M-6 Mtodo de Bielasy Tirantes Comisin 1Grupo de Trabajo 1/3Bielas y TirantesEnero de 2003 G E H O-A T E P Presentacin LapublicacindelaInstruccindehormignEHEen1998,ha supuestolaincorporacinporprimeravezenlanormativa espaoladeformaexplcitadelmtododebielasytirantes.Con ste motivo, ACHE decidi formar el Grupo de Trabajo 1/3 dentro de la Comisin 1 (Proyecto), con objeto de realizar una monografa quesirvieraparaladifusindelasbasestericasyexploraralas aplicacionesdelmtododeBielasyTirantes,enelproyectode elementos de hormign estructural. LapresentemonografapreparadaporelGrupodeTrabajoest subdivididaendospartes:TeorayPrctica.Dentrodelaparte terica,sedescribelaevolucinhistrica,losfundamentosdel mtodo,ascomosutratamientoenlanormativaespaolae internacional.Tambinseincluyenunaseriedecriteriosque permiten la aplicacin prctica del mtodo. En la parte prctica se presentan una colecciones de modelos de bielas y tirantes tpicos de diversos elementos estructurales que se agrupan en: -Cimentaciones -Zonas de introduccin del pretensado -Edificacin -Puentes Asmismo,sehanincluidountotalde9ejemplos,quesehan desarrolladohastaelniveldecroquisdearmaduras.Estos ejemplos se han agrupado en: -EC: Ejemplos de cimentaciones -EE: Ejemplos de edificacin -EP: Ejemplos de puentes. Lamonografapresentadeformantidalasventajase inconvenientesdelaaplicacindelmtodo,queconstituyesin duda una herramienta de gran utilidad en el proyecto de elementos de hormign estructural. Quiero expresar mi agradecimiento todos los miembros del Grupo deTrabajoporsucolaboracinenlasdiscusionespreviasypor los trabajos realizados para la redaccin del presente documento. Quiero mostrar mi reconocimiento alvaro Garca Meseguer y a Jos Antonio Gonzlez Neijide por su paciencia en los trabajos de revisin deldocumento,a Marta Heras por su colaboracin en los trabajos de mecanografa y a Hugo Camdessus por la preparacin de las figuras. PorltimoquieroagradecerdeformaespecialaFernando RodrguezGarca,presidentedelaComisin1,suconfianzay apoyoentusiastasinlosquenohabrasidoposiblela realizacin de ste documento. Jos Romo Martn COORDINADOR DEL GRUPO DE TRABAJO BIELAS Y TIRANTES Monografa M-6 de ache Grupo de Trabajo 1/3 Bielas y Tirantes Coordinador:Jos Romo Martn FHECOR Ingenieros Miembros: Carlos Bajo Pava Ferrovial-Agromn Juan Luis Bellod ThomasCESMA Jess Jos Corbal lvarezTHEMA Miguel Cortijo SanturinoINCOSA Pascual Garca Arias IDOM Jess Gmez Hermoso FCC ConstruccinRamn Lpez Mendizabal FHECOR Ingenieros Conchita Lucas SerranoACS Antonio Jos Madrid Ramos CEDEX Ral Rubn Rodrguez Escribano INTEMAC Luis Miguel Viartola LabordaACS Miguel ngel Vicente Cabrera E.T.S.I.C.C.P. Burgos Monografa M-6 de ache NDICE TEORA 1.INTRODUCCIN HISTRICA4 1.1.El mtodo de bielas y tirantes en los albores del hormign estructural .....................4 1.2.Desarrollodelmtodoenlosaos1950-70.(Torsin,rasante,cargas concentradas) .......................................................................................................................5 1.3.Desarrollodelateoradecamposdetensiones,generalizacindelmtodode regiones B y D......................................................................................................................7 1.4.Evolucin del mtodo en la normativa espaola .......................................................7 2.FUNDAMENTOS TERICOS9 2.1.Antecedentes y fundamentos del mtodo..................................................................9 2.2.Descripcin del mtodo ...........................................................................................10 2.2.1.Regiones B y regiones D..................................................................................10 2.2.2.Bielas y tirantes ................................................................................................12 2.3.Bases tericas .........................................................................................................13 2.3.1.Teorema del mnimo de la plasticidad..............................................................14 2.3.2.Principio de St. Venant .....................................................................................14 2.4.Campo de aplicacin del mtodo.............................................................................15 2.5.Planteamiento del mtodo .......................................................................................15 2.5.1.Identificacin de regiones.................................................................................15 2.5.2.Creacin del modelo.........................................................................................16 2.6.Elementos del modelo .............................................................................................17 2.6.1.Bielas................................................................................................................17 2.6.2.Tirantes.............................................................................................................21 2.6.3.Nudos ...............................................................................................................22 3.EL MTODO DE BIELAS Y TIRANTES EN LA NORMATIVA23 3.1.Instruccin de Hormign Estructural EHE 1998 ......................................................23 3.2.Cdigo Modelo CEB-FIP 1990.................................................................................24 3.3.Eurocdigo 2............................................................................................................24 3.4.Socit Suisse des Ingnieurs et des Architectes (SIA)..........................................25 3.5.ACI (American Concrete Institute) ...........................................................................25 3.6.Normenausschuss Bauweswen im DIN (Deutsches Intitut fr Normung)................25 3.7.AASHTO - 1999.......................................................................................................25 3.8.RESUMEN...............................................................................................................26 4.CRITERIOS DE PROYECTO28 4.1.Introduccin. ............................................................................................................28 4.2.Criterios de eleccin de mecanismos resistentes....................................................28 4.2.1.Sistemas resistentes isostticos e hiperestticos.............................................29 4.2.2.Sistemas con longitud mnima de tirantes........................................................30 4.2.3.Trazadodebielas:ngulosdedispersin,ngulosmnimosentreelementos del modelo.......................................................................................................................31 4.3.Criterios para la definicin de nudos........................................................................32 4.4.Procedimiento para la aplicacin del mtodo ..........................................................35 4.5.Sistemas principales y sistemas secundarios..........................................................38 5.BIBLIOGRAFA39 Monografa M-6 de ache PRCTICA INTRODUCCIN ..................................................................................................................42 CAPTULO I. COLECCIONES DE MODELOS ....................................................................43 1.CIMENTACIONES..................................................................................................44 1.1.Zapatas rgidas....................................................................................................44 1.2.Encepados rgidos...............................................................................................48 2.ZONAS DE INTRODUCCIN DEL PRETENSADO...............................................50 2.1.Anclaje de armaduras pretesas...........................................................................51 2.2.Anclaje de armaduras postesas..........................................................................52 3.EDIFICACIN ........................................................................................................55 4.PUENTES...............................................................................................................57 4.1.Introduccin del pretensado en zonas interiores.................................................57 4.2.DIAFRAGMAS.....................................................................................................68 4.2.1.Diafragmas de seccin cajn con apoyos situados bajo las almas.................59 4.2.2.Diafragmas de seccin cajn con apoyo nico ...............................................60 4.2.3.Diafragmas en uniones monolticas tablero-pila..............................................61 4.2.4.Diafragmas de estribos....................................................................................62 4.2.5.Diafragmas en tablero con seccin en forma de p .........................................63 4.3. Cabecerosdepilas................................................................................................64 CAPTULO II. EJEMPLOS DE APLICACIN......................................................................67 CIMENTACIONES EC1. Zapata sometida a flexin recta ...................................................................................68 EC2. Zapata sometida a flexin esviada...............................................................................85 EC3. Encepado de 6 pilotes..................................................................................................97 EC4. Encepado de pantalla contraviento............................................................................120 EDIFICACIN EE.1. Mnsula corta............................................................................................................132 EE.2. Viga pared .................................................................................................................146 EE.3. Viga con cambio de canto .........................................................................................159 PUENTES EP.1. Diafragma seccin cajn ...........................................................................................167 EP.2. Dintel pila de puente..................................................................................................176 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora PARTE I. TEORA Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 1.INTRODUCCIN HISTRICA 1.1.El mtodo de bielas y tirantes en los albores del hormign estructural Elmtododelasbielasytirantesesprcticamentetanantiguocomoelhormign estructural. La primera referencia bibliogrfica de que se dispone sobre la aplicacin del mtodo para la descripcindelcomportamientodeunelementodehormignarmado,consisteenla explicacindadaporRitter[*]en1899paraelfuncionamientoacortantedeunaviga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida. SegnRitterlavigafuncionacomounaestructuraarticuladaformadadoscordones longitudinales,unosuperiorquetrabajaacompresin,yunoinferiortraccionado.Adems existen dos series de elementos, unos verticales que trabajan a traccin y otros en diagonal que trabajan a compresin, los cuales transmiten el cortante hasta los apoyos. Figura 1.1.1. Celosa de Ritter No cabe duda de que el autor tena en mente una tipologa estructural usada profusamente ensupoca:lascelosasmetlicasisostticasformadasporbarrasbiarticuladas,cuyo comportamiento y anlisis estructural era bien conocido por los ingenieros de su tiempo. He aquunhechoconstatadoeneldesarrollodelaingeniera,comoeseltrasvasedel conocimiento de unos a otros materiales o entre tipologas. Una dcada ms tarde Mrsch [*] avanz algo ms en la explicacin del comportamiento a cortantedeunavigadehormignestructural,indicandoqueelmecanismoqueregael funcionamientoacortanteeraalgomscomplejo,yaqueenlugardediagonales comprimidaslocalizadas,existancamposdecompresiones, cuyas componentes verticales se iban equilibrando con las tracciones resistidas por los cercos verticales. Se introduca as el concepto de campo de compresiones. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 1.1.2. Celosa de Mrsh 1.2.Desarrollodelmtodoenlosaos1950-70.(Torsin,rasante,cargas concentradas) Esta forma de explicacin del funcionamiento de una viga se generaliz a otros fenmenos, como la torsin (figura 1.2.1), el rasante (figura 1.2.2), las cargas concentradas, las vigas de gran canto (figura 1.2.3) etc. Estos desarrollos se producen gracias a la aportacin terica y laexperimentacindesarrolladaporelpropioMrshyotrosautoresposteriorescomo Thrlimann, Leonhardt y otros. Figura 1.2.1.Celosa para explicar el comportamiento a torsin (Leonhardt) Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 1.2.2. Modelo de bielas y tirantes para explicar el diseo a rasante Figura 1.2.3. Experimentacin del Leonhardt (aos 60) Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 1.3.Desarrollodelateoradecamposdetensiones,generalizacindel mtodo de regiones B y D Durantelosaos80,lostrabajosdeP.MartiyJ.Schlaichhantratadodecompatibilizary aunar el tratamiento dado a las regiones B y D. En especial los trabajos de Collins [*] basados en una abundante experimentacin, sobre la determinacin de la capacidad del hormign de elementos sometidos a estados de traccin oblicua,hanpermitidoeldesarrollodelateoradeloscamposdecompresionesyla obtencindeunaformulacincontinuaparaelementosdehormignarmadofisurado sometido a tensiones normales y tangenciales planas (figura 1.3.1). Figura 1.3.1. Experimentacin de campos de compresiones (Collins) 1.4.Evolucin del mtodo en la normativa espaola Las regiones D no son tratadas por la normativa espaola hasta la Instruccin de 1968 [*], en la que aparecen, las cargas concentradas sobre macizos, las zapatas rgidas y las vigas de gran canto, para las que se utilizan otros criterios de diseo. Puede decirse que con la EH-80 [*] aparece ya de forma implcita el mtodo de las bielas y tirantes, tanto en el texto como en algunas figuras (figura 1.4.1.). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 1.4.1. Bielas y tirantes en la EH-80 Sin embargo es con laInstruccin EHE, publicada en 1998, cuando la normativa espaola introducedeformaexplcitaelmtododebielasytirantes(enadelante,MTB),ysu aplicacin a las regiones B, D y elementos estructurales. LapresentemonografarecogelospostuladosprincipalesdelMBTincluidosenlaEHE-1998, y su aplicacin a diversos elementos estructurales. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 2.FUNDAMENTOS TERICOS 2.1.Antecedentes y fundamentos del mtodo El mtodo de las bielas y tirantes es un procedimiento que permite el diseo de elementos lineales,superficialesovolumtricosdeelementosdehormignestructural.Elmtodo incluye una parte de anlisis estructural y otra de dimensionamiento, en la que se realiza la comprobacin del hormign y el diseo de la armadura. Durantelaprimerafasedeanlisis,laestructuraseidealizamedianteunsistema(planoo espacial) de barras biarticuladas, que intenta representar el comportamiento de la estructura o de parte de ella. Por tratarse de sistemas biarticulados, los elementos que los componen trabajan a traccin ocompresinpuras.Enlanomenclaturaclsicadelmtodo,loselementos(barras) comprimidossedenominanbielas,mientrasquelostirantescorrespondenalasbarras traccionadas.Laszonasdeuninentrebielas,entretirantesoentreunosyotrasse denominan nudos (figura 2.1.1). Figura 2.1.1. Terminologa y simbologa Elmtodoesvlidopara el diseo en Estado Lmite ltimo de Agotamiento y est basado enlaTeoradelaPlasticidad;elEstadoLmitedefisuracinsecompruebadeforma indirecta,limitandolatensindetrabajodelaarmaduraenELUyaplicandootroscriterios de proyecto que se definen 2.6.2. y 4. Estemtodoeselmsadecuadoparaeldimensionamientodeaquellaszonas,presentes en muchos elementos estructurales, en las que la distribucin de deformaciones es no lineal, zonas denominadas en adelante regiones D o de discontinuidad. El mtodo de bielas y tirantes es un mtodo simplificado, ya que no tiene en cuenta efectos tales como la rigidez del hormign entre fisuras, el efecto pasador de la armadura, etc. Elmtodoeslabasedelaformulacindemuchasexpresionesquepermiteneldiseoy comprobacin en ELU de tensiones tangenciales (cortante, rasante, torsin) en las regiones tipoB(quesonaquellasenlasquesiguesiendovlidalaLeydeBernouilli/Navierode deformacinplana).Noobstante,estasformulacionesestncorregidasparaadecuarlasa Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora los resultados experimentales, como sucede por ejemplo en el caso del dimensionamiento a esfuerzo cortante. 2.2.Descripcin del mtodo 2.2.1.Regiones B y regiones D En el proyecto y dimensionamiento de una estructura de hormign, las comprobaciones de loselementosasimilablesavigassometidosatensionesnormalesserealizanmediante mtodosenlosqueseaceptalahiptesisdeBernouilli-Navier,porlaquelassecciones planas normales a la directriz se mantienen planas al deformarse. Lascomprobacionesrelativasatensionestangencialesenvigassebasanenfrmulas deducidasdelaasimilacindelproblemaaunmodeloresistentedecelosa.Las formulaciones ms simples de estos modelos idealizan el comportamiento resistente de una piezasometidaacortantemedianteunoselementoscomprimidosdehormignyunos elementos traccionados de acero, que forman una celosa plana. Existeunltimogrupodecomprobacionesquesebasanenlateoradeelasticidad,en frmulas empricas o en reglas de buena prctica. Se trata de las aplicadas a partes de una estructura cuyo comportamiento no es asimilable a una viga, por ejemplo nudos, zonas bajo cargas concentradas, LaposibilidaddeaplicaronolahiptesisdeBernouilli-Navierencadazonadeuna estructura clasifica a stas como regin B o regin D, respectivamente. Por tanto, se define como regin B una zona de la estructura en la que es vlida la hiptesis de Bernoulli-Navier. Por el contrario, se define como regin D (regiones de discontinuidad), aquellapartedelaestructuraenlaquenoesvlidalaaplicacindelahiptesisde Bernoulli-Navier.Enlafigura2.2.1.1seproponeunejemploenelquesedistinguenlas regiones B y regiones D de una determinada estructura. Figura 2.2.1.1. Ejemplo de regiones B y regiones D en un prtico Se distinguen tres tipos de regiones D o de discontinuidad: Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Discontinuidades geomtricas Se trata de aquellos casos en los que la geometra de la pieza se aleja del elemento viga prismtico. Un ejemplo de este tipo es un cambio brusco de seccin en una estructura. Enlafigura2.2.1.2serecogeunareginDdeestetipo,dondeseapreciaclaramente quepretenderaplicarlasdistribucionesdetensionesydeformacionesquesededucen delahiptesisdeBernoulli-Navieraambosladosdelcambiodeseccinllevaraa resultados errneos. Figura 2.2.1.2. Ejemplos de discontinuidad geomtrica El caso de un nudo, por ejemplo las esquinas del prtico de la figura 2.2.1.2. es tambin unadiscontinuidadgeomtrica,yaqueensuinteriorseproduceunflujodetensiones que infringe la hiptesis de planeidad en la deformacin de la seccin. Discontinuidades estticas Tambinsonllamadasdiscontinuidadesmecnicas.Unadiscontinuidadestticaesel resultadodelaaplicacindeunacargapuntualoconcentrada.Elflujodetensiones inducido por la carga no responde, en una determinada zona, a la hiptesis de Bernoulli-Navier,sinoquesueleserunflujoconunadistribucintensionalydedeformaciones compleja(sepresentanalgunosejemplosenlafigura2.2.1.3.).Enlafigura2.3.2.1.se muestranlasisostticasdelextremodeunavigaenelcualseanclauntendnde pretensado. En la parte inferior hay un apoyo, lo que aade una discontinuidad esttica adicional.Sepuedecomprobarladiferenciaentrelasisostticasregularizadasdel extremo derecho de la figura (regin B) y las isostticas de la regin D. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 2.2.1.3. Ejemplos de discontinuidad esttica (o mecnica) Discontinuidad generalizada Adiferenciadelostiposexpuestosanteriormente,quecorrespondanazonas determinadasdeunaestructuraenlasquelocalmentenosepuedeaplicarlahiptesis de Bernouilli-Navier por una nica causa, hay casos en los que confluyen varios factores: discontinuidades geomtricas y estticas; por ejemplo, el caso de una viga de gran canto o de una zapata rgida (figura 2.2.1.4). Figura 2.2.1.4 Ejemplos de discontinuidad generalizada 2.2.2.Bielas y tirantes Como ya se ha expuesto, el mtodo de las bielas y tirantes es un procedimiento de anlisisqueconungradodeaproximacinadecuadopermiteconocerelcomportamientode determinadas zonas de una estructura. Loselementosdequesecomponeelmtodosonlasbielas,lostirantesylosnudosque resultan de los cruces entre ambos. Lasbielassonloselementosresistentesdelmodelosometidosacompresin. Generalmente, y debido a las caractersticas resistentes de los materiales, lo ms adecuado esmaterializarlasenhormign.Puedenconsiderasecomolaresultantedeloscamposde compresin que aparecen en el hormign.Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Lostirantescorrespondenalasbarrastraccionadasdelmodelo,porloquesuelenser elementos de acero dentro del cuerpo de una estructura de hormign. Losnudossurgencomointerseccindebielasotirantesencualquiercombinaciny geometra. Son elementos delicados del modelo que han de garantizar su integridad bajo las compresioneslocalizadasaquesevensometidos,yelanclajedelostirantesqueenl confluyen. En los siguientes apartados se estudiarn ms detenidamente estos elementos, tratando de definir sus caractersticas resistentes. 2.3.Bases tericas El mtodo de las bielas y tirantes tiene su fundamento en la teora de la plasticidad. Engeneral,lateoradelaplasticidadsuponequeelmaterialtieneuncomportamiento rgido-plstico,estoes,nosedeformahastaquellegaaunatensin,denominadatensin defluencia,apartirdelacualsedeformaindefinidamentesinincrementodetensin.Este tipodecomportamientoesunasimplificacindel comportamiento real. En la figura 2.3.0.1. semuestranlosdiagramastensin/deformacinparaunmaterialrgido-plsticoyparael hormign. Figura 2.3.0.1. Diafragmas - de un material rgido-plstico (a) y del hormign (b) Sepuedeapreciarconclaridadqueelhormigntieneunacapacidaddedeformacin residualdespusdealcanzarsuresistenciamxima,aunquesutensindisminuye considerablemente.Lasaplicacionesdelateoradelaplasticidadalanlisisdelhormign corrigenestafaltadeconcordanciautilizandocomotensindefluenciaeneldiagrama rgido-plstico,unatensinmenorqueladerotura.Conestoseconsigueunabuena correlacin entre los resultados numricos y la experimentacin. Elenfoquedeunproblemamediantemtodosplsticosdeanlisisesdiferentealos recogidoshastaahoraenlasdistintasnormativas,ysolopuedeaplicarseenelE.L.U.de Agotamiento. (a) (b)Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Losdosprincipiosbsicosenlosquesefundamentaelmtododebielasytirantessonel teoremadelmnimodeplasticidadyelPrincipiodeSaint-Venant.Ambosseenunciana continuacin: 2.3.1.Teorema del mnimo de la plasticidad El teorema del mnimo de la plasticidad afirma que si, para una determinada carga, se halla una distribucin de tensiones que: en ningn punto superen las tensiones de fluencia de los materiales satisfaga las condiciones de equilibrio estticosatisfaga las condiciones de contorno, la estructura resistir dicha carga sin llegar a la rotura. Hayquedestacarqueelteoremanoexigequesehalleladistribucindetensionesreal. Bastaconhallarunmecanismoresistenteviableparaquepuedaasegurarsequela estructura resistir la carga sin colapsar. 2.3.2.Principio de St. Venant DeacuerdoconelprincipiodeSt.Venantlaaplicacindeunafuerzaconcentrada(o distribuida,siemprequetengalamismaresultante)enundeterminadopuntode una pieza conducearesultadosequivalentesencualquierseccindelapiezamsalldeuna determinadadistancia.Esdecir,selleganauniformizarlastensionesproducidasporuna discontinuidadestticaaunadeterminadadistanciadelamisma,quesuelecorresponder generalmenteauncantodelapieza,alcanzandolamismadistribucinquetendransien lugar de existir dicha discontinuidad se hubiese sometido la pieza a una carga uniforme de resultante equivalente. Por tanto, una primera consecuencia de este principio es que la regiones D, de acuerdo con las leyes de la elasticidad, son finitas y de pequea extensin. OtradelasconsecuenciasdelaaplicacindelprincipiodeSt.Venanteslajustificacin terica de que se pueda calcular una estructura segn la teora general de flexin, desde la obtencin de esfuerzos hasta el dimensionamiento de secciones, y aplicando un tratamiento especial slo en los nudos u otras zonas de discontinuidad. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 2.3.2.1. Red de isostticas en el extremo de una viga en el cual se ancla un tendn de pretensado 2.4.Campo de aplicacin del mtodo Cuando se realiza un clculo elstico de un modelo de barras para determinar los esfuerzos en cada seccin de una estructura, no se tiene en cuenta de forma explcita la existencia de regiones D. SieltamaodelasregionesDresultaseserunapartesignificativadelaestructura, despreciarsuinfluenciaenladeterminacindelestadotensionalseraerrneo.Portanto resultatanimportantedeterminareltamaodelasregionesDcomodiscernirentrelas zonas analizables como regiones B o regiones D. La principal aplicacin del mtodo se encuentra en el anlisis de las regiones D, aunque su utilizacin puede hacerse extensiva al estudio de regiones B, llegando a constituir, de hecho, un mtodo de anlisis integral de una estructura. EnlasregionesD,comosevermsadelante,elmtododebielasytirantesproporciona herramientasparaelanlisisquepermitenconocerelcomportamientodeesazonadela estructura con un buen grado de aproximacin respecto del comportamiento real. Hayquesealarque,debidoasufundamentoenlaTeoradelaPlasticidad,basadaen diagramastensin-deformacindetiporgido-plstico,elmtodonoescapazdedaruna explicacinexactaalproblemaestructural;simplementeselimitaaaportarunasolucin vlida, pero aproximada, para dotar a la estructura de la capacidad resistente necesaria para soportar su estado de cargas. 2.5.Planteamiento del mtodo 2.5.1.Identificacin de regiones En primer lugar, se han de identificar los lmites de la regin D a estudiar, establecindose los esfuerzos o acciones en la frontera de sta. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora En general, debe realizarse un anlisis elstico global de la estructura, para posteriormente analizar con el MBT la regin D en cuestin. 2.5.2.Creacin del modelo La creacin de un modelo de bielas y tirantes consiste en la sustitucin de una estructura, o parte de ella, por una estructura de barras articuladas, bien plana o espacial, que represente de forma equivalente su comportamiento. Enprimerlugarhayquedestacarquedebetenderseamodelossencillosquerepresenten con claridadel comportamiento real de la estructura. DeacuerdoconelTeoremadelmnimodelaPlasticidad,esposibleencontrarparauna estructuradadaconundeterminadocasodecarga,unadistribucindetensionesque, dentrodeloslmitesderesistenciadelosmaterialesconstitutivos,cumplalascondiciones de equilibrio esttico y las condiciones de apoyo. Si esto ocurre, la estructura resistir dicha carga sin alcanzar el lmite de rotura. UnadelasconsecuenciasdelaaplicacindeesteTeoremaesqueelmodelodebielasy tirantes, adems de la geometra, depende de las cargas aplicadas. Para la creacin del modelo, el primer paso consiste en dotar a la estructura de un sistema resistente capaz de soportar los casos de carga a que vaya a estar sometida. Deloexpuestoanteriormentepuedededucirsequeelmodelo,osistemaresistente,noes nico.Enefecto,puedenencontrarsediversasdisposicionesdebielasytirantesque satisfaganestructuralmente el problema resistente. Enprincipio,detodoslosposiblesmodelosquepuedanplantearsepararesolverun determinadoproblema,elsistemaresistentequellevaraalmodeloptimoesaquelque minimiza la energa de deformacin. Elmodeloplanteadohadeserresoluble.Estoobligaaquelosmodelospropuestos, generalmente de celosa, sean estructuras isostticas internas, por lo que ha de tenderse a triangular el modelo. Sepuedenencontraresquemasresistentesque,paraundeterminadocasodecarga, satisfaganlascondicionesestticasdelproblemaconunaestructuraqueinternamentees un mecanismo. Hay que abandonar modelos con ngulos entre bielas y tirantes inferiores a 30. Esvlidoelprincipiodesuperposicin.Dehecho,serecomiendaqueloscasosdecarga complicadosseestudienindependientementeenmodelosmssencillos,para posteriormenteobtenerlasolicitacindeuntirante,bielaonudocomolasumadelos estados aislados. Paraestablecerelesquemaresistentedebielasytirantesesdegranutilidadconocerla distribucin elstica de tensiones en el cuerpo de la estructura. Para ello puede confrontarse elanlisismedianteunmodeloconelmtododeelementosfinitosenrgimenelstico,o contar con una serie de patrones basados en la experiencia. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 2.6.Elementos del modelo Comosehadescritoanteriormente,elmodelosecomponedeunaseriedebarras articuladas en sus extremos. Cuando estas barras trabajan a compresin reciben el nombre de bielas, cuando lo hacen a traccin el de tirantes, y se denominan nudos a los elementos de unin entre bielas y/o tirantes. A continuacin se describen ms detalladamente estos elementos. 2.6.1.Bielas Son los elementos resistentes del modelo sometidos a compresin. Generalmente, y debido alascaractersticasresistentesdelosmateriales,lomsadecuadoesmaterializarlasslo en hormign. Noobstante,haybielasqueademsdelhormignpuedencontarconarmaduras comprimidas, como modo de aumentar su resistencia. Acontinuacinsedescribenlasdistintastipologasdebielas,desdeelpuntodevista geomtrico. Posteriormente se analiza la capacidad resistente de las mismas. Geometra de las bielas. En la figura 2.6.1.1. se muestran los tres tipos bsicos de bielas. Figura 2.6.1.1 Tipos de bielas Lasbielasprismticasseproducenenaquelloscasosenqueexisteunalimitacinbien fsicabienmecnicaaladisposicindelascompresiones,comopodraserelcasodel cordn comprimido de una viga sometida a flexin. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Figura 2.6.1.2 Ejemplo de biela prismtica Las bielas en abanico se producen cuando existe la posibilidad de dispersin de los campos de compresiones. Un ejemplo de esta tipologa se produce en el caso de apoyo extremo de una viga. Figura 2.6.1.3. Ejemplo de biela en abanico Lasbielasenbotellaseproducencuandoexistelaposibilidaddedispersinbidimensional de las compresiones, como ocurre por ejemplo en el caso de cargas sobre macizos (figura 2.6.1.4). Figura 2.6.1.4. Ejemplo de biela en botella Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Capacidad resistente de las bielas. Lacapacidadresistentedeunabielavendrdeterminadadirectamenteporelreade hormigncolaboranteylaresistenciaqueseadopteparaelmismo,enadelantef1cd.Por tanto: Cd = Ac f1cd El valor a adoptar para la tensin de trabajo del hormign que constituye una biela depende dedosfactoresfundamentales:laresistenciaacompresindelhormignyelestado tensional transversal a la biela. El valor de la compresin que define la capacidad de un hormign es el obtenido en ensayo monoaxialdeunaprobeta.Esevidentequeestevalor,resultadodeunensayoideal, representaunlmitesuperiordelacapacidaddelhormigndeunabiela,porssolo.En principio,ycomoelanlisisseefectaenE.L.U.deagotamiento,elvalormximode referencia para la resistencia del hormign vendr definido por f1cd= 0.85 fcd Adems, un mismo hormign en bielas de idntica geometra puede tener distinta capacidad resistenteenfuncindelestadodetensionestransversalalabiela,delacuantade armadura transversal que la atraviesa, e incluso del posible confinamiento de la misma por medio de cercos cerrados. Enesteaspecto,laInstruccinEHE[*]ensuartculo40recogevariosvaloresdiscretos paralaresistenciadelhormigndelasbielasteniendoencuentaloscondicionantes anteriores.As,sedefinencuatrotiposdebielasconunosvaloresdeterminadosparala capacidad del hormign: a) Bielas de hormign en zonas con estados de compresin uniaxial La capacidad resistente del hormign en este caso alcanza el valor de referencia, pues el trabajodelhormignsecorrespondeconlascondicionesdelensayoconelquese obtiene. Por tanto, f1cd= 0.85 fcd b) Bielas de hormign con fisuracin oblicua o paralela a la biela Setratadelasbielasenlasqueelcampodecompresionespuedepresentarfisuracin oblicuaoparalelaaladireccin de la biela, olo que es lo mismo, a la direccin de las compresiones.Comolaroturaporcompresindelhormignnoesotracosaqueuna roturaportraccinindirecta,quedapatentequeenestoscasoslacapacidadresistente del hormign queda sensiblemente reducida. As, y en la medida en que la fisuracin sea ms importante, menor ser la resistencia a compresin del hormign de la biela. Comoformadesimplificarelproblema,lacitadaInstruccindatresvalorespuntuales como lmite inferior a un amplio abanico de situaciones que se agrupan a su vez en tres tipos: b-1)Bielasconfisuracinparalelaasuejeyarmaduratransversalsuficientemente anclada. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora f1cd= 0.70 fcd b-2)Bielasconfisuracinparalelaasuejedeaberturacontrolada,porarmadura transversal suficientemente anclada. f1cd= 0.60 fcd b-3) Bielas con fisuracin paralela a su eje de gran abertura. f1cd= 0.40 fcd c) Bielas de hormign con armaduras comprimidas Deformaadicionalalaresistenciadelhormign,enunabielapuedecontarseconla resistenciadela armadura pasiva siempre que sta se site en el interior del campo de compresionesyenposicinparalelaalasmismas,yexistaarmaduratransversal suficiente para evitar fenmenos de pandeo. En este caso, el incremento de capacidad resistente de la biela vendr definido porCd = Asc sd,c donde Asc es el rea de acero comprimido y sd,c es el valor que se adopta para la tensin de compresin admisible enel acero. Comovalordesd,c puedetomarsefydcuandosepuedanestablecercondicionesde compatibilidad de deformaciones con el hormign de la biela que lo rodea, o bien limitarlo a 400 N/mm2 cuando no se establezcan condiciones de compatibilidad explcitas. d) Bielas de hormign confinado Atendiendo al diferente comportamiento del hormign, segn su estado de confinamiento, sepuedeplantearlaposibilidaddeaumentarlacapacidadresistentedelasbielasal confinar el hormign que las compone. El confinamiento de una biela de hormign se logra por medio del atado de las barras de aceroquedelimitangeomtricamentelabiela,atravsdeunoscercostransversales perfectamente anclados. Deestaformalacapacidadresistentedelhormigndelabielaaumentarlinealmente conlasolidezdelconfinamiento,valorquesemedirenfuncindelarelacinentrela capacidadmecnicadelaarmaduratransversalqueloformaylacapacidadmecnica del hormign confinado, y de la separacin de los cercos en funcin de la dimensin de la biela. La formulacin que recoge la EHE muestra el problema de un modo discreto, atendiendo alanecesidadnormativadesimplificar.Noobstante,ladeterminacindelacapacidad ltima del hormign a compresin en funcin del estado de tensin o deformacin a que est sometido en la direccin transversal a estas compresiones, es un campo de estudio en el que se sigue avanzando a travs de la experimentacin como forma de consolidar las teoras enunciadas hasta el momento. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora En este punto destaca la teora desarrollada por Collins, en la que, tras una campaa de ensayos en paneles con fisuracin transversal impuesta, pudo plasmar una relacin entre laresistencialtimaacompresindelhormignylasdeformacionestransversalesde traccin. Figura2.6.1.5.Relacintensindecompresin-deformacinunitariaparahormign fisurado Otros autores como J. Schlaich proponen una formulacin discreta. 2.6.2.Tirantes Sedenominatirantesaloselementosresistentesdelmodeloqueestnsometidosa traccin. Este hecho condiciona que los tirantes se materialicen generalmente por medio de barrascorrugadasocablesdeacero,debidoalacapacidaddeestematerialpararesistir tracciones dentro del cuerpo de una estructura de hormign. Elaceropresentauncomportamientolinealtensin-deformacindentrodelosmrgenes habitualesdetrabajo.Adems,setratadeuntrabajodedeformacinaxialquenoseve influidoporelestadotensionaldelmaterialquerodeaalasbarrasoloscablesque constituyen el tirante. Por tanto, resulta ms fcil acotar la capacidad de un tirante que en el caso de una biela; dicha capacidad depende nicamente del rea de acero que compone el tirante y de la tensin a que est trabajando. Deestaforma,lacapacidaddelostirantesseobtendrcomoproductodelreadeacero dispuesta en la direccin del tirante por la capacidad resistente que se adopte para el acero. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora Sepuedenmaterializartirantestantodearmadurapasivacomodearmaduraactiva,ode una suma de ambas. En las armaduras pasivas, al tratarse de un anlisis plstico en E.L.U., la forma de cumplir conelE.L.S.defisuracinylimitarla abertura de fisura consiste en reducir la tensin de trabajo del acero. As,paralosesfuerzosdeclculo,selimitalatensindelaceroentirantesafyd400 N/mm2. Por tanto, la capacidad del tirante ser sA 400 f A Tyd s d>/= siendoAs el rea de armadura pasiva que compone el tirante. Encuantoalasarmadurasactivas,ydebidoaquelacomprobacinsehaceenE.L.U.,la tensindetrabajodelacerocorresponderasutensindeclculo,esdecirafpd. Eneste caso, la capacidad del tirante vendr definida por la expresin: Td = Apfpd dondeAp es el rea de armadura activa que forma parte del tirante. Siseoptaportirantescompuestosporarmaduraactivaypasiva,lacapacidaddelos mismos ser la suma de la aportada por los dos tipos de armadura: Td = Asfyd+ Apfpd 2.6.3.Nudos Losnudossonloselementosdelmodelodondeconfluyeunabielaotiranteconotros tirantes o bielas. Losnudospuedenclasificarseenaquellosenlosquesloconfluyenbielas(nudos multicomprimidos) y aquellos en los que se anclan tirantes. Figura 2.6.3.1. Nudos multicomprimidos Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora En el caso de nudos multicomprimidos (figura 2.6.3.1) la compresin mxima en el hormign se limita a: f2cd = fcd en el caso de compresin biaxial, y a: f2cd = 3,3 fcd en el caso de compresin triaxial. Figura 2.6.3.2. Nudos en los que se anclan tirantes Cuando en el nudo se anclan tirantes (figura 2.6.3.2) la tensin de compresin mxima en el hormign se limita a: f2cd = 0,70 fcd En este tipo de nudos hay que comprobar la longitud de anclaje lb de la armadura del tirante, con los criterios indicados en la figura 2.6.3.2. 3.EL MTODO DE BIELAS Y TIRANTES EN LA NORMATIVA 3.1.Instruccin de Hormign Estructural EHE 1998 La EHE recoge por primera vez el MBT de forma explcita en la normativa espaola. La citada norma incluye los siguientes aspectos: Definicindelosprincipiosenlosquesebasaelmtodo,indicandolametodologaa seguir para el dimensionamiento o la comprobacin (Captulo V, Anlisis estructural). Establecimiento de una formulacin para el diseo de aquellos elementos estructurales, oregionesD,enlosqueladefinicindelosmecanismosresistentesnoest directamente recogida en la EHE (Captulo IX, Caractersticas de los materiales para el proyecto). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora ResolucindeelementosestructuralesoregionesD,mediantemodelosdebielasy tirantes (Captulo XII, Elementos estructurales). 3.2.Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 El Cdigo Modelo es la Normativa ms completa que existe actualmente en el desarrollo del mtodo de bielas y tirantes. Es la referencia del resto de Normas europeas. Resistencia de los tirantes - Hormign armado: fytk/s - Hormign pretensado:0.9 fpkt/s - d0 600 N/mm2 Resistencia de las bielas Elvalorlmitedelacapacidaddelcampodecompresiones(biela)dependedela simplificacinqueseadopteenlaleyconstitutivadelmaterial.ElCdigoModelo propone dos opciones: Diagrama tensin-deformacin parbola rectngulo cd = 0.85 fcd [ 2 (c/cl) (c/cl)2] parac < cl cd = 0.85 fcdparacl c cu cd = 0.0paracu < c donde cu = 0.002 Diagrama tensin-deformacin rectangular Zonas no fisuradas fcdl = 0.85 [ 1 fck/250] fcd Zonas fisuradas fcdl = 0.60 [ 1 fck/250] fcd (unidades en N/mm2) Adems,serecomiendacolocararmadurastransversalesalabielaparaabsorberla traccin transversal debida al efecto Poisson. La cuanta de esta armadura ser tal que soporte una traccin igual al 25% de la fuerza total de la biela. PorotraparteelCdigoModelodesarrolla,empleandoelmtododebielasytirantes,los ejemplos ms representativos de regiones de discontinuidad, zonas de estructuras prximas a la aplicacin de fuerza, vigas de gran canto, etc.Tambin emplea el modelo de la celosa para explicar el mecanismo del esfuerzo cortante. 3.3.Eurocdigo 2 Laversin(ENV-EC2)incluyedeformaexplcitaelMBT.Sinembargo,no se enuncian los fundamentosdelmtododeformaconcreta,niseindicasuformadeaplicacin explcitamente. Adems, tampoco se incluye una formulacin que permita la comprobacin de nudos. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 3.4.Socit Suisse des Ingnieurs et des Architectes (SIA) Enlanormativasuizanosetratadeformaexplcitaelmtododebielasytirantes.Se emplea una celosa para explicar el mecanismo resistente del esfuerzo rasante. 3.5.ACI (American Concrete Institute) EnlanormaACIde1998noaparecereflejadoelmtododebielasytirantescomo procedimientogeneraldeclculo.Lanicamencinaestesistemasedaenelapartado 11.9.Consideracionesespecialesenmnsulascortas,enelcuallaresolucinpropuesta se basa en un modelo de bielas y tirantes. 3.6.Normenausschuss Bauweswen im DIN (Deutsches Intitut fr Normung). EnlaDIN1045de1978noexistanreferenciasconcretasalmtododebielasytirantes, aunquehabaunaseriedeelementosestructuralesqueseresolvanempleando, indirectamente,esteprocedimiento:mnsulacorta,anclajedepretensado.Adems,se empleaba la analoga de la celosa para resolver el esfuerzo cortante. Sinembargo,enlaversinde1998apareceunapartadollamadoDimensionamiento mediante modelos de celosa, donde se exponen la reglas del mtodo general de Bielas y Tirantes.Sedanvaloresdelaresistenciadelostirantesydelosnudos,mientrasquelas bielas se tratan de un modo ms general sin entrar en la resistencia de estos elementos. Resistencia de los tirantes. Hormign armado: fyd Hormign pretensado: 0.9 fpk /s Resistencia de los nudos Se distinguen dos casos:-Nudo al que slo llegan bielas:Rd,max =1.1 fcd Paranudosconcompresintriaxial,laresistenciadelnudodependedel hormign: Rd,max =1.1 fcd hasta C 50/60 Rd,max =1.0 fcd desde C 55/67 -Nudo donde se anclan tirantes:Rd,max =0.8 fcd Este valor slo es vlido cuando los ngulos existentes entre bielas y tirantes son inferiores a 45. Porotraparteseadmitenvaloresdehasta1.0fcdencasosdemodelizacin especialmente buena y experiencia constructiva 3.7.AASHTO - 1999 LanormaAASHTO-1999(AmericanAssociationofHighwaysTransportOffices)recogede formaprcticamentecompletaelMBT.As,seindicanlosprincipiosgenerales,sedefinen las capacidades resistentes de bielas, tirantes y nudos, y se recoge la aplicacin de mtodo a diversos elementos estructurales. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 3.8.RESUMEN En la figura 3 se ofrece una tabla que resume la situacin de forma comparada. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 27 EHE-1998 CODIGO MODELO 1990 EUROCDIGO 2SIAACI-1998DINAASHTO 1999 TRATAMIENTO GENERAL DEL MTODO SISISNONOSISI CAPACIDAD RESISTENTE DE LOS TIRANTES sd < 400 N/mm2 Limitacin de deformacin al 2 % fytk / sfyd -- fyd hormign armado 0.9 fpk / s hormign pretensado fy acero pasivo fpe + fy acero activo CAPACIDAD RESISTENTE DE LAS BIELAS Comcpresin uniaxial Fisuracin paralela a las bielas Bielas con armadura comprimida Bielas de hormign confinado Bielas de hormign comprimido Bielas de hormign confinado Bielas con acero comprimido fcd valor medio = 0,6 --- Bielas:flex. y trac horm. armd. 0.9 flex.ytrachorm. prete. 1.0 Bielas armadas: Compresinuniaxial 0.85 x 0.7 fc Nudosqueanclan tirantes 0.75 x 0.75 fc Nudosqueanclan+ tirante 0.65 x 0.7 fc CAPACIDAD RESISTENTE DE LOS NUDOS Compresin uniaxial f1cd = fcd Compresin biaxial f1cd = fcd Compresin triaxial f1cd = 3,3 fcd Nudos con tirantes f2cd = 0,7 fcd Nudos comprimidos Nudos con compresiones y tracciones fcd compresin triaxial < 3,3 -- Compresin uniaxial Rd,max = 1.1 fcd Nudos donde se anclan tirantes Rd,max = 0.8 fcd (con ngulos inferiores de 45) EJEMPLOS DESARROLLADOS Mnsula corta Celosa de cortante Cargas en macizos Vigas de gran canto Cimentaciones rgidas Mnsula corta Vigas de gran canto Esquinas de prticos Zonasconaplicacin de carga puntual. Mnsula corta Viga de gran canto Zonasometidaa cargas concentradas Mecanismode cortante Mnsula corta Mecanismode cortante Celosa de cortante Mnsula corta Anclaje de pretensado Diafragmas Vigas de gran canto Mnsulas cortas Anclaje del pretensado ARTICULADO 24. Regiones D 40. Capacidad bielas, tirantes y nudos. 59. Cimentacin 60. Cargas concentradas. 62. Vigas gran canto 63. Mnsulas 6.8. Vigas de gran canto y regiones de discontinuidad. 6.9. Comprobacin de nudos y anclajes Art. 2.5.3.6.3. Anlisis Plstico SIA 162 1989 3.24.2. Esfuerzo cortante. 318 / 318R-162 11.9. Special provisions for brackes and corbels Borrador DIN 1998 10.6. Dimensionamiento mediante modelos de celosa. 5.6.3.Modelodebielasy tirantes 5.10.9Zonasdeanclajes de postesado 5.13.2.Difragmas,vigas degrancanto,mnsulas cortas. Figura 3. El mtodo de bielas y tirantes en la normativa Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 284.CRITERIOS DE PROYECTO 4.1.Introduccin. Dentrodeesteapartadoseincluyenunasrecomendacionesparaeltrazadodelos mecanismosresistentesdebielasytirantes,quepermitenseleccionarelmsadecuado dentrodelabanicodelosposibles.Adems,sedescribenlasformasdedefinirlas dimensionesgeomtricasdenudosybielasquepermitenestablecer,porunaparte,las dimensiones globales de los mecanismos resistentes y, por otra, las reas de los elementos en los que se han de comprobar las tensiones. Por ltimo, se recogen los pasos a seguir para una correcta aplicacin del mtodo. 4.2.Criterios de eleccin de mecanismos resistentes Elmtododebielasytirantespermiteelanlisisdelaestructura,odepartedesta, reduciendo los estados de tensiones tridimensionales existentes a estados unidireccionales decompresinotraccin;paraelloseutilizanlasresultantesdeloscamposde compresiones (bielas) y las fuerzas de traccin desarrolladas por la armadura (tirantes). Figura 4.2.0.1. Flujo de fuerzas, mecanismo resistente equivalente, celosa. Estossistemasresistentes,querepresentanelflujodefuerzasdentrodelaestructura, puedensimplificarsecomounacelosaoestructuraarticulada,dedosotresdimensiones (figura 4.2.0.1) que representa las resultantes de compresiones (bielas) y las tracciones en la armadura (tirantes). El primer problema que se plantea al utilizar el mtodo de bielas y tirantes es seleccionar un sistema resistente que represente lo mejor posible el flujo de fuerzas dentro de la estructura. Unaprimeraaproximacinconsisteentrazarlasdireccionesdelasbielasylasarmaduras (tirantes),adaptndoseenloposiblealastrayectoriasdetensionesobtenidasconun anlisis elstico; as se evitar en lo posible la plastificacin de la armadura y una fisuracinno controlada en el hormign. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 29 Figura 4.2.0.2. Criterio de eleccin de celosas. Orientacin segn las tensiones principales en rgimen elstico Noobstante,debidoacuestionesconstructivas,talycomopuedeobservarseenlafigura 4.2.0.2,lasarmadurasnopodrnengeneralorientarsesegnlastensionesprincipalesde traccin y, por ello, ser necesario disponer una cuanta mnimapara asegurar el control de la fisuracin en servicio. En cualquier caso y como se ha comentado anteriormente en el apartado 2.5.2, siempre que se pretenda disear una regin D no incluida en los casos mas habituales, presentes en la normativaoenlabibliografaespecializada,esaconsejableelestudiomedianteelmtodo de los elementos finitos en rgimen elstico para conocer el comportamiento en servicio de la regin D. 4.2.1.Sistemas resistentes isostticos e hiperestticos Enprincipio,existenvariascelosasequivalentesresistentespararesolverunproblema dado.Deentretodoslosmodelosposiblesdebenevitarselossistemashiperestticos,es decir,nodebenutilizarseaquellosmodelosquerequieranasignarunarigidezalos elementosqueconstituyenlasbarrasdelmodelo,paraobtenerlasreaccionesolos esfuerzosenlasbarrasdelsistemaequivalente.Enelcasoenqueelelementoaestudiar seaexternamentehiperesttico(porejemplo,enelcasodeunavigacontinuadegran canto),oenelcasoenqueexistaunhiperestatismoanivellocal(cargainternaenun macizo),elsistemahiperestticoresultantesedescompondrensumadedosoms modelos isostticos, de forma que para calcularlos baste con las condiciones de equilibrio. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 30 Figura 4.2.1.1. Criterio de eleccin de celosas. Forma de resolver sistema hiperestticos 4.2.2.Sistemas con longitud mnima de tirantes Entredosmecanismosposiblesseraconsejableutilizaraqueldemenorenergade deformacin (apartado 2.5.2.) lo que se traduce en que el trabajo a traccin sea mnimo, ya que cualquier estructura tiende a soportar las cargas con la mnima deformacin posible. Por elloycomolostirantessonmuchomsdeformablesquelasbielas,elprimermodelo resistenteseraquelenquelasumadelosproductosdelastraccionesporlalongitudde los tirantes del conjunto del mecanismo sea mnimo, es decir, aqul que se deforme menos. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 31 Figura 4.2.2.1. Criterio de eleccin de celosas. Sistemas con longitud de tirantes mnima 4.2.3.Trazadodebielas:ngulosdedispersin,ngulosmnimosentreelementos del modelo Adems de estos principios generales, hay que indicar los siguientes aspectos que permiten orientar el trazado de las bielas y tirantes. Enladifusindecargaspuntuales(figura4.2.3.1),losngulosposiblesdedesviacin() varan entre 30 y 45. Figura 4.2.3.1. ngulos posibles de desviacin de cargas puntuales Elvalor30representaunadifusinclsicaenunmedioelstico(sinfisuracin),mientras queelvalor45correspondeaunasituacindecargamsavanzada(fisuracinenel hormign). Enelcasoenqueseproduzcaunadesviacinenladireccindeunabielaligadaala presencia de un tirante (figura 4.2.3.2.), el ngulo de desviacin mnimo ser de 22. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 32 Figura 4.2.3.2. ngulo de desviacin biela-tirante Estas indicaciones han de interpretarse como unos criterios de carcter general que pueden orientar al tcnico, aunque siempre es posible (y recomendable) acudir a un anlisis de tipo elstico para comprobar la idoneidad del sistema resistente propuesto. 4.3.Criterios para la definicin de nudos Se definen como nudos aquellas zonas en las que se producen desviaciones en los campos decompresin(bielas)oenlostirantesdearmadura.Enestoselementossuelenconfluir bielas,tirantesocombinacionesdestos,unidosalapresenciadereaccionesocargas exteriores. En general, pueden clasificarse los nudos, en funcin del tipo de elementos que acceden a ellos, en nudos multicomprimidos y nudos en los que se anclan tirantes (figuras 4.3.1). Figura 4.3.1.a) Nudos multicomprimido. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 33 Figura 4.3.1.b. Nudo donde se anclan tirantes Lasdimensionesdelnudoestncondicionadasporlageometradeloselementosque confluyen en l. En el caso de apoyos o cargas aplicadas, las dimensiones bsicas del nudo estndefinidasporlageometradelosapoyosoporlageometradelacargaaplicada (figura 4.3.2). Figura4.3.2.Nudomulticomprimido,endosdireccionescondicionadoporlageometrade un apoyo Enaquellosnudosdondeseanclantirantes,susdimensionesestncondicionadasporel recubrimiento de la armadura y la dimensin de la carga aplicada (figura 4.3.3). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 34 Figura4.3.3.Nudosdondeseanclanarmaduras,condicionadoporlageometradeun apoyo y la disposicin de armadura del tirante que se ancla en l Enestoscasos,ladimensinverticaldelnudoesdedosveceselrecubrimientomecnico de la armadura (en la figura u/2), entendiendo por tal la distancia entre el centro de gravedad de la armadura del tirante y el lmite del hormign. En la figura 4.3.3. se indica tambin el punto desde donde se mide la longitud de anclaje lb. En la figura 4.3.4., se indica la forma de definir las dimensiones del nudo para poder efectuar las comprobaciones correspondientes, en tres casos concretos. Figura 4.3.4. Criterio para la definicin de las dimensiones de algunos nudos frecuentemente utilizados en la prctica Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 354.4.Procedimiento para la aplicacin del mtodo Laprimerafaseenlaaplicacindelmtodoconsisteenelplanteamientodelmecanismo resistente(celosaequivalente)ylacomprobacindelascondicionesdeequilibriodel mismo. Alplantearlascondicionesdeequilibrio,hayquedistinguirelcasoenqueseest calculando una estructura completa o bien una porcin de la misma. En el caso en que se est estudiando una estructura completa (figura 4.4.1) las condiciones de equilibrio se establecen entre las cargas exteriores y las reacciones. Figura 4.4.1. Planteamiento de las condiciones de equilibrio en una estructura completa Por el contrario, si lo que se est analizando es una parte de la estructura (figura 4.4.2) las comprobaciones de equilibrio deben establecerse entre las cargas exteriores aplicadas en la porcin de elemento analizado, las reacciones en esa parte de la estructura, y los esfuerzos en la frontera del elemento analizado. Figura 4.4.2. Planteamiento de las condiciones de equilibrio en una parte de estructura. Esimportanteindicarqueestasdosacciones,seleccindecelosaresistentey comprobacindelascondicionesdeequilibrio,sonlosdosaspectosfundamentalesenla aplicacin del mtodo. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 36 Unaconcepcinerrneadelmecanismoresistenteolautilizacindeunsistemaenelque no se cumplan las condiciones de equilibrio, pueden comprometer la seguridad estructural. Unavezdefinidoelmecanismoresistente,esnecesariohaceralgunasconsideraciones sobre el tamao de los elementos que lo componen. Por ejemplo, en el caso de los nudos, su geometra estar condicionada por las dimensiones de la carga aplicada, o el tamao del apoyodelaestructura,oelanchodelasbielas,olaposicindelasarmadurasque acometen al mismo. Esto supone definir una geometra de la celosa resistente sobre la que se van a calcular los esfuerzos. Figura 4.4.3. Geometra de una celosa equivalente para explicar el comportamiento de una mnsula corta Apartirdeestepunto,yunavezentendidoytrazadoelflujodefuerzasentrecargas exteriores, reacciones y en su caso esfuerzos en la zona de frontera, es posible realizar un clculo de las fuerzas axiles existentes en los diversos elementos que componen la celosa resistente.Esteclculodebeserposibletansloapartirdelascondicionesdeequilibrio, evitando el empleo de sistemas hiperestticos. Enelcasoenqueelsistemaglobaldebaserhiperesttico(porlaconfiguracindela estructura), conviene simplificarlo como suma de dos o ms sistemas isostticos, de forma que no haya que tener en cuenta la rigidez de las bielas o de los tirantes para la obtencin delosesfuerzosoreaccionesdelsistema.Hayqueevitaresteaspectoyaquenoresulta fcilestablecerculeslarigidezrealdelasbielas(yaquestasrepresentantanslolas resultantesdeloscamposdecompresiones),ymenosanladelostirantes,yaque cualquierestimacindelarigidezdelosmismosdebetenerencuentaelefectode rigidizacinentrefisuras("tension-stiffening")delhormigncircundante.Porello,los resultados en trminos de esfuerzos y reacciones, calculados en un modelo hiperesttico en Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 37el que la rigidez de las bielas sea la obtenida a partir de las dimensiones consideradas para stas,yenelquelarigidezdelostirantessealacorrespondientealaarmadura,se separarnengranmedidadelosvaloresdereaccionesyesfuerzosenserviciodela estructura. Figura 4.4.4. Viga de gran canto de dos vanos: Obtencin de las reacciones en un sistema hiperesttico Porello,enelcasoenquelaestructuraenestudioseahiperesttica,lasreaccionesse puedenobtenerapartirdeunclculoelsticoylineal,descomponindosedespuslos posibles sistemas hiperestticos de bielas y tirantes, en suma de varios sistemas isostticos (ver figura 4.2.1.1). Figura4.4.5.Vigadegrancantodedosvanos:Sistemahiperestticoresueltopor superposicin de sistemas isostticos Una vez obtenidos los esfuerzos en las distintas barras del modelo, hay que comprobar los distintoselementosresistentesquecomponenelmecanismoprevisto:bielas,tirantesy nudos. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 38Si alguno de estos elementos no tuviese la capacidad resistente necesaria (con los criterios indicadosenlosapartadossiguientes),sernecesariomodificarlageometrayvolvera reproducir los pasos anteriores, segn se indica en el diagrama de la figura 4.4.6. Figura 4.4.6. Diagrama de flujo 4.5.Sistemas principales y sistemas secundarios Enalgunoscasos,ademsdelsistemaresistenteprincipal,existenotrossistemas secundariosquepuedenproceder,porejemplo,deunadispersindelcampode compresionesentredosnudos,loquesuponelaexistenciadefuerzasdedesviaciny, consecuentemente, unas tracciones secundarias (figura 4.5.1). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Teora 39 Figura 4.5.1. Mecanismo simple y mecanismo con aparicin de tracciones secundarias Enmuchoscasos,enlanormativasetieneencuentalapresenciadetracciones secundariaseneldiseo,mediantelacolocacindeunaarmadurasecundariaomnima capaz de cubrir razonablemente estas tracciones. 5.BIBLIOGRAFA Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 para hormign estructural. Instruccin de hormign en masa o armado. Madrid, 1968. Instruccin de hormign en masa o armado EH-90. Madrid, 1980. Instruccin de hormign estructural EHE. Ministerio de Fomento. Madrid, 1998. Adebar,P.etal.:Strut-and-TieModelsforthedesignofFile Caps: An Experimental Study. ACI Structural Journal. N1, 1990. Adebar,P.,Shou,Z.:DesignofDeepPileCapsbyStrut-and-TieModels.ACIStructural Journal. N4, 1996. Adebar, P., Zhou, Z.: Bearing Stregth of Compresive Struts Confined by Plain Concrete. ACI Structural Journal. N5, 1993 Aparicio, Angel C, et alter. Investigacin sobre la compresin mxima en bielas por esfuerzo cortanteenpiezasprefabricadasdehormignpretensadoconarmaduraspretesas. 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"Torsion, Biegung und Chub in Stahlbetontrgern ETH Zrich 1975 Zienkiewick, O.C.: El mtodo de los elementos finitos. Revert. Barcelona, 1982 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 41 PARTE II. PRCTICA Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 42 INTRODUCCIN La parte prctica de la presente monografa se ha dividido en dos captulos: Enelcaptulo1:Coleccindemodelos,seincluyenalgunoselementosestructurales frecuentesenlaprctica,cuyocomportamientopuedeserrepresentadomedianteun sistemaresistenteformadoporbielasytirantes.Enestacoleccinseincluyela representacin grfica de posibles MBT. En el captulo 2: Ejemplos de aplicacin, se desarrollan ejemplos completos en tres reas: Elementosdecimentacin(zapatasyencepados),elementosdeedificacinyejemplosde zonasdepuentes,todosellosproyectadosyarmadosutilizandoelmtododelasbielasy los tirantes. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 43 CAPTULO I. COLECCIN DE MODELOS Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 44CAPTULO I. COLECCIN DE MODELOS Seincluyenenesteapartadounaseriedemodelosdebielasytirantesquecumplenlas condiciones indicadas en la parte terica: isostaticidad, longitud mnima de tirantes, etc. que permitenexplicarelcomportamientodediversoselementosestructurales.Hayqueindicar que pueden existir soluciones alternativas, aunque se ha preferido definir una sola solucin porelementoestructuralysituacindecargas.Tambinesconvenienteadvertirallector queelsistemaresistenteestvinculandoalaconfiguracindecargasactuantes.As,en algunos ejemplos se han includo distintos modelos en funcin de las solicitaciones. La coleccin de modelos se ha dividido en varios grupos: Cimentaciones Pretensado y apoyos Edificacin Puentes 1.CIMENTACIONES Lascimentaciones,porsumasividad,suelenserelementosestructuralessusceptiblesde ser diseados utilizando el MBT. El MBT es de aplicacin directa en el caso de encepados y zapatas de tipo rgido, es decir cuando el vuelo sea inferior a dos veces el canto til del elemento. 1.1.Zapatas rgidas Dentrodelaszapatasrgidassepuedendiferenciardostiposfundamentales:laszapatas corridas y las zapatas aisladas. Laszapatascorridassonzapatasconunclarocomportamientobidimensional.Puedenser ejemplos de zapatas corridas, las zapatas de un muro de contencin de un estribo de un puente,ylacimentacindeunapilaapantalladaodeunapantallacontravientoenun edificio alto. Laszapatasaisladastienenporelcontrariouncomportamientotridimensional.Unejemplo de este tipo de zapatas puede ser el caso de la cimentacin de un pilar de edificacin o de unapiladepuente.EnlosejemplosdeaplicacinEC1yEC2delcaptulosiguientese muestran ejemplos de este tipo de zapatas. Zapata de pantalla o pila apantallada Este tipo de zapatas se caracteriza por tener un comportamiento plano (bidimensional). En los ejemplos de las figuras CM 1.1.1 a CM 1.1.4, se indican posibles sistemas de bielas y tirantes, para el caso de la cimentacin de una pantalla o una pila de hormign, en funcin de la excentricidad de la carga.

Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 45EnelcasodelafiguraCM1.1.1lapantallatransmiteslocargaverticalylaresultantede tensiones en el terreno es uniforme. Figura CM1.1.1 En el diagrama CM 1.1.2 se presenta el caso en que la pantalla transmite un esfuerzo axil y unmomentoflectormoderado,deformaquelaexcentricidaddelascargasenelarranque delapantallaestdentrodelncleocentraldelamisma.Deestaforma,elaxilyel momento transmitidos se pueden asimilar a dos axiles de compresin. En la figura CM 1.1.2 se muestra un posible sistema resistente de bielas y tirantes. Figura CM 1.1.2 LafiguraCM1.1.3representauncasosimilaralanterior,enelqueelmomentoflectores algo superior, de forma que la excentricidad de las cargas es exterior al ncleo central de laMonografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 46pantalla. Por lo tanto, las fuerzas que equivalen al axil y al momento son una compresin y una traccin en la cara superior de la zapata. Figura CM 1.1.3 EnelcasodelesquemaCM1.1.4,elvalordelmomentoessuperior,deformaqueexiste despegueenpartedelazapata.Enlacitadafigurasemuestralanecesidaddeanclar convenientementelaarmaduradelapantallaydeasegurarelpasodelastraccionesde sta a la cara inferior de la zapata. Figura CM 1.1.4 Zapata de muro o estribo Los muros de edificacin o los estribos de puentes son ejemplos de zapatas corridas, en las que la accin del peso de tierras equilibrantes del trasds es fundamental para conseguir el equilibrio del sistema. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 47EnlafiguraCM1.1.5semuestraelcasodelazapatadeunmurooestriboenelquela flexintransmitidaporelmuroestalque,juntoconelpesodetierrasequilibrante,nose produce falta de contacto entre zapata y terreno. Elsistemadebielasytirantesdelosejemplosanterioresse completa con la existencia de untirantesituadoenlapartesuperiordeltrasdsquerecogeelefectodeflexinque produce el peso de las tierras del trasds. Figura CM 1.1.5 ElesquemaCM1.1.6representaelcasodeunmuroenelqueseproducelaprdidade contacto en la parte posterior del taln.

Figura CM 1.1.6 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 481.2.Encepados rgidos Se denominan encepados rgidos aquellos en que la distancia entre el eje del pilote y la cara delpilar o soporte (vuelo) es inferior a dos veces el canto til del encepado. Encepado de dos pilotes EnlafiguraCM1.2.1semuestraelcasodeunencepado de dos pilotes en el que el pilar est trabajando a flexin esviada. En este caso, se produce una flexin lateral en los pilotes. Elmodelodebielasytirantesindicacmosedebeanclarlaarmaduradelpilarydelos pilotes para asegurar la transmisin de la flexin lateral desde el pilar a los dos pilotes. Figura CM 1.2.1 Encepado de tres pilotes EnlosesquemasrepresentadosenlasfigurasCM1.2.2yCM1.2.3,seindicansistemas resistentes de bielas y tirantes que explican el flujo de fuerzas desde el pilar a los pilotes. En la figura CM 1.2.2, el pilar o pila transmite slo esfuerzo axil, lo que produce un esquema clsicoenelquelascompresionessedifundenhacialospilotesqueseconectanentres mediante bandas de armaduras para absorber las tracciones resultantes. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 49 Figura CM 1.2.2 Si la pila o pilar est sometida adems del axil a una pareja de momentos, el mecanismo es algomscomplejo(figuraCM1.2.3).Enelesquemapuedeobservarseademsla necesidad de anclar convenientemente la armadura en el fondo del encepado. Figura CM 1.2.3 Encepado de cuatro pilotes EnlosesquemasrepresentadosenlasfigurasCM1.2.4yCM1.2.5seindicansistemas resistentes de bielas y tirantes que explican el flujo de fuerzas desde el pilar a los pilotes. En la figura CM 1.2.4, el pilar o pila transmite slo esfuerzo axil, lo que produce un esquema clsicoenelquelascompresionessedifundenhacialoscuatropilotesqueseconectan entre s mediante bandas de armaduras para absorber las tracciones resultantes. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 50 Figura CM 1.2.4 Si la pila o pilar est sometida adems del axil a una pareja de momentos, el mecanismo es algomscomplejo(figuraCM1.2.5).Enelesquemapuedeobservarseademsla necesidad de anclar convenientemente la armadura en el fondo del encepado. Figura CM 1.2.5 En el ejemplo de aplicacin EC 3 del siguiente captulo se recoge un caso ms complejo de encepado de 6 pilotes. 2.ZONAS DE INTRODUCCIN DEL PRETENSADO La introduccin del pretensado en un elemento estructural constituye siempre una regin D, debidoalaconcentracindetensionesqueseproduceenlosanclajesozonade transferencia del pretensado. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 512.1.Anclaje de armaduras pretesas En CM 2.1.1 se puede apreciar el caso de una viga pretesa, en el que slo existe armadura activa en la parte inferior de la seccin transversal. En esta zona en la que el pretensado es preponderantefrentealaflexindebidaalpesopropio,sepuedenllegaraproducir traccionesenlacarasuperiordelaviga.Porotraparte,seproducirnunastracciones transversalesyverticalesimportantescomoconsecuenciadelaintroduccindela compresin en la zona de transferencia. En la figura CM 2.1.1 se incluye un sistema de bielas y tirantes que puede explicar el flujo de compresionesytraccionesdesdelazonadeanclajehastaunaseccinenlaquela distribucin de tensiones cumple las hiptesis de Bernouilli Navier. Figura CM 2.1.1 En la figura CM 2.1.2se indica una posible armadura pasiva resultante del modelo de bielas y tirantes indicado anteriormente. Figura CM 2.1.2 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 52 2.2.Anclaje de armaduras postesas Enelcasodeelementospostesados,comopuedeserelcasodetablerosdepuenteso losas postesadas de edificacin, ocurre frecuentemente que la discontinuidad producida por la fuerza en el anclaje se suma a la que se produce por la presencia de un apoyo prximo. En la figura CM 2.2.1 se representa un caso en el que el anclaje de pretensado se encuentra prximoalextremodelavigaloquesuponeunsistemacomplejo.Enlacitadafigurase recogeunposiblesistemaresistentedebielasytirantes,enlahiptesisdequelaseccin adyacente a la zona de discontinuidad se halla completamente comprimida para el sistema de cargas y esfuerzos actuantes. Figura CM 2.2.1 EnCM2.2.2sepresentanlasarmadurascompatiblesconelsistemadebielasytirantes indicado. Figura CM 2.2.2 EnelesquemaCM2.2.3sepresentaunasituacinsimilar,peroenellalaseccin adyacente presenta un estado de flexocompresin positiva, con tracciones en la cara inferior del elemento. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 53 Figura CM 2.2.3 En CM 2.2.4 se indican de forma esquemtica unas armaduras compatibles con el sistema resistente supuesto. Figura CM 2.2.4 EnelesquemaindicadoenCM2.2.5sepresentaelcasodeunanclajesituadoenel extremodeunelementosinpresenciadeapoyosprximos.Enestecasounposible mecanismo resistente es el indicado en la citada figura. Figura CM 2.2.5 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 54 Enestecasoessuficiente,talycomosededucedelmecanismodeCM2.2.5eldisponer unaarmaduraparacoserladispersindelascompresionesenlasinmediacionesdel anclaje (figura CM 2.2.6) Figura CM 2.2.6 Porltimo,enlafiguraCM2.2.7sepresentauncasosimilaralanterior,peroenelqueel pretensadoporsuexcentridadproducetraccioneslongitudinalesenlapartesuperiordel elemento. Figura CM 2.2.7 En este caso es necesario disponer una armadura vertical y otra horizontal en cara superior del elemento, adems de la necesaria en la zona local del anclaje (figura CM 2.2.8) Figura CM 2.2.8 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 553.EDIFICACIN Serecogenacontinuacinalgunosnudosdeedificacinenlosqueesdeaplicacinel mtodo de las bielas y tirantes. Losnudosdeprticosojcenassonregionesdediscontinuidaddetipogeomtrico. Adems,enellosseproducennormalmentecambiosenladireccinosignodelos esfuerzoscomoconsecuenciadelaconcurrenciadevarioselementosestructurales: elementoshorizontalescomopuedenservigas,zunchosolosas,yelementosverticales como pilares. En la figura CM 3.1.1, se indican diversas situaciones de nudos de pilares de esquina en su ltima planta. Enlapartesuperiordelafiguraseindicaelcasohabitualenquelavigatransmiteun momentonegativoalpilar.Enesecasohayqueasegurarlatransmisindelatraccin desde la cara superior de la viga, a la cara exterior del soporte. Enlaparteinferiordelafigurasemuestraelcasodemomentoinversoalanterior,que puedepresentarseporejemploenelcasodeaccioneshorizontalesimportantes.Enese caso hay que asegurar el anclaje de la armadura inferior de la viga y de la armadura interior del pilar. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 56Figura CM 3.1.1 Enelcasodeunnudointermediodeunpilardeborde,podransuponerseesquemasde funcionamiento como los indicados en la figura CM 3.1.2. En el caso de los tres dibujos de la izquierdaserepresentansituacionesgobernadasporlascargasgravitatorias(momento negativo en extremo de viga), mientras que en el caso de los tres dibujos de la derecha se tratadesituacionesgobernadasporlascargashorizontales,enlasqueexistenmomentos positivos en el extremo de la viga. Figura CM 3.1.2 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 57 Figura CM 3.1.3. En la figura CM 3.1.3se indican posibles situaciones de nudos interiores. En los ejemplos de aplicacin EE 1, EE 2 y EE 3 se recogen algunos problemas tpicos de edificacin,comoelcasodemnsulascortas,vigasdegrancantoycambiosdecantoen vigas, que completan la coleccin anterior. 4.PUENTES 4.1.Introduccin del pretensado en zonas interiores Es habitual en algunas tipologas de tableros de puentes de hormign, como por ejemplo en el caso de secciones en cajn,la introduccin de cables de pretensado mediante anclajes activos en las tablas superior o inferior de la seccin. En estos casos se presentan, adems de las tracciones producidas por la dispersin de las compresiones introducidas localmente, unas tracciones de compatibilidad longitudinal. En la figura CM 4.1.1 se muestra el caso psimo en que la parte del tablero situada tras el anclaje est fuertemente coaccionada, lo que supone que por compatibilidad ser necesario coserhaciaatrsel50%delacargaintroducidaenelanclaje.Enotroscasosms favorables podr reducirse este valor en funcin de la coaccin existente.

Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 58 Figura CM 4.1.1 En la figura CM 4.1.2 se indica una disposicin de armaduras compatible con el modelo de bielas y tirantes descrito anteriormente. Figura CM 4.1.2 4.2.DIAFRAGMAS

Los diafragmas de secciones cajn son un paradigma de regiones D. Las tipologas de los mismos dependen de su configuracin geomtrica y del estado de cargas. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 594.2.1.Diafragmas de seccin cajn con apoyos situados bajo las almas Enestecaso,lascargasverticales(cortantesenlasalmasdelcajn)setransmiten directamente a los apoyos. Por lo tanto se produce una transferencia directa de cargas. Noobstante,lapresenciademomentostorsores,consecuenciadelaexcentricidaddelas cargas o de la curvatura,y de cortantes de eje horizontal, como los producidos por la fuerza centrfuga,vientoosismo,suponenelpasodefuerzasdesdelastablassuperiorese inferiores de la seccin transversal a los apoyos, a travs del diafragma (figura CM 4.2.1). Figura CM 4.2.1 ElsistemadebielasytirantesindicadoenlafiguraCM4.2.2,puederepresentarel comportamiento del diafragma. Se puede observar la necesidad de disponer una armadura en malla, para absorber las tracciones que se producen en el elemento. Figura CM 4.2.2 En el caso en que el diafragma presente un hueco para inspeccin, tal y como se indica en lafiguraCM4.2.3,elmecanismodebielasytirantessemodifica,siendonecesarioel refuerzo mediante armadura de las zonas prximas al hueco. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 60 Figura CM 4.2.3 4.2.2.Diafragmas de seccin cajn con apoyo nico Enestecasoelobjetofundamentaldeldiafragmaconsisteendarpasoalascargas verticales desde las almas hasta el apoyo central. En las figuras CM 4.2.4 a CM 4.2.6, se muestran posibles sistemas de bielas y tirantes que permiten explicar el comportamiento del diafragma. Figura CM 4.2.4 En el mecanismo indicado en la figura CM 4.2.4, se ha decidido colgar el cortante en la zona del alma,mientras que en la figura CM 4.2.5 se cuelga esta carga en el propio diafragma. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 61 Figura CM 4.2.5 EnlafiguraCM4.2.6semuestraunasolucinintermediaentrelasdosanteriormente citadas. Figura CM 4.2.6 4.2.3.Diafragmas en uniones monolticas tablero-pila Enelcasodepuentesdehormigndegranluzconseccincajn,enlosqueseune monolticamenteeltableroalapila,losdiafragmasdebenpermitirlatransmisinde momentosflectoresdesdeeltableroalapila,producidoscomoconsecuenciadelcarcter empotrado de la unin. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 62 Figura CM 4.2.7 UnadelasposiblessolucionesaestetipodeunioneseslaqueseindicaenlafiguraCM 4.2.7. en la que se puede apreciar la presencia de dos diafragmas inclinados que permiten el paso atravs de ellos de las compresiones y tracciones que se generan en la unin. 4.2.4.Diafragmas de estribos En el caso de estribos suele ser posible aumentar de la separacin entre apoyos con objeto deaumentarelbrazorequeridoparatransmitiradecuadamentelatorsindeltableroal estribo mediante un par de fuerzas. En este caso se plantea la necesidad de transmitir los cortantes desde las almas hasta los dosapoyos.EnlafiguraCM4.2.8,sepresentaelcasoenquelatorsinespequeayes preponderante el cortante que se transmite por las almas. Figura CM 4.2.8 Silatorsinesmayor,perosinqueseproduzcantodavareaccionesnegativasenlos apoyos, un posible sistema resistente es el que se indica en la figura CM 4.2.9 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 63 Figura CM 4.2.9 Por ltimo, en la figura CM 4.2.10 se indica el caso extremo en que la torsin es tal que se llegan a producir tracciones en un apoyo, lo que implicar la necesidad de anclarlo. Tal y como puede observarse en la citada figura, en este caso ser necesaria una armadura en la cara superior del diafragma. Figura CM 4.2.10 4.2.5.Diafragmas en tablero con seccin en forma de p Enestatipologadetableroseshabitualquelosapoyossesiteninmediatamentepor debajo de las almas del tablero. Unodelosobjetosdeldiafragmaeslatransmisindelcortantedeejehorizontalalos apoyos (figura CM 4.2.11) Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 64 Figura CM 4.2.11 As mismo, el diafragma deber permitir el empotramiento a torsin del tablero en la seccin de apoyos (figura CM 4.2.12). Figura CM 4.2.12 En la figura CM 4.2.13 se muestra un sistema de bielas y tirantes que permitira explicar el paso de los esfuerzos anteriormente indicados desde el tablero a los apoyos. Figura CM 4.2.13 4.3.Cabeceros de pilas Enelcasodepilasconfustenicoycabeceroamplio,esnecesariotransmitiralfustelas cargas que habitualmente se sitan en los extremos del cabecero. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 65En el caso en que las fuerzas en el dos extremos del cabecero sean similares (situacin de axilmximo),unmecanismocomoelindicadoenlafiguraCM4.3.1puedeexplicarla transmisin de los axiles de los apoyos al fuste. Figura CM 4.3.1 En el caso de mayor excentricidad de carga, aunque la resultante de las mismas pase por el ncleocentraldelfuste,unposiblemecanismodebielasytiranteseselindicadoenCM 4.3.2 Figura CM 4.3.2 En el caso en que la reaccin en un apoyo sea nula, un posible mecanismo es el de la figura CM4.3.3.Enlpuedeobservarselanecesidaddetransmitirlatraccindeunacaradel fuste a la cara superior del dintel. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 66 Figura CM 4.3.3 UncasoextremodeexcentricidadseraelindicadoenlafiguraCM4.3.4enelquees necesario anclar un apoyo (caso infrecuente en la prctica). En el ejemplo de aplicacin EP 2 del siguiente captulo se recoge un caso intermedio entre losindicadosenCM4.3.2yCM4.3.3,querepresentaunaconfiguracindesolicitaciones ms frecuente en la prctica. Figura CM 4.3.4. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Prctica 67 CAPTULO II. EJEMPLOS DE APLICACIN Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 68 EC.1. Zapata sometida a flexin recta Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 69La zapata aislada de la figura EC1.1 tiene de dimensiones 1.90 x 1.90 x 0.60. Se construye con hormign H-25 y acero B-500-S. suponemos un control normal ser c = 1.50 y s = 1.15. Se desea dimensionar la zapata por el mtodo de bielas y tirantes para dos situaciones de carga: Hiptesis 1:Nd = 850 kN Md = 45 kNm Hiptesis 2:Nd = 500 kN Md = 200 kNm Figura EC1.1 HIPTESIS 1 1 PLANTEAMIENTO DEL MECANISMO RESISTENTE rgida zapata 2cantovuelo , luego es de aplicacin el MBT Se calculan en primer lugar las tensiones en el terreno. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 70 Figura EC1.2 n Distribuci 0.31761.906L0.05385045NMedd=> = = < = = =de presiones trapezoidal. 22medkN/m 235.461.90850= = 23 3dkN/m 39.361.9045 6L6M== = max= 235.46 + 39.36 = 274.8 kN/m2 min= 235.46 - 39.36 = 196.1 kN/m2 Se determinan a continuacin las resultantes de las tensiones del terreno R1d y R2d Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 71 Figura EC1.3 kN 460.521.90235.5) (274.821R21d= + = m 0.487274.8 235.5274.8 235.5 230.950.95 X1d= |.|

\|++ = ( ) kN 389.521.90196.1 235.521R22d= + = m 0.461196.1 235.5235.5 196.1 230.95X2d= |.|

\|++ = Un posible sistema resistente es el indicado en la figura EC1.4. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 72 Figura EC1.4 Suponiendouncantodelacelosa0.60-0.045-0.045=0.51m,yconocidosx1dyx2dse pueden determinar 2 y 3: 2 = 44.83 3 = 49.60 kN 552.544.83 sen389.5C12d= = kN 605.149.60 sen460.8C13d= = El esquema plano indicado en la figura EC1.4 es tan solo la proyeccin sobre un plano del esquema tridimensional indicado en la figura EC1.5. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 73 Figura EC1.5 2 OBTENCIN DE ESFUERZOS Y COMPROBACIN DEL EQUILIBRIO Del esquema de la figura EC1.4 se puede deducir. kN 392.10.510.434460.80 T1d= = Nudo 3 Del nudo 3 de la figura EC1.5 se puededeterminar T3d y C1d (ver figura EC1.6) kN 214.4 T0.4340.475195.9T3d3d= => = kN 370.7 214.4 195.9 230.3 C2 2 21d= + + = Figura EC1.6 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 74 Nudo 2 Del equilibrio del nudo 2 de la figura EC1.5 Se puede determinar T2d (ver figura EC1.7) kN 181.4 T0.5130.475195.9T2d2d= => = kN 330.5 181.4 195.9 194.8 C2 2 22d= + + = Nudo 1 Se comprueba el equilibrio (figura EC1.8) =(((

+ + ++ + 2 2 21d2 2 22d0.51 0.475 0.4340.51C0.51 0.475 0.5130.51C 2 = 2 . [330.5 . 0.589 + 370.7 . 0.621] = 850 => Cumple 3 DISEO DE LA ARMADURA Para controlar de forma indirecta la fisuracin se limita la tensin en el acero a 400 N/mm2= 40 kN/cm2 Portanto 2 1d1cm 9.7840392.140TA = = = adisponerentodoelanchodelazapata,esdecir, en 1.90 m. A1 = 5.14 cm2/l=> 12 a 20 cm en la direccin longitudinal. En la direccin transversal: Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 75 /m cm 4.77 A m21.90en 4.53540181.440TA222d2= => = = = /m cm 5.64 A m21.90en 5.36040214.440TA233d3= => = = = 12a20cmenla direccin transversal. Sedisponecomocuantamnimam / cm 8 . 10 100 6010008 . 1A2s= = sedispone16a 0.20 m 4 COMPROBACIN DE NUDOS Losnudostipo2o3delasfigurasEC1.4yEC1.5sonproductodeladiscretizacin utilizada,enellosbastaconcomprobarquelaarmaduraestanclada cm 41 8 . 4020fcm 38.4 1.6 15 lyk 2bI = < = = e 0.31661.906Lley de tensiones en el terreno de tipo triangular Figura EC1.11 Por equilibrio: m 1.65 x3x21.90500200e = = =2kN/m 318.98 500 1.90 x21= = Lasaccionesquetransmiteelpilar(axilymomento)setransformanenunpardefuerzas (figura EC1.12) Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 78 Figura EC1.12 Se tantea con un brazo de 0.40 m Td . 0.225 + Cd . 0.175 = 200 kN/m Cd Td = 500 kN Resolviendo: Td = 281.25 kNCd = 781.25 kN Se comprueba la tensin en el hormign del pilar: 2cd cdkN/m 141661.50250000.85 f 0.85 13020.80.30 0.20781.25= = == Armadura necesaria en el pilar16 4 cm 7.0340281A2s => = = Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 79 Figura EC1.13 Denuevo,elmecanismodelafiguraEC1.13eslaproyeccinenunplanodemecanismo espacial de la figura EC1.14. Figura EC1.14 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 802 OBTENCIN DE ESFUERZOS Y COMPROBACIN DEL EQUILIBRIO SetrabajaporsencillezconelmodeloplanodelafiguraEC1.13.Con2=51.89,3= 66.19, que se obtienen por trigonometra en dicha figura. Nudo 3 De la figura EC1.15 kN 220.59 T0.510.225500T23d23d= => = kN 546.6 220.59 500 C2 213d= + = Nudo 2 De la figura EC1.16 kN 357.44 220.59 281.25 C2 212d= + = Nudo 1 Se comprueba el equilibrio (segn la figura EC1.17) C12d . sen 2 + C13d sen 3 = 357.44 sen 51.89 + + 546.5 sen 66.19 = 781.25Cumple 3 DISEO DE LA ARMADURA La armadura longitudinal total A23 ser: 2223d23cm 5.5140220.59kN/cm 40TA = = = cuanta mnima LaarmaduratransversalsepuededimensionarsegnelmecanismodelafiguraEC1.18, que corresponde a una vista por B de la figura EC1.14. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 812s3 3dcm 5.8240232.8A kN 232.80.510.475250 T = = = = cuanta mnima Esta armadura corresponde a la zona de influencia de la reaccin de 250 kN -> b = 2 x 0.55 = 110 cm/l cm 5.31.105.82A2s3= Figura EC1.18 4 COMPROBACIN DE NUDOS Los nicos nudos que son puntos de concentracin de tensiones son los denominados 1 y 2 en el modelo espacial de la figura EC1.14. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 82Nudo 1 Figura EC1.19 De la figura ) 12 1 EC figura ( m 20 . 0 a1 =m 21 . 0 89 . 51 cos 090 . 0 89 . 51 sen 20 . 0 a12= + =m 22 . 0 19 . 66 cos 090 . 0 19 . 66 sen 20 . 0 a13= + = Adoptando como ancho del nudo el ancho del pilar: b=0.30 cumple : f m / KN 567330 . 0 21 . 04 . 357cd212 c == cumple : f m / KN 828130 . 0 22 . 06 . 546cd213 c == Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 83 Nudo 2 Figura EC1.20 El radio de doblado de la armadura del pilar es: R = 6 = 6 . 1.6 = 9.6 cm 10 cm a2 = 2.0,10 cos 2 = 0.123 m Por anclarse armadura en el nudo, la tensin de compresin en el hormign se limita a 0.70 fcd 2/ 1166650 . 12500070 . 0 m KN = Adoptando como ancho del nudo el ancho del pilar b=0.30 m Cumple f m KNcd d c: 70 . 0 / 968630 . 0 123 . 04 . 35722 == 5 ARMADO La armadura del pilar 4 16 debe solaparse con la armadura de la zapata. La armadura necesaria para transmitir T23d es: 251 . 54059 . 220cm Asnec= = Areal = 416 = 16.08 cm2 Se puede reducir la longitud de solape en la proporcin 5.51 / 16.08 = 0.34 ls=0.34 (30.6 + 40.8) = 24.3 cm. Se dispone una patilla en horizontal de 0.25 m. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.1 84 Figura EC1.21 Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 85 EC.2. Zapata sometida a flexin esviada Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 86La zapata aislada de la figura EC2.1 se construye con hormign H-25 y acero B-500-S. Se supone un control normal, con lo que c = 1.50 y s = 1.15. Se desea dimensionar la zapata por el mtodo de bielas y tirantes para las cargas: Nd = 12500 kNMxd = 4000 kNmMyd = 10000 kN Figura EC2.1 Como el canto es 2maxVC es de aplicacin el mtodo de bielas y tirantes. HIPTESIS 1 1 PLANTEAMIENTO DEL MECANISMO RESISTENTE Se calculan en primer lugar las tensiones en el terreno. 83 . 0632 . 0125004000= = =xxam e m 33 . 1680 . 01250010000= = =yyam e m Por tanto todo el terreno bajo la zapata est comprimido por sta. Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 87 Las tensiones se pueden calcular segn la expresin 2 266y xydy xxdy xda aMa aMa aN= Con Nd = 12500 KN Mxd = 4000 kNm Myd = 10000 kNm ax = 5.00 m ay = 8.00 m Resultan las tensiones indicadas en la figura EC2.2. Figura EC2.2 Para calcular las reacciones equivalentes del terreno, se determina el volumen de tensiones (fuerza) correspondiente a cada uno de los cuadrantes de la zapata y la posicin de dichas fuerzas equivalentes (figura EC2.3). kNa aVmedy xd5 . 46622 411= + = kNa aVmedy xd5 . 27872 422= + = kNa aVmedy xd5 . 34622 433= + = Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 88kNa aVmedy xd5 . 15872 444= + = Se comprueba que V1d + V2d + V3d + V4d = 12500 kN Figura EC2.3 Para que los tirantes del mecanismo resistente sean paralelos a las caras de la zapata, se adoptan unos valores promediados para la situacin de las resultantes V1d, V2d, V3d, V4d, que sigan cumpliendo el equilibrio de momentos (figura EC2.4). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 89 Figura EC2.4 Si se adopta ( )m dy32 . 1230 . 1 34 . 12=+= ( )m 16 . 2213 . 2 18 . 2dx 1=+= Para que se cumpla el equilibrio de momentos, los valores de d1y y d2x deben cumplir: (V1d + V2d) . 1.32 (V3d + V4d) d1y = 4000 (V1d + V3d) . 2.16 (V2d + V4d) d2y = 10000 Resolviendo d1y = 1.16 md2x = 1.73 m Conloquequedandefinidaslasreaccionesdelterrenoysuposicincomovrticesdeun rectngulo (figura EC2.4). El pilar est sometido a la terna de esfuerzos: Nd = 12500 kN Mxd = 4000 kNm Myd = 10000 kNm Estos esfuerzos tendrn como resultante una compresin Cd y una traccin Td aplicadas en la cara superior de la zapata (figura EC2.5). Monografa M-6 de ache Mtodo de bielas y tirantes. Ejemplo EC.2 90 Figura EC2.5. LasresultantesdecompresionesytraccionesCdyTd,ysuspuntosdeaplicacinde acuerdoconlanotacindelafiguraEC2.5deberncumplirporequilibriolasecuaciones siguientes: Cd Td = 12500 kN Cd . dcy + Td . dty = 4000 kNm Cd . dcx + Td . dtx = 10000 kNm Del anlisis de la seccin del pilar suponiendo HA-25, B-500-S y armado con 25 a 0.10 en lascuatrocaras,sepuedenobtenerlasresultantesdecompresionesytraccionesysu posicin en la seccin de conexin del pilar con la zapata. Resultan: Td = 5300 kNdtx = 0.68 mdty = 0.32 m Cd = 17800 kNdcx = 0.36 mdcy = 0.13 m Estos valores cumplen con las ecuaciones indicadas anteriormente. Conocidaslasaccionestransmitidasporelpilar,ylasresultantesdelastensionesenel terr