activ6p3 PDF11B optimización

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ACTIVIDAD 6 (TERCERA PARTE)

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

MÉTODO DE NEWTON Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

6.43. Encontrar una recta tangente con una inclinación dada

Obtener el punto de la gráfica de31 x y en el cual la recta tangente tenga una

inclinación de 45°.

Solución: Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una curva definida por la

ecuación 0),( y x R , es dxdym / , de manera que, para la ecuación dada es:

3

22

3 12

3)3(

12

1

x

x x

xdx

dym

Si la tangente ha de tener una inclinación de 45°, su pendiente debe ser 1, de manera que el

punto buscado es aquel cuya abscisa satisface la ecuación:

112

33

2

x

x

O bien:

0449),1(49,123 342432 x x x x x x

Haciendo un croquis de la gráfica de la función 449)( 34 x x x f , para valores de x

entre 1 y 1, se obtiene una gráfica como la mostrada en la figura E1.1, en la que se puede

observar que los valores buscados de x son, aproximadamente, 7.0 y 0.9.

Fig. E1.1

Si queremos más precisión recurrimos al método de Newton, con 449)( 34 x x x f y23 1236)( x x x f . Así, para la raíz negativa tenemos:

7.00 x ,

4671.04)7.0(4)7.0(9)( 34

0 x f ,



238.18)7.0(12)7.0(36)( 23

0 x f ,

Por lo tanto,

7256.0238.18

4671.07.0

)(

)(

0

001

x f

x f x x

En la siguiente iteración tenemos:

7256.01 x

02288.04)7256.0(4)7256.0(9)(34

1 x f ,

07.20)7256.0(12)7256.0(36)( 23

0 x f

y 7245.007.20

02288.07256.0

)(

)(

1

112

x f

x f x x

Observando los valores de1

x y2

x concluimos que el valor buscado, con milésimas de

precisión es 725.0 .

De la misma manera, iniciando con 9.00 x , obtenemos

9.00 x ,

0111.14)9.0(4)9.0(9)(34

0 x f ,

524.16)9.0(12)9.0(36)( 23

0 x f ,

Por lo tanto,

96119.0524.16

0111.1

9.0)(

)(

0

0

01

x f

x f

x x

Fig. E1.2

En la siguiente iteración tenemos:

96119.01 x



129971.04)96119.0(4)96119.0(9)( 34

1 x f ,

8825.20)96119.0(12)96119.0(36)( 23

0 x f

y 954966.08825.20

129971.096119.0

)(

)(

1

1

12

x f

x f x x

Finalmente, en las siguientes dos iteraciones se obtiene 954966.03 x y 954894.0

4 x , así

que podemos concluir que la raíz positiva es, aproximadamente, 955.0 , así que los puntos

de la curva en los que la tangente tiene una inclinación de 45° son )787.0,725.0(1

P y

)368.1,955.0(2P . En la figura E1.2 se muestran la curva dada y las rectas tangentes que

satisfacen la condición pedida.

6.44. Resolver la ecuación

0425.0 xe x

Solución: de acuerdo con el método de Newton, tenemos que:

4)( 25.0 xe x f x

Y, por lo tanto:

xe x f x 25.0)( 5.0

Ahora bien, para elegir la aproximación inicial, escribamos la ecuación a resolver en laforma equivalente:

425.0 xe x

Podemos, ahora, trazar las gráficas de las funciones que aparecen en cada lado de esta

ecuación, es decir, de la curva exponencial . y la parábola 4. Alhacerlo, y considerando que esta ecuación y la dada son equivalentes, las abscisas de los

puntos de intersección de estas últimas curvas serán las raíces de la ecuación propuesta.

Fig. E2



Así pues, al trazar las gráficas obtenemos las curvas mostradas en la figura E2, a partir de lacual observamos que la ecuación propuesta tiene dos raíces reales, una negativa,

aproximadamente en 2, y otra positiva, aproximadamente en 1.5.1

Procediendo con el método de Newton tenemos, para la raíz positiva, que:

1.5

367.0)5.1()( 0 f x f

y 0585.4)5.1()( 0 f x f

Sustituyendo ahora en la fórmula recursiva del método de Newton, obtenemos:

40957.10585.4

367.05.1

)(

)(

0

001

x f

x f x x

Para la siguiente iteración se obtiene:

0103088.0)40957.1()( 1 f x f

y 83085.3)40957.1()( 1 f x f

40688.183085.3

0103088.040957.1

)(

)(

1

112

x f

x f x x

Y para la tercera:

62 10072.9)( x f , 82411.3)( 2 x f y 40688.13 x

Obsérvese que los valores de las aproximaciones y coinciden en seis cifrassignificativas, por lo que podemos afirmar que el valor de la raíz buscada, con una

precisión mínima de seis cifras, es 40688.1 x .6.45. El cilindro de máximo volumen, inscrito en una esfera

Se inscribe un cilindro circular recto en una esfera de radio r . Encontrar las dimensiones delcilindro de máximo volumen.

Solución: Si y H son, respectivamente, el diámetro y la altura del cilindro inscrito en laesfera (ver figura), entonces, por el teorema de Pitágoras,

222 4r H (E19.1)

Ahora bien, el volumen, que desea maximizarse, está dado por:

H V 4

2

(E19.2)

Al despejar Φ de (E19.1) y sustituir en (E19.2), se obtiene:

32

22

44

)4()( H H r H

H r H V

(E19.3)

1 La curva mostrada fue trazada con computadora, así que, en realidad, nos da una mejor lectura de laaproximación inicial. Si se hace un croquis con lápiz y papel, la lectura es más o menos la propuesta.



Fig. E19

Al derivar e igualar a cero se obtiene 04

3)( 22 H r H V

, de donde 22 34 H r , así

que la altura correspondiente al volumen máximo es:

3

2

3

4 2r r

H (E19.4)

Y al sustituir en (E19.2), se obtiene el diámetro del cilindro de máximo volumen:

r r r

r H r 3

22

3

8

3

444

22222 (E19.5)

Por lo tanto, el volumen máximo, de acuerdo con (E19.3) sería entonces:

esf esf máxV V r

r r V 58.0

3

1

3

4

3

1

3

2

3

8

4

32

Es decir, el máximo volumen sería, aproximadamente, el 58% del volumen de la esfera. Si, por ejemplo, la esfera tiene un radio de 30 cm, las ecuaciones E19.4 y E19.5 nos dan,respectivamente, 64.34 H cm y 99.48 cm, así que, en tal caso, el volumen máximo

del cilindro inscrito sería 29565cil

V cm3, mientras que el de la esfera sería 097113 cm3.

6.46. El vaso cónico de papel de máximo volumen

Se elabora un vaso en forma de cono a partir de un trozo circular de papel de radio R cm, alrecortar un sector y unir los bordes así obtenidos en el corte. Encontrar la máximacapacidad del cono.

Solución: Si se recorta un sector del círculo, de manera que el ángulo central

correspondiente a la parte del círculo, con el que se construirá el cono, es , entonces lasdimensiones r (radio) y h (altura) del cono resultante, se relacionarán con el valor del radiodel círculo, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, mediante:

222 Rhr (E20.1)

Por otra parte, ya que el cono se construye al unir los bordes que resultan de hacer elrecorte, la longitud de la circunferencia base del cono será igual a la longitud del arco del

sector circular, con radio R y ángulo central , es decir:

Rr 2 (E20.2)

Ahora bien, la capacidad del vasito resultante, es decir, el volumen del cono, es:

2r

H



hr V 2

3

(E20.3)

O bien, recurriendo a las ecuaciones E20.2 y E20.1:

2

22

22

2

2

2

4

4

12

1

223

R R

R R

RV

Es decir:

222

2

3

424

)(

R

V (E20.4)

Fig. E20

Al derivar esta función e igualar a cero, se obtiene:

22

322

2

3

442

24)(

RV

322

222

3

42424

R

038424

)( 32

222

3

R

V ,

038 22

De donde, considerando que no puede valer cero, debe ocurrir que:

13.53

8 2

radianes

De manera que la máxima capacidad del vaso, de acuerdo con (E20.4), será:

39

2

3

4

93

84

3

8

24

32322

2

2

3 R R RV

máx

cm

3

Por ejemplo, si el círculo de papel tiene 8 cm de radio, el volumen máximo del vasito será:

4.20639

)8(2 3

máxV cm

3

R R R

r

h



6.47. Un pez que nada economizando energía

Para un pez que nada con velocidad v en relación con el agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a v

3. Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la

energía total requerida para nadar una distancia fija. Si nada contra una corriente u ( vu ),

el tiempo requerido para nadar una distancia L es )/( uv L y la energía total E necesaria

para nadar la distancia se expresa mediante:

uv

Lva E

3

(a) Determinar el valor de v que minimice E .

(b) Dibujar la gráfica de E .

Solución: Derivando la función )(v E , e igualando a cero:

0

33)3)(()(

2

323

2

32

uv

aLvauLvaLv

uv

aLvaLvuvv E

De donde: 0)33(33 2323 LuvaLvaLvauLvaLv ,

Considerando entonces, que ni a, ni L, ni v pueden valer cero, se tendrá necesariamente que

033 Luv , de manera que el valor de la velocidad que minimiza el consumo de energía,

está dado por:

3

3 Luvm

Si, por ejemplo, 8.0a , 3 L , y 2u , entonces la velocidad del pez, para minimizar el

consumo de energía, será: 33

3)2(3

v .

Fig. E21

Al trazar la gráfica de E contra v (con uv ), para los valores propuestos de a, u, y L, se

obtiene la curva mostrada en la figura, en la que se observa también el punto mínimo, que

u vm



corresponde a 3.2

Como la función dada es racional e impropia, resulta de utilidad eltrazo de la asíntota, para lo cual se recurre a la división, obteniéndose:

uv

Lva E

3

uv

Lau LauauLvaLv

322

De manera que una asíntota de la función dada es la parábola LauauLvaLv E 22

, lacual se muestra en trazo discontinuo.

6.48. Doblando una hoja de manera que el doblez sea lo más corta posible

Se dobla la esquina superior izquierda de una hoja de papel 8 20 cm de ancho y 30 de largo, para llevarla hasta el borde de la derecha. ¿Cómo debe doblarse la hoja de modo que lalongitud del doblez sea mínima?

Solución: Si se dobla la esquina superior izquierda, a la largo de FG (ver figura 1), demanera que la esquina A caiga en E, entonces la longitud de la doblez será:

22 y x z (E22.1)

Para obtener una ecuación que relacione x y y, tenemos que, de acuerdo con la figura:

HDEHBEBD (E22.2)

Ahora, considerando que los triángulo FBD y EGH son rectángulos, se tiene que:22 FBFEBE y 22 GHGEEH . Es decir:

22 )20(BE x x y 22 20EH y

Fig. E22.1

Además, y 30HD , así que al sustituir en la ecuación E22.2 se obtiene:

303020)20( 2222 y y x x ,

y y x 40040040 2 , 400404002 x y y ,

2 Este ejemplo se tomó del texto de Stewart, en el que no hay ninguna indicación acerca de las unidades de lasvariables involucradas en el problema, sin embargo, se pueden observar que, cuando la velocidad del pez esapenas mayor que la de la corriente, la velocidad respecto de la tierra será muy pequeña, por lo que el peztendrá que consumir una gran cantidad de energía para desplazarse.

30 cm y

30- y

y

z

C D

E

D

HG

C

A B B

x



40040400402400 22 x x y y y ,

x x y 40400402 , 22 1600400404 x x y ,

10

10

10010

100 22

2

x

x

x

x y

Así pues, al sustituir en (E22.1) se obtiene que la longitud del doblez, en función de x, estádada por:

1010

1010

10

10)(

32232

2

x

x

x

x x x

x

x x x z ,

2/133

1010)(

x

x

x

x x z (E22.3)

Derivando e igualando a cero:

2

322/1

3

)10()3)(10(

1021)(

x x x x

x x x z

2

3232/1

3)10(

30310

2

1)(

x

x x x

x

x x z 0

)10(

30210

2

12

232/1

3

x

x x

x

x

De donde:

0302 23 x x , 0)15(2 2 x x , 15 x cm

Al trazar la gráfica de la función definida por (E22.3), con 200 x , se observa que,

efectivamente, dicha función tiene un mínimo en 15 x cm.

Fig. E22.2

6.49. Pasando una viga, lo más larga posible, de un pasillo a otro

Un pasillo de 3 m de ancho intersecta perpendicularmente otro de 2 m de ancho.

Determinar la longitud l del tramo recto de tubo más largo que se puede pasar

horizontalmente de un pasillo al otro.

15



Fig. E23

Solución: Viendo “desde arriba” los pasillos, el tubo tendrá que tener la posición mostradaen la figura 7.31, en todo momento, mientras es pasado de un corredor al otro. Tendremos,entonces, que:

OBAOAB l

Escribiendo esta longitud en términos del ángulo formado por el tubo y el segundo pasillo,tenemos que: cscOEsecOD)( l , es decir:

csc2sec3)( l (E23.1)

Derivando e igualando a cero, se obtiene:

0cotcsc2tansec3)( l ,

0sen

cos2

cos

sen322

, 0

cos

cos2sen32

33

,

0cos2sen333

, 33

cos2sen3 ,

3

2

cos

sen3

3

,

3

2tan 3

Así pues, el ángulo para el cual se obtiene la longitud máxima del tubo es:

14.413

2arctan 3

Y la longitud máxima es:

02.7)14.41csc(2)14.41sec(3 máx

l m

Este problema puede presentarse de otra manera, teniendo ahora la viga una longitud daday buscando la anchura mínima del segundo pasillo, como se muestra a continuación.

6.50. Pasando la viga, buscando la anchura del segundo pasillo

Determinar la anchura mínima del segundo pasillo (en el problema anterior) que permite pasar, horizontalmente, una viga de 7.02 m de largo.

3 m

2 m

A

O

B

D E



Solución: El problema puede plantearse como sigue: la viga debe desplazarse de maneraque uno de sus extremos esté siempre en contacto con la pared del primer pasillo y ademásesté también en contacto con la esquina entre los pasillos. De esta manera (ver figura) laviga comenzará en la posición V0P0, pasando por todas las posiciones intermedias Vk Pk ,hasta llegar a la posición final Vf Pf .

Fig. E24

Si x y y son las coordenadas del extremo libre de la viga, con respecto del sistema decoordenadas mostrado en la figura, con origen en la esquina formada por los pasillos,entonces la viga podrá desplazarse libremente siempre que la anchura del segundo pasillosea mayor que el valor máximo de y.

Así pues, debe expresarse y en función de una sola variable y aplicar un criterio para laobtención de su valor máximo. Para ello observemos que las coordenadas de P están dadas

por: OB x y OA y .

Pero 3cos02.73cosVPOB , así que: 3cos02.7 x y:

tan3tancos02.7)( y ,

tan3sen02.7)( y (E24.1)

Al derivar e igualar a cero se obtiene:

0sec3cos02.7)( 2 y , 0cos

13cos02.7

2

,

0cos

3cos02.72

3

, 03cos02.73

,

)02.7/3(cos3 , 3 02.7/3cos

Así pues, el ángulo para el cual y es máxima, es: 13.41 y, al sustituir en (E24.1) se

obtiene que el valor máximo de y, es decir, la mínima anchura requerida, para el segundo pasillo, es 998.113.41tan313.41sen02.7

máxmín yb m.

Y

X

V1

V2

V3

Vf

P0

P1

P2

P3

Pf

x

y

B

AP

O

3

V

V0



Fig. E24

En la figura se muestra la curva que describe el extremo de la viga, indicándonos, mediante

su posición más baja, la anchura mínima requerida en el segundo pasillo.

6.51. El punto de una recta, más cercano de un punto exterior

Obtener el punto de la recta 022 y x , más cercano del punto (3,1).

Solución: Si ),( y xP es el punto buscado (ver figura), entonces, la distancia de éste al punto

A(3,1) es:

22 )1()3(),( y x y x (E25.1)

Sin embargo, P es un punto de la recta, de manera que sus coordenadas satisfacen laecuación 022 y x , de donde, al despejar y, se obtiene:

22 x y (E25.2)

Fig. E25



Al sustituir en (E25.1) se obtiene una expresión para la variable a minimizar, en términosde x:

22 1)22()3()( x x x

2

122

)12()3()( x x x (E25.3)

Como se desea el mínimo de esta función, deben obtenerse sus puntos críticos, para lo cualhay que derivar la función δ:

)2)(12(2)3(2)12()3(2

1)(' 2

122

x x x x x

21

22 )12()3(2

210)('

x x

x x

Los puntos críticos en los que la derivada no existe, es decir, aquellos para los que el

denominador se anula, no tienen coordenadas reales, ya que el denominador es el doble dela distancia , que, evidentemente, no puede ser cero (ver figura). Así pues, los puntoscríticos de interés deben obtenerse al igualar a cero la derivada. Tenemos, entonces, que

0)( x , si 0210 x ; es decir, si 5/1 x . Por lo tanto, al sustituir en (E25.2), se

obtiene 5/12 y .

Ahora bien, siendo rigurosos, debería verificarse que el punto crítico obtenidoefectivamente corresponde a un mínimo, sin embargo, al observar la figura se puedeconcluir que el punto crítico obtenido es el más cercano al punto A. Además, es claro queno hay un punto de la recta que se encuentre más lejos de A, lo que correspondería a unmáximo, ya que al desplazar un punto sobre la recta, puede alejarse de A tanto como se

quiera.

Así pues, el punto buscado es )4.2,2.0()5/12,5/1( , y la distancia mínima, que se

obtiene al sustituir en (E25.3), es:

25/4925/144)15/12()35/1( 22 mín

13.3mín unidades de longitud

En este caso, parece ocioso utilizar el cálculo, ya que el problema pudo haberse resueltocon relativa facilidad utilizando geometría analítica; sin embargo, la ventaja del métodoutilizado consiste en que puede aplicarse de la misma manera con otras curvas, y no sólo

con una recta.6.52. Punto de una parábola, más cercano de un punto exterior

Obtener el punto de la parábola 2 y x , más cercano al punto )1,4(Q .

Solución: Procediendo como en el problema anterior, tenemos:

22 )1()4(),( y x y x (E26.1)



Pero P es un punto de la parábola, así que:

2 y x (E26.2)

Sustituyendo en (E26.1):

2/1222222

)1()4()1()4()(

y y y y y (E26.3)

Fig. E26.1

Derivando esta función se obtiene:

)1(2)2)(4(2)1()4(2

1)(' 22

1222

y y y y y y

21

222

3

21

222

2

)1()4(

172

)1()4(

)1()2)(4()('

y y

y y

y y

y y y y

Fig. E26.2

Así que 0)( y si 0172 3 y y , y al resolver numéricamente esta ecuación, se

obtienen tres raíces reales:



93854.1y143705.0,79483.1 321 y y y

Para las cuales, los correspondientes valores de x, que se obtienen al sustituir en (E26.2),son:

75794.3y0206511.0,22141.3 321 x x x

Ahora bien, a partir de la figura 1 podemos suponer considerando la simetría de la

parábola con respecto del eje x que 0 y , de manera que el punto buscado debe ser:

)93854.1,75794.3(),( 331 y xP

Los otros valores encontrados también deben corresponder a puntos críticos, situación que

puede analizarse en la figura 2.

Supóngase que un punto se desplaza, sobre la parábola, de abajo hacia arriba, desde “el

infinito”. Inicialmente, el punto se acerca a Q, hasta llegar a 1P (mínimo relativo), a partir

del cual el punto se aleja momentáneamente, hasta que llega a 2P (máximo relativo), de

donde vuelve a acercarse a Q, hasta que llega a 3P (mínimo absoluto), a partir del cual el punto se mueve alejándose indefinidamente de Q.

En la figura 3 se muestra la gráfica de la distancia contra y, trazada a partir de (c), en lacual puede confirmarse lo dicho en el párrafo anterior.

Fig. E26.3

Optimización en un intervalo. En ocasiones, cuando se resuelven problemas de

optimización, las variables a obtener están restringidas por las condiciones mismas del

problema. Si esto no se toma en cuenta, el proceso de solución puede alargarseinnecesariamente o, incluso, pueden darse, como soluciones, valores que resultan

inadmisibles.

6.53. Las dimensiones de una viga rectangular de máxima resistencia

Supóngase que la resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional a su

anchura y al cubo de su altura (o espesor). Si se va a obtener una viga de un tronco, cuya



forma es, aproximadamente, la de un cilindro circular de 52 cm de diámetro, ¿cuáles han deser las medidas del corte transversal de la viga, para que su resistencia sea máxima?

Fig. E27.1

Solución: Siendo a y b, respectivamente, el ancho y la altura de la viga, la resistencia R dela misma será:

3

kab R (E27.1)Ahora, de acuerdo con la figura 1, tenemos que:

22

2

2226

ba

222)26(4 ba (E27.2)

De donde 22)26(4 ba . Sin embargo, a no puede ser negativa, ya que es una

longitud, así que:

22

)26(4 ba (E27.3)

De esta manera, al sustituir en (E27.1) se obtiene que la resistencia de la viga, en función dela altura, es:

223 )26(4 bkb R (E27.4)

Así pues, para hallar los puntos críticos, hay que derivar esta función:

)2()26(42

)26(43)(22

3222 b

b

kbbkbb R

22

4

222

)26(4)26(43)(

bkbbkbb R

]))26(4(3[)26(4

))26(4(3)( 222

2

22

4222

bba

kb

b

kbbkbb R

Observemos ahora que hay tres números críticos, de los cuales dos no pueden tomarse en

cuenta: el primero, 0b para el cual la derivada se anula , ya que, en tal caso, no hay

52 cm

a

b



viga, y el segundo, 0a en el cual la derivada no existe , ya que tampoco en este caso

habría viga.

Fig. E27.2

Así pues, el único punto crítico admisible es aquel para el cual:

2222222 4)26(12,04)26(12,0))26(4(3 bbbb

Es decir: 326b . Así, al sustituir en (E27.3), se obtiene el valor del ancho de la viga:

26)26(3)26(4 22 a

Resumiendo: para maximizar la resistencia, el ancho de la viga debe ser de 26 cm, y el alto

de 45326 cm.

En la figura 2 se muestra la gráfica de la resistencia en función del espesor de la viga [dada por la ecuación E27.4, con 1k ]. Obsérvese que, en este caso, la misma regla de

correspondencia define el conjunto de valores admisibles de la variable independiente es

decir, la altura de la viga , ya que el radicando no puede ser negativo.

6.54. El objeto iluminado por dos fuentes luminosas.

¿En qué punto hay que poner un objeto, entre dos fuentes luminosas, alineadas con el

objeto, para que resulte menos iluminado?

Supóngase que la iluminación que recibe un objeto es directamente proporcional a laintensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la fuente.

Si dos fuentes luminosas, una de ellas tres veces más intensa que la otra, se colocan a 10 m

de distancia entre sí, ¿en qué punto del segmento de recta comprendido entre las fuentesdebe colocarse un objeto para recibir la mínima iluminación?

Fig. E28

10 m

x1 2



Solución: Denotando con I la iluminación, y con P la intensidad de la fuente, y siendo x ladistancia del objeto a la fuente más intensa (ver figura), tenemos que la iluminación en el

objeto debida a la fuente 2 (la menos intensa) es:

2

22

)10( x

kP I

(E28.1)

Y la debida a la más intensa es:

2

2

2

11

3

x

kP

x

kP I (E28.2)

Donde k es la constante de proporcionalidad.

Por lo tanto, la iluminación total en el objeto, debida a la acción conjunta de las dos fuentes,

es:

2222

2

2

2 3

)10(

13

)10(

)(

x x

kP

x

kP

x

kP x I (E28.3)

Derivando esta función, obtenemos:

33

33

2332)10(

)10(626

)10(

)1(2)(

x x

x xkP

x xkP x I

33

33

2 )10(3)10(

2)( x x

x x

xP x I

33

323

2

)10(

)303001000(3[2)(

x x

x x x x xP x I

33

23

2

)10(

]3000900904[2

x x

x x x xP

Fig. E29

Los puntos críticos correspondientes a 0 x y 10 x no se toman en cuenta ya que en

ambos casos la iluminación se hace infinita [lo cual se deduce de las expresiones 7μ y 7 ν].

Así pues, los puntos críticos de interés son aquellos para los cuales:

03000900904 23 x x x



Al resolver numéricamente esta ecuación, se obtiene que la única raíz real es 905.5 x .

En la figura 2 se muestra la gráfica de la iluminación en términos de la distancia del objeto,respecto de la fuente más intensa. Por supuesto, la gráfica se trazó en el intervalo de valoresadmisibles, de acuerdo con el problema. Obsérvese que, en este caso, la variación de lafunción (iluminación), alrededor del punto crítico, es muy pequeña.

Ahora hay que resolver los siguientes.

6.55. Supóngase que una falla geológica separa las ciudades A y B, según se muestra en lafigura. Se quiere construir un camino entre las ciudades, sabiendo que la distanciaentre las proyecciones perpendiculares sobre la falla es l kilómetro, el costo deconstrucción es C 1 (en miles de pesos por cada km) en el lado de la falla donde seencuentra A y C 2 en el lado donde se encuentra B. Se desea ubicar la posición de P demanera que se minimice el costo de la carretera.

a) Mostrar que el costo es mínimo cuando se satisface la ecuación:

C C 1 1 2 2sen sen

b) Considerando que 11 C ba , 22 C y 4l , probar que la ecuación

obtenida en el inciso anterior es equivalente a:

f x x x x x( ) 3 24 51 32 64 04 3 2

6.56. Un faro está a 6 km de distancia del punto A más cercano de una costa recta. Elguarda faros obtiene sus artículos de consumo en un punto B ubicado sobre la costa a8 km de A. Para ello, puede remar en el bote del faro a 3 km/h y puede caminar por

la playa a 4.8 km/h . Suponiendo que el bote puede encallar en cualquier punto de la

playa entre A y B, ¿en qué punto de la playa debe arribar el guarda faros para

minimizar el tiempo para llegar al almacén?

6.57. Considerando el punto A de coordenadas )1,3( y la circunferencia cuya ecuación es

4)2()1( 22 y x .

a) ¿Cuál de los puntos de la circunferencia está más cerca de A?

b) ¿Cuál de los puntos de la circunferencia está más lejos de A?

c) ¿Cómo se resuelve este problema utilizando geometría analítica?

d) ¿Cómo se resuelve usando regla y compás?

6.58. Un tanque rectangular abierto de base cuadrada, ha de tener un volumen de 64 m3. El

costo del material para la base es de $200 por metro cuadrado y de $100 para loslados. Calcular las dimensiones del tanque que minimizan el costo del material.

6.59. Se desea construir una lata metálica cilíndrica circular cerrada con una capacidad de50 cl. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que se destine la menor cantidad demetal (en lámina)?



6.60. Un automóvil viaja a 70 km/h, aproximándose a un crucero. Cuando el automóvilestá a 40 m del crucero, un camión, desplazándose a 50 km/h, pasa el crucero, por elcamino perpendicular. Determinar el momento en el que los vehículos estarán más próximos entre sí, así como las posiciones en las que se encuentran, en tal momento.

6.61. Para la curva x x x y 5323

, obtener una ecuación de la recta tangente de pendiente mínima. Interpretar gráficamente el resultado.

6.62. En cierta comunidad una epidemia se propaga de modo que n meses después delinicio de la epidemia, P porcentaje de la comunidad está infectada, con:

2

2

)1(

30

n

nP

¿En qué tiempo estará infectada la mayor cantidad de gente y qué porcentaje de lacomunidad será?

6.63. Siendo C la hipérbola dada por 122

x y .

(a) Obtener la distancia mínima desde el punto )0,2( A , a un punto de la hipérbola.

Interpretar gráficamente el resultado.

(b) Obtener la distancia mínima desde el punto )2,0( B , a un punto de la hipérbola.


(c) Obtener la distancia mínima desde el punto )1,3( D , a un punto de la hipérbola.


6.64. Obtener, para cada una de las ramas de la hipérbola 422 y x , el punto más

cercano al punto (4, 1).

6.65. Obtener las dimensiones del cono de mayor volumen que puede ser inscrito en unaesfera de radio R.

6.66. Obtener las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede ser inscrito en unaesfera de radio R.

6.67. Obtener las dimensiones del cono de mayor volumen que puede circunscribirse a unaesfera de radio R.

6.68. Obtener las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede circunscribirse auna esfera de radio R.

6.69. Una ventana consiste de un rectángulo coronado en un semicírculo. Si el perímetro dela ventana (marco) es de 8.5 m, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la ventana (altodel rectángulo y radio del semicírculo) que maximizan la cantidad de luz (es decir, elárea) que pasará por la ventana?



6.70. Demuéstrese la fórmula para la distancia del punto ),( 000 y xP a la recta

0: C By Ax L , es decir, que la distancia más corta entre 0P y un punto de L

es:22

000

||),(

B A

C By Ax LPd

6.71. Una pieza de alambre, de 8 m de longitud, va a cortarse en dos piezas. Una de ellas sedoblará para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómodebe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las figuras sea máxima?,¿cómo para que esa suma sea mínima?

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