ABACOM Boletín Matemático

Desde 1970 se otorga el Premio Na-cional de Ciencias al científico o equipo de científicos chilenos cuya obra en el campo de las ciencias pu-ras o aplicadas se haga acreedora a tal distinción. Inicialmente se otorga-ba cada dos años y desde 1992 se entrega anualmente, alternadamente a Ciencias Exactas y Ciencias Natura-les.

El miércoles 26 de agosto de 2009, el doctor en Matemáticas Ricardo Bae-za Rodríguez, recibió por parte de la Ministra de Educación, Mónica Jimé-nez, el Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009. El anterior matemático que se había hecho acreedor de esta distinción fue el doctor en Matemáti-cas Aplicadas, Carlos Conca Rosen-de, en 2003 (ABACOM N° 15) . Para tomar la decisión de entregar este galardón al doctor Baeza, el jura-do se basó en su trabajo fundacional en la matemática chilena y su labor de formación de escuela y discípulos. También consideró sus contribucio-nes, del más alto nivel mundial, al álgebra y la teoría de números.

El ganador es un matemático amplia-mente reconocido a nivel nacional e

internacional. Realizó sus estudios de doctorado en la Universidad de Saar-land, Alemania, donde también fue docente. Tras su regreso a nuestro país, fue por 20 años Profesor Titular de la Universidad de Chile y, a partir de 1999, se ha desempeñado en la Universidad de Talca.

Baeza ha mantenido una productivi-dad científica permanente a lo largo de su carrera, publicando artículos, exponiendo permanente en los con-gresos y conferencias más importan-tes de su área en Chile y el mundo, junto con formar a alumnos que cur-san estudios de pre y post grado. Ricardo Baeza recibirá como premio el monto aproximado de 15 millones de pesos por una sola vez, y una pen-sión vitalicia equivalente a 20 UTM a contar del año 2010. Además, se le entregará un diploma que lo acredita como el Premio Nacional de Ciencias Exactas 2009.

El profesor Baeza ha sido muy crítico del sistema educacional de nuestro país y ha expresado que una de las grandes dificultades que existe es que “muchos profesores no saben lo que enseñan”. Senten-ció que “es preciso optimizar la ca-lidad de los profesores, como políti-ca de Estado, a un plazo de 20 ó 30 años”. Además, sostiene que “es necesario mejorar la situación económica y social de los maestros, que tengan un súper sueldo, pero esto junto con una fuerte exigencia para ingresar a Pedagogía, sobre todo en matemáticas, con un punta-je cercano a los 800 puntos en la PSU. Cuando lleguemos a eso, va-mos a notar inmediatamente un cambio sustancial en nuestra socie-dad”.

SEPTIEMBRE 2009SEPTIEMBRE 2009SEPTIEMBRE 2009SEPTIEMBRE 2009

AÑO 8 N°32AÑO 8 N°32AÑO 8 N°32AÑO 8 N°32

Editorial

PREMIO NACIONAL DE CIENCIAS 2009 En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág El Número de Oro….…….…………....2

El Triángulo de Pascal ......................... .3

Trigonometría ..................................... .4

Lo Último en Tecnología. .................... .5

Los Bernoulli • Una Familia de Genios. ............... .6

• Árbol Genealógico. ...................... .6

• El “Genio” de los Bernoulli. ........ .6

• La Braquistócrona. ....................... .7

• Anécdotas de los Bernoulli .......... .7

Estadística • Medidas de Tendencia Central:

La Media Aritmética. ................... .8

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... .9

• Sopa Matemática .......................... .9

Juegos Matemáticos ............................. 10

Anécdotas Matemáticas ....................... 10

Matemática Entrete • Curiosidades de los Números ....... 11

• La Fiesta de los Irracionales ........ 11

• Humor ......................................... 11

• Una Paradoja Legal ..................... 11

Noticias • Motivación de Estudiantes por la

Ingeniería ..................................... 12

• XXI Olimpíada Nacional de Ma-

temática ........................................ 12

• Actividades Explora 2009 ............ 12

El Dr. Ricardo Baeza Rodriguez junto a la Ministra de Educación Mónica Jiménez

(foto www.utalca.cl )

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

2

Juan Luis Aguayo Lazcano

La Estrella Pentagonal

Según la tradición, la estre-lla pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóri-cos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su propio símbolo se encontrara

un número raro, el irracional Φ. En la figura, se

cumple que QN:NM = QM:MP = QP:NP = Φ.

La Sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Cada número a par-tir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55). Esta sucesión (a n) es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa, 1170-1240). Los cuocientes (razones) en-tre dos números consecutivos de esta sucesión (a n+1/a n), se aproximan al número de oro (1,61803...).

en el hombre Leonardo Da Vinci realizó este dibujo (El

Hombre de Vitrubio) para ilustrar el libro De Divina Propor-tione del matemáti-co Luca Pacioli, edi-tado en 1509. En dicho libro se des-criben cuáles han de ser las proporciones de las construccio-nes artísticas. En particular, Pacioli

propone un hombre perfecto en el que las re-laciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la re-lación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áu-reo. En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las fa-langes de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su an-chura es tam-bién este núme-ro.

en nuestra vida diaria

El número áureo no sólo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente mane-jamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elabora-ción. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet de identidad tie-nen la proporción de un rectángulo áureo. Tam-bién lo podemos encon-trar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

: EL NÚMERO DE ORO ΦComo vimos en la edición anterior de ABACOM, el número de oro, Φ, se encuentra en mu-

chas partes y situaciones de nuestro diario vivir. Ahora continuaremos con este increíble viaje con el fin de seguir asombrándonos con este carismático número.

Φ

Φ

Q N M P

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

ABACOM Boletín Matemático

¿Sabías que las primeras calculadoras sólo efectuaban operaciones aritméticas básicas, es decir: sumar, restar, multipli-car y dividir? Sin embargo, los chinos tenían un método muy antiguo para cal-cular raíces de diverso orden. Ch’in Chiu-Shao menciona en su libro “El Precioso Espejo de los Cuatro Elementos”, de 1303, que mediante la utilización de el Triángulo Aritmético se puede desarrollar un algoritmo para calcular raíces aproxi-madas. Las filas del Triángulo Aritmético nos muestran los coeficientes del desarrollo de las potencias de un binomio, donde la primera fila corresponde a la potencia cero, la segunda a la primera potencia, etc. Es decir, si queremos obtener la cuarta potencia del binomio (a + b) usamos los coeficientes de la quinta fila, los multipli-camos por las potencias decrecientes de a y las potencias crecientes de b: Si queremos calcular la raíz cuadrada de 150, usamos una raíz cercana conocida, por ejemplo: . Luego, le agregamos un valor desconoci-do x, entonces

De donde se obtiene:

Ahora asignamos un valor x0 a la varia-ble x que se encuentra en el denomina-dor, calculamos el valor de x y luego cal-culamos el valor de la raíz a partir de éste.

Si Si queremos un valor más aproximado, tomamos el valor x calculado y lo usamos como x0:

(Según calculadora: Este algoritmo es llamado en el mundo occidental Método de Horner (1819), pero ya era conocido por Newton. Este tipo de procedimientos se enmarca dentro del estudio de Métodos Numéricos para la resolución de problemas, algunos de los cuáles son utilizados por las calcula-doras y computadores modernos para calcular raíces, logaritmos, etc. Ahora, calculemos la raíz cúbica de 150: Se tiene que: (Según calculadora:

Actividades:

1) Verifica, usando el método anterior, la raíz cuadrada de 121, a partir del cuadra-do de 10. 2) Encuentra, aproximadamente, la raíz cúbica de 1024. 3) Encuentra, aproximadamente, la raíz cuarta de 1024, con un error menor a 1 unidad. 4) Averigua sobre algoritmos numéricos que permitan calcular funciones trigo-nométricas, logarítmicas y exponenciales Bibliografía:

Usón V., Carlos y Ramírez M., Ángel. En torno al Triángulo Aritmético que algu-nos llaman de Pascal. Revista Suma Nº 48-54, Febrero 2005 – Febrero 2007, historia.suma@fespm.org El paraíso de las matemáticas. Matemáti-ca china. Disponible en http://www.matematicas.net/paraiso/historia.php?id=ch_mate Matemáticas Educativas. Chu Shi-Chieh. Disponible en http://www.iescarrus.com/edumat/biografias/siglos3/siglos3_02.htm

Rodrigo Rojas Muñoz

3

ABACOM Boletín Matemático

DE CÓMO EL TRIÁNGULO SE USA PARA EXTRAER RA ÍCES

( )

( )

2

2

2

12 150

144 24 150

24 6

24 6

x

x x

x x

x x

+ =

+ + =+ =

+ =

0

6 61 150 12

25 25x x= ⇒ = ⇒

0 625

6 6 25 25

25 24 101 101x x= ⇒ = =

+

144 12=

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + +

6 6 25 25150 12

25 24 101 101⇒ ≈ +

4 4 0 3 1

2 2 1 3 0 4

( ) 1 4

6 4 1

a b a b a b

a b a b a b

+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

35 125=

6 150 12

25⇒ ≈ + 12,24≈

12,2475≈

6

24x

x=

+

( )220 0

2515 75 25

15 75x x x x

x x+ + = ⇒ =

+ +

( )3 3 2 2 3

3 2

5 150 3· ·5 3· ·5 5 150

15 75 25

x x x x

x x x

+ = ⇒ + + + =

⇒ + + =

0

25 25Si 1

1 15 75 91x x= ⇒ = =

+ +3 25150 5 5, 2747

91⇒ ≈ + ≈

0 225 2591 91

25 25 8281Si

91 ( ) 15 75 26233x x= ⇒ = =

+ ⋅ +

3 8281150 5 5,31567

26233⇒ ≈ + ≈

150 12, 24744871)≈

3 150 5,313292846)≈

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

4

En ABACOM N° 30 vimos las funciones trigonométri-cas para ángulos agudos y en ABACOM N° 31 hemos trabajado con las funciones trigonométricas para ángulos cualesquiera. Ahora desarrollaremos algunos otros conceptos.

FÓRMULAS PARA SUMAS Y RESTAS DE ÁNGULOS Si f es alguna de las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cose-cante), en general se tiene que f (α + β) ≠ f (α) + f (β). Es útil tener relaciones que permitan expresar f (α + β) en términos de las funciones trigonométricas de los ángulos α y β. Se demuestra que:

sen(α + β) = senα cosβ + cosα senβ

sen(α - β) = senα cosβ – cosα senβ

cos(α + β) = cosα cosβ – senα senβ

cos(α - β) = cosα cosβ + senα senβ

FÓRMULAS PARA ÁNGULOS DOBLE Y MEDIO De lo anterior, se obtienen fórmulas para ángulos do-bles:

sen2α = 2senα cosα cos2α = cos2α - sen2α

También las fórmulas para el ángulo medio: (donde el signo del segundo miembro se elige de modo que sea el de la función del primer miembro, según el cuadrante en que esté el ángulo α /2). Otras identidades importantes son:

TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO Un triángulo tiene seis elementos básicos: tres lados (a, b y c) y tres ángulos (α, β y γ). Resolver un triángulo significa determinar tres ele-mentos, dados los otros tres (Al menos uno de éstos debe ser un lado). Para resolver un triángulo puede ser conveniente usar el Teorema del Seno y/o el Teorema del Coseno. Teorema del Seno: En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Esto es:

El Teorema del Seno es útil si se dan un lado y dos ángulos (y por tanto también se conoce el tercer ángulo) del triángulo, o si se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Según sean los datos dados, puede que no exista solu-ción, que exista una solución o puede haber dos solu-ciones.

Teorema del Coseno: En un triángulo, el cuadrado de cualquier lado es igual, a la suma de los cuadrados de los otros dos lados me-nos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Esto es:

a2 = b2 + c2 - 2bc⋅cosα

b2 = a2 + c2 – 2ac⋅cosβ

c2 = a2 + b2 - 2ab⋅cosγ

El Teorema del coseno es útil si se dan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o si se dan los tres lados del triangulo (siendo el mayor de ellos menor que la suma de los otros dos lados).

tan +tantan( + ) =

1-tan tanα β

α βα β

tan -tantan( - ) =

1+tan tanα β

α βα β

a b c= =

sen senβ senα γ

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS MÚLTIPLES. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO.

Víctor Alvarado Alvarado

2

2tantan2 =

1-tanα

αα

1-costan = ±

2 1+cosα α

α1+cos

cos = ±2 2α α

1-cossen = ±

2 2α α

1-cos sentan = =

2 sen 1+cosα α α

α α

α β

γ

A B

C

b a

c

5

ABACOM Boletín Matemático

Ejemplos: 1) Demostrar que . Solución:

2) Determinar el ángulo β de un triángulo, si Solución: Usando el Teorema del Seno:

De aquí, β = 45° o β = 135° (pues seno es positivo en el primer y segundo cuadrantes). Como el segundo valor es imposible (pues la suma de los ángulos sería mayor que 180°), entonces β = 45°.

3) Los puntos A y B quedan en los lados opuestos de un monte. Se miden las distancias de A y de B a un punto C, accesible a A y a B, obteniéndose 2.000 y 3.000 metros, respectivamente. Si el ángulo ACB mide 30°, calcular la distancia entre A y B. Solución: Usando el Teorema del Coseno: AB² = AC² + BC² − 2 AC·BC cosγ

= 2.000² + 3.000² − 2· 2.000·3.000 cos30°

≈ 2.607.695

AB ≈ 1.615

Luego, la distancia entre A y B es aproximadamente de 1.615 metros.

=bsen 2 3sen60° 1 2sen = = =

23 2 2

αβ

a

Luis Véliz Matus

El 14 de Septiembre del presente año fue un día histórico para el mundo de la Televisión y las comunicaciones en Chile, el gobierno decidió qué norma usará nuestro país para la transmisión de televisión digital. Pero, ¿qué es TV digital y qué diferencia hay con la actual? ¿qué es una norma y para qué sirve? En este artículo cuando hablamos de TV digital nos refe-rimos a la forma de transmitir la señal de televisión. Ac-tualmente en nuestro país se transmite de manera aná-loga, es decir, la señal que captan nuestras antenas de televisión es plasmada en las pantallas directamente por lo que, si la señal no es buena, entonces la imagen tam-poco lo será. La televisión digital (transmisión digital) consiste en que la señal transmitida se interpreta como ceros y unos, las mismas señales que entienden los computadores. Esto trae grandes ventajas, como por ejemplo, la posibilidad de poder reconstruir una señal que no viene completa y también el poder comprimir la información, en otras pa-labras, podemos transmitir imágenes de mayor resolu-ción y calidad. Para que lo anterior funcione, los canales de televisión nos enviarán la señal codificada, por lo que necesitaremos de un decodificador para que nuestra TV pueda mostrar las imágenes. Pero, ¿de qué forma codificamos la transmisión? Para responder esta pregunta los países escogen normas o

estándares que le digan a los canales como hacerlo. Por eso es tan importante que nuestro país haya escogido la norma, ahora los canales pueden comenzar a invertir en los equipos necesarios para poder realizar las transmisio-nes digitales. La norma escogida por nuestro país es la ISDB que fue creada en Japón y que ya la escogieron países como Brasil, Argentina y Perú. Esta norma permi-te la transmisión de televisión en alta definición y además la compatibilidad con dispositivos móviles. Para que comience a funcionar la televisión digital habrá que esperar un tiempo, alrededor de un año, hasta que los canales estén aptos para realizar las transmisiones. En ese momento los usuarios deberemos comprar deco-dificadores para nuestros actuales televisores o adqui-rir televisores con decodifi-cadores integrados. El go-bierno estima que en un plazo de 8 a 10 años debería dejar de transmitirse en se-ñal análoga, lo que se cono-ce como apagón analógico, que en EE.UU ocurrió el año pasado. La idea es que para ese entoces ya todos tengamos nuestros decodifi-cadores y podamos disfrutar de las bondades de la TV digital.

sen3 cos3+ = 4cos2

sen cosα α

αα α

CHILE Y LA TV DIGITAL

sen3 cos3 sen cos2 +cos sen2+ = +

sen cos sencos cos2 -sen sen2

+cos

α α α α α αα α α

α α α αα

cos sen2 sen sen2=cos2 + +cos2 -

sen cos α α α α

α αα α

= 4cos2α

cos2=2cos2 +2sen cos

sen cos

αα α α

α α

a =3 2,b =2 3, = 60°α

2 2cos -sen=2cos2 +sen2

sen cosα α

α αα α

A B

C

30°

2.000m 3.000m

MONTE

Juan Leiva Vivar

6

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

Una Familia de Genios Los hijos de los genios, de cualquier ciencia o art e, no suelen ser genios. Está claro que el genio no se hereda. Los Bernoulli son la excepción: varias gene raciones de esta familia figuraron en el mundo de l a matemática durante los siglos XVII y XVIII.

Los Bernoulli eran originarios de los Países Bajos pero huyeron a Suiza por la persecución de los españoles. Los padres de los Bernoulli eran personas influyentes. El padre tenía una tienda de especias y la madre era de una familia de banqueros. La saga comienza con Jackob I y Johann I. En la segunda generación, tres hijos de Johann I: Nicolás III, Daniel I y Johann II, y un sobrino, Nicolás II. En la tercera generación, tres hijos de Johann II: Johann III, Daniel II y Jackob II. Todos fueron matemáticos destacados, especialmente Jackob I, Johann I y Daniel I.

EL “GENIO” DE LOS BERNOULLI

Una de las características de la familia Bernoulli fue el carácter explosi-vo de algunos de ellos. Jackob y Johann mantuvieron una rivalidad muy intensa, con discusiones sobre los problemas en los que trabajaban. E.T. Bell en su libro Men of Mathematics se refiere a estas discusiones di-ciendo “…después de todo, si la irracionalidad del ser humano llega a explotar por causa de juego de cartas, ¿por qué no podría explotar por cuestiones matemáticas, que son infinitamente más emocionantes?”. La rivalidad entre los hermanos era tan grande, que Jackob estableció en su testamento que sus manuscritos matemáticos fuesen entregados a Ni-colás I, con la condición de que su hermano Johann, no los consultase. Entre Johann y su hijo Daniel también se produjeron divergencias: cuando Daniel publicó su obra más importante Hidrodinámica, su padre publicó otro libro Hidráulica, y acusó a su hijo de plagio. Otra anécdota famosa, que muestra la controversial personalidad de Johann, es la refe-rente al Premio de la Academia Francesa, que obtuvo su hijo Daniel. Cuando Johann se enteró, lo expulsó de la casa.

Jackob Bernoulli (También cono-cido como Jac-ques, en francés y James, en inglés). Jackob comenzó estudiando teo-logía, por insis-tencia de su padre, pero cuando conoció la matemática

abandonó todo otro estudio por ésta. Jac-kob enseñó matemática a su hermano Johann y a su sobrino Nicolás II. Tam-bién fue profesor del padre de Leonard Euler. Jackob se casó a los 30 años, tuvo dos hijos (hijo e hija) pero ninguno de ellos se dedicó a la matemática o a la física. Desde 1686, hasta su muerte, ocupó un puesto de profesor de matemáticas en la Universidad de Basilea. Su trabajo en matemáticas se centró fundamentalmente en el estudio de Series Infinitas, Teoría de Probabilidades, y algunas curvas planas, entre ellas, la Catenaria, la Cicloide y la Lemniscata de Bernoulli Junto a su hermano Johann creó el Cálcu-lo Variacional.

Johann Bernoulli (También conocido co-mo Jean, en francés y John, en inglés). Al igual que Jackob co-menzó sus estudios fuera de la matemática, llegó a doctorarse en medicina, pero al igual que su her-mano fue cautivado por la matemática, abando-nando por ella la medici-na.

Como la cátedra de matemáticas de la Universidad de Basilea estaba ocupada por su hermano Jackob, Johann, obtuvo un puesto en la Universidad de Groninga. Allí estuvo 10 años, hasta que regresó a Basilea a ocupar la cátedra que había dejado va-cante su hermano al morir. Johann ocupó la cátedra por 42 años. Durante estos años enseñó a estudian-tes de toda Europa y participó en numerosas dispu-tas académicas, entre ellas la disputa entre Newton y Leibniz por la paternidad del Cálculo. Johann tomó partido, a favor de Leibniz. Muerto Jackob y retirados Leibniz y Newton, Jo-hann fue durante veinte años, el mejor matemático de la época. El epitafio que mandó escribir en su tumba resume muy bien, tanto su valía como matemático como su personalidad: “Aquí yace el Arquímedes de su tiempo”.

Daniel Bernoulli Daniel era hijo de Jo-hann Bernoulli. Des-tacó no sólo en ma-temáticas puras, sino también en matemáti-cas aplicadas. Hizo importantes contribu-ciones en Hidromecá-nica y Elasticidad. Nació en Groninga, en la época en que su padre enseñaba allí. Ya en Basilea destacó en

matemáticas. Su padre y su hermano mayor, Nicolás III, fueron sus profesores. Daniel realizó estudios de Medicina, graduándose en 1721. En la Academia de San Petersburgo, Daniel tra-bajó en la cátedra de Física, donde permaneció ocho años y su labor fue muy reconocida. En 1738 publicó su obra Hidrodinámica. Daniel también hizo contribuciones importantes a la Teoría de Probabilidades. En 1750 la Universi-dad de Basilea le concedió, sin necesidad de con-curso, la cátedra que había ocupado su padre. Daniel Bernoulli publicó 86 trabajos sobre los más variados temas de Matemáticas y ganó 10 Premios de la Academia de Ciencias de París, siendo sólo superado por el líder de todos los matemáticos de la época, Leonard Euler que ganó 13 Premios.

7

ABACOM Boletín Matemático

En 1696 Johann Bernoulli ideó el siguiente pro-blema: Dados dos puntos A y B (como en la figura), ¿cuál es la trayectoria que debe se-guir un cuerpo que cae desde A hasta B, de modo que le tome el menor tiempo posible?

Este problema se deno-minó de la Braquistócro-na (del griego: brachis-tos = el menor y cronos = tiempo). Un año des-pués se tenían algunas soluciones al problema, todas ellas llegaban a la misma respuesta: la cur-va debe ser una cicloi-de.

La solución dada por Johann consistía en esta-blecer una analogía entre la curva de descenso más rápido con la trayectoria que seguiría un ra-yo de luz en un medio con una densidad adecua-damente elegida. Por su parte su hermano Jackob propuso una solución que es considera-da hoy como uno de los problemas inaugurales del Cálculo Variacional, disciplina matemática dedicada a la búsqueda de extremos de funcio-nales definidos sobre espacios de funciones.

Se cuenta que en Enero de 1697, Johann Ber-noulli envió una carta anónima a Isaac Newton, el genio creador del Cálculo, quién ya se hallaba retirado de la vida académica. La misiva con-tenía dos problemas, uno de ellos era el de la braquistócrona. La carta llegó a manos de New-ton un día a las 6 de la tarde y a las cuatro de la mañana ya había resuelto ambos problemas. A la mañana siguiente Newton envió las soluciones al presidente de la Royal Society. Las soluciones fueron publicadas de forma anónima en el núme-ro de Febrero de 1697 de Philosophical Transac-tions. Pese al anonimato con que se publicaron las soluciones, por la elegancia de las mismas Johann Bernoulli reconoció de inmediato a su autor y al leer el artículo exclamó: "Ex ungue leo-nis" ("Se reconoce al león por sus garras").

LA BRAQUISTÓCRONA

En 1686, al quedar vacante un puesto de profesor de matemá-ticas en la Universidad de Basilea, Suiza, eligieron por unani-midad a Jackob Bernoulli para el puesto. Ese puesto, fue ocupado, ininterrumpidamente durante más de 100 años por un Bernoulli. Más aún los miembros de la familia Bernoulli fueron profesores de esa Universidad durante más de 250 años (hasta el comienzo de la segunda mitad del siglo XX).

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

En 1712 Johann Bernoulli demostró nítidas señales de locu-ra al expulsar de su casa a su hijo Daniel por haber obtenido el Premio de la Academia de Ciencias de París, galardón al que también postuló Johann, sin obtenerlo. Estos síntomas de para-noia se agudizaron con el tiempo, falleciendo completamente loco, en 1748 a los 81 años.

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Uno de los resultados más importantes y conocidos que obtu-vo Johann Bernoulli no lleva su nombre. Se trata de la Regla de L’Hôpital, que permite calcular límites de formas indeter-minadas usando derivadas. Esto debido a que Johann firmó un pacto con el Marqués de L’Hôpital, por medio del cual Johann enviaría al Marqués todos los descubrimientos matemáticos que obtuviese a cambio de un generoso pago mensual. Así fue como L’Hôpital, en su obra Analyse des infiniment petits (Analisis de los infinitamente pequeños), publicada en Paris en 1699, incluye este resultado como propio.

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

En el ocaso de su vida, Daniel Bernoulli, se encargó de varias obras de beneficencia. En particular, con su financiamiento ordenó construir un pequeño hostal que servía de refugio a los estudiantes temporales que no tenían suficientes recursos. Allí le daban a tales jóvenes, no sólo cama, sino también comida y en algunos casos un dinero para viáticos, algo parecido a las actuales becas.

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Según contaba Daniel Bernoulli, el mejor homenaje que reci-bió se produjo cuando se presentó a un joven compañero de viaje diciendo: Soy Daniel Bernoulli, a lo que recibió como respuesta, un tanto irónica: Si Ud. es Daniel Bernoulli, enton-ces yo soy Isaac Newton.

ANÉCDOTAS DE LOS BERNOULLI

ց

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

8

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: LA MEDIA ARITMÉTICA La Media Aritmética, también llamada Promedio, de una variable estadística cuyos datos no están ordenados en una tabla, es la suma de todos sus posibles valores divi-didos por el total de la muestra.

Ejemplo : Las notas de Karina en Matemática, son las siguientes ¿Cuál es el promedio de Karina? Solución :

(Interpretación: La nota media de Karina en Matemática es 4,1; es decir es una nota que representa a las siete notas que obtuvo).

Si los datos están agrupados en una tabla de distribu-ción, la Media Arítmética está dada por la suma de los valores ponderados por las frecuencias absolutas o rela-tivas de los mismos. Esto es, si la tabla de distribución de una variable X es:

(Ver notaciones en ABACOM N° 31)

La Media Aritmética está dada por:

O su equivalente:

Se supone implícitamente que la definición de Media Aritmética que trabajamos es de una variable discreta X. Si la variable es continua es necesario cambiar los valo-res de xi por las Marcas de Clases correspondientes. En general, la Media Aritmética obtenida a partir de las marcas de clases ci, diferirá de la media obtenida con los valores reales xi . Es decir, habrá una perdida de información que será tanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayor sean las amplitudes ai de los intervalos.

Aspectos importantes a considerar, cuando se trabaja con la Media Aritmética son:

• La media es muy sensible a los valores extremos de la variable: debido a que todas las observaciones in-tervienen en el cálculo de ésta, la aparición de una observación extrema, hará que la Media se desplace en esa dirección.

• La media está localizada entre los valores extremos. No se puede dar un valor de la media que se encuen-tre por encima del máximo valor que toman los datos, ni por debajo del mínimo.

• La media se ve influenciada al añadir otros datos dis-tintos de la media. Desde que se añada otro dato nuevo en una distribución, la media cambia.

• La media no es necesariamente igual a un valor que se haya sumado. Esta propiedad entra dentro del as-pecto abstracto que tiene este parámetro, pues puede ocurrir que la media sea un valor que no pertenezca al mismo conjunto numérico que los elementos de la distribución de la que proviene.

• La media puede ser una fracción que no sea posible en la realidad. Es típico el ejemplo de haber estudia-do el número de hijos por familia, y cuando calcula-mos el valor medio obtenemos un dato que es imposi-ble que se dé. Por ejemplo: 1,6 hijos.

• No es recomendable usar la media como Medida Central en las distribuciones muy asimétricas.

• En el caso de variables continuas, el valor de la me-dia va a depender de la división en intervalos.

• La suma de las diferencias de la variable con respec-to a la media es nula, es decir:

1 2 1

n

in i... =+ + += =∑ x

x x xx

n n

≈4,0 +1,4 +6,2+ 4,3 + 4,4 +3,6 +5,0 28,9= = 4,1

7 7x

1 1 2 2 1...

k

i ik k i=

⋅⋅ + ⋅ + + ⋅= =

∑n xn x n x n x

xn n

1 1 2 21

...k

k k i ii=

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑x h x h x h x h x

Danilo Díaz Levicoy EEEESSSSTTTTAAAADDDDÍÍÍÍSSSSTTTTIIIICCCCAAAA

4,0 1,4 6,2 4,3 4,4 3,6 5,0

X

in

ih

1x

1n

1h

⋮

⋮

⋮

kx

kn

kh

( )1

0n

ii =

− =∑ x x

9

ABACOM Boletín Matemático

soConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoC

Viola García Paredes

Problema 1:

Sea x el tiempo en minutos entre la sali-da de un tren y otro. Llamemos vP a la velocidad del peatón y vT a la velocidad del tren. Cuando el peatón se encuentra con un tren, en la dirección que camina, el próximo tren, en esa dirección lo alcanza en 12 minu-tos, y en ese lapso el peatón camina una distancia igual a 12vP. Esa misma dis-tancia el tren la recorre en 12 – x, así esa distancia es (12 – x) vT . Entonces (12 – x) vT = 12vP, de donde la razón entre las velocidades del peatón y del tren es: vP/ vT = (12 – x)/12. Ahora cuando el peatón se encuentra con un tren en dirección contraria, con el próximo tren en esa dirección se encon-trará en 4 minutos, por tanto recorre 4vP en ese lapso, mientras que el siguiente tren recorre 4vT; pero la suma de estos dos tramos recorridos equivale a lo que recorre el tren en x minutos, es decir se cumple que 4vP + 4vT = xvT. De aquí se obtiene que vP/ vT = (x – 4)/4. De lo anterior tenemos: (12 – x) / 12 = (x – 4) / 4 y así x = 6. Luego: los trenes salen cada 6 minutos de las estaciones.

Problema 2:

Como la circunferencia está inscrita al triángulo, los radios son perpendiculares a los lados. La figura ADOF es un cuadrado de lado 2 cm. Luego z = 2 cm. Como el perí-metro del triángulo es 24 cm. entonces: 2x + 2y + 2z = 24, o sea x + y + z = 12, y como z = 2, se tiene que x + y = 10. Usando el Teorema de Pitágoras en triángulo ABC, que es rectángulo, tene-mos: (x + z)2 + (y + z)2 = (x + y)2 , redu-ciendo y reemplazando el valor de z re-sulta: 2x + 2y + 4 = xy. Así se ha formado un sistema cuadrático cuyas soluciones son: x1 = 6, y1 = 4; x2 = 4, y2 = 6. Luego: los lados del triángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 31

Problema 1: La edad de la Sra. Juanita

La Sra. Juanita nació un domingo soleado en Arica, y cumplió siete años en un domingo gris y lluvioso en Chiloé. ¿Cuántos años cumplió en 1996?

Problema 2: ¿Número Entero? Comprobar que es un número entero.

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 32

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 31

Las palabras relacionadas con Estadís-tica son: Aleatorio, Clase, Continua, Discreta, Frecuencia, Inferencia, Intervalo, Muestra, Tabla y Variable.

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 32 S O F A R G H S M C E O O I T N E L A T N E M R U I L L I O O M A T R I C E S D I A R E I U S O R A S N S M L R U D A C E E T O R E A S F I C R I E S O R G E G U A L G E B R A O O S O T N U J N O C L

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Temas de Matemáticas . Pueden encontrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a derecha (o viceversa).

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730

email: abacom@uach.cl Recepción de soluciones hasta el

20 de Noviembre de 2009

ALUMNOS PARTICIPANTES

Han enviado soluciones a los problemas planteados los siguientes alumnos: Claudio Aron , 4°Medio A, Liceo Rector Abdón Andrade Coloma, La Unión. Ronald Currieco Pavie , 1º Medio C , Liceo R. Abdón Andrade C., La Unión. Israel Giacaman Fonseca , 4° Medio B, L.San Felipe Benicio, Coyhaique. Jesús Molina , 5° Básico A, Inmaculada Concepción, Valdivia. Felipe Andrés Sandoval Sepúlveda , 4° Medio, I. Concepción, Valdivia. Paula Villarroel Hoffmann , 3º Medio B, Colegio Santa Cruz, Rio Bueno.

A L E A T O R I O M I I E L B A I R A V C N C O N T I N U A N T E N S I O N T R E E A L E U S E R T R R S B C U R C E S E V O I L C C S N E F A D L S A A E O U N L A I E L R V R M I O D S C Z A R E F

3 310 10

2 3 2 39 9

+ + −

A B

C

O

D

E

F

z

z

y

y

x x

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

10

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Pídele a un amigo que piense un número de 3 cifras. Luego le pides que repita el número a la derecha de él formando así un número de 6 cifras. A continua-ción le pides que divida este número así formado por 11, ase-gurándole que dará un número entero, el resultado que lo divi-da por 13, y nuevamente dará un número entero (esto ya es sorprendente, pues es raro que el número formado así al azar resulte divisible por 11 y por 13). Después de esto le pides que te diga el resultado obtenido y tú adivinarás el número que pensó. ¿Cómo lo harás? Divides el re-sultado que te entregó por 7 y el número que obtengas es el número pensado.

Explicación: La explicación se basa en una

propiedad del número 1001 que

se descompone como

1001 = 7 × 11 × 13.

Además al multiplicar un número

de 3 cifras por 1001 resulta un

número de 6 cifras en que las 3

cifras quedan escritas repetidas

2 veces. Esto es:

abc × 1001 = abcabc.

(El número se ha expresado in-

formalmente abc, donde a es la

cifra de las centenas, b la de las

decenas y c la de las unidades).

Así al dividir este número de 6

cifras, sucesivamente por 11, por

13 y finalmente por 7 debe re-

sultar el número inicial de 3 ci-

fras.

Ejemplo: Si el número pensado es 385, al

multiplicar por 1001 resulta

385385, al dividir por 11 resulta

35035; al dividir por 13 se obtie-

ne 2685, y finalmente al dividir

por 7 el resultado es 385.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

ADIVINA UN NÚMERO DE TRES CIFRAS

Colin Maclaurin (1698 – 1746) matemático escocés, famoso por la fórmula que per-mite desarrollar una función en serie de potencias (Fórmula de Maclaurin), tenía como su inspirador a Newton. En 1725 Newton lo recomendó para un puesto en la Universidad de Edimburgo, donde pasó el resto de su vida. En 1745 Inglaterra entra en una guerra civil y los anarquistas, despreciando los valo-res del pueblo inglés, atacan la tumba de Newton, en la Abadía de Westminster, es-cribiendo en ella “Científico puerco e inmundo”. Esto fue un ultraje para Maclaurin, quien se alistó en el ejército inglés para combatir a los enemigos del pueblo inglés, y principalmente a los enemigos de su amigo Newton. Antes de partir a la guerra le manifestó al rey de Inglaterra su deseo de ser enterrado al lado de Newton, si moría. Fue nombrado General de Estrategia y se destacó en la guerra participando en 237 batallas. Antes de cada batalla hacía proferir a su batallón la consigna “¡Por el alma de Newton, por Dios y por Inglaterra!” Murió el 14 de Julio de 1746 y no fue enterrado donde pidió, pues los escoceses exi-gieron su cuerpo para sepultarlo en tierra escocesa.

MACLAURIN, EL DEFENSOR DE NEWTON

11

ABACOM Boletín Matemático

• El número 21578943 contiene a todos los dígitos excepto el 6. Pero si se multiplica este número por 6 resulta 129473658, que sí incluye a todos los dígitos. Así, resulta que los números se re-ubicaron… ¡para dejarle un espacio al 6!

• El número 142857 tiene la particularidad que al multiplicarlo por los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6, se obtienen números que incluyen los mismos dígitos del número original, en otro orden:

142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142

Al multiplicarlo por 7 resulta un número formado por seis nueves: 142857 × 7 = 999999

Al multiplicarlo por 8 resulta: 142857 × 8 = 1142856, es decir no aparecen todos dígitos del número original, falta el 7, pero éste se descompuso en 1 + 6 que aparecen al inicio y final del producto. Análogamente al multiplicar por 9 resulta: 142857 × 8 = 1285713, o sea no aparece el 4, pero está descompuesto como 1 + 3. Te proponemos que averigües qué particularidad encuentras al multiplicar el número 142857 por los números 11 a 19.

• El día 7 de Agosto pasado a las 12 horas con 34 minutos y 56 segundos se dio un caso extraordinario en que al anotar la hora y fecha resultó:

12 : 34 ’ 56 ’ ’ 7 / 8 / 9 • El día 9 de Septiembre a las 9 de la mañana con 9 minutos y 9

segundos, al anotar la hora y fecha resultó: 9 : 9 ’ 9 ’ ’ 9 / 9 / 9 • El número 2009 (correspondiente al año en curso) se puede escri-

bir usando siete veces el número 7 del modo siguiente: 2009 = 7 × ( 7 × 7 × 7 – 7 × 7 – 7)

CURIOSIDADES DE LOS NÚMEROS

H U M O R

UNA PARADOJA LEGAL Protágoras de Abdera, era un filósofo griego, un sofista, que en el siglo V a.C. enseñaba retórica en Atenas. Un estudiante, Euatlo, quería estudiar retórica con Protágoras para luego ejercer de abogado pero, carecía de recursos económicos. Protágoras lo aceptó en sus clases con la condición de que cuando ganara su primer pleito, le pagaría todos los honorarios. Euatlo asistió a las lecciones de Protágoras hasta acabar su formación; pero después, decidió no dedicarse a la abogacía, sino al comercio y no pagó a Protágoras por la ense-ñanza recibida. Protágoras le exigió que pagase, pero él se excusaba que no le corres-pondía pues no había ganado ningún pleito. Ante esto, Protágoras lo demandó y fueron a

juicio, donde Euatlo ejerció el mismo su defensa. Pero…he aquí la paradoja: Si el juicio es ganado por Protágoras, Euatlo debería pagar; pero según el acuerdo previo, como aun no ha gana-do ningún pleito, no está obligado a pagar. Por otro lado, si Euatlo gana el juicio, por este hecho no debe pagar; pero a la vez ha ganado su primer pleito y por tanto debe pagar.

LA FIESTA DE LOS IRRACIONALES

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Carolina Leiva Cádiz

S E P T I E M B R E 2 0 0 9

MOTIVACIÓN DE ESTUDIANTES POR LA INGENIERÍA: ¿Es posible que estudiantes de Enseñanza Media aprendan Geometría Fractal?

Esta es la pregunta que tratan de responder un grupo de alumnos de Ingeniería de la UACh mediante un Proyecto de Emprendimiento Estu-diantil financiado por el Ministerio de Educación de Chile. Jonathan Obe-rreuter, Víctor Aguilar y Sebastián Briones, inge-

nieros en formación y el profesor Víctor Poblete, implementaron un Taller sobre Geometría Fractal para estudiantes de tercero y cuarto medio de Valdivia, que combina innovación y tecnología aprendiendo matemática entretenida. La Geometría Fractal per-mite describir la naturaleza (árboles, nubes, montañas, copos de nieve), y fenómenos que ocurren en ella. Esta geometría no tiene presencia en los programas del Ministerio, incluso en la Univer-sidad no se encuentran cursos relacionados a este tema. El taller, que se inició en marzo de 2009, duró cuatro meses (una sesión por semana), comenzó con 26 alumnos y finalizó con 10 excelentes estudiantes que realizaron proyectos de fractales. Durante este segundo semestre repetirán la experiencia con otro grupo de estudiantes. Se espera lanzar un libro como evidencia de este gran trabajo. El proyecto refuerza conocimiento de cien-cias de la ingeniería y desarrolla competencias como habilidades de comunicación, liderazgo y sentido de responsabilidad social.

XXI OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA El Sábado 22 de Agosto, en dife-rentes sedes a lo largo del país se rindió la prueba de Clasificación Nacional de la XXI Olimpíada Na-cional de Matemática. En la sede Valdivia, la prueba se rindió en el Campus Miraflores de la UACh. Se reunieron alrededor de 70 alum-nos representando a los estableci-mientos educacionales siguientes: Instituto Alemán, Liceo A. Robles R., Colegio Domus Matter, Colegio María Auxiliadora y Windsor School de Valdivia; Liceo Rector Abdón Andrade C., Colegio Alemán y Liceo Werner Grob de la Unión; Semi-nario San Fidel de San José y Liceo Camilo Henríquez de Lanco. Los alumnos que resulten clasificados participarán, en Santiago, en la Final Nacional que determinará a los ganadores de la Olimpíada Nacio-nal de Matemática 2009. Originalmente la Final Nacional estaba fijada los días 22, 23 y 24 de Octubre, pero ha sido cambiada para Noviembre, entre los días 23 y 25.

ACTIVIDADES EXPLORA 2009 www.explora.cl/rios

6º Congreso Escolar de Ciencia y Tecnología EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos Año tras año, estudiantes de la Región de Los Ríos se reúnen para presentar sus trabajos, elabo-rados durante todo el año, en sus colegios, liceos y escue-las. Los días 29, 30 de Septiembre y 1 de Octubre en el Centro de Ferias del parque SAVAL, será la instancia en la que presenten sus proyectos. Los ganadores de la categoría entre 6º básico y 3º me-dio, representarán a la región en el Congreso Nacio-nal Escolar en Pucón. El Observatorio Radioastronó-mico Nacional de los EE.UU (NRAO) otorgará el pre-mio al mejor trabajo de Astronomía, con un viaje al norte del país para conocer el radio observatorio AL-MA.

Abriendo Caminos Hacia el Bicentenario: II Encuentro de Ciencia y Tecnología Pocas veces se producen instancias propicias para socializar el conocimiento generado por centros edu-cacionales y de investigación entre la población es-colar. Sin embargo el Congreso Regional Escolar de Ciencia y Tecnología parece serlo. Por ello se creó Abriendo Caminos Hacia el Bicentenario: II Encuen-tro de Ciencia y Tecnología. Científicos e investiga-dores de toda la región presentan sus trabajos, por medio de pósters y actividades prácticas en el Par-que SAVAL, los mismos días en que se realiza el congreso.

Concurso “Los Juegos de las Galaxias” Hasta el 22 de Septiembre permanecerán abiertas las inscripciones para el concurso “Los Juegos de las Galaxias” que organizan en conjunto el Programa EXPLORA CONICYT y la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh. Estudiantes desde 3º básico a 4º medio competirán por ser los mejores en Astro-nomía.

XV Semana Nacional de la Ciencia y la Tecnología “Puro Cielo” es el lema de esta Semana, por ser el Año Internacional de la Astronomía. Ésta se realizará entre el 5 y el 11 de Octubre. Se puede participar en “1000 Científicos 1000 Au-las” (http://1000cientificos.explora.cl), “Laboratorios, Museos y Parque Abiertos”, “Día de la Ciencia en mi colegio”, etc.

Sebastián Montalva Rivera, Periodista. Coordinación Programa EXPLORA CONICYT,

Región de Los Ríos explora14@uach.cl