Ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el...
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Ajustesdemodelosteóricosadatosexperimentales:elmétododecuadradosmínimos
LucianoA.Masullo
Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica
FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires
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Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(
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Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(
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Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
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Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?
*Sedicetambién“quemejorajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”
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Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?
*Sedicetambién“quemejorseajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”
Tiene solución analítica
Tiene solución numérica
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• Criterio:quiero encontrar lafunción 𝑓 𝑥 queminimicelasuma delas diferencias alcuadrado entrelapredicción 𝑓 𝑥# ylamedición 𝑦#
• Hipótesis adicionales:lavariablealeatoria𝑦 tienedistribucióngaussianaconvalormedio𝑓 𝑥 .Ademáselerrorrelativoen𝑥 esmuchomenorqueelerrorrelativoen𝑦.
• Cuadradosmínimos casolineal:asumocomomodeloteórico𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞, luego
Método decuadradosmínimos
Datos experimentales
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞
𝛿#
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Método decuadradosmínimos
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Método decuadradosmínimos
Minimización deSenfunción demyq
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Método decuadradosmínimos
Minimización deSenfunción demyq
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Método decuadradosmínimos
Encontramos losparámetros𝑚 y𝑞queminimizan lasuma cuadráticadelas
diferenciasentreelmodelo ylosdatos
Minimización deSenfunción demyq
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Método decuadradosmínimos
Detodas las posibles funciones lineales,lafunción 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞es laque minimiza S
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Método decuadradosmínimos
Algunas consideraciones importantes:
• ¿Es mejor unajusteque esté contenidodentro delas barras deerrordetodos lospuntos que uno que no?
• ¿Quérelaciónhayentrelacantidaddepuntosdentrodecuyasbarrasdeerrorpasaelajusteyelerrordelasmediciones?
• ¿Cuántospuntosesperodecada“lado”delarecta?¿Porqué?
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ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos
• Posición enfuncióndeltiempo
• Velocidad enfunción deltiempo
• Aceleración enfuncióndeltiempo
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ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos
• Posición enfuncióndeltiempo
• Velocidad enfunción deltiempo
• Aceleración enfuncióndeltiempo
𝑥 𝑡 = 𝑥; + 𝑣;(𝑡 − 𝑡;) +12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)A 𝑥((𝑡 − 𝑡;)A) = 𝑥; +
12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)ASi𝑣;= 0
lineal
𝑣 𝑡 = 𝑣; + 𝑎(𝑡 − 𝑡;)
𝑎 𝑡 = 𝑎
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Limitacionesdelmétodoycriterios
Siempreesesencialevaluarcríticamenteelresultadodeunajuste:
• ¿Essiempreelmejormodeloelquemejorseajustaalosdatos?
• ¿Eselmejormodeloelquemenoshipótesishacesobreelproblema?
• ¿Esrazonableplantearunmodeloqueseajustamuybienperoquenopuedopredecirconrazonamientosyargumentosfísicos?
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Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#1)
¿Quéajusteelegirían?¿Porqué?
Posic
ión(m
m)
Posic
ión(m
m)
Tiempo(ms)Tiempo(ms)
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Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5
Tabladecuatro conjuntosdedatos
Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21
Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)
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Tabladecuatro conjuntosdedatos
Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5
Loscuatro conjuntosdedatosgraficados
Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21
I II
III IV
Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
𝑘 = 10
𝜒A
Distribución deprobabilidad de𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10𝐸(𝜒A)
𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
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Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
• Elvalorde𝜒A esunamedida(no laúnica)delaprobabilidad dequelosdatos{𝑦#}provengandeunfenómeno físicoconmodelo teórico𝑦 = 𝑓(𝑥),esdecir,𝜒A esuna medida delaverosimilitud delmodelooajuste
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10𝐸(𝜒A)
𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)
𝜒A
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¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic
ión(m
m)
Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
Tiempo(ms)
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¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic
ión(m
m)
Tiempo(ms)
Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico
𝜒A = 7,42
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
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¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝑘 = 10
𝜒A = 7,42
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
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¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝑘 = 10
𝜒A = 7,42
𝜒A = 7,42 estácontenidoenelintervalo𝐸(𝜒A) ± 𝑆𝐷(𝜒A),eraunresultadoesperable
Resultados poco probables Resultados más probables Resultados poco probables
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
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𝑘 = 10
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝜒A = 22
𝜒A = 22 estáafueradelintervalo𝐸(𝜒A) ± 2𝑆𝐷(𝜒A),es unresultadopoco esperable dadoelmodelo teórico
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
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𝜒A reducidoSepuededefinirenformaanálogaal𝜒A ,un𝜒Areducido :
• Sirveparaindependizarelvalormediodelacantidaddemediciones𝑘
• Elprograma Origincomputa 𝜒APQR envezdel𝜒A
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• “Cuadradosmínimos”esunmétodo(noelúnico)quesirveparaencontrarlosparámetrosquemejorseajustanalosdatosexperimentalesdadounmodeloteórico
• Sibien es unmétodo poderosoymuyútil,hayque tener cuidado yevaluarlosresultados delosajustes concriterio ysinperder devistalafísica delexperimento
• 𝜒A esunestadístico (yunavariablealeatoria)quedaunamedida(nolaúnica)delaverosimilituddelajusteefectuadoalosdatosexperimentales
Resumen
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𝑘 = 10
Extra:Testdehipótesisyp-valor
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
• Recordemos que laintegraldeladensidad deprobabilidad da1
• Sedefineelvalorpcomo laprobabilidaddeobtener unconjunto demedicionescomo elque obtuve omás extremo(menosprobableaún)dadaunaciertahipótesisomodelo
• Sesuele*tomarvalorp<0,05(que asuvez defineun𝜒A umbral)pararechazarunmodelo (oaceptarelcontrario)
• Elvalorpdeterminaelniveldesignificacióndeladiscrepanciadelmodeloconlosdatos
𝜒A = 22
*Laelección esarbitraria ydehechoactualmente hayunfuertedebateenelámbitodelascienciasbiomédicas, verporejemplo:S.Wellek “Acritical evaluation ofthe current ‘p-value controversy’”, Biometrical Journal, 59,5(2017)
𝜒A
valorp
![Page 35: Ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el ...materias.df.uba.ar/l1b2018c1/files/2012/07/clase_cuadradosminimos... · * Se dice también “que mejor ajustan a” y de](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022030421/5bbe1f3809d3f2114b8bdf63/html5/thumbnails/35.jpg)