Introducción al pensamiento matemáticoUnidad 2. Métodos de demostración

Actividad 2. Métodos de demostración

Instrucciones: Demuestra los enunciados por medio del métodos de demostración que consideres adecuado.

1. Demostrar que no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 15.R: 15 está entre dos cuadrados perfectos que son 9 y 16, entonces partimos de la desigualdad 9<15<16. Si realizamos la raíz cuadrada de la desigualdad √9 <

√15 < √16 =3< √15 < 4.

Restamos 3 a los términos de la desigualdad queda entonces: 0< √15 -3<1

supongamos que existe un número racional ab

en su forma más simple tal que

a2

b2 =15 con lo que a=b* √15 que expresa el menor entero posible múltiplo de

√15 , entonces multiplicando la desigualdad por b* √15 quedará:

0<c* √15 <b* √15

que se contradice con la suposición anterior ya que la desigualdad indica que

existe un entero menor que b* √15 también múltiplo de √15 , si se reoganiza

el término central llamando al entero por sustracción de enteros b* √15 -b*3=c,

queda entonces la desigualdad de la siguiente manera:

0<c* √15 <b* √15 por tanto se demuestra que no existe un número racional

cuyo cuadrado (a2

b2 ) sea 15

2. Si x es racional y distinto de cero y y es irracional, entonces x + y y xy son racionales.R: demostración por reducción al absurdoa) supongamos que x+y fuera racional entonces tendremos:x+y= ry=r-xcomo r y x entonces y= r/x es racional, con lo cual llegamos a un absurdo pues ya y era irracional luego entonces x+y es irracional.b) supongamos que xy es raciona

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xy=rx es distinto de cero entonces despejamos yy= r/xcomo r y x son racionales entonces y=r/x es racional, lo cual es absurdo pues y ya era irracional, luego xy es irracional.

3. Demostrar que 13 + 23 + 33 + …+ n3 = (1 + 2 + 3 + …+n)2

R: Se demuestra por inducción:para n=13=12

Entonces se debe demostrar que se cumple para n+1:13 + 23 + 33+ …+ n3 = (1 + 2 + 3 + …+n)2

Veremos que se cumpla para n+113 + 23 + 33+ …+ n3 + (n+1)3= (1 + 2 + 3 + …+n)2+(n+1)3=(1 + 2 + 3 + …+n)2+(n+1)(n+1)2=(1 + 2 + 3 + …+n)2+n(n+1)2+(n+1)2

Se demuestra aparte que:n(n+1)2=2(1+2+3+...+n)(n+1)n(n+1)=2( 1 + 2 + 3 + …+n)n(n+1)/2= 1 + 2 + 3 + …+nLo cual es cierto pues es la fórmula de la suma de los n primeros elementos de una sucesión aritméticaEntonces tenemos:13 + 23 + 33 + …+ n3+(n+1)3=(1 + 2 + 3 + …+n)2+2( 1 + 2 + 3 + …+n)(n+1)+(n+1)2==[ (1 + 2 + 3 + …+n)+(n+1)]2

llegamos a la fórmula del cuadrado perfecto y se demuestra que la fórmula es válida para n+1 y queda demostrada la inducción

4. Demuestre que si 0 < x < y, entonces x< √ xy <x+ y2

<y

R: x<y

√ x < √ y

0< √ x - √ y

0<( √ x - √ y )2

0 < x+y-2 √ x √ y

0 < x+y-2 √ xy

2 √ xy < x+y

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√ xy <x+ y2

por otro ladox < yxx < xy

√ xx < √ xy

x < √ xy

Por otro ladox < yx+ y < y+y

x+ y2

<y+ y2

x+ y2

< y

Integrando todo lo anterior

x< √ xy <x+ y2

<y

5. Sea, x ∈ R demuestre que si ∣x+ y∣ > ∣x∣ + ∣y∣ entonces y no es un

número real.R: La desigualdad triangular es la base para la respuesta y dice lo siguiente: si x, y

∈ R, entonces se cumple ∣x+ y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣ con la demostración

siguiente:- ∣x∣ ≤ x ≤ ∣x∣

- ∣y∣ ≤ x ≤ ∣y∣

sumando ambas tenemos- ∣x∣ - ∣y∣ ≤ x+y ≤ ∣x∣ + ∣y∣

-( ∣x∣ + ∣y∣ )≤ x+y ≤ ∣x∣ + ∣y∣

y por propiedades de los valores absolutos eso significa∣x+ y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣

los números que se dieron no verifican la desigualdad triangular luego entonces alguno no es número real, como tenemos el supuesto de que x es real entonces y no pertenece a los números reales

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