I. Problema desarrollado1.Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:A) (V)B)(F)C) (V) RESOLUCIONA)La proposiciOn es verdaderaB)

La proposiciOn es verdaderaII.Problema por desarrollar2.Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o falsa (F):A) .......................( )B).......................( ) C).......................( )RESOLUCION9 . 3 = 927 = 9 La proposiciOn es falsaC)

1.Efectuar:a)a)

b) b)2.Efectuar:a)

b)

Rpta.: .......................................................3.Efectuar:

Rpta.: .......................................................4.Efectuar:

Rpta.: .......................................................5.Simplificar:

Rpta.: .......................................................6.Simplificar:

Rpta.: .......................................................7.Simplificar:

Rpta.: .......................................................8.Simplificar:

Rpta.: .......................................................9.Simplificar:

Rpta.: .......................................................10. Simplificar:

Rpta.: .......................................................11. Simplificar:

Rpta.: .......................................................12. Simplificar:

Rpta.: .......................................................13. Simplificar:

Rpta.: .......................................................14. Simplificar:

Rpta.: .......................................................15. Simplificar:

Rpta.: .......................................................16. Simplificar:

Rpta.: .......................................................17. Simplificar:

Rpta.: .......................................................18. Simplificar:

Rpta.: .......................................................19. Simplificar:

Rpta.: .......................................................20. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

1.Hallar la expresiOn equivalente:A)B)2.Reducir:A) 1 B)3 C) 9D) 27 E)303.Reducir:A)1B)2C) 3

D)4E)8

4.Calcular:

A) B)C) D) E)5.Calcular:

Compendio de Ciencias I-A lgebra

(+2)5 = + 25

(2)5 = 32

(+x)17 = + x17(x)17 = x17

3x = 3 xxx

nente es neg

A)10B)9C) 7D)6E)5

A)12B)17C)15

D)19E)20A)5B)6C) 1/6D)6E)1/5

A)13B)15C)16D)11E)5

Compendio de Ciencias I-A lgebra

emplos:

confundir:

es:

cprocamente:

c)

RESOLUCION..........................

3.

Efectuar:

a)

=

A)3B)5C)7D)4E)6

I

I

I

II

I

I

I

La

porque:Laporque:Laporque: SLaporque:Laporque:Laporque:

Compendio de Ciencias I-A lgebra

Si se tiene

A)1B)2C) 3D)5E)7