ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

Volumen 6

Número 2 Julio-Diciembre 2012

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REVISTA DE

ADMINISTRACIÓN, FINANZAS Y ECONOMÍA

(Journal of Management, Finance and Economics)

Artículos

Ricardo Massa y Montserrat Reyna

Bootstrap de Volatilidades

Stephanie Rendón de la Torre

Estimación del coeficiente de Hurst con wavelets de índices accionarios de Turquía,

Indonesia, México y Corea del Sur

Arturo Lorenzo Valdés, Sara Barajas Cortés y Wulfrano Gómez Gallardo

Valuación financiera de proyectos de inversión en la industria hotelera

con opciones reales

Tatiana Giraldo Pardo

Análisis intersectorial de los líderes empresariales colombianos a través del concepto

de sustentabilidad

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Revista de Administración, Finanzas y Economía (Journal of Management, Finance and Economics)

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Volumen 6, Número 2, julio-diciembre 2012, publicación semestral EGADE Business School

Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P. 14380, México D.F. Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 1390 y 1392

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Artıculos

Pagina

Ricardo Massa y Montserrat ReynaBootstrap de Volatilidades

1

Stephanie Rendon de la TorreEstimacion del coeficiente de Hurst con wavelets de ındices accio-narios de Turquıa, Indonesia, Mexico y Corea del Sur

27

Arturo Lorenzo Valdes, Sara Barajas Cortes y Wulfrano GomezGallardoValuacion financiera de proyectos de inversion en la industria hote-lera con opciones reales

51

Tatiana Giraldo PardoAnalisis intersectorial de los lıderes empresariales colombianos atraves del concepto de sustentabilidad

63

Revista de Administracion, Finanzas y Economıa (Journal of Management, Finance and Econo-mics) vol. 6, num. 2 (2012), pp. 01-28.

Bootstrap de VolatilidadesRicardo Massa*

Montserrat Reyna**

Recibido 12 de Octubre de 2012. Aceptado 04 de Diciembre de 2012.

Resumen

Con la gran expansion que ha sufrido el mercado de derivados de tasa de interes enlas ultimas decadas se ha vuelto indispensable contar con herramientas de valuacionpara estos instrumentos. Es claro que para valuar estos derivados se debe conocer laestructura del subyacente, y sea cual sea el modelo de valuacion que se desee seguires crucial conocer la volatilidad de la tasa de interes. En el presente trabajo revisamoscon cuidado un algoritmo para obtener las volatilidades tipo forward para la TIIE 28 yrealizamos la valuacion de un Cap sobre esta mediante la formula de Black.

Abstract

With the great expansion that the derivatives-on-interest-rate market has suffered inthe last few decades, it has become crucial to have useful tools to value this type ofinstruments. It is clear that, in order to make a correct valuation of these instruments,the structure of the underlying asset must be known; hence, for any type of modelchosen to value an interest rate derivative, one must know the structure of its volatility.In this paper we review carefully an algorithm to obtain the forward volatilities of theTIIE 28 of the Mexican market, and use it to value a Cap applying Black’s formula.

Clasificacion JEL: G12Palabras Clave: derivados de tasa de interes, cap, floor, volatilidad.

Introduccion

Un producto Derivado de Tasas de Interes es un producto financiero cuyos pagos ypor tanto su precio dependen del nivel de una tasa de interes. Segun Venegas (2008),a partir de la decada de los 80‘s se ha observado un crecimiento importante en elmercado de los derivados de tasas de interes, por lo que contar con metodos para suvaluacion se ha vuelto indispensable.

Los derivados de tasas de interes mas comunes son los caps y los floors, estos sonopciones sobre tasas de interes, que protegen bien de una subida inesperada en la tasade interes o una caıda respectivamente.

*Departamento de Economıa y Finanzas, ITESM Campus Santa Fe. Tel. (55) 91778000 Ext. 7852 [email protected]**Candidata a doctora en Ciencias Financieras por el ITESM. Tel (55) 43841092,[email protected]

2 Revista de Administracion, Finanzas y Economıa

Ademas de los derivados de tasas de interes existen otros instrumentos interesantesque son hıbridos entre instrumentos de deuda y derivados, a saber, las notas estructu-radas Venegas (2007). Una nota estructurada es por ejemplo un portafolio consistentede un bono cuponado flotante y la opcion de recomprarlo en una fecha futura. La op-cion puede ser un cap, un floor, o un portafolio de ambos (llamado collar por obviasrazones).

De acuerdo a Longstaff et al. (2001) el crecimiento del mercado de swaps de tasasde interes durante las ultimas decadas ha llevado al crecimiento del mercado de capsde tasas de interes y de swaptions (ambos derivados de tasas de interes), ademas Vene-gas (2007) afirma que el mercado de notas estructuradas tambien a tenido un ampliocrecimiento desde la decada de los 90, esto hace que el contar con herramientas paravaluar derivados de tasa de interes sea de gran importancia.

Ho & Lee (1986) senalan que la valuacion de demandas contingentes sobre tasasde interes depende crucialmente tanto de su estructura intertemporal ası como de sucomportamiento estocastico.

Uno de los primeros intentos de resolver el problema de la valuacion de demandassobre tasas de interes es el de Pye (1966), quien asume que las tasas de interes semueven de acuerdo a una matriz de transicion de un proceso de Markov. De acuerdoa Ho & Lee (1986) las investigaciones mas recientes se han efocado en desarrollarmodelos de equilibrio.

Bali (2007) menciona que, tanto en los modelos de equilibrio de las tasas de interescomo en los modelos de arbitraje, se usan la tasa de interes y su volatilidad estimadacomo entradas para valuar las demandas contingentes sobre ellas. Es por eso que pro-pone que, para calcular la estructura de volatilidad de las tasas de interes, se utilice unadistribucion de valores extremos; su aplicacion la realiza al mercado de los Bonos delTesoro de los Estados Unidos.

Para calcular la estructura de volatilidad de las tasas de interes Bali (2007) proponeel uso de una distribucion de valores extremos y lo aplica al mercado de los Bonos delTesoro de los Estados Unidos.

De acuerdo a Hull & White (1990), en la practica comunmente se asume que latasa forward es lognormal y se sigue el modelo de Black (1976) para la valuacion. Sinembargo concuerdan mas con el uso de algun modelo de tasas de interes, por ejemploVasicek (1977) o Cox et al. (1985), e incluso proponen extensiones de estos.

Ya sea que se use un modelo de equilibrio o se suponga alguna distribucion paralas tasas de interes, es crucial conocer la estructura de volatilidades de esta.

El objetivo del presente trabajo es, a traves de la metodologıa de bootstraping devolatilidades, realizar el calculo de la estructura de volatilidades tipo forward y con ellarealizar la valuacion de un Cap de tasa de interes bajo la formula de Black (1976). Estametodologıa nos ayuda a encontrar la estructura de volatilidades tipo forward que lograque un Cap valuado con dichas volatilidades (cada una valua el caplet correspondiente)tenga el mismo precio; a diferencia de cuando se valua con una volatilidad unica.

Para la realizacion de este trabajo, se ha implementado un codigo en Visual Basicfor Applications y Microsoft Excel. Se han usado datos sobre Caps de la Tasa de InteresInterbancaria de Equilibrio del mercado mexicano (TIIE 28) y sus volatilidades en elperiodo de Diciembre 2006 a Diciembre 2016. Dichos datos fueron obtenidos a traves

Bootstrap de Volatilidades 3

del proveedor de precios: Valuacion Operativa y Referencias de Mercado S.A. de C.V.(VALMER)

En la Seccion 1 se presentan algunas definiciones necesarias para el entendimien-to del trabajo, en seguida se presentan algunos teoremas que sustentan el metodo deBootstraping de Volatilidades; siendo el Teorema del Punto Fijo de Brower1 el masdestacado. Reprodujimos la prueba de Milnor (1978), que hace uso del Teorema de laBola Peluda y del cual Jarvis & Tanton (2004) proponen una prueba que utiliza com-binatoria para realizarlo. Posteriormente, se revisan los Metodos de Newton-Raphsony del Punto Fijo para obtener raıces de funciones. En la Seccion 3, se presenta ladescripcion del Metodo de Bootstraping de Volatilidades, ademas de los resultados yconclusiones del ejercicio para la TIIE 28 del mercado mexicano.

1. Preliminares1.1 Definiciones Basicas

Asumimos que el lector esta familiarizado con las definiciones de conjunto, operacio-nes basicas entre conjuntos (union, interseccion), pertenencia a un conjunto, espaciovectorial, producto punto, Rn, funcion, funcion inversa, polıgono, sucesion2.

Sean A,B conjuntos tales que A \ B 6= ;, sea f : A ! B una funcion. Entoncesdecimos que x 2 A \B es un punto fijo de f si f(x) = x.

Sea A un conjunto y B ✓ A, entonces el complemento de B en A es el conjun-to ˆB = {c 2 A | c /2 B}, cuando es claro del contexto quien es el conjunto Asimplemente decimos que ˆB es el complemento de B.

Sea X un conjunto y sea ⌧ ✓ P(X) que cumple con lo siguiente:i) X 2 ⌧ , ; 2 ⌧ ;ii) Si A 2 ⌧ y B 2 ⌧ , entonces A \B 2 ⌧ ;iii) Si {Aj}j2J ✓ ⌧ , entonces

Sj2J Aj 2 ⌧ ;

entonces decimos que ⌧ es una topologıa sobre X y que (X, ⌧) es un espacio topologi-co. Ademas se dice que A 2 ⌧ es un conjunto abierto y C es un conjunto cerrado siˆC 2 ⌧ .

Sea (X, ⌧X) un espacio topologico, sea U 2 ⌧X un abierto de X , sea x 2 U ;entonces decimos que U es un abierto alrededor de x.

Sea X un conjunto, sea A ✓ X , entonces la topologıa inducida por A sobre X, ⌧Aes la topologıa mas pequena que contiene a A, es decir, si ⌧ es una topologıa sobre Xy A ✓ ⌧ , entonces ⌧A ✓ ⌧ .

Sea X un conjunto y sea d : X ⇥X ! R+ [ {0} una funcion que cumple que:i) d(x, y) � 0 para cada x, y 2 X ,ii) d(x, y) = d(y, x) para cada x, y 2 X ,iii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y;entonces decimos que d es una metrica y que (X, d) es un espacio metrico.

1Se dice que el 99% de los matematicos conoce su enunciado, pero solo el 1% es capaz de demostrarlo,ya que la demostracion requiere herramientas avanzadas de topologıa algebraica.

2Las definiciones que se presentan en esta seccion son muy conocidas, para una referencia el lector puedeconsultar Spivak (2003), Dugundji (1967), Courant & Fritz (2005) o Elliot (1982).


Sea X un conjunto, el diametro de X se define como

diam(X) = max{d(x, y) | x, y 2 X,x 6= y}.

La bola abierta de dimension n con centro en x y radio r, Bn(x, r), es el conjunto{y 2 Rn | d(x, y) < r}. Cuando la dimension n en la que se esta trabajando no sepreste a ambiguedad entonces simplemente se denotara a la bola abierta como B(x, r).

La topologıa usual de Rn es aquella generada por el conjunto A = {B(x, r)|x 2Rn, r 2 R}.

La bola cerrada de dimension n con centro en x y radio r, ¯Bn(x, r), es el conjunto{y 2 Rn | d(x, y) r}. Cuando la dimension n en la que se este trabajando nose preste a ambiguedad simplemente se denotara ¯B(x, r). El lector puede demostrarque en efecto la bola cerrada con centro en x y radio r es un conjunto cerrado bajo latopologıa usual de Rn.

La frontera de la bola cerrada (o de la bola abierta) de dimension n con centro enx y radio r es el conjunto @ ¯Bn(x, r) = {y 2 Rn | d(x, y) = r}.

Sean A, B conjuntos y sea f : a ! B una funcion. Sea C ✓ A, la imagen directade C bajo f es el conjunto f [C] = {y 2 B | 9c 2 C talque f(c) = y}. SeaD ✓ B, entonces la imagen inversa de D bajo f es el conjunto f�1

[D] = {a 2A | f(a) 2 D}.

Sean A, B conjuntos; sea f : A ! B una funcion. Decimos que f es inyectiva sipara cada a1, a2 2 A sucede que f(a1) = f(a2) si y solo si a1 = a2. Decimos que fes suprayectiva o sobre si para cada b 2 B existe a 2 A tal que f(a) = b. Decimosque f es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Sean (X, ⌧X), (Y, ⌧Y ) espacios topologicos. Sea f : X ! Y una funcion. Deci-mos que f es continua si para cada U 2 ⌧Y sucede que f�1

[U ] 2 ⌧X . Decimos que fes un homeomorfismo si f es biyectiva y tanto f como f�1 (la funcion inversa de f )son continuas.

El disco de dimension n, Dn es la imagen de un homeomorfismo de ¯Bn(x, r)en Rn, podemos pensar que Dn

= {x 2 R | ||x|| 1}. La frontera del disco dedimension n, @Dn, es la imagen homeomorfa de @ ¯Bn(x, r), entonces @Dn

= {x 2R | ||x|| = 1}.

La esfera de dimension n, Sn es la frontera de Dn+1, es decir un conjunto homeo-morfo a {y 2 Rn+1 | d(y, x) = r; x, r fijos}.

Sea P un polıgono. Una triangulacion de P es una descomposicion de P entriangulos T = {t1, . . . , tk} de forma quei) P =

Si2{1,...,k} ti;

ii) los vertices de cualquier ti son vertices de Piii) los triangulos o bien comparten un lado, o se tocan en un vertice o son disjuntos;ademas esta demostrado que cualquier polıgono admite una triangulacion y que si Ptiene k vertices, cualquier triangulacion T de P tendra k � 2 triangulos (notese que Pno necesariamente es convexo, puede tener puntos en el interior).

Sea (X, ⌧) un espacio topologico. Sea {Ui | i 2 I} ✓ ⌧ tal que X ✓S

i2I Ui,entonces decimos que {Ui}i2I es una cubierta abierta de X.

Sea (X, ⌧) un espacio topologico, decimos que X es compacto si para cada cu-bierta abierta {Ui}i2I de X existe una subcuebierta finita, es decir, existe k 2 N tal


que existen U1, . . . , Uk 2 {Ui}i2I tales que X ✓Sk

i=1 Ui. Si X es un espacio metri-co, entonces X es compacto si y solo si para cada sucesion {xi}i2I ✓ X existe unasubsucesion convergente, es decir, existe x⇤ y un conjunto de ındices K ✓ I tales que{xik}k2K ! x⇤.

El lector puede demostrar que la esfera Sn y el disco Dn son conjuntos compactos.Sea (X, ⌧) un espacio metrico, un Campo Vectorial es una funcion ~A : X ! Rn.

La representacion geometrica de los campos vectoriales se realiza mediante las lıneasvectoriales.

Sea ⌦ un conjunto y sea F ✓ P(⌦) (la potencia de ⌦) tal que:i) ⌦ 2 F ,ii)A 2 F ) ˆA = ⌦�A 2 F ,iii)An 2 F , n � 1 )

S1n=1 An 2 F ,

entonces decimos que F es una �-algebra sobre ⌦.Sea ⌦ un conjunto y F una �-algebra sobre ⌦ tal que 2 F . Sea P : F ! [0,1]

una funcion con las siguientes propiedadesi) P () = 0,ii) Sean A 2 F y An 2 F , n � 1 tales que Ai \ Aj =, i 6= j y A =

S1n=1 An,

entonces P (A) =

P1n=1 P (An),

iii)P (⌦) = 1;entonces decimos que P es una medida de probabilidad sobre ⌦.

Sea ⌦ un conjunto y F una �-algebra sobre ⌦, sea µ una funcion que cumple lospuntos i) y ii) de la definicion anterior, entonces decimos que µ es una medida sobre⌦. Ademas decimos que (⌦,F) es un espacio medible y que (⌦,F , µ) es un espaciode medida.

Sea⌦ un conjunto, F una �-algebra sobre⌦ y P una medida de probabilidad sobre⌦, entonces decimos que (⌦,F , P ) es un espacio de probabilidad.

Sean (⌦,F ]) y (S,⌃) espacios medible. Sea X : (⌦,F) ! (S,⌃) tal que paracada B 2 ⌃

X�1[B] 2 F ,

entonces decimos que X es una funcion F-medible.Sea (⌦,F , P ) un espacio de probabilidad y (S,⌃) un espacio medible. Sea X :

(⌦,F) ! (S,⌃) medible, entonces decimos que X es una variable aleatoria.Sea (⌦,F , P ) un espacio de probabilidad, y sea F = {Ft}t2T una familia de �-

algebras sobre ⌦ tales que para cada t 2 T Ft ✓ F y tales que siempre que s tentonces Fs ✓ Ft. Entonces decimos que F es una filtracion.

Sea (⌦,F , , P ) un espacio de probabilidad con una filtracion F, sean Xt, t 2 Tvariables aleatorias, a la familia {Xt}t2T se le llama proceso estocastico. Decimosque el proceso estocastico {Xt}t2T es adaptado si para cada t 2 T , Xt es Ft-medible.

Sea (⌦,F , , P ) un espacio de probabilidad con una filtracion F. Un Proceso deWiener o Movimiento Browniano es un proceso estocastico {Wt}t�0 que cumple quei) W0 = 0 con probabilidad 1,ii) Wt es continuo en t para cada t � 0,iii) {Wt}t�0 es adaptado a F,iv) Si 0 s < t, entonces el incremento Wt �Ws es independiente de F y normal-mente distribuido con media 0 y varianza t� s.


1.2 Teoremas

Empezaremos con el resultado de combinatoria que anunciamos al principio del capıtu-lo el Lema de Sperner, quien en 1928, presento un resultado simple pero poderososobre triangulos.

Lema 1. de Sperner

Si P es un polıgono con una triangulacion arbitraria T y etiquetamos los verticesde la frontera de P con ”A”, ”B” o ”C” de tal forma que todas las aristas ”A � B”

que aparecen tienen la misma orientacion, entonces cualquier intento de etiquetar losvertices interiores, de nuevo con ”A”, ”B” o ”C” necesariamente produce al menosn = |{ aristas exteriores inicialmente etiquetadas con ”A � B”}| subtriangulos eti-quetados ”A�B � C”.

Demostracion:Imaginemos que el polıgono triangulado es el piso de un palacio con cuartos truangu-lares, donde las aristas A�B (tanto exteriores como interiores) son puertas y todas lasdemas aristas son paredes. Entonces, por hipotesis, hay n puertas por las cuales puedesentrar al palacio desde el exterior.

Si uno entra al palacio desde el exterior y despues sigue el camino de cuartos ypuertas tan lejos como pueda llegar sucede que acaba o bien dentro del palacio, o fuerade el. Observemos que para salir del palacio debimos haber pasado por una puerta, quees una arista A�B, pero esto es imposible pues todas las puertas estaban etiquetadascon la misma orientacion A�B, de modo que nuestro camino debe terminar dentro depalacio. En el cuarto donde termina hay una puerta A � B, el tercer vertice no puedeestar etiquetado con A o B o habrıa podido salir de ahi, de modo que esta etiquetadocon C, ası que termine en un cuarto A�B � C.

Ahora observemos que no puedo entrar a un cuarto dos veces, pues ningun cuartotiene dos puertas A � B, ası que los n caminos que puedo tomar al principio debenterminar en n cuartos distintos, dichos cuartos son los n triangulos A � B � C quebuscabamos.

Q.E.D.

Si uno no orienta bien las puertas exteriores del palacio pordrıa acabar entrandopor una puerta A� B y despues saliendo por una de orientacion inversa B � A, peroen este caso todavıa acabarıamos adentro en tantos cuartos cuantas puertas A � Btengamos en exceso, ası podemos enunciar el siguiente resultado

Lema 2. Cualquier forma de etiquetar los vertices de un polıgono P triangulado conlas etiquetas ”A”, ”B” y ”C”, contiene al menos d tiriangulos etiquetados ”A�B�C”, donde d es la diferencia entre el numero de aristas exteriores etiquetadas ”A�B”

y el numero de aristas exteriores etiquetadas ”B �A”.

Ahora si estamos listos para demostrar el Teorema de la Bola Peluda. Este teoremadice que un campo vectorial continuo tangente a una esfera de dimension par se anulaen algun punto, es decir, una esfera de dimension par no admite un campo vectorialtangente que sea continuo y distinto de cero en todos los puntos; en otras palabras lo


Figura 1: Los caminos terminan dentro del palacio.

Figura 2: Fuente: Jarvis & Tanton (2004)

que el teorema dice es que si tenemos una bola de dimension par con pelos, siempreque intentemos peinarla de forma que los pelos sean tangentes a la bola y de forma queel angulo entre los pelos cambie continuamente (es decir que para cualquier angulo quedeseemos, siempre hay pelos muy cercanos con angulo entre ellos mas pequenos queel deseado), entonces siempre nos va a salir un remolino (Jarvis & Tanton (2004)).

Teorema 1. Bola Peluda

Sea n par, entonces Sn no admite ningun campo vectorial tangente continuo devectores no nulos.

Demostracion:Lo demostraremos solo para el caso n = 2. Supongamos que existe un campo vectorialtangente continuo a S2 de vectores no nulos. Usaremos este supuesto campo paraetiquetar la triangulacion de algun polıgono.

Primero escojamos algun punto N de la esfera como el polo norte. Como asumi-mos que el campo vectorial tangente es continuo entonces existe un abierto P de S2

alrededor de N dentro del cual todos los vectores apuntan en virtualmente la mismadireccion, es decir, dado " > 0 existe P abierto alrededor de N tal que si nos escoge-mos cualesquiera dos vectores tangentes dentro de P el angulo entre ellos es a lo mas". Sea " = 1

�.Ahora dibujemos cırculos sobre la esfera que sean tangentes en N y cubran toda

la esfera, todos con la misma direccion (nos quedara como el dibujo de un campomagnetico de un dipolo). Observemos que uno de estos cıculos parte la esfera en doshemisferios.

Sea p un punto en la esfera distinto de N , entonces p esta sobre uno y solo uno delos cırculos que acabamos de dibujar. Sea ✓(p) el angulo medido en grados en sentidocontrario a las manecillas del reloj que se forma entre el vector tangente en p (delcampo vectorial tangente a la esfera) y la direccion en la que pintamos el cırculo, es


Figura 3: Cırculos sobre la esfera.


decir, la direccion del vector tangente unitario al cırculo en p.Etiquetemos el punto p con ”A” si ✓(p) 2 [0

�, 120�), con ”B” si ✓(p) 2 [120

�, 240�)y con ”C” si ✓(p) 2 [240

�, 360�). Ası tenemos todos los puntos de la esfera etiqueta-dos con ”A”, ”B” o ”C”, excepto el polo norte.

Consideremos ahora la frontera @P del disco P . Observemos que el angulo ✓ re-corre dos vueltas completas cuando caminamos una vez sobre @P . Por continuidad esposible encontrar puntos pA, pB , pC sobre @P y todos sobre el mismo hemisferio yotra terna de puntos qA, qB , qC sobre @P en el hemisferio opuesto, que cumplen que✓(pA) = ✓(qA) = 60

�, ✓(pB) = ✓(qB) = 180

� y ✓(pC) = ✓(qC) = 300

�.De nuevo por continuidad y gracias a que " = 1

�, podemos estar seguros de quetodos los puntos en la frontera entre pB y pC tienen solo etiquetas ”B” o ”C”, todoslos puntos entre pC y qA tienen etiquetas ”C” y ”A” solamente y analogamente para elresto de los casos. Podemos darnos una idea de que es lo que pasa (que hemos descritohasta ahora) viendo la figura 3, en ella todos los pelos del disco alrededor de N apuntanescencialmente a la derecha, y podemos ver como se recorren todas las direcciones dosveces efectivamente.

Ahora triangulemos la region de la esfera que queda fuera del disco, es decirSn � P , hagamoslo de modo que pA, pB , pC , qA, qB , qC sean vertices de la trian-gulacion. Dado que un numero non de cambios de etiqueta deben ocurrir cuando reco-rremos @P de pA a pB , se deduce que debe haber un numero non de aristas etiquetadasA � B en este arco de @P . Entonces hay un exceso de una (al menos) arista exterioretiquetada A� B de una alguna orientacion. Ademas alguna de la misma orientacionocurre cuando se recorre @P de qA a qB . De modo que, por el Lema de Sperner, todatriangulacion de Sn � P tiene al menos dos triangulos etiquetados A�B � C.

Ahora tomemos cada vez triangulaciones mas finas de Sn � P , de modo que lan-esima triangulacion consista de triangulos de diametro no mas grande que 1/n. Paracada una de estas triangulaciones existen tres puntos x(n)

A , x(n)B y x

(n)C que representan


Figura 5: Los pelos apuntan a la derecha.


tres vertices de algun subtriangulo etiquetado A�B�C. Como la esfera es un conjuntocompacto,entonces existe una subsucesion de {x(n)

A } que converge a algun x⇤. Masaun, este punto se encuentra fuera del disco abierto P .

Observemos que el punto x⇤ es lımite de puntos en la esfera etiquetados todos con”A” y que son parte de triangulos totalmente etiquetados (es decir, A � B � C). Sesigue que x⇤ tambien es lımite de una sucesion de puntos etiquetados con ”B” y de unasucesion de puntos etiquetados con ”C” (a saber los otros vertices de los triangulostotalmente etiquetados mencionados anteriormente).

Ahora nos preguntamos: ¿que angulo forma el pelo que esta sobre p con la tangenteunitaria al cırculo que pasa por x⇤? Por continuidad el angulo debe estar simultanea-mente en los intervalos [0,120], [120,240] y [240,360], lo cual por supuesto no esposible.

Dado que nuestro razonamiento es logicamente correcto, la hipotesis primera esincorrecta, es decir, que no existe un campo vectorial tangente continuo que no seanule en ningun punto.

El teorema para n > 2 se demuestra de la misma forma pero utilizando el simplexcorrespondiente a la dimension en lugar de triangulos.

Q.E.D.

Ahora si estamos listos para probar el Teorema del Punto Fijo de Brouwer.

Teorema 2. Punto Fijo de Brouwer

Sea f una funcion continua del disco Dn sobre si mismo (f : Dn ! Dn), entoncesf tiene un punto fijo.


Demostracion:Supongamos que n es impar y que el teorema no es cierto, es decir, existe f : Dn !Dn tal qye f(x) 6= x para cada x 2 Dn. Entonces la formula v(x) = x � f(x)produce un campo vectorial que no se anula en ningun punto sobre Dn y que apuntahacia ”afuera” en la frontera, en el sentido de que u · v(u) > 0 para cada punto u enSn�1.

Definamos el siguiente campo vectorial w sobre Dn, que no se anula en ningunpunto y apunta exactamente hacia afuera sobre la frontera, es decir w(u) = u paracada u 2 Sn�1:

w(x) = x� y(1� x · x)/(1� x · y),

donde y = f(x) 6= x. Claramente cuando x · x = 1 entonces w(x) = x, que es loque querıamos. Ademas w es continua en x pues el denominador nunca se anula. Six y y son linealmente independientes, entonces w(x) 6= 0; si x y y son linealmentedependientes se cumple la identidad (x ·x)y = (x ·y)x (pues existe ↵ tal que ↵x = y),y esto implica que

w(x) = x� y(1� x · x)/(1� x · y)= (x� y)/(1� x · y)6= 0.

Ahora transplantemos el campo vectorial w(x) al hemisferio sur de la esfera Sn enRn. Identifiquemos Rn con el hiperplano {x 2 Rn+1 | xn+1 = 0}, que pasa por elecuador de Sn. Usemos la proyeccion estereografica desde el polo norte (0 . . . , 0, 1)para mapear cada punto x de Dn a un punto s(x) = u en el hemisferio sur de la esfera,un+1 < 0, esto es

s(x) =(2x1, . . . , 2xn, x · x� 1)

(x · x+ 1)

.

Aplicando la derivada de la funcion s en el punto x al vector w(x), obtenemos elvector W (u) tangente a Sn en el punto s(x) = u. De esta forma obtenemos un campovectorial tangente en el hemisferio sur de la esfera que no se anula en ningun punto.

En cada punto del ecuador u = s(u), dado que w(u) = u apunta ”hacia afuera”, elvector W (u) = (0, . . . , 0, 1) correspondiente apunta hacia el norte, es decir, lejos delhemisferio sur.

Analogamente, usando la proyeccion estereografica desde el polo sur, el campovectorial w(x) corresponde a un campo vectorial tangente al hemisferio norte quetambien apunta hacia el norte en el ecuador. Si pegamos estos dos campos nos quedaun campo vectorial W tangente a la esfera, continuo y que no se anula en ningun punto.

Pero esto contradice el Teorema de la Bola Peluda, por lo tanto la funcion f tieneun punto fijo.

Sea n impar.Supongamos que existe una funcion f : Dn ! Dn continua que no tiene un punto

fijo. Definamos una funcion F : Dn+1 ! Dn+1 como

F (x1, . . . , xn+1) = (f(x1, . . . , xn), 0).


Dado que f no tiene puntos fijos, F tampoco los tiene, contradiciendo el resultadoanterior.

Ası, para cada n 2 Rn y cada funcion f : Dn ! Dn continua, f tiene un puntofijo.

Q.E.D.

Hay muchas cosas que se pueden concluir como corolarios, entre otras cosas elTeorema del Punto Fijo de Brouwer nos asegura que por mas que movamos nuestrocafe siempre hay un punto del cafe que no cambia de posicion (Milnor (1978)). Tam-bien uno se puede parar en su oficina por ejemplo y tirar al piso un plano de la ciudaddonde trabaja, el Teorema del Punto Fijo de Brouwer nos asegura que hay un puntoque cayo exactamente sobre si mismo (suponga que trabaja en la planta baja).

Teorema 3. Valor Medio Unidimensional

Sea f : R ! R continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo (a, b).Entonces existe c 2 (a, b) tal que

f(b)� f(a) = f 0(c)(b� a).

Demostracion:Consideremos la siguiente funcion

g(x) = f 0(x)� x� f(b)� f(a)

(b� a)

como f es continua y b 6= a, entonces g es continua y por el Teorema del Punto fijo deBrouwer existe c 2 [a, b] tal que

g(c) = c,

entonces

c = f 0(c)� c� f(b)� f(a)

(b� a),

de modo que

f 0(c) =

f(b)� f(a)

(b� a).

Q.E.D.

Teorema 4. Valor Medio

Sea A ✓ Rn abierto convexo. Sea f : A ! R diferenciable en A, luego

f(b)� f(a) = Df(c)(b� a).

Donde c = a+ ↵(b� a) con 1 ↵ 1, y Df es el jacobiano de la funcion f .


1.3 Metodo de Newton-Raphson

Este es un metodo numerico iterativo que nos ayuda a encontrar las raices de unafuncion f real valuada. Es uno de los metodos mas usados y es muy efectivo (Brandi-marte (2002)), sin embargo existen casos donde el metodo no converge, revisaremoscon cuidado las condiciones necesarias para que lo haga.

Empecemos con la siguiente definicion. Sea A un conjunto y f : A ! R unafuncion, decimos que a 2 A es raız de f si f(a) = 0. Observemos que si A = R ya 2 R es una raız de f , entonces la grafica de f corta el eje horizontal en el punto(a, 0), e inversamente, si la grafica de f corta al eje horizontal en un punto (c, 0) esporque c es raız de la funcion f . Este es el razonamiento que seguiremos en el metodode Newton-Raphson, buscaremos aquellos puntos donde la grafica de f corta al ejehorizontal.

Sea f : [a, b] ! R derivable.Escojamos x0 2 [a, b] un valor inicial.La tangente a la grafica de f en (x0, f(x0)) corta al eje horizontal en el punto

(x1, 0), donde x1 esta definido por

x1 = x0 �f(x0)

f 0(x0)

.

Primero obtengamos la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto(x0, f(x0)) mediante la ecuacion punto-pendiente de la recta, puesto que la derivadade f , f 0, es la pendiente de la recta tangente a la grafica en el punto dado. Entoncestenemos que la ecuacion de la recta es

l : y � f(x0) = f 0(x0)(x� x0),

ahora debemos intersectar la recta l con el eje horizontal y = 0 para obtener el puntode interseccion (x1, 0)

0� f(x0) = f 0(x0)(x1 � x0),

de modo que

x1 = x0 �f(x0)

f 0(x0)

,

que es lo que querıamos.Este punto de interseccion se puede considerar como una primera aproximacion

al punto en que la grafica de f corta al eje horizontal. Si repetimos ahora el proceso,considerando que tenemos definida una xn, definimos xn+1 de la siguiente forma:

xn+1 = xn � f(xn)

f 0(xn)

, (1)

observemos que es necesario pedir que f 0(xn) 6= 0, en otro caso no podemos definir

xn+1.Ası podemos construir una sucesion de puntos {xn}n2N y se espera que la sucesion

converja eventualmente.


Figura 7: El metodo converge.

Para terminos practicos uno continua las iteraciones hasta que la distancia |xn �xn+1| es suficientemente pequena, digamos menor que un valor de tolerancia " pre-viamente determinado, ie

|xn � xn+1| < ".

Cuando se trata de hacer aplicaciones numericas no siempre se cuenta con una fun-cion f que sea facilmente derivable analıticamente, en este caso tambien se aproximala derivada de f de la siguiente forma.

Recordemos que

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h,

entonces podemos aproximar f 0(xn) como

f 0(xn) ⇡

f(xn + h)� f(xn)

h,

para algun h suficientemente pequeno que debe ser determinado de antemano (digamosh = 1/10000).

Es claro que el Metodo de Newton-Raphson tiene algunos problemas, para empe-zar la derivada de f(x), f 0

(x), debe ser distinta de cero en el intervalo [a, b], de otraforma la ecuacion (2.1) no tiene sentido.

Ademas notemos que si f tiene una raız c y esta es un repulsor de la funcion (esdecir, para cada " > 0 y cada x tal que |x � c| < " existe k 2 N tal que |fk

(x) �fk

(c)| = |fk(x)� c| > ", donde fk

(x) es la funcion aplicada a x k veces, es decir elk-esimo elemento de la orbita de x bajo f ), entonces no importa que punto escojamoscomo punto inicial, el metodo no puede converger.


Los siguientes resultados nos proporcionan una condicion suficiente para que elmetodo converja.

Lema 3. Sea f : R ! R una funcion derivable tal que f 00 > 0 y sea x0 2 R tal quef(x0) > 0. Si definimos xn conforme el metodo de Newton-Raphson, entonces existec 2 R tal que x0 � x1 � · · · � c.

Lema 4. Sea m = ınf{f 0(x) | x 2 [c, x1]} y sea M = sup{|f 00

(x)| | x 2 [c, x1]}.Si x0 � c < m/M entonces el metodo de Newton-Raphson resulta eficaz.

El siguiente resultado es inmediato del hecho de que Rn es compacto y por lotanto toda sucesion de Cauchy converge. Se dice que una sucesion {xn}n2N es deCauchy si para cada " > 0 existen n0 2 N tal que para cada n,m > N0 sucede que|xn � xm| < ".

Lema 5. Sea f : R ! R una funcion tal que para cada x, y 2 R sucede que |f(x)�f(y)| < |x� y|, entonces el metodo de Newton-Raphson es eficaz.

A contunuacion se encuentra el pseudocodigo para el metodo de Newton-Raphson.

Funcion derivadaEntradas:funcion fCalculos:calcula la funcion derivada de f , f 0 con la aproximacion sugerida anterior-

mente o analıticamenteNewton-Raphson

Entradas:funcion fx0

Calculos:tolerancia=0.000001diferencia=100000000mientras |diferencia| >tolerancia, entoncesx = x0

diferencia= �xx0 = x0 � f(x)/funcion derivada(f)diferencia=diferencia+xSalidas:x

1.4 Metodo del Punto Fijo

El metodo del Punto fijo es un metodo iterativo que resuelve el problema de, dada unafuncion f : R ! R, encontrar un punto x 2 R tal que f(x) = x.

Al igual que el metodo de Newton-Raphson, el metodo del punto fijo puede usarsepara encontrar raices de una funcion f , pues si y 2 R es una raız de f , f(y) = 0


entonces y es un punto fijo de la funcion g : R ! R dada por g(x) = f(x) + x(veamos, g(y) = f(y) + y = y).

Supongamos entonces que tenemos una funcion f : R ! R y queremos encontrarun punto fijo de esta. Primero se fija una tolerancia " deseada (digamos " = 0.000001)y se elige un valor inicial x0. Luego aplicamos la funcion f a x0 y calculamos ladiferencia |x0 � f(x0)|, si esta es menor que la tolerancia " entonces podemos decirque x0 es un punto fijo de la funcion f .

En caso contrario definimos x1 = f(x0) y repetimos el procedimiento, es decircalculamos la diferencia |x1 � f(x1)|.

De esta forma, para cada n 2 N podemos construir una xn = fn(x0), y ası tene-

mos una sucesion {|xn � f(xn)|}n2N que esperamos converja a cero cuando n tiendea infinito.

Al igual que el metodo de Newton-Raphson, el metodo del punto fijo puede fa-llar, sin embargo el siguiente resultado nos asegura la convergencia de la sucesion dediferencias.

Lema 6. Sea g : [a, b] ! R una funcion continua y diferenciable en [a, b], entonces elMetodo del Punto Fijo es eficaz si y solo si |g0(x)| < 1 para cada x 2 [a, b].

Demostracion:Supongamos que xf 2 [a, b] es un punto fijo de g, esto es g(xf ) = xf .

Supongamos que el metodo del punto fijo es eficaz, supongamos que empezamosen un punto x0 6= xf . Entonces dada la iteracion xi la siguiente se calcula comoxi+1 = g(xi). Ası, tenemos que

xf � xi+1 = g(xf )� g(xi).

Por el Teorema del Valor Medio existe un punto ⇠ 2 (xi, xf ) tal que

g0(⇠) =g(xf )� g(xi)

(xf � xi),

se sigue queg(xf )� g(xi) = g0(⇠) · (xf � xi),

es decirxf � xi+1 = g0(⇠) · (xf � xi).

Tomando valor absoluto de ambos lados de la igualdad, se tiene que

|xf � xi+1| = |g0(⇠)| · |xf � xi|.

Observemos que el termino |xf � xi+1| es precisamente el error absoluto en la(i + 1)-esima iteracion, y el termino |xf � xi| es el error en la i-esima iteracion. Porlo tanto, solamente si |g0(⇠)| < 1 se disminuira el error en la siguiente iteracion.

Si |g0(⇠)| = 1 el error no se podra disminuir, sera constante. Si |g0(⇠)| > 1 el errorira en aumento.

Q.E.D


A continuacion se presenta el pseudocodigo para el metodo del punto fijo.

Punto FijoEntradas:funcion fx0

Calculos:tolerancia=0.000001diferencia=100000000mientras |diferencia| >tolerancia, entoncesx = x0

diferencia= �xx = f(x)diferencia=diferencia+xSalidas:x

2. Derivados de Tasas de Interes

Un derivado de tasa de interes es un instrumento financiero cuyo pago y precio depen-den del nivel de una tasa de interes.

2.1 Caps y Floors

Supongamos que un agente quiere comprar un bono cuponado flotante a base de unatasa de mercado f , desea ademas comprar un contrato de opcion europea para cubrirsecontra perdidas cuando la tasa forward del mercado f exceda una cota superior fK .El instrumento que el agente esta buscando para cubrir sus perdidas se llama InterestRate Cap o simplemente Cap, y el lımite fK se conoce como Tasa Cap.

Sea B un bono cuponado flotante con una vida de T y nominal de N , supongamosque los cupones se fijan en las fechas t0, . . . , tk�1 a una tasa f1, . . . , fk respectiva-mente, y que se pagan en t1, . . . , tk. Ahora sea C un cap (tambien con una vida de T ynominal de N ) para cubrir el riesgo de que la tasa del bono B suba mas alla de la tasacap fK . Notemos que para cada i 2 {1, . . . , k} tenemos la opcion de ejercer el cap, esdecir que para cada tiempo ti la tasa fi de mercado esta por arriba o por abajo de fKy podemos escoger alguna. Ası, un Cap en realidad es un portafolio de opciones, cadauna de ellas llamada Caplet. La funcion de pago de cada caplet esta dada por

Caplet i = N · (ti � ti�1) ·max(fi � fK , 0). (2)

Supongamos que ahora el agente quiere cubrir el caso en que las tasas bajen dema-siado, lo que necesita entonces en un instrumento llamado Floor, que es un portafoliode opciones cada una de las cuales se denomina floorlet, en cada punto i del tiempo, elfloorleti nos da la opcion de escoger entre la tasa de mercado f y la Tasa Floor fK .


Veamos con mas detalle.Sea B un bono cuponado flotante con una vida de T y nominal de N , supongamos

que los cupones se fijan en las fechas t0, . . . , tk�1 a una tasa f1, . . . , fk respectivamen-te, y que se pagan en t1, . . . , tk. Ahora sea F un floor con una vida de T y nominal deN , para cubrir el riesgo de que la tasa del bono B caiga mas alla de la tasa floor fK .La funcion de pago de cada floorlet esta dada por

Floorlet i = N · (ti � ti�1) ·max(fK � fi, 0). (3)

Para la valuacion de Caps y Floors se usa el modelo de Black (1976) para valuaropciones sobre tasas forward para cada caplet y floorlet, veamos en que consiste elmodelo.

2.2 Modelo de Black para Valuar Opciones sobre Tasas ForwardEl supuesto principal del modelo de Black (1976) es que el subyacente, es decir la tasade interes, tiene una distribucion lognormal.

Supongamos que el precio del subyacente St sigue la dinamica dada por

dSt = µStdt+ �StdWt,

donde {Wt} es un movimiento Browniano definido sobre un espacio fijo de probabili-dad con su filtracion aumentada (⌦,F ,F, P ); µ 2 R es el rendimiento medio esperadoy � > 0 la volatilidad instantanea.

Si se tiene una opcion sobre el subyacente con precio de ejercicio K, que inicia ent y vence en T , el precio de la opcion esta dado por

c(St, t) = St�(d1)�Ke�r(T�t)�(d2), (4)

donde r es la tasa libre de riesgo, y

d1 =

ln

�StK

�+ (r + 1

2�2)(T � t)

�pT � t

,

d2 = d1 � �pT � t,

�(d) =

1p2⇡

Z d

�1e�

12y

2

dy.

Ahora notemos que el precio futuro del suyacente Ft,T tambien es de la forma

dFt,T = (µ� r)Ft,Tdt+ �Ft,TdWt.

Si el precio futuro del subyacente se sustituye en 2.3, tenemos que el precio de laopcion es

c(Ft,T , t) = B(t, T )[Ft,T�(d1)�K�(d2)], (5)

donde B(t, T ) = e�r(T�t),

d1 =

ln

�Ft,T

K

�+

12�

2(T � t)

�pT � t

,

d2 = d1 � �pT � t.


Si ahora consideramos que el subyacente es una tasa forward de interes aplicableen [T, S], S > T , con referencia en t que sigue una dinamica

df(t, T, S) = �ff(t, T, S)dWt,

y tenemos una opcion sobre esta tasa con nominal N que nos cubre de que la tasaf(t, T, S) suba mas alla de cierto nivel fK , el precio de la opcion esta dado por

c(t, T, S) = B(t, S)N(S � T )[f(t, T, S)�(d1)� fK�(d2)], (6)

donde

d1 =

ln

� f(t,T,S)fk

�+

12�

2f (T � t)

�f

pT � t

,

d2 = d1 � �f

pT � t.

Observemos que la tasa forward spot se calcula como

s(t, T, S) =ln[B(t, T )]� ln[B(t, S)]

S � T.

2.3 Valuacion de Caps usando el Modelo de Black

Volvamos a nuestro bono B con vida de T y nominal de N . Recordemos que la funcionde pago de un caplet es

Caplet i = N · (ti � ti�1) ·max(fi � fK , 0). (7)

Ahora consideremos que en la fecha t se pacta un cap con n caplets y una tasa capde fc.

Como un caplet es una opcion sobre una tasa de interes podemos usar el modelode Black para valuarlo, de modo que segun la ecuacion (2.5), si la tasa sigue unadistribucion lognormal, el precio PCaplett, ti�1 del caplett, ti�1 con i 2 {2, . . . , n+

1}

PCaplet t, ti�1 = B(t, ti)N(ti�ti�1)⇥f(t, ti�1, ti)�(di)�fc�(di)��f

pti � ti�1

⇤,

donde

di =ln

� f(t,ti�1,tifc

�� 2

f

2 (ti � ti�1)

�fpti � ti�1

,

y �f es la volatilidad de la tasa forward.Como un cap es un portafolio de caplets independientes, el precio del cap PCap

es la suma de los precios de los caplets, es decir

PCap =

n+1X

i=2

PCaplet t,ti�1. (8)


2.4 Valuacion de Floors usando el Modelo de Black

De la misma forma en la que valuamos el Cap podemos valuar un Floor.Consideremos un Floor que se pacta en la fecha f con n floorlets y una tasa floor de

fp. Si suponemos que las tasas de interes siguen una distribucion lognormal entoncessegun el modelo de Black, el precio de cada floorlet PFloorlet esta dado por

PFloorlet t, ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)⇥� f(t, ti�1, ti)�(�di)

+fp�(�di) + �f

pti � ti�1

⇤,

donde

di =ln

� f(t,ti�1,tiff

�� 2

f

2 (ti � ti�1)

�fpti � ti�1

,

y �f es la volatilidad de la tasa forward.Dado que un Floor es un portafolio de floorets independientes, entonces el precio

del Floor, PFLoor es la suma de los precios de los floorlets, de la siguiente forma

PFloor =

n+1X

i=2

PFloorlet t,ti�1 . (9)

2.5 Paridad Cap-Floor

Consideremos un portafolio consistente de una posicion larga en un cap con tasa capfc y una posicion corta en un floor con tasa floor fp. Supongamos que fc = fp = fK .Entonces el pago de cada caplet y cada floorlet traido a valor presente es

Caplet t,ti�1= B(t, ti)N(ti � ti�1)E(max{f(t, ti�1, ti)� fK , 0})

Floorlet t,ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)E(max{fK � f(t, ti�1, ti), 0}).

De modo que

Caplet t,ti�1� Floorlet t,ti�1 = B(t, ti)N(ti � ti�1)[fK � f(t, ti�1, ti), 0].

Ası que

n+1X

1=2

Caplet t,ti�1�

n+1X

1=2

Floorlet t,ti�1 =

n+1X

1=2

B(t, ti)N(ti � ti�1)

[fK � f(t, ti�1, ti), 0],

es decirCapt � Floor t = Vt,

donde Vt es el precio de un swap con tasa swap fK .


2.6 Sensibilidad de Opciones de Tasas de Interes

Como hacemos con las opciones sobre acciones, cuando tenemos una opcion sobrealguna tasa de interes podemos calcular las ”griegas”de la opcion, que representan lasensibilidad del precio de la opcion a cambios en diversos factores.

Supongamos que tenemos una opcion sobre una tasa de interes f con una vida deT y tasa strike de fK que tiene un precio V .

La Delta de V mide la sensibilidad a cambios en el precio del subyacente, es decir,mide la sensibilidad a cambios en la tasa f , y esta dada por

� =

@V

@f.

La Rho de V mide la sensibilidad a la tasa de descuento que usamos para traer avalor presente, se le llama la tasa libre de riesgo r, esta dada por

⇢ =

@V

@r.

En el caso particular de Caps y Floors de TIIE, la tasa de descuento r es la mismaTIIE.

La Vega de V se representa con la letra griega nu (⌫) y mide la sensibilidad de V ala volatilidad implıcita de la tasa de interes subyacente f . Se calcula como

⌫ =

@V

@�f.

donde �f es la volatilidad implıcita de la tasa de interes f .Para las aplicaciones financieras generalmente se calculan las sensibilidades de

las opciones de tasas de interes numericamente, aproximando las derivadas mediantediferenciales numericos.

Supongamos que a cierto nivel 0 de f se tiene una f0 y a cierto nivel 1 una f1,entonces calculamos el precio de la opcion correspondiente a cada nivel, V (0) y V (1)

respectivamente, y aproximamos de la siguiente forma

� =

@V

@f

⇡ dV/df

= (V (1)� V (0))/(f1 � f0).

Ası mismo, se calcula un diferencial numerico para la tasa de interes libre de riesgoy se obtiene lo siguiente

⇢ =

@V

@r⇡ dV/dr

= (V (1)� V (0))/(r1 � r0).


Para una opcion de tasa TIIE, Cap o Floor, el Valor Presente de un Punto Base,PVBP por sus siglas en ingles, es el diferencial de precios de la opcion cuando la tasaTIIE se mueve un punto base. Notemos que en este caso la tasa TIIE es tanto la tasasubyacente como la tasa libre de riesgo, por lo que el PVBP es un diferencial numericoque se calcula como

PVBP = �+ ⇢.

3. Bootstraping de Volatilidades

En la primera parte de esta seccion se presenta la descripcion del metodo de Boots-traping de Volatilidades y en la segunda parte se presenta la aplicacion de este paraobtener la curva de la TIIE 283 del mercado mexicano.

3.1 Metodologıa

Como mencionamos en la introduccion, esta metodologıa nos ayuda a encontrar laestructura de volatilidades tipo forward que logra que un Cap valuado con dichas vola-tilidades (cada una valua el caplet correspondiente) tenga el mismo precio que cuandose valua con la volatilidad yield unica.

La metodologıa usa los datos conocidos en un nodo inicial y calcula para el siguien-te a partir de estos, despues, en cada momento de la curva, usa toda la informacion delos nodos anteriores para calcular el nodo siguiente. Aprovecha toda la informaciondisponible en el mercado para estimar la estructura deseada. La metodologıa suponeque los siguientes factores son conocidos:

1) La tasa swap del IRS (Interest Rate Swap) Se requiere la cotizacion de las tasasdel Swap de tasa de interes hasta el plazo en cuestion.

2) La volatilidad yield del Cap Se requiere la cotizacion de las volatilidades tipo yieldpara todos los plazos hasta el plazo en cuestion para la valuacion.

Ahora estamos listos para empezar a calcular, veamos cuales son los pasos a seguir.

a) Calculo del periodo de cada Caplet. Necesitamos encontrar los periodos de iniciode cada uno de los caplets. Recordemos que estamos usando la tasa TIIE a 28 dıas,por lo que un Cap a 1 ano tendra 13 caplets. Uno podrıa empezar a partir el anocada 28 dıas, excepto que esto traera problemas pues frecuentemente caeremos endıas inhabiles, ası habra que establecer una convencion para saber que hacer con estosdıas, es decir, hay que responder la pregunta ¿a donde movemos el dıa de inicio delcaplet?

3Tasa de Interes Interbancaria de Equilibrio, la serie de tiempo de di-cha tasa es publicada por Banco de Mexico, puede recuperarse dehttp://www.banxico.org.mx/SieInternet/consultarDirectorioInternetAction.do?accion=consultarCuadro&idCuadro=CF113&sector=18&locale=es.


Podemos convenir que si la fecha de inicio del caplet i cae en dıa inhabil se muevaal dıa habil inmediato anterior (previous), o al inmediato siguiente (following); unasolucion mas compleja, pero que arregla ciertos problemas con la contabilidad es mo-verlo al inmediato anterior a menos que esto nos obligue a cambiar de mes en cuyocaso se movera al inmediato siguiente (modified previous); o bien, moverlo al inmedia-to siguiente a menos que esto nos obligue a cambiar de mes en cuyo caso se movera alinmediato anterior (modified following).

Una vez que se ha resuelto el problema y que se sabe exactamente cuando iniciacada caplet es necesario calcular su vigencia. Esto se hace con la siguiente formula

PV ci = FIci+1 � FIci,

donde PV ci es el plazo de vigencia del caplet i; FIci+1 es la fecha de inicio del capleti+ 1; FIci es la fecha de inicio del caplet i.

b) Generacion de los factores de descuento a partir de las tasas swap. A partir dela informacion conocida sobre las tasas swap (2)), mediante la tecnica de bootstraping(similar a la obtencion de los factores de descuento mediante bootstraping de bonos4)se obtienen los factores de descuento para cada punto de la curva, especificamente senecesitan los factores de descuento diarios.

c) Generacion de las tasas forward a partir de los factores de descuento. Con baseen la informacion de la curva diaria de los factores de descuentos obtenida en el pasoanterior (b)) calcularemos la tasa forward pertinente para cada caplet y su placo. Parael caplet vigente entre el dıa i y j la tasa forward es

ifj =

✓Zi

Zj� 1

◆·✓basis

⌧

◆,

donde Zi es el factor de descuento para el periodo i; Zj el factor de descuento obtenidoen b) para el periodo j y ⌧ es el periodo subyacente de la tasa de interes.

d) Calculo del precio del Cap utilizando las volatilidades tipo yield en la formulade Black (1976). Se usara una unica volatilidad para el calculo del valor de cada caplety del Cap. La formula de Black (1976) dice lo siguiente

Q =

X

i

B(t, ti)N(ti� ti�1)⇥f(t, ti�1, ti)�(di)� fc�(di)��f

pti � ti�1

⇤, (10)

donde Q es el precio del Cap. Observemos que suponiendo una unica volatilidad yieldpara todos los caplets ya conocemos todo lo necesario para calcular la formula.

Podemos simplificiar la ecuacion (2.1) para que nos quede de la siguiente forma

Q =

X

i

P (0, ti) ·Bli(fK ,�), (11)

4Para una descripcion sencilla e ilustrativa del metodo revise Valmer (2007).


donde Q es el precio del Cap, fK es la tasa cap, � es la volatilidad yield del Cap,P (0, ti) es el factor de descuento del tiempo ti al tiempo 0, Bli(fK ,�) es el valor dela formula de Black (1976) para el caplet i.

Ahora consideraremos el valor recien obtenido como fijo, esto es Q =

¯Q. Estesera la base del resto de los calculos pues lo que buscamos es una estructura de vola-tilidades tipo forward que genere un precio P igual al calculado con volatilidad yield,es decir, buscaremos P tal que P =

¯Q

e) Definicion de un metodo de interpolacion para la volatilidad. Necesitamos inter-polar la volatilidad tipo yield para cada uno de los caplets, se debe escoger el metodode interpolacion: lineal, algun polinomio de grado n, con n > 1; splines, etc.

f) Calculo de la prima del Cap utilizando la volatilidad forward. En cada iteracionque hagamos a partir de aquı lo que se busca es calcular el precio de cada caplet conbase a la volatilidad forward y no a la volatilidad unica tipo yield.

En la primera iteracion se toma como fijo o dado el valor para la volatilidad delplazo mas corto, este sera el primer nodo t1,1 que usaremos para interpolar.

Despues escogemos un punto x0 de partida para el valor de la volatilidad en eltiempo t1,2 (que sera nuestro nodo) y a partir del metodo del punto fijo aproximamoseste valor (�t1,2 ).

Ahora sı contamos con dos nodos a partir de los cuales podemos interpolar lasvolatilidades forward en medio de ellos.

En las siguientes iteraciones se tomara como dado o fijo el valor de la volatilidaden t1,2, es decir, nuestro ”nuevo” t1 sera el ”antiguo” t2, ası en la iteracion i tendremosti,1 = ti�1,2 y calcularemos ti,2 con el metodo del punto fijo.

g) Calculo de la estructura de volatilidades. A partir de las volatilidades obtenidasen el paso anterior se calculara el valor del Cap mediante la formula de Black (1976).El lector notara que en efecto el valor P obtenido de esta forma coincide con el valor¯Q que obtuvimos en el paso d).

Notese que para cada nivel de tasas de interes se calcula una curva de volatilidades,lo cual implica que con la metodologıa descrita se obtienen curvas de nivel de unasuperficie de volatilidades que depende de las tasas de interes.

3.2 Resultados

En esta seccion discutiremos los resultados de implementar el algoritmo anterior enExcel-VBA5. Para nuestra aplicacion hemos utilizado la Tasa de Interes Interbancariade Equilibrio del mercado mexicano (TIIE 28) y sus volatilidades al 15 de Diciem-bre del 2006 y su valor para 10 anos, es decir Diciembre 2016. Dichos datos fueronobtenidos a traves del proveedor de precios: Valuacion Operativa y Referencias deMercado S.A. de C.V. (VALMER). El Cuadro1 presenta las tasas swaps TIIE 28 quese utilizaron.

5Para obtener el codigo favor de contactar a los autores.


Cuadro 1: Tasas swaps TIIE 28Tasa O/N 7.2500%TIIE28 7.3400%3⇥ 1 7.3350%6⇥ 1 7.3210%9⇥ 1 7.3400%13⇥ 1 7.3400%26⇥ 1 7.3980%39⇥ 1 7.4570%52⇥ 1 7.5420%65⇥ 1 7.6280%91⇥ 1 7.7760%130⇥ 1 7.9300%195⇥ 1 7.1225%260⇥ 1 7.2400%

Siguiendo paso a paso la metodologıa descrita en la seccion anterior se trabajo conla siguiente estructura. Para la seleccion del periodo para los caplets utilizamos la con-vencion following, pero hemos dejado abierta la opcion para que pueda ser modificadaal momento de efectuar la valuacion. Por lo que se puede seleccionar entre previous,following, modified previous y modified following. Una vez cargados los valores delas tasas presentados en la tabla anterior, se generaron los factores de descuento y lastasas forward a partir de la curva obtenida. Ya que se trabaja con una tasa a 28 dıas, seutilizaron como basis= 360 y ⌧ = 28.

En el presente trabajo usamos un metodo de interpolacion lineal por comodidad ala hora de la implementacion computacional.

Con ello obtuvimos los resultados mostrados en el Cuadro 2 para las volatilidadesdel yield y forward mediante la formula de Black. Y la grafica de la estructura devolatilidad obtenida se puede observar en la Figura 8.

Cuadro 2: Tasas swaps TIIE 28Volatilidad Dıas al Premium Volatilidad

Anos Yield (%) Vencimiento ( %) Forward (%)1 6.5000% 364 0.1146% 6.5000%2 7.0000% 728 0.3538% 7.6277%3 8.5000% 1092 0.7716% 11.8563%4 9.5000% 1456 1.3057% 11.1415%5 10.3500% 1820 1.9447% 13.5877%7 11.0000% 2548 3.2269% 10.7000%10 11.7500% 3640 5.2542% 14.6015%


Figura 8: Estructura de Volatilidad

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Estimacion del coeficiente de Hurst conwavelets de ındices accionarios de

Turquıa, Indonesia, Mexico y Corea delSur

Stephanie Rendon de la Torre*

Recibido 04 de Octubre de 2012. Aceptado 04 de Diciembre de 2012.

Resumen

En esta investigacion se utilizan wavelets en la estimacion del coeficiente de Hurstde los ındices accionarios mas importantes de cuatro paıses emergentes considera-dos como los proximos integrantes del grupo de economıas BRIC: Mexico, Corea delSur, Turquıa e Indonesia. Los objetivos son determinar: si hay o no comportamientopersistente de largo plazo en los mencionados ındices, si bajo esta perspectiva debeconsiderarseles mercados emergentes o mercados maduros, evaluar sus caracterısti-cas no lineales y fractales (si las hay), determinar si es posible estimar tendencias delcomportamiento futuro de estos mercados con wavelets, conocer las aplicaciones delos resultados obtenidos, valorar la efectividad del metodo utilizado, delinear las po-sibilidades que existen para el estudio del analisis fractal, y finalmente proponer unalınea de investigacion viable que sea mas concordante con la crıtica al comportamientoaleatorio de precios y rendimientos (HME- Hipotesis de Mercado Eficiente).

Abstract

This work uses wavelets in determining Hurst’s coefficient of the most important stockindices of four emerging markets known as the next new economies that will com-pound the BRIC group: Mexico, North Korea, Turkey and Indonesia. The objectivesare: to determine whether or not persistence behavior in the long run exists for the-se indices; if under this perspective they should be considered as emerging marketsor mature markets, to assess the non-linear and fractal characteristics (if found), toverify if it is possible to estimate future tendencies using wavelet techniques, to as-sess the results and to find new possibilities for financial fractal analysis and to seekother alternatives under this investigation research line. Finally, this work proposes aresearch field more viable and in accordance with the criticism to random walk andEMH (Efficient Market Hypothesis) approach of markets.

Clasificacion JEL: C58, G14, C02, C46

Palabras Clave: Wavelet, analisis fractal, coeficiente de Hurst, persistencia, mercado emergen-te.

*Candidata a la maestrıa en Finanzas Bursatiles de la Facultad de Contadurıa y Administracion de laUNAM. Lınea Investigacion analisis fractal y multifractal. E-mail : [email protected]


1.0 Introduccion

El grupo de los 11 paıses que integraran el nuevo grupo de paıses BRIC, segun el ban-co de inversiones Goldman Sachs y su Presidente del Consejo de manejo de activos,el economista Jim O’Neill (2005, 2011) son: Iran, Indonesia, Mexico, Corea del Sur,Filipinas, Turquıa, Nigeria, Vietnam, Pakistan, Egipto y Bangladesh. Para inicios delano 2011, la suma de los PIB de: Corea del Sur, Mexico, Turquıa e Indonesia sumanel 73 % del total de la suma de los PIB en conjunto de los 11 paıses mencionados; sedetermino el coeficiente de Hurst de los ındices accionarios mas importantes de estoscuatro mercados emergentes mencionados: Para Mexico se analizo el ındice accionarioIPC desde 1996- a agosto 2012, para Corea del Sur se analizo el ındice KOSPI desde1996- a agosto 2012, para Indonesia el JCI, desde 1996- a agosto 2012, y finalmentepara Turquıa se analizo el XU100, desde 1996- a agosto 2012. Las observaciones ana-lizadas corresponden a precios diarios de cierres de mercado y se obtuvieron de unaterminal Bloomberg.

La finalidad de esta investigacion es determinar si se encontro comportamientofractal y persistente en el largo plazo a partir de la tecnica con wavelets como metodode estimacion del coeficiente de Hurst, es decir, evaluar si es posible realizar estima-ciones y pronosticos del comportamiento futuro de los mencionados ındices, cuyaseconomıas cada vez son mas importantes en el ambito global y que en un futuro for-marıan parte del grupo de los BRIC, y si bajo esta perspectiva debe considerarselesmercados emergentes o mercados maduros, evaluar las caracterısticas no lineales yfractales (si las hay), determinar si es posible estimar tendencias del comportamien-to futuro de estos mercados con wavelets, conocer las aplicaciones de los resultadosobtenidos, valorar la efectividad del metodo utilizado, bajo la lupa de esta investiga-cion delinear las posibilidades que existen para el estudio del analisis fractal, ası comoencontrar alternativas a seguir en este planteamiento de investigacion. Finalmente, sebusca proponer una lınea de investigacion viable que sea mas concordante con la crıticaal comportamiento aleatorio de precios y rendimientos (HME- Hipotesis de mercadoeficiente), para reconocer que la distribucion gaussiana debe ser sustituida por algunade la familia de distribuciones estables de Pareto (distribuciones leptocurticas y colasgordas).

El documento se divide de la siguiente forma: la segunda seccion trata sobre estu-dios previos. La tercera seccion describe la metodologıa empleada, la cuarta seccioncontiene los resultados, la quinta seccion presenta las conclusiones, y la ultima seccionpresenta anexos y referencias.

Estimacion del coeficiente de Hurst con wavelets 29

2.0 Estudios previos2.1 Hipotesis de mercados eficientes

Hasta los anos de los ochenta se creıa que los mercados financieros eran impredeciblesy totalmente aleatorios: la famosa Hipotesis de los Mercados Eficientes (HME). En lasultimas decadas, las teorıas del caos han tenido un dramatico impacto en el modelaje yel entendimiento de muchas disciplinas y cada vez se pone mas atencion en los concep-tos como dimension fractal, sistemas dinamicos no lineales, teorıas caoticas, etc. Lassiguientes caracterısticas indican que los mercados de capitales son sistemas dinami-cos no lineales, que no muestran distribuciones gaussianas y que no son descritas porla HME (Peters, 1991):

1. Correlaciones a largo plazo y patrones (efecto de memoria de largo plazo en losmercados).

2. Puntos crıticos (erraticos) en los mercados bajo ciertas condiciones y a ciertosmomentos.

3. Series de tiempo financieras que, en pequenos incrementos de tiempo, se verande la misma forma y tendran la misma estructura estadıstica (estructura fractal).

4. Entre mas adelante en el tiempo analicemos, los pronosticos seran menos con-fiables (dependencia sensible a las condiciones iniciales).

5. Existen grandes cambios en los precios, y son mucho mas frecuentes de lo queestablece la teorıa gaussiana; las observaciones reales son de naturaleza lep-tocurtica, y las distribuciones de los cambios de precios no son normales.

Diversos autores e investigadores de todo el mundo estan encontrando evidenciade no linealidad y de memoria de largo plazo en diversas series de tiempo financieras,utilizando diversas tecnicas de analisis fractal y de teorıas del caos: Ashley (1989),Meese y Rose (1991), Peters (1991, 1994), Mandelbrot (1971), Chorafas (1994), Bay-raktar, E., Poor, H., Sircar, K., (2004), Greene y Fielitz (1977), Cajueiro, D. O., Tabak,B. M. (2004), etc. Anderson y Bollerlsev (1997) ası como Dacorogna, Olsen, Muller,Richardson y Pictet (2001) demuestran que han encontrado dependencia y persistenciade largo plazo ası como distribuciones de colas pesadas en series de tiempo financierasen sus investigaciones, de hecho encontraron que la presencia de la dependencia a lar-go plazo puede ser cuantificada por el exponente de Hurst. Muller, Dacorogna, Olsen,Pictet, Schwarz y Morgenneg (1990) prueban que el escalamiento de los incremen-tos de la varianza de un exponente H=0.50 lleva a una equivocacion en el intento depronostico de tendencia, y esto realmente cuestiona la validez de los modelos de va-luacion existentes. Espinosa (2007) en la Universidad de Santo Tomas de Chile, utilizael analisis R/S para confirmar la dependencia a largo plazo de ındices de las bolsas deMexico, Brasil, Argentina y Chile; Greene y Fielitz (1977), tambien utilizaron analisisR/S sobre el ındice Dow Jones para comprobar la existencia de memoria a largo plazo yconcluyeron que hay comportamiento persistente en dicho ındice. Peters (1991,1994)encontro comportamiento persistente en sus analisis R/S realizados al ındice S&P 500,


y encontro una forma de determinar la longitud de ciclos de la memoria a largo plazoen dicho ındice.

2.2 Wavelets

Una senal puede ser expresada como la suma infinita de senos y cosenos. A esto se leconoce como expansion de Fourier. La gran desventaja de la expansion de Fourier esque este tipo de analisis solo tiene resolucion en la frecuencia pero no en el dominiodel tiempo, es decir, que aunque podamos determinar todas las frecuencias presentesen una senal no sabemos donde se presentan estas. En las ultimas decadas se hanestado investigando soluciones que podrıan representar una senal en los dominios deltiempo y frecuencia al mismo momento de ocurrencia. El analisis por wavelets esprobablemente la solucion mas reciente para esta problematica; el estudio de waveletsno tiene mas de unos 30 anos de investigacion.

El enfoque de wavelets es utilizado en diversos tipos de analisis, entre otros: elanalisis de senales, compresion de senales, metodos de elementos finitos, ecuacionesdiferenciales, ecuaciones integrales, entre otras. Tambien tiene aplicaciones en geofısi-ca, biologıa, medicina y finanzas. Para efectos de esta investigacion se mostrara laaplicacion de ecuaciones wavelets en series de tiempo financieras. El analisis de Fou-rier solo puede utilizarse para analizar series de tiempo del tipo estacionarias; paraseries no estacionarias (como las series de tiempo financieras) se aplica el analisis porwavelets.

La primera vez que se utilizo la palabra wavelet fue en 1910 en la tesis de AlfredHaar, pero no fue sino hasta 1984 cuando Alex Grossman y Jean Morlet establecieronel concepto que hoy se conoce formalmente en la teorıa como “wavelet”. Los princi-pales algoritmos utilizados en el analisis de wavelets provienen del trabajo de 1988 deStephane Mallat. Antes de las transformadas wavelets, se desarrollaron las transforma-das de Fourier y de Laplace, sin embargo estas tienen ciertas limitantes, mismas quehan motivado al desarrollo de las wavelets.

El analisis de frecuencias desarrolladas por Fourier (Bracewell, 2000) es basicopara el analisis por wavelets y establece que una senal periodica f(x) con periodo Lpuede expresarse como una suma de terminos seno y coseno, en un intervalo finitoy en un solo periodo. En conclusion lo que hace Fourier es medir el contenido defrecuencia de una senal, es decir, es el proceso de transformar la funcion f(t) en eldominio del tiempo en la misma funcion f(w) pero no en el dominio de la frecuencia yse expresa como:

#{f(t)} (a)


Al proceso inverso de regresar f(t) a partir de f(w) se le conoce como la transfor-mada inversa de Fourier:

#�1{f(w)} (b)

Dicha transformada indica si hay existencia del componente de frecuencia “w” in-dependientemente del momento del tiempo en el que pueda aparecer, por lo cual suaplicacion toma sentido en senales (series de tiempo) estacionarias. Por ejemplo: Latransformada de Fourier se localiza en la frecuencia, pero no es posible tener una lo-calizacion en el espacio, es decir captura las caracterısticas de la senal original en unabanda de frecuencia limitada, pero no da la localizacion espacial. Otro gran proble-ma con las transformadas de Fourier es la complejidad de los algoritmos rapidos (latransformada rapida de Fourier) esto representa un problema sin solucion en muchasaplicaciones (Lessig y Fiume 2007).

Una wavelet es una funcion de estructura especial; generalmente una wavelet con-siste en dos funciones, una de filtro de bajo paso y otra de filtro de alto paso. La funcionwavelet calcula las diferencias entre una prediccion y el valor actual. Son similares alas transformadas de Fourier (que se representan por series de funciones seno y coseno)y son funciones que tienen movimientos oscilatorios (“wave = ola”) y que decaen acierto numero de desvanecimientos (“let = dejar, caer”) y estas dos caracterısticas sonlas que hacen ideales a estas funciones para usarse como filtros que descomponen unasenal en diferentes niveles de resolucion (Mallat 1989). La diferencia entre las trans-formadas wavelets y las transformadas de Fourier es que: en Fourier, en una senalprocesada se indica la cantidad de frecuencia y de energıa que hay en cada frecuenciade la senal original, pero no hay informacion sobre cuando una frecuencia aparece enel dominio del tiempo, y precisamente el analisis de wavelets o transformada waveletresuelve esta problematica, es decir, el escalamiento con Fourier esta dado en terminosde la frecuencia, y en wavelets en terminos del tiempo (Ramsey, 2002).

Las principales caracterısticas de las wavelets que son utiles para el analisis eco-nometrico en finanzas son que:

a) Pueden ser usadas en el analisis de series no estacionarias.

b) Permiten localizar en el tiempo fenomenos especıficos.

c) Permiten obtener una buena aproximacion de la senal original.

Hay otras dos caracterısticas que hacen posible la construccion de las wavelets yson la admisibilidad y la regularidad. La admisibilidad se refiere al termino de “wave”que consiste en que la transformada de Fourier de una funcion decaiga a la 0 frecuen-cia, es decir el valor promedio en el dominio del tiempo debe ser 0, y es por eso quela funcion oscila. La regularidad hace referencia al desvanecimiento “let”, porque la


funcion wavelet se suaviza1 en el dominio del tiempo y frecuencia y tendra N mo-mentos de decaimiento. Una funcion wavelet, oscila y se desvanece a N numero deaproximaciones.

La transformada wavelet es una tecnica matematica que es muy util en el analisisnumerico y la manipulacion tanto de series de datos de 1 y de 2 dimensiones. La trans-formada opera como un microscopio para examinar a detalle una senal, partiendolaen diferentes componentes de frecuencia que corresponden a diferentes coeficientesde energıa (Daubechies, 1992). La descomposicion por wavelets da informacion sobrecomo la energıa depende de la posicion y de su escala.

La idea principal con el enfoque de poder representar tiempo y frecuencia de formaconjunta, tiene que ver con cortar la senal en partes y luego analizar esas partes porseparado para obtener mas informacion de los componentes de las frecuencias. Comocortar la senal es el punto crucial para el analisis de transformadas wavelets, ya queexiste el principio de incertidumbre de Heisenberg (1949), que en terminos de proce-samiento de senales establece que es imposible saber la frecuencia y el tiempo exactosde ocurrencia de la frecuencia en una senal, es decir, una senal no puede ser represen-tada como un punto en el espacio de tiempo-frecuencia. Para cortar la senal tomandoen cuenta el principio de incertidumbre mencionado, se utiliza la transformada wave-let, que usa una ventana modulada totalmente escalable; esta ventana se desplaza alo largo de la senal y para cada posicion se calcula el espectro. Este mismo procesose repite muchas veces con una ventana mas pequena para cada ciclo. El resultado esun conjunto de representaciones de la senal de tiempo-frecuencia, todas con distintaresolucion.

El analisis de wavelets es como hacer un zoom de una fotografıa (Valens 2004) enel que se tiene la foto del todo (escala larga), y se puede hacer un zoom a una pequenaseccion para ver los detalles (pequena escala).

Las wavelets de primera generacion, desarrolladas en los 80’s, requieren la cons-truccion de la transformada de Fourier, y son las desarrolladas por Daubechies (1992),Meyer (1992) y Haar (1910); la de Haar por ejemplo, funciona muy bien para repre-sentar el curso del tiempo en procesos de Poisson. En la tesis de Lessig (et al. 2007)se dan detalles de como se puede construir la funcion de Haar (1910), como una desegunda generacion. Las wavelets de segunda generacion se encuentran descritas conmayor profundidad en los trabajos de Mallat (1989) y Sweldens (1995).

Las primeras aplicaciones de wavelets en finanzas se deben a Ramsey y Lampart(1999, 2002) quienes analizaron las relaciones entre variables macroeconomicas (con-sumo, ingreso, agregados monetarios y tasa de interes) y descubrieron que la tasa deinteres resulto ser una variable importante solo para escalas de mas largo plazo y paralos bienes consumibles; tambien encontraron que la relacion a ciertas escalas entre elgasto y el ingreso es mucho mas compleja y no es una simple relacion lineal. Conrespecto a la relacion del dinero-ingreso, encontraron que en una escala de corto plazo

1El grado de suavizacion esta medido por el numero de derivadas continuas de la funcion base (Ramsey,2000); es decir esta dado por el numero de momentos de desvanecimiento que existan.


el ingreso causa dinero, y a largo plazo hay un efecto de retroalimentacion. Gencay,Selcuk y Whitcher (2002) examinaron la relacion entre el crecimiento del dinero y lainflacion de 6 paıses, entre ellos Mexico por 32 meses y tambien llegaron a la conclu-sion de que hay un efecto de retroalimentacion en escalas largas de tiempo, a travesdel analisis por wavelets.

Tellez G. y Lopez S. (2010) analizaron la estructura de la correlacion en distin-tos horizones de tiempo entre los ındices representativos de Estados Unidos, Mexico,Brasil y Argentina, utilizando la transformada wavelet discreta de maximo traslape, apartir de la descomposicion por multiresolucion y concluyeron que hay una correlacionno homogenea entre los mercados a partir de distintas escalas de tiempo, este traba-jo es interesante porque tiene implicaciones muy aplicables para la administracion deriesgos y podrıa ayudar a idear estrategias de reservas de capital segun las perdidas endiferentes horizontes de tiempo. Ramsey, Usikov, Zaslavsky (1994) encontraron quehay evidencia clara de no-aleatoriedad en el ındice S&P 500 por el periodo de los anosdesde 1928-1990 utilizando wavelets para examinar dicho ındice en diferentes escalasde tiempo; ellos concluyen que hay un cierto grado de estructuracion en el ındice, esdecir, encontraron ciertos patrones posibles solo a ciertas escalas, pero que revelan queel uso de wavelets es una buena herramienta que puede mostrar grados de prediccionen las series de tiempo.

El analisis por wavelets ha sido empleado para la estimacion del coeficiente deHurst por sus propiedades efectivas; la invarianza de escala y las propiedades de losprocesos autosimilares pueden ser examinados eficientemente vıa wavelets. Abry yVeitch (1998) disenaron un estimador eficiente de H que llamaron Abry-Veitch DWM,utilizando las transformadas de Daubechies. Bayraktar, Poor y Sircar (2002) desarro-llaron una metodologıa utilizando wavelets en la que estimaron el coeficiente de H delS&P 500 y encontraron que en ciertos periodos el ındice resulto mas persistente queen otros. Kaplan I. (2004) realizo un estudio utilizando funciones wavelets de Haar yDaubechies D4, y analisis R/S sobre la determinacion de H sobre acciones de la com-panıa americana IBM con precios de cierre diarios por el intervalo de tiempo que vadesde 1980- 2003 (8192 observaciones) y las comparo entre sı encontrando que losresultados obtenidos mediante el uso de wavelets, en particular con la de DaubechiesD4, fueron ligeramente mas acertados que con analisis R/S. Tambien concluye quepara saber que wavelet se debe usar para determinar el exponente de Hurst, la experi-mentacion es un camino correcto, porque en muchos casos depende de la naturalezade los datos.

2.3 Exponente de Hurst

El exponente de Hurst es un estimador numerico de la persistencia de una serie detiempo; es un cuantificador del grado de las propiedades de memoria de largo plazode un conjunto de observaciones. La razon por la que el exponente de Hurst es unestimado y no una medida definitiva es porque el algoritmo opera bajo la premisa deque las series de tiempo son fractales, lo cual no es enteramente cierto para todas lasseries de tiempo financieras ya que son fractales y tambien aleatorias, dependiendo del


momento. Lo que hace valioso el uso del exponente de Hurst en el analisis financiero esque brinda una forma de clasificar las series temporales en terminos de su prediccion.

Estimar el exponente de Hurst para una serie de datos, da una medida de si losdatos constituyen o no un paseo aleatorio (un movimiento browniano) o bien, parasaber si existen patrones subyacentes que no son reconocibles a simple vista. El trabajode Hurst (1951) y la construccion del coeficiente H, que vale la pena mencionar quecuando el hidrologo Harold Edwin Hurst (1951) lo descubrio no lo nombro como Hsino como K, y fue Mandelbrot quien en los sesentas y en su honor renombro dichocoeficiente como H (Mandelbrot et al., 2006). El coeficiente de Hurst tiene diversasaplicaciones, una de ellas es para el pronostico de tendencias en series de tiempo.

Cuando H=0.50, resulta un evento aleatorio puro ya que la serie presenta movi-miento browniano tradicional; si H <0.50 se trata de un evento con un comportamientoanti persistente o de reversion a la media, es decir si el movimiento anterior fue haciauna direccion, es probable que el siguiente movimiento sera en direccion opuesta; si H¿0.50 indica un comportamiento persistente, muy posiblemente de naturaleza fractal ycaotica, y por lo tanto con memoria de largo plazo. El valor de H >0.50 implica quelas observaciones no son independientes, sino que cada evento tiene una memoria delargo plazo. El pasado determina el presente; los eventos estan interconectados. Estaes una aseveracion interesante, se trata de proponer una correlacion matematica entreel impacto del presente sobre el futuro.

Qian y Rasheed (2004) realizaron una investigacion donde analizan por periodosde 4 anos el comportamiento de los coeficientes obtenidos del coeficiente de H desde1930-2004 del ındice Dow Jones y encontraron, mediante el uso de redes neuronales,que en los periodos donde el coeficiente de H es mas elevado, es mas facil prede-cir su tendencia que en los periodos donde H es mas cercano a valores de 0.50. Hayautores que observan que los mercados emergentes presentan coeficientes de H por en-cima de 0.50, y los mercados maduros tienden a tener valores muy cercanos o iguales0.50; Kwon y Oh (2012) realizan un analisis de varios mercados emergentes; Gursa-kal, Aydin, Gursakal y Tuzunturk (2009) realizan un estudio del coeficiente de H delındice Istanbul Stock Exchange y determinan que este mercado emergente presentacomportamiento fractal y persistente; Cajueiro y Tabak (2004) realizan un estudio deestimacion del coeficiente de H a varios ındices de mercados emergentes y encuentranque con el tiempo se estan volviendo menos persistentes, a medida que el mercado sevuelve maduro.

¿Porque aplicar analisis wavelets a los ındices mas importantes de los merca-dos emergentes, los que posiblemente proximamente seran llamados nuevos BRICS(Segun Goldman & Sachs, Jim O’Neill (2011)? Porque se trata de mercados no madu-ros y hay diversos autores (algunos ya se mencionaron lıneas arriba) que soportan lateorıa de que los mercados no maduros (emergentes) presentan coeficientes de H ma-yores de 0.50 (en general), ya que los mercados maduros revelan (en general) conduc-tas mas cercanas a la aleatoriedad o que son mas difıciles de predecir sus tendencias,en las fluctuaciones de sus ındices, y posiblemente esto se deba a que los operadoresde mercados maduros persiguen la estabilizacion del mercado, si un ındice se va hacia


arriba, los operadores querran llevarlo en sentido contrario y viceversa, para realizarutilidades. A contrario sensu, los mercados emergentes presentan el llamado “efectomanada”, que genera patrones de persistencia en el mercado y es comun que existanoperadores que persiguen la especulacion en estos mercados y el analisis del coeficien-te de H podrıa aplicarse a la construccion de portafolios y gestion de riesgos.

3.0 Metodologıa

El analisis con wavelets es apropiado para analizar series de tiempo no estacionarias,por ejemplo una serie de datos donde la varianza no permanezca constante con elincremento de observaciones. Las propiedades fractales estan presentes donde el poderdel espectro de la funcion wavelet es una funcion de frecuencia con ley de potencia.

Considerando: n transformadas wavelet; cada una con un diferente coeficiente deescalamiento: ai, donde S1, S2,..., Sn son desviaciones estandar de cero del coeficien-te de escalamiento respectivo ai. Se define el radio de las desviaciones estandar G1,G2,..., Gn-1 como:

G1 = S1/S2, G2 = S2/S3, ..., Gn� 1 = Sn� 1/Sn (c)

Al estimar el valor promedio de Gi como:

G prom =n�1X

i=1

Gi (d)

El exponente de Hurst es:

H = f(G prom) (e)

Donde f es una funcion heurıstica que aproxima el coeficiente de Hurst por G prompara procesos autoafines.

El programa que se utilizo para el calculo del coeficiente de Hurst mediante latecnica de wavelets es BENOIT 1.2 . El analisis wavelet que realiza el programa BE-NOIT 1.22 permite estimar el exponente de H y la dimension fractal; analiza varia-ciones en la potencia al descomponer una serie de tiempo en un espacio de tiempo-frecuencia para determinar tanto los modos dominantes de la variabilidad y el modoen que estos varıan con el tiempo. Este programa pre-establece n=4 y ai = 2i para i=0,1,2,3.

La dimension fractal:

Dw = 2�H (f)2La empresa Trusoft Int’l Inc desarrollo una herramienta llamada “Benoit Fractal Analysis System”.

Benoit version 1.2 es una aplicacion que permite calcular la dimension fractal y el exponente de Hurst de unconjunto de datos mediante distintos metodos.


La “mother” wavelet (o funcion generadora) es una funcion escalonada. El algo-ritmo utilizado para estimar la dimension fractal Dw utiliza las tres primeras transfor-madas wavelet. Es importante senalar que hay muchos tipos de wavelets, y para cadaproblema en particular el investigador debe escoger la que sea mas apropiada a lascircunstancias.

Las wavelets permiten a las series de tiempo ser vistas en multiples resoluciones.Cada resolucion refleja una diferente frecuencia. Esta tecnica toma los promedios ylos diferenciales de una senal, los descompone y los transforma en un espectro. Losalgoritmos de wavelets trabajan sobre series de tiempo con valores que correspondan apotencias de dos (por ej. 4, 64, 128, 256. . . ). Cada paso de la transformacion de waveletproduce dos grupos nuevos valores: un grupo de promedios y un grupo de diferencias(con diferencias me refiero a los coeficientes de wavelets). Cada paso produce un gru-po de promedios y coeficientes que son la mitad de tamano del tamano de los datosque la originaron. Por ejemplo: en una serie de tiempo que contiene 256 elementos, elprimer paso producira 128 promedios y 128 coeficientes. Los promedios entonces, sevuelven el dato inicial del siguiente paso (por ej. 128 promedios resultan en un nuevogrupo de 64 promedios y 64 coeficientes). Esto continua hasta que queda un promedioy un coeficiente. En esta investigacion se utilizaron 4096 observaciones (1996-agostode 2012) en cada serie de tiempo, es decir que n=4096, porque es la potencia resultantede elevar el 2 a su doceava potencia: 2(12). Si se hubieran querido tomar mas observa-ciones habrıan tenido que ser n=8192, o bien 2(13) y en algunos ındices, por ejemploel de Mexico (IPC) no existe tal numero de observaciones de cierres de precio diarios,es por eso que para hacer el analisis sobre el mismo numero de datos en cada serie detiempo se utilizaron 4096 observaciones.

El promedio y la diferencia de las series de tiempo se hacen sobre una ventana devalores. La mayorıa de los algoritmos de wavelets calculan cada nuevo promedio ydiferencia utilizando esta ventana sobre los datos iniciales.

La potencia del coeficiente espectral de dos generado por la funcion wavelet reflejael cambio en la serie de tiempo a varias resoluciones. El primer coeficiente refleja loscambios de mas altas frecuencias. Cada coeficiente siguiente refleja menos cambios afrecuencias mas bajas.

La representacion de una funcion wavelet arroja una expresion de multi-resolucionde una senal con localizacion tanto en el tiempo como en la frecuencia. Una funcionX(t) es descompuesta en una familia de funciones, llamadas wavelets. Las wavelets“padre” se integran a uno y se usan para representar una escala muy larga de compo-nentes suavizadores de la senal, y generan los coeficientes de escalamiento y actuancomo filtros de paso bajo. Las wavelets “madre” se integran a cero, representan lasdesviaciones de los componentes suavizados y actuan como filtros de alto paso. Cadawavelet esta dada por el escalamiento y traslacion de una funcion generadora, llamada“madre wavelet”, la cual oscila, tiene energıa finita y media de cero (Ciftlikli, Gezer,2010):


La siguiente es la wavelet “padre”:

�J,k =

2

� J2�

�t� 2

Jk�

2

J

Z�(t) dt = 1 (g)

La siguiente es la wavelet “madre”:

j,k = 2

� 12

�t� 2

jk�

2

j, j = 1, ..., J

Z (t) dt = 0 (h)

S = parametro de escalamiento a la escala diadica 2

j . Dada esta familia de funcio-nes base, definimos la secuencia de los coeficientes que representan las proyeccionesde la funcion observada en la base propuesta:

SJ,k =

Zf(t)�J,k (i)

di,k =

Zf(t)�j,k; j = 1, ..., J (j)

Donde S,J,k son los coeficientes para la wavelet “padre” en su maxima escala, (2j),conocidos como coeficientes de suavizacion, y d,j,k son los coeficientes detalladosobtenidos de la “madre” en todas las escalas desde la 1 a la J (maxima).

Dados los coeficientes, la funcion f(t) se representa:

f(t) =X

k

tdj,k j,k +

X

k

tdJ,k J,k +

X

k

td1,k 1,k +

X

k

tSJ,k�J,k (k)

La estimacion del coeficiente de Hurst por el metodo de wavelet es mucho masacertada que otras metodologıas (Preciado, Morris 2008) que sobreestiman la persis-tencia y no se comportan bien al examinar la persistencia en periodos cortos de tiempo.

Para confirmar la validez de esta prueba se realizo una segunda estimacion de Hcon el metodo de rango escalado: R/S disenado por Mandelbrot (1970). El analisis R/Spermite analizar sistemas dinamicos no lineales, que mantienen procesos de memorialarga, como es el caso de las series de tiempo financieras, y facilita el reconocimientode las series como fractales.

Previo a correr el analisis R/S, se filtraron los datos de las series de tiempo de losındices, para eliminar trazos de ruido blanco que pudieran distorsionar el resultado del


coeficiente de H (se utilizo una herramienta que utiliza tecnicas de wavelets para estefiltrado), realizada con el software BENOIT 1.2.

Despues, se determinaron los coeficientes de H por periodos consecutivos de 4 anosen todas las series para analizar brevemente el cambio de la potencia de H a traves deltiempo en cada serie y para verificar como es que estos mercados emergentes van o novolviendose mas eficientes, o si en algun punto dejan de tener caracterısticas fractales,y de si la persistencia es constante o no.

4.0 Resultados

A continuacion se muestra una grafica de los datos analizados; tiempo en el eje (y) ynivel de precios en el eje (x) de las series de tiempo estudiadas: KOSPI, IPC, JCI yXU100 obtenidas de Bloomberg (ver Grafica I). Observense los diferenciales entre losrendimientos de un ındice y otro. Claramente se puede apreciar que los ındices quemas rendimiento han dado son el de Turquıa y el de Indonesia.

Grafica 1 Fuente: Elaboracion propia con Bloomberg

!Con los datos de la Grafica I se realizo el analisis por wavelets para determinar el

coeficiente de Hurst y se obtuvieron los siguientes resultados; (ver Cuadro I)Fuente: Elaboracion propia

De acuerdo a los resultados obtenidos en el Cuadro I, los cuatro ındices presentanindicios de comportamiento fractal y una memoria de largo plazo. Los coeficientesH obtenidos mediante wavelets en todos los casos resultan mayores a 0.50, es decir,que hay un comportamiento persistente de las series de tiempo. Lo interesante es queen todos los casos se obtuvo un comportamiento persistente, siendo los ındices maspersistentes el de Indonesia con H =0.615 y el de Mexico H =0.613, con dimensionesfractales de 1.385 y 1.387, respectivamente.

Para confirmar la persistencia se realizo una segunda estimacion de los coeficientesde H con el metodo de rango escalado R/S y se filtraron los datos de las series detiempo de los ındices, para eliminar trazos de ruido blanco que pudieran distorsionarel resultado de H. En todas las series de tiempo estudiadas de Indonesia y el de Mexico,igual que con el analisis fractal que emplea wavelets.


Cuadro 3:Indice Periodo H obte-

nido porwavelets

DF Obser-vacionesoriginales

Puntosanaliza-dos

H obte-nido pormetodoR/S

IPC 1996-2012

0.613 1.387 4096 4096 0.572

KOSPI 1996-2012

0.573 1.427 4096 4096 0.565

XU100 1996-2012

0.604 1.396 4096 4096 0.569

JCI 1995-2012

0.615 1.385 4096 4096 0.595

Algunos autores como Peters (1991) o Dıaz Mata (2006) mencionan que hay unnivel de persistencia dependiendo de que tanto el coeficiente de H se aproxime a 1. Enel caso estudiado podemos decir, que en el ındice de Indonesia hay una probabilidaddel 61.3 % (con wavelets) y de 57.2 % (con R/S) de que si el ultimo movimiento porcierto periodo, fue alcista, el siguiente tambien lo sea. Para el IPC, podemos decirque hay una probabilidad del 61.5 % (Wavelets) y 59.5 % (R/S), en el KOSPI unaprobabilidad del 57.3 % (wavelets), y 56.5 % (R/S), y del XU100 del 60.4 % (Wavelets)y del 56.9 % (R/S) de que si el ultimo movimiento fue alcista el siguiente tambien losea. Se obtuvo que los coeficientes de H estimados vıa el metodo R/S resultaron sermenores que el estimado vıa wavelets; sin embargo todos resultaron por encima de0.50, confirmando la persistencia en todas las series. Con este analisis se obtuvo quela serie mas persistente fue la del ındice JCI.

Se analizaron los coeficientes de H de cada ındice por intervalos consecutivos de 4anos para verificar que tanto los ındices se han vuelto mas o menos persistentes con eltiempo:

Cuadro 4:Coeficientes de Hurst obtenidos (wavelets)

Periodo en anos XU100 IPC KOSPI JCI2009-2012 0.671 0.594 0.637 0.6482005-2008 0.541 0.574 0.519 0.5422000-2004 0.578 0.631 0.497 0.651996-1999 0.726 0.619 0.5651994-1999 0.6571992-1995 0.704 0.627 0.831988-1991 0.728 0.618 0.826inicio-1987 0.707 0.737


Se observa que en el XU100 (ındice de Turquıa) la persistencia mas alta fue enel periodo de 1988-1991 donde H=0.728. Para el IPC (Mexico) el nivel mas alto seregistra en el ano de 1994-1999 donde H=0.657; en el ındice coreano se observa elnivel de persistencia mas alto en el periodo inicial de su existencia con H=0.707 y vadisminuyendo conforme pasan los anos; y para el ındice JCI de Indonesia sorpren-dentemente el nivel de persistencia fue altısimo en el periodo de 1988-1995 dondeH=0.826 y H=0.830, respectivamente, es decir, este mercado resulta ser el que masmemoria a largo plazo registra, y tambien se puede apreciar que conforme transcu-rren los anos H va disminuyendo. Una conclusion observable es que la persistenciano es constante, y forzosamente tendrıa que ver con periodos y ciclos dentro de lasseries de tiempo. En el caso del KOSPI hay un caso de antipersistencia en el periodode 2000-2004 H=0.497. En todos los ındices se observa una disminucion de la fuerzade la persistencia a lo largo de los anos; pero para el periodo de 2009-2012, el valorde H se incrementa de nuevo (en el caso del IPC y del XU100). En el JCI el valorde H es mas variable, comienza con H=0.737, luego se incrementa a H=0.826, luegoH=0.830, y despues disminuye en el periodo de 1996-1999 hasta H=0.565. Se obser-va una tendencia generica de persistencia alta, a una baja, y luego una subida en lapersistencia.

En el Cuadro III se puede apreciar graficamente como en todos los casos los nivelesde H han disminuido a traves del tiempo, lo que va acorde con lo que algunos autoresen la literatura financiera mencionan sobre que a medida que los mercados maduranse van volviendo mas aleatorios (eficientes), es decir, disminuye su comportamientofractal y su memoria de largo plazo:

Cuadro III!

! !

5.0 Conclusiones

1. ¿Porque aplicar analisis fractal (determinacion de coeficiente de H mediante wa-velets) a los ındices mas importantes de los mercados emergentes, los llamadosnuevos BRICS? Hay muchos trabajos de autores (algunos mencionados en estainvestigacion) que opinan que los mercados emergentes, resultan mas persis-tentes, es decir guardan mas memoria de largo plazo que los maduros, porquepresentan el efecto manada que genera patrones de persistencia en el mercado yque los mercados maduros revelan (en general) conducta que se acerca mas a laaleatoria en las fluctuaciones de sus ındices. El analisis fractal ofrece una vıa al-terna de interpretacion del comportamiento (en este caso) de las series de tiempode los mercados y estos resultados se pueden aplicar en el diseno de portafoliosy de gestion del riesgo. Los mercados emergentes son mercados que poseen granpotencial y que hay que tener en la mira y que para efectos del analisis fractal alser inmaduros llegan a ser muy persistentes y por lo tanto hay un mayor gradode prediccion que en otro tipo de mercados.


Estas series presentan indicios de comportamiento fractal. La dependencia a lar-go plazo de los datos crea una tendencia, no hacia un nivel en particular, sinohacia cambios de una magnitud particular, en este trabajo el resultado fue de uncambio persistente. ¿Y para que sirve conocer H? Para gestionar no solo ten-dencias, sino riesgo. Ya hay trabajos recientes en donde se ha intentado forjaruna medida de riesgo a partir de H (Mandelbrot y Hudson, 2006), pero es justoaquı el punto de partida para que la ingenierıa financiera adopte nuevas metodo-logıas.

2. Podemos afirmar que se detecto comportamiento fractal y de memoria de largoplazo, porque se obtuvieron coeficientes de H mayores a 0.50 en los analisisrealizados. En todas las secciones analizadas de las serie de precios de cierrediarios de los ındices de: Mexico, IPC desde 1996- a agosto 2012, para Coreadel Sur el ındice KOSPI desde 1996- a agosto 2012, para Indonesia, el ındiceJCI, desde 1996- a agosto 2012, y finalmente para Turquıa el XU100 desde1996- a agosto 2012, se obtuvieron H >0.50. No se obtuvo un solo dato quecontradiga esta afirmacion.

3. El analisis por medio de wavelets es confiable y es una alternativa para conocerlas propiedades de una senal (serie de tiempo) en espacio de tiempo-frecuenciapara determinar los dos modos dominantes de variabilidad y como esos modosvarıan en el tiempo y es un metodo apropiado para analizar series de tiempono estacionarias. Las propiedades fractales estan presentes donde el poder delespectro de la funcion wavelet es una funcion de frecuencia con ley de potenciay la determinacion del coeficiente de H es posible con este enfoque. Para con-firmar que la prueba con wavelets que se realizo sobre las series de tiempo delos ındices fue valida, se aplico un segundo analisis fractal con la metodologıaR/S (de rango escalado) y se filtraron las observaciones para retirar ruido blancoque pudiera distorsionar el estimado de H. Los resultados fueron coeficientesde H>0.50 en todos los casos, lo que confirma que la tecnica de estimacion decoeficiente de H por medio de wavelets es efectiva.

4. En cuanto a la fuerza de la fractalidad de las series, los resultados de los coefi-cientes de H obtenidos con wavelets de estos mercados emergentes varıan entre0.573 y 0.615; como se menciono en esta investigacion se habla en la literaturafinanciera de que los mercados emergentes son mas persistentes que los madurosy a medida que va transcurriendo el tiempo estos mercados se vuelven madurosy dejan de serlo (no es objeto de esta investigacion la comprobacion de dichateorıa), sin embargo, se observo en los resultados de los Cuadros II y III que entodos los ındices estudiados, la persistencia ha disminuido a traves del tiempo,es decir, la fuerza de la memoria de largo plazo ha disminuido, sin llegar a seraleatoria aun. Estos mercados se estan poco a poco volviendo maduros (bajo laperspectiva del analisis fractal) porque a traves del tiempo sus coeficientes deH estan aproximandose a 0.50. Una conclusion observable que resulta es quela persistencia no es constante, es variable, y forzosamente tendrıa que ver conperiodos y ciclos dentro de las series de tiempo. La deteccion de esos ciclos,


(saber cuando termina uno y empieza otro, es otra pregunta de investigacion quese abre a partir del presente trabajo).

5. Uno de los objetivos centrales de esta investigacion es probar mediante waveletsla existencia de memoria a largo plazo y que hay indicios de comportamientofractal, misma que se probo. El pasado determina el presente; los eventos estaninterconectados. Esta es una aseveracion interesante, se trata de proponer unacorrelacion matematica entre el impacto del presente sobre el futuro. Una apli-cacion de estos resultados serıa en la construccion de portafolios y coberturas.Por ejemplo: un portafolio que consista en ındices o acciones que comparten undeterminado valor de H y analizar sus retornos. Si un ındice en particular mues-tra que su coeficiente H disminuye frente a un determinado valor, la posicion quese tiene en ese ındice o accion deberıa evaluarse si deberıa cerrarse y viceversa.El analisis fractal podrıa coadyuvar en el analisis de bursatil de tendencias, degestion de riesgos, de diseno de portafolios.

6. El paso siguiente serıa realizar mas pruebas y mas analisis. Por ejemplo: Analisisde multiresolucion por wavelets, analisis multifractal, algoritmos genealogicos,analisis de densidad espectral, o bien, aplicar pruebas que directamente parten denociones caoticas deterministas y estructura fractal, como la reconstruccion delatractor, estimacion de los exponentes de Lyapunov, o dimension fractal (BahenaVillagomez, 2009) o redes neuronales; no obstante, la aplicacion de los mencio-nados metodos rebasa el alcance de la presente investigacion, y serıan materiainteresante de otra investigacion.

El planteamiento de una Hipotesis de Mercado Fractal como la que plantea Peters(1994) es una hipotesis muy interesante y a la fecha poco explorada. La HME debeser replanteada y es precisamente la naturaleza fractal de las cosas, del mundo, deluniverso mismo, la que obliga a replantear este sendero como una alternativa de inves-tigacion y a continuar la busqueda en la experimentacion y la construccion de modelosque verdaderamente se apegue a los hechos reales y no unicamente a las teorıas, y estetrabajo habra sido exitoso si es que estimula la investigacion de estos u otros mercadosy de esta lınea de investigacion.

Se deben buscar nuevos modelos que sean mas acordes con la crıtica al comporta-miento aleatorio de precios y rendimientos, reconociendo que la distribucion gaussianadebe ser sustituida por alguna de la familia de distribuciones estables de Pareto (dis-tribuciones leptocurticas y colas gordas), y aun mas, por reconocer la existencia de lanaturaleza fractal en los mercados.


6.0 Anexos

Grafica IIaEstimacion coeficiente de Hurst: IPC 1996-2012

!Grafica IIbEstimacion H por metodo R/S del IPC (1996-2012)

!Fuente: Elaboracion propia


Grafica IIIaEstimacion coeficiente de Hurst KOSPI 1996-2012

!Grafica IIIbEstimacion H por metodo R/S del KOSPI (1996-2012)



Grafica IVaEstimacion coeficiente de Hurst: JCI 1996-2012

!Grafica IVbEstimacion coeficiente de H metodo R/S JCI 1996-2012



Grafica VaEstimacion coeficiente Hurst XU100 1996-2012

! Grafica VbEstimacion de H por metodo R/S de XU100 1996-2012


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Valuacion financiera de proyectos deinversion en la industria hotelera con

opciones realesArturo Lorenzo Valdes*

Sara Barajas Cortes**

Wulfrano Gomez Gallardo***

Recibido 10 de Octubre de 2012. Aceptado 24 de Noviembre de 2012.

Resumen

En este trabajo se aplica la metodologıa de las opciones reales para valorar la inver-sion de expandir los servicios de un hotel. Se calcula el proyecto mediante el metodotradicional del valor presente neto (VPN) y se rechaza el mismo. Posteriormente sevalora el proyecto con la opcion de expansion y este se acepta. Se presentan diferentesenfoques para calcular la volatilidad que es uno de los factores necesarios al utilizar lametodologıa de opciones reales.

Abstract

This paper applies the methodology of real options to value investment to expand theservices of a hotel. The project value is estimated through the traditional method ofnet present value (NPV) and rejected it. Subsequently assessing the project with theexpansion option and this is accepted. We present different approaches to calculate thevolatility is one of the factors necessary to use the methodology of real options.

Clasificacion JEL: G11, G31Palabras Clave: Valuacion de proyectos, Opciones reales, Volatilidad, Monte Carlo.Key Words: Project valuation, real options, volatility, Monte Carlo.

*Profesor del Depto. de Contabilidad y Finanzas Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores de Mon-terrey -CCM . Calle del Puente No. 222, Ejidos de Huipulco, Tlalpan C. P. 14380 Mexico, D. F. Tel. 5483-2259 E-mail : [email protected]

**Profesora del Departamento de Contabilidad y Finanzas. Instituto Tecnologico y de Estudios Superioresde Monterrey - CCM . Calle del Puente No. 222, Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380 Mexico, D. F.Tel. 5483-2020 ext. 1346. E-mail : [email protected]

***Candidato a doctor en Ciencias Financieras por el Instituto Tecnologico y de Estudios Superiores deMonterrey – CCM. Calle del Puente No. 222, Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380 Mexico, D. F.E-mail : [email protected]


1. Introduccion

Uno los principales objetivos de la evaluacion de proyectos de inversion en el ambitoempresarial, es conocer si un proyecto es rentable o no, es decir si este agregara valora la empresa.

Para ello se usan diversas tecnicas de valuacion de proyectos, la mas ampliamenteaceptada o usada es la del Valor Presente Neto (VPN). Sin embargo a pesar de serun metodo sencillo en su aplicacion e interpretacion, se requiere un procedimientometodologico estricto para el calculo de los flujos netos de efectivo proforma, paraque estos se apeguen a la realidad y circunstancias del proyecto aportando elementosconfiables para llevar a cabo la valuacion del mismo.

Aun con lo anterior, la tecnica del VPN en ocasiones no reconoce algunos pro-yectos que pudiesen ser rentables para el inversionista, este hecho se puede explicarporque el valor presente de los flujos netos de efectivo proforma se calculan en unpunto dado del tiempo, es decir es un valuacion estatica, no incluye el dinamismo queconlleva un proyecto de inversion. Por lo tanto si con los elementos considerados enese punto dado del tiempo, el proyecto no proporciona un VPN positivo, es practica-mente rechazado.

Desde esta perspectiva se limita al inversionista y se condena al abandono un pro-yecto que con otro enfoque pudiese ser atractivo llevarlo a cabo, es decir no se ofrecenotras opciones y se pierden oportunidades valiosas.

Una propuesta que permite darle solucion a esta problematica, es lo que conocemoscomo Opciones Reales. Significa evaluar proyectos de inversion con un enfoque masdinamico, el cual incluye elementos no solo en un punto dado, sino en una serie depuntos en los cuales el proyecto cambia, por lo que se agregan en la valuacion de este,principalmente los elementos de incertidumbre y flexibilidad.

El enfoque de opciones reales en los ultimos anos ha tenido un mayor auge yaceptacion, sobre todo en areas como de la extraccion, farmaceutica, tecnologıas de lainformacion entre otras, mismas que requieren considerar elementos de investigacion ydesarrollo y por ende los intangibles que les agregan valor. Tambien este enfoque pau-latinamente va ganando terreno en otros sectores como en el turıstico, concretamenteen la evaluacion de proyectos hoteleros.

El siguiente documento tiene la finalidad de mostrar una aplicacion de la evalua-cion con opciones reales en la industria hotelera y hacer una comparacion con losmetodos de evaluacion que llamaremos tradicionales o estaticos, y poder comparar lasvirtudes que tiene uno respecto al otro, ası como destacar sus ventajas y desventajasen su aplicacion. El hecho de haber seleccionado la industria hotelera y como caso deestudio la expansion de un hotel, nos permite comprobar la versatilidad de la tecnicade opciones reales, ası como la de obtener informacion real como lo exige un estudiode este tipo y no solo quedar en una comparacion teorica.

La industria hotelera, enfoca sus posibilidades en lugares de interes para el viajeroque desea conocer zonas con atractivos turısticos, esto hace que en los lugares donde

Valuacion financiera de proyectos de inversion 53

se presenten dichas atracciones, sean elegidos para desarrollar complejos turısticos,por lo que el servicio que prestan los hoteles depende en gran medida de toda la infra-estructura instalada.

El tipo de mercado al que dan servicio los hoteles, son principalmente a los quelos visitan por razones de negocios, turismo, convenciones, conferencias o seminarios,entre otras.

Por otra parte, la industria hotelera genera ingresos al dar empleo directo, indirectoası como eventual en las temporadas denominadas altas. En el caso de Mexico, segundatos de la Confederacion Nacional Turıstica, la inversion privada turıstica acumuladadel 2007 al 2012, estiman fue de 11 mil 62 millones de dolares.

Por su parte Las Cuentas Satelites de Turismo clasifican a la actividad turısticaen: Actividades caracterısticas, que a su vez se subdivide en bienes, como son lasartesanıas, trajes de bano, entro otros y servicios, como alojamiento (hoteles, moteles,casas de huespedes, apartamentos rentados, etc.) y actividades no caracterısticas que asu vez tambien se divide en bienes como son alimentos y bebidas, ropa y calzado engeneral, restaurantes y bares, transporte (taxis, transporte urbano y suburbano), entreotros.

Los tipos de destino, segun la clasificacion de la Secretaria de Turismo son: Centrosde Playa, Grandes Ciudades y Centros Turısticos del Interior. Los visitantes, segun laOMT se clasifican en: Visitantes Internacionales (turista internacional –visitante conpernocta- y Excursionista –Visitante del dıa-), Visitante interno (turista –visitante conpernocta- y excursionista –visitante del dıa-).

El turismo ha tenido un crecimiento sostenido en los ultimos 60 anos, aunque es-te crecimiento no ha sido completamente aprovechado por Mexico. Siendo EstadosUnidos el mercado principal para Mexico, por lo que se adopta el concepto de resort,principalmente en hoteles en la playa con todos los servicios.

El objetivo que se persigue, es mostrar la evaluacion de un proyecto de expansionde un hotel, utilizando las tecnicas tradicionales y la de Opciones Reales, destacandoel calculo de la volatilidad por diferentes medios.

En la seccion 2 revisamos la literatura correspondiente a la tecnica de OpcionesReales, en la seccion 3 abordamos el concepto de Volatilidad, elemento importante aconsiderar, en la seccion 4 mostramos la metodologıa utilizada para la valuacion de laopcion de expansion del caso de estudio presentado en la seccion 5 el cual lo valua-mos con VPN, MonteCarlo, y Opciones Reales y finalmente en la seccion 6 emitimosnuestras conclusiones.

2. Opciones reales

Tradicionalmente las tecnicas de evaluacion de proyectos de inversion se basan en des-contar flujos de efectivo con la ayuda de una tasa de descuento, la cual debe reflejar,entre otras cosas, el riesgo que representarıa invertir en el proyecto. Los flujos descon-tados son posteriormente comparados con la inversion y se siguen ciertos criterios para


aceptar o rechazar el proyecto, sin embargo siempre cabe la posibilidad de rechazar unproyecto que, de alguna manera, pudiera ser rentable para el inversionista, o que no seha explorado la gama de posibilidades que un proyecto de inversion pudiera ofrecer.

El concepto de Opciones Financieras aplicado a la evaluacion de proyectos deinversion, es relativamente nuevo, tal vez entre dos o tres decadas y su uso, a pesar depresentar alternativas a los problemas, que la forma tradicional de evaluar proyectos noresuelve, es poco difundido, esto basicamente se debe, segun Timothy A. Luehrman(1998), a que su uso implica que en ocasiones sea necesario el apoyo de expertos o quela informacion que se necesita para el calculo de la volatilidad, no esta disponible enel mercado.

Las opciones reales, basan su idea en las opciones financieras, por lo tanto, las op-ciones reales involucran derechos sin la obligacion para adquirir o intercambiar un ac-tivo por una alternativa a un precio determinado. El enfoque de opciones reales ayudaa los tomadores de decisiones que estan interesados en valorar un proyecto de inver-sion, que conlleva un riesgo, sobre como colocar sus recursos; en otras palabras, sobresus tecnicas de presupuesto de capital. Por otra parte tenemos que contestar algunascuestiones, como por ejemplo ¿Como es que la flexibilidad genera valor? Al parecer larespuesta es sencilla; es un hecho que el mercado se caracteriza por una fuerte compe-tencia y cambios bruscos ocasionados por severas crisis financieras. Lo importante eneste punto, es considerar que dicha flexibilidad ademas de generar valor es cuantifica-da. Basicamente las opciones que se han estudiado a fondo son: La opcion de diferir, laopcion de tiempo para construir (inversion por etapas), la opcion para alterar la escalade operacion, la opcion de abandonar, la opcion de cambiar (insumos o productos),la opcion de crecer y finalmente, aunque no todas, la opcion de interaccion multiple(Trigeorgis).

Basicamente el concepto de opciones reales intenta hacer una analogıa entre opcio-nes financieras (opciones americanas ya que estas se pueden ejercer en cualquier mo-mento antes de la fecha de entrega o termino del contrato, Hull (1995)) y los proyectosde inversion, con esto se espera aprovechar oportunidades futuras de dicho proyecto.

A pesar de ser relativamente reciente el concepto de opciones reales, se han hechoesfuerzos para estudiar los aspectos necesarios para aplicarlo y resolver algunos de losproblemas a los que se puede enfrentar quien emplea este concepto.

Graham A. Davis (1998) menciona en un artıculo que la volatilidad y el rendimien-to, que nos permite calcular el precio de una opcion, son los mas difıciles de obtener,su calculo es ad hoc y se presentan errores potenciales en el proceso de valuacion. Eneste mismo artıculo se hace referencia a Majd y Pindyk quienes lamentan esto diciendo“pudo ser difıcil o imposible el estimarlos adecuadamente”.

Cuando el ente interesado en valuar un proyecto con opciones reales es una empre-sa, se ha encontrado que la volatilidad esta relacionada directamente con el valor de laempresa y que esta relacion es mas fuerte cuando la empresa cuenta con mas opcio-nes reales y lo mas importante es que la sensibilidad del valor de la firma a cambiosen la volatilidad se decrementa significativamente despues de que la empresa ejerce


sus opciones reales, (Gustavo Grullon, Evgeny Lyandres y Alexei Zhdanov, 2008, 36),lo que nos lleva al siguiente punto: La necesidad de contar con informacion, ya quedebido a la gran variedad de proyectos que se pueden presentar en una empresa sehace difıcil tener estandarizado los factores o variables que se usan para cada uno deellos. Por ejemplo, como se menciono en parrafos anteriores, encontrar un activo sub-yacente que nos permita calcular el valor de la opcion y de esta forma poder estimarsu volatilidad.

Este problema es enfrentado principalmente por pequenas y medianas empresasquienes al estar frente a multiples oportunidades de proyectos de inversion, no cuentancon informacion o no existe en el mercado informacion que les permita evaluar susproyectos con el enfoque de opciones reales.

Aun cuando no es posible tener informacion historica se puede usar SimulacionMonte Carlo para estimar la volatilidad. Tero Haahtela (2007, 1), menciona ademasque cuando no se cuenta con informacion historica, ademas de la volatilidad, tambiense hace necesario estimar el valor del activo subyacente, ya que segun el autor, tambientiene incertidumbre al inicio, por lo que al no considerarlo se puede sobreestimar lavolatilidad actual.

Aun contando con informacion historica al valuar la opcion nos topamos con ladifıcil tarea de escoger el mejor modelo que nos proporcione resultados reales y nospermita tomar decisiones sobre nuestro proyecto. Aun el modelo de Black-Scholes,que es el que se ha usado ampliamente para valuar opciones por la facilidad que estorepresenta para el inversionista, sus supuestos no ajustan o reflejan mucho de lo queen la realidad ocurre, por lo que se deben hacer cambios para obtener los resultadosdeseados.

Al igual que para las opciones financieras se requieren ciertas variables para deter-minar su valor, para las opciones reales tambien se deben identificar dichas variablesque son las siguientes: valor del activo subyacente, precio de ejercicio, tiempo de expi-racion de la opcion, desviacion estandar (volatilidad) del valor del activo subyacente,tasa de interes libre de riesgo sobre la vida de la opcion, dividendos, entre otros.

En el Cuadro 2, Comparativo de variables de Opciones financiera vs Opcionesreales, se muestra la identificacion de las variables mencionadas para ambos tipos deopciones.

Por lo tanto, el valor de las opciones esta condicionado al valor que tenga cada unaestas variables y los incrementos6 en los mismos afectan el valor de la opcion.

6Hull John C, Introduccion a los Mercados de Futuros y Opciones, 2.a ed., Prentice Hall, Madrid. 1996,Pags. 217-219


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Incremento en la variable Valor de opción de compra Valor de la opción de venta

Valor del activo subyacente Sube BajaPrecio de ejercicio Baja SubeTiempo de expiración de la opción

Sube Sube

Desviación estándar del activo subyacente

Sube Sube

Tasa de interés libre de riesgo

Sube Baja

Dividendos Baja SubeCuadro 1. Cambios y efectos en el valor de las opciones

Cambios y efectos en el valor de las opciones

Esta relacion se muestra en el Cuadro 1 de Cambios y efectos en el valor de lasopciones

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Variables Opciones Financieras Opciones Reales

Valor del activo subyacente Precio de la acción Valor presente de los flujos de efectivo que genere el proyecto

Precio de ejercicio Precio a pagar por ejercer la opción.

Costos ó monto de la inversión

Tiempo de expiración de la opción

Fecha de ejercicio Plazo hasta que la oportunidad desaparece.

Desviación estándar del activo subyacente

Volatilidad del precio de la acción

Incertidumbre sobre los flujos de efectivo del proyecto




Dividendos Dividendos del activo subyacente

Flujos de efectivo a los que se renuncia por no ejercer la opción.

Cuadro 2. Comparativo de variables de Opciones financieras vs Opciones reales

Comparativo de variables Opciones financiera vs Opciones reales.

3. La volatilidadPara valuar proyectos de inversion mediante la tecnica de opciones reales, se requie-ren principalmente seis parametros, los valores actuales de los flujos de efectivo delproyecto; el valor presente de los flujos de efectivo de la inversion; la tasa de intereslibre de riesgo; la fecha del termino de la opcion real; la tasa de rendimiento futuro delproyecto; y la volatilidad futura de los flujos de efectivo del proyecto.

Este ultimo presenta algunas dificultades al ser medido cuando no hay datos histori-cos del proyecto, por lo que existen diferentes intentos para calcularla.

En este trabajo se utilizan tres tecnicas diferentes para calcular la volatilidad. Laprimera es el enfoque de los rendimientos continuos de los flujos de efectivo que con-


siste en calcular la volatilidad utilizando datos historicos o estimaciones futuras de losflujos de efectivo. En general es difıcil tener esta informacion por lo que se utiliza lavolatilidad del rendimiento de mercado de alguna empresa similar. Esto ultimo noslleva a incurrir en un error, debido a que serıa muy difıcil encontrar una empresa concaracterısticas exactas al proyecto.

Los rendimientos continuos se definen como:

rt = ln(

St

St�1)

y se estima la volatilidad como:

� =

vuut 1

T � 1

TX

t=1

(rt � r) 2

La segunda tecnica es utilizar simulacion por el metodo de Monte Carlo. En esteenfoque se describen los costos y los ingresos identificando las fuentes de incerti-dumbre. Se genera un modelo y se realizan simulaciones del mismo con las cuales seestiman los parametros deseados, en nuestro caso la volatilidad.

El ultimo enfoque esta basado en tomar el “mejor de los casos” y “el peor de loscasos”. El administrador identifica los valores esperados pero propone una prediccionoptimista y una prediccion pesimista, por lo tanto se identifican dos tasas de rendi-miento. La volatilidad puede estimarse como:

� =

��b� a

3.3

��

dondeb es el valor optimista de la tasa de rendimientoa es el valor pesimista de la tasa de rendimientoel valor 3.3 es igual a dos veces el valor crıtico con un nivel de 0.95 (1.65) de probabi-lidad de una distribucion normal.


4. Metodologıa para el calculo de la opcion de expansion

El calculo de la opcion de expansion se utiliza para calcular el valor presente neto ex-tendido (VPNE) a partir del valor presente neto (VPN) de la siguiente manera, VPNE= VPN + Valor de la opcion. Para el calculo del VPN se utilizan las tecnicas tradicio-nales.

En este estudio se esta analizando la opcion de expansion. Estas opciones tomanen cuenta la posibilidad de incluir, dentro de un proyecto de inversion, oportunidadesadicionales de inversion, que en este caso es la construccion adicional de cuartos. Estetipo de opciones formalmente son equivalentes a una opcion de compra de tipo ame-ricana (una opcion call americana) y con el supuesto de que la volatilidad y la tasa deinteres es constante, al ser un call tendra el mismo valor que una opcion call europea(ct), por lo que para este trabajo se emplea la ecuacion de Black & Scholes:

ct = StN (d1)�Ke�r(T�t)N (d2)

pt = Ke�r(T�t)N (�d2)� StN (�d1)

d1 =

ln(StK ) +

⇣r + �2

2

⌘(T � t)

�pT � t

d2 = d1 � �pT � t

donde St es el precio del subyacente, en nuestro caso el valor presente de los flujosdel proyecto, K es el precio de ejercicio que en este caso depende de la demandade habitaciones y se considera el costo de invertir en los nuevos cuartos, N(x) es lafuncion de distribucion normal evaluada en x, r es la tasa de interes libre de riesgo delmercado, � es la volatilidad de la tasa de crecimiento del subyacente y T es la fecha demaduracion de la opcion.

Para nuestro estudio, se calcula la opcion bajo los tres diferentes enfoques de vo-latilidad estudiados en la seccion anterior.

5. Caso de estudio

Se presentan las consideraciones y el analisis correspondiente a la evaluacion de la ex-pansion de un hotel. El hotel cuenta por el momento con cien habitaciones, los planesde la gerencia es mejorar las instalaciones, ası como aumentar el numero de habitacio-nes.

El proyecto consiste en construir cien habitaciones nuevas, una alberca, un gim-nasio, un restaurante y renovar la cocina para darle servicio, ası mismo incluye lamodernizacion por completo de las habitaciones actuales. El costo de este proyecto esde $116,314,703.44.


El proyecto se evalua para el perıodo de 2010 a 2029, es decir para un horizonte detiempo de 19 anos. Para el calculo de los flujos de efectivo del proyecto, se calcularonlos flujos netos de efectivo antes y despues de la expansion, para ası compararlos yobtener los flujos de efectivo incrementales.

El 100 % de esta inversion se financia mediante capital propio del hotel. Por lotanto los flujos incrementales (ver Cuadro 3) son los que se consideran para llevar acabo la evaluacion del proyecto con la tecnica del Valor Presente Neto descontando losflujos a una tasa del 14 %.

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Año Flujos sin proyecto Flujos con proyecto Flujos incrementales2011 $12,004,544.94 $29,513,505.07 $17,508,960.132012 $10,824,073.30 $19,730,436.23 $8,906,362.932013 $10,839,688.78 $17,668,626.14 $6,828,937.362014 $11,452,490.47 $22,246,474.72 $10,793,984.252015 $14,014,611.26 $38,854,004.48 $24,839,393.232016 $12,929,989.95 $40,439,284.27 $27,509,294.322017 $12,609,133.38 $38,088,210.33 $25,479,076.952018 $11,370,074.31 $29,670,495.87 $18,300,421.552019 $12,071,686.53 $27,040,177.01 $14,968,490.482020 $11,255,384.28 $20,966,161.82 $9,710,777.542021 $11,105,891.52 $16,276,953.72 $5,171,062.202022 $12,052,291.71 $21,804,168.19 $9,751,876.472023 $12,678,803.43 $29,566,549.86 $16,887,746.432024 $13,163,398.48 $36,236,071.04 $23,072,672.562025 $12,352,405.66 $33,714,312.22 $21,361,906.562026 $12,063,718.50 $29,096,176.73 $17,032,458.232027 $11,578,077.86 $23,265,649.55 $11,687,571.692028 $11,482,771.82 $19,599,887.00 $8,117,115.182029 $11,487,629.69 $18,744,500.63 $7,256,870.95

Cuadro 3. Flujos y flujos incrementales

La referida tasa corresponde al Costo Promedio Ponderado de Capital y equivalea la tasa de Cetes mas puntos porcentuales solicitados por los socios y en virtud delriesgo que conlleva el proyecto.

El resultado es un VPN de -$11,826,534.89, que de acuerdo al criterio de acep-tacion de la tecnica, el proyecto debıa rechazarse por no generar o agregar valor alhotel.

A continuacion se utiliza la tecnica de opciones reales para valuar la opcion deexpansion. Esta opcion considera que el proximo ano o en los siguientes se podrıa


expandir el proyecto y construir 100 cuartos adicionales y aprovechar la estructuraconstruida de la alberca, el gimnasio, etc.

Se considera entonces la opcion de expansion de los 100 cuartos que puede eva-luarse con la ecuacion de Black&Scholes suponiendo la volatilidad y la tasa de interesconstantes en el tiempo. Para el calculo de la volatilidad se utilizo el porcentaje deocupacion del hotel, el cual fue estimado para los anos 2010 al 2029 obtenidos con lainformacion historica contenida en los anos 2001 al 2009, se aplico el metodo de pro-medios moviles usando tres rezagos, ya que con este numero de rezagos se encontro lamenor desviacion media absoluta o MAD por sus siglas en ingles. Esta informaciones de vital importancia para el estudio, ya que con su ayuda se pudo obtener la fuentede incertidumbre o volatilidad, la cual es necesaria para la evaluacion del proyecto conel enfoque de opciones reales ¿Por que considerar el porcentaje de ocupacion como laprincipal fuente de incertidumbre? La respuesta es muy sencilla, ya que es uno de losprincipales indicadores del desempeno de la industria hotelera, ademas de estar fuerte-mente relacionado con los ingresos y costos, los cuales permiten determinar la utilidadreal y proforma. Por otra parte con ayuda de la utilidad neta proforma se puede obtenerlos flujos de efectivo proyectados, que en el modelo clasico de evaluacion de proyectoses uno de los principales insumos junto con la tasa de descuento, los cuales permitenestimar la rentabilidad del mismo, mientras que en el modelo de opciones reales estambien de suma importancia, junto con la fuente de incertidumbre o volatilidad. Seutilizan los tres metodos explicados en la seccion tres.

La tasa de interes se toma de un 4.5 % y se considera un plazo de 19 anos. Secalcula que el costo de invertir en estos nuevos cuartos es de $105,969,812.12 que setoma como el precio de ejercicio.

El Cuadro 4 muestra los resultados

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Método Volatilidad Valor de la opción VPNEHistórico 6.65% $55,138,392.60 $43,311,857.71Monte Carlo 8.82% $55,296,597.07 $43,470,062.17M. y P. Casos 5.48% $55,123,070.44 $43,296,535.55

Cuadro 4. Cálculo del VPNE con distintos métodos para calcularla volatilidad.

Con los diferentes metodos para calcular la volatilidad, se obtiene un valor presenteneto extendido positivo, lo que indica que se debe aceptar el proyecto y la flexibilidadde la expansion tiene un valor importante en el mismo.

6. Conclusiones

En este trabajo se presenta la aplicacion de la tecnica de opciones reales en la industriahotelera para una expansion de su proyecto original. Se define el proyecto y se calculael valor presente neto (VPN) que nos lleva a rechazarlo por ser negativo. Se redefineel proyecto incluyendole una opcion de expansion que permite que el calculo del valor


presente neto extendido (VPNE), con la opcion, sea positivo y por lo tanto el proyectose acepte. En concreto, el utilizar para la valuacion del proyecto la tecnica de opcio-nes reales mediante una opcion de expansion para valuar el proyecto, proporciona alempresario la ventaja de agregar valor estrategico a su empresa, ya que podrıa capi-talizar futuras oportunidades de crecimiento, por lo que la tecnica de opciones realesmejora la capacidad de analisis del proceso de toma de decisiones por la flexibilidadque presenta y porque permite utilizar probabilidades de riesgo de la inversion. Lo an-terior es relevante en el sentido de que este riesgo tiene que ser estimado y es uno delos parametros esenciales al utilizar esta tecnica. Las opciones reales representan porlo tanto, los posibles caminos que un proyecto puede seguir, y al tener mas que unaalternativa, representa una vision mas amplia la cual agrega valor a la empresa.

La forma en que se realizo en este trabajo fue calculando la volatilidad de los flujosde diferentes maneras: calcular la volatilidad utilizando datos historicos o estimacionesfuturas de los flujos de efectivo; utilizar simulacion por el metodo de Monte Carlo ytomar el “mejor de los casos” y “el peor de los casos”. Las tres tecnicas nos llevan adiferencias significativas en la estimacion de la volatilidad, aunque el resultado final,al calcular el VPNE, nos permite aceptar el proyecto en los tres casos. Es importantetomar en cuenta que este parametro es relevante para el calculo de las opciones ypueden tomarse decisiones diferentes debido a alguna pequena variacion del mismopor lo que es importante que se encuentren metodos de calculo de la volatilidad y seestandaricen cuando se utilicen las tecnicas de opciones reales.

Es importante valuar lo proyectos desde un punto de vista mas dinamico y no soloen determinado punto del tiempo. Lo anterior, como en este caso especıfico, robustecela toma de decisiones de los empresarios al valorar de una forma mas detallada y conmayores elementos, sus posibles proyectos a emprender y por consiguiente bajar latasa de rechazo de las oportunidades que el mercado le ofrece.

La virtud del uso de la tecnica de opciones reales, es que una vez que el empresariola adopta, va muy de la mano con su pensamiento estrategico, el cual puede plasmarsemediante la valuacion de la diversidad de alternativas que un proyecto puede tomar,incluyendo el factor riesgo y flexibilidad al mismo tiempo.

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Analisis intersectorial de los lıderesempresariales colombianos a traves del

concepto de sustentabilidad1

Tatiana Giraldo Pardo*

Recibido 03 de Agosto de 2012. Aceptado 13 de Diciembre de 2012.

Resumen

La investigacion expuesta en este artıculo, pretende identificar el papel del “Lıder em-presarial” colombiano, como agente responsable dentro del contexto social, economicoy polıtico actual. Nuestra tesis principal, es que el liderazgo empresarial esta directa-mente relacionado con el desarrollo sustentable de un paıs, y que los niveles de susten-tabilidad difieren de acuerdo a las funciones de produccion de cada uno de los sectoreseconomicos del paıs. En otras palabras, el desarrollo sustentable es una consecuen-cia de la gestion o ejercicio del liderazgo empresarial de los dirigentes empresariales.Basandose en esta idea, sera posible definir estilos de “liderazgo empresarial” de acuer-do con su grado de orientacion al desarrollo sostenible o sustentable. Para hacer dichaclasificacion, es necesario primero que todo hacer distinciones entre varios conceptosrelacionados como responsabilidad social y sustentabilidad. Esto permitira de algunamanera, crear un modelo que permita determinar el alcance de la accion ejercida porlos lıderes empresariales dentro de su empresa y dentro del entorno de esta, entendi-da como gestion. A partir de esta reflexion teorica y conceptual, se hara un ejerciciode clasificacion, tomando como base una encuesta efectuada a 252 presidentes de lasempresas mas grandes de Bogota durante el primer semestre de 2008.

Abstract

The research described in this article aims to identify the role of Colombian “busi-ness leader” as responsable agent within the social, economic and political context.Our main thesis is that business leadership is directly related to the sustainable de-velopment of a country, and sustainability levels differ according to the productionfunctions of each of the economic sectors. In other words, sustainable development isa consequence of the exercise of the managerial business leadership . Based on thisidea, it will be possible to define styles of “business leadership” according to the de-gree of orientation respect to the sustainable development. To make this classification,it is firstly necessary to distinguish among several concepts as social responsibility andsustainability. This will permit create a model to determine the extent of the action

1Ponencia en el XV Encontro Latinoamericano de Administracao e V Congresso Mundial deAdministracao. Porto Alegre, Brasil. PRIMER LUGAR.

*Universidad Externado de Colombia. e-Mail: [email protected], [email protected]


exerted by business leaders within company and environment, understood as manage-ment. From this theoretical and conceptual reflection, there will be a ranking exercise,based on a survey of 252 presidents of the largest companies in Bogota during the firsthalf of 2008.

Clasificacion JEL: M14Palabras Clave: liderazgo, sostenibilidad, sustentabilidad, analisis factorial.

1. Definicion de liderazgo y liderazgo empresarial

Como se menciono antes, la literatura reciente sobre liderazgo ha estado dominadapor intentos de definir sus caracterısticas esenciales. Este ejercicio ha generado dife-rentes perspectivas ası como debates entre ellas. Algunas definiciones de lıder son lassiguientes:

“Debe tener un sistema de valores, confianza en los subordinados, inclinacionesa liderar, sentimiento de seguridad en situaciones inciertas”, Tannenbaum ySchmidt (1973).

“Un lıder selecciona los objetivos, las estrategias para cumplirlos, la adminis-tracion de los recursos, la motivacion y el reconocimiento a las personas y eldiseno, organizacion, direccion y control”, Levitt (1980).

“Un lıder es aquel establece una direccion, alinea las personas, las motiva ycrea una cultura”, Kotter (1990).

“Lıder es una persona que tiene carisma, presencia, extirpe, empatıa, que seconoce a sı mismo y sabe comunicar”, Pagonis (1992).

“Un lıder debe definir el proposito, lograr la atencion e interes de los emplea-dos, hacer que la organizacion se involucre, crear y sostener la atencion haciael logro de los objetivos”, Bartlett y Ghoshal (1994).

Para efectos de resumir las tantas definiciones de lıder, concluimos que un lıder esla persona que a traves del rol que ejerce como miembro de una organizacion o grupo,ejerce funciones estrategicas de alineamiento de recursos (incluido el recurso humano),para cumplir con sus fines o con los fines de la organizacion. Hay diversas manerasde llevar a cabo esta funcion de alineamiento tales como el carisma, un sistema derecompensas y castigos, la motivacion, la comunicacion eficiente, etc.

Por otra parte, de acuerdo con Ayuqui Carrion (1998), liderazgo empresarial esla funcion ejercida normalmente por dirigentes empresariales que tienen intereses deinfluir, no solo en sus propias empresas, sino en el desarrollo y crecimiento social,polıtico y de negocio mas amplio en la sociedad, por ejemplo a traves de agrupacionesindustriales, camaras u organizaciones representativas ante el sector gobierno”.

En este sentido, Gupta y MacMillan (2004) sugieren que los lıderes empresaria-les se enfrentan a dos desafıos. El primero tiene que ver con la necesidad de prever y

Analisis intersectorial de los lıderes empresariales colombianos 65

crear un escenario de las posibles oportunidades que pueden tomarse para revolucionarlas transacciones corrientes, a partir de los recursos disponibles. Llamamos al primerdesafıo representacion del escenario (o de las transformaciones). El segundo desafıo,esta relacionado con la necesidad de persuadir tanto a seguidores potenciales de quela transformacion de estas transacciones es posible alineando recursos para lograr losobjetivos basicos del escenario. Llamamos este desafıo representacion del reparto, en-tendiendo como reparto un conjunto de personas dotadas con los recursos apropiadospara ejecutar la transformacion. En total, el lıder empresarial desempena cinco rolesrelacionados con sus funciones de representacion del escenario y representacion delreparto. Juntos, esos cinco roles, proveen el marco teorico para la construccion delliderazgo empresarial.

Ası, la representacion del escenario, esta compuesta por los siguientes roles:

Estructuracion: Consiste en estructurar un cambio que impulse al grupo a los lımi-tes de sus habilidades balanceando metas altamente ambiciosas con una comprensionpragmatica de las capacidades de los individuos que podrıan utilizarse en realizar latransformacion.

Absorcion de la incertidumbre: el lıder empresarial formula una vision del estadofuturo que sera representado por sus seguidores, cargando el peso de la responsabili-dad de equivocarse sobre esa representacion del futuro. A partir de la absorcion de losefectos paralizantes de la incertidumbre de los seguidores, el lıder empresarial cons-truye un clima de confianza que les permite actuar de una manera mas fluida en pro dela realizacion de la vision del lıder.

Limpiar el camino: Los lıderes empresariales anticipan y disuelven resistencias po-tenciales, obteniendo el apoyo de los stakeholders claves y eliminando los obstaculosque acompanan las metas deseadas. Para ello actuan como intermediadores entre lafirma y su entorno.

Los roles relacionados con la representacion del reparto, son los siguientes:

Construir compromiso: Los lıderes empresariales usan las habilidades de sus colabo-radores, para conducirlos e inspirarlos a esforzarse en acompanar el escenario descritopor el lıder. Es necesario, por lo tanto, hacer disponibles los recursos crıticos y, entreellos, la informacion.

Especificar los lımites: Cuando las restricciones son definidas, es mas facil captar ysostener el compromiso de cara a las contingencias y restricciones de la accion. Estotambien agiliza los procesos creativos relacionados con la innovacion y elimina ideasautoimpuestas de limitacion.

2. Enfoques de estudio del liderazgo

Olson y Bolton (2002), proporcionan una clasificacion en distintas corrientes de estu-dio de las posibles definiciones de liderazgo, con el fin de valorar la relevancia de laliteratura en liderazgo para la ciencia de la gestion de las organizaciones:


Liderazgo como rasgo de la personalidad: Se enfoca en el descubrimientodel liderazgo como parte de la personalidad y examina diferentes aspectos delcaracter, buscando la explicacion del liderazgo en las similitudes entre persona-lidades de lıderes particulares de la historia en diferentes ambitos (economico,social, polıtico). Esta lınea de investigacion no ha sido soportada por los resul-tados de la investigacion empırica.

Liderazgo como un resultado del proceso de grupo: esta lınea define el li-derazgo como un fenomeno inseparable del contexto organizacional, grupal osocial de lıder.

Liderazgo como influencia: En este enfoque se ha definido liderazgo como elproceso de ejercer influencia individual en los comportamientos de los seguido-res. Se hace distincion entre lıderes transaccionales y transformacionales (Bass,1981). Los lıderes transaccionales son aquellos quienes logran la sumision depromesas de recompensa o de amenazas de disciplina, dependiendo del desem-peno de tareas especıficas y mensurables (McLean y Weitzel, 1991), mientrasque los lıderes transformacionales convencen a los otros a ver la situacion demanera diferente a como lo harıan en otro caso, y para responder positivamentea la vision alternativa del lıder.

Liderazgo como un patron de actividades y enfoque de atencion y esfuerzo:Esta lınea se enfoca en el conjunto de responsabilidades que enfrentan los lıde-res, ası como en el tipo de enfoque y acciones necesarias para cumplir con ellas.Tanto Laurie (2000) como Heifetz (1994), enfatizan en la importancia del rol delos lıderes para salir de las crisis a las que se enfrenta la organizacion, enmar-cando los problemas dentro del contexto interno y externo de la organizacion ymovilizando el recurso humano. Otros autores identifican la creacion, gestion, yla transformacion de la cultura organizacional como la funcion esencial y clavede la competencia del liderazgo (Schein 1992, 1999).

Dentro de este enfoque, se hace recurrentemente una distincion entre liderazgo ymanagement (o direccion). De acuerdo con Kotter (1997, 1999), las actividades demanagement incluyen las de planear y presupuestar, ası como organizar, proveer depersonal, controlar y resolver problemas. En contraste, las actividades clave del lide-razgo consisten en el establecimiento de una direccion, el alineamiento de personas(con la direccion), ası como la motivacion y la inspiracion. Adicionalmente, dentro deeste ultimo enfoque, Robbins(2004) hace enfasis en dos patrones de conducta del lıdero dimensiones del liderazgo:

1. La dimension de “consideracion” o grado en el que es probable que el lıdertenga relaciones de trabajo caracterizadas por la confianza mutua, el respetopor las ideas de los subordinados y sus sentimientos. Cuando esta dimensionesta acentuada, el lıder tiende tener una elevada disponibilidad para escuchar alos subordinados y permitir su participacion en la toma de decisiones (Robbins,2004).


2. La dimension de “iniciativa para la estructura” que implica el grado en el quees probable que el lıder defina y estructure su papel y el de sus subordinadosen el intento de conseguir las metas (Robbins, 2004). Esto implica, la maneraen que el lıder facilita y provoca las interacciones en el grupo asignando, porejemplo, a los miembros del grupo tareas concretas para la consecucion de lasmetas propuestas.

La conducta del lıder debe tener en algun grado estas dos dimensiones.

3. Antecedentes del estudio del liderazgo en Colombia: El proyecto GLOBE

La iniciativa mas importante en materia de estudios sobre el liderazgo en Colombia,ha sido hasta el momento el proyecto GLOBE, el cual es un proyecto multinacionalde multiples fases en el cual se estudia la relacion entre la cultura social, la culturaorganizacional y el liderazgo en diferentes paıses alrededor del mundo. Iniciado en1993 por Robert House de la escuela Warton en la Universidad de Pensilvania. Estainvestigacion ha involucrado a 170 investigadores de 64 paıses.

De acuerdo con los parametros del grupo GLOBE, la investigacion comenzo enColombia en 1993 bajo la direccion de Enrique Ogliastri (Universidad de los An-des).Se llevaron a cabo una serie de entrevistas semi-estructuradas a lıderes de 40 fir-mas colombianas calificadas como “negocios excepcionales” (outstanding business),en forma de FocusGroup, con la ayuda de 50 estudiantes asistentes de investigacion.Los entrevistados fueron los miembros del staff de estas firmas y otro tipo de personalproximo a este como las secretarias de los lıderes. Las preguntas se dispusieron detal manera que se pudiera saber que tipo de liderazgo existıa dentro de las organiza-ciones colombianas de acuerdo con los gerentes.Los lıderes fueron entrevistados conrespecto a diferentes aspectos de su carrera, estilo de vida y filosofıa, y fueron instadosa describir las acciones que los han ayudado a lograr resultados significativos en suscompanıas. Las firmas pertenecıan al sector financiero y de telecomunicaciones prin-cipalmente, y la muestra fue tomada teniendo en cuenta criterios como la aparicionrecursiva en medios de comunicacion.

El analisis cuantitativo de los datos demograficos para los 302 gerentes de nivelmedio (40 empresas colombianas exitosas), reporto los siguientes resultados (prome-dio):

Edad: 35 anos

Proporcion hombres: 65 %

Proporcion Colombianos: 99,7 %

Anos de experiencia laboral (E.L.): 12 anos

Anos de educacion formal: 16 anos

Posicion jerarquica: Dos niveles abajo del nivel mas alto y tres niveles arriba delos trabajadores de planta


En cuanto a los resultados del focus group, estos sugieren que el principal factor,al cual obedecen los excelentes resultados que han tenido en la companıa, es tener unavision clara e integral de la empresa y su entorno. En un segundo lugar, una aptitudespecial para dirigir la companıa, particularmente a traves del uso extensivo de pro-gramas de entrenamiento fuera de la companıa, junto con el carisma del respectivogerente (manager), trae satisfactorios resultados a la empresa.

Aquellos lıderes que reportaron mejores resultados en el sector financiero, funda-mentalmente estan caracterizados como los que tienen claramente definidas las estra-tegias de negocioy a su vez, unavision para la evolucion en cuanto a su respectivonegocio. Cabe recalcarque quienes son tambien capaces de identificar nuevos nichosde mercado, y de aprovechar oportunidades a traves de objetivos agresivos son lideresejemplares.

La seleccion cuidadosa del personal, ası como los programas extensivos de entre-namiento, la flexibilidad organizacional, el “trabajo duro” como ejemplo, y la comu-nicacion de los valores centrales de la organizacion demostraron ser claros factoresdecisivos en el rendimiento empresarial.

En resumen, los hallazgos del estudio de Ogliastri (1998), estaban relacionadosprincipalmente con un liderazgo en el sentido clasico, orientado hacia el interior dela organizacion mas que con el “liderazgo empresarial” (entrepreneurialleadership),aunque con un alto componente de la dimension de “consideracion” con el recursohumano, de acuerdo con la caracterizacion del liderazgo de Robbins (2004). No obs-tante, debe tenerse en cuenta que el estudio se efectuo sobre la perspectiva de gerentesde nivel medio y no alto, como en el caso de nuestro trabajo.

4. Definicion de sustentabilidad

El concepto de desarrollo sustentable empieza a perfilarse con ocasion de los estudiosde Jay Forrester que dan origen a los planteamientos del Club de Roma (1972), recogi-dos en el libro “Los lımites del crecimiento” (Meadows y otros) informe que partiendode la interrelacion de diversas variables, tales como la poblacion, los recursos natu-rales, las inversiones de capital, la calidad de vida y la polucion, permiten formularescenarios segun las modificaciones o no que se lleven a cabo, en una o mas de lascitadas variables.

El concepto de sustentabilidad, propuesto internacionalmente por el informe Brund-tland sobre ”Nuestro Futuro Comun“ en 1997, corresponde a un esfuerzo por integrarla dimension ambiental al desarrollo, concepcion tradicionalmente ligada a una di-mension eminentemente social y economica. Esta nueva concepcion de desarrollo fueoficializada a nivel gubernamental a partir de la Cumbre de Naciones Unidas sobreMedio Ambiente y Desarrollo, realizada en Rıo en 1992, donde se establecen acuer-dos para enfrentar los desafıos que presenta la finalidad de los recursos del planetay la destruccion de los sistemas que mantiene su estabilidad biofısica, tales como elsistema del clima. En ella tambien se establece una Agenda de Accion socio-polıticapor cada uno de los actores (incluidos los de la sociedad civil, el estado y el mercado),para implementar la compatibilidad entre desarrollo y medioambiente.


El marco establecido para el desarrollo de este concepto, ha integrado los desafıosambientales y socio-economicos de la civilizacion humana a fines del siglo 20, y almismo tiempo ha integrado la participacion y accion de los ciudadanos como factorfundamental para la implementacion del desarrollo Sustentable.

Simultaneamente desde inicios de los 90 el concepto de sustentabilidad ha sidosujeto de discusion y permanente reelaboracion por parte de la sociedad civil, el sectorempresarial y los gobiernos, tanto en el Norte como en el Sur, a partir de la implemen-tacion de las estrategias de desarrollo sustentable.

Atendiendo a que practicamente todos los escenarios en que se situa dicho estudio,presentan en algun momento hacia adelante una caıda sustancial de las condicionesactuales de vida, concluye que las acciones del presente incidiran con fuerza en elcomportamiento futuro del planeta, por lo que de estos argumentos se origina en el In-forme de la Comision Brundtland, 1987, la definicion de desarrollo sustentable como:“satisfacer las necesidades de la presente generacion sin comprometer la posibilidadde las futuras generaciones para satisfacer sus propias necesidades” (Motivacion prin-cipalmente social).

La Cumbre Mundial, organizada por Naciones Unidas en Rio de Janeiro en 1992,produjo la formulacion del documento Agenda Local 21, que establece modos deaccion orientados al desarrollo sustentable, la necesidad de compartir riquezas, opor-tunidades y responsabilidades entre paıses desarrollados y paıses pobres, el desarrollode polıticas locales y de accion entre autoridades municipales y otros sectores de lasociedad local, para trabajar en conjunto por el desarrollo sustentable, distinguiendoseis factores clave:

Gestion y desarrollo de la practica ambiental desde la propia autoridad local

Integracion de las metas del desarrollo sustentable a las propias polıticas y acti-vidades de la autoridad local

Toma de conciencia y educacion a la comunidad.

Consulta e integracion del publico en general.

Mecanismos de asociacion.

Medidas de monitoreo e informes de los progresos logrados hacia la sustentabi-lidad.

El PNUD, en su Informe sobre Desarrollo Humano de 1996 establecio algunosvınculos entre crecimiento economico y desarrollo para lograr la sustentabilidad: equi-dad, oportunidades de empleo, acceso a bienes de produccion, gasto social, igualdadde genero, buen gobierno y una sociedad civil activa.


En esta lınea, el concepto sustentabilidad hace referencia a la interrelacion de treselementos:

1. Sustentabilidad ambiental referida a una parte del desarrollo que se orienta amantener y proteger los sistemas vivos de la tierra y los sistemas biofısicos, conla finalidad de garantizar la satisfaccion de las necesidades de las generacio-nes futuras. La primera dimension es la sustentabilidad ambiental; referida ala necesidad de asegurar la satisfaccion de las necesidades de las generacionespresentes, sin comprometer las necesidades de las generaciones futuras. Estoimplica la necesidad de proteger y mantener los sistemas vivos de la tierra, ylos sistemas bio-fısicos que permiten la mantencion de las funciones del plane-ta; el uso sustentable de la naturaleza y los ecosistemas; y el establecimiento decambios de conducta, normas, leyes e instrumentos economicos necesarios paraasegurar la sustentabilidad ambiental.

2. La segunda dimension de la sustentabilidad es la sustentabilidad social; cuyoobjetivo fundamental es la Equidad. Que implica la solucion de la pobreza, ladistribucion equitativa de los beneficios del desarrollo, y la concrecion de con-diciones de dignidad para la vida humana. El desafıo de la sustentabilidad socialimplica la satisfaccion de las necesidades humanas establecidas en los derechoseconomicos sociales, polıticos y culturales (y no solo aquellos a la salud, edu-cacion, y vivienda, reconocidos en las tradicionales polıticas sociales, que porcierto sı aseguran la reproduccion biologica de las personas como recursos hu-manos al servicio del mercado). Sino que implica ademas de la distribucion delingreso, la equidad entre los generos, la equidad entre las razas, las culturas,entre las personas que habitan las regiones o los territorios nivel nacional, y laequidad entre las sociedades del Norte y del Sur.

3. Finalmente la sustentabilidad tambien involucra gobernabilidad democratica,una ampliacion de las concepciones tradicionales de libertad polıtica, pues ase-gura que cada ciudadano pueda ejercer su derecho a ser un actor en la decisione implementacion de su propio desarrollo. Ası la sustentabilidad polıtica, in-corpora junto a las tradicionales concepciones de libertades polıticas, los reque-rimientos de autodeterminacion de los pueblos indıgenas o de las comunidadeslocales o regionales en relacion a poderes centralizados, y las reivindicacionesde equidad en la participacion en el ambito de los territorios, los generos, lasgeneraciones y las culturas, y tambien la coherencia entre los ambitos publicoy privado. Esta dimension polıtica de la sustentabilidad permite asegurar el in-cremento de la profundizacion democratica, y por tanto niveles crecientes degobernabilidad. La expresion de la sustentabilidad polıtica es la gobernabilidaddemocratica, que implica actualizacion de los derechos humanos; participacionde los ciudadanos (mujeres, indıgenas, jovenes, etc.) en la toma de decisiones;participacion de los ciudadanos en los sistemas polıticos; descentralizacion enla gestion del poder y en la toma de decisiones, y la existencia de institucionespara democracias participativas y descentralizadas.


Por su parte, Martija (2010) afirma que la sustentabilidad es una variable latenteo un constructo, en cuanto se trata de un concepto que puede ser descrito en terminosconceptuales pero que no puede ser medido directamente o medido sin error. Para me-dir esa sustentabilidad habrıa que construir un factor, definido como una combinacionlineal de variables originales que representan al constructo y que resume o explica alconjunto original de variables observadas. Propone entonces, un modelo conceptualpara la sustentabilidad teniendo en cuenta tres variables o dimensiones que definen unentorno determinado:

1. La dimension economica, se centra en la necesidad de sostener un crecimientoeconomico a partir de la incorporacion de los costos de degradacion y agota-miento de los recursos naturales que dicho crecimiento impone. En este enfoquela degradacion ambiental puede ser monetarizada, buscando una ecoeficiencia oeficiencia en el uso de los recursos. Lo que se busca es hacer el mejor uso delos recursos escasos, procurando el maximo de eficiencia en la relacion entre elconsumo de recursos y los logros o beneficios obtenidos.

2. La dimension social tiene relacion con el concepto de necesidades basicas, con-cibiendolo como un medio para alcanzar el bienestar social valorando la exis-tencia de una serie de condiciones ecologicos que son necesarias para sustentarla vida humana, en una distribucion que tienda a la equidad. La busqueda seencamina hacia lograr proveer a las personas de los bienes y servicios que lasociedad ha logrado generar procurando que su acceso a ellos sea con la mayorequidad posible, integrando a las personas como una sociedad que interactua yse nutre de la variedad generada en la individualidad.

3. La dimension territorial, critica el acceso y control inequitativo de los recursosnaturales que caracterizan los modelos de desarrollo actuales buscando el usodel territorio de manera mas justa entre las personas, las regiones y los paıses,propendiendo a una habitabilidad adecuada para todos. Lo que se busca es lahabitabilidad del espacio natural para el desarrollo pleno de las actividades hu-manas, en relacion con los recursos y medios tecnologicos disponibles


Figura 1: Integracion de las tres dimensiones de la sustentabilidad

Fuente: Martija (2010).

Se trata por consiguiente de concebir la sustentabilidad integrando las tres di-mensiones anteriormente mencionadas en un contexto determinado. La sustentabili-dad serıa el resultado del equilibrio entre habitabilidad, equidad y eficiencia. Integran-do esas dimensiones, es posible concentrarse en las relaciones entre ellos. La simpleidentificacion de las relaciones entre ellos tres, permite reconocer modelos o tipos dedesarrollo.

Figura 2 : Relaciones entre las tres dimensiones de la sustentabilidad

Fuente: Martija (2010).

De esta manera hay una gama de matices entre esos tres ejes, que permiten evaluar


la sustentabilidad en diferentes contextos de la vida humana y organizaciones, comose muestra en la figura 2. Estas variables, fungen como variables latente o factores sise quiere hablar en terminos de estadıstica multivariada.

5. Relacion entre sustentabilidad y sostenibilidadPara abordar la dimension de sustentabilidad consideramos necesario hacer una distin-cion con el termino sostenibilidad, este ultimo comunmente utilizado como sinonimode sustentabilidad en diversos documentos tanto de organismos internacionales, comogubernamentales y academicos. Arrigo Coen (2006) explica que los terminos susten-table y sostenible tienen morfologicamente la misma raız ten, los prefijos sus y sos ycomparten el prefijo le. Sin embargo, establece diferencias:

. . . sostenible se refiere al aspecto endoestructural del sistema de que se trate, loque ha de permanecer firmemente establecido, asentado, fijo, inalterable, inamovible.

Y sustentable sera lo supra-o super estructural de ese mismo sistema lo que re-quiere que se lo este alimentando , proporcionandole los medios de sobrevivencia y depersistencia, a fin de que pueda extender su accion, no solo en su ambito (espacio) sinotambien en el tiempo (Coen, 2006).

El concepto sustentable aunque no es antagonico, tampoco es equivalente con el desostenible. Este ultimo relaciona las variables de crecimiento economico con los recur-sos naturales, y aunque parte de una supuesta racionalidad en esa relacion, pretende elcrecimiento economico a costa de la naturaleza y al servicio de un desarrollismo quepierde el sentido de desarrollo humano.

Al respecto, Alberto Cortes politologo de la Universidad de Costa Rica, mencionalo siguiente:

La definicion mas superficial y predominante de desarrollo sostenible reduce eldesarrollo a desarrollo economico y este a crecimiento economico (medido como in-cremento del PIB o del ingreso per-capita). Dentro de esta corriente, sostenible tienedos significados principales: por un lado, que el crecimiento economico es constanteen el tiempo (crecimiento economico sostenido), por otro lado, sostenible expresa con-servacion ambiental, que, en su uso predominante, significa una polıtica localizada queno cuestiona, o no implica un replanteamiento de, los patrones de consumo, de produc-cion de bienes, de generacion de desechos ni de impactos sobre la naturaleza , sino unsimple aislamiento de determinadas areas geograficas, sin importar lo que suceda ensu entorno (problemas sociales, exclusion, etc). En este discurso, lo ambiental aparececlaramente subordinado a lo economico, lo que se evidencia en el peso que tiene eltema del crecimiento economico, planteado como el requisito central para alcanzar eldesarrollo (Cortes, 2001).

Contrario a lo anterior, el desarrollo sustentable hace referencia a la mejora en lacalidad de vida a las personas sin que se vulneren las leyes de la naturaleza; es decir,que se respeten en todas sus dimensiones, lo cual implica no solo no afectarla sinocuidarla y estar en plena armonıa con ella. Como sostiene Cortes (2001) al desarro-llo sustentable le interesa no solo el crecimiento economico, sino tambien como seproduce el mismo y como se distribuye la riqueza creada.


Lo sustentable tiene como eje al ser humano sin afectar la naturaleza y el medioambiente, por ello transciende el ambito economico y permea lo social, lo cultural,lo polıtico y las mismas relaciones de poder en funcion de garantizar las necesidadesbasicas de las personas y de las generaciones venideras, es decir de un nivel de calidadde vida digna que no esta basado en la acumulacion de bienes materiales. Este nivelde vida, para Sen, se mide en funcion de “libertades reales que la gente disfruta”,las cuales incluyen, ademas de las oportunidades economicas, las polıticas, sociales,culturales y de seguridad.

Ahora bien, el PNUD en su informe de Desarrollo Humano de 1992, incluyo ladimension de sostenibilidad para referirse a un tipo de desarrollo orientado a satisfacerlas necesidades de las generaciones actuales, pero sin poner en riesgo la capacidad ylas oportunidades de las generaciones futuras, para que estas puedan tambien satisfacersus necesidades.

No obstante, en la definicion de desarrollo sostenible de dicho informe, el enfasisesta puesto en la necesidad de cuidar el medio ambiente, pues se afirma que:

Una de las principales amenazas contra el desarrollo humano y economico sos-tenible proviene de la espiral descendente de pobreza y degradacion ambiental queamenaza a las generaciones actual y fururas (PNUD, 1992, p.47).

Cabe recordar que la relacion entre desarrollo economico y deterioro del medio am-biente figuro por primera vez en el programa internacional en 1972, en la Conferenciade las Naciones Unidas sobre el Medio Ambiente Humano, celebrada en Estocolmo. Araız de esta conferencia, los gobiernos crearon el Programa de las Naciones Unidas pa-ra el Medio Ambiente (PNUMA): Mas tarde, en 1983, se establecio la comision sobreel Medio Ambiente y Desarrollo. En 1987, dicha comision encabezada por Gro HarlemBrundtland de Noruega introdujo en su informe el concepto de Desarrollo Sostenibleque en esencia proponıa, desde un enfoque del crecimiento economico: “Satisfacer lasnecesidades del presente sin comprometer la capacidad de las generaciones futuras desatisfacer sus propias necesidades” (Naciones Unidas, 1998, p.215).

En este caso y como anteriormente lo mencionabamos, lo ambiental quedo subor-dinado a lo economico y fue ası como todavıa aparecıa en los documentos del PNUDdesde la primera mitad de la decada de 1990. La razon de la permanencia de esta vi-sion, se debe a la conferencia de las Naciones Unidas sobre el Medio Ambiente y elDesarrollo, celebrada en Rıo de Janeiro en 1992 –conocida tambien como la Cumbrepara la tierra- en la cual la preocupacion principal se centro en lograr acuerdos sobreun enfoque del desarrollo que protegiera el medio ambiente y a la vez garantizara eldesarrollo economico y ası sentar bases para una colaboracion mundial entre los paısesen desarrollo y los mas industrializados (Naciones Unidas, 1998, p. 215). De ese mo-do, en la Cumbre de Rıo se proclamo el desarrollo sostenible como una nueva meta dela humanidad para superar la crisis ambiental y global.

Algunas organizaciones sociales latinoamericanas que querıan diferenciar su posi-cion de la oficial, es decir de la que promovıan las Naciones Unidas y los gobiernos,


adoptaron el termino sustentable para referirse a un tipo de desarrollo que no solo ve-lara por lo ambiental, sino tambien por lo social y lo polıtico, de ahı la utilizacion deltermino desarrollo sustentable.

Para 1995, tuvo lugar la Cumbre Mundial de Desarrollo Social, en Copenhague,Dinamarca, en respuesta a la convocatoria de la Asamblea General de las NacionesUnidas, para tratar los problemas sociales que afectaban a casi todos los paıses delmundo. En esencia, el acento se puso en la pobreza y la exclusion social, para lo cualse definieron algunas medidas y se establecieron compromisos para su reduccion. Apartir de ello, el tema del desarrollo humano sustentable cobro mayor importancia, parasituarse en una discusion no solo entre la relacion de lo economico con lo ambientalsino tambien con lo ambiental y lo polıtico.

De acuerdo con Lopez-Ricalde (2005), la definicion de desarrollo sustentable se haido ajustando gradualmente al irse incrementando condiciones sociales en donde el serhumano es parte de un sistema y no dueno del mismo. En este sentido, hemos intentadohacer un constructo a partir de la perspectiva del liderazgo empresarial, teniendo encuenta las funciones descritas por Gupta y MacMillan (2004), a saber, “representaciondel reparto”, en cuyo caso estarıamos hablando de “sostenibilidad” y “representacionde las transformaciones”, lo cual puede asociarse a la “pertinencia” de la gestion delrespectivo lıder empresarial y consecuentemente del funcionamiento de la empresa quelidera.

En primer lugar, la sustentabilidad se entiende como la capacidad de un proyectopara continuar siendo viable a largo plazo. Por tanto, esta directamente relacionadacon la capacidad organizacional de conducirla, es decir, con la sostenibilidad (Letelier,2002) y con la pertinencia, definida como la utilidad publica una actividad (en estecaso economica).

Por una parte, las condiciones de sostenibilidad, estan asociadas con variables co-mo la viabilidad financiera y la estabilidad presupuestaria, que permiten la ejecucioneficaz y eficiente de los procesos de una empresa u organizacion (Letelier, 2002).

El financiamiento, por lo tanto, debe cubrir los gastos necesarios, para que las ac-tividades productivas responder a las demandas del entorno y a las expectativas que lapoblacion tiene en ellas. Tambien son necesarios recursos como infraestructura fısica,la tecnologıa y los servicios de informacion. Ademas, debe demostrarse no solo queestas actividades o proyectos dispondran de recursos, sino tambien que las fuentes deesos recursos se mantendran o variaran positivamente en el tiempo.


Figura 3 : Relacion entre sustentabilidad y otros conceptos

Fuente: Elaboracion propia.

La segunda condicion de la sostenibilidad, tiene que ver con la gestion de los re-cursos humanos estableciendose las competencias que se requieren para conformarcada equipo, ası como los plazos y las estrategias para alcanzar los propositos pro-puestos (Letelier, 2002). Por lo tanto, las condiciones de sostenibilidad, no solo estanrelacionadas con la eficiencia en el uso de los recursos, sino tambien con temas eticos.

Por otra parte, la sustentabilidad se relaciona tambien con la capacidad organiza-cional de adaptarse a las condiciones cambiantes del entorno (polıtico, economico,cultural, educacional, demografico, etc).Esto obliga a las empresas a revisar el disenode sus actividades y a monitorear permanentemente sus resultados, con el fin de queestas sean relevantes para el desarrollo integral del paıs. Es en este ambito, donde sehalla la pertinencia de las empresas colombianas, lo cual coincide con la dimension derepresentacion de las transformaciones de Gupta y MacMillan (2004).

Aunque la sustentabilidad de las empresas depende de la pertinencia social de estasy de la capacidad interna de sostenerlas con una gestion efectiva, puede haber formasalternativas de concebir la sustentabilidad (Ver figura 1).

En la ecuacion numero dos, se concibe la sostenibilidad como el resultado del ejer-cicio del liderazgo clasico, en los terminos en que lo define Robbins (2004), teniendoen cuenta las dimensiones de consideracion con el recurso humano e iniciativa para laestructura.

De acuerdo con la cuarta ecuacion del diagrama, la sustentabilidad es el resultadode una orientacion a la estructura, en terminos principalmente de la orientacion a losobjetivos y metas economicos de la empresa, y la responsabilidad social, que no esmas sino la combinacion entre la consideracion al recurso humano, teniendo en cuentaclaro esta, el componente etico, y la pertinencia social y ambiental de las acciones dela empresa.

6. Sustentabilidad y liderazgo empresarial

La gran labor del lıder socialmente responsable es lograr generar un cambio estructu-ral permanente en el sector que lleve a la industria a desempenar un nuevo rol en eldesarrollo del paıs y de aporte a la sociedad. Un rol proactivo que busque desarrollarse


como un todo, entendiendo que la empresa es una extension de la comunidad. Debelograr que el sector se reinvente asimismo desde adentro hacia afuera bajo el marcode un comportamiento etico y de profundo respeto por los intereses de los demas ac-tores. No obstante la tarea no es facil, muchos son los retos que deben abordarse enla industria de hidrocarburos para alcanzar el objetivo de reestructurarse como un sec-tor socialmente responsable no solo pasa por resolver los problemas ahora existentea lo largo de cada una de las etapas de su cadena productiva tales como la decisiondel uso de la tecnologıa adecuada, la gestion de recursos humanos, la maximizacionde los beneficios economicos sin perjuicio social, el cumplimiento de regulaciones deseguridad, o los temas ambientales y/o comunitarios, si no por un cambio interno en laforma de ver y hacer negocios en forma etica y responsable.

Ante tal tarea se requiere de una decidida y desafiante actitud que transforme el sec-tor reorientandolo a su verdadero compromiso con la sociedad con una vision holısticadel negocio buscando generar valor a traves de una sostenibilidad enfocada en tresdimensiones: (a) economica, (b) social, y (c) y medioambiental. Por ello un exitosolıder en el sector debe tener conciencia de estas tres dimensiones y reconocer en labusqueda de los objetivos comunes existen multiples procesos entrelazados, comple-jos y multicausales. Debe desafiar el statu quo establecido por la vision tradicional queconsidera a la empresa un ente autonomo y soberano en sus decisiones, el lıder debereconocer que la empresa es una entidad organica que esta insertada en el mercado, enla sociedad y en el medio ambiente.

Segun D‘Alessio (2010), los lıderes transformacionales son proactivos; es decir,ellos procuran optimizar e innovar el desarrollo individual, grupal, y organizacional, yque no se quede solo en expectativas. Por otro lado se senala que los mismos operancon una genuina preocupacion por los otros, son eticos por naturaleza, y parecen serguiados por un conjunto de valores morales que estan basados en principios y referidosa hacer lo correcto.

EI proceso de cambio, es necesario y el lıder juega un papel importante al propiciarla necesidad de urgencia de cambio hacia un comportamiento socialmente responsa-ble que reconozca una nueva funcion social de la industria y el impacto agregado quetoda la cadena productiva de sus operaciones tiene en todos esos ambitos. EI lıderdebe aportar su pensamiento integrador en la busqueda de soluciones mas optimas ycreativas dentro un mundo de aparentes conflictos y posiciones encontradas. EI pen-samiento integrador genera opciones y soluciones nuevas y representa una cualidadinnata en los lideres exitosos. Para Martin (2007, p. 469) los pensadores integradoresno les importan las complicaciones. De hecho, celebran su aparicion, porque les ase-guran que no han descuidado nada que pueda dar luces a un problema en su conjunto.Asumen la complejidad, porque de allı provienen las mejores respuestas. Confıan enque se abriran paso y saldran de ella con una solucion clara.

Sin embargo como todo proceso cambio, el exito no solo radica en el esfuerzo delıder sino tambien en el grade de compromiso y confianza generada entre sus segui-dores, los cuales deben reconocer en el lıder una autenticidad en su comportamientoy valores. Por ello son importantes las cualidades que debe reflejar el lıder hacia den-tro y fuera de la organizacion como la admiracion, respecto y confianza. De acuerdo


a Goffe & Jones (2005) si un lıder no es autentico tarde o temprano sus seguidoresse sentiran enganados, y una vez que esta impresion se arraiga es difıcil recuperarse.Para Bennis (2001) la confianza es una pequena con connotaciones poderosas y es unfactor enormemente complejo. Sus ingredientes son una combinacion de competencia,constancia, atencion, imparcialidad, franqueza y autenticidad.

En la actualidad la sociedad reconoce la necesidad que las empresas desarrollenpolıticas de responsabilidad social, y la exigencia va a en aumento. En el Reporte delWord Business Council for Sustainable Development (2000) “amado Corporate socialresponsibility: making good business sense se intenta definir a la responsabilidad socialcorporativa como “un compromiso continuo de la empresa con un comportamientoetico contribuyendo al desarrollo economico mientas se mejora la calidad de vida delos trabajadores y sus familias, ası como de la comunidad y la sociedad en general”

Kliksberg (2009) senala a la Responsabilidad Social Empresarial como: “una exi-gencia etica de la sociedad, pero al mismo tiempo es el modo en que la empresa pue-da reciclarse para el Siglo XXI. Un Siglo donde debera rendir cuentas no solo a susduenos como equivocadamente creıa Friedman, sino a todos los stakeholders lo quesignifica a sus propios empleados, los pequenos inversionistas, los consumidores, laopinion publica, y la sociedad civil en sus variadas expresiones”

La sustentabilidad esta directamente relacionada con el concepto de liderazgo em-presarial de diversas maneras. En primer lugar, la representacion del reparto puede encierta medida asociarse con la sostenibilidad interna de la empresa, en la medida en quees necesaria la alineacion de los recursos internos para la viabilidad y supervivencia dela empresa a corto y largo plazo. Por lo tanto, la representacion del reparto necesariapara la sostenibilidad de la organizacion, en otras palabras, el liderazgo empresarial es,al menos potencialmente, fuente directa de la sostenibilidad.

En segundo lugar, la representacion del escenario (o de las transformaciones) tieneque ver con el papel que el lıder desempena como intermediador entre los interesesde la firma y aquellos de los grupos de interes que se encuentran en el entorno (sta-keholders). Por lo tanto, tiene injerencia directa en lo que respecta a la pertinencia dela empresa u organizacion, a traves de lo que se conoce como responsabilidad socialempresarial. En ese sentido, puede decirse que la responsabilidad social, es la funcionejercida por los lıderes empresariales que tiene que ver con la pertinencia de la empre-sa u organizacion en la medida en que sus transacciones con los stakeholders sean deltipo gana-gana. En la medida en que la empresa se acerque mas a este ultimo escenario,sera por consiguiente mas responsable socialmente.

Podemos concluir, de la anterior definicion de sustentabilidad, ası como de la de-finicion de liderazgo empresarial que proporcionan Gupta y MacMillan (2004), que elliderazgo empresarial es la principal fuente del desarrollo sostenible y sustentable delas organizaciones.

7. Sustentabilidad y estilos de liderazgo empresarialA partir del razonamiento anterior, es posible definir unos estilos de “liderazgo empre-sarial” de acuerdo con el alcance de las funciones de este, o en otras palabras, el grado


de orientacion hacia un desarrollo holıstico o sustentable, mas que integral (en cuyo ca-so estarıamos hablando solamente de sostenibilidad). Anteriormentese definieron dosdimensiones del liderazgo empresarial, siguiendo la idea de Gupta y McMillan:

Una primera dimension, relacionada con la “representacion del reparto”, que hacereferencia al modo en que la empresa alinea sus recursos internos para llevar a cabo susactividades de produccion. Esto esta directamente relacionado con la sostenibilidad.

Una segunda dimension, relacionada con la “representacion de las transformacio-nes (o escenario) que hace referencia en primer lugar a la relacion que tiene la empresa(y el lıder en cabeza de esta) con el entorno, ası como el grado de alineamiento entreestos dos, lo cual tiende a ser factible en la medida en que hay una situacion que con-viene tanto a la empresa como a los agentes del entorno (gana-gana). Es este sentido,estarıamos hablando de pertinencia, ya que se trata de la relacion que tiene la empresacon sus stakeholders y la sociedad en general.

A partir del cruce de estas dos dimensiones (Ecuacion 1, Figura 3), es posibledefinir cuatro estilos de liderazgo empresarial que pueden ejercer los gerentes, loscuales tambien dan cuenta de alguna manera del grado de sustentabilidad de cada unode ellos:

DIMENSION 1 Alta - DIMENSION 2 Alta: Orientacion al desarrollo sustentable.Hay una elevada alineacion interna como externa.

DIMENSION 1 Alta - DIMENSION 2 Baja: Orientacion al desarrollo pertinente.Es posible que algunas empresas

DIMENSION 1 Baja - DIMENSION 2 Alta: Orientacion al desarrollo sostenible.Hay un elevado grado de alineacion de los recursos internos, lo cual lleve probable-mente a que estas empresas sean exitosas en el corto y mediano plazo, aunque tarde otemprano advertiran las exigencias del entorno en materia de responsabilidad social yambiental.

DIMENSION 1 Baja - DIMENSION 2 Baja: Orientacion al desarrollo insustenta-ble. El grado de efectividad de la gerencia en lo que tiene que ver con alineacion delos recursos es bajo y ademas tampoco existe alineacion con el entorno.

La definicion de sustentabilidad alternativa, construida a partir de la definicion deliderazgo clasica de Robbins (2004) y la definicion de liderazgo empresarial de Guptay MacMillan (2004), permite ver otras dos dimensiones del liderazgo empresarial:

La primera dimension, sigue la logica de la “iniciativa para la estructura” de la cualhabla Robbins (2004), relacionada con la capacidad de la gerencia para alcanzar losobjetivos y por consiguiente, con la orientacion a los resultados.

La segunda dimension, asociada con la responsabilidad social, la cual tiene quever con el cuidado por los recursos internos y externos de la empresa en un sentidoamplio, es decir, teniendo en cuenta que la organizacion depende no solo del recursohumano interno, sino tambien de los consumidores, el medio ambiente y la sociedaden general, para alcanzar sus objetivos. Nuevamente, del cruce de estas dos variables,surgen tambien cuatro estilos de liderazgo empresarial:


DIMENSION 1 Alta - DIMENSION 2 Alta: Orientacion al desarrollo sustentable.Hay un elevado grado de responsabilidad social unido con el logro de resultados.

DIMENSION 1 Alta - DIMENSION 2 Baja: Orientacion a la estructura (o a la pro-duccion). Es posible que algunas empresas, por lo pronto esten orientadas solamente ala consecucion de resultados economicos, dejando de lado los aspectos relacionados,con la responsabilidad social.

DIMENSION 1 Baja - DIMENSION 2 Alta: Orientacion a la responsabilidad so-cial. Es posible que haya empresas en las cuales el trato con el recurso humano, porejemplo, sea mas importante que la consecucion de resultados. Un ejemplo de ello,podrıa ser el caso de una empresa familiar, donde los resultados se supeditan a la rela-cion con los trabajadores.

DIMENSION 1 Baja - DIMENSION 2 Baja: Desarrollo insustentable. Hay in-eficiencia e ineficacia en lo que respecta al logro de los objetivos economicos de laempresa, ası como un bajo nivel de responsabilidad social.

8. Metodologıa

Para la parte cuantitativa de la investigacion, se tuvo en cuenta en cuenta el ranking delas 500 empresas mas grandes de Bogota en el 2007, segun los registros de la Camarade Comercio de Bogota, teniendo en cuenta tres criterios: ventas, crecimiento de lasventas y activos para el ano 2007. Se encuesto a los directivos de primer nivel (gerentesgenerales, presidentes) de estas empresas y se les efectuaron preguntas de acuerdo conlas variables anteriormente presentadas. En total se registraron 252 encuestas contes-tadas por presidentes y varios representantes de las empresas mas grandes del paıs consede en Bogota.

A los resultados de las encuestas, se les efectuo un analisis descriptivo de datos yun analisis factorial de algunas variables para identificar elementos subyacentes. Coneste analisis “global” se determino cuales son las caracterısticas fundamentales de loslıderes colombianos a manera de “perfil”. Por otra parte, se hizo un analisis de corres-pondencias simple para detectar estilos de liderazgo empresarial, dentro de los sectoresa los cuales pertenecıan estas 252 empresas.

9. Resultados

9.1 Caracterısticas generales de los lıderes empresariales

Un analisis descriptivo de las caracterısticas generales del grupo de los encuestados,arrojo que el 82 % de ellos eran hombres, el 92 % tienen mas de 35 anos, el 21 %trabaja en el sector comercio y el 20 % en la industria manufacturera. Por ultimo, el73 % tiene tıtulo de maestrıa o especializacion.


Figura 4 : Caracterısticas generales de los lıderes empresariales


Esto nos da una primera idea del perfil caracterıstico del lıder empresarial colom-biano, el cual en terminos generales es una persona de edad madura, con estudios depostgrado y trabaja en el sector comercial o industrial. A continuacion se describen losresultados de tres de las siete preguntas efectuadas en la encuesta que se hizo a los 252presidentes de las empresas mas grandes de Bogota.

9.2 Estilos de liderazgo empresarial: sectores economicos de Colombia

El analisis factorial parte de este estudio, demuestra en parte la existencia de dos fac-tores subyacentes, inherentes a las dos definiciones de liderazgo empresarial apoya-das en el concepto de sustentabilidad: Por un lado, esta la distincion entre sostenibi-lidad/pertinencia que hace referencia a la alineacion entre dos componentes de unaorganizacion: el interno y el externo (ecuacion 1, figura 3). Por otro lado, esta la dis-tincion hecha entre responsabilidad social/orientacion a resultados, que contempla loslımites de la gestion de la empresa en manos del lıder empresarial (entendida como unaaccion social), como medio para alcanzar resultados economicos (ecuacion 4, figura3).


Figura 5 : Relacion entre pertinencia y sostenibilidad como fuente de sustentabili-dad para los sectores


Figura 6 : Relacion entre responsabilidad social y resultados como fuente de sus-tentabilidad para los sectores


De acuerdo con la primera definicion de sustentabilidad (ecuacion 1, figura 3), apartir de un analisis factorial y de correspondencias, es posible establecer una primeraclasificacion (o diagnostico) de las empresas a las cuales pertenecen los encuestados.El mapa perceptual correspondiente aparece en la figura 5. De acuerdo con esto, elsector mas orientado a la sostenibilidad es el sector comercio y el mas orientado a lapertinencia es el sector gobierno.

La segunda definicion de sustentabilidad (ecuacion 4, figura 3), permite hacer otraclasificacion de los sectores de la economıa colombiana teniendo en cuenta su orienta-cion al logro de resultados y/o su orientacion hacia la responsabilidad social. El mapaperceptual correspondiente aparece en la figura 6. De esto resulta que las empresas


mas orientadas tanto as la responsabilidad social como a la estructura, pertenecen alsector gobierno.

En ambos casos, el sector agropecuario es el que presenta un grado menor de orien-tacion a la sustentabilidad.

10. Conclusiones

Sectores tradicionales de la economıa colombiana como el sector minero y el agrope-cuario tienden a ser menos sustentables consistentemente en ambos modelos. Por otrolado, el sector gobierno muestra grandes puntuaciones con respecto a las variables quedescriben la sustentabilidad en ambos modelos. En este caso, podrıamos pensar que elgobierno ha venido ejerciendo un rol de “equilibrante” de los efectos nocivos de otrossectores como los anteriormente mencionados. Es necesario re-estructurar las funcio-nes de produccion del agro y de la minerıa en Colombia en aras del bienestar de lasgeneraciones futuras, ademas teniendo en cuenta el reciente auge minero y el fomentoque le ha dado a estas actividades el actual gobierno del presidente Santos.

Tambien se puede inferir que los lıderes empresariales colombianos, son hoy masconscientes de su papel como agentes promotores del desarrollo sustentable y masactivos en lo que respecta a la funcion de responsabilidad social que hace una decada.Esto se observa en el hecho de que estan orientados mas que a la sostenibilidad de susrespectivas firmas, a la pertinencia social de las mismas, puesto que para ellos, a pesarde que no comprenden bien su entorno, son conscientes de la importancia que tienepara ellos el componente estrategico para la sostenibilidad de la empresa consideranque es necesario que tanto ellos como sus sucesores contemplen comportamientoseticos. Los resultados del estudio presentado en este artıculo, por su parte, destaca elcomponente etico y el componente estrategico como los dos aspectos mas importantesdel liderazgo empresarial en Colombia. Esto hace referencia a la importancia que danlos empresarios colombianos a la responsabilidad social, y a la consciencia que ellostienen de la pertinencia social de sus respectivas empresas u organizaciones.

Finalmente los empresarios resaltan la importancia de tres aspectos claves del li-derazgo empresarial (anexos 1.1-1.3): la etica, la estrategia y el liderazgo, lo cual hacereferencia mas que a la sostenibilidad, a la sustentabilidad de la organizacion a la cualpertenecen los lıderes.


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