Aizpuru - Apuntes Topologia General

Apuntes y Notas de Topologa

Antonio Aizpuru Toms

Departamento de Matemticas

Universidad de Cdiz

Ao 2004

Las Matemticas son importantes, sobre todo para laspersonas sensibles a la belleza. Es posible que algunasotras actividades humanas puedan ser ms importantes:el arte, la poesa, la filosofa, . . . Pero es seguro que param existen otras cosas ms importantes.

A mi familia.

ndice

1 Espacios topolgicos 1

1 Espacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Topologa en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Base y subbase de una topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Puntos y subconjuntos especiales en un espacio topolgico 15

1 Principales clases de puntos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Propiedades elementales de numerabilidad y separacin 27

1 Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Propiedades de separacin de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Convergencia y continuidad en espacios topolgicos 36

1 Convergencia de sucesiones. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Redes y convergencia de redes en un espacio topolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Filtros y convergencia de filtros en un espacio topolgico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Filtros maximales y redes universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Propiedades de las aplicaciones continuas. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Espacios mtricos completos. Compleccin de un espacio mtrico . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Producto de espacios topolgicos. Topologa inicial 71

1 Topologa producto de un nmero finito de espacios topolgicos . . . . . . . . . . . . . . 71

2

2 Topologa inicial y topologa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Conexos y conexos por caminos 86

1 Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3 Espacios conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Espacios localmente conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7 Espacios regulares, completamente regulares y normales 103

1 Espacios regulares y espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2 Espacios completamente regulares y espacios T3a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Espacios normales y espacios T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8 Compacidad. 121

1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2 La compacidad en espacios mtricos y seudomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3 Numerablemente compactos. Secuencialmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 La compactificacin de Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 El espacio de Cantor y algunas cuestiones sueltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7 lgebra de Boole y topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9 Topologa final y topologa cociente 159

1 Topologa final. Identificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2 Topologa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3 Topologa de los espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4 Suma de espacios topolgicos y topologa coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A las cosas importantes: Mara, mis hijos, los ami-gos, las papas alis, la cruzcampo, el Habana club,la repblica federal que necesitamos, la playa, eltabaco,...

Prlogo

Estos apuntes recogen los contenidos clsicos de un primer curso de Topologa. Pensamos que, al menos,son necesarias unas noventa horas para poder recorrer con tranquilidad su contenido. Desearamos conel trascurso del tiempo poder ampliar estos apuntes con los "Apuntes II" de un correspondiente curso deampliacin donde se recogiesen importantes aspectos de la topologa que aqu no se han recogido.

Actualmente la topologa no es considerada como una disciplina auxiliar del Anlisis o de la Geometra sinoque tiene su propio cuerpo y sus propios mtodos y formas de razonar. De hecho lo que se entiende porTopologa se ha dividido en varias grandes especialidades, quizs tantas como el Anlisis Matemtico. Noes casual, por tanto, la ausencia en estos apuntes de contenidos relativos a la Topologa algebraica o laTopologa diferencial, el modesto objetivo de estos apuntes se centra en lo que usualmente se denominaTopologa de conjuntos. Pensamos que, por ejemplo, la introduccin a la Topologa algebraica no debeincluirse en un curso de Topologa como el que proponemos. La Topologa algebraica no debe correr elriesgo de ser el conjunto de los ltimos temas de una asignatura y es urgente que en toda licenciatura deMatemticas exista una asignatura obligatoria totalmente dedicada a esta disciplina.

Queremos resaltar la deuda de gratitud que tenemos toda una generacin con el tratado de Topologa decinco tomos [59] que public en la dcada de los 70 la editorial Alhambra. Los autores, sobradamenteconocidos, difundieron y actualizaron eficazmente el conocimiento de la Topologa entre el pblico Hispano.Quiero resaltar tambin otros libros de autores Hispanos que son muy indicados para aprender como son:[5], [7], [13], [24], [30], [31], [35], [40], [44], [57] y [62]. Pensamos que todo curso de topologa generaltendra que estar precedido de un curso de topologa de espacios mtricos donde el alumno pueda acceder,de manera natural, a los conceptos topolgicos bsicos. Para el estudio de la topologa de espacios mtricosquiero destacar el libro Introduccin a la topologa de espacios mtricos" de J.M. Daz, es sencillamenteun libro claro y esplndido. En la bibliografa incluimos tambin algunos libros clsicos que han alcanzadoel calificativo de magistrales, como por ejemplo: [1], [3], [9], [10], [21], [27], [29], [34], [41], [48], [54], [65],[72], [78], [79], ... Queremos invitar a los estudiantes a que se acostumbren a estudiar en este tipo de librosya que es seguro que con ellos sacaran ms provecho que con la lectura de apuntes como los que estamospresentando.

En cuanto al contenido y organizacin de estos apuntes quiero resaltar que responden, en parte, al gustodel autor. Hemos puesto cuidado en el captulo de redes y filtros, pensamos que la tcnica de las redesgeneraliza razonamientos propios de los espacios mtricos, por otra parte es una tcnica de gran uso en elAnlisis Funcional. No queremos ocultar que, en ocasiones, en nuestros planteamientos tenemos presente al

Anlisis Funcional y a la Teora de la medida ya que se trata de disciplinas cuya conexin con la Topologaes enorme. El captulo de espacios compactos puede parecer extenso pero en realidad, como los restantes,es breve debido a la gran cantidad de cuestiones que han quedado por tratar.

Deseamos manifestar que la razn principal de estos apuntes son los alumnos, si a ellos les resulta de algunaayuda habremos conseguido nuestro propsito. Prcticamente la totalidad de las afirmaciones que se realizanen los apuntes son minuciosamente demostradas. Aunque avisamos que cuando en una demostracin seutiliza un resultado anteriormente demostrado no solemos citar el lugar donde ste se encuentra, dejamospara el lector esta tarea.

Se observar que no hemos incluido en estos apuntes ningn tipo de problemas, as que si los apuntes sesuicidan no ser por nuestra culpa. En la bibliografa incluimos libros de problemas como: [13], [22], [25],[70].

Quiero agradecer especialmente la ayuda de J.L. Romero, el nimo y la cariosa atencin que siempre mepresta constituyen un gran estmulo. Deseo destacar mi agradecimiento a F. Martnez por su constantedisposicin a la colaboracin, su ayuda ha sido siempre eficaz. Agradezco a F. Bentez el que siga siempredispuesto a discutir de Matemticas, lo que constituye un gran estmulo para seguir aprendiendo. AnaGmez Parra es una pieza importante del Departamento, gracias a su organizacin puedo disfrutar de mstiempo para las tareas docentes.

Tambin agradezco la ayuda de otros muchos amigos con los que acostumbro a hablar de Matemticas yaunque no sea justo, slo citar a unos pocos: J. Prez, J.M. Daz, J. Ramrez, A. Prez, M. Berrocoso, M.Gandarias, J. Sanz, J.C. Daz, M.A. Moreno, M. Bruzn, A. Sala, J. Nieto, F. Fernndez, M. Muoz, H.Ramos, J.L. Gonzlez, Seminario de Matemticas del I.E.S. Columela, J. Gelmes, E. Pardo, E. Medina, C.Muriel, M.J. Gonzlez, F. Gonzlez, P. Venero, C. Vinuesa, Vicky, A. Chia, C. Garca, D. Almorza, Loreto,Aurora, Eva, Ma Jos, F. Len,...

El texto ha sido compuesto por los alumnos Mara del Carmen del Valle Rendn y Antonio Galvn Ruiz.Agradezco su valioso trabajo.

Entre mi casa (Cdiz) y la Facultad (Puerto Real):

Puente de Carranza, Septiembre de 1996.

CAPTULO 1

Espacios topolgicos

ndice del Tema

1 Espacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Topologa en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Base y subbase de una topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . . 11

1 Espacios mtricos

El concepto de espacio mtrico surge del anlisis matemtico elemental. Suponemos que son conocidas lasprincipales propiedades de los espacios mtricos usuales en el anlisis matemtico elemental, aqu recordare-mos brevemente algunos aspectos.

Definicin 1.1.1 Sea X un conjunto. Se llama distancia o mtrica en X a cada aplicacin d de X Xen el conjunto R de los nmeros reales;d : X X R, que verifique las siguientes propiedades para cada x, y, z X.

1. d(x, y) 0 2. d(x, y) = 0 si y slo si x = y 3. d(x, y) = d(y, x) 4. d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

Al par (X, d) se le llama entonces espacio mtrico. Si la propiedad 2 es cambiada por 2: Si x = yentonces d(x, y) = 0 se dice que d es una seudodistancia o seudomtrica y al par (X, d) se le llama espacioseudomtrico, observemos que entonces puede suceder que d(x, y) = 0 y que x 6= y.

Ejemplo 1.1.2 1. En Rn definimos d(x, y) = (n

i=1(xiyi)2)12 donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

d es una mtrica en Rn que se denomina mtrica eucldea o usual.

2. En Rn definimos d(x, y) =n

i=1 |xi yi|, d es mtrica en Rn.

3. En Rn, d(x, y) = mx{|xi yi| : i {1, . . . , n}}, d es mtrica en Rn.

2 1. ESPACIOS MTRICOS

4. Sea M un conjunto cualquiera y sea X el conjunto de las aplicaciones reales definidas en M y que seanacotadas. Si f, g X definimos d(f, g) = sup{|f(a) g(a)| : a M}, es sencillo comprobar que d es unamtrica en X.

5. Sea X = C[0, 1] el espacio vectorial de las funciones reales y continuas definidas en [0, 1]. Sedefine:d(f, g) = mx{|f(x) g(x)| : x [0, 1]} d(f, g) =

10 |f(x) g(x)| dx

es fcil comprobar que tanto d como d son distancias en X.

6. Sea X el espacio vectorial de las funciones definidas e integrables Riemann en [0, 1] y definimos d(f, g) = 10 |f(x) g(x)| dx. Observemos que si f es la funcin real definida en [0, 1] por f(x) = x2 si x 6=

1

2y

f(12) = 0 y g es la funcin real definida en [0, 1] por g(x) = x2 para cada x [0, 1], tenemos que f, g X y

d(f, g) = 0, as pues d no es una distancia en X pero se puede comprobar que s que es una seudodistancia.

7. En Rn, si p R y p 1 se define dp(x, y) = (ni=1 |xi yi|p)1p , observemos que si p = 1 tenemos el

ejemplo 2 y si p = 2 el ejemplo 1. Para demostrar que dp es una distancia en Rn, para cualquier p (1,),la nica propiedad no sencilla es la desigualdad triangular, vamos a demostrarla en varias etapas.

a.- Si a, b R y , (0, 1) con + = 1 entonces a b a + b.

Demostracin Si a = b es evidente la igualdad, en otro caso supongamos que a < b y consideremos en[a, b] la funcin f(x) definida por f(x) = xp, por el teorema del valor medio sabemos que existe t (a, b)tal que b a = (ba)t1, pero como t < a tenemos que b a < (ba)a y multiplicandopor a se tiene a b a < (b a) y por tanto a bp < a + b.

b.- Desigualdad de Holder. Si x = (x1, . . . , xn) Rn, y = (y1, . . . , yn) Rn y p, q (1,) de modo que1

p+

1

q= 1 entonces

n

i=1

|xi y1| ( n

i=1

|xi|p)

1p

( n

i=1

|yi|q)

1q

Demostracin Suponemos que algn xi y algn yj es distinto de cero, ya que si por ejemplo todos los xi

son cero se tiene claramente la igualdad. Aplicamos el apartado a.- con =1

p, =

1

qa =

|xi|pn

i=1 |xi|p,

b =|yi|q

ni=1 |yi|q

obtenemos para cada i {1, . . . , n} que

|xi|(

ni=1 |xi|p

)1p

|yi|(

ni=1 |yi|q

)1q

0, r R,tal que B(x, r) A, al conjunto de todos los puntos de X que son interiores de A se le denota por

A

por Int(A). Se dice que A es abierto si A = Int(A) y se dice que A es cerrado si X A es abierto. Essencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades: 1.- y X son abiertos. 2.- La unin decualquier familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3.- La interseccin de una familia finitade conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

A la familia de todos los subconjuntos abiertos de X : Td = {A X : A es abierto en el espacio mtrico(X, d)} se le llama topologa determinada en X por la mtrica d. De una forma similar se define la topologadeterminada por una seudomtrica.

2 Topologa en un conjunto. Conjuntosabiertos y conjuntos cerrados

Definicin 1.2.1 Sea X un conjunto y sea T P (X), diremos que T es una topologa en X si y slosi se verifican las siguientes propiedades:1.- T,X T . 2.- Para cada H T se tiene que AH A T .3.- Para cada A,B T se tiene que A B T .

En esta situacin al par (X,T ) se le llama espacio topolgico y los elementos de T se llaman abiertos delespacio topolgico (X,T ). Es evidente que la interseccin de un nmero finito de conjuntos abiertos es unconjunto abierto.

Ejemplo 1.2.2 1.- Sea X un conjunto y Tt = {X, }, Tt es una topologa en X que se llama trivial.Si consideramos TD = P (X) tambin tenemos que TD es una topologa en X que se llama discreta.Observemos que en un mismo conjunto se pueden definir topologas distintas, ya observamos antes que enun mismo conjunto se pueden definir mtricas distintas.

2.- Sea (X, d) un espacio mtrico y sea Td = {A X : A es abierto en X para la mtrica d}, entoncescomo ya se coment Td es una topologa en X que se denomina topologa inducida por la mtrica d.

Definicin 1.2.3 Sea (X,T ) un espacio topolgico, se dice que (X,T ) es metrizable si existe una mtricad en X tal que T = Td.

Ejemplo 1.2.4 1.- Sea (X,TD) y consideremos d : X X R definida por d(x, y) ={

1 si x 6= y0 si x = y

es fcil comprobar que d es mtrica (llamada discreta) en X y que para cada x X es {x} = B(x, 12), por

tanto {x} es abierto y de aqu se deduce que TD = Td, as pues (X,TD) es un espacio metrizable.

2.- Observemos que si (X, d) es un espacio mtrico y x X, y X,x 6= y entonces d(x, y) = r conr > 0, r R. Sean A = B(x, r3 ), B = B(y,

r

3) es claro que A y B son abiertos, x A, y B y AB = .

Vamos ahora a poner un ejemplo de espacio topolgico que no es metrizable. Sea X un conjunto infinitoy sea TCF = {A X : X A es finito } {} es sencillo comprobar que TCF es una topologa en X.

Apuntes y notas de Topologa

CAPTULO 1. ESPACIOS TOPOLGICOS 5

Consideremos x X, y X tales que x 6= y y supongamos que existen A TCF , B TCF tales quex A, y B,A B = , pero entonces X = (X A) (X B) y deducimos que X es finito lo cual esuna manifiesta contradiccin. Este razonamiento demuestra que no puede existir una mtrica d en X talque TCF = Td y por tanto que (X,T ) es un espacio topolgico no metrizable.

La abundancia e importancia de los espacios topolgicos no metrizables justifica la existencia de la topologageneral como disciplina, una gran cantidad de conceptos de los que trata esta disciplina son una traslacinde conceptos y propiedades de los espacios mtricos. Los espacios mtricos quedarn reducidos a uncaso particular de espacio topolgico pero su importancia es tan elevada que tambin queda justificadala existencia de una disciplina que se dedique a su estudio con detalle y no slo por razones histricas ometodolgicas.

Teorema 1.2.5 Sea (X, d) un espacio mtrico y sea Z X, consideremos el subespacio mtrico (Z, d)y sea M Z entonces M es abierto en (Z, d) si y slo si existe N abierto en (X, d) tal que M = Z N .

Demostracin Supongamos que M Z es abierto en (Z, d), observemos que si x Z y r > 0, r R,la bola abierta de centro x y radio r en (Z, d) es {y Z : d(x, y) < r} pero este conjunto es precisamenteB(x, r) Z donde B(x, r) es la bola de centro x y radio r en (X, d). Para cada x M podemosafirmar que existe rx > 0, rx R tal que B(x, rx) Z M y por tanto M =

xM (B(x, rx) Z) =(

xM B(x, rx)) Z y si N =

xM B(x, rx) tenemos que N es abierto en (X, d) y M = N Z.

Recprocamente supongamos que N es abierto en (X, d) y que M = N Z, veamos que M es abierto en(Z, d), consideremos que M 6= y sea x M , entonces existe r > 0 tal que B(x, r) N pero entoncesB(x, r) Z N Z = M , es decir existe una bola abierta en (Z, d) de centro x que est contenida enM , as pues deducimos que M es abierto en (Z, d).

Este resultado sugiere que consideremos lo siguiente: Sea (X,T ) un espacio topolgico, sea Z X unsubconjunto no vaco de X y sea TZ = {AZ : A T} es sencillo comprobar que TZ es una topologa enZ que se denomina topologa inducida por T en Z o bien topologa relativa de T en Z. Al par (Z, TZ) sele denomina subespacio topolgico del espacio topolgico (X,T ).

Definicin 1.2.6 Sea X un conjunto y sean T1 y T2 dos topologas en X, se dice que T1 es menos finaque T2 o que T2 es ms fina que T1 si T1 T2.

Dado un conjunto X consideremos Tt = {, X} la topologa trivial y TD = P (X) la topologa discreta, esevidente que si T es cualquier topologa en X tenemos que Tt T TD, en general dadas dos topologasT1 y T2 en X puede suceder que T1 T2 sea falso y que T2 T1 tambin sea falso, en cuyo caso se diceque T1 y T2 son topologas en X que no son comparables. Por ejemplo si X = {a, b}, T1 = {, X, {a}} yT2 = {, X, {b}}, tenemos que T1 y T2 son topologas en X que no son comparables.

Definicin 1.2.7 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea C X, se dice que C es un conjunto cerradoen (X,T ) si X\C T .

Aqu a la familia de todos los subconjuntos de X que sean cerrados la denotaremos por C(T ) y tenemosque C(T ) = {C X : X\C T}, es sencillo demostrar que se verifican las siguientes propiedades:


6 3. BASE Y SUBBASE DE UNA TOPOLOGA

1.- C(T ), X C(T ) 2.- Si C,D C(T ) entonces C D C(T ). 3.- Si M C(T ) entonces

AM A C(T ).

Observemos que si C es una familia de subconjuntos de X verificando las anteriores propiedades 1.-,2.-,3.-,entonces si consideramos T = {X\C : C C}, tenemos que T es una topologa en X y C es precisamentela familia C(T ) de todos los conjuntos cerrados de (X,T ).

Ejemplo 1.2.8 1.- En R con la topologa usual tenemos que: a. M = { 1n : n N} {0} es cerrado. b.N es cerrado. c. Si M R es finito entonces M es cerrado. d. [0, 1) no es ni abierto ni cerrado.e. P = { 1n : n N} no es ni abierto ni cerrado, sin embargo P =

nN{ 1n} es decir P es unin de unacantidad numerable de cerrados.

2.- Sea X un conjunto y sea {A,B} una particin de X en conjuntos no vacos, sea T = {X, , A,B}tenemos que T es una topologa en X y C(T ) = {X, , A,B}, as pues puede suceder que un conjunto enun espacio topolgico sea a la vez abierto y cerrado (en ingls: closed-open clopen).

3 Base y subbase de una topologa

Definicin 1.3.1 Sea (X,T ) un espacio topolgico y B P (X) se dice que B es base de la topologaT si se verifica: 1.- B T 2.- Para cada A T existe M B tal que A = BM B.

Teorema 1.3.2 Sean (X,T ) un espacio topolgico y A un subconjunto de X entonces A T si y slosi para cada x A existe B T tal que x B A.

Demostracin Si A T para cada x A basta considerar B = A y tendremos x B A. Recpro-camente si para cada x A existe Bx T tal que x Bx A tendremos que A =

xA Bx y por tantoA T .

Teorema 1.3.3 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea B T , entonces B es base de T si y slo si paracada A T y cada x A existe B B tal que x B A.

Demostracin Si B es base de T y A T entonces existe M B tal que A = BM B, por tanto six A existe B M tal que x B, tenemos que x B A y que B B. Recprocamente si para cadaA T y cada x A existe Bx B tal que x Bx A tenemos que A =

xA Bx y {Bx : x A} Bas pues B es base de T .

Ejemplo 1.3.4 1.- Si (X, d) es un espacio mtrico tenemos que B = {B(x, r) : x X, r > 0, r R} esbase de Td.

2.- Si (X,T ) es un espacio topolgico tenemos que B = T es base de T

3.- En el espacio topolgico discreto (X,TD) tenemos que B = {{x} : x X} es base de TD.



Nos podemos preguntar que si dados un conjunto X y cualquier subconjunto B de P (X) es posible queexista una topologa T en X tal que B sea base de T , esto no es cierto en general como ponemos ahorade manifiesto. Sean X = {x, y, z, t} y B = {{x, y}, {y, z, t}} si existe una topologa T en X tal que B esbase de T tendremos que {x, y} T y {y, z, t} T , por tanto {y} = {x, y} {y, z, t} T , pero esto esuna contradiccin ya que {y} no es unin de elementos de B.

En el prximo teorema daremos la condicin necesaria y suficiente para que B P (X) sea base de unatopologa T de X

Teorema 1.3.5 Sean X un conjunto y B P (X), entonces B es base de una topologa T en X si y slosi: 1.-

AB A = X 2.- Para cada A,B B y cada x A B existe C B tal que x C A B.

En esta situacin si B satisface 1. y 2. tendremos que la topologa T de X de la cual B es base es nica yes adems la menos fina de todas las topologas de X que contienen a B.

Demostracin Si T es una topologa en X de la cual B es base como X T tendr que verificarse queX =

AB A. Si A,B B y x A B, como A B T existe M B tal que A B =

CM C,as pues existe C M tal que x C y tenemos que C B y x C A B. Supongamos ahora queB P (X) verifica 1. y 2., definimos T (B) = {A X: existe M B con A = BM B}.

Vamos a demostrar que T (B) es una topologa en X. De 1. se deduce que X T (B) y como = A Ay B tenemos que T (B). Sea P T (B), para cada D P existe MD B tal que D =

AMD A,pero entonces M =

DP MD B y

DP D =

AM A y por tanto

DP D T (B).

Si C,D T (B) y C D = entonces C D T (B) y si C D 6= como C = AM A y D =

BN Bdonde M B y N B, tenemos que para cada x C D existen Ax M y Bx N tales quex Ax Bx C D, entonces por la condicin 2 de B existe Cx B tal que x Cx Ax Bx as puesC D = xCD Cx y por tanto C D T (B).

Ha quedado demostrado que T (B) es topologa en X y es claro que B es base de T (B). Si T es otratopologa en X tal que B T entonces para cada A T (B) existir M B tal que A = BM B ypor tanto A T as pues T (B) T . Si B fuese base tambin de T entonces para cada A T existirM B tal que A = BM B y por tanto A T (B) y deducimos que tiene que ser T (B) = T , por tantoT (B) es la nica topologa en X de la cual B es base.

Si X es un conjunto y B es un subconjunto de P (X) que verifica las condiciones 1 y 2 de este ltimoteorema diremos que B es base de topologa.

Definicin 1.3.6 Sea X un conjunto y sean B1 y B2 dos bases de topologa, diremos que B1 y B2 sonequivalentes si T (B1) = T (B2).

Teorema 1.3.7 Sea X un conjunto y sean B1 y B2 dos bases de topologa se verifica que: a) T (B1) T (B2) si y slo si para cada B1 B1 y cada x B1 existe B2 B2 tal que x B2 B1.

b) B1 y B2 son equivalentes si y slo si se verifican: 1.- Para cada B1 B1 y cada x B1 existe B2 B2tal que x B2 B1 2.- Para cada B2 B2 y cada x B2 existe B1 B1 tal que x B1 B2.



Demostracin a) Sea A T (B1) existe M B1 tal que A =

BM B, para cada B M y cada x Bexiste Bx B2 tal que x Bx B, por tanto B =

xB Bx y B T (B2) as pues tambin A T (B2).

b) es una sencilla consecuencia de a).

Definicin 1.3.8 Sean X un conjunto y d1, d2 dos distancias en X, se dice que d1 y d2 son topolgica-mente equivalentes si Td1 = Td2 . Se dice que d1 y d2 son equivalentes si existen dos nmeros reales > 0y > 0 tales que d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y) para cada x, y X.

Teorema 1.3.9 Sean X un conjunto y d1 y d2 dos distancias en X.

a) Td1 Td2 si y slo si para cada x X y cada r1 > 0, r1 R, existe r2 > 0, r2 R, tal queBd2(x, r2) Bd1(x, r1).

b) d1 y d2 son topolgicamente equivalentes si y slo si para cada x X y cada r1 > 0, r1 R, exister2 > 0, r2 R, tal que Bd2(x, r2) Bd1(x, r1), y tambin para cada x X y cada r2 > 0, r2 R, exister1 > 0, r1 R tal que Bd1(x, r1) Bd2(x, r2).

c) Si existe un nmero real p > 0 tal que d1(x, y) pd2(x, y) entonces Td1 Td2 .

d) Si d1 y d2 son equivalentes entonces son topolgicamente equivalentes.

e) El recproco de d) no es cierto en general.

Demostracin a) Sean B1 = {Bd1(x, r) : x X, r > 0, r R}, B2 = {Bd2(x, r) : x X, r > 0, r R}, tenemos que Td1 = T (B1) y Td2 = T (B2). Supongamos que Td1 Td2 y sean x X y r1 > 0, r1 R,entonces Bd1(x, r1) Td2 y por tanto existe Bd2(y, t) tal que x Bd2(y, t) Bd1(x, r1). Si r2 > 0 yr2 < t d2(y, x) tenemos que Bd2(x, r2) Bd2(y, t) Bd1(x, r). Recprocamente supongamos que paracada x X y cada r1 > 0, r1 R, existe r2 > 0, r2 R, tal que Bd2(x, r2) Bd1(x, r1), entoncessi Bd1(y, r) B1 y x Bd1(y, r), consideremos r1 > 0, r1 R tal que r1 < r d(y, x) tenemos queBd1(x, r1) Bd1(y, r) y existe r2 > 0 tal que x Bd2(x, r2) Bd1(x, r1) Bd1(y, r) y se verifica queBd2(x, r2) B2, por tanto T (B1) T (B2) as pues Td1 Td2 .

b) Es consecuencia inmediata de a).

c) Sea x X y r1 > 0, consideremos r2 =r1p

entonces si y Bd2(x, r2) tenemos que d1(x, y) pd2(x, y) < pr2 = r1 as pues y Bd1(x, r1) y deducimos que Bd2(x, r2) Bd1(x, r1).

d) Es consecuencia inmediata de c).

e) Consideremos el siguiente ejemplo: Sea (X, d) un espacio mtrico y sea d : X X R definida pord(x, y) = inf[1, d(x, y)] es fcil comprobar que d es una distancia en X. Sean x X y r > 0, r R.Consideremos Bd(x, r), sea r > 0, r R tal que r < inf{1, r} entonces Bd(x, r) Bd(x, r), en efectosi y Bd(x, r) no puede ser d(x, y) > 1 ya que entonces r > d(x, y) = 1, por tanto d(x, y) 1y ser d(x, y) = d(x, y) < r r as pues y Bd(x, r) y concluimos que Bd(x, r) Bd(x, r). Porotra parte si x X y r > 0, r R, consideremos r R, r < r, entonces Bd(x, r) Bd(x, r). Aspues podemos afirmar que d y d son topolgicamente equivalentes. Supongamos ahora que X = R y qued es la distancia usual, consideremos la distancia topolgicamente equivalente d (x, y) = inf{1, d(x, y)},



ciertamente tenemos que d(x, y) d(x, y), pero si d y d fuesen distancias equivalentes tendremos queexistir p R, p > 0 tal que d(x, y) pd(x, y) para cada x, y R, pero como d(x, y) 1 tendr quesuceder que para cada x, y R sea d(x, y) p pero esto es falso ya que d(p + 1, 0) = p + 1, as pues d yd son topolgicamente equivalentes pero no son equivalentes.

Nota 1.3.10 La equivalencia y la equivalencia topolgica de seudomtricas se define de igual forma queen el caso de mtricas. El teorema anterior es tambin vlido en el caso de seudomtricas.

Ejemplo 1.3.11 Sea X un conjunto, es sencillo demostrar que tanto la equivalencia topolgica como laequivalencia de mtricas son relaciones de equivalencia en el conjunto de todos las mtricas de X. Portanto si d1, d2 y d3 son tres mtricas en X y se verifica que d1 es equivalente a d2 y que d2 es equivalentea d3 entonces tambin es d1 equivalente a d3.

Consideremos ahora en Rn las mtricas: d(x, y) = mx{|xi yi| : i {1, . . . , n}}, d1(x, y) =n

i=1 |xiyi| y dp(x, y) = (

ni=1 |xi yi|p)

1p donde p (1,+), vamos a demostrar que estas tres mtricas son

equivalentes. Es evidente que d(x, y) d1(x, y) y que d1(x, y) =n

i=1 |xi yi| nmx{|xi yi| : i {1, . . . , n}} = nd(x, y). Adems d(x, y) = ([mx{|xiyi| : i {1, . . . n}}]p)

1p (ni=1 |xiyi|p)

1p =

dp(x, y). Finalmente [dp(x, y))]p =n

i=1 |xi yi|p nd(x, y)p.

Teorema 1.3.12 Sean (X,T ) un espacio topolgico, B P (X) una base de T y Z X. EntoncesBZ = {B Z : B B} es una base de la topologa TZ inducida por T en Z.

Demostracin Es claro que BZ TZ . Sea C TZ , entonces existe A T tal que C = A Z perocomo B es base de T existe M B tal que A = BM B pero entonces C = A Z =

BM (B Z) y{B Z : B M} BZ .

Definicin 1.3.13 Sea (X,T ) un espacio topolgico, se dice que S P (X) es una subbase de T si lafamilia de las intersecciones finitas de S : B(S) = {BM B : M S y M finito} es una base de T .

Ejemplo 1.3.14 Primero observemos que si S es subbase de una topologa T de X entonces S T .Consideremos ahora el espacio topolgico (R, Tu) donde Tu es la topologa usual de R. Entonces S ={(, x), (y,+) : x, y R} es una subbase de Tu ya que para cada intervalo abierto (a, b), a R, b R, a < b, tenemos que (a, b) = (, b) (a,+).

Teorema 1.3.15 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea S P (X) una subbase de T . Si Z Xentonces SZ = {B Z : B S} es una subbase de TZ .

Demostracin B(SZ) = {

BM (B Z) : M S y M finito} = {(

BM B) Z : M S y Mfinito} = {A Z : A B(S)} donde B(S) = {BM B : M S y M finito} es base de T , as puestenemos que B(SZ) es base de TZ .

Sea X un conjunto y sea S P (X). No es cierto en general, como ya sabemos, que exista una topologaT en X tal que S sea base de T , pero veremos a continuacin que s que es cierto que exista una topologaT en X tal que S sea subbase de T .



Teorema 1.3.16 Sea X un conjunto y sea S P (X) entonces existe una nica topologa en X, quedenotaremos por T (S), tal que S es subbase de T (S). Adems se verifica que T (S) es la menos fina detodas las topologas de X que contienen a S. A T (S) se le denomina topologa engendrada por S.

Demostracin Sea B(S) = {BM B : M S y M finito}, vamos a demostrar que B(S) verifica lascondiciones que le garantizan el ser base de una topologa. Aunque pueda resultar curioso observemos queX =

B B y S y es finito, as pues X B(S). Sean A1, A2 B(S) entonces existen M1,M2 Stales que M1 y M2 son finitos y A1 =

BM1 B,A2 =

BM2 B, entonces A1 A2 =

BM1M2 B yM1 M2 S es finito, por tanto A1 A2 B(S). Sea T (S) = T (B(S)) la nica topologa que tiene porbase a B(S), por construccin es inmediato que S es subbase de T (S). Si T es cualquier topologa quecontiene a S es claro que B(S) T y por tanto T (S) = T (B(S)) T .

Definicin 1.3.17 Sean (X,T ) un espacio topolgico y C una familia de subconjuntos de X. Se diceque C es una base de cerrados de (X,T ) si:1.- CC(T ) 2.- Para cada A C(T ) existe M C tal que A = CM C.

Nota 1.3.18 Sea (X,T ) un espacio topolgico. Las siguientes afirmaciones son de sencilla comprobacin.a) Si C es una familia de subconjuntos de X entonces C es base de cerrados si y slo si B = {X\C : C C}es base de abiertos.

b) Sea X un conjunto y C una familia de subconjuntos de X. Entonces existe una topologa T en X talque C es base de cerrados en (X,T ) si y slo si se verifica: 1.- CC C= 2.- Para cada {C1, C2} Cy cada x / C1 C2 existe C3 C tal que x / C3 y C1 C2 C3.

En esta situacin se verifica adems que T es la nica topologa en X para la cual C es base de cerrados ysi T es otra topologa en X tal que C C(T ) entonces T T .

c) Si Z X y C es base de cerrados en (X,T ) entonces {C Z : C C} es base de cerrados en (Z, TZ).

Ejemplo 1.3.19 a.- Si (X, d) es un espacio mtrico entonces {X\B(x, r) : x X, r R, r > 0} es basede cerrados en (X, d).

b.- En (R, Tu), C= {(, a] [b,+) : a R, b R, a < b} es base de cerrados, pero {[a, b] : a R, b R, a < b} no es base de cerrados.

Definicin 1.3.20 Sean (X,T ) un espacio topolgico y L una familia de subconjuntos de X. Se diceque L es una subbase de cerrados en (X,T ) si la familia de las uniones finitas de L : {CM C : M Ly M finito }, es una base de cerrados en (X,T ).

Observacin 1.3.21 Sea (X,T ) un espacio topolgico, las siguientes afirmaciones son fciles de probar.

a) Si L es una familia de subconjuntos de X, entonces L es subbase de cerrados en (X,T ) si y slo siS = {X\C : C L} es subbase de T .



b) Si L es una familia de subconjuntos de X entonces existe una nica topologa TL en X tal que L essubbase de cerrados en (X,TL), en esta situacin si T fuese otra topologa en X tal que L C(T ) severifica que TL T .

c) Si Z X y L es subbase de cerrados en (X,T ) entonces {C Z : C L} es subbase de cerrados en(Z, TZ).

Ejemplo 1.3.22 En (R, Tu) tenemos que L = {(, a], [b,+) : a, b R} es subbase de cerrados.

4 Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales)

Definicin 1.4.1 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sean x X y V X, se dice que V es entornode x si existe A T tal que x A V . Denotamos por Vx a la familia de todos los entornos dex : Vx = {V X : V es entorno de x}. A Vx se le llama sistema de entornos de x.

Ejemplo 1.4.2 a) Si (X, d) es un espacio mtrico entonces para cada x X es Vx = {V X: exister > 0, r R con B(x, r) V }.

b) Sea (X,Tt) donde Tt = {, X} es la topologa trivial en X entonces para cada x X es Vx = {X}.

c) Sea X con la topologa discreta TD entonces para cada x X es Vx = {A X : x A}

Teorema 1.4.3 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X, entonces A es abierto si y slo si paracada x A se verifica que A Vx.

Demostracin Si A es abierto y x A es claro que A Vx por otra parte si A X es tal que paracada x A se verifica que A Vx, tendremos que para cada x A existe un conjunto abierto Bx tal quex Bx A, as pues, como A =

xA Bx, tenemos que A es abierto.

Teorema 1.4.4 a) Sea (X,T ) un espacio topolgico y consideremos la aplicacin V : X P (P (X))definida por V (x) = Vx, para cada x X. Entonces se verifican las siguientes propiedades para cadax X: 1.- V (x) 6= 2.- Si A V (x) entonces x A. 3.- Si M X es tal que existe V V (x) conV M entonces M V (x). 4.- Si A,B V (x) entonces A B V (x) 5.- Para cada A V (x)existe B V (x) tal que para cada y B se verifica que A V (y).

b) Sea X un conjunto y V : X P (P (X)) una aplicacin que verifica las anteriores cinco propiedadesentonces existe una nica topologa TV en X tal que para cada x X es V (x) el sistema de entornos dex en (X,TV ).

Demostracin a) La demostracin de las cuatro primeras es sencilla veamos la quinta: sean x X yA V (x) entonces existe B abierto tal que x B A, pero para cada y B es evidente que A esentorno de y, y por tanto A V (y).

b) Definimos TV = {A X : para cada x A es A V (x)}, tenemos que TV y X TV . SeaM TV , veamos que

AM A TV , en efecto: si x

AM A entonces existe B M tal que x Bpero como B TV es B V (x) y por tanto tambin

AM A V (x) ya que

AM A B.


12 4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)

Sea A,B TV , tenemos que si x A B entonces A V (x) y B V (x) pero entonces A B V (x),deducimos por tanto que AB TV . Vamos ahora a demostrar que para cada x X es V (x) igual a Vxel sistema de entornos de x para TV .

Si x X y A es entorno de x para TV tenemos que existe B TV tal que x B A pero entonces serA V (x), as pues Vx V (x). Por otra parte si A V (x) consideremos B = {y X : A V (y)}, severifica que x B A y adems B TV ya que si y B es A V (y) y por 5.- existe C V (y) talque para cada z C es A V (z) y por tanto C B y como C V (y) tenemos por 3.- que B V (y),por tanto B TV y como x B A podemos afirmar que A Vx. As pues Vx = V (x) y V (x) es elsistema de entornos de x para la topologa TV . Finalmente si T es otra topologa en X tal que para cadax X es V (x) el sistema de entornos de x tendremos que si A T es A V (x) para cada x A, peroesto significa que A TV , recprocamente si A TV ser A V (x) para cada x A pero esto significaque A T , concluimos que necesariamente T = TV .

Nota 1.4.5 a) Sean (X,T ) un espacio topolgico y sea Z X es fcil probar que entonces para caday Z el sistema de entornos de y para la topologa TZ , inducida por T en Z, es {A Z : A Vy}.

b) Vamos a demostrar que bajo ciertas condiciones se puede afirmar que la unin de cerrados es un cerrado.Sea (X,T ) un espacio topolgico y L = {Fi}iI una familia de subconjuntos de X. Diremos que L eslocalmente finita si para cada x X existen U entorno de x y J I finito tales que U Fi = para cadai I J . Demostraremos ahora que si L = {Fi}iI es una familia localmente finita de cerrados entonces

iI Fi es cerrado. En efecto, sea x X (

iI Fi) =

iI(X Fi), sean U entorno de x y J I,finito, tales que U Fi = si i I J . Sea V = U (

iJ(X Fi)), tenemos que V (

iI Fi) = ,pero como J es finito es V un entorno de x.

Definicin 1.4.6 Sean (X,T ) un espacio topolgico y x X. Sea Vx el sistema de entornos de x. Sedice que bx Vx es base de entornos de x (o base local de x), si para cada A Vx existe B bx tal queB A.

Ejemplo 1.4.7 1.- Sea (X, d) un espacio mtrico. Para cada x X, bx = {B(x, 1n) : n N} es base deentornos de x y tambin bx = {B(x, 1n) : n N} es base de entornos de x.

2.- Sea el espacio topolgico discreto (X,TD), para cada x X es bx = {{x}} una base de entornos de x.

Nota 1.4.8 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea Z X entonces si y Z y by es base de entornosde y, es fcil probar que entonces {A Z : A by} es base de entornos de y en TZ , la topologa inducidapor T en Z.

Teorema 1.4.9 a) Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea b : X P (P (X)) una aplicacin tal quepara cada x X es b(x) una base de entornos de x, entonces se verifican las siguientes propiedades, paracada x X: 1.- b(x) 6= 2.- Si A b(x) entonces x A 3.- Si A,B b(x) existe C b(x) tal queC AB 4.- Para cada A b(x) existe B b(x) tal que para cada y B existe C b(y) con C A.

b)Si X es un conjunto y b : X P (P (X)) es una aplicacin tal que b verifica 1,2,3 y 4 de a) entoncesexiste una nica topologa Tb en X tal que para cada x X es b(x) una base de entornos de x.



Demostracin a) 1,2 y 3 son sencillas de probar, veamos 4. Sea A b(x) entonces existe G abierto talque x G A y por tanto existe B b(x) tal que x B G A. Si y B ser A entorno de y, portanto existe c b(y) con C A.

b) Por medio de la aplicacin b definimos la siguiente aplicacin:V : X P (P (X)) donde para cada x X es V (x) = {A X : existe B b(x) con B A}, es fcilcomprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 del teorema 1.4.4 y podemos considerar la topologaTV , la nica topologa en X tal que para cada x X es V (x) sistema de entornos de x. ConsideremosTb = TV . Si T es otra topologa en X tal que para cada x X es b(x) base de entornos de x en T , esclaro que tambin para cada x X ser V (x) sistema de entornos de x en T y por tanto T = TV .

Definicin 1.4.10 Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si x X se dice que bx Vx es una base deentornos abiertos de x si bx es una base de entornos de x tal que bx T .

Nota 1.4.11 Sea (X,T ) un espacio topolgico, si para cada x X es bx base de entornos abiertos dex es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x X: 1.- bx 6= . 2.- SiA bx entonces x A 3.- Si A,B bx entonces existe C bx tal que C A B. 4.- Si A bxpara cada y A existe B by tal que B A.

Adems si X es un conjunto y b : X P (P (X)) es una aplicacin que verifica 1,2,3 y 4 entoncesexiste una nica topologa Tb en X tal que para cada x X es bx base de entornos abiertos de x en Tb.Para probar esta afirmacin basta con que consideremos la aplicacin V : X P (P (X)) definida porV (x) = {A X : existe B b(x) con B A} y comprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 delteorema 1.4.4, entonces tomaremos Tb = TV .

Finalmente observemos que si (X,T ) es un espacio topolgico y Z X entonces si y Z y by es base deentornos abiertos de y en (X,T ) se verifica que {AZ : A by} es base de entornos abiertos de y en TZ ,la topologa inducida por T en Z.

Teorema 1.4.12 Sean (X,T ) un espacio topolgico y B P (X). Entonces B es una base de T si y slosi para cada x X es bx = {B B : x B} una base de entornos abiertos de x.

Demostracin Si B es una base de T y x X tenemos que para cada entorno V de x existe G T talque x G V y como B es base de T existe B B tal que x B G V y B bx. Si bx es base deentornos abiertos de x para cada x X tenemos que, si G T entonces para cada x G existe Ax bxtal que x Ax G y como B T deducimos que B es base de T .

Ejemplo 1.4.13 En (R, Tu) para cada x R es bx = {(x 1n , x + 1n)} : n N} una base de entornosabiertos de x.

Definicin 1.4.14 Sean (X,T ) un espacio topolgico, x X y Sx una familia de subconjuntos de X, sedice que Sx es subbase de entornos de x (o subbase local de x) en (X,T ) si la familia de las interseccionesfinitas de Sx : {

AM A : M bx,M finito } es una base de entornos de x.


14 4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)

Si Sx es subbase de entornos de x tal que Sx T se dice que Sx es subbase de entornos abiertos de x.

Nota 1.4.15 a) Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si para cada x X es Sx P (X) una subbasede entornos de x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x X.1.- Si A bx entonces x A. 2.- Para cada A Sx existe {A1, , An} Sx tal que paracada y A1 An existe {B1, , Bm} Sy con

mi=1 Bi A. Adems, si X es un conjunto y

S : X P (P (X)) es una aplicacin verificando 1 y 2 entonces existe una nica topologa TS en X talque para cada x X es S(x) una subbase de entornos de x en (X,TS).

b) Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si para cada x X es Sx P (X) una subbase de entornos abiertosde x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x X: 1.- Si A Sxentonces x A 2.- Para cada A Sx y cada y A existe {A1, An} Sy tal que A1 An A.Adems, si S : X P (P (X)) es una aplicacin verificando 1 y 2 entonces existe una nica topologa TSen X tal que para cada x X es S(x) una subbase de entornos abiertos de x en (X,TS).

c) Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si Z X entonces si y Z y Sy es subbase de entornos de y en(X,T ) se verifica que {A Z : A Sy} es subbase de entornos de y en TZ , la topologa inducida por Ten Z. Si y Z y Sy es subbase de entornos abiertos de y en (X,T ) se verifica que {A Z : A Sy} essubbase de entornos abiertos de y en TZ .

d) Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si S es una familia de subconjuntos de X se verifica que S es subbasede T si y slo si para cada x X tenemos que Sx = {A S : x A} es una subbase de entornos abiertosde x en (X,T ).

Ejemplo 1.4.16 En (R, Tu) tenemos que para cada x R es bx = {(, x + 1n ], [x 1n ,+) : n N}una subbase de entornos de x y bx = {(, x + 1n), (x 1n ,+) : n N} es una subbase de entornosabiertos de x.


CAPTULO 2

Puntos y subconjuntos especiales enun espacio topolgico

ndice del Tema

1 Principales clases de puntos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1 Principales clases de puntos y subconjuntos

Sea (X,T ) un espacio topolgico. Dado x X y A X es evidente que se verifica una y slo una de lastres siguientes alternativas.

1.- Existe V entorno de x tal que V A, en este caso se dice que x es un punto interior de A. Al conjuntode todos los puntos interiores de A se le denota por

A y tambin por Int(A) y se le denomina interior de

A.

2.- Existe V entorno de x tal que V X\A, en este caso se dice que x es un punto exterior de A. Alconjunto de todos los puntos exteriores de A se le denota por Ext(A) y se le denomina exterior de A.

3.- Para cada entorno V de x se verifica que V A 6= y V (X\A) 6= , en este caso se dice que xes un punto frontera de A. Al conjunto de todos los puntos frontera de A se le denota por Fr(A) y se ledenomina frontera de A. Si x Fr(A)A se dice que x es un punto borde de A. Al conjunto Fr(A)Ase le denota por B(A) y se le denomina borde de A o frontera interna de A. Al conjunto Fr(A) (X A)se le denota por CB(A) y se le denomina coborde de A o frontera externa de A.

Se dice que x es un punto adherente de A o tambin un punto clausura de A si para cada entorno V de xse verifica que V A 6= .

Al conjunto de los puntos adherentes de A se le denota por A o por cl(A) y se denomina adherencia de Ao clausura de A.

Si x A es claro que una y slo una de las siguientes alternativas es cierta: a) Para cada entorno V de x es

16 1. PRINCIPALES CLASES DE PUNTOS Y SUBCONJUNTOS

V (A{x}) 6= , se dice en este caso que x es un punto de acumulacin de A. Al conjunto de todos lospuntos de acumulacin de A se le denota por A o por Ad y se le denomina conjunto derivado de A. b)Existe algn entorno V de x tal que V A = {x} se dice en este caso que x es un punto aislado de A. Alconjunto de todos los puntos aislados de A se le denota por Aa. El siguiente teorema es una consecuenciaevidente de todo lo anterior.

Teorema 2.1.1 Sean (X,T ) un espacio topolgico y A X, entonces: 1. {Int(A), Ext(A), F r(A)} esuna particin de X. 2. Ext(A) = Int(X A). 3. Fr(A) = B(A) CB(A) y B(A) CB(A) = 4. Fr(A) = Fr(X A) = A (X A) 5. A = Ad Aa y Ad Aa = 6. x Aa si y slo si {x}es abierto en el espacio topolgico (A, TA) 7. A = Int(A) Fr(A) = A Fr(A) 8. A = A Ad.9.Int(A) = A Fr(A) = A Fr(A) 10. Fr(A) = A Int(A).

Ejemplo 2.1.2 1. En (R, Tu) si A = { 1n : n N} [2, 3) {0} entonces, Int(A) = (2, 3), F r(A) = { 1n :n N} {2, 3, 0}, Ext(A) = R (Int(A)Fr(A)), A = A {3}, Aa = { 1n : n N}, Ad = AAa =[2, 3] {0}, B(A) = { 1n : n N} {2, 0}, CB(A) = {3}

2. Consideremos el espacio topolgico discreto (X,TD). Si A X entonces: Int(A) = A, Ext(A) =X A, Fr(A) = , A = A, Aa = A y Ad = .

3. En (R, Tu). Si A R es finito entonces: Int(A) = , Ext(A) = R A, Fr(A) = A, A = A, Aa =A, Ad = , B(A) = A, CB(A) = .


CAPTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLGICO 17

Teorema 2.1.3 (propiedades elementales del interior).

Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X. Entonces:

1.- Int(A) = {G : G T y G A} por tanto Int(A) es un conjunto abierto y es el mayor conjuntoabierto contenido en A, esto es, si G es abierto y G A ser G Int(A). 2.- A es abierto si yslo si A = Int(A). 3.- Si B A se verifica que Int(B) Int(A). 4.- Si B A se verifica queIntX(B) = IntA(B)IntX(A) donde IntA(B) denota el interior de B respecto del subespacio topolgico(A, TA). 5.- A es abierto si y slo si para cada B A es IntA(B) = IntX(B).

Demostracin 1. Si x Int(A) entonces existe Gx T tal que x Gx A y es claro que si G T yG A entonces G Int(A) por tanto Int(A) xA Gx

{G : G T y G A} Int(A) as puestenemos la igualdad que tratbamos de probar.

2. Es consecuencia de 1.

3. Si x Int(B) existe G T tal que x G B A por tanto Int(B) Int(A).

4. Si x IntX(B) existe G, abierto en X, tal que x G B. Por tanto x G A B A = B yG A TA, as pues x IntA(B), pero como adems x G A tambin ser x IntX(A).

Por otra parte si x IntA(B) IntX(A) existirn G1 T y G2 T tales que x G1 A B yx G2 A, pero entonces x G1 G2 B y ser x IntX(B).

5. Si A es abierto y B A tenemos IntX(B) = IntA(B) IntX(A) = IntA(B) ya que IntX(A) = A.

Por otra parte tomando A = B deducimos que A = IntA(A) = IntX(A), por tanto A es abierto.

Teorema 2.1.4 (Propiedades caractersticas del interior)

a)Sea (X,T ) un espacio topolgico y consideremos la aplicacinI : P (X) P (X) definida para cada A P (X) por I(A) = Int(A). Se verifica: 1.- I(X) = X 2.- Paracada A P (X) es I(A) A 3.- I(AB) = I(A)I(B) para cada A,B P (X) 4.- I(I(A)) = I(A)para cada A P (X).

b) Sea X un conjunto e I : P (X) P (X) una aplicacin tal que verifica 1,2,3 y 4 de a), entonces existeuna nica topologa TI en X tal que para cada A P (X) es Int(A) = I(A).

Demostracin a) 1 y 2 son evidentes. Si A,B P (X) tenemos que Int(A) A, Int(B) B por tantoInt(A)Int(B) AB y como Int(A)Int(B) es abierto se verifica que Int(A)Int(B) Int(AB).Por otra parte como AB A y AB B, tenemos que Int(AB) Int(A) Int(B). Probaremosahora 4, si A P (X) tenemos que Int(A) es abierto por tanto Int(Int(A)) = Int(A).

b) Definimos TI = {A P (X) : I(A) = A} y demostraremos que TI es una topologa en X. Por 1.,tenemos que I(X) = X y por 2., que I() y por tanto I() = . Si {Ai}iJ es una familia deelementos de TI tenemos que I(

iJ Ai)

iJ Ai y para cada j J se verifica que Aj = I(Aj) =I[Aj (

iJ Ai)] = I(Aj) I(

iJ Ai) I(

iJ Ai) por tanto

jJ Aj I(

iJ Ai) y deducimos queI(

iJ Ai) =

iJ Ai y por tanto

iJ Ai TI .

Si A,B TI tenemos que I(A B) = I(A) I(B) = A B, as pues A B TI .



Sea A P (X) y consideremos el espacio topolgico (X,TI ), vamos a demostrar ahora que Int(A) = I(A).Como I(A) A e I(I(A)) = I(A) tenemos que I(A) TI y I(A) Int(A), por otra parte Int(A) TI ,por tanto Int(A) = I(Int(A)) = I(A Int(A)) = I(A) I(Int(A)) I(A).

Si T es otra topologa tal que IntT (A) = I(A) para cada A P (X) tenemos que: A T A =I(A) A T y por tanto T = T .

Ejemplo 2.1.5 a) Sea R con la topologa usual. Tenemos que Int(Q) = Int(R Q) = , Int([a, b]) =(a, b).

b)Sea R con la topologa de los complementos finitos, TCF = {A R : R A es finito } {}, entoncesInt((a, b)) = . Observemos que en este espacio topolgico se verifica que para cada A R o bienInt(A) = o bien Int(A) = A

c) Es sencillo demostrar que si (X,T ) es un espacio topolgico, A X y B X entonces Int(A) Int(B) Int(A B) pero la igualdad no es cierta en general. En efecto; en (R, Tu) sean A = [1, 2] yB = [2, 3], tenemos que A B = [1, 3] y Int(A B) = (1, 3), por otra parte Int(A) = (1, 2), Int(B) =(2, 3) y Int(A) Int(B) = (1, 3) {2}.

d) Si (X,T ) es un espacio topolgico y {A1, , An} es una familia finita de subconjuntos de X entoncesInt(A1 An) = Int(A1) Int(An), pero si {Ai}iJ es una familia no finita de subconjuntosde X slo podemos afirmar que Int(

iJ Ai)

iJ Int(Ai) pero la igualdad en general no es cierta. Enefecto, en (R, Tu) consideremos para cada n N el conjunto An = R { 1n}, tenemos que Int(An) = Any

nN Int(An) = R { 1n : n N} pero Int(

nN An) = R ({ 1n : n N} {0}).

Teorema 2.1.6 (Propiedades elementales de la clausura)

Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X, entonces: 1.- A = {C : C es cerrado y A C}, portanto A es un conjunto cerrado y es el menor conjunto cerrado que contiene a A, esto es, si F es cerradoy A F entonces A F . 2.- A es cerrado si y slo si A = A 3.- Si B A entonces B A 4.-Si B A entonces clA(B) = B A donde clA(B) denota la adherencia de B en el subespacio topolgico(A, TA) 5.- A es cerrado si y slo si clA(B) = B para cada B A 6.- A = X Int(X A) es decir,A = X Ext(A) 7.- Int(A) = X (X A) 8.- (X A) = X Int(A) 9.- Int(X A) = X A

Demostracin 1. Sea x {C : C es cerrado y A C} vamos a demostrar que x A. Si x / Aentonces existe V entorno de x tal que V A = , pero para V existe G abierto tal que x G V ycomo G A = ser A X G, pero X G es cerrado que contiene a A y x / X G lo que es unacontradiccin. Supongamos ahora que x A vamos a demostrar que para cada conjunto cerrado C tal queA C es x C. En efecto, si fuese x X C como V = X C es abierto tendremos que V es entornode x tal que V A = lo que no es posible ya que x A.

2. Es consecuencia evidente de 1).

3. Si x B entonces para cada entorno V de x es V B 6= y por tanto tambin es V A 6= as puesx A.

4. Consideremos B A y x clA(B) es claro que x A y si V es entorno de x en (X,T ) tenemos queV A es entorno de x en (A, TA) y por tanto V A B 6= , as pues x B A. Por otra parte si



x B A, consideremos un entorno U de x en (A, TA) entonces existe V entorno de x en (X,T ) tal queU = V A, es claro que V B 6= pero observemos que U B = V A B = V B 6= .

5. Si A es cerrado y B A es B A y por tanto clA(B) = B A = B. Por otra parte si para cadaB A es clA(B) = B A = B, tenemos que B A, pero entonces para B = A, deducimos que A Ay por tanto A = A lo que significa que A es cerrado..

6. Si A X entonces para cada x X es evidente que una de las dos siguientes afirmaciones es cierta:a) para cada entorno V de x se tiene que V A 6= es decir, x A b) existe V entorno de x tal queV A = , es decir, x Ext(A). Por tanto A y Ext(A) son disjuntos, X = AExt(A) y A = XExt(A)

7. Razonando como en 6) con X A tenemos que (X A) y Ext(X A) = Int(A) son disjuntos y suunin es X as pues Int(A) = X (X A).

8) y 9) son consecuencia de 6) y 7) cambiando A por X A.

Teorema 2.1.7 (Propiedades caractersticas de la clausura)

a) Sea (X,T ) un espacio topolgico y consideremos la aplicacinC : P (X) P (X) definida para cada A P (X) por C(A) = cl(A), se verifica: 1- C() = ; 2- para cadaA P (X) es A C(A), 3- C(A B) = C(A) C(B) para cada A,B P (X), 4- C(C(A)) = C(A)para cada A P (X).

b) Sea X un conjunto y C : P (X) P (X) una aplicacin tal que verifica 1, 2, 3 y 4 de a. Entonces existeuna nica topologa Tc en X que verifique que para cada A P (X) sea A = C(A)

Demostracin a) 1- y 2- son evidentes, 3- Si A,B P (X) entonces A A B y B A B portanto A B A B por otra parte como A B A B y A B es cerrado ser A B A B.Finalmente si A P (X) entonces C(A) es cerrado y por tanto C(C(A)) = C(A).

b) Definimos Tc = {A X : C(XA) = XA} vamos a demostrar que Tc es una topologa en X. X Tcya que C(X X) = C() = = X X, tambin tenemos que Tc ya que X = X C(X )por tanto C(X ) = X . Si A,B Tc tenemos que C(X (A B)) = C((X A) (X B)) =C(X A) C(X B) = (X A) (X B) = X (A B).

Si (Ai)iI es una familia de elementos de Tc tenemos para cada i I que X Ai = C(X Ai) =C((XAi)(

iI(XAi)) = C(XAi)C(

iI(XAi)) C(X

iI Ai) por tanto X

iI Ai =

iI(X Ai) C(X

iI Ai) X

iI Ai as pues C(X

iI Ai) = X

iI Ai y por tanto

iI Ai Tc.

Ahora demostraremos que para cada A P (X) se verifica que C(A) es cerrado en (X,Tc) o lo que eslo mismo X C(A) Tc en efecto C(X (X C(A))) = C(C(A)) = C(A) = X (X C(A)).Por otra parte si A es cerrado tenemos que C(A) = C(X (X A)) = X (X A) = A. SiA P (X) como A C(A) y C(A) es cerrado tenemos que A C(A), pero al ser A cerrado tenemos queA = C(A) = C(A A) = C(A) C(A) C(A), as pues C(A) = A para cada A P (X). Finalmente,supongamos que T es otra topologa en X tal que para cada A P (X) se verifica que cl(A) = C(A)tenemos que dado A P (X) se verifica que A es cerrado en (X,T ) si y slo si A = C(A) pero esto sucedesi y slo si A es cerrado en (X,Tc), pero entonces tiene que verificarse que T = Tc.



Ejemplo 2.1.8 1. En (R, Tu) se verifica (a, b) = [a, b], N = N.

2. En (R, TCF ) tenemos que (a, b) = R y N = R.

3. Si (X,T ) es un espacio topolgico y A,B P (X) es sencillo demostrar que A B A B pero laigualdad no se verifica en general. En efecto: en (R, Tu) sean A = (1, 2), B = (2, 3) entonces A B = y A B = {2}.

4. Si (X,T ) es un espacio topolgico y {A1, . . . , An} es una familia finita de subconjuntos de X severifica que A1 An = A1 An, pero si {Ai}iI es una familia infinita slo podemos afirmarque

iI Ai

iI Ai pero la igualdad no es cierta en general. En efecto, en (R, Tu) tenemos que

x(0,1) {x} = (0, 1) pero

x(0,1){x} = [0, 1].

Teorema 2.1.9 (Propiedades elementales de la frontera)

Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X entonces

1.- Fr(A) es cerrado. 2.- A = A Fr(A) 3.- Int(A) = A Fr(A) 4.- A es abierto si y slo siA Fr(A) = 5.- A es cerrado si y slo si Fr(A) A 6.- Fr(A) = si y slo si A es un clopen

Demostracin 1. Es evidente ya que Fr(A) = X [Int(A) Ext(A)] o bien porque Fr(A) =A (X A). La demostracin de las dems propiedades las dejamos como ejercicio.

Teorema 2.1.10 (Propiedades caractersticas de la frontera)

Sea (X,T ) un espacio topolgico se verifican las siguientes propiedades:

1.- Fr() = 2.- Fr(XA) = Fr(A) para cada A P (X) 3.- Para cada A P (X) es Fr(Fr(A)) Fr(A) 4.- Para cada A,B P (X) es A B Fr(A B) = A B [Fr(A) Fr(B)]

Demostracin 1. Fr() = X =

2. es evidente

3. Fr(Fr(A)) = Fr(A) (X Fr(A) Fr(A)

4. A B [Fr(A) Fr(B)] = A B [(A (X A)) (B (X B))] = [A B A (X A)] [A B B (X B)] = [A B (X A)] [A B (X B)] = A B [(X A) (X B)] =A B [(X A B)] = (A B) [(A B)] (X (A B)) = A B Fr(A B)

Nota 2.1.11 Si X es un conjunto y F : P (X) P (X) es una aplicacin que verifica las propiedades 1,2, 3 y 4 del teorema anterior entonces existe una nica topologa TF en X tal que para cada A P (X) esFr(A) = F (A); Omitimos la demostracin pero sugerimos que el primer paso para realizarla es considerarTF = {A X : A F (A) = } y probar que TF es una topologa en X.

Ejemplo 2.1.12 1. Consideremos un espacio topolgico discreto (X,TD) entonces para cada A Xtenemos que tanto A como X A son cerrados y por tanto Fr(A) =



2. En (R, Tu) tenemos que Fr(Q) = R y Fr(N) = N, F r((a, b)) = Fr([a, b])= {a, b}

3. En (R, Tu) sean A = (1, 4) B = (2, 3), tenemos que B A y que Fr(A), yFr(B) no tiene ningunarelacin ya que Fr(B) = {2, 3} y Fr(A) = {1, 4}

4. Es sencillo comprobar que Fr(Int(A)) Fr(A) y Fr(A) Fr(A). Hay ejemplos que ponen demanifiesto que el contenido puede ser incluso estricto. En efecto, en (R, Tu) consideremos A = Q tenemosque Fr(Int(A)) = Fr() = , F r(A) = R y Fr(A) = Fr(R) = . Observemos que tambin esFr(A) = R y Fr(Fr(A)) = , as pues en general no se verifica que Fr(A) este contenida en Fr(Fr(A)).

Teorema 2.1.13 (Propiedades elementales del derivado)

Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X entonces:

1.- A = A Ad 2.- A es cerrado si y slo si A Ad 3.- Si B A entonces Bd Ad

Demostracin Probaremos slo 2. Si A es cerrado como Ad A y A = A tenemos que Ad A. SiAd A como A = A Ad deducimos que A = A.

Teorema 2.1.14 (Propiedades caractersticas del derivado)

Sea (X,T ) un espacio topolgico entonces se verifican las siguientes propiedades:

1.- d = 2.- Para cada x X es x 6 {x}d 3.- (A B)d = Ad Bd para cada A,B P (X) 4.-Para cada A P (X) es (Ad)d A Ad

Demostracin 1 y 2 son elementales. 3. Como A A B y B A B tenemos que Ad (A B)dy Bd (A B)d y por tanto Ad Bd (A B)d. Por otra parte si x (A B)d y sucediese quex 6 Ad Bd existirn V1 y V2 entornos de x tales que V1 (A {x}) = y V2 (B {x}) = .Consideremos V = V1 V2 tenemos que V es entorno de x y V (A B {x}) = lo que contradiceque x (A B)d. 4. (Ad)d cl(Ad) cl(cl(A)) = cl(A) = A Ad.

Nota 2.1.15 a) Sea X un conjunto y d : P (X) P (X) una aplicacin que verifique las cuatropropiedades del teorema anterior entonces existe una nica topologa Td en X tal que para cada A Xsea Ad = d(A). Para realizar la demostracin sugerimos que se considere la aplicacin C : P (X) P (X)definida para A P (X) por C(A) = A d(A) y que se compruebe que C verifica las propiedades delteorema 2.1.7

b) A estas alturas ya hemos observado que existen diversos procedimientos para determinar en un conjuntoX una topologa. Recordemos algunos de los hasta ahora vistos.

1.- Por medio de la familia T de los conjuntos abiertos.

2.- Por medio de la familia C de los conjuntos cerrados.

3.- Por medio de una base B de abiertos.


22 2. DENSIDAD Y ESPACIOS DE BAIRE

4.- Por medio de una subbase S de abiertos.

5.- Determinando para cada x X el sistema Vx de los entornos de x.

6.- Determinando para cada x X una familia Sx que sea base de entornos de x.

7.- Determinando para cada x X una familia Sx que sea subbase de entornos de x.

8.- Determinando para cada A X el conjunto interior de A.

9.- Determinando para cada A X el conjunto clausura de A. La correspondiente aplicacin C :P (X) P (X) es conocida con el nombre de operador Kuratowski.

10.- Determinando para cada A X el conjunto frontera de A.

11.- Determinando para cada A X el conjunto derivado de A.

Creo que ciertamente estamos agotados pero considrese que todava no se han agotado las posibilidadesde determinar una topologa y que slo hemos considerado las ms importantes. Esperamos no volver atorturar al lector con otras nuevas posibilidades.

Definicin 2.1.16 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X. Se dice que x X es un punto dew-acumulacin de A en (X,T ) si para cada entorno V de x se verifica que V A es un conjunto infinito.Al conjunto de todos los puntos de w- acumulacin de A se le denota por Adw, es evidente que A

dw Ad y

que si Adw 6= entonces A es infinito.

Teorema 2.1.17 Sea (X,T ) un espacio topolgico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.-Paracada x X se verifica que {x} es cerrado. 2.- Para cada A X es Ad = Adw.

Demostracin Supongamos que para cada x X se verifica que {x} es cerrado y consideremos A Xy x Ad, si x / Adw entonces existe un entorno V de x tal que V A = {a1, . . . , an} pero por hiptesistenemos que B = {a1, . . . , an} {x} es cerrado y por tanto C = V (X B) es un entorno de x peroC (A {x}) = lo cual contradice que x Ad.

Supongamos ahora que para cada A X es Ad = Adw. Si x X ser {x}d = {x}dw = por tanto{x} = {x} y {x} es pues cerrado.

Ejemplo 2.1.18 Si (X, d) es un espacio mtrico entonces para cada A X es Adw = Ad.

2 Densidad y espacios de Baire

Definicin 2.2.1 Sea (X,T ) un espacio topolgico, se dice que A X es un conjunto denso en X siA = X.

Teorema 2.2.2 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X entonces A es denso en X si y slo sipara cada conjunto abierto y no vaco B se verifica que A B 6= .



Demostracin Supongamos que si A es denso en X y que B es abierto en X con B 6= . Consideremosx B como x A ser B A 6= . Recprocamente si para cada abierto B con B 6= es B A 6= entonces tenemos que si x X y V es cualquier entorno de x se verifica que V A 6= y por tanto x A,as pues deducimos que A = X.

Ejemplo 2.2.3 En (R, Tu) tenemos que tanto Q como R Q son densos en R.

Teorema 2.2.4 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X un conjunto denso en X, entonces paracada conjunto B abierto y no vaco se verifica que A B es denso en (B, TB).

Demostracin Todo conjunto abierto de (B, TB) es de la forma C B donde C es abierto de (X,T ), siC B es distinto del vaco entonces como C B es abierto en (X,T ) tenemos que (C B) (A B) =A (C B) 6= .

Definicin 2.2.5 Sea (X,T ) un espacio topolgico y sea A X. Se dice que:

1.- A es fronterizo si Int(A) = .

2.- A es denso en ninguna parte o diseminado o raro si A es fronterizo es decir Int(A) = .

3.- A es denso en si mismo si A Ad es decir A no tiene puntos aislados.

4.- A es perfecto si A es cerrado y denso en si mismo es decir si A = Ad.

5.- A es disperso si A no contiene subconjuntos densos en si mismo es decir si para cualquier B A conB 6= existe x B y un entorno V de x tal que V B = {x}.

6.- A es de primera categora si A =

nN An donde An es diseminado para cada n N.

7.- A es de segunda categora si A no es de primera categora.

Nota 2.2.6 Resumiremos en esta observacin solo parte de los resultados ms destacados que tienenrelacin con las definiciones anteriormente realizadas. Sea pues (X,T ) un espacio topolgico:

1.- Si A X, entonces A es diseminado si y slo si ExtA es denso.Demostracin: Si A es diseminado entonces ExtA = X A = X Int(A) = X. Si Ext(A) esdenso en X tenemos que Int(A) = X (X A) = X (Ext(A)) = .

2.- Es evidente que todo conjunto diseminado es fronterizo pero el recproco en general no es cierto. En(R, Tu) tenemos que Q es fronterizo pero no es diseminado. Adems Q =

qQ{q}, donde para cadaq Q es {q} diseminado, as pues Q es unin numerable de conjuntos diseminados y por tanto Q esde primera categora.

3.- A es fronterizo si y slo si X A es denso en X. En efecto: esto se deduce de que (X A) =X Int(A) y de que Int(A) = X (X A).



4.- Si A es fronterizo y B diseminado entonces A B es fronterizo.Demostracin: X B = (X A) B [(X A) B] = [X (A B)] y tomando de nuevoclausuras deducimos que [X (A B)] X B = X.Observemos que en (R, Tu) tanto Q como I = RQ son fronterizos pero su unin no es ni fronterizoni diseminado.

5.- Si A y B son diseminados entonces A B es diseminado. En efecto: A B = A B, pero A esfronterizo y B es diseminado por tanto A B es fronterizo y A B diseminado.

6.- Es evidente que para un conjunto cerrado los conceptos de fronterizo y diseminado son equivalentes.Supongamos que A es un conjunto abierto, demostraremos que entonces Fr(A) es fronterizo. Enefecto: Int(Fr(A)) = Int(A (X A)) = Int(A) Int(X A) = Int(A) Int[(X Int(A))] =Int(A) Int(X A) = Int(A) (X A) = .Si B es un conjunto cerrado entonces tambin es Fr(B) un conjunto fronterizo. En efecto: Int(Fr(B)) =Int(B (X B)) = Int(B) Int(X B) = (X (X B)) Int(X B) = .Observaremos que en (R, Tu) tenemos que Fr(Q) no es fronterizo ni, por tanto, tampoco diseminado.

7.- Si {Ai}iI es una familia de conjuntos densos en s mismo entonces

iI Ai es denso en si mismo. Enefecto. Supongamos que a iI Ai fuese un punto aislado de

iI Ai tenemos entonces que existeun entorno V de a tal que V (iI Ai) = {a}, sea j I tal que a Aj , entonces V Aj = {a}lo que contradice el que Aj sea denso en si mismo.

8.- Si A es denso en si mismo entonces A es perfecto. En efecto, tenemos que A A y por tantoAd Ad A entonces como A Ad y A = A Ad se verifica que A = Ad Ad A y serA = A

d.

9.- Si (X,T ) es un espacio topolgico entonces existen un cerrado perfecto P y un abierto disperso Dtales que P D = y P D = X.Demostracin: Sea L la unin de todos los subconjuntos de X que son denso en s mismo, tenemosque L es denso en si mismo y por tanto P = L es perfecto, consideremos D = X P tenemos queD es abierto pero tambin es disperso ya que no existe subconjunto de D que sea denso en si mismo.

Observemos que si P1 X es perfecto y D1 X es abierto disperso y se verifica que X = P1D1 yP1 D1 = entonces P = P1 y D = D1. En efecto: por construccin de P tenemos que P1 P , siP D1 6= como D1 es disperso existe x D1P y un entorno V de x tal que V (D1P ) = {x}pero como V D1 es entorno de x, tenemos que x ser un punto aislado de P lo que contradice queP sea perfecto. As pues se verifica que P1 P y P D1 = de donde se deduce que P = P1 yD = D1.

Teorema 2.2.7 Si (X,T ) es un espacio topolgico las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) Lainterseccin de una familia numerable de abiertos densos en X es un conjunto denso en X. b) Cadaabierto A distinto del vaco es de segunda categora. c) La unin de una familia numerable de cerradosfronterizos es un conjunto fronterizo. d) Si A X es de primera categora entonces X A es denso enX.

Demostracin a b Sea A un abierto en X y supongamos que A es de primera categora entoncesA =

nN Bn donde para cada n N es Bn diseminado, tenemos que A

nN Bn y X A



nN(X Bn), como para cada n N es X Bn denso en X, por hiptesis, tambin ser

nN(X Bn)denso en X y por tanto X A = X A = X y por tanto ser A = .

b c Sea {Bn}nN una familia numerable de cerrados fronterizos tenemos que A =

nN Bn es deprimera categora y es evidente que todo subconjunto de un conjunto de primera categora es tambin deprimera categora, por tanto A no contiene ningn conjunto abierto ya que, por hiptesis, estos son desegunda categora, por tanto Int(A) =

c d Supongamos que A = nN Bn donde Bn es diseminado para cada n N, entonces A

nN Bny por hiptesis ser = Int(A) = X (X A) y por tanto X A = X.

d a Sea {An}nN una familia numerable de conjuntos abiertos que son densos en X, tenemos queX nN An =

nN(X An) pero para cada n N es Int(X An) = X An = y por tanto X Anes un cerrado fronterizo para cada n N, as pues X nN An es de primera categora y por hiptesistenemos que X (X nN An) =

nN An es un conjunto denso en X.

Diremos que un espacio topolgico (X,T ) es de Baire si (X,T ) posee cualquiera de las anteriores propiedadesa, b, c y d. Estos espacios son de especial inters para el Anlisis Matemtico razn por la cual sern, msadelante, nuevamente estudiados.

Ejemplo 2.2.8 a) Sea X = C00 el conjunto de las sucesiones (an)nN de nmeros reales que son even-tualmente nulas, es decir, existe n0 N tal que para cada n n0, n N, es an = 0.

Si (an)nN, (bn)nN X definimos d((an)nN, (bn)nN) = sup{|an bn| : n N}, es fcil comprobarque d es una mtrica en X. Consideremos el espacio mtrico (X, d) y para cada m N se Fm ={(an)nN : (an)nN X y an = 0 si n > m,n N}. Demostraremos que Fm es cerrado; en efecto, si(bn)nN XFm tenemos que existe k > m, k N tal que bk 6= 0, sea r = |bk|2 entonces es fcil comprobarque B((bn)nN, r) XFm. Ahora demostraremos que Int(Fm) = , en efecto, si Int(Fm) 6= entonces

existe B((an)nN, t) Fm, consideremos la sucesin (bn)nN definida por bn =

an si n mt2 si n = m + 10 si n > n + 1

tenemos que (bn)nN B((an)nN, t) pero (bn)nN / Fm lo que es una manifiesta contradiccin, as puesInt(Fm) = . Finalmente observemos que

mN Fm = X y por tanto (X, d) no puede ser una espacio deBaire.

b) Sea (X,T ) un espacio topolgico y A X, consideremos (A, TA) entonces si B A es diseminado en(A, TA) se verifica que B es diseminado en (X,T ).

En efecto: si fuese IntX(B) 6= existir G abierto no vaco de X tal que G B, por tanto G B 6= y por tanto G A B A = clA(B) y como G A es un abierto no vaco de (A, TA) deducimos queIntA(clA(B)) 6= lo que contradice que B sea diseminado en (A, TA).

Si ahora fuese B A un conjunto de primera categora en (A, TA) tendremos que B =

nN Cn dondepara cada n N es Cn diseminado en (A, TA), por tanto tambin para cada n N ser Cn diseminado en(X,T ) y as pues B ser de primera categora en (X,T ).

Si A X es abierto y (X,T ) es de Baire entonces (A, TA) es de Baire. En efecto, si existe B A abiertono vaco en (A, TA) y B es de primera categora en (A, TA) tendremos que B ser de primera categoraen (X,T ) pero como A es abierto en X deducimos que B es abierto no vaci de X y B es de primeracategora en X lo que contradice que X sea Baire.



As pues, la propiedad Baire es una propiedad hereditaria a abiertos, pero finalmente observemos que lapropiedad Baire no es hereditaria. En efecto: ms adelante probaremos que (R, T ), donde T = Tu, es deBaire pero es claro que (Q, TQ) no es de Baire.


CAPTULO 3

Propiedades elementales denumerabilidad y separacin

ndice del Tema

1 Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Propiedades de separacin de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1 Propiedades de numerabilidad

Sea X un conjunto, consideremos un subconjunto A de X y una familia {Ai}iI de subconjuntos de X.Se dice que {Ai}iI es un recubrimiento de A si A

iI Ai. Si {Ai}iJ , J I, es una subfamiliade {Ai}iI que tambin es recubrimiento de A entonces diremos que {Ai}iJ es un subrecubrimiento delrecubrimiento {Ai}iI de A.

Si (X,T ) es un espacio topolgico por recubrimiento abierto de A X se entender un recubrimientocuyos elementos son conjuntos abiertos de (X,T ).

En algunas ocasiones dejaremos de emplear la notacin (X,T ), cuando no haya lugar a confusin posible,para designar a un espacio topolgico, por tanto si X es un conjunto y decimos que X es un espaciotopolgico entenderemos que el conjunto X est dotado de cierta topologa T , y si decimos que A essubespacio topolgico de X, entenderemos que A X y que A est dotado de la topologa relativa TA, latopologa inducida por T en A.

Estudiaremos y relacionaremos las propiedades que a continuacin se definen, en cada una de estas propiedadesse hace referencia al concepto de numerabilidad razn por la cual son conocidas con el nombre de propiedadesde numerabilidad.

Definicin 3.1.1 Sea X un espacio topolgico:

1.- Se dice que X verifica el primer axioma de numerabilidad (IAN) si para cada x X existe bx basenumerable de entornos de x.

28 1. PROPIEDADES DE NUMERABILIDAD

2.- Se dice que X cumple el segundo axioma de numerabilidad (IIAN) si existe una base numerable parala topologa de X.

3.- Se dice que X es de Lindelf si todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento numer-able.

4.- Se dice que X es separable si existe un conjunto numerable que sea denso en X.

Ejemplo 3.1.2 1. Todo espacio seudomtrico (X, d) es IAN. En efecto, para cada x X basta considerarbx = {B(x, 1n) : n N}.

2. El espacio topolgico discreto (X,TD) es IAN ya que para cada x X es bx = {{x}} base de entornosde x. (X,TD) es IIAN si y slo si X es numerable.

3. (Rn, Tu) es IIAN. En efecto consideremos B= {B(q, 1m) : q = (q1, . . . , qn) Qn y m,n N}. Es claro que B es numerable. Sea A abierto en Rn y a = (a1, . . . , an) A entoncesexiste r R, r > 0 tal que B(a, r) A. Sea m N tal que 1m < r2 y sea {q1, . . . , qn} Q tal que paracada i {1, . . . , n} sea ai < qi < ai + 1mn . Consideremos B(q, 1m) donde q = (q1, . . . , qn), tenemos quea B(q, 1m ) ya que [(a1 q1)2 + + (an qn)2]

12 |a1 q1|+ + |an qn| < 1m y si b B(q, 1m) es

d2(b, a) d2(b, q) + d2(q, a) < 1m + 1m < r as pues a B(q, 1m) B(a, r) A y podemos afirmar queB es base de (Rn, Tu).

4. (R, TCF ) no es IAN. En efecto, probaremos que si X es un conjunto no numerable entonces (X,TCF )no es IAN. Supongamos que x X y que bx = {An : n N} es una base numerable de entornos de x,tenemos que X An es finito para cada n N y por tanto existe y X tal que y /

nN(X An) yx 6= y, entonces A = X {y} es entorno de x y por tanto existir m N tal que x Am X {y} aspues y X Am lo que constituye una contradiccin.

5. R con la topologa TCN de los complementos numerables no es IAN.

Nota 3.1.3 a) Sea X un espacio topolgico y sea {Un : n N} una base numerable de entornos dex X. Consideremos para cada n N el conjunto Vn =

ni=1 Ui, entonces es sencillo comprobar que

{Vn : n N} es base de entornos de x y si i, j N, i < j entonces Vj Vi.

b) Sea X un espacio topolgico y sea {Un : n N} una base numerable de entornos de x X, para cadan N sea An abierto tal que x An Un, tenemos que {An : n N} es base numerable de entornosabiertos de x y si para cada n N es Bn =

ni=1 Ai tenemos que {Bn : n N} es base numerable de

entornos abiertos de x con la propiedad de que si i, j N y i < j entonces Bj Bi.

c) Si una familia de conjuntos es numerable entonces la correspondiente familia de las intersecciones finitases tambin numerable, por tanto podemos afirmar que si X es un espacio topolgico entonces:

i) X es IAN si y slo si para cada x X existe subbase numerable de entornos de x.

ii) X es IIAN si y slo si existe subbase numerable de abiertos.

Teorema 3.1.4 Si X es un espacio topolgico que es IIAN entonces X es IAN y separable. Adems,si A X entonces para cada recubrimiento abierto de A existe algn subrecubrimiento numerable y enparticular tenemos tambin que X es Lindelf.


CAPTULO 3. PROPIEDADES ELEMENTALES DE NUMERABILIDAD Y SEPARACIN 29

Demostracin Sea B base numerable de abiertos de X que podemos denotar por B= {An : n N}.Para cada x X tenemos que bx = {An : x An} es base numerable de entornos de x y por tanto X esIAN. Para cada n N tal que An 6= escogemos xn An y consideremos M = {xn : n N}. Si B es unconjunto abierto y no vaco tenemos que existe algn j N tal que Aj B y por tanto tambin xj By B M 6= . Finalmente, si A X y {Bi}iI es un recubrimiento abierto de A X. Consideremos,para cada n N, Ln = {Bi : i I y An Bi}, claramente no todos los Ln pueden ser vacos y siLn 6= , n N, escogemos en Ln un elemento que denotamos por B(n). Sea J = {i N : Li 6= },si x A iI Bi entonces existe i I tal que x Bi pero como B es base existe m N talque x Am Bi, as pues Lm 6= y m J , por tanto tenemos que x B(m), esto prueba queA mJ B(m).

Teorema 3.1.5 Si (X,T ) es un espacio topolgico que es IIAN y B es una base de T entonces existeB B tal que B es base numerable de T .

Demostracin Sea B0 base numerable de T que denotamos por B0= {An : n N}; para cada n Ntenemos que An =

{B : B A y B B} as pues {B : B An y B B} es un recubrimiento abiertode An y por tanto existe subrecubrimiento numerable que denotamos por {Bnm : m N}, por tanto paracada n N es An =

mN Bnm es evidente que B ={Bnm : n N,m N} B y que B es basenumerable de T .

Nota 3.1.6 Si P es una propiedad relativa a espacios topolgicos diremos que P es una propiedadhereditaria si para cada espacio topolgico (X,T ) que verifica P y cada A X tenemos que (A, TA)tambin verifica P , si esto sucede para cada A X que sea abierto se dice que P es una propiedadhereditaria para abiertos y si sucede para cada A X que sea cerrado se dice que P es una propiedadhereditaria para cerrados. Es sencillo comprobar que las propiedades IAN y IIAN son hereditarias, pero msadelante comprobaremos que no sucede lo mismo con la propiedad separable y la propiedad Lindelf.

Ejemplo 3.1.7 1. En R, consideremos B= {[a, b) : a R, b R, a < b} es sencillo comprobar que B esbase de una topologa que denotaremos por TS . El espacio topolgico (R, TS) es conocido con el nombrede la recta de Sorgenfrey.Se verifica que (R, TS) es IAN ya que dado x R tenemos que bx = {[x, q) : q Q, q > x} es base numerable de entornos de x, adems es evidente que Q es denso en R para la topologaTS , por tanto (R, TS) es tambin separable. Demostraremos ahora que (R, TS) es tambin de Lindelf. Enefecto: sea {Ai}iI un recubrimiento abierto de R, para cada x R existe ix I y x R, x > 0, talque x Ix = [x, x + x) Aix , tenemos que {Ix : x R} es un recubrimiento abierto de R. Para cadax R escogemos un racional en Ix que denotamos por qx, observemos que si a, b R y a < b entonces siIa Ib 6= se verifica que b Ia. Sea M = {y R : y / Ix {x} para cada x R} y consideremos laaplicacin : M Q definida por (y) = qy para cada y M , tenemos que es inyectiva y por tanto Mes numerable. Sea L = {y R : existe x R de modo que y Ix {x}} es claro que M L = R y en Rcon la topologa usual tenemos que {Ix{x} : x R} es un recubrimiento abierto de L, pero como (R, Tu)es IIAN sabemos que existir subrecubrimiento numerable de L que denotaremos por {Ixn {xn} : n N},entonces R = M L (xM Ix) [

nN(Ixn {xn})] (

xM Aix) (

nN Aixn ) R

Veamos ahora que (R, TS) no es IIAN. Si (R, TS) fuese IIAN existir B base numerable de TS tal queB B, denotamos B= {[xn, yn) : n N, xn, yn R, xn < yn} y sea x R tal que x / {xn : n N},tenemos que x [x, x+1) y [x, x+1) TS , as pues existe [xm, ym) B tal que x [xm, ym) [x, x+1)pero entonces tiene que ser x = xm lo cual es una contradiccin.


30 1. PROPIEDADES DE NUMERABILIDAD

2. Sea X un conjunto y TD la topologa discreta en X, es sencillo demostrar que (X,TD) es Lindelf si yslo si X es numerable y (X,TD) es separable si y slo si X es numerable.

3. Consideremos R, es sencillo comprobar que T = {A R : 0 / A} {R} es una topologa en R y esevidente que (R, T ) es un espacio topolgico Lindelf, pero si B = R {0} tenemos que (B, TB) no esLindelf ya que es fcil comprobar que TB es la topologa discreta en B y B no es numerable.

4. En R2 consideremos B= {[a, b) [c, d) : {a, b, c, d} R, a < b, c < d} no tiene dificultad el comprobarque B es base de una topologa en R2 que denotaremos por T . El espacio topolgico (R2, T ) es separable yaque Q Q = R2. Sea Y = {(y,y) : y R} tenemos para cada y R que ([y, y+1)[y,y+1))Y ={(y,y)} y por tanto {(y,y)} es un abierto en (Y, TY ), as pues TY es la topologa discreta en Y y comoY no es numerable tenemos que (Y, TY ) no es separable mientras que (R2, T ) si que lo es.

El ejemplo 3 y el ejemplo 4 sugieren la siguiente definicin.

Definicin 3.1.8 Sea (X,T ) un espacio topolgico.

a) Diremos que (X,T ) es hereditariamente Lindelf si para cada Y X se verifica que (Y, TY ) esLindelf.

b) Diremos que (X,T ) es hereditariamente separable si para cada Y X se verifica que (Y, TY ) esseparable.

Es evidente que si (X,T ) es hereditariamente Lindelf entonces es Lindelf y si (X,T ) es hereditariamenteseparable entonces es separable.

Teorema 3.1.9 Sea X un espacio topolgico. Si X es IIAN entonces X es hereditariamente Lindelf yhereditariamente separable.

Demostracin Es evidente si recordamos que el IIAN es una propiedad hereditaria y que IIAN implicaLindelf y separable.

Teorema 3.1.10 Sea (X,T ) un espacio topolgico. Si Y X entonces (Y, TY ) es Lindelf si y slo sicada recubrimiento abierto de Y con abierto de X tiene subrecubrimiento numerable.

Demostracin Si (Y, TY ) es Lindelf y {Ai}iI T es un recubrimiento de Y tenemos que (

iI Ai)Y = Y pero {Ai Y : i I} es un recubrimiento de Y con elementos de TY por lo que existe J Ital que J es numerable y

iJ(Ai Y ) = Y pero entonces

iJ Ai Y . Supongamos ahora que cadarecubrimiento abierto de Y tiene subrecubrimiento numerable, vamos a demostrar que (Y, TY ) es Lindelf,sea {Bi}iI una familia de elementos de TY tal que

iI Bi = Y , para cada i I existe Ai T tal queBi = Ai Y pero entonces

iI Ai Y y por hiptesis existe J I numerable tal que

iJ Ai Y yentonces tambin es

iJ(Ai Y ) =

iJ Bi = Y


CAPTULO 3. PROPIEDADES ELEMENTALES DE NUMERABILIDAD Y SEPARACIN 31

Teorema 3.1.11 Sea (X,T ) un espacio topolgico Lindelf. Si A X es cerrado entonces (A, TA) esLindelf

Demostracin Sea {Ai}iI un recubrimiento abierto de A, entonces {Ai}iI {X A} es un recubrim-iento abierto de X y, por hiptesis, existe J I numerable tal que {Ai}iJ {X A} es recubrimientode X, es claro que entonces {Ai}iJ es recubrimiento de A.

Teorema 3.1.12 Sea (X,T ) un espacio topolgico. Entonces (X,T ) es hereditariamente Lindelf si yslo si para cada abierto A se verifica que (A, TA) es Lindelf.

Demostracin Supongamos que para cada abierto A se verifica que (A, TA) es Lindelf vamos a demostrarque entonces (X,T ) es hereditariamente Lindelf. Sea B X y sea {Ai}iI T tal que

iI Ai B,consideremos A =

iI Ai tenemos que A T y por tanto (A, TA) es Lindelf, as pues existe J Inumerable tal que B A = iI Ai =

iJ Ai.

Teorema 3.1.13 Sea (X,T ) un espacio topolgico separable entonces para cada A X que sea abiertose verifica que (A, TA) es separable.

Demostracin Sea B X un conjunto numerable tal que B = X, sea A X un conjunto abierto,entonces para cada D A que sea abierto en (A, TA) tenemos que D es abierto en (X,T ) y por tantoDB = D (AB) 6= , esto prueba que BA es denso en (A, TA) y es claro que BA es numerable.

Teorema 3.1.14 Sea X un espacio seudometrizable entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:a) X es IIAN b) X es Lindelf c) X es separable.

Demostracin Sea d una seudomtrica en X que induce la topologa de X.

a b es consecuencia de que esta implicacin es cierta para cualquier espacio topolgico, como ya sedemostr antes.

b c Para cada n N tenemos que Ln = {B(x; 1n) : x X} es un recubrimiento abierto de X, por tantoexiste un subrecubrimiento numerable que denotamos por Kn = {B(xnm; 1n) : m N}, tenemos que paracada n N ser mN B(xnm; 1n) = X. Sea K = {xmn : m N, n N} tenemos que K es numerable,vamos a demostrar que K = X. En efecto: sea A X un conjunto abierto y no vaco, existe pues x Ay n N tal que B(x, 1n) A pero como

mN B(xnm,1n) = X existe m N tal que x B(xnm, 1n)

entonces xnm B(x, 1n) A as pues K A 6= , por tanto K = X.

c a Sea K = {xn : n N} un conjunto numerable y denso en X, consideremos B= {B(xn, 1m ) : n N,m N}, veamos que B es base de T . En efecto, sean A un conjunto abierto y x A, entonces existem N tal que B(x, 1m) A, sea xn B(x, 12m ) K, entonces x B(xn, 12m ) B(x, 1m) A.

Una sencilla consecuencia de este teorema es que la recta de Sorgenfrey no es seudometrizable.


32 2. PROPIEDADES DE SEPARACIN DE PUNTOS

2 Propiedades de separacin de puntos

Definicin 3.2.1 Se dice que un espacio topolgico X es T0 si para cada x, y X con x 6= y se verificaque o bien existe Ux entorno de x con y / Ux o bien existe Uy entorno de y con x / Uy.

Ejemplo 3.2.2 1.- Sea X un conjunto con al menos dos elementos a X, b X y consideremos T ={A X : {a, b} A}{} es sencillo comprobar que T es una topologa en X y que el espacio topolgico(X,T ) no es T0.

2.- Todo espacio metrizable es T0

3.- Si (X, d) es un espacio seudomtrico y existen x, y X tales que x 6= y y d(x, y) = 0 entonces (X, d)no es T0.

4.- Es evidente que si (X,T ) es T0 entonces para cada A X tenemos que (A, TA) es T0.

Teorema 3.2.3 Sea X un espacio topolgico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) X es T0b) Para cada x, y X con x 6= y se verifica que {x} 6= {y} c) Para cada x X es {x}d unin decerrados.

Demostracin a b Sean x, y X con x 6= y, podemos suponer que existe Ux entorno de x tal quey / Ux, por tanto / {y} pero como x {x} ser {x} 6= {y}

b c Probaremos que {x}d = y{x}d {y} para lo cual es suficiente probar que

y{x}d {y} {x}d.Tomemos y {x}d = {x} \ {x}, es claro que {y} {x}. Adems y 6= x, entonces por (b) se deduce quex / {y}. Por tanto {y} {x} \ {x} = {x}d.

c a Sean x, y X con x 6= y, tenemos las posibilidades y / {x}d o bien y {x}d. Si y / {x}d tambinser cierto que y / {x}, por tanto existir Vy entorno de y tal que x / Vy. En el caso de que y {x}dtenemos por hiptesis que {x}d = iI Ci donde {Ci}iI

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