Álgebra con Geogebra – CAS Sistemas de Ecuaciones Lineales con Parámetros

Uno de los ejercicios sería el siguiente: Discute el siguiente sistema para los

posibles valores de .

Calcula los valores de x, y, z cuando , y resuélvelo para los valores de donde el sistema es compatible indeterminado.

{

Abrimos la vista CAS únicamente

En este caso como vamos a introducir parámetros vamos a utilizar listas

para escribir las matrices (ya que no se pueden escribir parámetros

directamente en la hoja de cálculo)

En la primera fila definimos la matriz A:={{ ,2,0},{-1,0,2 },{3,-1,-7}} (con

evalúa nos mostrará la matriz). NOTA: el símbolo lo elegimos en "cálculo

simbólico"

De la misma manera definimos la matriz B:={{ ,2,0,3},{-1,0,2 ,-1},{3,-1,-

7, +1}} y C:={{3},{-1},{ +1}}. (Puedes copiar y pegar)

Calculamos el determinante de A. Digitamos el comando Determinante[A],

al pulsar la tecla Enter (con la herramienta evalúa seleccionada)

obtenemos un polinomio respecto a .

Copiamos la fila anterior haciendo clic en su salida y seleccionamos

resuelve , con lo que obtenemos los valores para los cuales el polinomio

se anula.

Como en no se anula, resolvemos el sistema para este valor.

Digitamos X:=Inversa[A]*C y pulsamos conservar entrada (con lo que

tendríamos el resultado para cualquier )

Hacemos clic en la salida y se copiará en la fila siguiente. Elegimos

sustituye y asociamos el valor 2 a .

Estudiaremos ahora los casos para los cuales el sistema no es Compatible

Determinado

Primero para =1. Creamos una nueva matriz B1, sustituyendo el valor de

por 1 en la matriz B. Utilizamos el comando B1:=Sustituye[B,λ,1] y

pulsamos evalúa .

Aplicamos Gauss con el comando EscalonadaReducida[B1], y

comprobamos que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado.

Como , ahora nuestro sistema es da la forma: (matriz ampliada B1)

{

Como es un Sistema Compatible Indeterminado, donde se anula una fila,

eliminamos una de las tres filas, dejando 2 que sean linealmente

independientes (eliminamos la tercer fila).

Luego nuestro nuevo Sistema sería:

{

Para resolverlo, como tenemos 3 incógnitas y 2 ecuaciones, una de las

incógnitas se iguala a un parámetro, las soluciones del sistema quedan

determinadas por el valor del parámetro. Hacemos .

Para calcular las otras dos incógnitas despejamos , con lo que tenemos el

sistema:

{

Para resolver este sistema dos por dos, creamos una nueva matriz que

llamaremos Bz. Lo haremos introduciendo Bz:={{1,2,3},{-1,0,-1-2 }}

Aplicamos Gauss con el comando EscalonadaReducida[Bz] y en la última

columna tendremos el resultado que nos piden cuando tenemos infinitas

soluciones. La solución será

Lo mismo que hemos hecho para lo hacemos para (con B7) y

en este caso obtenemos un Sistema Incompatible.

6 INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL

Inecuaciones

Con la vista CAS activada podemos resolver inecuaciones, solo hay que insertarla en la fila y

al seleccionar conservar entrada aparecerá la inecuación. La copiamos en la siguiente fila

y elegimos la herramienta resuelve y nos dará el resultado entre llaves. En la siguiente

imagen puedes observar algunos ejemplos.

Active la vista gráfica y la algebraica y cierre la vista CAS.

En la barra de entrada insertamos 8x-3y>4. Aparecerá en la vista algebraica como a:8x-3y>4 y

en la vista gráfica el semiplano correspondiente, coloreado.

Hacemos lo mismo para 3x+y<7. En la vista algebraica aparecerá como b:3x+y<7. Con lo que

podemos estudiar la solución del sistema correspondiente a las dos inecuaciones.

Programación lineal

Resolvamos el siguiente problema de Programación Lineal:

Averigua dónde se hace máxima la función ( ) , sujeto a las siguientes

restricciones:

{

Abrimos, en GeoGebra, la Vista Gráfica y la Vista Hoja de Cálculo.

Creamos un deslizador, k, que será el encargado de mover la función objetivo.

En la hoja de cálculo introducimos la función objetivo (x+2y=k), las inecuaciones (con la

desigualdad contraria, para que nos muestre el recínto sin colorear) y las ecuaciones, como

se muestra en la siguiente imagen: