Actividad 3. Potencias y raíces de

Números Complejos.

G. Edgar Mata Ortiz

Forma polar de un número complejo y

Teorema de Möivre.

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A diferencia de los números reales, las operaciones con números complejos requieren de herramientas más

relacionadas con el álgebra que con la aritmética. Cuando se desea elevar un número complejo a una potencia

es posible seguir utilizando herramientas algebraicas, sin embargo, es más sencillo recurrir a la trigonometría.

Para la obtención de raíces de los números complejos también se utiliza esta última rama de las matemáticas.

En el presente material se obtiene la forma polar de un número complejo a partir de su gráfica cartesiana y,

posteriormente, se aborda el Teorema de Möivre para calcular potencias y raíces de números complejos.

Contenido Introducción............................................................................................................................................................................................................................. 3

Representación gráfica de un número complejo. .................................................................................................................................................................... 3

El plano complejo. .............................................................................................................................................................................................................. 3

Representación de números en el plano complejo. ...................................................................................................................................................... 4

Ejercicio: Representa cuatro números complejos en cada plano. ................................................................................................................................. 4

Forma binómica y trigonométrica de números complejos. ................................................................................................................................................ 5

Forma polar de números complejos. .................................................................................................................................................................................. 6

Multiplicación de números complejos en forma polar. ................................................................................................................................................. 6

División de números complejos en forma polar. ........................................................................................................................................................... 7

Ejercicios sobre multiplicación y división. ..................................................................................................................................................................... 7

Potencia de un número complejo. ..................................................................................................................................................................................... 8

Potencia de un número complejo en forma binómica. ................................................................................................................................................. 8

Potencia de un complejo en forma polar. ..................................................................................................................................................................... 8

El Teorema de Möivre. ....................................................................................................................................................................................................... 9

Obtención de la raíz de un número complejo mediante el teorema de Möivre. .......................................................................................................... 9

“If people do not believe that

mathematics is simple, it is only

because they do not realize

how complicated life is.”

John Von Newman

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Introducción. Las operaciones básicas con números complejos; suma, resta,

multiplicación y división, pudieron resolverse utilizando las reglas básicas

del álgebra y tomando en cuenta el valor de i2 = -1. Sin embargo, para

elevar a una potencia o extraer la raíz de un número complejo, es

necesario utilizar otras herramientas e incluso, convertir los números

complejos, a su forma polar.

Representación gráfica de un número complejo. Como se vio en la segunda parte de este material, los números reales se

representan sobre la recta numérica.

La segunda parte de este material se encuentra en:

http://licmata-math.blogspot.mx/2015/09/the-complex-numbers.html

Puesto que los números complejos contienen a los reales, su

representación gráfica debe incluirlos.

El plano complejo. Fue Gauss quien determinó que los números

complejos, al estar formados por dos partes;

una real y otra imaginaria, se podían

representar en un plano, al que llamó; plano

complejo.

Se trata de un plano cartesiano en el que el

eje horizontal recibe el nombre de eje real y

el eje vertical, eje imaginario.

Para representar un número complejo en este plano, la parte real indica

un desplazamiento horizontal, a la derecha si es positivo y a la izquierda si

es negativo; la parte imaginaria indica un desplazamiento vertical, hacia

arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa.

El origen de

los números

complejos.

Actualmente, el estudio de

los números se realiza

siguiendo un orden “lógico”:

primero se estudian los

números que se emplean

para contar (naturales),

seguidos de los enteros

negativos y fracciones.

Posteriormente se

profundiza en las fracciones

decimales y notación

científica para, finalmente,

llegar a los números reales.

Los números complejos

llegan al final, si acaso y se

procura que cada

ampliación de los números

tenga una explicación

práctica.

La realidad histórica es muy

diferente; por extraño e

ilógico que parezca, los

números imaginarios y

complejos aparecieron al

mismo tiempo que los

negativos.

Las raíces de números

negativos fueron abordadas

y resueltas por Girolamo

Cardano y publicadas en su

libro “Ars Magna” en 1545.

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Representación de números en el plano complejo. Una diferencia adicional de los números complejos sobre los reales consiste en que se representan como un

vector, por ejemplo el número: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es un vector con origen (0, 0) y extremo (𝑎, 𝑏)

Ejemplo: Representación de los siguientes cuatro números en el plano complejo:

1. 𝑧1 = 3 + 2𝑖

2. 𝑧2 = 2 − 3𝑖

3. 𝑧3 = −1 + 3𝑖 4. 𝑧4 = −2 − 𝑖

Ejercicio: Representa cuatro números complejos en cada plano.

𝑧1 = 5 + 6𝑖 𝑧2 = 4 − 5𝑖 𝑧5 = 6 + 5𝑖 𝑧6 = 6

𝑧3 = 5𝑖 𝑧4 = −5 − 3𝑖 𝑧7 = −1 + 6𝑖 𝑧8 = −4 − 5𝑖

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Forma binómica y trigonométrica de números complejos. La representación vectorial de los números complejos conduce, en forma natural, a la representación

trigonométrica de los mismos, ya que se basa en la magnitud, dirección y sentido del vector. Tiene la forma:

Forma binómica de un número complejo:

𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 Forma trigonométrica del mismo número

complejo:

𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽) Donde r es la magnitud del vector:

𝒓 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Y es el ángulo que forma el vector con el eje real.

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒃

𝒂

Ejemplo: Expresar en forma trigonométrica el número: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊

Primero determinamos la magnitud del vector: 𝒓 = |𝒛|

𝒓 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝒓 = √(𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐

𝒓 = √𝟗 + 𝟏𝟔

𝒓 = √𝟐𝟓

𝒓 = 𝟓

Ahora vamos a determinar el argumento: 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒃

𝒂

𝒕𝒂𝒏𝜽 =𝒃

𝒂→ 𝒕𝒂𝒏𝜽 =

𝟒

𝟑→ 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟏. �̅�, por lo tanto: 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝟏. �̅�) → : 𝜽 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟕 𝒓𝒂𝒅

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El número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊

Expresado en forma trigonométrica es: 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝟓[𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟗𝟐𝟕) + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟗𝟐𝟕)]

Nótese que se ha expresado el argumento en radianes y no en grados, aunque también es posible anotarlo en

grados. Para convertir los radianes a grados se multiplica por 180° y se divide entre.

0.927 × 180

𝜋= 53.13°

Entonces el número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊

Expresado en forma trigonométrica es: 𝟓[𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟑. 𝟏𝟑°) + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝟑. 𝟏𝟑°)]

Es evidente que, a partir de la forma trigonométrica, podemos obtener la forma binómica. Simplemente

efectuamos las operaciones indicadas en la forma trigonométrica:

El coseno de 53.13° es lo mismo que el coseno de 0.927 radianes: 0.6

El seno de 53.13° es lo mismo que el seno de 0.927 radianes: 0.8

Por lo tanto el número complejo es: 𝒛 = 𝟓[𝟎. 𝟔 + 𝒊 ∙ 𝟎. 𝟖] → 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊

La forma trigonométrica de un número complejo tiene la ventaja de mostrar, directamente, su equivalencia

con la forma binómica, sin embargo, es una escritura un tanto dificultosa.

Forma polar de números complejos. La forma polar se toma directamente de las coordenadas polares en las que un punto, en lugar de

representarse mediante dos números llamados coordenadas rectangulares, se toma la magnitud del vector y el

ángulo que forma con el eje equis. Dicho ángulo puede expresarse en radianes o grados.

Ejemplo: EL número complejo en forma binómica: 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊

Puede expresarse en forma polar anotando solamente su magnitud y argumento:

𝒛 = 𝟓𝟎.𝟗𝟐𝟕 𝒛 = 𝟓𝟓𝟑.𝟏𝟑° 𝒛 = (𝟓, 𝟎. 𝟗𝟐𝟕) 𝒛 = (𝟓, 𝟓𝟑. 𝟏𝟑°)

La ventaja más importante de la forma polar, además de la sencillez para su escritura es la facilidad con la que

se puede multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer la raíz enésima de cualquier número complejo.

Multiplicación de números complejos en forma polar. Como vimos anteriormente, es posible multiplicar números complejos empleando las reglas del álgebra

elemental y luego aplicando la equivalencia de 𝑖2 = −1 para simplificar el resultado.

Ejemplo: Multiplicar (𝟑 + 𝟒𝒊) × (𝟓 + 𝟐𝒊) =

Aplicando las reglas del álgebra elemental:

𝟏𝟓 + 𝟐𝟎𝒊 + 𝟔𝒊 + 𝟖𝒊𝟐 = 𝟏𝟓 + 𝟐𝟔𝒊 + 𝟖(−𝟏) = 𝟏𝟓 + 𝟐𝟔𝒊 − 𝟖 = 𝟕 + 𝟐𝟔𝒊

Convierte estos números a la forma polar y efectúa la multiplicación: los valores de r se multiplican y los

argumentos se suman,

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Multiplicar: 𝟓𝟎.𝟗𝟐𝟕 × 𝟓. 𝟑𝟖𝟓𝟎.𝟑𝟖𝟏 = 𝟐𝟔. 𝟗𝟐𝟔𝟏.𝟑𝟎𝟖

Tal vez parezca demasiado trabajo convertir a la forma polar y luego multiplicar, pero para la división resulta

mucho más conveniente.

División de números complejos en forma polar. El procedimiento es muy sencillo, se dividen las magnitudes de los vectores y se restan los argumentos.

Dividir: 𝟓𝟎.𝟗𝟐𝟕 ÷ 𝟓. 𝟑𝟖𝟓𝟎.𝟑𝟖𝟏 = 𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟎.𝟓𝟒𝟔

Ejercicios sobre multiplicación y división. Resuelve los siguientes ejercicios y contesta lo que se indica.

1. Multiplica (𝟑 + 𝟒𝒊) × (𝟓 + 𝟐𝒊), utilizando los procedimientos algebraicos usuales y convierte el

resultado a la forma trigonométrica y polar. Comprueba que el resultado coincide con el

obtenido al multiplicar en forma polar.

2. Divide (𝟑 + 𝟒𝒊) ÷ (𝟓 + 𝟐𝒊), utilizando los procedimientos algebraicos usuales y convierte el

resultado a la forma trigonométrica y polar. Comprueba que el resultado coincide con el

obtenido al dividir en forma polar.

3. Multiplica (𝟓 + 𝟐𝒊) × (𝟑 − 𝟒𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar,

convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar.

4. Convierte los números complejos del ejercicio 3 a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba

que el resultado coincide en ambos métodos.

5. Divide (𝟓 + 𝟐𝒊) ÷ (𝟑 − 𝟒𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar, convierte

el resultado a la forma trigonométrica y polar.

6. Convierte los números complejos del ejercicio 5 a la forma polar y efectúa la división, comprueba que

el resultado coincide en ambos métodos.

7. Multiplica (𝟒 − 𝟑𝒊) × (𝟐 − 𝒊) × (−𝟓 − 𝟐𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al

terminar, convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar.

8. Convierte los números complejos del ejercicio 7 a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba

que el resultado coincide en ambos métodos.

9. Multiplica (𝟓 − 𝟒𝒊) × (−𝟏 − 𝟐𝒊) × (𝟑 + 𝟒𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al

terminar, convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar.

10. Convierte los números complejos del ejercicio 9 a la forma polar y efectúa la multiplicación, comprueba

que el resultado coincide en ambos métodos.

11. Multiplica (𝟑 − 𝟐𝒊) × (−𝟒 + 𝒊) × (−𝟑 − 𝟐𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al

terminar, convierte el resultado a la forma trigonométrica y polar.

12. Convierte los números complejos del ejercicio 11 a la forma polar y efectúa la multiplicación,

comprueba que el resultado coincide en ambos métodos.

13. Divide (𝟓 + 𝟐𝒊) ÷ (𝟓 − 𝟐𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar, convierte

el resultado a la forma trigonométrica y polar.

14. Convierte los números complejos del ejercicio 13 a la forma polar y efectúa la división, comprueba que

el resultado coincide en ambos métodos.

15. Divide (𝟒 + 𝒊) ÷ (𝟒 − 𝒊), aplicando los procedimientos algebraicos usuales, al terminar, convierte el

resultado a la forma trigonométrica y polar.

16. Convierte los números complejos del ejercicio 15 a la forma polar y efectúa la división, comprueba que

el resultado coincide en ambos métodos.

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Potencia de un número complejo. Para elevar un número complejo en forma binómica a una potencia no muy grande solamente se requiere algo

de habilidad algebraica, pero si la potencia es muy grande, el proceso puede resultar extremadamente

laborioso. En cambio, si primero lo convertimos a la forma polar, el procedimiento es muy sencillo. Se aplica la

siguiente regla:

(𝒓𝜽)𝒏 = 𝒓𝒏𝜽𝒏

Potencia de un número complejo en forma binómica.

Ejemplo: Efectúa la operación (4 − 5𝑖)3 =

Primero vamos a resolverlo en su forma binómica.

(4 − 5𝑖)3 = (4)3 + 3(4)2(−5𝑖) + 3(4)(−5𝑖)2 + (−5𝑖)3

Utiliza las siguientes líneas para terminar el procedimiento y anotar el resultado.

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________

Potencia de un complejo en forma polar. Ahora vamos a resolverlo convirtiéndolo primero a la forma polar:

(4 − 5𝑖)3 =?

El primer paso es determinar el módulo: 𝒓 = √(𝟒)𝟐 + (−𝟓)𝟐 → 𝒓 = √𝟏𝟔 + 𝟐𝟓 → 𝒓 = √𝟒𝟏 → 𝒓 = 𝟔. 𝟒

Y el segundo paso consiste en determinar el argumento. Utiliza el siguiente espacio para calcular el valor de .

Después de obtener el valor de el número complejo en forma polar es:

4 − 5𝑖 = 6.4−0.896 = 6.4−51.34° = 6.45.387 = 6.4308.659°

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Cualquiera de todos estos valores es correcto, para entender por qué,

representa gráficamente el número complejo en el plano cartesiano de la

derecha e identifica las diferentes formas de representar el argumento .

Ahora aplicamos la fórmula para elevar un número complejo a una potencia.

Anota el resultado, en forma polar, en la línea siguiente.

(4 − 5𝑖)3 = (6.4−0.896)3 = 6.43(−0.896)3

=________

Para verificar que el resultado es el mismo, convierte el resultado obtenido al

efectuar la operación en la forma binómica, a la forma polar.

(4 − 5𝑖)3 = (4)3 + 3(4)2(−5𝑖) + 3(4)(−5𝑖)2 + (−5𝑖)3 = ______________

Conversión del resultado en forma binómica, a la forma polar: _____________

Compara los resultados y explica lo que sucede:

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

El Teorema de Möivre. El método que seguimos para elevar un número complejo, en forma polar, a una potencia, está basado en este

teorema. La expresión del teorema se refiere a la forma trigonométrica. SI tenemos un número complejo

expresado en la forma: 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)

Es posible elevarlo a una potencia n mediante: 𝒛𝒏 = 𝒓𝒏[𝒄𝒐𝒔(𝒏𝜽) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽)]

Sustituye los valores del ejercicio anterior en esta fórmula.

(4 − 5𝑖)3 =_____________________________________________________________

Explica brevemente el procedimiento que seguiste para sustituir y resolver el problema anterior mediante el

Teorema de Möivre.

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

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Obtención de la raíz de un número complejo mediante el teorema de Möivre. Obtener la raíz cuadrada puede interpretarse como un exponente fraccionario, consulta y explica el

procedimiento para obtener la raíz cuadrada de un número complejo:

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Calcula la raíz cuadrada de: 4 − 5𝑖

√4 − 5𝑖 =?

Utiliza este espacio para calcular la raíz cuadrada:

Explica el procedimiento seguido para calcular la raíz cuadrada.

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__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. √5 − 2𝑖 =

2. √5 − 2𝑖3

=

3. √𝑖 =

4. √𝑖3

=

5. √𝑖4

=

Lecturas complementarias recomendadas.