Algebra 2

Libro de ejercicios para practicar tareas

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Derechos de impresión © por The McGraw-Hill Companies, Inc. Todos los derechos están reservados.Excepto por lo permitido por la Ley de Derechos de Impresión de los Estados Unidos, ninguna parte de esta publicación se puede reproducir ni distribuir de ninguna forma o a través de ningún medio; tampoco se puede guardar en una base de datos o sistema de recuperación, sin el previo permiso de la publicadora.

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ISBN: 978-0-07-890866-8MHID: 0-07-890866-3 Libro de ejercicios para practicar tareas, Álgebra 2

Impreso en los Estados Unidos de América.

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Al alumno

Este Libro de ejercicios de práctica de tareas te provee problemas adicionales para los ejercicios de conceptos en cada lección. Los ejercicios están diseñados para facilitarte el estudio de las matemáticas al reforzar las destrezas matemáticas importantes necesarias para tener éxito en el mundo cotidiano. Los materiales se organizan por capítulo y lección, con dos hojas de ejercicios para cada lección en Álgebra 2 de Glencoe.

Al maestro

Estas hojas de ejercicios son las mismas que se encuentran en las Hojas maestras de recursos del capítulo para Álgebra 2 de Glencoe. Las respuestas para estas hojas de ejercicios están disponibles al final de cada folleto de Hojas maestras de recursos del capítulo.

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Lección/Título Página1-1 Expresiones y fórmulas ............................ 11-2 Propiedades de números reales .............. 31-3 Resuelve ecuaciones ............................... 51-4 Resuelve ecuaciones con valor absoluto . 71-5 Resuelve desigualdades .......................... 91-6 Resuelve desigualdades compuestas

y con valor absoluto ............................... 11

2-1 Relaciones y funciones ........................... 132-2 Relaciones y funciones lineales ............. 152-3 Tasa de cambio y pendiente .................. 172-4 Escribe ecuaciones lineales ................... 192-5 Diagramas de dispersión y rectas de

regresión ................................................. 212-6 Funciones especiales ............................. 232-7 Funciones generadoras y

transformaciones .................................... 252-8 Grafica desigualdades lineales y con

valor absoluto ......................................... 27

3-1 Grafica para resolver sistemas de ecuaciones .............................................. 29

3-2 Resuelve sistemas de ecuaciones algebraicamente ..................................... 31

3-3 Grafica para resolver sistemas de desigualdades ......................................... 33

3-4 Optimización con programaciónlineal ....................................................... 35

3-5 Sistemas de ecuaciones con tres variables .......................................... 37

4-1 Introducción a las matrices ..................... 394-2 Operaciones con matrices ...................... 414-3 Multiplica matrices .................................. 434-4 Transformaciones con matrices ............. 454-5 Determinantes y la regla de Cramer ...... 474-6 Matrices inversas y sistemas

de ecuaciones ........................................ 49

5-1 Grafica funciones cuadráticas ................ 515-2 Grafica para resolver ecuaciones

cuadráticas ............................................. 535-3 Factoriza para resolver ecuaciones

cuadráticas ............................................. 555-4 Números complejos ................................ 575-5 Completa el cuadrado ............................ 595-6 La fórmula cuadrática y el

discriminante ........................................... 615-7 Transformaciones con funciones

cuadráticas ............................................. 635-8 Desigualdades cuadráticas .................... 65

Lección/Título Página6-1 Operaciones con polinomios .................. 676-2 Divide polinomios ................................... 696-3 Funciones polinómicas ........................... 716-4 Analiza gráficas de funciones

polinómicas ............................................. 736-5 Resuelve ecuaciones polinómicas ......... 756-6 El teorema del residuo y del factor ......... 776-7 Raíces y ceros ........................................ 796-8 Teorema del cero racional ...................... 81

7-1 Operaciones en funciones ...................... 837-2 Funciones y relaciones inversas ............ 857-3 Funciones y desigualdades

radicales ................................................. 877-4 Raíces enésimas .................................... 897-5 Operaciones con expresiones

radicales ................................................. 917-6 Exponentes racionales ........................... 937-7 Resuelve ecuaciones y desidualdades

radicales ................................................. 95

8-1 Grafica funciones exponenciales ............ 978-2 Resuelve ecuaciones y desigualdades

exponenciales ......................................... 998-3 Logaritmos y funciones logarítmicas .... 1018-4 Resuelve ecuaciones y

desigualdades logarítmicas .................. 1038-5 Propiedades de logaritmos ................... 1058-6 Logaritmos comunes ............................ 1078-7 Logaritmos naturales y de base e ........ 1098-8 Usa funciones logarítmicas y

exponenciales ....................................... 111

9-1 Multiplica y divide expresionesracionales ............................................. 113

9-2 Suma y resta expresiones racionales ............................................. 115

9-3 Grafica funciones recíprocas ................ 1179-4 Grafica funciones racionales ................ 1199-5 Funciones de variación ......................... 1219-6 Resuelve ecuaciones y

desigualdades racionales ..................... 123

10-1 Fórmula de la distancia y delpunto medio ........................................ 125

10-2 Parábolas ............................................ 12710-3 Círculos ............................................... 12910-4 Elipses ................................................ 13110-5 Hipérbolas ........................................... 13310-6 Identifica secciones cónicas ............... 13510-7 Resuelve sistemas lineales y

no lineales .......................................... 137

Contenido

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Lección/Título Página11-1 Sucesiones como funciones ............... 13911-2 Sucesiones y series aritméticas ......... 14111-3 Sucesiones y series geométricas ....... 14311-4 Series geométricas infinitas ................ 14511-5 Recursiones e iteraciones .................. 14711-6 El teorema del binomio ....................... 14911-7 Demostraciones por inducción

matemática ......................................... 151

12-1 Experimentos, encuestas y estudios observacionales ................... 153

12-2 Análisis estadístico ............................. 15512-3 Probabilidad condicional ..................... 15712-4 Probabilidad y distribuciones

probabilísticas ..................................... 15912-5 La distribución normal ........................ 16112-6 Prueba de hipótesis ............................ 16312-7 Distribuciones binomiales ................... 165

13-1 Funciones trigonométricas en triángulos rectángulos ........................ 167

13-2 Ángulos y medidas angulares ............ 169

Lección/Título Página13-3 Funciones trigonométricas de

ángulos generales .............................. 17113-4 Ley de los senos ................................ 17313-5 Ley de los cosenos ............................. 17513-6 Funciones circulares ........................... 17713-7 Grafica funciones trigonométricas ...... 17913-8 Traslaciones de gráficas

trigonométricas ................................... 18113-9 Funciones trigonométricas inversas ... 183

14-1 Identidades trigonométricas ............... 18514-2 Verifica identidades

trigonométricas ................................... 18714-3 Suma y diferencia de identidades

angulares ............................................ 18914-4 Identidades de ángulo doble y

medio ángulo ...................................... 19114-5 Resuelve ecuaciones

trigonométricas ................................... 193

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NOMBRE FECHA PERÍODO

Evalúa cada expresión si a = -4, b = 6 y c = -9.

1. 3ab - 2bc 2. a3 + c2 - 3b

3. 2ac - 12b 4. b(a - c) - 2b

5. ac −

b + 2b −

a 6. 3b - 4 c −

2b - (c - b)

7. 3ab − c + 2c −

b 8. b

2 − ac - c

Evalúa cada expresión si r = -1, n = 3, t = 12, v = 0 y w = - 1 −

2 .

9. 6r + 2n 10. 2nt - 4rn

11. w(n - r) 12. n + 2r - 16v

13. (4n)2 14. n2r - wt

15. 2(3r + w) 16. 3v + t − 5n - t

17. -w[t + (t - r)] 18. rv3 −

n2

19. 9r2 + (n2 - 1)t 20. 7n - 2v + 2w − r

21. TEMPERATURA La fórmula K = C + 273 da la temperatura en grados kelvin (K) para una temperatura dada en grados Celsius. ¿Cuál es la temperatura en grados kelvin cuando la temperatura es 55 grados Celsius?

22. TEMPERATURA La fórmula C = 5 − 9 (F - 32) da la temperatura en grados Celsius para

una temperatura dada en grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura en grados Celsius cuando la temperatura es 68 grados Fahrenheit?

Capítulo 1 1 Álgebra 2 de Glencoe

1-1 Práctica de destrezasExpresiones y fórmulas

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1-1 PrácticaExpresiones y fórmulas

Evalúa cada expresión.

1. 3(4 - 7) - 11 2. 4(12 - 42)

3. 1 + 2 - 3(4) ÷ 2 4. 12 - [20 - 2(62 ÷ 3 × 22)]

5. 20 ÷ (5 - 3) + 52(3) 6. (-2)3 - (3)(8) + (5)(10)

7. 18 - {5 - [34 - (17 - 11)]} 8. [4(5 - 3) - 2(4 - 8)] ÷ 16

9. 1 − 2 [6 - 42] 10. 1 −

4 [-5 + 5(-3)]

11. -8(13 - 37) −

6 12. (-8)2

− 5 - 9

- (-1)2 + 4(-9)

Evalúa cada expresión si a = 3 −

4 , b = -8, c = -2, d = 3 y e = 1 −

3 .

13. ab2 - d 14. (c + d)b

15. ab − c + d2 16. d(b - c) − ac

17. (b - de)e2 18. ac3 - b2de

19. -b[a + (c - d)2] 20. ac4 −

d - c −

e2

21. 9bc - 1 − e 22. 2ab2 - (d 3 - c)

23. TEMPERATURA La fórmula F = 9 − 5 C + 32 da la temperatura en grados Fahrenheit para

una temperatura dada en grados Celsius. ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando la temperatura es -40 grados Celsius?

24. FÍSICA La fórmula h = 120t - 16t2 da la altura h en pies de un cuerpo t segundos después de que se lanza hacia arriba desde la superficie terrestre con una rapidez inicial de 120 pies por segundo. ¿Cuál será la altura del cuerpo después de 6 segundos?

25. AGRICULTURA Faith tiene un huerto de manzanas orgánicas. En base a su experiencia de los años anteriores, ha desarrollado la fórmula P = 20x - 0.01x2 - 240 para predecir su utilidad P en dólares esta temporada si sus árboles producen x fanegas de manzanas. ¿Cuál es la utilidad prevista por Faith esta temporada si su huerto produce 300 fanegas de manzanas?


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Práctica de destrezasPropiedades de los números reales

1-2

Nombra los conjuntos de números a los que pertenece cada número.

1. 34 2. -525

3. 0.875 4. 12 − 3

5. - √ � 9 6. √ �� 30

Nombra la propiedad que ilustra cada ecuación.

7. 3 � x = x � 3 8. 3a + 0 = 3a

9. 2(r + w) = 2r + 2w 10. 2r + (3r + 4r) = (2r + 3r) + 4r

11. 5y( 1 − 5y ) = 1 12. 15x(1) = 15x

13. 0.6[25(0.5)] = [0.6(25)]0.5 14. (10b + 12b) + 7b = (12b + 10b) + 7b

Calcula el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para cada número.

15. 15 16. 1.25

17. - 4 − 5 18. 3 3 −

4

Simplifica cada expresión.

19. 3 x + 5 y + 2 x - 3y 20. x - y - z + y - x + z

21. -(3g + 3h) + 5g - 10h 22. a2 - a + 4a - 3a2 + 1

23. 3(m - z) + 5(2m - z) 24. 2x - 3y - (5x - 3y - 2z)

25. 6(2 w + v) - 4(2 v + 1w) 26. 1 − 3 (15 d + 3 c) - 1 −

2 (8 c - 10 d)


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1-2 PrácticaPropiedades de los números reales

Nombra los conjuntos de números al cual pertenece cada número.

1. 6425 2. √ � 7 3. 2π 4. 0

5. √ �� 25 − 36

6. - √ �� 16 7. -35 8. -31.8

Nombra la propiedad ilustrada por cada ecuación.

9. 5x � (4y + 3x) = 5x � (3x + 4y) 10. 7x + (9x + 8) = (7x + 9x) + 8

11. 5(3x + y) = 5(3x + 1y) 12. 7n + 2n = (7 + 2)n

13. 3(2x)y = (3 � 2)(xy) 14. 3x � 2y = 3 � 2 � x � y 15. (6 + -6)y = 0y

16. 1 − 4 � 4y = 1y 17. 5(x + y) = 5x + 5y 18. 4n + 0 = 4n

Halla el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para cada número.

19. 0.4 20. -1.6

21. - 11 − 16 22. 5 5 − 6


23. 5x - 3y - 2x + 3y 24. -11a - 13b + 7a - 3b

25. 8x - 7y - (3 - 6y) 26. 4c - 2c - (4c + 2c)

27. 3(r - 10s) - 4(7s + 2r) 28. 1 − 5 (10a - 15b) + 1 −

2 (8b + 4a)

29. 2(4z - 2x + y) - 4(5z + x - y) 30. 5 − 6 ( 3 −

5 x + 12y) - 1 −

4 (2x - 12y)

31. VIAJES Olivia maneja su carro a 60 millas por hora por t horas. Ian maneja su carro a 50 millas por hora por (t + 2) horas. Escribe una expresión simplificada para la suma de las distancias recorridas por los dos carros.

32. TEORÍA NUMÉRICA Usa las propiedades de los números reales para decir si el siguiente

enunciado es verdadero o falso. Si a y a y b ≠ 0 y a > b, se sigue que a( 1 − a ) > b( 1 − b ).

Explica tu razonamiento.


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1-3 Práctica de destrezasResuelve ecuaciones

Escribe una expresión algebraica para representar cada expresión verbal.

1. 4 veces un número, aumentado en 7 2. 8 menos que 5 veces un número

3. 6 veces la suma de un número y 5 4. el producto de 3 y un número dividido entre 9

5. 3 veces la diferencia de 4 y un número

6. el producto de -11 y el cuadrado de un número

Escribe una oración verbal para representar cada ecuación.

7. n - 8 = 16 8. 8 + 3x = 5

9. b + 3 = b2 10. y −

3 = 2 - 2y

Nombra la propiedad que ilustra cada enunciado.

11. Si a = 0.5b y 0.5b = 10, entonces a = 10. 12. Si d + 1 = f, entonces d = f - 1.

13. Si -7x = 14, entonces 14 = -7x. 14. Si (8 + 7)r = 30, entonces 15r = 30.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.

15. 4m + 2 = 18 16. x + 4 = 5x + 2

17. 3t = 2t + 5 18. -3b + 7 = -15 + 2b

19. -5x = 3x - 24 20. 4v + 20 - 6 = 34

21. a - 2a − 5 = 3 22. 2.2n + 0.8n + 5 = 4n

Despeja la variable especificada para resolver cada ecuación o fórmula.

23. I = prt, despeja p 24. y = 1 − 4 x - 12, despeja x

25. A = x + y

− 2 , despeja y 26. A = 2πr2 + 2πrh, despeja h


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1-3 PrácticaResuelve ecuaciones

Escribe una expresión algebraica para representar cada expresión verbal.

1. 2 más que el cociente de un número entre 5 2. la suma de dos enteros consecutivos

3. 5 por la suma de un número más 1 4. 1 menos que el doble del cuadrado de un número

Escribe una expresión verbal para representar cada ecuación.

5. 5 - 2x = 4 6. 3y = 4y3

7. 3c = 2(c - 1) 8. m − 5 = 3(2m + 1)

Nombra la propiedad ilustrada por cada enunciado.

9. Si t - 13 = 52, entonces 52 = t - 13. 10. Si 8(2q + 1) = 4, entonces 2(2q + 1) = 1.

11. Si h + 12 = 22, entonces h = 10. 12. Si 4m = -15, entonces -12m = 45.

Resuelve cada ecuación. Verifica tu solución.

13. 14 = 8 - 6r 14. 9 + 4n = -59

15. 3 − 4 - 1 −

2 n = 5 −

8 16. 5 −

6 s + 3 −

4 = 11 −

12

17. -1.6r + 5 = -7.8 18. 6x - 5 = 7 - 9x

19. 5(6 - 4v) = v + 21 20. 6y - 5 = -3(2y + 1)

Despeja la variable especificada para resolver cada ecuación o fórmula.

21. E = mc2, despeja m 22. c = 2d + 1 − 3 , despeja d

23. h = vt - gt2, despeja v 24. E = 1 − 2 Iw2 + U, despeja I

25. GEOMETRÍA El largo de un rectángulo es dos veces el ancho. Calcula el ancho si el perímetro es 60 centímetros. Define una variable, escribe una ecuación y resuelve el problema.

26. GOLF Luis y tres amigos fueron a jugar golf. Dos de los amigos alquilaron los palos por $6 cada uno. El costo total de los palos alquilados y las tarifas del juego por cada persona fue $76. ¿Cuál fue el costo de la tarifa de juego para cada persona? Define una variable, escribe una ecuación y resuelve el problema.


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Evalúa cada expresión si w = 0.4, x = 2, y = -3 y z = -10.

1. |5w| 2. |-9y|

3. |9y - z| 4. - |17z|

5. - |10z - 31| 6. - |8x - 3y| + |2y + 5x|

7. 25 - |5z + 1| 8. 44 + |-2x - y|

9. 2 |4w| 10. 3 - |1 - 6w|

11. |-3x - 2y| - 4 12. 6.4 + |w - 1|

Resuelve cada ecuación. Verifica tus soluciones.

13. |y + 3| = 2 14. |5a| = 10

15. |3k - 6| = 2 16. |2g + 6| = 0

17. 10 = |1 - c| 18. |2x + x| = 9

19. |p - 7| = -14 20. 2 |3w| = 12

21. |7x - 3x| + 2 = 18 22. 4 |7 - y| - 1 = 11

23. |3n - 2| = 1 − 2 24. |8d - 4d| + 5 = 13

25. -5|6a + 2| = -15 26. |k| + 10 = 9

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones de valor absoluto

1-4


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Evalúa cada expresión si a = -1, b = -8, c = 5 y d = -1.4.

1. |6a| 2. |2b + 4|

3. - |10d + a| 4. |17c| + |3b - 5|

5. -6 |10a - 12| 6. |2b - 1| - |-8b + 5|

7. |5a - 7| + |3c - 4| 8. |1 - 7c| - |a|

9. -3|0.5c + 2| - |-0.5b| 10. |4d| + |5 - 2a|

11. |a - b| + |b - a| 12. |2 - 2d| - 3|b|


13. |n - 4| = 13 14. |x - 13| = 2

15. |2y - 3| = 29 16. 7|x + 3| = 42

17. |3u - 6| = 42 18. |5x - 4| = -6

19. -3 |4x - 9| = 24 20. -6|5 - 2y| = -9

21. |8 + p| = 2p - 3 22. |4w - 1| = 5w + 37

23. 4 |2y - 7| + 5 = 9 24. -2|7 - 3y| - 6 = -14

25. 2 |4 - s| = -3s 26. 5 - 3|2 + 2w| = -7

27. 5 |2r + 3| - 5 = 0 28. 3 - 5|2d - 3| = 4

29. TIEMPO Un termómetro viene con la garantía de que la temperatura indicada difiere de la temperatura real por no más de 1.5 grados Fahrenheit. Escribe y resuelve una ecuación para calcular las temperaturas mínima y máxima reales cuando el termómetro indica que la temperatura es 87.4 grados Fahrenheit.

30. ENCUESTAS DE OPINIÓN Las encuestas de opinión pública que aparecen en los periódicos generalmente están dadas con un margen de error. Por ejemplo, una encuesta con un margen de error de ±5% es considerada exacta dentro de más o menos 5% del valor real. Una encuesta con un margen de error indicado de 63% predice que el candidato Tonwe recibirá 51% en una próxima votación. Escribe y resuelve una ecuación que describa el porcentaje mínimo y máximo del voto que se espera que reciba el candidato Tonwe.

PrácticaResuelve ecuaciones con valor absoluto

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Práctica de destrezasResuelve desigualdades

1-5

Resuelve cada desigualdad. Luego, grafica el conjunto solución en una recta numérica.

1. z − -4

≥ 2 2. 3a + 7 ≤ 16

3. 16 < 3q + 4 4. 20 - 3n > 7n

5. 3x ≥ -9 6. 4b - 9 ≤ 7

7. 2z < -9 + 5z 8. 7f - 9 > 3f - 1

9. -3k - 8 ≤ 5k 10. 7t - (t - 4) ≤ 25

11. 0.7m + 0.3m ≥ 2m - 4 12. 4(5x + 7) ≤ 13

13. 1.7y - 0.78 > 5 14. 4x - 9 > 2x + 1

Define una variable y escribe una desigualdad para cada problema. Luego, resuélvelo.

15. Diecinueve más que un número es menos que 42.

16. La diferencia de tres por un número y 16 es por lo menos 8.

17. Un medio de un número es más que 6 menos que el mismo número.

18. Cinco menos que el producto de 6 y un número no es más que el doble de ese mismo número.

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4

-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-1-2 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-1-2 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4-7 -6-9 -8 -5 -4 -3 -2 -1


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1-5 PrácticaResuelve desigualdades

Resuelve cada desigualdad. Luego, grafica el conjunto solución en una recta numérica.

1. 8x - 6 ≥ 10 2. 23 - 4u < 11

3. -16 - 8r ≥ 0 4. 14s < 9s + 5

5. 9x - 11 > 6x - 9 6. -3(4w - 1) > 18

7. 1 - 8u ≤ 3u - 10 8. 17.5 < 19 - 2.5x

9. 9(2r - 5) - 3 < 7r - 4 10. 1 + 5(x - 8) ≤ 2 - (x + 5)

11. 4x - 3 − 2 ≥ -3.5 12. q - 2(2 - q) ≤ 0

13. -36 - 2(w + 77) > -4(2w + 52) 14. 4n - 5(n - 3) > 3(n + 1) - 4

Define una variable y escribe una desigualdad para cada problema. Luego, resuelve.

15. Un número menos veinte es mayor que el doble del mismo número.

16. Cuatro por la suma del doble de un número y -3 es menos que 5.5 por el mismo número.

17. HOTELES La habitación del hotel de los Lincoln cuesta $90 la noche más un 10% de impuesto adicional. El estacionamiento en el hotel es $12 por día. Los Lincoln esperan gastar $30 en propinas durante su estadía. Resuelve la desigualdad 90x + 90(0.1)x + 12x + 30 ≤ 600 para calcular cuántas noches se pueden quedar los Lincoln en el hotel sin exceder de $600 los costos totales.

18. BANCO El saldo de la cuenta de Jan es $3800. De esto, $750 es para la renta. Jan quiere mantener un saldo de por lo menos $500. Escribe y resuelve una desigualdad que describa cuánto puede retirar y aún así tener suficiente dinero para la renta y mantener un saldo de $500.

-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4

-1-2 0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4


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1-6 Práctica de destrezasResuelve desigualdades compuestas y de valor absoluto

Escribe una desigualdad de valor absoluto para cada gráfica.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Resuelve cada desigualdad. Grafica el conjunto solución en una recta numérica. 9. 2c + 1 > 5 ó c < 0 10. -11 ≤ 4y - 3 ≤ 1

11. 10 > -5x > 5 12. 4a ≥ -8 ó a < -3

13. 8 < 3x + 2 ≤ 23 14. w - 4 ≤ 10 ó -2w ≤ 6

15. |t| ≥ 3 16. |6x| < 12

17. |-7r| > 14 18. |p + 2| ≤ -2

19. |n - 5| < 7 20. |h + 1| ≥ 5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

0-1-2-3-4 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 44 3 2 1 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4

-2 -1-4 -3 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5-10 0 5 10 -5-10 0 5 10

-10 0 5 10-5 -1 0 112

-

12

0-5 5 10 15


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c.



1-6 PrácticaResuelve desigualdades compuestas y con valor absoluto

Escribe una desigualdad con valor absoluto para cada gráfica.

1. -25-50 0 25 50

2. -25-50 0 25 50

3. -20 -10 0 10 20

4. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Resuelve cada desigualdad. Grafica el conjunto solución en una recta numérica.

5. -8 ≤ 3y - 20 < 52 6. 3(5x - 2) < 24 ó 6x - 4 > 4 + 5x

7. 2x - 3 > 15 ó 3 - 7x < 17 8. 15 - 5x ≤ 0 y 5x + 6 ≥ -14

9. |2w| ≥ 5 10. |y + 5| < 2

11. |x - 8| ≥ 3 12. |2z - 2| ≤ 3

13. |2x + 2| - 7 ≤ -5 14. |x| > x - 1

15. |3b + 5| ≤ -2 16. |3n - 2| - 2 < 1

17. LLUVIA En un 90% de los últimos 30 años, la lluvia en Shell Beach no ha variado más de 6.5 pulgadas de su valor promedio de 24 pulgadas. Escribe y resuelve una desigualdad con valor absoluto para describir la lluvia en el otro 10% de los últimos 30 años.

18. FABRICACIÓN Las pautas de una compañía garantizan que, en cada lata de sopa producida, el volumen que se indica de 14.5 onzas de fluido no varía en más de 0.08 onzas. Escribe y resuelve una desigualdad con valor absoluto para describir los volúmenes aceptables de las latas.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40-1-2-3-4 1 2 3 4

0-1-2-3-4 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1-2-3-4 0 1 2 3 4-1-2-3-4 0 1 2 3 4

-2 0 2 4 6 8 10 12 140 4 8 12 16 20 24 28 32


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2-1

Indica el dominio y el rango de cada relación. Luego, determina si cada relación es una función. Si es una función, determina si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna.

1.

100200300

50100150

Dominio Rango 2.

31

5

Dominio Rango

3. x y

1 2

2 4

3 6

4.

x

y

O

2

2 4 6 8 10

468

−2

Grafica cada relación o ecuación y determina el dominio y el rango. Determina si la ecuación es una función, es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de éstas. Luego, indica si es discreta o continua.

5. {(2, -3), (2, 4), (2, -1)} 6. {(2, 6), (6, 2)}

7. {(-3, 4), (-2, 4), (-1, -1), (3, -1)} 8. x = -2

Calcula cada valor si f(x) = 2x - 1 y g(x) = 2 - x2.

9. f(0) 10. f(12) 11. g(4)

12. f(-2) 13. g(-1) 14. f(d)

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Práctica de destrezasRelaciones y funciones

x

y

O


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c.



2-1

Indica el dominio y rango de cada relación. Luego, determina si cada relación es una función. Si es una función, determina si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de éstas.

1.

2

8

212530

Dominio Rango 2.

51015

105

110

Dominio Rango

3. x y

-3 0

-1 -1

0 0

2 -2

3 4

4.

Grafica cada ecuación y determina el dominio y rango. Determina si la relación es una función, es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva o ninguna de éstas. Luego, indica si es discreta o continua.

5. x = -1 6. y = 2x - 1

Calcula cada valor si f(x) = 5 −

x + 2 y g(x) = -2x + 3.

7. f(3) 8. f(-4) 9. g ( 1 − 2 )

10. f(-2) 11. g(-6) 12. f(m - 2)

13. MÚSICA Los pares ordenados (1, 16), (2, 16), (3, 32), (4, 32) y (5, 48) representan el costo de comprar varios números de cedés a través de un club de música. Identifica el dominio y el rango de la relación. ¿Es la relación discreta o continua? ¿Es la relación una función?

14. COMPUTACIÓN Si una computadora puede hacer un cálculo en 0.0000000015 de segundo, entonces la función T(n) = 0.0000000015n da el tiempo que requiere la computadora para hacer n cálculos. ¿Cuánto tiempo le tomaría a la computadora hacer 5 billones de cálculos?

x

y

O

PrácticaRelaciones y funciones

x

y

O

x y

-2 -1

-2 1

-1 0

1 0

2 1


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Indica si cada ecuación o función es lineal. Explica.

1. y = 3x 2. y = -2 + 5x

3. 2x + y = 10 4. f (x) = 4x2

5. - 3 − x + y = 15 6. x = y + 8

7. g(x) = 8 8. h(x) = √ � x + 3

Escribe cada ecuación en forma estándar. Identifica A, B y C.

9. y = x 10. y = 5x + 1

11. 2x = 4 - 7y 12. 3x = -2y - 2

13. 5y - 9 = 0 14. -6y + 14 = 8x

Calcula las intersecciones axiales de la gráfica de cada ecuación. Luego, grafica la ecuación usando las intersecciones.

15. y = 3x - 6 16. y = -2x

17. x + y = 5 18. 2x + 5y = 10

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Práctica de destrezasRelaciones y funciones lineales

2-2


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Indica si cada ecuación o función es una función lineal. Escribe sí o no. Explica.

1. h(x) = 23 2. y = 2 − 3 x

3. y = 5 − x 4. 9 - 5xy = 2

Escribe cada ecuación en forma estándar. Identifica A, B y C.

5. y = 7x - 5 6. y = 3 − 8 x + 5

7. 3y - 5 = 0 8. x = - 2 − 7 y + 3 −

4

Calcula las intersecciones axiales de la gráfica de cada ecuación. Luego, grafica la ecuación usando las intersecciones.

9. y = 2x + 4 10. 2x + 7y = 14

11. y = -2x - 4 12. 6x + 2y = 6

13. MEDICIÓN La ecuación y = 2.54x da la longitud y en centímetros correspondiente a una longitud x en pulgadas. ¿Cuál es la longitud en centímetros de una regla de 1 pie?

14. LARGA DISTANCIA En el plan de llamadas de larga distancia de Meg, el costo mensual C en dólares está dado por la función lineal C(t) = 6 + 0.05t, donde t es el número de minutos hablados.

a. ¿Cuál es el costo total de hablar 8 horas? ¿De hablar 20 horas?

b. ¿Cuál es el costo efectivo por minuto (el costo total dividido entre el número de minutos hablados) de hablar 8 horas? ¿De hablar 20 horas?

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

PrácticaRelaciones y funciones lineales

2-2


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Calcula la pendiente de la recta que pasa a través de cada par de puntos.

1. (1, 5), (-1, -3) 2. (0, 2), (3, 0) 3. (1, 9), (0, 6)

4. (8, -5), (4, -2) 5. (-3, 5), (-3, -1) 6. (-2, -2), (10, -2)

7. (4, 5), (2, 7) 8. (-2, -4), (3, 2) 9. (5, 2), (-3, 2)

Determina la tasa de cambio de cada gráfica.

10. y

x

11. y

x

12. y x

13. y

x

14. y

x

15. y

x

16. EXCURSIONISMO Nahomi salió de una elevación de 7400 pies a las 7:00 a.m. y caminó hasta una elevación de 9800 pies para las 11:00 a.m. ¿Cuál fue su tasa de cambio en la altitud?

Práctica de destrezasTasa de cambio y pendiente

2-3


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Calcula la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. Expresa como una fracción en forma simplificada.

1. (3, -8), (-5, 2) 2. (-10, -3), (7, 2) 3. (-7, -6), (3, -6)

4. (8, 2), (8, -1) 5. (4, 3), (7, -2) 6. (-6, -3), (-8, 4)

Determina la tasa de cambio de cada gráfica.

7. y

x2-2

-2

-4

-4

8. y

x2-2-4

-2

9. y

x2-2

-2

-4

-4

2

4

4

10. y

x2

2

4

2

-2

-4

4 4

11. y

x2

2

4

6

-2 4 6

12. y

x2-2-4-6

2

-2

-4

4

13. DEPRECIACIÓN Una máquina que originalmente cuesta $15,600 tiene un valor de $7500 al cabo de 3 años. La misma máquina tiene un valor de $2800 al cabo de 8 años.

a. Calcula la tasa de cambio promedio en el valor de la máquina (depreciación) entre su compra y al cabo de 3 años.

b. Calcula la tasa de cambio promedio en el valor de la máquina del período que se extiende desde el final del 3er año hasta el final del 8o año.

c. Interpreta el signo de tus respuestas.

PrácticaTasa de cambio y pendiente

2-3


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Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para la recta descrita. 1. pendiente 3, intersección y en -4 2. perpendicular a y = 1 −

2 x - 1,

intersección x en 4

3. paralela a y = 2 − 3 x + 6, 4. paralela a y = - 1 −

4 x - 2,

pasa por (6, 7) intersección x en 4

5. perpendicular a y = -4x + 1, 6. pendiente 3 − 5 , intersección x en -10

pasa por (-8, -1)

7. paralela a y = 9x + 3, 8. pendiente 5 − 6 , pasa por (12, 4)

intersección y en -2

Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para cada gráfica.

9.

x

y

O

(–1, –4)

(1, 2)

10.

x

y

O

(–3, –1) (4, –1)

11.

x

y

O

(0, 3)

(3, –3)

Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para la recta que satisface cada conjunto de condiciones.

12. pendiente 3, pasa por (1, -3) 13. pendiente -1, pasa por (0, 0)

14. pendiente -2, pasa por (0, -5) 15. pendiente 3, pasa por (2, 0)

16. pasa por (-1, -2) y (-3, 1) 17. pasa por (-2, -4) y (1, 8)

18. pasa por (2, 0) y (0, -6) 19. pasa por (2.5, 0) y (0, 5)

20. pasa por (3, -1), perpendicular a la gráfica de y = - 1 − 3

x - 4.

Práctica de destrezasEscribe ecuaciones lineales

2-4


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c.



Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para la recta descrita.

1. pendiente 2, intersección y en 0 2. paralela a y = 4x + 2 intersección y en 4

3. perpendicular a y = 1 − 4 x + 2, 4. paralela a y = –3x + 4, intersección x en 4

pasa por (0, 0)

5. perpendicular a y = - 1 − 2 x + 2 −

3 , 6. pendiente - 2 −

3 , intersección x en 3

pasa por (2, 3)

Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para cada gráfica.

7.

x

y

O

(0, 2)

2

2

4

-2

-2

-4

-4 4

8.

x

y

O

(4, 4)

(0, -2)

2

2

4

-2

-2

4

9.

x

y

O(3, -1)

(-3, 3)

2-2

-2

-4

2

4

4

Escribe una ecuación en forma pendiente-intersección para la recta que satisface cada conjunto de condiciones.

10. pendiente -5, pasa por (-3, -8) 11. pendiente 4 − 5 , pasa por (10, -3)

12. pendiente 0, pasa por (0, -10) 13. pendiente - 2 − 3 , pasa por (6, -8)

14. paralela a y = 4x - 5, 15. pendiente 1 − 6 , intersección x en -1

intersección y en -6

16. perpendicular a y = 3x - 2 17. paralela a y = 2 − 3 x - 10, intersección x en 9

pasa por (6, -1)

18. pasa por (-8, -7), perpendicular a la gráfica de y = 4x - 3

19. RESERVORIOS La superficie del lago Grand está en una elevación de 648 pies. Durante la sequía actual, el nivel del agua está disminuyendo a una tasa de 3 pulgadas por día. Si continúa esta tendencia, escribe una ecuación que dé la elevación en pies de la superficie del lago Grand después de x días.

PrácticaEscribe ecuaciones lineales

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En los Ejercicios 1 al 3, completa las partes a a la c.

a. Haz un diagrama de dispersión y una recta de ajuste y describe la correlación.b. Usa dos pares ordenados para escribir una ecuación de predicción.c. Usa tu ecuación de predicción para predecir el valor desconocido.

1. x y

1 1

3 5

4 7

6 11

7 12

8 15

10 ?

2. x y

5 9

10 17

20 22

25 30

35 38

40 44

50 ?

3.

1 3 5 72 4 6 8

36

30

24

18

12

6

0 x

y

5 15 25 3510 20 30 40 45 50

40

32

24

16

8

0 x

y

1 3 5 72 4 6 8 9 10

15

12

9

6

3

0 x

y

x y

1 16

2 16

3 ?

4 22

5 30

7 34

8 36

Práctica de destrezasDiagramas de dispersión y rectas de regresión

2-5


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c.



En los Ejercicios 1 y 2, completa las partes a a la c.

a. Haz un diagrama de dispersión y una recta de ajuste y describe la correlación.

b. Usa dos pares ordenados para escribir una ecuación de predicción.

c. Usa tu ecuación de predicción para predecir el valor desconocido.

1. ECONOMÍA DE COMBUSTIBLE La tabla muestra los pesos en toneladas y las estimaciones de la economía de combustible en millas por galón para varios carros.

2. ALTITUD Cuando Anchara conduce por las montañas, el termómetro de su carro registra las temperaturas (°F) que se muestran en la tabla para las altitudes dadas (pies).

Altitud (pies) 7500 8200 8600 9200 9700 10,400 12,000

Temperatura (ºF) 61 58 56 53 50 46 ?

3. SALUD Alton tiene una caminadora que usa el tiempo en ella para estimar el número de calorías que él quema durante un ejercicio. La tabla muestra los tiempos de ejercicio y las calorías quemadas en varios ejercicios. Halla una ecuación para esto y grafica una recta de regresión. Luego, usa la función para predecir el número de calorías quemadas en una sesión de ejercicios de 60 minutos.

Altitud (pies)

Tem

per

atu

ra (

ºF)

0 7,000 8,000 9,000 10,000

65

60

55

50

45

Temperatura vs. altitud

Peso (ton)

Eco

no

mía

de

com

bu

stib

le (

mi/

gal

)0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

30

25

20

15

10

5

Economía de combustible vs. peso

Peso (ton) 1.3 1.4 1.5 1.8 2 2.1 2.4

Millas por galón 29 24 23 21 ? 17 15

Tiempo (min.) 18 24 30 40 42 48 52 60

Calorías quemadas 260 280 320 380 400 440 475 ?

PrácticaDiagramas de dispersión y rectas de regresión

2-5


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mp

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Inc.



Grafica cada función. Identifica el dominio y el rango.

1. f(x) = 3 2. f(x) = -x

3. f (x) = �x + 1� 4. f (x) = �x - 3�

5. g(x) = 2 ⎪x⎥ 6. f (x) = ⎪x⎥ + 1

7. f(x) = { x si x < 0 8. h(x) = { 3 si x < -12 si x ≥ 0

xO

f (x)

xO

g (x)

xO

f (x)

xO

x

f (x)

x

f (x)

x + 1 si x > 1

xO

f (x)

xO

h (x)

Práctica de destrezasFunciones especiales

2-6


Co

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c.



Grafica cada función. Identifica el dominio y rango.

1. f (x) = { x + 2 si x ≤ -2

2. h(x) = { 4 - x si x > 0

3x si x > -2 -2x - 2 si x < 0

3. f (x) = �0.5x� 4. f (x) = �x� - 2

5. g(x) = -2 ⎪x⎥ 6. f (x) = ⎪x + 1⎥

7. NEGOCIOS A Stitch in Time cobra por trabajo $40 por hora o cualquier fracción de hora. Dibuja una gráfica de la función escala que representa esta situación.

Libras

Co

sto

($)

50 15 2510 20 30 35

105

90

75

60

45

30

15

Costos del caramelo

Horas

Co

sto

to

tal (

$)

10 3 52 4 6 7

280

240

200

160

120

80

40

Costo del trabajo

xO

h (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

g (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

8. NEGOCIOS Un distribuidor le cobra a una tienda $3.00 por libra para menos de 20 libras de caramelo y $2.50 por libra para 20 libras o más. Dibuja una gráfica de la función que representa esta situación.

PrácticaFunciones especiales

2-6


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2-7

Identifica el tipo de función que representa cada gráfica.

1.

x

4

2

−2−4

−2

−4

2 4

y 2.

x

4

2

−2−4

−2

−4

2 4

y

Describe la traslación en cada ecuación. Luego, grafica la función.

3. y = |x| - 2 4. y = (x + 1)2

Describe la reflexión en cada ecuación. Luego, grafica la función.

5. y = -x 6. y = - ⎪x⎥

7. BIOLOGÍA Un biólogo graficó los datos de su último experimento y descubrió que la gráfica de sus datos se parecía a la gráfica que se muestra a la derecha. ¿Qué tipo de función relaciona las variables en el experimento?

Práctica de destrezasFunciones generadoras y transformaciones

x

y

x

x

y

x

y

x

4

2

-2-4

-2

-4

2 4

y


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c.



Describe la traslación en cada función. Luego, grafica la función. 1. y = x + 3 2. y = x2 - 3

x

4

2

-2-4

-2

-4

2 4

y

x

4

2

-2-4

-2

-4

2 4

y

Describe la reflexión en cada función. Luego, grafica la función.

3. y = (-x)2 4. y = -(3)

x

y

x

y

PrácticaFunciones generadoras y transformaciones

2-7

Describe la dilatación en cada función. Luego, grafica la función.

5. y = ⎪2x⎥ 6. 4y = x2

x

y

x

y

7. QUÍMICA Un científico probó el grado de rapidez con que ocurre una reacción química ante diferentes temperaturas. Con los datos se hizo esta gráfica. ¿Qué tipo de función muestra la relación de temperatura y la rapidez de la reacción química?

x

12

4

-12

-12

-44 12

y

-4


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Grafica cada desigualdad.

1. y > 1 2. y ≤ x + 2 3. x + y ≤ 4

4. x + 3 < y 5. 2 - y < x 6. y ≥ -x

7. x - y > -2 8. 9x + 3y - 6 ≤ 0 9. y + 1 ≥ 2x

10. y - 7 ≤ -9 11. x > -5 12. y > ⎪x⎥

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

Práctica de destrezasGrafica desigualdades lineales y con valor absoluto

2-8


Co

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c.



De escritorio

Port

átile

s

100 30 5020 40 60 70 80 90 100

80

70

60

50

40

30

20

10

Computadoras compradas


1. y ≤ - 3 2. x > 2 3. x + y ≤ -4

4. y < -3x + 5 5. y < 1 − 2 x + 3 6. y - 1 ≥ -x

7. x - 3y ≤ 6 8. y > ⎪x⎥ - 1 9. y > -3 ⎪x + 1⎥ - 2

10. COMPUTADORAS Un sistema escolar está comprando computadoras nuevas. Comprarán computadoras de escritorio que cuestan $1000 por unidad y computadoras portátiles que cuestan $1200 por unidad. El costo total de las computadoras no puede exceder $80,000.

a. Escribe una desigualdad que describa esta situación.

b. Grafica la desigualdad.

c. Si la escuela quiere comprar 50 de las computadoras de escritorio y 25 de las computadoras portátiles, ¿tendrá suficiente dinero?

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

PrácticaGrafica desigualdades lineales y con valor absoluto

2-8


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3-1

Resuelve cada sistema de ecuaciones mediante una gráfica. 1. x = 2 2. y = -3x + 6 3. y = 4 - 3x

y = 0 y = 2x - 4 y = - 1 − 2 x - 1

4. y = 4 - x 5. y = -2x + 2 6. y = x y = x - 2 y = 1 −

3 x - 5 y= -3x + 4

7. x + y = 3 8. x - y = 4 9. 3x - 2y = 4x - y = 1 2x - 5y = 8 2x - y = 1

Grafica cada sistema de desigualdades y descríbelo como consistente e independiente, consistente y dependiente o inconsistente.

10. y = -3x 11. y = x - 5 12. 2x - 5y = 10y = -3x + 2 -2x + 2y = -10 3x + y = 15

Práctica de destrezasGrafica para resolver sistemas de ecuaciones

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O


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3-1

Resuelve cada sistema de ecuaciones mediante una gráfica.

1. x - 2y = 0 2. x + 2y = 4 3. 2x + y = 3 y = 2x - 3 2x - 3y = 1 y = 1 − 2 x - 9 −

2

4. y - x = 3 5. 2x - y = 6 6. 5x - y = 4y = 1 x + 2y = -2 -2x + 6y = 4

Grafica cada sistema de ecuaciones y descríbelo como consistente e independiente, consistente y dependiente o inconsistente. 7. 2x - y = 4 8. y = -x - 2 9. 2y - 8 = x

x - y = 2 x + y = -4 y = 1 − 2 x + 4

10. PROGRAMAS Location Mapping necesita nuevo software. El software A cuesta $13,000 más $500 por licencia adicional. El software B cuesta $2500 más $1200 por licencia adicional.

a. Escribe dos ecuaciones que representen el costo de cada software.

b. Grafica las ecuaciones. Estima el punto de equilibrio de los costos del software.

c. Si Location Mapping piensa comprar 10 licencias adicionales, ¿qué software costará menos?

PrácticaGrafica para resolver sistemas de ecuaciones

Costos del software

Licencias adicionales

Co

sto

to

tal (

$)

40 8 12 14 16 18 202 6 10

24,000

20,000

16,000

12,000

8,000

4,000

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

y

xO


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Resuelve cada sistema de ecuaciones mediante sustitución.

1. a + b = 20 2. x + 3y = -3 3. w - z = 1a - b = -4 4x + 3y = 6 2w + 3z = 12

4. 3r + t = 5 5. 2b + 3c = -4 6. x - y = -52r - t = 5 b + c = 3 3x + 4y = 13

Resuelve cada sistema de ecuaciones mediante eliminación.

7. 2t - u = 17 8. 2j - k = 3 9. 3c - 2d = 23t + u = 8 3j + k = 2 3c + 4d = 50

10. 2f + 3g = 9 11. -2x + y = -1 12. 2x - y = 12f - g = 2 x + 2y = 3 2x - y = 6

Resuelve cada sistema de ecuaciones.

13. -r + t = 5 14. 2x - y = -5 15. x - 3y = -12 -2r + t = 4 4x + y = 2 2x + y = 11

16. 2p - 3r = 6 17. 6w - 8z = 16 18. c + d = 6 -2p + 3r = -6 3w - 4z = 8 c - d = 0

19. 2u + 4x = -6 20. 3a + b = -1 21. 2x + y = 6u + 2x = 3 -3a + b = 5 3x - 2y = 16

22. 3y - z = -6 23. c + 2d = -2 24. 3r - 2t = 1-3y - z = 6 -2c - 5d = 3 2r - 3t = 9

25. La suma de dos números es 12. La diferencia de los mismos dos números es -4. Calcula los números.

26. Dos veces un número menos un segundo número es -1. Dos veces el segundo número sumado a tres veces el primer número es 9. Calcula los dos números.

Práctica de destrezasResuelve sistemas de ecuaciones algebraicamente

3-2


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s, In

c.



Resuelve cada sistema de ecuaciones usando sustitución.

1. 2x + y = 4 2. x - 3y = 9 3. g + 3h = 8 3x + 2y = 1 x + 2y = -1 1 −

3 g + h = 9

4. 2a - 4b = 6 5. 2m + n = 6 6. 4x - 3y = -6-a + 2b = -3 5m + 6n = 1 -x - 2y = 7

7. u - 2v = 1 − 2 8. x - 3y = 16 9. w + 3z = 1

-u + 2v = 5 4x - y =

9 3w - 5z = -4

Resuelve cada sistema de ecuaciones usando eliminación.

10. 2r + s = 5 11. 2m - n = -1 12. 6x + 3y = 63r - s = 20 3m + 2n = 30 8x + 5y = 12

13. 3j - k = 10 14. 2x - y = -4 15. 2g + h = 64j - k = 16 -4x + 2y = 6 3g - 2h = 16

16. 2t + 4v = 6 17. 3x - 2y = 12 18. 1 − 2 x + 3y = 11

- t - 2v = -3 2x + 2 − 3 y = 14 8x - 5y = 17


19. 8x + 3y = -5 20. 8q - 15r = -40 21. 3x - 4y = 12 10x + 6y = -13 4q + 2r = 56 1 −

3 x - 4 −

9 y = 4 −

3

22. 4b - 2d = 5 23. s + 3y = 4 24. 4m - 2p = 0-2b + d = 1 s = 1 -3m + 9p = 5

25. 5g + 4k = 10 26. 0.5x + 2y = 5 27. h - z = 3-3g - 5k = 7 x - 2y = -8 -3h + 3z = 6

28. DEPORTES El año pasado, el equipo de voleibol pagó $5 por un par de calcetines y $17 por pantalones cortos para una compra total de $315. Este año, gastaron $342 para comprar el mismo número de calcetines y pantalones cortos porque los calcetines ahora cuestan $6 el par y los pantalones cortos cuestan $18.

a. Escribe un sistema de dos ecuaciones que represente el número de pares de calcetines y pantalones cortos comprados cada año.

b. ¿Cuántos pares de calcetines y pantalones cortos compró el equipo cada año?

PrácticaResuelve sistemas de ecuaciones algebraicamente

3-2


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Resuelve cada sistema de desigualdades mediante una gráfica.

1. x < 1 2. x ≥ -3 3. x ≤ 2y ≥ -1 y ≥ -3 x > 4

4. y ≥ x 5. y < -4x 6. x - y ≥ -1y ≥ -x y ≥ 3x - 2 3x - y ≤ 4

7. y < 3 8. y < -2x + 3 9. x - y ≤ 4x + 2y < 12 y ≤ x - 2 2x + y < 4

Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo formado por cada sistema de desigualdades.

10. y ≤ 0 11. y ≤ 3 - x 12. x ≥ -2x ≤ 0 y ≥ 3 y ≥ x - 2y ≥ -x - 1 x ≥ -5 x + y ≤ 2

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O

Práctica de destrezasGrafica para resolver sistemas de desigualdades

3-3


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1. y + 1 < -x 2. x > -2 3. y ≤ 2x - 3 y ≥ 1 2y ≥ 3x + 6 y ≤ - 1 −

2 x + 2

4. x + y > -2 5. � y� ≤ 1 6. 3y > 4x3x - y ≥ -2 y < x - 1 2x - 3y > -6

Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo formado por cada sistema de desigualdades.

7. y ≥ 1 - x 8. x - y ≤ 2 9. y ≥ 2x - 2y ≤ x - 1 x + y ≤ 2 2x + 3y ≥ 6x ≤ 3 x ≥ -2 y < 4

10. DRAMA El club de drama está vendiendo boletos para su obra. Un boleto de adulto cuesta $15 y un boleto de alumno cuesta $11. El auditorio tiene capacidad para 300 personas. El club de drama quiere recaudar al menos $3630 de las ventas de los boletos.

a. Escribe y grafica un sistema de cuatro desigualdades que describa cuántos boletos de cada tipo debe vender el club para alcanzar su meta.

b. Enumera tres combinaciones diferentes de boletos vendidos que satisfaga las desigualdades.

Boletos de la obra

Boletos de adulto

Bo

leto

s d

e al

um

no

1000 200 300 400

400

350

300

250

200

150

100

50

x

y

O

2

y

xO

y

xO

x

y

Ox

y

Ox

y

O

PrácticaGrafica para resolver sistemas de desigualdades

3-3


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Grafica cada sistema de desigualdades. Indica las coordenadas de los vértices de la región factible. Calcula los valores máximos y mínimos de la función dada para esta región.

1. x ≥ 2 2. x ≥ 1 3. x ≥ 0x ≤ 5 y ≤ 6 y ≥ 0y ≥ 1 y ≥ x - 2 y ≤ 7 - xy ≤ 4 f (x, y) = x - y f (x, y) = 3x + yf (x, y) = x + y

4. x ≥ -1 5. y ≤ 2x 6. y ≥ -x - 2x + y ≤ 6 y ≥ 6 - x y ≥ 3x + 2f (x, y) = x + 2y y ≤ 6 y ≤ x + 4 f (x, y) = 4x + 3y f (x, y) = -3x + 5y

7. FABRICACIÓN Una fábrica de mochilas produce una mochila con marco interno y una mochila con marco externo. Sea x el número de mochilas con marco interno producidas en una hora y sea y el número de mochilas con marco externo producidas en una hora. Las desigualdades x + 3y ≤ 18, 2x + y ≤ 16, x ≥ 0 y y ≥ 0 describen las restricciones de fabricación de ambas mochilas. Usa la función de utilidad f(x, y) = 50x + 80y y las restricciones dadas para determinar la utilidad máxima de fabricar ambas mochilas.

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

Práctica de destrezasOptimización con programación lineal

3-4


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Grafica cada sistema de desigualdades. Nombra las coordenadas de los vértices de la región factible. Calcula los valores máximo y mínimo de la función dada para esta región.

1. 2x - 4 ≤ y 2. 3x - y ≤ 7 3. x ≥ 0-2x - 4 ≤ y 2x - y ≥ 3 y ≥ 0y ≤ 2 y ≥ x - 3 y ≤ 6f (x, y) = -2x + y f (x, y) = x - 4y y ≤ -3x + 15 f (x, y) = 3x + y

4. x ≤ 0 5. y ≤ 3x + 6 6. 2x + 3y ≥ 6y ≤ 0 4y + 3x ≤ 3 2x - y ≤ 24x + y ≥ -7 x ≥ -2 x ≥ 0f (x, y) = -x - 4y f (x, y) = -x + 3y y ≥ 0 f (x, y) = x + 4y + 3

7. PRODUCCIÓN Un soplador de vidrios puede formar en una hora 8 floreros simples ó 2 floreros elaborados. En un turno de trabajo de no más de 8 horas, el obrero debe formar al menos 40 floreros.

a. Sea s las horas formando floreros simples y e las horas formando floreros elaborados. Escribe un sistema de desigualdades que involucre el tiempo empleado en cada tipo de florero.

b. Si el soplador de floreros gana $30 por hora trabajada en los floreros simples y $35 por hora trabajada en los floreros elaborados, escribe una función para la ganancia total en los floreros.

c. Calcula el número de horas que el obrero debería pasar en cada tipo de florero para maximizar la utilidad. ¿Cuál es esa utilidad?

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

PrácticaOptimización con programación lineal

3-4


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Práctica de destrezasSistemas de ecuaciones con tres variables

3-5


1. 2a + c = -10 2. x + y + z = 3b - c = 15 13x + 2z = 2a - 2b + c = -5 -x - 5z = -5

3. 2x + 5y + 2z = 6 4. x + 4y - z = 15x - 7y = -29 3x - y + 8z = 0z = 1 x + 4y - z = 10

5. -2z = -6 6. 3x - 2y + 2z = -2 2x + 3y - z = -2 x + 6y - 2z = -2x + 2y + 3z = 9 x + 2y = 0

7. -x - 5z = -5 8. -3x + 2z = 1y - 3x = 0 4x + y - 2z = -613x + 2z = 2 x + y + 4z = 3

9. x - y + 3z = 3 10. 5� + 3n + p = 4 -2x + 2y - 6z = 6 3� + 2n = 0y - 5z = -3 2� - n + 3p = 8

11. 2x + 2y + 2z = -2 12. x + 2y - z = 42x + 3y + 2z = 4 3x - y + 2z = 3x + y + z = -1 -x + 3y + z = 6

13. 3x - 2y + z = 1 14. 3x - 5y + 2z = -12-x + y - z = 2 x + 4y - 2z = 85x + 2y + 10z = 39 -3x + 5y - 2z = 12

15. 2x + y + 3z = -2 16. 2x - 4y + 3z = 0 x - y - z = -3 x - 2y - 5z = 133x - 2y + 3z = -12 5x + 3y - 2z = 19

17. -2x + y + 2z = 2 18. x - 2y + 2z = -13x + 3y + z = 0 x + 2y - z = 6x + y + z = 2 -3x + 6y - 6z = 3

19. La suma de tres números es 18. La suma del primer y segundo número es 15. El primer número es 3 por el tercer número. Calcula los números.


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PrácticaSistemas de ecuaciones con tres variables

3-5


1. 2x - y + 2z = 15 2. x - 4y + 3z = -27 3. a + b = 3 -x + y + z = 3 2x + 2y - 3z = 22 -b + c = 33x - y + 2z = 18 4z = -16 a + 2c = 10

4. 3m - 2n + 4p = 15 5. 2g + 3h - 8j = 10 6. 2x + y - z = -8 m - n + p = 3 g - 4h = 1 4x - y + 2z = -3m + 4n - 5p = 0 -2g - 3h + 8j = 5 -3x + y + 2z = 5

7. 2x - 5y + z = 5 8. 2x + 3y + 4z = 2 9. p + 4r = -7 3x + 2y - z = 17 5x - 2y + 3z = 0 p - 3q = -84x - 3y + 2z = 17 x - 5y - 2z = -4 q + r = 1

10. 4x + 4y - 2z = 8 11. d + 3e + f = 0 12. 4x + y + 5z = -9 3x - 5y + 3z = 0 -d + 2e + f = -1 x - 4y - 2z = -2 2x + 2y - z = 4 4d + e - f = 1 2x + 3y - 2z = 21

13. 5x + 9y + z = 20 14. 2x + y - 3z = -3 15. 3x + 3y + z = 10 2x - y - z = -21 3x + 2y + 4z = 5 5x + 2y + 2z = 75x + 2y + 2z = -21 -6x - 3y + 9z = 9 3x - 2y + 3z = -9

16. 2u + v + w = 2 17. x + 5y - 3z = -18 18. x - 2y + z = -1 -3u + 2v + 3w = 7 3x - 2y + 5z = 22 -x + 2y - z = 6 -u - v + 2w = 7 -2x - 3y + 8z = 28 -4y + 2z = 1

19. 2x - 2y - 4z = -2 20. x - y + 9z = -27 21. 2x - 5y - 3z = 7 3x - 3y - 6z = -3 2x - 4y - z = -1 -4x + 10y + 2z = 6-2x + 3y + z = 7 3x + 6y - 3z = 27 6x - 15y - z = -19

22. La suma de tres números es 6. El tercer número es la suma del primer y segundo número. El primer número es uno más que el tercer número. Calcula los números.

23. La suma de tres números es -4. El segundo número disminuido por el tercero es igual al primero. La suma del primer y segundo número es -5. Calcula los números.

24. DEPORTES La secundaria Alexandria anotó 37 puntos en un juego de fútbol americano. Se dan seis puntos por cada gol de campo. Después de cada gol de campo, el equipo puede ganar un punto por la patada extra o dos puntos por una conversión de 2 puntos. El equipo anotó una conversión de 2 puntos menos que las patadas extras. El equipo anotó 10 veces durante el juego. ¿Cuántos goles de campo se hicieron durante el juego?


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4-1

Indica las dimensiones de cada matriz.

1. ⎡ ⎢

⎣ 3 -1

2 4 4

0 ⎤

� ⎦ 2. [0 15]

3. ⎡ ⎢

⎣ 3 1 2

8 ⎤ � ⎦ 4.

⎡ ⎢

⎣

6

-3

-2

1 4

7

2 5

9 ⎤

�

⎦

5. ⎡ ⎢

⎣ 9 3 3

4 -3

-4 -6

5 ⎤

� ⎦ 6.

⎡

⎢ ⎣

-1

-1 -1

-3

⎤

�

⎦

Identifica cada elemento de las siguientes matrices.

A = ⎡

⎢

⎣ 9

2 10

6

5 3

7

0

11 ⎤

�

⎦ , B =

⎡

⎢ ⎣ 5 0 -2

8 4

12 3

-1 ⎤ � ⎦ , C =

⎡

⎢

⎣

8

7

4

3

1

0

9

12

6

2 5

10

⎤

�

⎦

.

7. b22 8. c42 9. b11

10. a33 11. c14 12. a21

13. c33 14. b13 15. a12

Práctica de destrezasIntroducción a las matrices


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4-1

Indica las dimensiones de cada matriz.

1. [-3 -3 7] 2. ⎡ ⎢

⎣ 5 -2

8 1 -1

8 ⎤ � ⎦ 3.

⎡ ⎢

⎣ -2

5 4

2

16

7

-2

0 -1

3 0

4

⎤

�

⎦

Identifica cada elemento en las siguientes matrices.

A =

⎡

⎢

⎣

4

9 3

-1

7

8

0

2

0

-4 5

6

⎤

�

⎦

, B = ⎡

⎢ ⎣ 2 9 6

5 -1

7 0

2 ⎤

� ⎦ .

4. b23 5. a42 6. b11

7. a32 8. b14 9. a23

10. PRECIOS DE LOS BOLETOS La tabla a la derecha muestra los precios de los boletos para un concierto. Escribe una matriz 2 × 3 que represente el costo de un boleto.

11. CONSTRUCCIÓN Durante cada una de las últimas tres semanas, el equipo de construcción de caminos ha usado tres camiones cargados con grava. La tabla a la derecha muestra la cantidad de grava en cada carga.

a. Escribe una matriz para la cantidad de grava en cada carga.

b. ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz?

Niño Alumno Adulto

Costo comprado

en preventa$6 $12 $18

Costo comprado

en la taquilla$8 $15 $22

PrácticaIntroducción a las matrices

Semana 1 Semana 2 Semana 3

Carga 140

toneladasCarga 1

40

toneladasCarga 1

32

toneladas

Carga 232

toneladasCarga 2

40

toneladasCarga 2

24

toneladas

Carga 324

toneladasCarga 3

32

toneladasCarga 3

24

toneladas


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4-2 Práctica de destrezasOperaciones con matrices

Realiza las operaciones indicadas. Si la matriz no existe, escribe imposible.

1. [5 -4] + [4 5] 2. ⎡

⎢ ⎣ 8 -1

3 -1

⎤ �

⎦ -

⎡

⎢ ⎣ 0 6 -7

2 ⎤ �

⎦

3. [3 1 6] + ⎡

⎢

⎣

4

-1

2 ⎤

�

⎦ 4.

⎡

⎢ ⎣ 5 1 -1

8 2

-6 ⎤ �

⎦ +

⎡

⎢ ⎣ 9 4 9

6 2

4 ⎤ �

⎦

5. 3 [9 4 -3] 6. [6 -3] - 4 [ 4 7 ]

7. -2 ⎡

⎢ ⎣ -2

5 5 9 ⎤ �

⎦ +

⎡

⎢ ⎣ 1 1 1

1 ⎤

� ⎦ 8. 3

⎡

⎢

⎣

8

0

-3 ⎤ �

⎦ - 4

⎡

⎢

⎣ 2

2 10

⎤ �

⎦

9. 5 ⎡

⎢

⎣ -4

10 -1

6

1 1

⎤ �

⎦ + 2

⎡

⎢

⎣

6

-3

1

5

-2 0

⎤

�

⎦ 10. 3

⎡

⎢ ⎣ 3 -4

1 7 3 5 ⎤ �

⎦ - 2

⎡

⎢ ⎣ 1 6 -1

6 5

-3 ⎤ �

⎦

Usa las matrices A, B y C para calcular lo siguiente.

A = ⎡

⎢

⎣

3 4 2

3 ⎤

�

⎦

, B = ⎡

⎢

⎣

2 1

2 -2

⎤

�

⎦

y C = ⎡

⎢

⎣

-3 3 4

1 ⎤

�

⎦

.

11. A + B 12. B - C

13. B - A 14. A + B + C

15. 3B 16. -5C

17. A - 4C 18. 2B + 3A


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4-2 PrácticaOperaciones con matrices

Realiza las operaciones indicadas. Si la matriz no existe, escribe imposible.

1. ⎡

⎢

⎣

2

3

14

-1

7 -9

⎤

�

⎦ +

⎡

⎢

⎣ -6

7 -8

9

-11

17 ⎤ �

⎦ 2.

⎡

⎢

⎣

4

-71

18 ⎤ �

⎦ -

⎡

⎢

⎣ -67

45 -24

⎤

�

⎦

3. -3 ⎡

⎢ ⎣ -1

17

0 -11

⎤

� ⎦ + 4

⎡

⎢ ⎣ -3 -21

16 12

⎤

� ⎦ 4. 7

⎡ ⎢ ⎣ 2 4

-1 7

8 9 ⎤ �

⎦ - 2

⎡

⎢ ⎣ -1

7 4

2 -3

-6 ⎤

� ⎦

5. -2 ⎡

⎢ ⎣ 1 2 ⎤

� ⎦ + 4

⎡

⎢ ⎣ 0 5 ⎤ � ⎦ -

⎡

⎢ ⎣ 10 18

⎤

� ⎦ 6. 3 −

4 ⎡

⎢ ⎣ 8 -16

12 20

⎤ �

⎦ + 2 −

3 ⎡ ⎢ ⎣ 27 54

-9 -18

⎤

� ⎦

Usa las matrices A = ⎡

⎢

⎣

4 -3

-1 6 0

2 ⎤

�

⎦

, B = ⎡

⎢

⎣

-2 1 4

0 5

9 ⎤

�

⎦

y C = ⎡

⎢

⎣

10 -6

-8 -4

6 20

⎤

�

⎦

para calcular lo siguiente.

7. A - B 8. A - C

9. -3B 10. 4B - A

11. -2B - 3C 12. A + 0.5C

13. ECONOMÍA Usa la tabla que muestra los préstamos dados por una junta de desarrollo económico a mujeres y hombres que comienzan negocios nuevos.

a. Escribe dos matrices que representen el número de negocios nuevos y las cantidades de los préstamos, una para mujeres y otra para hombres.

b. Calcula la suma de los números de negocios nuevos y de las cantidades de préstamos tanto para hombres como mujeres, en un período de tres años y exprésalos como una matriz.

14. NUTRICIÓN PARA MASCOTAS Usa la tabla que muestra la información nutricional para dos tipos de comida para perros. Calcula la diferencia en el porcentaje de proteína, grasa y fibra entre la Mezcla B y la Mezcla A expresadas como una matriz.

Mujeres Hombres

NegociosCantidad del

préstamo ($)Negocios

Cantidad del

préstamo ($)

2003 27 $567,000 36 $864,000

2004 41 $902,000 32 $672,000

2005 35 $777,000 28 $562,000

% Proteína % Grasa % Fibra

Mezcla A 22 12 5

Mezcla B 24 8 8


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4-3 Práctica de destrezasMultiplica matrices

Determina si el producto de cada matriz está definido. Si lo está, indica las dimensiones del producto.

1. A2 × 5 · B5 × 1 2. M1 × 3 · N3 × 2

3. B3 × 2 · A3 × 2 4. R4 × 4 · S4 × 1

5. X3 × 3 · Y3 × 4 6. A6 × 4 · B4 × 5

Calcula cada producto si es posible.

7. [3 2] · ⎡

⎢ ⎣ 2 1

⎤

� ⎦ 8.

⎡ ⎢

⎣ 5 2 6

1 ⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 2 3 -5

1 ⎤

� ⎦

9. ⎡ ⎢

⎣ 1 -1

3 1 ⎤

� ⎦ ·

⎡ ⎢ ⎣ 3 -2

⎤

� ⎦ 10.

⎡ ⎢

⎣ 3 -2

⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 1 -1

3 1 ⎤

� ⎦

11. [-3 4] · ⎡

⎢ ⎣ 0 2 -1

2 ⎤

� ⎦ 12.

⎡ ⎢

⎣ -1

3 ⎤

� ⎦ · [2 -3 -2]

13. ⎡ ⎢

⎣

5

6

-3 ⎤

�

⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 4 8 ⎤

� ⎦ 14.

⎡ ⎢

⎣

2

4

-3

-2

5

1 ⎤

�

⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 0 3 3

0 ⎤ �

⎦

15. ⎡ ⎢

⎣ -4

-2 2

4 1

3 ⎤

�

⎦ ·

⎡ ⎢ ⎣ 3 0 -3

2 ⎤

� ⎦ 16.

⎡ ⎢

⎣ 0 1 1

1 1

0 ⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢

⎣ 2 2

2 ⎤ �

⎦

Usa A = ⎡

⎢

⎣

2 2 1

1 ⎤

�

⎦

, B = ⎡

⎢

⎣

-3 5 2

1 ⎤

�

⎦

, C = ⎡

⎢

⎣

3 1 -1

0 ⎤

�

⎦

y c = 2 para determinar si las

siguientes ecuaciones se cumplen para las matrices dadas.

17. c (AC) = A(cC) 18. AB = BA

19. B(A + C) = AB + BC 20. c (A - B) = cA - cB


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PrácticaMultiplica matrices

Determina si cada producto de matrices está definido. Si es así, indica las dimensiones del producto.

1. A7 × 4 · B4 × 3 2. A3 × 5 · M5 × 8 3. M2 × 1 · A1 × 6

4. M3 × 2 · A3 × 2 5. P1 × 9 · Q9 × 1 6. P9 × 1 · Q1 × 9

Calcula cada producto si es posible.

7. ⎡ ⎢

⎣ 2 3 4

-1 ⎤

� ⎦ ·

⎡ ⎢ ⎣ 3 6 -2

0 7

-5 ⎤

� ⎦ 8.

⎡ ⎢

⎣ 2 7 4

-1 ⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ -3

2 0

5 ⎤

� ⎦

9. ⎡ ⎢

⎣ -3

2 0

5 ⎤

� ⎦ ·

⎡ ⎢ ⎣ 2 7 4

-1 ⎤

� ⎦ 10.

⎡ ⎢

⎣ 3 6 -2

0 7

-5 ⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 3 6 -2

0 7

-5 ⎤

� ⎦

11. [4 0 2] · ⎡

⎢

⎣

1

3

-1 ⎤

�

⎦ 12.

⎡ ⎢

⎣

1

3

-1 ⎤

�

⎦ · [4 0 2]

13. ⎡ ⎢

⎣ -6

3 2

-1 ⎤

� ⎦ ·

⎡

⎢ ⎣ 5 0

0 5 ⎤

� ⎦ 14. [-15 -9] ·

⎡ ⎢ ⎣ 6 23

11 -10

⎤

� ⎦

Usa A = ⎡

⎢

⎣

1 3 3

1 ⎤

�

⎦

, B = ⎡

⎢

⎣

4 -2

0 -1

⎤

�

⎦

, C = ⎡

⎢

⎣

-1 0 0

-1 ⎤

�

⎦

y c = 3 para determinar si las siguientes

ecuaciones son verdaderas para las matrices dadas.

15. AC = CA 16. A(B + C) = BA + CA

17. (AB)c = c(AB) 18. (A + C)B = B(A + C)

19. ALQUILERES Para sus vacaciones de una semana, los Montoya pueden alquilar un condominio de 2 habitaciones por $1796, un condominio de 3 habitaciones por $2165 o un condominio de 4 habitaciones por $2538. La tabla muestra el número de unidades en cada uno de los tres complejos.

a. Escribe una matriz que represente el número de cada tipo de unidad disponible en cada complejo y una matriz que represente la tarifa semanal para cada tipo de unidad.

b. Si todas las unidades en los tres complejos se alquilan por semana a las tarifas dadas a los Montoya, expresa como una matriz el ingreso de cada uno de los tres complejos.

c. ¿Cuál es el ingreso total de los tres complejos por semana?

2 habitaciones 3 habitaciones 4 habitaciones

Sun Haven 36 24 22

Surfside 29 32 42

Seabreeze 18 22 18

4-3


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1. El triángulo ABC con vértices A(2, 3), B(0, 4) y C(-3, -3) se traslada 3 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo.

a. Escribe la matriz de traslación.

b. Calcula las coordenadas de A'B'C'.

c. Grafica la imagen original y la imagen.

2. Los vértices de RST son R(-3, 1), S(2, -1) y T(1, 3). El triángulo se dilata de manera que su perímetro es el doble del perímetro original.

a. Escribe las coordenadas de RST en una matriz vértice.

b. Calcula las coordenadas de la imagen R'S'T '.

c. Grafica RST y R'S'T '.

3. Los vértices de DEF son D(4, 0), E(0, -1) y F(2, 3). El triángulo se refleja sobre el eje x.

a. Escribe las coordenadas de DEF en una matriz vértice.

b. Escribe la matriz de reflexión de esta situación.

c. Calcula las coordenadas de D'E'F '.

d. Grafica DEF y D'E'F '.

4. El triángulo XYZ con vértices X(1, -3), Y(-4, 1) y Z(-2, 5) se rota 180° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen.

a. Escribe las coordenadas de XYZ en una matriz vértice.

b. Escribe la matriz de rotación de esta situación.

c. Calcula las coordenadas de X'Y'Z'.

d. Grafica la imagen original y la imagen.

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Práctica de destrezasTransformaciones con matrices

4-4


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c.



1. El cuadrilátero WXYZ con vértices W(-3, 2), X(-2, 4), Y(4, 1) y Z(3, 0) se traslada 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

a. Escribe la matriz de traslación.

b. Calcula las coordenadas del cuadrilátero W' X' Y' Z'.

c. Grafica la imagen original y la imagen.

2. Los vértices de RST son R(6, 2), S(3, -3) y T(-2, 5). El triángulo se dilata de manera que su perímetro es la mitad del perímetro original.

a. Escribe las coordenadas de los vértices de RST en una matriz.

b. Halla las coordenadas de la imagen R'S'T '.

c. Grafica RST y R'S'T '.

3. Los vértices del cuadrilátero ABCD son A(-3, 2), B(0, 3), C(4, -4) y D(-2, -2). El cuadrilátero se refleja sobre el eje y.

a. Escribe las coordenadas de los vértices de ABCD en una matriz.

b. Escribe la matriz de reflexión para esta situación.

c. Halla las coordenadas de A'B'C'D'.

d. Grafica ABCD y A'B'C'D'.

4. ARQUITECTURA Usando un programa de diseño arquitectónico, los Bradley trazan el plano de su cocina en una cuadrícula donde cada unidad representa 1 pie. Colocan las esquinas de una isla en (2,8), (8,11), (3,5) y (9,8). Si los Bradley desean mover la isla 1.5 pies hacia la derecha y 2 pies hacia abajo, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas de sus esquinas?

5. NEGOCIOS El diseño del logo de un negocio requiere colocar los vértices de un triángulo en (1.5,5),(4,1) y (1,0) en una cuadrícula. Si los cambios del diseño requieren rotar 90° el triángulo en el sentido contrario de las manecillas del reloj, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas de los vértices?

x

y

O

x

y

O

x

y

O

4-4 PrácticaTransformaciones con matrices


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Evalúa cada determinante.

1. ⎪ 5 1 2

3 ⎥ 2. ⎪ 10

5 9

8 ⎥ 3. ⎪ 1

1 6

7 ⎥

4. ⎪ 2 3 5

1 ⎥ 5. ⎪ 0

5 9

8 ⎥ 6. ⎪ 3

2 12

8 ⎥

7. ⎪ -5 8 2

-6 ⎥ 8. ⎪ -3

8 1

-7 ⎥ 9. ⎪ 9

-4 -2

1 ⎥

10. ⎪ 1 1 -5

6 ⎥ 11. ⎪ 1

-3 -3

4 ⎥ 12. ⎪ -12

1 4

4 ⎥

13. ⎪ 3 6 -5

-11 ⎥ 14. ⎪ -1

5 -3

-2 ⎥ 15. ⎪ -1

5 -14

2 ⎥

16. ⎪ -1 0 2

4 ⎥ 17. ⎪ 2

-1 2

4 ⎥ 18. ⎪ -1

2 6

5 ⎥

Evalúa cada determinante usando diagonales.

19. ⎪ 2 3

2

-1

2

3

1

-1

-2 ⎥ 20. ⎪ 6

5

1

-1

2

3

1

-1

-2 ⎥ 21. ⎪ 2

3

2

6 5

1

1

-1

-2 ⎥

22. ⎪ 2 3

2

-1

2

3

6 5

1 ⎥ 23. ⎪ 3

1

3 -1

0 -2

2 4

0 ⎥ 24. ⎪ 3

1

3

2

-1

-1

2 4

0 ⎥

Práctica de destrezasDeterminantes y la regla de Cramer

4-5


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Evalúa cada determinante.

1. ⎪ 1 2 6

7 ⎥ 2. ⎪ 9

3 6

2 ⎥ 3. ⎪ 4

-2 1

-5 ⎥

4. ⎪ -14 2 -3

-2 ⎥ 5. ⎪ 4

-12 -3

4 ⎥ 6. ⎪ 2

5 -5

-11 ⎥

7. ⎪ 3 3.75

-4 5 ⎥ 8. ⎪ 2

3 -1

-9.5 ⎥ 9. ⎪ 0.5

0.4 -0.7

-0.3 ⎥

Evalúa cada determinante usando ampliación por diagonales.

10. ⎪ -2

0

2

3

4

5

1

-3

-1 ⎥ 11. ⎪ 2

3 -1

-4

0 5

1

9 7

⎥ 12. ⎪ 2 1

1

1

-1

1

1

-2

-1 ⎥

13. ⎪ 0 2

3

-4

-1

-2

0 1

5 ⎥ 14. ⎪ 2

8

1

7

4

-1

-6

0

3 ⎥ 15. ⎪ -12

7 4

0 5

2

3

-1

-6 ⎥

Usa la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones.

16. 4x - 2y = -4 17. 5x + 4y = 10 18. -2x - 3y = -14

3x + y = 18 -3x - 2y = -8 4x - y = 0

19. 6x + 6y = 9 20. 5x - 6 = 3y 21. x − 2 +

y −

4 = 2

4x - 4y = -42 5y = 54 + 3x x − 4 -

y −

6 = -6

25. GEOMETRÍA Calcula el área de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas (3, 5), (6, -5) y (-4, 10).

26. ADMINISTRACIÓN DE TIERRAS Una organización administrativa de peces y vida silvestre usa un SIG (sistema de información geográfica) para almacenar y analizar datos sobre las parcelas de tierra que administra. Todas las parcelas se trazan en una cuadrícula en la cual 1 unidad representa 1 acre. Si las coordenadas de las esquinas de una parcela son (-8, 10), (6, 17) y (2, -4), ¿cuántos acres tiene la parcela?

PrácticaDeterminantes y la regla de Cramer

4-5


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Determina si cada par de matrices es inverso.

1. X = ⎡ ⎢

⎣ 1 1 0

1 ⎤ �

⎦ , Y =

⎡ ⎢

⎣ -1

1 0

1 ⎤ �

⎦ 2. P =

⎡ ⎢

⎣ 2 1 3

1 ⎤ �

⎦ , Q =

⎡ ⎢

⎣ -1

1 3

-2 ⎤ �

⎦

3. M = ⎡ ⎢

⎣ -1

0 0

3 ⎤ �

⎦ , N =

⎡ ⎢

⎣ -1

0 0

-3 ⎤ �

⎦

4. A = ⎡ ⎢

⎣ -2 -1

5 2 ⎤ �

⎦ , B =

⎡ ⎢

⎣ 2 1 -5

-2 ⎤ �

⎦

5. V = ⎡ ⎢

⎣ 0 -7

7 0 ⎤ �

⎦ , W =

⎡

⎢

⎣

0 1 − 7

- 1 − 7

0

⎤

�

⎦

6. X = ⎡ ⎢

⎣ -1

1 4

2 ⎤ �

⎦ , Y =

⎡

⎢

⎣

- 1 −

3

1 − 6

2 − 3

1 − 6

⎤

�

⎦

7. G = ⎡ ⎢

⎣ 4 1 -3

2 ⎤ �

⎦ , H =

⎡

⎢

⎣

2 − 11

- 1 − 11

3 − 11

4 − 11

⎤

�

⎦

8. D = ⎡ ⎢

⎣ -4 -4

-4 4 ⎤ �

⎦ , E =

⎡ ⎢

⎣ -0.125 -0.125

-0.125 -0.125

⎤ �

⎦

Calcula el inverso de cada matriz, si existe.

9. ⎡ ⎢

⎣ 0 4 2

0 ⎤ �

⎦

10. ⎡ ⎢

⎣ 1 3 1

2 ⎤ �

⎦

11. ⎡ ⎢

⎣ 9 6 3

2 ⎤ �

⎦

12. ⎡ ⎢

⎣ -2

6 -4

0 ⎤ �

⎦

13. ⎡ ⎢

⎣ 1 3 -1

3 ⎤ �

⎦ 14.

⎡ ⎢

⎣ 3 -1

6 -2

⎤ �

⎦

Usa una ecuación matricial para resolver cada sistema de ecuaciones.

15. p - 3q = 6 16. -x - 3y = 22p + 3q = -6 -4x - 5y = 1

17. 2m + 2n = -8 18. -3a + b = -96m + 4n = -18 5a - 2b = 14

Práctica de destrezasMatrices inversas y sistemas de ecuaciones

4-6


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Determina si cada par de matrices son inversas.

1. M = ⎡ ⎢

⎣ 2 3

1 2

⎤ �

⎦ , N =

⎡ ⎢

⎣ -2

3 1

-2 ⎤ �

⎦ 2. X =

⎡ ⎢

⎣ -3

5 2

-3 ⎤ �

⎦ , Y =

⎡ ⎢

⎣ 3 5 2

3 ⎤ �

⎦

3. A = ⎡ ⎢

⎣ 3 -4

1 2 ⎤ �

⎦ , B =

⎡

⎢

⎣

1 − 5

2 − 5

- 1 − 10

3 − 10

⎤

�

⎦

4. P = ⎡ ⎢

⎣ 6 -2

-2 3 ⎤ �

⎦ , Q =

⎡

⎢

⎣

3 − 14

1 − 7

1 − 7

3 − 7

⎤

�

⎦

Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

5. Todas las matrices cuadradas tienen inversos multiplicativos.

6. Todas las matrices cuadradas tienen identidades multiplicativas.

Calcula el inverso de cada matriz, si existe.

7. ⎡ ⎢

⎣ 4 -4

5 -3

⎤ �

⎦ 8.

⎡ ⎢

⎣ 2 3 0

5 ⎤ �

⎦

9. ⎡ ⎢

⎣ -1

4 3

-7 ⎤ �

⎦ 10.

⎡ ⎢

⎣ 2 -1

5 3 ⎤ �

⎦

11. ⎡ ⎢

⎣ 2 3

-5 1

⎤ �

⎦ 12.

⎡ ⎢

⎣ 4 6 6

9 ⎤ �

⎦

13. GEOMETRÍA Usa la figura a la derecha.

a. Escribe la matriz A con los vértices del rectángulo.

b. Usa la multiplicación de matrices para calcular BA si

B = ⎡ ⎢

⎣ 1.5

0 0

1.5 ⎤ �

⎦ .

c. Grafica los vértices del cuadrilátero transformado de la gráfica anterior. Describe la transformación.

d. Haz una conjetura sobre qué transformación describe B-1 en un plano de coordenadas.

14. CÓDIGOS Usa la siguiente tabla alfabética y el inverso de la matriz de codificación

C = ⎡ ⎢

⎣ 1 2 2

1 ⎤ �

⎦ para descifrar este mensaje en inglés:

19 | 14 | 11 | 13 | 11 | 22 | 55 | 65 | 57 | 60 | 2 | 1 | 52 | 47 | 33 | 51 | 56 | 55.

CÓDIGO

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7

H 8 I 9 J 10 K 11 L 12 M 13 N 14

O 15 P 16 Q 17 R 18 S 19 T 20 U 21

V 22 W 23 X 24 Y 25 Z 26 – 0

x

y

O

(2, –1)

(1, 2)

(4, 4)

(5, 1)

4-6 PrácticaMatrices inversas y sistemas de ecuaciones


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5-1 Práctica de destrezasGrafica funciones cuadráticas

Completa las partes a, b y c para cada función cuadrática.a. Calcula la intersección y, la ecuación del eje de simetría y la coordenada x

del vértice.b. Haz una tabla de valores que incluya al vértice.c. Usa esta información para graficar la función.

1. f(x) = -2x2 2. f(x) = x2 - 4x + 4 3. f(x) = x2 - 6x + 8

Determina si cada función tiene un valor máximo o un valor mínimo y calcula ese valor. Luego, determina el dominio y el rango de la función.

4. f(x) = 6x2 5. f(x) = -8x2 6. f(x) = x2 + 2x

7. f(x) = -2x2 + 4x - 3 8. f(x) = 3x2 + 12x + 3 9. f(x) = 2x2 + 4x + 1

10. f(x) = 3x2 11. f(x) = x2 + 1 12. f(x) = -x2 + 6x - 15

13. f(x) = 2x2 - 11 14. f(x) = x2 - 10x + 5 15. f(x) = -2x2 + 8x + 7

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)


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5-1 PrácticaGrafica funciones cuadráticas

Completa las partes a a la c para cada función cuadrática. a. Calcula la intersección y, la ecuación del eje de simetría y la coordenada x del

vértice.b. Haz una tabla de valores que incluya el vértice.c. Usa esta información para graficar la función.

1. f(x) = x2 - 8x + 15 2. f(x) = -x2 - 4x + 12 3. f(x) = 2x2 - 2x + 1

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

Determina si cada función tiene un valor máximo o mínimo y calcula este valor. Luego, indica el dominio y rango de la función.

4. f (x) = x2 + 2x - 8 5. f (x) = x2 - 6x + 14 6. v(x) = -x2 + 14x - 57

7. f (x) = 2x2 + 4x - 6 8. f (x) = -x2 + 4x - 1 9. f (x) = - 2 − 3 x2 + 8x - 24

10. GRAVEDAD A 4 pies por encima de una piscina, Susan lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 32 pies por segundo. La altura h(t) de la pelota, t segundos después de que Susan la lanza viene dada por h(t) = -16t2 + 32t + 4. Para t ≥ 0, calcula la altura máxima alcanzada por la pelota y el tiempo en que se alcanza esta altura.

11. CLUBES DE SALUD El año pasado, el club atlético Sports Time cobraba $20 por participar en una clase de aeróbicos. Setenta personas asistieron a las clases. Este año, el club desea aumentar el precio de la clase. Esperan perder un cliente por cada aumento de $1 en el precio.

a. ¿Qué precio debería cobrar el club para maximizar el ingreso de las clases de aeróbicos?

b. ¿Cuál es el ingreso máximo que el club atlético SportsTime espera obtener?


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Práctica de destrezasGrafica para resolver ecuaciones cuadráticas

5-2

Usa la gráfica relacionada de cada ecuación para determinar sus soluciones.

1. x2 + 2x - 3 = 0 2. -x2 - 6x - 9 = 0 3. 3x2 + 4x + 3 = 0

x

f (x)

O

-2

-4

2-2-4 4

2

f(x) = x2 + 2x - 3

x

f (x)

O

-2

-4

-6

-8

-2-6 -4

f(x) = -x2 - 6x - 9

xO

f(x) = 3x2 + 4x + 3

12

8

4

–2–4–6

f (x)

Resuelve cada ecuación. Si no puedes calcular raíces exactas, indica los enteros consecutivos entre los cuales se ubican las raíces.

4. x2 - 6x + 5 = 0 5. -x2 + 2x - 4 = 0 6. x2 - 6x + 4 = 0

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

7. -x2 - 4x = 0 8. -x2 + 36 = 0

xO

f (x)

xO

f (x)


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5-2 PrácticaGrafica para resolver ecuaciones cuadráticas

Usa la gráfica relacionada de cada ecuación para determinar sus soluciones.

1. -3x2 + 3 = 0 2. 3x2 + x + 3 = 0 3. x2 - 3x + 2 = 0

xO-2

-2

-4

-4 2

2

f (x)4

xO-2-4 2

2

4

6

8

4

f (x)

xO-2-4 2

2

4

6

8

4

f (x)

Resuelve cada ecuación. Si no se pueden calcular raíces exactas, indica los enteros consecutivos entre los cuales se ubican las raíces. 4. -2x2 - 6x + 5 = 0 5. x2 + 10x + 24 = 0 6. 2x2 - x - 6 = 0

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

7. -x2 + x + 6 = 0 8. -x2 + 5x - 8 = 0

xO

f (x)

xO

f (x)

9. GRAVEDAD Usa la fórmula h(t) = v0t - 16t2, donde h(t) es la altura de un cuerpo en pies, v0 es la rapidez inicial del cuerpo en pies por segundo y t es el tiempo en segundos.

a. Martha lanza una pelota de béisbol con una rapidez inicial ascendente de 60 pies por segundo. Ignorando la estatura de Martha, ¿cuánto tiempo después de que ella suelta la pelota, ésta llegará al suelo?

b. Una erupción volcánica lanza una roca hacia arriba con una rapidez inicial de 240 pies por segundo. ¿Cuánto le tomará a la roca llegar al suelo si cae a la misma elevación desde donde fue lanzada?


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5-3 Práctica de destrezasFactoriza para resolver ecuaciones cuadráticas

Escribe una ecuación cuadrática con las raíces dadas. Escribe la ecuación en forma estándar.

1. 1, 4 2. 6, -9

3. -2, -5 4. 0, 7

5. - 1 − 3 , -3 6. - 1 −

2 , 3 −

4

Factoriza cada polinomio.

7. m2 + 7m - 18 8. 2x2 - 3x - 5

9. 4z2 + 4z - 15 10. 4p2 + 4p - 24

11. 3y2 + 21y + 36 12. c2 - 100

Factoriza para resolver cada ecuación.

13. x2 = 64 14. x2 - 100 = 0

15. x2 - 3x + 2 = 0 16. x2 - 4x + 3 = 0

17. x2 + 2x - 3 = 0 18. x2 - 3x - 10 = 0

19. x2 - 6x + 5 = 0 20. x2 - 9x = 0

21. x2 - 4x = 21 22. 2x2 + 5x - 3 = 0

23. 4x2 + 5x - 6 = 0 24. 3x2 - 13x - 10 = 0

25. TEORÍA DE NÚMEROS Calcula dos enteros consecutivos cuyo producto sea 272.


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5-3 PrácticaFactoriza para resolver ecuaciones cuadráticas

Escribe una ecuación cuadrática en forma estándar con las raíces dadas.

1. 7, 2 2. 0, 3 3. -5, 8

4. -7, -8 5. -6, -3 6. 3, -4

7. 1, 1 − 2 8. 1 −

3 , 2 9. 0, - 7 −

2

Factoriza cada polinomio.

10. r3 + 3r2 - 54r 11. 8a2 + 2a - 6 12. c2 - 49

13. x3 + 8 14. 16r2 - 169 15. b4 - 81

Factoriza para resolver cada ecuación.

16. x2 - 4x - 12 = 0 17. x2 - 16x + 64 = 0

18. x2 - 6x + 8 = 0 19. x2 + 3x + 2 = 0

20. x2 - 4x = 0 21. 7x2 = 4x

22. 10x2 = 9x 23. x2 = 2x + 99

24. x2 + 12x = -36 25. 5x2 - 35x + 60 = 0

26. 36x2 = 25 27. 2x2 - 8x - 90 = 0

28. TEORÍA DE NÚMEROS Calcula dos enteros pares positivos consecutivos cuyo producto es 624.

29. TEORÍA DE NÚMEROS Calcula dos enteros impares positivos consecutivos cuyo producto es 323.

30. GEOMETRÍA El largo de un rectángulo es 2 pies más que su ancho. Calcula las dimensiones del rectángulo si su área es 63 pies cuadrados.

31. FOTOGRAFÍA El largo y ancho de una fotografía de 6 pulgadas por 8 pulgadas se reducen en la misma cantidad para hacer una fotografía nueva cuya área es la mitad de la original. ¿En cuántas pulgadas tendrán que reducirse las dimensiones de la fotografía?


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Simplifica.

1. √ �� 99 2. √ �� 27 − 49

3. √ �� 52x3y5 4. √ �� -108x7

5. √ �� -81x6 6. √ �� -23 � √ �� -46

7. (3i)(-2i)(5i) 8. i11

9. i65 10. (7 - 8i) + (-12 - 4i)

11. (-3 + 5i) + (18 - 7i) 12. (10 - 4i) - (7 + 3i)

13. (7 - 6i)(2 - 3i) 14. (3 + 4i)(3 - 4i)

15. 8 - 6i − 3i

16. 3i − 4 + 2i

Resuelve cada ecuación.

17. 3x2 + 3 = 0 18. 5x2 + 125 = 0

19. 4x2 + 20 = 0 20. -x2 - 16 = 0

21. x2 + 18 = 0 22. 8x2 + 96 = 0

Calcula los valores de � y m que satisfacen cada ecuación.

23. 20 - 12i = 5� + (4m)i 24. � - 16i = 3 - (2m)i

25. (4 + �) + (2m)i = 9 + 14i 26. (3 - m) + (7� - 14)i = 1 + 7i

Práctica de destrezasNúmeros complejos

5-4


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Simplifica.

1. √ �� -36 2. √ �� -8 � √ �� -32 3. √ �� -15 � √ �� -25

4. (-3i) (4i)(-5i) 5. (7i)2(6i) 6. i42

7. i55 8. i89 9. (5 - 2i) + (-13 - 8i)

10. (7 - 6i) + (9 + 11i) 11. (-12 + 48i) + (15 + 21i) 12. (10 + 15i) - (48 - 30i)

13. (28 - 4i) - (10 - 30i) 14. (6 - 4i) (6 + 4i) 15. (8 - 11i) (8 - 11i)

16. (4 + 3i) (2 - 5i) 17. (7 + 2i) (9 - 6i) 18. 6 + 5i − -2i

19. 2 − 7 - 8i

20. 3 - i − 2 - i

21. 2 - 4i − 1 + 3i


22. 5n2 + 35 = 0 23. 2m2 + 10 = 0

24. 4m2 + 76 = 0 25. -2m2 - 6 = 0

26. -5m2 - 65 = 0 27. 3 − 4 x2 + 12 = 0

Calcula los valores de ℓ y m que hacen verdadera cada ecuación.

28. 15 - 28i = 3ℓ + (4m)i 29. (6 - ℓ) + (3m)i = -12 + 27i

30. (3ℓ + 4) + (3 - m)i = 16 - 3i 31. (7 + m) + (4ℓ - 10)i = 3 - 6i

32. ELECTRICIDAD La impedancia en una parte de un circuito en serie es 1 + 3j ohmios y la impedancia en otra parte del circuito es 7 - 5j ohmios. Suma estos números complejos para calcular la impedancia total en el circuito.

33. ELECTRICIDAD Usando la fórmula E = IZ, calcula el voltaje E en un circuito cuando la corriente I es 3 - j amperios y la impedancia Z es 3 + 2j ohmios.

PrácticaNúmeros complejos

5-4


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Resuelve cada ecuación usando la propiedad de la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana si es necesario.

1. x2 - 8x + 16 = 1 2. x2 + 4x + 4 = 1

3. x2 + 12x + 36 = 25 4. 4x2 - 4x + 1 = 9

5. x2 + 4x + 4 = 2 6. x2 - 2x + 1 = 5

7. x2 - 6x + 9 = 7 8. x2 + 16x + 64 = 15

Calcula el valor de c que convierte cada trinomio en un cuadrado perfecto. Luego, escribe el trinomio como un cuadrado perfecto.

9. x2 + 10x + c 10. x2 - 14x + c

11. x2 + 24x + c 12. x2 + 5x + c

13. x2 - 9x + c 14. x2 - x + c

Resuelve cada ecuación completando cuadrados.

15. x2 - 13x + 36 = 0 16. x2 + 3x = 0

17. x2 + x - 6 = 0 18. x2 - 4x - 13 = 0

19. 2x2 + 7x - 4 = 0 20. 3x2 + 2x - 1 = 0

21. x2 + 3x - 6 = 0 22. x2 - x - 3 = 0

23. x2 = -11 24. x2 - 2x + 4 = 0

Práctica de destrezasCompleta el cuadrado

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Resuelve cada ecuación usando la propiedad de la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana si es necesario.

1. x2 + 8x + 16 = 1 2. x2 + 6x + 9 = 1 3. x2 + 10x + 25 = 16

4. x2 - 14x + 49 = 9 5. 4x2 + 12x + 9 = 4 6. x2 - 8x + 16 = 8

7. x2 - 6x + 9 = 5 8. x2 - 2x + 1 = 2 9. 9x2 - 6x + 1 = 2

Calcula el valor de c que hace a cada trinomio un cuadrado perfecto. Luego, escribe el trinomio como un cuadrado perfecto.

10. x2 + 12x + c 11. x2 - 20x + c 12. x2 + 11x + c

13. x2 + 0.8x + c 14. x2 - 2.2x + c 15. x2 - 0.36x + c

16. x2 + 5 − 6 x + c 17. x2 - 1 −

4 x + c 18. x2 - 5 −

3 x + c

Resuelve cada ecuación completando cuadrados.

19. x2 + 6x + 8 = 0 20. 3x2 + x - 2 = 0 21. 3x2 - 5x + 2 = 0

22. x2 + 18 = 9x 23. x2 - 14x + 19 = 0 24. x2 + 16x - 7 = 0

25. 2x2 + 8x - 3 = 0 26. x2 + x - 5 = 0 27. 2x2 - 10x + 5 = 0

28. x2 + 3x + 6 = 0 29. 2x2 + 5x + 6 = 0 30. 7x2 + 6x + 2 = 0

31. GEOMETRÍA Cuando las dimensiones de un cubo se reducen 4 pulgadas en cada lado, el área de la superficie del cubo nuevo es de 864 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles eran las dimensiones del cubo original?

32. INVERSIONES La cantidad de dinero A en una cuenta en que P dólares se invirtieron por 2 años viene dada por la fórmula A = P(1 + r)2, donde r es la tasa anual de interés compuesto. Si una inversión de $800 en la cuenta crece hasta $882 en dos años, ¿a qué tasa de interés se invirtió?

PrácticaCompleta el cuadrado

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Completa las partes a a la c para cada ecuación cuadrática.a. Calcula el valor del discriminante.b. Describe el número y el tipo de raíces.c. Calcula las soluciones exactas usando la fórmula cuadrática.

1. x2 - 8x + 16 = 0 2. x2 - 11x - 26 = 0

3. 3x2 - 2x = 0 4. 20x2 + 7x - 3 = 0

5. 5x2 - 6 = 0 6. x2 - 6 = 0

7. x2 + 8x + 13 = 0 8. 5x2 - x - 1 = 0

9. x2 - 2x - 17 = 0 10. x2 + 49 = 0

11. x2 - x + 1 = 0 12. 2x2 - 3x = -2

Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

13. x2 = 64 14. x2 - 30 = 0

15. x2 - x = 30 16. 16x2 - 24x - 27 = 0

17. x2 - 4x - 11 = 0 18. x2 - 8x - 17 = 0

19. x2 + 25 = 0 20. 3x2 + 36 = 0

21. 2x2 + 10x + 11 = 0 22. 2x2 - 7x + 4 = 0

23. 8x2 + 1 = 4x 24. 2x2 + 2x + 3 = 0

25. PARACAIDISMO Sin tomar en cuenta la resistencia del viento, la distancia d(t) en pies que cae un paracaidista en t segundos se puede estimar usando la fórmula d(t) = 16t2. Si una paracaidista salta de un avión y cae 1100 pies antes de abrir su paracaídas, ¿cuántos segundos pasaron antes de abrir su paracaídas?

Práctica de destrezasLa fórmula cuadrática y el discriminante

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Resuelve cada ecuación usando la fórmula cuadrática.

1. 7x2 - 5x = 0 2. 4x2 - 9 = 0

3. 3x2 + 8x = 3 4. x2 - 21 = 4x

5. 3x2 - 13x + 4 = 0 6. 15x2 + 22x = -8

7. x2 - 6x + 3 = 0 8. x2 - 14x + 53 = 0

9. 3x2 = -54 10. 25x2 - 20x - 6 = 0

11. 4x2 - 4x + 17 = 0 12. 8x - 1 = 4x2

13. x2 = 4x - 15 14. 4x2 - 12x + 7 = 0

Completa las partes a a la c para cada ecuación cuadrática. a. Calcula el valor del discriminante.b. Describe el número y tipo de raíces.c. Calcula las soluciones exactas usando la fórmula cuadrática.

15. x2 - 16x + 64 = 0 16. x2 = 3x 17. 9x2 - 24x + 16 = 0

18. x2 - 3x = 40 19. 3x2 + 9x - 2 = 0 20. 2x2 + 7x = 0

21. 5x2 - 2x + 4 = 0 22. 12x2 - x - 6 = 0 23. 7x2 + 6x + 2 = 0

24. 12x2 + 2x - 4 = 0 25. 6x2 - 2x - 1 = 0 26. x2 + 3x + 6 = 0

27. 4x2 - 3x2 - 6 = 0 28. 16x2 - 8x + 1 = 0 29. 2x2 - 5x - 6 = 0

30. GRAVEDAD La altura de un cuerpo h(t) en pies t segundos después de ser lanzado hacia arriba desde el suelo con una rapidez inicial de 60 pies por segundo se modela con la ecuación h(t) = -16t2 + 60t. ¿En qué tiempos estará el cuerpo a una altura de 56 pies?

31. DISTANCIA DE FRENADO La fórmula d = 0.05s2 + 1.1s estima la mínima distancia de frenado d en pies para un carro que viaja a s millas por hora. Si un carro se detiene en 200 pies, ¿a qué rapidez máxima pudo haber estado viajando cuando el conductor aplicó los frenos?

PrácticaLa fórmula cuadrática y el discriminante

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5-7 Práctica de destrezasTransformaciones con funciones cuadráticas

Escribe cada función cuadrática en forma de vértice. Luego, identifica el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura.

1. y = (x - 2)2 2. y = -x2 + 4 3. y = x2 - 6

4. y = -3(x + 5)2 5. y = -5x2 + 9 6. y = (x - 2)2 - 18

7. y = x2 - 2x - 5 8. y = x2 + 6x + 2 9. y = -3x2 + 24x

Grafica cada función.

10. y = (x - 3)2 - 1 11. y = (x + 1)2 + 2 12. y = -(x - 4)2 - 4

x

y

O

x

y

O

x

y

O

13. y = - 1 − 2 (x + 2)2 14. y = -3x2 + 4 15. y = x2 + 6x + 4

x

y

O

x

y

O

x

y

O


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5-7 PrácticaTransformaciones con funciones cuadráticas

Escribe cada ecuación en forma de vértice. Luego, identifica el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura. 1. y = -6x2 - 24x - 25 2. y = 2x2 + 2 3. y = -4x2 + 8x

4. y = x2 + 10x + 20 5. y = 2x2 + 12x + 18 6. y = 3x2 - 6x + 5

7. y = -2x2 - 16x - 32 8. y = -3x2 + 18x - 21 9. y = 2x2 + 16x + 29


10. y = (x + 3)2 - 1 11. y = -x2 + 6x - 5 12. y = 2x2 - 2x + 1

x

y

O

x

y

O

x

y

O

13. Escribe una ecuación para la parábola con vértice en (1,3) que pasa por (-2, -15).

14. Escribe una ecuación para la parábola con vértice en (-3, 0) que pasa por (3,18).

15. BÉISBOL La altura h de una pelota t segundos después de ser golpeada está dada por h(t) = -16t2 + 80t + 3. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol y cuándo ocurre esto?

16. ESCULTURA Una escultura moderna en un parque contiene un arco parabólico que empieza en el suelo y alcanza una altura máxima de10 pies cuando la distancia horizontal es de 4 pies. Escribe una función cuadrática en forma de vértice que describa la forma del exterior del arco, donde y es la altura de un punto en el arco y x es su distancia horizontal desde el extremo izquierdo del arco. 10 pies

4 pies


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5-8 Práctica de destrezasDesigualdades cuadráticas


1. y ≥ x2 - 4x + 4 2. y ≤ x2 - 4 3. y > x2 + 2x - 5

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Resuelve cada desigualdad mediante gráficas.

4. x2 - 6x + 9 ≤ 0 5. -x2 - 4x + 32 ≥ 0 6. x2 + x - 10 > 10

x

y

O

8

6

4

2

2–2 4 6

x

y

O

15

5

2 6

–5

–15

-6 -2

Resuelve cada desigualdad algebraicamente.

7. x2 - 3x - 10 < 0 8. x2 + 2x - 35 ≥ 0

9. x2 - 18x + 81 ≤ 0 10. x2 ≤ 36

11. x2 - 7x > 0 12. x2 + 7x + 6 < 0

13. x2 + x - 12 > 0 14. x2 + 9x + 18 ≤ 0

15. x2 - 10x + 25 ≥ 0 16. -x2 - 2x + 15 ≥ 0

17. x2 + 3x > 0 18. 2x2 + 2x > 4

19. -x2 - 64 ≤ -16x 20. 9x2 + 12x + 9 < 0

x

y

O 2

6

-66-2-4-6

18

30

12


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5-8 PrácticaDesigualdades cuadráticas


1. y ≤ x2 + 4 2. y > x2 + 6x + 6 3. y < 2x2 - 4x - 2

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Resuelve cada desigualdad.

4. x2 + 2x + 1 > 0 5. x2 - 3x + 2 ≤ 0 6. x2 + 10x + 7 ≥ 0

7. x2 - x - 20 > 0 8. x2 - 10x + 16 < 0 9. x2 + 4x + 5 ≤ 0

10. x2 + 14x + 49 ≥ 0 11. x2 - 5x > 14 12. -x2 - 15 ≤ 8x

13. -x2 + 5x - 7 ≤ 0 14. 9x2 + 36x + 36 ≤ 0 15. 9x ≤ 12x2

16. 4x2 + 4x + 1 > 0 17. 5x2 + 10 ≥ 27x 18. 9x2 + 31x + 12 ≤ 0

19. CERCA Vanessa tiene 180 pies de cerca que piensa usar para construir un área de juego rectangular para su perro. Quiere que el área de juego encierre al menos 1800 pies cuadrados. ¿Cuáles son los posibles anchos del área de juego?

20. NEGOCIOS Un fabricante de bicicletas vendió 300 bicicletas el año pasado con una utilidad de $300 cada una. El fabricante quiere aumentar el margen de utilidad este año, pero predice que cada aumento de $20 en la utilidad reducirá el número de bicicletas vendidas en 10. ¿Cuántos aumentos de $20 en la utilidad puede agregar el fabricante y esperar tener una utilidad total de al menos $100,000?


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6-1

Simplifica. Supón que ninguna variable es igual a 0.

1. b4 . b3 2. c5 . c2 . c2

3. a-4 . a-3 4. x5 . x-4 . x

5. (2x)2(4y)2 6. -2gh( g3h5)

7. 10x2y3(10xy8) 8. 24w z 7 − 3 w 3 z 5

9. - 6a 4 b c 8 − 36 a 7 b 2 c

10. -10p t 4 r

− -5 p 3 t 2 r

11. (g + 5) + (2g + 7) 12. (5d + 5) - (d + 1)

13. (x2 - 3x - 3) + (2x2 + 7x - 2) 14. (-2f 2 - 3f - 5) + (-2f 2 - 3f + 8)

15. -5(2c2 - d2) 16. x2(2x + 9)

17. (a - 5)2 18. (2x - 3)(3x - 5)

19. (r - 2t)(r + 2t) 20. (3y + 4)(2y - 3)

21. (3 - 2b)(3 + 2b) 22. (3w + 1)2

Práctica de destrezasOperaciones con polinomios


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6-1

Simplifica. Supón que ninguna variable es igual a 0.

1. n5 . n2 2. y7 . y3 . y2

3. t9 . t-8 4. x-4 . x-4 . x4

5. (2f 4)6 6. (-2b-2c3)3

7. (4d2t5v-4)(-5dt-3v-1) 8. 8u(2z)3

9. 12 m 8 y 6

− -9m y 4

10. -6 s 5 x 3 − 18s x 7

11. -27x 3 ( -x 7 ) −

16 x 4 12. ( 2 −

3 r 2 s 3 z 6 )

2

13. -(4w-3z-5)(8w)2 14. (m4n6)4(m3n2p5)6

15. ( 3 − 2 d-f 4)

4 (- 4 − 3 d5f)

3 16. ( 2 x 3 y 2

− - x 2 y 5

) -2

17. ( 3x -2 y 3 )(5x y -8 )

− ( x -3 ) 4 y -2

18. -20( m 2 v) (-v) 3 −

5 (-v) 2 ( -m 4 )

19. (3n2 + 1) + (8n2 - 8) 20. (6w - 11w2) - (4 + 7w2)

21. (w + 2t)(w2 - 2wt + 4t2) 22. (x + y)(x2 - 3xy + 2y2)

23. BANCOS Terry invierte $1500 en dos fondos mutuos. En el primer año, un fondo mutuo crece 3.8% y el otro crece 6%. Escribe un polinomio para representar la cantidad que crecen en ese año, los $1500 de Terry. Sea x la cantidad que invirtió en el fondo con la menor tasa de crecimiento.

24. GEOMETRÍA El área de la base de una caja rectangular mide 2x2 + 4x - 3 unidades cuadradas. La altura de la caja mide x unidades. Halla una expresión polinómica para el volumen de la caja.

PrácticaOperaciones con polinomios


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6-2

Simplifica.

1. 10c + 6 −

2 2. 12x + 20

− 4

3. 15 y 3 + 6 y 2 + 3y

− 3y

4. 12 x 2 - 4x - 8 − 4x

5. (15q6 + 5q2)(5q4)-1 6. (4f 5 - 6f 4 + 12f 3 - 8f 2)(4f 2)-1

7. (6j2k - 9jk2) ÷ 3jk 8. (4a2h2 - 8a3h + 3a4) ÷ (2a2)

9. (n2 + 7n + 10) ÷ (n + 5) 10. (d2 + 4d + 3) ÷ (d + 1)

11. (2t2 + 13t + 15) ÷ (t + 5) 12. (6y2 + y - 2)(2y - 1)-1

13. (4g2 - 9) ÷ (2g + 3) 14. (2x2 - 5x - 4) ÷ (x - 3)

15. u 2 + 5u - 12 − u - 3

16. 2 x 2 - 5x - 4 − x - 3

17. (3v2 - 7v - 10)(v - 4)-1 18. (3t4 + 4t3 - 32t2 - 5t - 20)(t + 4)-1

19. y 3 - y 2 - 6

− y + 2

20. 2 x 3 - x 2 - 19x + 15 −− x - 3

21. (4p3 - 3p2 + 2p) ÷ ( p - 1) 22. (3c4 + 6c3 - 2c + 4)(c + 2)-1

23. GEOMETRÍA El área de un rectángulo es x3 + 8x2 + 13x - 12 unidades cuadradas. El ancho del rectángulo es x + 4 unidades. ¿Cuánto es el largo del rectángulo?

Práctica de destrezasDivide polinomios


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Simplifica.

1. 15 r 10 - 5 r 8 + 40 r 2 −−

5 r 4 2. 6 k 2 m - 12 k 3 m 2 + 9 m 3 −−

2k m 2

3. (-30x3y + 12x2y2 - 18x2y) ÷ (-6x2y) 4. (-6w3z4 - 3w2z5 + 4w + 5z) ÷ (2w2z)

5. (4a3 - 8a2 + a2)(4a)-1 6. (28d3k2 + d2k2 - 4dk2)(4dk2)-1

7. f 2 + 7f + 10

− f + 2

8. 2 x 3 + 3x - 14 − x - 2

9. (a3 - 64) ÷ (a - 4) 10. (b3 + 27) ÷ (b + 3)

11. 2 x 3 + 6x + 152 − x + 4

12. 2 x 3 + 4x - 6 −

x + 3

13. (3w3 + 7w2 - 4w + 3) ÷ (w + 3) 14. (6y4 + 15y3 - 28y - 6) ÷ (y + 2)

15. (x4 - 3x3 - 11x2 + 3x + 10) ÷ (x - 5) 16. (3m5 + m - 1) ÷ (m + 1)

17. (x4 - 3x3 + 5x - 6)(x + 2)-1 18. (6y2 - 5y - 15)(2y + 3)-1

19. 4 x 2 - 2x + 6 − 2x - 3

20. 6 x 2 - x - 7 −

3x + 1

21. (2r3 + 5r2 - 2r - 15) ÷ (2r - 3) 22. (6t3 + 5t2 - 2t + 1) ÷ (3t + 1)

23. 4 p 4 - 17 p 2 + 14p - 3

−− 2p - 3

24. 2 h 4 - h 3 + h 2 + h - 3 −−

h 2 - 1

25. GEOMETRÍA El área de un rectángulo es 2x2 - 11x + 15 pies cuadrados. El largo del rectángulo es 2x - 5 pies. ¿Cuál es el ancho del rectángulo?

26. GEOMETRÍA El área de un triángulo es 15x4 + 3x3 + 4x2 - x - 3 metros cuadrados. La longitud de la base del triángulo es 6x2 - 2 metros. ¿Cuál es la altura del triángulo?

PrácticaDivide polinomios

6-2


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Indica el grado y el coeficiente guía de cada polinomio de una variable. Si no es un polinomio de una variable, explica por qué no lo es.

1. a + 8 2. (2x - 1)(4x2 + 3)

3. -5x5 + 3x3 - 8 4. 18 - 3y + 5y2 - y5 + 7y6

5. u3 + 4u2t2 + t4 6. 2r - r2 + 1 − r2

Calcula p(-1) y p(2) para cada función.

7. p(x) = 4 - 3x 8. p(x) = 3x + x2

9. p(x) = 2x2 - 4x + 1 10. p(x) = -2x3 + 5x + 3

11. p(x) = x4 + 8x2 - 10 12. p(x) = 1 − 3 x2 - 2 −

3 x + 2

Si p(x) = 4x2 - 3 y r(x) = 1 + 3x, calcula cada valor.

13. p(a) 14. r(2a)

15. 3r(a) 16. -4p(a)

17. p(a2) 18. r(x + 2)

Para cada gráfica, a. describe el comportamiento extremo,b. determina si representa una función de grado par o de grado impar yc. indica el número de ceros reales.

19.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

20.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

21.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

Práctica de destrezasFunciones polinómicas

6-3


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Indica el grado y el coeficiente principal de cada polinomio de una variable. Si no es un polinomio de una variable, explica por qué.

1. (3x2 + 1)(2x2 - 9) 2. 1 − 5 a3 - 3 −

5 a2 + 4 −

5 a

3. 2 − m 2

+ 3m - 12 4. 27 + 3xy3 - 12x2y2 - 10y

Calcula p(-2) y p(3) para cada función.

5. p(x) = x3 - x5 6. p(x) = -7x2 + 5x + 9 7. p(x) = -x5 + 4x3

8. p(x) = 3x3 - x2 + 2x - 5 9. p(x) = x4 + 1 − 2 x3 - 1 −

2 x 10. p(x) = 1 −

3 x 3 + 2 −

3 x 2 + 3x

Si p(x) = 3x2 - 4 y r(x) = 2x2 - 5x + 1, calcula cada valor.

11. p(8a) 12. r(a2) 13. -5r(2a)

14. r(x + 2) 15. p(x2 - 1) 16. 5p(x + 2)]

Para cada gráfica, a. describe el comportamiento final,b. determina si representa una función polinómica de grado par o de grado impar, yc. indica el número de ceros reales.

17.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

18.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

19.

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

20. SENSACIÓN TÉRMICA La función C(w) = 0.013w2 - w - 7 estima la temperatura de la sensación térmica C(w) a 0°F para velocidades de viento w de 5 a 30 millas por hora. Estima la temperatura de la sensación térmica a 0°F si la velocidad del viento es 20 millas por hora.

6-3 PrácticaFunciones polinómicas


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Completa cada una de las siguientes.a. Grafica cada función haciendo una tabla de valores.b. Determina los valores consecutivos de x entre los cuales se ubica cada cero real.c. Estima las coordenadas x en las cuales ocurren los máximos y mínimos relativos.

1. f(x) = x3 - 3x2 + 1 2. f(x) = x3 - 3x + 1

3. f(x) = 2x3 + 9x2 +12x + 2 4. f(x) = 2x3 - 3x2 + 2

5. f(x) = x4 - 2x2 - 2 6. f(x) = 0.5x4 - 4x2 + 4

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

x f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

x f(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

x f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

x f(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

x f(x)

-3

-2

-1

0

1

x f(x)

-1

0

1

2

3

Práctica de destrezasAnaliza gráficas de funciones polinómicas

6-4


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Completa cada uno de los siguientes.a. Grafica cada función mediante una tabla de valores.b. Determina los valores consecutivos de x entre los cuales se ubica cada cero real.c. Estima las coordenadas x en las cuales ocurren el máximo y el mínimo relativo.

1. f(x) = -x3 + 3x2 - 3 2. f(x) = x3 - 1.5x2 - 6x + 1

3. f( x) = 0.75 x4 + x3 - 3x2 + 4 4. f(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x - 3

5. PRECIOS El índice de precios al consumidor (IPC) da el precio relativo para un conjunto fijo de bienes y servicios. El IPC de septiembre del 2000 a julio del 2001 se muestra en la gráfica.

Fuente: U. S. Bureau of Labor Statistics

a. Describe los puntos de inflexión de la gráfica.

b. Si una ecuación polinómica modelara la gráfica, ¿cuál es el menor grado que pudiera tener la ecuación?

6. TRABAJO La tasa de desempleo de un pueblo puede modelarse con (1, 3.3), (2, 4.9), (3, 5.3), (4, 6.4), (5, 4.5), (6, 5.6), (7, 2.5) y (8, 2.7). ¿Cuántos puntos de inflexión tendría la gráfica de una función polinómica que pasa por estos puntos? Descríbelos.

xO

f (x)

xO

f (x)

Meses desde septiembre de 2000

Índ

ice

de

pre

cio

s al

co

nsu

mid

or

20 4 61 3 5 7 8 9 1011

179178177176175174173

xO

f (x)

xO

f (x)

x f(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

x f(x)

-2

-1

0

1

2

3

4

x f(x) x f(x)

PrácticaAnaliza gráficas de funciones polinómicas

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Factoriza completamente. Si el polinomio no es factorizable, escribe primo.

1. 7x2 - 14x 2. 19x3 - 38x2

3. 21x3 - 18x2y + 24xy2 4. 8j3k - 4jk3 - 7

5. a2 + 7a - 18 6. 2ak - 6a + k - 3

7. b2 + 8b + 7 8. z2 - 8z - 10

9. 4f 2 - 64 10. d2 - 12d + 36

11. 9x2 + 25 12. y2 + 18y + 81

13. n3 - 125 14. m4 - 1

Escribe cada expresión en forma cuadrática, si es posible.

15. 5x4 + 2x2 - 8 16. 3y8 - 4y2 + 3

17 100a6 + a3 18. x8 + 4x4 + 9

19. 12x4 - 7x2 20. 6b5 + 3b3 - 1


21. a3 - 9a2 + 14a = 0 22. x3 = 3x2

23. t4 - 3t3 - 40t2 = 0 24. b3 - 8b2 + 16b = 0

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones polinómicas

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Factoriza completamente. Si el polinomio no se puede factorizar, escribe primo.

1. 15a2b - 10ab2 2. 3st2 - 9s3t + 6s2t2 3. 3x3y2 - 2x2y + 5xy

4. 2x3y - x2y + 5xy2 + xy3 5. 21 - 7t + 3r - rt 6. x2 - xy + 2x - 2y

7. y2 + 20y + 96 8. 4ab + 2a + 6b + 3 9. 6n2 - 11n - 2

10. 6x2 + 7x - 3 11. x2 - 8x - 8 12. 6p2 - 17p - 45

Escribe, si es posible, cada expresión en forma cuadrática.

13. 10b4 + 3b2 - 11 14. -5x8 + x2 + 6 15. 28d6 + 25d3

16. 4s8 + 4s4 + 7 17. 500x4 - x2 18. 8b5 - 8b3 - 1


19. y4 - 7y3 - 18y2 = 0 20. s5 + 4s4 - 32s3 = 0

21. m4 - 625 = 0 22. n4 - 49n2 = 0

23. x4 - 50x2 + 49 = 0 24. t4 - 21t2 + 80 = 0

25. FÍSICA Un protón en un campo magnético sigue una ruta en un plano de coordenadas modelado con la función f(x) = x4 - 2x2 - 15. ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos en el plano donde el protón cruza el eje x?

26. MEDICIÓN El condado Vista va a apartar una parcela grande de tierra para preservarla como espacio abierto. El condado ha contratado a la firma de agrimensura de Meghan para medir la parcela, la cual tiene forma de triángulo rectángulo. El cateto más largo del triángulo mide 5 millas menos que el cuadrado del cateto más corto y la hipotenusa del triángulo mide 13 millas menos que dos veces el cuadrado del cateto más corto. La longitud de cada límite es un número entero. Calcula la longitud de cada límite.

6-5 PrácticaResuelve ecuaciones polinómicas


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Usa la sustitución sintética para calcular f(2) y f(-1) de cada función.

1. f(x) = x2 + 6x + 5 2. f(x) = x2 - x + 1

3. f(x) = x2 - 2x - 2 4. f(x) = x3 + 2x2 + 5

5. f(x) = x3 - x2 - 2x + 3 6. f(x) = x3 + 6x2 + x - 4

7. f(x) = x3 - 3x2 + x - 2 8. f(x) = x3 - 5x2 - x + 6

9. f(x) = x4 + 2x2 - 9 10. f(x) = x4 - 3x3 + 2x2 - 2x + 6

11. f(x) = x5 - 7x3 - 4x + 10 12. f(x) = x6 - 2x5 + x4 + x3 - 9x2 - 20

Dado un polinomio y uno de sus factores, calcula los demás factores del polinomio.

13. x3 + 2x2 - x - 2; x + 1 14. x3 + x2 - 5x + 3; x - 1

15. x3 + 3x2 - 4x - 12; x + 3 16. x3 - 6x2 + 11x - 6; x - 3

17. x3 + 2x2 - 33x - 90; x + 5 18. x3 - 6x2 + 32; x - 4

19. x3 - x2 - 10x - 8; x + 2 20. x3 - 19x + 30; x - 2

21. 2x3 + x2 - 2x - 1; x + 1 22. 2x3 + x2 - 5x + 2; x + 2

23. 3x3 + 4x2 - 5x - 2; 3x + 1 24. 3x3 + x2 + x - 2; 3x - 2

6-6 Práctica de destrezasEl teorema del residuo y del factor


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Aplica la sustitución sintética para calcular f(-3) y f(4) en cada función.

1. f(x) = x2 + 2x + 3 2. f(x) = x2 - 5x + 10

3. f(x) = x2 - 5x - 4 4. f(x) = x3 - x2 - 2x + 3

5. f(x) = x3 + 2x2 + 5 6. f(x) = x3 - 6x2 + 2x

7. f(x) = x3 - 2x2 - 2x + 8 8. f(x) = x3 - x2 + 4x - 4

9. f(x) = x3 + 3x2 + 2x - 50 10. f(x) = x4 + x3 - 3x2 - x + 12

11. f(x) = x4 - 2x2 - x + 7 12. f(x) = 2x4 - 3x3 + 4x2 - 2x + 1

13. f(x) = 2x4 - x3 + 2x2 - 26 14. f(x) = 3x4 - 4x3 + 3x2 - 5x - 3

15. f(x) = x5 + 7x3 - 4x - 10 16. f(x) = x6 + 2x5 - x4 + x3 - 9x2 + 20

Dado un polinomio y uno de sus factores, calcula los factores restantes del polinomio.

17. x3 + 3x2 - 6x - 8; x - 2 18. x3 + 7x2 + 7x - 15; x - 1

19. x3 - 9x2 + 27x - 27; x - 3 20. x3 - x2 - 8x + 12; x + 3

21. x3 + 5x2 - 2x - 24; x - 2 22. x3 - x2 - 14x + 24; x + 4

23. 3x3 - 4x2 - 17x + 6; x + 2 24. 4x3 - 12x2 - x + 3; x - 3

25. 18x3 + 9x2 - 2x - 1; 2x + 1 26. 6x3 + 5x2 - 3x - 2; 3x - 2

27. x5 + x4 - 5x3 - 5x2 + 4x + 4; x + 1 28. x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 - 5x + 10; x - 2

29. POBLACIÓN La población proyectada en miles para una ciudad en los próximos años se puede estimar con la función P(x) = x3 + 2x2 - 8x + 520, donde x es el número de años desde 2005. Usa la sustitución sintética para estimar la población en 2010.

30. VOLUMEN El volumen del agua en una piscina rectangular se puede modelar con el polinomio 2x3 - 9x2 + 7x + 6. Si la profundidad de la piscina viene dada por el polinomio 2x + 1, ¿qué polinomios expresan el largo y el ancho de la piscina?

PrácticaEl teorema del residuo y del factor

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6-7 Práctica de destrezasRaíces y ceros

Resuelve cada ecuación. Indica el número y el tipo de raíces.

1. 5x + 12 = 0 2. x2 - 4x + 40 = 0

3. x5 + 4x3 = 0 4. x4 - 625 = 0

5. 4x2 - 4x - 1 = 0 6. x5 - 81x = 0

Indica el número posible de ceros reales positivos, ceros reales negativos y ceros imaginarios de cada función.

7. g(x) = 3x3 - 4x2 - 17x + 6 8. h(x) = 4x3 - 12x2 - x + 3

9. f(x) = x3 - 8x2 + 2x - 4 10. p(x) = x3 - x2 + 4x - 6

11. q(x) = x4 + 7x2 + 3x - 9 12. f(x) = x4 - x3 - 5x2 + 6x + 1

Calcula todos los ceros de cada función.

13. h(x) = x3 - 5x2 + 5x + 3 14. g(x) = x3 - 6x2 + 13x - 10

15. h(x) = x3 + 4x2 + x - 6 16. q(x) = x3 + 3x2 - 6x - 8

17. g(x) = x4 - 3x3 - 5x2 + 3x + 4 18. f(x) = x4 - 21x2 + 80

Escribe una función polinómica del menor grado con coeficientes integrales que tengan los ceros dados.

19. -3, -5, 1 20. 3i

21. -5 + i 22. -1, √ � 3 , - √ � 3

23. i, 5i 24. -1, 1, i √ � 6


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PrácticaRaíces y ceros

Resuelve cada ecuación. Indica el número y tipo de raíces.

1. -9x - 15 = 0 2. x4 - 5x2 + 4 = 0

3. x5 - 81x = 0 4. x3 + x2 - 3x - 3 = 0

5. x3 + 6x + 20 = 0 6. x4 - x3 - x2 - x - 2 = 0

Indica el posible número de ceros reales positivos, ceros reales negativos y ceros imaginarios de cada función.

7. f(x) = 4x3 - 2x2 + x + 3 8. p(x) = 2x4 - 2x3 + 2x2 - x - 1

9. q(x) = 3x4 + x3 - 3x2 + 7x + 5 10. h(x) = 7x4 + 3x3 - 2x2 - x + 1


11. h(x) = 2x3 + 3x2 - 65x + 84 12. p(x) = x3 - 3x2 + 9x - 7

13. h(x) = x3 - 7x2 + 17x - +5 14. q(x) = x4 + 50x2 + 49

15. g(x) = x4 + 4x3 - 3x2 - 14x - 8 16. f(x) = x4 - 6x3 + 6x2 + 24x - 40

Escribe una función polinómica del menor grado posible con coeficientes enteros que tenga los ceros dados.

17. -5, 3i 18. -2, 3 + i

19. -1, 4, 3i 20. 2, 5, 1 + i

21. ARTESANÍAS Stephan tiene un conjunto de planos para construir una caja de madera. Quiere reducir el volumen de la caja a 105 pulgadas cúbicas. Le gustaría reducir en la misma cantidad la longitud de cada dimensión en el plano. El plano requiere que la caja tenga 10 pulgadas por 8 pulgadas por 6 pulgadas. Escribe y resuelve una ecuación polinómica para calcular cuánto debería quitarle Stephen a cada dimensión.

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Práctica de destrezasTeorema del cero racional

6-8

Enumera todos los ceros racionales posibles de cada función.

1. n(x) = x2 + 5x + 3 2. h(x) = x2 - 2x - 5

3. w(x) = x2 - 5x + 12 4. f(x) = 2x2 + 5x + 3

5. q(x) = 6x3 + x2 - x + 2 6. g(x) = 9x4 + 3x3 + 3x2 - x + 27

Calcula todos los ceros racionales de cada función.

7. f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 4 8. g(x) = x3 - 3x2 - 4x + 12

9. p(x) = x3 - x2 + x - 1 10. z(x) = x3 - 4x2 + 6x - 4

11. h(x) = x3 - x2 + 4x - 4 12. g(x) = 3x3 - 9x2 - 10x - 8

13. g(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 12 14. h(x) = 2x3 - 5x2 - 4x + 3

15. p(x) = 3x3 - 5x2 - 14x - 4 16. q(x) = 3x3 + 2x2 + 27x + 18

17. q(x) = 3x3 - 7x2 + 4 18. f(x) = x4 - 2x3 - 13x2 + 14x + 24

19. p(x) = x4 - 5x3 - 9x2 - 25x - 70 20. n(x) = 16x4 - 32x3 - 13x2 + 29x - 6


21. f(x) = x3 + 5x2 + 11x + 15 22. q(x) = x3 - 10x2 + 18x - 4

23. m(x) = 6x4 - 17x3 + 8x2 + 8x - 3 24. g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4


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PrácticaTeorema del cero racional

Enumera todos los ceros racionales posibles de cada función.

1. h(x) = x3 - 5x2 + 2x + 12 2. s(x) = x4 - 8x3 + 7x - 14

3. f(x) = 3x5 - 5x2 + x + 6 4. p(x) = 3x2 + x + 7

5. g(x) = 5x3 + x2 - x + 8 6. q(x) = 6x5 + x3 - 3

Calcula todos los ceros racionales de cada función.

7. q(x) = x3 + 3x2 - 6x - 8 8. v(x) = x3 - 9x2 + 27x - 27

9. c(x) = x3 - x2 - 8x + 12 10. f(x) = x4 - 49x2

11. h(x) = x3 - 7x2 + 17x - 15 12. b(x) = x3 + 6x + 20

13. f(x) = x3 - 6x2 + 4x - 24 14. g(x) = 2x3 + 3x2 - 4x - 4

15. h(x) = 2x3 - 7x2 - 21x + 54 16. z(x) = x4 - 3x3 + 5x2 - 27x - 36

17. d(x) = x4 + x3 + 16 18. n(x) = x4 - 2x3 - 3

19. p(x) = 2x4 - 7x3 + 4x2 + 7x - 6 20. q(x) = 6x4 + -9x3 + 40x2 + 7x - 12


21. f(x) = 2x4 + 7x3 - 2x2 - 19x - 12 22. q(x) = x4 - 4x3 + x2 + 16x - 20

23. h(x) = x6 - 8x3 24. g(x) = x6 - 1

25. VIAJES La altura de la caja que Joan va a mandar por correo es 3 pulgadas menos que el ancho de la misma. El largo es 2 pulgadas más que el doble del ancho. El volumen de la caja es 1540 pulg3. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

26. GEOMETRÍA La altura de una pirámide cuadrada es 3 metros más corta que el lado de su base. Si el volumen de la pirámide es 432 m3, ¿cuál es su altura? Usa la fórmula

V = 1 − 3 Bh.

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7-1

Calcula (f + g)(x), (f - g)(x), (f � g)(x) y ( f − g ) (x) para cada f(x) y g(x).

1. f(x) = x + 5 2. f(x) = 3x + 1

g(x) = x - 4 g(x) = 2x - 3

3. f(x) = x2 4. f(x) = 3x2

g(x) = 4 - x g(x) = 5 − x

Para cada par de funciones, calcula cada f º g y g º f si existen.

5. f = {(0, 0), (4, -2)} 6. f = {(0, -3), (1, 2), (2, 2)}g = {(0, 4), (-2, 0), (5, 0)} g = {(-3, 1), (2, 0)}

7. f = {(-4, 3), (-1, 1), (2, 2)} 8. f = {(6, 6), (-3, -3), (1, 3)}g = {(1, -4), (2, -1), (3, -1)} g = {(-3, 6), (3, 6), (6, -3)}

Calcula [g º h](x) y [h º g](x), si existen.

9. g(x) = 2x 10. g(x) = -3x h(x) = x + 2 h(x) = 4x - 1

11. g(x) = x - 6 12. g(x) = x - 3h(x) = x + 6 h(x) = x2

13. g(x) = 5x 14. g(x) = x + 2h(x) = x2 + x - 1 h(x) = 2x2 - 3

Si f(x) = 3x, g(x) = x + 4 y h(x) = x2 - 1, calcula cada valor.

15. f [ g(1)] 16. g[h(0)] 17. g[ f(-1)]

18. h[ f(5)] 19. g[h(-3)] 20. h[ f(10)]

21. f [h(8)] 22. [ f ◦ (h ◦ g)](1) 23. [ f ◦ ( g ◦ h)](-2)

Práctica de destrezasOperaciones sobre funciones


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7-1

Calcula (f + g)(x), (f - g)(x), (f � g)(x) y ( f − g ) (x) para cada f(x) y g(x).

1. f(x) = 2x + 1 2. f(x) = 8x2 3. f(x) = x2 + 7x + 12

g(x) = x - 3 g(x) = 1 − x2

g(x) = x2 - 9

Para cada par de funciones, calcula f º g y g º f , si existen.

4. f = {(-9, -1), (-1, 0), (3, 4)} 5. f = {(-4, 3), (0, -2), (1, -2)}g = {(0, -9), (-1, 3), (4, -1)} g = {(-2, 0), (3, 1)}

6. f = {(-4, -5), (0, 3), (1, 6)} 7. f = {(0, -3), (1, -3), (6, 8)}g = {(6, 1), (-5, 0), (3, -4)} g = {(8, 2), (-3, 0), (-3, 1)}

Calcula [g º h](x) y [h º g](x), si existen.

8. g(x) = 3x 9. g(x) = -8x 10. g(x) = x + 6h(x) = x - 4 h(x) = 2x + 3 h(x) = 3x2

11. g(x) = x + 3 12. g(x) = -2x 13. g(x) = x - 2h(x) = 2x2 h(x) = x2 + 3x + 2 h(x) = 3x2 + 1

Si f(x) = x2, g(x) = 5x y h(x) = x + 4, calcula cada valor.

14. f [ g(1)] 15. g[h(-2)] 16. h[ f(4)]

17. f [h(-9)] 18. h[ g(-3)] 19. g[ f(8)]

20. NEGOCIOS La función f(x) = 1000 - 0.01x2 modela el costo de manufactura por artículo cuando x artículos se producen y g(x) = 150 - 0.001x2 modela el costo de servicio por artículo. Escribe una función C(x) para el costo total de manufactura y servicio por artículo.

21. MEDICIÓN La fórmula f = n − 12

convierte n pulgadas a f pies y m = f −

5280 convierte

pies a m millas. Escribe una composición de funciones que convierta pulgadas a millas.

PrácticaOperaciones con funciones


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Calcula el inverso de cada relación.

1. {(3, 1), (4, -3), (8, -3)} 2. {(-7, 1), (0, 5), (5, -1)}

3. {(-10, -2), (-7, 6), (-4, -2), (-4, 0)} 4. {(0, -9), (5, -3), (6, 6), (8, -3)}

5. {(-4, 12), (0, 7), (9, -1), (10, -5)} 6. {(-4, 1), (-4, 3), (0, -8), (8, -9)}

Calcula el inverso de cada función. Luego, grafica la función y su inverso.

7. y = 4 8. f (x) = 3x 9. f (x) = x + 2

10. g(x) = 2x - 1 11. h(x) = 1 − 4

x 12. y = 2 − 3 x + 2

Determina si cada par de funciones son funciones inversas. Escribe sí o no.

13. f(x) = x - 1 14. f(x) = 2x + 3 15. f(x) = 5x - 5

g(x) = 1 - x g(x) = 1 − 2 (x - 3) g(x) = 1 −

5 x + 1

16. f(x) = 2x 17. h(x) = 6x - 2 18. f(x) = 8x - 10

g(x) = 1 − 2 x g(x) = 1 −

6 x + 3 g(x) = 1 −

8 x + 5 −

4

4

x

y

O-2

-2

2

42xO

f (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42 x

f (x)

O-2

-2

-4

4

2

-4 42

xO

g (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42 xO

h (x)

-2

-2

-4

4

2

-4 42

-4

2 x

y

O-2

-2

4

2

-4 4

Práctica de destrezasFunciones y relaciones inversas

7-2


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Halla el inverso de cada relación.

1. {(0, 3), (4, 2), (5, -6)} 2. {(-5, 1), (-5, -1), (-5, 8)}

3. {(-3, -7), (0, -1), (5, 9), (7, 13)} 4. {(8, -2), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}

5. {(-5, -4), (1, 2), (3, 4), (7, 8)} 6. {(-3, 9), (-2, 4), (0, 0), (1, 1)}

Halla el inverso de cada función. Luego, grafica la función y su inversa.

7. f(x) = 3 − 4 x 8. g(x) = 3 + x 9. y = 3x - 2

Determina si cada par de funciones son inversas. Escribe sí o no.

10. f(x) = x + 6 11. f(x) = -4x + 1 12. g(x) = 13x - 13

g(x) = x - 6 g(x) = 1 − 4 (1 - x) h(x) = 1 −

13 x - 1

13. f(x) = 2x 14. f(x) = 6 − 7 x 15. g(x) = 2x - 8

g(x) = -2x g(x) = 7 − 6 x h(x) = 1 −

2 x + 4

16. MEDICIÓN Los puntos (63, 121), (71, 180), (67, 140), (65, 108) y (72, 165) dan el peso en libras como una función de la altura en pulgadas de 5 alumnos de una clase. Da los puntos que representen la altura de estos alumnos como una función del peso.

17. REMODELACIÓN Los Clearys están reemplazando el suelo de su cocina de 15 pies por 18 pies. El revestimiento nuevo del suelo cuesta $17.99 por yarda cuadrada. La fórmula f(x) = 9x convierte yardas cuadradas a pies cuadrados.a. Calcula el inverso f-1(x). ¿Cuál es el significado de f-1(x) para los Clearys?

b. ¿Cuánto costará el suelo nuevo de los Clearys?

xO

f (x)

xO

g (x)

x

y

O

PrácticaFunciones y relaciones inversas

7-2


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Grafica cada función. Indica el dominio y el rango de cada una.

1. y = √ � 2x 2. y = - √ � 3x 3. y = 2 √ � x

4. y = √ �� x + 3 5. y = - √ �� 2x - 5 6. y = √ �� x + 4 - 2


7. f(x) < √ � 4x 8. f(x) ≥ √ �� x + 1 9. f(x) ≤ √ �� 4x - 3

xO

-2

4 62

f (x)

4

6

2

x

y

O-2

-2

-4

4

2

-4 42x

y

O

-2

-4

4

2

4 6 82

x

y

O

-2

-4

4

2

4 6 82x

y

O

-2

-4

4

2

4 6 82

x

y

O

-2

4

6

2

4 6 82

x

y

O

-2

-2

4

6

2

42

xO

-2

4

6

2

f (x)

4 6 82xO

-2

4

6

2

4 6 82

f (x)

7-3 Práctica de destrezasFunciones y desigualdades con raíces cuadradas


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Grafica cada función. Indica el dominio y rango.

1. y = √ � 5x 2. y = - √ �� x - 1 3. y = 2 √ �� x + 2

4. y = √ �� 3x - 4 5. y = √ �� x + 7 - 4 6. y = 1 - √ �� 2x + 3


7. y ≥ - √ � 6x 8. y ≤ √ �� x - 5 + 3 9. y > -2 √ �� 3x + 2

10. MONTAÑAS RUSAS La rapidez de una montaña rusa cuando desciende viene dada por v = √ �� v0

2 + 64h , donde v0 es la rapidez inicial y h es la caída vertical en pies. Si v = 70 pies por segundo y v0 = 8 pies por segundo, calcula h.

11. PESO Usa la fórmula d = √ ��

39602 WE − Ws

- 3960, que relaciona la distancia desde la tierra

d en millas, con el peso. Si el peso de un astronauta en la tierra WE es 148 libras y en el espacio Ws es 115 libras, ¿a qué distancia está el astronauta de la Tierra?

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

PrácticaFunciones y desigualdades con raíces cuadradas

7-3


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Usa una calculadora para aproximar cada valor a tres lugares decimales.

1. √ �� 230 2. √ �� 38

3. - √ �� 152 4. √ �� 5.6

5. 3 √ �� 88 6. 3

√ �� -222

7. - 4 √ �� 0.34 8. 5 √ �� 500

Simplifica.

9. ± √ �� 81 10. √ �� 144

11. √ �� (-5)2 12. √ �� -52

13. √ �� 0.36 14. - √ � 4 − 9

15. 3 √ �� -8 16. - 3 √ �� 27

17. 3 √ �� 0.064 18. 5

√ �� 32

19. 4 √ �� 81 20. √ � y2

21. 3 √

�� 125 c 3 22. √ �� 64x6

23. 3 √ �� -27 a 6 24. √ �� m8p 4

25. - √ �� 100p4t2 26. 4 √ �� 16w4 v 8

27. √ �� (-3c)4 28. √ �� (a + b)2

7-4 Práctica de destrezasRaíces enésimas


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Simplifica.

1. √ �� 0.81 2. - √ �� 324 3. - 4 √ �� 256 4. 6 √ �� 64

5. 3 √ �� -64 6. 3

√ �� 0.512 7. 5 √ �� -243 8. - 4 √ �� 1296

9. 5 √ �� -1024 −

243 10.

5 √ �� 243 x 10 11. √ �� 14 a 2 12. √ �� - (14a) 2

13. √ �� 49 m 2 t 8 14. √ �� 16 m 2 − 25

15. 3 √ �� -64 r 2 w 15 16. √ �� (2x) 8

17. - 4 √ �� 625 s 8 18. 3

√ �� 216 p 3 q 9 19. √ �� 676 x 4 y 6 20. 3 √ �� -27 x 9 y 12

21. - √ �� 144 m 8 n 6 22. 5 √ �� -32 x 5 y 10 23. 6

√ �� (m + 4) 6 24. 3 √ �� (2x + 1) 3

25. - √ �� 49 a 10 b 16 26. 4 √ �� (x - 5) 8 27.

3 √ �� 343 d 6 28. √ �� x 2 + 10x + 25

Usa una calculadora para aproximar cada valor a tres lugares decimales.

29. √ �� 7.8 30. - √ �� 89 31. 3 √ �� 25 32. 3 √ �� -4

33. 4 √ �� 1.1 34. 5 √ �� -0.1 35. 6 √ �� 5555 36. 4 √ �� (0.94) 2

37. TEMPERATURA RADIANTE Los sensores térmicos miden la temperatura radiante de un cuerpo, la cual es la cantidad de energía irradiada por el cuerpo. La temperatura interna de un cuerpo se llama temperatura cinética. La fórmula Tr = Tk

4 √ � e relaciona la

temperatura radiante Tr de un cuerpo con su temperatura cinética Tk. En la fórmula, la variable e es una medida del grado que irradia energía el cuerpo. Si la temperatura cinética de un cuerpo es 30°C y e = 0.94, ¿cuál es la temperatura radiante del cuerpo aproximada a la décima más cercana de grado?

38. LA FÓRMULA DE HERO Salvatore compra fertilizante para su jardín triangular. Conoce las longitudes de los tres lados, por lo que está usando la fórmula de Hero para calcular el área. La fórmula de Hero establece que el área de un triángulo

es √ �� s(s - a)(s - b)(s - c) , donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y s es la mitad del perímetro del triángulo. Si las longitudes de los lados del jardín de Salvatore son 15 pies, 17 pies y 20 pies, ¿cuál es el área del jardín? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

7-4 PrácticaRaíces enésimas


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7-5

Simplifica.

1. √ �� 24 2. √ �� 75

3. 3 √ � 1 6 4. - 4 √ �� 48

5. 4 √ �� 50x5 6. 4 √ �� 64a4b4

7. 3 √ �� - 8d2f 5 8. √ �� 25 −

36 r2t

9. - √ � 3 − 7 10.

3 √ � 2 − 9

11. √ ��

2g3

− 5z

12. (3 √ � 3 )(5 √ � 3 )

13. (4 √ �� 12 )(3 √ �� 20 ) 14. √ � 2 + √ � 8 + √ �� 50

15. √ �� 12 - 2 √ � 3 + √ �� 108 16. 8 √ � 5 - √ �� 45 - √ �� 80

17. 2 √ �� 48 - √ �� 75 - √ �� 12 18. (2 + √ � 3 )(6 - √ � 2 )

19. (1 - √ � 5 )(1 + √ � 5 ) 20. (3 - √ � 7 )(5 + √ � 2 )

21. ( √ � 2 - √ � 6 )2 22. 3 − 7 - √ � 2

23. 4 − 3 + √ � 2

24. 5 − 8 - √ � 6

Práctica de destrezasOperaciones con expresiones radicales


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Simplifica.

1. √ �� 540 2. 3 √ �� -432 3. 3 √ �� 128

4. - 4 √ �� 405 5. 3 √ �� -5000 6. 5 √ �� -1215

7. 3 √ �� 125t6w2 8. 4 √ �� 48v8z13 9. 3 √ �� 8g3k8

10. √ �� 45x3y8 11. √ �� 11 − 9 12.

3 √ �� 216 −

24

13. √ �� 1 − 128

c4d7 14. √ �� 9a5 −

64b4 15. 4 √ �� 8 −

9a3

16. (3 √ �� 15 )(-4 √ �� 45 ) 17. (2 √ �� 24 )(7 √ �� 18 ) 18. √ �� 810 + √ �� 240 - √ �� 250

19. 6 √ �� 20 + 8 √ � 5 - 5 √ �� 45 20. 8 √ �� 48 - 6 √ �� 75 + 7 √ �� 80 21. (3 √ � 2 + 2 √ � 3 )2

22. (3 - √ � 7 )2 23. ( √ � 5 - √ � 6 )( √ � 5 + √ � 2 ) 24. ( √ � 2 + √ �� 10 )( √ � 2 - √ �� 10 )

25. (1 + √ � 6 )(5 - √ � 7 ) 26. ( √ � 3 + 4 √ � 7 )2 27. ( √ �� 108 - 6 √ � 3 )2

28. √ � 3 −

√ � 5 - 2 29. 6 −

√ � 2 - 1 30. 5 + √ � 3

− 4 + √ � 3

31. 3 + √ � 2 −

2 - √ � 2 32. 3 + √ � 6

− 5 - √ �� 24

33. 3 + √ � x −

2 - √ � x

34. FRENADO La fórmula s = 2 √ � 5� estima la rapidez s en millas por hora de un carro cuando deja marcas de frenado de � pies de longitud. Usa la fórmula para escribir una expresión simplificada para s si � = 85. Luego, evalúa s a la milla por hora más cercana.

35. TEOREMA DE PITÁGORAS Las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo vienen dadas por las expresiones 6x2y y 9x2y. Usa el teorema de Pitágoras para calcular una expresión simplificada para la medida de la hipotenusa.

7-5 PrácticaOperaciones con expresiones radicales


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Escribe cada expresión en forma radical o escribe cada radical en forma exponencial.

1. 3 1 − 6 2. 8

1 − 5

3. √ �� 51 4. 4 √ �� 153

5. 12 2 − 3 6. 3 √ �� 37

7. (c3) 3 − 5 8. 3 √ �� 6xy2


9. 32 1 − 5 10. 81

1 − 4

11. 27 1 − 3 12. 4

1 − 2

13. 16 3 − 2 14. (-243)

4 − 5

15. 27 1 − 3 � 27

5 − 3 16. ( 4 −

9 )

3 − 2


17. c 12 − 5 � c

3 − 5 18. m

2 − 9 � m

16 − 9

19. ( q 1 − 2 )

3 20. p

1 − 5 � p

1 − 2

21. x 6 −

11 � x

4 − 11

22. x 2 − 3 −

x 1 − 4

23. y

1 − 2 −

y 1 − 4 24. n

1 − 3 −

n 1 − 6 � n

1 − 2

25. 12 √ �� 64 26. 8 √ �� 49a8b2

Práctica de destrezasExponentes radicales

7-6


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Escribe cada expresión en forma de radical o escribe cada radical en forma exponencial.

1. 5 1 − 3 2. 6

2 − 5 3. m

4 − 7 4. (n3)

2 − 5

5. √ �� 79 6. 4 √ �� 153 7. 3 √ �� 27m6n4 8. 5 √ �� 2a10b


9. 81 1 − 4 10. 1024

1 − 5 11. 8

5 − 3

12. -256 3 − 4 13. (-64)

2 − 3 14. 27

1 − 3 ․ 27

4 − 3

15. ( 125 − 216

) 2 − 3 16. 64

2 − 3 −

343 2 − 3 17. ( 25

1 − 2 ) (- 64

1 − 3 )


18. g 4 − 7 ․ g

3 − 7 19. s

3 − 4 ․ s

13 − 4 20. ( u

1 − 3 )

4 − 5 21. y

1 − 2

22. b 3 − 5 23.

q 3 − 5 −

q 2 − 5 24. t

2 − 3 −

5 t 1 − 2 ․ t - 3 −

4 25. 2 z

1 − 2 −

z 1 − 2 - 1

26. 10 √ � 85 27. √ �� 12 �

5 √ �� 123 28. 4 √ � 6 � 3 4 √ � 6 29. a −

√ �� 3b

30. ELECTRICIDAD La cantidad de corriente en amperios I que usa un electrodoméstico

puede calcularse con la fórmula I = ( P − R

) 1 − 2 , donde P es la potencia en vatios y R es

la resistencia en ohmios. ¿Cuánta corriente usa un electrodoméstico si P = 500 vatios y R = 10 ohmios? Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

31. NEGOCIOS Una compañía que produce DVD usa la fórmula C = 88 n 1 − 3 + 330 para

calcular el costo C en dólares de producir n DVD por día. ¿Cuál es el costo de la compañía para producir 150 DVD por día? Redondea tu respuesta al dólar más cercano.

PrácticaExponentes radicales

7-6


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1. √ � x = 5 2. √ � x + 3 = 7

3. 5 √ � j = 1 4. v 1 − 2 + 1 = 0

5. 18 - 3y 1 − 2 = 25 6. 3

√ �� 2w = 4

7. √ �� b - 5 = 4 8. √ �� 3n + 1 = 5

9. 3 √ �� 3r - 6 = 3 10. 2 + √ �� 3p + 7 = 6

11. √ �� k - 4 - 1 = 5 12. (2d + 3) 1 − 3 = 2

13. (t - 3) 1 − 3 = 2 14. 4 - (1 - 7u)

1 − 3 = 0

15. √ �� 3z - 2 = √ �� z - 4 16. √ �� g + 1 = √ �� 2g - 7


17. 4 √ �� x + 1 ≥ 12 18. 5 + √ �� c - 3 ≤ 6

19. -2 + √ �� 3x + 3 < 7 20. - √ �� 2a + 4 ≥ -6

21. 2 √ �� 4r - 3 > 10 22. 4 - √ �� 3x + 1 > 3

23. √ �� y + 4 - 3 ≥ 3 24. -3 √ �� 11r + 3 ≥ -15

7-7 Práctica de destrezasResuelve ecuaciones y desigualdades radicales


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1. √ � x = 8 2. 4 - √ � x = 3

3. √ �� 2p + 3 = 10 4. 4 √ �� 3h - 2 = 0

5. c 1 − 2 + 6 = 9 6. 18 + 7 h

1 −

2 = 12

7. 3 √ �� d + 2 = 7 8. 5 √ �� w - 7 = 1

9. 6 + 3 √ �� q - 4 = 9 10. 4 √ �� y - 9 + 4 = 0

11. √ �� 2m - 6 - 16 = 0 12. 3 √ �� 4m + 1 - 2 = 2

13. √ �� 8n - 5 - 1 = 2 14. √ �� 1 - 4t - 8 = -6

15. √ �� 2t - 5 - 3 = 3 16. (7v - 2) 1 − 4 + 12 = 7

17. (3g + 1) 1 − 2 - 6 = 4 18. (6u - 5)

1 − 3 + 2 = -3

19. √ �� 2d - 5 = √ �� d - 1 20. √ �� 4r - 6 = √ � r

21. √ �� 6x - 4 = √ �� 2x + 10 22. √ �� 2x + 5 = √ �� 2x + 1


23. 3 √ � a ≥ 12 24. √ �� z + 5 + 4 ≤ 13

25. 8 + √ �� 2q ≤ 5 26. √ �� 2a - 3 < 5

27. 9 - √ �� c + 4 ≤ 6 28. √ �� x - 1 < 2

29. ESTADÍSTICAS Los estadísticos usan la fórmula σ = √ � v para calcular una desviación estándar σ, donde v es la varianza de un conjunto de datos. Calcula la varianza cuando la desviación estándar es 15.

30. GRAVEDAD Helena deja caer una pelota sobre un lago a 25 pies. La fórmula

t = 1 − 4 √ �� 25 - h describe el tiempo t en segundos en el cual la pelota está a h pies sobre

el agua. ¿A cuántos pies sobre el agua estará la pelota después de 1 segundo?

7-7 PrácticaResuelve ecuaciones y desigualdades radicales


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8-1 Práctica de destrezasGrafica funciones exponenciales

Grafica cada función. Indica el dominio y el rango.

1. y = 3(2)x 2. y = 2 ( 1 − 2 )

x

3. y = - 3 − 2 (1.5) x 4. y = 3 ( 1 −

3 )

x

Para cada gráfica, f(x) es la función principal y g(x) es una transformación de f(x). Usa la gráfica para determinar g(x).

5. f (x) = 4x 6. f (x) = ( 1 − 5 )

x

x

y

O

x

g (x)

x

g (x)

x

y

x

y

x

y


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8-1 PrácticaGrafica funciones exponenciales


1. y = 1.5(2)x 2. y = 4(3)x 3. y = 3(0.5)x

x

y

O x

y

O x

y

O

4. y = 5 ( 1 − 2 )

x

- 8 5. y = -2 ( 1 − 4 )

x - 3

6. y = 1 − 2 (3) x + 4 - 5

x

y

x

y

y

7. BIOLOGÍA El número inicial de bacterias en un cultivo es 12,000. Cada día, el cultivo se duplica.

a. Escribe una función exponencial para modelar la población y de bacterias después de x días.

b. ¿Cuántas bacterias hay después de 6 días?

8. EDUCACIÓN En el año 2008, una universidad con una promoción de 4000 alumnos predice que su promoción de graduandos aumentará 5% por año. Escribe una función exponencial para modelar el número de alumnos y en la promoción de graduados t años después de 2008.


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1. 25 2x + 3 = 25 5x - 9 2. 9 8x - 4 = 81 3x + 6 3. 4 x - 5 = 16 2x - 31

4. 4 3x - 3 = 8 4x - 4 5. 9 -x + 5 = 27 6x - 10 6. 125 3x - 4 = 25 4x + 2


7. ( 1 − 36

) 6x - 3

> 6 3x - 9 8. 64 4x - 8 < 256 2x + 6 9. ( 1 − 27

) 3x + 13

≤ 9 5x - 1 − 2

10. ( 1 − 9 )

2x + 7 ≤ 27 6x - 12 11. ( 1 −

8 )

-2x - 6 > ( 1 −

32 )

-x + 11 12. 9 9x + 1 < ( 1 −

243 )

-3x + 5

Escribe una función exponencial cuya gráfica pase por los puntos dados.

13. (0, 3) y (3, 375) 14. (0, -1) y (6, -64) 15. (0, 7) y (-2, 28)

16. (0, 1 − 2 ) y (2, 40.5) 17. (0, 15) y (1, 12) 18. (0, -6) y (-4, -1536)

19. (0, 1 − 3 ) y (3, 9) 20. (0, 1) y (6, 4096) 21. (0, -2) y (–1, -4)

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones y desigualdades exponenciales

8-2


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1. 4 x + 35 = 64 x – 3 2. ( 1 − 64

) 0.5x – 3

= 8 9x – 2

3. 3x - 4 = 9 x + 28 4. ( 1 − 4 )

2x + 2 = 64 x - 1

5. ( 1 − 2 )

x - 3 = 163x + 1 6. 36x - 2 = ( 1 −

9 )

x + 1

Escribe una función exponencial para la gráfica que pasa por los puntos dados.

7. (0, 5) y (4, 3125) 8. (0, 8) y (4, 2048) 9. (0, 3 − 4 ) y (2, 36.75)

10. (0, –0.2) y (–3, –3.125) 11. (0, 15) y (2, 15 − 16

) 12. (0, 0.7) y ( 1 − 2 , 3.5)


13. 400 > ( 1 − 20

) 7x + 8 14. 102x + 7 ≥ 1000x 15. ( 1 −

16 )

3x - 4 ≤ 64x - 1

16. ( 1 − 8 )

x - 6 < 4

4x + 5 17. ( 1 −

36 )

x + 8 ≤ 216

x - 3 18. 128

x + 3 < ( 1 −

1024 )

2x

19. En un tiempo t, hay 216 t + 18 bacterias tipo A y 36 2t + 8 bacterias tipo B en una muestra. ¿Cuándo será igual el número de bacterias de cada tipo?

PrácticaResuelve ecuaciones y desigualdades exponenciales

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Escribe cada ecuación en forma exponencial.

1. log3 243 = 5 2. log4 64 = 3

3. log9 3 = 1 − 2 4. log5

1 − 25

= -2

Escribe cada ecuación en forma logarítmica.

5. 23 = 8 6. 32 = 9

7. 8-2 = 1 − 64

8. ( 1 − 3 )

2 = 1 −

9


9. log5 25 10. log9 3

11. log10 1000 12. log125 5

13. log4 1 − 64

14. log5 1 −

625

15. log8 512 16. log27 1 − 3


17. f(x) = log3(x + 1) - 4 18. f(x) = -log5 x + 2.5

8-3 Práctica de destrezasLogaritmos y funciones logarítmicas

x

f(x)

x

f (x)


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Escribe cada ecuación en forma exponencial.

1. log6 216 = 3 2. log2 64 = 6 3. log3 1 − 81

= -4

4. log10 0.00001 = -5 5. log25 5 = 1 − 2 6. log32 8 = 3 −

5

Escribe cada ecuación en forma logarítmica.

7. 53 = 125 8. 70 = 1 9. 34 = 81

10. 3-4 = 1 − 81

11. ( 1 − 4 )

3 = 1 −

64 12. 777 6

1 − 5 = 6


13. log3 81 14. log10 0.0001 15. log2 1 − 16

16. lo g 1 − 3 27

17. log9 1 18. log8 4 19. log7 1 − 49

20. log6 64


21. f(x) = log2 (x – 2) 22. f(x) = –2 log4 x

x

f (x)

x

f (x)

23. SONIDO Una ecuación para el volumen, en decibeles, es L = 10 log10 R, donde R es la intensidad relativa del sonido. Los sonidos que alcanzan niveles de 120 decibeles o más son dolorosos para los seres humanos. ¿Cuál es la intensidad relativa de 120 decibeles?

24. INVERSIÓN María invierte $1000 en una cuenta de ahorros que paga 4% de interés compuesto anualmente. El valor de la cuenta A al cabo de cinco años viene dado por la ecuación log10 A = log10[1000(1 + 0.04)5]. Escribe esta ecuación en forma exponencial.

PrácticaLogaritmos y funciones logarítmicas

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1. 3x = log6 216 2. x - 4 = log3 243 3. log4 (4x - 20) = 5

4. log9 (3 - x) = log9 (5x – 15) 5. log81 (x + 20) = log81 (6x) 6. log9 (3x2) = log9 (2x + 1)

7. log4 (x - 1) = log4 (12) 8. log7 (5 - x) = log7 (5) 9. logx (5x) = 2


10. log5 (-3x) < 1 11. log6 x > log6 (4 - x)

12. log10 (x - 3) < 2 13. log2 (x - 5) > log2 (3)

14. log7 (8x + 5) > log7 (6x - 18) 15. log9 (3x - 3) < 1.5

16. log10 (2x - 2) < log10 (7 - x) 17. log9 (x - 1) > log9 (2x)

18. log16 x ≥ 0.5 19. log3 ( x - 3 − 4 + 5) > log3 (x + 2)

20. log5 (3x) < log5 (2x - 1) 21. log3 (7 - x) ≤ log3 (x + 19)

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones y desigualdades logarítmicas

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1. x + 5 = log4 256 2. 3x - 5 = log2 1024

3. log3 (4x - 17) = 5 4. log5 (3 - x) = 5

5. log13 (x2 - 4) = log13 3x 6. log3 (x - 5) = log3 (3x - 25)


7. log8 (-6x) < 1 8. log9 (x + 2) > log9 (6 - 3x)

9. log11 (x + 7) < 1 10. log81 x ≤ 0.75

11. log2 (x + 6) < log2 17 12. log12 (2x - 1) > log12 (5x - 16)

13. log9 (2x - 1) < 0.5 14. log10 (x - 5) > log10 2x

15. log3 (x + 12) > log3 2x 16. log3 (0.3x + 5) > log3 (x - 2)

17. log2 (x + 3) < log2 (1 - 3x) 18. log6 (3 - x) ≤ log6 (x - 1)

19. VIDA SILVESTRE Un ecologista descubrió que la población de una cierta especie en peligro de extinción se duplica cada 12 años. Cuando la población alcance 20 veces el nivel actual, es posible que no se extinga. Escribe la expresión logarítmica que da el número de años que tardará la población en alcanzar ese nivel.

PrácticaResuelve ecuaciones y desigualdades logarítmicas

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Usa log2 3 ≈ 1.5850 y log2 5 ≈ 2.3219 para aproximar el valor de cada expresión.

1. log2 25 2. log2 27

3. log2 3 − 5 4. log2

5 − 3

5. log2 15 6. log2 45

7. log2 75 8. log2 0.6

9. log2 1 − 3 10. log2

9 − 5


11. log10 27 = 3 log10 x 12. 3 log7 4 = 2 log7 b

13. log4 5 + log4 x = log4 60 14. log6 2c + log6 8 = log6 80

15. log5 y - log5 8 = log5 1 16. log2 q - log2 3 = log2 7

17. log9 4 + 2 log9 5 = log9 w 18. 3 log8 2 - log8 4 = log8 b

19. log10 x + log10 (3x - 5) = log10 2 20. log4 x + log4 (2x - 3) = log4 2

21. log3 d + log3 3 = 3 22. log10 y - log10 (2 - y) = 0

23. log2 r + 2 log2 5 = 0 24. log2 (x + 4) - log2 (x - 3) = 3

25. log4 (n + 1) - log4 (n - 2) = 1 26. log5 10 + log5 12 = 3 log5 2 + log5 a

Práctica de destrezasPropiedades de logaritmos

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Usa log10 5 ≈ 0.6990 y log10 7 ≈ 0.8451 para aproximar el valor de cada expresión.

1. log10 35 2. log10 25 3. log10 7 − 5 4. log10

5 − 7

5. log10 245 6. log10 175 7. log10 0.2 8. log10 25 − 7


9. log7 n = 2 − 3 log7 8 10. log10 u = 3 −

2 log10 4

11. log6 x + log6 9 = log6 54 12. log8 48 - log8 w = log8 4

13. log9 (3u + 14) - log9 5 = log9 2u 14. 4 log2 x + log2 5 = log2 405

15. log3 y = -log3 16 + 1 − 3 log3 64 16. log2 d = 5 log2 2 - log2 8

17. log10 (3m - 5) + log10 m = log10 2 18. log10 (b + 3) + log10 b = log10 4

19. log8 (t + 10) - log8 (t - 1) = log8 12 20. log3 (a + 3) + log3 (a + 2) = log3 6

21. log10 (r + 4) - log10 r = log10 (r + 1) 22. log4 (x2 - 4) - log4 (x + 2) = log4 1

23. log10 4 + log10 w = 2 24. log8 (n - 3) + log8 (n + 4) = 1

25. 3 log5 (x2 + 9) - 6 = 0 26. log16 (9x + 5) - log16 (x

2 - 1) = 1 − 2

27. log6 (2x - 5) + 1 = log6 (7x + 10) 28. log2 (5y + 2) - 1 = log2 (1 - 2y)

29. log10 (c2 - 1) - 2 = log10 (c + 1) 30. log7 x + 2 log7 x - log7 3 = log7 72

31. SONIDO Recuerda que el volumen L de un sonido en decibeles viene dado por L = 10 log10 R, donde R es la intensidad relativa del sonido. Si se triplica la intensidad de cierto sonido, ¿en cuántos decibeles aumenta el sonido?

32. TERREMOTOS Un terremoto clasificado en 3.5 en la escala Richter lo sienten muchas personas y un terremoto clasificado en 4.5 puede causar daños locales. La lectura de la magnitud m de la escala Richter viene dada por m = log10 x, donde x es la amplitud de la onda sísmica que causa el movimiento sísmico. ¿Cuántas veces más grande es la amplitud de un terremoto que mide 4.5 en la escala Richter que uno que mide 3.5?

PrácticaPropiedades de logaritmos

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Usa una calculadora para evaluar cada expresión a la diezmilésima más cercana.

1. log 6 2. log 15

3. log 1.1 4. log 0.3

Resuelve cada ecuación o desigualdad. Redondea a la diezmilésima más cercana.

5. 3x > 243 6. 16v ≤ 1 − 4

7. 8p = 50 8. 7y = 15

9. 53b = 106 10. 45k = 37

11. 127p = 120 12. 92m = 27

13. 3r - 5 = 4.1 14. 8 y + 4 > 15

15. 7.6d + 3 = 57.2 16. 0.5t - 8 = 16.3

17. 42x2 = 84 18. 5x2 + 1= 10

Expresa cada logaritmo en términos de logaritmos comunes. Luego, aproxima su valor a la diezmilésima más cercana.

19. log3 7 20. log5 66

21. log2 35 22. log6 10

23. Usa la fórmula pH = -log[H+] para calcular el pH de cada sustancia, dada su concentración de iones de hidrógeno.

a. jugos gástricos: [H+] = 1.0 × 10-1 mol por litro

b. jugo de tomate: [H+] = 7.94 × 10-5 mol por litro

c. sangre: [H+] = 3.98 × 10-8 mol por litro

d. pasta dental : [H+] = 1.26 × 10-10 mol por litro

Práctica de destrezasLogaritmos comunes

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Usa una calculadora para evaluar cada expresión a la diezmilésima más cercana.

1. log 101 2. log 2.2 3. log 0.05

Usa la fórmula pH = -log[H+] para calcular el pH de cada sustancia, dada su concentración de iones de hidrógeno.

4. leche: [H+] = 2.51 × 10-7 moles por litro

5. lluvia ácida: [H+] = 2.51 × 10-6 moles por litro

6. café negro: [H+] = 1.0 × 10-5 moles por litro

7. leche de magnesia: [H+] = 3.16 × 10-11 moles por litro


8. 2x < 25 9. 5a = 120 10. 6z = 45.6

11. 9m ≥ 100 12. 3.5x = 47.9 13. 8.2y = 64.5

14. 2b + 1 ≤ 7.31 15. 42x = 27 16. 2a - 4 = 82.1

17. 9z - 2 > 38 18. 5w + 3 = 17 19. 30x2 = 50

20. 5x2 - 3 = 72 21. 42x = 9x + 1 22. 2n + 1 = 52n - 1

Expresa cada logaritmo en términos de logaritmos comunes. Luego, aproxima cada valor a la diezmilésima más cercana.

23. log5 12 24. log8 32 25. log11 9

26. log2 18 27. log9 6 28. log7 √ � 8

29. HORTICULTURA Los lirios siberianos florecen cuando la concentración de iones de hidrógeno [H+] en el suelo no es menor que 1.58 × 10-8 mole por litro. ¿Cuál es el pH del suelo en el cual florecerán estos lirios?

30. ACIDEZ El pH del vinagre es 2.9 y el pH de la leche es 6.6. ¿Aproximadamente cuántas veces mayor es la concentración de iones de hidrógeno en el vinagre que en la leche?

31. BIOLOGÍA Inicialmente, hay 1000 bacterias en un cultivo. El número de bacterias se duplica cada hora. El número de bacterias N presentes después de t horas es N = 1000(2) t. ¿Cuánto tiempo le tomará al cultivo aumentar a 50,000 bacterias?

32. SONIDO Una ecuación para el volumen L en decibeles viene dada por L = 10 log R, donde R es la intensidad relativa del sonido. Una sirena antiaérea puede alcanzar 150 decibeles y el ruido del motor a reacción puede alcanzar 120 decibeles. ¿Cuántas veces más grande es la intensidad relativa de la sirena antiaérea que la del ruido del motor a reacción?

PrácticaLogaritmos comunes

8-6


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8-7 Práctica de destrezasLogaritmos naturales y de base e

Escribe una ecuación exponencial o logarítmica equivalente.

1. ex = 3 2. e4 = 8x

3. ln 15 = x 4. ln x ≈ 0.6931

5. e4 = x - 3 6. ln 5.34 = 2x

Escribe cada una de las siguientes como un solo logaritmo.

7. 3 ln 3 - ln 9 8. 4 ln 16 - ln 256

9. 2 ln x + 2 ln 4 10. 3 ln 4 + 3 ln 3


11. ex ≥ 5 12. ex < 3.2

13. 2ex - 1 = 11 14. 5ex + 3 = 18

15. e3x = 30 16. e-4x > 10

17. e5x + 4 > 34 18. 1 - 2e2x = -19

19. ln 3x = 2 20. ln 8x = 3

21. ln (x - 2) = 2 22. ln (x + 3) = 1

23. ln (x + 3) = 4 24. ln x + ln 2x = 2


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8-7

Escribe una ecuación exponencial o logarítmica equivalente.

1. ln 50 = x 2. ln 36 = 2x 3. ln 6 ≈ 1.7918 4. ln 9.3 ≈ 2.2300

5. ex = 8 6. e5 = 10x 7. e-x = 4 8. e2 = x + 1

Resuelve cada ecuación o desigualdad. Redondea a cuatro lugares decimales.

9. ex < 9 10. e-x = 31 11. ex = 1.1 12. ex = 5.8

13. 2ex - 3 = 1 14. 5ex + 1 ≥ 7 15. 4 + ex = 19 16. -3ex + 10 < 8

17. e3x = 8 18. e-4x = 5 19. e0.5x = 6 20. 2e5x = 24

21. e2x + 1 = 55 22. e3x - 5 = 32 23. 9 + e2x = 10 24. e-3x + 7 ≥ 15

25. ln 4x = 3 26. ln (-2x) = 7 27. ln 2.5x = 10 28. ln (x - 6) = 1

29. ln (x + 2) = 3 30. ln (x + 3) = 5 31. ln 3x + ln 2x = 9 32. ln 5x + ln x = 7

33. INVERSIÓN Sarita deposita $1000 en una cuenta que paga 3.4% de interés compuesto anual continuo. Usa la fórmula del interés compuesto continuo, A = Pert, donde P es el capital, r es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años.

a. ¿Cuál es el saldo en la cuenta de Sarita después de 5 años?

b. ¿Cuánto le tomará a la cuenta de Sarita alcanzar un saldo de $2000?

34. DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA La cantidad de una sustancia radiactiva y que permanece después de t años viene dada por la ecuación y = aekt, donde a es la cantidad inicial presente y k es la constante de desintegración para la sustancia radiactiva. Si a = 100, y = 50 y k = -0.035, calcula t.

PrácticaLogaritmos naturales y la base e


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8-8 Práctica de destrezasUsa funciones exponenciales y logarítmicas

1. PESCA En un área sobrepoblada de peces, la pesca de cierto pez disminuye exponencialmente. Usa k = 0.084 para determinar cuánto tiempo le tomará a la pesca llegar a la mitad de la cantidad actual.

2. POBLACIÓN Un censo actual muestra que una ciudad tiene 3.5 millones de habitantes. Usa la fórmula P = aert, para calcular la población esperada de la ciudad en 30 años si la tasa de crecimiento demográfico r es 1.5%, a representa la población actual en millones y t representa el tiempo en años.

3. POBLACIÓN La población P, en miles de habitantes, de una ciudad se puede modelar con la ecuación P = 80e0.015t, donde t es el tiempo en años. ¿En cuántos años tendrá la ciudad 120,000 habitantes?

4. BACTERIAS ¿Cuántos días le tomará a un cultivo de bacterias aumentar de 2000 a 50,000? Usa k = 0.657.

5. ENERGÍA NUCLEAR El elemento plutonio 239 es altamente radiactivo. Los reactores nucleares pueden producir y usar este elemento. El calor que emite el plutonio 239 ha contribuido a transportar equipos a la Luna. Si la media vida del plutonio 239 es 24,360 años, ¿cuál es el valor de k para este elemento?

6. DEPRECIACIÓN Un equipo de posicionamiento global por satélite (GPS, por sus siglas en inglés) usa información satelital para ubicar la posición sobre tierra. La firma de topógrafos de Abu compró un sistema de GPS por $12,500. Actualmente, el GPS tiene un valor de $8600. ¿Hace cuánto tiempo que Abu compró el sistema de GPS? Usa k = 0.062.

7. CRECIMIENTO LOGÍSTICO La población de cierto hábitat sigue la función.

p(t) = 105,000 −

1 + 2.7e-0.0981t .

a. ¿Cuál es la máxima población de este hábitat?

b. ¿Cuándo llegará la población a 100,000? Redondea a la centésima más cercana.


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PrácticaUsa funciones exponenciales y logarítmicas

1. BACTERIAS ¿Cuántas horas le tomará a un cultivo de bacterias aumentar de 20 a 2000? Usa k = 0.614.

2. DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Una sustancia radiactiva tiene una media vida de 32 años. Calcula la constante k para la sustancia en la fórmula de la desintegración.

3. DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA El cobalto, un elemento que se usa en aleaciones, tiene varios isótopos. Uno de éstos, el cobalto 60, es radiactivo y tiene una media vida de 5.7 años. El cobalto 60 se usa para rastrear la traza de sustancias no radiactivas en un sistema. ¿Cuál es el valor de k para el cobalto 60?

4. BALLENAS Las ballenas modernas aparecieron hace 5 a 10 millones de años. Las vértebras de una ballena, descubierta por paleontólogos, contenían apenas 0.25% del carbono-14 que hubieran contenido cuando la ballena estaba viva. ¿Hace cuánto murió la ballena? Usa k = 0.00012.

5. POBLACIÓN La población de conejos en un área se modela con la ecuación de crecimiento P(t) = 8e0.26t, donde P está en miles y t está en años. ¿Cuánto tiempo le tomará a la población alcanzar 25,000 individuos?

6. DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Un elemento radiactivo se desintegra exponencialmente. El modelo de desintegración viene dado por la fórmula A = A0e

-0.04463t. A es la cantidad presente después de t días y A0 es la cantidad inicial presente. Supón que comienzas con 50 gr. ¿Cuánto del elemento permanece después de 10 días? ¿Y de 30 días?

7. POBLACIÓN Una población crece continuamente a una tasa de 3%. Si ahora la población es de 5 millones, ¿cuánto será la población dentro de 17 años?

8. BACTERIAS Ciertas bacterias crecen exponencialmente de acuerdo con el modelo y = 80ekt. Usando k = 0.071, calcula cuántas horas le tomará a la bacteria alcanzar una población de 10,000 células.

9. CRECIMIENTO LOGÍSTICO La población de un hábitat sigue la función:

P(t) = 16,300 −− (1 + 17.5e-0.065t)

a. ¿Cuál es la máxima población?

b. ¿Cuándo llegará a 16,200 la población?

8-8


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9-1


1. 21x3y

− 14x2y2 2. 5ab3

− 25a2b2

3. (x6)3

− (x3)4

4. 8y2(y6)3

− 4y24

5. 18 − 2x - 6

6. x2 - 4 − (x - 2)(x + 1)

7. 3a2 - 24a − 3a2 + 12a

8. 3m − 2f

· f 3

− 6

9. 24g3

− 5f 2

· 10(gf )3

− 8g5f

10. 5r2

− r2 - 4

· r + 2 − 10r5

11. 7g −

y2 ÷ 21g3 12. 80y4

− 49z5v7

÷ 25y5

− 14z12v5

13. 3x2 −

x + 2 ÷ 3x −

x2 - 4 14. q

2 + 2q −

6q ÷

q2 - 4 −

3q2

15. w2 - 5w - 24 −

w + 1 · w

2 - 6w - 7 − w + 3

16. t2 + 19t + 84 −

4t - 4 · 2t - 2 −

t2 + 9t + 14

17. x2 - 5x + 4 −

2x - 8 ÷ (3x2 - 3x) 18. 16a2 + 40a + 25 −

3a2 - 10a - 8 ÷ 4a + 5 −

a2 - 8a + 16

19. c2y

− 2d2

− -c6

− 5d

20.

a2 - b2

− 4a

−

a + b − 2a

Práctica de destrezasMultiplica y divide expresiones racionales


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9-1


1. 9 a 2 b 3 − 27 a 4 b 4 c

2. (2 m 3 n 2 ) 3 −

-18 m 5 n 4 3.

10 y 2 + 15y −

35 y 2 - 5y

4. 2 k 2 - k - 15 − k 2 - 9

5. 25 - v 2 − 3 v 2 - 13v - 10

6. x 4 + x 3 - 2 x 2 − x 4 - x 3

7. -2 u 3 y

− 15x z 5

· 25 x 3 − 14 u 2 y 2

8. a + y

− 6 · 4 − y + a 9. n 5 −

n - 6 · n 2 - 6n −

n 8

10. a - y

− w + n · w 2 - n 2 − y - a 11. x 2 - 5x - 24 − 6x + 2 x 2

· 5 x 2 − 8 - x

12. x - 5 − 10x - 2

· 25 x 2 - 1 − x 2 - 10x + 25

13. a 5 y 3

− w y 7

÷ a 3 w 2 − w 5 y 2

14. ( 2xy

− w 2

) 3

÷ 24 x 2 − w 5

15. x + y

− 6

÷ x 2 - y 2

− 3

16. 3x + 6 − x 2 - 9

÷ 6 x 2 + 12x − 4x + 12

17. 2 s 2 - 7s - 15 − (s + 4 ) 2

÷ s 2 - 10s + 25 − s + 4

18. 9 - a 2 − a 2 + 5a + 6

÷ 2a - 6 − 5a + 10

19. 2x + 1 − x

− 4 - x − x

20. x 2 - 9 −

4 −

3 - x − 8

21. x 3 + 2 3 − x 2 - 2x

−

(x + 2 ) 3 −

x 2 + 4x + 4

22. GEOMETRÍA Un triángulo rectángulo con un área de x2 - 4 unidades cuadradas tiene un cateto que mide 2x + 4 unidades. Determina la longitud del otro cateto del triángulo.

23. GEOMETRÍA Una pirámide rectangular tiene una base de área x 2 + 3x - 10 − 2x

centímetros cuadrados y una altura de x 2 - 3x − x 2 - 5x + 6

centímetros. Escribe una expresión

racional para describir el volumen de la pirámide rectangular.

PrácticaMultiplica y divide expresiones racionales


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Calcula el mcm de cada conjunto de polinomios.

1. 12c, 6c2d 2. 18a3bc2, 24b2c2

3. 2x - 6, x - 3 4. 5a, a - 1

5. t2 - 25, t + 5 6. x2 - 3x - 4, x + 1


7. 3 − x + 5 − y 8. 3 − 8p2r

+ 5 − 4p2r

9. 2c - 7 − 3 + 4 10. 2 −

m2p + 5 −

p

11. 12 − 5y2

- 2 − 5yz

12. 7 − 4gh

+ 3 − 4h2

13. 2 − a + 2

- 3 − 2a

14. 5 − 3b + d

- 2 − 3bd

15. 3 − w - 3

- 2 − w2 - 9

16. 3t − 2 - x

+ 5 − x - 2

17. k − k - n

- k − n - k

18. 4z − z - 4

+ z + 4 − z + 1

19. 1 − x2 + 2x + 1

+ x − x + 1

20. 2x + 1 − x - 5

- 4 − x2 - 3x - 10

21. n − n - 3

+ 2n + 2 − n2 - 2n - 3

22. 3 − y2 + y - 12

- 2 − y2 + 6y + 8

9-2 Práctica de destrezasSuma y resta expresiones racionales


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9-2 PrácticaSuma y resta expresiones racionales

Calcula el MCM de cada conjunto de polinomios.

1. x2y, xy3 2. a2b3c, abc4 3. x + 1, x + 3

4. g - 1, g2 + 3g - 4 5. 2r + 2, r2 + r, r + 1 6. 3, 4w + 2, 4w2 - 1

7. x2 + 2x - 8, x + 4 8. x2 - x - 6, x2 + 6x + 8 9. d2 + 6d + 9, 2(d2 - 9)


10. 5 − 6ab

- 7 − 8a

11. 5 − 12 x 4 y

- 1 − 5 x 2 y 3

12. 1 − 6 c 2 d

+ 3 − 4c d 3

13. 4m − 3mn

+ 2 14. 2x - 5 - x - 8 − x + 4

15. 4 − a - 3

+ 9 − a - 5

16. 16 − x 2 - 16

+ 2 − x + 4

17. 2 - 5m − m - 9

+ 4m - 5 − 9 - m

18. y - 5 −

y 2 - 3y - 10 +

y −

y 2 + y - 2

19. 5 − 2x - 12

- 20 − x 2 - 4x - 12

20. 2p - 3 −

p 2 - 5p + 6 - 5 −

p 2 - 9 21. 1 −

5n - 3 −

4 + 7 −

10n

22. 2a − a - 3

- 2a − a + 3

+ 36 − a 2 - 9

23. 2 − x - y + 1 − x + y

− 1 − x - y

24. r + 6 − r - 1 −

r + 2 −

r 2 + 4r + 3 − r 2 + 2r

25. GEOMETRÍA Las expresiones 5x − 2 , 20 −

x + 4 , y 10 −

x - 4 representan las longitudes de los

lados de un triángulo. Escribe una expresión simplificada para el perímetro del triángulo.

26. KAYAK Mai navega en kayak en un río que tiene una corriente de 2 millas por hora. Sea r su tasa en aguas calmadas, entonces r + 2 es su tasa con la corriente y r - 2 es su tasa contra la corriente. Mai navega en kayak 2 millas río abajo y luego de regreso a su punto de comienzo. Escribe una expresión simplificada para el tiempo total que le toma

a Mai completar el viaje, usando la fórmula para el tiempo t = d − r , donde d es la distancia.


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Identifica las asíntotas, el dominio y el rango de cada función.

1. 2.


3. f(x) = 1 − x + 3

- 3 4. f(x) = -1 − x + 5

- 6

f (x)

f (x)

x

5. f(x) = -1 − x + 1

+ 3 6. f(x) = 1 − x + 4

- 2

x

f (x)

x

f (x)

x

x

f (x)

−2

−4

−2−4

4

2

2 4

f (x) =

1x - 1

y

x−2

2

4

6

2

-1f (x) = x + 4

Práctica de destrezasGrafica funciones recíprocas

9-3


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Identifica las asíntotas, el dominio y el rango de cada función.

1. f(x) = 1 − x - 1

- 3 2. f(x) = 1 − x + 1

+3 3. f(x) = -3 − x - 2

+ 5

x-2

-4

-6

-2

2 4

f (x)

x-2-4

2

4

6

2

f (x)

x-2

2

4

6

2 4 6

f (x)


4. f(x) = 1 − x + 1

- 5 5. f(x) = -1 − x - 3

- 4 6. f(x) = 3 − x - 2

+ 4

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

7. CARRERA Kate se inscribe en una carrera de bicicleta de 120 millas. Su tasa básica es 10 millas por hora, pero Kate promediará x millas por hora más rápido que eso. Escribe y grafica una ecuación que relacione x (velocidad de Kate por encima de 10 millas por hora) con el tiempo que le tomaría completar la carrera. Si desea terminar la carrera en 4 horas en lugar de 5 horas, ¿cuánto más rápido deberá correr?

x

t

4

6

2

8

10

12

14

642 10 148 12

PrácticaGrafica funciones recíprocas

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1. f(x) = -3 − x 2. f(x) = 10 − x 3. f(x) = -4 − x

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

4. f(x) = 2 − x - 1

5. f(x) = x − x + 2

6. f(x) = x2 - 4 −

x - 2

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

7. f(x) = x2 + x - 12 −

x - 3 8. f(x) = x - 1 −

x2 - 4x + 3 9. f(x) = 3 −

x2 - 2x - 8

y

x

y

y

x

9. f(x) = x3 −

2x + 2 10. f(x) = 2x3 + 4x2 - 10x - 12 −−

2x2 + 8x + 6 11. f(x) = (x + 1)2

− 2x - 1

y

x

y

x

y

x

Práctica de destrezasGrafica funciones racionales


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1. f(x) = -4 − x - 2

2. f(x) = x - 3 − x - 2

3. f(x) = 3x − (x + 3 ) 2

xO

f (x)

xO

f (x)

xO

f (x)

4. f(x) = 2x2 + 5 − 6x - 4

5. f(x) = x2 + 2x - 8 −

x - 2 6. f(x) = x

2 - 7x + 12 − x - 3

7. PINTURA Trabajando sola, Tawa puede darle al cobertizo una mano de pintura en 6 horas. Su padre tarda x horas trabajando solo para darle una mano de pintura al cobertizo.

La ecuación f(x) = 6 + x − 6x

describe la porción del trabajo que

Tawa y su padre pueden completar en 1 hora, trabajando

juntos. Grafica f(x) = 6 + x − 6x

para x > 0, y > 0. Si el padre de

Tawa puede completar, solo, el trabajo en 4 horas, ¿qué parte del trabajo pueden completar juntos en 1 hora? ¿Qué valores del dominio y del rango son significativos en el contexto del problema?

8. LUZ La relación entre la iluminación que recibe un objeto de una fuente de luz de I velas y el cuadrado de la distancia d en pies del

objeto a la fuente puede modelarse con I(d) = 4500 − d 2

. Grafica la

función I(d) = 4500 − d 2

para 0 < I ≤ 80 y 0 < d ≤ 80. ¿Cuál es la

iluminación de las velas que recibe el objeto a una distancia de 20 pies de la fuente de luz? ¿Qué valores del dominio y del rango son significativos en el contexto del problema?

PrácticaGrafica funciones racionales

x

f (x)

x

f (x)

x

f (x)

9-4

xO

f (x)

dO

III


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Indica si cada ecuación representa una variación directa, conjunta, inversa o combinada. Luego, nombra la constante de variación.

1. c = 12m 2. p = 4 − q 3. A = 1 − 2 bh

4. rw = 15 5. y = 2rgt 6. f = 5280m

7. y = 0.2d 8. vz = -25 9. t = 16rh

10. R = 8 − w 11. a − b = 1 −

3 12. C = 2πr

13. Si y varía directamente con x y y = 35 cuando x = 7, calcula y cuando x = 11.


15. Si y varía directamente con x y y = 540 cuando x = 10, calcula x cuando y = 1080.

16. Si y varía directamente con x y y = 12 cuando x = 72, calcula x cuando y = 9.

17. Si y varía conjuntamente con x y z y y = 18 cuando x = 2 y z = 3, calcula y cuando x es 5 y z es 6.

18. Si y varía conjuntamente con x y z y y = -16 cuando x = 4 y z = 2, calcula y cuando x es -1 y z es 7.


20. Si y varía inversamente con x y y = 2 cuando x = 2, calcula y cuando x = 1.


22. Si y varía inversamente con x y y = 3 cuando x = 14, calcula x cuando y = 6.

23. Si y varía directamente con z e inversamente a x y y = 27 y z = -3 cuando x = 2, calcula x cuando y = 9 y z = 5.

24. Si y varía directamente con z y directamente a x y y = -15 y z = 5 cuando x = 5, calcula x cuando y = -36 y z = -3.

Práctica de destrezasFunciones de variación

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c.



Indica si cada ecuación representa una variación directa, conjunta, inversa o combinada. Luego, nombra la constante de variación.

1. u = 8wz 2. p = 4s 3. L = 5 − k 4. xy = 4.5

5. C − d = π 6. 2d = mn 7. 1.25 − g = h 8. y = 3 −

4x


10. Si y varía directamente con x y y = -16 cuando x = 6, calcula x cuando y = -4.


12. Si y varía directamente con x y y = 7 cuando x = 1.5, calcula y cuando x = 4.



15. Si y varía conjuntamente con x y z y y = 12 cuando x = -2 y z = 3, calcula y cuando x es 4 y z es -1.


17. Si y varía inversamente con x y y = 3 cuando x = 5, calcula x cuando y = 2.5.

18. Si y varía directamente con z e inversamente con x y y = -18 y z = 3 cuando x = 6, calcula y cuando x = 5 y z = -5.

19. Si y varía directamente con z y directamente con x y y = 5 y z = 5 cuando x = 0.4, calcula x cuando y = 37.5 y z = 2.

20. GASES El volumen V de un gas varía inversamente con su presión P. Si V = 80 centímetros cúbicos cuando P = 2000 milímetros de mercurio, calcula V cuando P = 320 milímetros de mercurio.

21. RESORTES La longitud S que un resorte se estirará varía directamente con el peso F que se cuelga del resorte. Si el resorte se estira 20 pulgadas soportando 25 libras, ¿cuánto se estirará soportando 15 libras?

22. GEOMETRÍA El área A de un trapecio varía conjuntamente a su altura y a la suma de sus bases. Si el área es 480 metros cuadrados cuando la altura es 20 metros y las bases son 28 metros y 20 metros, ¿cuál es el área de un trapecio cuando su altura es 8 metros y sus bases son 10 metros y 15 metros?

PrácticaFunciones de variación

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1. x − x - 1

= 1 − 2 2. 2 = 4 − n + 1 −

3

3. 9 − 3x

= -6 − 2 4. 3 - z = 2 − z

5. 2 − d + 1

= 1 − d - 2

6. r - 3 − 5 = 8 − r

7. 2x + 3 − x + 1

= 3 − 2 8. -12 − y = y - 7

9. 15 − x + 9x - 7 −

x + 2 = 9 10. 3b - 2 −

b + 1 = 4 - b + 2 −

b - 1

11. 2 = 5 − 2q

+ 2q −

q + 1 12. 8 - 4 −

z = 8z - 8 −

z + 2

13. 1 − n + 3

+ 5 − n2 - 9

= 2 − n - 3

14. 1 − w + 2

+ 1 − w - 2

= 4 − w2 - 4

15. x - 8 − 2x + 2

+ x − 2x + 2

= 2x - 3 − x + 1

16. 12p + 19 − p2 + 7p + 12

- 3 − p + 3

= 5 − p + 4

17. 2 f − f 2 - 4

+ 1 − f - 2

= 2 − f + 2

18. 8 − t2 - 9

+ 4 − t + 3

= 2 − t - 3

Resuelve cada desigualdad. Verifica tus soluciones.

19. x - 2 − x + 4

> x + 1 − x + 10

20. 3 − k - 4 −

3k > 0

21. 2 - 3 − v < 5 − v 22. n + 3 − n < 12 − n

23. 1 − 2m

- 3 − m

< - 5 − 2 24. 1 −

2x < 2 −

x - 1

Práctica de destrezasResuelve ecuaciones y desigualdades racionales


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9-6

Resuelve cada ecuación o desigualdad. Verifica tus soluciones.

1. 12 − x + 3 − 4 = 3 −

2 2. x −

x - 1 - 1 = x −

2

3. p + 10

− p 2 - 2

= 4 − p 4. s − s + 2

+ s = 5s + 8 − s + 2

5. 5 − y - 5

= y −

y - 5 - 1 6. 1 −

3x - 2 + 5 − x = 0

7. 5 − t < 9 − 2t + 1

8. 1 − 2h

+ 5 − h = 3 −

h - 1

9. 4 − w - 2

= -1 − w + 3

10. 5 - 3 − a < 7 − a

11. 4 − 5x

+ 1 − 10

< 3 − 2x

12. 8 + 3 − y > 19 − y

13. 4 − p + 1 − 3p

< 1 − 5 14. 6 −

x - 1 = 4 −

x - 2 + 2 −

x + 1

15. g + g −

g - 2 = 2 −

g - 2 16. b + 2b −

b - 1 = 1 - b - 3 −

b - 1

17. 1 − n + 2

+ 1 − n - 2

= 3 − n 2 - 4

18. c + 1 − c - 3

= 4 - 12 − c 2 - 2c - 3

19. 3 − k - 3

+ 4 − k - 4

= 25 − k 2 - 7k + 12

20. 4v − v - 1

- 5v − v - 2

= 2 − v 2 - 3v + 2

21. y −

y + 2 + 7 −

y - 5 = 14 −

y 2 - 3y - 10 22. x 2 + 4 −

x 2 - 4 + x −

2 - x = 2 −

x + 2

23. r − r + 4

+ 4 − r - 4

= r 2 + 16 − r 2 - 16

24. 3 = 6a - 1 − 2a + 7

+ 22 − a + 5

27. BALONCESTO Hasta ahora, Kiana ha logrado 9 de los 19 tiros libres de esta temporada. Su meta es lograr 60% de sus tiros libres. Si Kiana logra sus próximos x

tiros libres seguidos, la función f(x) = 9 + x − 19 + x

representa la nueva razón de tiros libres

logrados por Kiana. ¿Cuántos tiros libres exitosos seguidos aumentarán a 60% el porcentaje de Kiana? ¿Es razonable la respuesta? Explica.

28. ÓPTICA La ecuación de la lente 1 − p + 1 − q = 1 − f relaciona la distancia p de un objeto a la

lente, la distancia q de la imagen del objeto a la lente y la distancia focal f de la lente. ¿Cuál es la distancia del objeto a la lente si la imagen del objeto está a 5 centímetros de la lente y la distancia focal de la lente es 4 centímetros? ¿Es razonable la respuesta? Explica.

PrácticaResuelve ecuaciones y desigualdades racionales


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Práctica de destrezasFórmula de la distancia y del punto medio

Calcula el punto medio del segmento de recta con extremos en las coordenadas dadas.

1. (4, -1), (-4, 1) 2. (-1, 4), (5, 2)

3. (3, 4), (5, 4) 4. (6, 2), (2, -1)

5. (3, 9), (-2, -3) 6. (-3, 5), (-3, -8)

7. (3, 2), (-5, 0) 8. (3, -4), (5, 2)

9. (-5, -9), (5, 4) 10. (-11, 14), (0, 4)

11. (3, -6), (-8, -3) 12. (0, 10), (-2, -5)

Calcula la distancia entre cada par de puntos con las coordenadas dadas.

13. (4, 12), (-1, 0) 14. (7, 7), (-5, -2)

15. (-1, 4), (1, 4) 16. (11, 11), (8, 15)

17. (1, -6), (7, 2) 18. (3, -5), (3, 4)

19. (2, 3), (3, 5) 20. (-4, 3), (-1, 7)

21. (-5, -5), (3, 10) 22. (3, 9), (-2, -3)

23. (6, -2), (-1, 3) 24. (-4, 1), (2, -4)

25. (0, -3), (4, 1) 26. (-5, -6), (2, 0)

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Calcula el punto medio de cada segmento de recta cuyos extremos son las coordenadas dadas.

1. (8, -3), (-6, -11) 2. (-14, 5), (10, 6)

3. (-7, -6), (1, -2) 4. (8, -2), (8, -8)

5. (9, -4), (1, -1) 6. (3, 3), (4, 9)

7. (4, -2), (3, -7) 8. (6, 7), (4, 4)

9. (-4, -2), (-8, 2) 10. (5, -2), (3, 7)

11. (-6, 3), (-5, -7) 12. (-9, -8), (8, 3)

13. (2.6, -4.7), (8.4, 2.5) 14. (- 1 − 3 , 6) , ( 2 −

3 , 4)

15. (-2.5, -4.2), (8.1, 4.2) 16. ( 1 − 8 , 1 −

2 ) , (- 5 −

8 , - 1 −

2 )

Calcula la distancia entre cada par de puntos con las coordenadas dadas.

17. (5, 2), (2, -2) 18. (-2, -4), (4, 4)

19. (-3, 8), (-1, -5) 20. (0, 1), (9, -6)

21. (-5, 6), (-6, 6) 22. (-3, 5), (12, -3)

23. (-2, -3), (9, 3) 24. (-9, -8), (-7, 8)

25. (9, 3), (9, -2) 26. (-1, -7), (0, 6)

27. (10, -3), (-2, -8) 28. (-0.5, -6), (1.5, 0)

29. ( 2 − 5 , 3 −

5 ) , (1, 7 −

5 ) 30. (-4 √ � 2 , - √ � 5 ), (-5 √ � 2 , 4 √ � 5 )

31. GEOMETRÍA El círculo O tiene un diámetro −−

AB . Si A está en (-6, -2) y B está en (-3, 4), calcula el centro del círculo y la longitud de su diámetro.

32. GEOMETRÍA Calcula el perímetro de un triángulo con vértices en (1, -3), (-4, 9) y (-2, 1).

PrácticaFórmula de la distancia y del punto medio

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10-2 Práctica de destrezasParábolas

Escribe cada ecuación en forma estándar. Identifica el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura de la parábola.

1. y = x2 + 2x + 2 2. y = x2 - 2x + 4 3. y = x2 + 4x + 1

4. y = -2x2 + 12x - 14 5. x = 3y2 + 6y - 5 6. x + y2 - 8y = -20

Grafica cada ecuación.

4. y = (x - 2)2 5. x = (y - 2)2 + 3 6. y = -(x + 3)2 + 4

Escribe una ecuación para cada una de las siguientes parábolas. Luego, grafica la ecuación.

7. vértice (0, 0), 8. vértice (5, 1), 9. vértice (1, 3),

foco (0, - 1 − 12

) foco (5, 5 − 4 ) directriz x = 7 −

8

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

O


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Escribe cada ecuación en forma estándar. Identifica el vértice, eje de simetría y la dirección de apertura de la parábola.

1. y = 2x2 - 12x + 19 2. y = 1 − 2 x2 + 3x + 1 −

2 3. y = -3x2 - 12x - 7

Grafica cada ecuación.

4. y = (x - 4)2 + 3 5. x = - 1 − 3 y2 + 1 6. x = 3(y + 1)2 - 3

Escribe una ecuación para cada parábola que se describe a continuación. Luego, grafica la ecuación.

7. vértice (0, -4), 8. vértice (-2, 1), 9. vértice (1, 3),

foco (0, -3 7 − 8 ) directriz x = -3 latus rectum: 2 unidades,

a < 0

10. TELEVISIÓN Para una antena parabólica, escribe la ecuación en la forma y = ax2. Supón que el fondo de la antena parabólica boca arriba pasa por (0, 0) y que la distancia desde el fondo al punto focal es 8 pulgadas.

x

y

Ox

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O

PrácticaParábolas

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10-3 Práctica de destrezasCírculos

Escribe una ecuación para el círculo que satisfaga cada conjunto de condiciones.

1. centro: (0, 5), r = 1 unidad 2. centro: (5, 12), r = 8 unidades

3. centro: (4, 0), r = 2 unidades 4. centro: (2, 2), r = 3 unidades

5. centro: (4, -4), r = 4 unidades 6. centro: (-6, 4), r = 5 unidades

7. extremos de un diámetro en (-12, 0) y (12, 0)

8. extremos de un diámetro en (-4, 0) y (-4, -6)

9. centro en (7, -3), pasa por el origen

10. centro en (-4, 4), pasa por (-4, 1)

11. centro en (-6, -5), tangente al eje y

12. centro en (5, 1), tangente al eje x

Calcula el centro y el radio de cada círculo. Luego, grafica el círculo.

13. x2 + y2 = 9 14. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 15. (x + 1)2 + y2 = 16

16. x2 + (y + 3)2 = 81 17. (x - 5)2 + (y + 8)2 = 49 18. x2 + y2 - 4y - 32 = 0

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O


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Escribe una ecuación para el círculo que satisfaga cada conjunto de condiciones.

1. centro (-4, 2), radio 8 unidades 2. centro (0, 0), radio 4 unidades

3. centro (- 1 − 4 , - √ � 3 ) , radio 5 √ � 2 unidades 4. centro (2.5, 4.2), radio 0.9 unidades

5. extremos de un diámetro en (-2, -9) y (0, -5)

6. centro en (-9, -12), pasa por (-4, -5)

7. centro en (-6, 5), tangente al eje x

Calcula el centro y el radio de cada círculo. Luego, grafica el círculo.

8. (x + 3)2 + y2 = 16 9. 3x2 + 3y2 = 12 10. x2 + y2 + 2x + 6y = 26

11. (x - 1)2 + y2 + 4y = 12 12. x2 - 6x + y2 = 0 13. x2 + y2 + 2x + 6y = -1

14. TIEMPO En promedio, el ojo circular de un huracán tiene cerca de 15 millas de diámetro. Los vientos huracanados pueden afectar un área de hasta 300 millas desde el centro de la tormenta. Una foto satelital de la llegada a tierra de un huracán mostró el centro de su ojo que se pudiera aproximar al punto (80, 26) en un sistema de coordenadas.

a. Escribe una ecuación para representar una posible frontera del ojo del huracán.

b. Escribe una ecuación para representar una posible frontera del área afectada por los vientos huracanados.

x

y

O 2-2-4

-2

-4

-6

4

xO

2

4

2

-2

-4

4 6

y

xO

2

2-2

-2

-4

-6

4

y

x

y

O 4 8

4

–4

–8

–4–8xO

2

4

2-2

-2

-4

-4 4

y

xO

2

4

-2-6

-2

-4

-4

y

PrácticaCírculos

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10-4 Práctica de destrezasElipses

Escribe una ecuación para cada elipse.

1. 2. 3.

Escribe una ecuación para una elipse que satisfaga cada conjunto de condiciones.

4. extremos del eje mayor 5. extremos del eje mayor 6. extremos del eje mayor en (0, 6) y (0, -6), en (2, 6) y (8, 6), en (7, 3) y (7, 9), extremos del eje menor extremos del eje menor extremos del eje menor en (-3, 0) y (3, 0) en (5, 4) y (5, 8) en (5, 6) y (9, 6)

7. eje mayor de 12 unidades 8. extremos del eje mayor 9. extremos del eje mayor ende largo y paralelo al eje x, en (-6, 0) y (6, 0), focos (0, 12) y (0, -12), focos en eje menor de 4 unidades en (- √

⎯⎯⎯ 32 , 0) y ( √⎯⎯⎯ 32 , 0) (0, √⎯⎯⎯ 23 ) y (0, - √⎯⎯⎯ 23 )

de largo, centro en (0, 0)

Dada la siguiente ecuación, calcula las coordenadas del centro y los focos y las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Luego, grafica la elipse.

10. y 2 −

100 + x 2 −

81 = 1 11. x 2 −

81 +

y 2 −

9 = 1 12.

y 2 −

49 + x 2 −

25 = 1

x

y

O 4 8

8

4

–4

–8

–4–8 x

y

O 4 8

8

4

–4

–8

–4–8

xO

y(0, 5)

(0, –1)

(–4, 2) (4, 2)

2-2

-2

-4

-4 4

2

4

xO

y

(0, 3)

(0, –3)

(0, –5)

(0, 5)

2-2

-2

-4

-4 4

2

4

xO

y

(0, 2)

(0, –2)

(–3, 0) (3, 0)2-2

-2

-4

-4 4

2

4

x

y

O 4 8

8

4

-4

-8

-4-8


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Escribe una ecuación para cada elipse.

1. 2. 3.

Escribe una ecuación para una elipse que satisfaga cada conjunto de condiciones.

4. extremos del eje mayor 5. extremos del eje mayor 6. eje mayor de 20 unidades en (-9, 0) y (9, 0), en (4, 2) y (4, -8), de longitud y paralelo al extremos del eje menor extremos del eje menor eje x, eje menor de en (0, 3) y (0, -3) en (1, -3) y (7, -3) 10 unidades de longitud,

centro en (2, 1)

7. eje mayor de 10 unidades 8. eje mayor de 16 unidades 9. extremos del eje menor de longitud, eje menor de de longitud, centro en en (0, 2) y (0, -2), focos 6 unidades de longitud y (0, 0), focos en (0, 2 √ �� 15 ) en (-4, 0) y (4, 0)paralelo al eje x, centro y (0, -2 √ �� 15 )en (2, -4)

Halla las coordenadas del centro y focos y las longitudes del eje mayor y del eje menor para la elipse con la ecuación dada. Luego, grafica la elipse.

10. y2

− 16

+ x2 −

9 = 1 11.

(y - 1)2

− 36

+ (x - 3)2

− 1 = 1 12. (x + 4)2

− 49

+ (y + 3)2

− 25

= 1

13. DEPORTES Un patinador sobre hielo traza dos elipses congruentes para formar una figura de ocho. Supón que el centro del primer aro está en el origen, con el segundo aro a su derecha. Escribe una ecuación para modelar el primer aro si su eje mayor (a lo largo del eje x) es 12 pies de largo y su eje menor es 6 pies de largo. Escribe otra ecuación para modelar el segundo aro.

x

y

O-4-8 4

-4

-8

4

-12

x

y

O 4 8

8

4

–4

–8

–4–8xO

2

4

2-2

-2

-4

-4 4

y

xO

y

(–5, 3)

(–6, 3)

(3, 3)

(4, 3)

4

2

2-2-4-6 4

6

xO

y

(0, 2 - √⎯5 )

(0, 2 + √⎯5 )

(0, –1)

(0, 5)

xO

y(0, 3)

(0, –3)

(–11, 0) (11, 0)6 12

2

–2

–6–12

PrácticaElipses

10-4


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Práctica de destrezasHipérbolas

Escribe una ecuación para cada hipérbola.

1. 2. 3.

Escribe una ecuación para la hipérbola que satisfaga cada conjunto de condiciones.

4. vértices (-4, 0) y (4, 0), conjugada del eje de 8

5. vértices (0, 6) y (0, -6), conjugada del eje de 14

6. vértices (0, 3) y (0, -3), conjugada del eje de 10

7. vértices (-2, 0) y (2, 0), conjugada del eje de 4

8. vértices (-3, 0) y (3, 0), focos (±5, 0)

9. vértices (0, 2) y (0, -2), focos (0, ±3)

10. vértices (0, -2) y (6, -2), focos (3 ± √ �� 13 , -2)

Grafica cada hipérbola. Identifica los vértices, focos y asíntotas.

11. x2 −

9 -

y2

− 36

= 1 12. y2

− 49

- x2 −

9 = 1 13.

x2

− 16

- y2

− 1 = 1

xO

y

4 8

8

4

–4

–8

–4–8xO

y

4 8

8

4

–4

–8

–4–8xO

y

2-2

-2

-4

-4 4

2

4

x

y

O

(√⎯29, 0)(–√⎯29, 0)

(2, 0)(–2, 0)

4 8

8

4

–4

–8

–4–8x

y

O

(0, √⎯61)

(0, –√⎯61)

(0, 6)

(0, –6)

4 8

8

4

–4

–8

–4–8x

y

O

(√⎯41, 0)(–√⎯41, 0)

(5, 0)

(–5, 0)

4 8

8

4

–4

–8

–4–8

10-5


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PrácticaHipérbolas

10-5

Escribe una ecuación para cada hipérbola.

1. 2. 3.

4. vértices (0, 7) y (0, -7), eje conjugado de 18 unidades de largo

5. vértices (0, -4) y (0, 4), eje conjugado de 6 unidades de largo

6. vértices (-5, 0) y (5, 0), focos (± √ �� 26 , 0)

7. vértices (0, 2) y (0, -2), focos (0, -1 ± √ � 5 )

Grafica cada hipérbola. Identifica los vértices, focos y asíntotas.

8. y2

− 16

- x2 −

4 = 1 9.

(y - 2)2

− 1 - (x - 1)2

− 4 = 1 10.

(y + 2)2

− 4 - (x - 3)2

− 4 = 1

11. ASTRONOMÍA Los astrónomos usan telescopios especiales de rayos X para observar las fuentes de los rayos X celestiales. Algunos telescopios de rayos X vienen con un espejo de metal con la forma de una hipérbola, el cual refleja los rayos X hacia un foco. Supón que los vértices de tal espejo están ubicados en (-3, 0) y (3, 0) y un foco está ubicado en (5, 0). Escribe una ecuación que modele la hipérbola formada por el espejo.

xO

y2

2

-2

-4

-6

4 6

xO

2

4

6

2-2

-2

4

y

xO

y

4 8

8

4

–4

–8

–4–8

xO

(–1, –2)

(1, –2)

(3, –2)

2

2-2

-2

-4

-6

4

y

x

y

O

(0, 3√⎯5 )

(0, –3√⎯5 )

(0, 3)

(0, –3)

4 8

8

4

–4

–8

–4–8 x

y

-2-4 2 4

2

4

-2

-4

y

y


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10-6 Práctica de destrezasIdentifica secciones cónicas

Escribe cada ecuación en forma estándar. Indica si la gráfica de la ecuación es una parábola, círculo, elipse o hipérbola. Luego, grafica la ecuación.

1. x2 - 25y2 = 25 2. 9x2 + 4y2 = 36 3. x2 + y2 - 16 = 0

4. x2 + 8x + y2 = 9 5. x2 + 2x - 15 = y 6. 100x2 + 25y2 = 400

Sin escribir la ecuación en forma estándar, indica si la gráfica de cada ecuación es una parábola, círculo, elipse o hipérbola.

7. 9x2 + 4xy + 4y2 = 36 8. x2 + y2 = 25

9. y = x2 + 2x 10. 8y2 - 8xy = 2x2 - 4x - 4

11. 4y2 - 25x2 = 100 12. 16x2 + 5xy + y2 = 16

13. 16x2 - 4y2 = 64 14. 5x2 + 5y2 = 25

15. 25y2 + 12xy + 9x2 = 225 16. 36y2 - 4x2 = 144

17. y = 4x2 - 36x - 144 18. x2 + y2 - 144 = 0

19. (x + 3)2 + ( y - 1)2 = 4 20. 25y2 - 50y + 4x2 = 75

21. x2 - 6y2 + 9 = 0 22. x2 - 2xy = y2 + 5y - 6

23. (x + 5)2 + y2 = 10 24. 25x2 + 30xy + 10y2 - 250 = 0

x

y

O

x

y

O

x

yO

x

y

O

x

y

OxO

y


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PrácticaIdentifica secciones cónicas

10-6

Escribe cada ecuación en forma estándar. Indica si la gráfica de la ecuación es una parábola, círculo, elipse o hipérbola. Luego, grafica la ecuación.

1. y2 = -3x 2. x2 + y2 + 6x = 7 3. 5x2 - 6y2 - 30x - 12y = -9

4. 196y2 = 1225 - 100x2 5. 3x2 = 9 - 3y2 - 6y 6. 9x2 + y2 + 54x - 6y = -81

Sin escribir la ecuación en forma estándar, indica si la gráfica de cada ecuación es una parábola, círculo, elipse o hipérbola.

7. 6x2 + 6y2 = 36 8. 4x2 + 6xy - y2 = 16 9. 9 x 2 + 16 y 2 - 10 x y - 6 4 y - 8 0 = 0

10. 5x2 + 5y2 - 45 = 0 11. x2 + 2x = y 12. 4y2 - 12 x y - 36 x2 + 4 x - 144 = 0

13. ASTRONOMÍA Un satélite viaja alrededor de un planeta en una órbita hiperbólica. Alcanza el vértice de su órbita en (5, 0) y luego viaja a lo largo de una trayectoria que se

acerca más y más a la recta y = 2 − 5 x. Escribe una ecuación que describa la trayectoria del

satélite si el centro de su órbita hiperbólica está en (0, 0).

xO

y

x

y

O

x

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

O


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Práctica de destrezasResuelve sistemas lineales y no lineales

Resuelve cada sistema de ecuaciones. 1. y = x - 2 2. y = x + 3 3. y = 3x

y = x2 - 2 y = 2x2 x = y2

4. y = x 5. x = -5 6. y = 7x2 + y2 = 4 x2 + y2 = 25 x2 + y2 = 9

7. y = -2x + 2 8. x - y + 1 = 0 9. y = 2 - xy2 = 2x

y2 = 4x y = x2 - 4x + 2

10. y = x - 1 11. y = 3x2 12. y = x2 + 1 y = x2 y = -3x2 y = -x2 + 3

13. y = 4x 14. y = -1 15. 4x2 + 9y2 = 36 4x2 + y2 = 20 4x2 + y2 = 1 x2 - 9y2 = 9

16. 3( y + 2)2 - 4(x - 3)2 = 12 17. x2 - 4y2 = 4 18. y2 - 4x2 = 4 y = -2x + 2 x2 + y2 = 4 y = 2x


19. y ≤ 3x - 2 20. y ≤ x 21. 4y2 + 9x2 < 144x2 + y2 < 16 y ≥ -2x2 + 4 x2 + 8y2 < 16

22. JARDINERÍA Un jardín elíptico tiene un sendero del punto A al punto B. Si el jardín se puede modelar por la ecuación

x2 + 3y2 = 12 y el sendero se puede modelar por la recta

y = - 1 − 3 x, ¿cuáles son las coordenadas del punto A y el punto B?

10-7

x

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O


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PrácticaResuelve sistemas lineales y no lineales

10-7


1. (x - 2)2 + y2 = 5 2. x = 2( y + 1)2 - 6 3. y2 - 3x2 = 6 4. x2 + 2y2 = 1x - y = 1 x + y = 3 y = 2x - 1 y = -x + 1

5. 4y2 - 9x2 = 36 6. y = x2 - 3 7. x2 + y2 = 25 8. y2 = 10 - 6x2

4x2 - 9y2 = 36 x2 + y2 = 9 4y = 3x 4y2 = 40 - 2x2

9. x2 + y2 = 25 10. 4x2 + 9y2 = 36 11. x = -( y - 3)2 + 2 12. x 2 − 9 -

y 2 −

16 = 1

x = 3y - 5 2x2 - 9y2 = 18 x = ( y - 3)2 + 3 x2 + y2 = 9

13. 25x2 + 4y2 = 100 14. x2 + y2 = 4 15. x2 - y2 = 3

x = - 5 − 2 x 2 −

4 +

y 2 −

8 = 1 y2 - x2 = 3

16. x 2 − 7 +

y 2 −

7 = 1 17. x + 2y = 3 18. x2 + y2 = 64

3x2 - y2 = 9 x2 + y2 = 9 x2 - y2 = 8


19. y ≥ x2 20. x2 + y2 < 36 21. (y - 3) 2

− 16

+ (x - 2) 2 −

4 ≤ 1

y > -x + 2 x2 + y2 ≥ 16 (x + 1)2 + ( y - 2)2 ≤ 4

22. GEOMETRÍA El tope de una puerta de hierro se parece a la mitad de una elipse con dos segmentos congruentes que van desde el centro de la elipse hasta los puntos que se muestran en la elipse. Supón que el centro de la elipse está en (0, 0). Si la elipse se puede modelar con la ecuación x2 + 4y2 = 4 para y ≥ 0 y los dos segmentos

congruentes se pueden modelar como y = √ � 3 −

2 x y y = -

√ � 3 −

2 x,

¿cuáles son las coordenadas de los puntos A y B?

BA

(0, 0)

x

y

O

x

y

O

x

y

O


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Práctica de destrezasSucesiones como funciones

Calcula los siguientes cuatro términos de cada sucesión aritmética. Luego, grafica la sucesión.

1. 7, 11, 15, … 2. -10, -5, 0, …

3. 101, 202, 303, … 4. 15, 7, -1, ...

Calcula los siguientes tres términos para cada sucesión geométrica. Luego, grafica la sucesión.

5. 1 − 2 , 2, 8, … 6. 2 −

5 , 2, 10, …

7. 6 1 − 3 , 19, 57, … 8. 13, 26, 52, …

11-1

x

y

5

1 2 3 4 5 6 7

101520253035

x

y

-5

20

-20-15-10

5

1 3 4 5 6 7

1015

x

y700

100

1 2 3 4 5 6 7

200300400500600

x

y

-5

20

-20-15-10

5

1 2 3 4 5 6 7

1015

x

y700

100

1 2 3 4 5 6 7

200300400500600

x

y1400

200400600800

10001200

2 3 4 5 6 71

x

y1400

200

1 2 3 4 5 6 7

400600800

10001200

x

y700

100

1 2 3 4 5 6 7

200300400500600


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PrácticaSucesiones como funciones

Calcula los siguientes cuatro términos de cada sucesión aritmética. Luego, grafica la sucesión. 1. 5, 8, 11, … 2. -4, -6, -8, …

Calcula los siguientes tres términos de cada sucesión geométrica. Luego, grafica la sucesión.

3. 1 − 10

, 1 − 2 , 2 1 −

2 , ... 4. 81, 27, 9, ...

Determina si cada sucesión es aritmética, geométrica o ninguna. Explica tu razonamiento.

5. 57, 456, 3648, 29,184 , … 6. -47, -37, -25, -13, ...

7. 4, 9, 16, 25, 36, ... 8. 824, 412, 206, 103, …

9. EDUCACIÓN Trevor Koba ha abierto una escuela para el idioma inglés en Isehara, Japón. Comenzó con 26 alumnos. Si matricula 3 alumnos nuevos cada semana, ¿en cuántas semanas tendrá 101 alumnos?

10. SALARIOS Yolanda se entrevistó para un trabajo donde le prometieron un salario inicial de $32,000 con un aumento de $1250 al final de cada año. ¿Cuál será su salario durante el sexto año si acepta el trabajo?

x

y35

51015202530

x

y

- 8- 6- 4- 2

- 12- 10

- 14

x

y

75150225300375450

x

y

153045607590

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11-2 Práctica de destrezasSucesiones y series aritméticas

Calcula el término indicado de cada sucesión aritmética.

1. a1 = 56, d = 13, n = 73

2. a19 for 16, 32, 48, …

Escribe una ecuación para el enésimo término de cada sucesión aritmética.

3. 64, 78, 92, 106, …

4. -416, -323, -230, -137, …

Calcula las medias aritméticas en cada sucesión.

5. 17, ? , ? , ? , 41

6. 235, ? , ? , ? , ? , ? , ? , 32

Calcula la suma de cada serie aritmética.

7. 1 + 4 + 7 + 10 + … + 43 8. 5 + 8 + 11 + 14 + … + 32

9. 3 + 5 + 7 + 9 + … + 19 10. -2 + (-5) + (-8) + … + (-20)

11. ∑ n = 1

5

(2n - 3) 12. ∑ n = 1

18

(10 + 3n)

13. ∑ n = 2

10

(4n + 1) 14. ∑ n = 5

12

(4 - 3n)

Calcula los primeros tres términos de cada serie aritmética.

15. a1 = 4, an = 31, Sn = 175 16. a1 = -3, an = 41, Sn = 228

17. n = 10, an = 41, Sn = 230 18. n = 19, an = 85, Sn = 760


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11-2 PrácticaSucesiones y series aritméticas

Calcula el término indicado de cada sucesión aritmética. 1. Halla el término sexagésimo de la sucesión aritmética si a1 = 418 y d = 12.

2. Calcula a23 en la sucesión, -18, -34, -50, -66, ….

Escribe una ecuación para el enésimo término de cada sucesión aritmética.

3. 45, 30, 15, 0, …

4. -87, -73, -59, -45, …

Calcula la suma de cada serie aritmética.

5. 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 27 6. -4 + 1 + 6 + 11 + ... + 91

7. 13 + 20 + 27 + … + 272 8. 89 + 86 + 83 + 80 + … + 20

9. ∑ n = 1

4

(1 - 2n) 10. ∑ j = 1

6

(5 + 3n) 11. ∑ n = 1

5

(9 - 4n)

12. ∑ k = 4

10

(2k + 1) 13. ∑ n = 3

8

(5n - 10) 14. ∑ n = 1

(4 - 4n)

Calcula los primeros tres términos de cada serie aritmética descrita.

15. a1 = 14, an = -85, Sn = -1207 16. a1 = 1, an = 19, Sn = 100

17. n = 16, an = 15, Sn = -120 18. n = 15, an = 5 4 − 5 , Sn = 45

19. APILAR Un club de salud enrolla sus toallas y las apila por capas en un estante. Cada capa de toallas tiene una toalla menos que la capa inferior. Si hay 20 toallas en la capa del fondo y una toalla en la capa superior, ¿cuántas toallas hay apiladas en el estante?

20. NEGOCIOS Un comerciante coloca $1 en un sorteo el 1 de agosto, luego saca el nombre de un cliente frecuente. Si el/la cliente está presente, ganará $1 en el sorteo. Si el/la cliente no está presente, el comerciante agrega $2 al sorteo el 2 de agosto y saca otro nombre. Cada día el comerciante agrega una cantidad igual al día del mes. Si la primera persona en ganar el sorteo gana $496, ¿en qué día del mes se sacó su nombre?

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Práctica de destrezasSucesiones y series geométricas

11-3

Calcula an para cada sucesión geométrica.

1. a1 = 5, r = 2, n = 6 2. a1 = 18, r = 3, n = 6

3. a1 = -3, r = -2, n = 5 4. a1 = -20, r = -2, n = 9

5. a1 = 65,536, r = 1 − 4 , n = 6 6. a1 = -78,125, r = 1 −

5 , n = 9

Escribe una ecuación para el enésimo término de cada sucesión geométrica.

7. 3, 9, 27, … 8. -1, -3, -9, …

9. 2, -6, 18, … 10. 5, 10, 20, …

11. 12, 36, 108, 324, … 12. 32,768; 4096; 512; 64; …

13. 25, 175, 1225, 8575, … 14. -16,384; -8192; -4096; -2048; …

Calcula las medias geométricas de cada sucesión.

15. 4, , , , 64 16. 1, , , , 81

17. 38; 228; ? ; 8208; 49,248; … 18. 51; ? ; 4131; ? ; 334,611; …

19. -15, ? , ? , ? , -240, … 20. 531,441; ? ; ? ; ? ; ? ; 9; …

Calcula a1 de cada serie geométrica descrita.

21. Sn = 1295, r = 6, n = 4 22. Sn = 1640, r = 3, n = 8

23. Sn = 218 2 − 5 , an = 1 2 −

5 , r = 1 −

5 24. Sn = -342, an = -512, r = -2

?? ? ?? ?


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11-3 PrácticaSucesiones y series geométricas

Calcula an para cada sucesión geométrica.

1. a1 = 5, r = 3, n = 6 2. a1 = 20, r = -3, n = 6

3. a1 = -4, r = -2, n = 10 4. a8 para - 1 − 250

, - 1 − 50

, - 1 − 10

, …

5. a12 para 96, 48, 24, … 6. a1 = 8, r = 1 − 2 , n = 9

7. a1 = -3125, r = - 1 − 5 , n = 9 8. a1 = 3, r = 1 −

10 , n = 8

Escribe una ecuación para el enésimo término de cada sucesión geométrica.

9. 1, 4, 16, … 10. -1, -5, -25, …

11. 1, 1 − 2 , 1 −

4 , … 12. -3, -6, -12, …

Calcula la suma de cada serie geométrica.

13. ∑ k = 3

10

(-4)(-2) k - 1 14. ∑ k = 1

8

(-3)(3) k - 1 15. ∑ k = 2

32

9(-1) k - 1

Calcula a1 para cada serie geométrica descrita.

16. Sn = 1550, n = 3, r = 5 17. Sn = 1512, n = 6, r = 2

18. Sn = 3478.2, r = 2, an = 3481.6 19. Sn = 4860, r = 3, an = 3280.5

20. BIOLOGÍA Un cultivo contiene inicialmente 200 bacterias. Si el número de bacterias se duplica cada 2 horas, ¿cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de 12 horas?

21. LUZ Si cada pie de agua en un lago refleja 60% de la luz superior, ¿qué porcentaje de luz pasa a través de 5 pies de agua?

22. INVERSIÓN Raúl invierte $1000 en una cuenta de ahorros que gana 5% de interés compuesto anualmente. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta al cabo de 5 años?


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Práctica de destrezasSeries geométricas infinitas

11-4

Calcula la suma de cada serie infinita, si existe.

1. a1 = 1, r = 1 − 2 2. a1 = 5, r = - 2 −

5

3. a1 = 8, r = 2 4. a1 = 6, r = 1 − 2

5. 4 + 2 + 1 + 1 − 2 + … 6. 540 - 180 + 60 - 20 + …

7. 5 + 10 + 20 + … 8. -336 + 84 - 21 + …

9. 125 + 25 + 5 + … 10. 9 - 1 + 1 − 9 - …

11. 3 − 4 + 9 −

4 + 27 −

4 + … 12. 1 −

3 + 1 −

9 + 1 −

27 + …

13. 5 + 2 + 0.8 + … 14. 9 + 6 + 4 + …

15. ∑ n = 1

∞

10 ( 1 − 2 )

n - 1 16. ∑

n = 1

∞

6 (- 1 − 3 )

n - 1

17. ∑ n = 1

∞

15 ( 2 − 5 )

n - 1 18. ∑

n = 1

∞

(- 4 − 3 ) ( 1 −

3 )

n - 1

Escribe cada decimal periódico como una fracción.

19. 0. −

4 20. 0. −

8

21. 0. −−

27 22. 0. −−

67

23. 0. −−

54 24. 0. −−−

375

25. 0. −−−

641 26. 0. −−−

171


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Calcula la suma de cada serie infinita, si existe. 1. a1 = 35, r = 2 −

7 2. a1 = 26, r = 1 −

2

3. a1 = 98, r = - 3 − 4 4. a1 = 42, r = 6 −

5

5. a1 = 112, r = - 3 − 5 6. a1 = 500, r = 1 −

5

7. a1 = 135, r = - 1 − 2 8. 18 - 6 + 2 - ...

9. 2 + 6 + 18 + ... 10. 6 + 4 + 8 − 3 + ...

11. 4 − 25

+ 2 − 5 + 1 + ... 12. 10 + 1 + 0.1 + ...

13. 100 + 20 + 4 + ... 14. -270 + 135 -67.5 + ...

15. 0.5 + 0.25 + 0.125 + ... 16. 7 − 10

+ 7 − 100

+ 7 − 1000

+ ...

17. 0.8 + 0.08 + 0.008 + ... 18. 1 − 12

- 1 − 6 + 1 −

3 - ...

19. 3 + 9 − 7 + 27 −

49 + ... 20. 0.3 - 0.003 + 0.00003 - ...

21. 0.06 + 0.006 + 0.0006 + ... 22. 2 − 3 - 2 + 6 - ...

23. ∑ n = 1

∞

3 ( 1 − 4 )

n - 1 24. ∑

n = 1

∞

2 − 3 (- 3 −

4 )

n - 1

25. ∑ n = 1

∞

18 ( 2 − 3 )

n - 1 26. ∑

n = 1

∞

5 (-0.1) n - 1

Escribe cada decimal periódico como una fracción.

27. 0. −

6 28. 0. −−

09 29. 0. −−

43 30. 0. −−

27

31. 0. −−−

243 32. 0. −−

84 33. 0. −−−

990 34. 0. −−−

150

35. PÉNDULOS En su primera oscilación, un péndulo recorre 8 pies. En cada oscilación sucesiva, el péndulo recorre 4 −

5 de la distancia de su oscilación anterior. ¿Cuál es la

distancia total recorrida por el péndulo cuando para de oscilar?

36. ELASTICIDAD Una pelota que se deja caer de una altura de 10 pies rebota 9 − 10

de esa

distancia. Con cada rebote sucesivo, la pelota continúa alcanzando 9 − 10

de su altura

previa. ¿Cuál es la distancia vertical total (tanto hacia arriba como hacia abajo) recorrida por la pelota cuando para de rebotar? (Ayuda: Suma la distancia total que la pelota cae con la distancia total que sube.)

PrácticaSeries geométricas infinitas

11-4


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Práctica de destrezasRecursiones e iteracciones

11-5

Calcula los primeros cinco términos de cada sucesión descrita.

1. a1 = 4, an + 1 = an + 7 2. a1 = -2, an + 1 = an + 3

3. a1 = 5, an + 1 = 2an 4. a1 = -4, an + 1 = 6 - an

5. a1 = 0, a2 = 1, an + 1 = an + an - 1 6. a1 = -1, a2 = -1, an + 1 = an - an - 1

7. a1 = 3, a2 = -5, an + 1 = -4an + an - 1 8. a1 = -3, a2 = 2, an + 1 = an - 1 - an

Escribe una fórmula recursiva para cada sucesión.

9. 2, 7, 12, 17, 22, … 10. 4; 16; 256; 65,536, …

11. 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 12. 1; 3; 11; 123; 15,131, …

13. 2, 3, 6, 18, 108, 1944, … 14. –2, –8, –512, –134, 217, 728, …

Calcula las primeras tres interacciones de cada función para el valor inicial dado.

15. f (x) = 2x - 1, x0 = 3 16. f (x) = 5x - 3, x0 = 2

17. f (x) = 3x + 4, x0 = -1 18. f (x) = 4x + 7, x0 = -5

19. f (x) = -x - 3, x0 = 10 20. f (x) = -3x + 6, x0 = 6

21. f (x) = -3x + 4, x0 = 2 22. f (x) = 6x - 5, x0 = 1

23. f (x) = 7x + 1, x0 = -4 24. f (x) = x2 - 3x, x0 = 5


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11-5 PrácticaRecursiones e iteracciones

Calcula los primeros cinco términos de cada sucesión descrita. 1. a1 = 3, an + 1 = an + 5 2. a1 = -7, an + 1 = an + 8

3. a1 = -3, an + 1 = 3an + 2 4. a1 = -8, an + 1 = 10 - an

5. a1 = 2, a2 = -3, an + 1 = 5an - 8an - 1 6. a1 = -2, a2 = 1, an + 1 = -2an + 6an - 1

Escribe una fórmula recursiva para cada sucesión. 7. 2, 5, 7, 13, 20, … 8. 1, -2, -2, 4, -8, -32, 256, …

9. -3, 9, 81, 6561, … 10. 3, 7, 4, -3, -7, -4, 3, 7, …

11. -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, … 12. 3, 1, 1 − 3 , 1 −

3 , 1, 3, 3, 1, …

Calcula las primeras tres iteraciones de cada función para el valor inicial dado.

13. f (x) = 3x + 4, x0 = -1 14. f (x) = 10x + 2, x0 = -1

15. f (x) = 8 + 3x, x0 = 1 16. f (x) = 8 - x, x0 = -3

17. f (x) = 4x + 5, x0 = -1 18. f (x) = 5(x + 3), x0 = -2

19. f (x) = -8x + 9, x0 = 1 20. f (x) = -4x2, x0 = -1

21. f (x) = x2 - 1, x0 = 3 22. f (x) = 2x2; x0 = 5

23. INFLACIÓN Al iterar la función c(x) = 1.05x, se obtiene el costo futuro de un artículo con una tasa de inflación constante de 5%. Calcula el costo de un anillo de $2000 en cinco años con una inflación de 5%.

24. FRACTALES Al reemplazar cada lado del cuadrado que se muestra por la combinación de los segmentos, se obtiene la figura a su derecha. a. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado original?

b. ¿Cuál es el perímetro de la nueva figura?

c. Si repites el proceso reemplazando cada lado de la nueva figura por una combinación proporcional de 5 segmentos, ¿cuál será el perímetro de la tercera figura?

d. ¿Qué función f(x) puedes iterar para calcular el perímetro de cada figura sucesiva si continúas este proceso?

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1 pulg

3 pulg

1 pulg 1 pulg


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11-6 Práctica de destrezasEl teorema del binomio

Expande cada binomio.

1. (x - y)3 2. (a + b)5

3. (g - h)4 4. (m + 1)4

5. (r + 4)3 6. (a - 5)4

7. ( y - 7)3 8. (d + 2)5

9. (x - 1)4 10. (2a + b)4

11. (c - 4d)3 12. (2a + 3)3

Calcula el término indicado de cada expresión.

13. cuarto término de (6x + 5)5 14. quinto término de (x – 3y)6

15. tercer término de (11x + 3y)6 16. doceavo término de (13x – 4y)11

17. cuarto término de (m + n)10 18. séptimo término de (x - y)8

19. tercer término de (b + 6)5 20. sexto término de (r - 2)9

21. quinto término de (2a + 3)6 22. segundo término de (3x - y)7


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Desarrolla cada binomio.

1. (n + v)5

2. (x - y)4

3. (x + y)6

4. (r + 3)5

5. (m - 5)5

6. (x + 4)4

7. (3x + y)4

8. (2m - y)4

9. (w - 3z)3

10. (2d + 3)6

11. (x + 2y)5

12. (2x - y)5

13. (a - 3b)4

14. (3 - 2z)4

15. (3m - 4p)3

16. (5x - 2y)4

Calcula el término indicado de cada desarrollo.

17. sexto término de (x + 4y)6 18. cuarto término de (5x + 2y)5

19. octavo término de (x – y)11 20. tercer término de (x – 2)8

21. séptimo término de (a + b)10 22. sexto término de (m - p)10

23. noveno término de (r - t)14 24. décimo término de (2x + y)12

25. cuarto término de (x - 3y)6 26. quinto término de (2x - 1)9

27. GEOMETRÍA ¿Cuántos segmentos de recta se pueden dibujar entre diez puntos, sin que tres segmentos de estos sean colineales, si usas exactamente dos de los diez puntos para dibujar cada segmento?

28. PROBABILIDAD Si lanzas una moneda 4 veces, ¿cuántas sucesiones diferentes de lanzamientos darán exactamente 3 caras y 1 escudo o exactamente 1 cara y 3 escudos?

11-6 PrácticaEl teorema del binomio


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Práctica de destrezasDemostraciones por inducción matemática

11-7

Demuestra que cada enunciado es verdadero para todos los números naturales.

1. 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

2. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n2 + n

3. 6n - 1 es divisible entre 5.

Calcula un contraejemplo para rechazar cada enunciado.

4. 3n + 3n es divisible entre 6. 5. 1 + 4 + 8 + … + 2n = n(n + 1)(2n + 1) −

6


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Demuestra que cada enunciado es verdadero para todos los enteros positivos. 1. 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n - 1 = 2n - 1

2. 1 + 4 + 9 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1) −

6

3. 18n - 1 es un múltiplo de 17.

Halla un contraejemplo para rebatir cada enunciado.

4. 1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) = n3 - n2 + 1 5. 5n - 2n - 3 es divisible entre 3.

6. 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 + 3n - 2 −

2 7. 13 + 23 + 33 + … + n3 = n4 - n3 + 1

PrácticaDemostraciones por inducción matemática

11-7


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12-1

Indica si cada situación representa un experimento o un estudio observacional. Identifica el grupo de control y el grupo tratado. Si es un experimento, determina si existe sesgo.

1. Hallar 200 personas en un centro comercial y separarlas al azar en dos grupos. Un grupo prueba una medicina nueva para el dolor y el otro grupo prueba un placebo.

2. Hallar 100 alumnos de los cuales la mitad practique algún deporte y comparar sus calificaciones en el SAT.

Determina si la siguiente situación requiere una encuesta, un estudio observacional o un experimento. Explica el proceso.

3. Quieres conocer las opiniones sobre el mejor juego de computadora a comprar.

4. Quieres saber si los alumnos que tiene un promedio de 4.0 estudian más que aquellos que no.

Determina si los siguientes enunciados muestran correlaciones o causaciones. Explica.

5. Cuando un semáforo está en rojo, la conductora detiene su carro.

6. Los estudios demuestran que los alumnos que tiene confianza antes de una prueba obtienen mejores calificaciones.

7. Si practico el saxofón todos los días, lograré entrar en la banda de jazz de la escuela.

8. Si el agua se calienta a 100° Celsius, hervirá.

Práctica de destrezasExperimentos, encuestas y estudios observacionales

Ejercicios


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12-1 Práctica Experimentos, encuestas y estudios observacionales

Indica si cada situación representa un experimento o un estudio de observación. Identifica el grupo control y el grupo tratamiento. Si es un experimento, determina si existe sesgo.

1. Halla 300 alumnos, la mitad de los cuales estén en el equipo de ajedrez y compara sus promedios de calificaciones.

2. Halla 1000 personas y sepáralas aleatoriamente en dos grupos. Dale a un grupo una vitamina nueva y al otro grupo un placebo.

Determina si cada situación se denomina como una encuesta, un estudio de observación o un experimento. Explica el proceso.

3. Deseas comparar la salud de los alumnos que van a la escuela caminando con aquellos que van en autobús.

4. Deseas averiguar si las personas que comen una barra de caramelo justo antes de una prueba de matemáticas obtienen puntajes más altos que aquellas que no lo hacen.

Determina si los siguientes enunciados muestran correlación o causalidad. Explica.

5. Si corro todos los días, puedo terminar un maratón en tres horas.

6. Cuando no hay nubes en el cielo, no llueve.

7. Estudios demuestran que tomar un multivitamínico te alarga la vida.

8. Si estudio durante tres horas, obtendré un puntaje del 100% en mi prueba de historia.


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12-2

¿Qué medida de tendencia central representa mejor los datos y por qué?

1. {10.2, 11.5, 299.7, 15.5, 20}

3. {200, 250, 225, 25, 268, 250,7}

2. {75, 60, 60, 71, 74.5, 60, 67, 72.5}

4. {410, 405, 397, 450, 376, 422, 401}

Determina si los siguientes representan una población o una muestra.

5. una encuesta sobre el almuerzo escolar que le pregunta a cada quinto alumno que entra en la cafetería

7. una lista de las calificaciones de una prueba de todos los alumnos en una clase

6. A los alumnos de décimo grado en una escuela secundaria se les preguntan sobre el atletismo escolar.

8. una lista de las calificaciones de 1000 alumnos en una prueba de SAT

9. PELÍCULAS Una encuesta a 728 personas al azar demostró que 72% prefieren películas de comedia sobre las románticas. ¿Cuál es el margen de error muestral y el intervalo que posiblemente contenga el porcentaje de la población?

10. DEPORTES Una encuesta a 3441 personas al azar en uno de los estados de EE.UU. reveló que 80% ven los juegos de fútbol americano universitario cada fin de semana de otoño. ¿Cuál es el margen error muestral y el intervalo que posiblemente contenga el porcentaje de la población?

11. Determina si cada una de las siguientes es una muestra o una población. Luego, calcula la desviación estándar de los datos. Redondea a la centésima más cercana.

a. El número de calzado de 12 alumnos en una escuela secundaria

4 8 5 6 6 5

9 7 10 7 9 8

b. El número de sentadillas completadas por todos los alumnos en una clase de gimnasia

50 28 41 61 54 28

47 33 45 50 50 61

23 41 31 38 42

Práctica de destrezasAnálisis estadísticos


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¿Qué medida de tendencia central representa mejor los datos y por qué?

1. {12.1, 14.9, 6.7, 10, 12.8, 14, 18}

3. {10, 14.7, 14.7, 21, 7.4, 14.7, 8, 14.7}

2. {77.9, 101, 78.9, 105, 4.2, 110, 87.9}

4. {29, 36, 14, 99, 16, 15, 12, 30}

Determina si los siguientes representan una población o una muestra.

5. una lista de las veces que cada alumno ha corrido una milla en la clase de gimnasia

7. amigos comparan el promedio de bateo de los jugadores que se nombran en sus colecciones de tarjetas de béisbol

6. se comparan las notas de pruebas de siete alumnos en una clase de química

8. cada alumno de una secundaria vota en una elección de presidente de la clase

9. CARROS Una encuesta realizada al azar a 56 personas, en un pequeño pueblo, revela que 14% conduce convertibles casi todo el año. ¿Cuál es el margen de error de la muestra? ¿Cuál es el intervalo probable que contiene el porcentaje de la población que conduce convertibles casi todo el año?

10. PLAYAS Una encuesta realizada al azar a 812 personas en Hawai reveló que 57% fue a la playa al menos cuatro veces el julio pasado. ¿Cuál es el margen de error de la muestra? ¿Cuál es el intervalo probable que contiene el porcentaje de la población que fue a la playa al menos cuatro veces el julio pasado?

11. Determina si cada una es una muestra o una población. Luego, calcula la desviación estándar de los datos. Redondea a la centésima más cercana.

a. El número de victorias para cada jugador de un equipo de tenis la temporada pasada

10 2 9 17 4 8

9 9 10 15 19 5

b. El número de medallas obtenidas por 18 equipos de debate de secundaria

7 10 4 5 10 9

11 5 6 4 4 3

12 7 8 5 3 9

PrácticaAnálisis estadísticos

12-2


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12-3 Práctica de destrezasProbabilidad condicional

El girador está enumerado del uno al ocho. Calcula cada probabilidad.

1. El girador cae en 3, dado que el girador cae en un número impar.

2. El girador cae en un número mayor que 5, dado que el girador cae en un número par.

3. El girador cae en número menor que 6, dado que el girador no cae en 1 ó 2.

4. El girador cae en 7, dado que el girador cae en un número mayor que 4.

5. El girador no cae en 3, dado que el girador cae en un número impar.

6. El girador cae en un número menor que 6, dado que el girador cae en un número impar.

7. CONCIERTOS El Escuadrón del pánico va a tocar en un concierto. Jennifer encuestó a sus compañeros para saber si pertenecían al club de fans del Escuadrón del pánico y si irían al concierto. Calcula la probabilidad de que una persona encuestada vaya al concierto, dado que sea miembro del club de fans.

8. ELECCIONES ESPECIALES Cuando los congresistas desocupan sus puestos en la mitad de su período de dos años, se realiza una elección especial para llenar el cargo por el resto del período. La tabla muestra el número de elecciones especiales que ganó cada partido entre 2004 y 2007. Calcula cada probabilidad.

2004 2005 2006 2007

Victorias republicanas 0 1 2 3

Victorias demócratas 3 1 1 2

Fuente: Clerk of the House of Representatives

a. Gana un republicano dado que la elección especial se realizó en 2007.

b. La elección se realizó en 2005, dado que ganó un demócrata.

c. Gana un demócrata, dado que la elección se realizó en 2006.

Miembro

del club

de fans

No

miembro

del club

de fans

Irá el

concierto12 4

No irá el

concierto2 18

1 23

456

7

8


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Se lanzan cuatro cubos numerados. Calcula cada probabilidad.

1. Todos los lanzamientos son 5, dado que todos los lanzamientos muestran el mismo número.

2. Uno de los lanzamientos es un 4, dado que todos los lanzamientos son mayores que 3.

3. Ninguno de los lanzamientos es un 2, dado que todos los lanzamientos son iguales.

4. Uno de los lanzamientos es un 6, dado que uno de los lanzamientos es un 2.

5. QUÍMICA Cheryl y Jerome están probando el pH de 32 sustancias desconocidas como parte de una clase de ciencias. Cheryl y Jerome dividen el trabajo entre ellos como se muestra en la tabla. Calcula cada probabilidad. a. La sustancia es ácida, dado que Cheryl es la que la prueba.

b. Jerome está probando la sustancia, dado que esta es una base.

6. ELECCIONES Rose Heck se postula contra Joe Coniglio en un distrito que incluye los pueblos de Hasbrouck, Clinton, Eastwick y Abletown. La tabla muestra la cantidad de votos que recibió cada uno de los candidatos en cada pueblo. Calcula cada probabilidad.

Hasbrouck Clinton Eastwick Abletown

Joe Coniglio 1743 1782 886 7790

Rose Heck 2616 2178 1329 5876

a. Un votante votó por Joe Coniglio, dado que los votantes votaron en Clinton.

b. Un votante votó Rose Heck, dado que los votantes votaron en Eastwick.

c. Un votante votó en Hasbrouck, dado que los votantes votaron por Joe Coniglio.

7. BÉISBOL Derek Jeter, un jugador de los New York Yankees, hizo 206 hits en la temporada del 2007 de las ligas mayores de béisbol y tiene 2356 hits en su carrera. La siguiente tabla muestra el número de sencillos, dobles, triples y jonrones que Derek Jeter hizo en la temporada del 2007 y durante su carrera. Calcula cada probabilidad.

Sencillos Dobles Triples Jonrones

Temporada 2007 151 39 4 12

Carrera 1721 386 54 195

a. Un hit fue un jonrón, dado que el hit ocurrió en la temporada 2007.

b. Un hit fue un doble, dado que el hit ocurrió durante la carrera de Jeter.

ResultadosPruebas

de Cheryl

Pruebas

de Jerome

Ácido 12 8

Base 9 3

12-3 PrácticaProbabilidad condicional


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12-4

1. FOTOGRAFÍA Ahmed está colocando 2 fotografías en su sitio de Internet. Ha reducido sus opciones a 4 paisajes y 3 retratos. Si elige las dos fotografías al azar, calcula la probabilidad de cada elección.

a. P(2 retratos) b. P(2 paisajes) c. P(1 de cada una)

2. VIDEOS Los Carubas tienen una colección de 28 películas, incluyendo 12 películas de vaqueros y 16 de ciencia ficción. Elise elige 3 películas al azar para llevarlas a casa de una amiga. Calcula la probabilidad de cada elección.

a. P(3 de vaqueros) b. P(3 de ciencia ficción)

c. P(1 de vaqueros y 2 de ciencia ficción) d. P(2 de vaqueros y 1 de ciencia ficción)

e. P(3 de comedia) f. P(2 de ciencia ficción y 2 de vaqueros)

3. CLASES La tabla de la derecha muestra las estadísticas de clase y género de los alumnos que cursan una clase de Álgebra 1 ó Álgebra 2 en la secundaria La Mesa. Si un alumno que cursa Álgebra 1 ó Álgebra 2 se elige al azar, calcula cada probabilidad. Exprésala como decimales redondeados a la centésima más cercana.

a. P(segundo año/mujer)

b. P(tercer año/hombre)

c. P(Primer año/hombre)

d. P(Primer año/mujer)

4. FAMILIA Lisa tiene 10 primos. Cuatro de sus primos son mayores que ella, seis son menores. Siete de sus primos son niños y 3 son niñas. Calcula cada una de las siguientes probabilidades cuando un primo se elige al azar.

a. P(niña) b. P(menor)

c. P(niño) d. P(mayor)

Práctica de destrezasProbabilidad y distribuciones probabilísticas

Clase/género Número

Primer año/hombre 95

Primer año/mujer 101

Segundo año/hombre 154

Segundo año/mujer 145

Tercer año/hombre 100

Tercer año/mujer 102


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1. GLOBOS Una bolsa contiene 1 globo verde, 4 rojos y 5 amarillos. Se eligen dos globos al azar. Calcula la probabilidad de cada selección.

a. P(2 rojos) b. P(1 rojo y 1 amarillo) c. P(1 verde y 1 amarillo)

d. P(2 verdes) e. P(2 rojos y 1 amarillo) f. P(1 rojo y 1 verde)

2. MONEDAS Un banco tiene 3 monedas de 1¢, 8 monedas de 5¢, 4 monedas de 10¢ y 10 monedas de 25¢. Se eligen dos monedas al azar. Calcula la probabilidad de cada selección.

a. P(2 monedas de 1¢) b. P(2 de 10¢) c P(1 de 5¢ y 1 de 10¢)

d. P(1 de 25¢ y 1 moneda de 1¢) e. P(1 de 25¢ y 1 de 5¢) f. P(2 de 10¢ y 1 de 25¢)

3. PAPEL TAPIZ Henrico visita una tienda de decoraciones para el hogar para elegir papel tapiz para su nueva casa. La tienda tiene 28 libros de muestras de papel tapiz, incluyendo 10 libros de muestras de WallPride y 18 libros de muestras de Deluxe Wall Coverings. La tienda le permitirá a Henrico llevarse 4 libros a su casa por unos cuantos días para que pueda decidir qué papel tapiz quiere comprar. Si Henrico elige al azar 4 libros para llevar a su casa, calcula la probabilidad de cada elección.

a. P(4 WallPride) b. P(2 WallPride y 2 Deluxe)

c. P(1 WallPride y 3 Deluxe) d. P(3 WallPride y 1 Deluxe)

4. PUNTAJES DEL SAT Latabla de la derecha muestra el rango de puntajes del SAT verbal para alumnos del primer año en una universidad pequeña de artes liberales. Si se elige al azar a un alumno de primer año, calcula cada probabilidad. Expresa como un decimal redondeado a la milésima más cercana.

a. P(400–449) b. P(550–559) c. P(al menos 650)

20. DAMAS La siguiente tabla muestra las victorias y derrotas del equipo de damas. Si se elige un juego al azar, calcula cada probabilidad.

Arthur Lynn Pedro Mei-Mei

Victorias 15 7 12 18

Derrotas 5 13 3 2

a. se perdió un juego y Arthur estaba jugando

b. Mei-Mei estaba jugando y el juego se ganó

c. se ganó un juego y Lynn o Arthur estaban jugando

d. Pedro o Mei-Mei estaban jugando y el juego se perdió

e. cualquiera de los jugadores estaba jugando y el juego se ganó

Rango 400 – 449 450 – 499 500 – 549 550 – 559 600 – 649 650+

Número de

alumnos129 275 438 602 620 412

12-4 PrácticaProbabilidad y distribuciones probabilísticas


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12-5

Determina si los datos aparecen estar alabeados positivamente, alabeados negativamente o distribuidos normalmente.

1. Millas corridas

Miembros del equipo

de atletismo

0–4 3

5–9 4

10–14 7

15–19 5

20–23 2

2. Discursos dados

Candidatos

políticos

0–5 1

6–11 2

12–17 3

18–23 8

24–29 8

3. PACIENTES La tabla de frecuencias de la derecha muestra el promedio de días que permanecieron hospitalizados los pacientes de un hospital el año pasado.

a. ¿Qué porcentaje de los pacientes permanecieron entre 4 y 7 días?

b. Los datos aparecen estar alabeados positivamente, alabeados negativamente o distribuidos normalmente. Explica.

4. ENTREGAS El tiempo que le toma a un repartidor en bicicleta entregar un paquete a su cliente más lejano está distribuido normalmente con una media de 40 minutos y una desviación estándar de 4 minutos.

a. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los viajes del repartidor a su cliente toman entre 36 y 44 minutos?

b. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los viajes del repartidor a su cliente toman entre 40 y 48 minutos?

c. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los viajes del repartidor a su cliente toman menos de 32 minutos?

5. PRUEBAS El tiempo que les toma a los alumnos de primer año completar una prueba de matemáticas está distribuido normalmente con una media de 63.3 minutos y una desviación estándar de 12.3 minutos.

a. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los alumnos de primer año se tardan más de 75.6 minutos en completar la prueba?

b. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los alumnos de primer año se tardan entre 51 y 63.3 minutos en completar la prueba?

c. ¿Aproximadamente qué porcentaje de los alumnos de primer año se tardan menos de 63.3 minutos en completar la prueba?

Práctica de destrezasLa distribución normal

Días Número de pacientes

0–3 5

4–7 18

8–11 11

12–15 9

16+ 6


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Determina si los datos que aparecen están alabeados positivamente, alabeados negativamente o distribuidos normalmente.

1. Tiempo empleado en una

exhibición de museo

Minutos Frecuencia

0–25 27

26–50 46

51–75 89

75–100 57

1001 24

2. Edad promedio de los directores de

secundaria

Edad en años Número

31–35 3

36–40 8

41–45 15

46–50 32

51–55 40

56–60 38

60+ 4

3. ALUMNOS La tabla de frecuencias de la derecha muestra el número de horas trabajadas semanalmente por 100 alumnos de secundaria.

a. ¿Qué porcentaje de los alumnos trabajaron entre 9 y 17 días?

b. ¿Los datos aparecen alabeados positivamente, alabeados negativamente o distribuidos normalmente? Explica.

4. PRUEBAS Los puntajes de una prueba administrada a futuros empleados se distribuyen normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 15.

a. ¿Cerca de qué porcentaje de los puntajes está entre 70 y 130?

b. ¿Cerca de qué porcentaje de los puntajes está entre 85 y 130?

c. ¿Cerca de qué porcentaje de los puntajes está por encima de 115?

d. ¿Cerca de qué porcentaje de los puntajes es menor que 85 ó mayor que 115?

e. Si 80 personas toman la prueba, ¿cuántos esperarías que tengan un puntaje mayor que 130?

f. Si 75 personas toman la prueba, ¿cuántos esperarías que tengan un puntaje menor que 85?

5. TEMPERATURA La temperatura superficial diaria de un lago en un centro turístico durante el mes de julio tiene una media de 82° y una desviación estándar de 4.2°. Si prefieres nadar cuando la temperatura es al menos 77.8°, ¿cerca de qué porcentaje de los días la temperatura cumple con tus preferencias?

0–8 9–17 18–25 26+

605040302010Fr

ecu

enci

a

Horas

Horas de trabajo semanales

Horas Número de alumnos

0–8 30

9–17 45

18–25 20

26+ 5

12-5 PrácticaLa distribución normal


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12-6

Calcula un intervalo de confianza del 95% para cada una de las siguientes.

1. − x = 21, s = 3 y n = 10,000 2. − x = 50, s = 2.5 y n = 50

3. − x = 120, s = 9 y n = 144 4. − x = 10.5, s = 7.9 y n = 100

5. − x = 200, s = 18 y n = 120 6. − x = 21, s = 4 y n = 50

7. − x = 58, s = 3.5 y n = 7 8. − x = 84, s = 5 y n = 100

9. − x = 115.1, s = 12.8 y n = 200 10. − x = 48, s = 7.5 y n = 150

Prueba cada hipótesis nula. Escribe aceptada o rechazada.

11. H0 = 72, H1 < 72, n = 50, − x = 71.3 y σ = 2

12. H0 = 45, H1 < 45, n = 50, − x = 40 y σ = 7

13. H0 = 11.7, H1 > 11.7, n = 100, − x = 12 y σ = 1.5

14. H0 = 151.3, H1 < 151.3, n = 150, − x = 150 y σ = 4

15. H0 = 40, H1 > 40, n = 5, − x = 42 y σ = 2

16. H0 = 100.5, H1 < 100.5, n = 256, − x = 100 y σ = 4

17. H0 = 26, H1 > 26, n = 2000, − x = 28 y σ = 4.5

18. H0 = 68.7, H1 > 68.7, n = 196, − x = 70.7 y σ = 14

19. H0 = 7, H1 > 7, n = 100, − x = 7.2 y σ = 1

20. H0 = 55.63, H1 < 55.63, n = 100, − x = 55 y σ = 3.2

Práctica de destrezasPrueba hipótesis


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Halla un intervalo de confianza del 95% para cada uno de los siguientes.

1. − x = 56, s = 2, and n = 50 2. − x = 99, s = 22, and n = 121

3. − x = 34, s = 4, and n = 200 4. − x = 12, s = 4.5, and n = 100

5. − x = 37, s = 2.5, and n = 50 6. − x = 78, s = 2, and n = 225

7. − x = 36, s = 6, and n = 36 8. − x = 121, s = 2.5, and n = 100

Prueba cada hipótesis nula. Escribe aceptada o rechazada.

9. H0 = 200.1, H1 < 200.1, n = 200, − x = 50 y σ = 2

10. H0 = 75.6, H1 < 75.6, n = 100, − x = 77 y σ = 7

11. H0 = 89.3, H1 < 89.3, n = 100, − x = 89 y σ = 1.5

12 H0 = 75, H1 < 75, n = 150, − x = 74.2 y σ = 2.5

13. H0 = 121, H1 < 121, n = 64, − x = 120 y σ = 2

14. H0 = 198.5, H1 > 198.5, n = 100, − x = 200 y σ = 7.5

15. H0 = 38.5, H1 > 38.5, n = 50, − x = 40 y σ = 4.5

16. H0 = 112.5, H1 < 112.5, n = 100, − x = 110.5 y σ = 10

17. CORRER Josh y su hermana Megan corren juntos cada mañana y no usan cronómetro para registrar su tiempo. Josh piensa que generalmente ellos corren una milla en menos de 7 minutos mientras que Megan piensa que les toma más tiempo. Ellos piden prestado un cronómetro y registran el tiempo de cada día durante 20 días. Su tiempo medio para correr una milla es 7.4 minutos con una desviación estándar de 0.2 minutos. Prueba la hipótesis de Megan.

18. CONTROL DE CALIDAD Kim es una supervisora de calidad en una compañía de frutas tropicales. La compañía alega que sus piñas enlatadas permanecen frescas al menos 16 horas después de abiertas. Kim prueba 15 latas diferentes para ver si efectivamente permanecen frescas al menos 16 horas. Usa los siguientes datos para realizar una prueba de la hipótesis.

Número de horas que permanece fresca cada lata

12 14 7 12 10

12 12 13 16 9

5 11 19 18 6

12-6 PrácticaPrueba de hipótesis


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12-7

1. MONEDAS Calcula cada probabilidad si una moneda se lanza 4 veces.

a. P(4 caras) b. P(0 escudos)

c. P(exactamente 3 caras) d. P(exactamente 2 caras)

e. P(exactamente 1 cara) f. P(al menos 3 caras)

2. CUBOS NUMERADOS Calcula cada probabilidad si un cubo numerado se lanza 3 veces.

a. P(exactamente un 2) b. P(exactamente dos 2)

c. P(exactamente tres 2) d. P(a lo sumo un 2)

3. FUEGOS ARTIFICIALES Una ciudad que celebra el 4 de julio con fuegos artificiales calculó que la probabilidad de que una familia con dos niños o más vieran los fuegos

artificiales es 3−5

. Si 5 de estas familias se eligen al azar, calcula cada probabilidad.

a. P(exactamente 3 familias ven) b. P(exactamente 2 familias vean los fuegos artificiales) los fuegos artificiales)

c. P(exactamente 5 familias ven d. P(ninguna familia vea los fuegos los fuegos artificiales) artificiales)

e. P(al menos 4 familias ven los f. P(a lo sumo 1 familia vea los fuegos fuegos artificiales) artificiales)

4. PRUEBAS Una sección de una prueba estandarizada de inglés tiene 10 preguntas de verdadero o falso. Calcula cada probabilidad cuando un alumno trata de adivinar en cada una de las 10 preguntas.

a. P(exactamente 8 correctas) b. P(exactamente 2 correctas)

c. P(exactamente la mitad correctas) d. P(las 10 correctas)

e. P(0 correctas) f. P(al menos 8 correctas)

Práctica de destrezasDistribuciones binomiales


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1. MONEDAS Calcula cada probabilidad si se lanza una moneda 6 veces.

a. P(exactamente 3 escudos) b. P(exactamente 5 escudos)

c. P(0 escudos) d. P(al menos 4 caras)

e. P(al menos 4 escudos) f. P(a lo sumo 2 escudos)

2. TIROS LIBRES La probabilidad de que Chris logre un tiro libre es 2−3

. Si lanza 5 veces, calcula cada probabilidad.

a. P(fallar todos) b. P(encestar todos)

c. P(exactamente 2 encestados) d. P(exactamente 1 fallado)

e. P(al menos 3 encestados) f. P(a lo sumo 2 encestados)

3. JUEGO DE MESA Cuando Tarin y Sam juegan cierto juego de mesa, la probabilidad de que Tarin gane un juego es 3−

4 . Si juegan 5 partidos, calcula cada probabilidad.

a. P(Sam gana sólo una vez) b. P(Tarin gana exactamente dos veces)

c. P(Sam gana exactamente 3 partidos) d. P(Sam gana al menos 1 partido)

e. P(Tarin gana al menos 3 partidos) f. P(Tarin gana a lo sumo 2 partidos)

4. SEGURIDAD En agosto de 2001, la Asociación de Automóviles Estadounidense reportó que 73% de los estadounidenses usan el cinturón de seguridad. En una elección al azar de 10 estadounidenses en 2001, ¿cuál es la probabilidad de qué exactamente la mitad de ellos usen cinturones de seguridad?

5. SALUD En 2001, la Asociación Estadounidense de Cardiología dio a conocer que el 50 por ciento de los estadounidenses que reciben trasplantes de corazón tienen entre 50 y 64 años de edad y el 20 por ciento tiene entre 35 y 49 años de edad.

a. En una elección al azar de 10 receptores de trasplante de corazón, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 de ellos tengan entre 50 y 64 años de edad?

b. En una elección al azar de 5 receptores de trasplante de corazón, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos tengan entre 35 y 49 años de edad?

12-7 PrácticaDistribuciones binomiales


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13-1

Calcula los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ.

1. θ

6

8

2.

θ

5

13

3. θ

2

3

En un triángulo rectángulo, ∠A es agudo.

4. Si tan A = 3, ¿cuánt es sen A? 5. Si sen A = 1 − 16

, ¿cuánto es cos A?

Usa una función trigonométrica para calcular el valor de x. Redondea a la décima más cercana.

6.

8

30°

x

7.

5

60°

x

8.

10

22°

x

9. 5

60°

x

10.

x8

51°

11. 2

x

63°

Calcula el valor de x. Redondea a la décima más cercana.

12. 5

4x°

13. 7

13 x°

14. 2

15

x°

Práctica de destrezasFunciones trigonométricas en triángulos rectángulos


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13-1 PrácticaFunciones trigonométricas en triángulos rectángulos

Calcula los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ.

1.

θ

45

24

2. θ5

11

3. 3 3

3

En un triángulo rectángulo, ∠ A y ∠ B son agudos.

4. Si tan B = 2, ¿cuánto 5. Si tan A = 11 − 17

, ¿cuánto es 6. Si sen B = 8 − 15

,

es cos B? sen A? ¿cuánto es cos B?

Usa una función trigonométrica para calcular cada valor de x. De ser necesario, redondea a la décima más cercana.

7.

730°

x

8.

3220°

x 9.

17

49°

x

Usa funciones trigonométricas para calcular los valores de x y y. De ser necesario, redondea a la décima más cercana.

10.

28

41°

x y

11.

17

19.2

x°

y°

12.

15.3

7

x°

y°

13. AGRIMENSURA John está parado a 150 metros de una torre de agua y divisa el tope a un ángulo de elevación de 36º. ¿Cuál es la altura de la torre? Redondea al metro más cercano.


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Dibuja un ángulo con la medida dada en posición estándar.

1. 185˚ 2. 810˚ 3. 390˚

x

y

O

x

y

O

x

y

O

4. 495˚ 5. -50˚ 6. -420˚

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Calcula un ángulo con una medida positiva y un ángulo con una medida negativa que sea coterminal con cada ángulo.

7. 45° 8. 60°

9. 370° 10. -90°

11. 2π − 3 12. 5π −

2

13. π − 6 14. - 3π −

4

Reformula en radianes cada medida en grados y en grados cada medida en radianes.

15. 130° 16. 720°

17. 210° 18. 90°

19. -30° 20. -270°

21. π − 3 22. 5π −

6

23. 2π − 3 24. 5π −

4

25. - 3π − 4 26. - 7π −

6

Práctica de destrezasÁngulos y medidas angulares

13-2


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PrácticaÁngulos y medidas angulares

13-2

Dibuja un ángulo con la medida dada en posición estándar.

1. 210° 2. 305° 3. 580°

4. 135° 5. -450° 6. -560°

Calcula un ángulo con una medida positiva y un ángulo con una medida negativa que sea coterminal con cada ángulo.

7. 65° 8. 80° 9. 110°

10. 2π − 5 11. 5π −

6 12. - 3π −

2

Replantea en radianes cada medida en grados y en grados cada medida en radianes.

13. 18° 14. 6° 15. -72° 16. -820°

17. 4π 18. 5π − 2 19. - 9π −

2 20. - 7π −

12

Calcula la longitud de cada arco. Redondea a la décima más cercana.

21. 3.5

π2

22. 4.25

3π2

23. 5.62

5π3

24. TIEMPO Calcula la medida en grados y en radianes del ángulo que se forma al rotar las manecillas de un reloj desde las 5 a.m. hasta las 10 p.m.

25. ROTACIÓN Un camión con ruedas de 16 pulgadas de radio viaja a 77 pies por segundo (52.5 millas por hora). Calcula la medida del ángulo a través del cual viaja cada segundo un punto de la parte externa de la rueda. Redondea al grado más cercano y al radián más cercano.

x

y

Ox

y

Ox

y

O

x

y

Ox

y

Ox

y

O


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El lado terminal de θ en posición estándar contiene cada punto. Calcula los valores exactos de las seis funciones trigonométricas de θ.

1. (5, 12) 2. (3, 4)

3. (8, -15) 4. (-4, 3)

5. (-9, -40) 6. (1, 2)

7. (3, –9) 8. (–8, 12)

Traza cada ángulo. Luego, calcula su ángulo de referencia.

9. 135˚ 10. 200˚ 11. 5π − 3

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Calcula el valor exacto de cada función trigonométrica.

12. sen 150° 13. cos 270° 14. cot 135° 15. tan (-30°)

16. tan π −

4 17. cos 4π −

3 18. cot (-π) 19. sen (- 3π −

4 )

13-3 Práctica de destrezasFunciones trigonométricas de ángulos generales


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s, In

c.



13-3 PrácticaFunciones trigonométricas de ángulos generales

El lado terminal de θ en posición estándar contiene cada punto. Calcula el valor exacto de las seis funciones trigonométricas de θ.

1. (6, 8) 2. (-20, 21) 3. (-2, -5)

Traza cada ángulo. Luego, calcula su ángulo de referencia.

4. 13π − 8 5. -210° 6. - 7π −

4

x

y

x

y

x

y

Calcula el valor exacto de cada función trigonométrica.

7. tan 135° 8. cot 210° 9. cot (-90°) 10. cos 405°

11. tan 5π − 3 12. csc (- 3π −

4 ) 13. cot 2π 14. tan 13π −

6

15. LUZ Los rayos de la luz que “rebotan” de una superficie son reflejados por la superficie. Si la superficie es parcialmente transparente, algunos rayos de luz son distorsionados o refractados al pasar del aire a través del material. En el diagrama de la derecha, los ángulos de reflexión θ1 y de refracción θ2 se relacionan porla ecuación sen θ1 = n sen θ2. Si θ1 = 60° y n = √ � 3 , calcula la medida de θ2.

16. FUERZA Un cable que se extiende desde el tope de un poste de electricidad hasta el suelo ejerce una fuerza horizontal de 800 Newtons y una fuerza vertical de 800 √ � 3 Newtons. ¿Cuál es el seno del ángulo θ entre el cable y el suelo? ¿Cuál es la medida de este ángulo?

θ1 θ1

θ2

superficie

aire

800 N

800 3 N


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35°

5 pies

7 pies

125°

C A

B

9 cm

10 cm

Calcula el área de �ABC a la décima más cercana si es necesario.

1. 2.

3. A = 35˚, b = 3 pies, c = 7 pies 4. C = 148˚, a = 10 cm, b = 7 cm

5. C = 22˚, a = 14 m, b = 8 m 6. B = 93˚, c = 18 mi, a = 42 mi

Resuelve cada triángulo. Redondea las longitudes laterales a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

7. 15°

72°

C

A

B

375

8.

18°

12°

C A

B

51

9.

121°

CA

B

212

119

10. 30°C

A

B

1020

11.

75°37°

C

A B22

12.

70°

C

A

B

105

109

Determina si cada triángulo no tiene solución, tiene una solución o dos soluciones. Luego, resuelve el triángulo. Redondea las longitudes laterales a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

13. A = 30˚, a = 1, b = 4 14. A = 30˚, a = 2, b = 4

15. A = 30˚, a = 3, b = 4 16. A = 38˚, a = 10, b = 9

17. A = 78˚, a = 8, b = 5 18. A = 133˚, a = 9, b = 7

19. A = 127˚, a = 2, b = 6 20. A = 109˚, a = 24, b = 13

Práctica de destrezasLey de los senos

13-4


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c.



PrácticaLey de los senos

Calcula el área de �ABC a la décima más cercana si es necesario.

1. 2. 3.

4. C = 32°, a = 12.6 m, b = 8.9 m 5. B = 27°, a = 14.9 cm, c = 18.6 cm

6. A = 17.4°, b = 12 km, c = 14 km 7. A = 34°, b = 19.4 ft, c = 8.6 pies

Resuelve cada triángulo. Redondea las longitudes de los lados a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

8. A = 50°, B = 30°, c = 9 9. A = 56°, B = 38°, a = 12

10. A = 80°, C = 14°, a = 40 11. B = 47°, C = 112°, b = 13

12. A = 72°, a = 8, c = 6 13. A = 25°, C = 107°, b = 12

Determina si cada triángulo no tiene solución, tiene una solución o dos soluciones. Luego, resuelve el triángulo. Redondea las longitudes de los lados a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

14. A = 29°, a = 6, b = 13 15. A = 70°, a = 25, b = 20

16. A = 113°, a = 21, b = 25 17. A = 110°, a = 20, b = 8

18. A = 66°, a = 12, b = 7 19. A = 54°, a = 5, b = 8

20. A = 45°, a = 15, b = 18 21. A = 60°, a = 4 √ � 3 , b = 8

22. VIDA SALVAJE Sarah Phillips, una oficial del Departamento de Pesca y Vida Salvaje controla a los navegantes en un lago para asegurarse de que no perturben los nidos de las águilas pescadoras. Deja el muelle y se dirige en su bote hacia el norte para ir al primer nido. De allí, gira 5º al norte para ir hacia el oeste y viaja 2.14 millas adicionales hasta el segundo nido. Luego, viaja directamente 6.7 millas para regresar al muelle. ¿A qué distancia del muelle se encuentra el primer nido de águilas pescadoras? Redondea a la décima más cercana.

40°

C A

B

9 cm

9 cm58°

C

A

B

12 m15 m

46°C A

B

11 yd

9 yd

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Resuelve cada triángulo. Redondea las longitudes laterales a la décima más cercana y las medidas de los ángulos al grado más cercano.

1.

41°

CA

B

3

7

2.

4

CA

B

3

2

3.

10

C

AB

18

9

4. C = 71˚, a = 3, b = 4 5. C = 35˚, a = 5, b = 8

Determina si cada triángulo se debe resolver comenzando con la ley de los senos o con la ley de los cosenos. Luego, resuelve el triángulo.

6. 34°

C

A

B4

5

7.

4

C

AB85°

5

8.

4

C

A

B130°

20°

9. A = 11˚, C = 27˚, c = 50 10. B = 47˚, a = 20, c = 24

11. A = 71˚, C = 62˚, a = 20 12. a = 5, b = 12, c = 13

13. A = 51˚, b = 7, c = 10 14. a = 13, A = 41˚, B = 75˚

15. B = 125˚, a = 8, b = 14 16. a = 5, b = 6, c = 7

Práctica de destrezasLey de los cosenos

13-5


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PrácticaLey de los cosenos

Determina si cada triángulo debe resolverse con la ley de los senos o ley de los cosenos. Luego, resuelve el triángulo.

1. 2. 3.

4. a = 16, b = 20, C = 54° 5. B = 71°, c = 6, a = 11

6. A = 37°, a = 20, b = 18 7. C = 35°, a = 18, b = 24

8. a = 8, b = 6, c = 9 9. A = 23°, b = 10, c = 12

10. a = 4, b = 5, c = 8 11. B = 46.6°, C = 112°, b = 13

12. A = 46.3°, a = 35, b = 30 13. a = 16.4, b = 21.1, c = 18.5

14. C = 43.5°, b = 8, c = 6 15. A = 78.3°, b = 7, c = 11

16. SATÉLITES Dos estaciones de radar que están separadas por 2.4 millas rastrean un avión. La distancia en línea recta entre la estación A y el avión es 7.4 millas. La distancia en línea recta entre la estación B y el avión es 6.9 millas. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde la estación A hasta el avión? Redondea al grado más cercano.

17. DIBUJOS Marion usa un programa de dibujo computarizado para hacer un dibujo para un cliente. Comienza a dibujar un triángulo con un segmento de 4.2 pulgadas de longitud desde el punto A hasta el punto B. Desde el punto B, gira 42º en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el segmento que une los puntos A y B y dibuja un segundo segmento que tiene 6.4 pulgadas de longitud, terminando en el punto C. ¿Cuál es la longitud del segmento desde C hasta A redondeando a la décima más cercana?

A B2.4 mi

6.9 mi7.4 mi

C

AB

30

40°

80°

6

CA

B

3

4

7

C

A

B12

80°

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En posición estándar, el lado terminal del ángulo θ interseca el círculo unitario en cada punto P. Calcula cos θ y sen θ.

1. P ( 3 − 5 , 4 −

5 ) 2. P ( 5 −

13 , - 12 −

13 ) 3. P (- 9 −

41 , - 40 −

41 )

4. P (0, 1) 5. P (-1, 0) 6. P ( 1 − 2 , -

√ � 3 −

2 )

Calcula el valor exacto de cada función.

7. cos 45° 8. sen 210° 9. sen 330°

10. cos 330° 11. cos (-60°) 12. sen (-390°)

13. sen 5π 14. cos 3π 15. sen 5π − 2

16. sen 7π − 3 17. cos (- 7π −

3 ) 18. cos (- 5π −

6 )

Determina el período de cada función.

19. y

O

-2

2

1 θ2 3 4 5 6 7 8 9 10

20. y

xO

-2

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

21. y

O

-1

1

πθ2π 3π 4π

13-6 Práctica de destrezasFunciones circulares


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PrácticaFunciones circulares

En posición estándar, el lado terminal de ángulo θ interseca el círculo unitario en cada punto P. Calcula cos θ y sen θ.

1. P (- 1 − 2 ,

√ � 3 −

2 ) 2. P ( 20 −

29 , - 21 −

29 ) 3. P(0.8, 0.6)

4. P(0, -1) 5. P (- √ � 2

− 2 , -

√ � 2 −

2 ) 6. P (

√ � 3 −

2 , 1 −

2 )

Determina el período de cada función.

7.

8.

Calcula el valor exacto de cada función.

9. cos 7π − 4 10. sen (-30°) 11. sen (- 2π −

3 ) 12. cos (-330°)

13. cos 600° 14. sen 9π − 2 15. cos 7π 16. cos (- 11π −

4 )

17. sen (-225°) 18. sen 585° 19. cos (- 10π − 3 ) 20. sen 840°

21. RUEDAS DE CHICAGO Una rueda de Chicago con un diámetro de 100 pies completa 2.5 revoluciones por minuto. ¿Cuál es el período de la función que describe la altura de un asiento, en el borde externo de la rueda de Chicago, como una función del tiempo?

y

O-1

-2

1

π

θ2π 3π 4π 5π 6π

y

O-1

-2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 109 θ

13-6


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Calcula la amplitud y el período de cada función. Luego, grafica la función.

1. y = 2 cos θ 2. y = 4 sen θ 3. y = 2 sec θ

y

O

2

1

-1

-2

θ360°270°180°90°

y

O

4

2

-2

-4

θ360°270°180°90°

y

O

4

2

-2

-4

θ360°270°180°90°

4. y = 1 − 2 tan θ 5. y = sen 3θ 6. y = csc 3θ

y

O

2

1

-1

-2

θ360°270°180°90°

y

O

2

1

-1

-2

θ360°270°180°90°

y

O

4

2

-2

-4

θ30° 90° 150°

7. y = tan 2θ 8. y = cos 2θ 9. y = 4 sen 1 − 2 θ

y

O

4

2

-2

-4

θ180°135°90°45°

y

O

2

1

-1

-2

θ180°135°90°45°

y

O

4

2

-2

-4

θ720°540°360°180°

13-7 Práctica de destrezasGrafica funciones trigonométricas


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13-7 PrácticaGrafica funciones trigonométricas

Calcula la amplitud, si existe y el período de cada función. Luego, grafica la función.

1. y = 3 − 2 sen θ 2. y = cot 1 −

2 θ 3. y = cos 5θ

y

O

4

2

-2

-4

θ360°270°180°90°

y

O

4

2

-2

-4

θ360°270°180°90°

y

O

1

-1

θ180°135°90°45°

4. y = csc 3 − 4 θ 5. y = 2 tan 1 −

2 θ 6. y = 1 −

2 sen θ

y

O

4

2

-2

-4

θ480°360°240°120°

y

O

4

2

-2

-4

θ720°540°360°180°

y

O

1.0

0.5

-0.5

-1.0

θ360°270°180°90°

7. FUERZA Un cable de anclaje ejerce una fuerza de 500 Newtons sobre un poste. La fuerza tiene los componentes horizontal y vertical Fx y Fy. (Una fuerza de un Newton (N) es la fuerza que da una aceleración de 1 m/sec2 a una masa de 1 kg.)

a. La función Fx = 500 cos θ describe la relación entre el ángulo θ y la fuerza horizontal. ¿Cuál es la amplitud y período de esta función?

b. La función Fy = 500 sen θ describe la relación entre el ángulo θ y la fuerza vertical. ¿Cuál es la amplitud y período de esta función?

8. TIEMPO La función y = 60 + 25 sen π − 6 t, donde t son meses y t = 0

corresponde al 15 de abril, modela el promedio de temperaturas

máximas en grados Fahrenheit, en Centerville.

a. Determina el período de esta función. ¿Qué representa este período?

b. ¿Cuál es la temperatura máxima y cuándo ocurre?

θ

500 NFy

Fx


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Indica la amplitud, el período y el cambio de fase de cada función. Luego, grafica la función.

1. y = sen (θ + 90°) 2. y = cos (θ - 45°) 3. y = tan (θ - π − 2 )

Indica la amplitud, el período, el cambio vertical y la ecuación de la mediana de cada función. Luego, grafica la función.

4. y = csc θ - 2 5. y = cos θ + 1 6. y = sec θ + 3

Indica la amplitud, el período, el cambio de fase y el cambio vertical de cada función. Luego, grafica la función.

7. y = 2 cos [3(θ + 45°)] + 2 8. y = 3 sen [2(θ - 90°)] + 2 9. y = 4 cot ⎡

⎢ ⎣ 4 − 3 (θ + π −

4 )

⎤

⎦ - 2

O θ2π

3π

2π

π

2

y

-2

-4

4

2

y

O

6

4

2

-2

θ360°270°180°90°

y

O

6

4

2

-2

θ360°270°180°90°

y

O

2

1

-1

-2

θ360°270°180°90°

y

O

2

1

-1

-2

θ360°270°180°90°

O θ2π

3π

2π

π

2

y

-2

-4

4

2

y

O

2

-2

-4

-6

θ720°540°360°180°

y

O

2

1

-1

θ720°540°360°180°

y

O

6

4

2

-2

θ360°270°180°90°

Práctica de destrezasTraslaciones de gráficas trigonométricas

13-8


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PrácticaTraslaciones de gráficas trigonométricas

13-8

Para cada función, indica la amplitud, período, cambio de fase y cambio vertical. Luego, grafica la función.

1. y = 1 − 2 tan (θ - π −

2 ) 2. y = 2 cos (θ + 30°) + 3 3. y = 3 sen (2θ + 60°) - 2.5

O θ2π

3π

2π

π

2

y

-2

-4

4

2

y

O

6

4

2

-2

θ720°540°360°180°

y

O

4

-4

-8

-12

θ360°270°180°90°

4. y = -3 + 2 sen 2 (θ + π − 4 ) 5. y = 3 cos 2 (θ + 45°) + 1 6. y = -1 + 4 tan (θ + π)

7. ECOLOGÍA La población de una especie de insecto que vive en la base de unos árboles sigue el ciclo de crecimiento de cierta especie de árbol. La población de insectos se puede modelar con la función y = 40 + 30 sen 6t, donde t es el número de años desde que la base fue cortada por primera vez en noviembre de 1920.

a. ¿Con cuánta frecuencia alcanza su nivel máximo la población de insectos?

b. ¿Cuándo fue la última vez que la población alcanzó su máximo?

c. ¿Qué condición crees que tenga la base para que la población de insectos sea mínima?

θ

-5

-4

-3

-2

-1

y

ππ2

3π2

2π

θ

4

-2

-4

2

90° 180° 270° 360°

y

450° 540° θ

4

-2

-4

2

y

ππ2

3π2

2π


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Calcula cada valor. Escribe las medidas angulares en grados y en radianes.

1. Sen-1 √ � 2

− 2 2. Cos-1 (-

√ � 3 −

2 )

3. Tan-1 √ � 3 4. Arctan (- √ � 3

− 3 )

5. Arccos (- √ � 2

− 2 ) 6. Arcsen 1

Calcula cada valor. Redondea a la centésima más cercana si es necesario.

7. sen (Cos-1 1) 8. sen (Sen-1 1 − 2 )

9. tan (Arcsen √ � 3

− 2 ) 10. cos (Tan-1 3)

11. sen [Arctan (-1)] 12. sen ⎡

⎢ ⎣ Arccos (-

√ � 2 −

2 )

⎤

⎦

Resuelve cada ecuación. Redondea a la centésima más cercana si es necesario.

13. cos θ = 0.25 14. sen θ = -0.57

15. tan θ = 5 16. con θ = 0.11

17. sen θ = 0.9 18. tan θ = -11.35

19. sen θ = 1 20. tan θ = -0.01

21. cos θ = -0.36 22. tan θ = - 16.6

Práctica de destrezasFunciones trigonométricas inversas

13-9


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13-9 PrácticaFunciones trigonométricas inversas

Calcula cada valor. Escribe la medida angular en grados y en radianes.

1. Arcsen 1 2. Cos-1 ( - √ � 2 −

2 ) 3. Tan-1 ( - √ � 3

− 3 )

4. Arccos √ � 2

− 2 5. Arctan (- √ � 3 ) 6. Sen-1 (- 1 −

2 )

Resuelve cada ecuación. De ser necesario, redondea a la centésima más cercana.

7. tan (Cos-1 1 − 2 ) 8. cos

⎡ ⎢ ⎣ Sen-1 (- 3 −

5 )

⎤

⎦ 9. cos [Arctan (-1)]

10. tan (Sen-1 12 − 13

) 11. sen (Arctan √ � 3

− 3 ) 12. cos (Arctan 3 −

4 )

Resuelve cada ecuación. De ser necesario, redondea a la décima más cercana.

13. Tan θ = 10 14. Sen θ = 0.7 15. Sen θ = -0.5

16. Cos θ = 0.05 17. Tan θ = 0.22 18. Sen θ = -0.03

19. POLEAS La ecuación cos θ = 0.95 describe el ángulo a través del cual se mueve la polea A y cos θ = 0.17 describe el ángulo a través del cual se mueve la polea B. ¿Qué polea se mueve a un ángulo mayor?

20. VOLANTES La ecuación Tan θ = 1 describe el ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj a través del cual rota un volante en un 1 milisegundo. ¿Cuántos grados rota el volante después de 25 milisegundos?


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14-1

Calcula el valor exacto de cada expresión si 0° < θ < 90°.

1. Si tan θ = 1, calcula sec θ. 2. Si tan θ = 1 − 2 , calcula cos θ.

3. Si sec θ = 2, calcula cos θ. 4. Si cos θ = 8 − 17

, calcula csc θ.


5. Si cos θ = - 4 − 5 , calcula sen θ. 6. Si cot θ = - 3 −

2 , calcula cos θ.


7. Si tan θ = 1, calcula cos θ. 8. Si sen θ = - √ � 2

− 2 , calcula tan θ.

9. Si csc θ = -2, calcula cos θ. 10. Si cos θ = - 2 √ � 5 −

5 , calcula tan θ.

11. Si csc θ = -2, calcula cot θ. 12. Si sen θ = - 5 − 13

, calcula tan θ.


13. sen θ sec θ 14. csc θ sen θ

15. cot θ sec θ 16. cos θ −

sec θ

17. tan θ + cot θ 18. csc θ tan θ - tan θ sen θ

19. 1 - sen 2 θ −

sen θ + 1 20. csc θ + cot θ

21. sen 2 θ + cos 2 θ −

1 - cos 2 θ 22. 1 + tan 2 θ

− 1 + sec θ

Práctica de destrezasIdentidades trigonométricas


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14-1


1. Si cos θ = 5 − 13

, calcula sen θ. 2. Si cot θ = 1 − 2 , calcula sen θ.

3. Si tan θ = 4, calcula sec θ. 4. Si tan θ = 2 − 5 , calcula cot θ.


5. Si sen θ = - 15 − 17

, calcula sec θ. 6. Si csc θ = - 3 − 2 , calcula cot θ.


7. Si cos θ = 3 − 10

, calcula cot θ. 8. Si csc θ = -8, calcula sec θ.

9. Si tan θ = - 1 − 2 , calcula sen θ. 10. Si cos θ = 1 −

3 , calcula cot θ.


11. csc θ tan θ 12. sen2 θ −

tan2 θ 13. sen2 θ cot2 θ

14. cot2 θ + 1 15. csc2 θ - cot2 θ −

1 - cos2 θ 16. csc θ - sen θ

− cos θ

17. sen θ + cos θ cot θ 18. cos θ −

1 - sen θ - cos θ

− 1 + sen θ

19. sec2 θ cos2 θ - tan2 θ

20. FOTOGRAFÍA AÉREA La ilustración muestra un avión tomando una fotografía aérea del punto A. Como el punto está directamente debajo del avión, no hay distorsión de la imagen. Para cualquier punto B que no esté directamente debajo del avión, el aumento en la distancia crea distorsión en la fotografía. Esto es porque al aumentar la distancia entre la cámara y el punto a fotografiar, la exposición de la película se reduce en (sen θ)(csc θ - sen θ). Expresa (sen θ)(csc θ - sen θ) sólo en términos de cos θ.

21. OLAS La ecuación y = a sen θt representa la altura de las olas al pasar una boya en un tiempo t en segundos. Expresa a en términos de csc θt.

A B

θ

PrácticaIdentidades trigonométricas


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Skills PraticeVerifica identidades trigonométricas

14-2

Verifica que cada ecuación sea una identidad.

1. tan θ cos θ = sen θ 2. cot θ tan θ = 1

3. csc θ cos θ = cot θ 4. 1 – sen 2 θ − cos θ

= cos θ

5. (tan θ)(1 - sen 2 θ) = sen θ cos θ 6. csc θ−sec θ

= cot θ

7. sen2 θ

− 1 - sen2 θ

= tan2 θ 8. c os 2 θ −

1 – sen θ = 1 + sen θ


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14-2 PrácticaVerifica identidades trigonométricas


1. sen 2 θ + cos 2 θ −

cos 2 θ = sec 2 θ 2. cos 2 θ

− 1 - sen 2 θ

= 1

3. (1 + sen θ)(1 - sen θ) = cos2 θ 4. tan4 θ + 2 tan2 θ + 1 = sec4 θ

5. cos2 θ cot2 θ = cot2 θ - cos2 θ 6. (sen2 θ)(csc2 θ + sec2 θ) = sec2 θ

7. PROYECTILES El cuadrado de la rapidez inicial de un objeto lanzado desde el suelo es

v 2 = 2gh −

sen 2 θ , donde θ es el ángulo entre el suelo y la trayectoria inicial, h es la máxima

altura alcanzada y g es la aceleración debido a la gravedad. Verifica la identidad

2gh −

sen 2 θ =

2gh sec 2 θ −

sec 2 θ - 1 .

8. LUZ La intensidad de una fuente de luz medida en candelas viene dada por I = ER2 sec θ, donde E es la iluminación en pies candelas sobre la superficie, R es la distancia en pies desde la fuente de luz y θ es el ángulo entre el rayo de luz y una línea perpendicular a la superficie. Verifica la identidad ER2(1 + tan2 θ) cos θ = ER2 sec θ.


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Práctica de destrezasSuma y diferencia de identidades angulares

14-3

Calcula el valor exacto de cada expresión.

1. sen 330° 2. cos (-165°) 3. sen (-225°)

4. cos 135° 5. sen (- 45)° 6. cos 210°

7. cos (-135°) 8. sen 75° 9. sen (-195°)

Verifica que cada ecuación sea una identidad. 10. sen (90° + θ) = cos θ

11. sen (180° + θ) = -sen θ

12. cos (270° - θ) = -sen θ

13. cos (θ - 90°) = sen θ

14. sen (θ - π − 2 ) = - cos θ

15. cos (π + θ) = - cos θ


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14-3 PrácticaSuma y diferencia de identidades angulares


1. cos 75° 2. cos 375° 3. sen (-165°)

4. sen (-105°) 5. sen 150° 6. cos 240°

7. sen 225° 8. sen (-75°) 9. sen 195°


10. cos (180° - θ) = -cos θ

11. sen (360° + θ) = sen θ

12. sen (45° + θ) - sen (45° - θ) = √ � 2 sen θ

13. cos (x - π − 6 ) + sen (x - π −

3 ) = sen x

14. ENERGÍA SOLAR El 21 de marzo, la máxima cantidad de energía solar que cae sobre un pie cuadrado de tierra en un cierto lugar está dada por E sen (90° - ϕ), donde ϕ es la latitud del lugar y E es una constante. Usa la fórmula de diferencia de ángulos para calcular la cantidad de energía solar, en términos de cos ϕ, para un lugar que tiene una latitud de ϕ.

15. ELECTRICIDAD En cierto circuito que conduce corriente alterna, la fórmula c = 2 sen (120t) se puede usar para calcular la corriente c en amperios después de t segundos.

a. Replantea la fórmula usando la suma de dos ángulos.

b. Usa la fórmula de suma de ángulos para calcular la corriente exacta en t = 1 segundo.


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14-4 Práctica de destrezasIdentidades de ángulo doble y medio ángulo

Calcula el valor exacto de sen 2θ, cos 2θ, sen θ−2

y cos θ−2

.

1. cos θ = 7−25

, 0° < θ < 90° 2. sen θ = - 4−5

, 180° < θ < 270°

3. sen θ = 40−41

, 90° < θ < 180° 4. cos θ = 3−7

, 270° < θ < 360°

5. cos θ = - 3−5

, 90° < θ < 180° 6. sen θ = 5−13

, 0° < θ < 90°


7. cos 22.5° 8. sen 165°

9. cos 105° 10. sen π−8

11. sen 15π−8

12. cos 75°


13. sen 2θ = 2 tan θ −

1 + tan 2 θ 14. tan θ + cot θ = 2 csc 2θ


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PrácticaIdentidades de ángulo doble y medio ángulo

14-4

Calcula los valores exactos de sen 2θ, cos 2θ, sen θ−2

y cos θ−2

para cada uno de los siguientes.

1. cos θ = 5 − 13

, 0º < θ < 90º 2. sen θ = 8 − 17

, 90º < θ < 180º

3. cos θ = 1 − 4 , 270º < θ < 360º 4. sen θ = - 2 −

3 , 180º < θ < 270º


5. tan 105º 6. tan 15º 7. cos 67.5º 8. sen (- π − 8 )


9. sen θ − 2 = tan θ - sen θ

− 2 tan θ

10. sen 4θ = 4 cos 2θ sen θ cos θ

11. FOTOGRAFÍA AÉREA En una fotografía aérea, existe una reducción en la exposición de la película para cualquier punto X que no esté directamente debajo de la cámara. La reducción E

θ

está dada por Eθ

= E0 cos4 θ, donde θ es el ángulo entre la línea perpendicular desde la cámara hasta el suelo y la línea desde la cámara hasta el punto X y E0 es la exposición para el punto directamente debajo de la cámara. Usando

la identidad 2 sen2 θ = 1 - cos 2θ, verifica que E0 cos4 θ = E0 ( 1 − 2 + cos 2θ

− 2 ) 2.

12. IMAGEN Un escáner toma imágenes térmicas desde altitudes de 300 hasta 12,000 metros. El ancho W de la franja cubierta por la imagen está dada por W = 2H′ tan θ, donde H′ es la altura y θ es la mitad del campo visual del escáner. Verifica que

2H′ sen 2θ

− 1 + cos 2θ

= 2H′ tan θ.


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14-5 Práctica de destrezasResuelve ecuaciones trigonométricas

Resuelve cada ecuación para el intervalo dado.

1. sen θ = √ � 2

− 2 , 0° ≤ θ ≤ 360° 2. 2 cos θ = - √ � 3 , 90° < θ < 180°

3. tan 2 θ = 1, 180° < θ < 360° 4. 2 sen θ = 1, 0 ≤ θ < π

5. sen 2 θ + sen θ = 0, π ≤ θ < 2π 6. 2 cos 2 θ + cos θ = 0, 0 ≤ θ < π

Resuelve cada ecuación para todos los valores de θ si θ se mide en radianes.

7. 2 cos 2 θ - cos θ = 1 8. sen 2 θ - 2 sen θ + 1 = 0

9. sen θ + sen θ cos θ = 0 10. sen 2 θ = 1

11. 4 cos θ = -1 + 2 cos θ 12. tan θ cos θ = 1 − 2

Resuelve cada ecuación para todos los valores de θ si θ se mide en grados.

13. 2 sen θ + 1 = 0 14. 2 cos θ + √ � 3 = 0

15. √ � 2 sen θ + 1 = 0 16. 2 cos 2 θ = 1

17. 4 sen 2 θ = 3 18. cos 2θ = -1


19. 3 cos 2 θ - sen 2 θ = 0 20. sen θ + sen 2θ = 0

21. 2 sen2 θ = sen θ + 1 22. cos θ + sec θ = 2


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PrácticaResuelve ecuaciones trigonométricas

14-5

Resuelve cada ecuación para el intervalo dado.

1. sen 2θ = cos θ, 90º ≤ θ < 180º 2. √ � 2 cos θ = sen 2θ , 0º ≤ θ , 360º

3. cos 4θ = cos 2θ, 180º ≤ θ < 360º 4. cos θ + cos (90 - θ) = 0, 0 ≤ θ < 2π

5. 2 + cos θ = 2 sen2 θ, π ≤ θ ≤ 3π − 2 6. tan2 θ + sec θ = 1, π −

2 ≤ θ < π

Resuelve cada ecuación para todos los valores de θ si θ está medido en radianes.

7. cos2 θ = sen2 θ 8. cot θ = cot3 θ

9. √ � 2 sen3 θ = sen2 θ 10. cos2 θ sen θ = sen θ

11. 2 cos 2θ = 1 - 2 sen2 θ 12. sec2 θ = 2

Resuelve cada ecuación para todos los valores de θ si θ está medido en grados.

13. sen2 θ cos θ = cos θ 14. csc2 θ - 3 csc θ + 2 = 0

15. 3 − 1 + cos θ

= 4(1 - cos θ) 16. √ � 2 cos2 θ = cos2 θ


17. 4 sen2 θ = 3 18. 4 sen2 θ - 1 = 0

19. 2 sen2 θ - 3 sen θ = -1 20. cos 2θ + sen θ - 1 = 0

21. OLAS Las olas causan que una boya flote en el agua con un patrón regular. La posición vertical de la boya se puede describir por la ecuación h = 2 sen x. Escribe una expresión que describa la posición de la boya cuando su altura es su línea media.

22. ELECTRICIDAD La corriente eléctrica en un cierto circuito de corriente alterna se puede describir por la fórmula i = 3 sen 240t, donde i es la corriente en amperios y t es el tiempo en segundos. Escribe una expresión que describa el tiempo en el cual no hay corriente.


Algebra 2

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