Funcin y notacin de funcionesUna relacin entre dos conjuntos e es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma donde es un elemento de e , uno de . Una funcin de a es una relacin entre e con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de , entonces tambin tienen el mismo valor de . La variable se denomina variable independiente, mientras que la variable se denomina variable dependiente.Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el rea de un crculo es una funcin de su radio .A es una funcin de rEn este caso, es la variable independiente y , la variable dependiente.DEFINICIN DE FUNCIN REAL DE UNA VARIABLE REALSean e dos conjuntos de nmeros reales. Una funcin real de una variable real de a es una correspondencia que asigna a cada nmero de exactamente un nmero de .El conjunto se llama dominio de . El nmero y se denomina la imagen de por y se denota por . El recorrido de se define como el subconjunto de formado por todas las imgenes de los nmeros de (vase Figura P.22).

Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, en este texto nos concentraremos fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuacinEcuacin en forma implcitaDefine , la variable dependiente, como funcin de , la variable independiente. Para evaluar esta funcin (esto es, para hallar el valor de correspondiente a un valor de dado) resulta conveniente despejar .Ecuacin en forma explcitaDenotando por la funcin, se puede escribir esta ecuacin comoNotacin de funcionesLa ecuacin original define implcitamente como funcin de . Cuando despejamos , estamos escribiendo la ecuacin en forma explcita.La notacin de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variable dependiente como , informndonos al mismo tiempo de que la variable independiente es y de que la propia funcin se denota por . El smbolo se lee . La notacin de funciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar cul es el valor de que corresponde a ? se puede preguntar cunto vale ?En la ecuacin que define una funcin, el papel de la variable es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la funcin dada por

puede describirse como

donde se usan parntesis en lugar de . Para evaluar , basta colocar entre cada par de parntesis.Sustituir x por -2SimplificarSimplificarNota. Aunque es frecuente usar como smbolo conveniente para denotar una funcin y para la variable independiente, se pueden utilizar otros smbolos. A modo de ejemplo, las siguientes ecuaciones definen todas la misma funcin. El nombre de la funcin es , el de la variable independiente es . El nombre de la funcin es , el de la variable independiente es . El nombre de la funcin es , el de la variable independiente es .Ejemplo 1 Evaluando una funcinPara la funcin definida por , calcular:a)b)c)Solucin:a)Sustituir por

Simplificar

b)Sustituir por

Desarrollar el binomio

Simplificar

c)

Nota. La expresin del Ejemplo 1c se llama cociente de incrementos y tiene un significado especial en el Clculo. Hablaremos ms sobre l en el Captulo 2.Dominio y recorrido de una funcinEl dominio de una funcin puede describirse explcitamente, o bien implcitamente mediante la ecuacin empleada para definir la funcin. El dominio implcito es el conjunto de todos los nmeros reales para los que est definida la ecuacin, mientras que un dominio definido explcitamente es el que se da junto con la funcin. Por ejemplo, la funcin dada por

tiene un dominio definido explcitamente como . Por otra parte, la funcin

tiene el dominio implcito Ejemplo 2: Clculo del dominio y el recorrido de una funcina) El dominio de la funcin

es el conjunto de los valores de tales que , es decir el intervalo . Para hallar el recorrido, observamos que nunca es negativo. As pues, el recorrido es el intervalo , como se ilustra en la Figura P.23a.b) El dominio de la funcin tangente, mostrada en la Figura P.23b,

es el conjunto de los valores de tales que, con entero. Dominio de la funcin tangenteEl recorrido de esta funcin es toda la recta real. Puede consultarse elapndice para una revisin de las caractersticas de sta y otras funcionestrigonomtricas.Ejemplo 3: Una funcin definida por ms de una ecuacinDeterminar el dominio y el recorrido de la funcin

Solucin: Dado que est definida para o , su dominio es toda larecta real. En la parte del dominio donde , la funcin se comporta comoen el Ejemplo 2a. Para , todos los valores de son positivos. Porconsiguiente, el recorrido de la funcin es el intervalo . (Vase la Figura P.24.)Se dice que una funcin de a es inyectiva si a cada valor de y perteneciente al recorrido le corresponde exactamente un valor de del dominio. Por ejemplo, la funcin del Ejemplo 2a es inyectiva, mientras que las de los Ejemplos 2b y 3 no lo son. Se dice que una funcin es suprayectiva si su recorrido es todo .BibliografaLarson, Roland E, Hostetler, Robert P y Edwards, Bruce H. 1999. Clculo con Geometra Analtica. Mxico: McGraw-Hill, 1999. pgs. 24-27.