CLASE 2

RANGOS NUMERICOS PARA NUMEROS BINARIOS DE n BITS

Representación sin signo• Rango: .

Representación con signo• Signo magnitud:

Dos representaciones para el cero.• Complemento a 1:

Dos representaciones para el cero.• Complemento a 2:

Dado un numero de n bits, existen posibles combinaciones.

ALGEBRA DE BOOLEGeorge Boole¿Como es que se realizan decisiones lógicas con base en circunstancias verdaderas o falsas (casos)?

LOGICA

Una investigación sobre las leyes del pensamiento.

ALGEBRA DE BOOLE

ALGEBRA BOOLEANA

Símbolos+

Operadores

A

ALGEBRA DE BOOLEAlgebra

tradicionalAlgebra

booleanaVariables Representan

números realesRepresentan solo 0 o 1.

Operadores Retornan números reales.

Retornan solo 0 o 1.

0 lógico 1 lógico

Falso Verdadero

Apagado Encendido

Bajo Alto

No Si

Interruptor abierto Interruptor cerrado

Nivel lógico

Operadores básicosAND, OR, NOT

Ejemplo:Don Ramón se pone bravo si doña Florinda le pega o el chavo le da bomba y la chilindrina no lo consuela.• F: Don Ramón se pone bravo. (F=1, don Ramón bravo; F=0 don Ramón

calmado).• A: El chavo le da bomba a don Ramón. • B: Doña florinda le pega a don Ramón.• C: La chilindrina consuela a don Ramón.

F = (A OR B)AND(NOT(C)) Expresión booleana

ALGEBRA BOOLEANA ASPECTOS CLAVES

• Variables booleana: Variable que puede tomar solo dos posibles valores, tales como HIGH/LOW, 1/0, On/Off o TRUE/FALSE.

• Expresión booleana: Expresión algebraica compuesta por variables booleanas y operadores tales como AND, OR o NOT. También es conocida como función booleana o función lógica.

• Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables booleanas. La naturaleza binaria (de 2 estados) del algebra booleana la hace apta para el análisis, simplificación y diseño de circuitos lógicos.

F = (A OR B)AND(NOT(C))

OPERADORES BOOLEANOSOPERADORES

BOOLEANOS LOGICOS BASICOS

AND OR NOTEste operador retorna V solo cuando ambas entradas son V.

Este operador retorna V cuando cualquiera de las entradas es V.

Este operador retorna como salida el valor opuesto a la entrada.

𝐹=𝐴 .𝐵+ (𝐶+𝐷 ) .𝐸Ejemplo:Dada la función lógica mostrada a continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0, D=0, C=0 y E=1?

TABLA DE VERDAD

Entradas (3)

Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la entrada.

Circuito lógico

ABC

x

Filas (8)

Salida

Para N entradas existen un total de 2^N combinaciones posibles y por ende 2^N filas en la tabla de verdad asociada a la función que esta se encuentra representando.

Ejemplo:Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se enciende en los siguientes casos:• Cuando dos de las entradas se encuentran en

alto.• Cuando las tres entradas son iguales.Llene la tabla de verdad asociada a este circuito.

COMPUERTAS LOGICASLas funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos.

Tabla de verdad

𝐹=𝐴′𝐵𝐶 ′+𝐴𝐵′𝐶 ′+𝐴𝐵′𝐶+𝐴𝐵𝐶

Circuito lógico

Función booleana

Compuerta lógicaCircuito electrónico que realiza una función lógica booleana.

OPERADORES BOOLEANOS Y COMPUERTAS LOGICAS

InversorZA

Compuerta ANDAB Z

Compuerta OR

ZAB

ZAB

Compuerta NANDZA

B

Compuerta NOR

Compuerta XORZA

B

COMPUERTA NOT

La operación NOT produce una salida cuyo valor es el opuesto al valor de su entrada.

𝑋=𝐴NOT(A)

𝑋=𝐴 ′

XA

COMPUERTA AND

La operación AND produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 0.

BX

A

𝑋=𝐴𝐵𝑋=𝐴 𝐴𝑁𝐷𝐵

COMPUERTA OR

La operación OR produce una salida de 1 siempre que cualquiera de sus entradas sea 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

BX

A

𝑋=𝐴+𝐵𝑋=𝐴𝑂𝑅𝐵

DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA LAS COMPUERTAS AND, OR Y NOT

COMPUERTA NOR

La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.

BX

A

𝑋=𝐴+𝐵  𝑋=(𝐴+𝐵)′

COMPUERTA NAND

La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.

BX

A

𝑋=𝐴 ∙𝐵  𝑋=(𝐴 ∙𝐵)′

𝑋=𝐴𝐵  

COMPUERTA XOR

La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.

BX

A

𝑋=𝐴⨁𝐵𝑋=𝐴 𝑋𝑂𝑅𝐵

COMPUERTA XNOR

Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso opuesto la salida producida es 0.

BX

A

𝑋=𝐴⊕𝐵  𝑋=(𝐴⨁𝐵)′

RESUMEN COMPUERTAS

𝑋=𝐴𝐵

𝑋=𝐴+𝐵

𝑋=𝐴

Compuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión

AND

OR

NOT

RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión

𝑋=𝐴𝐵  

𝑋=𝐴+𝐵  

𝑋=𝐴⊕𝐵  

NOR

NAND

XNOR

RESUMEN COMPUERTASCompuerta Símbolo Tabla de verdad Expresión

𝑋=𝐴⨁𝐵XOR

REPASO DE LO VISTOEjemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR, cuando se tiene la siguiente entrada a estas:

REPASO DE LO VISTOEjemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a continuación, determine la forma de onda a la salida.

Ejemplo 3: Como seria la salida si lo que se tuviera fuera una compuerta AND de 3 entradas

PREGUNTAS DE REPASO• ¿Cual es el único conjunto de condiciones de entrada que producirán

una salida baja en cualquier compuerta OR?• ¿Escriba la expresión booleana para una compuerta OR de 6 entradas?• ¿Si la entrada A del punto anterior permaneciera en alto, cual seria el

resultado de a la salida?• ¿Cual es la única combinación de entradas que producirá un ALTO a la

salida de una compuerta AND de 5 entradas?• ¿Cual es el nivel lógico que debería ser aplicado a la segunda entrada

de una compuerta AND de 2 entradas si la señal lógica en la primera entrada es inhibida de buscar la salida?

• Cierto o falso: ¿ La salida de una compuerta AND siempre diferirá de la salida de una compuerta OR para las mismas condiciones de entrada?

DESCRIBIENDO CIRCUITOS LOGICOS ALGEBRAICAMENTE

• Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden ser completamente descritos usando las tres operaciones básicas: OR, AND y NOT.

¿Como se interpreta AB + C?

Se aplica un OR entre A.B y el termino C

Se aplica un AND entre A y el termino B+C

ORDEN DE PROCEDENCIA

ORDEN DE PRESEDENCIA• Las operaciones AND se hace antes que las operaciones OR

Los paréntesis hacen mas clara la precedencia pero no son necesarios para el caso anterior

• Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su expresión de salida simplemente es igual a la expresión de entrada con una barra sobre esta.

REGLAS DE PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA

La siguiente tabla muestra el orden de precedencia, siendo la mas alta la que va de primero.

PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA ALGUNOS EJEMPLOS

Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que a=1, b = 1, c = 0 y d = 1.

1. F = a*b + c Respuesta: * tiene precedencia sobre +, así que cuando se evalúa la expresión se tiene que F=(1*1) + 0 = 1 + 0 = 1.

2. F = ab + c Respuesta: El problema es similar al anterior +, solo que en este caso se usa la notación alternativa para la operación AND.

3. F = ab’ Respuesta: Primero debe evaluarse b’ por que el NOT tiene precedencia sobre el AND, esto resulta en: F=1*(1’)=1*(0)=1*0=0.

4. F = (ac)’ Respuesta: Primero se evalúa lo que esta dentro de paréntesis para luego se negar el resultado: F=(1*0)’=(0)’=0’=1.

PRECEDENCIA EN ALGEBRA BOOLEANA ALGUNOS EJEMPLOS

Evalué las siguientes expresiones booleanas, asumiendo que A=0, B = 1, C = 1 y D = 1.

𝒙=𝑨𝑩𝑪 (𝑨+𝑫)

𝒙=[𝑫+ ( 𝑨+𝑩) 𝑪 ] ∙𝑬

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS

Siempre que se tenga un circuito lógico combinacional y desee saber como funciona, la mejor manera de analizarlo es mediante el uso de una tabla se verdad.

Nodos intermedios: No son entradas ni salidas son solo conexiones entre la salida de una compuerta y la entrada de otra

Entradas

Salida

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS

𝒙=(𝑨+𝑩)(𝑩+𝑪)

Ejercicio:Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente función lógica: 𝒙=𝑨𝑩𝑪 (𝑨+𝑫)

𝒖 𝒗

RELACION ENTRE FUNCIONES LOGICAS Y CIRCUITOS DIGITALES

Cuando la operación de un circuito esta definida por una función booleana, nosotros podemos dibujar el circuito directamente de la expresión.

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS

Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:

𝒙=𝑨𝑩𝑪 (𝑨+𝑫)

Dibuje nuevamente el circuito pero esta vez asuma como restricción que este no puede tener compuertas de mas de 3 entradas.

ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE TABLAS

Dibuje el circuito que implementa la siguiente función lógica:𝒙=(𝑨+𝑩)(𝑩+𝑪)

Como restricción use compuertas que no tengan mas de dos entradas.

Ahora siguiendo la misma restricción implemente en un circuito digital la siguiente función lógica.

𝒙=[ 𝑫+ ( 𝑨+𝑩) 𝑪 ] ⋅𝑬

TEOREMAS BOOLEANOSEl algebra booleana (para números binarios) consiste en:• Un conjunto S con dos elementos, S={0,1}.• Operadores binarios: AND (.) y OR (+).• Operador unitario: NOT (‘,)• Axiomas: Suposiciones básicas en las cuales el resto de los teoremas

están soportados.

La principal razón para aprender algebra booleana es por que por medio de esta podemos minimizar el numero de compuertas lógicas en un circuito digital.

TEOREMAS BOOLEANOSPostulados de HuntingtonLas operaciones en algebra booleana están basadas en los siguientes postulados:

Postulado 1 (Propiedad de la cerradura): Si x, y S, entonces x + y S ; x.y S

Postulado 2 (Propiedad conmutativa): Si x, y S, entonces x + y = y + x ; xy = yx

En aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR o AND.

TEOREMAS BOOLEANOS

Postulado 4 (Propiedad distributiva): Si x, y, z S, entonces

x + (y.z) = (x + y).(x+z) ; x.(y+z) = x.y + x.z

Postulado 3 (Propiedad asociativa): Si x, y, z S, entonces

x + (y+z) = (x + y)+z ; x.(y.z) = (x.y).z

TEOREMAS BOOLEANOSPostulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos elementos 1 (uno) y 0 (cero), únicos, tales que:

x + 0 = x ; x.1 = x

Donde 0 es el elemento neutro par la operación + y 1 es el elemento neutro para la operación

x1 x

x0 x

Postulado 6 (Complemento): Para cada elemento x en S existe un elemento , llamado complemento de x tal que:

x + = 1 ; x. = 0

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Principio de dualidad:Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua siendo valida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0 son intercambiados.

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Teorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos.

Teoremas

Teorema 2 (Idempotencia): (i) x + x = x(ii) x.x = xTeorema 3 (Elemento nulo): (i) x + 1 = 1(ii) x.0 = 0

Teorema 4 (Leyes de absorción): (i) x + xy = x(ii) x(x+y) = x

Teorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único complemento.

Teorema 6 (Teorema de la involucion):

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANATeorema 7 (Absorcion):

Teorema 8 (Teorema de DeMorgan):

(i) +El cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos será:

(i)

Teorema 9 (Teorema de consenso):

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANATeorema 10:

Teorema 11:

DEMOSTRACIONESDemostrar el teorema 4: 𝒙+𝒙𝒚=𝑥 .1+𝑥𝑦

P4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy + xz ¿ 𝑥 (1) T3. x + 1 = 1¿ 𝒙 P5. x.1 = x

¿ 𝑥 (1+𝑦 )P5. Identidades: x.1 = x

Demostrar el teorema 5:

𝒙+𝒙 𝒚=(𝑥+𝑥)(𝑥+𝑦 ) P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z) ¿ (1)(𝑥+𝑦) P6. Complemento: ¿ 𝒙+𝒚 P5. Identidades: x.1

Demostrar el teorema 1:

𝒙=𝑥+0 P5. Identidades: x+1 = x ¿ 𝑥+𝑥 𝑥¿ (𝑥+𝑥)(𝑥+𝑥)

P6. Complemento: x P4. Propiedad distributiva: x+y.z = (x+y)(x+z)

¿ (𝑥+𝑥)(1) P6. Complemento: ¿ 𝒙+𝒙 P5. Identidades: x.1

EJERCICIOS DEMOSTRACIONESDemostrar los siguientes teoremas:• T4: • T7: • T10: • T10 (dual):

SIMPLIFICACION DE FUNCIONESUna las principales aplicaciones es la simplificación de funciones lógicas, lo cual tiene un efecto en la disminución del numero de compuertas que tendrá al circuito lógico asociado a la función en cuestión. A este proceso se le conoce como manipulación algebraica.

Ejemplo 1:Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de boole.

ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc = ab + ac + b (1+ c) = ab + ac + b 1 = ab + ac + b = b (a +1) + ac = b 1 + ac = b +ac

SIMPLIFICACION DE FUNCIONESEjemplo 2:Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de Boole.

[abc + abbd + ab]c = [abc + a(bb)d + ab]c = [abc + a(1)d + ab]c = (abc + ad + ab)bc = (ab+ad)bc

= abbc + adbc = abc + abcd = abc

Solución:

[ab.(c+bd) +ab]c = [b.(a.(c+bd)+a)].c =b.a.c

Forma 1

Forma 2

REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE TABLAS DE VERDAD

• Una tabla de verdad define el valor de una función lógica F, para cada posible combinación de valores de entrada.

• El numero de filas (posibles combinaciones de la entrada) de esta depende del numero de variables de entrada que contenga la función, y esta dado por:, Asumiendo que se tienen n entradas; asi por ejemplo: Función de 2 entradas: 4 filas. Función de 3 entradas: 8 filas. Función de 4 entradas: 16 filas.

REPRESENTACION DE FUNCIONES BOOLEANAS MEDIANTE TABLAS DE VERDAD

Ejemplo:Use una tabla de verdad para definir una función F(a,b,c) que sea 1 cuando el numero binario abc sea mayor o igual a 5.

CONVIRTIENDO ENTRE REPRESENTACIONES• Podemos convertir desde una representación cualquiera a otra.

Circuito

EcuaciónTabla de verdad

Hacer un OR de cada termino de entrada cuya salida sea 1

Evaluar la ecuación para cada combinación de entrada (fila).

Crear columnas intermedias ayuda

RESUMEN REPRESENTACION DE FUNCIONES LOGICAS

Una función puede ser representada en diferentes formas

PROCESO DE DISEÑO LOGICO COMBINACIONAL

1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las ecuaciones para describir el comportamiento deseado de la lógica combinacional.

2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si la función es capturada usando tabla de verdad en vez de ecuaciones. Para crear la ecuación se hace un OR de cada una de las entradas cuya salida es 1. Luego si así lo desea puede simplificar la ecuación.

3. Implemente el circuito digital: Para cada salida cree un circuito asociado a la ecuación.