7/17/2019 Abraham de Moivre

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ABRAHAM DE MOIVRE

Abraham de Moivre (Nació el 26 de mayo de 1667 en ViteLe François, Champagne Francia y murió en Londres el 27 denoiem!re de 17"#$% &ue un matem'tico Francs, conocidopor la &órmula de )oire y por predecir el d*a de su muerte atras de un c'lculo matem'tico$

+u padre, ue &ue ciru-ano, le enió a laacademia protestante de +edan y all* estudióentre 167. y 16.2$ /espus estudió Lógica en+aumur durante los dos a0os posteriores y en 16.# asistió alCollge de arcourt$ 3, aunue no hay eidencias de ueo!tuiera alg4n t*tulo acadmico, lo cierto es ue estudió

 -unto a 5acues anam$

Conocido por la &órmula de /e )oire y por su tra!a-o enla distri!ución normal y pro!a!ilidad, &ue elegido miem!ro dela 8oyal +ociety de Londres en 1697 y &ue amigo de :saacNe;ton y <dmund alley$

/e )oire pu!licó el li!ro de pro!a!ilidad The Doctrine of Chances y, como era calinista, tuo ue salir de su pa*s natal

despus de la reocación del <dicto de Nantes por el deFontaine!leau (16."%$ =asó el resto de su ida en :nglaterra$Lo cierto es ue toda su ida &ue po!re y era cliente regulardel Slaughter's Coee House, donde gana!a algo de dinero

 -ugando al a-edre$

)urió en Londres, siendo enterrado en +t )artin>in>the>Fields,aunue m's tarde su cuerpo &ue trasladado$ Lo curioso es uel predi-o ue morir*a el d*a ue murió$ !seró ue cada d*adorm*a uince minutos m's ue la noche anterior y calculóue morir*a auel d*a ue durmiera einticuatro horas$ Citóue ser*an 7? d*as despus@ el 27 de noiem!re de 17"#$

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FORMULA DE MOIVRE

La fórmula de De Moivre nombrada así por   Abraham de Moivre afirma que para

cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real)  x  y para

cualquier entero n se verifica que:

sta f!rmula es importante porque conecta a los números

complejos (i  si"nifica unidad ima"inaria) con la tri"onometría# La e$presi!n

%cos  x  & i  sen  x % a veces se abrevia como cis  x #

 Al e$pandir la parte i'quierda de la i"ualdad y comparando la parte real con laima"inaria, es posible derivar e$presiones muy útiles para cos(nx ) y sen(nx ) en

trminos de cos( x ) y sen( x )# Adems, esta f!rmula puede ser utili'ada para

encontrar e$presiones e$plícitas para la ensima raí' de la unidad, eso es,

números complejos z  tal que z n * +#

 Abraham e Moivre fue ami"o de -e.ton/ en +012 ste último escribi! que ya

conocía dicha f!rmula desde +030#

La f!rmula de e Moivre puede ser obtenida de la f!rmula de uler :

 Aplicando leyes de la e$ponenciaci!n

ntonces, por la f!rmula de uler ,

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#

4artiendo nuevamente de la f!rmula de uler :

5i hacemos que entonces tenemos la identidad de uler:

s decir:

 Adems como tenemos estas dos i"ualdades:

podemos deducir lo si"uiente:

Demostración por inducción

6onsideramos tres casos#

4ara un entero n 7 8, procedemos a travs de la inducci!n matemtica#

6uando n * +, el resultado es claramente cierto# 4ara nuestra hip!tesis asumimos

que el resultado es verdadero para al"ún entero positivo k # so es que asumimos:

 Ahora, considerando el caso n * k  & +:

educimos que el resultado es verdadero para n * k  & + cuando es

verdadero para n * k # 4or el principio de la inducci!n matemtica se

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desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros

positivos n9+#

6uando n * 8 la f!rmula es verdadera ya

que , y (por convenci!n) #

6uando n  8, consideramos un entero positivo m tal que n * ;m# 4or lo

tanto:

4or lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n#