Act 8 Leccion Evaluativa Unidad 2

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

Cdigo del Curso- Ecuaciones Diferenciales Act 8: Leccin Evaluativa Unidad 2

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Reduccin de orden Se ha notado que una ecuacin diferencial general de segundo orden tiene la forma

F (x, y, y, y) = 0 Existen tipos especiales de ecuaciones de segundo orden que se pueden resolver

por mtodos de primer orden, cuando se hace una reduccin de orden, a

continuacin se presenta uno.

1) Cuando no aparece la variable independiente y explcitamente la ecuacin se

escribe

F(x, y, y) = 0

Para este caso, se introduce una nueva variable dependiente, es decir hacemos

un cambio de variable:

Sea u= y por lo tanto u = y, luego la ecuacin diferencial se transforma como

sigue f (x, u, u) = 0

Por lo tanto se reducido una ecuacin de segundo orden a primer orden.

Ejemplo:

Resolver la ecuacin diferencial xy y = 3x2

La variable y no se encuentra en esta ecuacin, por lo tanto reducimos la

ecuacin haciendo el cambio de variable la ecuacin queda de la siguiente

manera:

xu u = 3x2

Resolviendo la ecuacin xu u/x = 3x se obtiene: u = 3x2 + c1 x

Como u = y se tiene que y = 3x2 + c1 x, entonces tendremos como solucin la

ecuacin:

Y= x3 + c1 x2/2 + c2



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Dependencia lineal e independencia.

Un conjunto de funciones y1(x), y2(x),...,yn(x), se dice que son linealmente dependientes en un intervalo si existen un conjunto de n constantes, no todas cero, tales que C1y1(x) + C2 y2(x) +... + Cnyn(x) = 0 En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente.

WRONSKIANO.

Si cada una de las funciones y1(x), y2(x),...,yn(x) posee al menos n-1 derivadas, entonces el determinante

Se llama Wronskiano. Sean y1, y2,...,yn las soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de n - simo orden. El conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si W(y1, y2,...,yn) 0. Ejemplo: Ejemplo: Sean y1= e

x e y2=e2x soluciones de una ecuacin diferencial, lo cual no

son idnticamente cero. Como el wronskiano

Por lo tanto las soluciones son linealmente independientes.



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Mtodo de coeficientes constantes La forma general de una ecuacin con coeficientes constantes son las que podemos representar en la forma:

que es de orden n, y es lineal dado que no existen trminos de grado superior al primero en lo que respecta a la variable dependiente y a sus derivadas. Se dice que la ecuacin es HOMOGNEA si Q(x)=0. Para hallar la solucin a las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, se tiene en cuenta los siguientes teoremas: TEOREMA 1 Si y=y1(x) es una solucin cualquiera de una ecuacin diferencial lineal homognea y C una constante arbitraria, entonces la solucin ser y=Cy1(x). TEOREMA 2 Si y=y1(x) e y=y2(x) son soluciones de una ecuacin diferencial lineal homognea entonces la solucin general de la ecuacin diferencia es y=y1(x) +y2(x). TEOREMA 3 Si y=yp(x) es una solucin cualquiera de una ecuacin diferencial lineal no homognea e yh(x) es una solucin de la correspondiente ecuacin homognea, entonces y=yp(x) +yh(x) es tambin una solucin de la ecuacin no homognea.

Las ECUACIONES HOMOGENEAS de segundo grado son aquellas enunciadas de la forma:

O ay+ by + cy = 0

La solucin de las ecuaciones diferenciales de segundo orden generalmente son

de la forma y= emx, entonces y=memx y y= m2emx por lo tanto la ecuacin ay+ by + cy = 0 se transforma en: am2emx + b memx + c emx = 0, se factoriza y se tiene emx (am2+ bm + c) = 0. Como emx nunca es igual a 0, entonces la expresin am2+ bm + c = 0. Que es una ecuacin llamada ecuacin caracterstica o ecuacin auxiliar.



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Con la ecuacin caracterstica se consigue la solucin de la ecuacin diferencial y para ello se tiene 3 casos: Caso 1. Donde la ecuacin caracterstica tiene dos races reales y distintas m1 y

m2, entonces la solucin general de la ecuacin ay+ by + cy = 0 es:

Ejemplos Coeficientes constantes Las ecuaciones diferenciales lineales homogneas de orden superior se puede realizar utilizando la ecuacin caracterstica o ecuacin auxiliar. Con ella podemos obtener 3 casos,

Caso1: Races reales distintas

Resolver la ecuacin diferencial y'' - 3y' + 2y = 0 La ecuacin auxiliar es m2 - 3m + 2 = 0, por lo tanto (m-1)(m-2)= 0 luego m1=1 y m2= 2 Por consiguiente y = C1e

x + C2e

2x Caso 2: Races reales iguales

Resolver la ecuacin diferencial y'' - 6y' + 9y = 0 La ecuacin auxiliar es m2 - 6m + 9 = 0, por lo tanto (m-3)(m-3)= 0 luego m1=3 y m2= 3 Por consiguiente y = C1e

3x + C2xe

3x = (C1 + C2x)e

3x.

Caso 3: Races complejas conjugadas

Resolver la ecuacin diferencial y'' - 6y' + 25y = 0 La ecuacin auxiliar es m2 6m + 25= 0, por lo tanto m1= 3 + 4i y m2= 3 - 4i

Por consiguiente y = e3x

(C1sen 4x + C2cos 4x).

Mtodo de coeficientes indeterminados por el mtodo de

superposicin

Con el mtodo de coeficientes constantes se dio la solucin de las ecuaciones

diferenciales homogneas, pero como tambin se cuenta con ecuaciones

diferenciales no homogneas entonces tenemos el mtodo que da la solucin a

estas ecuaciones. Este mtodo es de los coeficientes indeterminados, que incluye



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a su vez dos mtodos uno llamado de superposicin y otro llamado mtodo

anulador.

Para resolver una ecuacin diferencial lineal no homognea por coeficientes

indeterminados por el mtodo de superposicin se debe hacer los siguientes

pasos:

1) Hallar la solucin de la ecuacin homognea que se llama complementaria y se

denota yp, algunos libros la denotan yc.

2) Hallar la solucin particular de la ecuacin no homognea que se denota yh.

Para hallar la solucin particular yh se ha diseado una tabla que es til y permite

encontrar yh.

La tabla es la siguiente:

Funcin Forma de yh

K = Constante A

3x + 2 Ax + B

2x2 + 4x + 1 Ax2 + Bx + C

Sen 2x o Cos 2x ASen 2x + B Cos 2x

e2x Ae2x

(3x + 2) e2x (Ax + B) e2x

X2 e2x (Ax2 + Bx + C) e2x

e2x Sen 2x Ae2x Sen 2x + Be2x Cos 2x

X2 Sen 2x (Ax2 + Bx + C) Cos 2x + (Ex2 + Fx + G) Sen 2x

Xe2x Sen 2x (Ax + B) e2x Cos 2x + (Cx + D) e2x Sen 2x

3) por ltimo la solucin general que ser y= yp + yh.



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Mtodo de coeficientes indeterminados por el mtodo del Anulador.

La ecuacin diferencial de n-simo orden se puede escribir tambin como:

anDny + an-1D

n-1y++ a1Dy+ a0y = g(x)

donde los Dny= dyk/dxk, para k=1,2,,n. La ecuacin anterior se escribe

brevemente como L(y)=g(x), donde L es el operador diferencial o polinomial.

La notacin operador L(y)= anDn + an-1D

n-1++ a1D+ a0.

En este mtodo no existe regla especial, la solucin yh se deduce una vez se

encuentra un operador diferencial lineal que anula a g(x).

Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f es una

funcin suficientemente diferenciable tal que L(f(x)) = 0 entonces se dice que L es

un anulador de la funcin.

A continuacin se presenta los operadores diferenciales y las funciones que anula:

Operador Diferencial Funciones que anula

Dn 1, x, x2, , xn-1

(D )n ex, xex, x2ex,, xn-1ex

[D2 - 2D + (2 + 2)]n ex cos x, xex cos x, x2 ex cos x,,xn-1 ex cos x

ex sen x, xex sen x, x2 ex sen x,,xn-1ex sen x

Otra forma de ver el mtodo Anulador

Una ecuacin diferencial lineal de orden n, es una ecuacin de la forma:

anDny + an-1D

n-1y + + a1Dy + a0y =f(x) (1)

Donde Dny=d

ky/dx

k

La ecuacin (1) se puede factorizar:

(anDn + an-1D

n-1 + + a1D + a0)y = f(x), y cuando las ai son nmeros reales

entonces se puede factorizar el operador diferencial:

anDn + an-1D

n-1 + + a1D + a0 = P(D).



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Ejemplo: Una ecuacin diferencial y + 6y + 9y = 0 se puede escribir en la forma: (D+3)(D+3) y = 0, o bien (D+3)2 y = 0 Definicin 1: Un operador diferencial Dn anula cada una de las siguientes funciones:

1, x, x2,, xn-1

Ejemplo: El operador diferencial de y=1-5x2+8x3 es D4 (1-5x2+8x3)= 0 El operador diferencial de y = x2 + 1 es D3(x2 + 1) =0 Definicin 2: El operador diferencial (D- )n anula cada una de las siguientes funciones:

ex, xex, x2ex,, xn-1ex Ejemplo: El operador diferencial de y= e4x es (D-4)e4x=0, donde n=1 (un trmino) y =4 El operador diferencial de y= 2ex+5xex es (D-1)2(2ex+5xex), donde n= 2, =1 Definicin 3: El operador diferencial [D2 - 2D + (2 +2)]n anula cada una de las siguientes funciones:

ex cos x, xex cos x, x2excos x,,xn-1ex cos x ex sen x, xex sen x, x2exsen x,,xn-1ex sen x

Bibliografia

Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones.

Mexico: Calypso S.A.

SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Revert S.A.

Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y

notas historicas. Mexico: McGrawHill.

ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

Mexico: Thomson Editores.

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