ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA

TRIGONOMETRIA Temas:

UNIDAD IMAGINARIANUMERO COMPLEJO

TEOREMA DE DE MOIVRE Nivel:

- Primero “A” Docente:

- Ing. VICTOR VASCONEZ Periodo:

2009 - 2010

IMAGINARIOS

COMPLEJOS

REALES

NÚMEROS

UNIDAD IMAGINARIA La unidad imaginaria es el número y se designa por

la letra i.

Potencias de unidad imaginaria i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1   Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria

se repiten de cuatro en cuatro. Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se

divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario se denota por bi, donde :b =es un número reali =es la unidad imaginariaCon los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

NUMERO COMPLEJO•Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica

. • El número a se llama parte real del número complejo

. • El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

•Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

•Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

•El conjunto de todos números complejos se designa por:

•Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.

•Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NUMEROS COMPLEJOS

- •Los números complejos no se pueden representar como puntos de una recta.

- •Para representarlos geométricamente se procede a asociarlos biunívocamente con los puntos del plano .

- • Medimos la parte real a de a + bi a lo largo del eje horizontal (eje real)

- • La parte imaginaria b a lo largo del eje vertical (eje imaginario)

- •Este proceso es el mismo q para representar un par ordenado (a,b)

- •Así se establece la correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano

- •En l a figura el vector ŌĀ se puede admitir como la representación geométrica de numero complejo

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NUMERO COMPLEJO

Para representarlo en forma trigonométrica ,es necesario conocer el radio vector (r) y el ángulo o (φ)argumento.

El radio vector r=Geométricamente el módulo o valor absoluto

es la longitud del vector ŌĀ es decir │a+bi │=

a+bi=r(cosφ+isenφ)

= a+bi

TEOREMA DE MOIVRE

- •Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos) con la trigonometría. La expresión "cos φ + i senφ " a veces se abrevia como cis x.

-

• Si z es un numero complejo y n es un entero positivo entonces un numero complejo w es una raíz n- ésimas de z si wⁿ=z se demostrara q todo número complejo distinto de cero tiene n raíces n- ésimas distintas.

- •Como R-reales- están contenidos en C-complejos- se concluye que todo numero real distinto de cero tiene n raíces n-ésimas (complejas) distintas

Potencia y raíz de un numero complejo

POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE) Si z=(m) se verifica que: zⁿ = [(m)]ⁿ= (mⁿ)n

Expresión que escrita en forma trigonométrica:

se denomina FÓRMULA DE MOIVRE

[m(cosφ+isen φ)]ⁿ= mⁿ(cosn φ +isenn φ)

Uso del teorema de moivre

Representar (1+i)20

Forma trigonométrica

1+i=√2 (cosπ/4 + isenπ/4)

Aplicando el teorema de moivre(1+i)20=(21/2)20[cos(20 . π/4)+i sen (20. π/4)]

= 210

(cos5 π+isen5 π)

=210

(-1)

=-1024

Teorema sobre raíces n-simas Si z=r(cosφ+isenφ) es cualquier número

complejo de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n- ésimas distintas ,w0,w1,w2,….wn-1

Esas raíces cuando φ esta radianes son:

Para φ en grados sexagesimales:

Donde k=0,1,…..n-1

CALCULAR LAS CUATRO RAÍCES CUARTAS DE -8-8√3i

Representación geométrica

Forma trigonométrica-8 -8√3i=16(cos de 240 +isen 240)

Aplicando el teorema sobre raíces n-esimas con n=4 y teniendo en cuenta que √16=2,tenemos:

Para k=0,1,2,3, esta fórmula se puede escribir como:W k=2[ cos(60o+90ok) + i sen(60o+90ok)]

Sustituyendo 0,1,2,3 en lugar de k en (60o+90ok) :W0=2(cos60o+isen60o) =1+√3i

W1=2(cos150o+isen150o) =-√3+i

W2=2(cos240o+isen240o) =-1-√3i

W3=2(cos330o+isen330o) =√3-i