COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEII BIM ARITMTICA 1ER. AO

LA OPERACIN DE SUMAR

La suma es la primera operacin cuya necesidad siente el hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le bastaron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.

COMO SUMABAN LOS EGIPCIOS Y LOS CALDEO ASIRIOS

Los egipcios y los caldeo-asirios efectuaron la suma haciendo huellas en la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto; cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representaba diez objetos; en la siguiente huella representaba cien objetos; en la cuarta, mil objetos, etc. En el esquema que se da a continuacin estn los cuatro momentos de la suma de 647 + 285:

COMO SUMABA PITGORASPara sumar se vali del baco, el cual era una tabla de ocho columnas; la primera columna de la derecha representaba las UNIDADES; la siguiente de la izquierda representaba las DECENAS, la siguiente las CENTENAS, luego los MILLARES, etc. Encima de la raya horizontal de la tabla haba en cada columna cuatro piedrecillas (clculi), cada una de las cuales representaba una unidad de su respectivo orden (nosotros las hemos representado por bolitas claras). Debajo de la raza horizontal haba en cada columna dos piedrecillas (nosotros las hemos representado por bolitas oscuras), cada una de las cuales representaba cinco unidades de su respectivo orden. La suma se efectuaba en la forma que casi todos nosotros hemos conocido en la escuela, al aprender a sumar en el baco.La figura de la izquierda representa un baco de operar, y la de la derecha representa el nmero 630,509.

COMO SUMABAN LOS HINDUESDespus d dar un problema de suma en su famoso LILAVATI, BRASKARA lo efectuaba de la siguiente manera (1150 d.C.):

Sea por ejemplo:4 + 8 + 215 + 56 + 869

Los sumandos se colocaban as:

4,8,5,6,9 ..Suma de las unidades

3 2

1,5,6 ..Suma de las decenas

1 2

2,

8 ..Suma de las centenas 1 0

Suma total

1 1 5 2

LA LUCHA ENTRE ABACISTAS Y ALGORITMOSDe la observacin cuidadosa del baco y de la manera de operar con l se puede apreciar que en el baco estaban ya latentes los principios de la numeracin decimal. Los partidarios del clculo mediante las cifras escritas (algortmicos) lucharon tenazmente por implantarlo y por desterrar el uso del baco (abacistas), pero estos ltimos se resistan. Recin en el siglo XII triunf la corriente renovadora del nuevo mtodo de clculo mediante las cifras escritas.

ADICIN

Concepto.- Es la operacin binaria que, dados 2 enteros a y b llamados sumandos, hace corresponder un tercer entero S llamado suma.

S = a + b

i)S = 15 + 3

S = 18

ii)S = 22 + 45 + 18

S = 85

iii) S = (-15) + (-13)

PROCEDIMIENTO

Se procede de la misma manera que se suman los nmeros positivos con la nica diferencia que el signo del resultado de la suma ser (-).

S = - (15 + 13) = -28

iv)S = (-13) + (-8)

S = -(13 + 8) = -21

v)S = (-15) + (-6) + (-9)

S = -(15 + 6 + 9) = -30

1) S = 15 + 6 + 12 =

2) S = (-8) + (-9) + (-13) =

3) S = 42 + 48 + 80 =

4) S = (-34) + (-12) + (-10) + (-8) =

5) S = (-15) + (-16) + (-12) =

6) S = -6 7 13 29 =

1. Indicar el elemento neutro de la suma.a) +1

b) -1

c) a

d) a

e) 0

2. Indicar el inverso aditivo de 5:a) +5

b) 5

c) -5

d) 1/5

e) -1/5

Completa los casilleros vacos y dar como respuesta la mayor de las cifras.

3. 9 8 7 2 +

3 4 3 5

7 6 2 3

1 5 2 9

Rpta.

4. 7 8 9 +

3 3 5 3

6 7 2

1 5 3

Rpta.

5. 9 9 3 +

3 3 6

7 2 1 8

2 3

Rpta.

6. 8 9 3 +

2 3 1 5

6 7 2

5 3 1

9 3 6 9

Rpta.

Completa los casilleros vacos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros.7. 5 7 3 +

4 9 2 3

5 3 3

3 6

Rpta.

8. 9 9 9 9 +

3 3

5 5 3 4

8 6

Rpta.

9. 3 4 2 1 +

5 2 6

2 3 9 7

7 8 2

Rpta.

10. 5 9 4 +

3 6 5

2 3 1

1 6 7 8 9

7 5 2

Rpta.

11. Carla tiene $20, Sonia tiene $50 ms que Carla y Gloria $5 ms de lo que tiene Sonia. Cunto dinero tienen entre las 3 juntas?a) $ 75

b) 85

c) 95

d) 105

e) 115

12. Jess tena 20 aos cuando naci su hija Betty. Actualmente Betty tiene 20 aos. Cunto suman las edades actuales de Jess y Betty?

a) 40

b) 50

c) 30

d) 60

e) N.A.

13. La suma de 3 nmeros enteros consecutivos es 90. Hallar el nmero intermedio.

a) 20

b) 21

c) 30

d) 31

e) N.A.

14. La suma de 2 nmeros enteros negativos es -28. Hallar el mayor sumando que cumple est condicin.

a) -27

b) -1

c) -14

d) -15

e) -16

15. Se tienen 51 nmeros enteros consecutivos. Si el menor es 20. Hallar el nmero mayor.

a) 71

b) 52

c) 72

d) 70

e) 69

Simplificar:16. M = +12 + 39 + 42 + 83 =

17. N = 981 + 1293 + 1939 =

18. O = -491 490 992 =

19. Q = -582 583 592 =

20. R = -672 693 963 =

1. Indicar el inverso aditivo de:-53 52

a) +1

b) -1

c) +105

d) -105

e) 0

Completa los casilleros vacos en los siguientes ejercicios:

2. 2 8 +

9 2 5

6 3 7

3 6 3 4

3. 6 1 9 +

7 3 5 3

2 6 1

8 4

4. 1 5 8 +

7 6 3 1 9 4 5 3 4 5 6 7

5. 6 9 6 9 +

1 3 5

7 2 8

7 6 4 3 9

6. 4 5 +

7 2 2 3 8 9 3 9 3 4 5

7. 5 3 +

4 9 3 7

1 3 3 3 3

8. 4 8 9 9 +

3

9 5 2 1 1

9. +

7 9 2 5

8 9 2 1

10. 1 4 9 7 3 +

1 6 5 7 3

11. 1 7 2 1 +

4 3

3 5 6

Completar los casilleros vacos y dar como respuesta la cifra mayor

12. 9 9 7 +

4 3 8

5 6 7 2

5 1 3 6 5

Rpta.

13. 4 4 5 +

3 1 2

2 3 8 9

Rpta.

Completar los casilleros vacos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros.

14. 5 6 7 +

3 7 9 9

3 8 4 3 6 4 5 9

Rpta.

15. 1 5 2 +

7 7 3 8 9 2 1

Rpta.

16. Pepe tiene 12 caramelos y Toto tiene 8 caramelos ms que Pepe y Juan Carlos tiene 5 caramelos ms que Toto. Hallar cuntos caramelos tienen entre los 3 juntos.a) 47

b) 45

c) 50

d) 57

e) 52

17. La suma de 4 nmeros enteros consecutivos es 38. Hallar el menor de los nmeros.

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 11

18. La suma de 2 nmeros enteros negativos es -38. Hallar el mayor sumando que cumple est condicin.

a) -37

b) -1

c) -36

d) -35

e) -2

19. Se tienen 101 nmeros enteros consecutivos. Si el menor es 30. Hallar el mayor.

a) 71

b) 131

c) 130

d) 129

e) 128

20. La suma de las edades actuales de un padre y su hijo es 60 aos, hallar la suma de sus edades dentro de 15 aos.

a) 65 aos

b) 75

c) 90

d) 80

e) 70

OPERACIONES EN Z

Adicin en Z

a + b = suma

Propiedades:

a + b = b +a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a

a + (-a) =

Sustraccin en Z

M S = D

Equivale a:

M + (-S) = D

(-S) opuesto de S

Propiedad:

M = S + D

Multiplicacin en Z

a . b = producto

Propiedades:

a . b = b . a

(a . b) . c = a . (b . c)

a . EMBED Equation.3 = 1

Divisin en Z

* Divisin entera exacta

D d D = d . q

q

* Divisin entera inexacta

D d

R q D = dq + R

Propiedad:

d ( 0

primer momento

El nmero 647

segundo momento

Se le agrega 285, separando con rayas.

tercer momento

Se dejan 2 en la columna de la derecha y separa una bolita a la 2da

cuarto momento

Se dejan 3 bolitas en la 2a y se pasa una a la 3era columna

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 2PRIMER AO

ADICIN EN EL CONJUNTO Z

suma

sumandos

Qu fcil!

Ahora sumemos nmeros negativos.

Clausura: Si a ( Z ( b ( Z ( (a + b) ( Z

Conmutativa: Si a ( Z ( b ( Z ( (a + b) = (b + a)

Asociativa: Si a, b ( c ( Z ((a + b) + c = a + (b + c)

Elemento

Neutro : Si a ( Z ( a + 0 = a

Inverso

Aditivo : Si a ( Z ( ((-a ) ( Z / a + (-a) = 0

EJERCICIOS DE APLICACIN

TAREA DOMICILIARIA N 2

PAGE 48COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENADpto. de Publicaciones 2003

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