Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa

Aldagai Anitzeko FuntzioakIntegraketa

Integral bikoitzakIntegral bikoitzak bi aldagaiko z=f(x,y) funtzioen integral

mugatuak dira. D definizio eremu itxi batean definitutakofuntzio jarraien integral bikoitzak aztertuko ditugu. Integral bikoitzaren definizioa Riemann-en batuketen segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola funtzioaren D definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: Ds1, Ds2,…Dsn.

Integral bikoitzakZatietan (beraien barnean edo mugan) puntu bana

aukeratzen dugu: P1, P2,…, Pn. Puntu horietan funtzioarenbalioak, f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerak bezala hartzen dirazutabe zuzenak eraikitzeko, non zutabeen oinarriak Ds1,Ds2,…,Dsn baitira, hurrenez hurren:

Integral bikoitzakZutabe zuzen horien bolumenak kalkulatzen ditugu (f(P1), f(P2),…, f(Pn)

altuerak bider Ds1, Ds2,…,Dsn, oinarrien gainazalak, hurrenez hurren) etaelkarri batzen dizkiogu:

Batura hau izango da z=f(x,y) funtzioaren azpian eta D eremuan oinarritutadagoen bolumenerako hurbilketa (suposatuz f(x,y) > 0 eremu osoan).

Zenbat eta gehiago Dsi, zatien kopurua, hau da, zenbat eta txikiago Dsi-ren gainazalen balioak; edo, gauza bera dena, zenbat eta xeheago D-ren zatiketa,orduan eta hobea izango da hurbilketa. Hortaz, hurrengo Riemann-enbatuketa segidak izango genituen: Vn1, Vn2,…, Vnk,… non n1<n2<…<nk<… etahurbilketak gero eta zehatzagoak izango ziren. Riemann-en limitea existitzen bada nk ∞ doanean (Dsi 0 doazenean)orduan hurrengo teorema dugu:

€

Vn = f (P1)Δs1 + f (P2)Δs2 +K + f (Pn )Δsn

Integral bikoitzakTeorema: D eremu itxian z=f(x,y) funtzioa jarraia bada, eta D-ren zatiketako Dsi, elementuen diametro handiena zerorantz jotzen

badun ∞ denean, orduan Riemann batuketen segidak badu limiterik.Limitea ez da zatiketa eraren menpekoa, ez eta Dsi elementuetanhartutako Pi puntuen aukeraketaren menpekoa ere.

Limite hori D eremuan (D integrazio-eremua deituko duguzabaldutako f(x,y) funtzioaren integral bikoitza deitzen dugu etahonela adierazten dugu:

€

f (P)D∫∫ ds edo f (x,y)

D∫∫ dxdy

limdiam Δsi → 0

f (Pi)Δsii=1

n

∑ = f (x,y)D∫∫ dxdy

Integral bikoitzak

D integrazio-eremuan f(x,y)>0 bada, integral bikoitzahurrengo hiru gainazal hauek mugatutako gorputzaren bolumena da:

1: z=f(x,y) gainazala.2: z=0 planoa.3: D-ren mugaren gainetik doan lerro bertikal batek sortutako gainazal zilindrikoa.

Gainazal zilindrikoa sortzeko erabiltzen den lerrobertikalari azal zilindrikoaren sortzailea deitzen diogu, etaD-ren muga-lerroari azal zilindrikoaren zuzendaria.

Integral bikoitzaren propietateak

1. Bi funtzioen baturaren integral bikoitza batugai funtzioen integral bikoitzen batura da:

2. Konstante bat bider funtzio baten integral bikoitza, konstantea bider funtzioaren integral bikoitza da:

Aurreneko bi propietate hauengatik integral bikoitzaeragiketa lineala dela esaten dugu.

€

f (x,y) + g(x,y)[ ]D∫∫ dxdy = f (x,y)

D∫∫ dxdy + g(x,y)D∫∫ dxdy

€

af (x,y)D∫∫ dxdy = a f (x,y)

D∫∫ dxdy

Integral bikoitzaren propietateak

3. D integrazio eremuan f(x,y) ≥ g(x,y) bada,orduan

4. D integrazio eremua barne-puntu komunik gabeko D1 eta D2 eremu partzialez osatuta badado, integral bikoitza bitan banatu daiteke:

€

f (x,y)D∫∫ dxdy ≥ g(x,y)

D∫∫ dxdy

€

f (x,y)D∫∫ dxdy = f (x,y)

D1∫∫ dxdy + f (x,y)

D2∫∫ dxdy

Integral bikoitzaren propietateak5. D integrazio eremuan f(x,y)=1 funtzio konstantea integratuz D

eremuko azalera lortuko dugu:

6. D eremuko puntu guztietan m≤f(x,y)≤M betetzen bada, orduan:

7. D eremuko f funtzio jarraiaren integral bikoitza era honetan jar daiteke

non P, D eremeko puntu partikular bat (gutxienez bat) den (batazbestekoaren teorema).

€

1D∫∫ dxdy = A(D)

€

m⋅ A(D) ≤ f (x,y)D∫∫ dxdy ≤ M⋅ A(D)

€

f (x,y)D∫∫ dxdy = f (P)⋅ A(D)

Integral bikoitzaren kalkulua

Integral bikoitzaren kalkulua, neurri batean, Ddefinizio-eremuko formaren menpekoa da. Hurrengo irudikoak integrazio eremu erregularrak edo I motakointegrazio eremuak deitzen dira:

Integral bikoitzaren kalkuluaD eremu erregularra x-ren bi funtzio jarraien kurben artean gelditzen da eta honela adierazi daiteke:

I motako eremu batean f(x,y) funtzio jarrai baten integral bikoitza kalkulatzeko hurrengoerako integralarekin aritzen gara (integral berritua edo integral iteratua):

Ikusten dugunez integral iteratua egitea aldagai bakarreko bi integral egitea da, bata bestearen atzetik,lehenegoa, parentesiaren barrukoa, y-rekiko, eta bigarrena x-rekikoa. Lehenengo integrala xkonstantetzat hartuz egiten da eta hortik ateratzen dena x-ren funtzio jarraia da:

Kanpoko integralaren mugak konstanteak dira, eta integral iteratuaren emaitza zenbaki bat da:

€

D = (x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x){ }

€

ID = f (x,y)dyg1 (x )

g2 (x )

∫ ⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

a

b

∫ dx

€

Φ(x) = f (x,y)dyg1 (x )

g2 (x )

∫

€

ID = Φ(x)a

b

∫ dx

Integral bikoitzaren kalkuluaAdibidea:

€

Kalkulatu ID = x 2 + y 2( )dy0

x 2

∫ ⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

0

1

∫ dx

€

Φ(x) = x 2 + y 2( )dy0

x 2

∫ = x 2y +y 3

30

x 2

= x 2x 2 +x 2( )

3

3= x 4 +

x 6

3

€

ID = Φ(x)0

1

∫ dx = x 4 +x 6

3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

1

∫ dx =x 5

5+

x 7

3⋅ 70

1

=15

+121

=26

105


€

Kalkulatu ID = x + 2y( )D∫∫ dA non D integrazio eremua y = 2x 2 eta

y =1+ x 2 parabolek mugatzen duten.

€

Parabolek bat egiten dute 2x 2 =1+ x 2 ⇒ x = ±1 denean, hau da (-1,2) eta (1,2) puntuetan. Honek esan nahi du D integrazio eremua dela

D = x,y( ) | −1≤ x ≤1, 2x 2 ≤ y ≤1+ x 2 { } , hurrengo irudian ikusten dena :


€

Beheko muga y = 2x 2 eta goikoa y =1+ x 2 direnez I motako eremuentzakointegrala erabiliko dugu :

x + 2y( )D∫∫ dA = x + 2y( ) dydx

2x 2

1+x 2

∫−1

1

∫ = xy + y 2

−1

1

∫2x 2

1+x 2

dx =

= x 1+ x 2( ) + 1+ x 2( )2

− x 2x 2( ) − 2x 2( )2

[ ]−1

1

∫ dx =

= −3x 4 − x 3 + 2x 2 + x +1( )−1

1

∫ dx =

= −3x 5

5−

x 4

4+ 2

x 3

3+

x 2

2+ x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟−1

1

= −65

+43

+ 2 =3215

Integral bikoitzaren kalkuluaII motako integrazio eremuak ere definitu daitezke. Hurrengo

eratakoak dira eta irudian bi adibide erakusten dira:

€

D = x,y( ) | c ≤ y ≤ d, h1(x) ≤ x ≤ h2(x){ }


II motako integrazio eremuetan egindako integral bikoitza hurrengo integral berritu edo iteratuaren bidez kalkulatzen da:

non, barruko integrala (lehendabizi egiten dena) x-rekikoa den eta kanpokoa y-rekikoa.€

ID = f (x,y) dAD∫∫ = f (x,y) dxdy

h1 (y )

h2 (y )

∫c

d

∫


€

Kalkulatu ID = xyD∫∫ dA non D integrazio eremua y = x −1 lerro zuzenak

eta y 2 = 2x + 6 parabolak mugatzen duten.

€

Hurrengo irudian erakusten da D integrazio eremua I motalotzatedo II motakotzat onar daitekela :


€

Dena den, irudian ikusten den bezala, errazagoa da II motako eremuarekin aritzea; I motakoarekin eremua bi zatitan banandu beharko genuelako. Horregatik, integrazioeremua honela idazten dugu :

D = x,y( ) − 2 ≤ y ≤ 4, y 2

2− 3 ≤ x ≤ y +1

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

eta, ondorioz, integrala honela kalkulatzen dugu :

xydAD∫∫ = xydx dy

y 2

2−3

y+1

∫−2

4

∫ =x 2

2y

−2

4

∫y 2

2−3

y+1

dy = y +1( )

2

2y −

y 2

2− 3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

2y

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

−2

4

∫ dy =

12

−y 5

4+ 4y 3 + 2y 2 − 8y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

−2

4

∫ dy =12

−y 6

24+ y 4 + 2

y 3

3− 4y 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟−2

4

=

12

−45

6+ 44 +

44

6− 43 +

42

6− 42 +

42

3+ 42

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

43

−64 + 96 +16 − 24 +1+ 2( ) =43

115 − 88( ) = 36


€

Aurreneko integralean eremua I motakotzat hartu izan bagenu, hurrengo erara kalkulatubeharko genukeen integrala :

xydAD∫∫ = xydy dx

− 2x+6

2x+6

∫−3

−1

∫ + xydx dyx−1

2x+6

∫−1

5

∫eta, bide horretatik, lan gehiago egin behar da.

€

Batzuetan, eremuaren aldetik antzekoak dira I edo II motakotzatjotzea, baina integrakizunaren aldetik, errazagoa suertatzen da motabat bestea baino. Hori agerian gertatzen da hurrengo adibidean:


€

Ebaluatu integral iteratu hau: sin y 2( )x

1

∫0

1

∫ dydx

€

Emandako integral iteratua hurrengo integral bikoitza bihur daiteke:

sin y 2( )x

1

∫0

1

∫ dydx = sin y 2( )dAD∫∫eta, emandako integrazio limitekin asmatu daiteke integrazio eremua zein den.Eremu hori bai I motakotzat, bai II motakotzat har daiteke irudian ikusten den bezala :


€

I motakotzat hartuta, D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤1, x ≤ y ≤1{ }, integrala emandako

ordenenean egingo genuen (lehen y - rekiko integrazioa eta, gero, x - rekikoa).

Hala ere, sin y 2( ) ez da berehalako integrala y - rekiko.

€

Dena den II motakotzat hartuta, D = x,y( ) | 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ x ≤ y{ }, orain integrazio

ordena aldatuta, integrala berehala kalkula daiteke:

sin y 2( )0

y

∫0

1

∫ dxdy = x sin y 2( )0

1

∫0

y

dy = y sin y 2( )dy0

1

∫ = −cos y 2( )

20

1

=12

1− cos1( )

Azalera eta bolumenen kalkulua integral bikoitzaren bidez

€

Lehen esan dugunez D eremuan f funtzioa positibo denean, integral bikoitzak :

f (P)dAD∫∫

z = f (x,y) gainazalaren azpiko zilindro baten bolumena ematen du, zilindroarenlerro zuzendaria D eremuaren mugalerroa izanik. Bestaldetik, aipatu dugu, baita ere, OXY planoko azal zati baten azalera honelakalkulatu daitekeela :

A = dAD∫∫

Erabil ditzagun formula hauek hurrengo adibideetan:


Adibidea:

€

Aurkitu z = x 2 + y 2 paraboloidearen azpian eta OXY planoko hurrengo D eremuarengainean gelditzen den solidoaren bolumena: D - ren mugak y = 2x lerro zuzena eta

y = x 2 parabola dira.

€

Muga lerroek bat egiten dute 2x = x 2 denean, hau da, x = 0 eta x = 2 direnean. D eremuaren adierazpena, I motako eremutzat hartuta, ondorengoa da :

D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 2x{ }


€

Ondorioz, eskatutako bolumena, honela kalkulatzen da :

V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = x 2 + y 2( )x 2

2x

∫0

2

∫ dydx

= x 2y +y 3

3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2

∫x 2

2x

dx = x 2(2x) +(2x)3

3− x 2(x 2) −

(x 2)3

3

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

2

∫ dx =

= −x 6

3− x 4 +

143

x 3 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2∫ dx = −x 7

21−

x 5

5+

76x 4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

2

=

= 24 −821

−25

+76

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

16210

−80 − 84 + 245( ) =16210

81 =21635


€

Baina emandako eremua II motakotzat ere onar daiteke:

€

D = x,y( ) | 0 ≤ y ≤ 4 , y /2 ≤ x ≤ y{ }


€

eta, eskatutako bolumena, honela ere kalkula daiteke :

V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = x 2 + y 2( )y2

y

∫0

4

∫ dxdy =

=x 3

3+ y 2x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

4

∫y2

y

dy =y 3 / 2

3+ y 5 / 2 −

y 3

24−

y 3

2

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

4

∫ dy =

=2y 5 / 2

15+

2y 7 / 2

7−

13y 4

96

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

4

=26

15+

28

7−

13⋅ 28

96

= 26 115

+47

−1324

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟=

26

84056 + 480 − 455( ) =

16210

81 =21635


Adibidea:

€

Aurkitu x +2y + z = 2, x = 2y, x = 0 eta z = 0 planoek mugatutako tetraedoren bolumena

€

Askotan lagungarriak dira eskatutako solidoaren bolumenaren marrazkiaeta integrazio eremuarena ere bai. Hona hemen bi irudi horiek:


€

Ondorioz, integrazio eremua da D = x,y( ) | 0 ≤ x ≤1 , x /2 ≤ y ≤1− x /2{ } eta

eskatutako bolumena, honela kalkulatzen da :

V = 2 − x − 2y( )D∫∫ dA = 2 − x − 2y( )

x2

1−x2

∫0

1

∫ dydx

= 2y − xy − y 2( )0

1

∫x2

1−x2dx = 2 − x − x 1−

x2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟− 1 −

x2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

− x +x 2

2+

x 2

4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

0

1

∫ dx =

= x 2 − 2x +1( )0

1∫ dx =x 3

3− x 2 + x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

1

=13


Adibidea:

€

Kalkulatu jatorrian zentratutako x 2

a2 +y 2

b2 =1, elipsearen azalera.

€

Ezaguna den bezala, a eta b elipsearen ardatz erdiak deitzen dira:


€

Integrazio eremua honela aukera genezake : D = x,y( ) | − a ≤ x ≤ a , −b 1 −x 2

a2 ≤ y ≤ b 1 −x 2

a2

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

baina elipsearen simetria kontutan hartuta, horren laurdena har dezakegu :

D* = x,y( ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b 1−x 2

a2

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ eta bider lau egin :

A = dAD∫∫ = dydx

−b 1−x 2

a 2

b 1−x 2

a 2

∫−a

a

∫ = 4 dAD*∫∫ = 4 dydx

0

b 1−x 2

a 2

∫0

a

∫ = 4 y0

a

∫0

b 1−x 2

a 2

dx =

= 4b 1−x 2

a20

a

∫ dx = →x = asin t , aldagai - aldaketarekin →( )

= 4b 1− sin2 t0

π2

∫ acos t dt = 4ab cos2 t0

π2

∫ dt =4ab

21+ cos2t( )

0

π2

∫ dt =

= 2ab t +sin2t

2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

π2

= 2abπ2

= πab

Aldagai aldaketa integral bikoitzetan

Integral bikoitzaren definizioan esan genuen bere balio ez zela D eremuko zatiketa motaren menpekoa, hau da, Dsi, elementuen forma edozein izan zitekeen.

Integral bikoitza, integral iteratuaren bidez, x-rekiko eta y-rekiko bi integral sinple bilakatzen zen. Horrela, bolumen totala lortzen da dxdy oinarri infinitesimala duten paralelepipedoen bolumenak elkarri batuz (integratuz).

Koordenatu kartesiar hauek ez dira beti suertatzen egokienak (edo errazenak) integralak kalkulatzeko, eta horregatik definitzen dira beste koordenatu-sistema batzuk.


Koordenatu polarrak: OXY planoko puntuakdeskribatzeko beste sistema da:

€

x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ c

ρ = x 2 + y 2 , tanϕ =yx

ρ ↔ [0,∞) , ϕ ↔ [0,2π )


Koordenatu polar hauek oso egokiak dira hurrengo motako eremuetan integralak kalkulatzeko:


D integrazio eremuaren zatiketa egin zitekeen lauki kartesiar (dA=dxdy) infinitesimalen bidez, edo, hurrengo irudianErakusten den lauki polar (dA=rdrdq) infinitesimalen bidez:

€

f (x,y)dAD∫∫ = f (ρ cosϕ,ρ sinϕ )ρdρdϕ = f (ρ cosϕ,ρ sinϕ)dϕρdρ

ϕ =α

ϕ =β

∫ρ =a

ρ =b

∫ρ =a

ρ =b

∫ϕ =α

ϕ =β

∫


Adibidea:

€

Kalkulatu 3x + 4y 2( )D∫∫ dA non D OXY goi - planoerdiko zatia den,

x 2 + y 2 =1 eta x 2 + y 2 = 4 zirkuluen artekoa.

€

Eskatutako eremua D = x,y( ) | 0 ≤ y , 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4{ } lehen irudikatu dugu,

eta koordenatu polarretan honela adieraz daiteke : D = ρ,ϕ( ) | 1 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π{ }

3x + 4y 2( )D∫∫ dA = 3ρ cosϕ + 4ρ 2 sin2ϕ( )ρdρdϕ1

2

∫0

π

∫ =

= 3ρ 2 cosϕ + 4ρ 3 sin2ϕ( )dρdϕ1

2

∫0

π

∫ =

= ρ 3 cosϕ + ρ 4 sin2ϕ( )0

π

∫1

2

dϕ = 7cosϕ +15sin2ϕ( )0

π

∫ dϕ =

= 7cosϕ +151 − cos2ϕ

2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

π

∫ dϕ =15π

2


Adibidea:

€

Aurkitu z = 0 planoak eta z =1− x 2 − y 2 paraboloideak mugatutako solidoaren bolumena.

€

z = 0 planoak eta z =1− x 2 − y 2 paraboloideak

mozten diote elkarri 0 =1− x 2 − y 2 denean hau da OXY planoan jatorrian zentratuta dagoen 1 erradiodun zirkunferentzian. Beraz gure solidoaparaboloidearen azpiko eta zirkulu horren gainekosolidoa da.


€

Integrazio eremua koordenatu polarretan hauxe da : D = ρ,ϕ( ) | 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }

eta integrakizuna, 1 − x 2 − y 2, koordenatu polarretan 1 − ρ 2 idazten da :

V = 1− x 2 − y 2( )D∫∫ dA = 1− ρ 2( )ρdρdϕ0

1

∫0

2π

∫ =

= dϕ ρ − ρ 3( )dρ0

1

∫0

2π

∫ = 2πρ 2

2−

ρ 4

4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

1

=π2


Integrazio eremuak konplexuagoak ere izan daitezke koordenatu polarrekin. Adibidez hurrengo irudikoa:

€

D = ρ,ϕ( ) | α ≤ ϕ ≤ β, h1(ϕ) ≤ ρ ≤ h2(ϕ ) { }

f (x,y)dAD∫∫ = f (

h1 (ϕ )

h2 (ϕ )

∫α

β

∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ)ρdρdϕ


Edo beste hurrengo irudikoa:

€

D = ρ,ϕ( ) | a ≤ ρ ≤ b, g1(ρ ) ≤ ϕ ≤ g2(ρ) { }

f (x,y)dAD∫∫ = f (

g1 (ρ )

g2 (ρ )

∫a

b

∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ)dϕρdρ


Koordenatu kartesiarrekin egiten genuen bezala, integrazio eremuaren gainazala kalkulatu nahi badugu, f(x,y)=1 funtzioa integratuko dugu:

€

D = ρ,ϕ( ) | α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ ρ ≤ h(ϕ ) { }

A(D) = dAD∫∫ = ρdρdϕ

0

h(ϕ )

∫α

β

∫ =ρ 2

20

h(ϕ )

dϕα

β

∫

A(D) =12

h(ϕ)[ ]2dϕ

α

β

∫


Adibidea:

€

Integral bikoitz baten bidez aurkitu, ρ = cos2ϕ ekuazioa duen, lau hostoko hirustarenhosto baten azalera.

€

D = ρ,ϕ( ) | −π /4 ≤ ϕ ≤ π /4, 0 ≤ ρ ≤ cos2ϕ { }

A(D) = dAD∫∫ = ρdρdϕ

0

cos2ϕ

∫−π / 4

π / 4

∫ =ρ 2

20

cos2ϕ

dϕ−π / 4

π / 4

∫

A(D) =12

cos2 2ϕ dϕ−π / 4

π / 4

∫ =14

1+ cos4ϕ( ) dϕ−π / 4

π / 4

∫

A(D) =14

ϕ +14

sin4ϕ ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟−π / 4

π / 4

=π8


Adibidea:

€

Aurkitu z = x 2 + y 2 paraboloidearen azpiko, OXY planoaren goialdeko, eta x 2 + y 2 = 2xzilindroaren barruko solidoaren bolumena.

€

D eremua zilindroari dagokion zirkuluarena da :

x 2 + y 2 = 2x, honela ere berridatz daitekena :

x −1( )2 + y 2 =1


€

x −1( )2 + y 2 =1 berridazten badugu koordenatu polarretan:

ρ cosϕ −1( )2

+ ρ 2 sin2ϕ =1⇒ ρ 2 cos2ϕ +1− 2ρ cosϕ + ρ 2 sin2ϕ =1⇒⇒ ρ 2 = 2ρ cosϕ ⇒ ρ = 2cosϕ eta, ondorioz, integrazio eremu hau dugu :

D = ρ,ϕ( ) | −π /2 ≤ ϕ ≤ π /2, 0 ≤ ρ ≤ 2cosϕ { } eta, eskatutako bolumena :

V = x 2 + y 2( )D∫∫ dA = ρ 2

0

2 cosϕ

∫−π / 2

π / 2

∫ ρdρdϕ =ρ 4

40

2 cosϕ

dϕ−π / 2

π / 2

∫ =

= 4 cos4 ϕ dϕ−π / 2

π / 2

∫ = 8 cos4 ϕ dϕ0

π / 2

∫ = 81+ cos2ϕ

2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

dϕ0

π / 2

∫ =

= 2 1+ 2cos2ϕ +12

1+ cos4ϕ( ) ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ dϕ

0

π / 2

∫ = 232ϕ + sin2ϕ +

18

sin 4ϕ ⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥0

π2

=3π2

Bestelako aplikazioakIntegral bikoitzak, Zientzian, arlo askotan agertzen zaizkigu. Magnitude

batzuren kalkuluak integral bikoitzen bidez egin behar dira. Adibidebatzuen laburpena aipatuko dugu:

1. Xafla mehe bati dagozkion hainbat propietate, besteak beste, bere masa, beraren karga elektrikoa eta abarrekoak, kalkula daitezke bi aldagaiko funtzioen integral bikoitzen bidez:

€

D eremu lau bateko masa - dentsitatea ezagutuz, ρ(x,y), bere masa, m, honela

kalkula dezakegu : m = ρ(x,y)dAD∫∫ . Kasu honetan dentsitatearen definizioa

hau litzateke : ρ = limΔa→ 0

ΔmΔa

, non Δm masa Δa azalerako zatiaren masa da, zatia

gero eta txikiagoa hartuz. Dentsitatea ρ(x,y) = ρ 0 konstantea izango balitz :

m = ρ(x,y)dAD∫∫ = ρ 0dAD∫∫ = ρ 0 dA

D∫∫ = ρ 0A(D)

Bestelako aplikazioak

€

Kasu berdintsua da xafla baten karga elektrikoaren kalkulua, oraingo honetan

karga - dentsitatea ezagutuz, σ (x,y), σ = limΔa→ 0

ΔQΔa

, non ΔQ karga Δa azalerako

zatiaren karga da, zatia gero eta txikiagoa hartuz. Xaflaren karga totala da:

Q = σ (x,y)dAD∫∫

Bestelako aplikazioakAdibidea:

€

Karga elektrikoa irudiko hirukian banatuta dugu, zeinen (x,y) puntuko karga dentsitatea

σ (x,y) = xy ekuaziokoa den (C/m2, Coulomb zati metro karratuko unitateetan).Aurkitu banaketaren karga totala.

€

Q = σ (x,y)dAD∫∫ = xydydx

1−x

1

∫0

1

∫

= xy 2

2∫1−x

1

dx =x2∫ 12 − 1− x( )2

[ ]dx

=12

2x 2 − x 3( )0

1

∫ dx =12

2x 3

3−

x 4

4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟0

1

=5

24C


2. Integral bikoitzaren bidez, xafla baten grabitate-zentrua, G, non dagoen kalkula daiteke ere:

€

Grabitate - zentruaren koordenatuak, xG,yG( ), honela

kalkulatzen dira :

xG =1m

xρ (x,y)dAD∫∫

yG =1m

yρ (x,y)dAD∫∫


€

Zirkulu erdi xafla baten puntuen masa dentsitatea dagokion zirkuluaren zentrurainokodistantziaren proportzionala da. Aurkitu xaflaren masa zentrua.

€

Demagun xafla x 2 + y 2 = a2 ekuazioko

zirkuluaren goi erdia dela. x,y( ) puntutik

zirkuluaren erdira 0,0( ) puntura( ) doan

distantzia x 2 + y 2 da. Beraz dentsitatea hau da :

ρ(x,y) = K x 2 + y 2

non K konstante bat den.


€

Bai dentsitate funtzioagatik, bai xaflaren formagatik, egokia da koordenatu polarren

erabilera. Orduan ρ x,y( ) = K x 2 + y 2 = Kr eta D integrazio eremua hurrengoa da:

D = r,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ π { }

Hortaz xaflaren masa hauxe da :

m = ρ x,y( )dAD∫∫ = K x 2 + y 2dA

D∫∫

= Kr( )0

a

∫0

π

∫ rdrdϕ = K dϕ0

π

∫ r2dr0

a

∫

= Kπr3

30

a

= Kπa3

3


€

Bestaldetik, xafla bera eta dentsitate funtzioa ere bai OY ardatzarekiko simetrikoakdira, eta, ondorioz masa zentrua OY ardatz honen gainean egongo da. Horrek esan nahi du xG = 0 dela. Bere y koordenatua hurrengo hau izango da :

yG =1m

yρ x,y( )dAD∫∫ =

3Kπa3 rsinϕ Kr( )

0

a

∫0

π

∫ rdrdϕ

=3

πa3 sinϕdϕ0

π

∫ r3dr0

a

∫ =3

πa3 −cosϕ( )0

π r4

40

a

=3

πa3 2a4

4=

3a2π

Beraz, masa zentrua 0,3a2π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ puntuan dago.

Bestelako aplikazioak3. Inertzia momentuak: m masako partikula baten inertzia momentua (edo bigarren momentua) ardatz batekiko mr2 da definizioz, non r partikularen eta ardatzaren arteko distantzia den. Kontzeptu hau zabaldu daiteke xafla baterako, suposatuz xafla elementu infinitesimalez osatuta dagoela eta elementu infinitesimal horiek elkarri batuz. Horrela, OX eta OY ardatzekiko inertzia momentuak honela kalkulatuko genukituzke hurrenez hurren:

Bi hauen arteko baturari deitzen ohi zaio jatorriarekiko inertzia momentuaedo inertzia momentu polarra, I0:

€

Ix = y 2ρ(x,y)dAD∫∫

Iy = x 2ρ(x,y)dAD∫∫

€

I0 = x 2 + y 2( )ρ (x,y)dAD∫∫


€

Kalkulatu a erradiodun diska homogeneo ρ (x,y) = ρ( ) baten Ix, Iy eta I0

inertzia momentuak.

€

Zirkuluaren ekuazioa da x 2 + y 2 = a2 eta, argi eta garbi, komeni da koordenatu polarrak

erabiltzea. D integrazio eremua hurrengoa da: D = r,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ 2π { }Hortaz, I0 honela kalkulatuko dugu :

I0 = x 2 + y 2( )ρdAD∫∫ = ρ r2

0

a

∫0

2π

∫ rdrdϕ = ρ dϕ0

2π

∫ r3dr0

a

∫ = 2πρr4

40

a

=πρa4

2

eta, ondorioz Ix eta Iy kalkulatzeko kontutan izango dugu I0 = Ix + Iy eta zirkuluaren

simetriagatik Ix = Iy . Ondorioz : Ix = Iy =I0

2=

πρa4

4.

Bestaldetik diskaren masa m = dentsitatea × azalera = ρ πa2( ) dela

eta, jatorriarekiko momentua honela ere jar daiteke: I0 =12ma2

Integral hirukoitzakIntegral hirukoitzak hiru aldagaiko u=f(x,y,z) funtzioen integral

mugatuak dira. V definizio eremu itxi batean definitutakofuntzio jarraien integral hirukoitzak aztertuko ditugu. Integral bikoitzaren antzera, definizioa Riemann-en batuketen segida baten bidez ematen da. Irudian ikusten da nola funtzioaren V definizio-eremua zatitzen den zati txikietan: DV1, DV2,…DVn.

Integral hirukoitzakRn Riemann batuketa bat da, n batugaietakoa, eta DVi, n

elementuekin V osoa betetzen da. Elementuen forma edozein da eta elementu bakoitzean (barruan edo mugan) Pi puntu bana aukeratzen da. Puntu horretan ebaluatzen da funtzioa f(Pi) DVi eta Riemannbatuketa gaien batura da. Riemann batuketen segida osatzen da V-ren zatiketa gero eta xeheagoa eginda, hau da, gero eta elementugehiagotan zatituz V eta, ondorioz, gero eta txikiago hartuz elementuen banakako bolumenak DVi,. Bolumen hauek infinitesimalak eginda, heuren bolumena zerorantz joango da.

Honelako segida bat izango dugu:

€

Rn1, Rn2, K , Rnk, K non n1 < n2 <K < nk <K

Integral hirukoitzak

f jarraia bada horrelako edozein segidak badulimiterik eta beti limite bera lortzen da (berdin du zein elementuen itxura edo zein Pi aukeratzun ditugun).Limitearen balio horri f-ren integral hirukoitza Vintegrazio eremuan deitzen diogu eta honela idazten da

Beste idazkera hauek ere erabiltzen dira: €

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = lim

diam Vi → 0f (Pi)ΔVi

i=1

n

∑

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (P)dV

V∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydzV∫∫∫

Integral hirukoitzen propietateak

1. Integral hirukoitza eragiketa lineala da, hau da, hurrengo bi propietateak baieztatzen dira:

2. V eremuan bada, orduan:

€

f (x,y,z) + g(x,y,z)[ ]dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dV

V∫∫∫ + g(x,y,z)dVV∫∫∫

€

cf (x,y,z)dVV∫∫∫ = c f (x,y,z)dV

V∫∫∫

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ ≥ g(x,y,z)dV

V∫∫∫€

f (x,y,z) ≥ g(x,y,z)

Integral hirukoitzen propietateak

3. S gainazal baten bidez V integrazio eremua barne-puntukomunik gabeko V1 eta V2 eremuetan zatitzen bada, orduan:

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dV

V1∫∫∫ + f (x,y,z)dV

V2∫∫∫

Integral hirukoitzen propietateak4. V integrazio eremuan f(x,y,z)=1 funtzioa integratuz, integral

hirukoitzak V-ren bolumena ematen du: Hortaz, badaukagu bide berria (lehen integral bikoitzen bidez egin genuen) bolumenak kalkulatzeko.

5. V eremuko puntu guztietan bada, orduan:

€

1dVV∫∫∫ =V (integrazio eremuaren bolumena)

€

m⋅V ≤ f (x,y,z)dVV∫∫∫ ≤ M⋅V

€

m ≤ f (x,y,z) ≤ M

Integral hirukoitzen propietateak6. Batezbestekoaren Teorema: f(x,y,z) funtzio jarrai baten integral hirukoitzaren V integrazio eremuan badago gutxienez, honelako P puntu bat:

Teoremaren izena (batezbestekoarena) hobeto ulertzen da aurrekoberdintza baliokidea den hurrengo eratara idatziz:

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (P)⋅V

€

f (P) =1V

f (x,y,z)dVV∫∫∫

Integral hirukoitzen kalkulua

Integral hirukoitza, praktikan, integral bikoitzaren kasuan bezala, integral berritu (iteratua) bilakatzen da eta, ondorioz, hiru integral sinple egitea, bata bestearen atzetik, bihurtzen da.

Integral bikotzarekin gertatzen zen bezala, aukera anitz dauzkago integrazio eremua koordenatu desberdinekin adierazteko eta integral sinpleen ordena hautatzeko. Izan ere, integral hirukoitzaren kasu honetan aukera gehiago izango ditugu, dimentsio gehigarri batdugulako.

Integral hirukoitzen kalkuluaKoordenatu kartesiarrekin hasiko gara. Demagun f(x,y,z) funtzioaren V

integrazio eremua hurrengo irudikoa dela:

Integral hirukoitza, hurrengo integral iteratuaren bidez kalkuladaiteke:

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydz

a

b

∫c

d

∫r

s

∫


Integral sinple hauek bata bestearen atzetik egin behar dira. Goiko formularen arabera lehenengo x-rekiko integrala egingo genuke, gero y-rekikoa eta, azkenik, z-rekikoa. Emaitza zenbaki huts bat da. Integrala egin ahala, V bolumena osatzen ari gara. Lehenbizi, x-rekiko integratuz ziri bat lortzen dugu (x ardatzaren norabidekoa etab-a luzerakoa). Bigarren y-rekiko integralaz xafla bat osatzen dugu (OXYPlanoarekiko paraleloa eta (b-a)x(d-c) azalerakoa. Azkenik, hirugarrenintegralak (z-renak) V emango du, aurreko xaflen bidez osotua.

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdydz

a

b

∫c

d

∫r

s

∫

Integral hirukoitzen kalkulua Integral berrituaren ordena aldatu daiteke.

Adibidez:

ordena aukeratuta, integraketa hurrengo irudiaren araberakoa izango zen:

Integral bikoitzarekin gertatzen zen bezala, integrazio-ordenak kalkuluak erraztu edo zaildu ditzake.

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dxdzdy

a

b

∫r

s

∫c

d

∫

Integral hirukoitzen kalkuluaAdibidea:

€

Ebaluatu xyz2dVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V hurrengo kaxa angeluzuzena den:

V = x,y,z( ) | 0 ≤ x ≤1 , −1≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3{ }

€

Kasu honetan integral iteratiboaren ordena ez da oso garrantzitsua:

xyz2dVV∫∫∫ = xyz2dxdydz =

x 2yz2

2−1

2

∫0

3

∫0

1

∫−1

2

∫0

3

∫0

1

dydz

=yz2

2−1

2

∫0

3

∫ dydz =y 2z2

4−1

2

dz =0

3

∫ 3z2

4dz

0

3

∫

=z3

40

3

=274

Integral hirukoitzen kalkuluaIntegrazio eremuaren gainazalak kurbatuak direnean V-ren

osaketa hainbat modutan egin daiteke. Irudiak erakusten du eremu erregular bat. Eremu erregularretan barneko puntu batetik pasatzenden lerro paralelo batek (OX ardatzarekiko, OY ardatzarekiko edo OZ ardatzarekiko) V-ren muga bakarrik bi puntutan ebakiko du:

Integral hirukoitzen kalkuluaIntegrazio eremua, berriz, erregularra ez denean, irregularra deitzen da eta,

integratu aurretik, eremu erregularretan zatitu behar da.Aurreko irudiaren eremu erregularrean integratzeko hiru era ezberdinetan egin

daiteke (koordenatu kartesiarretan).Hiru era horiek lotuta daude integral iteratiboaren hiru ordena desberdinekin:

I era- V eremua OXY planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OXY planoko DI eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien x eta y koordenatuetako (x,y) puntuak DI eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:

DI eremuaren mugalerroa V-ren gerriko lerro baten (ez derrigorrean horizontala)

proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, goiko tapa (ekuazioa z=u2(x,y)) eta beheko tapa (ekuazioa z=u1(x,y)).

Era honetan, integral iteratua honela hasiko genuke:

€

V = x,y,z( ) | x,y( )∈DI , u1(x,y) ≤ z ≤ u2(x,y){ }

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dz

u1 (x,y )

u2 (x,y )

∫ ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥D I

∫∫ dA

Integral hirukoitzen kalkuluaII era- Era honetan OYZ planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OYZ

planoko DII eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien y eta z koordenatuetako (y,z) puntuak DII eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:

DII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez

derrigorrean bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa z=s2(x,y)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=s1(x,y)).


€

V = x,y,z( ) | y,z( )∈DII , s1(y,z) ≤ x ≤ s2(y,z){ }

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dx

s1 (y,z )

s2 (y,z )

∫ ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥D II

∫∫ dA

Integral hirukoitzen kalkuluaIII era- Era honetan OXZ planoan proiektatzen dugu, proiekzioa OXZ

planoko DIII eremu itxia izanik. V eremuko puntu guztien x eta z koordenatuetako (x,z) puntuak DIII eremuan daude. V-ren puntuetako multzoaren adierazpen hau da:

DIII eremuaren mugalerroa V-ren inguru lerro baten (ez

derrigorrean bertikala) proiekzioa da eta V-ren gainazala bi zatitan banatzen du, alde bateko tapa (ekuazioa z=t2(x,z)) eta bestaldeko tapa (ekuazioa z=t1(x,z)).


€

V = x,y,z( ) | x,z( )∈DIII , t1(x,z) ≤ y ≤ t2(x,z){ }

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (x,y,z)dy

t1 (x,z )

t2 (x,z )

∫ ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥D III

∫∫ dA


Ikusten dugunez, edozein eratan hasita, lehenengo integrala egiten dugunean, integral bikoitz bat geratzen zaigu. Hori egiteko integrazio eremu laua bi era ezberdinetan osotu daiteke. Hortaz, guztira hiru integraletako integral iteratiboa sei era ezberdinetan burutu daiteke. Integral bikoitza egiteko koordenatu polarretara pasa gaitezke ere. Kontutatn izan behar da ere, aipatutako sei integraletako batzuk besteak baino errazagoak edo zailagoak suerta daitezkeela.


€

Ebaluatu zdVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V tetaedro bat den, mugak x = 0,

y = 0, z = 0, x + y + z =1 planoak diren.

€

Irudian ikusten da V integrazio eremua eta bere proiekzioa OXY planoan.I erako integral iteratua egingo dugu eta integral bikoitzeko integrazio eremuaere I erako moduan burutuko dugu:


€

zdVV∫∫∫ = zdzdydx

0

1−x−y∫0

1−x∫0

1∫ =z2

20

1−x∫0

1∫0

1−x−y

dydx =12

1− x − y( )2

0

1−x∫0

1∫ dydx =

=12

−1 − x − y( )

3

30

1∫0

1−x

dx =16

1− x( )3

0

1∫ dx =16

−1− x( )4

4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥0

1

=1

24

€

V = x,y,z( ) | 0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤1− x , 0 ≤ z ≤1− x − y{ }


€

Ebaluatu x 2 + z2dVV∫∫∫ integral hirukoitza, non V eremua y = x 2 + z2 paraboloideak

eta y = 4 planoak mugatutako eremua den.

€

Irudian ikusten da V integrazio eremua eta bere proiekzioa OXY planoan.Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke:


€

Hasierako asmoa I eran integratzea izan litzateke :

V = x,y,z( ) | − 2 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 4 , − y − x 2 ≤ z ≤ y − x 2{ }

x 2 + z2

V∫∫∫ dV = x 2 + z2

− y−x 2

y−x 2

∫x 2

4∫−2

2∫ dzdydx

eta z - rekiko integrala egiteko hurrengo bi aldagai aldaketak erabili genitzake:z = x tan t, lehendabizi eta u = tan(t /2) ondoren. Horiek egin eta gero :

x 2 + z2dz = x 2 dtcos3 t∫∫ = x 22

1+ u2( )2

1 − u2( )3∫ du

Azken integrala funtzio errazional baten integrala da, eta luzea izan daiteke.


€

II eran integratzea berdintsua suertatuko litzateke, OXY eta OYZ planoekikoproiekzioak antzekoak direlako. Hortaz, III erara saiatuko gara : OXZ planoanproiektatuz zirkulu bat lortzen da :

€

x 2 + z2V∫∫∫ dV = x 2 + z2dy

x 2 +z 2

4

∫ ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ y x 2 + z2

D III∫∫D III

∫∫x 2 +z 2

4

dA = 4 − x 2 − z2( ) x 2 + z2dAD III

∫∫

€

V = x,y,z( ) | x,y( )∈DIII , x 2 + z2 ≤ y ≤ 4{ }

€

eta orain, geratzen zaigun integral bikoitza hau, koordenatu polarretan egingo dugu :


€

x 2 + z2

V∫∫∫ dV = 4 − x 2 − z2( ) x 2 + z2dAD III

∫∫ = 4 − ρ 2( )ρρdρdϕD III∫∫

0

2

∫0

2π

∫ =

=43ρ 3 −

15ρ 5 ⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

0

2π

∫0

2

dϕ = 3213

−15

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dϕ0

2π

∫ =128π

15

€

DIII = ρ,ϕ( ) | 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }

x = ρ cosϕz = ρ sinϕ

Aldagai aldaketa integral hirukoitzetan

Integral hirukoitz batzuk, integral bikoitzetan gertatzen zen bezala,errazago kalkulazten dira kartesiarrak ez diren koordenatuetan, batik bat, koordenatu zilindrikoetan eta koordenatu esferikoetan, alegia. Azter ditzagunbi koordenatu-sistema garrantzitsu hauek:Koordenatu zilindrikoak

Espazioko puntu bati dagozkion koordenatu zilindrikoak (r, j,z) hirukote dira, bi luzera, r eta z, eta angelu bat, j. Irudian agerian geratzen da heuren definizioa:

€

r ∈[0,∞) , ϕ ∈[0,2π ) , z∈(−∞,∞)

x = ρ cosϕ ρ = x 2 + y 2

y = ρ sinϕ ϕ = arctan y / xz = z z = z


Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:

€

"Kutxa zilindriko" infinitesimal honidagokion bolumena, dV , honela kalkula daiteke :dV = dρ ⋅ dz⋅ ρdϕ = ρdρdϕdz


Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa zilindriko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:

€

V = ρ,ϕ,z( ) | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ ϕ ≤ β , c ≤ z ≤ d{ }

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (

c

d

∫a

b

∫α

β

∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ,z)dzρdρdϕ


Noski, koordenatu kartesiarretan gertatzen bezala, integrazio-ordena aukeraketak kalkuluak zaildu edo erraztu ditzake.

Era berean, integralen kausistika, koordenatu kartesiarrekin bezain zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo Vintegrazio eremuan, “kutxa zilindrikoaren” goiko eta beheko tapak kurbatuak balira (lauak izan beharrean), honela arituko ginen:

€

V = ρ,ϕ,z( ) | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ ϕ ≤ β , u1(ρ,ϕ) ≤ z ≤ u2(ρ,ϕ){ }

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (

u1 (ρ ,ϕ )

u2 (ρ ,ϕ )

∫a

b

∫α

β

∫ ρ cosϕ,ρ sinϕ,z)dzρdρdϕ


Adibidea:

€

V gorputz bat dugu x 2 + y 2 =1 zilindroaren barruan, z = 4 planoaren azpian eta

z =1− x 2 − y 2 paraboloidearen gainean. Gorputzaren puntuen dentsitatea, puntutikOZ ardatzairano doan distantziaren proportionala da. Kalkulatu V - ren masa.

€

Irudian ikusten da V gorputza (hau da, V integrazio eremua). Zilindro bat da, bere goiko tapa laua eta behekoa paraboloidea direla:

€

V = ρ,ϕ,z( ) | 1− ρ 2 ≤ z ≤ 4 , 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π { }


€

Masa kalkulatzeko, integratu behar dugun funtzioa dentsitatea da, eta,esan diguten bezala, OZ ardatzarainoko distantziaren (ρ - ren) proportzionala da :d = Kρ . Beraz hurrengo integral hirukoitza kalkulatu behar dugu:

KρdVV∫∫∫ = Kρ

1−ρ 2

4∫0

1∫0

2π∫ dzρdρdϕ = K0

1∫0

2π∫ ρ z 1−ρ 24 ρdρdϕ =

= K0

1∫0

2π∫ ρ 2 3+ ρ 2( )dρdϕ = K ρ 3 +ρ 5

5

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2π∫0

1

dϕ =

= K 1+15

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dϕ

0

2π∫ =6K5

2π =12π

5K

€

V = ρ,ϕ,z( ) | 1− ρ 2 ≤ z ≤ 4 , 0 ≤ ρ ≤1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }


Adibidea:

€

Kalkulatu hurrengo integral iteratua: x 2 + y 2( )x 2 +y 2

2∫− 4 −x 2

4 −x 2

∫-2

2∫ dzdydx

€

V integrazio eremuaren adierazpena hurrengo hau da:

V = x,y,z( ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 2 , − 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 , − 2 ≤ x ≤ 2 { }

€

Ikusten den bezala z aldagaiari dagokion beheko

tapa da z = x 2 + y 2 (kono bat) eta goiko tapa,z = 2 (plano bat). z − ri dagokion integrazio eginondoren, integral bikoitza geratzen zaigu OXY planoko eremu batetan. Eremu hori da 2 erradiodunzirkulua, irudian egiaztatzen den bezala :


€

V - ren forma ikusita, argi eta garbi dago koordenatu zilindrikoak hobesten direla integral hirukoitz hau kalkulatzeko:

x 2 + y 2 = ρ 2 cos2ϕ + ρ 2 sin2ϕ = ρ 2

z = x 2 + y 2 = ρ

x 2 + y 2( )x 2 +y 2

2∫− 4 −x 2

4 −x 2

∫-2

2∫ dzdydx = x 2 + y 2( )dV = ρ 2dzρdρdϕρ

2∫0

2∫0

2π∫V∫∫∫ =

= ρ 3

0

2∫0

2π∫ 2 − ρ( )dρdϕ =ρ 4

4−

ρ 5

5

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2π∫0

2

dϕ =24

2−

25

5

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dϕ

0

2π∫ =16π

5


Koordenatu esferikoakEspazioko puntu bati dagozkion koordenatu esferikoak (r, q, j) hirukote dira, luzera bat, r, eta bi angelu, q eta j. Irudian agerian geratzen da heuren definizioa:

€

r∈[0,∞) , θ ∈[0,π ] , ϕ ∈[0,2π )

x = rsinθ cosϕ r = x 2 + y 2 + z2

y = rsinθ sinϕ θ = arctanx 2 + y 2

z

z = rcosθ ϕ = arctanyx


Beheko irudian erakusten da nolako elementu infinetesimalak erabiltzen diren V integrazio eremua osotzeko:

€

"Kutxa esferiko" infinitesimal honidagokion bolumena, dV , honela kalkula daiteke :

dV = dr⋅ rdθ ⋅ rsinθdϕ = r2 sinθdrdθdϕ


Beraz f(x,y,z) funtzioa integratu behar badugu honelako “kutxa esferiko” itxura duen V integrazio eremuan, honela egingo dugu:

€

V = r,θ ,ϕ( ) | r1 ≤ r ≤ r2, θ1 ≤ θ ≤ θ 2, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2{ }

€

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (

r1

r2

∫θ 1

θ 2

∫ϕ 1

ϕ 2

∫ rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,rcosθ )r2drsinθdθdϕ


Berriro ere, koordenatu kartesiarrekin eta zilindrikoekin gertatzen zen bezala, integralen kausistika oso zabala izan daiteke. Adibidez, lehengo V integrazio eremuan, “kutxa esferikoaren” jatorritik gertuago eta urrutiago dauden tapak irregularrak balira (erradio,r,konstante izan beharrean), honela egingo genuen:

€

V = r,θ ,ϕ( ) | u1(θ ,ϕ) ≤ r ≤ u2(θ ,ϕ) , θ1 ≤ θ ≤ θ 2, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2{ }

f (x,y,z)dVV∫∫∫ = f (rsinθ cosϕ,rsinθ sinϕ,rcosθ )r2drsinθdθdϕ

u1 (θ ,ϕ )

u2 (θ ,ϕ )∫θ 1

θ 2∫ϕ 1

ϕ 2∫


Adibidea:

€

Kalkulatu integral hirukoitz hau: e x 2 +y 2 +z 2( )3/2

V∫∫∫ dV , non V , integrazio eremua,

1 erradioko bola den.

€

Integrazio eremua bola bat denez (hau da, "kutxa esferiko" bat) argi dagoegokia dela koordenatu esferikoen erabilera. V integrazio eremua honelaadierazten da :

V = r,θ ,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤1 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }

eta integratu behar dugun funtzioa: e x 2 +y 2 +z 2( )3/2

= e r 2( )3/2

= er 3

Beraz :

e x 2 +y 2 +z 2( )3/2

V∫∫∫ dV = er 3

r2drsinθdθdϕ0

1∫0

π∫0

2π∫ =er 3

30

π

∫0

2π

∫0

1

sinθdθdϕ =

e −1( )3

−cosθ( )0

2π

∫0

π

dϕ =2 e −1( )

3dϕ

0

2π

∫ =4π3

e −1( )


Adibidea:

€

Koordenatu esferikoak erabiliz kalkulatu z = x 2 + y 2 konoaren gainean eta

x 2 + y 2 + z2 = z esferaren barruan dagoen gorputzaren bolumena.

€

Esferaren ekuazioa honela berridatz daiteke:

x 2 + y 2 + z2 = z⇒ x 2 + y 2 + z2 − z = 0⇒

⇒ x 2 + y 2 + z −12

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

=14

eta, honela, hobeto ulertzen da, 1/2 erradiokoesfera dela, bere zentrua (0,0,1/2) puntuan duena. Hortaz, eskatzen diguten gorputzaren bolumena da ondoko irudian erakusten dena:


€

Koordenatu esferikoetan hurrengo adierazpenak ditugu:

(esfera) x 2 + y 2 + z2 = z⇒ r2 = rcosθ ⇒ r = cosθ

(konoa) z = x 2 + y 2 ⇒ rcosθ = rsinθ cosϕ( )2

+ rsinθ sinϕ( )2 ⇒

⇒ rcosθ = rsinθ ⇒ tanθ =1⇒ θ =π4

eta, ondorioz, V , integrazio eremua hurrengo hau da:

V = r,θ ,ϕ( ) | 0 ≤ r ≤ cosθ , 0 ≤ θ ≤ π /4, 0 ≤ ϕ ≤ 2π{ }

eta bolumena : dV = r2

0

cosθ∫0

π / 4∫0

2π∫V∫∫∫ drsinθdθdϕ =

r3

30

cosθ

0

π / 4

∫0

2π

∫ sinθdθdϕ =13

cos3θ0

π / 4

∫0

2π

∫ sinθdθdϕ =13

−cos4 θ

4

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

0

2π

∫0

π / 4

dϕ =

112

1−14

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dϕ0

2π

∫ =π8


€

Beheko irudian erakusten da nola osotu dugun eskatutako bolumena:

Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa

Documents

Transcript of Aldagai Anitzeko Funtzioak Integraketa