Ajuste de procesos usando control por retroalimentación

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Índice1. Localización y conocimientos previos.

2. Introducción.

3. Diseño del gráfico.

4. Relación con control PDI.

5. Control predictivo.

6. Elección del parámetro G.

7. Uso de una banda muerta.

8. Extensiones.

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Localización y conocimientos previos.

Objetivos de la lección:

• Describir las herramientas necesarias para ajustar y

mejorar la calidad de un proceso industrial.

para el manejo del operario.

para el diseño del escenario.

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Localización y conocimientos previos

Modelo de Shewhart-Deming:

t ty eμ= +

1 2 1 2( , , , ) ( , , )t n t n ny x x x e x xμ + += +K K

o también “modelo de causa común más causa especial”,

Estado de control estadístico “el proceso varía de forma estable alrededor de una media”

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Dos enfoques:

• Control de calidad (SPC). Inferencia.

• Ajuste o mejora de la calidad (EPC). Estimación.

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Gráficos de control de calidad (para identificación de causas especiales):

• Frecuencias y proporciones (c-chart y p-chart).• Medias y rangos.• Alisado exponencial. • Cusum (centrado y truncados).

Capacidad del proceso y límites de especificación

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El comportamiento dinámico de un proceso industrial se aproxima bastante bien con esas ecuaciones.

1 (1 )+ = − +t t ty X yδ δ

1 1(1 )t t t ty X X Xδ δ+ −= = − +% %

Media móvil ponderada exponencialmente (EWMA).

Concepto de inercia:

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1λ θ= −

θ

Resultado:

• EWMA con parámetro,

• produce predicciones óptimas (en el sentido de minimizar la varianza del error).

Si la serie sigue un proceso IMA(1,1) con parámetro .

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0.2 0.4 0.8 0.6λ θ= − → = −

El valor del parámetro puede estimarse si tenemos suficientes datos.

Valores de compromiso

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1. Introducción.

Objetivos de la sección:

• Presentación del problema.• Notación y conceptos básicos.• Definición de ajuste por retroalimentación.• Descripción del gráfico de ajuste manual.

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1. Introducción

Serie de grosor de una plancha metálica utilizada en la fabricación de un chip . tyLa característica de calidad debe mantenerse cercana a T=80.Gráfico: serie observada cuando no se realiza ningún tipo de ajuste.

Ejemplo

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1. Introducción.

0 20 40 60 8060

70

80

90

100

110

120

130

140S erie observada de g rosor de una p lancha m e

ob

V a lo r ob je tivo

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1. Introducción.

Si definimos las perturbaciones del proceso ,

,t tz y T= −

El objetivo cuando ejercemos control decalidad es eliminar las causas especiales que han producido esas perturbaciones y hacer que el proceso se acerque a un “estado de control estadístico”.

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1. Introducción.

0 20 40 60 80-20

-10

0

10

20

30

40

50

60S erie de perturbaciones

o

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1. Introducción.

El objetivo del ajuste del procesos es estimar el estado del sistema en cada t=t de forma que podamos realizar los cambios necesarios para que el proceso vuelva a situarse cerca del valor objetivo T.

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Herramienta básica es un gráfico que maneja un operario.

1. Introducción.

En la serie sin ajustar la desviación cuadrada media es de 684,8, mientras que en la serie ajustada es de 124,2. (reducción a la quinta parte).

tX

Ajuste por retroalimentación (y no automático)

Ajuste consiste en cambios en la variable de compensación que se ajusta en cada t=t.

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1. Introducción.

0 20 40 60 8020

40

60

80

100

120

140S e rie a jus tada de l g roso r de la p lancha m e tá

o

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1. Introducción

0 20 40 60 80-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

(-)A

just

eS e rie de a justes

ob

Volver 2

Volver 1

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• Describir las herramientas que permiten al especialista diseñar el escenario de ajuste y mejora.

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2. Diseño del gráfico

• 3. Error en el output definido

1t t tx X X −= −• 4. Ajuste definido por

El gráfico está basado en la siguiente información:• 1. El sistema es reactivo.• 2. Ganancia del proceso (g) definida por el cambio

que produce en output una unidad de cambio en la variable de compensación.

= −ct te y T

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ó


donde G es el parámetro de salto y mide la proporción del error que corregimos.

• Ejemplo: para la serie de grosor, utilizamos g=1.2 y G=0.2.

t tGx eg

= −t tgx Ge= −

Ecuación de ajuste:

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2. Diseño del gráfico.cty te tx

80.0 0 .0 0 .0

92.0 12.0 -2 .0

97.6 17.6 -2 .9

54.8 -25 .9 4 .5

92.3 12.3 -2 .0

82.8 2 .8 0 .5

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• Describir el control PDI y definir la relación con el tipo de control ejercido por la ecuación de ajuste.

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• Otra forma muy eficaz de control por retroalimentación usada en Ingeniería para procesos continuos es la llamada “Proportional Integral Derivative” (PDI)

0 ,tt p t I t D

degX k k e k e dt kdt

= + + +∫0 , ,p Ik k k Dk• donde y son constantes.

• Hay formas más simples como control PI.

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• En un escenario discreto, la ecuación de ajuste puede reescribirse como

0 1 1( )t t tgX gX G e e e−= − + + +K

01

.t

ti

gX G e=

= − ∑0 0gX k= IG k− =

01

.t

t I ii

gX k k e=

= + ∑

• Si y podemos escribir

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4. Control Predictivo


• Describir la relación entre control PI y el alisado exponencial (EWMA) en el diseño de escenarios de ajuste y mejora.

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4. Control Predictivo

• El sistema es reactivo.

1 1, , , ,t t tz z z− +K K

Información disponible:

• la serie de perturbaciones si no se hubiera ejercido control

• Ganancia del proceso (g).

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• o, en términos del ajuste

1.t tgX z += −

1ˆ ˆ( ).t t tgx z z+= − −

1ˆ ,t tgX z += −

• Lo ideal sería en el momento t=t, conocer la pertur-bación de t=t+1, de forma que,

• Como eso no es posible, tendremos que predecir

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• Para que sea cierto las predicciones deben ser,

ˆ ,t t te z z= −

ˆ( ).t t t tgx Ge G z z= − = − −

1ˆ ˆ(1 ) .t t tz Gz G z+ = + −

• Si definimos el error de predicción,

• la ecuación de ajuste puede expresarse como sigue,

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* EWMA

{ }21 1 2ˆ (1 ) ,t t t tz z z zθ θ θ+ − −= − + + +K

1 .Gθ = −• donde

• La ecuación anterior es una ecuación en diferencias de primer orden y puede escribirse como una suma de medias móviles ponderadas exponencialmente *:

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RESULTADO:

• La ecuación de ajuste que produce un control PI, también implica que ese control es equivalente a fijar la variable de compensación (X) de forma que se cancele la predicción EWMA de . 1ˆ( )tz + 1tz +

La constante de suavizado para esa predicción EWMA se determina por el valor del factor de salto en la ecuación de ajuste (G).

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4. Control predictivo.• Ejemplo:

t ty tz 1ˆtz + te tx tX cty

1 80 0 0 0 0 0 802 92 12 2.4 12 -2 2 923 100 20 5.92 17.6 -2.93 4.93 97.64 60 -20 0.74 -25.9 4.52 0.61 54.15 93 13 3.19 12.3 -2.04 2.66 92.36 86 6 3.75 2.8 -0.47 3.13 82.8

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v. ob je tivo pe rturbac iones e fec to com pensado

0 20 40 60 80-60

-40

-20

0

20

40

60C ontro l p red ic tivo

ob

t tz y T= −

1ˆt tz gX+− =

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0 20 40 60 80-30

-20

-10

0

10

20

30C ontro l p red ictivo : serie de errores en e l out

ob

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0 20 40 60 80-20

-10

0

10

20

30

40

50

60C ontro l p red ictivo : serie de perturbaciones y serie

ob

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Objetivo de la sección:

• Describir tres formas de elegir el parámetro de salto

Basándonos en los datos y minimizando la suma de errores al cudrado.Asumiendo un modelo IMA(1,1) para las perturbaciones y minimizando el ratio de inflación.Minimizando la variabilidad en el ajuste.

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• Encontrar el mínimo de la suma de errores al cuadrado para distintos valores de G.

• Ejemplo: t=1…..100, de la serie de perturbaciones sin ajustes. El mínimo de la suma de errores al cuadrado se alcanza para el valor G=0.24.

• 1. Estimación a partir de los datos

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0 0.1 0.2 0.3 0.41.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.3

1.31

1.32

1.33x 10 4

va lores de G

sum

a de

erro

res

cuad

rado

s

E lección de l parám etro G

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• y obtenemos la predicción EMMC, y, por lo tanto, EMMC en el output con

1 1,t t t tz z a aθ− −− = −

0θ

0 01 ,G λ θ= = −

1ˆtz +

2 2e aσ σ=

• 2. Ratio de inflación. Asumimos,

• Si conocemos el verdadero valor , podemos fijar

En la práctica, usaremos un estimador de G que produciráuna varianza del error muy cercana al mínimo.

25 April 2006 40

5. Elección del parámetro G.• Supongamos que el verdadero parámetro es pero

en el diseño del escenario de ajuste se utiliza el parámetro G distinto de

2 20

2

( )1 .(2 )

e

a

GG G

σ λσ

−= +

−

0θ

0 01λ θ= −

• Ratio de inflación: mide el aumento en la varianza del error del output debido al uso del parámetro G.

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0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

parám etro G usado

fact

or d

e in

flaci

ónInflación de varianza y parám etro G

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• 3. Escenarios de ajuste restringido

• Reducir el valor de G a un valor “subóptimo” menor de puede disminuir considerablemente la varianza del ajuste, con un pequeño aumento de la varianza del error en el output.

0λ

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5. Elección del parámetro G.• Con 0 01G λ θ= = −

( )/e a x aG gσ σ σ σ= → =

0G λ≠

( )2

0( )1 /(2 )e a x e

G G gG G

λσ σ σ σ−= + → =

−

• Con

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1 1 .05 1 .1 1 .150

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

0 .25

0 .3

0 .35

0 .4

0 .45

0 .5

s igm a_e

g si

gma_

x=G

sig

ma_

e

A juste restríng ido y pa rám etro G

0 0.6λ =

0 0.4λ =

0 0.2λ =

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5. Elección del parámetro G.• Ejemplo:

0.2 0.2x aG σ σ= → =

2(0.1)0.1 1 1.026 0.1030.1(1.9)e a a x aG σ σ σ σ σ= → = + = → =

0 0.2, 1gλ = =

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• Objetivo: reducir el número de veces que ajusta-mos, simplificar el gráfico.

• B 0 0.5 1.0 1.25 1.5• Ancho 0 5.5 11 13.75 16.5• D.típica 11.14 11.25 11.28 11.62 11.87• % increm. 0 0.9 1.2 4.3 6.5• Nº ajust. 99 65 35 23 16

6. Uso de bandas muertas.

• Ejemplo:

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6. Uso de bandas muertas.

0 20 40 60 8040

50

60

70

80

90

100

110

120

Ser

ie d

e gr

osor

aju

stad

aUso de bandas m uertas

o

Banda muerta

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7. Control de un proceso AR(1).

Si conocemos el verdadero parámetro:

1 1t t tz z aφ+ += +

1ˆt t tgX z zφ+= − = −

2 2t t e ae a σ σ= → =

La serie de perturbaciones es del tipo:

Fórmula de ajuste:

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7. Control de un proceso AR(1).

Factor de reducción

Varianza Desv. típica

0.95 10.3 3.20.90 5.3 2.30.70 2.0 1.40.50 1.3 1.2

2 2 2/(1 )z aσ σ φ= −

φ

• El efecto del control por retroalimentación es reducir la varianza del output por un factor:

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……..y después

Ajuste de un proceso con inercia.

• El ajuste depende de los dos últimos errores observados:

( ){ }1t t t tgx G e P e e −= + −

• donde P y G son constantes.

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………y después

Diseño del gráfico

• El operario registra el nivel del output y extrapola (o interpola) una línea uniendo los dos últimos puntos separados P periodos.

Control predictivo

t tgX z= −% %

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………y después

Estimación de los parámetros G y P

• Escenarios restringidos:

2 2X eσ ασ+

• Se suele fijar P=-0.25 ó P=0 y buscar el valor de G.

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