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Matemticas AdministrativasCuadernillo de ejercicios

CUADERNILLO DE EJERCICIOS: La derivada y las funciones marginales.

CARRERA: CUATRIMESTRE: DosASIGNATURA: Matemticas Administrativas

ELABOR/REVIS: Nalleli Guadalupe Mara Acosta Topete / Alicia PrezGodnez

UNIDAD: Clculo Diferencial y sus Aplicaciones

Frmulas bsicas

Frmula / Smbolo Descripcin Frmula / Smbolo Descripcin

Ley de signos paramultiplicacin

Menor queMayor que

Menor o igual queMayor o igual que

Aproximadamente igualAproximadamenteDiferente que (a)

Igual que (a)Infinito

Incremento, gradiente, cambioQue tiende a /que se aproxima a

PorcientoRaz cuadrada

Raz cbica

Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Sociales y Administrativas

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Frmulas unidad 3.Frmula / Smbolo Descripcin Frmula / Smbolo Descripcin

Donde:

1. y : incrementos de las

variables

respectivamente.

2., representa a

la razn o tasa promedio

de cambio de con

respecto a x en el intervalo

, esto es que tanto

vara el valor de por cada

unidad de cambio en .

3. , se

Derivada de con respecto a


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Frmulas unidad 3.


interpreta como la razn otasa instantnea de

cambio de con respecto a

, en el punto .


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Frmulas unidad 3.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.Regla de la

cadena.

Frmulas y reglas dederivacin

Consideraciones para el uso delas frmulas y reglas dederivacin:

1. : son funciones cuyavariable independiente es x.

2. : son nmeros

constantes.

3. ...

4. es el logaritmo natural

de u, en donde .

5. Para la Regla de lacadena: Calcular laderivada de la funcin en elinterior del parntesis ymultiplicarla por la derivadadel exterior

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Frmulas y reglas dederivacin

Consideraciones para el usode las frmulas y reglas dederivacin:

1. : son funciones cuya

variable independiente esx.

2. : son nmeros

constantes.

3. ...

4.

es el logaritmo

natural de u, en donde

.


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Frmulas unidad 3.


Razn o tasa promedio decambio

Razn o tasa instantnea decambio

La primera derivadase representa o denotacomo:

o

La segunda derivadase representa o denotacomo:

o

La tercera derivada

se representa o denotacomo:

o

Y as sucesivamentehasta llegar a la n-simaderivada de una funcin.

Derivadas de orden superior

Ingreso marginal: corresponde

a la derivada dela funcin deingreso.

Costo Marginal: es la derivadade la funcin decosto.

Costo promedio o mediomarginal: es laderivada de la

funcin decosto promedio

Utilidad Marginal: es laderivada de lafuncin deutilidad


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Frmulas unidad 3.

Frmula / Smbolo Descripcin Frmula / Smbolo DescripcinElasticidad de la demanda.

Precio.

Demanda.

Cambio de la demanda en

funcin del precio de ventay/o produccin.

Cambio o incremento de unavariable

Cambio o incremento de unafuncin

1. Si cuando

, entonces fes

una funcin creciente en

.

2. Si cuando

, entonces fes

una funcin decreciente en

.

3. Si cuando

, entonces f es

una funcin constante en

.

Criterio de la primeraderivada:

Los pasos a seguir paraevaluar una funcin con elcriterio de la primera derivadason:

1. Obtener la derivada de

la funcin.2. Determinar los valores

crticos, esto es los valoresde x en la derivada de la

funcin cuando .

3. Se marcan los valorescrticos en la recta numricay se escoge un valorcualquiera entre cadaintervalo y se sustituye el

valor seleccionado en laderivada, con lo que se

1. Si cuando

, entonces f es una funcin

cncava hacia arriba en

.

2. Si cuando

, entonces f es una funcincncava hacia abajo en

.

Criterio de la segundaderivada.

Los pasos a seguir paraevaluar una funcin con elcriterio de la segunda derivadason:

1. Obtener la segunda

derivada de la funcin.2. Determinar los puntos

de inflexin, esto es losvalores dexen la segundaderivada de la funcin

cuando .

3. Se marcan los puntosde inflexin en la rectanumrica y se escoge unvalor cualquiera entre cada

intervalo y se sustituye elvalor seleccionado en la


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Frmulas unidad 3.

Frmula / Smbolo Descripcin Frmula / Smbolo Descripcindeterminar el signo de laderivada en esos puntos.Esto se realiza en losintervalos antes y despusdel valor crtico.

4. De acuerdo a los signosobtenidos al evaluar laderivada en cada intervalo,se aplica el siguientecriterio:

a. Si los signos son , se

tiene un mximo local.b. S

i los signos son , se

tiene un mnimo local.c. S

i los signos son o

, no hay extremo

local.

segunda derivada, con loque se determinar el signode la segunda derivada enesos puntos. Esto se realizaen los intervalos antes ydespus de los puntos deinflexin.

4. De acuerdo a lossignos obtenidos al evaluarla derivada en cadaintervalo, se aplica elsiguiente criterio:

a. Si , entonces la

funcin es cncava haciaarriba en ese intervalo.

b. Si , entonces la

funcin es cncava haciaabajo en ese intervalo.

Diferencial de una funcin

1.

2.

3.

Leyes logartmicas


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Ejemplo: En un restaurante se determin que los costos por la elaboracin de su platillo principal estn dados por la siguiente

funcin:

En miles de pesos, y que los ingresos la venta del platillo mensualmente sigue la funcin:

Si hasta el momento mensualmente se han vendido 1000 platillos principales, determina cuales sern las utilidades

aproximadas de elaborar y vender el platillo 1001.

Solucin: para determinar las utilidades por las ventas del platillo 1001, se utiliza la funcin de utilidad marginal, es decir:

Por lo que primero se determina la funcin de utilidad marginal:

Ahora se obtiene la funcin de utilidad marginal:

As el valor aproximado de la utilidad al elaborar y vender el platillo 1001, estar dado por:

Y como la funcin est dada en miles de pesos, mensualmente las utilidades por vender el platillo 1001 sern

aproximadamente de:


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Ejercicio 1 Velocidad en el cambio en los costos

Se determin que en una fbrica de chocolates, lo que se tiene que comprar por concepto de materia prima por semana tiene la

siguiente funcin:

c(t)= 278 e^(0.162t^2- 4)

Donde c representa la cantidad de materia prima en cientos de kilos y t es el tiempo en que se tarda en hacer el pedido de

materia prima en semanas. Determine la funcin que representa la velocidad con la que se compra la materia prima para hacerlos chocolates por semana.

Respuesta: _______________________

Solucin:

Conclusin:


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Ejercicio 2. Criterio de la primera y segunda derivada.

De acuerdo con los criterios de la primera y segunda derivada completa la siguiente tabla.

Intervalo Crece/Decrece

IntervaloCncava haciaarriba o hacia

abajo

-, -5 + -, -1 -

-5, 0 Decrece -1, 0 -

0, 5 - 0, +

5, Crece


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