OINARRIZKO

FUNTZIOAK (I)

Arrasate B. H. I. (Arrasate)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa

1. maila

Funtzioak zer diren

Funtzio batek bi aldagai erlazionatzen ditu:

• Dei telefoniko baten kostua deiaren iraupenaren araberakoa da

• Etxebizitzaren prezioa etxearen azaleraren funtziopean dago

• Esfera baten bolumena bere erradioaren menpekoa da

• ........

Bi aldagai erlazionatzen dira, bat independentea (x) eta bestea dependentea edo menpekoa (y).

Funtzioak f, g, h...letrez adierazten ohi dira.

y=f(x) idazkerak esan nahi du “y” aldagaia “x” ren menpe dagoela.

Grafikoa

Funtzioak koordenatu-ardatzetan irudikatzen dira.

Abzisa-ardatzean x-ren balioen multzoa adieraziko dugu, eta ordenatu-ardatzean y = f(x) funtzioaren balioen multzoa.

“x”-ren balio bakoitzari “y” bakarra dagokio.

(x,y) bikoteak funtzioaren marraren puntuak dira.

X

Y

x

y (x,y)

Ezkerrekoa funtzioa da, eskuinekoa ez

y=x2Funtzioa da

1 4 9

-3

-2

-1

1

2

3

Bi funtzio diraEz da funtzioa

Ez da funtzioa

1 4 9

-3

-2

-1

1

2

3

y=− x

y =+ x

x-k har ditzakeen balioen multzoari funtzioaren existentzia-eremua esaten zaio. D(f) eran adierazten da.

y = x2 funtzioan x aldagaiari edozein balio emanda y-ren balioa lortzen da. Funtzio hori R osoan definituta dagoela esango dugu edo bere existentzia-eremua R edo dela. − ∞ , ∞

Baina funtzioan, berriz, x aldagaiari ezin dizkiogu balio negatiborik eman. Funtzio horren existentzia-eremua da.

y = x[ 0 , ∞

y=2

x−1R−{1 }

Modu berean, funtzioan, x-ri ezin diogu 1 balioa eman. Funtzio horren existentzia-eremua da.

Existentzia-eremua

y= x+1 funtzioareneremua [ -1,∞ da .

y=2x+1 funtzioaren eremua R da

Funtzioen irudi multzoa (Ibiltartea)

Irudi diren zenbaki errealen multzoari f funtzioaren ibiltartea esaten zaio.

-3 -2 -1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7Y

f(x)=5

{5} Funtzio bornatua da, bai goitik eta behetik.

-3 -2 -1 1 2 3X

-2

-1

1

2

3

4Y

f(x)= -x2+3

Goitik bornatua; behetik ez.−∞ , 3 ]

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f x ={ x22 , x≤0 bada 1, x0 denean }

Behetik bornatua; goitik ez.

{1 } ∪ [2 , ∞

Zein da funtzio bakoitzaren eremua eta irudi multzoa

(ibiltartea)?

y=1

x−2y=3−x

Eremua: R-{2}

Irudi multzoa: R-{0}

Ez dago bornatua, ez goitik ez behetik.

Eremua:

Irudi multzoa:

Behetik bornatua dago; goitik ez.

−∞ , 3 0 , ∞

y=2x-4 funtzioaren grafikoa

0 2

-4 0

x y

Aski da ondoko bi puntuak ezagutzea:

Non mozten du 0X ardatza? y=0 x=2 ; A(2,0)

Eta 0Y ardatza? x=0 y=-4 ; B(0,-4)

“a”, zuzenaren malda da

b=0 denean, zuzena (0,0) puntutik pasatzen da

y= k zuzena, horizontala da; x= k , ordea, bertikala

1. mailako funtzio polinomikoak: y =ax+b (zuzenak)

-1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

f x

Zuzenaren malda:

y=y 2− y1

x2−x1

=0−−4

2−0=

42= 2

Zuzenak (Adibide grafikoak)

y= x - 3

1 2 3OX

-1

-2

-3

OY

x y

0 -3

3 0 1 2 3OX

1

2

3

OY

y = 3-x

x y

0 3

3 0

-1 1 2OX

1

2

3

OY

y = 3

y = 4x

x y

0 0

1 4

1OX

1

2

3

4

OY

x = -10

-4 -3 -2 -1

-2

-1

1

2

-10

Ariketa ebatzia: Zein da irudiko zuzenaren adierazpen analitikoa?

1 2OX

1

OY

B

AI) y=ax+b forma du.

A(0,1) puntua zuzenean dago; hots, 1=a(0)+b

Berdin (2,0) puntua: 0=a(2)+b.

Beraz, b=1 eta a=-1/2.

Zuzenaren ekuazioa: y = -x/2 + 1

a=malda=0−12−0

=−12

II) P(x1,y1) puntu bat eta m malda ezagutuz,

zuzenaren ekuazioa y - y1 = m(x - x1) da.

Puntua: A(0,1) eta m = -1/2 . Beraz, y-1 = -1/2(x-0); y = -x/2 +1

A(0,1) eta B(2,0) puntuetatik pasatzen da.

Bi eratan egingo dugu:

BALIO ABSOLUTUAK

y=∣x∣= −x baldin x≤0x baldin x≥0

x y

-2 0

-1 1

0 2

-3 1

-4 2

x y

0 0

-1 1

-2 2

1 1

2 2

y=x+2

y=x+2

y =∣x∣ y =∣x2∣

y=x+2

y=x+2

-2 -1 1 2x

0.5

1

1.5

2

-5 -4 -3 -2 -1 1x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y= −x ; x≤0x ; x≥0

y= −x ; x≤−2x ; x≥−2

Zeintzu dira A, B eta D puntuak?

y = x2 ; y = 3 – x2 ; y = (x-4)2

2. mailako funtzio polinomikoak: y = ax2 +bx +c (parabolak)

Demagun gorputz bat 5 m/seg-ko abiadurarekin pasatzen dela jatorritik 10 km-ra dagoen puntu batetik. Une horretan azelerazioa konstantea bada, esaterako 2 m/seg2-koa, gorputzaren posizioa (s) eta denbora (t) erlazionatzen duen funtzioa, s = f(t), hauxe da: s = 10 + 5t + ½ .2t2

-2 -1 1 2x

1

2

3

4f(x)=x2

-1 1x

1

2

3f (x)=3-x2

A B 2 4 6 8x

f(x)=(x-4)2

D

3. mailako funtzio polinomikoak

-2 -1 1 2x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f (x)=x3

-2 -1 1 2x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

f (x)-x3

-3 -2 -1 1x

-2

-1

1

2

3

4

fx)=x3+3x2

y = x3 ; y = -x3 ; y = x3 + 3x2

4. mailako funtzio polinomikoak

-2 -1 1 2x

f(x)=x4

-1.5 -1 1 1.5x

f(x)=-x4

-1 1 2x

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

f(x)=x4-x2

y = x4 ; y = - x4 ; y = x4 - x2

1. mailako funtzio irrazionalak

x y

0 0

-1 1

-4 2

Existentzia- eremua: D f = {x≤0 }

y = − x

x y

2 0

6 2

11 3

y = x − 2D f = {x ≥ 2 }Existentzia- eremua:

-9 -4 -1

1

2

3

y = − x

2 6 11

1

2

3OY

y = x − 2

1. Laukizuzen baten perimetroa 20 cm-koa da. Adieraz ezazu laukizuzenaren azalera x aldearen funtzioan

Ariketak 1

2. Lor itzazu ondoko funtzioen existentzia-eremua.

y =5

x 2− 100; y =

x2 − 1005

; y =5

x 2 100; y = x 2 − 9

y = 9− x2 ; y = x22x −3 ; y = 3 − 2x − x2 ; y =x−1

x 2 − 6x 5

y = 2 − x2 ; y = x+ 2x−1

; y = x−2x+3

; y = x3 −4x

y = x2− 1 ; y =x−4 ; y =

1x

Zeintzu dira "r" , "s" , "t" eta "v" funtzioak?

Zeintzu dira A eta B puntuak?

Zenbat da "s" zuzenaren malda? . Eta "v"zuzenarena?

Ariketa 2

-2 -1 1 2 3 4x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f (x)

r

st

v

A

B

Ariketa 3

Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

5

6

(2,5)

-2 -1 1

-1

-4

1

4

(-2,8)

(-1,1)

-1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 1

0.5

1

1.5

2

Ariketa 4. Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?

-2 -1 1 2x

-4

-3

-2

-1

1f(x)

-2 -1 1 2x

-1

1

2

3

4f (x)

1 4 9OX

1

2

3

OY

(4,2)

Ariketa 5

y = 1-x2 ; y = x2 +3 ; y = 1+x3

y=∣x+3∣ y=1−xy=∣3−x∣

Adierazi grafikoki ondoko funtzioak:

Alderantziz proportzionalak diren funtzioak

x 0,1 0,01 1 4 -1 -10

y 10 100 1 0,25 -1 -0,1

x 0,1 0,01 1 4 -1 ...

y -10 -100 -1 -0,25 1 ...

Existentzia-eremua: I = R – { 0} y =−1x

Existentzia-eremua: R – { 0}y =1x

Askotan agertzen dira mota horietako funtzioak. Adibidez, tenperatura konstantean, gas masa baten presioa eta bolumenen arteko erlazioa da.P =

kB

x-4 -2 2 4

x

-10

-5

5

10

y

y=1x

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

y

y=−1x

Funtzio esponentzialak: y = 2x eta y = (1/2)x

Txanpon bat” n” aldiz botatzen dugu airera.. Zenbat emaitza posible daude?

Lehenego jaurtiketan : 2Bigarren " : 2.2 = 4Hirugarrenean: 2.2.2 = 8Laugarrenean: 2.2.2.2 = 16

"n" jaurtiketa egin ondoren, emaitza guztiak adierazten duen funtzioa y = 2n da.Adieraz ditzagun grafikoki bi funtzio hauek : y = 2x eta y = (1/2)x

y = 2-

x

y = 2x

-5 0,03125 32

-4 0,0625 16

-3 0,125 8

-2 0,25 4

-1 0,5 2

0 1 11 2 0,5

2 4 0,25

3 8 0,125

4 16 0,0625

5 32 0,03125

x 2x 2-x

Existentzia-eremua: R

Funtzioaren balioak (OY) beti dira positiboak. Ibiltartea: 0 , ∞

Oinarritzat “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio esponentziala: y = ex

x y

0 1

1 e=2,71...

2 e2 = 7,389...

-1 1/e = 0,3678...

-1 1 2

1

0.367

7.39

y =ex

Existentzia-eremua: R

Ibiltartea: 0 , ∞

Oinarritzat “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio logaritmikoa.

0.5 1 2 3

-0.693

0.693 y = ln x

x y

1 0

2 0,693

3 1,099

0,5 -0,693

y = ln x Ez dago zenbaki negatiboen logaritmorik.Existentzia- eremua: {x>0}

Soluzioak

-2 -1 1 2

1

3

y =e- x

-4 -2 2 4x

-20

-10

10

20

(1,2)

(-1,2)

x y

-3 2

-4 3

x≤−3 denean, y =-x-1 zuzena irudikatzen da .

−1 <x<1 denean, y =3 z uzen horizontala .

x≥1 denean, y =x-2 zuzena .x y

1 -1

2 0

Zatika definituriko funtzioak

y=−x−1 baldin x≤33 baldin −1 <x<1x−2 baldin x≥1

x<1 denean, y =-2 zuzena irudikatzen da .

1≤ x<3 denean, y =2x−1 funtzioa .

x≥3 denean, y =8−x funtzioa . x y

3 5

8 0

x y

1 1

2 3

2,999 4,998

y=−2 baldin x< 1

3 baldin 1≤x<38−x baldin x≥3

Soluzioak

y=2−x baldin x≥12x baldin 0<x<1−1 baldin x≤1

y=2+x baldin−2≤x≤01−x2 baldin 0 <x≤2

Soluzioak

y=1−x baldinx≤0x2 baldin x> 0

y=−x baldin x<02 baldin 0≤x<22x−2 baldin x≥2

Funtzio trigonometrikoak

x -90º 0º 30º 90º 180º 270º 360º

y = sin x -1 0 0.5 1 0 -1 0

x -90º 0º 60º 90º 180º 270º 360º

y = cos x 0 1 0.5 0 -1 0 1

y= sin x

Existentzia-eremua: R

Ibiltartea: [-1 , 1]

Funtzio periodikoa : sin x = sin (x + 2k )

Periodoa = 360º

π

y= cos x

Existentzia-eremua: R

Ibiltartea: [-1 , 1]

Funtzio periodikoa: cos x = cos (x + 2k )

Periodoa = 360º

π

-2 2 4 6radianak

-1

-0.5

0.5

1

sin x

-2 2 4 6radianak

-1

-0.5

0.5

1

cos x

Asintota bertikalak x =−π2

,π2

,3π2

, .. . puntuetan .

y= tg x

270º

......

0180º

90º

145º

00

-1-45º

-90º

y = tg xx

±∞

±∞

±∞

Existentzia-eremua: R – {-90º, 90º, 270º,...}

Ibiltartea: R

Funtzio periodikoa: tg x = tg (x + k )

Periodoa = 180º

π

y=tg x

-1

1

π2

ππ4

3π2

2π−π2

Simetria duten eraikinak eta irudia

Simetria 0Y ardatzari begira

• f simetrikoa da y ardatzari begira x eta (–x)-ek irudi berbera dutenean; hots,

f(x)= f(-x) denean.

Adibidez:• f(2) = 4 eta f(-2) = 4• f(1) = 1 eta f(-1) = 1

Mota horietako funtzioak funtzio bikoitiak direla esaten da.

-3 -2 -1 1 2 3X

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Y

Simetria (0,0) puntuari begira

• f simetrikoa da (0,0) puntuari

begira x eta (–x)-ek irudi aurkakoa

dutenean; hots, f(x)=- f(-x) denean

• f(2) = 8 f(-2) = -8

Mota horietako funtzioak funtzio bakoitiak direla esaten da.

-4 -3 -2 1 1 2 3 4X

-32

-24

-16

-8

8

16

24

32Y

Simetria. Existentzia-eremua. Irudi multzoa

Aukeratu erantzuna1. Simetria

a. (0,0) puntuari begirab. Funtzio bakoitia dac. Funtzio bikoitia dad. Y ardatzari begira

1. Existentzia- eremua

1. Irudi multzoa

a . −∞ ,9 ]

b . −∞ ,∞a . −∞ ,9

b . −∞ ,∞

Erantzuna: Simetria, eremua, irudi-multzoa

1. Simetria (c,d)Funtzio bikoitia da

Y ardatzari begira

1. Existentzia-eremua (b)

1. Irudi multzoa (a)

b . −∞ ,∞

a . −∞ , 9 ]

Simetria, eremua, irudi-multzoa

1. Simetria a. Funtzio bakoitia dab. Funtzio bikoitia dac. Y ardatzari begirad. (0,0) puntuari begira

1. Existentzia- eremua

1. Irudi multzoa

Aukeratu erantzuna

a . −11 , 11 b . −∞ ,∞

b . −∞ ,∞

a . −3,3

Simetria, eremua, irudi-multzoaErantzunak

1. Simetria (a,d)Funtzio bakoitia da

(0,0) puntuari begira

1. Existentzia-eremua (b)

1. Irudi multzoa (c)

b . −∞ ,∞

b . −∞ ,∞

Funtzioen konposizioa

Adibidea : Eman ditzagun eta g(x) = x2 - 1 funtzioak. Kalkula ditzagun (g o f)(x) eta (f o g)(x) funtzio konposatuak.  (g o f)(x) = g[f(x)] =   (f o g)(x) kasuan, f funtzioa g-ren emaitzari aplikatu behar zaio: x → g(x) → f(g(x)) . Hau da, (f o g)(x) = f[g(x)] = f[x2-1] =

  (f o g) eta (g o f) ez dira berdinak

f x = x

g x = x 2 −1 = x−1

x2 − 1

Har ditzagun f(x) = x+3 eta g(x) = x2-1 funtzioak eta zenbaki erreal bat, x = 2 adibidez.

Lehenik, 2 balioaren f bidezko irudia kalkula dezakegu, eta horrela f(2) = 5 lortuko dugu, eta jarraian g bidezko irudia; hau da: g(5) = g(f(2)) = 24

2 → f(2) = 5 → g(f(2)) = 24

Oro har, f eta g funtzioak emanik, x balioari g(f(x)) balioa egokitzen dion funtzioari f-ren eta g-ren funtzio konposatua deritzo eta g o f eran idazten da.

 x → f(x) → g(f(x)) = (g o f)(x)

Eragiketa honetan g funtzio bat , f(x) beste funtzio baten emaitzaren gain aritzen da.

Alderantzizko funtzioa konposizioarekiko Funtzio batzuk, beste funtzio ezagun batzuren alderantzizko gisa sortu dira. Esaterako, funtzioa g(x) = x2-aren alderantzizkoa da. f x = x

Esate baterako, 4 balioaren irudia f bidez 2 balioa bada, orduan g-ren bidez 2 balioari 4 balioa dagokio.

g(x) funtzioari f-ren alderantzizko funtzioa deritzo (f –1)

4 → 29 → 316 → 4...

f x = x g(x) = x2

2 → 43 → 94 → 16...

Ikus dezakezunez, bi grafikoak simetrikoak dira 1. eta 3. koadranteen erdikariarekiko; hau da y = x zuzenarekiko.

Horren zergatia ondokoa da: (a , b) puntua f funtzioaren grafikokoa bada, (b , a) puntua f –1 funtzioaren grafikokoa da.

[ 0 , ∞ tartean:Azter ditzagun eta f –1(x) = x2 funtzioaren grafikoak

f x = x

1 2 3 4 9

1

2

3

4

9

y=x2y=x

y= x

Nola kalkulatu funtzio baten alderantzizkoa ?

x =y−3

2

Adibidez, har dezagun y = f(x) = 2x +3 funtzioa. Alderantzizko funtzioa lortzeko, ondoko prozedura erabiliko dugu:

x aldagaia bakanduko dugu:

y aldagaiaren ordez x jarriko dugu, eta alderantziz, zeren normalean aldagai independentea x letraz adierazten baita eta aldagai dependentea y letraz:

y =x−3

2

2. adibidea . Kalkula dezagun y = x2-3 funtzioaren alderantzizkoa.

x aldagaia bakandu:

Aldagaiak trukatu:

x = y+ 3

y = x+ 3

y=sin x , y=cos x eta y=tg x funtzioen alderantzizkoak y=arc sin x , y=arc cos x eta y=arc tg x dira, hurrenez hurren.Hori dela eta, arc sin 0,5 = 30º , arc cos(-1) = 180º , arc tg 1 = 45º …dira.

Funtzio logaritmikoa ( y = ln x) eta esponentziala ( y = ex) alderantzizkoak dira.

Funtzio esponentziala eta logaritmikoa: y = 3x eta y = log3x

x-5 0,00-4 0,01-3 0,04-2 0,11-1 0,330 11 32 93 274 815 243

3xx

0,00 -50,01 -40,04 -30,11 -20,33 -1

1 03 19 2

27 381 4243 5

log3x

y=e−xy=

2x

Ariketa 6

Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak:

Ariketa 7

Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak:

y=2−x baldin x≥12x baldin 0 <x<1−1 baldin x≤1

y=2+x baldin−2≤x≤01−x2 baldin 0 <x≤2

Ariketa 8

Adierazi grafikoki ondoko funtzioak.

y=1−x baldinx≤0x2 baldin x> 0

y=−x baldin x<02 baldin 0≤x<22x−2 baldin x≥2

Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?

Ariketa 9

-2 -1 1 2 3 4 5x

1

2

3

4

f(x)

(2,4)

Ariketa 10

Azter ezazu ondoko funtzioen simetriak:

a y = x 4−3x2

1 ; b y = x3− 1

c y = x3 − x ; d y =1x

; e y =1x 2

1. f(x) = 2x+1 eta g(x)= x2 izanik , kalkula itzazu f o g eta g o f funtzio konposatuak . Betetzen al da trukatze propietatea?

3. Egiazta ezazu y = (4x2 – 1)10 funtzioa funtzio konposatua dela. Horretarako, har itzazu f(x)=x10 eta g(x)=4x2-1 funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).

4. Egizu gauza bera y = sin 3x funtzioarekin. Har itzazu f(x)=sin x eta g(x)=3x funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).

Ariketak 11

2. izanik , kalkula itzazu (f o g) (2) eta (g o f) (2)f x =2

x+1 eta g x = x3