ADJUNTO DE UNA MATRIZConsideremos una matrizn-cuadradaA= (ai j) sobre un cuerpoK. El adjunto deA, denotado poradjA, es la traspuesta de la matriz de cofactores deA:

Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos deAson:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto deA:

Aplicacin del adjunto para hallar la matriz inversaPara toda matriz cuadradaA,A(adjA) = (adjA) A= |A|IDe este modo, si |A|0,

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro mtodo la inversa de una matriz.Ejemplo:Consideremos la matriz

y el detA:

As pues, aplicando la propiedad anterior:Ejercicio:Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices:a)

b)

a)Primero hallaremos el determinante de la matrizA:

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matrizB, as pues, los cofactores de los cuatro elementos deBson:B11=5B12= -2B21=1B22= 3y el adjunto deB, denotado por adjB, ser

b)Empezaremos por hallar el detA,

Los cofactores de los nueve elementos deAson:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto deA:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemosA-1:

El producto de unamatriz por su inversaes igual almatriz identidad.A A-1 = A-1 A = ISe puede calcular lamatriz inversapor dos mtodos:1Clculo por determinantes

Ejemplo

1.Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendr inversa.

2.Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por suadjunto.

3.Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4.La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2.Clculo de la matriz inversa por el mtodo de GaussSea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos comoA-1, seguiremos los siguientes pasos:1Construir una matriz del tipoM = (A | I), es decir, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidadIen la derecha.Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2Utilizando el mtodo Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A-1.F2- F1

F3+ F2

F2- F3

F1+ F2

(-1) F2

Lamatrizinversaes:

Propiedades de la matriz inversa(A B)-1 = B-1 A-1(A-1)-1 = A(k A)-1 = k-1 A-1(At)-1 = (A-1)t