Combinando Optimización con Programación de...

63
Combinando Optimización con Programación de Restricciones J. N. Hooker Carnegie Mellon University La Habana, Marzo del 2000

Transcript of Combinando Optimización con Programación de...

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Co

mb

inan

do

Op

timiz

ació

n c

on

P

rog

ram

ació

n d

e R

estr

icci

on

es

J. N

. Hoo

ker

Car

negi

e M

ello

nU

nive

rsity

La H

aban

a, M

arzo

del

200

0

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Pa

rtes

de e

ste t

rab

ajo

se r

ea

liza

ron

en

co

nju

nto

co

n…

Igna

cio

Gro

ssm

ann,

C

arn

eg

ie M

ello

n U

niv

ers

ityH

ak-J

in K

im, C

arn

eg

ie M

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n U

niv

ers

ityM

aría

Aux

ilio

Oso

rio, U

niv

ers

ida

d A

utó

no

ma

de P

ueb

laG

rege

r O

ttos

son,

U

pp

sala

Un

ivers

itet

Erle

ndur

Þor

stei

nsso

n,

Ca

rneg

ie M

ello

n U

niv

ers

ity

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Opt

imiz

aci

ón y

Pro

gra

ma

ción

de

R

est

ricci

one

s

•O

ptim

iza

ció

n es

un a

ntig

uoca

mpo

rela

cion

ado

con

mat

emát

icas

ein

geni

ería

.

•U

saté

cnic

asco

mo

prog

ram

ació

n lin

eal,

prog

ram

ació

n en

tera

y p

rogr

amac

ión

no li

neal

.

•P

rogr

amac

ión

de R

estr

icci

ones

es u

n ca

mpo

rel

ativ

amen

te

nuev

o, q

ue s

e de

sarr

ollo

den

tro

de la

s co

mun

idad

es d

e ci

enci

as d

e la

com

puta

ción

e in

telig

enci

a ar

tific

ial.

•U

sabú

sque

da y

pro

paga

ción

de

rest

ricci

ones

par

a re

solv

erpr

oble

mas

form

ulad

osen

un

leng

uaje

de

prog

ram

ació

n.

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Opt

imiz

aci

ón

•Lo

s m

odel

os e

n pr

ogra

mac

ión

linea

l o p

rogr

amac

ión

ente

ra

mix

taus

an u

n vo

cabu

lario

de

mod

elaj

e re

strin

gido

.

•E

cuac

ione

s, d

esig

uald

ades

yfu

ncio

nes

num

éric

as.

•Lo

s m

odel

os s

onde

clar

ativ

os.

•Lo

s m

étod

os d

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luci

ónex

plot

anla

estr

uctu

rade

dife

rent

es

clas

esde

pro

blem

as c

omo:

•Pro

blem

a de

asi

gnac

ión

de tr

abaj

os,

prob

lem

a de

l age

nte

viaj

ero,

etc

.

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Pro

gra

ma

ción

de

Re

stric

cion

es

Per

mite

muc

ha v

ersa

tilid

ad e

n el

mod

elaj

e.

Con

dici

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lógi

cas,

rest

ricci

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de

“tod

os d

ifere

ntes

”,

índi

ces

varia

bles

.

Los

mod

elos

son

esc

ritos

en

un le

ngua

je d

e pr

ogra

mac

ión.

Los

mét

odos

de

solu

ción

expl

otan

laes

truc

tura

de

rest

ricci

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par

ticul

ares

com

o:

“tod

os d

ifere

ntes

”, c

umul

ativ

as(p

ara

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as d

e as

igna

ción

), e

lem

ento

(par

a ín

dice

s va

riabl

es),

etc

.

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Un

Eje

mpl

o de

Mod

ela

je

Pro

blem

a de

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nte

viaj

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Sea

c ij=

dis

tanc

iade

laci

udadi

ala

ciu

dadj

.

Hal

lar

laru

tam

ás c

orta

que

visi

taex

acta

men

te u

na v

ezca

da u

nade

las n ci

udad

es.

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Mod

elo

de

Pro

gra

ma

ción

Ent

era

}1,0{

dis

yun

tos

},

,1{,

t

od

op

ara

,1

t

od

op

ara

,1

t

od

op

ara

,1a

suje

to

min

imiz

ar

⊂≥

==

∑∑

∑∑∑ ∈∈

ijVi

Wj

ij

jij

iij

ijij

ij

x

nW

Vx

ix

jx

xc

Sea

x ij=

1 s

ila

ciud

adip

rece

de in

med

iata

men

te a

la c

iuda

dj,

y x i

j=

0 d

e lo

con

trar

io.

Res

tric

cion

es p

ara

elim

inac

ión

de s

ubto

urs

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Mod

elo

de

Pro

gra

ma

ción

de

R

est

ricci

one

s

Sea

y k=

a la

k-é

sim

a ci

udad

vis

itada

.

El m

odel

ose

esc

ribirá

en u

n le

ngua

jees

pecí

fico

depr

ogra

mac

ión

de r

estr

icci

ones

, pe

ro e

senc

ialm

ente

ser

áde

la

sigu

ient

e fo

rma:

},

,1{

),

,(

diffe

rent

-al

la

suje

to

min

imiz

ar

1

1

ny

yy

c

k

n

ky

yk

k

∑+

Índi

ces

varia

bles

Res

tric

ción

“gl

obal

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Mod

elo

de

Pro

gra

ma

ción

de

R

est

ricci

one

s

{}

{}n

y

y,

y

c

j

n

jjy

j

,,1

circ

uit

a smin

1

El p

robl

ema

del a

gent

e vi

ajer

o ta

mbi

én p

uede

ser

es

crito

com

o:

Don

dey j

esla

ciud

adqu

esi

gue

a la

ciu

dad

j.La

re

stric

ción

de

circ

uito

exi

ge q

ue

y 1, …

, yn

defin

anun

cicl

o H

amilt

onia

no.

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Inte

gra

ción

de

optim

iza

ción

y

prog

ram

aci

ón d

e r

est

ricci

one

s•

Opt

imiz

ació

n y

prog

ram

ació

n de

res

tric

cion

estie

nen

fort

alez

as q

ue s

e co

mpl

emen

ten.

•E

xist

e un

gra

n in

teré

s en

com

bina

rlas.

•O

PL

com

bina

la p

rogr

amac

ión

mat

emát

ica

deC

PLE

X

con

la p

rogr

amac

ión

de r

estr

icci

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deIL

OG

Sol

ver

pero

de

una

man

era

limita

da.

•E

CLi

PS

e va

aco

mbi

nar

la p

rogr

amac

ión

mat

emát

ica

deX

PR

ES

S M

P c

onla

pro

gram

ació

n de

res

tric

cion

esde

CH

IP.

•M

ucho

spr

oble

mas

est

án s

iend

o at

acad

os c

on m

étod

os

híbr

idos

.

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For

tale

zas

que

se

Com

ple

me

nta

n

•O

ptim

izac

ión

es e

xcel

ente

enpr

oble

mas

en

los

cual

es

las

rest

ricci

ones

(o

la fu

nció

n ob

jetiv

o) p

uede

nco

nten

erm

ucha

sva

riabl

es,c

omo

en fu

ncio

nes

de c

osto

o g

anac

ia.

•T

écni

cas

de r

elaj

ació

n so

n út

iles.

•P

rogr

amac

ión

de r

estr

icci

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es m

ás e

fect

iva

en

prob

lem

as e

n lo

s cu

ales

las

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ricci

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con

tiene

npo

cas

varia

bles

.

•R

educ

ción

del

dom

inio

ypr

opag

ació

n de

re

stric

cion

esso

n út

iles.

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For

tale

zas

que

se

Com

ple

me

nta

n

•La

téc

nica

deR

ela

jaci

ón

rem

ueve

algu

nas

rest

ricci

ones

pa

ra h

acer

el p

robl

ema

más

fáci

l.

•P

or e

jem

plo,

una

rela

jaci

ónco

ntin

uaco

nsis

te e

n re

mov

erla

s re

stric

cion

es d

e in

tegr

alid

ad e

n la

s va

riabl

es

para

obt

ener

un

prob

lem

a de

pro

gram

ació

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no

linea

l.

•R

esol

vien

do e

l pro

blem

a re

laja

do s

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tiene

una

cot

a pa

rael

val

or ó

ptim

o, la

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es

útil

en u

na b

usqu

eda

de“b

ranc

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.

•La

téc

nica

deR

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jaci

óne

s es

peci

alm

ente

útil

cua

ndo

las

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ricci

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con

tiene

n m

ucha

s va

riabl

es; p

or e

jem

plo,

enre

stric

cion

es d

e co

stos

.

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For

tale

zas

que

se

Com

ple

me

nta

n•

El d

om

inio

de u

na v

aria

ble

es e

l con

junt

o de

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ores

que

pu

ede

tom

ar.

•Red

ucc

ión

de D

om

iniod

educ

e qu

e un

a va

riabl

e da

da

en u

na r

estr

icci

ónpu

ede

tom

ar s

olo

cier

tos

valo

res

para

pod

er s

atis

face

r la

res

tric

ción

.

•P

rop

ag

aci

ón

de r

est

ricc

ion

es pa

salo

s do

min

ios

redu

cido

s a

otra

s re

stric

cion

es e

n do

nde

esto

s pu

eden

se

r re

duci

dos

aún

más

.

•La

red

ucci

ón d

e do

min

ioy

la p

ropa

gaci

ón d

e re

stric

cion

es s

on ú

tiles

cuan

do la

s re

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cion

es c

ontie

nen

solo

poc

as v

aria

bles

.

•P

or e

jem

plo

enre

stric

cion

esbin

ari

as,

que

con

tiene

n so

lo

dos

varia

bles

.

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For

tale

zas

que

se

Com

ple

me

nta

n

•O

ptim

izac

ión

se b

asa

en u

n an

ális

is p

rofu

ndo

de la

es

truc

tura

mat

emát

ica

de c

iert

as c

lase

s es

pecí

ficas

de

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lem

as.

•U

sa p

artic

ular

men

te a

nális

is d

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liedr

os d

e do

nde

se

obtie

nen

plan

os c

orta

ntes

“fu

erte

s”.

•P

rogr

amac

ión

de r

estr

icci

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iden

tific

a su

bcon

junt

os d

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cion

es d

el p

robl

ema

que

pose

en u

na e

stru

ctur

a es

peci

al.

•La

s re

pres

enta

conre

stri

ccio

nes

glo

ba

les(p

or

ejem

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“tod

os d

ifere

ntes

” y

cum

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ivas

) y

les

aplic

a al

gorit

mos

de

redu

cció

n de

dom

inio

esp

ecia

lizad

os.

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For

tale

zas

que

se

Com

ple

me

nta

n

•O

ptim

izac

ión

pued

e se

r m

uy r

ápid

a cu

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el p

robl

ema

pose

e un

a es

truc

tura

esp

ecia

l.

•P

rogr

amac

ión

de R

estr

icci

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se h

ace

más

ráp

ida

a m

edid

a qu

e se

agr

egan

más

res

tric

cion

es,

aunq

ue e

stas

no

sean

est

ruct

urad

as.

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Un

Esq

uem

a p

ara

Inte

gra

ción

•U

sarP

rog

ram

aci

ón

de R

est

ricc

ion

es

yre

laja

ció

ndu

rant

e un

a bu

sque

da d

e “b

ranc

h-an

d-bo

und”

.

•U

sarr

ela

jaci

on

es y

rest

ricc

ion

es

glo

ba

lespa

ra e

xplo

tar

laes

tru

ctu

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el p

rob

lem

a.

•Apl

icar

mét

odos

de

optim

izac

ión

espe

cial

izad

os p

ara

las

rela

jaci

on

es.

•Aso

ciar

téc

nica

s de

red

ucci

ón d

e do

min

ioy

rela

jaci

ones

esp

ecia

lizad

as c

onrest

ricc

ion

es

glo

ba

les.

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Un

Eje

mpl

o M

otiv

ado

r

}4,

,1{

},

,{

diffe

rent

-al

l

303

53

a su

jeto

58

5m

in

32

1

32

1

32

1

…∈

≥+

++

+

jx

xx

x

xx

x

xx

x

Tre

s fo

rmas

dife

rent

es d

e fo

rmul

arlo

y r

esol

verlo

:

•co

mo

prob

lem

a de

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gram

ació

n de

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tric

cion

es

•co

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lem

a de

pro

gram

ació

n en

tera

•co

n un

a es

trat

egia

com

bina

da

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Re

solv

er

com

o un

pro

ble

ma

de

pr

ogra

ma

ción

de

re

stric

cion

es

}4,

,1{}

,,

{di

ffere

nt-

all

302

53

48

5

32

1

32

1

32

1

…∈

≥+

+≤

++

jx

xx

xxx

xz

xx

x

Em

piec

e co

nz

= ∞.

Va a

dec

rece

r a

med

ida

que

se e

ncue

ntre

n so

luci

ones

fact

ible

s.

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Use

re

ducc

ión

de d

omin

io

•P

ropa

gaci

ón d

e co

tas

en:

302

53

48

5

32

1

32

1

≥+

+≤

++

xx

xz

xx

x

Por

eje

mpl

o,30

25

33

21

≥+

+x

xx

impl

ica 2

58

1230

52

330

31

2=

−−

≥−

−≥

xx

x

De

mod

o qu

e el

dom

inio

dex 2

es r

educ

ido

a{2

,3,4

}.

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Use

re

ducc

ión

de d

omin

io

•M

ante

nga

la c

onsi

sten

cia

de

hipe

rarc

os e

n:}

,,

{di

ffere

nt-

all

32

1x

xx

Sup

onga

por

eje

mpl

o:

12

12

1234

Dom

inio

dex

1

Dom

inio

dex

2

Dom

inio

dex

3

Ent

once

s un

o pu

ede

redu

cir

los

dom

inio

s a:

12

12

34

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Use

re

ducc

ión

de d

omin

io

•C

ircul

e a

trav

és d

e re

ducc

ione

s de

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inio

y

prop

agac

ión

de c

otas

has

ta ll

egar

a u

n pu

nto

fijo.

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1. z

= ∞

1234

234

1234

34

23

234

2

4

43

2

234

12

4

1

34

1

no fa

ctib

le52

51

2. z

= ∞

3. z

= ∞

4. z

= ∞

7. z

= 5

2

8. z

= 5

29.

z =

52

Dominio de x1

Dominio de x2

Dominio de x3

D2=

{2,3

}D

2={4

}

Dom

inio

dex

2

D2=

{2}

D2=

{3}

D1=

{3}

D1=

{2}

no fa

ctib

le

Page 23: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Re

sue

lva

com

o un

pro

ble

ma

de

pr

ogra

ma

ción

ent

era

kj

,y

iy

ijy

x

xx

x

xx

x jk

jijj

iji

,

todo

para

},10{

3,2,1,1

3,2,1,

174

24

a su

jeto

53

4m

in

5 1

5 1

32

1

32

1

==

==

≥+

++

+

=

=

Sea

y ij=

1 s

ixi=

j, y

0 d

e lo

con

trar

io.

Page 24: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Re

laja

ción

con

tinua

Use

un

algo

ritm

o de

pro

gram

ació

n lin

eal p

ara

reso

lver

la

rela

jaci

ón c

ontin

ua d

el p

robl

ema

en c

ada

nodo

del

árb

ol d

e bú

sque

da p

ara

obte

ner

una

cota

más

baj

a pa

ra e

l val

or

óptim

o de

l pro

blem

a en

ese

nod

o.

ji

y

iy

ijy

x

xx

x

xx

x

ij

jijj

iji

b

, to

dopa

ra1,

0

3,2,1,1

3,2,1,

174

24

a su

jeto

53

4m

in

5 1

5

1

32

1

32

1

≤≤

==

==

≥+

++

+

=

=

Rel

aje

inte

gral

idad

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“Bra

nch

and

bou

nd”

Laso

luci

ón

incu

mb

en

tees

la m

ejor

sol

ució

n fa

ctib

le

enco

ntra

da h

asta

el m

omen

to.

En

cada

nod

o de

l árb

ol d

e bi

furc

ació

n:

•S

i

No

hay

nece

sida

d de

con

tinua

r bi

furc

ando

.

•N

ingu

na s

oluc

ión

fact

ible

de

esa

ram

a pu

ede

ser

mej

or q

ue la

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ució

n in

cum

bent

e.

Valo

r óp

timo

de la

re

laja

ción

Valo

rde

laso

luci

ónin

cum

bent

e

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314

9

00

01

10

00

00

3/2

3/1 =

=

z

y

y 12 =

1y 1

3 =

1y 1

4 =

1

50

00

10

00

00

10

2/1

2/1

=

=

z

y

4.4

90

00

10

00

10

010/

910/

1 =

=

z

y

50

00

01

00

10

00

2/1

2/1

=

=

z

y

y 11 =

1

No

fact

.

8.5

00

10

00

00

01

010/

1315/

2

=

=

z

y

No

fact

.N

o fa

ct.

No

fact

.

No

fact

.N

o fa

ct.

4.5

00

00

10

00

10

010/

910/

1

=

=

z

y

z =

51

z =

54

No

fact

.N

o fa

ct.

No

fact

.z

= 5

2

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Est

rate

gia

com

bina

da

•U

se r

elaj

ació

n co

ntin

ua d

e la

res

tric

ción

de

“kna

psac

k” (

moc

hila

)or

igin

al3x 1

+ 5

x 2+

2x 3

≥30

(no

us

e lo

syij).

•U

se p

ropa

gaci

ón d

e co

tas.

•M

ante

nga

la c

onsi

sten

cia

de h

iper

arco

s pa

ra “

todo

s di

fere

ntes

”.

•B

ifurq

ue e

n la

s va

riabl

es n

o en

tera

s cu

ando

sea

po

sibl

e; d

e lo

con

trar

io, b

ifurq

ue d

ivid

iend

o el

do

min

io.

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1234

234

1234

24

3

x=

(2

.7, 4

, 1)

z =

49

.3

x 1 ≤

2x 1

≥3

x=

(2

, 4,

3)

z =

54

x 2 ≥

4x 2

≤3

infa

ctib

lez

= ∞

34

234

1234

x=

(3

, 3.8

, 1)

z =

49

.434

23

234

34

12

x=

(3

, 4,

1)

z =

51

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Coo

pera

ción

ent

re O

ptim

iza

ción

yP

rogr

am

aci

ón d

e R

est

ricci

one

s•

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a de

l pro

blem

a:La

s re

stric

cion

es g

loba

les

prov

een

una

form

a pr

áctic

a pa

ra

apro

vech

arlo

sal

gorit

mos

esp

ecia

lizad

os

(opt

imiz

ació

n ne

cesi

ta e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

rela

jaci

ón:O

ptim

izac

ión

pued

e pr

ovee

r re

laja

cion

es c

ontin

uas

y “p

ropa

gaci

ón h

acia

at

rás”

par

a la

s re

stric

cion

es g

loba

les

(pro

gram

ació

n de

re

stric

cion

esne

cesi

ta e

sto).

•Te

cnol

ogía

de

infe

renc

ia:P

rogr

amac

ión

de

rest

ricci

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pue

de p

rove

er m

étod

os d

e in

fere

ncia

par

a re

duci

r la

bus

qued

a; p

.ej.

Red

ucci

ón d

e do

min

io(p

lano

s co

rtan

tes

fort

alec

en la

rel

ajac

ión)

.

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Coo

pera

ción

ent

re O

ptim

iza

ción

yP

rogr

am

aci

ón d

e R

est

ricci

one

s•

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a de

l pro

blem

a:La

s re

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cion

es g

loba

les

prov

een

una

form

a pr

áctic

a pa

ra

apro

vech

arlo

sal

gorit

mos

esp

ecia

lizad

os

(opt

imiz

ació

n ne

cesi

ta e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

rela

jaci

ón:O

ptim

izac

ión

pued

e pr

ovee

r re

laja

cion

es c

ontin

uas

y “p

ropa

gaci

ón h

acia

at

rás”

par

a la

s re

stric

cion

es g

loba

les

(pro

gram

ació

n de

re

stric

cion

es n

eces

ita e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

infe

renc

ia:P

rogr

amac

ión

de

rest

ricci

ones

pue

de p

rove

er m

étod

os d

e in

fere

ncia

par

a re

duci

r la

bus

qued

a; p

.ej.

Red

ucci

ón d

e do

min

io(p

lano

s co

rtan

tes

fort

alec

en la

rel

ajac

ión)

.

Page 31: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

•P

rogr

amac

ión

de R

estr

icci

ones

gene

ralm

ente

proc

esa

las

rest

ricci

ones

loca

lmen

teo

una

a la

vez

(los

resu

ltado

s so

n “p

ropa

gado

s” a

tra

vés

de la

s de

más

res

tric

cion

es –

más

de

este

tem

a ad

elan

te).

•U

nare

stri

cció

n g

lob

alre

pres

ente

un co

nju

nto

espe

cial

de

rest

ricci

ones

(“t

odos

dife

rent

es”,

circ

uito

, ele

men

to,

cum

ulat

iva,

etc

.).

•Al p

roce

sar

una

rest

ricci

ón g

loba

l, un

o ex

plot

a la

est

ruct

ura

glo

ba

ldel

con

junt

o de

res

tric

cion

es q

ue r

epre

sent

a.

•To

da r

estr

icci

ón g

loba

l“tr

ae c

onsi

go”

un c

onju

nto

de

proc

edim

ient

os(u

na id

ea s

uger

ida

por

la p

ráct

ica

de m

odel

ar

en u

n le

ngua

je d

e pr

ogra

mac

ión)

.

Page 32: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

•U

no p

uede

aso

ciar

los

mét

odos

de

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jaci

on

es y

“pro

pa

ga

cio

nes

ha

cia

atr

ás” co

n re

stric

cion

es g

loba

les.

(M

ás d

e es

to a

dela

nte.

)

•E

sto

prov

ee u

n pu

nto

de a

rran

que

para

impl

emen

tar

resu

ltado

s de

inve

stig

ació

nde

ntro

de

códi

gos

com

erci

ales

.

•Lo

s m

étod

os d

e re

ducc

ión

de d

omin

iono

rmal

men

te

son

impl

emen

tado

s de

inm

edia

to,a

unqu

e co

mo

resu

ltado

de

esto

muc

hos

son

pate

ntad

os.

•Lo

s m

étod

os d

e pl

anos

cor

tant

estie

nden

a a

pare

cer

en

la li

tera

tura

abi

erta

, per

o m

ucho

s no

son

usa

dos

en c

ó-di

gos

com

erci

ales

(el

los

está

n di

seña

dos

para

pr

oble

mas

esp

ecia

les

en v

ez d

e pa

ra r

estr

icci

ones

es

peci

ales

).

Page 33: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

•U

no p

uede

aso

ciar

pla

nos

cort

ante

s es

peci

aliz

ados

, etc

., co

n re

stric

cion

es g

loba

les

que

repr

esen

tan

los

conj

unto

s de

res

tric

cion

es p

ara

los

cual

es lo

s pl

anos

cor

tant

es h

an

sido

dis

eñad

os.

•P

or e

jem

plo,

la r

estr

icci

ón g

loba

lci

rcui

to(y

1,…

,yn)

re

quie

re q

uey 1

,…,y

nre

pres

ente

nun

cic

lo

ham

ilton

iano

en

un g

rafo

, en

don

de y j=

vér

tice

que

sigu

e al

vér

ticej.

Se

podr

íain

voca

run

a re

laja

ción

co

ntin

uaqu

e co

ntie

ne a

lgun

ospl

anos

cor

tant

es

(sep

arad

ores

) pa

ra e

l TS

P.

•E

sto

perm

itirí

a us

ar e

lgra

nco

njun

tode

resu

ltado

s en

aná

lisis

de

polie

dros

que

son

usa

dos

actu

alm

ente

lo e

n có

digo

s es

peci

aliz

ados

.

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Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

Est

a es

trat

egia

crea

un

crec

imie

nto

en e

lvoc

abul

ario

dere

stric

cion

es g

loba

les.

Est

o pu

ede

salir

se d

e la

s m

anos

, per

o co

nsid

eren

lo s

igui

ente

:

•E

l len

guaj

e de

mod

elaj

e pu

ede

expl

otar

los

cono

cim

ient

os d

el

usua

rio

•U

n ex

pert

o en

dom

inio

sen

tiend

e pr

ofun

dam

ente

la

estr

uctu

ra d

el p

robl

ema

en e

l mun

do r

eal(

en v

ez d

e la

es

truc

tura

de

su r

epre

sent

ació

n m

atem

átic

a), y

las

rest

ricci

ones

glo

bale

s pu

eden

cap

tura

r es

ta e

stru

ctur

a.

Page 35: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

Eje

mpl

o:cu

mul

ativ

e((t 1

,…,t n

),(d

1,…

,dn)

,(r 1

,…,r

n),L

)

t i=

tie

mpo

de

inic

io d

e tr

abaj

oid i

= d

urac

ión

r i=

tasa

de c

onsu

mo

de r

ecur

so

L=

lím

iteen

la ta

sa t

otal

de

cosu

mo

del r

ecur

so e

n to

do

tiem

po.

Use

cum

ulat

ive(

(t 1,…

,t n),

(d1,

…,d

n),(

1,…

,1),m

) pa

rase

quen

ciac

ión

de m

máq

uina

s.

Page 36: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a d

el p

robl

em

a

•E

l usu

ario

sól

o ne

cesi

tate

ner

cono

cim

ient

o a

prio

ride

l vo

cabu

lario

que

se

aplic

a al

dom

inio

de

supr

opia

aplic

ació

n.

•U

na c

arac

terí

stic

a po

dero

sade

l len

guaj

e or

dina

rio, e

s qu

e no

sotr

os id

entif

icam

os c

once

ptos

útil

es q

ue a

brev

ian

grup

os

de c

once

ptos

más

ele

men

tale

s.

•E

sto

requ

iere

apr

ende

r m

ás p

alab

ras;

per

o es

to e

s in

evita

ble

en la

tare

a de

apre

nder

com

o re

solv

er e

l pr

oble

ma

en m

ano.

•Ta

l vez

pas

a lo

mis

mo

con

el m

odel

aje.

La

estr

ateg

ia

atom

izad

ora

del m

odel

aje

en o

ptim

izac

ión

desa

prov

echa

es

ta o

port

unid

ad.

Page 37: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Coo

pera

ción

ent

re O

ptim

iza

ción

yP

rogr

am

aci

ón d

e R

est

ricci

one

s•

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a de

l pro

blem

a:La

s re

stric

cion

es g

loba

les

prov

een

una

form

a pr

áctic

a pa

ra

apro

vech

arlo

sal

gorit

mos

esp

ecia

lizad

os

(opt

imiz

ació

n ne

cesi

ta e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

rela

jaci

ón:O

ptim

izac

ión

pued

e pr

ovee

r re

laja

cion

es c

ontin

uas

y “p

ropa

gaci

ón h

acia

at

rás”

par

a la

s re

stric

cion

es g

loba

les

(pro

gram

ació

n de

re

stric

cion

esne

cesi

ta e

sto).

•Te

cnol

ogía

de

infe

renc

ia:P

rogr

amac

ión

de

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ricci

ones

pue

de p

rove

er m

étod

os d

e in

fere

ncia

par

a re

duci

r la

bus

qued

a; p

.ej.

Red

ucci

ón d

e do

min

io(p

lano

s co

rtan

tes

fort

alec

en la

rel

ajac

ión)

.

Page 38: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Re

laja

cion

es

•E

s út

il tr

abaj

ar c

on u

n ej

empl

o: r

elaj

ació

nde

la r

estr

icci

ónele

men

to, q

ue e

s im

port

ante

por

que

impl

emen

ta ín

dice

s va

riabl

es.

•Lo

sÍn

dic

es

vari

ab

les s

on u

n m

ecan

ism

o cl

ave

de m

odel

aje

para

Pro

gram

ació

n de

Res

tric

cion

es.

Uno

s po

cos

mod

elos

ilu

stra

ran

su u

so.

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El p

robl

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e V

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{}

{}n

y

y,

y

c

j

n

jy

yj

j

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rent

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1

1 …

∑+

{}

{}n

y

y,

y

c

j

n

jjy

j

,,1

circ

uit

a smin

1

Índi

ces

Varia

ble

s

Page 40: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Pro

blem

a de

Asi

gnac

ión

Cua

drát

ico {

}{

}ny

y,

y

cv

j

n

ji

yy

ijj

i

,,1

diffe

rent

-al

la smin

1

,

y i=

siti

o as

igna

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endai

v ij=

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fico

entr

etie

ndai

yj

c kl =

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tanc

ia e

ntre

luga

r k y

l

Índi

ces

Varia

ble

s

Page 41: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Pro

blem

a de

asi

gnac

ión

con

dos

form

ulac

ione

sen

trel

azad

as

jj

x

y

x

jy

j

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s

cons

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nt

s'en

nes

rest

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obje

tivo

func

tion

al

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min

=

x i=

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plea

doas

igna

doal

esp

acio

de

tiem

poi

y j=

esp

acio

de

tiem

poas

igna

doa

empl

eado

j

Índi

ces

Varia

ble

s

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Índi

ces

Va

riabl

es

•E

ntre

laza

r lo

s do

sm

odel

os m

ejor

a la

pro

paga

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.

•Aqu

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a va

riabl

etie

ne u

n su

bínd

ice

varia

ble

(en

vez

de

cons

tant

e) .

Page 43: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Re

stric

ción

“e

lem

ent

o”

La r

estr

icci

ón5

≤yx

pued

e se

r im

plem

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)),

,,

(,(

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ent

51

zx

xy

zn

…≤

La r

estr

icci

ón5

≤yc

pued

e se

r im

plem

enta

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omo:

)),

,,

(,(

elem

ent

51

zc

cy

zn

…≤

(est

a es

una

res

tric

ción

lige

ram

ente

dife

rent

e)

Page 44: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

elem

ento

pued

e se

r pr

oces

ado

con

un a

lgor

itmo

de

redu

cció

n de

dom

inio

disc

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.

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j

j

y

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x

yz

x

xx

yy

Dj

xz

z

D

jD

DD

DD

jD

D

DD

D

=←

∅≠

∩∩

∩←

∈∪

Re

stric

ción

“e

lem

ent

o”

)),

,,

(,(

elem

ent

1z

xx

yn

Page 45: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Eje

mpl

o...

)),

,,

,(,

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emen

t4

32

1z

xx

xx

y

Los

dom

inio

s in

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les

son:

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50,40{

}90,

80,50,

40{

}20,

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}50,

10{

}4,3,1{

}90,

80,60,

30,20{

4321

======

xxxxyz

DDDDDD

Los

dom

inio

s re

duci

dos

son:

}70,

50,40{

}90,

80{

}20,

10{

}50,

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}90,

80{

4321

======

xxxxyz

DDDDDD

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Re

laja

ción

con

tinua

de

“E

lem

ent

o”

es tr

ivia

l.

La r

elaj

ació

n de

Env

olve

nte

Con

vexa

es:

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{} i

ii

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≤≤

11

11

+−

+

+−

∑∑

∑∑

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∈∈

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mmx

kz

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y

yy

Di

Di

iii

Di

Di

iii

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,,

(,(

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ent

1z

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,,

(,(

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ent

1z

xx

yn

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ne la

sig

uien

te r

elaj

ació

n:

siem

pre

y cu

ando0

≤x i

≤m

i (y

en d

onde

k=

|Dy|

).

Page 47: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

)),

,,

(,(

elem

ent

1z

xx

yn

Si0

≤x i

≤m

par

a to

doi,

ento

nces

lare

laja

ción

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En

volv

en

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e

es:

∑∑

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≤≤

−−

yy

Dj

jD

jj

xz

mk

x)1

(

más

cota

s, e

n do

ndek =

|Dy|

.

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Eje

mpl

o...

50

50

)),

,(,

(el

emen

t

21

21

≤≤

≤≤

xxz

xx

y

La r

elaj

ació

n de

env

olve

nte

conv

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es:

50

50

5

21

21

21

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≤≤

+≤

≤−

+ xxx

xz

xx

Si

lo a

nter

ior

sigu

e si

endo

vál

ido

y te

nem

os

que:

40

1≤

≤x

20

45

92

04

52

12

1+

+≤

≤−

+x

xz

xx

Page 49: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Eje

mpl

o de

“lot

sizi

ng”

disc

reto

•M

anuf

actu

re m

áxim

oun

prod

ucto

cada

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.

•C

uand

o la

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ufac

tura

em

piez

a,pu

ede

cont

inua

r po

r va

rios

días

. (Ri =

tie

mpo

min

imo

de a

ctiv

idad

).

•Al c

ambi

ar a

otr

o pr

oduc

to s

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curr

e en

un

cost

o.

•H

ay u

na c

iert

a de

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da p

ara

cada

pro

duct

o ca

da d

ía.

•Lo

s pr

oduc

tos

son

alm

acen

ados

para

sup

lir la

dem

anda

entr

e lo

s m

omen

tos

de a

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idad

.

•M

inim

izar

cos

tos

de in

vent

ario

+ c

osto

s po

r ca

mbi

o de

pr

oduc

tos.

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Eje

mpl

o de

“lot

sizi

ng”

disc

reto

t=

1

2

3

4

5

6

7

8

AB

A

y t=

A

A

A

B

B

0

A

0

tare

a

0 =

no

se r

ealiz

a ta

rea

Page 51: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

0 ,

}1,0{ ,

,

to

dopa

ra ,1

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

,,1

,

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,1

, to

dopa

ra ,

1

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

a smin

1,

1,

1,

1,

1,

1,,

≥∈

=≤

=≤≤≥

−+

≥−

≤≤−

≥+

=+

+

∑∑∑

−+−−

itit

ijtit

itiit

itit

ir

ti

it

jtijt

ti

ijt

jtt

iijt

ti

it

itit

ti

itit

itit

itt

iit

ij

ijtij

itit

sx

zy

ty

ti

Cy

x

ti

Rr

yz

ti

y

ti

y

ti

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ti

yz

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z

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sd

xs

qs

h

δ

δδδ

δ …

Mod

elo

IP(t

oma

do

de

L.

Wol

sey)

Page 52: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

()

()

()

()

ti

iy

yy

iy

ti

xi

y

ti

sC

x

ti

sd

xs

tq

v

ts

hu

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tt

Rt

tt

t

itt

itit

itit

itt

i

yy

t

iit

itt

tt

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

0

, to

dopa

ra ,0

,0

, to

dopa

ra ,

to

dopa

ra ,

to

dopa

ra ,

a s

)(

min

11

11,

1

==

=→

=≠

=→

≠≥

≤≤

+=

+≥≥

+

−+

+−−

nive

l de

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ntar

ioco

sto

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cam

bio

inve

ntar

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cos

tos

por

cam

bio

de p

rodu

cto

bala

nce

de in

vent

ario

prod

ucci

ón d

iaria

Elm

odel

o

Page 53: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

()

()

()

()

ti

iy

yy

iy

ti

xi

y

ti

sC

x

ti

sd

xs

tq

v

ts

hu

vu

i

tt

Rt

tt

t

itt

itit

itit

itt

i

yy

t

iit

itt

tt

, to

dopa

ra ,

, to

dopa

ra ,

0

, to

dopa

ra ,0

,0

, to

dopa

ra ,

to

dopa

ra ,

al

l ,

a s

)(

min

11

11,

1

==

=→

=≠

=→

≠≥

≤≤

+=

+≥≥

+

−+

+−−

colo

que

en la

re

laja

ción

Gen

ere

desi

gual

dade

spa

raco

loca

rde

ntro

de

lare

laja

ción

Apl

ique

prop

agac

ión

de r

estr

icci

ones

ato

do

Rel

ajac

ión

Page 54: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Pa

ra r

eso

lve

r e

l eje

mpl

o•

En

cada

nod

o de

l árb

ol d

e bú

sque

da:

•Apl

ique

red

ucci

ón d

e do

min

io y

pro

paga

ción

de

rest

ricci

ones

.

•G

ener

e y

resu

elva

rel

ajac

ione

s co

ntin

uas

para

obt

ener

co

tas.

•C

arac

terí

stic

as:

•La

rel

ajac

ión

es u

n po

co m

ás d

ébil

que

enIP

por

que

las

rest

ricci

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lógi

cas

no e

stan

toda

sre

laja

das.

•P

ero

los

rela

jaci

ones

LP

son

muc

ho m

ás p

eque

ñas—

en

tam

año

cuad

ratic

o en

vez

de

cúbi

co.

•La

red

ucci

ón d

e do

min

io a

yuda

a “

poda

r” e

l árb

ol.

Page 55: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Pro

paga

ción

ha

cia

atr

ás

•U

na r

estr

icci

ón g

loba

l pue

de s

er a

soci

ada

tam

bién

con

un

esqu

ema

de p

ropa

gaci

ón h

acia

atr

ás, q

ue r

educ

e el

dom

inio

basa

do e

n la

sol

ució

n de

la r

elaj

ació

n.

•U

n ej

empl

o si

mpl

ees

la fi

jaci

ón d

e va

riabl

esus

ando

cost

os r

educ

idos

, qu

e es

aho

ra u

tiliz

ado

tant

o en

op

timiz

ació

n co

mo

en p

rogr

amac

ión

de r

estr

icci

ones

.

•P

or e

jem

plo,

uno

pue

de d

ar acirc

uito

(y1,

…,y

n)un

a re

laja

ción

de

“asi

gnac

ión”

.

•E

l val

or d

e la

rel

ajac

ión

pued

e se

r in

útil,

per

o lo

s co

stos

red

ucid

os p

uede

n pe

rmiti

rle a

uno

excl

uir

valo

res

dey i

.

•La

s va

riabl

es x ijen

el p

robl

ema

de a

sign

ació

nno

ne

cesi

tan

ser

defin

idas

. Sol

o us

e un

a es

truc

tura

ap

ropi

ada

de d

atos

par

are

solv

erel

pro

blem

a.

Page 56: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Una

mira

daa

lam

bie

nte

de

mod

ela

jepa

ra la

inte

gra

ción

Sup

onga

que

toda

res

tric

ciónit

iene

la fo

rma

co

nd

icio

na

l:

)(

)(

xS

yh

ii

h i(y

) -

rest

ricci

ónd

ifíci

l (pe

rten

ecie

nte

aN

P);

co

ntie

neva

riabl

es y =

(y 1

,…,y

m).

S i(x

) –

conj

unto

de

rest

ricci

onesfá

cile

s(p

erte

neci

ente

s a

NP

yco

-NP

?)

que

entr

arán

en

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elaj

ació

n; c

ontie

nen

varia

bles

x

=

(x1,

…,x

n).

La f

unci

ón o

bjet

ivo

tiene

la fo

rma f(

x) +

g(y

).

O q

ue e

s re

duci

ble

a un

con

junt

o de

con

dici

onal

es.

Page 57: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Alg

oritm

o bá

sico

de

bús

que

da•

Bifu

rqu

een

el d

omin

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e la

s va

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esy j.

•U

se in

fere

nci

apar

a de

duci

r, c

uand

o se

a po

sibl

e, s

i las

va

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esy j

parc

ialm

ente

esp

ecifi

cada

s sa

tisfa

cen

las

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ricci

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h i(y

).

•R

esu

elv

ael p

robl

ema

rela

jado

de

min

imiz

arf(x)

con

re

spec

to ax

, suj

eto

a la

s re

stric

cion

esS i(x

)qu

e so

n re

quer

idas

por

los h

i(y)

que

son

verd

ader

os.

•E

sta

rela

jaci

ón p

uede

ser

fort

alec

ida,

o a

umen

tada

med

iant

eot

ras

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jaci

ones

si s

e de

sea.

•P

ropa

gue

haci

a at

rás

usan

do la

sol

ució

n a

la

rela

jaci

ón.

•B

usqu

e el

val

or d

e yco

nsis

tent

eco

nes

taso

luci

ón.

•C

ontin

ue e

n es

te p

roce

so d

e “b

ifurc

ar y

rel

ajar

”.

Page 58: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Coo

pera

ción

ent

re O

ptim

iza

ción

yP

rogr

am

aci

ón d

e R

est

ricci

one

s•

Exp

lota

ndo

la e

stru

ctur

a de

l pro

blem

a:La

s re

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cion

es g

loba

les

prov

een

una

form

a pr

áctic

a pa

ra

apro

vech

arlo

sal

gorit

mos

esp

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lizad

os

(opt

imiz

ació

n ne

cesi

ta e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

rela

jaci

ón:O

ptim

izac

ión

pued

e pr

ovee

r re

laja

cion

es c

ontin

uas

y “p

ropa

gaci

ón h

acia

at

rás”

par

a la

s re

stric

cion

es g

loba

les

(pro

gram

ació

n de

re

stric

cion

es n

eces

ita e

sto)

.

•Te

cnol

ogía

de

infe

renc

ia:P

rogr

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ión

de

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ricci

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pue

de p

rove

er m

étod

os d

e in

fere

ncia

par

a re

duci

r la

bus

qued

a; p

.ej.

Red

ucci

ón d

e do

min

io(p

lano

s co

rtan

tes

fort

alec

en la

rel

ajac

ión)

.

Page 59: Combinando Optimización con Programación de Restriccionespublic.tepper.cmu.edu/jnh/habanaesp.pdf · 2012-07-27 · Optimización y Programación de Restricciones • Optimización

Infe

renc

ia

•La

infe

renc

iaac

eler

a la

bús

qued

avo

lvie

ndo

al c

onju

nto

de

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ricci

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cas

i con

sist

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--p.

ej.,

haci

endo

las

impl

icac

ione

s ex

plic

itas.

•La

est

rate

gia

más

pop

ular

es r

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ir lo

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