Ejercicios: métodos de integración

A continuación te mostramos una serie de integrales que deberás resolver utilizando alguno de los métodos que te presentamos en el tema. Revisa cuidadosamente la estructura de cada integral y evalúa cuál es el método más adecuado para resolverla.

Ésta no es una actividad con valor para tu calificación final, por lo tanto no es necesario que envíes el archivo; es sólo para que practiques y revises si te quedó claro el tema.

Al final de los ejercicios te mostramos las respuestas correctas. Si no llegas a ellas realizando los procedimientos adecuados es necesario que vuelvas a leer el tema “Métodos de integración”. Si aun así no logras obtener el resultado preciso consulta a tu asesor para que te oriente.

Recuerda que todo procedimiento requiere mucha práctica para dominarlo.

1) x cos xdx =∫

2)

dx

x 9−x2∫ =

3) ex∫ senxdx =

4)

xdx

25−x2∫ =

5) sec3θ dθ∫ =

Tip: Transforma el integrando, por medio de identidades trigonométricas, hasta obtener la siguiente igualdad

sec3θ =secθ +secθ tan2θ

1

Si realizas el camino correctamente, en algún momento obtendrás el siguiente resultado

Como ves, como parte del desarrollo aparece la misma integral que deseas calcular, por lo que conviene despejarla

2 sec3θ dθ =tanθ secθ∫ + secθ dθ∫

sec3θ dθ∫ =12

tanθsecθ + secθ dθ∫( )

Te queda a ti terminar este proceso.

6) 5 + x2dx =∫

7) 1+ x2( )∫

−2dx

Tip: Recuerda que la sustitución trigonométrica funciona para todas las potencias

múltiplos de

12 .

Por lo que nos conviene transformar el integrando

1+ x2( )−2

=1

1+ x2( )2 =

1

1+ x2( )

4

2

Observa que

1+ x2( )

4= 1+ x2( )

42

Si desarrollas bien la integral, en algún momento deberás calcular una integral, de la cual te damos el resultado a continuación:

8)

Tip: Procura expresar el integrando como productos, para que obtengas un valor de que sea una función fácil de integrar.

9)

x−1x2 + 3x + 2

dx∫

Tip:

x−1x2 + 3x + 2∫ dx =

Ax+1

dx +B

x + 2dx∫∫

10)

x−9x + 5( ) x−2( )

dx =∫

3

Respuestas a Ejercicios: métodos de integración

1) x cos xdx =∫

u =x dv =cosxdxdu =dx v =senx

x cos xdx =xsenx + cosx + c∫

2)

dx

x 9−x2∫ =

Por sustitución trigonométrica.

9−x2 =3cosθ

dx

x 9−x2∫ =13

1senθ∫ dθ =

13

cscθ dθ∫ =13ln cscθ −cotθ + c

Completa el resultado volviendo a la variable original.

dx

x 9−x2∫ =13ln

3x

−9 −x2

x+ c

3)ex∫ senxdx =

u =ex dv =senxdx

du =exdx v =−cosx

4

(1)

Surge una nueva integral, la cual también integraremos por partes.

u =ex dv =cosxdx

du =exdx v =senx

Sustituimos este resultado en (1)

Y parece que volvemos al inicio, pero podemos intentar despejar la integral

Nota: En muchas integrales, al desarrollarlas, dentro del mismo resultado aparecerá la misma integral que estás deseando calcular, por lo que este recurso te será muy útil.

4)

xdx

25−x2∫ =−5cosθ + c=− 25 −x2 + c

5

El siguiente es el triángulo que se forma.

5)

Hay dos integrales a calcular, la primera es inmediata

La segunda integral se calcula por partes

u =tanθ dv =secθ tanθdθdu =sec2θdθ v =secθ

6

Sustituimos los resultados

sec3θ dθ =∫12ln secθ + tanθ +

12tanθ secθ + c

6) 5 + x2∫ dx =

Con esta información armamos el triángulo.

7

Necesitamos encontrar la identidad trigonométrica que nos permita sustituir 5 + x2 y

dx , para ello primero debemos encontrar el valor de .

dx = 5sec2θdoθ

5 + x2∫ dx = 5secθ( )∫ 5 sec2θ( )dθ =5 sec3θ dθ =52ln secθ + tanθ +

52tanθsecθ + c∫

5 + x2∫ dx =52ln

5 + x2 + x5

+x 5 + x2

2+ c

Ahora regresamos a la variable original. Sustituye con cuidado y desarrolla para obtener el siguiente resultado.

8

5 + x2∫ dx =52ln

5 + x2 + x5

+x 5 + x2

2+ c

7) 1+ x2( )∫

−2dx

Nos permite formar el siguiente triángulo, para realizar la sustitución trigonométrica.

Lo que nos permite hacer los siguientes cambios de variable.

9

Te proponemos la siguiente solución, pero hay pasos intermedios que tendrás que realizar

1+ x2( )∫−2

dx =dx

1+ x2( )

4∫ =sec2θdθsec4θ∫ = cos2∫ θdθ

=12

θ + senθ cosθ( )+ c

1+ x2( )∫−2dx =

12

θ + senθ cosθ + c( )=12

arctanx +x

1+ x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + c

8) Nos dieron el siguiente tip: Procura expresar el integrando como productos, para que obtengas un valor de que sea una función fácil de integrar.

u =x2

du =2xdx

9)

x−1x2 + 3x + 2

dx =−2ln x +1 + 3ln x + 2 + c=lnx + 2 3

x +1 2∫ + c

10)

x−9x + 5( ) x−2( )∫ dx =2ln x + 5 −ln x−2 + c=ln

x + 5 2

x−2+ c

10

11