ÁLGEBRA 3º y 4º chongoyape

MUNICIPALIDAD DISTRITAL DE CHONGOYAPECICLO DE NIVELACIÓN ACADÉMICA VERANO 2010

EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)

Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por las operaciones fundamentales (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación), en forma finita y sin variables como exponentes

1) 5 x2y3

2)

2 yx+3

+ √3x2

− x2+1x+1

Toda expresión que no cumple con estas condiciones no es expresión algebraica.

1) 3x - log x2 2) 1 + x - x2 + x3 - x4 + ...

TÉRMINO ALGEBRAICO

Es la mínima expresión algebraica, cuyos números y letras, no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos.

Partes de un Término algebraico

−7⏟ x2 y3⏟

TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen la misma parte literal,

afectadas de iguales exponentes.Ejemplos:

5 x3yz5; -0,5 x3yz5; √3 x3yz5;

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. Por la naturaleza de los exponentes: Una E.A puede ser:

1) E.A. Racional (EAR) : Son aquellas cuyas variables están afectadas por exponentes enteros. A su vez pueden ser:

I.1. E.A.R. Entera (EARE): Los exponentes son enteros positivos, incluyendo el cero.

I.2. E.A.R. Fraccionaria (EARF): Los exponentes de sus variables son enteros negativos.

2) E.A. Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

Ejemplos:

2) x1

2−5 xy2+ 3√2 x EAI

3) x−3 y2+ 5

x+1 EARF

II. Por el número de términos: Una E.A puede ser:1) Monomio: Expresión algebraica de un término.

Ejemplos: 7x2yz3 ; 4x1/2yz-1

2) Multinomio: Expresión algebraica de dos o más términos:Ejemplos:

1) x - y + 2 ; 2) 3x + y-2 + 7

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica racional enteraMonomio: E.A.R.E de un sólo término.Binomio: Es el polinomio de dos términos.Trinomio: Es el polinomio de tres términos.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna determinado valor a su variable.

Ejemplo: Si P(x) = x3 – 5x2 + 4, entonces

P(1) = (1)3 – 5(1)2 + 4 = 0

P(-2) = (-2)3 – 5(-2)2 + 4 = 6

Nota : La suma de los coeficientes de P(x) = P(1), esto es,

coef. de P(x) = P(1)

El término independiente de P(x) = P(0), esto es

T. I. de P(x) = P(0)

Prof. DEYVIS EDQUÉN FERNÁNDEZ.

Exponente

Parte literal (Variables)

Coeficiente (N° Reales)


TEORÍA DE EXPONENTES : Si a R - o, n N, se define

a0 = 1an = a . a . a . . . a⏟

n−veces donde, a: base, n : exponente an : n-ésima potencia de a.

Propiedades:

1. am . an=am+n

2.

3. (ab )n=an bn

4.( ab )

n

=an

bn; b 0

5. (am )n=amn=(an )m

6.

a−n= 1

an; a 0

7.( a

b )−n

=( ba )

n

; a 0, b 0

8.n√a=a1/n

9. n√ab=n√a . n√b

10.

n√ ab=

n√an√b , b 0

11. n√am=a

mn =( n√a )m

12. am .

n√a p=n√amn .ap

13.

m√n√p√a=mnp√a

14.

n√an√a n√a .. . .. .. . .. ..=n−1√a

15.

n√a÷n√a÷n√a÷. .. . .. .. .. . .=n+1√a

Ecuación Exponencial

Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la variable como exponente.Ejemplos:

1) 2x = 85x-1 2) xx = aa

Propiedades:

1) Si ax = ay x = y a > 0 y a 1

2) Si ax = bx a = b a > 0 y b > 0

3) Si ax = by x = y = 0, para todo a,b R.

Ejercicios Nº 01

1. Resolver: x√ x=9√3

a) 27 b) 9 c) 3 d) 16 e) 1/3

2. Hallar: xx x2+2

=4a) 2 b)√2 c) 4 d)

x√2 e)1/2

3. Resolver: 89−x−1

=2a) 2 b) 3 c) -1/2 d) 1/2 e) -2

4. Hallar “x”

5x

√2512−x

=325 x+2

a) 1 b) 3 c) 2 d) 1/2 e) 2/3

5. Resolver:

x−1√ x3 x−20−xx

x x−x=x

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

6. Hallar “x”4 x−1=(0 , 25

3√2)−20 ,6⏞

a)1 b) 4 c)2 d)5 e)3

7. Hallar el exponente de “x” al reducir;

n√ x3 n+ n√ x4 n2

+x3 n2

x2n2

+xn2

xn+1a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n

8. Calcular el valor de:



E=27 xx+1x2+2 x3+3 x4+4

; para: x= -3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. Simplificar:

k=(√√√3√√√3√√3√3√3√3√3√3 )3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Calcular:

E=√2+√2+√2+ .. ..+√2−√2−√2− .. ..a) 4 b) 3 c) 2 d) 6 e) 8

11. Resolver: xx xx x

. ..

=3

a) 4 b) 2 c) ½ d) 3√3 e)

4√2

12. Hallar :

P=√ x

√ x

√ x:

a)√ x b)x c)2√ x d) 3√ x e)3√ x

13. Si: xx x+ 5

=4√3

4√34√3 .. ..

Hallar: E=xx3 xx +5+( x+5 )

a)1 b)9 c)327 d)3 e)381

14. Hallar A:B si:

A=3√5√32

3√5√32. . .

B=3√ 5

√32

3√ 5:

a)2 b)3 c)1 d)4 e)6

15. Resolver:

x1+x1+x1+x ...

=4√ x5

4√x5

4√ x5:.

¿ ¿a)2 b)

6√2 c) 5√4 d) 3 e) N.A

16. Resolver:

x2,2− x2,2−x2,2−x ..

.

=4√ x

4√ x

4√ x:

a) 64 b)8√2 c) 32 d) 16 e) √2

17. Si se cumple: x5 5x

Calcule: 1x

xxx1A

5

5xx5x5

a) 5 b) 1 c) 4 d) 16 e) 8

18. Calcular: x–12

Si: 6x6x

1

a) 36 b) 6 c) 12 d) 1 e) n.a

19. Calcular el valor de:

2

4

22

x

1x

x

1x

Si: 4x2x2x

a) 2 b) 1 c) 3/2 d) 5/2 e) ¾

20. Halle el equivalente de la expresión:99 7

73

1

32

6

1

a) 1/6 b) -1/6 c) 1 /36 d) 6



21. Simplificar la expresión:

0x;xxx

xxxxx 16

9753

.

a) 1 b) x c) x2 d) x e) x

1

22. ¿Cuántas de las siguientes expresiones no son trascendentes?I) 1+x+x2+x3+.. II) x2-2x-1III) 5+2x+x3 IV ) x2-6x+log3 V) 8-x+senx

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23. Si la expresión: es racional entera, el valor de "m" es:

a) -3 b) -2 c) 2 d) 5 e) 8

24. ¿Qué valor como mínimo debe tomar "n" para que

E = x sea racional fraccionaria?a) 6 b) 10 c) 5 d) -2 e) 2

25. Determinar los posibles valores de "a" para que la expresión sea racional entera.

E(x,y,z)=

a) {2,4,6} b) 2,3,4} c) {0,1,2} d) {1,2,3} e) {3,4,5}

26. Indicar la suma de todos los valores de "n" de tal

modo que al simplificar , se obtenga una E.A.R.E.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

27. Clasifique la siguiente expresión matemática:

E = y8 z-6

a) E.A.R.E b)E.A.R.F c) E.A.Id) E. Trascendente e) N.A

28. Señale verdadero o falso respecto a estas expresiones:

I. √5 x y3. es irracionalII. 3 x y + y2 es racional entera

III. es racional fraccionaria

a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF

GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: Es una expresión algebraica racional entera que tiene un solo término.Grado de un monomio:

1. Grado Relativo: Cuando se refiere al exponente de la variable indicada.

2. Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo: Sea M = 3x4y6z13

GR(x) = 4; GR(y) = 6; GR(z) = 13GA = 4 + 6 + 13 = 23

Polinomio: Es la expresión algebraica racional entera que posee dos o más términos algebraicos.Grado de un polinomio:

1. Grado relativo: Se refiere al mayor exponente de la variable indicada.

2. Grado absoluto: Está determinado por el término de mayor grado.

Ejemplo:Dado P(x,y) = 3x5y2 – x3y8 + 2x10y3

1) Grado relativo: GR(x) = 10 ; GR (y) = 8 G.A. = 13

POLINOMIOS ESPECIALES.1. Polinomios Homogéneo: Es aquel cuyos términos

están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado.

Ejm.: P(x, y) = 2xy4 – 3x3y2 + y5 homogéneo de 5to. grado

2. Polinomio Ordenado: Presenta un orden ascendente o descendente en los exponentes de su variable.

P(x, y) = x3y – x3y2 + xy3 Polinomio ordenado, ascendente respecto a “X” y en forma descendente respecto a y.

3. Polinomio Completo: Con respecto a una variable, si dicha variable presenta todos los exponentes desde 0 hasta el grado de polinomio.


4 1m 3

m2

x

x x

n -1-1- x x x

z 8 m 25z x 83

1a-42-a axy

2 n 2

8 n 7n

x

x x

x

3

2

2

5

3 2

23/1

3

34

x

yx

z

yx


Ejm.: P(x) = 2x4 – 3x3 + 8x2 + 54. Polinomios Idénticos : Son aquellos cuyos términos

poseen el mismo coeficiente. Ejm:P(x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + pson idénticos P(x) = Q(x), si se cumple que:

a = m b = n y c = p

5. Polinomios Idénticamente Nulo: Cuando los coeficientes de sus términos son nulos o ceros.

Ejemplo: ax3 + bx + c = 0 ; es idénticamente nulo,entonces a = b = c = d = 0 y P(x) = 0

6. Polinomio Mónico : Es aquel polinomio entero en x se caracteriza por que su coeficiente principal es igual a la unidad.

Ejemplo: P(x) = x5 – 5x + 8

7. Polinomios Equivalentes : Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignado a sus variables.

Ejemplo: P(x,y) = ( x + y )2 – ( x – y )2 Q(x,y) = 2( x2 + y2 )

Nótese que P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes.Se denota: P(x) <> Q(x)

* Nota: Propiedades:1) En todo polinomio completo y ordenado se cumple

que: # términos = Gº + 1.2) Grado de un producto: se suman los grados de los

factores.3) Grado de una división: Se resta el Dº - dº.4) Si es un monomio se menciona sólo “grado”, se

refiere al grado absoluto.

Ejercicios Nº 02

1. El polinomio:

P( x , y )=ax 3−a2 x2 y+a3 xy2−a4 y3

a) Es heterogéneo, ordenado y completo.b) Es homogéneo, desordenado y completo.c) Es homogéneo, ordenado y completo.d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo.e) Es homogéneo, ordenado e incompleto.

2. Señale la afirmación falsa:a) Un polinomio completo no siempre esta ordenadob) Un polinomio ordenado no siempre está completo.c) Un polinomio completo de grado 6, siempre tiene 7

términos.d) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9

términos.

e) Un polinomio completo puede estar ordenado.

3. Si el polinomio

P( x )= (4 a+2 ) x2 a−30+4ax 2a−29+(4 a−2 )X2 a−28+.. . es completo y ordenado . Calcular “a” y el grado del polinomio “p”, sabiendo que sus coeficientes son positivos.

a) 10y30 b) 15y30 c) 12y20 d) 12y12 e) 12y 30

4. Determinar a + b + c , sabiendo que el polinomio P(x) es idénticamente nulo.

P( x )=3 x2+ax−5+bx 2−11 x+c

a) 15 b) 13 c) 18 d) 20 e) 19

5. Hallar el grado de homogeneidad del polinomio.

F ( x , y )=8 xm+n yn−5 xm+6 yn+4, si se

sabe que el grado respecto a “x”, es menor en dos unidades que el grado respecto a “y”.

a) 15 b) 13 c) 26 d) 14 e) 10

6. Calcular el valor de m+n , con la condición que el polinomio :

E( x , y )=x2 m+n−4 ym+n+2+x2m+n−3 ym+n+1+

x2m+n−2 ym+3+n

, sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a “x” e “y”, es igual a 6.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

7. En el siguiente polinomio :

P( x , y )=2 xm yn−1+3 xm+1 yn−7 xm−2 yn+2+xm+3 . yn+1

El grado relativo con respecto a “x” vale 12; siendo el G.A del polinomio 18 Hallar GR(y).

a) 3 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9

8. Dado el polinomio homogéneo :

P( x , y )=m2 xmm−n

+nx2 y6+mx6 ymm+ n

Hallar la suma de sus coeficientes.

a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) 15

9. Hallar el valor de “n” para que el equivalente de :



M ( x )=x . 3√ xn√ xn

x .4√xn−2

; x≠0 ; sea de 5º grado.

a) 5 b) 10 c) 15 d) -2 e) 20

10. Determinar el término central del polinomio :

sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153.

a) 9x9 b) 8x8 c) 7x7 d) 6x6 e) 5x5

11. En el polinomio : ; la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente.

Según ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de sus coeficientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 12x2

a) VVV b) VFV c) VVF d) FVV e) FFV

12. Determinar el grado del polinomio P(x), sabiendo que

el grado de , es igual a 21; además

el grado de es igual a 22.

a) 2 b) 5 c) 3 d) 7 e) 11

13. Si el polinomio completo es de (4+a) términos:

Hallar el valor de “a”.

a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4

14. En el polinomio :

; se

observa que : el término independiente: Calcular el valor de “n”

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5

15. Cuántas letras se deben tomar para que el GA del monomio

x2 . y6 . z12 . w20 . .. . .. sea 1120

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

16. Dados los polinomios P(x) y Q(x) donde los grados

de P2 (x ). Q( x ) y

P3( x )Q( x ) son 27 y 23

respectivamente. Entonces el grado de

Q2( x )P( x ) es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

17. Hallar “b” si el polinomio

P=4 xm−50+5 xm−p+42+6 xb−p+32

es completo y ordenado en forma descendente.

a) 60 b) 61 c) 62 d) 59 e) 58

18. Calcular el valor de A si el polinomio :

P=( x2−x+1 )(mx+n+q)−8 X3−A es idénticamente nulo.

a) 1 b) 4 c) 2 d) 6 e) 8

19. Calcular E==(a+b+c)a+c, si el polinomio :

P=. . .+ xa+c+7 x2a−b+8 x2 a+c+9 xa+b+c+2+. . es completo y ordenado en forma descendente

a) 1 b) 9 c) 8 d) 16 e) 25

20. Hallar la suma de los valores de “n” para los cuales, la expresión:

P( x , y )=4 x10−2n

2 −3 y128

2n

sea un polinomio

a) 3 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10

21. Si P(x) = 1 + 2 + 3 + ... + x.

Hallar: E =

P ( x-1)⋅P ( x )P (x2−1 )

a) 1/2 b) 1 c) 1/3 d) 2 e) 3

22. Si P(x) = ax + b. Además P {P [P(x)]} = 8x + 189. Determinar P(5)

a) 25 b) 37 c) 28 d) 35 e) 40

23. Se tiene un polinomio de cuarto grado cuya suma de coeficientes es 5 y el término independiente es 2. Además P (x - 1) - P(x) = P (x + 1) + xHallar: P(0) + P(-1) + P (1) + P(2)

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12


nxxnxnnxxP ...)2()1()( 32

nxxxP )31()21()( 2

32 )(.)( xQxP

24 )(.)( xQxP

...)22()12(2)( 22122 aaa xaxaaxxP

)74.()75()23()1( 22 xxxxP n

vecescoef 3433


24. El grado de M(x). N(x) es 7 y el grado de M(x) N(x) es 3. Calcular el grado de:

E =

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

25. Si P (x) = (9x8 - 7)n(2x2 + 3x3 - 1)n-2 (x9 - 3) Tiene como grado 47, entonces se puede afirmar

que: ,es:

d) 3 b)6 c)9 d)12 e)27

26. Se define:

Calcular:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

27. p ( x )=x2−2

Hallar:

P=[ [ .. . .. .. . .. [ P (0 ) ] .. . .. .. . ] ]⏟1010signos

a) 0 b) 20000 c) –3 d) –2 e) N. A.

28. El polinomio completo y ordenado

P( x , y )=x4 n−1+x4 n−2 y+ . . . +xy 4n−2+ y4 n−1

que también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos es 240, según esto halle usted. Su grado de homogeneidad.

a) 20 b) 15 c) 10 d) 5 e) 25

29. Si el polinomio :

P( x , y )=3 xm−2 . yn−1 .( x7+ y2 n−3 ) es homogéneo, con grado 16 Hallar : m-n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

30. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente trinomio:

P( x , y )=(m−3) x9−m+mxm−2 ym3 + y17−2m

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

31. Dado:

Hallar:

a) 380 b) 150 c) 256 d) 123 e) N. A.

32. Sea: P(x) = 2 + x2003 – 3x2002

Calcule: )2003()2002(

)1()3(

PP

PP

a) 2 b) 2002 c) –2 d) 0 e) 2003

Productos notables

A) Binomio al Cuadrado:

(a±b )2=a2±2 ab+b2

B) Diferencia de Cuadrados:

(a+b ) (a−b )=a2−b2

C) Binomio al cubo:

(a3+b3)=a3+3 a2 b+3 ab2+b3

(a3−b3 )=a3−3 a2 b+3 ab2−b3

D) Suma y Diferencia de Cubos:

a3+b3= (a+b ) (a2−ab+b2)a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )

e) Trinomio al Cuadrado:

(a+b+c )2=a2+b2+c2+2 (ab+ac+bc )f) Identidades de Legemdre:

(a+b )2+ (a−b )2=2 (a2+b2 )(a+b )2−(a−b )2=4 ab

g) Identidades Secundarias:

Siendo: a + b + c = 0; se cumple que:

i) a2 + b2 + c2 = -2 (ab + ac + bc)

ii) a3 + b3 + c3 = 3abc

Ejercicios Nº 03

1. Si x+ 1

x=4√3

Calcular: x2+x−2

a) 46 b) 40 c) 12 d) 47 e) 44


5210

5843

)x(M

)x(N)x(M

5 )x(Pdeprincipalecoeficient

1x;1x

1x;x

1x;1x

)x(P

2PPPP

4x2x1x

1xP 19881989

1P3PH


2. Si: x−1

x=4

Calcular: x2+x−2

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

3. Si: a2 x+a−2 x=14

Hallar: ax+a− x

a) 2 b) 4 c) 10 d) 12 e) 16

4. Efectuar: D=(a+ 1

a )2

−(a−1a )

2

a) 1 b) 4 c) 2 d) 5 e) 3

5. Reducir:

k=(a+3 )2−(a−3 )2

6 a+

(x+2 )2+ ( x−2 )2

x2+4

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 6

6. Reducir

M=4√( x2+xy+ y2)( x2−xy+ y2 )( x4−x2 y2+ y4 )−x8− y8

a) 4 b) 2 c) 2xy d) x+y+2 e) xy

7. Si:

1a+ 1

b= 4

a+b

Hallar:

a+b√ 2a2+7 b2

20 b2−11a2

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

8. Dada : x2(x2-3) = -1

Calcular:

M=3√ x20+x12−x10+ x8+1

x10

a) 5 b) 4 c) 3 d) √3 e) 0

9. Hallar el valor de:

E=(xx+ x−x )x+( xx−x−x )x+x (x x+x−x ) (x x− x−x )para x=2

a) 32 b) 128 c) 64 d) 84 e) 72

10. Calcular: E=x+y(1+x)

Siendo:

x=a2−b2−c2−2bcb2+c2+2bc−a2

y=b2+c2−a2

2bc

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

11. Si: 2 x=√ a

b−√ b

a

Hallar el valor de “E”:

E=(√4 ( x2+1)

x+√x2+1 )( a−b2√b x )

2

a) a+b b) b c) ab d) a/b e) b/a

12. Si: (a + 2x + b).(a - 2x + b) = (a - b)2

Hallar:

M=( x+a )( x+b )

a+2 x+b− x3

ab

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0

13. Hallar P= x3 - 3x + a

Siendo: x=

3√a+√a2−1+3√a−√a2−1

a) 3a b) 6a c) 3 d) 2a e) a

14. Efectuar:

(x-3)(x+2)(x-5)(x+4)-(x-2)2(x+1)2+24x(x-1)

a) 0 b) 2(x2-x+58) c) x2+3x-43



d) 2(x2 +x-64) e) 2(x2-x+56)

15. Siendo: a2+b2=3 ab

Calcular: M=a7 b−7+b7a−7

a) 465 b) 472 c) 483 d) 960 e) 480

16. Si : ; x – y = n Hallar el valor de “xy”

a)

m3−n3n b)

m−n3

3 c)

m−n3

3n

d)

m2−n3

n e)

m+n 3

3 n

17. Calcular:

E =

a) b) c) x – 1

d)

x2−2 x+1x e) (x - 1)2

18. Si: , qué valor se obtiene para:

E =

a) 23 b) 25 c) 47 d) 39 e) 95

19. Deducir el valor de la siguiente expresión:

E= [( a

a+b+ b

a−b )2+( a

a+b− b

a−b )2 ]

2

−4 [ a2

(a+b )2− b2

(a−b )2 ]2

Para: a = √2+√3 y b=√2−√3

a) 2/3 b) 4/3 c) 2 d) 5 e) 6/7

20. Si 4 (x4 + 1) = 5x2, x 0, entonces

el valor de x + , es:

a) /2 b) 3/2 c) ¾ d) 7/4 e) 2

21. Si a = √5 -√3 , b =√2 -√5 , c =√3 -√2. Determinar el valor de:

E =

( a2+b2+c2

ab+ac+bc ) . ( a2

bc+ b2

ac+ c2

ab )a) -6 b) -1 c) 1 d) 3 e) 6

22. Si: yx

4

y

1

x

1

Indique el valor de: 1173

1173

yxy

xyx

a)1 b) 2 c) –4 d) –1 e) 0

23. Sea x ∈

N /

xxxx57 57

= 2X

Indique el valor de:

xx

14

7

a) 3/4 b) 2

5

c) 5/4 d) 1/2 e) 2

24. Si: a + b = ab

Calcular:

33

a

b

b

a

a) 3 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 8

25. Simplificar la expresión:

(x – 1)(x + 4)(x + 2)(x – 3) – (x – 2)(x + 5)(x + 3) (x – 4) – 22x2 – 22x + 86

a) –10 b) –16 c) –20 d) –90 e) –46


myx 33

6x

1x4

2x

12x

2)1x(

2x

5

5

2b

2a

ab

8

a

b8

b

a

x1

13


26. Encontrar el equivalente de H(x)

H(x) = 1 4)(x 3)(x )2x( )1x(

a) x2 + 5x + 1 b) x2 + 5x + 10 c) x2 + 5x + 5 d) x2 + 5x + 15 e) x2 + 3x + 5

27. si: 333 cba

= 0

calcular el valor de: )ca( )cb( )ba(

abc27cba 333

a) 1 b) 3 c) 0 d) –3 e) –1

28. Si , hallar:

a) 4 b) 1 c) 3 d) 2 e) 5

DIVISION ALGEBRAICA

MÉTODO DE HORNER

(10x6 + 11x5 - 11x4 + 8x3 + x2 - 10x + 8) (2x2+3x-1)

+2 +10 +11 -11 +8 +1 -10 +8

-3 -15 +5

+1 +6 -2

0 0

-9 +3

+12 -4

+5 -2 0 +3 -4 +5 +4

Q R

Q = 5x4 - 2x3 + 3x - 4 , R = 5x + 4

MÉTODO DE RUFFINI

Se aplica sólo para divisores binomios de la forma (x+a) y

se procede de la siguiente manera:

Ejemplo

(3x4 + 8x3 - 4x2 - 3x + 5) (x + 2)

+3 +8 -4 -3 + 5

-2 -6 -4 +16 -26

+3 +2 -8 +13 -21

Q R

Qº = Dº - dº = 4 - 1 = 3

Rº = dº - 1 = 1 - 1 = 0

Q = 3x3 + 2x2 - 8x + 13

TEOREMA DE RESIDUO

"El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un divisor

de la forma (x+a), está dado por el valor numérico de

P(x), para x = "-a"

Es decir: P(x) (x+a) R = P(-a)

Ejemplo:

(3x4 + 8x3 - 4x2 - 3x + 5) (x+2)

haciendo: x + 2 = 0 x = -2

Luego:

R = P(-2)

R = 3(-2)4 + 8(-2)3 - 4(-2)2 - 3(-2) + 5

R = 48 - 64 - 16 + 6 + 5 R = -21

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS

Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el residuo de la división es igual a cero

PROPIEDADES

1. Un polinomio A es divisible entre B y C por separado, sí y solo si es divisible entre el producto AB

2. Si A es divisible entre B, entonces An es divisible entre B

3. Si A es divisible entre Bn, entonces A es divisible entre B

4. Si se multiplica o divide al dividendo y divisor de una división por una misma cantidad, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado o dividido por dicha cantidad


7x

y

y

x 88

x

y

y

x


COCIENTES NOTABLES

La expresión:

A p+Bq

Ar+Bs, es un cociente notable, si y solo

si:

pr=q

s = n

De donde: p = rn q = sn.

Luego:

A p+Bq

Ar+Bs= Arn+Bsn

Ar+Bs=(Ar )n+(Bs )n

( Ar )+(Bs )

Haciendo: Ar = x Bs = a

se llega a la expresión:

xn+an

x+a

DESARROLLO DE UN COCIENTE NOTABLE

xn+an

x+a=

xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - …+ an-1

(división exacta para "n" impar)

xn−an

x+a=

xn-1 - xn-2a + xn-3a2 - … - an-1

(división exacta para "n" par)

xn−an

x−a = xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1 (división

siempre exacta)

xn+an

x−a = xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + … + an-1 +

2 an

x−a

(división nunca exacta)

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL

1. Para el desarrollo de:

xn±an

x−a

se tiene: T(k) = (+) xn-k a k-1

2. Para el desarrollo de:

xn±an

x+a ,

se tiene: T(k) = (-1)k+1 xn-kak-1

EJERCICIOS Nº 04

1. Indique el cociente de la siguiente división.

4x2x9

18x4x17x362

345

a) 4x2 + x + 2 b) 4x3 – x2 + 1

c) 4x3 + x2 + 2 d) 4x3 + x2 + 2x

e) 4x3 + x + 2

2. Hallar “b – a”, si la división:

4x5x8

baxx31–x41–x242

234

; es exacta

a) 44 b) 46 c) 40 d) 43 e) 41

3. Calcular “m + n + p”, si la división:

1x2x3

pnxmxx3x2x323

2345

deja como resto: 2x2 + x – 5

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) –5

4. En la división: 3xx

12x7Axx2x323

234

el cociente es: 3x + B y el resto: –4x2 + Cx – 15Calcule el valor de: “ABC”

a) 46 b) 16 c) 180 d) 80 e) 100

5. Calcule el valor de “A + B + C” si la división:

CBxAx

)BA(x)CB(x)CBA(x)BA(Ax2

234

es exacta

a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e)8

6. Hallar b

a

si la división: 2xx3

8x14bxx8ax2

234

tiene como resto R(x) ≠ 0

a) 9 b) 1 c) –2 d) 6 e) 3

7. Indique el valor de “a + b”, si el polinomio

P(x) = 55x3 + 166x – 8 – bx2 es divisible por

S(x) = ax2 – 39x + 2

a) 240 b) 239 c) 250 d) 211 e)228



8. Calcule “a2 – b2” si la división: 1x2x

baxx2

7

; es exacta

a) –13 b) 43 c) 49 d) 36 e) 13

9. Indique el cociente de la siguiente división:

2x

7x13x3x10x6 234

a) 6x3 + 7x2 + 1 b) 6x3 + 2x +1 c) 6x3 + 2x2 + 7x +1

d) 6x3 + 7x + 1 e) 6x3 + x2 + x + 1

10. Obtenga el resto de la siguiente división:

3x2

8xx13x8x9x10 3245

a) –2 b) –3 c) –4 d) –1 e) 0

11. Calcule “m” si la división:

5x3

16mxx41x23x21 324

deja como resto 4

a) 77 b) 57 c) 66 d)67 e) 64

12. Hallar el residuo en:

23x

3x32x32x 23 35

a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4

13. Calcular el término independiente del cociente de

dividir 2x

1xx3xx 2546

a) 70 b) 68 c) 72 d) 71 e) 69

14. Calcule “m” si la división

3x2

6mxx3x6 23

; es exacta

a) 1 b) 6 c) 9 d) 12 e) 5

15. Determine “61a + b”

Si en la división 1x

ab2bx2ax61

la suma de coeficientes del cociente es 256 y el resto igual a 12

a) 253 b) 256 c) 260 d) 250 e) 251

16. En la división: 7x2

13x6x59x185

51615

Halle la suma de coeficientes del cociente

a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 14

17. hallar el resto en:)3x)(1x(

10x2)1x()2x( 24

a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9

18. Al dividir un polinomio p(x) entre (x – 2) y (x – 3) en

forma separada, se obtiene como residuo 10 y 13.

hallar el residuo de dividir p(x) ¸ (x2–5x+6)

a) 3x – 4 b) 2x + 5 c) 3x + 4 d) 2x – 5 e) x + 1

19. al dividir el polinomio p(x) entre (x + 3) se obtuvo

por residuo “–5” y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. hallar el residuo de dividir:

)1x(

P )x(

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

20. Si el quinto término del desarrollo del siguiente

C.N

x14− y35

x2− y5 es x9-a y12+b

hallar el valor de: a+b:

a) 15 b) 16 c) 12 d) 13 e) 9

21. El polinomio: x12+x8+x4+1 es el cociente de:

a)

x16+1

x4−1 b)

x8−1

x4+1 c)

x16−1

x 4+1

d)

x16−1

x 4−1 e)

x4+1

x2−1

22. Calcular el número de términos del cociente notable:



a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 10

23. Calcular el resto de la división:

a) 200 b) 400 c) 20 d) 1 e) –100

24. Hallar el coeficiente del cuarto termino del desarrollo

de:

32 x5+243 y5

2 x+3 y

a) -54 b) 24 c) 52 d) -34 e) 54

25. Hallar el resto de dividir:

2x119+1

x2−x+1

a) –2x + 3 b) 3x – 1 c) –2x2 + 3 d) –2x2 + 1 e) 3x + 2

26. Calcular el término idéntico de:

; y ;

a) x40 y b) x40 y2 c) x40 y3 d) x20 y2 e) N.A.

27. Simplificar:

a) x8 + 1 b) x8 – 1 c) x6 + 1 d) x6 – 1 e) x10 + 1

28. Sabiendo que el C.N. Admite en su desarrollo: abb70 como término central. Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

29. Hallar la suma de los términos del desarrollo del

cociente: sabiendo que es exacto.

a) 25 b)32 c)128 d) 96 e)N.A

30. Calcular el término de lugar 21 en el desarrollo del

siguiente cociente notable:

a) x + 1 b) x – 1 c) x – 2 d) x + 2 e) x + 3

31. Hallar “n” si en el cociente notable:

el penúltimo término de su desarrollo es ab5 + 2b6

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

32. En el C.N. : El término de lugar 8 contado a partir del final tiene por grado absoluto 37. Determinar el número de términos de su desarrollo.

a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

FACTORIZACION

Es la transformación de una expresión algebraica o trascendente en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.

QUE ES POLINOMIO SOBRE UN CAMPO?

Es aquel polinomio en el que sus coeficientes pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Se consideran tres campos: Racional (Q) ; Real (R) y Complejo (C).

Ejemplo:


9nb

8na

34nb

24na

1

22x

2x

24x

28

3x

4n1x

34

3648

yx

yx

yx

yx4

1456

1xxx1x.......xxx

246

2101214

y

72

mk

baba

158

1232

aa a

20

2

1x1

xx2

ba

bba nn

2

yx

yx nn

5

5


P ( x )=2 x2−x+6 está definido en Q , R y C.

Q ( x )=√5 x3−5 x+√7 está definido en R y C.

T ( x )=x2+7 i x−9 está definido solo en C.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

FACTOR: Es un polinomios de cualquier grado que divide exactamente a otro.

FACTOR PRIMO: Es aquel factor que no se puede transformar como el producto de dos polinomios. DIVISOR: Es una expresión que divide exactamente a otra.

COMO CALCULAR EL NUMERO DE FACTORES?Se debe tener en cuenta lo siguiente:

Dada una expresión E expresada por:

E=(F1)a . (F2 )

b . (F3 )c .. .. . .. .. . (Fn )

m

donde: F1, F2, F3, ... , Fn son factores primos entre sí, entonces:

i) Nº de factores primos = n

ii) Nº de factores = a + b + c + ...... + m

iii) Nº de divisores = (a + 1)(b + 1)(c + 1)......(m + 1)

Ejemplo :

1. La expresión E=(2 x+3)( x2−3) Tiene dos factores, dos factores primos (uno de primer

grado y otro de segundo grado) y cuatro divisores.

2. La expresión F=( x−5 )2( x+8 ) Tiene tres factores; dos factores primos (lineales) y seis divisores.

3. M=( x−√2)( x+√3 )(√2 x+√3 )

Tiene tres factores, tres factores primos (lineales) y tres divisores. Si la factorización se realiza en los Reales (R).

4. P=( x2+1)2 ( y+1)( y2+ y+1)( x+2)3

Tiene siete factores, cuatro factores primos (dos lineales y dos cuadráticos) y 36 divisores.

5. E=( x x−4 )(x x+2 ) tiene dos factores, dos factores primos y cuatro divisores. Si la factorización se realiza en los reales.

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN

Un factor común es aquel que aparece en cada uno de los términos que componen el polinomio a factorizar. El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

Ejemplo: Factorizar:

3 x3 y2+12 xy3−6 x2 y5

El factor común es: 3 xy2, entonces resulta:

3 xy2 ( x2+4 y−2 xy 3 )

AGRUPACIÓN DE TERMINOS

Consiste en agrupar convenientemente los términos del polinomio, generalmente en grupos de dos términos, descomponiéndolos a su vez en dos factores, apareciendo luego algún factor común a todas las agrupaciones realizadas.

Ejemplo 1: Factorizar:

E=a2 x−ax2−2 a2 y+2 axy+x3−2 x2 y

Solución: Como no existe factor común a simple vista se agrupará como se indica:

a2 x−ax2−2a2 y+2 axy+x3−2 x2 y=a2 (x−2 y )−ax ( x−2 y )+ x2 ( x−2 y )=( x−2 y ) ( a2−ax+x2)

Ejemplo 2: Factorizar:


NOTA: En el presente texto cada factorización se realizará hasta obtener factores primos en Q, cada uno de ellos con coeficientes enteros. Esto se define como factorización en Q.


x6+x5+x4+ x3+2 x2+2 x+1

Solución: Agrupando términos se puede escribir así:

( x6+x5+ x4 )+( x3+x2+ x )+( x2+x+1)

METODO DE LAS IDENTIDADES:

En este caso se utiliza los productos notables o identidades ya estudiados, tales como :

a) Trinomio Cuadrado Perfecto:

a2 n±2an bn+b2 n = (an±bn )2

b) Diferencia de Cuadrados:

a2 n−b2 n = (an+bn ) (an−bn )

c) Diferencia de Cubos :

a3 n−b3 n =(a n−b n) (a2 n+an bn+b2 n )

d) Suma de Cubos :

a3 n+b3 n =(a n+b n ) (a2 n−an bn+b2 n )

e) Identidad de Argand:

a4 n−a2 n b2 n+b4 n =(a2 n+a n b n+b2 n ) . (a2 n+a n b n+b2 n )

Ejemplo 1 : Factorizar:

x9 y2−64 x3 y8

Solución:

x3 y2 ( x6−64 y6 )x3 y2 ( x3−8 y3 ) ( x3+8 y3 )x3 y2 ( x−2 y ) (x2+2 xy+ y2 )( x+2 y )( x2−2 xy+ y2 )

Ejemplo 2 : Factorizar:

P( x )=x5−9 x3+x2−9

Solución:

P( x )=( x5−9x3 )+(x2−9 )P( x )=x3 ( x2−9)+(x2−9 )P( x )=( x2−9)( x3+1 )

P( x )=( x+3)( x−3 )( x+1)( x2−x+1 )

METODO DEL ASPA

A) Método del Aspa Simple: Se utiliza para factorizar

expresiones de la siguiente forma:

A x2 m+B xm yn+C y2 n o A x2 n+B xn+C

Pasos a seguir:1. Luego de ordenar el trinomio, se descompone cada

uno de los términos extremos en un producto de factores.

2. Estos factores se multiplican en aspa debiéndose cumplir que la suma de los productos sea igual al término central.

3. Al cumplirse lo anterior, los factores se toman en forma horizontal.

Ejemplo 1 : Factorizar

P=3 x2+15 y2+14 xySolución: Ordenando se tiene:

P=3 x2 + 14 xy + 15 y2

x 3y 9 xy

3x 5y 5 xy

14 xy

Así, P( x )=( x+3 y )(3 x+5 y )

Ejemplo 2 : Factorizar12 ab x2 – (16 a2 – 9 b2) x – 12 ab

Solución: 12 ab x2 – (16 a2 – 9 b2) x – 12 ab

3 bx - 4a −16 a2 x2

4 ax + 3b 9 b2 x2

Así, M=(3 bx+4 a) ( 4 ax−3b)

B) Método del Aspa Doble: Sirve para factorizar expresiones de la forma:

A x2m + Bx m y n+ C y 2 n + D x m + E y n + FPasos a seguir:


I IIIII

I IIIII


1. Debe ordenarse el polinomios de acuerdo a la forma establecida.

2. Si falta algún término se añade en su lugar un cero.

3. Se aplicarán aspas simples a:

3.1 los términos: Ax2 m , Bxm yn , Cy2 n

3.1 los términos: Cy2 n , Eyn , F

3.1 los términos: Ax2 m , Dxm , F4. Por último los factores se seleccionan en forma

horizontal.

Ejemplo 1: Factorizar :

6 x2+xy−2 y2+9 x− y+3Solución:

6 x2 + xy − 2 y2 + 9 x − y + 33x 2y 3

2x -y 1

Verificando las aspas I ; II ; III

I. 3 x (− y )+2 x (2 y )=+ xy (aspa izquierda)

II. 2 y (1)+(− y )(3)=− y (aspa derecha)

III. 3 x (1)+2 x(3 )=9 x (aspa punteada)Luego los factores son:

(3 x+2 y+3 ) (2 x− y+1)

Ejemplo 2: Factorizar :

8 x2+4 xy+18 x+6 y+9

Solución: Completando con 0 y2 para aplicar el

método de aspa doble

8 x2 + 4 xy + 0 y2 + 18 x + 6 y + 94x 2y 3

2x 0y 3

Luego los factores son:

(4 x+2 y+3 ) (2 x+3 )

C) Método del Aspa Doble Especial: Se utiliza para factorizar expresiones de la forma:

Ax4 n+Bx3 n+Cx2 n+Dxn+E

Pasos a seguir:1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma

establecida, colocando un cero en el lugar del término que falta.

2. Los términos extremos se descomponen en dos factores efectuando el producto en aspa, la suma algebraica de ambos términos se restará del término central.

3. La diferencia obtenida se descompone en la parte central buscando aspas simples a ambos lados; luego de verificar los términos de lugar segundo y cuarto, los factores se toman en horizontal.

Ejemplo 1: Factorizar

2 x4−5 x3+10 x2−10 x+3Solución:1. Una vez ordenado el polinomio se descompone los

términos extremos en sus factores primos.

2 x4−5 x3+10 x2−10 x+3

2 x2 1 x

2

x2 3 6 x2

7 x2

2. Como tenemos 7 x2, para obtener el tercer término :

10 x2, le faltaría 3 x2

; éste término se descompone

en factores primos: 3 x2=(−3x )(−x ) ; quedando la descomposición de la siguiente forma:

2 x2 -3x 1

x2 -x 3

3. Se hace la verificación :

2 x4 - 5 x3

+ 10 x2 - 10 x + 3

2 x2 -3x 1

x2 -x 3

Aspa Izquierda :Aspa derecha :

2 x2(−x )=−2 x3 (−3 x )(3)=−9 x



x2(−3 x )=−3 x3 (−x )(1)=− x

−5 x3 −10 x

Luego los factores son :

(2 x2−3 x+1) (( x2−x+3 )

MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS

Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por lo menos un factor lineal.Este método se fundamenta en el siguiente principio:“Si un polinomio se anula para x = a; uno de sus factores será (x ∓ a)”.Para obtener los valores de “x” que anulan al polinomio se tendrá en cuenta lo siguiente:

i) Si el polinomio es Mónico (coeficiente principal, la unidad) los posibles valores de “a” son los divisores del término independiente del polinomio con su doble signo.

ii) Si el polinomio no es Mónico los posibles valores de “a” son cantidades enteras o fraccionarias que resultan de combinar los divisores del término independiente y el coeficiente principal.

Estas dos reglas se resume en la siguiente fórmula:

P .C . R=±{Divisores del término independienteDivisores del coeficiente Principal }

Donde P.C.R = Posibles Ceros Racionales

Ejemplo 1:

Factorizar

P( x )=2 x5−x4−10 x3+5 x2+8 x−4

Solución:Divisores de 4: {1 ; 2 ; 4}

Divisores de 2: {1 ; 2}

Posibles ceros =

{1 ; 2 ; 4 1 ; 2 }

= {1 ; 2 ; 4 ;

12 }

Usando Ruffini en forma sucesiva :

2 -1 -10 5 8 -4

-1 -2 3 7 -12 4

2 -3 -7 12 -4 0 (x + 1)

-2 -4 14 -14 4

2 -7 7 -2 0 (x + 2)

1 2 -5 2

2 -5 2 0 (x -1)

2 4 -2

2 -1 0 (x - 2)

Luego : P( x )=( x+1)( x+2)( x−1 )(x−2)(2 x−1)


x5+6 x4+x3−36 x2−20 x+48

Solución:Divisores de 48 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48

Divisores de 1 : 1

P.C.R. = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ; 48

1 }

posibles ceros : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ;

48

Usando Ruffini en forma sucesiva :

1 6 1 -36 -20 48

+1 1 7 8 -28 -48

1 7 8 - 28 -48 0 (x - 1)

+2 2 18 52 48

1 9 26 24 0 (x - 2)



1 9 26 24

-2 -2 -14 -24

1 7 12 0 (x + 2)

-3 -3 -12

1 4 0 (x + 3)

Luego : E = (x - 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3) (x + 4)

METODOS DIVERSOSSe utilizan para factorizar expresiones particulares, estructurando los términos de la expresión de modo que sea factorizable por alguno de los métodos conocidos.

Así tenemos:

A) Cambio de Variable: Consiste en sustituir por una variable expresiones que se repiten de modo que la expresión dada quede simplificada.


( x+2)2 ( x+1 )( x+3 )−5 x ( x+4 )−27

Solución :

( x2+4 x+4 )( x2+4 x+3 )−5 (x2+4 x )−27

Hacemos: x2+4 x=a

Reemplazando en la expresión tenemos:

(a+4 )(a+3 )−5 a−27a2+7 a+12−5a−27a2+2a−15 = (a+5 )(a−3 )

Reponiendo la variable se tiene:

( x2+4 x+5 )( x2+4 x−3 )


E=(2 a2+3 ab+b2)2−4(a2−b2 )(a2+3 ab+2 b2 )

Solución :

Haciendo: 2 a2+3 ab+b2= x

a2+3 ab+2 b2= y

Restando miembro a miembro se obtiene:

a2−b2 = x− y

Reemplazando:

E=x2−4( x− y ) y = x2−4 xy+4 y2

(es un TCP)

E=( x−2 y )2

Luego en función de “a” y “b” se tiene:

E=(2a2+3ab+b2−2 a2−6 ab−4b2 )

E=(−3 ab−3 b2 )2 = [ −3 b (a+b ) ]2

E = 9 b2 ( a+b )2

B) Sumas y Restas: Consiste en sumar y restar simultáneamente una misma expresión o descomponer algún término del polinomio, de tal modo que una expresión aparentemente no factorizable se transforme en otra que se Factorice.

En particular:- Si la expresión es un polinomio de grado par se tratará

de formar un trinomio cuadrado perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados.

- Si la expresión es un polinomio de grado impar se tratará de formar una suma o diferencia de cubos y Argand.

Ejemplo 1 : Factorizar : 64 x4+ y 4

Solución : Formamos un trinomio cuadrado perfecto

sumando y restando 16 x2 y2

Así: 64 x4+16 x2 y2+ y4−16 x2 y2

(8 x2 )2+2(8 x2)( y2 )+( y2)2−(4 xy )2

(8 x2+ y2 )2 -(4 xy )2

(8 x2+ y2+4 xy ) (8 x2+ y2−4 xy )

Finalmente ordenando resulta:

(8 x2+4 xy+ y2 ) (8 x2−4 xy+ y2 )



EJERCICIOS RESUELTOS

1. Cuando se factoriza x9−x hasta donde sea posible

en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6Solución:

x9−x = x ( x8−1 )

= x ( x4−1 ) ( x4+1 )

= x ( x2−1 ) ( x2+1 ) ( x4+1 )

= x ( x−1 ) ( x+1) ( x2+1) ( x4+1)Luego el número de factores primos es 5.

Rpta. Alternativa d

2. Cuántos factores tiene la siguiente expresión:

P( x )= ( x+1) ( x+2 ) ( x+3 ) ( x+4 )+1a) 5 b) 16 c) 15 d) 3 e) 2Ordenando y agrupando convenientemente los factores del primer término:

P( x )= ( x+1) ( x+4 ) ( x+2 ) ( x+3)+1

P( x )=( x2+5 x+4 ) ( x2+5 x+6 )+1

Haciendo cambio de variables: x2+5 x=a

Entonces: P( x )= (a+4 ) (a+6 ) +1

P( x )= a2+10 a+25 = (a+5)2Devolviendo el valor original se tiene:

P( x )=( x2+5 x+5)2Rpta. Alternativa d

3. Al factorizar x4+2 x3−2 x−1 ; la suma de sus

factores primos es:

a) 2 b) 2x c) –2d)-2x e)2(x-1)

Solución:

Agrupando en forma conveniente:

( x4−1 )+2 x ( x2−1)( x2−1 ) ( x2+1 )+2 x ( x2−1)( x2−1 ) ( x2+1+2 x )( x+1) ( x−1 ) ( x+1)2

Factores primos: ( x+1) y ( x−1 )

Suma: 2xRpta. Alternativa b

4. Indicar la suma de los factores de:

(a−b )2 ( c−d )2+2 ab (c−d )2+2cd ( a2+b2 )a) a

2+b2+c2+d2b) a+2b+c+2 d

c) a2−b2+c2+d2

d) a+b2+c+d

e) a2+b2−c2−d2

Solución:

(c−d )2 [( a−b )2+2ab ]+2cd (a2+b2 )(c−d )2 ( a2+b2 )+2cd (a2+b2 )(a2+b2 ) (c−d )2+2cd ( a2+b2 )(a2+b2 ) [(c−d )2+2 cd ](a2+b2 ) (c2+d2)Luego la suma de los factores es:

a2+b2+c2+d2

Rpta. Alternativa a

5. Hallar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio:

( x+ y+3)2+7 x+7 y+31

a) 2 b) 7 c) 8 d) 3 e) 39

6. Indicar el factor primo que tiene el mayor término independiente:

6x2 – 7xy – 3y2 + 14x – 10y + 8

a) 2x + y + 4 b) 3x + y + 4 c) 2x – 3y + 4 d) 3x – y – 4 e) 2x – 3y + 8

7. Un factor de:x(2x + 1) + y(2y + 1) + 4xy es

a) x + 2y b) x + 3y c) 2x + 2y + 1d) 2x + y e) 2x – 1

8. Señalar un factor de:(x + 1)(x – 2)(x + 2)(x + 5) – 13

a) x2 – 3x – 2 b) x2 + 3x – 11 c) x2 – 3x + 11d) x2 – 3x + 3 e) x2 – 3x

9. La suma de los factores de: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3) es

a) x2 + 3x + 1 b) 2x2 + 6x + 1 c) 2x2 + 3x + 2d) 2x2 + 6x + 2 e) 2x2 + 3x – 2



10. La suma de los factores de: x2 – xy – y – 1

a) 2x + 3 b) 2x – 1 c) 2x – 2 d) 2x – y e) x – y

11. Indicar un factor de: (x – 4)(x – 5)4 + (5 – x)5 + x – 5

a) x + 5 b) x – 3 c) x – 4 d) 2x + 3 e) x – 6

12. Uno de los factores de: x4 – 3x2 + 1 es:

a) x2 – x + 1 b) x2 + x + 1 c) x2 + x – 1 d) x2 + 3x + 1 e) x2 – 3x + 1

13. ¿Cuántos factores de 1er grado tiene el polinomio?x2y + xy2 + x2 + y2 + 2xy + x + y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

14. Señalar un factor de: 4x4 – 17x2 + 4

a) 2x – 3 b) 3x – 1 c) 2x + 1 d) 4x + 3 e) 4x – 1

15. Si se factoriza la expresión:(x + 2)2(x + 1)(x + 3) – 5x(x + 4) – 27

Un factor es:

a) x + 2 b) x2 + 4x – 3 c) –5x(x + 4) – 27 d) x2 + 4x – 5 e) x2 + 4x + 3

16. El número de factores de:13(x + 1)3(x – 1) – (x – 1)3(x + 1) + 4(1 – x2)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7

17. Un factor de:wz3x – 3x2z3 – wz2 + 3xz2 + w2xz – 3wx2z – w2 + 3wx

a) w + 3x b) xz + 1 c) z2 + w d) xz – 1 e) x + w

18. No es factor de: w2(w – z)2 – 14wz2(w – z) + 24z4

a) w – 4z b) w – 2z c) w + z d) w + 3z e) w + 4z

19. Indicar el número de factores primos al factorizar:P(x) = 16x6 – 24x4 + 9x2 – 1

a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

20. Indicar un factor de: 2x2 – 3xy + y2 + x – y

a) x + y b) x c) 2x – y + 1 d) y e) x + y – 1

21. Señalar un factor de: (x + 2)2 + (2x – 1)2 – 10

a) x – 2 b) 2x + 1 c) x – 3 d) x + 3 e) x – 1

22. Factorizar 3(x – a)2 – 4(x – a) + 1.

Indique un factor:

a) x – a – 1 b) 3x – 3a + 1 c) x + a + 1d) x – a + 1 e) 3x + 3a + 1


ÁLGEBRA 3º y 4º chongoyape

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