Albert Arango Jessica Zamora DEVENIR HISTORICO DE LAS...
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Albert Arango Jessica Zamora DEVENIR HIST ´ ORICO DE LAS TRANSFORMACIONES DE LANDEN Universidad del Tolima Facultad de Ciencias Programa de Matem´ aticas con ´ enfasis en Estad´ ıstica Ibagu´ e, septiembre de 2014
Transcript of Albert Arango Jessica Zamora DEVENIR HISTORICO DE LAS...
Albert ArangoJessica Zamora
DEVENIR HISTORICO DE LASTRANSFORMACIONES DE LANDEN
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Programa de Matematicas con enfasis en Estadıstica
Ibague, septiembre de 2014
Devenir historico de las transformacionesde Landen
Trabajo de grado para optar al tıtulo de
profesional en Matematicas con enfasis en Estadıstica
Albert Arango, codigo 070200292009
Jessica Zamora, codigo 070200262009
Director
Leonardo Solanilla Ch.
Profesor del Departamento de Matematicas y Estadıstica
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Departamento de Matematicas y Estadıstica
Programa de Matematicas con enfasis en Estadıstica
Ibague, septiembre de 2014
Resumen. En este trabajo de grado se presenta el devenir historico de
las transformaciones de Landen desde su descubrimiento en la segunda mi-
tad del siglo XVIII hasta la interpretacion de Jacobi en la primera mitad
del siglo XIX. Se han usado las fuentes originales para describir el hallaz-
go de Landen, los aportes de Legendre, el algoritmo de Gauss de la media
aritmetica-geometrica y simplificacion introducida por Jacobi. Con esto se
ponen de manifiesto los varios sentidos que puede un concepto matematico
con el paso del tiempo.
Abstract. In this undergraduate thesis we present the historical de-
velopment of Landen transformations since their discovery in the 1770’s til
Jacobi’s interpretation in the 1820’s. We have used mainly the original papers
to portrait the discovery of Landen, the improvements made by Legendre,
Gauss’ “algorithm of the arithmetic-geometrical mean” and Jacobi simpli-
fication. With this, the senses of a mathematical notion through time are
exemplified.
The application of these Improvementes will be easily made by the intelli-
gent Reader, who is acquainted with what has been before written on the
subject. But there is a theorem (demonstrable by what is proved in Art. 8)
so remarkable, that I cannot conclude this disquisition without taking notice
of it.
John Landen en A Disquisition concerning Certain Fluents, Which are
Assignable by the Arcs of the Conic Sections; Wherein are Investigated
Some New and Useful Theorems for Computing Such Fluents (1771).
Doy gracias a DIOS por darme la fuerza, la paciencia para superar cada
obstaculo que se presento en el trascurso de mi carrera, por darme el gusto
por el maravilloso mundo de las matematicas.
Agradezco al director de tesis Dr. Leonardo Solanilla Ch, por su constante
apoyo, colaboracion y sus consejos que forjaron un camino hacia la excelen-
cia.
Especialmente le doy gracias a mis amados padres los cuales con su apo-
yo, caracter y sencillez me mostraron infinidad de veces que se puede seguir
adelante rompiendo todo lımite y poder transformar mi vida y lograr mis me-
tas.
A mis hermanos los cuales han sido una motivacion constante para seguir
adelante.
A mis companeros de universidad los cuales me brindaron su amistad,
consejos en momentos difıciles, que dıa a dıa compartimos alegrıas y triste-
zas, gracias a Jessica, Luisa, Nataly, Oscar. . . y a todos los que hicieron
parte de esta experiencia.
Albert Johan Arango M.
En primer lugar, el presente trabajo de investigacion fue realizado bajo la
supervision del Dr. Leonardo Solanilla Ch, a quien me gustarıa expresar mi
mas profundo agradecimiento, por la oportunidad que me ha brindado para
realizar este proyecto y aprender de el. Ademas, de agradecer su paciencia,
tiempo y dedicacion que tuvo para que esto saliera de manera exitosa.
Gracias por su apoyo, por ser parte de la base de mi tesis.
A mis padres, por darme la vida y apoyarme en todo lo que me he pro-
puesto.
A mi padre, por ser el apoyo mas grande durante mi educacion universita-
ria, ya que sin el no hubiera logrado mis metas y suenos. Por ser mı ejemplo
a seguir, por ensenarme a seguir aprendiendo todos los dıas sin importar las
circunstancias y el tiempo.
A mi madre, Mama, te agradezco el estar siempre conmigo, en mi mente,
mi corazon y acciones. Tu eres parte de este sueno, que el dıa de hoy se hace
realidad y se que estas muy orgullosa de ver la mujer que creaste y a la que
diste vida y por orientarme con tus buenos concejos.
A mis hermanos, son uno de mis motores que me impulsan a ser mejor
cada dıa para que siempre se sientan orgullosos de mı.
A Dios, por brindarme la oportunidad de vivir, por permitirme disfrutar
cada momento de mi vida y guiarme por el camino que ha trazado para mı.
A mi novio Juan, por brindarme su amor, su vida y por apoyarme siem-
pre, no importando que tan lejos este.
A todos mis companeros y amigos de la universidad, por ser parte de mi
vida, de mis momentos tristes y alegres, por apoyarme, por nunca dejarme
caer, por estar siempre ahı. A Albert, Luisa, Nataly. . . y a todos los demas
que siempre estan presentes.
A mis maestros, desde el colegio hasta la universidad, que compartieron
conmigo sus conocimientos para convertirme en una profesionista, por su
tiempo, dedicacion y por su pasion por la actividad docente.
Jessica Andrea Zamora R.
Indice general
Introduccion 8
1. El descubribimiento de Landen 9
1.1. Segmento pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. La hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Lemas de Euler y de Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. Teorema de Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Los aportes de Legendre 18
2.1. Un cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Otra transformacion de Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Elegancia gaussiana 25
3.1. Distintas medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Algoritmo de la media aritmetica-geometrica . . . . . . . . . . 26
3.3. Parentesis analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Contundencia jacobiana 30
4.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3. Teorema de Landen, otra vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
viii
4.3.1. Segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2. Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.3. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A manera de conclusion 39
Bibliografıa 42
Indice de figuras
1. El descubrimiento de Landen 9
1.1. Segmento pedal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. La elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. La hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Los aportes de Legendre 18
2.1. Triangulo de relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.Elegancia Gaussiana 25
4.1. Interpretacion geometrica de la transformacion de Landen. . . 31
4.2. Prueba geometrica antigua de la transformacion. . . . . . . . . 32
4.3. Interpretacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
x
Introduccion
Lo que los matematicos han entendido por transformaciones de Landen
no ha sido igual a traves de los siglos XVIII y XIX. En este trabajo se
presenta una narracion de los avatares sufridos por este concepto desde el
descubrimiento original de Landen hasta la reinterpretacion de Jacobi. Para
ello, hemos usado, en la medida de lo posible, los artıculos originales de
los analistas que han enriquecido el estudio de este tema con sus enfoques
novedosos.
El primer capıtulo se dedica a la demostracion del teorema de Landen.
En su demostracion, aparece una curiosa transformacion integral que, con el
tiempo, se habra de convertir en el primer ejemplo de las transformaciones
de Landen. El Capıtulo 2 presenta una manera de interpretar dicha transfor-
macion en terminos de la teorıa de las integrales elıpticas de Legendre. De
paso, se encuentran otras transformaciones similares. La bella relacion entre
las transformaciones de Landen y las medias aritmeticas y geometricas ocupa
el Capıtulo 3. Allı tambien se trata el tema a la luz de las formalizaciones
propias del Analisis decimononico. Por ultimo, en el Capıtulo 4, se dan mo-
delos geometricos para las transformaciones y se prueba una version mucho
mas simple el teorema de Landen, debida a Jacobi. Por ultimo, se concluyen
algunas reflexiones que surgen de la totalidad del trabajo.
La presentacion sigue casi siempre a las fuentes, con algunos aportes ori-
ginales de los autores del trabajo. En verdad, la mayor originalidad ha con-
sistido en presentar detalladamente los primeros cincuenta anos de vida de
las transformaciones de Landen.
CAPITULO 1
El descubribimiento de Landen
¿Que fue lo que dijo Landen (1771) que causo tanta sorpresa y suscito tan-
tas nuevas investigaciones de los matematicos posteriores? Para comenzar,
se trata de un teorema sobre una relacion entre los arcos de una hiperbola
y una elipse (integrales elıpticas). La demostracion de este hecho descansa
sobre un importante lema, que constituye la materia del legado de Landen.
Al igual que sus contemporaneos, Landen estudia siempre expresiones que
se corresponden con la longitud de una porcion de segmento o curva. Esto
no debe entenderse jamas como una debilidad o una caracterıstica “primiti-
va” de su trabajo, por el contrario, es una fortaleza que le garantiza que sus
resultados tienen validez en el plano cartesiano. Veamos.
1.1. Segmento pedal
Los matematicos del siglo XVIII buscaron ingeniosas parametrizaciones
para las curvas con el fin de elucidar nuevas propiedades de su longitud de
arco. Entre tales ingeniosos desarrollos, sobresalen las coordenadas pedales,
de las cuales no nos interesa aquı mas que un segmento al que llamaremos
pedal. Sean P un punto de una curva diferenciable C y T la recta tangente a
C en P . Sea S la recta perpendicular a dicha tangente que pasa por el origen
O y F el punto de interseccion de T y S. El segmento pedal de la curva en
1.1. Segmento pedal 10
P es el segmento PF . La Figura 1.1 ilustra la situacion descrita.
Figura 1.1: Segmento pedal.
Con el proposito de calcular la longitud de PF , calculemos primero las
coordenadas (xF , yF ) del punto F . Sean (x, y) las coordenadas de P y y′ la
pendiente de C en P . Por pertenecer a la tangente y a la normal por el origen,
(x− xF )y′ − (y − yF ) = 0 y xF + yF y
′ = 0.
La solucion de este sistema arroja
xF = −y′(y − xy′)
1 + (y′)2y yF =
y − xy′
1 + (y′)2.
En virtud del teorema de Pitagoras, la medida del PF es
p =|x+ yy′|√
1 + (y′)2.
1.2. La elipse 11
1.2. La elipse
Consideremos la porcion de la elipse
x2 +y2
2= 1,
que yace en el primer cuadrante del plano cartesiano. Dicha porcion se puede
Figura 1.2: La elipse.
estudiar con ayuda de la funcion
y(x) = y =√
2(1− x2).
La longitud del segmento pedal de un punto (x, y) de esta porcion de elipse
es
pe(x) = x
√
1− x2
1 + x2.
1.3. La hiperbola 12
El cambio de variable z = x2 permite reescribir esta coordenada en la forma
pe(z) =
√
z(1 − z)
1 + z,
de tal suerte que su derivada (o fluxion en el lenguaje de Landen) es
dpedz
=1
2
√1− z√
z(1 + z)3/2− 1
2
√z√
1− z2.
1.3. La hiperbola
De manera similar, la porcion de la hiperbola equilatera
x2 − y2 = 1,
en el primer cuadrante del plano, se puede estudiar con la funcion
y(x) = y =√x2 − 1.
Por lo tanto, la longitud de su segmento pedal es
ph(x) = 2x
√
x2 − 1
2x2 − 1.
Ahora bien, la longitud del segmento de la hiperbola comprendido entre el
vertice y (x, y) es
lh(x) =
∫ x
1
√
2ξ2 − 1
ξ2 − 1dξ.
En la epoca de Landen, se habıa ya encontrado que la cantidad
fh(x) = ph(x)− lh(x),
era mas comoda de estudiar que la longitud de arco. Mas aun, la sustitucion
z = (2x2 − 1)−1 produce
fh(z) =1
2
∫ 1
z
√
ζ
1− ζ2dζ.
1.4. Relacion 13
Figura 1.3: La hiperbola.
1.4. Relacion
Los pedales de la elipse y la hiperbola se pueden relacionar como se explica
a continuacion. Consideremos la expresion
fh(z) + fh(y) =1
2
∫ 1
z
√
ζ
1− ζ2dζ +
1
2
∫ 1
y
√
υ
1− υ2dυ,
con
ζ =1− υ
1 + υ.
La sustitucion produce, luego de ciertas manipulaciones evidentes, que la
suma fh(z) + fh(y) =
1
2
∫ y
0
[
√
(1− υ)√υ(1 + υ)3/2
−√
υ
1− υ2
]
dυ +1
2
∫ 1
0
√
υ
1− υ2dυ.
1.5. Lemas de Euler y de Landen 14
Ahora, en el primer integrando reconocemos a la derivada del pedal elıptico.
En consecuencia, el Teorema fundamental del calculo arroja
fh(z) + fh(y) = pe(z)− pe(1) + L = pe(z) + L,
donde
L =1
2
∫ 1
0
√
υ
1− υ2dυ,
es una constante. Antes de retomar esta expresion, revisemos un par de lemas
fundamentales necesarios para establecer el Teorema de Landen.
1.5. Lemas de Euler y de Landen
Esta es la seccion mas importante de este capıtulo, en la que se demues-
tran los lemas fundamentales que constituyen el corazon analıtico del gran
logro de Landen.
Lema 1.1 (Euler, 1782). Si en la curva elastica
y =
∫ x
0
t2√1− t4
dt, x ∈ [0, 1],
se distinguen las cantidades
R =
∫ 1
0
t2 dt√1− t4
y S =
∫ 1
0
dt√1− t4
,
(llamadas respectivamente radio principal y longitud total (cuarto de lemnis-
cata)), entonces
R× S =π
4.
Demostracion. Comencemos notando que
d
dt(tk
√1− t4) =
ktk−1 − (k + 2)tk+3
√1− t4
.
1.5. Lemas de Euler y de Landen 15
Al integrar esta derivada en el intervalo [0, 1], obtenemos la formula de recu-
rrencia∫ 1
0
tk−1dt√1− t4
=(k + 2)
k
∫ 1
0
tk+3dt√1− t4
.
Las sustitucion k = 3 produce
R =
∫ 1
0
t2dt√1− t4
=5
3
∫ 1
0
t6dt√1− t4
.
Y k = 7 en la integral de la derecha, conduce a
R =5
3
9
7
∫ 1
0
t10dt√1− t4
.
Y ası sucesivamente,
R = lımm→∞
[
m∏
k=1
4k + 1
4k − 1×∫ 1
0
t4m+2dt√1− t4
]
.
De manera similar,
S = lımm→∞
[
m∏
k=1
4k − 1
4k − 3×∫ 1
0
t4mdt√1− t4
]
.
Para determinar el producto R×S usamos las siguientes integrales auxiliares,
que son elementales gracias a la sustitucion t2 = x:
A =
∫ 1
0
t3 dt√1− t4
=1
2= lım
m→∞
[
m∏
k=1
4k + 2
4k×∫ 1
0
t4m+3dt√1− t4
]
,
B =
∫ 1
0
t dt√1− t4
=π
4= lım
m→∞
[
m∏
k=1
4k
4k − 2×∫ 1
0
t4m+1dt√1− t4
]
.
En el lado derecho hemos usado la formula de recurrencia de mas arriba.
Cuando m → ∞, todas las integrales dentro de los cuatro lımites se hacen
iguales. En consecuencia,
R
A× S
B=
53
97
1311· · ·
64
108
1412· · · ×
31
75
119· · ·
42
86
1210· · · = 2.
1.5. Lemas de Euler y de Landen 16
Ası pues,
R× S = 2×A×B =π
4.
Un tratamiento mas contemporaneo de estas convergencias se puede con-
sultar el Moll, Nowalsky, Neill y Solanilla (2000). Esta demostracion conserva
el aroma del famoso producto de Wallis (1655).
π
2=
2 · 21 · 3 · 4 · 4
3 · 5 · 6 · 65 · 7 · · ·
Lema 1.2 (Landen, 1771). Sean las integrales
L =1
2
∫ 1
0
t1/2√1− t2
dt y M =1
2
∫ 1
0
t−1/2
√1− t2
dt.
Si denotamos por
le(1) =1
2
∫ 1
0
√1 + t
√
t(1 + t)dt,
a la longitud de un cuarto del total de la elipse considerada mas arriba y por
lc(1) =π2a la longitud de un cuarto de la circunferencia unitaria, entonces
L+M = le(1),
L×M =1
2× lc(1).
Demostracion. La primera parte (suma) es facil. Para la segunda parte (pro-
ducto), usamos el cambio de variable t = x2, dt = 2xdx, para obtener
L = R =
∫ 1
0
x2 dx√1− x4
y M = S =
∫ 1
0
dx√1− x4
.
Entonces, el Lema de Euler produce el resultado buscado.
Con esto,
L =1
2
(
le(1)−√
l2e(1)− 4lc(1))
,
M =1
2
(
le(1) +√
l2e(1)− 4lc(1))
.
1.6. Teorema de Landen 17
1.6. Teorema de Landen
Teorema 1.3. Con las notaciones anteriores de este capıtulo, se obtiene la
siguiente expresion para la longitud de arco de la hiperbola en terminos de
longitudes de arco de circunferencia y elipse:
lh
(
1√
2−√2
)
=√2− 1
2
√
3− 2√2− 1
4
(
√
le(1)2 − 4lc(1)− le(1))
.
Demostracion. Recordemos que en la expresion
fh(z) + fh(y) = pe(z)− pe(1) + L = pe(z) + L,
y y z se relacionan por z = (1 − y)(1 + y)−1. Por lo tanto, si usamos el
punto fijo ∗z = ∗y =√2− 1 de esta transformacion, obtenemos la expresion
simplificada
fh(∗z) =1
2(pe(∗z) + L) .
Para regresar a un valor que tenga sentido en la hiperbola usamos la inversa
de z = (2x2 − 1)−1 para hallar ∗x = (√
2−√2)−1. Ası,
fh(∗x) = ph(∗x)− lh(∗x) =1
2(pe(∗z) + L) .
De donde,
lh(∗x) = ph(∗x)−1
2(pe(∗z) + L) .
Ahora bien,
ph(∗x) =√2,
pe(∗z) =√
3− 2√2,
L =1
2
(
le(1)−√
l2e(1)− 4lc(1))
.
Para la ultima parte hemos usado el Lema de Landen. Poniendo todo junto,
se encuentra la tesis del teorema.
CAPITULO 2
Los aportes de Legendre
Quizas el primero en notar la importancia de los lemas del capıtulo an-
terior fue Lagrange (1784-5). Sin embargo, la posteridad prefiere recordar a
Legendre (1786-88) porque dedico su vida a las integrales elıpticas. Cierta-
mente, hoy en dıa se llaman transformaciones de Landen a ciertas genera-
lizaciones de los citados lemas. En este capıtulo estudiamos una manera de
generalizarlos por medio de una sustitucion integral.
2.1. Un cambio de variable
Consideremos la integral elıptica de primera especie de modulo k, es decir,
F (θ, k) =
∫ θ
0
dϑ√
1− k2 sin2 ϑ.
Recordamos que el modulo es una constante 0 < k < 1. Remitimos al lector
interesado en las propiedades de esta integral al libro Pareja, Solanilla y
Tamayo (2010). A proposito, son dichas propiedades las que justifican el
procedimiento que sigue.
La idea de Legendre consiste en hacer un cambio de variable ϕ 7→ ψ(ϕ)
de la forma
ϑ(ϕ) = arctan
(
sin 2ϕ
k + cos 2ϕ
)
.
2.1. Un cambio de variable 19
Para realizar la sustitucion necesitamos
ϑ′(ϕ) = 2× 1 + k cos 2ϕ
1 + 2k cos 2ϕ+ k2.
Ası pues,
F (θ, k) =
∫ θ
0
dϑ√
1− k2 sin2 ϑ=
∫ φ
0
ϑ′(ϕ)dϕ√
1− k2 sin2 ϑ(ϕ).
Consideremos el integrando de la derecha. Despues de remplazar ϑ′(ϕ) y
de aplicar identidades trigonometricas,
ϑ′(ϕ)√
1− k2 sin2 ϑ(ϕ)= 2×
1+k cos 2ϕ1+2k cos 2ϕ+k2
1+k cos 2ϕ√1+2k cos 2ϕ+k2
=2
√
1 + 2k cos 2ϕ+ k2
=2
√
(1 + k)2 − 4k sin2 ϕ.
Para el ultimo paso, hemos expresado cos 2ϕ en funcion de sin2 ϕ.
Con esto, nuestra integral toma la forma
∫ θ
0
dϑ√
1− k2 sin2 ϑ=
∫ φ
0
2 dϕ
(1 + k)√
1− 4k(1+k)2
sin2 ϕ
=2
1 + k
∫ φ
0
dϕ√
1− l2 sin2 ϕ.
donde l = ±2√k/(1+k). Notemos que como 0 < k < 1, entonces (1+k)2 < 4
y ası
l2 >4k
(1 + k)2> k > k2.
Por tanto, si exigimos 0 < l < 1, tendremos k < l.
2.2. Iteraciones 20
2.2. Iteraciones
En la transformacion integral de la seccion anterior, pongamos
ϑ = ϕn, ϕ = ϕn+1,
k = kn, l = kn+1 =2√kn
1 + kn,
para n ∈ N. De esta manera obtenemos la formula de iteracion
∫ φn
0
dϕn√
1− k2n sin2 ϕn
=2
kn + 1
∫ φn+1
0
dϕn+1√
1− k2n+1 sin2 ϕn+1
,
a partir, digamos, de k0 = k y cierto ϕ0 = ϕ. Por lo tanto, procediendo como
en el capıtulo anterior,
∫ φ
0
dϕ√
1− k2 sin2 ϕ=
n∏
j=0
2
kj + 1×∫ φn+1
0
dϕn+1√
1− k2n+1 sin2 ϕn+1
.
Para lo que sigue necesitamos demostrar que la sucesion (kn) de los modu-
los satisface siempre (independientemente de la condicion inicial k0 ∈ (0, 1])
lımn→∞
kn = 1.
Ciertamente, (kn) ⊂ [0, 1] es acotada y estrictamente monotona: kn < kn+1.
En consecuencia, (kn) converge a cierto k ∈ [0, 1]. Es mas, si pasamos al
lımite en la formula de recurrencia
kn =2√
kn−1
kn−1 + 1, n ≥ 1,
se tiene que
k =2√k
k + 1.
Ahora bien, como √k ≤ 1 ≤ 2
k + 1,
2.3. Otra transformacion de Landen 21
la unica posibilidad es k = 1.
De esta forma,
lımn→∞
∫ φn
0
dϕn√
1− k2n sin2 ϕn
=
∫ φ∞
0
dϕ∞√
1− sin2 ϕ∞
=
∫ φ∞
0
secϕ∞
= log tan(π
4+ϕ∞
2
)
.
Con esto encontramos inmediatamente la desconcertante expresion
∫ φ
0
dϕ√
1− k2 sin2 ϕ=
∞∏
j=0
2
kj + 1× log tan
(π
4+ϕ∞
2
)
.
Y de esta, la utilısima formula practica del Analisis Numerico
∫ φ
0
dϕ√
1− k2 sin2 ϕ≈
n∏
j=0
2
kj + 1× log tan
(π
4+ϕn
2
)
,
para n convenientemente grande.
2.3. Otra transformacion de Landen
Por metodos similares a los de la seccion anterior es posible probar que
∫ φ
0
dϕ√
1− λ2 sin2 ϕ= (1 + k′)
∫ θ
0
dϑ√
1− k2 sin2 ϑ,
donde tan(ϕ− ϑ) = k′ tanϕ con k′ =√1− k2 y
λ =1− k′
1 + k′.
Para ello, construyamos un triangulo como en la Figura 2.1, cuyos lados
de longitud 1, m y sus angulos α, 2β − α satisfacen la ley de las tangentes
tan 12(α− (2β − α))
tan 12(α + (2β − α))
=tan(α− β)
tanβ=
1−m
1 +m.
2.3. Otra transformacion de Landen 22
Figura 2.1: Triangulo de relaciones.
De otro lado, la ley de los senos garantiza que
m senα = sen(2β − α).
Ademas, un simple ejercicio de identidades trigonometricas arroja que
m sinα = sin(2β − α) ⇔ tanα =sin 2β
m+ cos 2β⇔ α = arctan
(
sin 2β
m+ cos 2β
)
.
En este punto recordemos la transformacion de Landen de la seccion
anterior∫ θ
0
dϑ√
1− k2 sin2 ϑ=
2
1 + k
∫ φ
0
dϕ√
1− l2 sin2 ϕ,
donde l2 = 4k/(1 + k)2 y
ϑ = arctan
(
sin 2ϕ
k + cos 2ϕ
)
.
Pongamos aquı
√1− k2 = k′ =
1−m
1 +m⇔ m =
1− k′
1 + k′, α = ϕ y β = ϑ.
2.3. Otra transformacion de Landen 23
De esta manera,
ϕ = arctansin 2ϑ
1−k′
1+k′+ cos 2ϑ
⇔ tan(ϕ− ϑ) =1− 1−k′
1+k′
1 + 1−k′
1+k′
tanϑ = k′ tanϑ,
en virtud de la mencionada ley de las tangentes.
Por lo tanto,
∫ φ
0
dϕ√
1− (1−k′
1+k′)2 sin2 ϕ
=2
1 + 1−k′
1+k′
∫ θ
0
dϑ√
1− l2 sin2 θ,
donde
l2 =41−k′
1+k′
(1 + 1−k′
1+k′)2
= k2.
La nueva transformacion se descubre cuando se observa que
2
1 + 1−k′
1+k′
= 1 + k′.
El resultado obtenido se puede tambien iterar:
∫ φn+1
0
dϕn+1√
1− k2n+1 sin2 ϕn+1
= (1 + k′n)
∫ φn
0
dϕn√
1− k2n sin2 ϕn
,
con tan(ϕn+1 − ϕn) = k′n tanϕn, k′2n + k2n = 1 y
kn+1 =1− k′n1 + k′n
.
Por lo visto en la seccion anterior, se tiene que la sucesion (kn) es acotada
en [0, 1]. Asimismo, 0 < kn < 1 implica 0 < kn+1 < kn < 1. Al tomar el
lımite a la formula de iteracion se encuentra que
k =1−
√1− k2
1 +√1− k2
.
En consecuencia, lımn→∞
kn = 0.
2.3. Otra transformacion de Landen 24
Con todo esto podemos obtener otra formula aproximada para calcular
una integral elıptica de la primera especie. Si llamamos ϕ al lımite de las
ϕn y tomamos un n suficientemente grande, la integral de la derecha en la
recurrencia se aproxima por la funcion identidad y
∫ φ
0
dϕ√
1− k2 sin2 ϕ≈
n∏
j=0
(1 + k′j)× φn.
CAPITULO 3
Elegancia gaussiana
De manera independiente a Lagrange y Legendre, Gauss (1818) descu-
brio un algoritmo para aproximar numericamente la integral elıptica comple-
ta (φ = π/2). Su descubrimiento constituye el celebre “algoritmo de la media
geometrica-aritmetica”. Para el, se trataba solamente de una herramienta
para resolver un problema de atraccion entre planetas.
Algunos defienden que Gauss habıa desarrollado ya la teorıa de las fun-
ciones elıpticas hacia 1808. Sin embargo, sus resultados no fueron conocidos
sino hasta despues de su muerte, entre sus anotaciones personales.
3.1. Distintas medias
Sean dos numeros reales positivos a y b y asumamos sin perdida de ge-
neralidad que a > b > 0. Las medias aritmetica, geometrica y armonica de
estos numeros se definen respectivamente mediante las expresiones
A(a, b) =1
2(a+ b), G(a, b) =
√ab, y H(a, b) =
2ab
a + b.
No es difıcil ver que ellas satisfacen las desigualdades
a > A(a, b) > G(a, b) > H(a, b) > b.
3.2. Algoritmo de la media aritmetica-geometrica 26
Tambien se puede ver que
H(a, b) =1
A(a−1, b−1)y G(a, b) =
1
G(a−1, b−1).
Para lo que nos interesa aquı debemos iterar estas expresiones. Sean, pues,
a0 > b0 > 0 y definamos las formulas de recurrencia
an = A(an−1, bn−1) y bn = G(an−1, bn−1),
para n > 0 natural. Debido a la monotonicidad de estas formulas, las suce-
siones resultantes convergen. Mas aun,
0 < an − bn <an−1 − bn−1
2,
y las sucesiones (an) y (bn) convergen al mismo lımite. Este lımite fue bauti-
zado por el mismo Gauss con el nombre de media aritmetica-geometrica de
a0, b0 y nosotros lo denotaremos como M(a0, b0). Algo similar sucede con la
recurrencia de las medias geometrica y armonica, su lımite comun se llama
media geometrica-armonica.
3.2. Algoritmo de la media
aritmetica-geometrica
Gauss estudio las integrales elıpticas en la forma
I(a, b;φ) =
∫ φ
0
dϕ√
a2 cos2 ϕ+ b2 sin2 ϕ,
con a > b > 0. Claramente, ellas se convierten a la forma canonica de Legen-
dre1
a×∫ φ
0
dϕ√
1 + k2 sin2 ϕ=F (φ, k)
a,
donde
k2 =a2 − b2
a2.
Al estudiar las integrales en esta forma, las transformaciones de Landen se
vuelven muy elegantes, tal como lo muestra el teorema que sigue.
3.2. Algoritmo de la media aritmetica-geometrica 27
Teorema 3.1 (Teorema de Gauss). Sean dos numeros reales positivos a0 y
b0 tales que a0 > b0 > 0. Entonces,
I(
a0, b0;π
2
)
=
∫ π/2
0
dϕ√
a20 cos2 ϕ+ b20 sin
2 ϕ=
π
2×M(a0, b0),
dondeM(a0, b0) es la media aritmetica-geometrica obtenida por iteracion des-
de a0 y b0.
Demostracion. Comencemos por escribir, como mas arriba,
I(a0, b0;φ) =F (φ, k0)
a0,
donde k20 = (a20 − b20)/a20. Por la transformacion de la Seccion 2.3, la integral
de la derecha se convierte en
1 + k1a0
× F (θ, k1),
donde
k1 =1− k′01 + k′0
=1−
√
1− k20
1 +√
1− k20=a0 − b0a0 + b0
.
Sustituyendo,
1 + k1a0
× F (θ, k1) =1
a0
(
1 +a0 − b0a0 + b0
)∫ θ
0
dϑ√
1 + (a0−b0a0+b0
)2 sin2 ϑ
= 2
∫ θ
0
dϑ√
(a0 + b0)2 + (a0 − b0)2 sin2 ϑ.
El ultimo radicando equivale a
a20 cos2 ϑ+ b20 cos
2 ϑ+ 2a0b0(cos2 ϑ+ sen2 ϑ) + 2a0b0 sen
2 ϑ.
Es decir, (a0+ b0)2 cos2+4a0b0 sen
2 ϑ. A fin de cuentas, con φ = φ0 y θ = φ1,
I(a0, b0;φ) = I(A2(a0, b0), G2(a0, b0);φ1).
3.3. Parentesis analıtico 28
En terminos de las sucesiones de medias aritmeticas y geometricas, se
tiene que
I(a0, b0;φ0) = I(a1, b1;φ1) = · · · = I(an, bn;φn) = · · ·
Por lo tanto,
I(a0, b0;φ0)) = lımn→∞
I(an, bn;φn) = I(M(a0, b0),M(a0, b0)) =φ∞
M(a0, b0).
Finalmente, φ0 = π/2 es punto fijo de todas las sustituciones y
I(a0, b0; π/2)) =π
2×M(a0, b0).
3.3. Parentesis analıtico
A los ojos del rigor analıtico de hoy, el final de la prueba anterior es
insatisfactorio. Sin embargo, el asunto se puede remediar como sigue. La
sucesion de funciones(
1√
a2n cos2 ϕ+ b2n sin
2 ϕ
)
n∈N∪{0}
converge uniformemente a 1/M(a0, b0) en [0, π/2], donde an y bn son como
en la Seccion 3.1. Este hecho, evidente para Gauss, exige en el analisis con-
temporaneo una explicacion adicional.
Ciertamente, podemos escribir
a2n = µ2 + cn y b2n = µ2 − dn
donde cn, dn son sucesiones de terminos positivos que convergen a cero.
Ası pues,
a2n cos2 ϕ+ b2n sin
2 ϕ = µ2 + cn cos2 ϕ− dn sin
2 ϕ.
3.3. Parentesis analıtico 29
En consecuencia, para todo ǫ > 0 es posible encontrar un N ∈ N tal que si
n ≥ N , entonces∣
∣
∣a2n cos
2 ϕ+ b2n sin2 ϕ− µ2
∣
∣
∣< ǫ,
independientemente de ϕ ∈ [0, π/2]. Como la funcion raız cuadrada es conti-
nua,∣
∣
∣
√
a2n cos2 ϕ+ b2n sin
2 ϕ− µ∣
∣
∣< ǫ.
Este resultado es independiente de ϕ para n grande y, ası, se tiene la conver-
gencia uniforme.
La integral se puede intercambiar pues con el lımite en virtud del siguiente
resultado del analisis clasico.
Teorema 3.2. Si I es un intervalo cerrado y acotado de la recta real y
fn : I → R es una sucesion de funciones integrables en el sentido de Riemann
que convergen uniformemente a f : IR en I, entonces
∫ β
α
fn(x)dx converge a
∫ β
α
f(x)dx,
para cualquier par α, β ∈ I.
CAPITULO 4
Contundencia jacobiana
En este capıtulo mostramos una manera geometrica de motivar la trans-
formacion de Landen de la Seccion 2.1. Seguimos a Kupper (1857), quien
afirma que la idea original esta en una carta de Jacobi (1845) a Hermite.
Tambien hemos usado algunos metodos de Bellachi (1894). Estas considera-
ciones nos llevan a dar una demostracion mas contundente y a revelar un
nuevo significado para el teorema de Landen del Capıtulo 1.
4.1. Cambio de variable
Queremos encontrar una interpretacion geometrica de la citada transfor-
macion, a saber:
ϑ(ϕ) = arctan
(
sin 2ϕ
k + cos 2ϕ
)
.
En la circunferencia de la Figura 4.1, de centro O y diametro BA = a+b,
ubiquemos el punto Q tal que BQ = b y QA = a. Por lo tanto,QO = (a−b)/2y OA = (a+ b)/2. Sea K un punto cualquiera sobre la circunferencia y H su
punto de caıda vertical sobre OA. Ademas, sean s el angulo de ABK y ϕ(s)
el angulo de AQK. Por Geometrıa Euclidiana basica, 2s es angulo de AOK.
Se sigue que
sin 2s =2KH
a + by cos 2s =
2OH
a+ b.
4.2. Transformacion 31
Figura 4.1: Interpretacion geometrica de la transformacion de Landen.
Con esto, notamos que
sin 2ϕa−ba+b
+ cos 2ϕ=
2KH
a− b+ 2OH
=KH
QO +OH=KH
QH.
Para terminar, basta definir ϑ(ϕ) como el angulo AQK, ya que su tangente
aparece en la ultima expresion. De paso, hemos hallado tambien un signifi-
cado geometrico para el modulo k = (a− b)/(a+ b).
4.2. Transformacion
Con ayuda de las formas diferenciales podemos encontrar la transforma-
cion de Landen de una manera distinta a la usada antes en la Seccion 2.1. La
nueva demostracion conserva el estilo clasico de los analistas del siglo XVIII.
4.2. Transformacion 32
En la Figura 4.2 se muestra el cırculo de radio CA = R. El punto L
esta situado sobre el diametro AA′ a una distancia LC = r del centro. Sean
los angulos ACM = 2ψ y ALM = ϕ. Si M ′ es “infinitamente proximo” a
M , entonces
∠MM ′ = 2Rdψ y ∠MLM ′ = dϕ.
Figura 4.2: Prueba geometrica antigua de la transformacion.
Ası mismo, ∠MM ′L = ∠MM ′C + CM ′L = π/2 + CM ′L y la ley de los
senos en el triangulo MM ′L produce
MM ′
ML=
sin(MLM ′)
sin(MM ′L).
Los numeradores de estas fracciones ya los conocemos. Para los denomina-
4.2. Transformacion 33
dores, notemos primero que
sin(MM ′L) = cos(CM ′L)
=√
1− sin2(CM ′L)
=√
1− sin2 (CML)
=
√
1− r2
R2sin2(ϕ).
De otro lado, por la ley del coseno,
ML =√
R2 + r2 + 2Rr cos 2ψ
= (R + r)
√
1− 4Rr
(R + r)2sin2 ψ.
Poniendo por brevedad
r
R= k y
4Rr
(R + r)2=
4k
(1 + k)2= h2,
se logradψ
(1+k2)√
1− h2 sin2 ψ=
dϕ√
1− k2 sin2 ϕ.
Finalmente, integrando,
F (h, ψ) =1 + k
2F (k, ϕ),
donde h = 2√k/1 + k >
√k y, por lo tanto, 0 < k < 1.
La relacion entre ϕ y ψ se logra del triangulo CML:
sin(CLM)
sin(LMC)=CM
CL.
O sea,
sin(2ψ − ϕ) = k sinϕ,
de donde se derivan facilmente las siguientes:
tanϕ =sin 2ψ
k + cos 2ψ,
4.3. Teorema de Landen, otra vez 34
tan(ϕ− ψ) =1− k
1 + ktanψ.
Ademas, dado que el modulo k es positivo menor que la unidad, se sigue de
la relacion entre los senos es
sin(2ψ − ϕ) < sinϕ,
y, por consiguiente, 2ψ − ϕ < ϕ y ψ < ϕ. Por lo tanto, la transformacion de
Landen significa que una integral elıptica de la primera especie se transforma
en otra de la misma especie con modulo mayor y amplitud menor (o viceversa,
con modulo menor y amplitud mayor).
4.3. Teorema de Landen, otra vez
4.3.1. Segunda especie
Una nueva demostracion mas jacobiana del teorema de Landen se puede
realizar con ayuda de la segunda especie de Legendre. Una integral elıptica
de la segunda especie tiene la forma
E(k, ϕ) =
∫ ϕ
0
√
1− k2 sin2 ϕ dϕ.
Tal como con la primera especie, k es el modulo de la integral y ϕ ∈ [0, π/2]
es su amplitud. Un sencillo calculo demuestra que las integrales elıpticas de la
segunda especie expresan la longitud de arco de una elipse de excentricidad k.
Para un tratamiento detallado de los arcos de las conicas centrales, remitimos
al lector a Solanilla y Tamayo (2007).
4.3.2. Lema
Usemos, de nuevo, la Figura 4.2. Sea P el pie de la normal trazada desde
el centro C sobre LM, y N el segundo punto de corte de esta lınea recta con
4.3. Teorema de Landen, otra vez 35
la circunferencia. Denotemos NL = p y LM = p′. Entonces, por lo dicho
arriba,
PM =p+ p′
2= R
√
1− k2 sin2 ϕ y LP =p′ − p
2= r cosϕ.
La relacion dada por la ley de los senos en la seccion anterior equivale ası a
2dψ
p′=
dϕp+p′
2
.
Es decir,
(p+ p′)dϕ+ (p′ − p)dϕ = 2pdψ + 2p′dψ.
Ya que pp′ = R2 − r2,
(p+ p′)dϕ+ (p′ − p)dϕ = 2dψ(R2 − r2)
p′+ 2p′dψ,
o sea,√
1− k2 sin2 ϕdϕ+ k cosϕdϕ = (1 + k)√
1− h2 sinψdψ +(1− k)dψ
√
1− h2 sin2 ψ.
Luego de integrar, se halla la siguiente relacion importante entre la primera
y la segunda especie:
E(k, ϕ)− k sinϕ = (1 + k)E(h, ψ) + (1− k)F (h, ψ).
Por la transformacion de Landen, se obtiene finalmente
E(k, ϕ) + k sinϕ− (1 + k)E(h, ψ) =1− k2
2F (k, ϕ).
De esta manera, una integral elıpica de la primera especie es la suma de dos
integrales elıpticas de la segunda especie.
4.3.3. Demostracion
Volviendo al teorema de Landen sobre la longitud de arco de las conicas,
consideremos la hiperbolax2
a2− y2
b2= 1.
4.3. Teorema de Landen, otra vez 36
El angulo α de la tangente MT con el eje transverso es tal que
tanα =b2x
a2y,
y la abscisa del punto T en el eje x es OT = a2/x. La situacion se ilustra en
la Figura 4.3.
Sea N la interseccion deMT con la circunferencia de radio a, concentrica
a la hiperbola. Sea ϕ el complemento del angulo agudo ONT . Por la ley de
los senos,
OT
ON=
cosϕ
sinαy cosϕ =
a sinα
x=
ab2√
a4y2 + b4x2.
De esta manera,x2
a4+y2
b4=
1
a2 cos2 ϕ.
Figura 4.3: Interpretacion.
4.3. Teorema de Landen, otra vez 37
De esta ultima y de la ecuacion de la hiperbola se encuentran las coorde-
nadas de M , a saber:
x
a=
√
c2 − a2 sin2 ϕ
c cosϕyy
b=b
ctanϕ.
Pongamos ahora
k =a
c, k′ =
b
c=
√1− k2 y ∆ϕ =
√
1− k2 sin2 ϕ.
Derivando con respecto a ϕ,
dx
a= −k
2 sinϕdϕ
cos2 ϕ∆ϕy
dy
a= − k′2dϕ
k cos2 ϕ.
Por lo tanto,
ds =√
dx2 + dy2 =ak′2dϕ
k cos2 ϕ∆ϕ
y ası,
k
a
ds
dϕ=
1− k2 sin2 ϕ− k2 cos2 ϕ
cos2 ϕ∆ϕ
=∆ϕ
cos2 ϕ− k2
∆ϕ.
Con un poco mas de trabajo, se obtiene
k
ads = d(∆ϕ tanϕ)− dϕ∆ϕ+ (1− k2)
dϕ
∆ϕ.
Integrando al fin esta relacion, se llega a que la longitud del arco AM es
a
k∆ϕ tanϕ− a
kE(k, ϕ) +
a
k(1− k2) F (k, ϕ).
Para finalizar, se expresa la integral de la primera especie mediante dos in-
tegrales de la segunda especie. De este modo, el arco AM mide
a
k∆ϕ tanϕ− a
kE(k, ϕ) +
2a
k(E(k, ϕ) + k sinϕ− (1 + k)E(h, ψ)) .
4.3. Teorema de Landen, otra vez 38
De manera mas sencilla,
AM =a
k∆ϕ tanϕ+ 2a sinϕ+
a
kE(k, ϕ)− 2a(1 + k)
kE(h, ψ).
Con esto, todo arco de hiperbola es la suma de dos arcos de elipse y una
expresion algebraica. Esta es la materia esencial del teorema de Landen.
A manera de conclusion
En cada momento de su devenir y para cada matematico particular, una
teorıa matematica se puede entender como un sistema, es decir, como un
conjunto de elementos relacionados entre sı. El todo es mas que la suma
de sus partes, ya que la informacion que nos da dicha teorıa sobrepasa con
creces la que nos da cada uno de sus elementos aislados. Con el tiempo dichos
sistemas cambian en todos los sentidos posibles, o sea, cambia el sistema total
porque cambian sus elementos y las relaciones entre ellos. Cambia tambien
ese todo que es mucho mas que los elementos y sus relaciones. En ese cambio
juega un papel crucial las interpretaciones que los nuevos matematicos hacen
de sus maestros y de las obras de sus predecesores.
Las distintas nociones de transformacion de Landen estudiadas en este
trabajo ejemplifican muy bien esta concepcion sistemica. En efecto,
El objeto de la teorıa original de Landen estaba constituido por las
longitudes de las secciones conicas centrales (elipse e hiperbola). Su
proposito era expresar la longitud de arco de una conica en terminos
de longitudes de otras conicas, un problema tıpico de aquellos tiempos
heroicos en los cuales las integrales elıpticas no estaban todavıa clasi-
ficadas en especies. La transformacion de Landen era un elemento de
esta teorıa y el papel que define su relacion con los teoremas principales
es el de un lema auxiliar: las transformaciones de Landen emergieron
como una mera herramienta para probar expresiones que relacionaban
longitudes de arco de secciones conicas.
Legendre habıa alcanzado el gran logro de clasificar las integrales elıpti-
40
cas en formas canonicas o especies. En el marco de las integrales de la
primera especie, la transformacion de Landen se interpreta como una
transformacion del modulo de la integral elıptica. Ahora bien, la trans-
formacion se define de manera conveniente por medio de una integra-
cion por sustitucion. Hay varias maneras de lograr este tipo de trans-
formaciones, con algunas de ellas el modulo crece, con otras el modulo
decrece. Como los modulos son acotados por la unidad, las transfor-
maciones iteradas producen sucesiones convergentes de modulos. En
resumen, para Legendre las transformaciones de Landen ya no son un
lema auxiliar sino un teorema principal, una propiedad importante de
las integrales elıpticas de la primera especie.
La motivacion de Gauss proviene la necesidad de resolver un problema
de astronomıa que involucra ciertas integrales. Al escribir las integra-
les elıpticas de una forma ligeramente diferente a Legendre, se revela
su relacion con las medias aritmeticas y geometricas. Esto produce un
algoritmo muy eficiente para aproximar numericamente las funciones
elıpticas. De paso, se demuestra que la convergencia de las iteracio-
nes repetidas de una transformacion de Landen ocurre porque, en el
infinito, la media aritmetica y la geometrica son iguales. Las transfor-
maciones vuelven a ser un resultado auxiliar, esta vez dentro de un
problema de matematicas aplicadas. La potencia del resultado compite
con su belleza y elegancia.
Jacobi es uno de los padres de las funciones elıpticas. Siempre mostro ad-
miracion y respeto por la obra de Legendre. Dedico buena parte de su
vida al estudio de las transformaciones de las integrales y funciones
elıpticas (en cierto sentido son las mismas). En uno de los muchos
rincones de su vasta teorıa estaban las transformaciones de Landen.
En otras palabras, ellas eran un simple ejemplo en el inmenso mar
de las transformaciones elıpticas. Sin embargo, Jacobi las premio con
su esfuerzo y dedicacion. Ideo una interpretacion geometrica para las
41
transformaciones de Landen y resucito el olvidado teorema de Landen.
Para el, sin embargo, ya no existıan tanto las longitudes de arco de las
secciones conicas como las integrales de la primera y la segunda espe-
cie. El teorema de Landen, que parece a primera vista tan complicado,
se convierte ahora en un simple corolario de una relacion casi evidente
entre integrales de las dos primeras especies de Legendre.
Bibliografıa
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y =∫
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